计算机图形学_三次参数样条曲线
计算机图形学 曲线和曲面 算法
5.1.3 Bezier曲线 Bezier曲线
Q(t ) = [x(t ) = t y ( t ) z ( t )] = T * M B * G B −1 3 − 3 3 −6 3 t 1 * − 3 3 0 0 0 1 1 P 1 P 0 2 * 0 P3 0 P4
G1 g1x G g 2x G = 2 = G3 g 3 x G4 g 4 x g1 y g2 y g3 y g4 y g1z g2z g3z g4z
Q(t ) = [x(t )
G1 g1 x G g 2x G = 2 = G 3 g 3 x G 4 g 4 x
y (t ) z (t )] = t 3
g1 y g2 y g3 y g4 y g1 z g2z g3z g4z
[
t2
m11 m t 1 21 m31 m41
]
m12 m22 m32 m42
m13 m23 m33 m43
m14 G1 m24 G2 m34 G3 m44 G4
5.1.3 Bezier曲线 Bezier曲线
Q(t ) = T * M H * GH = T * M H * ( M HB * GB ) = T * ( M H * M HB ) * GB = T * M B * GB
M B = M H * M HB −1 3 − 3 3 −6 3 = − 3 3 0 0 0 1 1 0 0 0
如何确定曲线的约束条件
Q(t ) = [x(t ) y ( t ) z ( t )] = T * C
拆分 C = M * G
计算机图形学曲线和曲面
曲线构造方法
判断哪些是插值、哪些是逼近
曲线构造方法
插值法
线性插值：假设给定函数f(x)在两个不同点x1和x2的值，用 线形函数 ：y=ax+b，近似代替f(x)，称为的线性插值函 数。
插值法
抛物线插值(二次插值):
已知在三个互异点x1,x2,x3的函数值为y1,y2,y3，要求构造 函数 ￠ (x)=ax2+bx+c,使得￠(x)在xi处与f(x)在xi处的值相 等。
曲线曲面概述
自由曲线和曲面发展过程
自由曲线曲面的最早是出现在工作车间，为了获得特殊的曲线，人们 用一根富有弹性的细木条或塑料条（叫做样条），用压铁在几个特殊 的点（控制点）压住样条，样条通过这几个点并且承受压力后就变形 为一条曲线。人们调整不断调整控制点，使样条达到符合设计要求的 形状，则沿样条绘制曲线。
5.1.2 参数样条曲线和曲面的常用术语
在工程设计中，一般多采用低次的参数样条曲线。 这是因为高次参数样条曲线计算费时，其数学模型难于 建立且性能不稳定，即任何一点的几何信息的变化都有 可能引起曲线形状复杂的变化。
因此，实际工作中常采用二次或三次参数样条曲线，如： 二次参数样条曲线： P (t) = A0 + A1t + A2t2 三次参数样条曲线： P (t) = A0 + A1t + A2t2 + A3t3
a3
1 0] a2 a1 a0
三次参数样条曲线
P(k) a3 0 a2 0 a1 0 a0 P(k 1) a3 1 a2 1 a1 1 a0 P '(k) 3a3t2 2a2t a1 a1 P '(k 1) 3a3 2a2 a1
P0 0 0 0 1 a3
三次样条插值——三转角方程的算法设计
三次样条插值——三转角方程的算法设计
三次样条插值是一种插值方法，用于通过一组离散点的数据生成连续的曲线。
三次样条插值算法可以通过三转角方程来实现。
三转角方程是指在每个节点处，曲线的一阶导数和二阶导数与相邻插值段的一阶导数和二阶导数相等。
该方程可以用来计算插值段的系数，从而得到连续的曲线。
三次样条插值的算法设计包括以下步骤：
1. 确定插值节点，即给定一组数据点{x_i, y_i}。
2. 计算相邻插值段的一阶导数和二阶导数。
3. 根据三转角方程，计算每个节点的插值段系数。
4. 通过插值段系数，得到连续的三次样条曲线。
三次样条插值算法的优点是可以减少插值误差，同时保持曲线的平滑性。
该算法在数值分析、计算机图形学和工程设计等领域得到广泛应用。
在实现三次样条插值算法时，需要注意以下问题：
1. 插值节点的选择会影响插值曲线的精度和平滑性。
2. 计算导数时需要使用数值差分或解析方法。
3. 三转角方程的求解可能存在线性方程组求解的问题。
总之，三次样条插值算法是一种重要的插值方法，可以用来生成平滑的曲线，具有广泛的应用前景。
Bezier曲线和样条曲线的生成算法
