概率论试卷

概率论与数理统计考试题目及答案

一、选择题（7×3分）

1） 对于事件A ，B ，下列命题正确的是 。 （A ）若A ，B 互不相容，则A 与B 也互不相容。 （B ）若A ，B 相容，那么A 与B 也相容。

（C ）若A ，B 互不相容，且概率都大于零，则A ，B 也相互独立。 （D ）若A ，B 相互独立，那么A 与B 也相互独立。

2） 下列函数为随机变量的密度函数的是 。

(A) ⎩⎨⎧∈=其他,0],0[,cos )(πx x x f (B) ⎪⎩⎪⎨⎧<=其他

,

02,

2

1

)(x x f

(C) ⎪

⎩⎪⎨⎧<≥=--0,

00

,21)(2

2

2)(x x e x f x σμπσ (D) ⎩⎨⎧<≥=-0,00,)(x x e x f x

3）若X ～N 211(,)μσ，Y ～N 2

22(,)μσ那么),(Y X 的联合分布为 。

（A ） 二维正态，且0=ρ （B ） 未必是二维正态 （C ）二维正态，且ρ不定 （D ）以上都不对

4）对于任意两个随机变量X 和Y ，若()()()E XY E X E Y =⋅，则 。 （A ）()()()D XY D X D Y =⋅ （B ）()()()D X Y D X D Y +=+ （C ）X 和Y 独立 （D ）X 和Y 不独立

5）n 个随机变量),,3,2,1(n i X i =相互独立且具有相同的分布，并且a X E i =)(, b X D i =)(,

则这些随机变量的算术平均值∑==n

i i X n X 1

1的数学期望和方差分别为 。

(A ) /a n ,b (B )a ,2/b n (C )a ,/b n (D )a ,2

/b n

6）设X 1,X 2,…X n ，X n+1, …,X n+m 是来自正态总体2

(0,)N σ的容量为n+m 的样本，则统计量

221

1

n

n m

i

i i i n V m n +==+=X

X ∑∑服从的分布是 。

(A) (,)F m n (B) (1,1)F n m -- (C) (,)F n m (D) (1,1)F m n --

7）设X ～2

(,)N μσ其中μ已知，2σ未知，123,,X X X 样本，则下列选项中不是统计量的是 。

（A ）123X X X ++ （B ）123max{,,}X X X （C ）2

32

1

i i X σ=∑

（D ）1X μ-

二、填空题（10×3分）

1）设A 、B 是两个事件，且()0,P A >则条件概率()

P B A = 。

2）设A 、B 是两个事件，如果满足条件 ，则称事件A 、B 独立。 3）若~(0,5)K U ，方程()24420x K x K +++=有实根的概率为 。 4）泊松分布的分布律表达式是 。

5）二维随机变量（X,Y ）的联合概率密度为(,)f x y ，则随机变量X 的边缘密度函数为

()X f x ＝ 。

6）相关系数是两个随机变量之间 程度的一种度量。

7）若~(,)X U a b ，则()E X = ，()D X = 。 8） 大数定理给出了频率的稳定性的严格的数学形式。 9)2

1(,)(,)n X X N μσ 设为来自于正态总体的样本，2

2

1

()~n

i i X μσ=-∑

则

。

10) 2

1,,~(,),n X X X N μσ 设是总体的样本则21()n i i E X X =⎧⎫

-⎨⎬⎩⎭

∑=

2

221()/n i i E X X σσ=⎧⎫

-⎨⎬⎩⎭

∑= 。

三、计算题（第1-4题各10分，第5题9分，合计49分）

1、设一批混合麦种中一、二、三、四等品分别占94%、3%、2%、1%，，四个等级的发芽率依次为,0.98，0.95，0.9，0.85 求这批麦种的发芽率。若取一粒能发芽，它是二等品的概率是多少？

