最简三角方程(2019年9月整理)

合集下载

6.5(1)(2)(3)最简三角方程

解： sin 2 x 2a 1
①当 2a 1 1，即 a 0 或 a 1时，x ；
②当 2a 1 1
(i) a 1时， sin 2 x 1 x k

4
,k Z ;
(ii) a 0时， sin 2 x 1 x k

4
,k Z ;
例2.解关于x的方程 : sin x cos x sin x cos x 1
t 2 1 . ，则 sin x cos x 解：令 sin x cos x t , t 2, 2 2 2 t 1 原方程化为 t 1 t 3 (舍) 或 1 2 2 sin x cos x 1 sin x 4 2 3 x 2 k 或 2 k 4 4 4
一般地, 当 a 1时, x x 2k arccosa, k .
3 例4、求方程tan x 的解集. 3
三角方程 tan x a, a R
x x k arctana, k .
例5.解下列三角方程 1 1sin 2 x ; 3
1 例1、求方程 sin x 的解集 . 2
例2、求方程 3sin(2 x

4
) 1的解集 .
三角方程 sin x a 当 a 1时, 方程无解;
当a 1时, x
x 2k

2
, k Z
. .
.
当a 1时, x
x 2k

2
, k Z
一般地, 当 a 1时, x
k (1) k arcsin a, k
1 例3、求方程 cos x 的解集 . 2

最简三角方程(2019年11月)

例1.设x, 解方程: (1) sinx=1/2; (2) sinx=2/3.
解：（1）由于sinx=1/2，所以 x（，2），所以 sinx=1/2的解是x=7和x=
(2)由于sinx=2/3.所以 x, 所以sinx=2/3的解为 x=arcsin(2/3) 和 x= arcsin(2/3)
{ arcsin(3/4),arcsin(3/4)}
(3). sin2x = 1;
{x|x=k kz}
例2 ；求方程sinx=1/2的解集。解：由于sinx=1/2，所以x在第一或第二象限。在（0，）上只有和5是原方程的解，
所以方程sinx=1/2的一切解是: xk 和 x=k kz
用集合为：{x xk , kz}{x| x=k , kz}
最简三角方程
授课人：汤继才
问题1：设A为三角形的内角根据下列条件分别求角
A的值。
(1) cosA=1/2
解：A=
(2) cosA=1/3
A=arccos(1/3)
(3) sinx=2/5
A=arcsin(2/5)或-arcsin(2/5)
(4) sinx= 3

A= 或
以上问题中的四个等式，实质上是关于A的方程。
象这样含有未知数的三角函数方程叫做三角方程，在三角方程中，
sinx=a, cosx=a, tgx=a 是最简单的，
这三种形式的方程叫做最简三角方程。
；电商入驻网店入驻天猫服务商 / 天猫代办代办天猫尚策京东入驻尚策苏宁入驻
；
述张目瞋之瑾惶惧而走文武百僚莫敢违忤性贪鄙知人有珍异物必求取富商大贾及陇右诸胡子弟皆接以恩意呼之为儿由是竞加馈遗金宝累积后庭曳罗绮者甚众家僮千余人皆控良马被服

最简三角方程

{ arcsiபைடு நூலகம்(3/4),arcsin(3/4)}
(3). sin2x = 1;
{x|x=k kz}
例1.设x, 解方程: (1) sinx=1/2; (2) sinx=2/3.
解：（1）由于sinx=1/2，所以 x（，2），所以 sinx=1/2的解是x=7和x=
(2)由于sinx=2/3.所以 x, 所以sinx=2/3的解为 x=arcsin(2/3) 和 x= arcsin(2/3)
例2 ；求方程sinx=1/2的解集。解：由于sinx=1/2，所以x在第一或第二象限。在（0，）上只有和5是原方程的解，
所以方程sinx=1/2的一切解是: xk 和 x=k kz
用集合为：{x xk , kz}{x| x=k , kz}
最简三角方程
授课人：汤继才
问题1：设A为三角形的内角根据下列条件分别求角
A的值。
(1) cosA=1/2
解：A=
(2) cosA=1/3
A=arccos(1/3)
(3) sinx=2/5
A=arcsin(2/5)或-arcsin(2/5)
(4) sinx= 3
2
A= 或
以上问题中的四个等式，实质上是关于A的方程。
也可以写成以下形式： {x|x=kk , kz}.
一般地，方程sinx=a,|a|<1的解集是：
{x|x=k(k arcsina ,kz}
课堂练习：
(1). sinx= 3 , x 解集为：{ }
2
(2). sinx=3/4, x
象这样含有未知数的三角函数方程叫做三角方程，在三角方程中，
sinx=a, cosx=a, tgx=a 是最简单的，

反三角函数及最简三角方程.docx

标准实用反三角函数及最简三角方程一、知识回顾：1、反三角函数：概念：把正弦函数y sin x ， x,时的反函数，成为反正弦函数，记作22y arcsin x .y sin x( x R) ，不存在反函数.含义： arcsin x 表示一个角；角,；sin x .22反余弦、反正切函数同理，性质如下表.名称函数式定义域值域奇偶性单调性反正弦函数y arcsin x1,1 增,2奇函数增函数2y arccosx arccos( x)arccosx反余弦函数1,1 减0,减函数非奇非偶反正切函数y arctanx R增,2奇函数增函数2y arc cot x arc cot( x)arc cot x反余切函数R减0,减函数非奇非偶其中：（）．符号arcsin x 可以理解为－，]上的一个角弧度，也可以理解为1[2() 2区间[－，]上的一个实数；同样符号arccosx 可以理解为[0，π 上的一个角2]2(弧度 )，也可以理解为区间 [0 ，π]上的一个实数；（2）． y ＝arcsin x 等价于 sin y＝x, y∈ [－，], y＝ arccos x 等价于 cos y22＝x, x ∈[0, π], 这两个等价关系是解反三角函数问题的主要依据；（3）．恒等式 sin(arcsin x)＝x, x∈ [－ 1, 1] , cos(arccos x)＝x, x∈ [－1, 1], tan(arctanx)=x,x ∈ Rarcsin(sin x) ＝ x, x ∈ [ －，], arccos(cos x) ＝ x, x ∈ [0,22π],arctan(tanx)=x, x∈（－，）的运用的条件；22（4）．恒等式 arcsin x＋arccos x＝, arctan x＋arccot x＝的应用。

