三角形中的边角关系、命题与证明期末复习(含答案)
沪科版八年级上册数学第13章 三角形中的边角关系、命题与证明含答案
沪科版八年级上册数学第13章三角形中的边角关系、命题与证明含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、如图，AB∥CD，∠D=30°，∠E=35°，则∠B的度数为（）A.60°B.65°C.70°D.75°2、等边三角形边长为a，则该三角形的面积为（）A. B. C. D.3、如图．若乙、丙都在甲的北偏东70°方向上．乙在丁的正北方向上，且乙到丙、丁的距离相同．则α的度数是（）A.25°B.30°C.35°D.40°4、如图，四个图形中，线段BE是△ABC的高的图是（）A. B. C. D.5、己知命题：(1)三角形中最少有一个内角不小于60°；(2)三角形的外心到三角形各边的距离都相等．下面判断中正确的是（）A.命题(1)(2)都正确B.命题(1)正确，(2)不正确C.命题(1)不正确，(2)正确D.命题(1)(2)都不正确6、如图，点E点为△ABC的内心，且EF⊥BC于点F，若∠BAC=38°，∠B=56°，则∠AEF的度数为（）A.163B.164C.165D.1667、如图，点D、B、C在同一条直线上，∠A=60°，∠C=50°，∠D=25°．则∠1=（）A.60°B.50°C.45°D.25°8、如图，已知AB∥CO，那么∠1，∠2，∠3之间的关系是（）A.∠1+∠2=∠3B.∠1+∠3=∠2C.∠1+∠2+∠3=180°D.∠1+∠2﹣∠3=180°9、已知△ABC的面积为36，将△ABC沿BC的方向平移到△A′B′C′的位置，使B′和C重合，连结AC′交A′C于D，则△C′DC的面积为（）A.6B.9C.12D.1810、若等腰三角形的一边长等于5，另一边长等于3，则它的周长等于（）A.10B.11C.13D.11或1311、如图，BE，CF都是△ABC的角平分线，且∠BDC=110°，则∠A的度数为（）A.40°B.50°C.60°D.70°12、为正方形内一点，且是等边三角形，求的度数是（）A. B. C. D.13、等腰三角形一个角等于50°，则它的底角是（）A.80°B.50C.65°D.50°或65°14、一个多边形的内角和是外角和的3倍，这个多边形的边数是( )A.7B.8C.9D.1015、如图所示，a∥b，则下列式子中值为180°的是（）A.∠α+∠β﹣∠γB.∠α+∠β+∠γC.∠β+∠γ﹣∠αD.∠α﹣∠β+∠γ二、填空题(共10题，共计30分)16、如图，中，DE垂直平分BC交BC于点D，交AB于点E，，，则________.17、一个三角形的面积为3xy－4y，一边长是2y，则这条边上的高为________.18、对于一个三角形，设其三个内角的度数为x°，y°，z°，若x，y，z满足x2+y2＝z2我们定义这个三角形为美好三角形.已知△ABC为美好三角形，∠A ∠B ∠C，∠B＝60°，则∠A的度数为________.19、若直角三角形斜边上的高和中线长分别是4cm，5cm，则它的面积是________cm2.20、如图，点是的对称中心，，是边上的点，且是边上的点，且，若分别表示和的面积则________ .21、一个正三角形和一副三角板（分别含30°和45°）摆放成如图所示的位置，且AB∥CD．则∠1＋∠2＝________．22、已知等腰三角形的一边长等于4，另一边长等于2，它的周长为________.23、如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，将AB边沿AD折叠，发现B点的对应点E正好在AC的垂直平分线上，则∠C＝________24、如图，在△ABC 中，∠A=60°，D 是 AB 上一点，E 是 AC 上一点，BE、CD 相交于 O，且∠BOD=55°，∠ACD=30°，则∠ABE 的度数是________.25、如图，已知点在反比例函数的图象上，过点A作x轴的平行线交反比例函数的图象于点B，连结，过点B作交y轴于点C，连结，则的面积为________.三、解答题(共5题，共计25分)26、如图，D是AB上的一点，E是AC上的一点，BE、CD相交于一点F，∠A=63°，∠ACD=34°，∠ABE=20°，求∠BDC和∠BFC的度数．27、如图，在中，AD是高，，AE是外角的平分线，交BC的延长线于点E，BF平分交AE于点F，若，求的度数。
安徽省八年级上册数学(沪科版)期末考试复习：第13章《三角形中的边角关系、命题与证明》解答题精选
2020-2021学年安徽省八年级上册数学（沪科版）期末考试复习：第13章《三角形中的边角关系、命题与证明》解答题精选一．解答题（共22小题）1．（2019秋•当涂县期末）如图，在△ABC中，∠A＝75°，∠ABC与∠ACB的三等分线分别交于点M、N 两点．（1）求∠BMC的度数；（2）若设∠A＝α，用α的式子表示∠BMC的度数．2．（2019秋•埇桥区期末）（1）如图（a），BD平分∠ABC，CD平分∠ACB．①当∠A＝60°时，求∠D的度数．②猜想∠A与∠D有什么数量关系？并证明你的结论．（2）如图（b），BD平分外角∠CBP，CD平分外角∠BCQ，（1）中②的猜想还正确吗？如果不正确，请你直接写出正确的结论（不用写出证明过程）．3．（2019秋•临泉县期末）如图，在△ABC和△DEF中，B、E、C、F在同一直线上，下面有四个条件：①AB＝DE；②AC＝DF；③AB∥DE；④BE＝CF．请你从中选三个作为题设，余下的一个作为结论，写出一个真命题，并加以证明．解：我写的真命题是：已知：；求证：．（注：不能只填序号）证明如下：4．（2019秋•濉溪县期末）在如图所示的平面直角坐标系中，作出下列坐标的A（﹣3，2），B（0，﹣4），C （5，﹣3），D（0，1）．并求出四边形ABCD的面积．5．（2019秋•潜山市期末）如图，∠A＝37°，∠B＝28°，∠ADB＝148°，求∠C的度数．6．（2019秋•庐阳区期末）如图，在△ABC中，AD、CE分别平分∠BAC和∠ACB，AD、CE交于点O，若∠B＝50°，求∠AOC．7．（2019秋•庐阳区期末）在△ABC中，∠A+∠B＝∠C，∠B﹣∠A＝30°．（1）求∠A、∠B、∠C的度数；（2）△ABC按角分类，属于什么三角形？△ABC按边分类，属于什么三角形？8．（2019秋•裕安区期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝50°，AE，CF是角平分线，它们相交于为O，AD是高，求∠BAD和∠AOC的度数．9．（2019秋•瑶海区期末）如图，已知△ABC．（1）若AB＝4，AC＝5，则BC边的取值范围是；（2）点D为BC延长线上一点，过点D作DE∥AC，交BA的延长线于点E，若∠E＝55°，∠ACD＝125°，求∠B的度数．10．（2019秋•全椒县期末）已知，如图，在△ABC中，∠A＝∠ABC，直线EF分别交△ABC的边AB，AC 和CB的延长线于点D，E，F．（1）求证：∠F+∠FEC＝2∠A；（2）过B点作BM∥AC交FD于点M，试探究∠MBC与∠F+∠FEC的数量关系，并证明你的结论．11．（2019秋•涡阳县期末）如图，在△ABC中，AC＝6，BC＝8，AD⊥BC于D，AD＝5，BE⊥AC于E，求BE的长．12．（2019秋•全椒县期末）如图，在△ABC中（AC＞AB），AC＝2BC，BC边上的中线AD把△ABC的周长分成60和40两部分，求AC和AB的长．13．（2019秋•和县期末）如图，在△ABC中，∠B＝47°，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，求∠E的度数．14．（2019秋•涡阳县期末）如图，三角形AOB中，A、B两点的坐标分别为（﹣4，﹣6），（﹣6，﹣3），求三角形AOB的面积（提示：三角形AOB的面积可以看作一个梯形的面积减去一些小三角形的面积）．15．（2018秋•望江县期末）在△ABC中，AB＝9，BC＝2，AC＝x．（1）求x的取值范围；（2）若△ABC的周长为偶数，则△ABC的周长为多少？16．（2018秋•长丰县期末）已知：如图，D是AB上的一点，E是AC上一点，BE、CD相交于点F，∠A ＝62°，∠ACD＝35°，∠ABE＝20°．求：（1）∠BDC的度数；（2）∠BFC的度数．17．（2018秋•埇桥区期末）在△ABC中，∠A＝∠B+20°，∠C＝∠A+50°，求△ABC各内角的度数．18．（2018秋•包河区期末）如图，△ABC中，∠ACB＞90°，AE平分∠BAC，AD⊥BC交BC的延长线于点D．（1）若∠B＝30°，∠ACB＝100°，求∠EAD的度数；（2）若∠B＝α，∠ACB＝β，试用含α、β的式子表示∠EAD，则∠EAD＝．（直接写出结论即可）19．（2018秋•桐城市期末）如图，△ABC中，AD⊥BC于点D，AE是∠BAC的平分线，∠B＝30°，∠C ＝70°，分别求：（1）∠BAC的度数；（2）∠AED的度数；（3）∠EAD的度数．