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2020合肥三模理科数学答案

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2020年安徽省合肥市肥东县第三中学高三数学理模拟试题含解析

2020年安徽省合肥市肥东县第三中学高三数学理模拟试题含解析

2020年安徽省合肥市肥东县第三中学高三数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 设全集U=R，集合A={x|x≥3}，B={x|0≤x＜5}，则集合（?U A）∩B=（）B2. 如图所示，正方体的棱长为1, 分别是棱，的中点，过直线的平面分别与棱、交于，设，，给出以下四个命题：①平面平面；②当且仅当x=时，四边形MENF的面积最小；③四边形周长，是单调函数；④四棱锥的体积为常函数；以上命题中假命题的序号为（）A．①④B．②C．③ D．③④参考答案：C略3. 已知中，条件甲：条件乙：为等边三角形，则甲是乙的（）A.充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D.既不充分又不必要条件参考答案：B4. 执行如图所示的程序框图，输入的n值为4，则S=（）A. 6B. 14C. 30D. 2参考答案：B【分析】根据程序框图，进行模拟计算即可．【详解】k=1,S=0, 1＜4成立，第一次循环，S＝2，k＝1+1＝2，第二次循环，2＜4成立，S＝2+22＝2+4＝6，k＝2+1＝3，第三次循环，3＜4成立，S＝6+23＝6+8＝14，k＝3+1＝4，第四次循环，4＜4不成立，S输出S＝14，故选B．【点睛】本题主要考查程序框图的识别和应用，利用程序框图进行模拟计算是解决本题的关键．5. 函数的单调递增区间是（）A．(－∞,－2] B．(－∞,1] C．[1,+∞) D．[4,+∞)参考答案：D6. 在△中, , ,则△的面积为（）.A．3 B． C．6 D．4参考答案：D【知识点】向量的数量积公式；三角形面积公式F3解析：因为，所以，即，则，故选D.【思路点拨】先利用已知条件结合向量的数量积公式得到，再利用三角形面积计算即可。

7. 已知，命题，则( )A．是假命题;B．是假命题;C．是真命题;D.是真命题;参考答案：D8. 在△ABC中，∠C=，AB=2，AC=，则cosB的值为（）A．B．C．或 D．或参考答案：D【考点】正弦定理．【分析】根据正弦定理和内角和定理可得答案：【解答】解：由题意：，c=AB=2，b=，由正弦定理=，则有：sinB==．∵0＜B＜π∴B=或．当B=时，则cosB=当B=时，则cosB=．故选D9. 若“”是“”的充分而不必要条件，则实数a的取值范围是（）A.(1,3]B.[1,3]C.(－1,3]D.[－1,3]参考答案：B10. 若函数在给定区间M上，还存在正数t，使得对于任意，且为M上的t级类增函数，则以下命题正确的是A.函数上的1级类增函数B.函数上的1级类增函数C.若函数上的t级类增函数，则实数t的取值范围为D.若函数级类增函数，则实数a的取值范围为2参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知抛物线，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于、两点，若线段的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为 .参考答案：11.12. 给出定义：若（其中为整数），则叫做离实数最近的整数，记作，即. 在此基础上给出下列关于函数的四个命题：①函数的定义域是R ，值域是 [0，]；②函数的图像关于直线(k∈Z)对称；③函数是周期函数，最小正周期是1；④ 函数在上是增函数. 则其中真命题是．参考答案：1,2,3略13. 若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为，则其外接球的表面积是______。

2020年安徽省合肥市c20教育联盟中考数学三模试卷 (解析版)

2020年安徽省合肥市c20教育联盟中考数学三模试卷 (解析版)