计算机图形学实验报告实验名称 Bezier曲线和样条曲线的生成算法评分实验日期年月日指导教师姓名专业班级学号一、实验目的1、复习Bezier曲线和B样条曲线的参数表示法。
2、编程实现用二次Bezier曲线绘制。
3、编程实现用三次Bezier曲线绘制和分段光滑Bezier曲线图形的绘制。
4、用三次B样条函数绘制曲线。
二、实验要求1、编程实现在屏幕上绘制出两次Bezie曲线的几何图形和特征多边形图形，对于直线和曲线设置不同的线形和颜色。
2、现在屏幕上绘制出三次Bezie曲线的几何图形和特征多边形图形，对于直线和曲线设置不同的线形和颜色。
1、编程实现用分段三次Bezier曲线绘制光滑Bezier曲线图形。
1、编程实现在屏幕上绘制出三次B样条函数绘制曲线。
2、编程实现在屏幕上绘制出光滑连接的三次B样条曲线。
三、关键算法及实现原理1、二次Bezier曲线的计算公式为：P(t)=(P0-2P1+P2)t2+(-2P0+2P1)t+P0X(t)=(X0-2X1+X2)t2+(-2X0+2X1)t+X0Y(t)=(Y0-2Y1+Y2)t2+(-2Y0+2Y1)t+Y0其中P0、P1、P2为三个已知的点，坐标分别为(X0、Y0)、(X1、Y1)、(X1、Y2)。
2、次Bezier曲线的计算公式为：P(t)=(-P0+3P1-3P2+P3)t3+(3P0-6P1+3P2)t2+(-3P0+3P1)t+P0X(t)= (-X0+3X1-3X2+X3)t3+(3X0-6X1+3X2)t2+(-3X0+3X1)t+X0Y(t)= (-Y0+3Y1-3Y2+Y3)t3+(3Y0-6Y1+3Y2)t2+(-3Y0+3Y1)t+Y0其中P0、P1、P2、P3为四个已知的点，坐标分别为(X0、Y0)、(X1、Y1)、(X1、Y2) 、(X3、Y3)。
3、三次B样条函数绘制曲线的计算公式为：P(t)=[(-P0+3P1-3P2+3P3)t3+(3P0-6P1+3P2)t2+(-3P0+3P2)t+(P0+4P1+P2)]/6X(t)=[(-X0+3X1-3X2+3X3)t3+(3X0-6X1+3X2)t2+(-3X0+3X2)t+(X0+4X1+X2)]/6Y(t)=[(-Y0+3Y1-3Y2+3Y3)t3+(3Y0-6Y1+3Y2)t2+(-3Y0+3Y2)t+(Y0+4Y1+Y2)]/6其中P0、P1、P2、P3为四个已知的点，坐标分别为(X0、Y0)、(X1、Y1)、(X1、Y2) 、(X3、Y3)。
origin里利用三次次样条曲线插值的方法
origin里利用三次次样条曲线插值的方法
原点（origin）是数学中的一个概念，表示一个坐标轴上的起点或者一个坐标
系的原点。
使用三次样条曲线插值的方法可以用于近似计算原点的位置。
三次样条曲线插值是一种在给定数据点之间创建光滑曲线的方法。
它通过在每
个数据点之间插入三次多项式，以使得曲线在这些点上具有连续的一阶和二阶导数。
这样可以得到一条平滑的曲线，可以用来近似原点。
三次样条曲线插值的方法可以应用于各种领域，如数学建模、计算机图形学和
信号处理等。
在数值计算中，三次样条插值可以通过插值函数的性质来保持数据的平滑性，并能够以较高的精度逼近原点的位置。
要使用三次样条曲线插值的方法来计算原点，首先需要确定要插值的数据点。
然后，使用插值算法计算出三次样条曲线的解析表达式或数值近似。
最后，通过对解析表达式或数值近似进行求解，可以获得原点的位置。
需要注意的是，三次样条曲线插值是一种近似方法，得到的原点位置可能会存
在一定的误差。
因此，在实际应用中，需要综合考虑误差范围和计算复杂度等因素。
总之，利用三次样条曲线插值的方法可以近似计算原点的位置。
这种方法在数
学和计算领域有广泛应用，并且可以通过合适的数据点和插值算法来提高近似的精度。
三次样条曲线的定义
三次样条曲线的定义嘿，咱们今天来聊聊三次样条曲线这个有趣的玩意儿！先给您说个事儿哈，就前几天，我去商场买东西，路过一家珠宝店。
那店里的橱窗展示着一串珍珠项链，那珍珠的排列可不一般，仔细一瞧，居然有点像三次样条曲线的形状！一颗颗珍珠错落有致，顺滑又自然，仿佛是按照某种神秘的规律排列着。
要说这三次样条曲线啊，它其实就是一种数学上特别有用的曲线表示方法。
简单来讲，就是通过一系列给定的点，构建出一条既平滑又连续的曲线。
您想想，假如您要画一条曲线来表示一辆汽车在一段时间内的速度变化。
如果只是随便画，那曲线可能会歪歪扭扭，看起来乱糟糟的。
但如果用三次样条曲线，就能把这个速度变化表现得特别流畅和自然。
三次样条曲线有几个重要的特点。
首先，它在每个小段内都是一个三次多项式。
