定积分的应用习题答案
高等数学化学专业-答案-课件-习题课六
du
故所求旋转体体积为 16 5 2 2 2 5π V π ( x 2 x) d x 75 5 0
O dx 2
x
例6. 半径为 R , 密度为 的水池底, 水的密度
多少功 ?
的球沉入深为H ( H > 2 R )
现将其从水池中取出, 需做
2 g π [( 0 ) H 0 R]
2 2
0 ( R
R
2
x ) dx
2
H
d W1 ( 0 ) g π ( R x )( H R x) dx
O
x
y
d W2 g π ( R 2 x 2 )( R x) dx
x
例7. 设有半径为 R 的半球形容器如图.
绕极轴
3 2 π 旋转而成的体积为 Vox r ( ) sin d . 3 r r ( ) 证: 先求 上微曲边扇形 dr d 绕极轴旋转而成的体积
体积元素
O
r
r
故
Vox
2π 3 r ( ) sin d 3
例5. 求由 y 2 x 与 y 4 x x 2 所围区域绕 y 2 x
π (2 Rh h 2 )
(2) 将满池水全部抽出所做的最少功 为将全部水提 到池沿高度所需的功.
y
对应于
薄层所需的功元素
R
g π(2 Ry y )( R y ) d y
故所求功为
2
y
O
g π ( 2 R 2 y 3R y 2 y 3 ) d y 0
π 4 gR 4
定积分应用(平面图形面积)例题及习题解答.docx
定积分应用1、直角坐标系下平面图形面积的计算①连续】11|线y = f(x)(f(x)>O)Rx = a J x = h及兀轴所围成的平而图形而积为^f(x)dx②设平而图形山上下两条曲线)=广上⑴与)=f心)及左右两条肓线与x=b所|韦|成，则血•积元素为[f f r(x)]dx,于是平而图形的而积为：S = W-.A F(x)]dx .③连续曲线兀=久刃(0(y)» 0)及y = c, y = d及V轴所围成的平iM图形面积为A= [ 0(y)〃y④由方程X = 01 (y)与X = 02(歹)以及y = y = d所围成的平面图形面积为A=f”(y)—0(y)〕dy 翎>©)例1计算两条抛物线y = 0与兀=y2所围成的而积.解求解而积问题，一般需要先画一草图(图3),我们要求的是阴影部分的而积.需y = x2x = y2要先找出交点处标以便确定积分限，为此解方程组:得交点(0,0)和(1,1).选取兀为积分变量，则积分区间为[0,1],根据公式(1),所求的面积为3 lo 3—•般地，求解而积问题的步骤为：(1)作草图，求曲线的交点，确定积分变最和积分限.(2)写出积分公式.(3)计算定积分.例2计算抛物线r=2v与直线)=x-4所围成的图形的面积.解(1)画图.(2)确定在y轴上的投影区间：L-2,4J.(3)确定左右曲线:0左(刃=如2, 0右(y) = y+4.⑷计算积分s =匸。
+4-号y2）dy 二母y2+4）一”,3］役=］8.例3求在区间［丄，2 ］上连续|11|线y=ln x , x轴及二直线x =-，与x二2所围成平面区2 2域（如图2）的面积o解：已知在［$2］上，in淀°;在区间［1 , 2 ］上，In x $0，则此区域的面积为:Ji |ln x^/x =21二-(x \n x - x) i + T4ln2-1•29例4 求抛物线y =x与x-2y-3=0所围成的平面图形（图3）的面积A。
高等数学第05章 定积分及其应用习题详解
0
x 1 sin tdt 0dt 1 ， 2
b a
f ( x)dx 在 几 何 上 表 示 由 曲 线 y f ( x) ， 直 线
x a, x b 及 x 轴所围成平面图形的面积. 若 x a, b时，f ( x) 0, 则 b f ( x)dx 在几何 a
上表示由曲线 y f ( x) ，直线 x a, x b 及 x 轴所围平面图形面积的负值. （1）由下图（1）所示， 1 xdx ( A1 ) A1 0 .
n
2
i
i 1
n
2
1 1 1 1 1 n(n 1)(2n 1) = (1 )(2 ) 3 n 6 6 n n 1 1 2 当 0时 （即 n 时 ） ，由定积分的定义得： x d x = ． 0 3
= 5. 利用定积分的估值公式，估计定积分
4 3
1 1
(4 x 4 2 x 3 5) dx 的值.
上任取一点 i 作乘积 f ( i ) xi 的和式：
n
f ( i ) xi c ( xi xi1 ) c(b a) ,
i 1 i 1
n
n
记 max{xi } , 则
1i n
b a
cdx lim f ( i ) xi lim c(b a) c(b a) .
x
0
(t 1)dt ，求 y 的极小值
解： 当 y x 1 0 ，得驻点 x 1 ， y '' 1 0. x 1 为极小值点， 极小值 y (1)
( x 1)dx - 2
数学分析课本(华师大三版)-习题及答案第十章
数学分析课本(华师大三版)-习题及答案第十章第十章 定积分的应用一、 填空题 1． 求曲线8,2222=+=y x x y 所围成图形面积A （上半平面部分），则A =2． 曲线xxe y e y -==,及1=x 所围面积A =3． 曲线θθcos 1,cos 3+==r r 所围面积A = 4． 曲线)0(>=λλθae r 从0=θ到αθ=一段弧长S =5． 曲线⎩⎨⎧-=+=)cos (sin )sin (cos t t t a y t t t a x 从0=t 到π=t 一段弧长S =6． 均匀摆线)0(cos 1sin π≤≤⎩⎨⎧-=-=t t y tt x ，弧长4=S ，则其重心坐标是 7． 曲线0,0),0(==≤=y x x ey x所围图形绕Ox 轴旋转所得旋转体的体积为 ；而绕Oy 轴旋转所得旋转体的体积为 8． 抛物线)(a x x y -=与直线x y =所围图形的面积为9． 在抛物线24x y =上有一点P ，已知该点的法线与抛物线所围成的弓形面积为最小，则P 点的坐标是 10．设有一内壁形状为抛物面22y xz +=的容器，原来盛有)(83cm π的水，后来又入注)(643cm π的水，设此时水面比原来提高了hcm ，则h =11．由曲线,2,1=+=x x x y 及2=y 所围图形的面积S = 曲线xx xy 223++-=与x 轴所围成的图形的面积A =二、选择填空题1． 曲线)0(ln ,ln b a a y x y <<==与y 轴所围成图形的面积为A ，则A =（ ） （A ）⎰baxdxln ln ln （B ）⎰bae ex dxe （C）⎰b ay dye ln ln（D ）⎰b a e e xdxln2．曲线x y x y ==,1，2=x 所围成的图形面积为A ，则A =（ ） （A ）dx x x)1(21-⎰（B ）dx x x )1(21-⎰ （C ）⎰⎰-+-2121)2()12(dyy dy y（D ）⎰⎰-+-2121)2()12(dxx dx x3．曲线xe y =下方与该曲线过原点的切线左方及y 轴右方所围成的图形面积A =（ ）（A ）dxex ex)(10-⎰（B ）dy y y y e )ln (ln 1-⎰（C ）dxxe e ex x )(1⎰-（D ）dy y y y )ln (ln 10-⎰4．曲线)0(cos 2>=a a r θ所围图形面积A =（ ） （A）()θθπd a 220cos 221⎰（B ）θθππd a ⎰-2cos 221（C）()θθπd a 220cos 221⎰（D ）()θθπd a 220cos 2212⎰5．曲线πθπθθ=-==,,ae r 所围图形面积A =（ ）（A）⎰πθθ02221d e a（B ）⎰πθθ20222d e a （C）⎰-ππθθd e a 22（D ）⎰-ππθθd e a 2226．曲线θθ2cos ,sin 22==r r 所围图形面积A =（ ）（A ）()()⎰⎰+-222121212cos 2sin 2θθθθd d（B ）()()⎰⎰+46262cos sin 2πππθθθθd d （C ）()()⎰⎰+462602cos 21sin 221πππθθθθd d（D ）()()⎰⎰+462602cos sin 22πππθθθθd d7．曲线()21ln x y -=上210≤≤x 一段弧长S =（ ） （A）dx x ⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛-+2102111（B ）⎰-+212211dx x x（C ）dx x x ⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛--+2102121 （D ）dxx ⎰-+21022])1[ln(18．摆线)0()cos 1()sin (>⎩⎨⎧-=-=a t a y t t a x 一拱与x 轴所围图形绕x 轴旋转，所得旋转体的体积=V （ ） （A ）()⎰-ππ2022cos 1dt t a（B ）())]sin ([cos 12202t t a d t a a--⎰ππ（C ）()⎰--ππ2022)]sin ([cos 1t t a d t a（D ）()⎰-adt t a ππ2022cos 19．星形线⎪⎩⎪⎨⎧==ta y t a x 33sin cos 的全长S =（ ）（A ）⎰-⋅202)sin (cos 3sec 4πdtt t a t（B ）⎰-⋅022)sin (cos3sec 4πdtt t a t （C ）⎰-⋅π02)sin (cos 3sec 2dtt t a t （D ）⎰-⋅02)sin (cos 3sec 2πdtt t a t10．心形线)cos 1(4θ+=r 与直线2,0πθθ==围成图形绕极轴旋转的旋转体体积 =V （ ） （A ）⎰+202)cos 1(16πθθπd（B ）⎰+2022sin )cos 1(16πθθθπd（C ）⎰++2022]cos )cos 1(4[sin )cos 1(16πθθθθπd（D ）⎰++0222]cos )cos 1(4[sin )cos 1(16πθθθθπd11．两个半径为a 的直交圆柱体所围的体积为V=（ ）（A ）⎰-adxx a 022)(4 （B ）⎰-adx x a 022)(8（C ）⎰-a dxx a 022)(16 （D ）⎰-adx x a 022)(212．矩形闸门宽a 米，高h 米，垂直放在水中，上沿与水面齐，则闸门压力p =（ ） （A ）⎰h ahdh 0（B ）⎰a ahdh 0（C ）⎰hahdh 021（D ）⎰h ahdh 0213．横截面为S ，深为h 的水池装满水，把水全部抽到高为H 的水塔上，所作功=W （ ）（A ）⎰-+h dy y h H S 0)( （B ）⎰-+H dy y h H S 0)(（C ）⎰-h dy y H S 0)( （D ）⎰+-+H h dy y h H S 0)(14．半径为a 的半球形容器，每秒灌水b ，水深)0(a h h <<，则水面上升速度是（ ）（A ）⎰hdy y dh d2π （B ）⎰--h dy a y a dhd 022])([π（C ）⎰h dy y dh d b2π （D ）⎰-h dy y ay dhd b02)2(15．设)(),(x g x f 在区间[]b a ,上连续，且m x g x f <<)()(（m为常数），则曲线b x a x x f y x g y ====,),(),(所围平面图形绕直线m y =旋转而成的旋转体体积为（ ）（A ）⎰-+-b adx x g x f x g x f m )]()()][()(2[π（B ）⎰---b adx x g x f x g x f m )]()()][()(2[π（C ）⎰-+-b adx x g x f x g x f m )]()()][()([π（D ）⎰---b adx x g x f x g x f m )]()()][()([π三、计算题1．求抛物线2x y =与2x 2y -=所围图形的面积。