20．（2018秋•无为县期末）如图，AC平分∠DCE，且与BE的延长线交于点A．（1）如果∠A＝35°，∠B＝30°，则∠BEC＝．（直接在横线上填写度数）（2）小明经过改变∠A，∠B的度数进行多次探究，得出∠A、∠B、∠BEC三个角之间存在固定的数量关系，请你用一个等式表示出这个关系，并进行证明．解：（2）关系式为：证明：21．（2018秋•阜南县期末）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE平分∠BAC，∠B＝42°，∠C＝70°，求：∠DAE的度数．22．（2019春•庐江县期末）已知：三角形ABC和同一平面内的点D．（1）如图1，点D在BC边上，DE∥BA交AC于E，DF∥CA交AB于F．若∠EDF＝85°，则∠A的度数为°．（2）如图2，点D在BC的延长线上，DF∥CA，∠EDF＝∠A，证明：DE∥BA．（3）如图3，点D是三角形ABC外部的一个动点，过D作DE∥BA交直线AC于E，DF∥CA交直线AB于F，直接写出∠EDF与∠A的数量关系（不需证明）．2020-2021学年安徽省八年级上册数学（沪科版）期末考试复习：第13章《三角形中的边角关系、命题与证明》解答题精选参考答案与试题解析一．解答题（共22小题）1．【解答】解：（1）∵∠A ＝75°，∴∠ABC +∠ACB ＝180°﹣75°＝105°，∴∠MBC +∠MCB =23×105°＝70°，∴∠BMC ＝180°﹣70°＝110°．（2）∵∠A ＝α，∴∠ABC +∠ACB ＝180°﹣α∴∠MBC +∠MCB =23×（180°﹣α）＝120°−23α∴∠BMC ＝180°﹣（120°−23α）＝60°+23α2．【解答】解：（1）①∵∠A ＝60°，∴∠ABC +∠ACB ＝180°﹣60°＝120°，∵∠DBC =12∠ABC ，∠DCB =12∠ACB ，∴∠DBC +∠DCB =12×120°＝60°，∴∠D ＝180°﹣60°＝120°．②结论：∠D ＝90°+12∠A ．理由：∵∠DBC =12∠ABC ，∠DCB =12∠ACB ，∴∠DBC +∠DCB =12×（∠ABC +∠ACB ）=12（180°﹣∠A ）＝90°−12∠A∴∠D ＝180°﹣（90°−12∠A ）＝90°+12∠A ．（2）不正确．结论：∠D ＝90°−12∠A ．理由：∵∠DBC =12∠PBC ，∠DCB =12∠ACB ，∴∠DBC +∠DCB =12×（∠PBC +∠QCB ）=12（∠A +∠ACB +∠A +∠ABC ）=12（180°+∠A ）＝90°+12∠A ，∴∠D ＝180°﹣（90°−+12∠A ）＝90°−12∠A ．3．【解答】解：我写的真命题是：已知：①②④；求证：③证明如下：∵BE ＝FC ，∴BE +EC ＝CF +EC ，即BC ＝FE ，在△ABC 和△DEF 中{AA =AA AA =AA AA =AA ，∴△ABC ≌△DEF （SSS ），∴∠B ＝∠DEF ，∴AB ∥DE ．故答案为①②④；③．4．【解答】解：如图所示，S 四边形ABCD =12×5×3+12×5×5=20．5．【解答】解：连接CD 并延长点E ， ∵∠ACD ＝∠ADE ﹣∠A ＝∠ADE ﹣37°，∴∠A ＝37°，∠ADE ＝∠A +∠ACD ，同理可得：∠BCD ＝∠BDE ﹣28°，∵∠ACB ＝∠ACD +∠BCD ，∴∠ADB ＝148°，∠ACB ＝∠ADB ﹣∠A ﹣∠B ，＝148°﹣37°﹣28°＝83°．6．【解答】解：∵∠ABC ＝50°， ∴∠BAC +∠ACB ＝180°﹣50°＝130°，∵AD ，CE 分别平分∠BAC 、∠ACB ，∴∠OAC =12∠BAC ，∠OCA =12∠ACB ，∴∠OAC +∠OCA =12（∠BAC +∠ACB ）=12×130°＝65°，在△AOC 中，∠AOC ＝180°﹣（∠OAC +∠OCA ）＝180°﹣65°＝115°．7．【解答】解：（1）由题意：{∠A +∠A =∠AAA −AA =30°AA +AA +AA =180°，解得{∠A =30°AA =60°AA =90°．（2）∵∠C ＝90°，∠A ＝30°，∠B ＝60°，∴按角分类，属于直角三角形．△ABC 按边分类，属于不等边三角形．8．【解答】解：∵AD 是高，∠B ＝50°，∴Rt △ABD 中，∠BAD ＝90°﹣50°＝40°，∵∠BAC ＝90°，∠B ＝50°，∴△ABC 中，∠ACB ＝90°﹣50°＝40°，∵AE ，CF 是角平分线，∴∠CAE =12∠BAC ＝45°，∠ACF =12∠ACB ＝20°，∴△AOC 中，∠AOC ＝180°﹣45°﹣20°＝115°．9．【解答】解：（1）∵AB ＝4，AC ＝5，∴5﹣4＜BC ＜4+5，即1＜BC ＜9，故答案为：1＜BC ＜9；（2）∵∠ACD ＝125°，∴∠ACB ＝180°﹣∠ACD ＝55°，∵DE ∥AC ，∴∠BDE ＝∠ACB ＝55°．∵∠E ＝55°，∴∠B ＝180°﹣∠E ﹣∠BDE ＝180°﹣55°﹣55°＝70°．10．【解答】（1）证明：∵∠FEC ＝∠A +∠ADE ，∠F +∠BDF ＝∠ABC ，∴∠F +∠FEC ＝∠F +∠A +∠ADE ，∵∠ADE ＝∠BDF ，∴∠F +∠FEC ＝∠A +∠ABC ，∵∠A ＝∠ABC ，∴∠F +∠FEC ＝∠A +∠ABC ＝2∠A ．（2）∠MBC ＝∠F +∠FEC ．证明：∵BM ∥AC ，∴∠MBA ＝∠A ，、∵∠A ＝∠ABC ，∴∠MBC ＝∠MBA +∠ABC ＝2∠A ，又∵∠F +∠FEC ＝2∠A ，∴∠MBC ＝∠F +∠FEC ．11．【解答】解：∵S △ABC =12AC •BE ，S △ABC =12BC •AD ，∴AC •BE ＝BC •AD ，∴BE =406=203．12．【解答】解：设BD ＝CD ＝x ，AB ＝y ，则AC ＝2BC ＝4x ，∵BC 边上的中线AD 把△ABC 的周长分成60和40两部分，AC ＞AB ， ∴AC +CD ＝60，AB +BD ＝40，即{4A +A =60A +A =40，解得：{A =12A =28， 当AB ＝28，BC ＝24，AC ＝48时，符合三角形三边关系定理，能组成三角形，所以AC ＝48，AB ＝28．13．【解答】解：∵三角形的外角∠DAC 和∠ACF 的平分线交于点E ，∴∠EAC =12∠DAC ，∠ECA =12∠ACF ；又∵∠B ＝47°（已知），∠B +∠1+∠2＝180°（三角形内角和定理），∴12∠DAC +12∠ACF =12（∠B +∠B +∠1+∠2）=227°2（外角定理），∴∠E ＝180°﹣（12∠DAC +12∠ACF ）＝66.5°．14．【解答】解：S △AOB ＝S 梯形BCDO ﹣（S △ABC +S △OAD ） =12×（3+6）×6﹣（12×2×3+12×4×6）＝27﹣（3+12） ＝12．15．【解答】解：（1）由题意知，9﹣2＜x ＜9+2，即7＜x ＜11；（2）∵7＜x ＜11，∴x 的值是8或9或10，∴△ABC 的周长为：9+2+8＝19（舍去）．或9+2+9＝20或9+2+10＝21（舍去）即该三角形的周长是20．16．【解答】解：（1）∵∠A ＝62°，∠ACD ＝35°，∴∠BDC ＝∠A +∠ACD ＝62°+35°＝97°；（2）∵∠ABE ＝20°，∠BDC ＝97°，∴∠BFC ＝∠BDC +∠ABE ＝97°+20°＝117°．17．【解答】解：∵∠A ＝∠B +20°，∠C ＝∠A +50°， ∴∠C ＝∠B +20°+50°，∵∠A +∠B +∠C ＝180°，∴∠B +20°+∠B +∠B +20°+50°＝180°，解得：∠B ＝30°，∴∠A ＝30°+20°＝50°，∴∠C ＝50°+50°＝100°，即∠A ＝50°，∠B ＝30°，∠C ＝100°．18．【解答】解：（1）∵AD ⊥BC ，∴∠D ＝90°，∵∠ACB ＝100°，∴∠ACD ＝180°﹣100°＝80°，∴∠CAD ＝90°﹣80°＝10°，∵∠B ＝30°，∴∠BAD ＝90°﹣30°＝60°，∴∠BAC ＝50°，∵AE 平分∠BAC ，∴∠CAE =12∠BAC ＝25°，∴∠EAD ＝∠CAE +∠CAD ＝35°；（2）∵AD ⊥BC ，∴∠D ＝90°，∵∠ACB ＝β，∴∠ACD ＝180°﹣β，∴∠CAD ＝90°﹣∠ACD ＝β﹣90°，∵∠B ＝α，∴∠BAD ＝90°﹣α，∴∠BAC ＝90°﹣α﹣（β﹣90°）＝180°﹣α﹣β， ∵AE 平分∠BAC ，∴∠CAE =12∠BAC ＝90°−12（α+β），∴∠EAD ＝∠CAE +∠CAD ＝90°−12（α+β）+β﹣90°=12β−12α．故答案为：12β−12α．19．