这意味着它有一定的灵活性，可以很好地适应各种复杂的形状。
其次，它在连接点处不仅函数值相等，一阶导数和二阶导数也相等。
这就保证了曲线的平滑过渡，没有突然的拐弯或者抖动。
比如说，在设计桥梁的时候，工程师们就会用到三次样条曲线。
桥梁的形状得既要美观，又要能承受各种力的作用。
通过使用三次样条曲线来设计桥梁的轮廓，就能让桥梁看起来线条优美，而且受力均匀，更加稳固可靠。
再比如，在计算机图形学中，绘制各种曲线图形的时候，三次样条曲线就大显身手啦。
它能让画面中的曲线更加逼真、自然，给人一种赏心悦目的感觉。
回到开始说的那串珍珠项链，其实它的排列就近似于三次样条曲线。
每个珍珠的位置就像是给定的点，而串起来的整体就形成了一条优美的曲线。
总之，三次样条曲线在我们的生活和各种领域中都有着广泛的应用。
它就像是一位神奇的“曲线魔法师”，能够把那些看似杂乱无章的点变成一条优美、流畅的曲线。
怎么样，这下您对三次样条曲线是不是有了更清晰的认识啦？希望今天的讲解能让您有所收获！。
三次b样条曲线rrt算法详解
三次b样条曲线rrt算法详解三次B样条曲线是一种常用于曲线插值和平滑的数学方法。
而RRt 算法是一种基于树结构的路径规划算法。
本文将详细介绍三次B样条曲线和RRt算法的原理及应用。
我们先来了解一下三次B样条曲线。
B样条曲线是一种由多个控制点确定的曲线，它具有良好的局部性质和平滑性。
而三次B样条曲线是指B样条曲线中每个控制点的自由度为3，即可以确定一个点的位置和两个方向。
这使得三次B样条曲线更加灵活和精确。
三次B样条曲线的构造过程可以简单描述为以下几步：首先，根据给定的控制点，确定每个控制点的位置和方向。
然后，通过插值或逼近的方法，计算出曲线上的所有点的坐标。
最后，根据需要，可以对曲线进行平滑处理或者进行局部调整。
三次B样条曲线的应用非常广泛。
在计算机图形学中，它常用于曲线的绘制和形状的变形。
在工程设计中，它常用于曲线的建模和路径规划。
在动画制作中，它常用于曲线的运动轨迹生成。
总之，三次B样条曲线是一种非常重要和实用的数学工具。
接下来，我们来介绍一下RRt算法。
RRt算法是一种基于树结构的路径规划算法，它通过不断扩展树结构来搜索最优路径。
RRt算法的基本思想是从起点开始，随机采样一个点，然后通过最近邻搜索找到树中离该点最近的节点。
然后，利用运动模型或者其他方法，将该点与最近节点连接起来，形成一条新的路径。
不断重复这个过程，直到找到终点或者达到搜索次数的限制。
RRt算法的优点是可以在高维空间中搜索最优路径，适用于复杂环境和非线性约束。
它也可以用于动态环境下的路径规划，通过不断更新树结构来适应环境的变化。
此外，RRt算法还具有较好的实时性能，可以在较短的时间内找到可行路径。
RRt算法的应用非常广泛。
在机器人领域，它常用于自主导航和路径规划。
在无人机领域，它常用于航迹规划和避障。
在虚拟现实和游戏开发中，它常用于角色行为的规划和控制。
总之，RRt算法是一种非常重要和实用的路径规划算法。
三次B样条曲线和RRt算法是两种不同领域的数学方法，分别用于曲线插值和路径规划。
三次参数样条曲线
目 录
• 参数样条曲线简介 • 三次参数样条曲线的数学模型 • 三次参数样条曲线的构建过程 • 三次参数样条曲线的应用实例 • 三次参数样条曲线的优缺点分析 • 三次参数样条曲线与其他插值方法的比较
01
CATALOGUE
参数样条曲线简介
定义与特性
定义
三次参数样条曲线是一种数学函 数，通过给定的数据点，使用参 数化方法拟合出一条光滑的曲线 。
与多项式插值的比较
1
多项式插值适用于已知数据点之间存在某种特定 关系的情况，而三次参数样条曲线则不需要事先 知道这种关系。
2
多项式插值在处理高阶数据时可能会遇到计算量 大和稳定性差的问题，而三次参数样条曲线则相 对较稳定。
3
多项式插值在处理非线性数据时可能会产生较大 的误差，而三次参数样条曲线能够更好地适应非 线性数据的处理。
算法实现
可以使用数值计算方法和编程语言来实现三次参数 样条曲线的计算，例如Python、MATLAB等。
优化方法
为了提高计算效率和精度，可以采用一些优 化方法，如共轭梯度法、牛顿法等。
03
CATALOGUE
三次参数样条曲线的构建过程
数据准备
数据收集
01
收集用于拟合曲线的离散数据点，确保数据具有代表性且分布
易于理解和实现
三次参数样条曲线具有直观的几 何意义，易于理解和实现，不需 要复杂的数学背景。
缺点分析
01
对异常值敏感
三次参数样条曲线对异常值比较 敏感，如果数据中存在异常值， 可能会导致拟合结果偏差。
