等差数列的性质(公开课)

3．(2010年全国)如果在等差数列{an}中，a3＋a4＋a5＝12，
那么 a1＋a2＋…＋a7＝( C )
A．14
B．21
C．28
D．35
4．已知数列{an}是等差数列，若a1－a5＋a9－a13＋a17＝117， 求 a3＋a15 的值．
解：∵a1＋a17＝a5＋a13， ∴a1－a5＋a9－a13＋a17 ＝(a1＋a17)－(a5＋a13)＋a9＝a9＝117. ∴a3＋a15＝2a9＝2×117＝234.
C．a1＋a8>a4＋a5
D．a1a8＝a4a5
练习2：(2010 年重庆)在等差数列{an}中，a1＋a9＝10，则
a5 的值为( A )
A．5
B．6
C．8
D．10
练习3：在等差数列{an}中，若a3＝50，a5＝30，则a7＝__1_0.
(1)设{an}为等差数列，若 a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，求 a2＋a8； (2)在等差数列{an}中，a3＋a5＋a7＋a9＋a11＝100，求 3a9－a13.
复习主要学习：
一个定义： an-an-1=d （d是常数，n≥2，n∈N*）
或 an+1-an=d （d是常数，n∈N*）
一个公式：an=a1+（n-1）d 或an=am+(n－m)d
an pn q,
d a a 两种判定方法： n m 定义法、通项公式法
n
m
两种思想：方程思想、函数思想
0.设数列an的通项公式为an n2 kn,
A ab 2
等差数列 a1, a2, a3, a4,, an1, an , an1, 由定义有
an1 an an an1,
即 2an an1 an1
综合应用
成等差数列的三个数之和为27，第一个 和第三个之积为80，求这三个数。
变式应用
成等差数列的四个数之和为25，第二个 和第三个之积为40，求这四个数。
4.在数列{an}中，an lg
5 , 判断数列是否为等差数 列. 32n1
பைடு நூலகம்
思考
等 差 中项 的 定 义
在如下的两个数之间，插入一个什么数后这三个数就会成为 一个等差数列：
（1）2 ，( 3 ) ， 4
（2）-12，( -6 ) ，0
3 a,a b,b
2
如果在a与b中间插入一个数A，使a，A，b成等差数列， 那么A叫做a与b的等差中项。
等差数列性质1
an是等差数列，则
m n p q(m, n, p, q N*) aman ap aq
等差数列性质1的推论
an是等差数列，则
m n 2k(m,n,k N*) aman 2ak
练习1：如果数列{an}是等差数列，则( B )
A．a1＋a8<a4＋a5
B．a1＋a8＝a4＋a5
若数列an 是单调增数列，求实数k的取值范围.
1.数列{an}中，Sn是前n项之和，若a1
1,
an1
1 3
Sn , 求an
2.若数列{n(n 4)(2)n}中的最大项是第k项，求k. 3
3.已知数列{an}的通项公式为an pn2 qn（, p、q为实数）， 求证：数列{an1 an}是等差数列.
例 3∶ 若数列{an}为等差数列，a15＝8，a60＝20，求 a75 的值． [解] 方法1：∵a15＝a1＋14d，a60＝a1＋59d.
2};
1 (3){
an
};(4){an
an 1}; ( 5) {a2k 1}
【变式与拓展1】
1．已知等差数列{an}的前 3 项依次为 a－1，a＋1, 2a＋3， 则此数列的通项 an 为( B )
A．2n－5
B．2n－3
C．2n－1
D．2n＋1
2．数列{an}为等差数列，a2 与 a6 的等差中项为 5，a3 与 a7 的等差中项为 7，则数列的通项 an 为___2_n_－__3_．
(3)若{an}是等差数列，且a1 a4 a7 45, a2 a5 a8 39, 求a3 a6 a9.
【例
3】
等差数列an的首项为
1，且an
从第
9
项开始各项均大于 25，求公差 d 的取值范围．
补：已知数列{an}是等差数列，则下列是等差数列的是( )
(1){can
};(2){an
解aa22·＋a5a＝5＝521，7， 得aa25＝ ＝41， 3 或aa52＝ ＝41.3， ∴d＝a55－ －2a2＝13－ 3 4＝3 或 d＝a55－ －2a2＝4－313＝－3.
变式训练 2 (1)设{an}为等差数列，若 a3＋a4＋a5＋a6 ＋a7＝450，求 a2＋a8；
(2)在等差数列{an}中，a3＋a5＋a7＋a9＋a11＝100，求 3a9 －a13 的值．
题型2 等差数列性质及应用 例2：在等差数列{an}中， (1)已知 a2＋a3＋a23＋a24＝48，求a13； (2)已知 a2＋a3＋a4＋a5＝34，a2·a5＝52，求公差d.
自主解答：(1)根据已知条件 a2＋a3＋a23＋a24＝48， 得 4a13＝48，∴a13＝12. (2)由 a2＋a3＋a4＋a5＝34， 得 2(a2＋a5)＝34，即 a2＋a5＝17.
高中数学
欢迎指导
质性的列数差等
诱思探究
已知等差数列2，4，6，8，10, 12，14， 16，…
（1）a1 a5 a2 a4成立吗？a4 a6 a3 a7呢？
（2）已知an是等差数列,若m n p q(m, n, p, q N *),
则aman ap aq成立吗？为什么？
(3)在等差数列中，已知 a2＋a3＋a4＋a5＝34，a2·a5＝52，求公差d. (a41)5数．列{an}是等差数列，若a1－a5＋a9－a13＋a17＝117，求 a3＋
例 3∶若数列{an}为等差数列，a15＝8，a60＝20，求 a75
(2)公差 d＝－2，且 a1＋a4＋a7＋…＋a97＝50， 求 a3＋a6＋a9＋…＋a99 的值．
解：(1)a3＋a7＝a4＋a6＝2a5＝a2＋a8，
∴a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝450.
∴a5＝90，∴a2＋a8＝2a5＝180.
(2)由 a3＋a5＋a7＋a9＋a11＝5a7＝100 得 a7＝20.
∴3a9－a13＝3(a7＋2d)－(a7＋6d)＝2a7＝40.
【变式与拓展2】