数学分析单元测试

数学分析单元测试

一、判断题（每题2分，共20分）

1、点集S 的最大值一定是S 的上确界。 （ ）

2、设两正数a 、b 满足，则对任何0>ε，有02=-⇔<

-b a b a ε。 （ ） 3、设f 、g 为定义在D 上的有界函数，则()()()(){}x g x f x g x f D x D x D x +≤+∈∈∈inf inf inf ，

且严格不等式能成立。 （ ）

4、若,...2,1,=

→∞→

6、⎭⎬⎫⎩

⎨⎧2sin πn 是收敛数列。 （ ） 7、a a a a n n n n =⇔=∞

→∞→lim lim 。 （ ） 8、若0lim >=∞

→a a n n ，则存在N ，当N n >时，0>n a 。 （ ） 9、若{}n a 收敛，且,...2,1,01.02=≥n a n ，则N ∃，当N n >时有01.0≥n a 。 （ ）

10、N -ε定义中的“ε<-a a n ”可改作“2ε<-a a n ”，“2ε<

-a a n ”，“εlog <-a a n ”等

。 （ ）

二、填空题（每题3分，共30分）

1、{}n a 与其________（平凡、非平凡、平凡及非平凡）子列同敛散。

2、设S 为有界点集，21S S S =，且1sup S 、2sup S 已知，则S sup =________。

3、21S S ⊆，则1inf S ________2inf S （比较大小，填≤≥,）

4、叙述a a n n =∞

→lim 的“N -ε”定义。

5、叙述{}n a 不以a 为极限的定义。

6、 叙述数列的柯西收敛准则。

7、设A sup =η且A ∉η，对ηα<∀，满足A x ∈且α>x 的x 的个数________（有

限、无限、不一定）

8、若常数a 满足1>a ，则=+∞→1lim n

n n a a ________（若不存在，则填不存在）。 9、=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++∞→n n n n 221 (1)

1lim ________。 10、若a n

a a n n =++∞→ (i)

1，则=∞→n a n n lim ________。 三、综合题（每题5分，共30分）

1、求下列极限。 1) ()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⨯+⨯∞→11...321211lim n n n 2) n n n n !lim

∞→ 3) ()()n

n n

n n 3232lim 1+-+-+∞→ 4) n n n

11lim -∞→ 2、说明极限的存在性。

1) ()⎭

⎬⎫⎩⎨⎧+-11n n n 2) n

a n 1...211+++= 四、证明题

1) 用N -ε定义证明a a n n ,1lim =∞

→为正常数。 2) 用N -ε定义证明11lim =+∞→n n n