高等数学定积分应用习题答案
第六章定积分的应用习题6-2(A) 1．求以下函数与x轴所围部分的面积：(1)y x26x8,[0,3](2)y2x x2,[0,3]2．求以下各图中暗影部分的面积：1.图6-13．求由以下各曲线围成的图形的面积：(1) y e x,y e x与 x1;(2)y lnx与x0,y lna,y lnb(ba0);(3)y2x x2与y x,y0;(4)y22x,y2(x1);(5)y24(1x)与y2x,y0;(6)y x2与y x,y2x;(7)y2sinx,y sin2x(0x);(8)y x2,x2y2（两部分都要计算）;2814．求由曲线y ln x与直线y0,x e1,x e所围成的图形的面积。
5．求抛物线y x24x3及其在点(0,3)和(3,0)处的切线所围成的图形的面积。
6．求抛物线y22px及其在点(p,p)处的法线所围成的图形的面积。
27．求曲线x y a与两坐标轴所围成的图形的面积。
x2y21所围图形的面积。
8．求椭圆2b2a9．求由摆线x a(t sint),ya(1cost)的一拱（0t2)与横轴所围图形的面积。
10．求位于曲线y e x下方与由该曲线过原点的切线的左方及x轴之间的图形的面积。
11．求由以下各方程表示的曲线围成的图形的面积：(1)2asin(a0);(2)2a(2cos)(a0);(3)22cos2（双纽线）;12.把抛物线y24ax及直线x x(x00)所围成的图形绕x轴旋转，计算所得旋转抛物体的体积。
13.由y x3,x2,y0所围成的图形，分别绕x轴及y轴旋转，计算所得两个旋转体的体积。
14．求以下已知曲线所围成的图形，按指定的轴旋转所产生的旋转体的体积：(1)y achx0,x a,y0,绕x轴;与xa(2)y sinx与y2x,绕x轴;(3)y sin x与y cosx(0x),绕x轴;2(4)y lnx,与x2,y0绕y轴;(5)y2x x2与y x,y0绕y轴;(6)(x5)2y216,绕y轴;15.求由抛物线y24(1x)及其在(0,2)处的切线和x轴所围的图形绕x轴旋转产生的旋转体的体积。
习题课_定积分的应用(解答)
中的 x0 唯一。
证明： (1)构造函数 g( x ) x f (t )dt ，对 g ( x ) 用罗尔定理即 可得证 。
x 1
(2) 考虑 g '( x) 的单调性来证明。
11
dx dx dx 2 2 2 2 0 1 2cos x 1 2cos x 2 1 2cos x
令 tan x t dx d tan x dt 2 2 而 ； 0 1 2cos 2 x 0 3 tan 2 x 0 3 t2 2 3
S S1 S2 (2 x x )dx ( x 2 2 x )dx 2
y x2 2 x
V y [(1 1 y )2 12 ]dy
1
0
[33 (1 1 y )2 ]dy 9
0
3 2 2 1 1
3
S2
1
o
3 2
d tan x 令 tan x t 0 dx dt 2 1 2cos2 x 2 3 tan2 x 3 t 2 2 3 ；
故原式
3
15
定积分的物理应用：
常 数 ，长度为 L 的细杆， 1.如图，x 轴上有一线密度为
有一质量为 m 的质点到杆右端的距离为 a ，已知引力 系数为 k，则质点和细杆之间引力的大小为（ A ） （A） L
3
5. 设曲线 y f ( x ) 在 x 轴的上方，并过点 (1,1) ，该曲线与直线
x 1 ， y 0 及动直线 x b(b 1) 所围图形绕 y 轴旋转所得的旋
定积分的应用习题答案
1填空题［解答］犁（对=2-亍，令”5=0，可得注二;当0-时，严工；0＜：0,〕单调递减.4所以 F （町的单调递减区间是 （Q-）或（4才］.⑵曲线丿★—与其在r 处的切线所围成的部分被.轴分成两部分，这两部分面积之比是日n 2 2 尸3 272 2两直线的交点可求得=—，即求解27护- 9穿+ 2 = 0方法一：已知其一根为勺二齐设方程为 （T -J 十 = 0通过比较可得 盘二27,占=2 C = —6，可解得另外一根为 E =-彳方法二：分解方程有27卞弓—了誥―6斗+ 2= 0弘+2(3JT-1)=0(我-1)〔弘2 -3H -2) = 0 即(软-ly (致+ 2) = 0所以= (；［(*- ©+(红+厶］必=P^(Z^-iT+—)^X= — ］43274 3 27 27A 弘―亠◎诗吩農则虽仝 & 1⑶设/（工）在［一兀兀］上连续，当门=_时，片何訂［于⑺―毗C ■旳讦必取最 小值.［解答］L/S) -口 COSM 阳;r=[[f^(X)- 2(^(X)COE + cP CCS^ ^jr](2/z J-J=I2&J /(jc) cosKxdx + J coE^ MZtiz令F3=Q ，则［解答］直线方程为⑴函数片何=（工＞ 0）的单调减少区间__2『/(JT)匚0$/3兀C/Y二2口J COS，戶jcdxJ /(TT)cos松兀国兀=2(3] UOE'MJT心=12(1 + cos 2?ix)dyi = aTT1所以a =—了〔X J COSMK M X⑷+ b三a°绕疋=-i (& ＞说＞O旋转所成旋转体体积—[解答]令:= a = asin 0，则当A ＞0时，卩I =TTp (z + 占)2 如=/r[[ (/ cof 妒+ 2i3buo汐+护加cos 饵© = jr(£/ + f 口°血十2脑)I 3 2当X €0时，空 4 X=可,(说'gJ G CM 沖竝畢-汀(-—+—/力-2^护)所以2卩平-比=4J血珅+2肿)JT⑸ 求心脏线p = 4(l + cos^和直线3 = 0及日=-围成的图形绕极轴旋转所成旋转体£-a体积［解答］将极坐标化为直角坐标形式为X =4(1+ cos, y= 4(1 + cc>s^)sin & 则血=即抵=64/7(1 + cos 軒 gmS •[-血0 cog 却一(1 + cos sin 吕弹0 =&47r(l + cos + 2 cos siti^ 田吕所以卩-斜可;(1 + cg&)气I + 2 &)(1 - GG/&)詞(g30) (x= 3S&)二64可；(1 + T)\l + 2x)(1- P沖=64 巴fci +讦(1 + 2町(1—町必 (f = l + x)=也兀Q 广一站-2?）； =1607r 2.计算题⑴ 在直线 卞一y+l=O 与抛物线 》二疋2-4工+ 5的交点上引抛物线的法线， 求由两法线 及连接两交点的弦所围成的三角形的面积 ［解答］由题意可计算两法线的方程为尸一2二一（工一1）,即卩恵一2卩+3=0匚/-5 = --(jc-4)，l 卩 x + 4y-24=09壮，则 … 卢K + 3. ,.24-Fs+l -丁如[(〒 1 f 4 1 rS.= -[b —1)必 +aJjlS-3；C 血_ 15-- 斗丿=一;^'+4工一 1所围成的面积最小.［解答］直线的斜率 k = 2x=2a ，则直线方程为即 工'+（2盘一 4）jr + l-/二0，设方程的两根为 且天［也，则片］+兀2 = 4 - 2口， 町殆=1 - 从而X] — 尤]=+ 尤2尸 一4天1兀2 = 2J2屮-Aa-^3工；-看二（兀-工1）（乂2 +兀J = 4（2 -小4加-4盘+3£ 二［'（一兀‘十4兀 一 1一 2心十二 f一 1 一 J?十（4 一=—』2(^ ' — 4C 3(十 了 • (2，_ 斗£2 + 3)42二-(时-4卫 +3)1两直线的交点为 ⑵ 过抛物线 护=兀2上的一点 血&2］作切线,问 曲为何值时所作的切线与抛物线y-以二2口 （x-a ），与抛物线相交,E（呛-4）=0卩=2开|：开（7? - 2点一 血十衍L 巩F 一 F 十2力必又 2^2—41 + 3> 0,所以 A =⑶求通过点〔口）的直线F = #（工）中使得畑环 为最小的直线方程. ［解答］设y-1 =七（盂-1）,贝y 卩=/（盂）=£i + l-七=七盂+£则 rnW 訂:［/—了W 卩必二J ：［/ —严2=［［十 一 2£严 +〔P - 2巧 J + 2^加 + a 的 号？ R=丁一號+亍（沪一2办）+ 4妊+ 2护斗7一軒匕严⑷求函数了⑴=］；（U 必 的最大值与最小值 ［解答］f ⑴=2尢（2-内昇■令n ，可得同尸0） = 2（2- 3押）茁* 一4心-齐"当x = C 时，/%0）:＞0，即/（畫）在z = 0取最小值，此时 /（R = 0 当"忑时，/"（血）=-牝J 丈0，即/（舟在"忑取最大值此时/（砧=（（2-0尹处"十/ ⑸ 求曲线y " - 2x 与y" 所围阴影部分面积 & ,并将此面积绕歹轴旋转所构成的旋转体体积，如图所示.Q ?［解答］S = J 1（丘一 2A - ”）必十［（，一 F 十2五乂兀，宀討町-”=誇3=1 — 土）由叫円可得亠呼一心。
高数第五章广义积分、定积分应用课堂练习题及参考答案
ab.
2
y
b
O
ax
1
4
(2)
四．求下列平面图形分别绕 x 轴、y 轴旋转产生的立体的体积.
1. 由椭圆 x2 y2 1围成的平面图形 a2 b2
解：如图，该旋转体可视为由上半椭圆 y b a2 x2 及 x 轴所围成的图形，绕 x 轴旋转而成 a
的立体，故
Vx
a
dV
a
a
a
b2 a2
解： Vx
2 (x3 )2 dx
0
7
x7
|02
128 7
Vy
2
8 0
x
x3dx
2
1 ( 5
x5 )
|80
64 5
（或者 Vy
8 (22 3
0
y2
)dy
(4 y
3 5
5
y3
)
|80
64 5
(3)
4. 曲线 y x3 与直线 x 0, y 1所围成的图形
解： Vy
1
(3
0
y )2 dy
；当
p 1时，发散
3.