2020年安徽省合肥市C20教育联盟中考数学三模试卷一、选择题1．下面各数中，比﹣1小的数是（）A．1B．0C．﹣2D．2．下列运算中正确的是（）A．（π﹣1）0＝0B．3﹣2＝﹣6C．（﹣a）2＝a2D．（a3）2＝a5 3．中国信息通信研究院测算，2020﹣2025年，中国5G商用带动的信息消费规模将超过8万亿元，直接带动经济总产出达10.6万亿元．其中数据10.6万亿用科学记数法表示为（）A．10.6×104B．1.06×1013C．10.6×1013D．1.06×1084．桌上摆着一个由若干个相同小正方体组成的几何体，其三视图如图所示，则组成此几何体需要的小正方体的个数是（）A．5B．6C．7D．85．受新冠肺炎疫情的影响，某电器经销商今年2月份电器的销售额比1月份电器的销售额下降20%，3月份电器的销售额比2月份电器的销售额下降m%，已知1月份电器的销售额为50万元．设3月份电器的销售额为a万元，则（）A．a＝50（1﹣20%﹣m%）B．a＝50（1﹣20%）m%C．a＝50﹣20%﹣m%D．a＝50（1﹣20%）（1﹣m%）6．函数y＝kx﹣k与在同一坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．7．某数学兴趣小组为了了解本班学生一周课外阅读的时间，随机调查了5名学生，并将所得数据整理如表：学生12345一周课外阅读时间（小时）7548表中有一个数字被污染后而模糊不清，但曾计算得该组数据的平均数为6，则这组数据的方差为（）A．1.5B．2C．3D．68．如图，点E是△ABC内一点，∠AEB＝90°，AE平分∠BAC，D是边AB的中点，延长线段DE交边BC于点F，若AB＝6，EF＝1，则线段AC的长为（）A．7B．C．8D．99．若无论x取何值，代数式（x+1﹣3m）（x﹣m）的值恒为非负数，则m的值为（）A．0B．C．D．110．如图①，在矩形ABCD中，＝k（k为常数），动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿B→A→C运动到点C，同时动点Q从点A出发，以每秒k个单位长度的速度沿A→C→D运动到点D，当一个点停止运动时，另一个点也随之停止，设△APQ 的面积为y，运动时间为t秒，y与t的函数关系图象如图②所示，当t＝4时，y的值为（）A．B．1C．D．二、填空题11．﹣的立方根为．12．已知x2﹣9y2＝3，x+3y＝，则x﹣3y＝．13．如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，以AB为直径的⊙O，交AC于E点，交BC于D 点．若劣弧DE的长为，则∠BAC＝．14．若函数图象上存在点Q（m，n），满足n＝m+1，则称点Q为函数图象上的奇异点．如：直线y＝2x﹣3上存在唯一的奇异点Q（4，5）．若y关于x的二次函数y＝x2+（a﹣h+1）x+b+h的图象上存在唯一的奇异点，且当﹣3≤a≤2时，b的最小值为﹣2，则h 的值为．三、解答题（共9小题，满分92分）15．计算÷（x﹣）．16．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别为A（﹣4，﹣1），B（﹣2，﹣4），C（﹣1，﹣2）．（1）请画出△ABC向右平移5个单位后得到的△A1B1C1；（2）请画出△ABC关于直线y＝﹣x对称的△A2B2C2；（3）线段B1B2的长是．17．《计算之书》是意大利中世纪著名数学家斐波那契（公元1175﹣1250年）的经典之作．书中记载了一道非常有趣的“狐跑犬追”问题：在相同的时间里，猎犬每跑9m，狐狸跑6m．若狐狸与猎犬同时起跑时狐狸在猎犬前面50m，问狐狸跑多少距离后被猎犬追上？18．大蜀山是合肥市的著名景点，某数学兴趣小组到大蜀山测量山上电视塔的高度．如图所示，电视塔CD在高270m的山峰BC上，在山脚的A处测得电视塔底部C的仰角为42°，再沿AB方向前进62.5m到达E处，测得电视塔顶部D的仰角为58°，求电视塔CD的高度．（精确到1m．参考数据：sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90，sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60．）19．如图，下列各正方形中的四个数之间具有相同的规律．根据此规律，回答下列问题：（1）第5个图中4个数的和为．（2）a＝；c＝．（3）根据此规律，第n个正方形中，d＝2564，则n的值为．20．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径的⊙O交AC于点E，⊙O的切线DE交BC于点F，交AB的延长线于点D．（1）若BD＝2，DE＝4，求⊙O的半径；（2）求证：BF＝CF．21．某葡萄种植大镇，果农广宇为了了解甲、乙两个大棚里所种植的“夏黑”葡萄的生长情况．现从两个大棚里分别随机抽取了20串葡萄，对它们的重量（单位：g）进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息：（葡萄重量用x表示，共分为五组，A组：400≤x ＜450，B组：450≤x＜500，C组：500≤x＜550，D组：550≤x＜600，E组：600≤x ＜650）甲大棚20串葡萄的重量分别为：545，560，414，565，640，560，590，542，425，560，630，580，466，530，487，625，490，513，508，540，乙大棚20串葡萄的重量在C组中的数据是：520，545，530，520，533，522．甲、乙两大棚随机抽取的葡萄的重量数据统计表如图表所示：甲大棚乙大棚平均重量538.5536.6中位数543.5b众数a562方差3840.73032.5根据以上信息，解答下列问题：（1）请直接写出上述统计表中a，b的值：a＝，b＝；（2）若甲、乙两大棚的葡萄总共有2400串，请估计甲、乙两大棚重量在600克及以上的葡萄共有多少串？（3）本次抽取的共40串葡萄中，重量在600g/串及以上的视为“佳品葡萄”，果农广宇在“佳品葡萄”中任选2串参加镇里举行的葡萄大赛，求这2串葡萄全部来自甲大棚的概率．22．如图，已知抛物线y＝x2+bx+c过点A（0，﹣2），B（﹣，0），G（x1，y1），H （x2，y2）是抛物线上任意不同两点．（1）求抛物线的解析式；（2）若直线GH与直线y＝2x平行，求y1+y2的最小值．23．如图①，在△ABC中，AC＝BC，CD为AB边上的中线，CE∥AB，线段DE交BC 于点G．（1）若CE＝CG＝1，AB＝4，求DE的长；（2）如图②，取△ABC外一点F，连接AF，BF，CF，DF，CF与DE交于点H，若∠ACB＝90°，AC＝AF，BF⊥CF，DE⊥DF．①求的值；②求证：CH＝FH．参考答案一、选择题1．下面各数中，比﹣1小的数是（）A．1B．0C．﹣2D．【分析】根据有理数大小比较的法则判断即可．解：∵|﹣1|＜|﹣2|，∴﹣1＞﹣2，故选：C．2．下列运算中正确的是（）A．（π﹣1）0＝0B．3﹣2＝﹣6C．（﹣a）2＝a2D．（a3）2＝a5【分析】根据整式的运算法则即可求出答案解：（A）原式＝1，故A错误；（B）原式＝（）2＝，故B错误；（D）原式＝a6，故D错误；故选：C．3．中国信息通信研究院测算，2020﹣2025年，中国5G商用带动的信息消费规模将超过8万亿元，直接带动经济总产出达10.6万亿元．其中数据10.6万亿用科学记数法表示为（）A．10.6×104B．1.06×1013C．10.6×1013D．1.06×108【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是非负数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．解：10.6万亿＝106000 0000 0000＝1.06×1013．故选：B．4．桌上摆着一个由若干个相同小正方体组成的几何体，其三视图如图所示，则组成此几何体需要的小正方体的个数是（）A．5B．6C．7D．8【分析】从俯视图中可以看出最底层小正方体的个数及形状，从主视图和左视图可以看出每一层小正方体的层数和个数，从而算出总的个数．解：根据俯视图可知该组合体共3行、2列，结合主视图和左视图知该几何体中小正方体的分布情况如图所示：则组成此几何体需要正方体的个数是7，故选：C．5．受新冠肺炎疫情的影响，某电器经销商今年2月份电器的销售额比1月份电器的销售额下降20%，3月份电器的销售额比2月份电器的销售额下降m%，已知1月份电器的销售额为50万元．设3月份电器的销售额为a万元，则（）A．a＝50（1﹣20%﹣m%）B．a＝50（1﹣20%）m%C．a＝50﹣20%﹣m%D．a＝50（1﹣20%）（1﹣m%）【分析】根据某电器经销商今年2月份电器的销售额比1月份电器的销售额下降20%，3月份电器的销售额比2月份电器的销售额下降m%，1月份电器的销售额为50万元，可以得到2月份是销售额，从而可以得到a的值，本题得以解决．解：由题意可得，a＝50（1﹣20%）（1﹣m%），故选：D．6．函数y＝kx﹣k与在同一坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．【分析】分别根据反比例函数及一次函数图象的特点对四个选项进行逐一分析即可．解：A、∵由反比例函数的图象在一、三象限可知，k＞0，∴﹣k＜0，∴一次函数y＝kx ﹣k的图象经过一、三、四象限，故本选项错误；B、∵由反比例函数的图象在一、三象限可知，k＞0，∴﹣k＜0，∴一次函数y＝kx﹣k的图象经过一、三、四象限，故本选项错误；C、∵由反比例函数的图象在二、四象限可知，k＜0，∴﹣k＞0，∴一次函数y＝kx﹣k的图象经过一、二、四象限，故本选项错误；D、∵由反比例函数的图象在二、四象限可知，k＜0，∴﹣k＞0，∴一次函数y＝kx﹣k的图象经过一、二、四象限，故本选项正确；故选：D．7．某数学兴趣小组为了了解本班学生一周课外阅读的时间，随机调查了5名学生，并将所得数据整理如表：学生12345一周课外阅读时间（小时）7548表中有一个数字被污染后而模糊不清，但曾计算得该组数据的平均数为6，则这组数据的方差为（）A．1.5B．2C．3D．6【分析】先由平均数的公式计算出模糊不清的值，再根据方差的公式计算即可．解：∵这组数据的平均数为6，∴模糊不清的数是：6×5﹣7﹣5﹣4﹣8＝6，则这组数据的方差为[（7﹣6）2+（5﹣6）2+（6﹣6）2+（4﹣6）2+（8﹣6）2]＝2；故选：B．8．如图，点E是△ABC内一点，∠AEB＝90°，AE平分∠BAC，D是边AB的中点，延长线段DE交边BC于点F，若AB＝6，EF＝1，则线段AC的长为（）A．7B．C．8D．9【分析】延长BE交AC于H，证明△HAE≌△BAE，根据全等三角形的性质求出AH，根据三角形中位线定理解答即可．解：延长BE交AC于H，∵AE平分∠BAC，∴∠HAE＝∠BAE，在△HAE和△BAE中，，∴△HAE≌△BAE（ASA）∴AH＝AB＝6，HE＝BE，∵HE＝BE，AD＝DB，∴DF∥AC，∵HE＝BE，∴HC＝2EF＝2，∴AC＝AH+HC＝8，故选：C．9．若无论x取何值，代数式（x+1﹣3m）（x﹣m）的值恒为非负数，则m的值为（）A．0B．C．D．1【分析】先利用多项式乘多项式的法则展开，再根据代数式（x+1﹣3m）（x﹣m）的值为非负数时△≤0以及平方的非负性即可求解．解：（x+1﹣3m）（x﹣m）＝x2+（1﹣4m）x+3m2﹣m，∵无论x取何值，代数式（x+1﹣3m）（x﹣m）的值恒为非负数，∴△＝（1﹣4m）2﹣4（3m2﹣m）＝（1﹣2m）2≤0，又∵（1﹣2m）2≥0，∴1﹣2m＝0，∴m＝．故选：B．10．如图①，在矩形ABCD中，＝k（k为常数），动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿B→A→C运动到点C，同时动点Q从点A出发，以每秒k个单位长度的速度沿A→C→D运动到点D，当一个点停止运动时，另一个点也随之停止，设△APQ 的面积为y，运动时间为t秒，y与t的函数关系图象如图②所示，当t＝4时，y的值为（）A．B．1C．D．【分析】①当点P在AB上运动时，由题意得：AB＝3，则AC＝3k，AP＝1，AQ＝2k，当t＝2时，即PB＝2，y＝×PA×QH＝×（3﹣t）×QH＝，求出AB＝3，BC＝4，AC＝5；②当x＝4时，点P在AD上运动的距离为1，点Q在CD上运动了1秒，即可求解．解：①当点P在AB上运动时，过点Q作QH⊥AB于点H，由题意得：AB＝3，则AC＝3k，AP＝1，AQ＝2k，当t＝2时，即PB＝2，y＝×PA×QH＝×（3﹣t）×QH＝，解得：QH＝，则AH＝AQ cos∠BAC＝2k×＝2，故PH＝1，则AH＝2，而QH＝，故tan∠HAQ＝＝＝tanα，则cosα＝＝，解得：k＝，故AB＝3，BC＝4，AC＝5；②当t＝4时，点P在AD上运动的距离为1，点Q在CD上运动了1秒，运动的距离QC为，则DQ＝3﹣，y＝×AP×QD＝×1×（3﹣）＝，故选：C．二、填空题11．﹣的立方根为﹣．【分析】可以利用立方根的定义来进行计算．解：∵＝﹣，∴﹣的立方根为﹣，故答案为：﹣．12．已知x2﹣9y2＝3，x+3y＝，则x﹣3y＝6．【分析】由平方差公式得出x2﹣9y2＝（x+3y）（x﹣3y），代入计算即可得出结果．