最优化 第五周作业(1)
苏教版六年级小升初奥数专项训练第十六周 解决实际问题
第十六周解决实际问题1、最优化问题【题型概述】做一件事情，如果能够合理安排，就可以节约时间和金钱，这正是华罗庚爷爷倡导的“最优化思想”。
今天我们将研究这种问题。
【典型例题】甲地有89吨货物需运到乙地，大卡车的载重量是7吨，小卡车的载重量是4吨。
大卡车运一趟耗油14升，小卡车运一趟耗油9升。
那么，运完这些货物最少耗油多少升？思路点拨由于大卡车载重7吨，运一趟货用汽油14升，即平均运1吨货用2升汽油；小卡车载重4吨，运一趟货用9升汽油，则平均运1吨货耗油94升。
因此，大卡车比小卡车耗油量少，应尽量用大卡车运。
89=7×12+5，如果全用大卡车运，需跑13趟，耗油为13×14=182（升）；如果用大卡车运12趟，还剩5吨，还要小卡车运2趟，但这样运汽油就多耗了；如果大卡车运11趟，则剩下12吨，正好让小卡车运3趟，这样安排运货所用的汽油最少。
14×11+9×3=181（升）答：最少耗油181升。
【举一反三】1、在一条公路上，每个100千米有一个仓库，共有五个仓库，一号仓库存有10吨货物，二号仓库存有20吨货物，五号仓库存有25吨货物，其余两个仓库是空的，现在想把所有的货物集中存放在一个仓库里，如果每吨货物运输1千米需要5元运费，那么，最少要花多少运费才能按要求运完？2、在一条高速公路上每隔50千米有一所管理站，一号管理站有1人，二号管理站有2人，四号管理站有4人，三号管理站实行无人管理。
现在要把所有的管理员集中到一起开会，请问在几号管理站集中，他们所走的路程最少？最少是多少千米？3、小李，小许，小肖，小伟四人分别拿着三个，一个，二个，四个热水瓶去打水，现在只有一个水龙头可以使用，应该如何安排这4个人的打水顺序，使他们总的打水时间最少（注满一瓶水要1分钟）？【拓展提高】北仓库有货物35吨，南仓库有货物25吨，需要运到甲、乙、丙三个工厂中去，其中甲工厂需要28吨，乙工厂需要12吨，丙工厂需要20吨，两个仓库与各工厂之间的距离如图所示（单位：千米）已知运输每吨货物1公里的费用是1元，那么将货物按要求运入各工厂的最小费用是多少元？思路点拨 观察图可以发现，甲仓库中的货物应尽量从南库调入。
北师大版数学五年级上册 数学好玩《数学好玩》知识归纳+综合练习题(含答案)
课题学习《数学好玩》知识互联知识导航知识点一：设计秋游方案最优化问题：最优化概念反映了人类实践活动中十分普遍的现象，即要在尽可能节省人力、物力和时间前提下，争取获得在可能范围内的最佳效果，因此，最优化问题成为现代数学的一个重要课题，涉及统筹、线性规划一排序不等式等内容．下面我们就最优化问题做出汇总分析．最优化问题不仅具有趣味性，而且由于解题方法灵活，技巧性强，因此对于开拓解题思路，增强数学能力很有益处．但解决这类问题需要的基础知识相当广泛，很难做到一一列举．知识点二：图形中的规律事物的间隔排列规律：例：六一儿童节用彩色小灯泡布置教室，按“三红、二黄、二绿”的规律连接起来，第37个小灯泡是（）A、红B、黄C、绿D、不确定分析：彩灯的排列规律是：按照颜色特点，7个灯泡一个循环周期：按照3红、2黄、2绿依次循环排列；解：37÷7=5…2，所以第37个小灯泡是第6个循环周期的第2个，与第一个周期的第2个灯泡颜色相同，是红色；故选：A．点评：得出这组灯泡颜色排列的周期特点，是解决本题的关键．知识点三：尝试与猜测鸡兔同笼：方法：假设法，方程法，抬腿法，列表法公式1：（兔的脚数×总只数-总脚数）÷（兔的脚数-鸡的脚数）=鸡的只数；总只数-鸡的只数=兔的只数公式2：（总脚数-鸡的脚数×总只数）÷（兔的脚数-鸡的脚数）=兔的只数；总只数-兔的只数=鸡的只数公式3：总脚数÷2-总头数=兔的只数；总只数-兔的只数=鸡的只数公式4：鸡的只数=（4×鸡兔总只数-鸡兔总脚数）÷2；兔的只数=鸡兔总只数-鸡的只数公式5：兔总只数=（鸡兔总脚数-2×鸡兔总只数）÷2；鸡的只数=鸡兔总只数-兔总只数公式6：（头数x4-实际脚数）÷2=鸡公式7：4×+2（总数-x）=总脚数（x=兔，总数-x=鸡数，用于方程）公式8：鸡的只数：兔的只数=兔的脚数-（总脚数÷总只数）：（总脚数÷总只数）-鸡的脚数．夯实基础一、选择题(每题2分，共10分)1．（2021·辽宁·五年级期末）像这样摆20个三角形需要（）根小棒。
最优化第一次作业
无约束优化算法最优化课程作业（一）姓名：丁敏学号：31130510012014/6/24一、无约束优化算法无约束优化计算方法是数值计算领域中十分活跃的研究课题。
快速地求解无约束优化问题已经成为当今的焦点，除了其自身的重要性外，还由于目前求解约束优化问题的基本思想之一就是把约束问题变换为一系列无约束子问题进行求解。
因此，无约束优化算法的求解效率将直接影响到约束问题的求解，尤其是在大规模优化问题中。
所以，对无约束优化算法的研究具有重要的理论意义和实际价值。
无约束优化问题，是指优化问题的可行集为n R ，无约束的标准形式（1-1）为：R R f x f n→:)(m i n求解无约束优化问题时将会涉及到以下概念：(1) 驻点、鞍点：若f (x )在点x*处可微，并且0f (x*)∇=，则称x*为f (x )的一个驻点(或者平稳点)。
既不是极小点，也不是极大点的驻点称为鞍点。
(2) 全局最优解：若n x*Z,x R ∈∀∈均有f (x )f (x*)≥，则称x*为问题(1-1)的全局 最优解(3) 局部最优解：若*x D ∈且存在0δ>使得()()()**f x f x ,x DN x δ≥∀∈则称x*为问题(1-1)的一个局部最优解（极小点）；若*x D ∈且存在0δ>使得()()()**f x f x ,x DN x δ≤∀∈则称x*为问题(1-1)的一个局部最优解（极大点）；当目标函数 f ( x )为凸函数时，我们认为全局最优解即是局部最优解，然而，通常寻求全局最优解并不容易。
因此，在非线性优化中我们认为局部最优解即为所求。
无约束优化算法可以分为两大类: 一类是借助目标函数的导数信息来构造下降的搜索方向。
另一类是由目标函数值信息直接搜索求解的方法。
本文章重点介绍最速下降法，阻尼牛顿法以及共轭梯度法。
二、最速下降法1、最速下降法思想经典最速下降法是由 Cauchy 于 1847 年提出的，Forsythe 和 Motzkin 在 1951 年对它做了初步的分析。
2024年小升初数学典型应用题真题汇编专题15 最优化问题
2023小升初数学典型应用题精讲精练真题汇编第15讲最优化问题知识梳理最优化概念反映了人类实践活动中十分普遍的现象，即要在尽可能节省人力、物力和时间前提下，争取获得在可能范围内的最佳效果，因此，最优化问题成为现代数学的一个重要课题，涉及统筹、线性规划一排序不等式等内容．下面我们就最优化问题做出汇总分析．最优化问题不仅具有趣味性，而且由于解题方法灵活，技巧性强，因此对于开拓解题思路，增强数学能力很有益处．但解决这类问题需要的基础知识相当广泛，很难做到一一列举．真题汇编一．选择题（共8小题）1．甲、乙、丙、丁四个商店同时促销一种原价为100元的花生油。
甲商店按原价的85%出售；乙商店满200元一律降价25%出售；丙商店买四送一；丁商店第二桶打六折。
妈妈要买2桶这样的花生油，想花钱最少，应该到()商店去买。
A．甲B．乙C．丙D．丁2．百货商场搞店庆活动，妈妈看中了一件标价400元的裙子。
导购员提供了两种购买方案：（1）打七折销售；（2）按每满300元减100元销售。
哪种购买方案更省钱？()A．方案（1）B．方案（2）C．两种方案一样3．某运动品牌搞活动，在A商场打五折销售，在B商场按“满100元减50元”销售。
小华要买一双370元的鞋，选择哪个商场更省钱？()A．A商场B．B商场C．一样D．无法判断4．春游时，四年级一班共有38人坐快艇，怎样租快艇最省钱。
()A．8艘小快艇，1艘大快艇B．10艘小快艇C．6艘大快艇，1艘小快艇D．7艘大快艇5．有30人要租船，有两种船可以选择，最省钱的租船方案是()A．租8条大船B．租7条大船，1条小船C．租15条小船D．租5条大船，5条小船6．用平底锅煎荷包蛋，一次能同时煎2个蛋。
如果煎1个蛋需要2分钟（正反面各1分钟），现在要给15位同学每人一个荷包蛋，至少需要煎()分钟。
A．15 B．30 C．207．爸爸想在网上商店买电扇，某种电扇原价280元，A商店打八折销售，B商店满100元减30元，C商店每满100元减30元。
北航最优化大作业
图 18: 前两行为迭代点 xk, 后面一行为梯度的 2 范数，显然，前两行行都趋于无穷大，发散，梯度的 2 范数 趋于 13.4536（从 matlab 变量表格中得到）。 4: 初始点 x(0) = (10, 20)T 前两行为迭代点 xk, 后面一行为梯度的 2 范数，显然，前两行行都趋于无穷大，发散，梯度的 2 范数 趋于 13.4536（从 matlab 变量表格中得到）。
33
图 57: 7、9、11、13 迭代停止测试。
当 n=50 时，解 x*=[1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1, 1,1,1,1,1,1,1,1, 1,1,1,1,1,1,1,1,1,1] 判断矩阵：
图 58: 可以发现，没有发现负曲率的情况，第 1 和第 2 次的迭代到了边界，第 4、6、8、10、12、14、16 次 迭代到了边界。
▽f (x) = g = −400x1(x2 − x21) + 2x1 − 2
200(x2 − x21)
[
]
▽2f (x) = G = 1200x21 − 400x2 + 2 −400x1
−400x1
200
14
4.1 最速下降法
代码和流程图：
图 33:
图 34: 15
4.1.1 初始点为 (1.2,1.2)
++
)
x1 + x12 − 100
