数统第二章第三讲
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P(B)=P( A1B)+P(A2B)+P(A3B)
P(B)=P( A1B)+P(A2B)+P(A3B)
P ( B) P ( Ai ) P ( B｜Ai )
i 1
3
对求和中的每一项 运用乘法公式得
代入数据计算ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ：P(B)=8/15
将此例中所用的方法推广到一般的情形，就 得到在概率计算中常用的全概率公式.
例 1 一个有5个选择的考题，其中只有一个 选择正确的.假定应考人知道正确答案的概 率为p.如果他最后选对了，问他确实知道答 案的概率是多少? 求解如下: 设 A={知道答案}， B={选则正确}，由题意可知：
?
1
P ( A1 B) P ( A1 | B) P ( B)
3
2
3
P ( A1 ) P ( B | A1 )
运用全概率公式 计算P(B)
P ( A ) P ( B｜A )
k k k 1
将这里得到的公式一般化，就得到
贝叶斯公式
贝叶斯公式： 设 A1,A2,…,An 是 两 两 互 斥 的 事 件 ， 且 P(Ai)>0，i=1,2,…,n, 另有一事件B，它总是与 A1,A2,…,An 之一同时发生，则
它们构成一完备事件组；Ｃ＝｛输血成功｝， 显然它是一复杂事件，且它只能与其中的输 受血者血型能配对时同时发生，故用全概率 公式。
P (C ) P (C / A) P( A) P(C / B ) P( B ) P (C / AB) P( AB) P(C / O ) P (O ) (0.375 0.079) 0.375 (0.209 0.079) 0.209 (0.375 0.209 0.079) 0.079 0.337 0.6198
实际中还有下面一类问题，是 “已知结果求原因” 某人从任一箱中任意 摸出一球，发现是红球,求 该球是取自1号箱的概率. 1红4白 或者问: 1 2 3 该球取自哪号箱的可能 性最大? 这一类问题在实际中更为常见，它所求 的是条件概率，是已知某结果发生条件下， 求各原因发生可能性大小.
Ai ={球取自i号箱}, i=1,2,3; B ={取得红球} 1红4白 求P(A1|B)
受血者 输血者 Ａ型 Ｂ型 ＡＢ型 Ｏ型 Ａ型 √ × √ × Ｂ型 × √ √ × ＡＢ型 √ √ √ × Ｏ型 √ √ √ √
现在在人群中任选一人为输血者，再任选一人为受血 者，问输血成功的概率是多少？
解：令Ａ＝｛Ａ型人输血｝，
Ｂ＝｛Ｂ型人输血｝，
ＡＢ＝ ｛ＡＢ型人输血｝，
Ｏ＝｛Ｏ型人输血｝，显然
由此可以形象地把全概率公式看成为 “由原因推结果”，每个原因对结果的发 生有一定的“作用”，即结果发生的可能 性与各种原因的“作用”大小有关. 全概 率公式表达了它们之间的关系 . A3
A1
B A4
A5
A6 A8
诸Ai是原因 B是结果
A2
A7
例2：设一医院药房中的某种药品是由
三个不同的药厂生产的，其中一厂、二厂、
第七节 全概率公式与贝叶斯公式
全概率公式和贝叶斯公式主要用于 计算比较复杂事件的概率, 它们实质上 是加法公式和乘法公式的综合运用. 综合运用
加法公式 P(A+B)=P(A)+P(B) A、B互斥
乘法公式 P(AB)= P(A)P(B|A) P(A)>0
例1 有三个箱子，分别编号为1,2,3，1号箱装 有1个红球4个白球，2号箱装有2红3白球，3 号箱装有3红球. 某人从三箱中任取一箱，从 中任意摸出一球，求取得红球的概率. 解：记 Ai={球取自i号箱}, i=1,2,3; 1 2 3 B ={取得红球} B发生总是伴随着A1，A2，A3 之一同时发生， 运用加法公式得 即 且 B= A1B+A2B+A3B， A1B、A2B、A3B两两互斥
P( A) P( B1 ) P( A / B1 ) P( B2 ) P( A / B2 ) P( B3 ) P( A / B3 ) 0.07 0.25 0.05 0.25 0.04 0.50 0.05
例2：设人群中有37.5％的人是Ａ型血，20.9 ％的人是Ｂ型，33.7％的人是Ｏ型，7.9％的人 是ＡＢ型，已知允许输血的血型配对如下表（√： 允许输血，×：不允许输血）：
i 1
n
全概率公式的来由, 不难由上式看出: “全”部概率P(B)被分解成了许多部分之和. 它的理论和实用意义在于: 在较复杂情况下直接计算P(B)不易,但B总是 伴随着某个Ai出现，适当地去构造这一组Ai 往往可以简化计算.