【解答】解：（1）∵∠B ＝30°，∠C ＝70°，∴∠BAC ＝180°﹣∠B ﹣∠C ＝80°；（2）∵AE 是∠BAC 的平分线，∴∠BAE =12∠BAC ＝40°，∴∠AED ＝∠BAE +∠B ＝40°+30°＝70°；（3）∵AD ⊥BC ，∴∠ADE ＝90°，∴∠EAD ＝∠ADE ﹣AED ＝90°﹣70°＝20°．20．【解答】解：（1）∵∠A ＝35°，∠B ＝30°，∴∠ACD ＝∠A +∠B ＝65°，又∵AC 平分∠DCE ，∴∠ACE ＝∠ACD ＝65°，∴∠BEC ＝∠A +∠ACE ＝35°+65°＝100°， 故答案为：100°；（2）关系式为∠BEC ＝2∠A +∠B ．理由：∵AC 平分∠DCE ，∴∠ACD ＝∠ACE ，∵∠BEC ＝∠A +∠ACE ＝∠A +∠ACD ，∵∠ACD ＝∠A +∠B ，∴∠BEC ＝∠A +∠A +∠B ＝2∠A +∠B ．21．【解答】解：∵∠B ＝42°，∠C ＝70°，∴∠BAC ＝180°﹣∠B ﹣∠C ＝68°，∵AE 平分∠BAC ，∴∠CAE=12A BAC＝34°，∵AD是BC边上的高，∴∠ADC＝90°，∵∠C＝70°，∴∠CAD＝180°﹣∠ADC﹣∠C＝20°，∴∠DAE＝∠CAE﹣∠CAD＝34°﹣20°＝14°．22．【解答】解：（1）∵DE∥BA，DF∥CA，∴∠A＝∠DEC，∠DEC＝∠EDF，∵∠EDF＝85°∴∠A＝∠EDF＝85°；故答案为：85；（2）证明：如图1，延长BA交DF于G．∵DF∥CA，∴∠2＝∠3．又∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠3．∴DE∥BA．（3）∠EDF＝∠A，∠EDF+∠A＝180°，理由：如图2，∵DE∥BA，DF∥CA，∴∠EDF+∠E＝180°，∠E+∠EAF＝180°，∴∠EDF＝∠EAF＝∠A；如图3，∵DE∥BA，DF∥CA，∴∠EDF+∠F＝180°，∠F＝∠CAB，∴∠EDF+∠BAC＝180°．即∠EDF+∠A＝180°，。
第十三章 三角形边角关系及命题与证明 (含答案)
第十三章三角形边角关系及命题与证明一、单选题1．已知△ABC的两条高分别为4和12，第三条高也为整数，则第三条高所有可能值为（）A． 3和4 B． 1和2 C． 2和3 D． 4和52．已知非直角三角形ABC中，∠A=45°，高BD与CE所在直线交于点H，则∠BHC的度数是（）A． 45° B． 45°或135° C． 45°或125° D． 135°3．下列说法中正确的是（）A．两条射线组成的图形叫做角B．小于平角的角可分为锐角和钝角两类C．射线就是直线D．两点之间的所有连线中，线段最短4．如图，把一张长方形纸条ABCD沿EF折叠，C、D 两点落到、处已知，且，则的度数为A． B． C． D．5．已知如图，△ABC中，∠ABC=50°，∠BAC=60°，BO、AO分别平分∠ABC 和∠BAC，求∠BCO的大小（）A． 35° B． 40° C． 55° D． 60°6．下列命题中，属于真命题的是（）A．同位角相等 B．任意三角形的外角一定大于内角C．多边形的内角和等于180° D．同角或等角的余角相等7．如图：在△ABC中，G是它的重心，AG⊥CD ，如果，则△AGC的面积的最大值是（）A． B． 8 C． D． 68．如图，在△ABC中，BD、BE分别是高和角平分线，点F在CA的延长线上，FH⊥BE交BD于G，交BC于H，下列结论：①∠DBE=∠F；②2∠BEF=∠BAF+∠C；③∠F=（∠BAC﹣∠C）；④∠BGH=∠ABE+∠C．试卷第1页，总4页其中正确的是（）A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④9．如图，四边形ABCD中，E、F、G、H依次是各边中点，O是四边形ABCD内一点，若四边形AEOH、四边形BFOE、四边形CGOF的面积分别为7、9、10，则四边形DHOG的面积为（）A． 7 B． 8 C． 9 D． 1010．设△ABC的面积为1，如图①将边BC、AC分别2等份，BE1、AD1相交于点O，△AOB的面积记为S1；如图②将边BC、AC分别3等份，BE1、AD1相交于点O，△AOB的面积记为S2；……，依此类推，则S5的值为（）A． B． C． D．二、填空题11．对于命题“如果∠1+∠2=90°,那么∠1=∠2”,能说明它是假命题的反例是_____.12．如图，点C是线段AB上的动点，分别以AC、BC为边在AB的同侧作等边△ACD、等边△BCE，BD、AE交于点P．若AB=6，则PC的最大值为_____．13．如图，设△ABC的两边AC与BC之和为a，M是AB的中点，MC=MA=5，则a的取值范围是_____．14．如图，中，，、分别平分，，则________，若、分别平分，的外角平分线，则________．15．三角形中一个内角是另一个内角的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中称为“特征角”，如果一个“特征三角形”的“特征角”为，那么这个“特征三角形”的最小内角的度数为______．三、解答题试卷第2页，总4页16．已知:点D是∠ABC所在平面内一点,连接AD、CD．（1）如图1,若∠A＝28°,∠B＝72°,∠C＝11°,求∠ADC;（2）如图2,若存在一点P，使得PB平分∠ABC,同时PD平分∠ADC,探究∠A,∠P,∠C的关系并证明;.（3）如图3,在 (2) 的条件下,将点D移至∠ABC的外部,其它条件不变,探究∠A,∠P,∠C的关系并证明（1）用直尺和圆规在∠ACB的内部作射线CM，使∠ACM=∠ABC（保留作图痕迹，不写作法）；（2）若（1）中的射线CM交AB于点D，∠A=600，∠B=400，求∠BDC．18．如图①，在△ABC中，AE平分∠BAC，∠C＞∠B，F是AE上一点，且FD⊥BC于D点．(1)试猜想∠EFD，∠B，∠C的关系，并说明理由；(2)如图②，当点F在AE的延长线上时，其余条件不变，(1)中的结论还成立吗？说明理由．①②19．“转化”是数学中的一种重要思想，即把陌生的问题转化成熟悉的问题，把复杂的问题转化成简单的问题，把抽象的问题转化为具体的问题．已知：如图1，线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，我们把形如图1的图形称之为“8字形”，试解答下列问题：问题一：在图1中，请直接写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系；问题二：在图2中，若∠D=40°，∠B=36°，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N，试求∠P的度数；试卷第3页，总4页问题三：在图3中，已知AP、CP分别平分∠BAM、∠BCD，请问∠P与∠B、∠D之间存在着怎样的数量关系？并说明理由．问题四：在图4中，已知AP的反向延长线平分∠EAB，CP平分∠DCF，请直接写出∠P与∠B、∠D之间的数量关系．20．一副三角板如图1摆放,∠C=∠DFE=90∘,∠B=30∘,∠E=45∘,点F在BC上,点A在DF上,且AF平分∠CAB,现将三角板DFE绕点F顺时针旋转(当点D落在射线FB上时停止旋转).(1)当∠AFD=_ __∘时,DF∥AC;当∠AFD=__ _∘时，DF⊥AB；(2)在旋转过程中，DF与AB的交点记为P，如图2，若AFP有两个内角相等，求∠APD的度数；(3)当边DE与边AB、BC分别交于点M、N时，如图3，若∠AFM=2∠BMN，比较∠FMN与∠FNM的大小，并说明理由。
第13章 三角形中的边角关系、命题与证明(总复习)
证明三角形内角和定理的方法
添加辅助线思路：1、构造平角
A D E 1 2 F E A
A E 1
2
D
B 图2 C
1
2 D
B
图1
C
B
C
图3
添加辅助线思路:2、构造同旁内角
E A
E
A
F 4 C
1 2
B 图1 C
3
B
D
图2
9．三角形的外角
三角形的外角的定义: 三角形一边与另一边的延长线 组成的角，叫做三角形的外角.
4．三角形的分类：
1：按边分类
不等边三角形 三角形 腰与底不相等的等腰三角形 等腰三角形 腰与底相等的等边三角形
2：按角分类
直角三角形 三角形 锐角三角形 斜三角形 钝角三角形
5． 对“定义”的理解：
能明确界定某个对象含义的语句叫做定义 。 注意：明确界定某个对象有两种形式：
7．有关“公理、定理、证明、推论、演绎推理、 辅助线”等概念 （1）公理：从长期实践中总结出来的，不需要再作 证明的真命题。
（2）定理：从公理或其他真命题出发，用推理方法证明 为正确的，并被选作判断命题真假的依据的真命题 （3）推论：由公理、定理直接得出的真命题。 （4）演绎推理：从已知条件出发，依据定义、公理、 定理，并按照逻辑规则，推导出结论的方法。
(2)三角形中线：连结一个顶点和它对边中点的线段． 表示法： ① AD是△ABC的BC上的中线. ② BD=DC=½BC.