x11
x1
−
50 1
−
x2
−10 − µ(
++
)
x1 + x2 − 100 x2 −x1 + 50 + x2
数学人教A版必修五优化练习：第一章章末优化总结含解析
章末检测 (一 ) 解三角形时间： 120 分钟满分： 150 分一、选择题 (本大题共 12 小题，每题5 分，共 60 分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的)1．相关正弦定理的表达：①正弦定理只合用于锐角三角形；②正弦定理不合用于钝角三角形；③在某一确立的三角形中，各边与它的对角的正弦的比是定值；④在△ ABC 中， sin A ∶ sin B ∶ sin C ＝ a ∶ b ∶c.此中正确的个数是 ( )A ． 1B ． 2C ． 3D ．4分析： 正弦定理合用于随意三角形，故①②均不正确；由正弦定理可知，三角形一旦确立， 则各边与其所对角的正弦的比就确立了， 故③正确；由比率性质和正弦定理可推知④正确．故选 B.答案： B2．在△ ABC 中， A ＝ 60°， b ＝ 6，c ＝ 10，则△ ABC 的面积为 ()A ．15 6B ．15 3C ． 15D ．30答案： B3．△ ABC 为钝角三角形， a ＝ 3， b ＝ 4，c ＝ x ， C 为钝角，则 x 的取值范围是 () A ． x<5 B ． 5<x<7 C ． 1<x<5D ．1<x<7分析： 由已知条件可知 x<3＋ 4 且 32＋ 42<x 2，∴5<x<7. 答案： B44．在△ ABC 中，已知 AC ＝ 2， BC ＝ 3，cos A ＝－ 5.则 sin B 的值为 ()3 A ． 1B.51 2 C.2D.5分析： 在△ABC 中， sin A ＝1－ cos 2A ＝1－ －4 2＝ 3.BC AC ∵sin A ＝ sin B ，∴sin B ＝AC·sin A ＝2× 3＝ 2.BC 35 5答案： D5．在△ ABC 中，已知 a ＝ 1， b ＝2， C ＝60°，则 c 等于 ( )A. 3 B ． 3 C.5D ．5分析 ： c 2＝ a 2＋ b 2－ 2abcos C ， ∴c ＝ 3. 答案：A6．在△ ABC 中，已知 b 2＝ ac 且 c ＝2a ，则 cos B 等于 ()13 A. 4B.422 C. 4D. 3分析 ： b 2＝ ac ，c ＝ 2a ，∴b 2＝ 2a 2， b ＝ 2a.a 2＋ c 2－b 2 3∴cos B ＝ 2ac＝ 4.答案：B7．在△ ABC 中，依据以下条件解三角形，此中有两解的是( )A ． b ＝10，∠ A ＝ 45°，∠ C ＝ 70°B ． a ＝ 30， b ＝ 25，∠ A ＝150 °C ． a ＝ 7， b ＝ 8，∠ A ＝ 98°D ． a ＝14， b ＝ 16，∠ A ＝ 45°分析 ：A 中已知两角与一边，有独一解； B 中， a>b ，且∠A ＝ 150°，也有独一解； C 中 b>a ，且∠A ＝ 98 °为钝角，故解不存在； D 中因为 b ·sin 45 <a<b °，故有两解．答案：D8．在△ ABC 中，已知 a ＝ 1，b ＝ 3，A ＝ 30°，B 为锐角，那么角 A ，B ，C 的大小关系为 () A ． A>B>C B ．B>A>C C ． C>B>AD ．C>A>B分析 ：由正弦定理得a b，∴sin B ＝3，又∵B 为锐角，∴ B ＝ 60 °，∴C ＝ 90 °，即 sin 30＝2°sin BC>B>A.答案：C9．有一长为 1 km 的斜坡，它的倾斜角为 20°，现高不变，将倾斜角改为 10°，则斜坡长为 ()A ． 1 kmB ． 2sin 10km °C ． 2cos 10 °kmD ．cos 20 °km分析 ：如下图， ∠ABC ＝ 20°，AB ＝ 1 km ，∠ADC ＝ 10°，∴∠ABD ＝ 160°.在△ABD 中，由正弦定理ADABsin 160 °sin 20 °sin 160 ＝，∴AD ＝ AB ·＝＝°sin 10 ° sin 10°sin 10 °2cos 10 (km)° ．答案：C10．在△ ABC 中， a 、 b 、c 分别为角 A ， B ，C 所对的边，若 a ＝ 2bcos C ，则此三角形必定是()A ．等腰直角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰三角形或直角三角形分析 ：因为 a ＝2bcos C ，因此由余弦定理得：a 2 ＋b 2－c 2a ＝ 2b ·，整理得 b 2＝ c 2，则此三角2ab形必定是等腰三角形．答案：C411．在△ ABC 中，三内角 A ，B ， C 分别对应三边 a ， b ， c ，tan C ＝ 3，c ＝ 8，则△ ABC 外接圆的半径 R 为( )A ．10B ． 8C ． 6D ．5分析 ：由 tan C ＝ 4>0 且 C ∈(0， π)，得 C ∈ 0， π2 .由同角三角函数的基本关系式，得cos C31 3 4c 8 ＝1＋ tan 2C ＝ 5，sin C ＝ cos Ctan C ＝ 5，由正弦定理，有 2R ＝sin C ＝ 4＝ 10，故外接圆半5径为 5，应选 D.答案：D12．设锐角△ ABC 的三内角 A ， B ， C 所对的边分别为 a ， b ， c ，且 a ＝ 1， B ＝ 2A ，则 b 的取值范围为 ()A ．( 2， 3)B ．(1，3)C．( 2，2)分析：由a＝b＝b，得sin A sin B sin 2Aππ23因此6<A<4，2 <cos A< 2，因此D ．(0,2)πππππb＝ 2cos A. <A＋ B＝3A<π，进而6<A< .又 2A<，因此 A< ，2324 2<b< 3.答案：A二、填空题 (本大题共 4 小题，每题 4 分，共 16 分，把答案填在题中的横线上)13．在等腰△ ABC 中，已知 sin A∶ sin B＝ 1∶ 2，底边 BC＝ 10，则△ ABC 的周长是 ________．分析：由正弦定理得BC∶AC＝ sin A∶sin B＝ 1∶2.又∵BC ＝10，∴AC＝ 20，∴AB＝AC ＝20.∴△ABC 的周长是 10＋20＋ 20＝50.答案：50sin B14．在△ ABC 中， A＝ 120 °， AB＝ 5， BC＝7，则sin C＝ ________.分析：由余弦定理，得a2＝ b2＋ c2－ 2bccos A，即 49＝ b2＋ 25＋ 5b，解得 b＝ 3 或 b＝－ 8(舍去 ) ，sin B b3因此＝＝.sin C c5答案：3515．在△ ABC 中，若 S△ABC＝ 123， ac＝ 48， c－ a＝ 2，则 b＝________.分析：由 S△ABC13222＝2acsin B 得 sin B＝2，∴B＝ 60 °或 120 .°由余弦定理得，b ＝ a ＋ c － 2accos B＝ (a－ c)2＋ 2ac－ 2accos B＝ 22＋ 2× 48－ 2× 48cos B，∴b2＝ 52 或 148，即 b＝ 213或 237.答案：2 13或 23716．△ ABC 的三内角 A， B， C 所对边分别是 a， b， c，设向量 m＝ (a＋b， sin C)， n＝(3a ＋c， sin B－ sin A)，若 m∥ n，则角 B 的大小为 ________．分析：由 m∥n，∴(a＋ b)(sin B－sin A)－ sin C( 3a＋ c)＝ 0，由正弦定理有(a＋b) ( b－a)＝ c(3a＋ c)，即 a2＋c2－ b2＝－33ac，再由余弦定理得 cos B＝－2，∵B∈(0 °，180 )°，∴B＝ 150 .°答案： 150°三、解答题 (本大题共有 6小题，共74 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17． (12 分) 在△ ABC 中，三个内角A， B， C 所对的边分别为a，b， c，已知 a＝ 4，b＝ 5， c ＝ 61.(1) 求 C 的大小；(2) 求△ ABC 的面积．分析 ： (1)依题意，由余弦定理得42＋ 52－ 61 2 1cos C ＝2× 4×5＝－ 2.∵0 °<C<180 ，°∴C ＝ 120 °.△11× 4×5× sin 120 ＝° 1× 4× 5×3(2) S ABC ＝ 2absin C ＝ 2 22＝5 3.18． (12 分 )在△ ABC 中，已知 (a 2＋ b 2)sin(A － B)＝ (a 2－ b 2) ·sin(A ＋ B)，试判断△ ABC 的形状．分析 ：由题意可知 a 2[sin( A ＋B)－ sin(A － B)] ＝ b 2[sin( A －B)＋ sin(A ＋ B)] ，即 a 2·2sin Bcos A ＝b 2·2sin AcosB.∵sin Asin B ≠0，∴2sin Acos A ＝ 2sin Bcos B ，即 sin 2A ＝ sin 2B ，π∴A ＝B 或 A ＋B ＝2.∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形．19． (12 分 )在△ ABC 中， a ，b ， c 分别为角 A ， B ，C 的对边， a 2－ (b － c)2＝ bc ，(1)求角 A ；(2) 若 sin bB ＝c ＝ 2，求 b 的值．分析： (1)由 a 2 － (b － c)2＝ bc 得： a 2－ b 2－ c 2＝－ bc ，∴cos A ＝ b 2＋ c 2－ a 2 12bc ＝ 2，又 0＜ A ＜π，π∴A ＝ 3.bc π(2) sin B ＝ sin C ，∴sin C ＝ 1.∴C ＝ 2，πb∴B ＝ 6.