数列极限的证明

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求数列极限的十五种解法

求数列极限的十五种方法1．定义法N ε-定义：设{}n a 为数列，a 为定数，若对任给的正数ε，总存在正数N ，使得当n N >时，有n a a ε-<，则称数列{}n a 收敛于a ；记作：lim n n a a →∞=，否则称{}n a 为发散数列．例1．求证：1lim 1nn a →∞=，其中0a >．证：当1a =时，结论显然成立．当1a >时，记11n a α=-，则0α>，由()1111(1)nn a n n ααα=+≥+=+-，得111na a n--≤，任给0ε>，则当1a n N ε->=时，就有11n a ε-<，即11na ε-<，即1lim 1nn a →∞=．当01a <<时，令1b a=，则1b >，由上易知：1lim 1nn b →∞=，∴111lim 1lim n n nn a b→∞→∞==．综上，1lim 1nn a →∞=，其中0a >．例2．求：7lim !nn n →∞．解：变式：77777777777771!1278917!6!n n n n n n=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅≤⋅=⋅-；∴77710!6!n n n -≤⋅， ∴0ε∀>，7716!N ε⎡⎤∃=⋅⎢⎣⎦，则当n N >时，有77710!6!n n n ε-≤⋅<；∴7lim 0!n n n →∞=． 2．利用柯西收敛准则柯西收敛准则：数列{}n a 收敛的充要条件是：0ε∀>，∃正整数N ，使得当n m N >、时，总有：n m a a ε-<成立．例3．证明：数列1sin (1, 2, 3, )2nn kk kx n ===⋅⋅⋅∑为收敛数列．证：11111sin(1)sin 111112(122222212n mn m m n m n m m m n x x m -+++-+-=+⋅⋅⋅+≤+⋅⋅⋅+<<<-， 0ε∀>，取1N ε⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，当n m N >>时，有n m x x ε-<，由柯西收敛准则，数列{}n x 收敛．例4．（有界变差数列收敛定理）若数列{}n x 满足条件：11221n n n n x x x x x x M ----+-+⋅⋅⋅-≤，(1, 2, )n =⋅⋅⋅，则称{}n x 为有界变差数列，试证：有界变差数列一定收敛．证：令1112210, n n n n n y y x x x x x x ---==-+-+⋅⋅⋅-，那么{}n y 单调递增，由已知可知：{}n y 有界，故{}n y 收敛，从而0ε∀>，∃正整数N ，使得当n m N >>时，有n m y y ε-<；此即1121n m n n n n m m x x x x x x x x ε---+-≤-+-+⋅⋅⋅-<；由柯西收敛准则，数列{}n x 收敛．注：柯西收敛准则把N ε-定义中的n a 与a 的关系换成了n a 与m a 的关系，其优点在于无需借用数列以外的数a ，只需根据数列本身的特征就可鉴别其敛散性． 3．运用单调有界定理单调有界定理：在实数系中，有界的单调数列必有极限．例5．证明：数列n x =n 个根式，0a >，1, 2, n = ）极限存在，并求lim nn x →∞．证：由假设知n x =；①用数学归纳法可证：1, n n x x k N +>∈；② 此即证{}n x 是单调递增的．事实上，10n x +<<<1=；由①②可知：{}n x 单调递增有上界，从而lim n n x l →∞=存在，对①式两边取极限得：l =解得：l =l =；∴lim n n x →∞=4．利用迫敛性准则（即两边夹法）迫敛性：设数列{}n a 、{}n b 都以a 为极限，数列{}n c 满足：存在正数N ，当n N >时，有：n n n a c b ≤≤，则数列{}n c 收敛，且lim n n c a →∞=．例6．求：22212lim()12n nn n n n n n n→∞++⋅⋅⋅+++++++．解：记：2221212n n x n n n n n n n =++⋅⋅⋅+++++++，则：2212121n n nx n n n n n ++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+≤≤++++；∴22(1)(1)2(2)2(1)n n n n n x n n n n ++≤≤+++；从而22(1)1(1)lim lim 2(2)22(1)n n n n n n n n n n →∞→∞++==+++， ∴由迫敛性，得：222121lim()122n n n n n n n n n →∞++⋅⋅⋅+=++++++．注：迫敛性在求数列极限中应用广泛，常与其他各种方法综合使用，起着基础性的作用． 5．利用定积分的定义计算极限黎曼积分定义：设为()f x 定义在[, ]a b 上的一个函数，J 为一个确定的数，若对任给的正数0ε>，总存在某一正数δ，使得对[, ]a b 的任意分割T ，在其上任意选取的点集{}i ξ，i ξ∈[]1,i i x x -，只要T δ<，就有1()niii f x Jξε=∆-<∑，则称函数()f x 在[, ]a b 上（黎曼）可积，数J 为()f x 在[, ]a b 上的定积分，记作()baJ f x dx =⎰．例7．求：()()11lim !2!nnn n n n --→∞⎡⎤⋅⋅⎣⎦．解：原式n n →∞→∞==112lim (1)(1)(1)nn n n n n →∞⎡⎤=++⋅⋅⋅+⎢⎥⎣⎦11exp lim ln(1)nn i i nn →∞=⎛⎫=+ ⎪⎝⎭∑()()1expln(1)exp 2ln 21x dx =+=-⎰．例8．求：2sin sin sin lim 1112n n n n n n n n n πππ→∞⎛⎫⎪++⋅⋅⋅+ ⎪+ ⎪++⎪⎝⎭．解：因为：222sinsinsin sin sin sin sin sin sin 111112n n n nn n n n n n n n n n n n n n nπππππππππ++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+<++⋅⋅⋅+<+++++，又：2sinsinsin 12limlim (sin sin sin )11n n n n n nn n n n n n n n ππππππππ→∞→∞++⋅⋅⋅+⎡⎤=⋅⋅++⋅⋅⋅+⎢⎥++⎣⎦∴02sinsinsin 12limsin 1n n nn n xdx n ππππππ→∞++⋅⋅⋅+=⋅=+⎰；同理：2sinsinsin 2lim1n n nn n n nππππ→∞++⋅⋅⋅+=+；由迫敛性，得：2sin sin sin 2lim 1112n n n n n n n n n ππππ→∞⎛⎫⎪++⋅⋅⋅+= ⎪+ ⎪++⎪⎝⎭．注：数列极限为“有无穷多项无穷小的和的数列极限，且每项的形式很规范”这一类型问题时，可以考虑能否将极限看作是一个特殊的函数定积分的定义；部分相关的数列极限直接利用积分定义可能比较困难，这时需要综合运用迫敛性准则等方法进行讨论．6．利用（海涅）归结原则求数列极限归结原则：0lim ()x xf x A →=⇔对任何0 ()n x x n →→∞，有lim ()n n f x A →∞=．例9．求：11lim 1n n e n →∞-．解：11001lim lim ()111n nx x n n e e e e n n=→∞→∞--'===-．例10．计算：211lim 1nn n n →∞⎛⎫+- ⎪⎝⎭．解：一方面，2111(1)(1) ()n n e n n n n+-<+→→∞；另一方面，2221112221111(1)(1)(1n n n n n n n n n n n n n -------+-=+≥+；由归结原则：（取2, 2, 3, 1n n x n n ==⋅⋅⋅-），22222111222211111lim(1)lim(1lim(1lim(1)lim(1)n n n x n n n n n n n x n n n n e x n n n n ----→∞→∞→∞→∞→∞----+=+⋅+=+=+=；由迫敛性，得：211lim(1)nn e n n →∞+-=．注：数列是一种特殊的函数，而函数又具有连续、可导、可微、可积等优良性质，有时我们可以借助函数的这些优良性质将数列极限转化为函数极限，从而使问题得到简化和解决． 7．利用施托尔茨（stolz ）定理求数列极限stolz 定理1：()∞∞型：若{}n y 是严格递增的正无穷大数列，它与数列{}n x 一起满足：11lim n n n n n x x l y y +→∞+-=-，则有lim nn nx l y →∞=，其中l 为有限数，或+∞，或-∞．