02
对初始程可 能会陷入局部最优解，影响拟合 效果，需要合理设置初始值。
合理。
数据清洗
样条曲线 分类
样条曲线是指通过一系列点的拟合而形成的平滑曲线。
它在计算机图形学、计算机辅助设计和动画等领域中有广泛的应用。
根据不同的分类标准，样条曲线可以分为多种类型，以下是一些常见的分类方式：1. 按照节点类型分类：-均匀样条曲线（Uniform Spline Curve）：节点间距相等的样条曲线。
-非均匀样条曲线（Non-Uniform Spline Curve）：节点间距不相等的样条曲线。
2. 按照次数分类：-一次样条曲线（Linear Spline Curve）：通过两点的直线。
-二次样条曲线（Quadratic Spline Curve）：通过三个点的二阶多项式曲线。
-三次样条曲线（Cubic Spline Curve）：通过四个点的三阶多项式曲线。
-高次样条曲线（Higher-Order Spline Curve）：通过多个点的高阶多项式曲线。
3. 按照约束条件分类：-插值样条曲线（Interpolation Spline Curve）：通过给定的一组点来插值生成的样条曲线，要求曲线通过所有给定的点。
-逼近样条曲线（Approximation Spline Curve）：通过给定的一组点来逼近生成的样条曲线，不要求曲线通过所有给定的点，但要求曲线尽可能接近这些点。
4. 按照参数化方式分类：-开放式样条曲线（Open Spline Curve）：只有一个起点和一个终点的样条曲线。
-封闭式样条曲线（Closed Spline Curve）：起点和终点相接的样条曲线，形成一个封闭的环。
5. 按照光滑性分类：-光滑样条曲线（Smooth Spline Curve）：在连接节点处具有连续的一阶导数和二阶导数的样条曲线。
-非光滑样条曲线（Non-Smooth Spline Curve）：在连接节点处不具有连续的一阶导数或二阶导数的样条曲线。
三次样条插值例题解析
三次样条插值例题解析
三次样条插值是一种常用的插值方法，它能够通过一系列已知数据点来构建一条光滑的曲线。
在数值分析和计算机图形学中，三次样条插值常被用来逼近离散的数据点，从而实现曲线的平滑和连续。
在进行三次样条插值之前，我们首先需要了解什么是样条函数。
样条函数是由分段多项式构成的函数，每个分段多项式在相邻的数据点之间起作用。
对于三次样条插值，每个分段多项式是三次多项式，因此称为三次样条函数。
三次样条插值的基本思想是，通过已知的数据点，我们可以确定无穷个三次样条函数，然后根据一定的准则选择最合适的三次样条函数来近似原始数据。
具体的插值过程可以分为以下几个步骤：首先，假设我们有n个已知数据点。
我们需要在每个相邻的数据点之间构建一个三次样条函数。
接着，我们需要确定每个三次样条函数的系数，使得这些函数满足特定的插值条件。
一般来说，我们会采用自然边界条件或者固定边界条件来确定这些系数。
最后，我们可以通过求解一个线性方程组来确定每个分段多项式的系数。
三次样条插值的优点在于它能够在保持曲线平滑和连续的同时，尽可能地逼近原始数据点。
这使得三次样条插值在实际应用中非常有用，特别是在数据可视化和曲线拟合方面。
总结起来，三次样条插值是一种通过构建一系列三次样条函数来逼近已知数据点的方法。
它通过求解一个线性方程组来确定每个分段多项式的系数，从而实现曲线的平滑和连续。
三次样条插值在实际应用中具有广泛的应用价值，是一种非常有效的插值方法。
三次样条曲线生成算法研究摘要
三次样条曲线的生成算法本文由天空乐园河南自考网整理分享摘要三次样条函数曲线具有的最高多项式插值精度是三次多项式函数，对其进行推广构造的三次参数样条曲线应至少具有同样的插值精度。
本文讨论了构造三次参数样条曲线中节点选取问题，相邻两节点之间的跨度规范化为1，提出了构造2GC 三次参数样条曲线的新方法。
文中首先讨论了2GC 三次参数样条曲线需满足的连续性方程，然后讨论了平面有序五点确定一组三次多项式函数曲线和平面有序六点唯一确定一条三次多项式函数曲线。
在此基础上，提出了为给定数据点选取节点值的新方法。
新方法构造的2GC 三次参数样条曲线具有三次多项式函数的插值精度。
最后以具体数据点对新方法和已有的四种节点选取方法构造的插值曲线的精度做了比较。
关键词：三次样条曲线；曲线拟合；计算机图形学自1946年美国数学家I. J. Schoenberg 提出样条函数[1]以来，样条函数以其构造简单、易于计算又有很好的力学背景等特点而被广泛用于科学计算、工程设计和计算机辅助设计等领域，成为最重要的曲线和曲面构造方法之一。