B A
注意： ①三角形的中线是线段；
D
C
②三角形三条中线全在三角形的内部；
③三角形三条中线交于三角形内部一点； ④中线把三角形分成两个面积相等的三角形．
《三角形中的边角关系、命题与证明》填空题精选 2020年沪科版八年级上册期末复习(含答案)
2020-2021学年安徽省八年级上册数学（沪科版）期末考试复习第13章《三角形中的边角关系、命题与证明》填空题精选一．填空题（共30小题）1．（2020春•铜陵期末）在平面直角坐标系中，三角形ABC的三个顶点的坐标分别是A（2，3），B（0，4），C（0，﹣2），则三角形ABC的面积为．2．（2020春•蜀山区期末）将一副直角三角板如图放置，点E在AC边上，且ED∥BC，∠C＝30°，∠F ＝∠DEF＝45°，则∠AEF＝度．3．（2020春•芜湖期末）已知点A（﹣4，0），B（2，0），点C在y轴上，且△ABC的面积等于12，则点C 的坐标为．4．（2019秋•东至县期末）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE是∠BAC平分线．若∠B＝38°，∠C＝70°，则∠DAE＝．5．（2019秋•当涂县期末）设三角形三边之长分别为2，9，5+a，则a的取值范围为．6．（2019秋•蜀山区期末）写出命题“如果mn＝1，那么m、n互为倒数”的逆命题：．7．（2019秋•蜀山区期末）如图，一个直角三角形纸片ABC，∠BAC＝90°，D是边BC上一点，沿线段AD 折叠，使点B落在点E处（E、B在直线AC的两侧），当∠EAC＝50°时，则∠CAD＝°．8．（2019秋•肥东县期末）如图，在△ABC中，BD，BE将∠ABC分成三个相等的角，CD，CE将∠ACB 分成三个相等的角．若∠A＝105°，则∠D等于度．9．（2019秋•潜山市期末）△ABC的两边长分别是2和5，且第三边为奇数，则第三边长为．10．（2019秋•当涂县期末）如图，若△ABC和△DEF的面积分别为S1、S2，则S1与S2的数量关系为．11．（2019秋•裕安区期末）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A（0，3）和点B（2，0）是坐标轴上两点，点C（m，n）（m≠n）为坐标轴上一点，若三角形ABC的面积为3，则C点坐标为．12．（2019秋•裕安区期末）如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，E为AD上一点，且EF⊥BC于点F，若∠C＝35°，∠DEF＝15°，则∠B的度数为．13．（2019秋•包河区期末）命题“两直线平行，同位角相等”的逆命题是命题．（填“真”或“假”）14．（2019秋•裕安区期末）若△ABC的三边的长AB＝5，BC＝2a+1，AC＝3a﹣1，则a的取值范围为．15．（2018秋•濉溪县期末）命题“如果∠A＝∠B，那么∠A的余角与∠B的余角相等”的条件是，结论是．16．（2018秋•义安区期末）△ABC的两条角平分线BP、CP相交于点P，若∠A＝80°，则∠BPC＝．17．（2018秋•砀山县期末）下列命题中，真命题为．①如果一个三角形的三边长分别为√5，3，√14，那么这个三角形是直角三角形②如果两个一次函数的图象平行，那么它们表达式中的k相同③三角形的一个外角等于两个内角的和18．（2018秋•长丰县期末）命题“如果|a|＝|b|，那么a2＝b2”的逆命题是，此命题是（选填“真“或“假”）命题．19．（2018秋•安庆期末）设三角形三边之长分别为3，7，1+a，则a的取值范围为．20．（2018秋•瑶海区期末）已知点A（4，0）、B（0，5），点C在x轴上，且△BOC的面积是△ABC的面积的3倍，那么点C的坐标为．21．（2017秋•蚌埠期末）如图，D是线段AC上一点，连BD，用不等号“＜”表示∠A，∠1的大小关系为．22．（2017秋•蜀山区期末）如图，在△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，若∠A＝70°，则∠BOC ＝．23．（2017秋•埇桥区期末）一个三角形的最大角不会小于度．24．（2017秋•颍上县期末）“对顶角相等”这个命题的逆命题是，它是一个命题（填“真”或“假”）．25．（2017秋•怀远县期末）请给假命题“两个锐角的和是钝角”举一个反例．26．（2017秋•瑶海区期末）命题“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”的逆命题，是命题．（填“真”或“假”）27．（2017秋•望江县期末）三角形三边长分别为3，1﹣2a，8，则a的取值范围是．28．（2017秋•埇桥区期末）把命题“任意两个直角都相等”改写成“如果…，那么…”的形式是．29．（2017秋•固镇县期末）命题“有两边相等的三角形是等腰三角形”它的题设是，结论是，它的逆命题是．30．（2017秋•临泉县期末）如图所示，△ABC中，BD，CD分别平分∠ABC和外角∠ACE，若∠D＝24°，则∠A＝度．2020-2021学年安徽省八年级上册数学（沪科版）期末考试复习：第13章《三角形中的边角关系、命题与证明》填空题精选参考答案与试题解析一．填空题（共30小题）1．【解答】解：如图，BC＝4+2＝6．所以S△ABC=12BC•x A=12×6×2=6．故答案是：2．2．【解答】解：∵ED∥BC，∠C＝30°∴∠DEC＝∠C＝30°，∵∠DEF＝45°，∴∠CEF＝∠DEF﹣∠DEC＝45°﹣30°＝15°．∴∠AEF＝180°﹣∠CEF＝165°，故答案为：165．3．【解答】解：如右图所示，设C点的坐标是（0，x），∵S△ABC＝12，∴12×AB×OC=12×6•|x|＝12，∴|x|＝4，故点C的坐标是（0，4）或（0，﹣4）．故答案为（0，4）或（0，﹣4）．4．【解答】解：∵∠B＝38°，∠C＝70°，∴∠BAC＝72°，∵AE是∠BAC平分线，∴∠BAE＝36°，∵AD是BC边上的高，∠B＝38°，∴∠BAD＝52°，∴∠DAE＝∠BAD﹣∠BAE＝16°，故答案为16°．5．【解答】解：由题意得9﹣2＜5+a＜9+2，解得2＜a＜6．故答案为：2＜a ＜6．6．【解答】解：命题“如果mn ＝1，那么m 、n 互为倒数”的逆命题是如果m 、n 互为倒数，那么mn ＝1， 故答案为：如果m 、n 互为倒数，那么mn ＝1．7．【解答】解：设∠CAD ＝x ．∵∠DAE ＝∠DAB ，∴50°+x ＝90°﹣x ，解得x ＝20°，∴∠CAD ＝20°，故答案为20．8．【解答】解：∵∠A ＝105°，∴∠ABC +∠ACB ＝180°﹣105°＝75°，∵BD ，BE 将∠ABC 分成三个相等的角，CD ，CE 将∠ACB 分成三个相等的角，∴∠DBC +∠DCB =23×75°＝50°， ∴∠D ＝180°﹣（∠DBC +∠DCB ）＝130°，故答案为130．9．【解答】解：∵5﹣2＝3，5+2＝7，∴3＜第三边＜7，∵第三边为奇数，∴第三边长为5．故选：5．10．【解答】解：过A 点作AG ⊥BC 于G ，过D 点作DH ⊥EF 于H ．在Rt △ABG 中，AG ＝AB •sin40°＝5sin40°，∠DEH ＝180°﹣140°＝40°，在Rt △DHE 中，DH ＝DE •sin40°＝8sin40°，S 1＝8×5sin40°÷2＝20sin40°，S 2＝5×8sin40°÷2＝20sin40°．则S 1＝S 2．故答案为：S 1＝S 2．11．【解答】解：∵点C （m ，n ）（m ≠n ）为坐标轴上一点，∴S △ABC =12×3×|m ﹣2|＝3或S △ABC =12×2×|n ﹣3|＝3，解得：m ＝4或0，n ＝6或0，∴C 点坐标为（4，0）或（0，6），故答案为：（4，0）或（0，6）．12．【解答】解：∵EF ⊥BC ，∠DEF ＝15°，∴∠ADB ＝90°﹣15°＝75°．∵∠C ＝35°，∴∠CAD ＝75°﹣35°＝40°．∵AD 是∠BAC 的平分线，∴∠BAC ＝2∠CAD ＝80°，∴∠B ＝180°﹣∠BAC ﹣∠C ＝180°﹣80°﹣35°＝65°．故答案为：65°．13．【解答】解：∵原命题的条件为：两直线平行，结论为：同位角相等．∴其逆命题为：同位角相等，两直线平行，正确，为真命题，故答案为：真．14．【解答】解：∵△ABC 的三边的长AB ＝5，BC ＝2a +1，AC ＝3a ﹣1，∴①{(3a −1)+(2a +1)＞5(3a −1)−(2a +1)＜5， 解得1＜a ＜7；②{(3a −1)+(2a +1)＞5(2a +1)−(3a −1)＜5， 解得a ＞1，则2a +1＜3a ﹣1．∴1＜a ＜7．故答案为：1＜a ＜7．15．【解答】解：命题“如果∠A ＝∠B ，那么∠A 的余角与∠B 的余角相等”的条件是∠A ＝∠B ，结论是∠A 的余角与∠B 的余角相等，故答案为：∠A ＝∠B ；∠A 的余角与∠B 的余角相等．16．【解答】解：如图，∵BP 、CP 分别是△ABC 的角平分线∴∠ABP ＝∠CBP ，∠ACP ＝∠PCB ；∵∠A +∠ABC +∠ACB ＝180°，∴∠A +2∠CBP +2∠PCB ＝180°；∵∠A ＝80°，∴∠CBP +∠PCB ＝50°；在△BPC 中，又∵∠BPC +∠CBP +∠PCB ＝180°，∴∠BPC ＝130°．17．【解答】解：①如果一个三角形的三边长分别为√5，3，√14，∵（√5）2+32＝（√14）2，∴这个三角形是直角三角形，是真命题，符合题意；②如果两个一次函数的图象平行，那么它们表达式中的k 相同，是真命题；③三角形的一个外角等于两个不相邻内角的和，故原说法错误．故答案为：①②．18．【解答】解：根据题意得：命题“如果|a |＝|b |，那么a 2＝b 2”的条件是如果|a |＝|b |，结论是a 2＝b 2”，故逆命题是如果a 2＝b 2，那么|a |＝|b |，该命题是真命题．故答案为：如果a 2＝b 2，那么|a |＝|b |；真．19．【解答】解：由题意，得{a +1＞7−3a +1＜7+3， 解得：3＜a ＜9，故答案为：3＜a ＜9．20．