stolz 定理2：0()0型：若{}n y 是严格递减的趋向于零的数列，n →∞时，0n x →且11lim n n n n n x x l y y +→∞+-=-，则有lim nn nx l y →∞=，其中l 为有限数，或+∞，或-∞．例11．求：112lim ()p p pp n n p N n +→∞++⋅⋅⋅+∈．解：令112, , p p p p n n x n y n n N +=++⋅⋅⋅+=∈，则由定理1，得：112lim p p p p n n n +→∞++⋅⋅⋅+=11(1)lim (1)p p p n n n n ++→∞+=+-1(1)1lim (1)1(1)12p n p p n p p p p n n →∞-+=+⋅++-+⋅⋅⋅+．注：本题亦可由方法五（即定积分定义）求得，也较为简便，此处略．例12．设02ln nk nk n CS n ==∑，求：lim n n S →∞．解：令2n y n =，则{}n y 单调递增数列，于是由定理2得：lim n n S →∞=02ln lim nknk n C n =→∞∑110022ln ln lim (1)n nk k n nk k n C C n n++==→∞-=+-∑∑01ln 1lim 21nk n n n k n =→∞+-+=+∑11(1)ln(1)ln lim 21n k n n n k n +=→∞++-=+∑ 1ln()(1)ln(1)ln ln(1)1lim lim 2122nn n n n n n n n n n →∞→∞+++--+===+．注：stolz 定理是一种简便的求极限方法，特别对分子、分母为求和型，利用stolz 定理有很大的优越性，它可以说是求数列极限的洛必达（L'Hospita ）法则． 8．利用级数求和求数列极限由于数列与级数在形式上的统一性，有时数列极限的计算可以转化为级数求和，从而通过级数求和的知识使问题得到解决．例13．求：212lim()n n na a a→∞++⋅⋅⋅+，(1)a >．解：令1x a =，则1x <，考虑级数：1nn nx ∞=∑．∵11(1)lim lim 1n n n n n n a n x x a nx ++→∞→∞+==<， ∴此级数是收敛的．令1()nn S x nx ∞==∑11n n x nx∞-==⋅∑，再令11()n n f x nx ∞-==∑，∵111()xxn n n n f t dt nt dt x ∞∞-=====∑∑⎰⎰1xx-；∴21()(1(1)x f x x x '==--；而2()()(1)x S x x f x x =⋅=-；因此，原式=1112()(1)a S a a ---==-．9．利用级数收敛性判断极限存在由于级数与数列在形式上可以相互转化，使得级数与数列的性质有了内在的密切联系，因此数列极限的存在性及极限值问题，可转化为研究级数收敛性问题．例14．设00x >，12(1)2n n nx x x ++=+(0, 1, 2, )n =⋅⋅⋅，证明：数列{}n x 收敛，并求极限lim nn x →∞．证：由00x >，可得：0n x >(0, 1, 2, )n =⋅⋅⋅，令2(1)(), (0)2x f x x x+=>+，则2210'()(2)2f x x <=<+，且12(1)(), 0, (0, 1, 2, )2n nn n nx f x x x n x ++==>=⋅⋅⋅+，考虑级数：10n n n x x ∞+=-∑；由于11n n n n x x x x +--=-11()()n n n n f x f x x x ---=-11'()()12n n n n f x x x x ξ---<-；所以，级数10n n n x x ∞+=-∑收敛，从而10()n n n x x ∞+=-∑收敛．令()10nn k k k S x x +==-∑10n x x +=-，∵lim n n S →∞存在，∴10lim lim n n n n x x Sl +→∞→∞=+=（存在）；对式子：12(1)2n n n x xx ++=+，两边同时取极限：2(1)2l l l+=+，∴l =或l =（舍负）；∴lim nn x →∞= 例15．证明：111lim(1ln )23n n n→∞++⋅⋅⋅+-存在．（此极限值称为Euler 常数）．证：设1111ln 23n a n n =++⋅⋅⋅+-，则1n n a a --=[]1ln ln(1)n n n---；对函数ln y n =在[1, ]n n -上应用拉格朗日中值定理，可得：1ln ln(1) (01)1n n n θθ--=<<-+，所以1211111(1)(1)n n a a n n n n n θθθ---=-=<-+-+-；因为221(1)n n ∞=-∑收敛，由比较判别法知：12n n n a a ∞-=-∑也收敛，所以lim nn a →∞存在，即111lim(1ln )23n n n→∞++⋅⋅⋅+-存在． 10．利用幂级数求极限利用基本初等函数的麦克劳林展开式，常常易求出一些特殊形式的数列极限．例16．设11sin sin , sin sin(sin ) (2, 3, )n n x x x x n -===⋅⋅⋅，若sin 0x >，求：sin n n x →∞．解：对于固定的x ，当n →∞时，1sin n x单调趋于无穷，由stolz 公式，有： 2222111lim sin lim lim 111sin sin sin n n n n n n n n n n x x x x →∞→∞→∞++-==-221lim 11sin (sin )sin n n n x x→∞=-46622220002244221()1sin 3lim lim lim 111sin (())sin 3t t t t t o t t t t t t t t o t t t +++→→→-⋅+⋅===----+46622004411()1()33lim lim 311()(1)33t t t t o t t o t t o t o ++→→-⋅+-⋅+===++． 11．利用微分中值定理求极限拉格朗日中值定理是微分学重要的基本定理，它利用函数的局部性质来研究函数的整体性质，其应用十分广泛．下面我们来看一下拉格朗日中值定理在求数列极限中的应用．例17．求：2lim (arctan arctan )1n a an n n →∞-+，(0)a ≠．解：设()arctan f x x =，在[, 1a an n+上应用拉格朗日中值定理，得：21()()( [, ]1111a a a a a af f n n n n n nξξ-=-∈++++，故当n →∞时，0ξ→，可知：原式22lim 11n a nn a n ξ→∞=⋅⋅=++． 12．巧用无穷小数列求数列极限引理：数列{}n x 收敛于a 的充要条件是：数列{}n x a -为无穷小数列．注：该引理说明，若lim nn x a →∞=，则n x 可作“变量”替换：令n n x a α=+，其中{}n α是一个无穷小数列．定理1：若数列{}n α为无穷小数列，则数列{}n α也为无穷小数列，反之亦成立．定理2：若数列{}n α为无穷小数列，则数列12{}nnααα++⋅⋅⋅+也为无穷小数列．推论1：设数列{}n α为无穷小数列，则数列12{}nnααα++⋅⋅⋅+也为无穷小数列．例18．（算术平均收敛公式）设lim n n x a →∞=，求极限12limnn x x x n→∞++⋅⋅⋅+．解：由lim nn x a →∞=，作“变量”代换，令n n x a α=+，其中{}n α是一无穷小数列；由定理2的结论有：12lim n n x x x n →∞++⋅⋅⋅+12()()()lim n n a a a nααα→∞++++⋅⋅⋅++= 1212()()lim lim 0n n n n na a a a n nαααααα→∞→∞+++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+==+=+=．此题还可以用方法1（定义法）证明，也可通过方法7（stolz 公式）求得，此处略．例19．设lim n n x a →∞=，lim n n y b →∞=，求极限1211lim n n n n x y x y x y n-→∞++⋅⋅⋅+．解：由lim n n x a →∞=，lim n n y b →∞=，作“变量”代换，令n n x a α=+，n n y b β=+，其中{}n α，{}n β都是一无穷小数列，故1211lim n n n n x y x y x y n -→∞++⋅⋅⋅+11()()()()lim n n n a b a b nαβαβ→∞+++⋅⋅⋅+++= 1111lim n n n n n ab b a n n n ααββαβαβ→∞+⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+⎡⎤=+++⎢⎥⎣⎦ 因为0n β→()n →∞，所以{}n β有界数列，即n M β≤，从而结合上述推论1，有：12110 ()nn n M n nnααααβαβ++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅≤⋅→→∞，再根据定理1，即有：110 ()n n n nαβαβ+⋅⋅⋅→→∞；又由定理2，可知：10na nββ+⋅⋅⋅+⋅→，10 ()nb n nαα+⋅⋅⋅+⋅→→∞；∴1211lim n n n n x y x y x y ab n-→∞++⋅⋅⋅+=．