在样条函数的应用中，三次样条函数由于具有极小模性质、最佳逼近性质和很强的收敛性[2,3,4]等而成为最主要的方法应用于构造插值曲线和曲面。
用样条函数方法构造三次插值曲线，曲线的连续性基本可满足实际应用的要求。
当曲线的端点条件确定之后，曲线的精度和形状是由曲线需满足的连续性方程唯一决定的。
在小挠度的情况下，插值曲线的精度和形状都是非常理想的。
对大挠度曲线和任意平面数据点，则需推广三次样条函数方法构造三次参数样条曲线，此时需知道每个数据点处的参数值（节点值）。
在实际应用中，这些参数值一般是无法预先给定的，所以构造三次参数样条曲线的第一步是对给定数据点参数化，即为每个数据点指定节点值。
如果指定的节点值是精确的，给定适当的端点条件，可使构造的插值曲线的代数精度达到三次参数多项式。
构造三次参数样条曲线，当曲线的端点条件确定之后，能够决定曲线插值精度的量只有节点。
三次样条函数
三次样条函数
三次样条函数是一种常见的曲线拟合方式，它可以将较少的数据转化为曲线。
它的核心原理是，在两个点之间建立一条曲线，使得在这两个点处该曲线的一阶导数和二阶导数都相等，从而使曲线在两个点之间平滑连续。
三次样条函数有两种，一种是牛顿样条函数，它是将曲线分割成线段，每个线段都是一个一次函数，然后将它们连接起来；另一种是
B样条函数，它采用了更多的数据，而且以更精细的方式确定曲线的形状。
三次样条函数的优势在于，它可以用较少的数据来拟合复杂的曲线。
它可以用来拟合多种类型的数据，如经济学、计算机图形学、机器人学等。
它可以用来拟合复杂的函数，例如非线性函数，也可以用来拟合多项式函数。
三次样条函数也有一定的局限性，它不能拟合出两个点之间的曲线状况，而且它的计算量比较大，拟合的准确性也不够高，需要花费更多的时间去调整参数。
总的来说，三次样条函数是一种有效的曲线拟合方式，可以用于拟合复杂的函数，但是有一定的局限性。
它可以用来解决许多实际问题，但是也需要计算机技术的支持。
三次样条拟合算法
三次样条拟合算法前言三次样条拟合算法是在数值分析中常用的一种插值方法，用于在给定一组数据点的情况下，通过构建一条光滑的曲线来拟合这些数据点。
三次样条函数具有一阶和二阶导数连续的特点，因此能够更好地反映数据的特征，并且拟合出的曲线也比较平滑。
在本文中，我们将详细介绍三次样条拟合算法的原理和实现方法。
三次样条函数的定义三次样条函数是由多个三次多项式组成的复合函数。
在给定一组数据点(x i,y i)的情况下，我们希望构造一条曲线S(x)来拟合这些数据点。
假设数据点的个数为n，则曲线S(x)由n−1段三次多项式组成，每一段三次多项式的表达式为：S i(x)=a i+b i(x−x i)+c i(x−x i)2+d i(x−x i)3其中，x i和x i+1是相邻数据点的横坐标，a i、b i、c i和d i是需要求解的系数。
插值条件为了决定每一段三次多项式的系数，我们需要满足以下插值条件： 1. 插值条件一：S i(x i)=y i，即曲线通过给定的数据点。
2. 插值条件二：S i(x i+1)=y i+1，即曲线通过相邻数据点。
3. 插值条件三：S′i(x i+1)=S′i+1(x i+1)，即曲线在相邻数据点处一阶导数连续。
4. 插值条件四：S″i(x i+1)=S″i+1(x i+1)，即曲线在相邻数据点处二阶导数连续。
其中，S′i(x)和S″i(x)分别表示曲线S i(x)的一阶和二阶导数。
矩阵方程的求解通过将插值条件转化为矩阵方程，可以求解出每一段三次多项式的系数。
令ℎi=x i+1−x i，则有： 1. a i=y i，由插值条件一可得。
2. c i=13ℎi (y i+1−y i)−1 6ℎi(b i+1+2b i)，由插值条件二和插值条件三可得。
3. b i=y i+1−y iℎi−ℎi 6(2c i+c i+1)，由插值条件二和插值条件三可得。
4. d i=c i+1−c i6ℎi，由插值条件四可得。
样条曲线和贝塞尔曲线
样条曲线和贝塞尔曲线在计算机图形学中，样条曲线和贝塞尔曲线是常见的曲线插值算法。
它们可以用来创建平滑的、连续的、光滑的曲线，被广泛应用于计算机图形学、动画、CAD 和 CAM 等领域。
一、样条曲线样条曲线是一种通过一系列区间多项式函数来近似连续曲线的方法。
这些多项式在相邻插值点之间保持连续，并且保证曲线在整个区间上具有某些连续性质（如一、二、三阶连续性等）。
通常，样条曲线使用三次多项式来表示。