【解答】解：∵点A（4，0）、B（0，5），∴OA＝4，OB＝5，设OC＝a（a≥0），有三种情况：①当C在x轴的负半轴上时，∵△BOC的面积是△ABC的面积的3倍，∴12×a×5=3×12×（4+a）×5，解得：a＝﹣6，不符合a≥0，舍去；②当C在x轴的正半轴上，且在点A的右边时，∵△BOC的面积是△ABC的面积的3倍，∴12×a×5=3×12×（a﹣4）×5，解得：a＝6，此时点C的坐标是（6，0），③当C点在O、A之间时，∵△BOC的面积是△ABC的面积的3倍，∴12×a×5=3×12×（4﹣a）×5，解得：a＝3，此时点C的坐标是（3，0），所以点C的坐标为（3，0）或（6，0），故答案为：（3，0）或（6，0）．21．【解答】解：∵∠1是△ABD的一个外角，∴∠A＜∠1，故答案为：∠A＜∠1．22．【解答】解：∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，∴∠ABO＝∠CBO，∠BCO＝∠ACO，∴∠OBC+∠OCB=12（∠ABC+∠ACB）=12（180°﹣∠A）=12（180°﹣70°）＝55°，∴在△BOC中，∠BOC＝180°﹣55°＝125°．故答案为：125°．23．【解答】解：由分析可知：如果三角形的最大角小于60°，那么此三角形的内角和小于180度，与三角形的内角和是180度矛盾．所以三角形的最大角不小于60度；故答案为：60．24．【解答】解：“对顶角相等”的条件是：两个角是对顶角，结论是：这两个角相等，∴逆命题是：相等的角是对顶角，它是假命题，故答案为：相等的角是对顶角，假25．【解答】解：例如α＝30°，β＝40°，α+β＜90°，故答案为：α＝30°，β＝40°，α+β＝70°＜90°，26．【解答】解：命题“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”的逆命题是平行四边形的两组对边分别平行；该命题是真命题．故答案为：平行四边形的两组对边分别平行，真．27．【解答】解：∵三角形三边长分别为3，1﹣2a，8，∴8﹣3＜1﹣2a＜8+3，解得﹣5＜a＜﹣2．故答案为：﹣5＜a＜﹣2．28．【解答】解：把命题“任意两个直角都相等”改写成“如果…，那么…”的形式是：如果两个角都是直角，那么这两个角相等，故答案为：如果两个角都是直角，那么这两个角相等．29．【解答】解：命题“有两边相等的三角形是等腰三角形”它的条件是“有两边相等的三角形”，结论是“这个三角形是等腰三角形”，故题设是有两边相等的三角形，结论是“这个三角形是等腰三角形”，它的逆命题是“等腰三角形的两腰相等”．30．【解答】解：∵∠A＝∠ACE﹣∠ABC＝2∠DCE﹣2∠DBC＝2（∠DCE﹣∠DBC），∠D＝∠DCE﹣∠DBC，∴∠A＝2∠D＝48°．。
完整版沪科版八年级上册数学第13章 三角形中的边角关系、命题与证明含答案
沪科版八年级上册数学第13章三角形中的边角关系、命题与证明含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、△ABC的内角和为( )A.180°B.360°C.540°D.720°2、在△ABC中，，则△ABC是（）A.等腰直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.直角三角形3、方程x2﹣9x+18=0的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长为（）A.12B.12或15C.15D.不能确定4、如图，△ABC中，∠ACB=90°，沿CD折叠△CBD，使点B恰好落在AC边上的点层处.若∠A=22°，则∠BDC等于( )A.44°B.60°C.67°D.77°5、若三角形三个内角度数的比为1：2：3，则这个三角形的最小角是（）A.30°B.45°C.60°D.90°6、在下列条件中：①∠A+∠B=∠C，②∠A：∠B：∠C=1：2：3，③∠A=2∠B=3∠C，④中，能确定△ABC是直角三角形的条件有（）A.1个B.2个C.3个D.4个7、下列命题是假命题的是（）A.线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等B.三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和C.有一个外角是120°的等腰三角形是等边三角形D.有两边和一角对应相等的两个三角形全等8、如图，在等腰△ABC中，∠BAC=120º，DE是AC 的垂直平分线，线段DE=1cm，则BD的长为( )A.6cmB.8cmC.3cmD.4cm9、下列命题中是真命题的是（）A.同位角相等B.邻补角一定互补C.相等的角是对顶角D.有且只有一条直线与已知直线垂直10、在△ABC中，∠A是钝角，下列图中画BC边上的高线正确的是( )A. B. C.D.11、若等腰三角形的两边长分别是3和10，则它的周长是（）A.16B.23C.16或23D.1312、如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=55°，将其折叠，使点A落在边CB 上A′处，折痕为CD，则∠A′DB=（）A.40°B.30°C.20°D.10°13、下列条件中，不能判定为直角三角形的是（）A. B.C. D. ，，14、如图，在△ABC中，CD是∠ACB的平分线，∠A = 80°，∠ACB = 60°，那么∠BDC =（）A.80°B.90°C.100°D.110°15、如图，在等腰中，，，点在边上，且，点在线段上，满足，若，则是多少？（）A.9B.12C.15D.18二、填空题(共10题，共计30分)16、已知三角形的两边分别为a=2，b=5，则第三边c的取值范围为________．17、如图，CD是⊙O的直径，∠EOD＝84°，AE交⊙O于点B，且AB＝OC，则∠A的度数是________.18、已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为50°，则等腰三角形的顶角度数为________．19、等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是40°，则该等腰三角形顶角为________°．20、如图，中，，，BD平分交AC于点D，那么的度数是________．21、在等腰中，，，则∠A=________22、如图，直线与，轴分别交于A，B两点，C是以D(2，0)为圆心，为半径的圆上一动点，连接AC，BC，则△ABC的面积的最大值是________．23、已知等腰三角形的两边长是和，则它的周长是________.24、如图，是的高，是的平分线，，则的度数是________．25、已知三角形三个内角的度数之比为2：2：5，则其最大内角的度数是________．三、解答题(共5题，共计25分)26、如图，∠A=65°，∠ABD=30°，∠ACB=72°，且CE平分∠ACB，求∠BEC 的度数．27、如图，AD平分∠BAC，其中∠B＝35°，∠ADC＝82°，求∠BAC，∠C的度数．28、已知等腰三角形底边长为8，腰长是方程的一个根，求这个等腰三角形的腰长。
沪科版八年级上册三角形中的边角关系、命题和证明期末复习(含答案)
期末复习三角形中的边角关系、命题与证明类型一三角形的有关概念1.已知AD,AE分别是△ABC的中线和角平分线,则下列结论中错误的是()A.BD=1BCB.BC=2CD∠BAC D.∠BAC=2∠CADC.∠BAE=122.如图QM3-1所示:图QM3-1(1)在△ABC中,BC边上的高是;(2)在△AEC中,AE边上的高是.3.如图QM3-2,回答下列问题:(1)图中有几个三角形?试写出这些三角形;(2)∠1是哪个三角形的内角?(3)以CE为一条边的三角形有几个?是哪几个?图QM3-2类型二三角形中三边关系的应用4.小明和小丽是同班同学,小明的家距学校2千米远,小丽的家距学校5千米远,设小明家距小丽家x千米远,则x的值应满足()A.x=3B.x=3或x=7C.3<x<7D.3≤x≤75.已知三角形两边的长分别是4和10,则此三角形第三边的长可能是()A.5B.6C.12D.166.△ABC的边长均为整数,且最大边的长为7,那么这样的三角形共有个.7.已知三角形两边的长为4,8,则第三边的长可以是(写出一个即可).类型三三角形内角和定理及其推论的应用8.[2017·大庆]在△ABC中,∠A,∠B,∠C的度数之比为2 3 4,则∠B的度数为()A.120°B.80°C.60°D.40°9.将一副三角尺如图QM3-3放置,已知AE∥BC,则∠AFD的度数是()图QM3-3A.45°B.50°C.60°D.75°10.如图QM3-4,在△ABC中,∠ACB=∠ABC,∠A=40°,P是△ABC内一点,且∠1=∠2,求∠BPC 的度数.图QM3-4类型四命题与证明11.请写出一个原命题是真命题,逆命题是假命题的命题:.12.请举反例说明“对于任意实数x,x2+5x+4的值总是正数”是假命题,你举的反例是x= (写出一个x的值即可).13.对于同一平面内的三条直线a,b,c,给出下列5个论断:①a∥b;②b∥c;③a⊥b;④a∥c;⑤a⊥c.请以其中两个论断为条件,一个论断为结论,组成一个你认为正确的命题.14.如图QM3-5,在四边形ABCD中,∠B=∠D=90°,AE平分∠BAD,若AE∥CF,∠BCF=60°.请你求出∠DCF的度数,并说明你的理由.图QM3-5类型一分类讨论思想的应用15.已知等腰三角形两边的长分别为5和6,则这个等腰三角形的周长为.16.△ABC中,AB∶AC=3∶2,BC=AC+1,若△ABC的中线BD把△ABC的周长分成8∶7两部分,求边AB,AC的长.17.现在要设计一种三角形有两种方案:①三角形三边长分别为2x,3x,10,其中x为正整数,且周长不超过30;②有两边长分别是7分米,3分米,第三边长y为奇数(单位:分米).分别讨论满足条件的三角形各有几个.类型二解三角形问题常用辅助线18.如图QM3-6所示,已知a∥b,∠2=95°,∠3=150°,求∠1的度数.图QM3-619.如图QM3-7,若AB∥CD,求证:∠E+∠BAE-∠CDE=180°.图QM3-720.如图QM3-8,AD,BC相交于点E,∠1=∠2,∠3=∠4,∠C=32°,∠D=28°,求∠APB的度数.图QM3-8类型三创新问题展示21.在研究三角形内角和等于180°的证明方法时,小明和小虎分别给出了下列证法.