我们还可以从另一个角度去理解
全概率公式.
某一事件B的发生有各种可能的原因 (i=1,2,…,n)，如果B是由原因Ai 所引起，则 B发生的概率是 P(BAi)=P(Ai)P(B |Ai) 每一原因都可能导致B发生，故 B发生的概率是各原因引起B发生概 率的总和，即全概率公式.
P ( Ai | B) P ( Ai ) P ( B｜Ai )
P ( A ) P ( B｜A )
j j j 1
n
i 1,2,, n 该公式于1763年由贝叶斯(Bayes)给出. 它 是在观察到事件B已发生的条件下，寻找导 致B发生的每个原因的概率.
贝叶斯公式在实际中有很多应用，它 可以帮助人们确定某结果（事件 B）发生 的最可能原因.
全概率公式: 设U为随机试验的样本空间，A1,A2,…,An 是两两互斥的事件，且有P(Ai)>0，i =1,2,…,n,
U A U , 则对任一事件B，有
i 1 i
n
P ( B) P ( Ai ) P ( B｜Ai )
i 1
n
称满足上述条件的A1,A2,…,An为完备事件组.
P ( B) P ( Ai ) P ( B｜Ai )
三厂生产的药品分别占
１/４、１/４、
１/２。已知一厂、二厂、三厂生产的药品
次品率分别为７％，５％，４％。现从中任
取一药品，试求该药品是次品的概率。
解：令Ａ＝｛该药品是次品｝（显然Ａ
是一复杂事件），Ｂｉ＝｛药品是由ｉ厂生
产的｝（ｉ＝１、２、３），显然它们构成
一完备事件组，且事件Ａ只能与其中之一事
件同时发生。故用全概率公式计算。
P(B)=P( A1B)+P(A2B)+P(A3B)
P ( B) P ( Ai ) P ( B｜Ai )
i 1
3
对求和中的每一项 运用乘法公式得
代入数据计算ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ：P(B)=8/15
将此例中所用的方法推广到一般的情形，就 得到在概率计算中常用的全概率公式.
例 1 一个有5个选择的考题，其中只有一个 选择正确的.假定应考人知道正确答案的概 率为p.如果他最后选对了，问他确实知道答 案的概率是多少? 求解如下: 设 A={知道答案}， B={选则正确}，由题意可知：
?
1
P ( A1 B) P ( A1 | B) P ( B)
3
2
3
P ( A1 ) P ( B | A1 )
运用全概率公式 计算P(B)
P ( A ) P ( B｜A )
k k k 1
将这里得到的公式一般化，就得到
贝叶斯公式
贝叶斯公式： 设 A1,A2,…,An 是 两 两 互 斥 的 事 件 ， 且 P(Ai)>0，i=1,2,…,n, 另有一事件B，它总是与 A1,A2,…,An 之一同时发生，则
它们构成一完备事件组；Ｃ＝｛输血成功｝， 显然它是一复杂事件，且它只能与其中的输 受血者血型能配对时同时发生，故用全概率 公式。
P (C ) P (C / A) P( A) P(C / B ) P( B ) P (C / AB) P( AB) P(C / O ) P (O ) (0.375 0.079) 0.375 (0.209 0.079) 0.209 (0.375 0.209 0.079) 0.079 0.337 0.6198
实际中还有下面一类问题，是 “已知结果求原因” 某人从任一箱中任意 摸出一球，发现是红球,求 该球是取自1号箱的概率. 1红4白 或者问: 1 2 3 该球取自哪号箱的可能 性最大? 这一类问题在实际中更为常见，它所求 的是条件概率，是已知某结果发生条件下， 求各原因发生可能性大小.