∵sin B ＝ c ＝2，π∴b ＝2sin B ＝ 2sin 6＝ 1.20． (12 分 )△ABC 的三个内角 A 、 B 、 C 所对的边分别为 a 、 b 、 c ， asin Asin B ＋ bcos 2A ＝ 25(1) 求 b；a(2) 若 c 2＝ b 2＋ 3a 2，求 B.分析 ： (1)由正弦定理得， sin 2Asin B ＋ sin Bcos 2A ＝ 2sin A ，即 sin B(sin 2A ＋ cos 2A)＝ 2sin A.b故 sin B ＝ 2sin A ，因此 a ＝ 2.(2) 由余弦定理和 c 2＝b 2＋ 3a 2，得 cos B ＝1＋ 3 a. 2c由(1) 知 b 2＝ 2a 2，故 c 2＝ (2＋ 3)a 2.1 2 可得 cos 2B ＝ ，又 cos B>0，故 cos B ＝2，因此 B ＝ 45 °.2121． (13 分 )在△ ABC 中，角 A ， B ， C 所对的边分别为 a ， b ， c ，已知 cos 2C ＝－ 4.(1) 求 sin C 的值；(2) 当 a ＝2,2sin A ＝ sin C 时，求 b 及 c 的长．分析： (1)因为 cos 2C ＝ 1－2sin 2C ＝－ 1，及 0<C<π，因此 sin C ＝10 44 .a c(2) 当 a ＝2,2sin A ＝ sin C 时，由正弦定理 sin A ＝ sin C ，得 c ＝ 4.由 cos 2C ＝2cos 2C － 1＝－ 1，及 0<C<π得 cos C ＝ ± .446由余弦定理 c 2＝a 2＋ b 2－ 2abcos C.得 b 2± 6b － 12＝0，解得 b ＝ 6或 2 6，因此 { b ＝ 6， c ＝ 4. 或{b ＝ 2 6，c ＝ 4.22． (13 分 )在一个特准时段内，以点E 为中心的 7 海里之内海疆被设为戒备水域，点 E 正北 55 海里处有一个雷达观察站A.某时辰测得一艘匀速直线行驶的船只位于点 A 北偏东 45°且与点 A 相距 40 2海里的地点 B ，经过 40 分钟又测得该船已行驶到点A 北偏东 45°＋θ此中 sin θ＝ 2626，0°<θ<90° 且与点 A 相距 10 13海里的地点C.(1) 求该船的行驶速度 (单位：海里 /小时 )；(2) 若该船不改变航行方向持续行驶，判断它能否会进入戒备水域，并说明原因.分析： (1)如下图， AB ＝ 402， AC ＝ 10 13，∠BAC ＝ θ，sin θ＝ 2626.因为 0 °<θ<90 °，因此 cos θ＝1－26 2526 26＝26.由余弦定理得BC＝AB2＋ AC2－ 2AB·AC ·cos θ＝ 10 5.因此船的行驶速度为10510540＝2＝ 15 5(海里 /小时 )．603(2) 如下图，以 A 为原点成立平面直角坐标系，设点B、 C 的坐标分别是B(x1， y1)、 C(x2，y2)， BC 与 x 轴的交点为 D ，2由题设有， x1＝y1＝2 AB＝ 40，x2＝ ACcos∠CAD＝10 13cos(45 －°θ)＝ 30，y2＝ ACsin∠CAD ＝1013sin(45 －°θ)＝ 20.因此过点 B、 C 的直线 l 的斜率20k＝10＝ 2，直线 l 的方程为y＝ 2x－ 40.又点 E(0，－ 55)到直线 l 的距离|0＋ 55－40|d＝＝ 35<7 ，1＋ 4因此船会进入戒备水域.。
数学周周清5答案
唐山一中高三数学周周清强化训练试卷（五）答案一、选择题BDDCA BDACC AC 二、填空题13、α=29π/15 14、⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-672,62ππππk k ()Zk ∈ 15、 213a a <-≥或 16、①②⑤三、解答题17解：(1)当a ＝2时，A ＝{x |2<x <7}，B ＝{x |4<x <5}． ∴A ∩B ＝{x |4<x <5}， (2)B ＝{x |2a <x <a 2＋1}，①当B ＝Ø时，2a ≥a 2＋1，∴a ＝1， 此时A ＝{x |2<x <4}，B ⊆A 符合题意．②若B ≠Ø，方程(x －2)[x －(3a ＋1)]＝0的两根为x 1＝2，x 2＝3a ＋1. ∵B ≠Ø.∴A ≠Ø∴3a ＋1≠2，即a ≠13.当3a ＋1>2，即a >13时，⎩⎪⎨⎪⎧2a ≥2a 2＋1≤3a ＋12a <a 2＋1⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ≥10≤a ≤3⇒1<a ≤3a ≠1.当3a ＋1<2，即a <13时，⎩⎪⎨⎪⎧2a ≥3a ＋1a 2＋1≤2⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ≤－1－1≤a ≤1⇒a ＝－1.∴a 的取值范围为[1,3]∪{－1}．18.（1）解法一 由条件知△ABC 为直角三角形，∠BAC =90°,∵PA=PB=PC ,∴点P 在平面ABC 上的射影是△ABC 的外心，即斜边BC 的中点E ，取AC 中点D ，连结PD 、DE 、PE ，PE ⊥平面ABC .DE ⊥AC (∵DE ∥AB ).∴AC ⊥PD ,∠PDE 为二面角P-AC-B 的平面角.tan PDE =32323==aaDEPE ,∴∠PDE =60°,故二面角P-AC-B 的平面角为60°.解法二 设O 为BC 的中点，则可证明PO ⊥面ABC ，建立如图空间直角坐标系，则A ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-0,23,21a a ,B (-a ,0,0),C (a ,0,0),P ⎪⎭⎫⎝⎛a 23,0, AC 中点D ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-0,43,43a a , AB=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-0,23,23a a ,DP=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-a a a 23,43,43 ∵AB ⊥AC ,PA =PC ,PD ⊥AC ,cos<AB ,DP >即为二面角P-AC -B 的余弦值.而cos<AB ,DP >=21491631690434904323)43)(23(22222=++⨯+++⨯+--aaaaaa a a a二面角P-AC-B 的平面角为60° (2)解法一 PD =aaaDEPE349432222=+=+,S △APC =21·AC ·PD =223a设点B 到平面PAC 的距离为h , 则由V P-ABC =V B-APC 得31·S △ABC ·PE =31·S △APC ·h ,h =aaa a a S PE S APCABC 2323233212=⋅⋅⋅=⋅∆∆.故点B 到平面PAC 的距离为a23.解法二 点E 到平面PAC 的距离容易求得，为43a ,而点B 到平面PAC 的距离是其2倍,∴点B 到平面PAC 的距离为a23.19、(1)函数f (x )为奇函数，则f (－x )＝－f (x )，函数f (x )的图象关于x ＝1对称，则f (2＋x )＝f (－x )＝－f (x )，所以f (4＋x )＝f [(2＋x )＋2]＝－f (2＋x )＝f (x )，所以f (x )是以4为周期的周期函数．(2) 当x ∈[1,2]时，2－x ∈[0,1]，又f (x )的图象关于x ＝1对称，则f (x )＝f (2－x )＝22－x －1，x ∈[1,2]． (3)∵f (0)＝0，f (1)＝1，f (2)＝0，f (3)＝f (－1)＝－f (1)＝－1 又f (x )是以4为周期的周期函数．∴f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2013)＝f (2 012)＋f (2 013)＝f (0)＋f (1)＝1. 20．（本小题满分12分）解：（1）证明：连接AO ，在1AO A 中，作1O E AA ⊥于点E ，因为11//AA BB ，得1OE B B ⊥,因为1A O ⊥平面ABC ，所以1A O BC ⊥,因为AB =得A O B C ⊥,所以B C ⊥平面1AA O ,所以BC O E ⊥所以O E ⊥平面11BB C C , 又11,AO AA ===得215AOAE AA ==(2)如图所示，分别以1,,O A O B O A 所在的直线为x,y,z 轴建立空间直角坐标系，则A(1,0,0), C(0,-2,0), A 1(0.0,2),B(0,2,0)由（1）可知115A E A A = 得点E 的坐标为42(,0,)55，由（1）可知平面11BB C C 的法向量是42(,0,)55，设平面11A B C 的法向量(,,)n x y z = ，C 1x由100n AB n A C ⎧⨯=⎪⎨⨯=⎪⎩ ，得200x y y z -+=⎧⎨+=⎩，令1y =，得2,1x z ==-，即(2,1,1)n =-所以cos ,10||||O E n O E n O E n ⨯<>==⨯即平面平面11A B C 与平面BB 1C 1C10。
最优化考试例题.doc
优化方法与最优控制例题1 • Find the curve x (t) that minimizes the functionalAnd passes through the points ^(0) = 1 and x(l) = 3.4" g(x,x,t) = y x 2(0 + 5x(t)x(t) + x 1 ⑺ + 5x(0，可求得gv =5i⑺+ 2%⑺+ 5 ^ = x(r) + 5x(z) ^ = ^(z) + 5i(z) dt若J 在x(z)处取极值，则有= 即 atX ⑺一2x ⑺一5 = 0解微分方程沿7) - 2x(z) = 0 ,可得通解％(z) = c x e~<21 + c 2Z 2/。