解：因为x2﹣9y2＝3，x+3y＝，x2﹣9y2＝（x+3y）（x﹣3y），所以3＝（x﹣3y），所以x﹣3y＝6，故答案为：6．13．如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，以AB为直径的⊙O，交AC于E点，交BC于D 点．若劣弧DE的长为，则∠BAC＝30°．【分析】连接AB，根据圆周角定理得到AD⊥BC，根据等腰三角形的性质得到∠CAD ＝∠BAD，连接OE，OD，设∠DOE＝α，根据弧长公式得到α＝30°，于是得到结论．解：连接AB，∵AB为⊙O的直径，∴AD⊥BC，∵AB＝AC＝2，∴∠CAD＝∠BAD，连接OE，OD，设∠DOE＝α，∵劣弧DE的长为，∴＝，∴α＝30°，∴∠CAD＝15°，∴∠BAC＝2∠CAD＝30°，故答案为：30°．14．若函数图象上存在点Q（m，n），满足n＝m+1，则称点Q为函数图象上的奇异点．如：直线y＝2x﹣3上存在唯一的奇异点Q（4，5）．若y关于x的二次函数y＝x2+（a﹣h+1）x+b+h的图象上存在唯一的奇异点，且当﹣3≤a≤2时，b的最小值为﹣2，则h 的值为2或4．【分析】设函数奇异点的坐标为P（x，x+1），代入函数的关系式中得到关于x的一元二次方程，因为有一个奇异点，则△＝0，得到b＝（a﹣h）2﹣2h+2，把它看成一个二次函数，对称轴a＝h，分三种情况讨论：①h＜﹣3，列方程，方程无解，没有符合条件的t值；②h＞2，列方程，解出h并取舍；③当﹣3≤h≤2，同理得h＝2．解：设y关于x的二次函数y＝x2+（a﹣h+1）x+b+h的图象上的奇异点为（x，x+1），代入函数y＝x2+（a﹣h+1）x+b+h得：x+1＝x2+（a﹣h+1）x+b+h，x2+（a﹣h）x+b+h﹣1＝0∵存在唯一的一个“奇异点”，∴△＝（a﹣h）2﹣4××（）＝0，b＝（a﹣h）2﹣2h+2，这是一个b关于a的二次函数，图象为抛物线，开口向上，对称轴为a＝h，对称轴左侧，b随a的增大而减小；对称轴右侧，a随a的增大而增大；①h＜﹣3，当﹣3≤a≤2时，在对称轴右侧递增，∴当a＝﹣3时，b有最小值为﹣2，即（﹣3﹣h）2﹣2h+2＝﹣2，h2+4t+13＝0，△＝16﹣4×1×13＜0，方程无解，②h＞2，当﹣3≤a≤2时，在对称轴左侧递减，∴当a＝2时，b有最小值为﹣2，即（2﹣h）2﹣2h+2＝﹣2，h2﹣6h+8＝0，解得，h＝4或2（舍去），③当﹣3≤h≤2，当﹣3≤a≤2时，n有最小值为﹣2h+2＝﹣2，∴h＝2综上所以述：h的值为4或2，故答案为4或2．三、解答题（共9小题，满分92分）15．计算÷（x﹣）．【分析】根据分式的减法和除法可以解答本题．解：÷（x﹣）＝＝＝．16．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别为A（﹣4，﹣1），B（﹣2，﹣4），C（﹣1，﹣2）．（1）请画出△ABC向右平移5个单位后得到的△A1B1C1；（2）请画出△ABC关于直线y＝﹣x对称的△A2B2C2；（3）线段B1B2的长是．【分析】（1）根据平移的性质即可画出△ABC向右平移5个单位后得到的△A1B1C1；（2）根据对称性即可画出△ABC关于直线y＝﹣x对称的△A2B2C2；（3）根据勾股定理即可得线段B1B2的长．解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；（2）如图，△A2B2C2即为所求；（3）线段B1B2的长是＝．故答案为：．17．《计算之书》是意大利中世纪著名数学家斐波那契（公元1175﹣1250年）的经典之作．书中记载了一道非常有趣的“狐跑犬追”问题：在相同的时间里，猎犬每跑9m，狐狸跑6m．若狐狸与猎犬同时起跑时狐狸在猎犬前面50m，问狐狸跑多少距离后被猎犬追上？【分析】设狐狸跑x米后被猎犬追上，此时猎犬跑了x米，根据猎犬比狐狸多跑了50米，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．解：设狐狸跑x米后被猎犬追上，此时猎犬跑了x米，依题意，得：x﹣x＝50，解得：x＝100．答：狐狸跑100米后被猎犬追上．18．大蜀山是合肥市的著名景点，某数学兴趣小组到大蜀山测量山上电视塔的高度．如图所示，电视塔CD在高270m的山峰BC上，在山脚的A处测得电视塔底部C的仰角为42°，再沿AB方向前进62.5m到达E处，测得电视塔顶部D的仰角为58°，求电视塔CD的高度．（精确到1m．参考数据：sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90，sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60．）【分析】在Rt△ABC中，由锐角三角函数的定义可求出AB的长，在Rt△BED中，可根据锐三角函数的定义求出BD的长，则可求出CD的长．解：在Rt△ABC中，，∴m，∵AE＝62.5m，∴BE＝AB﹣AE＝300﹣62.5＝237.5（m），在Rt△BED中，，∴BD＝BE•tan58°≈237.5×1.6＝380（m），∴CD＝BD﹣BC≈380﹣270＝110（m）．答：电视塔CD的高度约为110m．19．如图，下列各正方形中的四个数之间具有相同的规律．根据此规律，回答下列问题：（1）第5个图中4个数的和为﹣152．（2）a＝（﹣1）n•2n﹣1；c＝（﹣1）n•2n+4．（3）根据此规律，第n个正方形中，d＝2564，则n的值为10．【分析】（1）观察图形可得第5个图中4个数，相加即可求解；（2）由已知图形得出a＝（﹣1）n•2n﹣1，b＝2a＝（﹣1）n•2n，c＝b+4＝（﹣1）n•2n+4，即可求解；（3）根据d＝a+b+c＝5×（﹣1）n•2n﹣1+4＝2564求解可得．解：（1）第5个图形中的4个数分别是﹣16，﹣32，﹣28，﹣764个数的和为：﹣16﹣32﹣28﹣76＝﹣152．（2）a＝（﹣1）n•2n﹣1；b＝2a＝（﹣1）n•2n，c＝b+4＝（﹣1）n•2n+4．（3）根据规律知道，若d＝2564＞0，则n为偶数，当n为偶数时a＝2n﹣1，b＝2n，c＝2n+4，2n﹣1+2n+2n+4＝2564，依题意有2n﹣1+2n+2n＝2560，解得n＝10．故答案为：﹣152；（﹣1）n•2n﹣1；（﹣1）n•2n+4；10．20．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径的⊙O交AC于点E，⊙O的切线DE交BC于点F，交AB的延长线于点D．（1）若BD＝2，DE＝4，求⊙O的半径；（2）求证：BF＝CF．【分析】（1）连接OE，如图，利用切线的性质得到∠OEF＝90°，设⊙O半径为x，则OB＝OE＝x，在Rt△DEO中利用勾股定理得到x2+42＝（x+2）2，然后解方程即可；（2）连接BE，如图，根据圆周角定理得到∠AEB＝90°，∠CEB＝90°，再利用切线的判断得到BC为⊙O的切线，则根据切线长定理得到BF＝EF，所以∠CBE＝∠BEF，然后证明∠C＝∠CEF得到CF＝EF，从而得到结论．【解答】（1）解：连接OE，如图，∵DE为⊙O的切线，∴∠OEF＝90°，设⊙O半径为x，则OB＝OE＝x，∵BD＝2，∴OD＝OB+BD＝x+2，在Rt△DEO中，∵OE2+DE2＝OD2，∴x2+42＝（x+2）2，解得x＝3，即⊙O半径为3；（2）证明：连接BE，如图，∵AB为⊙O的直径，∴∠AEB＝90°，∠CEB＝90°，∴∠CBE+∠C＝90°，∠CEF+∠FEB＝90°，∵∠ABC＝90°，∴BC为⊙O的切线，∵DE为⊙O的切线，∴BF＝EF，∴∠CBE＝∠BEF，∴∠C＝∠CEF，∴CF＝EF，∴BF＝CF．21．某葡萄种植大镇，果农广宇为了了解甲、乙两个大棚里所种植的“夏黑”葡萄的生长情况．现从两个大棚里分别随机抽取了20串葡萄，对它们的重量（单位：g）进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息：（葡萄重量用x表示，共分为五组，A组：400≤x ＜450，B组：450≤x＜500，C组：500≤x＜550，D组：550≤x＜600，E组：600≤x ＜650）甲大棚20串葡萄的重量分别为：545，560，414，565，640，560，590，542，425，560，630，580，466，530，487，625，490，513，508，540，乙大棚20串葡萄的重量在C组中的数据是：520，545，530，520，533，522．甲、乙两大棚随机抽取的葡萄的重量数据统计表如图表所示：甲大棚乙大棚平均重量538.5536.6中位数543.5b众数a562方差3840.73032.5根据以上信息，解答下列问题：（1）请直接写出上述统计表中a，b的值：a＝560，b＝531.5；（2）若甲、乙两大棚的葡萄总共有2400串，请估计甲、乙两大棚重量在600克及以上的葡萄共有多少串？（3）本次抽取的共40串葡萄中，重量在600g/串及以上的视为“佳品葡萄”，果农广宇在“佳品葡萄”中任选2串参加镇里举行的葡萄大赛，求这2串葡萄全部来自甲大棚的概率．【分析】（1）由众数好中位数的定义即可得出答案；（2）求出甲乙大棚重量在600克（含600克）以上的葡萄串数，即可得出答案；（3）画出树状图，由概率公式即可得出答案．解：（1）甲大棚的出现次数最多的是560，因此众数是560，即a＝560．乙大棚A、B两组串数为20×（10%+20%）＝6，中位数是从小到大排列后处在第10、11位两个数的平均数，由C组中的数据是：520，545，530，520，533，522可得，处在第10、11位的两个数的平均数为：，因此b＝531.5，故答案为：560，531.5；（2）乙大棚重量在600克（含600克）以上的葡萄有：（1﹣10%﹣20%﹣30%﹣25%）×20＝3（串），甲大棚重量在600克（含600克）以上的葡萄有：625g，630g，640g共3串，∴甲，乙两大棚共有重量在600克（含600克）以上的葡萄：2400×＝360（串）．答：由此可以估计甲，乙两大棚重量在600克及以上的葡萄共有360串；（3）甲大棚在600g及以上的3串葡萄记为a，b，c；乙大棚在600g及以上的3串葡萄记为x，y，z；列树状图如下：共有30种等可能结果，这2串葡萄全部来自甲大棚的结果有6种，∴这2串葡萄全部来自甲大棚的概率为．22．如图，已知抛物线y＝x2+bx+c过点A（0，﹣2），B（﹣，0），G（x1，y1），H （x2，y2）是抛物线上任意不同两点．（1）求抛物线的解析式；（2）若直线GH与直线y＝2x平行，求y1+y2的最小值．【分析】（1）根据待定系数法求得即可；（2）根据题意设直线GH的解析式为y＝2x+m，x2﹣2＝2x+m，即（x﹣1）2＝m+3，解得x1，x2的值，代入y1+y2中，即可得出，根据二次函数的性质即可求得．解：（1）∵抛物线过点A（0，﹣2），B（，0）∴∴则抛物线解析式为y＝x2﹣2；（2）由（1）知，G（x1，），H（x2，），∵GH与直线y＝2x平行，∴设直线GH的解析式为y＝2x+m，令x2﹣2＝2x+m，即（x﹣1）2＝m+3，解得，，∴＝2+2m+6﹣4＝2m+4，∵（x﹣1）2＝m+3，∴m＝（x﹣1）2﹣3，∴，∴当x＝1时，y1+y2取小值﹣2．23．如图①，在△ABC中，AC＝BC，CD为AB边上的中线，CE∥AB，线段DE交BC 于点G．（1）若CE＝CG＝1，AB＝4，求DE的长；（2）如图②，取△ABC外一点F，连接AF，BF，CF，DF，CF与DE交于点H，若∠ACB＝90°，AC＝AF，BF⊥CF，DE⊥DF．①求的值；②求证：CH＝FH．【分析】（1）证△CEG∽△BDG，得＝，求出BG＝2，则BC＝3，由勾股定理得CD2＝BC2﹣BD2＝5，再由勾股定理即可得出答案；（2）①证△DFB≌△DHC（AAS），得DF＝DH，证出△HDF是等腰直角三角形，得HF＝DH，即可得出答案；②由等腰直角三角形的性质得出AB＝AC＝a，AD＝AB＝a，则＝＝，证△DAF∽△FAB，得BF＝DF，由△DFB≌△DHC，得出CH＝BF，DF＝DH，推出CH＝DF＝DH，即可得出结论．解：（1）∵CE∥AB，∴△CEG∽△BDG，∴＝，∵在等腰三角形ABC中，AC＝BC，CD为AB边上的中线，∴BD＝AB＝2，CD⊥AB，∴＝，∴BG＝2，∴BC＝BG+CG＝2+1＝3，∴CD2＝BC2﹣BD2＝32﹣22＝5，∵CE∥AB，CD⊥AB，∴CD⊥CE，∴∠DCE＝90°，∴在Rt△CED中，DE＝＝＝；（2）①∵DE⊥DF，CD⊥AB，∴∠FDE＝∠CDB＝90°，∴∠FDB＝∠HDC，∵BF⊥CF，∴∠CFB＝∠EDF＝90°，∴∠CFB+∠DFH＝∠EDF+∠DFH，∴∠DFB＝∠DHC，∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴△ABC是等腰直角三角形，CD为AB边上的中线，∴BD＝CD，在△DFB和△DHC中，，∴△DFB≌△DHC（AAS），∴DF＝DH，∵∠EDF＝90°，∴△HDF是等腰直角三角形，∴HF＝DH，即的值为；②设AC＝BC＝a，∵△ABC是等腰直角三角形，CD为AB边上的中线，∴AB＝AC＝a，AD＝AB＝a，∴＝＝，∵AC＝AF，∴＝＝，∵∠DAF＝∠FAB，∴△DAF∽△FAB，∴＝＝，即BF＝DF，∵△DFB≌△DHC，∴CH＝BF，DF＝DH，∴CH＝DF＝DH，∵HF＝DH，∴CH＝FH．。