注：利用无穷小数列求数列极限通常在高等数学和数学分析教材中介绍甚少，但却是一种很实用有效的方法．用这种方法求某类数列的极限是极为方便的． 13．利用无穷小的等价代换求某些函数列的极限定理：设函数()f x 、()g x 在0x =的某个领域有意义，()0g x >，0()lim 1()x f x g x →=，且当n →∞时，0mn a →(1, 2, 3, )m =⋅⋅⋅，11lim ()lim ()nnmn mn n n m m f a g a →∞→∞===∑∑，则在右端极限存在时成立．例20．求极限1lim 1)nn i →∞=∑．解：令()1f x =-，1()3g x x =，当0x →1x ~，由定理1，得：2111111lim 1)lim 3326nnn n i i i n→∞→∞===⋅=⋅=∑∑．例21．求：2231lim (1)nn i i a n →∞=+∏，（a 为非零常数）．解：原式2331exp lim ln(1)nn i i a n →∞=⎛⎫=+ ⎪⎝⎭∑；令()ln(1)f x x =+，当0x →时，ln(1)x x +~，由定理1，得：22333311lim ln(1)lim nnn n i i i i a a n n→∞→∞==+=∑∑223(1)(21)1lim 63n n n n a a n →∞++==；∴2231lim (1)nn i i a n →∞=+=∏21exp()3a ．注：我们知道，当0x →时，函数sin , tan , arcsin , arctan , 1, ln(1)x x x x x e x -+都x 与等价，倘若熟悉这些等价函数，观察它们与本文定理中的()f x 的关系，把求某些函数列极限问题转化为求熟知的数列极限问题，这样就会起到事半功倍的效果． 14．利用压缩映射原理求数列极限定义1：设()f x 在[, ]a b 上有定义，方程()f x x =在[, ]a b 上的解称为()f x 在[, ]a b 上的不动点．定义2：若存在一个常数k ，且01k ≤<，使得[, ]x y a b ∀∈、有()()f x f y k x y -≤-，则称()f x 是[, ]a b 上的一个压缩映射．压缩映射原理：设称()f x 是[, ]a b 上的一个压缩映射且0x ∈[, ]a b ，1()n n x f x +=，对n N ∀∈，有[, ]n x a b ∈，则称()f x 在[, ]a b 上存在唯一的不动点c ，且lim nn x c →∞=．例22．设12ax =，212n n a x x ++=(01)a <<，1, 2, n =⋅⋅⋅，求lim nn x →∞．解：考察函数2()22a x f x =+，1[0,2ax +∈，易见对1[0, ]2a x +∀∈，有：21()2n n n a x x f x ++==，11[0, 22a a x +=∈，1()12af x x +'=≤<；所以，()f x 是压缩的，由压缩映射原理，数列{}n x 收敛．设lim nn x c →∞=，则c 是222a x x =+在1[0, ]2a +的解，解得1c =，即lim 1n n x →∞=例23．证明：数列n x =（n 个根式，14a >，1, 2, n =⋅⋅⋅）极限存在，并求lim nn x →∞．解：易知：n x =，考察函数：()f x =，[0, )x ∈+∞且在[0, )+∞上有：1f '<，因此，()f x 在[0, )+∞上是压缩的；1[0, )x =+∞，1()n n x f x +=，由压缩映射原理，数列{}n x 收敛且极限为方程：()x f x ==的解，解得：lim n n x →∞=本题也可通过方法三（单调有界定理）解得，此处略．注：压缩映射原理在实分析中有着十分广泛的应用，如用它可十分简单的证明稳函数存在定理、微分方程解的存在性定理，特别的在求一些数列极限中有着十分重要的作用，往往可以使数列极限问题得到简便快速的解决．15．利用矩阵求解一类数列的极限（1）若数列的递推公式形如：12n n n x px qx --=+且已知01x x 、，其中p q 、为常数且0p ≠，0q ≠，2, 3, n =⋅⋅⋅；解：可将递推公式写成矩阵形式，则有1111201010n n n n n x x x p q p q x x x ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⋅⋅⋅= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，2, 3, n =⋅⋅⋅，从而可利用线性代数知识求出n x 的表达式，并进一步求出lim nn x →∞．（2）若数列的递推公式形如：11n n n ax bx cx d--+=+且已知0x ，其中0c ≠且ad bc ≠，1, 2, n =⋅⋅⋅，解法1：令211n n n y cx d y ---+=，则1121()n n n y x d c y ---=-，11()n n n yx d c y -=-，从而有：121211()(())n n n n n n y yy a d d b c y c y y ------=-+⋅，整理得：12()()n n n y a d y bc ad y --=++-，再由（1）可以求解．解法2：设与关系式010ax b x cx d +=+对应的矩阵为a b A c b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，由关系式11n nn ax b x cx d --+=+；逐次递推，有00n nn n n a x b x c x d +=+，其对应的矩阵为nn n n a b B c d ⎛⎫= ⎪⎝⎭，利用数学归纳法易证得n B A =，通过计算n A 可求出n x 的表达式，并进一步求出lim nn x →∞．例24．证明：满足递推公式11(1)n n n x x x αα+-=+-(01)α<<的任何实数序列{}n x 有一个极限，并求出以α、0x 及1x 表示的极限．解：由已知可得：111111200111010n n n n n n x x x x A x x x x αααα-------⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，（110A αα-⎛⎫=⎪⎝⎭）；矩阵A 的特征值121, 1λλα==-，对应的特征向量分别为：''12(1, 1), (1, 1)ξξα==-；令1211(, )11P αξξ-⎛⎫== ⎪⎝⎭，则11001P AP α-⎛⎫= ⎪-⎝⎭，从而有：()()11111111111111120101n n n AP P ααααα----⎛⎫⎛⎫--⎛⎫⎛⎫==⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()()()111111121111n nn n ααααααα--⎛⎫---+- ⎪= ⎪----+-⎝⎭；于是，101(1(1))(1(1))2n n n x x x αααα=--+-+-⎡⎤⎣⎦-．因为11α-<，所以lim(1)0nn α→∞-=，从而[]011lim (1)2n n x x x αα→∞=-+-．例25．已知斐波那契数列定义为：1101 (1, 2, 1)n n n F F F n F F +-=+=⋅⋅⋅==；；若令1n n n F x F +=，01x =且111n n x x -=+，(1, 2, )n =⋅⋅⋅，证明极限lim nn x →∞存在并求此极限．解：显然1011x x =+，相应矩阵0111A ⎛⎫= ⎪⎝⎭的特征值12 λλ==，对应的特征向量分别为：''12 1), 1)ξξ==；令()21121211, 111111P λλλλξξ⎛⎫--⎛⎫ ⎪==== ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭⎝⎭，11211P λλ-⎫=⎪--⎭；则有：11200P AP λλ-⎛⎫= ⎪⎝⎭；于是11112121112121200nn n n n nn n n n n A P P λλλλλλλλλλ---++--⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭；从而，()111212111212, 1, 2, n n n nn nn n n x n λλλλλλλλ--++-+-==⋅⋅⋅-+-，由于211λλ<，上式右端分子、分母同时除以1n λ，再令n →∞，则有：1lim limn n n n n F x F →∞→∞+==．注：求由常系数线性递推公式所确定的数列的极限有很多种方法，矩阵解法只是其一，但与之相关的论述很少，但却简单实用．。