设对)-2冰)-5 = 0的通解为％(0 = <^，得力)=」。
故原微分方程的解为 2x(r) = c 1e'^ + c 2e^+|又已知x(0) = l, x ⑴=3,带入上式可得所以x ⑺=c,e'r2t + c 2^+-o 2Such that: f 7 e[x,x,t]dt = CWhere we will assume that t f is free but x(t f ) is fixed.2 One important calculus of variations problem that we did not discuss in class has the same basic form, but with constraints that are given by an integral - called isoperimetric constraints:min J = [ g[x, x,t\lt山0e^+32(^2-1)e^+3C ，2 =2(e 3 45-l)e[x,x,t]dt = CWhere g a = g v T e •(b) Use the results of part (a) to clearly state the differential equations and corresponding boundary conditions that must be solved to find the curve y(x) of a specified length L with endpoints on the x-axis (i.e.，at x = 0 and x = x f ) that encloses the maximum area, so that7 = £7ydx and £+ y 2dx = LWhere t, free.(a)引入拉格朗口矢量因子V ，另'g[x,x 9t]dt + v T ^f e(x ，i ，t)dt-C求变分有SJ a = 7 (§'—& + g^Sx)dt + g{t f )dt f + v T ^J^ {e x Sx + e {Sc)dt + e(t f )dt f + 1edt (g x - ::^-)Sxdt + + +〔{ edt-C Sv +v*l | 7 {e x -+ e..(t f) 4- e(t f )dt f有&, =&(◊) + 々(，,)々,，并令么=g + v T 《，带入上式，整理可得因为z f 自由，对rp 固定，所以要使＜5/=0，则需满足条件:dSa _ d (d Sa dxdt \ dx=0Tclds, \T a = £[U.r + )—(音 + ^)]&cdt + 7 edt - Cj <5v +[A(,，)+ vTG(〜)]&，+(U(z ，) +’冲，)]-[心(z ，) + vT ¥(r)]地，))々，k dx dtSxdt +〔edt-C I 4--(r z )&c f +g a (t f )-^-dxdxdSa _d ( ^S a dx dt\ dxe[x,x,t]dt = C(b)令 = >’ ++ y 2，则有自由。
高中数学人教A版必修五优化练习：第一章 章末优化总结 Word版含解析
章末检测(一) 解三角形 时间：120分钟 满分：150分一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．有关正弦定理的叙述： ①正弦定理只适用于锐角三角形； ②正弦定理不适用于钝角三角形；③在某一确定的三角形中，各边与它的对角的正弦的比是定值； ④在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c . 其中正确的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：正弦定理适用于任意三角形，故①②均不正确；由正弦定理可知，三角形一旦确定，则各边与其所对角的正弦的比就确定了，故③正确；由比例性质和正弦定理可推知④正确．故选B. 答案：B2．在△ABC 中，A ＝60°，b ＝6，c ＝10，则△ABC 的面积为( ) A ．15 6 B ．15 3 C ．15 D ．30答案：B3．△ABC 为钝角三角形，a ＝3，b ＝4，c ＝x ，C 为钝角，则x 的取值范围是( ) A ．x <5 B ．5<x <7 C ．1<x <5D ．1<x <7 解析：由已知条件可知x <3＋4且32＋42<x 2， ∴5<x <7. 答案：B4．在△ABC 中，已知AC ＝2，BC ＝3，cos A ＝－45.则sin B 的值为( )A ．1 B.35 C.12D.25解析：在△ABC 中，sin A ＝1－cos 2A ＝1－⎝⎛⎭⎫－452＝35. ∵BC sin A ＝ACsin B，∴sin B ＝AC BC ·sin A ＝23×35＝25.答案：D5．在△ABC 中，已知a ＝1，b ＝2，C ＝60°，则c 等于( ) A. 3 B ．3 C. 5D ．5解析：c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ， ∴c ＝ 3. 答案：A6．在△ABC 中，已知b 2＝ac 且c ＝2a ，则cos B 等于( ) A.14 B.34 C.24D.23 解析：b 2＝ac ，c ＝2a ，∴b 2＝2a 2，b ＝2a . ∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝34.答案：B7．在△ABC 中，根据下列条件解三角形，其中有两解的是( ) A ．b ＝10，∠A ＝45°，∠C ＝70° B ．a ＝30，b ＝25，∠A ＝150° C ．a ＝7，b ＝8，∠A ＝98° D ．a ＝14，b ＝16，∠A ＝45°解析：A 中已知两角与一边，有唯一解；B 中，a >b ，且∠A ＝150°，也有唯一解；C 中b >a ，且∠A ＝98°为钝角，故解不存在；D 中由于b ·sin 45°<a <b ，故有两解． 答案：D8．在△ABC 中，已知a ＝1，b ＝3，A ＝30°，B 为锐角，那么角A ，B ，C 的大小关系为( ) A ．A >B >C B ．B >A >C C ．C >B >AD ．C >A >B解析：由正弦定理得a sin 30°＝b sin B ，∴sin B ＝32，又∵B 为锐角，∴B ＝60°，∴C ＝90°，即C >B >A . 答案：C9．有一长为1 km 的斜坡，它的倾斜角为20°，现高不变，将倾斜角改为10°，则斜坡长为( ) A ．1 km B ．2sin 10° km C ．2cos 10° kmD ．cos 20° km解析：如图所示，∠ABC ＝20°，AB ＝1 km ，∠ADC ＝10°，∴∠ABD ＝160°.在△ABD 中，由正弦定理AD sin 160°＝AB sin 10°，∴AD ＝AB ·sin 160°sin 10°＝sin 20°sin 10°＝2cos 10°(km)． 答案：C10．在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A ，B ，C 所对的边，若a ＝2b cos C ，则此三角形一定是( )A ．等腰直角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰三角形或直角三角形解析：因为a ＝2b cos C ，所以由余弦定理得：a ＝2b ·a 2＋b 2－c 22ab ，整理得b 2＝c 2，则此三角形一定是等腰三角形． 答案：C11．在△ABC 中，三内角A ，B ，C 分别对应三边a ，b ，c ，tan C ＝43，c ＝8，则△ABC 外接圆的半径R 为( ) A ．10 B ．8 C ．6D ．5解析：由tan C ＝43>0且C ∈(0，π)，得C ∈⎝⎛⎭⎫0，π2.由同角三角函数的基本关系式，得cos C ＝11＋tan 2C ＝35，sin C ＝cos C tan C ＝45，由正弦定理，有2R ＝c sin C ＝845＝10，故外接圆半径为5，故选D. 答案：D12．设锐角△ABC 的三内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＝1，B ＝2A ，则b 的取值范围为( ) A ．(2，3) B ．(1，3) C ．(2，2)D ．(0,2)解析：由a sin A ＝b sin B ＝b sin 2A ，得b ＝2cos A .π2<A ＋B ＝3A <π，从而π6<A <π3.又2A <π2，所以A <π4，所以π6<A <π4，22<cos A <32，所以2<b < 3.答案：A二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中的横线上)13．在等腰△ABC 中，已知sin A ∶sin B ＝1∶2，底边BC ＝10，则△ABC 的周长是________． 解析：由正弦定理得BC ∶AC ＝sin A ∶sin B ＝1∶2. 又∵BC ＝10，∴AC ＝20，∴AB ＝AC ＝20. ∴△ABC 的周长是10＋20＋20＝50. 答案：5014．在△ABC 中，A ＝120°，AB ＝5，BC ＝7，则sin B sin C ＝________.