定积分的应用习题答案

1填空题

［解答］- -L ，令宀”—.］，可得丁 —］

当 ■- - ■- 时，广- 一， T 单调递减• 4

分面积之比是

，即"

z 3 27

两直线的交点可求得 亠…厂-

方法一：已知其一根为，〔，设方程为 （X — *）（说》+加+ ◎ — Q

2

通过比较可得 丿- I - .'J . ： - ，可解得另外一根为 ：.:一-

3x(3^-1)(3^ + !)- 2(3r-l>0

… "… i- | 即 … ■ ： - ■ ：. - |

所以

禺士 I j+（?+令申訂尹叙"吕

F ［（护乍"（寻斗备）的=農

⑶设/0）在［一兀.兀］上连续，当门=—时，片何=J 小值•

［解答］'■ - J.丿］-「■ / -1 : ■ ■

所以一'」「•.的单调递减区间是 ⑵曲线- ■-与其在 「：或•,.

T - 1

处的切线所围成的部分被 严轴分成两部分, 这两部 ［解答］直线方程为 2 2

* ，即求解蕾护—9置+ 2 = 0

方法二：分解方程有 27^-3^-6r + 2=0

小、取最

（丁 > 0J 的单调减少区间__

cos3]dx =| /'(疋)必—2&J /(JT)cos^xdx+ J cos 令."ll..，则

⑷「• ； - ■-绕-V = -■：<■ - ./ - 1.1旋转所成旋转体体积［解答］令.■八.■一：辽I “二一 1，则

当T ：；''时,

=可［（o3 co?3卩+ 2必uw朝+护加CQS炉/级二血％十2应护）

S 3 2当上-:时，

£> 4 7T

=Jlj? （a2 cos3厘+2丑cow

所以

# = %—兀=巧血沪+£訂）

JT

⑸ 求心脏线•-| I ■-:'.和直线「- .及厂一围成的图形绕极轴旋转所成旋转体

体积—

［解答］将极坐标化为直角坐标形式为，：：1 J. '：! '- .■-: - --!--

贝y r】-.拧一._.「：-」! -I !- _ ： 1-1 - ■- !- ! 1- -_ r 一

=64TF(1 + eos (14- 2 cos 0) gin3豳m

J

所以.'■'■ ■ -| ■ I ■■ ；■' ：J| : I .-.]l' I ■ ■ 1.' !•• :1.. -

- - C.'

/(町CM拌忑曲：=coJ Mxdx —肚](1 + cos 2榔)必—a7T 所以/(A) COS 冲干"x

二64TT J：(1 + (14 2x)(1- F〕必

=64幵(0 + 耳)迫+ 2的(1 —町必(f = l + x)

=開zrf尸(2 —负玄―1)处

=647T(5f4- 2?-加)；=160TT

2 •计算题

⑴ 在直线…J. 一与抛物线：：- .：■ ? ■''的交点上引抛物线的法线，求由两法线

及连接两交点的弦所围成的三角形的面积•

［解答］由题意可计算两法线的方程为

；'-：-1 |： ' - J，即£ - 1 I - I

L—■

尸-5 二-*(x_4),即卩齐 +4尹一24=0

?

两直线的交点为卜-：，则

15

⑵过抛物线」-厂上的一点I；■. / 作切线，问上为何值时所作的切线与抛物线 :-:.- 所围成的面积

最小.

［解答］直线的斜率上二；X二4，则直线方程为■- - ■■ : T T .，与抛物线相交, 即J . *「)；

/ ： - 1，设方程的两根为",二;且1 --，贝U

，I 一I , l l 一■■■从而

x2-冋=』(心丰心『 _4耳光=2』2桂，一+ 3

工；一彳二(x2- x T)(z2 +z L) = 4(2 - a)^f2a2一4盘+ ?

£ 二J ' (―x2十4K一1一2口疋十/)么=j l［cc2- 1 —J14- (4 —禺=——4乞 + 3 -(2/ —+ 3)

住二 （4 戊-4） =0

又」！ I .. ;■'，所以.-:

⑶求通过点 …I 的直线| ■■' 一.中使得 T - I ■■'.■■为最小的直线方程. ［解答］设.•一 ■... 一：，则：…丨一.:一」i

*卜 J ］/ -/⑴］也二 J ：［* - 2//0）+ 严0）处 =［［『—+〔P —姑）f + 2t 曲斗

歹可忑 二 丁-豔 +亍（P -2b ） + 4局+ 2沪

善7 -軒肿HE 亦

由「’厂.可得-:：-，：，：'''-4--- I 即--=I 可得

3

又"：＜ -|则当：-：时为最小，此时「I ,方程为

［解答］7 — : n ：:- 令-〔「可得

y*Cr) = 2(2-张-4心一丹"

当，1 一 1时，JI '，即\ 在.【一 1取最小值，此时 当--v 时，+.「.一 ■- ，即/ 在厂一匕取最大值

此时.二］，X = !■■■■.

⑸ 求曲线- r 与」-，所围阴影部分面积 ・】，并将此面积绕 匸轴旋转所构成 的旋转体体积，如图所示.

Q J

［解答］二 | ］ 丁 •:" * 11 二 i ■■ ?■

V - 2可严- 2x — x a )dte 十 2忒 JT (F 一 F +2x)dtr

则卜 ⑷求函数- 的最大值与最小值.

/W = o

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