11 1 x2
dx 1 x
1 1
2
( “对”，“错” )
11 1 x2 dx
解：错，无界函数的积分，瑕积分，瑕点为 0，
1
1 dx
01 dx
11 dx
1 x2
1 x2
0 x2
0
1
1 0 dx
lim (1 1) ，（或者
1 x2
x 1
x x 0
2
3
3
x2
x3 3
1
0
(完整版)定积分应用题附答案
《定积分的应用》复习题一．填空：1．曲线ln ,ln ,ln (0)y x y a y b a b y ===<<及轴所围成的平面图形的面积为A =ln ln by ae dy ⎰=b-a______2.2y x y ==曲线和 ____13____二．计算题：1．求由抛物线 y 2 = 2x 与直线 2x + y – 2 = 0 所围成的图形的面积。
解：（1）确定积分变量为y ，解方程组2222y x y x ⎧=⎨=-+⎩ 得12121/22,12x x y y ==⎧⎧⎨⎨==-⎩⎩ 即抛物线与直线的交点为（21，1）和( 2 , - 2 ).故所求图形在直线y = 1和y = - 2 之间，即积分区间为［－2，1 ］。
（2）在区间［－2，1］上，任取一小区间为［ y , y + dy ］,对应的窄条面积近似于高为［(１－21y ）-21y 2 ］,底为dy 的矩形面积，从而得到面积元素 dA = [(１－21y)- 21y 2 ]dy (3)所求图形面积 A =⎰-12[（1- 21y ）-21y 2 ]dy = [y - 41y 2 – 61y 3]12-= 942．求抛物线 y = - x 2 + 4x - 3 及其在点（0，- 3）和（3，0）处的切线所围成的图形的面积。
解：由y = - x 2 + 4x – 3 得 '24,'(0)4,'(3)2y x y y =-+==-。
抛物线在点（0，- 3）处的切线方程为 y = 4x – 3 ;在点（3，0）处的切线方程为 y = - 2x + 6 ; 两切线的交点坐标为 （ 32，3 ）。
故 面积A =332223029[(43)(43)][(26)(43)]4x x x dx x x x dx --+-+-+-+-=⎰⎰3．求由摆线 x = a (t – sint) , y = a( 1- cost) 的一拱（02t π≤≤）与横轴所围成的图形的面积。
第6章定积分的应用习题集及答案
第六章 习题 定积分的应用一．选择题1．曲线x y ln =、a y ln =、b y ln =（b a <<0）和y 轴所围图形的面积为（ C ） （A ）⎰ba xdx ln ln ln ； （B ）⎰be a e xdx e ； （C ）⎰ba ydy e ln ln ； （D ）⎰ae b e xdx ln ．2．曲线x e y =下方与该曲线过原点的切线左方和y 轴右方所围图形的面积为（a ）（A ）⎰-10)(dx ex e x ； （B ）⎰-edy y y y 1)ln (ln ； （C ）⎰-e x x dx x e e 1)(； （D ）⎰-10)ln (ln dy y y y ．3．摆线)sin (t t a x -=、)cos 1(t a y -=（0>a ）的一拱（π20≤≤t ）与x 轴所围图形绕x 轴旋转一周所成旋转体的体积为（ D ）（A ）⎰-ππ2022)cos 1(dt t a ； （B ）⎰--at t a d t a ππ2022)]sin ([)cos 1(； （C ）⎰-a dt t a ππ2022)cos 1(； （D ）⎰--ππ2022)]sin ([)cos 1(t t a d t a ． 4．曲线θρcos 2a =(0>a )所围图形的面积为（ D ）（A ）⎰22)cos 2(21πθθd a ； （B ）⎰-ππθθd a 2)cos 2(21；（C ）⎰πθθ202)cos 2(21d a ； （D ）⎰202)cos 2(212πθθd a ．5．连续曲线)(x f y =与直线a x =、b x =（b a <≤0）及x 轴围成的图形绕y 轴旋转一周生成的旋转体体积为（ B ）（A ）⎰ba dx x xf )(2π；（B ）⎰ba dx x f x )(2π；（C ）⎰ba dx x xf )(22π；（D ）⎰ba dx x f x )(22π． 6．半径为R 的半球形水池已装满水．要将水全部吸出水池，需做功的为 （ C ）（A ）⎰-Rdy y R 022)(π；（B ）⎰Rdy y 02π；（C ）⎰-Rdy y R y 022)(π；（D ）⎰Rdy y 03π．二．计算题1．求曲线221x y =与822=+y x 所围图形（上半平面部分）的面积．解：易知：曲线221x y =与822=+y x 的交点为(2,2)±。
数学选修2-2定积分的简单应用练习题含答案
数学选修2-2定积分的简单应用练习题含答案学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________1. 曲线y=sin x与x轴在区间[0, 2π]上所围成阴影部分的面积为（）A.−4B.−2C.2D.42. 由直线x=0，x=2，y=0和抛物线x=√1−y所围成的平面图形绕x轴旋转所得几何体的体积为（）A.46 15πB.43π C.1615π D.83π3. 由直线x=1，x=2，y=0与抛物线y=x2所围成的曲边梯形的面积为（）A.1 3B.53C.73D.1134. 由曲线y=x2+2与y=3x，x=0，x=1所围成的平面图形的面积为（）A.5 6B.1C.53D.25. 曲线y=x2和y2=x所围成的平面图形绕x轴旋转一周后，所形成的旋转体的体积为（）A.3π10B.π2C.π5D.7π106. 函数y=sin x，y=cos x在区间(π4，5π4)内围成图形的面积为（）A.√2B.2√2C.3√2D.4√27. 一物体在力F(x)=3+e2x(x的单位：m，F的单位：N)的作用下，沿着与力F相同的方向，从x=0处运动到x=1处，力F(x)所做的功为（）A.(3+e2)JB.(3+12e2)J C.(52+12e2)J D.(2+e2)J8. 由曲线y=√x，y=x−2及x轴所围成的封闭图形的面积是()A.4B.103C.163D.1549. 下列表示图中f(x)在区间[a, b]上的图象与x 轴围成的面积总和的式子中，正确的是（ ）A.∫f ba (x)dx B.|∫f ba (x)dx|C.∫f c 1a (x)dx +∫f c 2c 1(x)dx +∫f cc 2(x)dxD.∫f c 1a (x)dx −∫f c 2c 1(x)dx +∫f cc2(x)dx10. 直线y =x 与曲线y =√x 3围成的平面图形的面积是．（ ） A.14 B.2 C.1D.1211. 设函数f(x)=ax 2+c(a ≠0)，若∫f 10(x)dx =f(x 0)，0≤x 0≤1，则x 0的值为________．12. y =cos x 与直线x =0，x =π及x 轴围成平面区域面积为________．13. 由曲线y =|x|，y =−|x|，x =2，x =−2合成的封闭图形绕y 轴旋转一周所得的旋转体的体积为V ，则V =________．14. 两曲线x −y =0，y =x 2−2x 所围成的图形的面积是________．15. 由曲线y =x 2和直线x =0，x =1，以及y =0所围成的图形面积是________． 16.若在平面直角坐标系xOy 中将直线y =x 2与直线x =1及x 轴所围成的图形绕x 轴旋转一周得到一个圆锥，则该圆锥的体积V 圆锥=∫π10(x 2)2dx =π12x 3|10=π12据此类比：将曲线y =x 2与直线y =9所围成的图形绕y 轴旋转一周得到一个旋转体，则该旋转体的体积V =________．17. 在直角坐标平面内，由直线x=1，x=2，y=0和曲线y=1所围成的平面区域的x面积是________．18. 在xOy平面上，将抛物线弧y=1−x2(0≤x≤1)、x轴、y轴围成的封闭图形记为D，如图中曲边三角形OAB及内部．记D绕y轴旋转一周而成的几何体为Ω，过点(0, y)(0≤y≤1)作Ω的水平截面，所得截面面积为(1−y)π，试构造一个平放的直三棱柱，利用祖暅原理得出Ω的体积值为________．19. 函数f(x)=x3−x2+x+1在点(1, 2)处的切线与函数g(x)=x2−x围成的图形的面积等于________．2ax2−a2x)dx，则f(a)的最大值为________．20. 已知f(a)=∫(1x2在第一象限内的交点为P.21. 已知曲线C1：y2=2x与C2：y=12(1)求曲线C2在点P处的切线方程；(2)求两条曲线所围成图形的面积S.22. 求由曲线y=x2+2与y=3x，x=0，x=2所围成的平面图形的面积．23. 已知曲线C:y=x2(x≥0)，直线l为曲线C在点A(1, 1)处的切线．（1）求直线l的方程；（2）求直线l与曲线C以及x轴所围成的图形的面积．24. 如图一是火力发电厂烟囱示意图．它是双曲线绕其一条对称轴旋转一周形成的几何体，烟囱最细处的直径为10m，最下端的直径为12m，最细处离地面6m，烟囱高14m，试求该烟囱占有空间的大小．（精确到0.1m3）25.(1)已知复数z的共轭复数是z¯，且z⋅z¯−3iz=10，求z；1−3ix所围成的平面图形的面积．(2)求曲线y=√x与直线x+y=2，y=−1326.（1）已知(√x +2√x4)n 展开式的前三项系数成等差数列．求n ．（2）如图所示，在一个边长为1的正方形AOBC 内，曲线y =x 2和曲线y =√x 围成一个叶形图（阴影部分），向正方形AOBC 内随机投一点（该点落在正方形AOBC 内任何一点是等可能的），求所投的点落在叶形图内部的概率．27. 求由下列给出的边界所围成的区域的面积： （1）y ＝sin x(π4≤x ≤π)，x =π4，y ＝0；（2）y ＝x 2，y ＝2x 2，x ＝1；（3）y ＝x 2，y =√x ．28. 求由y =4−x 2与直线y =2x −4所围成图形的面积．29. 已知曲线y =sin x 和直线x =0，x =π，及y =0所围成图形的面积为S 0． （1）求S 0．（2）求所围成图形绕ox 轴旋转所成旋转体的体积．30. 已知函数y =f(x)的图形如图所示，给出y =f(x)与x =10和x 轴所围成图形的面积估计值；要想得到误差不超过1的面积估计值，可以怎么做？31. 已知曲线C:y =√x 和直线：x −2y =0由C 与围成封闭图形记为M ． （1）求M 的面积；（2）若M 绕x 轴旋转一周，求由M 围成的体积．32. 已知f(x)为一次函数，且f(x)=x ∫f 20(t)dt +1， （1）求函数f(x)的解析式；（2）若g(x)=x ⋅f(x)，求曲线y =g(x)与x 轴所围成的区域绕x 轴旋转一周所得到的旋转体的体积．33. 已知圆锥的高为ℎ，底半径为r ，用我们计算抛物线下曲边梯形面积的思路，推导圆锥体积的计算公式． [提示：（1）用若干张平行于圆锥底面的平面把它切成n 块厚度相等的薄片；（2）用一系列圆柱的体积近似地代替对应的薄片，圆柱的高为ℎn ，底半径顺次为：rn ，2r n，3r n…，(n−1)r n，r ；（3）问题归结为计算和式V(n)=ℎn ×(12+22+...+n 2)×πr 2n 2，当n 越来越大时所趋向的值．]．34. 求曲线y =√x(0≤x ≤4)上的一条切线，使此切线与直线x =0，x =4以及曲线y =√x 所围成的平面图形的面积最小．35. 过点(0, 1)作曲线L:y =ln x 的切线，切点为A ．又L 与x 轴交于B 点，区城D 由L 、x 轴与直线AB 围成，求区域D 的面积及D 绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积．36. 求曲线y =2x −x 2，y =2x 2−4x 所围成图形的面积．37. 已知∫(103ax +1)(x +b)dx =0，a ，b ∈R ，试求ab 的取值范围．38. 求下列曲线所围成图形的面积：曲线y=cos x，x=π2，x=3π2，y=0．39. 求曲线y=sin x与直线x=−π2，x=5π4，y=0所围成的平面图形的面积．40. 如图，直线y＝kx分抛物线y＝x−x2与x轴所围图形为面积相等的两部分，求k的值．参考答案与试题解析数学选修2-2定积分的简单应用练习题含答案一、 选择题 （本题共计 10 小题 ，每题 3 分 ，共计30分 ） 1.【答案】 D【考点】定积分在求面积中的应用 【解析】由积分的几何意义可得，S =2∫sin π0xdx ，即可得出结论． 【解答】解：由积分的几何意义可得，S =2∫sin π0xdx =(−cos x)|0π=4． 故选：D ． 2.【答案】 A【考点】用定积分求简单几何体的体积 【解析】由题意此几何体的体积可以看作是∫π20(1−x 2)2dx ，求出积分即得所求体积． 