小明:在△ABC中,延长BC到点D,∴∠ACD=∠A+∠B(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和).又∵∠ACD+∠ACB=180°(平角的定义),∴∠A+∠B+∠ACB=180°(等式的性质).小虎:在△ABC中,过点C作CD⊥AB于点D(如图QM3-9),∴∠ADC=∠BDC=90°(直角的定义),则∠A+∠ACD=90°,∠B+∠BCD=90°(直角三角形的两锐角互余),∴∠A+∠ACD+∠B+∠BCD=180°(等式的性质),即∠A+∠B+∠ACB=180°.请你判断上述两名同学的证法是否正确,如果不正确,写出一种你认为较简单的证明三角形内角和定理的方法,并与同伴交流.图QM3-922.已知:如图QM3-10①,在△ABC 中,∠ABC ,∠ACB 的平分线相交于点O ,则∠BOC=90°+12∠A=12×180°+12∠A.请说明理由;如图QM3-10②,在△ABC 中,∠ABC ,∠ACB 的两条三等分线分别对应交于点O 1,O 2,则∠BO 1C=23×180°+13∠A ,∠BO 2C=13×180°+23∠A.请说明理由;根据以上阅读理解,猜想n 等分时[内部有(n-1)个交点],用含n 的代数式表示∠BO n-1C= (直接写出结果,不需说明理由).图QM3-10期末复习1.D2.(1)AB(2)CD3.解:(1)图中共有8个三角形,分别是△ABC,△ABE,△ACD,△BCD,△BCE,△BCO,△BDO,△CEO.(2)∠1是△BCD和△BDO的内角.(3)以CE为一条边的三角形有2个,分别是△BCE和△CEO.4.D5.C6.167.答案不唯一,如5,6等8.C9.D10.解:∵∠A=40°,∠ACB=∠ABC,∴∠ACB=∠ABC=70°.又∵∠1=∠2,∴∠BCP=∠ABP.∴∠2+∠BCP=∠2+∠ABP=∠ABC=70°,∴∠BPC=180°-(∠2+∠BCP)=110°.11.答案不唯一,如“对顶角相等”12.-3(答案不唯一)13.解:可能组成的正确命题有如下几种结果(前两个作为条件,后一个作为结论):①②④;②④①;①④②;②⑤③;③⑤②;②③⑤.14.解:∠DCF=60°.理由如下:如图,∵∠B=90°,∠BCF=60°,∴∠1=30°.∵AE∥CF,∴∠2=∠1=30°.∵AE平分∠BAD,∴∠3=∠2=30°.又∵∠D=90°,∴∠4=60°.∵AE∥CF,∴∠DCF=∠4=60°.15.16或1716.解:设AB=3x,AC=2x,则BC=2x+1,由题意得①3x+x=(3x+2x+2x+1)×815,解得x=2,则AB=6,AC=4;②3x+x=(3x+2x+2x+1)×715,解得x=711,则AB=2111,AC=1411.答:边AB的长为6,边AC的长为4;或者边AB的长为2111,边AC的长为1411.17.解:①2x+3x+10≤30,解得x≤4,即x可取1,2,3,4.当x等于1时,三边长分别为2,3,10,构不成三角形;当x等于2时,三边长分别为4,6,10,构不成三角形;当x等于3时,三边长分别为6,9,10;当x等于4时,三边长分别为8,12,10.故满足条件的三角形共有2个.②三角形的第三边长y满足:7-3<y<3+7,即4<y<10.因为第三边长为奇数,因而第三边长可以为5,7或9.故满足条件的三角形共有3个.18.解:解法一:如图①,∠ABC=180°-∠2=85°.∵a∥b,∴∠CAB=180°-∠3=30°.∵∠1是△ABC的外角,∴∠1=∠CAB+∠ABC=115°;解法二:如图②,过∠2的顶点A作射线AB∥a,那么AB∥b,则∠CAB=180°-150°=30°,∴∠DAB=∠2-∠CAB=95°-30°=65°,∴∠1=180°-∠DAB=115°;解法三:如图③,连接AC,∵a∥b,∴∠DAC+∠ECA=180°.而∠DAC=∠1-∠BAC,∠ECA=∠3-∠ACB,∴(∠1-∠BAC)+(∠3-∠ACB)=180°,即∠1+∠3-(∠BAC+∠ACB)=180°.在△ABC中,∠BAC+∠ACB+∠2=180°,即∠BAC+∠ACB=180°-∠2,∴∠1+∠3-(180°-∠2)=180°,从而∠1=360°-∠2-∠3=360°-95°-150°=115°.19.证明:如图,连接AD.∵AB∥CD,∴∠BAD=∠CDA(两直线平行,内错角相等).又∵∠ADE+∠DAE+∠E=180°(三角形内角和定理),∴∠ADE+∠DAE+∠E+∠BAD=180°+∠CDA,∴∠ADE+∠DAE+∠E+∠BAD=180°+∠ADE+∠CDE,∴∠E+∠BAE=180°+∠CDE,∴∠E+∠BAE-∠CDE=180°.20.解:由三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和,得∠AEB=∠CAE+∠C=∠DBC+∠D,从而2∠AEB=∠1+∠2+∠3+∠4+∠C+∠D,即∠AEB=∠2+∠3+1(∠C+∠D).连接PE并延长至2点F,易知∠AEF=∠2+∠APF,∠BEF=∠3+∠BPF,∴∠AEB=∠2+∠3+∠APB,∴∠APB=12(∠C+∠D )=30°. 21.解:两名同学的证法都不对.因为“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”与“直角三角形的两锐角互余”都是由三角形内角和定理推导的. 证明:如图,在△ABC 中,过点A 作EF ∥BC ,∴∠EAB=∠B ,∠FAC=∠C (两直线平行,内错角相等). ∵∠EAB+∠BAC+∠FAC=180°(平角的定义), ∴∠B+∠BAC+∠C=180°.22.解:在题图①中,∵∠OBC=12∠ABC ,∠OCB=12∠ACB , ∴∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB=180°-12(∠ABC+∠ACB )=180°-12(180°-∠A )=90°+12∠A=12×180°+12∠A. 在题图②中,∵∠O 1BC=13∠ABC ,∠O 1CB=13∠ACB , ∴∠BO 1C=180°-∠O 1BC-∠O 1CB=180°-13(∠ABC+∠ACB )=180°-13(180°-∠A )=120°+13∠A=23×180°+13∠A. 同理, ∵∠O 2BC=23∠ABC ,∠O 2CB=23∠ACB , ∴∠BO 2C=180°-∠O 2BC-∠O 2CB=180°-23(∠ABC+∠ACB )=180°-23(180°-∠A )=60°+23∠A=13×180°+23∠A. 通过前两个结果的证明,从而猜想:∠BO n-1C=1n ×180°+n -1n ∠A.。
三角形中边角关系,命题与证明专项复习(附带知识点练习)
第十三章:三角形中的边角关系,命题与证明第一节:三角形三边关系知识点:1、三角形定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾依次相接所组成的封闭图形叫做三角形；组成三角形的线段叫做三角形的边；相邻两边的公共断点叫做顶点；相邻两边组成的角叫做三角形的内角。
如图三角形可记做，读作“三角形ABC”2、角形的分类:,有两条边相等的三角形叫做等腰三角形,的三角形叫做等边三角形又叫做正三角形.边,两腰的夹角叫做顶角,腰与底边的夹角叫做低角.3、三角形角的关系:三个角都是锐角的三角形叫做锐角三角形,有一个角是直角的三角形叫做直角三角形,有一个角是钝角的三角形叫做钝角三角形考点:(一)、会用符号表示三角形,了解什么是三角形的边、角、顶点,并且能用符号来表示;(二)、了解等腰三角形的腰,顶角,低角的概;(三)、运用两边之和大于第三边,两边之差小于第三边求范围和判断是否能围成三角形;(四)、运用三角形的内角和和直角三角形求角的度数例题:3、已知一个等腰三角形的一边长是5，一边长是12，求这个三角形的周长4、已知三角形的三边长分别是a、b、c，化简│a+b-c│-│b-a-c│的结果为————5、已知等腰∆ABC的周长为10，若设腰长为x，则x的取值范围————6、三角形中最大角α的范围是——————，最小角β的范围是——————7、在下列空白出，分别填上“锐角”、“直角”、“钝角”（一）∆ABC中，∠A=∠B+∠C，则∆ABC是——————三角形（二）∆ABC中，∠A+∠B=20°，则∆ABC是——————三角形（三）∆ABC中，∠A=40°，∠B=∠C，则∆ABC是——————三角形8、在∆ABC中，∠A是∠B的2倍，∠C比∠A与∠B的和还要大30°，求∆ABC各角的度数。
9、四条线段的长度分别为4、6、8、10，可以组成三角形的组数为（）A.4B.3C.2D.1第二课时：三角形的角平分线、中线、高知识点：（一）、三角形中，一个角的平分线与这个角对边相交，顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线（二）、三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段叫做三角形的中线三角形的任意一条中线把三角形分成面积相等的两个三角形（三）、从三角形的一个顶点到它对边所在直线的垂线段叫做三角形的高线，也叫三角形的高。
沪科版八年级上册数学第13章 三角形中的边角关系、命题与证明含答案