这种多项式具有一定的灵活性，因为三次多项式既可以是二次曲线的一部分，也可以是四次曲线的一部分。
这样，我们可以在需要时，调整样条曲线的阶数，以适应所需的精度和计算复杂度。
样条曲线通常有两种类型：自然样条曲线和弯曲样条曲线。
自然样条曲线的端点处没有斜率限制，因此它们可以形成平滑的曲线，但是可能会产生过渡的效果。
因此，自然样条通常用于绘制一些圆滑的曲线，例如河流等自然场景。
弯曲样条曲线在端点处强制斜率或曲率限制，因此可以在曲线中保持更好的控制性。
这种曲线通常用于绘制复杂的几何形状，如机械零件、汽车车身等。
二、贝塞尔曲线贝塞尔曲线是通过一系列控制点来描绘二维或三维图形的曲线。
控制点的数量决定了曲线的复杂度，而控制点的位置确定了曲线的形状。
贝塞尔曲线采用了递归公式来生成曲线，这个公式被称为贝塞尔曲线方程。
贝塞尔曲线通常有两种类型：线性贝塞尔曲线和二次贝塞尔曲线。
线性贝塞尔曲线是由两个控制点确定的曲线，它们之间有一条直线相连。
二次贝塞尔曲线由三个控制点确定，它们描述了一条二次曲线。
这种曲线通常用于创建平滑曲线，如曲线的轮廓线和曲线的剪贴路径等。
贝塞尔曲线具有一些有用的特性，例如可以通过添加、删除或移动控制点来调整曲线的形状，因此是计算机图形学中常用的工具之一。
贝塞尔曲线通常采用矩阵计算方式来处理，因此具有快速而准确的计算速度。
在实际应用中，样条曲线和贝塞尔曲线通常被用来描述二维或三维图形，例如动画、工业设计等。
它们提供了一种直接、高效的方式来创建光滑而精细的图形。
二,三次样条曲线的定义
二,三次样条曲线的定义二次样条曲线是一类平滑的曲线，它由一系列的二次多项式组成，每个多项式在相邻数据点之间进行插值。
具体而言，对于给定的一组数据点，二次样条曲线在每两个相邻数据点之间使用二次多项式来拟合曲线形状，并满足在每个数据点上的连续性和光滑性条件。
二次样条曲线的定义有两个基本要素：节点和控制点。
节点是指给定的一组数据点，这些数据点是曲线的特征点，确定了曲线的形状。
控制点是指在每个相邻节点之间的插值点，它们用于确定每个二次多项式的系数，进而确定曲线的形状。
在定义了节点和控制点之后，可以通过以下步骤来计算二次样条曲线的系数：1. 先计算每个数据点之间的差值，得到节点间的步长。
2. 对于每个相邻节点，根据插值条件计算二次多项式的系数。
这可以通过求解一个线性方程组来实现，其中包括节点的值以及在该节点处的导数值。
3. 通过插值条件和平滑性条件，得到额外的线性方程组，用于求解每个控制点处的导数值。
4. 最后，通过求解上述线性方程组，可以确定每个二次多项式的系数，从而得到整个二次样条曲线。
二次样条曲线在计算机图形学和数据拟合中经常使用。
它们能够提供平滑的曲线形状，并且具有较低的计算复杂度。
然而，二次样条曲线的插值精度相对较低，不能完全通过节点来准确表示原始数据点的形状。
与二次样条曲线相比，三次样条曲线提供了更高的插值精度。
它由一组三次多项式组成，每个多项式在相邻数据点之间进行插值。
与二次样条曲线不同，三次样条曲线在每个数据点处不仅满足连续性和光滑性条件，还满足一阶导数的连续性条件。
这使得三次样条曲线能够更准确地拟合数据点的形状。
计算三次样条曲线的系数也需要进行类似的步骤，但相应的线性方程组更复杂。
通过求解这些方程组，可以得到每个三次多项式的系数，从而确定整个三次样条曲线。
总结而言，二次样条曲线和三次样条曲线都是常用的平滑曲线拟合方法。
二次样条曲线适用于需要快速计算和较低插值精度的情况，而三次样条曲线适用于需要更高插值精度和平滑性的情况。
样条曲线算法
样条曲线算法
样条曲线算法是一种在计算机图形学中常用的曲线生成方法。
它通过使用多项式曲线段来连接不同的点，以生成平滑的曲线。
样条曲线通常用于绘制复杂的曲线形状，例如在CAD/CAM（计算机辅助设计/制造）技术中。
算法的主要步骤包括：
1.确定控制点：选择一组控制点，这些点将用于定义曲线的形状。
控制点
可以手动指定，也可以通过其他算法计算得出。
2.计算多项式曲线：对于每一段曲线，选择一个多项式函数，并使用控制
点作为函数的输入参数。
多项式函数的选择可以根据具体需求而定，例如二次多项式、三次多项式等。
3.连接曲线段：将每一段多项式曲线按照顺序连接起来，以形成一个连续
的曲线。
连接的方式可以根据具体需求而定，例如通过在两个曲线段之间添加一个平滑过渡的弧线。
4.调整控制点：在生成曲线的过程中，可以通过调整控制点的位置来修改
曲线的形状。
调整控制点可以手动进行，也可以通过其他算法自动进
行。
