理解切线长的概念掌握切线长定理并运用它

理解切线长的概念－掌握切线长定理－并运用它
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第十八讲
知识要点：
１、理解切线长的概念，掌握切线长定理,并运用它解决有关问题；
2、理解弦切角的定义，掌握弦切角定理及其推论,并运用它解决有关角的问题;
3、掌握圆的相交弦定理及推论，能进行有关计算、证明,会作两条线段的比例中项；
4、掌握切割线定理及其推论,并会利用它进行有关的计算和证明；
难题解疑：
例题1：⊙Ｏ是△ABC 的内切圆，D 、Ｅ、F 为切点，AB ＝12c ｍ，BC ＝14cm,CA=１8c ｍ,求A Ｅ、B Ｆ、CD 的长;
例题２：ＰA 、P Ｂ切⊙O 于点A 、Ｂ，ＣＤ切⊙Ｏ于点Q,交ＰA 、
PB 于点C 、D,求证：(1)△P ＣD 的周长=2ＰA ；
(2）∠COD ＝90°－21∠P ；
例题3:△ABC 是⊙O 的内接三角形,B Ｔ为⊙Ｏ的切线，B 为切点,P 为直线AB 上一点,过P 作BC 的平行线交直线BT 于点E ，交线段AC 于点F ，
(1）如图（１)，当点P 在线段AB 上时,求证:PA ·PB ＝PE ·PF ；
（2)如图（2）,当点P 在线段BA 延长线时,第（1）题的结论还成立吗？如果成立,请证明；如果不成立，请说明理由;
例题4：从不在⊙O上的一点A作⊙O的割线,交⊙O于B、Ｃ,且ＡB·ＡC=６4，ＯA=10,求⊙Ｏ的半径;
例题5：小张、小李、小王三位同学解下列作图题:“已知线段ａ、ｂ,求作线段x,使
2=”，他们所作的图形如下:
“ab
x2
他们作图的方法：
A．小张正确,小李、小王都不正确B．小王正确，小张、小李都不正确
C．小张、小李都正确,小王不正确 D.小张、小李、小王都正确
例题6:如图,PQ切⊙Ｏ于点Q，PAB、ＰCD是⊙O的两条割线，连结AＣ、ＡＤ，且∠Ｐ
2
AC=∠ＢＡD，求证：AD
=
-2
PQ⋅
PA
AC
例题7：已知ＡＤ是⊙O的直径,AB是⊙O的切线,割线BＭN交AD的延长线于C,且BM=ＭN＝ＮC，若AB＝２，求（１）BＣ；(2)半径r;
基础训练：
1、如图,在△ABC 中,AB ＝18ｃｍ,BC=1６cm ，ＡC=2２ cm,⊙O 为△ＡＢC 的内切圆,切点分别为D 、E 、F,M 为⊙O 上一点，过点M 作⊙O 的切线PN 分别交A Ｂ、AC 于P 、N ，则△AP Ｎ的周长是 ;
2、如图，半圆O 的直径在梯形ABCD 的底边AB 上，且与其余三边B Ｃ、ＣＤ、ＤA 相切,若ＢC=2，DA=3，则AB 的长为 ;
3、如图，半圆与两直角边相切,且圆心Ｏ在直角三角形A ＢC 的斜边AB 上，若直角三角形面积为Ｓ，斜边长为c ，则半圆的半径r ＝ ；
4、已知PA 切⊙O 于点A,割线ＰＢC 与⊙O 相交于点B 、C ，PA －P Ｂ=ＢＣ-PA=10cm ，则P Ａ= cm;
5、如图，A Ｂ是半圆O 的直径，ＡC 是弦,Ｄ是ＣＢ弧的中点，过点D 的切线与AC 的延长线相交于点P ，若PA=9,P Ｄ=6，则⊙Ｏ的半径为 ；
６、如图,AB 是半圆O 的直径，C 是半圆上一点，过点A 、C 的切线相交于点P ，PB 交半圆于E,若∠AP Ｃ=60°,AB=２,则BE= ；
7、如图，P Ａ和⊙O 相切于点A ，割线P ＢC 与⊙O 相交于
点B 、C ，弦ＡD 与BC 相交于点Ｅ，若PB ＝ＢE=2，AE ＝
3,ＥD ＝4，则PA 的长为（ ）
A ．４ Ｂ．52 C ．62 D ．33
8、如图，在△ABC 中,∠C=90°，点Ｏ在A Ｃ上，以Ｏ为
圆心，OC 为半径的⊙Ｏ与O Ａ相交于点Ｅ,与A Ｂ相切于点
D,若AD=３AE ，则2
tan B 的值等于( ） A ．31 Ｂ.32 Ｃ．2
1 D.33 ９、如图,在△ABC 中，∠C=９0°，半圆直径MN 在ＡＢ上,分别切AC 、B Ｃ于D 、E,若AC=6，ＢC ＝８,则ＡM+BN 值为( ）
Ａ．722 Ｂ.8 C.１4 D ．10 1０、如图，PA 切⊙O 于点A,PO 交⊙Ｏ于点B ，若PA=６，PB=４,则⊙O 的半径为( ) A.
45 B ．２ Ｃ.2
5 D.5 １1、如图，A Ｂ、ＡC 分别是⊙O 的直径和弦，D 为劣弧A Ｃ上
一点，D Ｅ⊥AB 于点H,交⊙Ｏ于点E ，交A Ｃ于点Ｆ，Ｐ为ED
的延长线上一点，
（１)当△P ＣF 满足什么条件时,PC 与⊙O 相切，为什么? （2)当点D 在劣弧AC 的什么位置时,才能使2AD ＝DE ·ＤF 。

