关于调和级数的发散性的几种简单证明

关于调和级数∑∞=11n n的发散性的几种简单证明摘 要：本文主要介绍几种新的方法来证明∑∞=11n n的发散关键词：∑∞=11n n、发散、证明中图分类号：O221.2on Several Simply Methods Proof of The Divergency of ∑∞=11n nYue chunhongCollege of Mathematics and Computer science, Chongqing Normal university , Chongqing 400047Abstract : Several new methods to prove to reconcile the divergent sense in this paperKey words : ∑∞=11n n; pivergency; proof1 引言调和级数∑∞=11n n在级数中扮演着重要的角色，它通常作为去判断另外一个级数的发散的标准，许多级数的证明都与它有关。

因此，对调和级数的敛散性的研究是非常重要的，尤其对它的证明更是极其重要的。

它的发散性的证明在教材和一些参考书中都有所证明。

许多的人都在力求寻找新的证明方法。

本文在文献[5]中的相关结论下,给出了5种新的证明方法。

在通过教材与文献的中相关的内容的启发，得出了另外几种证明方法。

------------------------------------------------------------------------------------------------2 预备知识下面先给出证明中要用到的相关定理:定理2.1[]1 正项级数的基本定理： 若正项级数的部分和数列无上界，则此级数发散到+∞。

定理2.2[]6 若021≥≥≥≥≥ n a a a ，则级数∑∞=1n n a 与级数n n na 202∑∞=同时收敛，同时发散。

定理2.3[]1 （正项级数的比较判别法）若两个正项级数∑∞=1n nu 和∑∞=1n n v 之间成立着关系：存在常数0>c ，使n cv u ≤ () 3,2,1=n或自某项以后（即存在N ，当N n >时）成立以上关系式，则有（1）当级数∑∞=1n n v 收敛时，级数∑∞=1n nu亦收敛；（2）当级数∑∞=1n nu发散时，级数∑∞=1n n v 亦发散。

定理2.4[]5 （库默尔判别法）设∑∞=1n nu 为正项级数， n c c c 21,是使级数∑∞=11n nc 发散的正数列并设 nn n n n u u c c 11++-=κ，若存在正整数N ，0>σ，使σκ≥>∀n N n ,，则级数∑∞=1n n u 收敛；若N n >∀,0≤n κ，则级数∑∞=1n n u 发散。

定理2.5[]5 （高斯判别法）设∑nu 是正项级数21nQ nu u n n n ++=+μλ其中λ与μ为常数，而n Q 为有界量，L Q n ≤,那么 当1>λ或1=λ，1>μ时，∑n u 收敛； 当1<λ或1=λ，1≤μ时，∑n u 发散。

定理2.6[]5 （kummer 判别法） 假设0>n a ，0>n b () 2,1=n 则（1）若0>∃α,使得α≥-++11n n n n a a b b ，(),,2,1 =n 则级数∑n b 收敛（2）若∑na 1发散，且011≤-++n n n n a a b b ，(),,2,1 =n 则级数∑n b 发散。

定理2.7[]5 （拉贝判别法） ∑n u 为正项级数，且存在某正数0N 及常数r ，(1) 0N n >时 111>≥⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+r u u n nn ， 则级数∑n u 收敛； (2) 0N n >时 111≤⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+nn u u n ，则级数∑n u 发散。

定理2.8[]5 设()x f 为单减正值函数，又设()()λ=+∞→x f ef e xxx lim，则当1<λ时，级数()∑∞=1n n f 收敛；当1>λ时，级数()∑∞=1n n f 发散。

3 用定理证明结论证法1：定理2.1因为 11=S 2112+=S 312113++=SnS n 131211++++=显然{}n S 是一个单调递增数列，且无上界，故∑∞=11n n发散。

证法2：定理2.2因为 在∑∞=11n n中 01211≥≥≥≥≥n∑∑∞=∞==111n n n na 与n n na 202∑∞=的敛散性相同又因为()∑∑∑∞=∞=∞=∞→∞→==2012122n n nn n nn na故∑∞=11n n是发散到∞+。