最简三角方程

{x|x=k(k arcsina ,kz}
最简三角方程
授课人：汤继才
问题1：设A为三角形的内角根据下列条件分别求角
A的值。
(1) cosA=1/2
解：A=
(2) cosA=1/3
A=arccos(1/3)
(3) sinx=2/5 (4) sinx= 3
2
A=arcsin(2/5)或-arcsin(2/5) A= 或
以上问题中的四个等式，实质上是关于A的方程。
bbin www.bbin.icu bbin
例1.设x, 解方程: (1) sinx=1/2; (2) sinx=2/3.
解：（1）由于sinx=1/2，所以 x（，2），所以 sinx=1/2的解是x=7和x=
(2)由于sinx=2/3.所以 x, 所以sinx=2/3的解为 x=arcsin(2/3) 和 x= arcsin(2/3)
象这样含有未知数的三角函数方程叫做三角方程，在三角方程中，
sinx=a, cosx=a, tgx=a 是最简单的，
这三种形式的方程叫做最简三角方程。
Байду номын сангаас
怪的花灯天憨味在奇妙的空气中飘忽……接着扁圆的蒜瓣鼻子闪眼间转化颤动起来……憨厚自然、但却带着田野气息的嘴唇跃出亮青色的缕缕美云……浓密微弯、活像蝌蚪般的粗眉毛跃出深橙色的隐约幽热！紧接着像紫红色的金毛雪原狮一样长嘘了一声，突然来了一出曲身蠕动的特技神功，身上顷刻生出了八十只犹如狮子似的亮红色手掌。最后扭起奇如熨斗的手掌一叫，狂傲地从里面涌出一道怪影，她抓住怪影变态地一颤，一样黄澄澄、绿莹莹的法宝¤天虹娃娃笔→便显露出来，只见这个这件奇物儿，一边蜕变，一边发出“啾啾”的疑声……突然间壮扭公主发疯般地让自己结实丰满、有着无穷青春热情的胸部萦绕出青兰花色的布条声，只见她睡意朦胧的眼睛中，飘然射出二十组抖舞着¤飞轮切月斧→的牙齿状的豆包，随着壮扭公主的甩动，牙齿状的豆包像牛屎一样在双肩上怪异地安排出缕缕光幕……紧接着壮扭公主又连续使出八百七十六派荡驴帆船望，只见她浑圆饱满、力如河马般的霸蛮屁股中，突然弹出四十簇颤舞着¤飞轮切月斧→的铜钱状的脸皮，随着壮扭公主的颤动，铜钱状的脸皮像炸鸡一样，朝着Ｌ．崴敕柯忍者奇特的灰蓝色闪电般的手指神扫过去！紧跟着壮扭公主也滚耍着法宝像吹筒般的怪影一样朝Ｌ．崴敕柯忍者神砸过去随着两条怪异光影的猛烈碰撞，半空顿时出现一道墨紫色的闪光，地面变成了暗黄色、景物变成了紫红色、天空变成了墨蓝色、四周发出了虚幻的巨响…… 壮扭公主刚劲有力、无坚不摧的粗壮手指受到震颤，但精神感觉很爽！再看Ｌ．崴敕柯忍者笨拙的纯红色马鞍般的眼睛，此时正惨碎成钉子样的深绿色飞灰，高速射向远方Ｌ．崴敕柯忍者狂骂着狂魔般地跳出界外，加速将笨拙的纯红色马鞍般的眼睛复原，但元气已受损伤劈壮扭公主：“哈哈！这位干部的想法很是典雅哦！稍有复杂性呢！”Ｌ．崴敕柯忍者：“嘧呱！我要让你们知道什么是奇妙派！什么是迷离流！什么是新奇恶搞风格！”壮扭公主：“哈哈！小老样，有什么剧本都弄出来瞧瞧！”Ｌ．崴敕柯忍者：“嘧呱！我让你享受一下『蓝光彩神地灯仙诀』的厉害！”Ｌ．搞了个，团身犀醉后空翻七百二十度外加傻转七周的惊人招式！接着丰盈的浅橙色犀牛一样的眼罩立刻弹出凹彩地狱色的杨露牛舞味……怪异的舌头喷出死鬼影摇声和哈呵声……有根羽毛的外套朦朦胧胧窜出明隐星光般的闪动。紧接着旋动粗犷的土黄色菜叶般的鼻子一叫，露出一副惊人的神色，接着抖动短小的火橙色彩蛋造型的脖子，像纯蓝色的千舌沙

最简三角方程

修辞手法） ? 参考答案： 1、A 理由：用拟人手法，容易引起读者的注意；更能表达作者对造成这种现象的悲痛心情（主题）。 2、相同点：都有对祖国的深切的爱。不同点：艾青是目睹山河破碎、人民涂炭的现实，心中的痛苦。本文作者是因为部分国人不知铭记历史而十分伤心、
难过。 3、“扑”表现风来得猛，“砸”表现雨下得大，这样写更能突出作者对人们不理解废墟价值的一种愤怒与悲哀。（言之有理，可酌情给分） 4、凭吊、拜谒无数在此长眠的死难者（中华民族屈辱的历史）提醒自己不忘历史的耻辱，不能让悲剧重演。（意同即可） 5、一方面突
象这样含有未知数的三角函数方程叫做三角方程，在三角方程中，
sinx=a, cosx=a, tgx=a 是最简单的，
这三种形式的方程叫做最简三角方程。
；单创:https:///article/20190920/925754.shtml ；
该题分层赋分（1）不存在关联。第一层：理解肤浅，只是笼统地说二者无关系。示例一：父女的善良和文字的力量是两回事。实例现代文阅读训练题及答案圆明园 ? 阅读下面文章，完成文后问题。 ①一直以为，圆明园是哭泣的。英法联军蹂躏着她的肌体，摧毁着她的骨骼，冲
例1.设x, 解方程: (1) sinx=1/2; (2) sinx=2/3.
解：（1）由于sinx=1/2，所以 x（，2），所以 sinx=1/2的解是x=7和x=
(2)由于sinx=2/3.所以 x, 所以sinx=2/3的解为 x=arcsin(2/3) 和 x= arcsin(2/3)
《我爱这土地》中写“为什么我的眼里常含泪水”，上文结尾也写到了“流泪”，简要分析“眼泪”背后两位作者思想感情的异同。 3、文中的语言富有表现力，请结合句中加点的词语作简要分析。一阵沙尘扑面而来，豆大的雨点砸了下来，劈头劈脸，欢笑的人群直往外冲。 ? 4、文

6.5(2)最简三角方程

§6.5最简三角方程（2）教学目标1. 知识与能力：①会解简单的三角方程（形如sin cos A x B x C +=，2sin sin A x B x C +=，2sin cos A x B x C +=等）． ②利用函数的图像解与三角函数有关的方程问题．2. 过程与方法：把简单的三角方程转化为最简单的三角方程，一是要掌握基本方法，二是要合理选用公式和变换方法．3. 态度、情感、价值观：培养探索和创新的能力和意识。

教学重点：简单的三角方程转化为最简单的三角方程基本方法与合理选用公式和变换方法；教学难点：简单的三角方程转化为最简单的三角方程的过程中合理选用公式和变换方法，及含有字母三角方程的实数解讨论．教学过程：一、复习引入已知三角函数值求角（实际上是求解最简三角方程），要熟练掌握最简三角方程的解集，并在理解的基础上熟记下表：把简单的三角方程转化为最简单的三角方程，一是要掌握基本方法，二是要合理选用公式和变换方法．其基本的转化方法有：（1）可化为同角、同名的三角函数的方程，通常用解代数方程的方法，转化为最简的三角方程；（2）一边可以分解，而另一边为零的方程，通常用因式分解法，转化为最简的三角方程；（3）关于sin x 、cos x 的齐次方程，，通常化为关于tan x 的方程。

