离散型随机变量的分布列与期望和方差

离散型随机变量的分布列与期望和方差

考点一：离散型随机变量的分布列 若离散型随机变量X 的分布列为

(1)均值：称E (X )＝x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x i p i ＋…＋x n p n 为随机变量 (2)方差：称D (X )＝∑n

i ＝1 (x i －E (X ))2p i 为随机变量X 的方差，其算术平方根()X D 为随机变量X 的标准差．

（3）均值与方差的性质 1．E(aX ＋b)＝aE(X)＋b. 2．D(aX ＋b)＝a2D(X)(a ，b 为常数)． 考点二：超几何分布

在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则P (X ＝k )＝C k M C n －

k

N －M

C n N

，k

＝0,1,2，…，m ，其中m ＝min{M ，n }，且n ≤N ，M ≤N ，n ，M ，N ∈N *，如果随机变量X 的分布列具有下表形式，

考点三：二项分布

二项分布；在n 次独立重复试验中，用X 表示事件A 发生的次数，设每次试验中事件A 发

生的概率为p ，则P (X ＝k )＝C k n p k (1－p )

n －k

(k ＝0,1,2，…，n )，此时称随机变量X 服从二项分布，记作X ～B (n ，p )，并称p 为成功概率． 基础练习

1.在某公司的两次投标工作中，每次中标可以获利14万元，没有中标损失成本费8000元．若每次中标的概率为0.7，每次投标相互独立，设公司这两次投标盈利为X 万元，则EX ＝（ ） A ．18.12

B ．18.22

C ．19.12

D ．19.22

2.设服从二项分布B （n ，p ）的随机变量X 的期望与方差分别是10和8，则n ，p 的值分别是（ ） A ．

B ．

C ．

D ．

3.已知X 的分布列为

X ﹣1 0 1 P

且Y ＝aX +3，E （Y ）＝，则a 为（ ） A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

4.设随机变量X ∼N(1,δ2),且

P(X>2)=5

1

,则P(0

5.已知离散型随机变量x 的取值为0，1，2，且()()(),2,1,4

1

0b x p a x p x p =====

=若()1=X E ，则 ()=X D .

6.若随机变量，且，，则当 ．（用数字作答）

7.已知随机变量X 满足(23)7E X +=，(23)16D X +=，则下列选项正确的是( ) A ．7()2E X =

，13()2

D X = B ．()2

E X =，()4D X = C ．()2E X =，()8D X = D ．7

()4

E X =

，()8D X = 超几何分布VS 二项分布

1.“莞马”活动中的α机器人一度成为新闻热点，为检测其质量，从一生产流水线上抽取20件该产品，其中合格产品有15件，不合格的产品有5件．

（1）现从这20件产品中任意抽取2件，记不合格的产品数为X ，求X 的分布列及数学期望；

（2）用频率估计概率，现从流水线中任意抽取三个机器人，记ξ为合格机器人与不合格机器人的件数差的绝对值，求ξ的分布列及数学期望．

2.某经销商从沿海城市水产养殖厂购进一批某海鱼，随机抽取50

~(,)X B n p 52EX =5

4

DX =(1)P X ==

条作为样本进行统计，按海鱼重量（克）得到如图的频率分布直方图：

（1）若经销商购进这批海鱼100千克，试估计这批海鱼有多少条（同一组中的数据用该区间的中点值作代表）；

（2）根据市场行情，该海鱼按重量可分为三个等级，如下表：

若经销商以这50条海鱼的样本数据来估计这批海鱼的总体数据，视频率为概率．现从这批海鱼中随机抽取3条，记抽到二等品的条数为X ，求x 的分布列和数学期望．

3.假设某种人寿保险规定，投保人没活过65岁，保险公司要赔偿10万元；若投保人活过65岁，则保险公司不赔偿，但要给投保人一次性支付4万元已知购买此种人寿保险的每个投保人能活过65岁的概率都为0.9，随机抽取4个投保人，设其中活过65岁的人数为X ，保险公司支出给这4人的总金额为Y 万元(参考数据：40.90.6561=) (1)指出X 服从的分布并写出Y 与X 的关系； (2)求(22)≥P Y .(结果保留3位小数)

考点四：正太分布

1.已知随机变量ξ服从正态分布)9,5(N ，若)2()2(-<=+>c p c p ξξ，则c 的值为

（ ）

A ．4

B ．5

C ．6

D ．7

2.已知随机变量服从正态分布即，且，

若随机变量，则（ ）

A ．0.3413

B ．0.3174

C ．0.1587

D ．0.1586

3.已知随机变量X ∼N （2，1），其正态分布密度曲线如图所示，若向长方形OABC 中随机投掷1点，则该点恰好落在阴影部分的概率为（ ）

A ．0.1359

B ．0.7282

C ．0.8641

D ．0.93205

4.某市高三年级第二次质量检测的数学成绩X 近似服从正态分布N （82，σ2），且P （74＜X ＜82）＝0.42．已知我市某校有800人参加此次考试，据此估计该校数学成绩不低于90分的人数为（ ） A ．64

B ．81

C ．100

D ．121

5.从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下图频率分布直方图：

（1）求这500件产品质量指标值的样本平均值x 和样本方差2s （同一组的数据用该组区间的中点值作代表）；

（2）由直方图可以认为，这种产品的质量指标Z 服从正态分布2

(,)N μσ，其中μ近似为

样本平均数x ，2σ近似为样本方差2s ．

X 2

~(,)X N μσ()0.6826P X μσμσ-<≤+=~(5,1)X N (6)P X ≥

=