【解答】解：由题意几何体的体积； ∫π20(1−x 2)2dx=π(x −23x 3+15x 5)|02=π(2−23×23+15×25) =4615π 故选A ． 3. 【答案】 C【考点】定积分在求面积中的应用 【解析】先根据题意画出区域，然后依据图形利用定积分表示出曲边梯形的面积，最后用定积分的定义求出所求即可． 【解答】解：直线x =1，x =2，y =0与抛物线y =x 2所围成的曲边梯形的面积为S =∫x 221dx =13x 3|12=83−13=73，故选：C ．4.【答案】 A【考点】定积分的简单应用 【解析】因为所求区域均为曲边梯形，所以使用定积分方可求解，然后求出曲线y =x 2+2与y =3x 的交点坐标，然后利用定积分表示所围成的平面图形的面积，根据定积分的定义解之即可． 【解答】解：联立{y =x 2+2y =3x，解得x 1=1，x 2=2∴ S =∫(10x 2+2−3x)d x =[13X 3+2X −32X 2]01=56 故选：A 5.【答案】 A【考点】用定积分求简单几何体的体积 【解析】欲求曲线y =x 2和y 2=x 所围成的平面图形绕x 轴旋转一周后所形成的旋转体的体积，可利用定积分计算，即求出被积函数y =π(x −x 4)在0→1上的积分即可． 【解答】解：设旋转体的体积为V ，则v =∫π10(x −x 4)dx =π(12x 2−15x 5)|01=3π10．故旋转体的体积为：3π10． 故选A ． 6. 【答案】 B【考点】定积分在求面积中的应用 【解析】根据定积分的几何意义，所求面积为S =∫(5π4π4sin x −cos x)dx ，然后利用公式求出sin x −cos x 的原函数F(x)，算出F(5π4)−F(π4)的值，即为所求图形的面积． 【解答】解：根据题意，所求面积为S =∫(5π4π4sin x −cos x)dx =(−cos x −sin x +C)|π45π4 （其中C 为常数） ∴ S =(−cos 5π4−sin5π4+C)−(−cos π4−sin π4+C)=(√22+√22+C)−(−√22−√22+C)=2√2 故选B 7.【答案】 C【考点】定积分的简单应用 【解析】先根据题意建立关系式∫(103+e 2x )dx ，然后根据定积分的计算法则求出定积分的值即可． 【解答】解：根据题意可知F(x)所做的功为∫(103+e 2x )dx =(3x +12e 2x )|01=3+12e 2−12=52+12e 2故选C ．8.【答案】 B【考点】定积分在求面积中的应用 【解析】根据定积分的几何意义，先求出积分的上下限，即可求出所围成的图形的面积 【解答】解：联立直线y =x −2，曲线y =√x 构成方程组，解得{x =4,y =2,联立直线y =x −2，y =0构成方程组，解得{x =2,y =0,如图所示：∴曲线y=√x，y=x−2及x轴所围成的封闭图形的面积S=∫√x40dx−∫(42x−2)dx=2x32|04 −(1x2−2x)|24=163−2=103．故选B．9.【答案】D【考点】定积分在求面积中的应用定积分定积分的简单应用【解析】先根据定积分的几何意义可知将区间[a, b]分成三段，然后利用上方曲线方程减下方的曲线方程，求积分即为面积，从而求出所求．【解答】解：根据定积分的几何意义可知将区间[a, b]分成三段利用上方曲线方程减下方的曲线方程，求积分即为面积S=∫fc1a (x)dx−∫fc2c1(x)dx+∫fcc2(x)dx故选：D10.【答案】D【考点】定积分在求面积中的应用【解析】先画出画出直线y=x与曲线y=√x3围成的平面图形，然后求出交点横坐标得到积分上下限，然后利用定积分表示出图形的面积，根据定积分的运算法则进行求解即可．【解答】解：画出直线y=x与曲线y=√x3围成的平面图形图形关于原点对称，交点的横坐标为−1，1∴直线y=x与曲线y=√x3围成的平面图形的面积是∫(1−1√x3−x)dx=2∫(1√x3−x)dx=2(34x43−12x2)|01=2(34−12−0)=12故选D ．二、 填空题 （本题共计 10 小题 ，每题 3 分 ，共计30分 ） 11.【答案】 √33【考点】定积分的简单应用 【解析】求出定积分∫f 10(x)dx ，根据方程ax 02+c =∫f 10(x)dx 即可求解．【解答】解：∵ f(x)=ax 2+c(a ≠0)，∴ f(x 0)=∫f 10(x)dx =[ax 33+cx]01=a3+c ．又∵f(x 0)=ax 02+c ．∴ x 02=13，∵ x 0∈[0, 1]∴ x 0=√33． 12.【答案】2【考点】定积分在求面积中的应用 【解析】本题利用直接法求解，根据三角函数的对称性知，曲线y =cos x 与直线x =0，x =π所围成的平面区域的面积S 为：曲线y =cos x 与直线x =0，x =π2所围成的平面区域的面积的两倍，最后结合定积分计算面积即可． 【解答】解：根据对称性，得：曲线y =cos x 与直线x =0，x =π所围成的平面区域的面积S 为：曲线y =cos x 与直线x =0，x =π2所围成的平面区域的面积的两倍， ∴ S =2∫cos π20xdx =2 故答案为2．13.【答案】323π【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）用定积分求简单几何体的体积【解析】作出曲线围成的封闭图象，根据旋转得到旋转体的结构即可得到结论．【解答】解：曲线y=|x|，y=−|x|，x=2，x=−2合成的封闭图形绕y轴旋转一周所得的旋转体为底面半径为2，高为4的圆柱，去掉2个底面半径为2，高为2的圆锥，则对应的体积为π×42−2×13π×22×2=16π−16π3=323π，故答案为：323π14.【答案】92【考点】定积分在求面积中的应用【解析】先根据题意画出区域，然后依据图形得到积分上限为3，积分下限为0，从而利用定积分表示出曲边梯形的面积，最后用定积分的定义求出所求即可．【解答】解：先根据题意画出图形，得到积分上限为3，积分下限为0；两曲线x−y=0，y=x2−2x所围成的图形的面积是∫(33x−x2)dx而∫(303x−x2)dx=(32x2−13x3)|03=272−9=92∴曲边梯形的面积是92故答案为92．15. 【答案】13【考点】定积分在求面积中的应用 【解析】作出两个曲线的图象，求出它们的交点，由此可得所求面积为函数y =x 2在区间[0, 1]上的定积分的值，再用定积分计算公式加以运算即可得到本题答案． 【解答】解：∵ 曲线y =x 2和直线L:x =1的交点为A(1, 1)，∴ 曲线C:y =x 2、直线L:x =1与x 轴所围成的图形面积为 S =∫x 210dx =13x 3|01=13．故答案为：13．16. 【答案】81π2【考点】用定积分求简单几何体的体积 【解析】根据类比推理，结合定积分的应用，即可求出旋转体的体积． 【解答】解：根据类比推理得体积V =∫π90(√y)2dy =∫π90ydy =12πy 2|09=81π2，故答案为：81π2.17.【答案】 ln 2【考点】定积分在求面积中的应用 【解析】先根据所围成图形的面积利用定积分表示出来，然后根据定积分的定义求出面积即可． 【解答】解：由题意，S =∫1x 21dx =ln x|12=ln 2．故答案为：ln 2． 18. 【答案】√34π 【考点】用定积分求简单几何体的体积 【解析】(1−y)π看作是把一个底面边长为1，高为π的直三棱柱平放得到的，根据祖暅原理，每个平行水平面的截面积相等，故它们的体积相等，即可得出结论． 【解答】解：(1−y)π看作是把一个底面边长为1，高为π的直三棱柱平放得到的， 根据祖暅原理，每个平行水平面的截面积相等，故它们的体积相等， 即Ω的体积为π⋅√34=√34π． 故答案为√34π． 19. 【答案】92【考点】定积分在求面积中的应用 【解析】求出函数的切线方程，利用积分的几何意义即可求出区域的面积． 【解答】解：函数的导数为f′(x)=3x 2−2x +1，则在(1, 2)处的切线斜率k =f′(1)=3−2+1=2， 则对应的切线方程为y −2=2(x −1)，即y =2x ， 由{y =x 2−x y =2x，解得x =3或x =0，则由积分的几何意义可得阴影部分的面积S =∫(302x −x 2+x)dx =(32x 2−13x 3)| 30 =92，故答案为：92．20. 【答案】29【考点】定积分的简单应用 【解析】先根据定积分的运算公式求出f(a)的解析式，然后利用二次函数的图象和性质即可求出f(a)的最大值． 【解答】解：f(a)=∫(102ax 2−a 2x)dx =(23ax 3−12a 2x 2)|01=23a −12a 2∴ 当a =23时，f(a)取最大值，最大值为29 故答案为：29三、 解答题 （本题共计 20 小题 ，每题 10 分 ，共计200分 ） 21.【答案】解：(1)∵ 交点为P(2,2),∴ 曲线C 2的导函数为：y ′=x ∴ 切点坐标为(2,2)，故该点的切线方程为：2x −y −2=0. (2)两曲线交点坐标(0,0),(2,2), S ∈∫(√2x −12x 2)20dx =43.【考点】定积分在求面积中的应用利用导数研究曲线上某点切线方程 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：(1)∵ 交点为P(2,2),∴ 曲线C 2的导函数为：y ′=x ∴ 切点坐标为(2,2)，故该点的切线方程为：2x −y −2=0. (2)两曲线交点坐标(0,0),(2,2), S ∈∫(√2x −12x 2)20dx =43. 22. 【答案】解：联立{y =x 2+2y =3x，解得x 1=1，x 2=2∴ S =∫(10x 2+2−3x)d x +∫(213x −x 2−2)d x =[13X 3+2X −32X 2]01+[32X 2−13X 3−2X]12=1【考点】定积分的简单应用 【解析】因为所求区域均为曲边梯形，所以使用定积分方可求解． 【解答】解：联立{y =x 2+2y =3x，解得x 1=1，x 2=2∴ S =∫(10x 2+2−3x)d x +∫(213x −x 2−2)d x =[13X 3+2X −32X 2]01+[32X 2−13X 3−2X]12=1 23. 【答案】解：（1）由y′=2x ，则切线l 的斜率k =y′|x=1=2×1=2，切线l 的方程为y −1=2(x −1)即2x −y −1=0；（2）如图，所求的图形的面积s =∫x 2120dx +∫[112x 2−(2x −1)]dx =112．【考点】定积分在求面积中的应用利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】（1）根据导数的几何意义即可求出切线方程；（2）根据定积分的几何意义即可求出所围成的图形的面积． 【解答】解：（1）由y′=2x ，则切线l 的斜率k =y′|x=1=2×1=2，切线l 的方程为y −1=2(x −1)即2x −y −1=0；（2）如图，所求的图形的面积s =∫x 2120dx +∫[112x 2−(2x −1)]dx =112．24.【答案】解：由题意，将烟囱横截面按照如图放置，建立坐标系如图，双曲线的短轴长为2A =10，并且过(−6, 6)，所以双曲线方程为y 225−11x 225×36=1，所以V =π∫(8−611x 236+25)dx =1659.2m 3【考点】用定积分求简单几何体的体积 双曲线的特性【解析】由题意建立坐标系，得到如图的双曲线，烟囱最细处的直径为10m 即2a =10，最下端的直径为12m ，最细处离地面6m ，即双曲线经过(−6, 6)，烟囱高14m ，即自变量范围为−6到8，由此利用定积分的值得到体积． 【解答】解：由题意，将烟囱横截面按照如图放置，建立坐标系如图，双曲线的短轴长为2A =10，并且过(−6, 6)， 所以双曲线方程为y 225−11x 225×36=1，所以V =π∫(8−611x 236+25)dx =1659.2m 325.【答案】解：(1)设z =a +bi (a,b ∈R )， 则z ¯=a −bi ，∴ z ⋅z ¯−3iz =a 2+b 2+3b −3ai . 又∵ z ⋅z ¯−3iz =101−3i =1+3i ， ∴ {a 2+b 2+3b =1，−3a =3，解得 {a =−1，b =0，或{a =−1，b =−3，∴ z =−1或z =−1−3i . (2)由{y =√x ，x +y =2，解得{x =1，y =1，即曲线y =√x 与直线x +y =2的交点坐标为(1,1)， 同理可得，曲线y =√x 与直线y =−13x 的交点坐标为(0,0)，直线x +y =2与直线y =−13x 的交点坐标为(3,−1)，所以围成的平面图形的面积为： S =∫(√x +13x)10dx +∫(2−x +13x)31dx=(23x 32+16x 2)|01+(2x −13x 2)|13=136．