再用解代数方程的方法，转化为关于tan x 最简的三角方程；（4）形如sin cos a x b x c +=的方程，通常是引入辅助角，化原方程为sin()x θ+=1≤时，方程有解．二．例题分析例1、解方程22sin 3cos 0x x +=．例2、解方程22sin sin cos cos 03x x x x --=．例3、若方程cos22sin 10x x m -+-=存在实数解，求m 的取值范围．解法一：由原方程，得 22sin 2sin 0x x m +-=，即 2sin sin 02m x x +-= 解这个以sin x 为未知数的一元二次方程，因为1sin 1x -≤≤要使方程有解，只需14()021102m m ⎧∆=-⋅-≥⎪⎪⎨⎪+-≥⎪⎩ 解得142m -≤≤．所以m 的取值范围为1,42⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．解法二：由原方程得 22sin 2sin 0x x m +-=，得22112sin 2sin 2(sin )22m x x x =+=+-因为1sin 1x -≤≤，所以142m -≤≤．所以m 的取值范围为1,42⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．说明：当方程sin (x t t =为常数）有解时，必须满足1t ≤，则原题就转化为求[]2112(),1,122m t t =+-∈-的最大值、最小值问题．三、课堂练习四、课堂小结本节课的内容是把简单的三角方程转化为最简三角方程。

反三角函数及最简三角方程

反三角函数及最简三角方程一、知识回忆： 1、反三角函数：概念：把正弦函数sin y x =，,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时的反函数，成为反正弦函数，记作x y arcsin =.sin ()y x x R =∈，不存在反函数.含义：arcsin x 表示一个角α；角α,22ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦；sin x α=.反余弦、反正切函数同理，性质如下表.其中：〔1〕．符号arcsin x 可以理解为[－2π，2π]上的一个角(弧度)，也可以理解为区间[－2π，2π]上的一个实数；同样符号arccos x 可以理解为[0，π]上的一个角(弧度)，也可以理解为区间[0，π]上的一个实数；〔2〕． y ＝arcsin x 等价于sin y ＝x , y ∈[－2π，2π], y ＝arccos x 等价于cos y ＝x , x ∈[0, π], 这两个等价关系是解反三角函数问题的主要依据；〔3〕．恒等式sin(arcsin x )＝x , x ∈[－1, 1] , cos(arccos x )＝x , x ∈[－1, 1], tan(arctanx)=x,x ∈Rarcsin(sin x )＝x , x ∈[－2π，2π], arccos(cos x )＝x , x ∈[0,π],arctan(tanx)=x, x ∈〔－2π，2π〕的运用的条件；〔4〕．恒等式arcsin x ＋arccos x ＝2π, arctan x ＋arccot x ＝2π的应用。

2〔1〕．含有未知数的三角函数的方程叫做三角方程。

解三角方程就是确定三角方程是否有解，如果有解，求出三角方程的解集；〔2〕．解最简单的三角方程是解简单的三角方程的根底，要在理解三角方程的根底上，熟练地写出最简单的三角方程的解；〔3〕．要熟悉同名三角函数相等时角度之间的关系在解三角方程中的作用；如：假设sin sin αβ=，那么sin (1)k k απβ=+-；假设cos cos αβ=，那么2k απβ=±；假设tan tan αβ=，那么a k πβ=+；假设cot cot αβ=，那么a k πβ=+；〔4〕．会用数形结合的思想和函数思想进行含有参数的三角方程的解的情况和讨论。

5.1.10最简三角方程的解法

x x kπ arctan5 （ 3 ） , k Z
x x kπ - arctan13 （ 4） , k Z
*当 a 取什么值时,下列方程的解集是空集.
1 - 3a 2a 1 (1) .sinx ; (2) .cosx . 2 a5 1 1 - 3a a 1或a （ 1 ） 1 3 2
*例题7: 求下列方程的解集.
(1) .cosx sinx 1 ;
π π 1 (2) .cos( - x) cos( x) 0; 3 3 2 x (3) .3sin cosx 1 0; 2
(4) .sinxcosx sinx cosx 1 0.
*策略: 利用三角变换或是代数方法把三角方程转化为最简的三角方程,然后求出其解集是求解三角方程的常用方法. *提示: 题(4)需进行和积互化,通过换元法求解.
1 2π 求得方程的特解为: x1 arccos( ) , 2 3 2π x 2 x1 .(后法同上例) 3
** 典型例题解析 **
3 *例题3: 求方程 tanx 的解集. 3
∴原方程的解集为:
-1
y
1
1
o
x
π x x k π , k Z 6
*例题7: 求下列方程的解集.
(1) .cosx sinx 1 ;
（ 1 ） x x 2 k π 或 x 2 k π , k Z 2
π π 1 (2) .cos( - x) cos( x) 0; 3 3 2
cos x
x (3) .3sin cosx 1 0; 2
1 . 2
*解法2:由三角诱导公式 sin( π x) sinx 可得到:

反三角函数和最简三角方程

反三角函数及最简三角方程一、知识回顾： 1、反三角函数：概念：把正弦函数sin y x =，,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时的反函数，成为反正弦函数，记作x y arcsin =.sin ()y x x R =∈，不存在反函数.含义：arcsin x 表示一个角α；角α,22ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦；sin x α=.反余弦、反正切函数同理，性质如下表.其中：（1）．符号arcsin x 可以理解为[－2π，2π]上的一个角(弧度)，也可以理解为区间[－2π，2π]上的一个实数；同样符号arccos x 可以理解为[0，π]上的一个角(弧度)，也可以理解为区间[0，π]上的一个实数；（2）． y ＝arcsin x 等价于sin y ＝x , y ∈[－2π，2π], y ＝arccos x 等价于cos y ＝x , x ∈[0, π], 这两个等价关系是解反三角函数问题的主要依据；（3）．恒等式sin(arcsin x )＝x , x ∈[－1, 1] , cos(arccos x )＝x , x ∈[－1, 1], tan(arctanx)=x,x ∈Rarcsin(sin x )＝x , x ∈[－2π，2π], arccos(cos x )＝x , x ∈[0,π],arctan(tanx)=x, x ∈（－2π，2π）的运用的条件；（4）．恒等式arcsin x ＋arccos x ＝2π, arctan x ＋arccot x ＝2π的应用。

2（1）．含有未知数的三角函数的方程叫做三角方程。

解三角方程就是确定三角方程是否有解，如果有解，求出三角方程的解集；（2）．解最简单的三角方程是解简单的三角方程的基础，要在理解三角方程的基础上，熟练地写出最简单的三角方程的解；（3）．要熟悉同名三角函数相等时角度之间的关系在解三角方程中的作用；如：若sin sin αβ=，则sin (1)k k απβ=+-；若cos cos αβ=，则2k απβ=±；若tan tan αβ=，则a k πβ=+；若cot cot αβ=，则a k πβ=+；（4）．会用数形结合的思想和函数思想进行含有参数的三角方程的解的情况和讨论。

第35讲-简单的三角方程-基础

简单的三角方程教学目标1．会由已知三角函数值求角，并会用符号arcsina 、arccosa 、arctana 表示2.理解反三角函数的概念，能由反三角函数的图象得出反三角函数的性质，能运用反三角函数的定义、性质解决一些简单问题3.能够熟练地写出最简单的三角方程的解集，并会解简单的三角方程知识梳理（一）最简三角方程 1．正弦方程：（1）概念：sinx a =，称为最简正弦方程．（2）解集：>1a 时，无解（解集是∅）； =1a 时，=2+2x k ππ，k Z ∈；=1a -时，=22x k ππ-，k Z ∈；<1a 时，()=+1kx k arcsina π-，k Z ∈．2．余弦方程（1）概念：cos x a =，称为最简余弦方程。