证法3：（反证法）假设∑∞=11n n是收敛的，设S nn =∑∞=11，显然0≠S ，则S nnn 21121211==∑∑∞=,S S S nnn n n n 2121211121111=-=-=-∑∑∑∞=∞=∞=所以02112111=--∑∑∞=∞=n n nn而实际上02112111≠--∑∑∞=∞=n n n n 故矛盾，因此假设不成立，即∑∞=11n n是发散的。

证法4：定理2.3因为不等式nn 111ln <⎪⎭⎫ ⎝⎛+成立 设)11ln(1∑∞=+n n的部分和为n S ，则⎪⎭⎫ ⎝⎛++++=n n S n 1ln 23ln 2ln⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯⨯⨯=n n 1ln 232ln()()∞→+∞→+=n n 1ln即)11ln(1∑∞=+n n是发散的，故∑∞=11n n发散。

证法5：等价性因为 ⎪⎭⎫ ⎝⎛+n 11ln ～n 1 由证法4可知)11ln(1∑∞=+n n发散。

故∑∞=11n n发散证法6：定理2.4令n n c n ln =，nu n n 11=∑∞=，∑∑∞=∞==12ln 11n n nnn c ，令⎰=nn xx dx A 2ln所以 ()∞→∞→-=n n A n 2ln ln ln ln由积分判别法知：∑∞=11n nc 是发散的。

设 nn n n n n n 111)1l n ()1(ln +++-=κ )1ln(ln +-=n n n n 01ln 1ln=<+=n n n n即对+∈∀N n 都有 0<n κ 成立，故∑∞=11n n发散。

证法7：定理2.5因为∑∑∞=∞==111n n n nu所以210111111nnnn n n u u n n ++=+=+=+即 1=λ，1=μ，0=n Q由定理可知：∑∞=11n n发散。

证法8：定理2.6令n n a n ln =，∑∑∞=∞==111n n n nb ，由证法6可知：+∞→=∑∑∞=∞=22ln 11n n nnn a )(∞→n()()1ln 1ln 11111++-+=-++n n n n n n a a b b n n n n=)]1ln()[ln 1(+-+n n n =01ln)1(<++n n n故∑∞=11n n发散。

证法9：定理2.7令∑∑∞=∞==111n n n nu ，则有11111111111<+⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+n n n n n n n n u un nn 对+∈∀N n 上式都成立，故∑∞=11n n发散。

证法10：定理2.8设xf x 1=，根据定理2.8，则有)()+∞==⋅==+∞→+∞→+∞→x xee xf ef e x xxx xxx lim 11limlimλ显然 1>λ 故 级数()∑∑∞=∞==111n n nn f 发散。

4 结束语调和级数是一类重要的级数，证明它发散的方法有多种。

本文就从一些新的角度（主要是构造思想）出发，运用相关文献的结论给出了一些新的证明方法。

但是本文并没有把除常规法以外的方法穷尽，这是本文的局限性。

希望广大的爱好者能够给出新的证明方法，完善它的证明方法。

参考文献[1]陈传璋等，复旦大学数学系.数学分析下册（第二版）北京： 高等教育出版社，1983. [2] 陈传璋等，复旦大学数学系.数学分析上册（第三版）北京：高等教育出版社，1983. [3]刘三阳等，《数学分析选讲》，.北京：北京科学出版社，2007. [4]明清河， 《数学分析的思想与方法》，济南：山东大学出版社，2004.[5]《大学数学名师导学丛书》， 数学分析名师导学（下）北京：中国水利水电出版社，2004. [6]裴礼文 ， 数学分析中的典型问题与方法， 北京：高等教育出版社,1993.[7]石秀文,“调和级数发散性”证明中体现出的思维策略 [A].邢台师范高专学报，17（2），33—34，2002.[8]夏晓峰，∑∞=11n n发散性的几种证明 [A] .本溪冶金高等专科学校学报，2（4），44—45，2000.[9]张竟成，关于调和级数∑∞=11n n发散性的几种证明方法以及它的应用 [A].岳阳职业技术学院学报，21（5），116—118，2006.[10]黄永东，证明调和级数∑∞=11n n发散的7种方法 [A].西北民族学报（自然科学版），22（39），1—3，2001.。