【考点】 复数的运算 共轭复数复数代数形式的混合运算 定积分在求面积中的应用 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：(1)设z =a +bi (a,b ∈R )， 则z ¯=a −bi ，∴ z ⋅z ¯−3iz =a 2+b 2+3b −3ai . 又∵ z ⋅z ¯−3iz =101−3i =1+3i ， ∴ {a 2+b 2+3b =1，−3a =3，解得 {a =−1，b =0，或{a =−1，b =−3，∴ z =−1或z =−1−3i . (2)由{y =√x ，x +y =2，解得{x =1，y =1，即曲线y =√x 与直线x +y =2的交点坐标为(1,1)， 同理可得，曲线y =√x 与直线y =−13x 的交点坐标为(0,0)， 直线x +y =2与直线y =−13x 的交点坐标为(3,−1)，所以围成的平面图形的面积为： S =∫(√x +13x)10dx +∫(2−x +13x)31dx=(23x 32+16x 2)|01+(2x −13x 2)|13=136．26. 【答案】解：（1）∵ (√x 2x4)n 展开式的前三项系数成等差数列，∴ C n 0+C n 2(12)2=2C n 1⋅12…∴ 1+n(n−1)2×14=n ，整理得n 2−9n +8=0，n 1=1（舍） n 2=8…（2）所投的点落在叶形图内记为事件A ，由几何概型的概率公式得： P(A)=叶形图面积AOBC 的面积=∫(10√x−x 2)dx1=(23x 32−13x 3)|01=13…【考点】二项式定理的应用定积分在求面积中的应用 等差数列的性质几何概型计算（与长度、角度、面积、体积有关的几何概型） 【解析】（1）由题意可得，C n 0+C n 2(12)2=2C n 1⋅12，解关于n 的方程即可；（2）由几何概型的概率公式可知，需求叶形图的面积，利用定积分∫(10√x −x 2)dx 可求叶形图的面积，从而使问题解决． 【解答】解：（1）∵ (√x 2√x4)n 展开式的前三项系数成等差数列，∴ C n 0+C n 2(12)2=2C n 1⋅12…∴1+n(n−1)2×14=n，整理得n2−9n+8=0，n1=1（舍）n2=8…（2）所投的点落在叶形图内记为事件A，由几何概型的概率公式得：P(A)=叶形图面积AOBC的面积=∫(1√x−x2)dx1=(23x32−13x3)|01=13…27.【答案】利用S=∫ππ4sin xdx=(−cos x)|π4π=1+√22．利用S=∫10(2x2−x2)dx=23x3|01−13x3|01=13．由于{y=x2y=√x，解得{x=0y=0或{x=1y=1，所以S=∫10(√x−x2)dx=23x32|01−13x3|01=23−13=13．【考点】定积分的简单应用【解析】首先求出被积函数的原函数，进一步利用定积分知识求出结果．【解答】利用S=∫ππ4sin xdx=(−cos x)|π4π=1+√22．利用S=∫10(2x2−x2)dx=23x3|01−13x3|01=13．由于{y=x2y=√x，解得{x=0y=0或{x=1y=1，所以S=∫10(√x−x2)dx=23x32|01−13x3|01=23−13=13．28.【答案】解：由y=4−x2与直线y=2x−4联立，可得交点(−4, −12)，(2, 0)，∴y=4−x2与直线y=2x−4所围成图形的面积S=∫(2−44−x2−2x+4)dx=(−13x3−x2+8x)|−42=36．【考点】定积分在求面积中的应用【解析】先联立方程，组成方程组，求得交点坐标，可得被积区间，再用定积分表示出y=4−x2与直线y=2x−4所围成图形的面积，即可求得结论．【解答】解：由y=4−x2与直线y=2x−4联立，可得交点(−4, −12)，(2, 0)，∴y=4−x2与直线y=2x−4所围成图形的面积S=∫(2−44−x2−2x+4)dx=(−13x 3−x 2+8x)|−42=36．29. 【答案】解：（1）S 0=∫sin π0xdx =[−cos x]0π=(−cos π)−(−cos 0)=1+1=2 （2）V =π∫sin 2π0xdx =π[x2−14sin 2x]0π=π(π2−14×0)=π22【考点】用定积分求简单几何体的体积 定积分在求面积中的应用【解析】（1）根据题意可知曲线y =sin x 和直线x =0，x =π，及y =0所围成图形的面积为S 0=∫sin π0xdx ，解之即可；（2）所围成图形绕ox 轴旋转所成旋转体的体积为V =π∫sin 2π0xdx ，根据定积分的定义解之即可． 【解答】解：（1）S 0=∫sin π0xdx =[−cos x]0π=(−cos π)−(−cos 0)=1+1=2 （2）V =π∫sin 2π0xdx=π[x 2−14sin 2x]0π=π(π2−14×0)=π2230.【答案】解：设f(x)=ax 3+bx 2+cx +d ，则f′(x)=3ax 2+2bx +c ， 由图象可知{ f(0)=0f(1)=1f′(4)=0f′(7)=0，即{ d =0a +b +c =0c 3a =28−2b 3a =11，解得{ a =2137b =−33137c =168137d =0， ∴ f(x)=2137x 3−33137x 2+168137x ． ∴ S =∫f 100(x)dx =(2137×x 44−33137×x 33+168137×x 22)|10≈17.5． 若要想得到误差不超过1的面积估计值，可使用分段函数求出f(x)的解析式，然后使用定积分求出面积． 【考点】定积分在求面积中的应用 【解析】设f(x)=ax 3+bx 2+cx +d ，利用待定系数法确定函数关系式，利用定积分求出面积估计值；若要误差小可分段求出f(x)的解析式，然后使用定积分求出面积． 【解答】解：设f(x)=ax 3+bx 2+cx +d ，则f′(x)=3ax 2+2bx +c ，由图象可知{ f(0)=0f(1)=1f′(4)=0f′(7)=0，即{ d =0a +b +c =0c 3a =28−2b 3a =11，解得{ a =2137b =−33137c =168137d =0， ∴ f(x)=2137x 3−33137x 2+168137x ． ∴ S =∫f 100(x)dx=(2137×x 44−33137×x 33+168137×x 22)|10≈17.5． 若要想得到误差不超过1的面积估计值，可使用分段函数求出f(x)的解析式，然后使用定积分求出面积． 31. 【答案】解：（1）曲线C:y =√x 和直线：x −2y =0联立，可得交点坐标为(4, 2)，则 S =∫(40√x −12x)dx =(23x 32−x 24)|04=43；（2）V =∫[40π(√x)2−π(x2)2]dx =π(x 22−x 312)|04=8π3．【考点】用定积分求简单几何体的体积 旋转体（圆柱、圆锥、圆台）【解析】（1）求得交点坐标，可得积分区间，即可求M 的面积； （2）旋转一周所得旋转体的体积应该用定积分来求．【解答】 解：（1）曲线C:y =√x 和直线：x −2y =0联立，可得交点坐标为(4, 2)，则 S =∫(40√x −12x)dx =(23x 32−x 24)|04=43； （2）V =∫[40π(√x)2−π(x2)2]dx=π(x 22−x 312)|04=8π3．32.【答案】 解：（1）设f(x)=kx +b ， ∵ f(x)=x ∫f 20(t)dt +1， ∴ kx +b =x •(kt 22+bt)|02+1，∴ kx +b =(2k +2b)x +1，∴ k =−2，b =1， ∴ f(x)=−2x +1，；2)g(x)=xf(x)=−2x 2+x ， ∴ V =π∫[120xf(x)]2dx =π240． 【考点】用定积分求简单几何体的体积定积分【解析】（1）利用待定系数法，结合定积分的定义求函数f(x)的解析式；（2）求出g(x)，应用定积分来求旋转体的体积．【解答】解：（1）设f(x)=kx+b，∵f(x)=x∫f2(t)dt+1，∴kx+b=x•(kt22+bt)|02+1，∴kx+b=(2k+2b)x+1，∴k=−2，b=1，∴f(x)=−2x+1，；2)g(x)=xf(x)=−2x2+x，∴V=π∫[120xf(x)]2dx=π240．33.【答案】解：（1）若干张平行于圆锥底面的平面把它切成n块厚度相等的薄片；（2）用一系列圆柱的体积近似地代替对应的薄片，圆柱的高为ℎn ，底半径顺次为：rn，2r n ，3rn…，(n−1)rn，r；（3）问题归结为计算和式V(n)=ℎn ×(12+22+...+n2)×πr2n2，当n越来越大时所趋向的值．（对V求极限V=limn→∞ℎn×(12+22+...+n2)×πr2n2=lim n→∞ℎn⋅16n(n+1)(2n+1)⋅πr2n2=ℎπr26limn→∞2n2+3n+1n2=πr2ℎ3=13S底ℎ故圆锥的体积等于13的圆柱体的体积【考点】用定积分求简单几何体的体积【解析】利用极限的定义进行分割、近似代换和求极限的方法，进行推到【解答】解：（1）若干张平行于圆锥底面的平面把它切成n块厚度相等的薄片；（2）用一系列圆柱的体积近似地代替对应的薄片，圆柱的高为ℎn ，底半径顺次为：rn，2r n ，3rn…，(n−1)rn，r；（3）问题归结为计算和式V(n)=ℎn ×(12+22+...+n2)×πr2n2，当n越来越大时所趋向的值．（对V求极限V=limn→∞ℎn×(12+22+...+n2)×πr2n2=lim n→∞ℎ⋅1n(n+1)(2n+1)⋅πr22=ℎπr26limn→∞2n2+3n+1n2=πr2ℎ3=13S底ℎ故圆锥的体积等于13的圆柱体的体积34.【答案】解：设(x0, y0)为曲线y=√x(0≤x≤4)上任一点，得曲线于该点处的切线方程为：y−y0=2√x −x0)即y=y02+2√x．得其与x=0，x=4的交点分别为(0,y02)，(4,y02+2y0)于是由此切线与直线x=0，x=4以及曲线y=√x所围的平面图形面积为：S=∫(4 0y022x√x)dx=2y0+x−163=2√x0x−163应用均值不等式求得x0=2时，S取得最小值．即所求切线即为：y=22+√22．【考点】定积分在求面积中的应用【解析】先根据导数的几何意义求出曲线y=√x(0≤x≤4)上任一点处的切线方程，再求出积分的上下限，然后利用定积分表示出图形面积，最后利用定积分的定义进行求解即可．【解答】解：设(x0, y0)为曲线y=√x(0≤x≤4)上任一点，得曲线于该点处的切线方程为：y−y0=2x −x0)即y=y02+2x．得其与x=0，x=4的交点分别为(0,y02)，(4,y02+2y0)于是由此切线与直线x=0，x=4以及曲线y=√x所围的平面图形面积为：S=∫(4 0y022√x√x)dx=2y0+√x−163=2√x0√x−163应用均值不等式求得x0=2时，S取得最小值．即所求切线即为：y=2√2+√22．35.【答案】解：设切线方程为y =kx +1，切点坐标为(a, b)， 则{k =1aka +1=b ln a =b ，解得a =e 2，b =2，∴ 切线方程为y =1e 2x +1．将y =0代入y =1e 2x +1得x =−e 2，∴ B(−e 2, 0)． ∴区域D 的面积为∫(e 2−e 21e 2x+1)dx −∫ln e 21xdx=x 22e 2+x|e 2−e 2−x(ln x −1)|e 21=2e 2+e 2=3e 2．区域D 绕x 轴旋转一周所得几何体体积为13⋅π⋅22⋅2e 2−π⋅∫(e 21ln x)2dx =8πe 23−π⋅x[(ln x)2−2ln x +2]|e 21=8πe 23−(2e 2−2)⋅π=2πe 23+2π．【考点】用定积分求简单几何体的体积 【解析】求出A 的坐标和切线方程，则所求面积和体积均可用两个定积分的差来表示． 【解答】解：设切线方程为y =kx +1，切点坐标为(a, b)， 则{k =1aka +1=b ln a =b，解得a =e 2，b =2，∴ 切线方程为y =1e 2x +1．将y =0代入y =1e 2x +1得x =−e 2，∴ B(−e 2, 0)． ∴区域D 的面积为∫(e 2−e 21e 2x+1)dx −∫ln e 21xdx=x 22e 2+x|e 2−e 2−x(ln x −1)|e 21=2e 2+e 2=3e 2．区域D 绕x 轴旋转一周所得几何体体积为13⋅π⋅22⋅2e 2−π⋅∫(e 21ln x)2dx=8πe 23−π⋅x[(ln x)2−2ln x +2]|e 21=8πe 23−(2e 2−2)⋅π=2πe 23+2π．36. 