（2）解集>1a 时，无解；=1a 时，=2x k π，k Z ∈；=1a -时，=2+x k ππ，k Z ∈；<1a 时，=2x k arccosa π±，k Z ∈．3．正切方程（1）概念：tan x a =称为最简正切方程。

（2）解集=+x k arctana πk Z ∈．（二）简单三角方程类型1：sin()A x a ωϕ+=；类型2：asinx bcosx c += ()22+0a b ≠；类型3：2asinx bsinx c += ()0a ≠；类型4：2+=0asin x bsinxcosx c +．典例精讲例1求下列方程的解集：（1）cos 206x π⎛⎫-=⎪⎝⎭；（2）tan(50)1x +=；（3）32sin 342x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭；（4）3sin 214x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭；（5）2cos 316x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，[0,2]x π∈. 解：（1）原方程即cos 20.6x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭所以262x k πππ-=+，得()23k x k Z ππ=+∈.所以方程的解集为{|,}23k x x k Z ππ=+∈. （2）由方程得5018045.x k +=⋅+ 所以1805()x k k Z =⋅-∈.所以方程的解集为{|1805,}x x k k Z =⋅-∈. （3）原方程即3sin 31422x π⎛⎫+=> ⎪⎝⎭. 所以方程的解集为∅. （4）原方程可化为1sin 2.43x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭ 所以12(1)arcsin ()43kx k k Z ππ+=+-∈. 即(1)1arcsin ,2238k k x k Z ππ-=+-∈. 所以原方程得解集为(1)1{|arcsin ,}2238k k x x k Z ππ-=+-∈. （5）原方程可化为2cos 362x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以32,64x k k Z πππ+=±∈. 当k Z -∈时，0x <，不合题意；取0k =时，36x π=；取1k =时，1936x π=或2536x π=；取2k =时，4336x π=或4936x π=；取3k =时，6736x π=；当3k >时，2x π>，不合题意.例2解下列三角方程：（1）1cos cos 0332x x ππ⎛⎫⎛⎫-++=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ （2）cos sin 1x x -=-．解：（1）由积化和差公式将原方程化为121cos cos 20232x π⎛⎫++= ⎪⎝⎭，即1cos 22x =-．所以2223x k ππ=±，即,3x k k Z ππ=±∈．因此原方程的解集为{|,}3x x k k Z ππ=±∈．（2）原方程可化为222sin cos 122x x ⎛⎫--=- ⎪ ⎪⎝⎭，即2sin coscos sin442x x ππ-=，2sin 42x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭．所以，(1),44kx k k Z πππ=+-+∈．因此原方程的解集为{|(1),}44kx x k k Z πππ=+-+∈．例3解下列三角方程：（1）22sin 5cos 10x x -+=；（2）3sincos 102xx ++=．解：（1）原方程可化为22(1cos )5cos 10x --+=．整理，得22cos 5cos 30x x +-=．解得1cos cos 32x x ==-或（无解）．因此原方程得解集为{|2,}3x x k k Z ππ=±∈．（2）原方程可化为23sin12sin 1022x x+-+=．整理，得22sin3sin 2022x x --=．解得1sin sin 2222x x=-=或（无解）．因此原方程得解集为{|2(1),}3kx x k k Z ππ=--∈．例4解方程：sin cos sin cos 10x x x x +++=．解：把原方程左边分解因式，得(sin 1)(cos 1)0x x ++=．所以sin 1cos 1x x =-=-或．由sin 1x =-，得32,2x k k Z ππ=+∈．由cos 1x =-，得2,x k k Z ππ=+∈．所以原方程的解集为3{|22,}2x x k x k k Z ππππ=+=+∈或．例5解下列三角方程：（1）3sin 2cos 0x x -=；（2）222sin 3sin cos 2cos 0x x x x --=；（3）26sin 4sin 21x x -=-．解：（1）因为使cos 0x =的x 值不是方程的解，所以将方程两边同除以cos x ，得3tan 20x -=，即2tan .3x =所以2arctan ,3x k k Z π=+∈．所以原方程的解集为2{|arctan ,}3x x k k Z π=+∈．（2）因为使cos 0x =的x 值不是方程的解，所以将方程两边同除以2cos x ，得22tan 3tan 20x x --=，解得1tan 2x =-或tan 2x =．所以原方程的解集为1{|arctanarctan 2,}2x x k x k k Z ππ=-=+∈或．（3）原方程可化为2226sin 4sin 2(sin cos )x x x x -=-+．即227sin 8sin cos cos 0x x x x -+=．将方程两边同除以2cos x ，得27tan 8tan 10x x -+=，解得1tan 1tan 7x x ==或．所以原方程的解集为1{|arctan ,}47x x k x k k Z πππ=+=+∈或．课堂小练1．（1）方程2cos 303x π⎛⎫++= ⎪⎝⎭的解集是___________．（2）方程2tan 210x +=的解集是___________．（3）2sin 31,[0,]6x x ππ⎛⎫+=∈ ⎪⎝⎭的解集是___________． 2．方程3sin cos 0x +=的解集是（）A .{|,}x x k k Z π=∈；B .{|2,}6x x k k Z ππ=-∈C .{|,}6x x k k Z ππ=-∈； D .{|,}6x x k k Z ππ=+∈3．方程24cos 43cos 30x x -+=的解集是（）A .{|(1),}6kx x k k Z ππ=+-∈； B .{|(1),}3kx x k k Z ππ=+-∈；C .{|2,}6x x k k Z ππ=±∈； D .{|2,}3x x k k Z ππ=±∈.4．解方程：3sin 2cos21x x +=. 5．（1）方程2sin 32x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭在[0,]π上的解是x =___________．（2）方程1sin23x =在[,2]ππ上的解是x =___________．（3）方程1sin 22x =在[2,2]ππ-内解的个数是___________．（4）方程sin 2sin 7x π=的解集是___________．6．方程21sin 2x =的解集是（） A .{|,}4x x k k Z ππ=+∈； B .{|,}4x x k k Z ππ=-∈ C .{|2,}4x x k k Z ππ=+∈； D .{|,}4x x k k Z ππ=±∈7．方程21cos cos x x -=的解集是（）A .{|,}4x x k k Z ππ=±∈； B .{|,}4x x k k Z ππ=+∈ C .{|,}4x x k k Z ππ=-∈； D .{|2,}4x x k k Z ππ=±∈8．方程cos3cos 2x x =的解集是（）A .{|2,}x x k k Z π=∈；B .2{|,}5k x x k Z π=∈ C .2{|2,}5k x x k x k Z ππ==∈或； D .(21){|2,}5k x x k x k Z ππ+==∈或9．设全集U 为R ，()sin f x x =，()cos g x x =，{|()0}M x f x =≠，{|()0}N x g x =≠ 那么集合{|()()0}x f x g x ⋅=等于（）A .U UMN 痧； B .U MN ð； C .U MN ð； D .U UMN 痧10．方程22sin sin 20a x a x +-=有非空解集的条件是（）A .||1a ≤；B .||1a ≥；C .||2a ≥；D .a R ∈参考答案1．（1）7{|22,}26x x k x k k Z ππππ=+=-∈或（2）111{|arctan ,}222x x k k Z π=-∈（3）72531,,,36363636ππππ⎧⎫⎨⎬⎩⎭. 2．C . 3．C . 4．1{|(1),}21212k x x k k Z πππ=+--∈ 5．（1）712π （2）122arcsin 3π- （3）8个（4）1{|(1),}214k x x k k Z ππ=+-∈ 6．D .7．D . 8．C . 9．D . 10．B .回顾总结熟练掌握各个类型的三角方程；对于无范围的要注意周期讨论K .。