Ai ={球取自i号箱}, i=1,2,3; B ={取得红球} 1红4白 求P(A1|B)
受血者 输血者 Ａ型 Ｂ型 ＡＢ型 Ｏ型 Ａ型 √ × √ × Ｂ型 × √ √ × ＡＢ型 √ √ √ × Ｏ型 √ √ √ √
现在在人群中任选一人为输血者，再任选一人为受血 者，问输血成功的概率是多少？
解：令Ａ＝｛Ａ型人输血｝，
Ｂ＝｛Ｂ型人输血｝，
ＡＢ＝ ｛ＡＢ型人输血｝，
Ｏ＝｛Ｏ型人输血｝，显然
由此可以形象地把全概率公式看成为 “由原因推结果”，每个原因对结果的发 生有一定的“作用”，即结果发生的可能 性与各种原因的“作用”大小有关. 全概 率公式表达了它们之间的关系 . A3
A1
B A4
A5
A6 A8
诸Ai是原因 B是结果
A2
A7
例2：设一医院药房中的某种药品是由
三个不同的药厂生产的，其中一厂、二厂、
第七节 全概率公式与贝叶斯公式
全概率公式和贝叶斯公式主要用于 计算比较复杂事件的概率, 它们实质上 是加法公式和乘法公式的综合运用. 综合运用
加法公式 P(A+B)=P(A)+P(B) A、B互斥
乘法公式 P(AB)= P(A)P(B|A) P(A)>0
例1 有三个箱子，分别编号为1,2,3，1号箱装 有1个红球4个白球，2号箱装有2红3白球，3 号箱装有3红球. 某人从三箱中任取一箱，从 中任意摸出一球，求取得红球的概率. 解：记 Ai={球取自i号箱}, i=1,2,3; 1 2 3 B ={取得红球} B发生总是伴随着A1，A2，A3 之一同时发生， 运用加法公式得 即 且 B= A1B+A2B+A3B， A1B、A2B、A3B两两互斥
P( A) P( B1 ) P( A / B1 ) P( B2 ) P( A / B2 ) P( B3 ) P( A / B3 ) 0.07 0.25 0.05 0.25 0.04 0.50 0.05
例2：设人群中有37.5％的人是Ａ型血，20.9 ％的人是Ｂ型，33.7％的人是Ｏ型，7.9％的人 是ＡＢ型，已知允许输血的血型配对如下表（√： 允许输血，×：不允许输血）：
i 1
n
全概率公式的来由, 不难由上式看出: “全”部概率P(B)被分解成了许多部分之和. 它的理论和实用意义在于: 在较复杂情况下直接计算P(B)不易,但B总是 伴随着某个Ai出现，适当地去构造这一组Ai 往往可以简化计算.
我们还可以从另一个角度去理解
全概率公式.
某一事件B的发生有各种可能的原因 (i=1,2,…,n)，如果B是由原因Ai 所引起，则 B发生的概率是 P(BAi)=P(Ai)P(B |Ai) 每一原因都可能导致B发生，故 B发生的概率是各原因引起B发生概 率的总和，即全概率公式.
P ( Ai | B) P ( Ai ) P ( B｜Ai )
P ( A ) P ( B｜A )
j j j 1
n
i 1,2,, n 该公式于1763年由贝叶斯(Bayes)给出. 它 是在观察到事件B已发生的条件下，寻找导 致B发生的每个原因的概率.
贝叶斯公式在实际中有很多应用，它 可以帮助人们确定某结果（事件 B）发生 的最可能原因.
全概率公式: 设U为随机试验的样本空间，A1,A2,…,An 是两两互斥的事件，且有P(Ai)>0，i =1,2,…,n,
U A U , 则对任一事件B，有
i 1 i
n
P ( B) P ( Ai ) P ( B｜Ai )
i 1
n
称满足上述条件的A1,A2,…,An为完备事件组.
P ( B) P ( Ai ) P ( B｜Ai )
三厂生产的药品分别占
１/４、１/４、
１/２。已知一厂、二厂、三厂生产的药品
次品率分别为７％，５％，４％。现从中任
取一药品，试求该药品是次品的概率。
解：令Ａ＝｛该药品是次品｝（显然Ａ
是一复杂事件），Ｂｉ＝｛药品是由ｉ厂生
产的｝（ｉ＝１、２、３），显然它们构成
一完备事件组，且事件Ａ只能与其中之一事
件同时发生。故用全概率公式计算。