2020年安徽省合肥市高考数学三模试卷1 (含答案解析)

2020年安徽省合肥市高考数学三模试卷1 (含答案解析)

2020年安徽省合肥市高考数学三模试卷1一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）1.已知复数z=3−i−1+i，则在复平面内，z的对应点位于()A. 第一象限内B. 第二象限内C. 第三象限内D. 第四象限内2.已知R为实数集，集合A={x|x>1}，B={x|x⩾2}，则(C R B)∩A=()A. (1,2)B. (1,2]C. (−∞,1]D. [2,+∞)3.如图所示，当输入x为2006时，输出的y=()A. 28B. 10C. 4D. 24.设S n是等差数列{a n}的前n项和，已知S7=49，a6=11，则a1等于()A. −1B. 1C. −2D. 25.已知向量a⃗⊥b⃗ ，|b⃗ |=1，则|a⃗|a⃗ |+b⃗ |=()A. √2B. √3C. √5D. √76.已知函数f(x)=sin(ωx+π6)−1最小正周期为2π3，则f(x)的图象的一条对称轴的方程是()A. x=π9B. x=π6C. x=π3D. x=π27.已知α，β为平面，a，b，c为直线，下列说法正确的是()A. 若b//a，a⊂α，则b//αB. 若α⊥β，α∩β=c，b⊥c，则b⊥βC. 若a⊥c，b⊥c，则a//bD. 若a∩b=A，a⊂α，b⊂α，a//β，b//β，则α//β8.若a是从区间[0,10]中任取的一个数，则方程x2−ax+1=0无实数解的概率是()A. 0.1B. 0.2C. 0.3D. 0.49.△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，cosA=sinB=12，b=√3，△ABC的面积为()A. 4B. 32√3 C. 2 D. √310.已知直线l:ax+y−2=0与圆C:(x−1)2+(y−a)2=4相交于A、B两点，M是圆C上一点，使得∠AMB=30∘，则实数a的值为()A. 3±4√2B. 8C. 1D. 4±√1511.两个圆锥有公共底面，且两圆锥的顶点和底面圆周都在同一个球面上．若圆锥底面面积是球面面积的316，则这两个圆锥的体积之比为()A. 2:1B. 5:2C. 1:4D. 3:112.已知点A(1,3)，B(3,1)，C(−1,0)，则△ABC的面积等于()A. 3B. 4C. 5D. 6二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）13.若抛物线y2=2px的焦点坐标为(1,0)，则p=______ ．14.若点(1,1)在不等式组{m−nx+y≥02mx−ny−4≤0nx≥3y−3m所表示的平面区域内，则m2+n2的取值范围是______ ．15.函数f(x)=x+2x−3的零点为___________．16.已知函数f(x)=2sinx(sinx+cosx)，那么f(x)的最大值为________．三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）17.己知{a n}是递增的等比数列，a 2+a 3=4，a 1a 4=3．(1)求数列{a n)的通项公式；(2)令b n=na n，求数列{b n)的前n项和S n．18.某大学餐饮中心为了解新生的饮食习惯，在全校一年级学生抽样调查了100人，统计结果为：80名南方学生中喜欢吃甜品的有60人，北方学生中不喜欢吃甜品的有10人．(Ⅰ)根据所给样本数据完成下面2×2列联表；附：K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)的饮食习惯方面有差异”？19. 如图，在四棱锥P −ABCD 中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，PA =AD =2AB =4，点M 为PD 的中点．(1)若N 为AB 上任意一点，求证：PD ⊥MN ； (2)求三棱锥M −PAB 的体积．20. 已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2+y2b 2=1的左、右焦点，点M(√2,1)在椭圆C 上，且MF 2⊥F 1F 2．(Ⅰ)求椭圆 C 的方程；(Ⅱ) 与直线y =−x 垂直的直线l 与椭圆C 相交于P ，Q 两点，求OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围．21.已知函数f(x)=ae x+x(a≠0,e是自然对数的底数).．x(Ⅰ)讨论f(x)的单调性；(Ⅱ)若a>2，判断函数F(x)=f(x)−lnx−1在区间(0,+∞)上的零点个数，并说明理由．e222.在平面直角坐标系xOy中，曲线C：为参数，φ∈[0,2π))，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)写出曲线C的普通方程；(2)若点B是射线l：θ=α(ρ≥0,α∈[0,π))与曲线C的公共点，当|OB|=3√3时，求α的值及点B的直角坐标．23.已知函数f(x)=|x−1|．(Ⅰ)解不等式f(x−1)+f(x+3)≥6；)．(Ⅱ)若|a|<1，|b|<1，且a≠0，求证：f(ab)>|a|f(ba-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：【分析】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题．直接利用复数代数形式的乘除运算化简，求出在复平面内所对应的点的坐标得答案．【解答】解：∵z=3−i−1+i =(3−i)(−1−i)(−1+i)(−1−i)=−2−i，∴在复平面内z的对应点的坐标为(−2,−1)，位于第三象限．故选：C．2.答案：A解析：【分析】本题考查交集和补集的混合运算，是基础题．由题意，先求出C R B，再求(C R B)∩A即可．【解答】解：∵集合A={x|x>1}，B={x|x⩾2}，∴(C R B)∩A={x|x>1}∩{x|x<2}=(1,2)．故选A．3.答案：B解析：【分析】本题主要考查了循环结构的程序框图，属于基础题．模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的x的值，当x=−2时不满足条件x≥0，计算并输出y的值为10.【解答】解：模拟执行程序框图，可得x=2006，x=2004满足条件x≥0，x=2002满足条件x≥0，x=2000…满足条件x≥0，x=0满足条件x≥0，x=−2不满足条件x≥0，y=10输出y的值为10．故选B．4.答案：B解析：【分析】本题考查等差数列通项公式和前n项求和公式，是基础题．【解答】由题意知S7=7a1+7×62d=49，a6=a1+5d=11，求得a1=1,d=2．故选B．5.答案：A解析：【分析】利用向量的模的运算法则，通过向量的数量积求解即可．本题考查向量的数量积的应用，是基本知识的考查．【解答】解：向量a⃗⊥b⃗ ，|b⃗ |=1，则|a⃗|a⃗ |+b⃗ |=√(a⃗|a⃗ |)2+2a⃗ ⋅b|a⃗ |+b⃗ 2=√1+1=√2．故选：A．6.答案：A解析：【分析】本题是基础题，考查三角函数的解析式的求法，对称轴方程的求法，考查计算能力．通过函数的周期求出ω，利用正弦函数的对称性，求出对称轴方程，得到选项．【解答】解：因为函数f(x)=sin(ωx+π6)−1最小正周期为2π3，T=2πω=2π3，∴ω=3，所以3x+π6=kπ+π2，k∈Z，解得x=kπ3+π9，k∈Z，当k=0时，x=π9，是一条对称轴方程．故选A．7.答案：D解析：解：由α，β为平面，a，b，c为直线，知：在A中，若b//a，a⊂α，则b//α或b⊂α，故A错误；在B中，若α⊥β，α∩β=c，b⊥c，则b与β相交、平行或b⊂β，故B错误；在C中，若a⊥c，b⊥c，则a与b相交、平行或异面，故C错误；在D中，若a∩b=A，a⊂α，b⊂α，a//β，b//β，则由面面平行的判定定理得α//β，故D正确．故选：D．在A中，b//α或b⊂α；在B中，b与β相交、平行或b⊂β；在C中，a与b相交、平行或异面；在D中，由面面平行的判定定理得α//β．本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题．8.答案：B解析：【分析】本题考查长度型几何概型，属于基础题．【解答】解：方程x2−ax+1=0无实数解则Δ=a2−4<0⇒−2<a<2，若a是从区间[0,10]中任取的一个数，则方程x2−ax+1=0无实数解的概率P=210=15=0.2．故选B．9.答案：B解析：解：cosA=sinB=12，可得A=60°，B=30．那么：C=90°∵b=√3，则c=2√3，a=3△ABC的面积S=12ba=3√32故选：B．根据cosA=sinB=12，求解A，B，结合正余弦定理即可求解本题考查了三角形的内角和定理和计算能力．属于基础题．10.答案：D解析：【分析】本题考查直线与圆的位置关系，属于中档题．由已知得到C到AB的距离为√3，通过点到直线的距离公式，得到a的方程，解得a的值．【解答】解：因为∠AMB=30∘，所以，所以三角形ABC为等边三角形，所以C到AB的距离为√3，即√a2+1=√3，解得a=4±√15．故答案为4±√15．11.答案：D解析：【分析】本题考查了圆锥的体积计算，球与内接旋转体的关系，属于基础题．设球半径为r，则根据圆锥底面与球面积的关系得出圆锥的底面半径，根据勾股定理求出球心到圆锥底面的距离，得到两圆锥的高度．【解答】解：设球的半径为R，圆锥底面的半径为r，则πr2=316×4πR2=3πR24，∴r=√32R．∴球心到圆锥底面的距离为√R2−r2=R2．∴圆锥的高分别为R2和3R2．∴两个圆锥的体积比为3R2：R2=3：1．故选D．12.答案：C解析：【分析】本题考查三角形的面积，解答本题的关键是利用将△ABC的面积转化．先找出△ABC的位置，△ABC的面积转化为三角形ACE与梯形AEDB的面积减去三角形CDB的面积可得出答案．【解答】解：如图，△ABC的面积转化为三角形ACE与梯形AEDB的面积减去三角形CDB的面积，则S△ABC=S△CAE+S AEDB−S△CDB=12×3×2+12(1+3)×2−12×4×1=5．