考研：求数列极限的十五种解法

求数列极限的十五种方法1.定义法；-N 定义：设｛a .｝为数列，a 为定数，若对任给的正数；，总存在正数 N ，使得当n . N 时,有a . -a | .；：「，则称数列｛a .｝收敛于a ；记作：l im a^a ，否则称｛a .｝为发散数列.例1 •求证： 1nim：a —1，其中a 0.证：当a =1时，结论显然成立.III当 a >1 时，记 a =a n_1，则 a >0 ,由 a =n+a $ K 1 +n a =1 + n(c^ _1)，得_1 兰王，v‘ n彳 1 1 1任给E >0，则当n >口 =N 时，就有—1 ，即a 下一1 c 呂，即lim=1 .1综上， lim a n =1，其中 a >0 .例2 .求： 7nlim—.M^n!解：变式： 7n_7 77 7 77 7 .7 7 771 .. n7--0 7丄丄n! 1 27 8 9 n —1 n 7! n 6! nn! 6! n2•利用柯西收敛准则由柯西收敛准则，数列｛x,｝收敛.1丄当—时，令b 蔦，则b 1，由上易知：”呻1lim a nn丄-11 —1lim b 下n ::0，N 丄6!则当n . N 时, •••lim 7=0.f n!柯西收敛准则：数列｛a n ｝收敛的充要条件是: 一；・0 , T 正整数N ，使得当n 、m • N 时，总有：|a n -a m I ■:"'成立.例3 •证明：数列x n 八§n当（n 才，2, 3,）为收敛数列. k 2±2证：X n -X m =sin(m 勺)-2m +当n • m • N 时，有有二丄「；6! n例4 .（有界变差数列收敛定理）若数列｛x ｝满足条件:（n =1, 2,），则称｛人｝为有界变差数列，试证：有界变差数列一定收敛.=0, y n 二 X n —X nJ —%1—X n 』"| X ? - X ’那么｛y n ｝单调递增，由已知可知：｛y n ｝有界，故｛%｝收敛, 从而0， -I 正整数N ，使得当n .m . N 时，有y n -y m ：：：；; 此即X n -X m _X n -X n 』"|X n 丄^/"| X m 1 - X m |八；由柯西收敛准则，数列｛ X,｝收敛.注：柯西收敛准则把；—N 定义中的a n 与a 的关系换成了 a n 与a m 的关系，其优点在于无需借用数列以外的数a ，只需根据数列本身的特征就可鉴别其敛散性.3 •运用单调有界定理单调有界定理：在实数系中，有界的单调数列必有极限.例5 •证明：数列 x n = J a +J a +''描（n 个根式，a >0，n =1, 2, 11|）极限存在，并求l i ^X n • 证：由假设知X n = a • X n1 ；①用数学归纳法可证： X n 1 X, , ^ N :② 此即证｛X,｝是单调递增的.事实上，0 ：：： Xn 1 • ..=a • Xn •；： J a • a • 1 ：：：、'（：a • 1）2二 a 1 ；由①②可知：｛X n ｝单调递增有上界，从而 lim X^ =1存在，对①式两边取极限得：1二JFR ，解得： 1」1如和|/-1 4a(舍负)；.・.limX 」1如.22F 24.利用迫敛性准则（即两边夹法）迫敛性：设数列｛a n ｝、｛b n ｝都以a 为极限，数列｛C n ｝满足：存在正数 N ，当n • N 时，有:1*2 n "郭 n 2 +n 勺 n 2+2n 2+n +n)卫j <X ^n (n 1)；从而lim 単』亠m 吵"2(n ②) 2(n 5 1) "一斗2 (n 2n) 2 r ：2( n n 1)•••由迫敛性，得：朝人+冷…冷弓.注：迫敛性在求数列极限中应用广泛，常与其他各种方法综合使用，起着基础性的作用.证：令力 a^lC n 乞b ，则数列｛C n ｝收敛，且l nim Cn =a .例6 .求:解：记：X n备？■生，则:....1 2 小“丘 n ； 21 n 2n 1亠％ - x ,| M5•利用定积分的定义计算极限黎曼积分定义：设为f(x)定义在［a, b ］上的一个函数，J 为一个确定的数，若对任给的正数g >0 ,总存在某一正数 5，使得对［a, b ］的任意分割T ，在其上任意选取的点集 {©}，1X 」,x ］，n只要—就有送f(©)织—J £ ■则称函数f(x)在［a, b ］上(黎曼)可积，数J 为f(x)在［a, b ］i J_.兀 .2兀 sin — sin —— lim------ + ---- - +"f 1n 1< 22n2n2n .sin — sinsin sin — sinsin si n — sin sin-n nn ____ n . ___ 亠亠 n ... n nnnn注：数列极限为“有无穷多项无穷小的和的数列极限，且每项的形式很规范”这一类型问题时，可以考虑能否将极限看作是一个特殊的函数定积分的定义；部分相关的数列极限直接利用积分定义可能比较困难，这上的定积分，记作 bJ f (x)dx •=exp "li 琴瓦 ^In(1 +丄)卜exp(』ln(1 +x)dx )=exp(2ln2 —1例8.求: 解：因为:又:.兀亠• 2兀亠亠.n 兀sin — sin sin -n n nn +1 n 1 =lim — ■- y ：n 1 二二二 2 二 n 二 -—(sin — sin — ■ ■■-sin —) •兀丄• 2兀丄亠• nn sin sin sin 一 •- lim n nJnY ：n -1■nsin同理:sin — si n — s in 」由迫敛性，得:例7.求:1112 n n+評+廿1+討2兀时需要综合运用迫敛性准则等方法进行讨论.6•利用（海涅）归结原则求数列极限（x ）=A=对任何人必（n 宀），有 ”叮（Xn ）=A •2=[im(1 •啤)]im(1 ^^1)^ ^lim(1 n^)^^lim(1 」)x =e ； lim(1 -1 -4)n=e • i ： n n注：数列是一种特殊的函数，而函数又具有连续、可导、可微、可积等优良性质，有时我们可以借助函数的这些优良性质将数列极限转化为函数极限，从而使问题得到简化和解决. 7•利用施托尔茨（Stolz ）定理求数列极限stolz 定理1: （__）型：若｛y n ｝是严格递增的正无穷大数列，它与数列｛X n ｝一起满足:□0"m ：x 二辭1，则有卩叹辭1，其中l为有限数，或；，或一stolz 定理2：（0）型：若｛yn ｝是严格递减的趋向于零的数列， n —「:：时，Xn —；0且lim X 1 Xn=］，则有lim Xn=l ，其中I 为有限数，或•：：，或-. n「y n1. -y n7%例11 .求：乍 2P 加:小n p愠 np+ (P^N) •解：令X n =1p ，2p 爲…圧-P , y n =n p1, n • N ，则由定理1,得:lim 1P 2P1 nP Rim (n P11)P P1，lim心「 rn p1"：( n1)p_ n p n]p1) n p_(P ⑴卩P 1注：本题亦可由方法五（即定积分定义）求得，也较为简便，此处略.例9•求：lim n-<-.: 1e n-1 1 解：lim■n-s ： 1-1 1例10 •计算: 解：一方面, 另一方面, 1= lim 学n T_on( lim 1 n 扛 (1 - n由归结原则: 1、n “ 1、n 2）：：：（1 ） > n(nr ')；1 1(1 ——1)n （取 X n=(1 2丄_2_ 丁 )心丄—(1—)5-; nn2n n—1 ,n = 2, 3,…)，归结原则：lim f X十2n2由迫敛性，得:n'TnC ：S n，求：Hm S n •n8.利用级数求和求数列极限由于数列与级数在形式上的统一性，有时数列极限的计算可以转化为级数求和，从而通过级数求和的知识使问题得到解决.1 2n例13 .求：lim( 21) ， (a >1). n： - a aa n1od解：令x =—，则|x | .；：1，考虑级数：V nx nan 1x而S(x)二x f (x)2;因此，原式(1—X)9.利用级数收敛性判断极限存在由于级数与数列在形式上可以相互转化，使得级数与数列的性质有了内在的密切联系，因此数列极限的存在性及极限值问题，可转化为研究级数收敛性问题.例14.设焉0，X ：^^ ^(n r O, 1, 2,)，证明：数列｛X ：｝收敛，并求极限2 +X ：证：由x 0・0 ,可得： x：0(：巾 1 2, )，令 f(x ^22 x C),(x 0)，例12 •设解：令y =n 2，则｛y n ｝单调递增数列，于是由定理2得:nE ln C ；lim S n = lim k~ 2—— j nY ：2n 1n7 ln C n k1 -7 ln C ：= lim - n二 k 纟 k 土 2 2" (n 1) —nn” ln^^ k_on —k +1=lim n：■： 2n -1n +(n - 1)ln(n y ln kk -1=lim — n二2n 1(n 七)ln( n +1) — n In n -ln(n +1) = lim n:2n 1 .z n 1 nln( ) 1= lim :-n注：Stolz 定理是一种简便的求极限方法，特别对分子、分母为求和型，利用Stolz 定理有很大的优越性，它可以说是求数列极限的洛必达(L'Hospita )法则.lim an = lim =1，•••此级数是收敛的.令Q QS(x) nx n士二八'nx n1，再令n —f (x) =7 nx n」，x:: x::o f(t)dt ■ 0nt n1dt ■ x nn ±n 1f (x)二(产)二1 -x1 (1 -==S(a 」)=a(1-a 于2(1 亠x )=x ：1，x ： 0, (n =0,1,2,)，oo考虑级数：.J |X ： 1 -人； n 倉则 0 . f '(x)2(2 x)2由于X n 牛一X f (X n ) f (X nJf '(©(X n -X n£1X n —人iXn—人 1人一X n 1J?2所以, 级数"_人收敛，从而n£Q0壬(X n 牛-X n )收敛.n_0_令Sn=E (x kk_0_%牛一X k ） = X n 牛一人，叮臂^存在，二 n ^X n 丰 M^+U^S nJ (存在)；对式子：X 」= 2（1+X），两边同时取极限：| =2（1知）,2 *2 +I\ =^J 2或 I =―J2 （舍负）；二 lim 人=J2 .n与、 1 1 i例15 .证明：lim （1In n ）存在.（此极限值称为 Euler 常数）ii i i证：设 a n =i +— +—…+— —In n ，贝U a * —a*丄=—［in n —ln （n —i ）］；2 3 n n对函数y =1 n n 在［n -i, n ］上应用拉格朗日中值定理，可得：Inn —ln(n —1) - (0：：：小1)，10 •利用幕级数求极限例 16•设 sin x =sinx, sin x 二sin(sin n ±x) (n =2, 3, ■■- )，若 sinx 0 ,求:— i解：对于固定的x ，当n —•:时，单调趋于无穷，由stolz 公式，有:sin n x2nn ，1-1 lim nsin n x =lim lim — n 二 nn ：”： 1n 1 [2 2 2sin n x sin n 1 x sin n x所以 a n —a “ 丄=一1 .n(n -1+0) In -1)2 'OC A因为J 收敛，由比较判别法知: n三（n -1）2心a n -a ni 也收敛,n士1 1所以l j m® 存在，即lim^Vi*1iln n)存在. n利用基本初等函数的麦克劳林展开式, 常常易求岀一些特殊形式的数列极限... 1= lim ——y ： 1 ___ 1 sin 2(sin x) s in 2sin . x .2 2丄1 t sin t= lim lim 2 2 lim -“士一* t0 t -int(0 t^(t2-1t4 o(t4))sin t t 3t 4 -- t 6 o （t 6） 1 -- t 2 o （t 2） = lim 3 lim 33 .3t o （t ）3 o （i ）ii •利用微分中值定理求极限拉格朗日中值定理是微分学重要的基本定理，它利用函数的局部性质来研究函数的整体性质,其应用十分广泛•下面我们来看一下拉格朗日中值定理在求数列极限中的应用. 、 a a 例仃•求：limn 2(arctan arctan ) , (a =0).n二 n n 1解：设f （x ） =arctanx ，在［—a, a］上应用拉格朗日中值定理, n +1 n得：吩…（洽）="吟话），启，故当2知，J 。

