概率论试卷

概率论与数理统计考试题目及答案一、选择题（7×3分）1） 对于事件A ，B ，下列命题正确的是 。

（A ）若A ，B 互不相容，则A 与B 也互不相容。

（B ）若A ，B 相容，那么A 与B 也相容。

（C ）若A ，B 互不相容，且概率都大于零，则A ，B 也相互独立。

（D ）若A ，B 相互独立，那么A 与B 也相互独立。

2） 下列函数为随机变量的密度函数的是 。

(A) ⎩⎨⎧∈=其他,0],0[,cos )(πx x x f (B) ⎪⎩⎪⎨⎧<=其他,02,21)(x x f(C) ⎪⎩⎪⎨⎧<≥=--0,00,21)(222)(x x e x f x σμπσ (D) ⎩⎨⎧<≥=-0,00,)(x x e x f x3）若X ～N 211(,)μσ，Y ～N 222(,)μσ那么),(Y X 的联合分布为 。

（A ） 二维正态，且0=ρ （B ） 未必是二维正态 （C ）二维正态，且ρ不定 （D ）以上都不对4）对于任意两个随机变量X 和Y ，若()()()E XY E X E Y =⋅，则 。

（A ）()()()D XY D X D Y =⋅ （B ）()()()D X Y D X D Y +=+ （C ）X 和Y 独立 （D ）X 和Y 不独立5）n 个随机变量),,3,2,1(n i X i =相互独立且具有相同的分布，并且a X E i =)(, b X D i =)(,则这些随机变量的算术平均值∑==ni i X n X 11的数学期望和方差分别为 。

(A ) /a n ,b (B )a ,2/b n (C )a ,/b n (D )a ,2/b n6）设X 1,X 2,…X n ，X n+1, …,X n+m 是来自正态总体2(0,)N σ的容量为n+m 的样本，则统计量2211nn mii i i n V m n +==+=XX ∑∑服从的分布是 。

(A) (,)F m n (B) (1,1)F n m -- (C) (,)F n m (D) (1,1)F m n --7）设X ～2(,)N μσ其中μ已知，2σ未知，123,,X X X 样本，则下列选项中不是统计量的是 。

（A ）123X X X ++ （B ）123max{,,}X X X （C ）2321i i X σ=∑（D ）1X μ-二、填空题（10×3分）1）设A 、B 是两个事件，且()0,P A >则条件概率()P B A = 。

2）设A 、B 是两个事件，如果满足条件 ，则称事件A 、B 独立。

3）若~(0,5)K U ，方程()24420x K x K +++=有实根的概率为 。

4）泊松分布的分布律表达式是 。

5）二维随机变量（X,Y ）的联合概率密度为(,)f x y ，则随机变量X 的边缘密度函数为()X f x ＝ 。

6）相关系数是两个随机变量之间 程度的一种度量。

7）若~(,)X U a b ，则()E X = ，()D X = 。

8） 大数定理给出了频率的稳定性的严格的数学形式。

9)21(,)(,)n X X N μσ 设为来自于正态总体的样本，221()~ni i X μσ=-∑则。

10) 21,,~(,),n X X X N μσ 设是总体的样本则21()n i i E X X =⎧⎫-⎨⎬⎩⎭∑=2221()/n i i E X X σσ=⎧⎫-⎨⎬⎩⎭∑= 。

三、计算题（第1-4题各10分，第5题9分，合计49分）1、设一批混合麦种中一、二、三、四等品分别占94%、3%、2%、1%，，四个等级的发芽率依次为,0.98，0.95，0.9，0.85 求这批麦种的发芽率。

若取一粒能发芽，它是二等品的概率是多少？2、设 X 是连续型随机变量，其密度函数为()()242020c x x x f x ⎧-<<⎪=⎨⎪⎩其它，求：{}1c P X >⑴常数；⑵．3、()210102(,),30x xy x y X Y f x y ⎧+≤≤≤≤⎪=⎨⎪⎩，二维随机变量的密度函数为，其它 X Y 试判断随机变量与是否相互独立？4、设（X ，Y ）在区域A 上服从均匀分布，其中A 为x 轴，y 轴和直线10x y ++=所围成的区域。

求 (1) E(X) ; (2) E(-3X+2Y) ;5、1(),,n X X πλ 设总体服从泊松分布，是一个样本：11,,n X X （）写出的概率分布；22(),()().E X D X E S （）计算和二、填空题（10×3分）1）()()P AB P A ； 2）()()()P AB P A P B =； 3） 3/5 ；4）{},0,1,2,,!k e P X K k k λλ-=== ； 5）(,)f x y dy +∞-∞⎰； 6） 线性相关 ；7）2a b +，()D X =2()12b a - ； 8） 伯努利 ； 9) 2()n χ；10) 2(1)n σ-；三、计算题（第1-4题各10分，第5题9分，合计49分）1、解：}{能发芽=B ，1,2,3,4i }{==等品取的是第i A i ,易见1234,,,A A A AS 是的一个划分------------------2分01.0)(,02.0)(03.0)(,94.0)(4321====A P A P A P A P ，85.0)|(,9.0)|(95.0)|(,98.0)|(4321====A B P A B P A B P A B P ，------4分 由全概率公式，得9754.0)|()()(41==∑=i i i A B P A P B P ---------------6分由贝叶斯公式 222(|)()(|)()P B A P A P A B P B ==0.950.032.92%0.9754⨯=-----10分 2、解：（1）由密度函数的性质()1f x dx +∞-∞=⎰，得------------------------------2分()()222230028142233f x dx c x x dx c x x c +∞-∞⎛⎫==-=-= ⎪⎝⎭⎰⎰------------------------4分 所以，38c =------------------------------------------------------------------------5分 （2）{}()()221131428P X f x dx x x dx +∞>==-⎰⎰22313212832x x ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭--------10分 3、解：01x ≤≤当时，()()222012233X f x f x y dy x xy dy x x +∞-∞⎛⎫==+=+ ⎪⎝⎭⎰⎰，X 所以，随机变量的边缘密度函数为()2220130X x x x f x ⎧+≤≤⎪=⎨⎪⎩其它----------4分 02y ≤≤当时，()()Y f y f x y dx +∞-∞=⎰，12013x xy dx ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭⎰1136y =+Y 所以，随机变量的密度函数为()1102360Y y y f y ⎧+≤≤⎪=⎨⎪⎩其它-----------------8分 0102x y <<<<由于当，时，()()()X Y f x y f x f y ≠， X Y 所以，随机变量与不独立．---------------------------------------------10分 4、解： 2,(,)(,)0,x y Af x y ∈⎧=⎨⎩其它；----------------------------3分111()(,)23xE X xf x y dxdy dxx dy +∞+∞-∞-∞---==⋅=-⎰⎰⎰⎰--------------6分 011(34)(34)(,)2(32)x E X Y x y f x y dxdy dxx y +∞+∞-∞-∞----+=-+=-+⎰⎰⎰⎰5、解：{}1,0,1,2,,0!ixi i i i P X x e x x λλλ-===> （）由于，1,,n X X 因此样本的概率分布为{}1ni i i P X x ===∏111!niii x nnx n i i i ieex x λλλλ=--==∑=∏∏-----------------3分(2)()(),()(),E X D X E X E X λλ====由于，则有()()D X D X n nλ==---7分 2()E S λ=---------------------9分x。