第五章 线性系统的频域分析法-5-3

n+
e j 处取
n e j
s jn e j 90 ,90
Automatic Control Principle
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自 动
(4)闭合曲线ΓGH的绘制 由于开环系统传递函数为
控 实系数有理分式，因此
制
原
G(s)H (s) G(s) H (s) G(s )H (s )
理 即开环系统闭合曲线 ΓGH 关于实轴对称。
学
绘制分为三种情况：
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制 虚轴极点附近加以扩展。
原 理
ωo=0 即开环系统含有积分环
节时，在 s j, (0 , 0 ) 处取
j
0+ e j
南
s e j 90 ,90
0 0-
e j
京 ε为正无穷小量。
航
j
空 航
n+ e j
ωo=ωn 即开环系统含有零阻尼振
天 大 学
n
0
荡环节时，在 s j, (n ,n )
在Γ的s2⌒s1段，s-zi的相角增 大；在Γ的s1⌒s2段，相角减小；
学
0
故有 (s zi ) 0 。设任一pj未
s平面
被Γ包围,同样可得 (s pj ) 0
Automatic Control Principle
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自 动
分析结论：当s沿s平面任意闭合曲线Γ顺时针运动一
控 周，F(s)相角的变化取决于Γ所包围F(s)的零极点数。
针包围、不包围F(s)平面的原点。
Automatic Control Principle
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自 (2)复变函数F(s)的选择
动
控
系统闭环稳定性的判定一般都利用已知的开环传递
制 函数，为此选择 原
理
F(s) 1 G(s)H (s)
F(s)具有3个特点：
南
█ F(s)的零点为系统的闭环极点，F(s)的极点为
所选闭合曲线Γ关于实轴对称，则当s沿Γ分别在
南 IMs≤0 和 IMs≥0 的范围内运动时，G(s)H (s)沿 ΓGH 京 的相应运动亦关于实轴对称。
航
空
根据 ΓGH 的对称性，只需绘制 ΓGH 在 Ims 0，s
航 天
的半闭合曲线，称为奈奎斯特曲线，仍记为 ΓGH 。
大
根据开环极点在虚轴上的分布，奈奎斯特曲线的
制 原
设Γ包围F(s)的Z个零点和P个极点，则
理
F
(s)
பைடு நூலகம்
m
(s
zi
)
n
(s
p
j
)
i1
j 1
南
(Z P) (2 )
京
幅角原理 设s平面上闭合曲线Γ包围F(s)的Z个零
航 空
点和P个极点,则s沿Γ顺时针运动一周时，在F(s)平
航 面上，闭合曲线ΓF包围原点的圈数
天 大
R PZ
学 R 0、R 0、R 0 分别表示ΓF顺时针包围、逆时
闭合曲线Γ的两种形式：
j
空 航 天 大 学
① 虚轴上无开环极点
Γ由两部分组成
s
j
e j
( ,) 90 ，90
虚轴 0
e j
Γ关于 实轴
对称
半径无 穷大的
右半圆
Automatic Control Principle
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自
② 虚轴上有开环极点 开环虚轴极点有两种情况，
动 控
ωo=0,ωo=ωn≠0。为避开开环虚轴极点，Γ在开环
(s zi )
n
(s
p j )
i1
j 1
由于 z1和p1被Γ包围，向量s-z1和s-p1顺时针运动一周
南
(s z1) (s p1) 2
京 航 空 航 天 大
zi
j °
Ss··1·A Γ°sz2×1p1×pj
设任一zi未被Γ包围，过zi作两条 直线分别与Γ相切于s1、s2点，则
自
动
5.3 频率域稳定判据
控 制
控制系统的闭环稳定性是系统分析设计的首要问
原 题，奈奎斯特稳定判据(奈氏判据)得到广泛应用。
理 1. 奈氏判据的数学基础
奈奎斯特是著名的科学家，也是杰出的通信工程和
南 京
控制工程专家。1929年，提出关于信道传输和通信速
航 率的奈奎斯特定理；1933年，提出负反馈系统稳定性
航 起运动一周，形成闭合曲线ΓF
空 航 天 大 学
j Γ °z×1p1
zi °
·
A
×pj
j F(A)
∠F(A) 0
0
s平面
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F(s)平面
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自 动
分析s沿Γ顺时针旋转一周，F(s)相角的变化
控
F(s) F(s)ds
制 原 理
m
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自
动
F (s)平面
j
控 制
ΓF
原
理
-2 -1 0 1 2 3 4
j
G(s)H (s)平面
ΓGH
-2 -1 0 1 2 3 4
南
京
航
空
航
F(s)建立了其极点、零点分别与开环系统极点、
天 闭环系统极点之间的直接联系。
大
学
闭合曲线ΓF 包围原点的圈数等于ΓGH包围（-1，j0)
点的圈数。
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动
控
F (s) K (s z1)(s z2 ) (s zm )
F(s)
制
(s p1)(s p2 ) (s pn )
的值域
原 理
则对于s平面上任意一点s，F(s)将其映射到F(s)平面。
在s平面上任选一条封闭曲线Γ，Γ包围一个零点(z1)和
南 京
一个极点(p1)，但不穿过F(s)的任何极点和零点。s从 A点起，沿Γ顺时针运动一周，则相应地F(s)亦从F(A)
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自 动
(3)s平面闭合曲线Γ的选择 Γ的选择有两项要求：
控
① 包围s的右半平面—在已知s右半平面的开环极
制 原
点数时，可由幅值定理确定s右半平面的闭环极点数
理 ，进而判定系统的闭环稳定性。
② 不通过任一开环极点—开环极点也是F(s)的极
南 点，按照幅角定理还要求不通过任一闭环极点。
京 航
空 的奈奎斯特判据，成为控制科学和工程领域发展的里
航
天 程牌。奈奎斯特在工程技术领域拥有138项发明专利。
大
奈氏判据以复变函数中的幅角原理为数学基础，结
学
合稳定性判定的需要，选择合适的辅助函数和封闭曲
线，是研究成果的核心。
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自 (1)幅角原理 设有理分式函数
京 系统的开环极点。
航
空
█ 开环传递函数分母多项式的阶次一般大于或等
航 于分母多项式的阶次，因此F(s)的零极点数相等。
天
大
█ F(s)与G(s)H(s)相差常数1，当s沿s平面任意
学 闭合曲线 Γ 顺时针运动一周时，所产生的闭合曲线
ΓGH沿实轴正方向平移1，即得ΓF。
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