推导数列极限存在性的证明

推导数列极限存在性的证明在数学中，数列极限的存在性是一个重要且基础的概念。

在本文中，我们将探讨如何证明一个数列的极限存在。

我们将从定义开始，通过逻辑推理展示证明过程。

1. 极限的定义假设有一个数列 {an}，我们希望证明它的极限存在。

根据极限的定义，对于任意给定的正实数ε，存在一个自然数N，使得当n>N时，|an-L| < ε成立。

其中L为数列的极限。

2. 证明过程我们将通过构造合适的ε，找到对应的N，来证明数列的极限存在。

首先，我们可以利用数列的性质，找到一个递推公式或者通项公式来表示数列的一般形式。

假设数列为 {an}，递推公式为an = f(n)，其中f(n)为一个函数。

接下来，我们利用极限的定义来进行证明。

为了简化证明过程，我们可以假设数列的极限为L。

对于任意给定的正实数ε，我们可以构造一个新的数列 {bn}，其中bn = |an - L|。

我们可以观察到，当数列 {an}的极限存在时，数列 {bn}的极限为0。

根据构造的数列 {bn}和极限的定义，我们可以找到对应的N，使得当n>N时，|bn-0| < ε成立。

然后，我们需要对数列 {bn}进行一些变换。

我们可以利用一些基本的数学性质和运算规则，将数列 {bn}转化为另一个形式。

这个转化过程可能包括绝对值不等式、三角函数性质、序列与极限的运算等等。

最后，我们需要根据转化后的数列 {bn}，找到对应的N'。

当n>N'时，我们可以得出|an-L| < ε的结论。

3. 举例说明为了更好地理解推导数列极限存在性的证明过程，我们举一个具体的例子。

假设数列为{an}，其中an = 1/n。

我们希望证明该数列的极限存在。

根据定义，我们需要找到一个N，使得当n>N时，|an-L| < ε。

假设L=0。

构造数列 {bn}，其中bn = |an-0| = |1/n-0| = 1/n。

我们需要找到对应的N，使得当n>N时，1/n < ε成立。

备常用数列极限证明

而
1
>1
由(2)知，

1

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1

→0
2

lim = 0 ( > 1, ∈ ቇ
综上所述，→∞

第8页/共11页
log
证明 lim
= 0 ( > 0, ≠ 1, k > 0ቇ

→∞
证
(一) 当 >1 时，对 ∀ > 0 有 > 1
→∞ !
第5页/共11页

lim = 0 ( > 1, ∈ ቇ
证明 →∞

证令 = 1 + (>0) 则=−1
( − 1) 2

= 1 + = 1 + +
+ ⋯ +
2!
( − 1) 2
>
(当>2 时)
2
2 2
>Biblioteka 4(因为 − 1 > )
现取一个确定的自然数 , 使得|a|< ，则
|| || ||
|| || || || ||
||
⋯
=(
⋯ )(
⋯ ቇ
1 2

1 2
+ 1 + 2

|| || ||
由于确定，
中的每个因子放大为 |a|
⋯
1 2

|| || ||

从而
<
||
⋯
1 2

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利用(2)与极限的除法运算法则，有

极限证明定义

极限证明定义
极限证明的定义是一种严格的数学推理过程，用于证明一个数列或函数在某一点或无穷远处的极限存在性和具体取值。

具体来说，对于数列的极限证明，定义如下：
设{an}是一个数列，如果存在常数l，使得对于任意给定的正
数ε，总存在正整数N，使得当n>N时，不等式|an - l| < ε成立，则称常数l为数列{an}的极限，记作lim(n→∞)an=l或
an→l。

极限证明通常需要利用数学定义和逻辑推理方法，包括使用
ε-δ方法、数列收敛性的性质、数学定理等手段，具体步骤一
般为：
1. 给出要证明的极限表达式，例如要证明lim(n→∞)an=l。

2. 根据定义，对于任意给定的ε>0，要找到一个正整数N，使
得当n>N时，不等式|an - l| < ε成立。

3. 根据数列的特性和极限定义，将给定的不等式转化为可以进行估计和推导的形式。

4. 利用数学工具和方法，展开推导，找到合适的N，使得不等式满足。

5. 使用数学定理和推理方法，证明该N的存在和可行性。

6. 根据上述步骤进行逻辑推理和数学推导，得出结论
lim(n→∞)an=l成立。

通过以上步骤，可以严格证明一个数列的极限存在且具体取值。

极限证明是数学分析中重要的一部分，对于数列和函数的性质和运算具有重要的理论和实际应用价值。

证明数列极限的方法

证明数列极限的方法
证明数列极限的方法有以下常用的几种：
1. ε-N方法：根据极限的定义，给定一个很小的正数ε，要证明数列{a_n}的极限为L，则需要找到一个正整数N，使得当n>N时，a_n - L <ε。

这种方法常用于证明数列的极限存在和确定极限值。

2. 递推关系法：对于一些特殊的数列，可以通过推导出其递推关系来证明其极限存在及极限值。

例如斐波那契数列和等比数列的极限。

3. 子数列法：如果数列{a_n}的极限存在，但不易直接求出或证明，则可以考虑提取一个子数列{a_{n_k}}，其中n_k是一个较大的整数序列，再证明该子数列的极限存在，并与原数列的极限相等。

4. Cauchy收敛准则：对于给定的数列{a_n}，如果对于任意给定的正数ε，存在正整数N，使得当m,n>N时，a_m - a_n <ε，那么数列{a_n}的极限存在。

这种方法常用于证明数列的柯西收敛性。

以上为数列极限的常用证明方法，具体应根据数列的性质和问题的要求选择合适的方法进行证明。

数列极限四则运算法则的证明

数列极限四则运算法则的证明work Information Technology Company.2020YEAR数列极限四则运算法则的证明设limAn=A,limBn=B,则有法则1:lim(An+Bn)=A+B法则2:lim(An-Bn)=A-B法则3:lim(An·Bn)=AB法则4:lim(An/Bn)=A/B.法则5:lim(An的k次方)=A的k次方(k是正整数)(n→+∞的符号就先省略了,反正都知道怎么回事.)首先必须知道极限的定义:如果数列{Xn}和常数A有以下关系:对于ε＞0(不论它多么小),总存在正数N,使得对于满足n＞N的一切Xn,不等式|Xn-A|＜ε都成立,则称常数A是数列{Xn}的极限,记作limXn=A.根据这个定义,首先容易证明: 引理1: limC=C. (即常数列的极限等于其本身)法则1的证明:∵limAn=A, ∴对任意正数ε,存在正整数N₁,使n＞N₁时恒有|An-A|＜ε.①(极限定义)同理对同一正数ε,存在正整数N₂,使n＞N₂时恒有|Bn-B|＜ε.②设N=max{N₁,N₂},由上可知当n＞N时①②两式全都成立.此时|(An+Bn)-(A+B)|=|An-A)+(Bn-B)|≤|An-A|+|Bn-B|＜ε+ε=2ε.由于ε是任意正数,所以2ε也是任意正数.即:对任意正数2ε,存在正整数N,使n＞N时恒有|(An+Bn)-(A+B)|＜2ε.由极限定义可知,lim(An+Bn)=A+B.为了证明法则2,先证明1个引理.引理2:若limAn=A,则lim(C·An)=C·A.(C是常数)证明:∵limAn=A, ∴对任意正数ε,存在正整数N,使n＞N时恒有|An-A|＜ε.①(极限定义)①式两端同乘|C|,得: |C·An-CA|＜Cε.由于ε是任意正数,所以Cε也是任意正数.即:对任意正数Cε,存在正整数N,使n＞N时恒有|C·An-CA|＜Cε.由极限定义可知,lim(C·An)=C·A. (若C=0的话更好证)法则2的证明:lim(An-Bn)=limAn+lim(-Bn) (法则1)=limAn+(-1)limBn (引理2)=A-B.为了证明法则3,再证明1个引理.引理3:若limAn=0,limBn=0,则lim(An·Bn)=0.证明:∵limAn=0, ∴对任意正数ε,存在正整数N₁,使n＞N₁时恒有|An-0|＜ε.③(极限定义)同理对同一正数ε,存在正整数N₂,使n＞N₂时恒有|Bn-0|＜ε.④设N=max{N₁,N₂},由上可知当n＞N时③④两式全都成立.此时有|An·Bn| =|An-0|·|Bn-0| ＜ε·ε=ε².由于ε是任意正数,所以ε²也是任意正数.即:对任意正数ε²,存在正整数N,使n＞N时恒有|An·Bn-0|＜ε².由极限定义可知,lim(An·Bn)=0.法则3的证明:令an=An-A,bn=Bn-B.则liman=lim(An-A)=limAn+lim(-A) (法则1)=A-A (引理2) =0.同理limbn=0.∴lim(An·Bn)=lim[(an+A)(bn+B)]=lim(an·bn+B·an+A·bn+AB)=lim(an·bn)+lim(B·an)+lim(A·bn)+limAB (法则1)=0+B·liman+A·limbn+limAB (引理3、引理2)=B×0+A×0+AB (引理1) =AB.引理4:如果limXn=L≠0,则存在正整数N和正实数ε,使得对任何正整数n>N,有|Xn|≥ε.证明：取ε=|L|/2>0,则存在正整数N,使得对任何正整数n>N,有|Xn-L|<ε.于是有|Xn|≥|L|-|Xn-L|≥|L|-ε=ε引理5: 若limAn存在,则存在一个正数M,使得对所有正整数n,有|An|≤M.证明：设limAn=A,则存在一个正整数N,使得对n>N有|An-A|≤1,于是有|An|≤|A|+1,我们取M=max(|A1|,...,|AN|,|A|+1)即可法则4的证明:由引理4,当B≠0时(这是必要条件),正整数N1和正实数ε0,使得对正整数n>N1,有|Bn|≥ε0.由引理5,又正数M,K,使得使得对所有正整数n,有|An|≤M,|Bn|≤K.现在对ε>0,正整数N2和N3,使得:当n>N2,有|An-A|<ε0*|B|*ε/(M+K+1)；当n>N3,有|Bn-B|<ε0*|B|*ε/(M+K+1)；现在,当n>max(N1,N2,N3)时,有|An/Bn-A/B|=|An*B-Bn*A|/|B*Bn|=|An(B-Bn)+Bn(An-A)|/|B*Bn|≤(|An|*|B-Bn|+|Bn|*|A-An|)/(|B|*ε0)≤ε(M+K)/((M+K+1)<ε法则5的证明:lim(An的k次方)=limAn·lim(An的k-1次方) (法则3) ....(往复k-1次) =(limAn)的k次方=A的k次方.。