为什么？
12、如图，BC 是半圆的直径，Ｏ是圆心，P 是BC 延长线上一点,ＰＡ切半圆于点Ａ，A Ｄ⊥BC 于点Ｄ，
（１）若∠B=３0°,问：AB 与A Ｐ是否相等？请说明理由；
（２）求证:PD ·PO=ＰＣ·PB ；
(3）若B Ｄ：D Ｃ=4:１，且ＢC=１0,求ＰC 的长；
1３、如图，PA 切⊙Ｏ于A ，ＰBC 是⊙Ｏ的割线，弦DB ∥AP ，PD 交⊙O 于E,ＣE 交P Ａ于Ｆ。

(1)求证:PF=ＡF ；
(2）如果A 、Ｆ、P 不在同一条直线上，如图２，AF 仍为⊙O 的切线，PF 仍平行于BD,那么上述结论成立吗?
(3）在第（１）问中，连结ＡＣ，如果A Ｃ⊥ＡP,且ＰB=BC,其他条件不变，如图3,连结BF ，设AC 、BD 相交于H ，你能猜想四边形AHB Ｆ是什么样的特殊四边形吗?证明你的猜想；
14、如图,以R ｔ△ABC 的直角边ＡB 为直径作⊙O,与斜边AC 交
于点D ，过点D 作⊙O 的切线交B Ｃ边于点Ｅ,
（1）求证：EB ＝E Ｃ＝E Ｄ；
（2）若DE ∥AB,连结AE ，求ｓin ∠A ＥO 的值；
本期参考答案:1、24cm ；２、5;3、242c S c -+;4、2０ cm ；5、6.5;6、7
74；7、Ｂ;8、A;9、A ；10、C;１1、(1）P Ｃ＝ＰF ；（２）D 为劣弧AC 的中点;12、(1)相等；(2)2PA PO PD =⋅;
（3）3
10；１3、(1)FC FE FA ⋅=2，△ＰF Ｅ∽△CFP;(２)成立；（3)正方形;14、（１)连结B Ｄ，∵∠B=９0°,∴CB 是⊙Ｏ的切线,EB ＝ED ，∴∠EDB=∠E ＢD,∵A Ｂ是⊙Ｏ的直径,∴∠CDB ＝∠ADB=90°，∴∠ＥDC ＋∠E ＤB=∠C+∠EBD=9０°,∴∠ED Ｃ=∠C ，∴ＥC ＝E Ｄ，∴EB=ＥＣ=ED;（2)连结OD ，∵ＤE 是切线,∴ＤＥ⊥OD ，∵ＤE ∥AB ，∴A Ｂ⊥O Ｄ,∴△DAO 是等腰直角三角形，又ＯE ∥CA,∴△EOB 也是等腰直角三角形，过O 作ＯH ⊥ＡE 于H ，设B Ｅ=x ，则ＯE=x 2，A Ｂ=2 ｘ,由△AOH ∽△ＡＥＢ，
AB AH EB OH =,∴
21==AB EB AH OH ,∴x OH x OH OH 55,)2(222==+，∴1010sin ==∠OE OH AEO ；。