南昌大学历年期末考试试卷

南昌大学 2012～2013学年第二学期期末考试试卷

一、填空题(每空 3 分，共 15 分)

1. 设:020202x y z Ω≤

≤≤≤≤≤，，，

则三重积分xyzdV Ω=⎰⎰⎰ _____.

2. 交换二次积分的顺序2 2

2 0(,)y

y dy f x y dx ⎰⎰= _________. 3. 函数22(,)4()f x y x y x y =---的极大值为_______.

4. 将1()6f x x =-展开成x 的幂级数为________.

5. 点(2,1,0)到平面3450x y z ++=

的距离为__________.

二、单项选择题 (每小题3分,共15分)

1. 函数xy x y z +=arcsin

的定义域是（ ） （A ）

{}0,|),(≠≤x y x y x ； （B ）{}0,|),(≠≥x y x y x ；

（C ）{}(,)|0,0x y x y x ≥≥≠{}0,0|),(≠≤≤x y x y x ； （D ）{}{}0,0|),(0,0|),(<<>>y x y x y x y x . 2.设∑为由曲面22y x z +=及平面1=z

所围成的立体 的表面，则曲面积分22()x y dS ∑

+⎰⎰= （ ） （A ）π22； （B ）π2

21+； （C ）2π； （D ）0.

3.级数∑∞=+111n p n 发散，则（ ）

（A ）0≤p ；（B ）0>p ；（C ）1≤p ；（D ）1

4.设函数222222,0

(,)0,0xy x y x y f x y x y ⎧+≠⎪+=⎨⎪+=⎩ ,

则在点（0，0）处 （ ）

（A ）连续且偏导数存在； （B ）连续但偏导数不存在；

（C ）不连续但偏导数存在； （D ）不连续且偏导数不存在。

5.设123,,y y y 是常系数线性非齐次方程

()y py qy f x '''++=的三个线性无关的解，则 0y py qy '''++=的通解为 （ ）

（A ）1122C y C y +； （B ）1223C y C y +；

（C ）1122C y C y +33C y +；（D ）1122C y C y +123()C C y -+.

三、计算题(共24分，每小题8分)

1、设arctan x y z x y +=-，求z x ∂∂和2z x y ∂∂∂.

2、判断级数1

313n n n ∞=-∑的敛散性. 3、求微分方程71212y y y x '''-+=的通解

四、解答题（一）(共24分，每小题8分)

1、设方程(,)0f xz yz =可确定z 是,x y 的函数，

且(,)f u v 具有连续偏导数，求dz .

2、计算曲线积分22(sin 2)()L x y dx x y dy --+⎰，

其中L 为由点(0,2)A 到(0,0)O 的左半圆周222x y y +=.

3、求级数12n

n n x n ∞

=⋅∑的收敛域与和函数. 五、解答题（二）(共16分，每小题8分)

1、求椭球面2222349x y z ++=上点（1，1，1 ）

处的切平面方程和法线方程.

2、利用高斯公式计算曲面积分

()()()x y dydz y z dzdx z x dxdy ∑

+++++⎰⎰, 其中∑为平面0,0,0,1,1,1x y z x y z ====== 所围成的立体的表面的外侧.

六、证明题(本题满分6分)

设数列{}n a 单调减少，0n a >（1,2,

n =）

且1(1)n n n a ∞=-∑发散， 证明11(

)1

n n n a ∞=+∑收敛. 南昌大学 2011～2012学年第二学期期末考试试卷

一、填空题(每空 3 分，共 15 分)

1. 设)(y x f y x z -++=，且当0=y 时，

2x z =，则=z _____.

2. 设y z x =，则21x y dz ===_________________.

3. 设22(2)(2)()m

x y dx x y dy x y ++++是某个二元 函数的全微分，则=m _______.

4. 计算2110y x I dx e dy -==⎰⎰________.

5. 将函数1()4f x x =-展开成x 的幂级数为__________.

二、单项选择题 (每小题3分,共15分)

1. 已知曲面224y x z --=在点P 处的切平面平行于平

面0122=-++z y x ，则点P 的坐标是（ ）

（A ）(1,1,2)-； （B ）(1,1,2)-；

（C ）；(1,1,2)-- （D ）(1,1,2)．

2．设函数⎪⎩

⎪⎨⎧=+≠++=0,00,),(2222422

y x y x y x xy y x f , 则在点(0,0)处（ ）

（A ）连续且偏导数存在； （B ）连续但偏导数不存在；

（C ）不连续但偏导数存在； （D ）不连续且偏导数不存在．

3．下列方程中，设21,y y 是它的解，可以推知

21y y +也是它的解的方程是（ ）

（A ）0)()(=++'x q y x p y ；

（B ）

0)()(=+'+''y x q y x p y ； （C ）)()()(x f y x q y x p y =+'+''；

（D ） 0)()(=+'+''x q y x p y ．

4．若级数0(2)n n n a x ∞=-∑在1x =-处收敛，

则此级数在1x =处（ ）

（A ）敛散性不确定 （B ）发散

（C ）条件收敛 （D ）绝对收敛

5．设(,)f x y 为连续函数，

(,)(,)D

f x y xy f u v dudv =+⎰⎰，其中D 是由曲线0y =,

2y x =,1x =所围闭区域，则(,)f x y 是（ ）

（A ）xy ； （B ）2xy ；

（C ）18

xy +； （D ）1xy + 三、计算题（一）(共24分，每小题6分)

1、

设ln z =求z x

∂∂和2z x y ∂∂∂ 2、判断级数1

()41n n n n ∞=+∑的敛散性