数列极限四则运算法则的证明

数列极限四则运算法则的证明设limAn=A,limBn=B,则有?法则1:lim(An+Bn)=A+B?法则2:lim(An-Bn)=A-B?法则3:lim(An·Bn)=AB?法则4:lim(An/Bn)=A/B.???法则5:lim(An的k次方)=A的k次方(k是正整数)?(n→+∞的符号就先省略了,反正都知道怎么回事.)?首先必须知道极限的定义:?如果数列{Xn}和常数A有以下关系:对于ε＞0(不论它多么小),总存在正数N,使得对于满足n＞N的一切Xn,不等式|Xn-A|＜ε都成立,?则称常数A是数列{Xn}的极限,记作limXn=A.?根据这个定义,首先容易证明:?引理1: limC=C.?(即常数列的极限等于其本身)?法则1的证明:?∵limAn=A,? ∴对任意正数ε,存在正整数N?,使n＞N?时恒有|An-A|＜ε.①(极限定义)? 同理对同一正数ε,存在正整数N?,使n＞N?时恒有|Bn-B|＜ε.②?设N=max{N?,N?},由上可知当n＞N时①②两式全都成立.?此时|(An+Bn)-(A+B)|=|An-A)+(Bn-B)|≤|An-A|+|Bn-B|＜ε+ε=2ε.?由于ε是任意正数,所以2ε也是任意正数.?即:对任意正数2ε,存在正整数N,使n＞N时恒有|(An+Bn)-(A+B)|＜2ε.?由极限定义可知,lim(An+Bn)=A+B.?为了证明法则2,先证明1个引理.?引理2:若limAn=A,则lim(C·An)=C·A.(C是常数)?证明:∵limAn=A,? ∴对任意正数ε,存在正整数N,使n＞N时恒有|An-A|＜ε.①(极限定义)?①式两端同乘|C|,得:?|C·An-CA|＜Cε.?由于ε是任意正数,所以Cε也是任意正数.?即:对任意正数Cε,存在正整数N,使n＞N时恒有|C·An-CA|＜Cε.?由极限定义可知,lim(C·An)=C·A.?(若C=0的话更好证)?法则2的证明:?lim(An-Bn)?=limAn+lim(-Bn)??(法则1)?=limAn+(-1)limBn??(引理2)?=A-B.?为了证明法则3,再证明1个引理.?引理3:若limAn=0,limBn=0,则lim(An·Bn)=0.?证明:∵limAn=0,? ∴对任意正数ε,存在正整数N?,使n＞N?时恒有|An-0|＜ε.③(极限定义)?同理对同一正数ε,存在正整数N?,使n＞N?时恒有|Bn-0|＜ε.④?设N=max{N?,N?},由上可知当n＞N时③④两式全都成立.?此时有|An·Bn|?=|An-0|·|Bn-0|?＜ε·ε?=ε2.?由于ε是任意正数,所以ε2也是任意正数.?即:对任意正数ε2,存在正整数N,使n＞N时恒有|An·Bn-0|＜ε2.?由极限定义可知,lim(An·Bn)=0.?法则3的证明:令an=An-A,bn=Bn-B.?则liman=lim(An-A)?=limAn+lim(-A)??(法则1)?=A-A??(引理2)?=0.?同理limbn=0.?∴lim(An·Bn)?=lim[(an+A)(bn+B)]=lim(an·bn+B·an+A·bn+AB)?=lim(an·bn)+lim(B·an)+lim(A·bn)+limAB??(法则1)?=0+B·liman+A·limbn+limAB??(引理3、引理2)?=B×0+A×0+AB??(引理1)?=AB.?引理4:如果limXn=L≠0,则存在正整数N和正实数ε,使得对任何正整数n>N,有|Xn|≥ε.? 证明：取ε=|L|/2>0,则存在正整数N,使得对任何正整数n>N,有|Xn-L|<ε.于是有|Xn|≥|L|-|Xn-L|≥|L|-ε=ε引理5:?若limAn存在,则存在一个正数M,使得对所有正整数n,有|An|≤M.?证明：设limAn=A,则存在一个正整数N,使得对n>N有|An-A|≤1,于是有|An|≤|A|+1,我们取M=max(|A1|,...,|AN|,|A|+1)即可法则4的证明:??由引理4,当B≠0时(这是必要条件),正整数N1和正实数ε0,使得对正整数n>N1,有|Bn|≥ε0.??由引理5,又正数M,K,使得使得对所有正整数n,有|An|≤M,|Bn|≤K.??现在对ε>0,正整数N2和N3,使得:??当n>N2,有|An-A|<ε0*|B|*ε/(M+K+1)；??当n>N3,有|Bn-B|<ε0*|B|*ε/(M+K+1)；??现在,当n>max(N1,N2,N3)时,有??|An/Bn-A/B|??=|An*B-Bn*A|/|B*Bn|??=|An(B-Bn)+Bn(An-A)|/|B*Bn|??≤(|An|*|B-Bn|+|Bn|*|A-An|)/(|B|*ε0)??≤ε(M+K)/((M+K+1)<ε法则5的证明:?lim(An的k次方)?=limAn·lim(An的k-1次方)??(法则3)?....(往复k-1次)?=(limAn)的k次方? =A的k次方.。

用定义证明数列极限存在的步骤

用定义证明数列极限存在的步骤
利用数列极限的定义来证明极限通常涉及到以下步骤：
1. **确定要证明的极限**：首先，明确你要证明的数列的极限是什么。

例如，假设你要证明数列 {aₙ} 的极限是 L。

2. **使用数列极限的定义**：数列 {aₙ} 的极限 L 可以用以下定义来表示：
对于任何正实数ε，存在一个正整数 N，使得当 n > N 时，|aₙ - L| < ε成立。

这个定义表明，无论多么小的正实数ε，只要你能找到一个正整数 N，当 n 大于等于 N 时，数列的项 aₙ就会在距离 L 不超过ε的范围内。

3. **证明过程**：现在，你需要根据上述定义来证明极限。

这通常涉及到选择一个适当的ε，并找到相应的 N，使得对所有 n > N，|aₙ - L| < ε成立。

这一步通常需要一些代数和不等式操作。

4. **写出证明**：将你的证明过程写成一个正式的证明，包括对ε和 N 的选择，以及对不等式的推导。

确保每一步都是清晰且严密的。

5. **总结和结论**：最后，总结你的证明，指出你已经满足了数列极限的定义，因此数列的极限是 L。

这是一般性的方法，用于证明数列的极限。

具体的证明过程会根据问题的不同而变化，但关键是理解数列极限的定义，并根据该定义来进行严密的推导和证明。

证明极限存在的方法

证明极限存在的方法
证明极限存在的方法不要标题
为了证明一个数列或函数的极限存在，可以采用以下几种方法：
1. ε-δ定义法：对于函数的极限存在，可以使用ε-δ定义法。