2、设 X 是连续型随机变量，其密度函数为()()2

4202

0c x x x f x ⎧-<<⎪=⎨⎪⎩

其它，

求：{}1c P X >⑴常数；⑵．

3、()21

0102(,),3

0x xy x y X Y f x y ⎧+≤≤≤≤⎪=⎨⎪⎩

，

二维随机变量的密度函数为，其它 X Y 试判断随机变量与是否相互独立？

4、设（X ，Y ）在区域A 上服从均匀分布，其中A 为x 轴，y 轴和直线10x y ++=所围成的区域。求 (1) E(X) ; (2) E(-3X+2Y) ;

5、1(),,n X X πλ 设总体服从泊松分布，是一个样本：

11,,n X X （）写出的概率分布；22(),()().E X D X E S （）计算和

二、填空题（10×3分）

1）()()P AB P A ； 2）()()()P AB P A P B =； 3） 3/5 ；

4）{},0,1,2,,!

k e P X K k k λ

λ-==

= ； 5）(,)f x y dy +∞

-∞

⎰

； 6） 线性相关 ；

7）2a b +，()D X =2()12

b a - ； 8） 伯努利 ； 9) 2()n χ；10) 2

(1)n σ-；

三、计算题（第1-4题各10分，第5题9分，合计49分）

1、解：}{能发芽=B ，1,2,3,4i }{==等品取的是第i A i ,易见1234,,,A A A A

S 是的一个划分------------------2分

01.0)(,02.0)(03.0)(,94.0)(4321====A P A P A P A P ，

85.0)|(,9.0)|(95.0)|(,98.0)|(4321====A B P A B P A B P A B P ，------4分 由全概率公式，得9754.0)|()()(4

1==∑=i i i A B P A P B P ---------------6分

由贝叶斯公式 222(|)()(|)()

P B A P A P A B P B =

=

0.950.03

2.92%0.9754⨯=-----10分 2、解：（1）由密度函数的性质

()1f x dx +∞

-∞

=⎰

，得------------------------------2分

()()2

2

2

230

028142233f x dx c x x dx c x x c +∞

-∞

⎛

⎫=

=-=-= ⎪

⎝⎭⎰

⎰------------------------4分 所以，38c =------------------------------------------------------------------------5分 （2）{}()()2

21

1

3

1428P X f x dx x x dx +∞

>=

=-⎰

⎰

2

2313212832x x ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭--------10分 3、解：01x ≤≤当时，()()2

22012233X f x f x y dy x xy dy x x +∞

-∞

⎛

⎫=

=+=+ ⎪⎝

⎭⎰

⎰，

X 所以，随机变量的边缘密度函数为()22

201

3

0X x x x f x ⎧+≤≤⎪=⎨⎪⎩

其它----------4分 02y ≤≤当时，()()Y f y f x y dx +∞

-∞

=

⎰

，1

2013x xy dx ⎛

⎫=+ ⎪⎝

⎭⎰1136y =+

Y 所以，随机变量的密度函数为()11

02

36

0Y y y f y ⎧+≤≤⎪=⎨⎪⎩其它-----------------8分 0102x y <<<<由于当，时，

()()()X Y f x y f x f y ≠， X Y 所以，随机变量与不独立．

---------------------------------------------10分 4、解： 2,(,)(,)0,x y A

f x y ∈⎧=⎨⎩

其它；----------------------------3分

1

11

()(,)23x

E X xf x y dxdy dx

x dy +∞+∞

-∞-∞

---=

=⋅=-⎰⎰⎰⎰--------------6分 0

1

1

(34)(34)(,)2(32)x E X Y x y f x y dxdy dx

x y +∞+∞

-∞-∞

----+=

-+=-+⎰⎰⎰⎰5、解：{}1,0,1,2,,0!

i

x

i i i i P X x e x x λλλ-==

=> （）由于，1,,n X X 因此样本的

概率分布为{}1

n

i i i P X x ===∏1

1

1

!n

i

i

i x n

n

x n i i i i

e

e

x x λ

λ

λ

λ

=--==∑=∏

∏-----------------3分

(2)()(),()(),E X D X E X E X λλ====由于，则有()()D X D X n n

λ

=

=---7分 2()E S λ=---------------------9分

x