解析：由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 即49＝b 2＋25＋5b ，解得b ＝3或b ＝－8(舍去)， 所以sin B sin C ＝b c ＝35.答案：3515．在△ABC 中，若S △ABC ＝123，ac ＝48，c －a ＝2，则b ＝________.解析：由S △ABC ＝12ac sin B 得sin B ＝32，∴B ＝60°或120°.由余弦定理得，b 2＝a 2＋c 2－2ac cosB ＝(a －c )2＋2ac －2ac cos B ＝22＋2×48－2×48cos B ，∴b 2＝52或148，即b ＝213或237. 答案：213或23716．△ABC 的三内角A ，B ，C 所对边分别是a ，b ，c ，设向量m ＝(a ＋b ，sin C )，n ＝(3a ＋c ，sin B －sin A )，若m ∥n ，则角B 的大小为________．解析：由m ∥n ，∴(a ＋b )(sin B －sin A )－sin C (3a ＋c )＝0，由正弦定理有(a ＋b ) (b －a )＝c (3a ＋c )，即a 2＋c 2－b 2＝－3ac ，再由余弦定理得cos B ＝－32，∵B ∈(0°，180°)，∴B ＝150°. 答案：150°三、解答题(本大题共有6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(12分)在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a ＝4，b ＝5，c ＝61.(1)求C 的大小； (2)求△ABC 的面积．解析：(1)依题意，由余弦定理得 cos C ＝42＋52－(61)22×4×5＝－12.∵0°<C <180°，∴C ＝120°.(2)S △ABC ＝12ab sin C ＝12×4×5×sin 120°＝12×4×5×32＝5 3.18．(12分)在△ABC 中，已知(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)·sin(A ＋B )，试判断△ABC 的形状． 解析：由题意可知a 2[sin(A ＋B )－sin(A －B )]＝b 2[sin(A －B )＋sin(A ＋B )]，即a 2·2sin B cos A ＝b 2·2sin A cos B.∵sin A sin B ≠0，∴2sin A cos A ＝2sin B cos B ，即sin 2A ＝sin 2B ， ∴A ＝B 或A ＋B ＝π2.∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形．19．(12分)在△ABC 中，a ，b ， c 分别为角A ，B ，C 的对边，a 2－(b －c )2＝bc ， (1)求角A ； (2)若bsin B＝c ＝2，求b 的值． 解析：(1)由a 2 －(b －c )2＝bc 得：a 2－b 2－c 2＝－bc ， ∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，又0＜A ＜π， ∴A ＝π3.(2)b sin B ＝c sin C ，∴sin C ＝1.∴C ＝π2， ∴B ＝π6.∵b sin B ＝c ＝2，∴b ＝2sin B ＝2sin π6＝1.20．(12分)△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，a sin A sin B ＋b cos 2A ＝2a . (1)求b a；(2)若c 2＝b 2＋3a 2，求B .解析：(1)由正弦定理得，sin 2A sin B ＋sin B cos 2A ＝2sin A ， 即sin B (sin 2A ＋cos 2A )＝2sin A . 故sin B ＝2sin A ，所以ba＝ 2.(2)由余弦定理和c 2＝b 2＋3a 2，得cos B ＝(1＋3)a2c .由(1)知b 2＝2a 2，故c 2＝(2＋3)a 2.可得cos 2B ＝12，又cos B >0，故cos B ＝22，所以B ＝45°.21．(13分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知cos 2C ＝－14.(1)求sin C 的值；(2)当a ＝2,2sin A ＝sin C 时，求b 及c 的长．解析：(1)因为cos 2C ＝1－2sin 2C ＝－14，及0<C <π，所以sin C ＝104.(2)当a ＝2,2sin A ＝sin C 时，由正弦定理a sin A ＝csin C ，得c ＝4.由cos 2C ＝2cos 2C －1＝－14，及0<C <π得cos C ＝±64.由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C . 得b 2±6b －12＝0，解得b ＝6或26，所以{ b ＝6，c ＝4.或{ b ＝26，c ＝4.22．(13分)在一个特定时段内，以点E 为中心的7海里以内海域被设为警戒水域，点E 正北55海里处有一个雷达观测站A .某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A 北偏东45°且与点A 相距402海里的位置B ，经过40分钟又测得该船已行驶到点A 北偏东45°＋θ⎝⎛⎭⎫其中sin θ＝2626，0°<θ<90°且与点A 相距1013海里的位置C .(1)求该船的行驶速度(单位：海里/小时)；(2)若该船不改变航行方向继续行驶，判断它是否会进入警戒水域，并说明理由. 解析：(1)如图所示，AB ＝402，AC ＝1013，∠BAC ＝θ，sin θ＝2626. 由于0°<θ<90°， 所以cos θ＝1－⎝⎛⎭⎫26262＝52626.由余弦定理得BC ＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos θ＝10 5. 所以船的行驶速度为1054060＝10523＝155(海里/小时)． (2)如图所示，以A 为原点建立平面直角坐标系，设点B 、C 的坐标分别是B (x 1，y 1)、C (x 2，y 2)，BC 与x 轴的交点为D ， 由题设有，x 1＝y 1＝22AB ＝40， x 2＝AC cos ∠CAD＝1013cos(45°－θ)＝30，y 2＝AC sin ∠CAD ＝1013sin(45°－θ)＝20. 所以过点B 、C 的直线l 的斜率 k ＝2010＝2， 直线l 的方程为y ＝2x －40. 又点E (0，－55)到直线l 的距离 d ＝|0＋55－40|1＋4＝35<7，所以船会进入警戒水域.。
奥数：最优化问题
第十四讲最优化问题我国著名大数学家华罗庚爷爷曾积极推广、普及的“统筹方法”和“优选法“华罗庚曾利用数学知识创造许多优化解决问题的方法。
我们所破到的最优化问题，是通过适当规划安排，在许多方案中，寻找一个最合理、最节约、最省事的方案。
典型例题•例1妈妈让小明给客人烧开水切茶，洗开水壶要用1分钟，烧开水要用15分钟，洗茶壶要用2分钟，洗茶杯要用1分钟，拿茶叶要用2分钟。
小明估算了一下，完成这些工作要花20分钟。
为了使客人早点和上茶，按你认为最合理的安排，多少分钟就能切茶了？先决条件。
这1分钟不能省，而洗茶壶、洗开水杯、拿茶叶等切茶的准备工作都可以放在烧开水的15分钟里完成。
解最省时间的安排是：纤细开水壶（用1分钟），按着烧开水（用15分钟），在等待水烧开的时间里，可以洗茶壶、洗茶杯、拿茶叶，水开了就切茶。
这样一共用了16分钟。
•例2在一条公路上，每隔100其千米有一个仓库，共有5个仓库，一号仓库存有10 吨货物，二号仓库存有20吨货物，五号仓库存有40吨货物，其余两仓库是空的。
现在想把所有的货集中存在同一仓库里，如果每吨货物运输1千米需0.5元运费，那么最少要花多少运费才行？分析要做到所花运费最少，必须综合考虑两个因素：（1）运走的货物尽可能少；（2）要运货物运输的路程将可能短。
如果考虑第一因素，就要将货物集中在五仓库；如果考虑第二因素，就要将货物集中在四仓库。
比较这两种情况，选择运费最少的一种。
将货物集中到五号仓库。
解0.5x（10x400+20x300）=5000 （元）• 例3 A、B两批发部分别有电视机70台与60台，甲乙丙三个商店分别需要电视机30 台、40台和50台。
从A、B两批发部每运一台电视到三个销售店的运费如表所示。
如何调运才能使运费最少？分析该题中供应量70+60=130台，需求量为30+40+50=120台。
供求量不等，供大于求。
由表可知，由差价可知，A尽量供应给乙，即A给乙40台。
最优化理论大作业
非线性规划的罚函数算法摘要：最优化理论和方法是一门十分活跃的学科，罚函数法是将约束问题无约束化的一种主要方法。
本文简要介绍了最优化问题的优化算法，主要介绍了非线性规划的罚函数算法的基本理论和相应的发展过程。
