三角形中的边角关系、命题与证明期末复习(含答案)

期末复习三角形中的边角关系、命题与证明

类型一　三角形的有关概念

1.已知AD ,AE 分别是△ABC 的中线和角平分线,则下列结论中错误的是

( )A .BD=BC

B .BC=2CD 12

C .∠BAE=∠BAC

D .∠BAC=2∠CAD

122.如图QM3-1所示:

图QM3-1

(1)在△ABC 中,BC 边上的高是 ;

(2)在△AEC 中,AE 边上的高是 .

3.如图QM3-2,回答下列问题:

(1)图中有几个三角形?试写出这些三角形;

(2)∠1是哪个三角形的内角?

(3)以CE 为一条边的三角形有几个?是哪几个?

图QM3-2

类型二　三角形中三边关系的应用

4.小明和小丽是同班同学,小明的家距学校2千米远,小丽的家距学校5千米远,设小明家距小丽家x 千米远,则x 的值应满足

( )A .x=3B .x=3或x=7C .3

5.已知三角形两边的长分别是4和10,则此三角形第三边的长可能是( )A .5B .6C .12

D .166.△ABC 的边长均为整数,且最大边的长为7,那么这样的三角形共有 个. 7.已知三角形两边的长为4,8,则第三边的长可以是 (写出一个即可). 类型三　三角形内角和定理及其推论的应用

8.[2017·大庆]在△ABC中,∠A,∠B,∠C的度数之比为2￿3￿4,则∠B的度数为

( )

A.120°

B.80°

C.60°

D.40°

9.将一副三角尺如图QM3-3放置,已知AE∥BC,则∠AFD的度数是( )

图QM3-3

A.45°

B.50°

C.60°

D.75°

10.如图QM3-4,在△ABC中,∠ACB=∠ABC,∠A=40°,P是△ABC内一点,且∠1=∠2,

求∠BPC的度数.

图QM3-4

类型四　命题与证明

11.请写出一个原命题是真命题,逆命题是假命题的命

题: .

12.请举反例说明“对于任意实数x,x2+5x+4的值总是正数”是假命题,你举的反例是x= (写出一个x的值即可).

13.对于同一平面内的三条直线a,b,c,给出下列5个论断:①a∥b;②b∥c;③a⊥

b;④a∥c;⑤a⊥c.请以其中两个论断为条件,一个论断为结论,组成一个你认为正确

的命题.

14.如图QM3-5,在四边形ABCD中,∠B=∠D=90°,AE平分∠BAD,若AE∥CF,∠BCF=60°.请你求出∠DCF的度数,并说明你的理由.

　图QM3-5

类型一　分类讨论思想的应用

15.已知等腰三角形两边的长分别为5和6,则这个等腰三角形的周长为 .

16.△ABC中,AB∶AC=3∶2,BC=AC+1,若△ABC的中线BD把△ABC的周长分成8∶7两部分,求边AB,AC的长.

17.现在要设计一种三角形有两种方案:①三角形三边长分别为2x,3x,10,其中x为正整数,且周长不超过30;②有两边长分别是7分米,3分米,第三边长y为奇数(单位:分米).分别讨论满足条件的三角形各有几个.

类型二　解三角形问题常用辅助线

18.如图QM3-6所示,已知a∥b,∠2=95°,∠3=150°,求∠1的度数.

图QM3-6

19.如图QM3-7,若AB∥CD,求证:∠E+∠BAE-∠CDE=180°.

图QM3-7

20.如图QM3-8,AD,BC相交于点E,∠1=∠2,∠3=∠4,∠C=32°,∠D=28°,求∠APB 的度数.

图QM3-8

类型三　创新问题展示

21.在研究三角形内角和等于180°的证明方法时,小明和小虎分别给出了下列证法.小明:在△ABC中,延长BC到点D,

∴∠ACD=∠A+∠B(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和).

又∵∠ACD+∠ACB=180°(平角的定义),

∴∠A+∠B+∠ACB=180°(等式的性质).

小虎:在△ABC中,过点C作CD⊥AB于点D(如图QM3-9),

∴∠ADC=∠BDC=90°(直角的定义),

则∠A+∠ACD=90°,∠B+∠BCD=90°(直角三角形的两锐角互余),

∴∠A+∠ACD+∠B+∠BCD=180°(等式的性质),

即∠A+∠B+∠ACB=180°.

请你判断上述两名同学的证法是否正确,如果不正确,写出一种你认为较简单的证明三角形内角和定理的方法,并与同伴交流.

图QM3-9

22.已知:如图QM3-10①,在△ABC 中,∠ABC ,∠ACB 的平分线相交于点O ,则∠BOC=90°+∠A=×180°+∠A.请说明理由;

121212如图QM3-10②,在△ABC 中,∠ABC ,∠ACB 的两条三等分线分别对应交于点O 1,O 2,则∠

BO 1C=×180°+∠A ,∠BO 2C=×180°+∠A.请说明理由;

23131323根据以上阅读理解,猜想n 等分时[内部有(n-1)个交点],用含n 的代数式表示∠BO n-1C= (直接写出结果,不需说明理由).

图QM3-10

期末复习

1.D

2.(1)AB (2)CD

3.解:(1)图中共有8个三角形,分别是△ABC ,△ABE ,△ACD ,△BCD ,△BCE ,△BCO ,△BDO ,△CEO.

(2)∠1是△BCD 和△BDO 的内角.

(3)以CE 为一条边的三角形有2个,分别是△BCE 和△CEO.

4.D

5.C

6.16

7.答案不唯一,如5,6等

8.C

9.D

10.解:∵∠A=40°,∠ACB=∠ABC ,∴∠ACB=∠ABC=70°.

又∵∠1=∠2,∴∠BCP=∠ABP.

∴∠2+∠BCP=∠2+∠ABP=∠ABC=70°,

∴∠BPC=180°-(∠2+∠BCP )=110°.

11.答案不唯一,如“对顶角相等”

12.-3(答案不唯一)

13.解:可能组成的正确命题有如下几种结果(前两个作为条件,后一个作为结论):①②④;②④①;①④②;②⑤③;③⑤②;②③⑤.

14.解:∠DCF=60°.理由如下:如图,

∵∠B=90°,∠BCF=60°,∴∠1=30°.

∵AE ∥CF ,∴∠2=∠1=30°.

∵AE 平分∠BAD ,∴∠3=∠2=30°.

又∵∠D=90°,∴∠4=60°.

∵AE ∥CF ,∴∠DCF=∠4=60°.

15.16或17

16.解:设AB=3x ,AC=2x ,则BC=2x+1,由题意得

①3x+x=(3x+2x+2x+1)×,解得x=2,

815则AB=6,AC=4;

②3x+x=(3x+2x+2x+1)×,解得x=,

715711则AB=,AC=.

21111411答:边AB 的长为6,边AC 的长为4;或者边AB 的长为,边AC 的长为.

2111141117.解:①2x+3x+10≤30,

解得x ≤4,即x 可取1,2,3,4.

当x 等于1时,三边长分别为2,3,10,构不成三角形;

当x 等于2时,三边长分别为4,6,10,构不成三角形;

当x 等于3时,三边长分别为6,9,10;

当x 等于4时,三边长分别为8,12,10.

故满足条件的三角形共有2个.

②三角形的第三边长y 满足:7-3

18.解:解法一:如图①,∠ABC=180°-∠2=85°.

∵a ∥b ,∴∠CAB=180°-∠3=30°.