现代控制理论复习题

《现代控制理论》复习题1二、（15分）考虑由下式确定的系统： 233)(2+++=s s s s G 试求其状态空间实现的能控标准型、能观标准型和对角线标准型，并画出能控标准型的状态变量图。

解： 能控标准形为[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡21212113103210x x y u x x x x能观测标准形为[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡21212110133120x x y u x x x x对角标准形为[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡21212112112001x x y u x x x x三、（10分）在线性控制系统的分析和设计中，系统的状态转移矩阵起着很重要的作用。

对系统x x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=3210求其状态转移矩阵。

解：解法1。

容易得到系统状态矩阵A 的两个特征值是2,121-=-=λλ，它们是不相同的，故系统的矩阵A 可以对角化。

矩阵A 对应于特征值2,121-=-=λλ的特征向量是 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=21,1121νν取变换矩阵 []⎥⎦⎤⎢⎣⎡--==-1112121ννT ， 则 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=-21111T因此， ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--==-20011TAT D 从而，⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+---=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-------------t t tt t t t t t t t t Ate e ee e e e e e e T e e T e22222212222111200211100解法2。

拉普拉斯方法 由于⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+++-+++-+-++-+=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡++++-+++++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+++=--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=---2211221221112112)2)(1()2)(1(2)2)(1(1)2)(1(32132)3(1)(adj )det(1321)(11s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s A sI A sI s s A sI故 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+---=-==Φ----------t t tt t t tt Ate e ee e e e e A sI L et 2222112222])[()( 解法3。

凯莱-哈密尔顿方法 将状态转移矩阵写成 A t a I t a e At)()(10+= 系统矩阵的特征值是-1和-2，故 )(2)()()(10210t a t a e t a t a et t-=-=-- 解以上线性方程组，可得 t t tt e e t a ee t a 2120)(2)(-----=-=因此， ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+---=+==Φ--------t t tt t t tt Ate e ee e e e e A t a I t a et 2222102222)()()(四、（15分）已知对象的状态空间模型Cx y Bu Ax x =+=, ,是完全能观的，请画出观测器设计的框图，并据此给出观测器方程，观测器设计方法。

解 观测器设计的框图：观测器方程：LyBu x LC A Cx y L Bu x A x ++-=-++=~)()(~~其中：x ~是观测器的维状态，L 是一个n ×p 维的待定观测器增益矩阵。

观测器设计方法：由于 )](det[])(det[)](det[TTTTL C A I LC A I LC A I --=--=--λλλ 因此，可以利用极点配置的方法来确定矩阵L ，使得TTTL C A -具有给定的观测器极点。

具体的方法有：直接法、变换法、爱克曼公式。

五、（15分）对于一个连续时间线性定常系统，试叙述Lyapunov 稳定性定理，并举一个二阶系统例子说明该定理的应用。

解 连续时间线性时不变系统的李雅普诺夫稳定性定理：线性时不变系统Ax x= 在平衡点0=e x 处渐近稳定的充分必要条件是：对任意给定的对称正定矩阵Q ，李雅普诺夫矩阵方程Q PA P A T-=+有惟一的对称正定解P 。

在具体问题分析中，可以选取Q = I 。

考虑二阶线性时不变系统： ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡21211110x x x x原点是系统的惟一平衡状态。

求解以下的李雅普诺夫矩阵方程 I PA P A T -=+ 其中的未知对称矩阵 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=22121211p p p p P 将矩阵A 和P 的表示式代入李雅普诺夫方程中，可得⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡--1001111011102212121122121211p p p p p p p p 进一步可得联立方程组122012221222121112-=-=---=-p p p p p p 从上式解出11p 、12p 和22p ，从而可得矩阵 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=12/12/12/322121211p p p p P 根据塞尔维斯特方法，可得 045det 02321>==∆>=∆P 故矩阵P 是正定的。

因此，系统在原点处的平衡状态是大范围渐近稳定的。

六、（10分）已知被控系统的传递函数是)2)(1(10)(++=s s s G试设计一个状态反馈控制律，使得闭环系统的极点为-1 ± j 。

解 系统的状态空间模型是[]xy u x x 010103210=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=将控制器 []x k k u 10-= 代入到所考虑系统的状态方程中，得到闭环系统状态方程x k k x⎥⎦⎤⎢⎣⎡----=103210 该闭环系统的特征方程是 )2()3()det(012k k A I c ++++=-λλλ期望的闭环特征方程是 22)1)(1(2++=++-+λλλλj j通过 22)2()3(2012++=++++λλλλk k可得 222301=+=+k k 从上式可解出 0101+-=k k因此，要设计的极点配置状态反馈控制器是 []⎥⎦⎤⎢⎣⎡=2110x x u 七、（10分）证明：等价的状态空间模型具有相同的能控性。