【答案】解：由{y =2x −x 2y =2x 2−4x ，得{x =0y =0或{x =2y =0， ∴ 所求图象的面积为：∫[20(2x −x 2)−(2x 2−4x)]dx =∫(206x −3x 2)dx =(3x 2−x 3)|02=3×22−23=12−8=4． 【考点】定积分在求面积中的应用 【解析】先求出两曲线的交点坐标，利用定积分的应用即可求出对应图形的面积． 【解答】解：由{y =2x −x 2y =2x 2−4x ，得{x =0y =0或{x =2y =0， ∴ 所求图象的面积为：∫[20(2x −x 2)−(2x 2−4x)]dx =∫(206x −3x 2)dx =(3x 2−x 3)|02=3×22−23=12−8=4． 37. 【答案】解：∫(103ax +1)(x +b)dx =∫[103ax 2+(3ab +1)x +b]dx=[ax 3+12(3ab +1)x 2+bx]|01 =a +12(3ab +1)+b =0即3ab +2(a +b)+1=0 设ab =t ∴ a +b =−3t+12则a ，b 为方程x 2+3t+12x +t =0两根△=(3t+1)24−4t ≥0∴ t ≤19或t ≥1∴ a ⋅b ∈(−∞, 19]∪[1, +∞) 【考点】定积分的简单应用 【解析】先根据定积分的运算法则建立a 与b 的等量关系，然后设ab =t 则a +b =−3t+12，再利用构造法构造a ，b 为方程x 2+3t+12x +t =0两根，然后利用判别式可求出a ．b 的取值范围． 【解答】解：∫(103ax +1)(x +b)dx =∫[103ax 2+(3ab +1)x +b]dx=[ax 3+12(3ab +1)x 2+bx]|01 =a +12(3ab +1)+b =0即3ab +2(a +b)+1=0 设ab =t ∴ a +b =−3t+12则a ，b 为方程x 2+3t+12x +t =0两根△=(3t+1)24−4t ≥0∴ t ≤19或t ≥1∴ a ⋅b ∈(−∞, 19]∪[1, +∞) 38.【答案】解：根据对称性，得： 曲线y =cos x 与直线x =π2、x =3π2、y =0所围成的平面区域的面积S 为：曲线y =cos x与直线x =π2，x =π所围成的平面区域的面积的二倍， ∴ S =−2∫cos ππ2xdx =−2sin x =2．故曲线y =cos x 与直线x =π2、x =3π2、y =0所围成的面积为2．【考点】定积分在求面积中的应用 【解析】本题利用直接法求解，根据三角函数的对称性知，曲线y =cos x 与直线x =π2、x =3π2、y =0所围成的平面区域的面积S 为：曲线y =cos x 与直线x =π2，x =π所围成的平面区域的面积的二倍，最后结合定积分计算面积即可． 【解答】解：根据对称性，得： 曲线y =cos x 与直线x =π2、x =3π2、y =0所围成的平面区域的面积S 为：曲线y =cos x与直线x =π2，x =π所围成的平面区域的面积的二倍， ∴ S =−2∫cos ππ2xdx =−2sin x =2．故曲线y =cos x 与直线x =π2、x =3π2、y =0所围成的面积为2．39. 【答案】解：s =∫|5π4−π2sin x|dx =−∫sin 0−π2xdx+∫sin π0xdx−∫sin 5π4πxdx=cos x|−π20−cos x|0π+cos x|π5π4=1+2+(−√22+1)=4−√22． 【考点】定积分在求面积中的应用 【解析】求曲线y =sin x 与直线x =−π2，x =5π4，y =0所围成的平面图形的面积【解答】解：s =∫|5π4−π2sin x|dx =−∫sin 0−π2xdx+∫sin π0xdx−∫sin 5π4πxdx=cos x|−π20−cos x|0π+cos x|π5π4=1+2+(−√22+1)=4−√22． 40.【答案】 由 {y =kx y =x −x2 得 {x =1−k y =k −k 2 (0<k <1)． 由题设得∫10−k[(x −x 2)−kx]dx =12∫(10x −x 2)dx 即∫10−k[(x −x 2)−kx]dx =12( 12x 2−13x 3)|01=112 ∴ (1−k)3=12 ∴ k ＝1−√432∴ 直线方程为y ＝(1−√432)x ． 故k 的值为：k =1−√432．【考点】定积分的简单应用 【解析】先由 {y =kx y =x −x 2 得 {x =1−k y =k −k 2 ，根据直线y ＝kx 分抛物线y ＝x −x 2与x 轴所围成图形为面积相等的两个部分得∫10−k[(x −x 2)−kx]dx =12∫(10x −x 2)dx 下面利用定积分的计算公式即可求得k 值． 【解答】由 {y =kx y =x −x 2得 {x =1−k y =k −k 2 (0<k <1)．由题设得∫10−k[(x −x 2)−kx]dx =12∫(10x −x 2)dx 即∫10−k[(x −x 2)−kx]dx =12( 12x 2−13x 3)|01=112试卷第31页，总31页 ∴ (1−k)3=12 ∴k ＝1−√432∴ 直线方程为y ＝(1−√432)x ． 故k 的值为：k =1−√432．。
高等数学(定积分的应用)习题及解答
练习6-2练习6-2练习6-3总习题六高等数学（文专）练习题A一、单项选择题在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
下列函数是奇函数的是（）．（A）1y x=+；（B）e e2x xy-+=；（C）e e2x xy--=；（D）2y x x=+．2．ln(2)y x=-的定义域为（）．（A）(,2)-∞；（B）(2,)+∞；（C ）(,2)(2,)-∞+∞； （D ）(,)-∞+∞．3．设2()sin f x x x =+，则2f π⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）．（A ）24π； （B ）214π+； （C ）214π-； （D ）424πππ⎛⎫+⎪⎝⎭． 4．3d (e )d xx x+=（ ）． （A ）3e 1x +； （B ）33e 1x +； （C ）31e 13x +； （D ）3211e 32x x +．5．ln d xx x=⎰（ ）． （A ）ln |ln |x ； （B ）ln ln ||x c + （C ）21(ln )2x（D ）21(ln )2x c +．6．10(1)d x x +=⎰（ ）． （A ）2；（B ）1；（C ）32； （D ）12． 7．设)(x f 在点x a =处可导，那么=--+→h h a f h a f h )2()(lim（ ）.A ． )(3a f 'B ． )(2a f 'C ． )(a f 'D ．)(31a f '8. 函数2x e y -=的图形的水平渐近线方程为（ ） A ．1=yB ．1=xC ．0=yD ．0=x9.cos()x dx +=⎰5( )A. 155cos()x c ++ B.55sin()x c ++ C.55cos()x c ++ D. sin()x c ++5 二、填空题 10．xxx 23sin lim0→ ___________.11．x x e y x sin ln 2-+=则='y ． 12．dx x ⎰--3329 =．13．曲线y =在1x =处的切线方程为 _______________.14．已知某商品的成本函数为221020)(q q q C +-= (万元),则20=q 时的边际成本为___________．15．若函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠--=2,2,242x a x x x y 在2=x 处连续，则=a ______.16．x x f sin )(=在[]π,0上满足罗尔中值定理的条件, 当ξ= 时,0)(='ξf ． 三、计算题 17．求)32(13lim23--+-→x x x x x .18．求由方程423=+y x 所确定的隐函数y=y(x)的dxdy . 19．求极限1lim(13)xx x →-．20．求极限201cos lim2x xx →-．21．设)0()1(>+++=a ax x a y aax，求.dy 22．计算⎰+edx xx1ln 2 23．求dx xex ⎰-22四、综合题24．求函数212x xy +=的极值与拐点.25．证明：当1x >时，22(1)ln (1)x x x ->-。
（完整版）定积分习题及答案
第五章定积分(A 层次)1．203cos sin xdx x ；2．a dx x ax222；3．31221xxdx ；4．1145x xdx ；5．411xdx ；6．14311xdx ；7．21ln 1e xx dx ；8．02222xxdx ；9．dx x 02cos 1；10．dx x x sin 4；11．dx x 224cos 4；12．55242312sin dx xxx x ；13．342sin dx xx ；14．41ln dx xx ；15．1xarctgxdx ；16．202cosxdx e x ；17．dx x x 02sin ；18．dx x e 1ln sin ；19．243cos cos dx x x ；20．40sin 1sin dx x x ；21．dx xxx 02cos 1sin ；22．2111lndx xx x ；23．dx xx 4211；24．20sin ln xdx ；25．211dx xxdx0。
(B 层次)1．求由0cos 0x y ttdtdte 所决定的隐函数y 对x 的导数dxdy 。
2．当x 为何值时，函数x tdt tex I 02有极值？3．x xdt t dxd cos sin 2cos 。
4．设1,211,12xx x x xf ，求20dx x f 。
5．1lim22xdtarctgt xx 。
6．设其它,00,sin 21xx xf ，求x dt t f x。
7．设时当时当0,110,11xex xxf x，求201dx xf 。
8．2221limnn nnn。
9．求nk nknknnen e 12lim 。
10．设x f 是连续函数，且12dt t f x x f ，求x f 。
11．若2ln 261xtedt ，求x 。
12．证明：212121222dxeex。
13．已知axxx dx ex axa x 224lim，求常数a 。
定积分习题及答案
定积分习题及答案定积分习题及答案定积分是微积分中的重要概念之一，广泛应用于数学、物理、工程等领域。
掌握定积分的计算方法和应用是学习微积分的关键。
在本文中，我们将介绍一些常见的定积分习题，并给出详细的解答。
1. 计算定积分∫(0 to 1) x^2 dx。
解答：根据定积分的定义，我们可以先求出x^2的不定积分，然后再进行定积分的计算。
x^2的不定积分为(1/3)x^3，所以∫(0 to 1) x^2 dx = (1/3)x^3 |(0 to1) = (1/3)(1^3 - 0^3) = 1/3。
2. 计算定积分∫(1 to 2) (2x + 1) dx。
解答：根据定积分的性质，我们可以将定积分拆分为两个部分：∫(1 to 2) 2x dx + ∫(1 to 2) 1 dx。
第一个部分的不定积分为x^2，第二个部分的不定积分为x。
所以∫(1 to 2) (2x + 1) dx = (x^2) |(1 to 2) + (x) |(1 to 2) = (2^2 - 1^2) + (2 - 1)= 4 - 1 + 1 = 4。
3. 计算定积分∫(0 to π) sin(x) dx。
解答：sin(x)的不定积分为-cos(x)，所以∫(0 to π) sin(x) dx = (-cos(x)) |(0 to π) = -cos(π) - (-cos(0)) = 1 - (-1) = 2。
4. 计算定积分∫(0 to 1) e^x dx。
解答：e^x的不定积分为e^x，所以∫(0 to 1) e^x dx = (e^x) |(0 to 1) = e^1 -e^0 = e - 1。
5. 计算定积分∫(0 to 2π) cos(x) dx。
解答：cos(x)的不定积分为sin(x)，所以∫(0 to 2π) cos(x) dx = (sin(x)) |(0 to 2π)= sin(2π) - sin(0) = 0。
6.定积分的几何应用
x + dx b
x
小切线段的长 (dx )2 + (dy )2 = 1 + y′ 2 dx
′ 2 dx 弧长 s = 弧长元素 ds = 1 + y 1 + y′ 2 dx . ∫
b a
2 3 例 7 计算曲线 y = x 2 上相应于 x 从 a 到 b 3
的一段弧的长度. 的一段弧的长度
解
∵ y′ = x ,
2 2
的面积.