沪科版八年级上册数学第13章三角形中的边角关系、命题与证明含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、如图，直线l1∥l2，∠1=40°，∠2=75°，则∠3等于（）A.55°B.60°C.65°D.70°2、小华在电话中问小明：“已知一个三角形三边长分别是4，9，12，如何求这个三角形的面积？”小明提示说：“可通过作最长边上的高来求解．”小华根据小明的提示作出的图形正确的是（）A. B. C.D.3、如图，将一张四边形纸片沿直线剪开，如果剪开后的两个图形的内角和相等，下列四种剪法中，符合要求的是（）A.①②B.①③C.②④D.③④4、将一盛有不足半杯水的圆柱形玻璃水杯拧紧杯盖后放倒，水平放置在桌面上，水杯的底面如图所示，已知水杯内径(图中小圆的直径)是8 cm，水的最大深度是2 cm，则杯底有水部分的面积是( )A.( )cm 2B.( )cm 2C.( )cm2 D.( )cm 25、有长为2cm、3cm、4cm、6cm的四根木棒，选其中的3根作为三角形的边，可以围成的三角形的个数是A.1个B.2个C.3个D.4个6、如图，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，BD平分∠ABC，若△ABD的周长比△BCD的周长多1厘米，则BD的长是（）.A.0.5厘米B.1厘米C.1.5厘米D.2厘米7、下列各组图形中，AD是的高的图形是( )A. B. C. D.8、下列各组线段中，能组成三角形的是（）A.2，4，6B.2，3，6C.2，5，6D.2，2，69、如图，过y轴上任意一点P，作x轴的平行线，分别与反比例函数和的图象交于A点和B点，若C为x轴上任意一点，连接AC，BC，则△ABC的面积为（）A.3B.4C.5D.610、一个多边形的每一个内角都等于，则这个多边形的内角和是（）A. B. C. D.11、等腰三角形一边等于4，另一边等于8，则其周长是（）A.16B.20C.16或20D.不能确定12、下列各组线段的长为边，能组成三角形的是( )A.3，6，10B.3，3，6C.7，8，9D.8，4，413、如图在中，平分，平分的外角，连接，若，则的度数是（）A.30°B.40°C.50°D.60°14、现有四根木棒，长度分别为4，6，8，10，从中任取三根木棒，能组成三角形的个数为（）A.1个B.2个C.3个D.4个15、如图，将三角尺的直角顶点放在直线a上，a//b，∠1＝50°，∠2＝60°，则∠3的度数为( )A.50°B.60°C.70°D.80°二、填空题(共10题，共计30分)16、如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在点处，折痕为EF，若∠ABE=20°，那么∠DEF的度数为________.17、．A、B、C、D四人的年龄各不相同，他们各说了一句话：A说：B比D大； B说：A比C小 C说：我比D小；D说：C比B小．已知这四句话只有一句是真话，且说真话的人的年龄最大，这人是谁________18、若要与长为4、7的两根木条组成三角形，那么第三条木棍x取值范围应为________。
《第13章三角形中的边角关系、命题与证明》单元测试题含答案
第13章三角形中的边角关系、命题与证明一、选择题1.有下列三个命题：（1）两点之间线段最短（2）平面内，过一点能且只能作一条直线与已知直线垂直（3）过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行其中真命题的个数是（）A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个【答案】D2.一个三角形至少有（）A. 一个锐角B. 两个锐角C. 一个钝角D. 一个直角【答案】B3.如图为一张方格纸，纸上有一灰色三角形，其顶点均位于某两网格线的交点上，若灰色三角形面积为平方厘米，则此方格纸的面积为（）A. 11平方厘米B. 12平方厘米C. 13平方厘米D. 14平方厘米【答案】B4.若三条线段中a=3，b=5，为奇数，那么由a、b、c为边组成的三角形共有（）A. 个B. 个C. 无数多个D. 无法确定【答案】B5.三角形三条高的交点在一边上，则这个三角形是（）A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 以上都有可能【答案】B6.某轮船往返于A、B两地之间，设船在静水中的速度不变，那么，当水的流速增大时，轮船往返一次所用的时间（）A. 不变B. 增加C. 减少D. 增加，减少都有可能【答案】B7.如图，在△ABC中，∠B=30°，∠C=70°，AD是△ABC的一条角平分线，则∠CAD的度数为（）A. 40°B. 45°C. 50°D. 55°【答案】A8.已知△ABC中，∠A与∠C的度数比为5:7，且∠B比∠A大10°，那么∠B为( )A. 40°B. 50°C. 60°D. 70°【答案】C9.某校九年级四个班的代表队准备举行篮球友谊赛．甲、乙、丙三位同学预测比赛的结果如下：甲说：“902班得冠军，904班得第三”；乙说：“901班得第四，903班得亚军”；丙说：“903班得第三，904班得冠军”．赛后得知，三人都只猜对了一半，则得冠军的是（）A. 901班B. 902班C. 903班D. 904班【答案】B10.下列命题：①两点确定一条直线；②两点之间，线段最短；③对顶角相等；④内错角相等；其中真命题的个数是（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】C11.下列说法正确的有（）①不相交的两条直线是平行线；②经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行；③两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补；④在同一平面内，若直线a⊥b，b⊥c，则直线a与c不相交．A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】B12.如图，△ABC中，∠ACB=90°，沿CD折叠△CBD，使点B恰好落在AC边上的点E处．若∠A=24°，则∠BDC等于（）A. 42°B. 66°C. 69°D. 77°【答案】C二、填空题13.命题：“三边分别相等的两个三角形全等”的逆命题________【答案】如果两个三角形全等，那么对应的三边相等14.等腰三角形的一个角是100°，其底角是________ °【答案】 40°、40°15.“等角的补角相等”的条件是________ ，结论是________ ．【答案】如果两个角都是某一个角的补角；那么这两个角相等16.如图,小林已经画出了一个三角形的两条角平分线,他说:“我不用再将第三个角平分,就能画出第三条角平分线.”他说的有道理吗?他会怎样做?答:________.他这样做的理由是什么?答:________.【答案】有道理；连接CO,并延长交AB于点F,则CF即为∠ACB的平分线;三角形的三条角平分线交于一点17.如果甲的身高数或体重数至少有一项比乙大，则称甲不亚于乙，在200个小伙子中，如果某人不亚于其他199人，就称他为棒小伙子，那么，200个小伙子中的棒小伙子最多可能有 ________【答案】200个18.请写出“等腰三角形的两底角相等”的逆命题： ________【答案】两个角相等三角形是等腰三角形19.如图，AD为△ABC中线，点G为重心，若AD=6，则AG=________ ．【答案】420.命题“如果两个实数相等，那么它们的平方相等”的逆命题是________ ，成立吗________ ．【答案】如果两个实数平方相等，那么这两个实数相等；不成立21.已知三角形的两边长是方程x 2－5x＋6=0的两个根，则该三角形的周长的取值范围是________．【答案】6＜＜1022.A、B、C、D、E、F六足球队进行单循环比赛，当比赛到某一天时，统计出A、B、C、D、E、五队已分别比赛了5、4、3、2、1场球，则还没与B队比赛的球队是 ________【答案】E三、解答题23.请写出命题“等角的余角相等”的条件和结论；这个命题是真命题吗？如果是，请你证明；如果不是，请给出反例．【答案】解：条件：两个角分别是两个相等角的余角；结论：这两个角相等这个命题是真命题，已知：∠1=∠2，∠3是∠1的余角．∠4是∠2的余角求证：∠3=∠4，证明：∵∠3是∠1的余角．∠4是的余角∴∠3=90°﹣∠1，∠4=90°﹣∠2，又∠1=∠2∴∠3=∠4．24.已知：△ABC中，AB＝AC，BD是AC边上的中线，如果D点把三角形ABC的周长分为12cm和15cm两部分，求此三角形各边的长．【答案】解答：∵AB＝AC，BD是AC边上的中线，∴AB=2AD=2CD，∴AB+AD=3AD.①当AB与AD的和是12厘米时，AD=12÷3=4（厘米），所以AB=AC=2×4=8（厘米），BC=12+15-8×2=12+15-16=11（厘米）；②当AB与AD的和是15厘米时，AD=15÷3=5（厘米），所以AB=AC=2×5=10（厘米），BC=12+15-10×2=12+15-20=7（厘米）.25.证明三角形的内角和定理：已知△ABC（如图），求证：∠A+∠B+∠C=180°【答案】证明：过点A作EF∥BC，∵EF∥BC，∴∠1=∠B，∠2=∠C，∵∠1+∠2+∠BAC=180°，∴∠BAC+∠B+∠C=180°．即三角形内角和等于180°．26.如图，已知点O是△ABC的两条角平分线的交点，（1）若∠A=30°，则∠BOC的大小是________；（2）若∠A=60°，则∠BOC的大小是________；（3）若∠A=n°，则∠BOC的大小是多少？试用学过的知识说明理由．【答案】（1）105°（2）120°（3）解：∵如图，在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，在△BOC中，∠BOC+∠OBC+∠OCB=180°，∵BO，CO分别是∠ABC和∠ACB的平分线，∴∠ABC=2∠OBC，∠ACB=2∠OCB，∴∠BOC+ ∠ABC+ ∠ACB=180°，又∵在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∴∠BOC= ∠A+90°=105°；∴若∠A=n°，∠BOC= n°+90°；27.已知△ABC中，∠ABC=∠ACB，D为线段CB上一点（不与C，B重合），点E为射线CA上一点，∠ADE=∠AED，设∠BAD=α，∠CDE=β．（1）如图（1），①若∠BAC=42°，∠DAE=30°，则α=________，β=________．②若∠BAC=54°，∠DAE=36°，则α=________，β=________．③写出α与β的数量关系，并说明理由；（2）如图（2），当E点在CA的延长线上时，其它条件不变，请直接写出α与β的数量关系．【答案】（1）12°；6°；18°；9°（2）解：α=2β﹣180°，理由是：如图（2），设∠E=x°，则∠DAC=2x°，∴∠BAC=∠BAD+∠DAC=α+2x°，∴∠B=∠ACB= ，∵∠ADC=∠B+∠BAD，∴β﹣x°= +α，∴α=2β﹣180°．。