样条曲线算法的优点包括：
1.生成平滑曲线：由于样条曲线是由多项式曲线段连接而成的，因此它可
以生成平滑的曲线形状，适用于绘制复杂的图形。
2.可调整性高：通过调整控制点的位置，可以很容易地修改曲线的形状，
方便用户进行交互式设计。
3.计算效率高：样条曲线算法的计算效率较高，可以在短时间内生成大量
的曲线。
总之，样条曲线算法是一种广泛应用于计算机图形学中的曲线生成方法，它可以生成平滑的曲线形状，适用于各种复杂曲线的绘制和设计工作。
样条曲线的次数和阶数
样条曲线是一种通过一系列控制点生成的平滑曲线。
在数学和计算机图形学中，样条曲线的次数和阶数是两个重要的概念，它们决定了曲线的形状和性质。
首先，我们来解释一下什么是样条曲线的次数。
样条曲线的次数是指曲线上每一点的切线方向改变的次数。
例如，二次样条曲线上的每一点都有一条抛物线形状的切线，而三次样条曲线上的每一点都有一条双曲线形状的切线。
次数越高，曲线的形状就越复杂，可以更精确地拟合数据。
然后，我们来解释一下什么是样条曲线的阶数。
样条曲线的阶数是指曲线上最高次项的次数。
例如，二次样条曲线的阶数是2，因为它的最高次项是平方项；三次样条曲线的阶数是3，因为它的最高次项是立方项。
阶数越高，曲线的形状就越复杂，但同时也更容易产生过拟合的问题。
样条曲线的次数和阶数之间有着密切的关系。
一般来说，次数越高，阶数也越高；反之亦然。
但是，这并不意味着次数和阶数总是相等的。
在某些情况下，可以通过调整控制点的位置和权重，使得曲线的次数高于其阶数。
这种情况下的曲线被称为“超阶”或“欠阶”样条曲线。
总的来说，样条曲线的次数和阶数是决定曲线形状和性质的两个重要参数。
通过调整这两个参数，我们可以生成各种各样的样条曲线，以满足不同的应用需求。
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三次样条函数曲线的端点条件 (2)自由端： 端点处曲线二阶导数为零 即S1" (x1)=y1"=0 , Sn-1" (xn)=yn"=0 亦即 S1" (x1)= 2c1=0；=>M1=0 Sn-1" (xn)=2cn-1+6dn-1hn-1=0；=> Mn=0 得方程组： M1=0; λi Mi-1+2 Mi+μi Mi+1= Di，i=2,3,…,n-1; Mn=0;
三次样条函数曲线的形式推导
从而有： ai-1 = yi-1 ci-1=Mi-1/2 di-1=( Mi- Mi-1)/6 hi-1 bi-1 =( yi- yi-1)/ hi-1- hi-1(Mi-1/3+ Mi/6) (5)由 Si-1' (xi)= Si' (xi) 有bi-1+2ci-1hi-1+3di-1 hi-12= bi 令：λi= hi-1/(hi-1+hi),μi= hi/(hi-1+hi) Di=6/(hi-1+hi)*[( yi+1-yi)/ hi-( yi-yi-1)/ hi-1] 可得：λi Mi-1+2 Mi+μi Mi+1= Di， 其中：λi+μi=1，i=2,3,…,n-1
三次样条曲线
问题提出
有空间的n个点,p1,p2, p3，……,pn 要用一条曲线光滑连接
p2 p3 p1 p4
pn
解决问题的思路
插值 •三次样条曲线插值 •三次参数样条曲线插值
三次样条曲线-定义
对 于 给 定 的 n 个 型 值 点 Pi(xi,yi), 且 hi=xi+1-xi>0, i=1,2,…,n，若y=S(x)满足下列条件： (1) 在Pi(xi,yi)点上有yi=S(xi)； (2) S(x)在[x1 , xn]上二阶连续可导； (3)在每个子区间[xi , xi+1]上，S(x)是x的三次多项式； 则称 S(x) 为过型值点的三次样条函数，由三次样条函 数构成的曲线称为三次样条曲线。
Di=6/(hi-1+hi) *[( yi+1-yi)/ hi-( yi-yi-1)/ hi-1]
λi+μi=1
(1)夹持端： 2 M1+ M2=6[( y2- y1)/ h1- y1']/ h1; λi Mi-1+2 Mi+μi Mi+1= Di，i=2,3,…,n-1; Mn-1+ 2Mn=6[ yn' -( yn- yn-1)/ hn-1]/ hn-1; (2)自由端： M1=0; λi Mi-1+2 Mi+μi Mi+1= Di，i=2,3,…,n-1; Mn=0; 3)抛物端： M1 - M2=0; λi Mi-1+2 Mi+μi Mi+1= Di，i=2,3,…,n-1; Mn-1 - Mn=0;
？？？？
• OK?!