解 由对称性知总面 积=4倍第一象限 倍第一象限 部分面积
A = 4A1
y= x
ρ 2 = a 2 cos 2θ
1 2 A = 4∫0 a cos2θdθ = a2 . 2
4
π
例 6 求心形线r = a (1 + cos θ )所围平面图形的 面积 (a > 0).
解
dθ
1 2 2 dA= a (1+ cos ) dθ θ 2
2π
的周长. ( 0 ≤ t ≤ 2π) 的周长
s1 = ∫ =∫
0
0
′ 2 dx 1+ y 1 + a 2 cos 2 xdx 1 + a cos xdx ,
2 2
2π
= 2∫
π
0
设椭圆的周长为 s2
s2 =
∫0
π
π
2π
(x ′ )
2
2
+ ( y ′ ) dt ,
2
根据椭圆的对称性知
s2 = 2∫
x = r (θ ) cosθ ∵ y = r (θ ) sinθ
2 2
(α ≤ θ ≤ β )
= r 2 (θ ) + r ′ 2 (θ )dθ , ∴ ds = (dx ) + (dy )
(完整版)§定积分的应用习题与答案
第六章 定积分的应用（A ）1、求由下列各曲线所围成的图形的面积 1）221x y =与822=+y x （两部分都要计算）2）xy 1=与直线x y =及2=x3）xe y =，xe y -=与直线1=x4）θρcos 2a =5）t a x 3cos =，t a y 3sin =１、求由摆线()t t a x sin -=，()t a y cos 1-=的一拱()π20≤≤t 与横轴所围成的图形的面积２、求对数螺线θρae=()πθπ≤≤-及射线πθ=所围成的图形的面积３、求由曲线x y sin =和它在2π=x 处的切线以及直线π=x 所围成的图形的面积和它绕x 轴旋转而成的旋转体的体积４、由3x y =，2=x ，0=y 所围成的图形，分别绕x 轴及y 轴旋转，计算所得两旋转体的体积５、计算底面是半径为R 的圆，而垂直于底面上一条固定直径的所有截面都是等边三角形的立体体积６、计算曲线()x y -=333上对应于31≤≤x 的一段弧的长度７、计算星形线t a x 3cos =，t a y 3sin =的全长８、由实验知道，弹簧在拉伸过程中，需要的力→F （单位：N ）与伸长量S （单位：cm ）成正比，即：kS =→F （k 是比例常数），如果把弹簧内原长拉伸6cm ， 计算所作的功９、一物体按规律3ct x =作直线运动，介质的阻力与速度的平方成正比，计算物体由0=x 移到a x =时，克服介质阻力所作的功１０、 设一锥形储水池，深15m ，口径20m ，盛满水，将水吸尽，问要作多少功？１１、 有一等腰梯形闸门，它的两条底边各长10cm 和6cm ，高为20cm ，较长的底边与水面相齐，计算闸门的一侧所受的水压力１２、 设有一长度为λ，线密度为u 的均匀的直棒，在与棒的一端垂直距离为a 单位处有一质量为m 的质点M ，试求这细棒对质点M 的引力(B)1、设由抛物线()022>=p px y 与直线p y x 23=+ 所围成的平面图形为D 1） 求D 的面积S ;2）将D 绕y 轴旋转一周所得旋转体的体积2、求由抛物线2x y =及x y =2所围成图形的面积，并求该图形绕x 轴旋转所成旋转体的体积3、求由x y sin =，x y cos =，0=x ，2π=x 所围成的图形的面积，并求该图形绕x 轴旋转所成旋转体的体积4、求抛物线px y 22=及其在点⎪⎭⎫⎝⎛p p ,2处的法线所围成的图形的面积5、求曲线422+-=x x y 在点()4,0M 处的切线MT 与曲线()122-=x y 所围成图形的面积6、求由抛物线ax y 42=与过焦点的弦所围成的图形面积的最小值7、求由下列曲线所围成图形的公共部分的面积 1）θρcos 3=，θρcos 1+=2）θρsin a =，()θθρsin cos +=a ，0>a8、由曲线()16522=-+y x 所围成图形绕x 轴旋转所成旋转体的体积9、求圆心在()b ,0半径为a ，()0>>a b 的圆，绕x 轴旋转而成的环状体的体积10、计算半立方抛物线()32132-=x y 被抛物线32x y =截得的一段弧的长度(C)1、用积分方法证明半径为R 的球的高为H 的球缺的的体积为⎪⎭⎫ ⎝⎛-=32H R H V π2、分别讨论函数x y sin =⎪⎭⎫⎝⎛≤≤20πx 在取何值时，阴影部分的面积1S ，2S 的和21S S S +=取最大值和最小值3、求曲线x y =()40≤≤x 上的一条切线，使此切线与直线0=x ， 4=x 以及曲线x y =所围成的平面图形的面积最小4、半径为r 的球沉入水中，球的上部与水面相切，球的密度与水相同，现将球从水中取出，需作多少功？第六章 定积分应用 习 题 答 案（A ）1、1）342+π，346-π 2）2ln 23- 3）21-+ee 4）2a π 5）283a π2、23a π 3、()ππ2224--e e a 4、12-π，42π 5、7128π，564π 6、3334R 7、3432- 8、a 6 9、kJ 18.0 10、3732727a kc （其中k 为比例常数）11、()kJ 5.57697 12、()kN 14373 13、取y 轴经过细直棒⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-=2211t a aGmu F y 22t a a Gmu F x +-=λ(B)1、1）⎰-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=pp p dy p y y p S 322316223 或()⎰⎰=⎪⎭⎫⎝⎛+-++=20229231622322pp p p dx px x p dx px px S2）⎰⎰--=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫⎝⎛-=pp p p p dy p y dy y p V 33322215272223πππ 2、()⎰=-=10231dx x x A ()()ππ⎰=⎪⎭⎫⎝⎛-=10222103dx x x V3、()()⎰⎰-=-+-=244222cos sin sin cos πππdx x x dx x x A()()()()()()⎰⎰=-+-=24224022cos sin sin cos πππππdx x x dx x x V4、抛物线在点⎪⎭⎫⎝⎛p p ,2处的法线方程为： p y x 23=+，以下解法同第一题2316p A = 5、MT ：x y 24-=，切线MT 与曲线()122-=x y 的交点坐标为⎪⎭⎫⎝⎛1,23，()2,3- ⎰-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=122491224dy y y A 6、提示：设过焦点()0,a 的弦的倾角为α则弦所在直线的方程为()a x y -=αtan由()a x y -=αtan ，ax y 42=得两交点纵坐标为()()21csc 2csc 2y ctg a ctg a y =+<-=αααα所以()()dy a y yctg a A y y ⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=2142αα ()()32222csc 34csc 4csc 4ααααa ctg a a -+=()()3232csc 34csc 4ααa a -=()32csc 38αa =因为πα<<0 当2πα=时 ()3csc α取得最小值为1所以 当2πα=时 过焦点的弦与抛物线ax y 42=所围成的图形面积()32csc 382απa A =⎪⎭⎫ ⎝⎛最小7、1）()()πθθθθπππ45cos 321cos 1212232302=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=⎰⎰d d A2）()()[]⎰⎰-=++=ππππθθθθθ22220241cos sin 21sin 21a d a d a A 8、()()⎰⎰------+=44442222165165dx xdx xV ππ()()⎰-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧----+=4422222160165165ππdx xx9、解法同题810、提示：()32132-=x y ，32x y = 联立得交点⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛36,2，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-36,2 所求弧长()⎰+=212'12dx y s由()32132-=x y 得()yx y 2'1-=于是()()()()()1231321134222'-=--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x x x y x y于是得()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=⎰12598123122321221dx x S(C)1、证明：此处球缺可看作由如图阴影（图222R y x =+的一部分）绕y 轴旋转而成所以()⎰⎰---==RHR RHR dy y R dy x V 222ππR HR R HR y yR ---=332ππ()[]()[]3323H R R H R R R -----=ππ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=32H R H π2、解：()⎰-=tdx x t S 11sin sin ()⎰-=22sin sin πtdx t x S()()⎰-=tdx x t t S 1sin sin +()⎰-2sin sin πtdx t x=⎪⎭⎫ ⎝⎛≤≤-⎪⎭⎫⎝⎛-+201sin 22cos 2ππt t t t ()0cos 22'=⎪⎭⎫⎝⎛-=t t t S π，得驻点2421ππ==t t易知()()002''1''<>t S t S122max -=⎪⎭⎫ ⎝⎛=∴ππS S ，124min -=⎪⎭⎫⎝⎛=πS S3、解：设()00,y x 为曲线x y =()40≤≤x 上任一点，易得曲线于该点处的切线方程为：()00021x x x y y -=- 即0022x x y y +=得其与0=x ， 4=x 的交点分别为⎪⎭⎫ ⎝⎛2,00y ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛+0022,4y y 于是由此切线与直线0=x ， 4=x 以及曲线x y =所围的平面图形面积为：3164222004000-+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎰x y dx x x x y S3164200-+=x x 问题即求31642-+=xx S ()40≤≤x 的最小值 令022321=+=--xxS 得唯一驻点2=x 且为唯一极小值所以 当2=x 时，S 最小 即所求切线即为：2222+=x y 4、如图：以水中的球心为原点，上提方向作为坐标轴建立坐标系易知任意[]dx x x +,段薄片在提升过程中在水中行程为r －x ，而在水上的行程为2r －（r －x ）＝r ＋x因为求的密度与水相同，所以在水中提升过程中浮力与重力的合力为零，不做功，而在水面上提升时，做功微元为()()dx x r x r g dW +-=22π()()g r dx x r x r g dW W r r r r 42234ππ⎰⎰--=+-==。
大学高数定积分应用1(6-1--6-5)课后参考答案及知识总结
第六章定积分的应用内容概要课后习题全解习题6-2★ 1．求由曲线xy =与直线x y =所围图形的面积。