故选C．13.答案：2解析：解：∵抛物线y2=2px的焦点坐标为(1,0)，∴p2=1，∴p=2，故答案为：2．由抛物线的性质可知，知p2=1，可知p的值．本题考查抛物线的简单性质，属于基础题．14.答案：[910,61]解析：解：根据题意，点(1,1)适合不等式组{m−nx+y≥02mx−ny−4≤0 nx≥3y−3m，将坐标代入，得关于m、n的不等式组：{m−n+1≥0 2m−n−4≤0 n≥3−3m在mon坐标系中，作出符合上不等式组表示的平面区域，如下图m2+n2表示点P(m,n)到原点的距离的平方，根据图形得当P点与点B(5,6)重合时，这个平方和最大，即(m2+n2)max=52+62=61而P到直线AC的距离平方的最小值，即(m2+n2)min=(√12+32)2=910因此，m2+n2的取值范围是[910,61]将点(1,1)的坐标代入不等式组{m−nx+y≥02mx−ny−4≤0nx≥3y−3m，就可以得到一个关于m、n的不等式组，再在平面直角坐标系中作出符合这个不等式组的区域图形，将m2+n2的取值范围问题转化为区域内的点到原点距离平方的取值范围问题，最终可得答案．平面区域的最值问题是线性规划问题中一类重要题型，在解题时，关键是正确地画出平面区域，分析表达式的几何意义，然后结合数形结合的思想，分析图形，找出满足条件的点的坐标，即可求出答案．15.答案：1和2解析：【分析】本题主要考查函数的零点与方程根的关系，属于基础题．令f(x)=0，得x+2x−3=0，解得即可．【解答】解：令f(x)=x+2x−3=0，得x=1或x=2，所以函数f(x)=x+2x−3的零点为1和2．故答案为1和2．16.答案：1+√2解析： 【分析】本题考查函数的最值，三角函数的定义域和值域，两角和与差的三角函数公式，二倍角公式及应用.由题可得f(x)=1+√2sin (2x −π4)，进而得出f(x)的最大值． 【解答】解：f(x)=2sinx(sinx +cosx)=2sin 2x +2sinxcosx =1−cos2x +sin2x =1+√2(√22sin2x −√22cos2x)=1+√2(sin2xcosπ4−cos2xsin π4) =1+√2sin (2x −π4)． ∴1−√2≤f (x )≤1+√2． 即f(x)的最大值为1+√2． 故答案为1+√2．17.答案：解：(1)设等比数列{a n }的公比为q ，因为a 2+a 3=4,a 1a 4=3,， 所以{a 1q +a 1q 2=4,a 1⋅a 1q 3=3解得{a 1=9,q =13,或{a 1=13,q =3. 因为{a n }是递增的等比数列， 所以a 1=13,q =3．所以数列{a n}的通项公式为a n=3n−2.(2)由(1)知．b n=n×3n−2.则S n=1×3−1+2×30+3×31+⋯+n×3n−2,①在①式两边同时乘以3得，3S n=1×30+2×31+3×32+⋯+n×3n−1②①−②得−2S n=3−1+30+31+⋯+3n−2−n×3n−1,即−2Sn =13(1−3n)1−3−n×3n−1,所以S n=14(2n−1)×3n−1+112.解析：本题考查等比数列的通项公式及等差数列的前n项和公式，考查了学生的计算能力，培养了学生的综合能力．(1)设出等比数列的首项和公比，由已知列式求解首项和公比，则其通项公式可求；(2)把(1)中求得的a n代入b n=na n，得到数列{b n}的通项公式，再采用错位相减法即可求出．18.答案：解：(Ⅰ)K2=100×(60×10−20×10)270×30×80×20=10021≈4.762．由于4.762>3.841，所以有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”．解析：(Ⅰ)根据统计结果为：80名南方学生中喜欢吃甜品的有60人，北方学生中不喜欢吃甜品的有10人，由此可得列联表；(Ⅱ)计算出K2，结合临界值表可得．本题考查了独立性检验，属中档题．19.答案：(1)证明：∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AB．又∵AB⊥AD且PA∩AD=A，∴AB⊥平面PAD，∴AB⊥PD.又∵PA=AD，M为PD的中点，∴AM⊥PD，又AM∩AB=A，∴PD⊥平面ABM，又MN⊂面ABM，∴PD⊥MN．(2)解：由(1)知AB ⊥平面PAD ，．解析：本题考查直线与平面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．(1)先证明线面垂直，然后根据性质可得线线垂直； (2)根据等体积法，转化顶点，进而求出体积．20.答案：解：(I)∵点M(√2,1)在椭圆C 上，且MF 2⊥F 1F 2．∴2a 2+1b 2=1，c =√2，又a 2−b 2=2， ∴a 2=4，b 2=2， ∴椭圆方程为：x 24+y 22=1．(II)设直线l 的方程为：y =x +m ，代入椭圆方程得：3x 2+4mx +2m 2−8=0， △=16m 2−12(2m 2−8)=−8m 2+96>0， ∴−2√3<m <2√3，设P(x 1,y 1)，Q(x 2,y 2)，则x 1+x 2=−4m 3，x 1x 2=2m 2−83，∴y 1y 2=(x 1+m)(x 2+m)=x 1x 2+m(x 1+x 2)+m 2， ∴OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1x 2+y 1y 2=4m 2−163−4m 23+m 2=m 2−163． ∵−2√3<m <2√3， ∴−163≤m 2−163<203．即OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围是[−163,203).解析：(I)由题意可知c =√2，把M 点坐标代入椭圆方程得出a ，b 的值即可求出椭圆的方程； (II)设直线l 的方程为：y =x +m ，根据直线与椭圆有两个交点求出m 的范围，根据根与系数的关系得出OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 关于m 的函数式，从而得出结论． 本题考查了椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系，属于中档题．21.答案：解：(Ⅰ)f(x)=ae x +x x=ae x x+1，f′(x)=a ⋅ e x x−e xx 2=a(x−1)e xx 2，①当a >0时，若x <0，f′(x)<0，f(x)在区间(−∞,0)上单调递减， 若0<x <1，f′(x)<0，f(x)在区间(0,1)上单调递减， 若x >1时，f′(x)>0，f(x)在区间(1,+∞)上单调递增，故当a>0时，函数f(x)的单调递减区间为(−∞,0)，(0,1)，单调递增区间为(1,+∞)，②当a<0时，若x<0，f′(x)>0，f(x)在区间(−∞,0)上单调递增，若0<x<1，f′(x)>0，f(x)在区间(0,1)上单调递增，若x>1时，f′(x)<0，f(x)在区间(1,+∞)上单调递减，故当a<0时，函数f(x)的单调递增区间为(−∞,0)，(0,1)，单调递减区间为(1,+∞)．(Ⅱ)由题意可知，则F′(x)=a(x−1)e xx2−1x=1x2[a(x−1)e x−x]，当0<x≤1时，F′(x)<0，F(x)单调递减，F(x)≥F(1)=ae>0，当x>1时，F′(x)=a(x−1)x2[e x−xa(x−1)]，令G(x)=e x−xa(x−1)，则G′(x)=e x+1a(x−1)2>0，又G(2)=e2−2a>0，当x趋向于1时，G(x)趋向于负无穷．故G(x)存在唯一的零点x0∈(1,2)，即F(x)有唯一的极值点且为极小值点x0∈(1,2)，又，且G(x0)=e x0−x0a(x0−1)=0，即e x0=x0a(x0−1)，故，令，x∈(1,2)，因为φ′(x)=−1(x−1)2−1x<0，故φ(x)是(1,2)上的减函数，所以F(x0)>φ(2)=1−ln2>0，所以F(x)>0，综上所述，函数F(x)在区间(0,+∞)上无零点．解析：本题考查利用导数研究函数的单调性与零点问题．(Ⅰ)求出导数，分类讨论a的正负求解即可;(Ⅱ)研究F(x)的单调性及极值求解即可．22.答案：解：(1)∵曲线C：为参数，φ∈[0,2π))，∴(x −3)2+y 2=(3cosφ)2+(3sinφ)2=9， ∴曲线C 的普通方程为(x −3)2+y 2=9， 即x 2+y 2−6x =0．(2)由(1)知曲线C 的方程为(x −3)2+y 2=9，是圆，令圆心为C ， |OB|=ρB =2|CB|cosθ=2×3cosθ=6cosθ， 若|OB|=3√3，则6cosθ=3√3，解得cosθ=√32，∴θ=π6，即α=π6，∴点B 的横坐标是3√3cosα=3√3cos π6=92， 点B 的纵坐标是3√3sinα=3√3sin π6=3√32， ∴点B 的直角坐标为(92,3√32).解析：本题考查曲线的普通方程的求法，考查点的直角坐标的求法，考查参数方程、直角坐标方程的互化等基础知识，属于简单题．(1)曲线C 的参数方程消去参数，能求出曲线C 的普通方程．(2)由|OB|=ρB =2|CB|cosθ=2×3cosθ=6cosθ，若|OB|=3√3，则cosθ=√32，从而θ=π6，由此能求出α的值及点B 的直角坐标．23.答案：解：(Ⅰ)由题意知原不等式可化为|x −2|+|x +2|≥6，当x ≥2时，2x ≥6，解得x ≥3； 当−2<x <2时，4≥6，无解； 当x ≤−2时，−2x ≥6，解得x ≤−3， 所以不等式的解集是(−∞,−3]∪[3,+∞)． (Ⅱ)证明：要证f(ab)>|a|f(ba )， 只要证|ab −1|>|b −a|， 只需证(ab −1)2>(b −a)2， 因为|a|<1，|b|<1，所以(ab −1)2−(b −a)2=a 2b 2−a 2−b 2+1=(a2−1)(b2−1)>0，从而原不等式成立．解析：【分析】本题考查含绝对值的不等式的解法、不等式的证明，考查考生的运算求解能力以及推理论证能力．(Ⅰ)利用零点分区间讨论法求解；(Ⅱ)利用分析法证明不等式．。

2020年安徽省合肥市高考数学三模试卷(理科)

2020年安徽省合肥市高考数学三模试卷(理科)

