高中数学《向量的线性运算》教案8 苏教版必修4

2.2.3 向量的数乘（1）
一、课题：向量的数乘（1）
二、教学目标：1．掌握实数与向量的积的定义；
2．掌握实数与向量的积的运算律，并进行有关的计算；
3．理解两向量共线（平行）的充要条件，并会判断两个向量是否共线。

三、教学重、难点：1．实数与向量的积的定义及其运算律，向量共线的充要条件； 2．向量共线的充要条件及其应用。

四、教学过程： （一）复习：
已知非零向量a ，求作a a +和()()a a -+-．
如图：OB a a =+2a =，()()CE a a =-+-2a =-．
（二）新课讲解：
1．实数与向量的积的定义：
一般地，实数λ与向量a 的积是一个向量，记作a λ，它的长度与方向规定如
下：
（1）||||||a a λλ=；
（2）当0λ>时，a λ的方向与a 的方向相同； 当0λ<时，a λ的方向与a 的方向相反； 当0λ= 时，0a λ=． 2．实数与向量的积的运算律： （1）()()a a λμλμ=（结合律）；
（2）()a a a λμλμ+=+（第一分配律）；
（3）a b λλλ+（a+b ）=（第二分配律）．
例 1 计算：（1）(3)4a -⨯； （2）3()2()a b a b a +---； （3）
(23)(32)a b c a b c +---+．
解：（1）原式=12a -； （2）原式=5b ； （3）原式=52a b c -+-． 3．向量共线的充要条件：
定理：（向量共线的充要条件）向量b 与非零向量a 共线的充要条件是有且只有一个实数
λ，使得b a λ=．
例2 如图，已知3AD AB =，3DE BC =．试判断AC 与AE 是否共线．
解：∵333()3AE AD DE AB BC AB BC AC =+=+=+= ∴AC 与AE 共线．
例3 判断下列各题中的向量是否共线：
a -
E a a a
O
B A
C
D
a - A
B
C
D
E
（1）21245a e e =-
，121
10
b e e =-； （2）12a e e =+，1222b e e =-，且1e ，2e 共线．
解：（1）当0a =时，则0b =，显然b 与a 共线．
当0a ≠时， 12121121
(4)10454
b e e e e a =-=-=，∴b 与a 共线．
（3）当1e ，2e 中至少有一个为零向量时，显然b 与a 共线． 当1e ，2e 均不为零向量时，设12e e λ= ∴2(1)a e λ=+，2(22)b e λ=-
若1λ=-时，，0a =，显然b 与a 共线． 若1λ≠-时，22
1b a λλ
-=+， ∴b 与a 共线．
例4 设12,e e 是两个不共线的向量，已知122AB e ke =+，123CB e e =+，122CD e e =-，
若A ，B ，D 三点共线，求k 的值。

解：(
)(
)1212
1
2
2)34BD CD CB e e e e e e =-=--+=-
∵A ，B ，D 三点共线，∴AB 与BD 共线，即存在实数λ，使得AB BD λ=， 即是12122(4)e ke e e λ+=-.
由向量相等的条件，得24k λ
λ
=⎧⎨
=-⎩ ，∴8k =-．
五、课堂练习：
六、小结：1．掌握实数与向量的积的定义；
2．掌握实数与向量的积的运算律，并进行有关的计算；
3．理解两向量共线（平行）的充要条件，并会判断两个向量是否共线。

七、作业：
补充：1．设12,e e 是两个不共线的向量，而124e e -和12ke e +共线，求实数k 的值； 2．设二个非零向量12,e e 不共线，如果1223AB e e =+，12623BC e e =+，
1248CD e e =-，求证A ，B ，D 三点共线。

2.2.3 向量的数乘（2）
一、课题：向量的数乘（2））
二、教学目标：1．了解平面向量基本定理的概念； 2．通过定理用两个不共线向量来表示另一向量或将一个向量分解为两个 向量； 3．能运用平面向量基本定理处理简单的几何问题。

三、教学重、难点：1．平面向量基本定理的应用； 2．平面向量基本定理的理解。

四、教学过程： （一）复习引入：
（1）向量的加法运算、向量共线定理；
（2）设1e ，2e 是同一平面内的两个不共线的向量，a 是这一平面内的任一向量，下面我们 来研究向量a 与1e ，2e 的关系。

（二）新课讲解：
1．平面向量基本定理：
如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数1λ，2λ，使1122a e e λλ=+．其中我们把不共线的向量1e ，2e 叫做表示这一平面所有向量的一组基底。

注：①1e ，2e 均非零向量； ②1e ，2e 不唯一（事先给定）；
③1λ，2λ唯一；
④20λ=时，a 与1e 共线；10λ=时，a 与2e 共线；120λλ==时，0a =．
2．例题分析：
例1 已知向量1e ，2e （如图），求作向量122
35e e -
+．
作法：1．如图（2），任取一点O ，作15
2
OA e =-，23OB e =；
2，于是OC 是所求作的向量。

例2 的两条对角线相交于点M ，且AB a =，AD b =，用a 、b 表示
MA 、MB 、
MC 和MD ．
∵AC AB BC AB AD a b =+=+=+，
DB AB AD a b =-=-，
∴11()22MA AC a b =-
=-+11
22a b =--， 11()22MB DB a b ==-，111
222
MC AC a b ==+，
11
22
MD MB a b =-=-+．
例3 如图，OA 、OB 不共线，()AP t AB t R =∈，用OA 、OB 表示OP ．
解：∵AP t AB =，
∴OP OA AP OA t AB =+=+
=()(1)OA t OB OA t OA tOB +-=-+．
1e 2
e D b
C
B
a A
M
例4 已知梯形ABCD 中，||2||AB DC =，M ，N 分别是DC 、AB 的中点，若AB 1e =，
2AD e =，用1e ，2e 表示DC 、BC 、MN ．
解：（1）∵DC <
∴12DC AB =
=11
2
e =12102e e + （2）BC AC AB AD DC AB =-=+- 211211122
e e e e e =+
-=- （3）连接DN ，则DN CB =， 1()2MN MD DN DC BC =+=-
+-121121111
2224
e e e e e =-⨯-+=-． 例5 已知在四边形ABCD 中，2AB a b =+，4BC a b =--，53CD a b =--， 求证：ABCD 是梯形。

证明：显然 AB CD λ≠
AD AC CD AB BC CD =+=++
(2)(4)(53)a b a b a b =++--+--=2(4)2a b BC --=
∴AD BC ， 又B 点不在AD
∴ABCD 是梯形。

五、小结：1．熟练掌握平面向量基本定理；
2．会应用平面向量基本定理.充分利用向量的加法、减法及实数与向量的
积的几何表
示。

六、作业：
补充：1．设G 是ABC ∆的重心.若CA a =，CB b =，试用a ，b 表示向量AG .；
2．已知：如图，3AB AM =，1
3
MN BC =. （1）求证：1
3
AN AC =
；（2）求ABC ∆与AMN ∆的面积之比. 3．设1e ，2e 是两个不共线向量，求12()a e e R λλ=+∈与21(2)b e e =--
共线的充要条件。

A
M D C
N
B
A
C
B D。