知识点：平面图形的面积思路：由于所围图形无论表达为X-型还是Y-型，解法都较简单，所以选其一做即可 解： 见图6-2-1∵所围区域D 表达为X-型：⎩⎨⎧<<<<x y x x 10， （或D 表达为Y-型：⎩⎨⎧<<<<y x y y 210）∴⎰-=10)(dx x x S D61)2132(1223=-=x x （⎰=-=1261)(dy y y S D） ★ 2．求在区间[0，π/2]上，曲线x y sin =与直线0=x 、1=y 所围图形的面积知识点：平面图形面积思路：由于所围图形无论表达为X-型还是Y-型，解法都较简单，所以选其一做即可 解：见图6-2-2∵所围区域D 表达为X-型：⎪⎩⎪⎨⎧<<<<1sin 20y x x π， （或D 表达为Y-型：⎩⎨⎧<<<<y x y arcsin 010） ∴12)cos ()sin 1(202-=+=-=⎰πππx x dx x S D（ 12arcsin 1-==⎰πydy S D）★★3．求由曲线x y =2与42+-=x y 所围图形的面积知识点：平面图形面积思路：由于所围图形表达为Y-型时解法较简单，所以用Y-型做 解：见图6-2-3∵两条曲线的交点：⎩⎨⎧±==⇒⎩⎨⎧+-==22422y x x y x y ， ∴所围区域D 表达为Y-型：⎩⎨⎧-<<<<-22422yx y y ，∴2316)324()4(2232222=-=--=--⎰y y dy y y S D（由于图形关于X 轴对称，所以也可以解为：2316)324(2)4(223222=-=--=⎰y y dy y y S D ）★★4．求由曲线2x y =、24x y =、及直线1=y 所围图形的面积知识点：平面图形面积思路：所围图形关于Y 轴对称，而且在第一象限内的图形表达为Y-型时，解法较简单 解：见图6-2-4∵第一象限所围区域1D 表达为Y-型：⎩⎨⎧<<<<y x y y 210，∴34322)2(22102311=⨯=-==⎰y dy y y S S D D（若用X-型做，则第一象限内所围区域=1D b a D D Y ，其中a D ：⎪⎩⎪⎨⎧<<<<22410x y x x ，b D ：⎪⎩⎪⎨⎧<<<<14212y x x ；∴12212201422[()(1)]443D D x x S S x dx dx ==-+-=⎰⎰） ★★5．求由曲线xy 1=与直线x y =及2=x 所围图形的面积知识点：平面图形面积思路：由于所围图形表达为X-型,解法较简单，所以用X-型做解：见图6-2-5∵两条曲线xy =和x y =的交点为（1，1）、（-1，-1），又这两条线和2=x 分别交于 21,2(、2) ,2( ∴所围区域D 表达为X-型：⎪⎩⎪⎨⎧<<<<x y xx 121，∴22211113((ln )ln 222DS x dx x x x =-=-=-⎰★★★6．抛物线x y 22=分圆822=+y x 的面积为两部分，求这两部分的面积知识点：平面图形面积思路：所围图形关于X 轴对称，而且在第一象限内的图形表达为Y-型时，解法较简单 解：见图6-2-6，设阴影部分的面积为1D S ，剩余面积为2D S∵两条曲线x y 22=、822=+y x 的交于(2,2)±（舍去4-=x 的解），∴所围区域1D 表达为Y-型：⎪⎩⎪⎨⎧-<<<<-228222y x y y ；又图形关于x 轴对称，∴342)342(2)68(2)28(220320220221+=-+=--=--=⎰⎰ππy y dy y y S D（其中222cos 18cos 22cos 22844sin 2222+=+=⨯=-⎰⎰⎰=πππdt ttdt t dyy ty ） ∴34634282-=--=πππDS ★★★7．求由曲线x e y =、x e y -=与直线1=x 所围图形的面积知识点：平面图形面积思路：由于所围图形表达为X-型时，解法较简单，所以用X-型做 解：见图6-2-7∵两条曲线x e y =和x e y -=的交点为（0，1），又这两条线和1=x 分别交于) ,1(e 和) ,1(1-e∴所围区域D 表达为X-型：⎩⎨⎧<<<<-x x e y e x 10，∴2)()(1101-+=+=-=---⎰e e e e dx e e S x x x x D★★★8．求由曲线x y ln =与直线a y ln =及b y ln =所围图形的面积)0(>>a b知识点：平面图形面积思路：由于所围图形表达为Y-型时，解法较简单，所以用Y-型做 解：见图6-2-8∵在x ln 的定义域范围内所围区域D ：⎩⎨⎧<<<<ye x by a 0ln ln ， ∴a b edy e S b ay bayD-===⎰ln ln ln ln★★★★9．求通过（0，0），（1，2）的抛物线，要求它具有以下性质：（1）它的对称轴平行于y 轴，且向下弯；（2）它与x 轴所围图形面积最小知识点：平面图形面积和求最值思路：首先根据给出的条件建立含参变量的抛物线方程，再求最值时的参变量解：由于抛物线的对称轴平行于y 轴，又过（0，0），所以可设抛物线方程为bx ax y +=2，（由于下弯，所以0<a），将（1，2）代入bx ax y +=2，得到2=+b a ，因此x a ax y )2(2-+=该抛物线和X 轴的交点为0=x 和aa x 2-=， ∴所围区域D ：2200(2)a x ay ax a x-⎧<<⎪⎨⎪<<+-⎩ ∴23223226)2()223(])2([a a x a x a dx x a ax S aa a a D-=-+=-+=--⎰)4()2(61)]2()2()2(3[61)(233322+-=-⨯-+-⨯='---a a a a a a a a S D得到唯一极值点：4-=a ，∴所求抛物线为：x x y 642+-=★★★★10．求位于曲线x e y =下方，该曲线过原点的切线的左方以及x 轴上方之间的图形的面积知识点：切线方程和平面图形面积思路：先求切线方程，再作出所求区域图形，然后根据图形特点，选择积分区域表达类型解：x e y =⇒xe y ='，∴在任一点0x x =处的切线方程为)(000x x e ey x x -=-而过（0，0）的切线方程就为：)1(-=-x e e y ，即ex y =所求图形区域为21D D D Y =,见图6-2-10X-型下的1D ：⎩⎨⎧<<<<∞-x e y x 00，2D ：⎩⎨⎧<<<<xey ex x 1∴222)(12110e e e x eedx ex e dx e S x x x D=-=-=-+=∞-∞-⎰⎰ ★★★11．求由曲线θcos 2a r =所围图形的面积知识点：平面图形面积思路：作图可知该曲线是半径为a 、圆心（0 ,a ）的圆在极坐标系下的表达式，可直接求得面积为2a π，也可选择极坐标求面积的方法做。
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1填空题
［解答］- -L ，令宀”—.］，可得丁 —］
当 ■- - ■- 时，广- 一， T 单调递减• 4
分面积之比是
，即"
z 3 27
两直线的交点可求得 亠…厂-
方法一：已知其一根为，〔，设方程为 （X — *）（说》+加+ ◎ — Q
2
通过比较可得 丿- I - .'J . ： - ，可解得另外一根为 ：.:一-
3x(3^-1)(3^ + !)- 2(3r-l>0
… "… i- | 即 … ■ ： - ■ ：. - |
所以
禺士 I j+（?+令申訂尹叙"吕
F ［（护乍"（寻斗备）的=農
⑶设/0）在［一兀.兀］上连续，当门=—时，片何=J 小值•
［解答］'■ - J.丿］-「■ / -1 : ■ ■
所以一'」「•.的单调递减区间是 ⑵曲线- ■-与其在 「：或•,.
T - 1
处的切线所围成的部分被 严轴分成两部分, 这两部 ［解答］直线方程为 2 2
* ，即求解蕾护—9置+ 2 = 0
方法二：分解方程有 27^-3^-6r + 2=0
小、取最
（丁 > 0J 的单调减少区间__
cos3]dx =| /'(疋)必—2&J /(JT)cos^xdx+ J cos 令."ll..，则
⑷「• ； - ■-绕-V = -■：<■ - ./ - 1.1旋转所成旋转体体积［解答］令.■八.■一：辽I “二一 1，则
当T ：；''时,
=可［（o3 co?3卩+ 2必uw朝+护加CQS炉/级二血％十2应护）
S 3 2当上-:时，
£> 4 7T
=Jlj? （a2 cos3厘+2丑cow <P+护” ccs 阿@二Jr（一吁汁+—a2b -抵护）
所以
# = %—兀=巧血沪+£訂）
JT
⑸ 求心脏线•-| I ■-:'.和直线「- .及厂一围成的图形绕极轴旋转所成旋转体
体积—
［解答］将极坐标化为直角坐标形式为，：：1 J. '：! '- .■-: - --!--
贝y r】-.拧一._.「：-」! -I !- _ ： 1-1 - ■- !- ! 1- -_ r 一
=64TF(1 + eos (14- 2 cos 0) gin3豳m
J
所以.'■'■ ■ -| ■ I ■■ ；■' ：J| : I .-.]l' I ■ ■ 1.' !•• :1.. -
- - C.'
/(町CM拌忑曲：=coJ Mxdx —肚](1 + cos 2榔)必—a7T 所以/(A) COS 冲干"x
二64TT J：(1 + (14 2x)(1- F〕必
=64幵(0 + 耳)迫+ 2的(1 —町必(f = l + x)
=開zrf尸(2 —负玄―1)处
=647T(5f4- 2?-加)；=160TT
2 •计算题
⑴ 在直线…J. 一与抛物线：：- .：■ ? ■''的交点上引抛物线的法线，求由两法线
及连接两交点的弦所围成的三角形的面积•
［解答］由题意可计算两法线的方程为
；'-：-1 |： ' - J，即£ - 1 I - I
L—■
尸-5 二-*(x_4),即卩齐 +4尹一24=0
?
两直线的交点为卜-：，则
15
⑵过抛物线」-厂上的一点I；■. / 作切线，问上为何值时所作的切线与抛物线 :-:.- 所围成的面积
最小.
［解答］直线的斜率上二；X二4，则直线方程为■- - ■■ : T T .，与抛物线相交, 即J . *「)；
/ ： - 1，设方程的两根为",二;且1 --，贝U
，I 一I , l l 一■■■从而
x2-冋=』(心丰心『 _4耳光=2』2桂，一+ 3
工；一彳二(x2- x T)(z2 +z L) = 4(2 - a)^f2a2一4盘+ ?
£ 二J ' (―x2十4K一1一2口疋十/)么=j l［cc2- 1 —J14- (4 —禺=——4乞 + 3 -(2/ —+ 3)
住二 （4 戊-4） =0
又」！ I .. ;■'，所以.-:
⑶求通过点 …I 的直线| ■■' 一.中使得 T - I ■■'.■■为最小的直线方程. ［解答］设.•一 ■... 一：，则：…丨一.:一」i
*卜 J ］/ -/⑴］也二 J ：［* - 2//0）+ 严0）处 =［［『—+〔P —姑）f + 2t 曲斗
歹可忑 二 丁-豔 +亍（P -2b ） + 4局+ 2沪
善7 -軒肿HE 亦
由「’厂.可得-:：-，：，：'''-4--- I 即--=I 可得
3
又"：＜ -|则当：-：时为最小，此时「I ,方程为
［解答］7 — : n ：:- 令-〔「可得
y*Cr) = 2(2-张-4心一丹"
当，1 一 1时，JI '，即\ 在.【一 1取最小值，此时 当--v 时，+.「.一 ■- ，即/ 在厂一匕取最大值
此时.二］，X = !■■■■.
⑸ 求曲线- r 与」-，所围阴影部分面积 ・】，并将此面积绕 匸轴旋转所构成 的旋转体体积，如图所示.
Q J
［解答］二 | ］ 丁 •:" * 11 二 i ■■ ?■
V - 2可严- 2x — x a )dte 十 2忒 JT (F 一 F +2x)dtr
则卜 ⑷求函数- 的最大值与最小值.
/W = o
37
163
= -------- JT
30
⑹ 已知圆 ：•厂 "，其中■: > L ； > J ，求此圆绕 丁轴旋转所构成的旋转体 体积和表面积
［解答］令.•"•：：，如图所示，则
耳=匸打@ +于尸砂—J ：亞& -肿—丹妙
=4 =2a 7b7T l
£二匸2砲_析_卄11 + (
—P ----------------- a cos =4砧沪
、Q a cos &
⑺ 设有一薄板其边缘为一抛物线，如图所示，铅直沉入水中，
① 若顶点恰好在水平面上，试求薄板所受的静压力，将薄板下沉多深，压力加倍？ ［解答］抛物线方程为 ：一 .’.T ，则在水下 工'到---；7-'这一小块所受的静压力为 所以整块薄板所受的静压力为
若下沉$，此时受到的静压力为
P 2 二 (6 十珅尹=U0/+1920
,2
4 4 5
十［2兀@?十 -y 2「
要使一_ _，解得
②若将薄板倒置使弦恰好在水平面在上，试求薄板所受的静压力，将薄板下沉多深，压力
加倍？
［解答］建立如图坐标系，则抛物线方程为则在水下二至【I孟+让这一小块所受的静压力为
dP 二6(2：0_叫辭
所以整块薄板所受的静压力为
= ±f(2O-x)^ = ^f
= 3200-
1920 = 1280
若下沉/，此时受到的静压力为
曷=&] (20+J = 160/ +1280
要使二i - _ ,解得.二-.。