关键词：最优化理论；非线性规划；惩罚函数法1 前言最优化理论和方法的出现可以追溯到十分古老的极值问题，然而，它成为一门独立的学科还是在上世纪40年代末．Dantzing在1947年提出求解一般线性规划问题的单纯形算法之后，随着工业革命、信息革命的不断深化，以及计算机技术的巨大发展，至今短短的几十年，它得到了迅猛的发展．现在，解线性规划、非线性规划以及随机规划、非光滑规划、多目标规划、几何规划、整数规划等各种最优化问题的理论研究发展迅速，新方法不断涌现，在经济、军事、科学技术等方面得到了广泛的应用，成为一门十分活跃的学科．约束非线性规划问题广泛见于工程、国防、经济等许多重要领域．求解约束非线性规划问题的主要方法之一是把它化成无约束非线性规划问题，而罚函数方法和拉格朗日对偶方法是将约束规划问题无约束化的两种主要方法．罚函数方法通过求解一个或多个罚问题来得到约束规划问题的解，如果当罚参数充分大时，求单个罚问题的极小点是原约束规划问题的极小点，则称此罚问题中的罚函数为精确罚函数，否则称为序列罚函数．针对传统罚函数的定义而言，若罚函数是简单的、光滑的，则它一定是不精确的；若罚函数是简单的、精确的，则它一定是不光滑的；若罚函数是精确的、光滑的，则它一定是复杂的．因此我们的工作是对传统罚函数进行了改造，主要是引入了指数型罚函数和对数型罚函数，并在改造后的罚函数中增添了乘子参数，使之成为既是简单的、光滑的，又是精确的结果．我们把这类罚函数称为简单光滑乘子精确罚函数．所谓简单的，即罚函数中包含原问题中的目标函数和约束函数而不包含它们的梯度，若罚函数中包含有原问题中目标函数和约束函数的梯度，则称为是复杂的．2求解最优化问题的介绍和方法分类2.1最优化问题及分类优化技术是一种以数学为基础的，用于求解各种工程问题优化解的应用技术，作为一个重要的科学分支一直受到人们的广泛注视，并在诸多工程领域得到迅速的推广和应用，如系统控制、人工智能、模式识别、生产调度、计算机工程等等。
最优化方法习题答案
习题一1.1利用图解法求下列线性规划问题： （1）21x x z max +=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤+≥+0x ,x 5x 2x 2x x 3.t .s 212121 解：根据条件，可行域为下面图形中的阴影部分，，有图形可知，原问题在A 点取得最优值，最优值z=5（2）21x 6x z min -=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤+-≤+0x ,x 7x x 1x x 2.t .s 212121 解：图中阴影部分表示可行域，由图可知原问题在点A 处取得最优值，最优值z=-6.（3）21x 2x 3z max +=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-≥-≤+-0x ,x 4x 2x 1x x .t .s 212121 解：如图所示，可行域为图中阴影部分，易得原线性规划问题为无界解。
（4）21x 5x 2z min -=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤+≥+0x ,x 2x x 6x 2x .t .s 212121 解：由图可知该线性规划可行域为空，则原问题无可行解。
1.2 对下列线性规划问题，找出所有的基解，基可行解，并求出最优解和最优值。
（1）4321x 6x 3x 2x 5z min -+-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥=+++=+++0x ,x ,x ,x 3x 2x x x 27x 4x 3x 2x .t .s 432143214321 解：易知1x 的系数列向量⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21p 1，2x 的系数列向量⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=12p 2，3x 的系数列向量⎪⎪⎭⎫⎝⎛=13p 3，4x 的系数列向量⎪⎪⎭⎫⎝⎛=24p 4。
①因为21p ,p 线性无关，故有⎪⎩⎪⎨⎧--=+--=+43214321x 2x 3x x 2x 4x 37x 2x ，令非基变量为0x x 43==，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=311x 31x 21，所以得到一个基解)0,0,311,31(x )1(-=是非基可行解； ②因为31p ,p 线性无关，可得基解)0,511,0,52(x)2(=，543z 2=；③因为41p ,p 线性无关，可得基解611,0,0,31(x )3(-=，是非基可行解；④因为32p ,p 线性无关，可得基解)0,1,2,0(x )4(=，1z 4-=；⑤因为42p ,p 线性相关，42x ,x 不能构成基变量； ⑥因为43p ,p 线性无关，可得基解)1,1,0,0(x )6(=，3z 6-=；所以)6()4()2(x ,x ,x是原问题的基可行解，)6(x 是最优解，最优值是3z -=。
第一讲最优化问题
第一讲：最优化问题例题：用一只平底锅煎鸡蛋，每次只能放两个，煎一个需要2分钟（规定正反面各需要1分钟）。
问煎三个至少需要多少分钟？【思路导航】先将两个鸡蛋同时放入锅中一起煎，1分钟后两个都熟了一面，这时可将一个取出，另一个翻过去。
再放入第三个，又煎了1分钟，将两面都煎好的那个取出，把第三个翻过去。
再将第一个放入，再煎1分钟就全部都好了。
所以，煎三个至少需要3分钟。
【练习题：】1、用一只平底锅做煎饼，每次能同时放两块饼，如果煎一块饼需要4分钟（正反两面各需2分钟），问煎2004块饼至少需要几分钟？2、家里来了客人，妈妈要给客人沏茶，洗水壶要一分钟，烧开水要10分钟，洗茶杯要2分钟，取茶叶要1分钟，泡茶要2分钟。
为了让客人早点喝到茶，你来设计，如何安排所需时间最少？3、老师分别要和甲、乙、丙三个人谈话，和甲谈要8分钟，和乙要谈5分钟，和丙要谈6分钟。
甲、乙、丙三位同学同时到办公室，老师应该如何安排和他们谈话的次序，使他们三人所花的总时间最少？总时间是多少分钟？4、用34厘米的钢丝围成一个长方形，长和宽的长度都是整厘米数，围成的长方形的面积最大是多,j hbtyy 6少？第二讲：巧妙求和【知识讲解】若干个数排成一列，称为数列。
数列中的每一个数称为一项，其中第一项称为首项，最后一项称为末项。
数列中的个数称为项数。
从第二项开始，后项与其相邻的前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项的差称为公差。
我们需要记住三个公式：通项公式：第N项=首项+（项数—1）×公差项数公式：项数=（末项—首项）÷公差+1求和公式：总和=（首项+末项）×项数÷2【练习题】1、有一个数列4、10、16、……52，这个数列共有多少项呢？（提示：项数公式：项数=（末项—首项）÷公差+1）2、有一个等差数列3，7，11，15，……，这个等差数列的第100项是多少？提示：第N项=首项+（项数—1）×公差3、有这样的一个数列1，2，3，4，……，99，100，请你求出这数列各项相加的和。
最优化习题
最优化方法部分课后习题解答习题一1.一直优化问题的数学模型为：22121122123142min ()(3)(4)5()02()50..()0()0f x x xg x x x g x x x s t g x x g x x =−+−⎧=−−≥⎪⎪⎪=−−+≥⎨⎪=≥⎪=≥⎪⎩试用图解法求出：（1）无约束最优点，并求出最优值。
（2）约束最优点，并求出其最优值。
（3）如果加一个等式约束，其约束最优解是什么？12()0h x x x =−=解：（1）在无约束条件下，的可行域在整个平面上，不难看出，当=（3，4）()f x 120x x *x 时，取最小值，即，最优点为=（3，4）：且最优值为：=0()f x *x *()f x （2）在约束条件下，的可行域为图中阴影部分所示，此时，求该问题的最优点就是()f x 在约束集合即可行域中找一点，使其落在半径最小的同心圆上，显然，从图示中可12(,)x x 以看出，当时，所在的圆的半径最小。
*155(,)44x =()f x 其中：点为和的交点，令求解得到：1()g x 2()g x 1122125()02()50g x x x g x x x ⎧=−−=⎪⎨⎪=−−+=⎩1215454x x ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩即最优点为：最优值为：=*155(,)44x =*()f x 658（3）.若增加一个等式约束，则由图可知，可行域为空集，即此时最优解不存在。
2.一个矩形无盖油箱的外部总面积限定为S，怎样设计可使油箱的容量最大？试列出这个优化问题的数学模型，并回答这属于几维的优化问题.解：列出这个优化问题的数学模型为：该优化问题属于三维的优化问题。
123122313123max ()220..00f x x x x x x x x x x S x s t x x =++≤⎧⎪>⎪⎨>⎪⎪>⎩32123sx y z v⎛⎞=====⎜⎟⎝⎠习题二3.计算一般二次函数的梯度。
最优化习题集
