高考文科数学向量专题讲解及高考真题精选(含答案)

向 量

1.向量的概念

(1)向量的基本要素：大小和方向.

(2)向量的表示：几何表示法 AB ；字母表示：a ；

坐标表示法 a ＝ｘｉ＋ｙj ＝（ｘ，ｙ）. (3)向量的长度：即向量的大小，记作｜a ｜. (4)特殊的向量：零向量a ＝O ⇔｜a ｜＝O .

单位向量a O 为单位向量⇔｜a O ｜＝1.

(5)相等的向量：大小相等，方向相同(ｘ1，ｙ1)＝（ｘ2，ｙ2）⎩⎨

⎧==⇔2

12

1y y x x

(6) 相反向量：a =-b ⇔b =-a ⇔a +b =0

(7)平行向量(共线向量)：方向相同或相反的向量，称为平行向量.记作a ∥b .平行向量也称为共线向量.

2..向量的运算 运算类型

几何方法

坐标方法

运算性质

向量的 加法

1.平行四边形法则

2.三角形法则

1212(,)a b x x y y +=++

a b b a +=+

()()a b c a b c ++=++

AC BC AB =+

向量的 减法

三角形法则

1212(,)a b x x y y -=--

()a b a b -=+-

AB BA =-,AB OA OB =-

数 乘 向 量

1.a λ是一个向量,满

足:||||||a a λλ= 2.λ>0时, a a λ与同向;

λ<0时, a a λ与异向; λ=0时, 0a λ=.

(,)a x y λλλ=

()()a a λμλμ=

()a a a λμλμ+=+

()a b a b λλλ+=+

//a b a b λ⇔= 向 量 的 数 量 积

a b •是一个数

1.00a b ==或时，

0a b •=.

2.

00||||cos(,)

a b a b a b a b ≠≠=且时，

1212a b x x y y •=+

a b b a •=•

()()()a b a b a b λλλ•=•=•

()a b c a c b c +•=•+• 2

222||||=a a a x y =+即

||||||a b a b •≤

3.向量加法运算：

⑴三角形法则的特点：首尾相连． ⑵平行四边形法则的特点：共起点． ⑶三角形不等式：a b a b a b -≤+≤+． ⑷运算性质：①交换律：a b b a +=+；

②结合律：()()

a b c a b c ++=++；③00a a a +=+=．

⑸坐标运算：设()11,a x y =，()22,b x y =，则()1212,a b x x y y +=++． 4.向量减法运算：

⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量．

⑵坐标运算：设()11,a x y =，()22,b x y =，则()1212,a b x x y y -=--． 设A 、B 两点的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，则()1212,x x y y AB =--． 5.向量数乘运算：

⑴实数λ与向量a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作a λ． ①

a a λλ=；

②当0λ>时，a λ的方向与a 的方向相同；当0λ<时，a λ的方向与a 的方向相反；当0λ=时，0a λ=． ⑵运算律：①()()a a λμλμ=；②()a a a λμλμ+=+；③()

a b a b λλλ+=+． ⑶坐标运算：设(),a x y =，则()(),,a x y x y λλλλ==．

6.向量共线定理：向量()

0a a ≠与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b a λ=．

设()11,a x y =，()22,b x y =，其中0b ≠，则当且仅当12210x y x y -=时，向量a 、()

0b b ≠共线． 7.平面向量基本定理：如果1e 、2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数1λ、2λ，使1122a e e λλ=+．（不共线的向量1e 、2e 作为这一平面内所有向量的一组基底）

8.分点坐标公式：设点P 是线段12P P 上的一点，1P 、2P 的坐标分别是()11,x y ，()22,x y ，当12λP P =PP 时，点P 的坐标是1212,11x x y y λλλλ++⎛⎫

⎪++⎝⎭

．（当时，就为中点公式。）1=λ 9.平面向量的数量积：

⑴()

cos 0,0,0180a b a b a b θθ⋅=≠≠≤≤．零向量与任一向量的数量积为0．

b

a

C

B

A

a b C C -=A -AB =B

⑵性质：设a 和b 都是非零向量，则①0a b a b ⊥⇔⋅=．②当a 与b 同向时，a b a b ⋅=；当a 与b 反向时，a b a b ⋅=-；2

2

a a a a ⋅==或a a a =⋅．③a

b a b ⋅≤．

⑶运算律：①a b b a ⋅=⋅；②()()()

a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅；③()

a b c a c b c +⋅=⋅+⋅． ⑷坐标运算：设两个非零向量()11,a x y =，()22,b x y =，则1212a b x x y y ⋅=+． 若(),a x y =，则2

2

2a x y

=+，或2a x y =

+． 设()11,a x y =，()22,b x y =，则

12120a b x x y y ⊥⇔+=．

设a 、b 都是非零向量，()11,a x y =，()22,b x y =，

θ是a 与b 的夹角，则

121

cos x x a b a b

x θ⋅=

=

+．

⑤线段的定比分点公式：（0≠λ和1-）

设 P 1P =λPP 2 （或P 2P λ1P P ），且21,,P P P 的坐标分别是),(),,(,,2211y x y x y x ）（，则1212

11y y y x x x λλλλ+⎧

=⎪⎪+⎨

+⎪=⎪

+⎩ 推广1：当1=λ时，得线段21P P 的中点公式：121222

y y y x x x +⎧

=⎪⎪⎨

+⎪=⎪⎩ 推广2λ=MB

则λ

λ++=1PB PA PM （λ对应终点向量）．

三角形重心坐标公式：△ABC 的顶点()()()332211,,,,,y x C y x B y x A ，重心坐标()y x G ,：12312333x x x x y y y y ++⎧

=⎪⎪⎨

++⎪=⎪⎩

注意：在△ABC 中，若0为重心，则0=++OC OB OA ，这是充要条件．

⑥平移公式：若点P ()y x ,按向量a =()k h ,平移到P ‘()

''

,y x ，则⎪⎩⎪⎨⎧+=+=k

y y h x x ''

4．（1）正弦定理：设△ABC 的三边为a 、b 、c ，所对的角为A 、B 、C ，则

R C

c

B b A a 2sin sin sin ===． （2）余弦定理：⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧-+=-+=-+=C ab a b c B ac c a b A

bc c b a cos 2cos 2cos 2222222

222 （3）正切定理：2tan 2tan B A B A b a b a -+=

-+ （4）三角形面积计算公式：

设△ABC 的三边为a ，b ，c ，其高分别为h a ，h b ，h c ，半周长为P ，外接圆、内切圆的半径为R ，r ．

B