关于调和级数的发散性的几种简单证明

关于调和级数∑∞

=1

1n n

的发散性的几种简单证明

摘 要：本文主要介绍几种新的方法来证明∑

∞

=1

1n n

的发散

关键词：∑

∞

=1

1n n

、发散、证明

中图分类号：O221.2

on Several Simply Methods Proof of The Divergency of ∑

∞

=1

1n n

Yue chunhong

College of Mathematics and Computer science, Chongqing Normal university , Chongqing 400047

Abstract : Several new methods to prove to reconcile the divergent sense in this paper

Key words : ∑

∞

=1

1n n

; pivergency; proof

1 引言

调和级数∑

∞

=1

1n n

在级数中扮演着重要的角色，它通常作为去判断另外一个级数的发散的标准，许多级数的

证明都与它有关。因此，对调和级数的敛散性的研究是非常重要的，尤其对它的证明更是极其重要的。它的发散性的证明在教材和一些参考书中都有所证明。许多的人都在力求寻找新的证明方法。本文在文献[5]中的相关结论下,给出了5种新的证明方法。在通过教材与文献的中相关的内容的启发，得出了另外几种证明方法。

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2 预备知识

下面先给出证明中要用到的相关定理:

定理2.1[]

1 正项级数的基本定理： 若正项级数的部分和数列无上界，则此级数发散到+∞。

定理2.2

[]

6 若021≥≥≥≥≥ n a a a ，则级数∑∞=1

n n a 与级数n n n

a 20

2∑∞

=同时收敛，同时发散。

定理2.3

[]

1 （正项级数的比较判别法）若两个正项级数∑∞

=1

n n

u 和∑∞

=1

n n v 之间成立着关系：存在常数0>c ，

使

n cv u ≤ () 3,2,1=n

或自某项以后（即存在N ，当N n >时）成立以上关系式，则有

（1）当级数∑∞

=1

n n v 收敛时，级数

∑∞

=1

n n

u

亦收敛；

（2）当级数

∑∞

=1

n n

u

发散时，级数∑∞

=1

n n v 亦发散。

定理2.4

[]

5 （库默尔判别法）设∑∞

=1

n n

u 为正项级数， n c c c 21,是使级数∑

∞

=1

1n n

c 发散的正数列

并设 n

n n n n u u c c 11

++-=κ，

若存在正整数N ，0>σ，使σκ≥>∀n N n ,，则级数∑∞

=1

n n u 收敛；

若N n >∀,0≤n κ，则级数∑∞

=1

n n u 发散。

定理2.5

[]

5 （高斯判别法）设∑n

u 是正项级数

2

1

n

Q n

u u n n n +

+

=+μλ

其中λ与μ为常数，而n Q 为有界量，L Q n ≤,那么 当1>λ或1=λ，1>μ时，∑n u 收敛； 当1<λ或1=λ，1≤μ时，∑n u 发散。

定理2.6

[]

5 （kummer 判别法） 假设0>n a ，0>n b () 2,1=n 则

（1）若0>∃α,使得

α≥-++11

n n n n a a b b ，(),,2,1 =n 则级数∑n b 收敛

（2）若∑

n

a 1发散，且

011

≤-++n n n n a a b b ，(),,2,1 =n 则级数∑n b 发散。

定理2.7

[]

5 （拉贝判别法） ∑n u 为正项级数，且存在某正数0N 及常数r ，

(1) 0N n >时 111

>≥⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛-+r u u n n

n ， 则级数∑n u 收敛； (2) 0N n >时 111

≤⎪⎪⎭⎫

⎝

⎛-+n

n u u n ，则级数∑n u 发散。 定理2.8

[]

5 设()x f 为单减正值函数，又设()()

λ=+∞

→x f e

f e x

x

x lim

，则

当1<λ时，级数()∑∞

=1n n f 收敛；

当1>λ时，级数()∑∞

=1

n n f 发散。

3 用定理证明结论

证法1：定理2.1

因为 11=S 2112+=S 3

12

113++=S

n

S n 131211+

+++

=

显然{}n S 是一个单调递增数列，且无上界，

故∑

∞

=1

1n n

发散。

证法2：定理2.2

因为 在∑

∞

=1

1n n

中 012

11≥≥≥

≥≥

n