证明 对状态空间模型DuCx y Bu Ax x+=+=它的等价状态空间模型具有形式uD x C y u B x A x+=+=其中：D D CT C TBB TAT A ====--11T 是任意的非奇异变换矩阵。

利用以上的关系式，等价状态空间模型的能控性矩阵是],[][])([][],[11111B A T B A AB B T TB TAT TB TAT TB B A B A BB A c n n n c Γ====Γ-----由于矩阵T 是非奇异的，故矩阵],[B A c Γ，和],[B A c Γ具有相同的秩，从而等价的状态空间模型具有相同的能控性。

八、（15分）在极点配置是控制系统设计中的一种有效方法，请问这种方法能改善控制系统的哪些性能？对系统性能是否也可能产生不利影响？如何解决？解： 极点配置可以改善系统的动态性能，如调节时间、峰值时间、振荡幅度。

极点配置也有一些负面的影响，特别的，可能使得一个开环无静差的系统通过极点配置后，其闭环系统产生稳态误差，从而使得系统的稳态性能变差。

改善的方法：针对阶跃输入的系统，通过引进一个积分器来消除跟踪误差，其结构图是构建增广系统，通过极点配置方法来设计增广系统的状态反馈控制器，从而使得闭环系统不仅保持期望的动态性能，而且避免了稳态误差的出现。

《现代控制理论》复习题2二、（20分）已知系统的传递函数为)5)(3(52)(+++=s s s s G（1） 采用串联分解方式，给出其状态空间模型，并画出对应的状态变量图； （2） 采用并联分解方式，给出其状态空间模型，并画出对应的状态变量图。

答:（1）将G (s )写成以下形式：55231)(++⋅+=s s s s G 这相当于两个环节31+s 和552++s s 串连，它们的状态空间模型分别为：⎩⎨⎧=+-=11113x y u x x和⎩⎨⎧+-=+-=1212255u x y u x x由于11u y =，故可得给定传递函数的状态空间实现是：将其写成矩阵向量的形式，可得：对应的状态变量图为：串连分解所得状态空间实现的状态变量图（2）将G (s )写成以下形式：它可以看成是两个环节35.0+-s 和55.2+s 的并联，每一个环节的状态空间模型分别为：和由此可得原传递函数的状态空间实现：进一步写成状态向量的形式，可得：对应的状态变量图为：并连分解所得状态空间实现的状态变量图三、（20分）试介绍求解线性定常系统状态转移矩阵的方法，并以一种方法和一个数值例子为例，求解线性定常系统的状态转移矩阵； 答：求解状态转移矩阵的方法有： 方法一 直接计算法： 根据状态转移矩阵的定义来直接计算，只适合一些特殊矩阵A 。

方法二 通过线性变换计算状态转移矩阵，设法通过线性变换，将矩阵A 变换成对角矩阵或约当矩阵，进而利用方法得到要求的状态转移矩阵。

方法三 拉普拉斯变换法：])[(11---=A sI L eAt。

方法四 凯莱-哈密尔顿方法根据凯莱-哈密尔顿定理和，可导出Ate 具有以下形式：其中的)(),(),(120t t t n -ααα 均是时间 t 的标量函数。

根据矩阵A 有n 个不同特征值和有重特征值的情况，可以分别确定这些系数。

举例：利用拉普拉斯变换法计算由状态矩阵所确定的自治系统的状态转移矩阵。

由于故四、（10分）解释状态能观性的含义，给出能观性的判别条件，并举例说明之。

答：状态能观性的含义：状态能观性反映了通过系统的输出对系统状态的识别能力，对一个零输入的系统，若它是能观的，则可以通过一段时间内的测量输出来估计之前某个时刻的系统状态。

状态能观的判别方法： 对于n 阶系统1. 若其能观性矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=Γ-1n o CACA C 列满秩，则系统完全能观 2. 若系统的能观格拉姆矩阵非奇异，则系统完全能观。

举例：对于系统其能观性矩阵的秩为2，即是列满秩的，故系统是能观的。

五、（20分）对一个由状态空间模型描述的系统，试回答： （1） 能够通过状态反馈实现任意极点配置的条件是什么？ （2） 简单叙述两种极点配置状态反馈控制器的设计方法； （3） 试通过数值例子说明极点配置状态反馈控制器的设计。

答：（1）能够通过状态反馈实现任意极点配置的条件：系统是能控的。

（2）极点配置状态反馈控制器的设计方法有直接法、变换法、爱克曼公式法。