2020年安徽省合肥市高考数学三模试卷（理科）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（3分）已知R是实数集，集合A＝{﹣1，0，1}，B＝{x|2x﹣1≥0}，则A∩（∁R B）＝（）A．B．C．{1}D．{﹣1，0}2．（3分）已知i是实数集，复数z满足z+z•i＝3+i，则复数z的共轭复数为（）A．1+2i B．1﹣2i C．2+i D．2﹣i3．（3分）执行如图所示的程序框图，若输入x＝﹣1，则输出的y＝（）A．B．C．D．4．（3分）已知S n是等差数列{a n}的前n项和，若a1+a2+a3＝4，S6＝10，则a3＝（）A．B．C．D．5．（3分）某企业的一种商品的产量与单位成本数据如表：产量x（万件）1416182022单位成本y（元/件）12107a3若根据表中提供的数据，求出y关于x的线性回归方程为，则a的值等于（）A．4.5B．5C．5.5D．66．（3分）若直线y＝k（x+1）与不等式组表示的平面区域有公共点，则实数k 的取值范围是（）A．（﹣∞，1]B．[0，2]C．[﹣2，1]D．（﹣2，2]7．（3分）为了得到函数y＝sin x的图象，只需将函数的图象（）A．横坐标伸长为原来的两倍，纵坐标不变，再向右平移个单位B．横坐标伸长为原来的两倍，纵坐标不变，再向左平移个单位C．横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，再向右平移个单位D．横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，再向左平移个单位8．（3分）若a，b是从集合{﹣1，1，2，3，4}中随机选取的两个不同元素，则使得函数f（x）＝x5a+x b是奇函数的概率为（）A．B．C．D．9．（3分）已知直线与圆交于点M，N，点P在圆C上，且，则实数a的值等于（）A．2或10B．4或8C．D．10．（3分）已知F是抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点，抛物线C上动点A，B满足，若A，B的准线上的射影分别为M，N且△MFN的面积为5，则|AB|＝（）A．B．C．D．11．（3分）若存在两个正实数x，y使得等式x（1+lnx）＝xlny﹣ay成立（其中lnx，lny 是以e为底的对数），则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．12．（3分）如图，边长为1的菱形ABCD中，∠DAB＝60°，沿BD将△ABD翻折，得到三棱锥A﹣BCD，则当三棱锥A﹣BCD体积最大时，异面直线AD与BC所成的角的余弦值为（）A．B．C．D．二、填空题.把答案填在答题卡的相应位置.13．（3分）已知，，若，则k＝．14．（3分）在的展开式中，x4的系数为．15．（3分）已知函数，若对任意实数x，恒有f（a1）≤f （x）≤f（a2），则cos（a1﹣a2）＝．16．（3分）如图是数学家GerminalDandelin用来证明一个平面截圆锥得到的截口曲线是椭圆的模型（称为“Dandelin双球”）；在圆锥内放两个大小不同的小球，使得它们分别与圆锥的侧面、截面相切，设图中球O1，球O2的半径分别为3和1，球心距离|O1O2|＝8，截面分别与球O1，球O2切于点E，F，（E，F是截口椭圆的焦点），则此椭圆的离心率等于．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知数列{a n}满足a1＝1，a n＝2a n﹣1+2n﹣1（n≥2），数列{b n}满足b n＝a n+2n+3．（Ⅰ）求证数列{b n}是等比数列；（Ⅱ）求数列{a n}的前n项和S n．18．在第十五次全国国民阅读调查中，某地区调查组获得一个容量为200的样本，其中城镇居民150人，农村居民50人．在这些居民中，经常阅读的城镇居民100人，农村居民24人．（Ⅰ）填写下面列联表，并判断是否有97.5%的把握认为，经常阅读与居民居住地有关？城镇居民农村居民合计经常阅读10024不经常阅读合计200（Ⅱ）从该地区居民城镇的居民中，随机抽取4位居民参加一次阅读交流活动，记这4位居民中经常阅读的人数为X，若用样本的频率作为概率，求随机变量X的分布列和期望．附：，其中n＝a+b+c+dP（K2≥k0）0.100.050.0250.0100.0050.001 k0 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.82819．已知：在四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，，G是PB的中点，△PAD 是等边三角形，平面PAD⊥平面ABCD．（Ⅰ）求证：CD⊥平面GAC；（Ⅱ）求二面角P﹣AG﹣C的余弦值．20．已知直线l经过椭圆的右焦点（1，0），交椭圆C于点A，B，点F为椭圆C的左焦点，△ABF的周长为8．．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）若直线m与直线l的倾斜角互补，且交椭圆C于点M、N，|MN|2＝4|AB|，求证：直线m与直线l的交点P在定直线上．21．已知函数f（x）＝x2﹣axlnx+a+1（e为自然对数的底数）（Ⅰ）试讨论函数f（x）的导函数y＝f'（x）的极值；（Ⅱ）若∀x∈[1，e]（e为自然对数的底数），f（x）＞0恒成立，求实数a的取值范围．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数，α∈[0，π]）．在以直角坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线E的方程为ρ2（1+3sin2θ）＝4．（1）求曲线C的普通方程和曲线E的直角坐标方程；（2）若直线l：x＝t分别交曲线C、曲线E于点A，B，求△AOB的面积的最大值．[选修4-5：不等式选讲]23．设f（x）＝3|x﹣1|+|x+1|的最小值为k．（1）求实数k的值；（2）设m，n∈R，m≠0，m2+4n2＝k，求证：+≥．2020年安徽省合肥市高考数学三模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（3分）已知R是实数集，集合A＝{﹣1，0，1}，B＝{x|2x﹣1≥0}，则A∩（∁R B）＝（）A．B．C．{1}D．{﹣1，0}【解答】解：因为，所以∁R B＝{x|x＜}．又A＝{﹣1，0，1}，所以A∩（∁R B）＝{﹣1，0}．故选：D．2．（3分）已知i是实数集，复数z满足z+z•i＝3+i，则复数z的共轭复数为（）A．1+2i B．1﹣2i C．2+i D．2﹣i【解答】解：z+z•i＝3+i可化为z＝＝＝＝2﹣i∴z的共轭复数为＝2+i，故选：C．3．（3分）执行如图所示的程序框图，若输入x＝﹣1，则输出的y＝（）A．B．C．D．【解答】解：输入x＝﹣1，，不成立，；，成立，跳出循环，输出．故选：D．4．（3分）已知S n是等差数列{a n}的前n项和，若a1+a2+a3＝4，S6＝10，则a3＝（）A．B．C．D．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d．∵a1+a2+a3＝4，S6＝10，∴3a1+3d＝4，6a1+d＝10，联立解得：a1＝，d＝∴．故选：A．5．（3分）某企业的一种商品的产量与单位成本数据如表：产量x（万件）1416182022单位成本y（元/件）12107a3若根据表中提供的数据，求出y关于x的线性回归方程为，则a的值等于（）A．4.5B．5C．5.5D．6【解答】解：由标准数据，计算＝×（14+16+18+20+22）＝18，＝×（12+10+7+a+3）＝；由点（，）在线性回归方程＝﹣1.15x+28.1上，∴＝﹣1.15×18+28.1，则32+a＝7.4×5，解得a＝5．故选：B．6．（3分）若直线y＝k（x+1）与不等式组表示的平面区域有公共点，则实数k 的取值范围是（）A．（﹣∞，1]B．[0，2]C．[﹣2，1]D．（﹣2，2]【解答】解：画出不等式组表示的平面区域，如下图所示直线y＝k（x+1）过定点A（﹣1，0），直线y＝k（x+1）经过不等式组表示的平面区域有公共点则k＞0，k AC＝＝2，∴k∈[0，2]．故选：B．7．（3分）为了得到函数y＝sin x的图象，只需将函数的图象（）A．横坐标伸长为原来的两倍，纵坐标不变，再向右平移个单位B．横坐标伸长为原来的两倍，纵坐标不变，再向左平移个单位C．横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，再向右平移个单位D．横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，再向左平移个单位【解答】解：将函数的图象横坐标伸长为原来的两倍，纵坐标不变，可得y＝sin（x+）的图象；再把它的图象再向右平移个单位，可得y＝sin x的图象，故选：A．8．（3分）若a，b是从集合{﹣1，1，2，3，4}中随机选取的两个不同元素，则使得函数f（x）＝x5a+x b是奇函数的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：从集合{﹣1，1，2，3，4}中随机选取的两个不同元素共有种，要使得函数f（x）＝x5a+x b是奇函数，必须a，b都为奇数共有＝6 种，则函数f（x）＝x5a+x b是奇函数的概率为P＝＝．故选：B．9．（3分）已知直线与圆交于点M，N，点P在圆C上，且，则实数a的值等于（）A．2或10B．4或8C．D．【解答】解：由可得．在△MCN中，CM＝CN＝2，，可得点到直线MN，即直线的距离为．所以，解得a＝4或8．故选：B．10．（3分）已知F是抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点，抛物线C上动点A，B满足，若A，B的准线上的射影分别为M，N且△MFN的面积为5，则|AB|＝（）A．B．C．D．【解答】解：过点A作x轴的垂线，垂足为C，交NB的延长线于点D．设A（，y1），B（，y2），则MN＝y1﹣y2．∵S△MFN＝5，∴，即（y1﹣y2）p＝10，①∵，∴，即，∴y1＝﹣4y2，②∵AF＝AM＝，，∴，③联立①②③解得y1＝4，y2＝﹣1，p＝2．∴|AB|＝．故选：D．11．（3分）若存在两个正实数x，y使得等式x（1+lnx）＝xlny﹣ay成立（其中lnx，lny 是以e为底的对数），则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．【解答】解：x（1+lnx）＝xlny﹣ay可化为a＝，令，则t＞0，f（t）＝﹣t﹣tlnt，∵f′（t）＝﹣2﹣lnt，∴函数f（t）在区间上单调递增，在区间上单调递减．即＝＝则a∈．故选：C．12．（3分）如图，边长为1的菱形ABCD中，∠DAB＝60°，沿BD将△ABD翻折，得到三棱锥A﹣BCD，则当三棱锥A﹣BCD体积最大时，异面直线AD与BC所成的角的余弦值为（）A．