三次参数样条曲线
有空间的n个点,p1,p2, p3，……,pn 要用一条三次参数样条曲线插值
p2 p3 p1参数样条曲线的表达式 p(t)=B1+B2t+B3t2 +B4t3 0<=t<=tm 在两点p1,p2之间定义一条该曲线（参数形 式） 令p1t=0; p2t=t2; 已知： p’1， p’2 代入方程可得方程系数B1\B2\B3 \B4
三次参数样条曲线
求三次参数样条曲线的表达式 p(t)=B1+B2t+B3t2 +B4t3 0<=t<=tm (1)给点pi（i=1,…,n） (2)给端点条件 (3)解方程求各点切矢量； (4)计算各段系数（取ti+1为第i段直线段长） (5)根据参数给各段曲线
p2 p3 p1 p4 p5
三次样条函数曲线的求解条件
已知: (1)n个数据点Pi(xi,yi),i=1,…,n (2)每一段都是三次的多项式函数曲线 (3)节点达到二阶连续 (4)两个端点的特性(固定端\抛物端\自由端) 根据给定点求每段曲线的具体表达式
三次样条函数曲线的形式推导
由定义可知在[xi , xi+1]上，Si(x)可写成： Si(x)=ai+bi(x-xi)+ci(x-xi)2+di(x-xi)3 ai, bi, ci, di为待定系数 (1)由于yi=Si(xi), Si(xi+1)= Si+1(xi+1)= yi+1， 有 yi = a i ai+bihi+cihi2+dihi3= yi+1（用于求bi） (2)由Si' (x)= bi+2ci(x-xi)+3di(x-xi)2 有 Si' (xi)= bi 由Si" (x)= 2ci+6di(x-xi) 有 Si" (xi)= 2ci
三次样条函数曲线的求解方法
已知: (1)n个数据点 Pi(xi,yi),i=1,…,n (2) 每一段都是三次的多项 式函数曲线 (3)节点达到二阶连续 曲线: Si(x)=ai+bi(x-xi) +ci(x-xi)2+di(x-xi)3 Mi=2ci: ai = yi ci=Mi/2 di=( Mi+1- Mi)/6 hi bi =( yi+1- yi)/ hi - hi(Mi/3+ Mi+1/6)
三次样条函数曲线的端点条件
(3)抛物端： 曲线的首尾两段S1(x) 和Sn-1(x)为抛物线。即曲线在 首尾两段曲线上二阶导数为常数。 y1" =y2" ，yn-1" =yn" S1" (x1)=2c1= S2" (x2)= 2c2 =>M1= M2 Sn-2" (xn-1)=2cn-2+6dn-2hn-2= Sn-1" (xn)= 2cn-1+6dn-1hn-1 =>Mn-1= Mn 得方程组： M1 - M2=0; λi Mi-1+2 Mi+μi Mi+1= Di，i=2,3,…,n-1; Mn-1 - Mn=0;
三次样条函数曲线的形式推导
(3)要求曲线在二阶连续可导，则有 Si' (xi+1)= Si+1' (xi+1) Si" (xi+1)= Si+1" (xi+1) 从而有 bi+2cihi+3di hi2= bi+1 2ci+6di hi=2ci+1 (求di) (4)令Mi=2ci; 则有： ai = y i ci=Mi/2 di=( Mi+1- Mi)/6 hi bi =( yi+1- yi)/ hi- hi(Mi/3+ Mi+1/6)
连 续 的 三 次 参 数 样 条 曲 线
ti1 ti2 令: B 3( ( pi2 pi1) ( pi1 pi )) ti2 ti1 有 pi i [ti2 2(ti2 ti|1) ti1] pi1 B i 1,, n 2 pi2
三次样条函数曲线的端点条件
(1)夹持端： 端点处一阶导数已知，即 S1' (x1)=y1' 亦即y1'= b1= ( y2- y1)/ h1- h1(M1/3+ M2/6) 2 M1+ M2=6[( y2- y1)/ h1- y1']/ h1 Sn-1' (xn)=yn' 亦即yn-1'= bn-1= ( yn- yn-1)/ hn-1- hn-1(Mn-1/3+ Mn/6) Mn-1+ 2Mn=6[ yn' -( yn- yn-1)/ hn-1]/ hn-1 得方程组为： 2 M1+ M2=6[( y2- y1)/ h1- y1']/ h1; λi Mi-1+2 Mi+μi Mi+1= Di，i=2,3,…,n-1; Mn-1+ 2Mn=6[ yn' -( yn- yn-1)/ hn-1]/ hn-1;
三 次 参 数 样 条 曲 线 推 导
对pi , pi1段有
3( pi1 pi ) 2 pi pi1 2 pi (t) pi pit [ ]t 2 ti1 ti1 ti1 2( pi pi1) pi pi1 3 [ 2 2 ]t 3 ti1 ti1 ti1 0 t ti1
i
式中： p’i 第i点的切矢量为未知 数，(i=1,…，n) 求解n个未知数，要n个方程
连续的三次参数样条曲线端点条件
(1)夹持端 pn 已知 p1 方程为 : [ti2 pi Bi i 1,, n 2 2(ti2 ti|1) ti1] p i1 pi2
p1 p2
三 次 参 数 样 条 曲 线 推 导
p ( 0 ) p1 B1 p ( 0 ) B 2 p1 2 3 p ( t 2 ) p 2 B1 B 2 t 2 B 3 t 2 B4t 2 2 p ( t 2 ) B 2 2 B 3 t 2 3 B 4 t 2 p2 p2 3 ( p 2 p1 ) 2 p1 B3 2 t2 t2 t2 p2 2 ( p1 p 2 ) p1 B4 2 2 3 t2 t2 t2 从而有 ： p2 2 3 ( p 2 p1 ) 2 p1 t [ ]t p ( t ) p1 p1 2 t2 t2 t2 p2 3 2 ( p1 p 2 ) p1 [ 2 2 ]t 3 t2 t2 t2
三 次 参 数 样 条 曲 线 端 点 条 件