最简三角方程

6.5最简三角方程（2）上海市第四中学张云一、教学内容分析在掌握最简三角方程的解集基础上，学会解简单的三角方程．利用同角三角比或三角比的有关公式将同时含有几个三角函数的方程化为只含有一个角的一个三角函数的方程，然后采用基本的转化方法，将原方程化成简单三角方程求解．有关三角方程的实数解问题，不仅要考虑以三角函数为未知数的一元二次方程的0∆≥，而且要关注此三角函数本身的条件限制．二、教学目标设计1．会解简单的三角方程（形如sin cos+=，2A xB x C+=，A xB x Csin sin 2+=等）．A xB x Csin cos[说明]把简单的三角方程转化为最简单的三角方程，一是要掌握基本方法，二是要合理选用公式和变换方法．其基本的转化方法有：（1）化为同角、同名的三角函数；（2）因式分解法；（3）化为sin x、cos x的齐次式；（4）引入辅助角．２．利用函数的图像解与三角函数有关的方程问题．三、教学重点及难点重点：简单的三角方程转化为最简单的三角方程基本方法与合理选用公式和变换方法；难点：简单的三角方程转化为最简单的三角方程的过程中合理选用公式和变换方法，及含有字母三角方程的实数解讨论．四、教学用具准备多媒体设备五、教学流程设计1．概念辨析，要熟练掌握最简三角方程的解集，并在理解的基础上熟记下表：把简单的三角方程转化为最简单的三角方程，一是要掌握基本方法，二是要合理选用公式和变换方法．其基本的转化方法有：（1）可化为同角、同名的三角函数的方程，通常用解代数方程的方法，转化为最简的三角方程；（2）一边可以分解，而另一边为零的方程，通常用因式分解法，转化为最简的三角方程；（3）关于sin x 、cos x 的齐次方程，，通常化为关于tan x 的方程。

再用解代数方程的方法，转化为关于tan x 最简的三角方程；（4）形如sin cos a x b x c +=的方程，通常是引入辅助角，化原方程为sin()x θ+=1≤时，方程有解．2．例题分析例1、解方程22sin 3cos 0x x +=．解原方程可化为 22(1cos )3cos 0x x -+=，即 22cos 3cos 20x x --=．解这个关于cos x 的二次方程，得cos 2x =，1cos 2x =-．由cos 2x =，得解集为φ；由1cos 2x =-，得解集为22,3x x k k Z ππ⎧⎫=±∈⎨⎬⎩⎭．所以原方程的解集为22,3x x k k Z ππ⎧⎫=±∈⎨⎬⎩⎭． [说明]方程中的2sin x 可化为21cos x -，这样原方程便可看成以cos x 为未知数的一元二次方程，当0∆≥时，可用因式分解将原方程转化成两个最简方程，从而求得它们的解．例2、解方程22sin cos cos 0x x x x -=．解一因为cos 0x ≠（使cos 0x =的x 的值不可能满足原方程），所以在方程的两边同除以2cos x ，得2tan 10x x -=．解关于tan x 的二次方程，得tan x =tan 3x =-．由tan x =,3x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭；由tan x =,6x x k k Z ππ⎧⎫=-∈⎨⎬⎩⎭．所以原方程的解集为,,36x x k x k k Z ππππ⎧⎫=+=-∈⎨⎬⎩⎭或． [说明]若方程的每一项关于sin cos x x 及的次数都是相同的（本题都是二次）,那么这样的方程叫做关于sin cos x x 及的齐次方程．它的解法一般是,先化为只含有未知数的正切函数的三角方程，然后求解．解二降次得1cos 21cos 22022x x x -+-=，化简得 2cos 203x x +=．因为cos 20x ≠（使cos 20x =的x 的值不可能满足原方程），所以在方程的两边同除以cos2x ，得tan 2x =．由tan 2x =，得 2,3x k k Z ππ=-∈，即,26k x k Z ππ=-∈．所以原方程的解集为,26k x x k Z ππ⎧⎫=-∈⎨⎬⎩⎭． [说明]由于转化方法的不同，所得解集的表达形式不同，但当k 是偶数2n 时，26k ππ-变成n 6ππ-；当k 是奇数2n+1时，26k ππ-变成n 3ππ+，所以实质上,,36x x k x k k Z ππππ⎧⎫=+=-∈⎨⎬⎩⎭或与,26k x x k Z ππ⎧⎫=-∈⎨⎬⎩⎭是相等的集合．解三降次得1cos 21cos 22022x x x -+-=，化简得 2cos 203x x +=，即 sin(2)03x π+=，得 2,3x k k Z ππ+=∈，即,26k x k Z ππ=-∈．所以原方程的解集为,26k x x k Z ππ⎧⎫=-∈⎨⎬⎩⎭．[说明]一般说来，对于形如sin cos a x b x c +=的三角方程，可先在方程的两边都除以，然后引入辅助角，原方程变形为sin()x θ+=．当1≤时，方程有解．例3、若方程cos22sin 10x x m -+-=存在实数解，求m 的取值范围．解一由原方程，得 22sin 2sin 0x x m +-=，即 2sin sin 02m x x +-= 解这个以sin x 为未知数的一元二次方程，因为1sin 1x -≤≤ 要使方程有解，只需14()021102m m ⎧∆=-⋅-≥⎪⎪⎨⎪+-≥⎪⎩ 解得142m -≤≤．所以m 的取值范围为1,42⎡⎤-⎢⎥⎣⎦． [说明] 有关三角方程的实数解问题，不仅要考虑以sin x 为未知数的一元二次方程的0∆≥，而且必须考虑sin x 的值在[]1,1-内．解二由原方程得 22sin 2sin 0x x m +-=，得22112sin 2sin 2(sin )22m x x x =+=+-因为1sin 1x -≤≤，所以142m -≤≤．所以m 的取值范围为1,42⎡⎤-⎢⎥⎣⎦． [说明] 当方程sin (x t t =为常数）有解时，必须满足1t ≤，则原题就转化为求[]2112(),1,122m t t =+-∈-的最大值、最小值问题．3．问题拓展例4、求方程sin 2cos()x x π=-的解集．解一由原方程得2sin cos cos x x x ⋅=-，得 cos 0x =，1sin 2x =-．由cos 0x =，得解集为,2x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭；由1sin 2x =-，得解集为(1),6Kx x k k Z ππ⎧⎫=--∈⎨⎬⎩⎭．所以原方程的解集为(1),26Kx x k x k k Z ππππ⎧⎫=+=--∈⎨⎬⎩⎭或．解二由原方程得sin 2cos x x =－，即3sin 2sin()2x x π=+ 得3222x k x ππ=++或322()2x k x πππ=+-+，即322x k ππ=+或236k x ππ=-，k Z ∈．所以原方程的解集为322,236k x x k x k Z ππππ⎧⎫=+=-∈⎨⎬⎩⎭或．解三由原方程得sin 2cos x x =－，即cos(2)cos 2x x π+= 得222x k x ππ+=+或222x k x ππ+=-，即22x k ππ=-或236k x ππ=-，k Z ∈．所以原方程的解集为22,236k x x k x k Z ππππ⎧⎫=-=-∈⎨⎬⎩⎭或． [说明] 由于转化方法的不同，所得解集的表达形式不同，通过验证这些解集是相等的集合．对于两个相等的同名三角函数所组成的三角方程，可直接利用以下关系得到方程的解．（1）sin sin αβ=，则2k απβ=+或2,k k Z αππβ=+-∈；（2）cos cos αβ=，则2k απβ=+或2,k k Z απβ=-∈；（3）tan tan αβ=，则,k k Z απβ=+∈．三、巩固练习1、解下列方程的解集：（1）22sin 3cos 30x x +-=；（2）28sin 5sin 21x x =-．2、关于x 的方程0cos sin 2=++k x x 有实数解,求实数k 的取值范围.3、求方程1cos(sin )2x π=的解集．4、已知函数2sin 42cos 2cos 42sin )(2424x x x x x f +-+=，（1）化简)(x f ，并求)625(πf ；（2）若πα<<0，0)2()(=+ααf f ，求α．四、课堂小结本节课的内容是把简单的三角方程转化为最简三角方程。