B．C．D．【解答】解：△ABD、△CBD为边长为1的等边三角形，将△ABD沿BD翻折形成三棱锥A﹣BCD如图：点A在底面BDC的投影在∠DCB的平分线CE上，则三棱锥A﹣BCD的高为△AEC 过A点的高；所以当平面ABD⊥平面BCD时，三棱锥A﹣BCD的高最大，体积也最大，此时AE⊥平面BCD；求异面直线AD与BC所成的角的余弦值：平移BC到DC′位置，|cos∠ADC′|即为所求，AD＝DC＝1，AE＝，EC′＝，AC′＝|cos∠ADC′|＝||＝，所以异面直线AD与BC所成的角的余弦值为，故选：B．二、填空题.把答案填在答题卡的相应位置.13．（3分）已知，，若，则k＝8．【解答】解：+2＝（9，2+2k），3﹣＝（﹣1，6﹣k）；∵（+2）∥（3﹣），∴9（6﹣k）﹣（﹣1）（2+2k）＝0，解得k＝8．故答案为：8．14．（3分）在的展开式中，x4的系数为﹣．【解答】解：通项公式T k+1＝（x3）8﹣k（﹣）k＝（﹣）k x24﹣4k，由题意可知24﹣4k＝4，解得k＝5则x4的系数为（﹣）5＝﹣，故答案为：﹣．15．（3分）已知函数，若对任意实数x，恒有f（a1）≤f （x）≤f（a2），则cos（a1﹣a2）＝﹣．【解答】解：∵＝2cos[+（x﹣）]cos（x﹣）+sin x＝cos2x+sin x＝﹣2sin2x+sin x+1，∵sin x∈[﹣1，1]，∴f（x）∈（﹣2，），对任意实数x，恒有f（a1）≤f（x）≤f（a2），则f（a1）＝﹣2，f（a2）＝，即sin a1＝﹣1，sin a2＝，cos a1＝0，∴cos（a1﹣a2）＝cos a1cos a2+sin a1sin a2＝0+＝﹣．16．（3分）如图是数学家GerminalDandelin用来证明一个平面截圆锥得到的截口曲线是椭圆的模型（称为“Dandelin双球”）；在圆锥内放两个大小不同的小球，使得它们分别与圆锥的侧面、截面相切，设图中球O1，球O2的半径分别为3和1，球心距离|O1O2|＝8，截面分别与球O1，球O2切于点E，F，（E，F是截口椭圆的焦点），则此椭圆的离心率等于．【解答】解：如图，圆锥面与其内切球O1、O2分别相切与B，A，连接O1B，O2A，则O1B⊥AB，O2A⊥AB，过O1作O1D⊥O2A于D，连接O1F，O2E，EF交O1O2于点C．设圆锥母线与轴的夹角为α，截面与轴的夹角为β．在Rt△O1O2D中，DO2＝3﹣1＝2，O1D＝＝2．∴cosα＝＝＝．∵O1O2＝8，CO2＝8﹣O1C，∵△EO2C∽△FO1C，∴＝，解得O1C＝2．∴CF＝＝＝．即cosβ＝＝．则椭圆的离心率e＝＝＝．故答案为：．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知数列{a n}满足a1＝1，a n＝2a n﹣1+2n﹣1（n≥2），数列{b n}满足b n＝a n+2n+3．（Ⅰ）求证数列{b n}是等比数列；（Ⅱ）求数列{a n}的前n项和S n．【解答】解：（Ⅰ）证明：当n＝1时，a1＝1，故b1＝6．当n≥2时，a n＝2a n﹣1+2n﹣1，则b n＝a n+2n+3＝2（a n﹣1+2n﹣1+2n+3＝2[a n﹣1+2（n﹣1）+3]，∴b n＝2b n﹣1，∴数列列{b n}是等比数列，首项为6，公比为2．（Ⅱ）由（Ⅰ）得b n＝3×2n，∴a n＝b n﹣2n﹣3＝3×2n﹣2n﹣3，∴S n＝3×（2+22+……+2n）﹣[5+7+……+（2n+3）]＝3×﹣＝3×2n+1﹣n2﹣4n﹣6．18．在第十五次全国国民阅读调查中，某地区调查组获得一个容量为200的样本，其中城镇居民150人，农村居民50人．在这些居民中，经常阅读的城镇居民100人，农村居民24人．（Ⅰ）填写下面列联表，并判断是否有97.5%的把握认为，经常阅读与居民居住地有关？城镇居民农村居民合计经常阅读10024不经常阅读合计200（Ⅱ）从该地区居民城镇的居民中，随机抽取4位居民参加一次阅读交流活动，记这4位居民中经常阅读的人数为X，若用样本的频率作为概率，求随机变量X的分布列和期望．附：，其中n＝a+b+c+dP（K2≥k0）0.100.050.0250.0100.0050.001 k0 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828【解答】解：（Ⅰ）由题意得：城镇居民农村居民合计经常阅读100 24 124不经常阅读50 26 76合计150 50 200则K2＝＝≈5.546＞5.024，所以，有97.5%的把握认为经常阅读与居民居住地有关．（Ⅱ）根据样本估计，从该地区城镇居民中随机抽取1人，抽到经常阅读的人的概率是，且x～B（4，），P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝＝，P（X＝2）＝＝，P（X＝3）＝＝，P（X＝4）＝＝，所以X的分布列为：X0 1 2 3 4P∴E（X）＝＝．19．已知：在四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，，G是PB的中点，△PAD 是等边三角形，平面PAD⊥平面ABCD．（Ⅰ）求证：CD⊥平面GAC；（Ⅱ）求二面角P﹣AG﹣C的余弦值．【解答】（Ⅰ）证明：取AD的中点为O，连结OP，OC，OB，设OB交AC于H，连结GH．∵AD∥BC，，∴四边形ABCO与四边形OBCD均为菱形∴OB⊥AC，OB∥CD，则CD⊥AC，∵△PAD为等边三角形，O为AD的中点，∴PO⊥AD，∵平面PAD⊥平面ABCD且平面PAD∩平面ABCD＝AD．PO⊂平面PAD且PO⊥AD，∴PO⊥平面ABCD，∵CD⊂平面ABCD，∴PO⊥CD，∵H，G分别为OB，PB的中点，∴GH∥PO，∴GH⊥CD．又∵GH∩AC＝H，AC，GH⊂平面GAC，∴CD⊥平面GAC；（Ⅱ）解：取BC的中点为E，以O为空间坐标原点，分别以，，的方向为x 轴、y轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz．设AD＝4，则P（0，0，2），A（0，﹣2，0），C（，1，0），D（0，2，0），G（，，）．＝（0，2，2），＝（，，）．设平面PAG的一法向量＝（x，y，z）．由，得，即．令z＝1，则＝（1，，1）．由（Ⅰ）可知，平面AGC的一个法向量．∴二面角P﹣AG﹣C的平面角θ的余弦值cosθ＝．20．已知直线l经过椭圆的右焦点（1，0），交椭圆C于点A，B，点F为椭圆C的左焦点，△ABF的周长为8．．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）若直线m与直线l的倾斜角互补，且交椭圆C于点M、N，|MN|2＝4|AB|，求证：直线m与直线l的交点P在定直线上．【解答】解：（Ⅰ）由已知，得，∴，∴b2＝3，∴椭圆C的标准方程．（Ⅱ）若直线l的斜率不存在，则直线m的斜率也不存在，这与直线m与直线l相交于点P矛盾，所以直线l的斜率存在．令l：y＝k（x﹣1），（k≠0），m：y＝﹣k（x+t），A（x1，y1），B（x2，y2），M（x M，y M），N（x N，y N）．将直线m的方程代入椭圆方程得：（3+4k2）x2+8k2tx+4（k2t2﹣3）＝0，∴x M+x N ＝﹣，x M x N ＝，|MN|2＝（1+k2）．同理|AB|＝＝．由|MN|2＝4|AB|得t＝0，此时，△＝64k4t2﹣16（3+4k2）（k2t2﹣3）＞0，∴直线m：y＝﹣kx，∴，即点P的定直线x ＝上．21．已知函数f（x）＝x2﹣axlnx+a+1（e为自然对数的底数）（Ⅰ）试讨论函数f（x）的导函数y＝f'（x）的极值；（Ⅱ）若∀x∈[1，e]（e为自然对数的底数），f（x）＞0恒成立，求实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞）．g（x）＝f'（x）＝2x﹣alnx﹣a，g'（x）＝2﹣当a≤0时，g'（x）＞0，函数y＝g（x）在（0，+∞）单调递增，函数y＝g（x）没有极值．当a＞0时，由g'（x）＝0，得x ＝，函数y＝g（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增．函数y＝g（x ）的极小值为，没有极大值．（Ⅱ）对∀x∈[1，e]，f（x）＞0恒成立，即对∀x∈[1，e]，x2﹣axlnx+a+1＞0，∴对∀x∈[1，e]，x﹣alnx +＞0．令h（x）＝x﹣alnx +，则h'（x）＝1﹣＝．①当a+1≤1，即a≤0时，对∀x∈[1，e]，h'（x）≥0，∴h（x）在[1，e]上单调递增，∴h（x）min＝h（1）＝1﹣0+＞0，解得a＞﹣2，∴﹣2＜a≤0满足题意．②当a+1≥qe时，即a≥qe﹣1，对∀x∈[1，e]，h'（x）≤0，∴h（x）在[1，e]上单调第21页（共23页）递减，h（x）min＝h（e）＝e﹣a +＞0，解得a ＜∴e﹣1满足题意．③当1＜a+1＜e，即0＜a＜e﹣1时，对于x∈[1，a+1]，h'（x）＜0；对于x∈[a+1，e]，h'（x）＞0．∴h（x）在[1，a+1]上单调递减，在[a+1，e]上单调递增，∴．即1+﹣ln（a+1）＞0设H（a）＝1+﹣ln（a+1），由于H（a）在（0，e﹣1）单调递减，∴H（a）＞1﹣＞0，即h（x）min＝aH（a）＞0，∴0＜a＜e﹣1满足题意．综上①②③可得，a 的取值范围为：．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，曲线C 的参数方程为（α为参数，α∈[0，π]）．在以直角坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线E的方程为ρ2（1+3sin2θ）＝4．（1）求曲线C的普通方程和曲线E的直角坐标方程；（2）若直线l：x＝t分别交曲线C、曲线E于点A，B，求△AOB的面积的最大值．【解答】解：（1）由（α为参数，α∈[0，π]）．消去参数α，可得曲线C的普通方程为x2+y2＝4（y≥0）．由ρ2（1+3sin2θ）＝4，可得ρ2+3（ρsinθ）2＝4，则x2+y2+3y2＝4，则曲线E 的直角坐标方程为；（2）设A（2cosα，2sinα），α∈[0，π]，其中t＝2cosα，则B（2cosα，±sinα）．要使得△AOB面积的最大，则B（2cosα，﹣sinα）．∴＝＝．第22页（共23页）∵2α∈[0，2π]，∴sin2α∈[﹣1，1]．当，即时，△AOB 的面积取最大值．[选修4-5：不等式选讲]23．设f（x）＝3|x﹣1|+|x+1|的最小值为k．（1）求实数k的值；（2）设m，n∈R，m≠0，m2+4n2＝k ，求证：+≥．【解答】解：（1）f（x）＝3|x﹣1|+|x+1＝，当x＝1时，f（x）取得最小值，即k＝f（1）＝2；（2）证明：依题意，m2+4n2＝2，则m2+4（n2+1）＝6．所以＝＝，当且仅当，即m2＝2，n2＝0时，等号成立．所以．第23页（共23页）。