首先假设ε是一个任意小的正数，然后找到一个与ε相关的正
数δ，使得当自变量趋于某个特定值时，函数值与极限之间的
差距小于δ。

这样就证明了函数极限的存在。

2. Cauchy收敛准则：对于数列的极限存在，可以使用Cauchy
收敛准则。

根据该准则，如果一个数列对于任意正数ε，存在
一个正整数N，当n和m都大于N时，数列的前n个和前m
个之差的绝对值小于ε。

这样就证明了数列的极限存在。

3. 单调有界准则：对于数列的极限存在，还可以使用单调有界准则。

根据该准则，如果一个数列是单调递增且有上界（或单调递减且有下界），则该数列的极限存在。

4. 极限的代数运算性质：当已知两个数列或函数的极限存在时，可以利用极限的代数运算性质来证明其他数列或函数的极限存在。

这些性质包括四则运算、复合函数、乘法法则、比值法则等。

通过以上方法，可以证明一个数列或函数的极限存在。

需要注意的是，在证明过程中不能出现与题目要求相同的标题文字，以保证论证的逻辑严谨和清晰。

数列极限的定义证明

数列极限的定义证明一、引言数列是由一系列有序的数按照一定规律排列而成的，数列极限是数列理论中的基本概念之一。

在数学分析中，数列极限的定义是数学推理的重要基础，也是许多数学定理的核心。

二、数列极限的定义数列极限的定义是指当数列的项趋向于某个值时，数列的极限就是这个值。

换句话说，对于数列{an}，如果对于任意给定的正实数ε，存在正整数N，使得当n>N时，|an-a|<ε，那么数列的极限就是a。

三、数列极限的重要性1. 在微积分中，数列极限是导数和积分的基础。

在求导和积分的过程中，我们需要用到极限的性质和定义来推导出相应的公式和定理。

2. 在数学分析中，数列极限是许多重要定理的基础，如泰勒级数展开、函数极限和级数收敛等。

3. 数列极限的概念也被广泛应用于物理学、工程学和经济学等应用科学领域，用于描述各种现象和模型。

四、数列极限的例子1. 递推数列：考虑递推数列{an}，其中an=an-1+2，且a0=1。

我们想要求出数列的极限。

根据递推关系，我们可以得到a1=3，a2=5，a3=7，以此类推。

显然，数列的项随着n的增大而无限增大，所以数列没有极限。

2. 有界数列：考虑数列{an}，其中an=(-1)^n/n。

我们想要求出数列的极限。

当n为偶数时，an=1/n；当n为奇数时，an=-1/n。

显然，数列的项在n趋于无穷大时趋近于0，所以数列的极限是0。

3. 收敛数列：考虑数列{an}，其中an=1/n。

我们想要求出数列的极限。

对于任意给定的正实数ε，我们可以找到一个正整数N=1/ε，使得当n>N时，|an-0|<ε。

因此，数列的极限是0。

五、数列极限的性质1. 数列极限的唯一性：如果一个数列的极限存在，那么它是唯一的。

2. 数列极限的保号性：如果数列的极限大于（小于）0，那么数列中的项大于（小于）0的项的索引之后的所有项。

3. 数列极限的有界性：如果数列的极限存在，那么数列是有界的，即存在正整数M，使得对于所有的n，|an|<M。

用极限定义证明极限

例1、用数列极限定义证明：22lim 07n n n →∞+=- (1)(2)(3)(4)222222222224|0|77712n n n n n n n n n n n n nn ε>++-=<<=<=<------时上面的系列式子要想成立，需要第一个等号和不等号（1）、（2）、（3）均成立方可。

第一个等号成立的条件是n>2；不等号（1）成立的条件是2<n ；不等号（2）成立的条件是7<n ；不等号（3）成立的条件是12n <，即n>2；不等号（4）成立的条件是4[]n ε>，故取N=max{7, 4[]ε}。

这样当n>N 时，有n>7，4[]n ε>。

因为n>7,所以等号第一个等号、不等式（1）、（2）、（3）能成立；因为4[]n ε>，所以不等式（4）能成立，因此当n>N 时，上述系列不等式均成立，亦即当n>N 时，22|0|7n n ε+-<-。

在这个例题中，大量使用了把一个数字放大为n 或2n 的方法，因此，对于具体的数，．．．．．．．可．把它放大为．．．．．kn ．．（．k ．为大于零的常数）的形式．．．．．．．．．．．例2、用数列极限定义证明：24lim 01n n n n →∞+=++ (1)422224422|0|111n n n n n n n n n n n n n nε>+++-=<<=<++++++时不等号（1）成立的条件是2[]n ε>,故取N=max{4, 2[]ε},则当n>N 时，上面的不等式都成立。

注：对于一个由若干项组成的代数式，可放大或缩小为这个代数式的一部分．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．。

．如： 22222211(1)1n n n n n nn n n n n n ++>++>-<+>+例3、已知2(1)(1)nn a n -=+，证明数列a n 的极限是零。

如何利用数学归纳法证明数列极限

如何利用数学归纳法证明数列极限数学归纳法是一种常用的证明方法，特别适用于证明数列的极限。

通过归纳法可以逐步推理出数列中每一个项的性质，从而得到整个数列的性质。

本文将介绍如何利用数学归纳法来证明数列的极限。

首先，我们需要明确数列极限的定义。

对于一个数列 {an}，如果存在一个数 L，使得当 n 足够大时，数列中的任意项与 L 的差的绝对值小于任意给定的正数ε，即 |an - L| < ε，那么我们称 L 是数列 {an} 的极限，记作 lim(an) = L。

这意味着当 n 足够大时，数列中的项将无限接近于 L。

利用数学归纳法证明数列的极限可以分为三个步骤：基础步骤、归纳假设和归纳推理。

第一步是基础步骤。

我们需要证明数列中的某个特定项满足极限的定义。

通常我们选择数列的第一个项作为基础步骤。

假设我们要证明lim(an) = L，那么我们需要证明当 n = 1 时，an 与 L 的差的绝对值小于任意给定的正数ε。

这通常可以通过直接计算或者代入数值来得到。

第二步是归纳假设。

我们假设当 n = k 时，数列中的第 k 项与 L 的差的绝对值小于任意给定的正数ε，即 |ak - L| < ε。

这个假设是我们证明剩下项与 L 的差的绝对值同样小的前提条件。

第三步是归纳推理。

我们需要证明当 n = k+1 时，数列中的第 k+1项与 L 的差的绝对值小于任意给定的正数ε。

根据归纳假设，我们知道|ak - L| < ε。

现在，我们需要利用这个已知条件来推导出 |ak+1 - L| < ε。

在归纳推理的过程中，我们可以利用数列的递推关系式，数学运算和极限的性质等来推导不等式。

具体的推导方法要根据数列的特点和题目给出的条件来确定。

综上所述，通过数学归纳法，我们可以逐步推理出数列中的每一个项与极限的关系，并最终证明数列的极限存在。

这种证明方法在数学的各个领域都有广泛应用，尤其是在数学分析和数学推理中。

证明极限的几种方法

证明极限的几种方法极限是微积分中的一个重要概念，用来描述函数在某一点或无穷远处的趋势。

在数学中，有多种方法可以用来证明极限的存在或计算极限的值。

本文将介绍几种常用的证明极限的方法。

一、数列极限的证明方法数列极限是极限的一种特殊情况，通常用来描述数列在无穷项处的趋势。

对于数列${a_n}$，如果存在一个实数$a$，使得对于任意给定的正实数$\varepsilon$，都存在正整数$N$，使得当$n>N$时，有$|a_n-a|<\varepsilon$成立，则称数列${a_n}$的极限为$a$，记作$\lim\limits_{n\to\infty} a_n=a$。

数列极限的证明方法主要有夹逼准则、单调有界准则等。

夹逼准则是证明数列极限存在的常用方法。

其思想是通过夹逼数列，找到一个已知的收敛数列，使得待证数列夹在这两个数列之间。

然后利用已知数列的极限，推导出待证数列的极限。

例如，要证明数列${\frac{1}{n}}$收敛于0，可以利用夹逼准则。

首先，我们知道对于任意正整数$n$，都有$0<\frac{1}{n}<\frac{1}{1}=1$。

又因为$\lim\limits_{n\to\infty} \frac{1}{1}=0$，所以根据夹逼准则，数列${\frac{1}{n}}$的极限存在且为0。

二、函数极限的证明方法函数极限是极限的一般情况，用来描述函数在某一点处的趋势。

对于函数$f(x)$，如果存在一个实数$a$，使得对于任意给定的正实数$\varepsilon$，都存在正实数$\delta$，使得当$0<|x-a|<\delta$时，有$|f(x)-a|<\varepsilon$成立，则称函数$f(x)$在点$a$处具有极限$a$，记作$\lim\limits_{x\to a} f(x)=a$。