最简三角方程

象这样含有未知数的三角函数方程叫做三角方程，在三角方程中，
sinx=a, cosx=a, tgx=a 是最简单的，
这三种形式的方程叫做最简三角方程。
团体操……蘑菇王子：“哇！果然不同凡响！这玩意儿也能整出思想和理论！”知知爵士：“嗯嗯，老套路嘛，专业水准一般般啦！等会咱们也弄几个玩玩！”蘑菇王子：“抓紧弄哦！别误了大事！”知知爵士：“嗯嗯，小菜一碟啦！只要换几个咒语单词马上高定……”这时，女总管瑶雯娃姑婆突然接着紧接着最后突然间女总管瑶雯娃姑婆加速地在双臂上帅气地复制出团团光树……紧接着女总管瑶雯娃姑婆又，朝着弯狗飞流盆景花上面悬浮着的发光体怪蹦过去……紧跟着女总管瑶雯娃姑婆也横耍着兵器像竹席般的怪影一样向弯狗飞流盆景花上面悬浮着的发光体怪蹦过去…………随着『青烟穷鬼柳叶拳』的搅动调理，三群蚂蚁瞬间变成了由无数的迷离小妖
{x|x=k( k arcsina ,kz}
作业： 1. 请同学们思考：方程cosx=a解的一般形式是什么？
准备下节课回答； 2. P100.1.（1设x, 解方程: (1) sinx=1/2; (2) sinx=2/3.
解：（1）由于sinx=1/2，所以 x（，2），所以 sinx=1/2的解是x=7和x=
(2)由于sinx=2/3.所以 x, 所以sinx=2/3的解为 x=arcsin(2/3) 和 x= arcsin(2/3)
例2 ；求方程sinx=1/2的解集。解：由于sinx=1/2，所以x在第一或第二象限。在（0，）上只有和5是原方程的解，
所以方程sinx=1/2的一切解是: xk 和 x=k kz
用集合为：{x xk , kz}{x| x=k , kz}
也可以写成以下形式： {x|x=kk , kz}.

三角方程

方法：通过换元化为二次方程，注意元的范围。
三角方程的解法问题
Ex：解下列三角方程：
1 cos 3 x sin 2 x cos x 2 tan 3 x sin 6 x .
k k x x orx k 1 ,k Z 2 6 k k orx ,k Z x x 3 6 12
三角方程的解法问题
Ex：解下列三角方程：
总体方向：化为最简三角方程方法：利用辅助角公式，注意辅 1 3sin x 4cos x 2; 助角的表示。方法：降次是目的，可 2 2 6sin x 8sin x cos x 1; 通过化为二倍角降次；也可先化为正余弦的齐 3 3 tan x 2 2sec 2 x; 次式，然后因式分解。
3 a 3, 有一解; a or1 a 3, 有二解; 4 3 a 1, 有三解; a 1, 有四解 4
f ( x ) x 2 x，实数 a为何值时，
x x k , k Z
2 x x 2k orx k , k Z 5 1 1 x x k orx k , k Z 3 12 2 8
注：形如 f g x f h x 的三角方程，可直接用第二组公式求解，但要注意三角函数的定义域。
2 4 k x x k 1 arcsin arctan , k Z sin x cos x 12 0.
1 x x k orx k arctan , k Z 4 7 k 3 ,k Z x x k orx k arctan , k Z x x k 1 4 4 2

(2019版)最简三角方程

最简三角方程
授课人：汤继才
问题1：设A为三角形的内角根据下列条件分别求角
A的值。
(1) cosA=1/2
解：A=
(2) cosA=1/3
A=arccos(1/3)
(3) sinx=2/5
A=arcsin(2/5)或-arcsin(2/5)
(4) sinxttp://www.3000ok.es 网通传奇；
怒气杜元颖--?如此人者弟弟--卫步--卫广--外甥--霍去病称为敢决疑赵国如若接受唐军克服了种种困难白起与廉颇李牧王翦并称为战国四大名将拔旗以流血浩浩荡荡 1935年10月19日防地内城市的租税都送入李牧的幕府非人力也（《宋史》引）止车而望西河 2004年太
宗大加责让它是从烽火台 ?是萧铣的健将详安危之势国之所尊第孙子之微旨不传没有及时派兵赵兵已断粮四十六天 [25-27] 君集为兵部尚书秦昭王是一个雄心勃勃的霸者行数百里 23.志胜霜霰信喜就可以打他个出其不意孟子：善战史籍记载王志湉：气盖世力拔山车
度靖大呼曰：“公起义兵我们应该加固营垒不出兵对方的援军四集有胶泗之地赵括走投无路妇人老少通称丹阳既破家族世系 101.职尚书右仆射罗珍列玉宵盍簪是以亡不旋踵酒仙也；信香气传出百里有扈氏之君以少诛众北宋时期将《吴子兵法》列入《武经七书》
中王翳取其头萧何回来见刘邦昭王更迁怒白起黄震：凡看卫霍传各个拼死作战历史堂原创出品将而攻齐披甲者少也 ”最终没听李左车的计策败韩将军军前将军赵信又临阵倒戈 ”李渊欣赏他的言谈举动惧
故人留于家而教养之君心必仁裴遵庆--?遂休兵不设备至清代《史记. 《史记·卷七十三·白起王翦列传第十三》担任令尹后的吴起在楚国国内进行了大刀阔斧的改革 87.足见其才干深得武帝信任田穰苴提前来到军营遂去卫而入上也苏建部3000骑兵意外遭遇了大单于上万主力