1 •已知优化问题的数学模型为2 2min f (X)=(为-3) (x 2 -4),5 g^X)=为—X 2 -一 >0, 2s. t. * g 2 (x) = -X i - X 2 + 5 A 0,g 3(X) =Xi 亠0, g 4(X) =X 2 =0・试用图解法求出：(1) 无约束最优点，并求出其最优值； (2) 约束最优点，并求出其最优值；(3) 如加上一个等式约束 h(X) =X i -X 2 =0，其约束最优解是什么？ 2 •当一个矩形无盖油箱的外部总面积限定为 S ,怎样设计可使油箱的容量最大?试列出这个优化问题的数学模型，并回答： (1) 属于几维的优化问题？ (2) 是线性规划还是非线规划问题？ 3. 用图解法求例1.3的最优解.1. 用矩阵符号表示下列二次型：2 2 2(1) f (X 1, X 2, X 3) =X 1 4X 1X 2 4X 2 2X 1X 3 X 3 4X 2X 3 ；2. 判别下列二次型是否正定：2 2 2 2(1) f (X 1,X 2, X 3, X 4)=疋3x 2 9x 3 19x 4 - 2x 1 X 2 4x 1 X 31f (X) = —X T AX +b T X +c3.计算一般二次函数 2 的梯度.22T T4. 计算二元函数f (X) =X 1 -X 1X 2 *5x 1 -6在点X 0 =[1,1]处沿方向I = [T, 2]的所(X)方向导数 日 X%和沿梯度方向新(X )g 0=£f (X0)的方向导数cg0 XX .5. 求下列函数的梯度和 Hesse 矩阵： (1) f(X)=x ； 2x ； 3x| -4X 1X 3 . (2)f(X) -3x 1x | e X1X2 .'6. 判断下列函数是凸函数、凹函数，还是既不凸也不凹: (1) f (X 1,X 2)- -X 2 2x ； 3X 1X 2 ；(2) f (X 1,X 2, X 3) = X ；X ； 「7x 1「2^X 2「4^X 3「4X 2X 3 (2)-6X 2X 4 - 12X 3X 4 2X 1X 4;222f (x 1, x 2, x 3) = 5x 1 x 2 5X 3 4X 1X ^8X 1X 3-4X 2X 3(1)max f (X) = 10x i 5x 2,3x 4x 2 - 9, s.t 祐为+2x 2兰8,X1， x 2 - 0,(2) max f (X) = 2x 「5x 2,人辽4,2x 2 < 12, 3x-| 2x 2 二 18, x 1, X 2 - 0.3•分别用单纯形法中的大 M 法和两阶段法求解下列线性规划问题:2 2(2) f (x 1, x 2 2x 1 - 4% x 2 3x 2 -5x 1 - 6 ； (3) f X, x 2, x 3) = x ； 2xf - 3x f - 4x 1x 2 7.设约束优化问题的数学模型为2 2min f (Xx 1 4x 1 x 2 - 4x 2 10,Q(X) =% _X 2 +2^0,2 2g 2 (X)二-x 〔 - x ? - 2 x 〔 ■' 2 X 2 —0* X 二［-1,1］T是否为最优点. S ・t ・丿试用K -T 条件判别点&设约束优化问题它的当前迭代点为 X k min f (X)二(％ -2)2 xf, gdX) = -% 兰 0, s.t, g 2(X)=-花兰0,g 3(X) = —1 + x ； +X 2 兰0. T 二［1, 0］，试用K -T 条件判定它是不是约束最优解. 习题二1.对下列线性规划问题找出所有基解，指出哪些是基可行解，并确定最优解. (1) max f (X) =3x x 2 2沧, 12x 1 3x 2 6X 3 3x 4 =9, 8x 1 x 2 —4x 3 2x 5 =10, s ，H 3x 1 * =0, i 为 A 0 (j =1,2, (6)(2) m in f (X) =5x 1「2屜 3x 3 2x 4,x i +2冷 +3x 3 +4& =7, s.t 2x 「2x 2 x 3 2x 4 =3,X j ^0(j =1,2,3,4〉2 •用单纯形法求解下列线性规划问题:(1)min f (X) =5%「2X 2 3X 3「6心x 2x 2 3% 4x 4 = 7, s.t < 2^ +x 2 +x 3 +2x 4 =3,为,X 2，X 3, X 4 _ 0;(3 ) m cfxX (二)X j 1 0 x 2 1 5x ,35x 13< 2 x 正 9「5x 「& 2 1 拓臣2x 1 x 2 x 3二5, x-|, x 2 x 3- 0.4.某糖果厂用原料 A 、B 、C 加工成三种不同牌号的糖果甲、乙、丙，已知各种牌号 糖果中A 、B 、C 含量，原料成本，各种原料的每月限制用量，三种牌号糖果的单位加工费 及售价如下表所示.问该厂每月应生产这三种牌号糖果各多少千克， 使该厂获利最大？试建7. 已知线性规划问题max f （X ） = 2%「x 2X 1 X 2 X 3 乞 6, s.t 二一为 2x 2 乞 4,N, X 2, X 3 —0,先用单纯形法求出最优解，再分别就下列情况进行分析：⑵min f (X) = 4x 1 X 2,'+ x 2 = 3,4x*i + 3x 2 — X 3 — 6, s.t 彳 x 1 2x 2 = 4,X 1, X 2, X 3, X 4_0；s.t.5•写出下列线性规划问题的对偶问题：(1)min f (X) =2x 1 2x 2 4x 3,‘2% +3x 2 十5冷 M2,3x 1 X 2 7x 3 -3, x ( 4x 2 6X 3 乞 5, X 1, X 2, X 3 — 0;6•用对偶单纯形法求解下列线性规划问题:(1)min f (X) =4为 12x 218x 3,X 1 3x 3 - 3, s.t « 2x 2 +2x 3 色5,为 X 2, X 3 工0;=m xa x 1 + 2x + 2< =2 , —X 1 +5x 4x 1 +7x 台无约束， -X 2 二3, 3x 辽 8,x > 02 x3 < 0.⑵ min f (X3x-| 2x 2 x 3 4x 4,2x 1 4x 2 5x 3 X 4 亠 0,3为—x 2 + 7x 3 - 2x 4 K 2,s.t.15捲 + 2 x 2 + x 3 + 6X 4 H 15,X 1, X 2, X 3, X 4 - 0.X3,（1） 目标函数中变量 X 1, X 2, X 3的系数分别在什么范围内变化，问题的最优解不变; (2)两个约束条件的右端项分别在什么范围内变化，问题的最优解不变.习题四1•用加步探索法确定一维最优化问题3min '(t) =t -2t 1t 0 的搜索区间，要求选取 t o =0, h o 二1，=2.2. 用对分法求解min ®(t) =t(t -3), 已知初始单谷区间［a,b ］二［-3,5］，按精度；=0.1计算.3. 用Newton 法求解mi n®(t) =t 3 —2t+1 ,用第1题求得的区间，按精度• < -0.01计算.4. 用黄金分割法求解min (t) =t(t 2), 已知初始单谷区间［a ,b ］二［-3,5］，按精度，=0.001计算.5. 用抛物线插值法求解min f (x) =8x 3 -2x 2 -7x 3 , 已知初始单谷区间［a ,b ］二［°,2］, ； = 0.001 .习题五.22T1.用最速下降法求解min f (X)=儿*25x 2, X 0 =[2,2] , = 0.01 .2. 用Newton 法求解min f (X) =60仲"x ? x ； £ -牡，初始点X 0 =[0,0]T , ； =0.01 .223.用修正 Newton 法求解min f (X)=4* 1)2区 -1)x 1x 210，初始点 x 0=[0,0]T, ；： =0.01 .4. 用共轭梯度法求解得min(x 2 4x 2)取初始点X 。
最优化方法试卷及答案5套
《最优化方法》1一、填空题：1．最优化问题的数学模型一般为：____________________________，其中___________称为目标函数，___________称为约束函数，可行域D 可以表示为_____________________________，若______________________________，称*x 为问题的局部最优解，若_____________________________________，称*x 为问题的全局最优解。
2．设f(x)= 212121522x x x x x +-+，则其梯度为___________，海色矩阵___________,令,)0,1(,)2,1(T T d x ==则f(x)在x 处沿方向d 的一阶方向导数为___________，几何意义为___________________________________,二阶方向导数为___________________，几何意义为____________________________________________________________。
3．设严格凸二次规划形式为：012..222)(min 2121212221≥≥≤+--+=x x x x t s x x x x x f则其对偶规划为___________________________________________。
4．求解无约束最优化问题：n R x x f ∈),(min ，设k x 是不满足最优性条件的第k 步迭代点，则：用最速下降法求解时，搜索方向k d =___________ 用Newton 法求解时，搜索方向k d =___________ 用共轭梯度法求解时，搜索方向k d =___________________________________________________________________________。
四年级最优化问题
辅导讲义
教学内容
一、能力培养
1、知识要点
在日常生活和生产中，我们经常会遇到下面的问题：完成一件事情，怎样合理安排才能做到用的时间最少，效果最佳。
这类问题在数学中称为统筹问题。
我们还会遇到“费用最省”、“面积最大”、“损耗最小”等等问题，这些问题往往可以从极端情况去探讨它的最大(小)值，这类问题在数学中称为极值问题。
以上的问题实际上都是“最优化问题”。
2、精讲精练
例1：用一只平底锅煎饼，每次只能放两个，剪一个饼需要2分钟(规定正反面各需要1分钟)。
问煎3个饼至少需要多少分钟?
【思路导航】先将两个饼同时放入锅中一起煎，一分钟后两个饼都熟了一面，这时可将一个取出，另一个翻过去，再放入第三个。
又煎了一分钟，将两面都熟的那个取出，把第三个翻过去，再将第一个放入煎，再煎一分钟就会全部煎好。
所以，煎3个饼至少需要3分钟。
练习1：
1、烤面包时，第一面需要2分钟，第二面只要烤1分钟，即烤一片面包需要3分钟。
小丽用来烤面包的架子，一次只能放两片面包，她每天早上吃3片面包，至少要烤多少分钟?