函数极限的证明方法主要有$\varepsilon-\delta$准则、夹逼准则等。

数列极限定义证明步骤

数列极限定义证明步骤
数列极限定义证明步骤证明：对任意的ε>0，解不等式│1/√n│=1/√n<ε，得n>1/ε²，取N=[1/ε²]+1...
证明步骤
证明：对任意的ε>0，解不等式
│1/√n│=1/√n<ε
得n>1/ε²，取N=[1/ε²]+1。

于是，对任意的ε>0，总存在自然数取N=[1/ε²]+1。

当n>N时，有│1/√n│<ε
故lim(n->∞)(1/√n)=0。

数列极限
数列的极限问题是我们学习的一个比较重要的部分，同时，极限的理论也是高等数学的基础之一。

数列极限的问题作为微积分的基础概念，其建立与产生对微积分的理论有着重要的意义。

数列极限定义
定义设为数列{a
n
}，a为定数。

若对任给的正数ε，总存在正整数N，使得当n>N 时有
▏a
n-a▕<E则称数列{a
n
}收敛于a，定数a称为数列{a
n
}的极限，并记作
若数列{a
n }没有极限，则称{a
n
}不收敛，或称{a
n
}发散。

等价定义任给ε>0，若在(a-ε,a+ε)之外数列{a
n
}中的项至多只有有限个，则
称数列{a
n
}收敛于极限a。

数列极限四则运算法则的证明

数列极限四则运算法则的证明设 limAn=A,limBn=B, 则有法则 1:lim(A n+B n)=A+B法则 2:lim(An-Bn)=A-B法则 3:lim(An • Bn)=AB法则 4:lim(An/Bn)=A/B.法则5:lim(An的k次方)=A的k次方(k是正整数)(n T + g的符号就先省略了，反正都知道怎么回事.)首先必须知道极限的定义：如果数列｛Xn｝和常数A有以下关系：对于？£>0(不论它多么小)，总存在正数 N,使得对于满足n > N的一切Xn,不等式|Xn-A| <e都成立，则称常数A是数列｛Xn｝的极限，记作limXn=A.根据这个定义，首先容易证明：引理1: limC=C.(即常数列的极限等于其本身)法则1的证明：•••limAn=A,二对任意正数£ ,存在正整数N?,使n > N?寸恒有|An-A| <£ .(极限定义)同理对同一正数& ,存在正整数N?,使n > N?时恒有|Bn-B| <£ .②设N=max｛N ?,N?｝,由上可知当n > N时①②两式全都成立.此时 |(An+Bn)-(A+B)|=|An-A)+(Bn- B)| < |AA|+|Bn-B| <£ + £ =2 £.由于&是任意正数，所以2 &也是任意正数.即:对任意正数2 £ ,存在正整数N,使n > N时恒有|(An+Bn)-(A+B)| v 2 £.由极限定义可知，lim(An+Bn)=A+B.为了证明法则2,先证明1个引理.引理 2:若 limAn=A,贝U lim(C • An)=C(C・是常数)证明:vlimAn=A, 二对任意正数e ,存在正整数N,使n > N时恒有|An-A| Ve .(极限定义)①式两端同乘|C|,得：|C • -CA| v C e.由于e是任意正数，所以C e也是任意正数.即:对任意正数 C e ,存在正整数N,使n > N时恒有|C -C A n V C e.由极限定义可知，lim(C ・AAn=O0的话更好证)法则2的证明：lim(A n-B n)=limAn+lim(-Bn)( 法则 1)=limAn+(-1)limBn ( 引理 2)=A-B.为了证明法则3,再证明1个引理.引理 3:若 limAn=O,limBn=0, 贝U lim(An • Bn)=0.证明:vlimAn=0, 二对任意正数e ,存在正整数N ?,使n > N ?时恒有|An-0| Ve .(极限定义) 同理对同一正数 e ,存在正整数N?,使n > N?时恒有|Bn-0| Ve .④设N=max{N ?,N?},由上可知当n > N时③④两式全都成立.此时有 |An • =Bnn- 0| • \Bn<£•=££ 2.由于&是任意正数，所以£ 2也是任意正数即:对任意正数£ 2,存在正整数，使n> N时恒有|An -0|B< & 2.由极限定义可知，lim(A n • Bn )=0.法则3的证明：令an=An-A,bn=Bn-B.则 liman=lim(An-A)=limAn+lim(-A)( 法则 1)=A-A (引理 2) =0.同理 limbn=0./• lim(A n • Bn)=lim[(an+A)(bn+B)]=lim(an • bn+B • an+A • bn+AB)=lim(a n • bn )+lim(B • an )+lim(A • b法则mAB=0+B • liman+A • limbn+limAB引理 3、引理 2)=B x 0+A x 0+AB (引理 1) =AB.引理4:如果limXn=L 工0,则存在正整麵和正实数£ ,使得对任何正整数n>N,有|Xn| >£.证明：取£ =|L|/2>0, 则存在正整数使得对任何正整数n>N,有|Xn- L|< £ .于是有|Xn- > |L| |Xn- L| > -L£ = £引理5:若limAn存M,使得对所有正整数n,有|An| wM.证明：设limAn=A,则存在一个正整数N,使得对n>N 有|An- A| w 1,于是有|An| w |A|+1, 我们取 M=max(|A1|,...,|AN|,|A|+1) 即可法则4的证明：由引理4,当B M0时（这是必要条件）,？正整数 N1和正实数£ 0,使得对正整数n>N1,有|Bn| 0.由引理5,又？正数M,K,使得使得对所有正整数n,有|An| < M,|Bn| < K.现在对？£ >0?正整数N2和N3,使得：当 n>N2,有|An- A|< £ 0*|B|* £ /(M+K+1);当 n>N3,有 |Bn- B|< £ 0*|B|* £ /(M+K+1);现在，当 n>max(N1,N2,N3)时,有|An/Bn-A/B|=|A n*B-B n*A|/|B*B n|=|A n( B-B n)+B n(An-A)|/|B*B n|w (|An|*|B-Bn|+|Bn|*|A- An|)/(|B|* £ 0)(M+K)/((M+K+1)< £法则5的证明：lim(An 的k次方)=limAn • lim(A的 k-1 次方)(法则 3)....(往复 k-1 次)=(limAn)的k次方=A的k次方.。

数列极限的证明方法

数列极限的证明方法
数列极限的证明方法有多种，以下列举几种基本的证明方法：
1. 利用定义：首先根据数列极限的定义，证明数列满足定义的条件，即对于任意给定的正实数，都存在一个正整数N，使得当n大于N时，数列的前N项与该实数之差的绝对值小于该实数。

然后根据定义的条件，利用数学运算等方法，对给定的实数和数列的项进行推导，最终得到数列的极限。

2. 利用夹逼定理：对于一个数列，如果它的所有项都被夹在两个极限不同的数列之间，那么该数列的极限与这两个数列的极限相同。

因此，可以利用夹逼定理来证明数列的极限。

3. 利用单调有界原理：如果一个数列单调递增或单调递减，并且有界，那么该数列一定收敛。

因此，可以利用单调有界原理来证明数列的极限。

4. 利用递推公式：如果一个数列能够用递推公式来表示，那么可以通过递推公式的性质来推导出该数列的极限。

5. 利用Cauchy准则：对于一个数列，如果满足Cauchy准则，即对于任意给定的正实数，都存在一个正整数N，使得当n,m大于N时，数列的第n项与第m项之差的绝对值小于该实数。

那么该数列一定收敛。

因此，可以利用Cauchy
准则来证明数列的极限。

数列的极限(证明)

2022年9月30日9时14分
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第一步，证明极限存在:
法一：用压缩映像原理。
|
xn1
xn
|
1 2
|
xn
xn1
|,0
1 2
1,收敛。
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类例：a)设{xn}满足：| xn1 xn || qn | | xn xn1 |, | qn | r 1。证明：{xn}收敛。（武汉大学05、一、15分）
(n
1)xn ]
0
xn
1 n 1
易见，0
x2
x1(1
x1 )
( x1
1)2 2
1 4
1 4
1 3
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用数学归纳法证明0
xn
1 成立, n 1
从而nxn
n n 1
1, nxn单增有上界。
2)因为xn1 xn xn2 xn ,所以xn单减有下界。
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