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期末复习三角形中的边角关系、命题与证明类型一 三角形的有关概念1.已知AD ,AE 分别是△ABC 的中线和角平分线,则下列结论中错误的是( )A .BD=BCB .BC=2CD 12C .∠BAE=∠BACD .∠BAC=2∠CAD122.如图QM3-1所示:图QM3-1(1)在△ABC 中,BC 边上的高是 ;(2)在△AEC 中,AE 边上的高是 .3.如图QM3-2,回答下列问题:(1)图中有几个三角形?试写出这些三角形;(2)∠1是哪个三角形的内角?(3)以CE 为一条边的三角形有几个?是哪几个?图QM3-2类型二 三角形中三边关系的应用4.小明和小丽是同班同学,小明的家距学校2千米远,小丽的家距学校5千米远,设小明家距小丽家x 千米远,则x 的值应满足( )A .x=3B .x=3或x=7C .3<x<7D .3≤x ≤75.已知三角形两边的长分别是4和10,则此三角形第三边的长可能是( )A .5B .6C .12D .166.△ABC 的边长均为整数,且最大边的长为7,那么这样的三角形共有 个. 7.已知三角形两边的长为4,8,则第三边的长可以是 (写出一个即可). 类型三 三角形内角和定理及其推论的应用8.[2017·大庆]在△ABC中,∠A,∠B,∠C的度数之比为234,则∠B的度数为( )A.120°B.80°C.60°D.40°9.将一副三角尺如图QM3-3放置,已知AE∥BC,则∠AFD的度数是( )图QM3-3A.45°B.50°C.60°D.75°10.如图QM3-4,在△ABC中,∠ACB=∠ABC,∠A=40°,P是△ABC内一点,且∠1=∠2,求∠BPC的度数.图QM3-4类型四 命题与证明11.请写出一个原命题是真命题,逆命题是假命题的命题: .12.请举反例说明“对于任意实数x,x2+5x+4的值总是正数”是假命题,你举的反例是x= (写出一个x的值即可).13.对于同一平面内的三条直线a,b,c,给出下列5个论断:①a∥b;②b∥c;③a⊥b;④a∥c;⑤a⊥c.请以其中两个论断为条件,一个论断为结论,组成一个你认为正确的命题.14.如图QM3-5,在四边形ABCD中,∠B=∠D=90°,AE平分∠BAD,若AE∥CF,∠BCF=60°.请你求出∠DCF的度数,并说明你的理由. 图QM3-5类型一 分类讨论思想的应用15.已知等腰三角形两边的长分别为5和6,则这个等腰三角形的周长为 .16.△ABC中,AB∶AC=3∶2,BC=AC+1,若△ABC的中线BD把△ABC的周长分成8∶7两部分,求边AB,AC的长.17.现在要设计一种三角形有两种方案:①三角形三边长分别为2x,3x,10,其中x为正整数,且周长不超过30;②有两边长分别是7分米,3分米,第三边长y为奇数(单位:分米).分别讨论满足条件的三角形各有几个.类型二 解三角形问题常用辅助线18.如图QM3-6所示,已知a∥b,∠2=95°,∠3=150°,求∠1的度数.图QM3-619.如图QM3-7,若AB∥CD,求证:∠E+∠BAE-∠CDE=180°.图QM3-720.如图QM3-8,AD,BC相交于点E,∠1=∠2,∠3=∠4,∠C=32°,∠D=28°,求∠APB 的度数.图QM3-8类型三 创新问题展示21.在研究三角形内角和等于180°的证明方法时,小明和小虎分别给出了下列证法.小明:在△ABC中,延长BC到点D,∴∠ACD=∠A+∠B(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和).又∵∠ACD+∠ACB=180°(平角的定义),∴∠A+∠B+∠ACB=180°(等式的性质).小虎:在△ABC中,过点C作CD⊥AB于点D(如图QM3-9),∴∠ADC=∠BDC=90°(直角的定义),则∠A+∠ACD=90°,∠B+∠BCD=90°(直角三角形的两锐角互余),∴∠A+∠ACD+∠B+∠BCD=180°(等式的性质),即∠A+∠B+∠ACB=180°.请你判断上述两名同学的证法是否正确,如果不正确,写出一种你认为较简单的证明三角形内角和定理的方法,并与同伴交流.图QM3-922.已知:如图QM3-10①,在△ABC 中,∠ABC ,∠ACB 的平分线相交于点O ,则∠BOC=90°+∠A=×180°+∠A.请说明理由;121212如图QM3-10②,在△ABC 中,∠ABC ,∠ACB 的两条三等分线分别对应交于点O 1,O 2,则∠BO 1C=×180°+∠A ,∠BO 2C=×180°+∠A.请说明理由;23131323根据以上阅读理解,猜想n 等分时[内部有(n-1)个交点],用含n 的代数式表示∠BO n-1C= (直接写出结果,不需说明理由).图QM3-10期末复习1.D2.(1)AB (2)CD3.解:(1)图中共有8个三角形,分别是△ABC ,△ABE ,△ACD ,△BCD ,△BCE ,△BCO ,△BDO ,△CEO.(2)∠1是△BCD 和△BDO 的内角.(3)以CE 为一条边的三角形有2个,分别是△BCE 和△CEO.4.D5.C6.167.答案不唯一,如5,6等8.C9.D10.解:∵∠A=40°,∠ACB=∠ABC ,∴∠ACB=∠ABC=70°.又∵∠1=∠2,∴∠BCP=∠ABP.∴∠2+∠BCP=∠2+∠ABP=∠ABC=70°,∴∠BPC=180°-(∠2+∠BCP )=110°.11.答案不唯一,如“对顶角相等”12.-3(答案不唯一)13.解:可能组成的正确命题有如下几种结果(前两个作为条件,后一个作为结论):①②④;②④①;①④②;②⑤③;③⑤②;②③⑤.14.解:∠DCF=60°.理由如下:如图,∵∠B=90°,∠BCF=60°,∴∠1=30°.∵AE ∥CF ,∴∠2=∠1=30°.∵AE 平分∠BAD ,∴∠3=∠2=30°.又∵∠D=90°,∴∠4=60°.∵AE ∥CF ,∴∠DCF=∠4=60°.15.16或1716.解:设AB=3x ,AC=2x ,则BC=2x+1,由题意得①3x+x=(3x+2x+2x+1)×,解得x=2,815则AB=6,AC=4;②3x+x=(3x+2x+2x+1)×,解得x=,715711则AB=,AC=.21111411答:边AB 的长为6,边AC 的长为4;或者边AB 的长为,边AC 的长为.2111141117.解:①2x+3x+10≤30,解得x ≤4,即x 可取1,2,3,4.当x 等于1时,三边长分别为2,3,10,构不成三角形;当x 等于2时,三边长分别为4,6,10,构不成三角形;当x 等于3时,三边长分别为6,9,10;当x 等于4时,三边长分别为8,12,10.故满足条件的三角形共有2个.②三角形的第三边长y 满足:7-3<y<3+7,即4<y<10.因为第三边长为奇数,因而第三边长可以为5,7或9.故满足条件的三角形共有3个.18.解:解法一:如图①,∠ABC=180°-∠2=85°.∵a ∥b ,∴∠CAB=180°-∠3=30°.∵∠1是△ABC 的外角,∴∠1=∠CAB+∠ABC=115°;解法二:如图②,过∠2的顶点A 作射线AB ∥a ,那么AB ∥b ,则∠CAB=180°-150°=30°,∴∠DAB=∠2-∠CAB=95°-30°=65°,∴∠1=180°-∠DAB=115°;解法三:如图③,连接AC ,∵a ∥b ,∴∠DAC+∠ECA=180°.而∠DAC=∠1-∠BAC ,∠ECA=∠3-∠ACB ,∴(∠1-∠BAC )+(∠3-∠ACB )=180°,即∠1+∠3-(∠BAC+∠ACB )=180°.在△ABC 中,∠BAC+∠ACB+∠2=180°,即∠BAC+∠ACB=180°-∠2,∴∠1+∠3-(180°-∠2)=180°,从而∠1=360°-∠2-∠3=360°-95°-150°=115°.19.证明:如图,连接AD.∵AB ∥CD ,∴∠BAD=∠CDA (两直线平行,内错角相等).又∵∠ADE+∠DAE+∠E=180°(三角形内角和定理),∴∠ADE+∠DAE+∠E+∠BAD=180°+∠CDA ,∴∠ADE+∠DAE+∠E+∠BAD=180°+∠ADE+∠CDE ,∴∠E+∠BAE=180°+∠CDE ,∴∠E+∠BAE-∠CDE=180°.20.解:由三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和,得∠AEB=∠CAE+∠C=∠DBC+∠D ,从而2∠AEB=∠1+∠2+∠3+∠4+∠C+∠D ,即∠AEB=∠2+∠3+(∠C+∠D ).连接PE12并延长至点F ,易知∠AEF=∠2+∠APF ,∠BEF=∠3+∠BPF ,∴∠AEB=∠2+∠3+∠APB ,∴∠APB=(∠C+∠D )=30°.1221.解:两名同学的证法都不对.因为“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”与“直角三角形的两锐角互余”都是由三角形内角和定理推导的.证明:如图,在△ABC 中,过点A 作EF ∥BC ,∴∠EAB=∠B ,∠FAC=∠C (两直线平行,内错角相等).∵∠EAB+∠BAC+∠FAC=180°(平角的定义),∴∠B+∠BAC+∠C=180°.22.解:在题图①中,∵∠OBC=∠ABC ,∠OCB=∠ACB ,1212∴∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB=180°-(∠ABC+∠ACB )=180°-(180°-∠A )=90°+121212∠A=×180°+∠A.1212在题图②中,∵∠O 1BC=∠ABC ,∠O 1CB=∠ACB ,1313∴∠BO 1C=180°-∠O 1BC-∠O 1CB=180°-(∠ABC+∠ACB )=180°-(180°-∠1313A )=120°+∠A=×180°+∠A.132313同理, ∵∠O 2BC=∠ABC ,∠O 2CB=∠ACB ,2323∴∠BO 2C=180°-∠O 2BC-∠O 2CB=180°-(∠ABC+∠ACB )=180°-(180°-∠2323A )=60°+∠A=×180°+∠A.231323通过前两个结果的证明,从而猜想:∠BO n-1C=×180°+∠A.1n n -1n。