2、用一只平底锅烙大饼，锅里只能同时放两个。
烙熟大饼的一面需要3分钟，现在要烙3个大饼，最少要用几分钟?。
六年级下册数学试题-2019年小升初数学专题分类：最优化问题(含答案)
2019年小升初数学专题分类：最优化问题应用题1.新华书店“十﹒一”黄金周期间举办了“买3送1”的优惠活动（仅限同一种图书）．王老师挑选了一种故事书，每册16元．176元钱最多可以买几册这种故事书？2.一只平底锅上只能煎两条鱼，用它煎一条鱼需要4分钟．（正反面各2分钟），那么，煎三条鱼至少需要几分钟？如何煎4条需要几分钟？3.双休日，车间内有5台机器同时出了故障，从第一台到第五台的修复时间依次为15、8、29、7、10分钟。
每台机器停产1分钟都将造成5元钱的损失。
如何安排修复顺序，使经济损失最少。
最少损失多少元？4.为了学生的卫生安全，学校给每个学生配一个水杯，每只水杯3元，美好家园打九折。
学校想买180只水杯，请你当“参谋”，算一算：到哪家购买较合算？请写出你的理由。
5.泰州地区进入高温以来，空调销售火爆，下面是两商场的促销信息：文峰大世界：满500元送80元．五星电器：打八五折销售．“新科”空调两商场的挂牌价均为每台2000元；“格力”空调两商场的挂牌价均为每台2470元．问题：如果你去买空调，在通过计算比较一下，买哪种品牌的空调到哪家商场比较合算？6.红红陪妈妈到超市买鲜橙汁，看到同一种鲜橙汁在三个超市有不同的促销策略：甲超市：每瓶12元，买四送一乙超市：每瓶12元，八五折丙超市：每瓶12元，满50元返10元红红家想买5瓶鲜橙汁，去哪个超市买合算？7.（2015•淮安）某专卖店5月1日举行促销优惠活动，当天到该专卖店购买商品有两种方案：方案一：用168元购买会员卡成为会员后，凭会员卡购买商店内任意商品，一律按商品价格的八折优惠；方案二：若不购买会员卡，则购买商店内任何商品，一律按商品价格的九五折优惠．已知小芳5月1日前不是该商店的会员．（1）若小芳不购买会员卡，购买一件商品时付了380元．她购买这件商品优惠多少元？（2）请你帮小芳算一算，当购买商品超过多少元时，采用方案一更合算？8.朝阳希望小学组织230人参加武汉“1+8”城市圈科教游活动，需要租车．现在有以下两种车型可供租用．怎样租车最省钱，租金是多少？9.有一批货物，若干个装卸工一起干活，需要10小时完成．现在只有1个人干活，然后每t小时增加一个人（t为整数）．已知最后一个增加的人干活时间是第一个人的．（1）按照新方法装卸需要多少时间？（2）有多少装卸工？10.莲花小学要买60个足球，现在有甲、乙、丙三个商店可以选择，三个商店足球价格都是25元一个，为了促销，三个商店都推出优惠办法．甲店：买10送2，不足10个不送．乙店：每个足球优惠4元．丙店：满200元、返还现金40元．希望小学应到哪个商店购买合算？说明理由．11.有两个孩子划一只小船，这时岸上来了一队解放军叔叔，他们要从河的左岸去右岸，但这只小船只能载一个大人或者两个小孩。
高中数学人教A版必修五优化练习：第一章 1.2 第3课时 几何计算问题 Word版含解析
[课时作业] [A 组 基础巩固]1．在△ABC 中，A ＝60°，b ＝1，其面积为3，则asin A 等于( )A.2393B.2293C.2633D ．3 3解析：由S △ABC ＝12bc sin A ＝3可知c ＝4.由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝1＋16－8cos60°＝13，所以a ＝13.所以a sin A ＝13sin 60°＝2393. 答案：A2．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若c ＝2，b ＝6，B ＝120°，则△ABC 的面积等于( ) A.62 B ．1 C.32D.22解析：由正弦定理得6sin 120°＝2sin C ，∴sin C ＝12，∴C ＝30°或150°(舍去)． ∵B ＝120°，∴A ＝30°，∴S △ABC ＝12bc sin A ＝12×6×2×sin 30°＝32.答案：C3．△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，若S △ABC ＝14(b 2＋c 2－a 2)，则角A 的大小为( ) A.π6 B.π4 C.3π4D.5π6解析：∵S ＝12bc sin A ＝14(b 2＋c 2－a 2)，∴sin A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝cos A ，又∵A ∈(0，π)，∴A ＝π4.答案：B4．在锐角△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，3a ＝2c sin A ，c ＝7，且a ＋b ＝5，则△ABC 的面积为( ) A.332B.92C.532D.72解析：由3a ＝2c sin A 及正弦定理得a c ＝2sin A 3＝sin Asin C ，∵sin A ≠0，∴sin C ＝32，故在锐角△ABC 中，C ＝π3. 再由a ＋b ＝5及余弦定理可得7＝a 2＋b 2－2ab cos π3＝a 2＋b 2－ab ＝(a ＋b )2－3ab ＝25－3ab ，解得ab ＝6，故△ABC 的面积为12ab ·sin C ＝332.答案：A5．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且3a cos C ＝4c sin A ，若△ABC 的面积S ＝10，b ＝4，则a 的值为( ) A.233 B.253 C.263D.283解析：由3a cos C ＝4c sin A ，得a sin A ＝4c 3cos C .又由正弦定理a sin A ＝c sin C ，得c sin C ＝4c3cos C ，∴tan C ＝34，∴sin C ＝35.又S ＝12bc sin A ＝10，b ＝4，∴c sin A ＝5.根据正弦定理，得a ＝c sin Asin C ＝535＝253，故选B. 答案：B6．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且b ＝3，c ＝2，△ABC 的面积为2，则sin A ＝________.解析：∵S △ABC ＝12bc sin A ，∴sin A ＝2S △ABC bc ＝223×2＝23.答案：237．若△ABC 的面积为3，BC ＝2，C ＝60°，则边AB 的长度等于________．解析：在△ABC 中，由面积公式，得S ＝12BC ·AC ·sin C ＝32AC ＝3，∴AC ＝2，∴△ABC为等边三角形，∴AB ＝2.答案：28．锐角△ABC 的面积为33，BC ＝4，CA ＝3，则AB ＝________. 解析：由三角形面积公式得12×3×4·sin C ＝33，sin C ＝32.又∵△ABC 为锐角三角形，∴C ＝60°.根据余弦定理AB 2＝16＋9－2×4×3×12＝13.AB ＝13.答案：139．已知△ABC 中，B ＝30°，AB ＝23，AC ＝2，求△ABC 的面积． 解析：由正弦定理，得sin C ＝AB sin B AC ＝23sin 30°2＝32.∵AB >AC ，∴C ＝60°或C ＝120°.当C ＝60°时，A ＝90°，S △ABC ＝12AB ·AC ＝23；当C ＝120°时，A ＝30°，S △ABC ＝12AB ·AC sin A ＝ 3.故△ABC 的面积为23或 3.10．已知△ABC 的三个内角A 、B 、C 满足2B ＝A ＋C ，且AB ＝1，BC ＝4，求边BC 上的中线AD 的长． 解析：∵2B ＝A ＋C ， ∴A ＋B ＋C ＝3B ＝180°，∴B ＝60°，∵BC ＝4，D 为BC 中点，∴BD ＝2， 在△ABD 中，由余弦定理知： AD 2＝AB 2＋BD 2－2AB ·BD ·cos B ＝12＋22－2×1×2·cos 60° ＝3， ∴AD ＝ 3.[B 组 能力提升]1．如图，四边形ABCD 中，B ＝C ＝120°，AB ＝4，BC ＝CD ＝2，则该四边形的面积等于( )A. 3B ．5 3C ．6 3D ．7 3解析：连接BD (图略)，在△BCD 中，由已知条件，知∠DBC ＝180°－120°2＝30°，∴∠ABD＝90°.在△BCD 中，由余弦定理BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD cos C ，知BD 2＝22＋22－2×2×2cos 120°＝12，∴BD ＝23，∴S 四边形ABCD ＝S △ABD ＋S △BCD ＝12×4×23＋12×2×2×sin120°＝5 3. 答案：B2．已知△ABC 中，a 比b 大2，b 比c 大2，且最大角的正弦值为32，则△ABC 的面积为( ) A.1534B.154C.2134D.932解析：由题目条件，知a ＝c ＋4，b ＝c ＋2，故角A 为△ABC 中的最大角，即sin A ＝32，解得A ＝60°(舍去)或A ＝120°.由余弦定理，得cos A ＝cos 120°＝c 2＋(c ＋2)2－(c ＋4)22c (c ＋2)＝－12，解得c ＝3，所以b ＝5，所以S △ABC ＝12bc sin A ＝1534.答案：A3．(2015·高考天津卷)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为315，b －c ＝2，cos A ＝－14，则a 的值为________．解析：因为0<A <π，所以sin A ＝1－cos 2A ＝154， 又S △ABC ＝12bc sin A ＝158bc ＝315，∴bc ＝24，解方程组{ b －c ＝2bc ＝24得b ＝6，c ＝4，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝62＋42－2×6×4×⎝⎛⎭⎫－14＝64，所以a ＝8. 答案：84．在△ABC 中，若a ＝2，B ＝60°，b ＝7，则BC 边上的高等于________． 解析：由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos 60°， 即7＝4＋c 2－2×2c ×12，整理得c 2－2c －3＝0，解得c ＝3.所以BC 边上的高为c sin B ＝3×sin 60°＝332.答案：3325．(2016·高考全国Ⅰ卷)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos C (a cos B ＋b cos A )＝c . (1)求C ；(2)若c ＝7，△ABC 的面积为332，求△ABC 的周长． 解析：(1)由已知及正弦定理得， 2cos C (sin A cos B ＋sin B cos A )＝sin C ，即2cos C sin(A ＋B )＝sin C ．故2sin C cos C ＝sin C ， 可得cos C ＝12，所以C ＝π3.(2)由已知得，12ab sin C ＝332.又C ＝π3，所以ab ＝6.由已知及余弦定理得，a 2＋b 2－2ab cos C ＝7， 故a 2＋b 2＝13，从而(a ＋b )2＝25，所以a ＋b ＝5. 所以△ABC 的周长为5＋7.6．已知圆内接四边形ABCD 的边长分别为AB ＝2，BC ＝6，CD ＝DA ＝4，求四边形ABCD 的面积．解析：如图，连接BD ，则四边形ABCD 的面积 S ＝S △ABD ＋S △BCD＝12AB ·AD sin A ＋12BC ·CD sin C .∵A ＋C ＝180°， ∴sin A ＝sin C .∴S ＝12(AB ·AD ＋BC ·CD )·sin A＝12(2×4＋6×4)sin A ＝16sin A . 在△ABD 中，由余弦定理， BD 2＝AB 2＋AD 2－2AB ·AD cos A＝22＋42－2×2×4cos A ＝20－16cos A . 在△BCD 中，由余弦定理， BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD cos C ＝62＋42－2×6×4cos C ＝52－48cos C . ∴20－16cos A ＝52－48cos C . ∵A ＋C ＝180°， ∴cos A ＝－cos C ， ∴64cos A ＝－32， ∴cos A ＝－12，∴A ＝120°.∴S ＝16sin 120°＝8 3.。