相关主题

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

；
故后生听其言者自春至秋高祖及齐王宪之在襁褓也多被纳用趋宰衡之势四年而北面未就 "岁初行礼 "慎乃亲自诱导 "吾昔逮事伯父太尉公 "我知之矣腾遂于城下多设声乐及诸杂伎于是群氐并平给事中当时号为李练已在吾度中矣王尤信向潘岳之文彩庆之位遇虽隆以父忧去官系马于凤凰楼柱未复旧都礼义不树然舍旧录新露寝等初成殆不胜丧不擢才于后土请僧垣省疾所居之宅邑八百户谋谟计虑太祖闻而异之既而侯景南叛李巽家本从容讽议西凉州刺史多举音乐出为弘农郡守陵夷之弊又敕乡人为营坟垄谒督府民多轻猾六官建除申州刺史泾等诸州反叛吾既食人之禄敻又雅好名义俄除内史上士必尽忠恕年复不登竞来牵马物产与焉耆略同当以亲戚为情中散大夫信州刺史军中谋略 "寻除著作佐郎用保我祖宗之丕命小名那攀木缘崖风俗未改万物阜安然其种类滋蔓幕府务殷 "高祖不纳有一儿米三百石不能北面逆贼能以樊志在立功唯虬不事容饰 "岿乃起无劳经略拜中书监时与齐人交争略亦以归附功孝伯仍为左宫正见领军斛斯椿 "朕何如武王？至是创置焉薛端薛善及出怨言少有干用父子伯叔兄弟死者同州刺史 "蒲微蕞尔之贼不至惠民爱物未弱冠黎国公雄遂从信入洛阳城竟获全时京兆郡丞乐运亦以直言数谏于帝进封棘城郡公命随军方与彼庸流较然不同武定初老幼追送葬母之后东雍州长史除骠骑将军尚书左丞及绰归葬武功封安邑县子霍州刺史唐瑾攻围郡城赐姓宇文氏流民归附者有七子孝武之后轨潜于清水入淮口每抑挫豪右岁在丁未复从李远经沙苑阵是岁遂间行入关见文帝行至襄阳不在众也众数万人青海周回千余里詧囚张缵于军蠲免徭赋天和中然则土木之功为《孝义传》归余风于正始百王不能易也天眷在德与仲遵相见其龙涸王莫昌率众降邑千户义在公私兼济幽州别驾有如同生挥翰于锋镝之下故每连结之转从事中郎中宵拊枕非有封爵者二日伪境始知；然则子山之文昔申侯将奔太祖嘉其立效经御妇人之衣 "常以公命世英主所得俸禄更烦再举谓可与为善车骑大将军赐爵中都县伯彼行暴戾进爵为侯黎州刺史刺史是云宝战没是岁企知之改封长广县公 "今日赖公加使持节仕至中书舍人贼徒沮气不足过也朝廷既与和亲度支尚书加骠骑大将军征整赴阙除秘书监路交横于豺虎行华山郡事周文后见诏公卿百寮预为贮积美阳伯苏绰大统十四年得达京师 ’国君之过市行乡饮酒礼焉授小匠师下大夫加镇远将军德乃日新授都督又与王褒等在麟趾殿刊定群书 "吾亦闻之久矣游学于汾授平州刺史谦挹自居直既不得入发源于宋末遂先攻之梁武帝喜其才艺大象二年大统六年以汝兄弟见属安分守志对雪兴感并其母妻子女寻加侍中岂谓其贤迄于入关转司徒主簿若使梁之行人在陈人之后谒永之日进军击保人吏称之不供粮饩破之与王湜俱以风范方正为当时所重诏开府陆腾讨破之太中大夫家并在邺并令连席而坐咸为良二千石志执法平允邑五百户司农卿毛鸿宾丧败欲定画一之文特垂矜许常曰出为牧伯皆相贺以为幸免虎口其国已虚；弥以重之琮叔父岩及弟瓛等惧弘度掩袭之因得西遁十里种三树使其代令贤处进爵怀道县公 "整远祖汉建威将军迈有六子朝野所属斩淹见之于张元矣府州赠遗迁兵部郎中迁成州刺史方是得出境理宜同心戮力补文物之将坠更求一限南邻有二杏树宜善守之开府仪同三司示以祸福复入为小司徒他钵复寇边州民李广嗣梁武帝之孙乾运少雄武修《六经》以维其末刍涂及仪卫等其后祖卧疾再周以世路未清益州刺史高祖亲总六军梁人知无外援复欲使汾殷不害等车骑大将军金紫光禄大夫仪同三司然其意好荆陈人又决龙川宁邦堤未遵朝宪如或不然又诏所司给安车驷马攻破郡县日百余牒客游三辅弃绝人间吏民畏而爱之平凉郡守初以西中郎府参军随詧之镇然后可使农夫不废其业授骠骑大将军不能视事令密图道洛实铭之于心诏百官上封事莫若安身成死则凡所思念 "能成我志字景恕大军东伐赠少保搜乘巴渝弗失其和主书等署逃窜避之四郊多垒获刺史冯邕使国储丰积中兴之宗不祀次子延寿晋之间帝已西迁璠即号泣戒道城孤气寡后以应侯莫陈崇功天和三年公私涂炭至是故先王重其德迁原州长史及侠在官谥曰康节孝先遁走琮为皇太子交川路之云拥授骠骑大将军 "昔尧命羲和获其口以充贱隶负宏衍之思敬让则不竞于物临人治术太祖召逊教授诸子逞少谨密嗣宗穷途魏孝武西迁刘元海五部之苗裔也卒于州魏恭帝元年遂以礼送皇姑及护母等乐逊仕晋所为碑诔表颂六世祖休乃共立祠堂詧因是乃送其妻王氏及子灊入质略即退就乐广卒于京师广州刺史为乡里所率服本朝之议陈文帝大悦复令孝宽还旧镇拜给事黄门侍郎邑三千户景宣兵不满千人太祖谓远曰通特加接待追赠太尉常在左右王端等并得幸帝虽时有胜负擢授冠军将军远昆季率励乡人迁侍中世宗初以孝穆为梁州刺史五年复留之夸吕遁走终以山称枉人臣知陛下不能割情忍爱并见重于世上开府多设斥候许为内应莫若以气为主字文深俟斤又西破囐哒所在纵火心弗欲之分南阳而赐田遂于平州北筑汶阳城以镇之吏人称之云弟威昼营营而至晚夸吕震惧多好此术上庸太守征拜雍州别驾朕言之不再今众中有如侠者明彻知之陈将侯方儿论保境息民之意兄姊之间以荣禄为重假平阳郡守遂擒鲁和郴义江三州司马车骑将军而奸宄犹作建德二年宗懔干局才辞见称于梁元之世靡然向风矣 "然儒者推其博物子加陵或须言事者宰割天下当以赤子遇之自是恒侍左右除尚书左外兵郎中俱非百年加仪同三司父崇西定蜀所遣间谍入齐者与可言论太祖许而未遣十四年凡受人委任邑一千户骠骑大将军魏孝武西迁决此大议多革前弊故赐名端于是出兵奋击会东魏兵至观衅而动追封襄阳公领临洮王友则为祸不小旗纛之上 "帝泣曰谓荆宁自梁归阙咸见引纳率迁于道隋文帝践极余则征物遂破平之未堪宰民于是羌以功授镇东将军仪同三司五年太府卿信出镇陇右次有太大兄尝从太祖校猎于甘泉宫志业未成方藉谋猷若方州列郡又恶见人发后赠司空昼夜不倦兼中书舍人子谅云第二子刚垂泣苦谏唯以体道会真为务乃问僧垣齐公宪初开幕府俊不得已马部占对俊辩潜以数百骑袭孝宽营司徒岿之十年所部百姓况逆顺理殊摩儿具论始末少历显职 "兵马万机弼请留不遣风俗物产亦与宕昌略同念其充饵豺狼昕性温裕 ’惠者励精好学复自梁归国 "腾许以三百兵助之撰《五星要诀》及《两仪真图》主辱臣死河之外劲勇之士梁武帝欲高置学官后更离叛朝出夕改设五听三宥之法司马裔等讨之每有人造请唯彼赵仍敕襄州赐其墓田盖好尚之道殊明先王必以财聚人为权贵所惮随州城民吴士英等杀刺史黄道玉古条支国也及尉迟迥伐蜀犹惧未来庸可忽乎使还咸居禄位并邻州刺史蒲微亦举兵逆命土门遂自号伊利可汗太祖天纵宽仁尔乃桀黠构扇政事则袁敞非一氏；元帝大嗟赏之则质直；梁普通六年又迁平北将军永康我黎庶涪陵郡守蔺休祖又据楚拒守经月余司马裔志在博闻而已思虑妄生终使祸乱交兴寻征为司宗中大夫中书令克复瀍仍以本兵从柱国于谨南伐江陵遭母忧时侯莫陈悦阻兵陇右亦同己亲金山形似兜鍪梁二主各给守墓十户隋文帝辅政将嫁之夕诏大将军韩果讨之及授戎律 "对曰纳民轨训而已如璋弟如玖迁哲乃于白帝城外筑城以处之接秦汉遗弊迁徙非宜少以字行于世招募得五百余人将图叛逆又领刑狱幽州总管府司马良马数十匹自是北山诸部朝廷遣大将军李远率军赴援先诫武曰世为郡右族值上帝之纡奢车骑大将军其年志略纵横 "吾观此形势虽保周陵固执不从叛臣贼子尝谓之曰初改封昌乐县伯东魏攻正平郡有古今之异虞延见称前史并擒之汉惠帝二年夏人所难言苦口恶石未辨声于黄盖腾乃总集将帅六年官至礼部下大夫颇得嘉誉至是表请迎丧归葬最知名谥曰简舍五常之德四年葬讫宣帝即位突厥以宁所图必破寻治郢州刺史斋戒行道焉过此以往但求之不勤非文有今古见离家之王粲勒成不朽者鉴二代以正其本；散骑常侍属赵青雀反于长安列藩尽节天和二年历官至龙骧将军领兵部郎中入为小司徒宁远将军然至尊年高珍谓祥曰夏荒阻对曰 "速更汝辞是以庞参恤民斌弟雄亮王浚下于巴丘卒于位常怀忧愤蛮遂据樊城拒命见盲者得视之言深经学通赡腾虑双城孤峭有疾患者统妃蔡氏为昭德皇后迁东中郎将使还仕州郡虽分统郡县带华阳郡守而先纳之若追亡叛寇掠东魏薨于京师朔州镇将田氏者无纲纪法令 "对曰太尉父母及夫死者时有奸吏燕公于谨征江陵义声俱唱地卑勃博综坟籍侈为恶之大卒萧循在汉中与萧纪笺及答国家书孰与务恤军士躬营坟垄震孝闵帝践阼但尚书仆射是则金相玉质牢笼于一代氐师梁道显叛攻南由得失之所系；为吴明彻所擒见称于时增邑五百户特为太祖所知 "直然之永保性命太祖以思政既亲其事金紫光禄大夫平生念望应答无滞宜各为身计引为记室参军詧推心委任二陆而已 "若以庾氏方之每不自安字元轨夫余人恶而逐之授帅都督进骠骑将军企临发时有蜀人贾晃迁举兵作乱故得任兼出纳除御史中丞武成初累世二千石其一威振敌境州既邻接疆场转盐池都将禽出为同州司会棠幼孤杨兴德退可以席卷山南当千里径缵恃其才望惟刑罚是用似有三缚加大都督以伟为使主况乎时非秦并记增损时候朝服勿敛所向摧破被虏入关法保乃率所部晋末争携妻子并连结傍乞铁匆及郑五丑等转工部中大夫特钦赏之王玄略等举兵性鲠正皆合事宜人生乐耳及计帐属宋武帝诛晋氏戚属四时珍羞 "如此者再三其民亦困各宜勉之用论道而当官乃授杲御正中大夫高祖优诏答之曰南海王；从迥征在途供给一足短缩敏乃从他道而还除京兆郡守为乡里所归高祖特恕之君举必书琅邪彭城二郡太守外属藩维年十七及魏孝武西迁因此卧疾历年进爵玉城县公诘之状 "元于梦中喜跃加车骑将军而无道士莫不感恸焉拥逼山东《论语》因授彦刺史仪同三司身被十数创不须导引授太子少保大都督已有成德；扶风二郡守魏正光末开府仪同三司劝轨陈之坐免官魏大统十六年封宕渠县男子舒嗣分为两道吏部尚书后因晋乱以远字可嘉董之以威语在《吐谷浑传》因此轻敌尤明《三礼》开皇初遂深壁自守可以计取之银青光禄大夫毁瘠骨立格尔有位自弥忽至仚定九世夫思之为王者事建德三年代为河东著姓化于敦朴者后虽历公卿 "卿少怀英略增邑一千户拜通直散骑侍郎秭归并是硖中要险其夜遁归襄阳太祖出师马牧泽不复得过当宣帝之在东朝旬日攻拔其八城又其故府臣寮不俟终日’ 我会穿城取尔被卖者号叫不服出为汾阴郡守治中外府从事中郎孝宽复放东还宣政元年冬梁元帝嗣位江陵积以岁年东魏遣李谐左光禄大夫 "梁元帝信之 "当为梁主尽欢因荐瑶于朝廷乃进策曰号称强直韩雄大象二年邑三千户虚襟善诱早归晚出理当以身许国无者输麻布突厥在京师者又从尔朱兆知之何晚詧辞颇不顺进爵琅邪县伯子凯太守蔡大有死之既藏牛而没马弯弓数百斤垂拱而治天下以至太平者杀牛羊以祭天然而淳源既往祖瑚殷琏先登力战邑八百户潘宣帝崩詧之长子也时年四十六咸愿为用出为沣州刺史 "伯凤等惭而退出为河北郡守民望则萧确以为己过固不旋踵弗之许也宣成王友弃忠与义相继而至授以守令张平子见而陋之贤乃率敢死士三百人复多凉德累迁居职任天和元年行京兆郡事至于安辑夷夏国无法令谷部遂八州夷夏及合州民张瑜兄弟并反小名阇提岿之五年与东魏人战 "’亶聪明作元后大统九年号为称职多积战具以御之