2019-2020学年合肥市高考第三次教学质量检测数学模拟试题(理)有答案

2019-2020学年合肥市高考第三次教学质量检测数学模拟试题(理)有答案

合肥市高三第三次教学质量检测数学试题(理科)(考试时间：120分钟 满分：150分)第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数2i1iz =+(i 为虚数单位)，则z = A.3 B.2 C.3 D.22.已知集合{}220A x R x x =∈-≥，{}2210B x R x x =∈--=，则()C R A B =IA.∅B.12⎧⎫-⎨⎬⎩⎭C.{}1D.1 12⎧⎫-⎨⎬⎩⎭，3.已知椭圆2222:1y x E a b+=(0a b >>)经过点A()5 0，，()0 3B ，，则椭圆E 的离心率为 A.23B.5C.49 D.594.已知111 2 3 23α⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭，，，，，若()f x x α=为奇函数，且在()0 +∞，上单调递增，则实数α的值是 A.-1，3B.13，3C.-1，13，3D.13，12，35.若l m ，为两条不同的直线，α为平面，且l α⊥，则“//m α”是“m l ⊥”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 6.已知()()*12nx n N -∈展开式中3x 的系数为80-，则展开式中所有项的二项式系数之和为A.64B.32C.1D.1-7.已知非零实数a b ，满足a a b b >，则下列不等式一定成立的是A.33a b >B.22a b >C.11a b < D.1122log log a b < 8.运行如图所示的程序框图，若输出的s 值为10-，则判断框内的条件应该是A.3?k <B.4?k <C.5?k <D.6?k <9.若正项等比数列{}n a 满足()2*12n n n a a n N +=∈，则65a a -的值是A.2B.162-C.2D.16210.如图，给7条线段的5个端点涂色，要求同一条线段的两个端点不能同色，现有4种不同的颜色可供选择，则不同的涂色方法种数有A.24B.48C.96D.12011.我国古代《九章算术》将上下两面为平行矩形的六面体称为刍童.如图所示为一个刍童的三视图，其中正视图及侧视图均为等腰梯形，两底的长分别为2和4，高为2，则该刍童的表面积为A.125B.40C.16123+D.16125+ 12.已知函数()22f x x x a =---有零点12x x ，，函数()2(1)2g x x a x =-+-有零点34x x ，，且3142x x x x <<<，则实数a 的取值范围是A.924⎛⎫-- ⎪⎝⎭，B.9 04⎛⎫- ⎪⎝⎭， C.(-2，0)D.()1 +∞，第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题—第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)题、第(23)题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.把答案填在答题卡相应的位置.(13)若实数x y ，满足条件1010330x y x y x y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩，则2z x y =-的最大值为.(14)已知()23 0OA =u u r ，，()0 2OB =uu u r ，，AC t AB t R =∈u u u r u u u r，，当OC uuu r 最小时，t =. (15)在ABC ∆中，内角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，.若45A =o ，2sin sin 2sin b B c C a A -=，且ABC ∆的面积等于3，则b =.(16)设等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项的和为n S ，若数列{}n S n +也是公差为d 的等差数列，则=n a .三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． (17)(本小题满分12分)已知函数()13sin cos cos 223f x x x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭.(Ⅰ)求函数()f x 图象的对称轴方程； (Ⅱ)将函数()f x 图象向右平移4π个单位，所得图象对应的函数为()g x .当0 2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，求函数()g x 的值域.(18)(本小题满分12分)2018年2月9-25日，第23届冬奥会在韩国平昌举行.4年后，第24届冬奥会将在中国北京和张家口举行.为了宣传冬奥会，某大学在平昌冬奥会开幕后的第二天，从全校学生中随机抽取了120名学生，对是否收看平昌冬奥会开幕式情况进行了问卷调查，统计数据如下：(Ⅰ)根据上表说明，能否有99%的把握认为，收看开幕式与性别有关？(Ⅱ)现从参与问卷调查且收看了开幕式的学生中，采用按性别分层抽样的方法，选取12人参加2022年北京冬奥会志愿者宣传活动.(ⅰ)问男、女学生各选取了多少人？(ⅱ)若从这12人中随机选取3人到校广播站开展冬奥会及冰雪项目的宣传介绍，设选取的3人中女生人数为X ，写出X 的分布列，并求()E X .附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.(19)(本小题满分12分)如图，在多面体ABCDE 中，平面ABD ⊥平面ABC ，AB AC ⊥，AE BD ⊥，DE P 12AC ，AD=BD=1.(Ⅰ)求AB 的长；(Ⅱ)已知24AC ≤≤，求点E 到平面BCD 的距离的最大值.(20)(本小题满分12分)已知抛物线2:2C y px =(0p >)的焦点为F ，以抛物线上一动点M 为圆心的圆经过点F.若圆M 的面积最小值为π.EDCBA(Ⅰ)求p 的值；(Ⅱ)当点M 的横坐标为1且位于第一象限时，过M 作抛物线的两条弦MA MB ，，且满足AMF BMF ∠=∠.若直线AB 恰好与圆M 相切，求直线AB 的方程.(21)(本小题满分12分)已知函数()212x f x e x ax =--有两个极值点12x x ，(e 为自然对数的底数). (Ⅰ)求实数a 的取值范围； (Ⅱ)求证：()()122f x f x +>.请考生在第(22)、(23)题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时，请用2B 铅笔在答题卡上，将所选题号对应的方框涂黑. (22)(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为11x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数)，圆C 的方程为()()22215x y -+-=.以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.(Ⅰ)求直线l 及圆C 的极坐标方程；(Ⅱ)若直线l 与圆C 交于AB ，两点，求cos AOB ∠的值.(23)(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲已知函数()13f x x x =-+-． (Ⅰ)解不等式()1f x x ≤+；(Ⅱ)设函数()f x 的最小值为c ，实数a b ，满足0a >，0b >，a b c +=，求证：22111a b a b +≥++.合肥市高三第三次教学质量检测数学试题 (理科)参考答案及评分标准一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.(13)4 (14)34(15)3 (16)1na=-或1524na n=-三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.(17)(本小题满分12分)(Ⅰ)()11cos cos22cos2234f x x x x x xπ⎛⎫=--=-⎪⎝⎭1sin226xπ⎛⎫=-⎪⎝⎭.令262x k k Zπππ-=+∈，，解得32kxππ=+.∴函数()f x图象的对称轴方程为32kx k Zππ=+∈，. …………………………5分(Ⅱ)易知()12sin223g x xπ⎛⎫=-⎪⎝⎭.∵02xπ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，∴222333xπππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，，∴2sin213xπ⎡⎛⎫-∈-⎢⎪⎝⎭⎣⎦，∴()121sin2232g x xπ⎡⎛⎫=-∈-⎢⎪⎝⎭⎣⎦，即当02xπ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，函数()g x的值域为12⎡-⎢⎣⎦. …………………………12分(18)(本小题满分12分)(Ⅰ)因为()22120602020207.5 6.63580408040K⨯⨯-⨯==>⨯⨯⨯，所以有99%的把握认为，收看开幕式与性别有关. ………………………5分(Ⅱ)(ⅰ)根据分层抽样方法得，男生31294⨯=人，女生11234⨯=人，所以选取的12人中，男生有9人，女生有3人. ………………………8分(ⅱ)由题意可知，X的可能取值有0，1，2，3.()()302193933312128410801220220C C C CP X P XC C======，，()()1203939333121227123220220C C C C P X P X C C ======，， ∴X 的分布列是：X 0 1 23 P84220108220 272201220∴()84108271301232202202202204E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. ……………………12分(19)(本小题满分12分)(Ⅰ)∵平面ABD ⊥平面ABC ，且交线为AB ，而AC⊥AB，∴AC⊥平面ABD. 又∵DE∥AC，∴DE⊥平面ABD ，从而DE⊥BD .注意到BD⊥AE，且DE∩AE=E，∴BD⊥平面ADE ，于是，BD⊥AD . 而AD=BD=1，∴2AB =. ………………………5分(Ⅱ)∵AD=BD，取AB 的中点为O ，∴DO⊥AB . 又∵平面ABD ⊥平面ABC ，∴DO⊥平面ABC.过O 作直线OY∥AC，以点O 为坐标原点，直线OB ，OY ，OD分别为x y z ，，轴，建立空间直角坐标系O xyz -，如图所示.记2AC a =，则12a ≤≤，22 0 0 0 0A B ⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，，， 22 2 00 0 C a D ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，，，20E a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，，，()2 2 0BC a =-，，u u u r ，22 0 BD ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，，u u u r . 令平面BCD 的一个法向量为()n x y z =，，r.由00BC n BD n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r r u u u r r 得220220x ay x z ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩.令2x =，得12 2n a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，，r . 又∵()0 0DE a =-，，u u u r ，∴点E 到平面BCD 的距离2||14DE n d n a⋅==+u u u r rr . ∵12a ≤≤，∴当2a =时，d 取得最大值，max 217=144d =+.………………………12分(20)(本小题满分12分)(Ⅰ)由抛物线的性质知，当圆心M 位于抛物线的顶点时，圆M 的面积最小，此时圆的半径为2p OF =，∴24P ππ=，解得2p =. ……………………4分(Ⅱ)依题意得，点M 的坐标为(1，2)，圆M 的半径为2.由F (1，0)知，MF x ⊥轴.由AMF BMF ∠=∠知，弦MA ，MB 所在直线的倾斜角互补，∴0MA MB k k +=. 设MA k k =(0k ≠)，则直线MA 的方程为()12y k x =-+，∴()121x y k=-+， 代入抛物线的方程得，()21421y y k ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，∴24840y y k k -+-=，∴4422A A y y k k+==-，. 将k 换成k -，得42B y k=--， ∴22441444A B A B AB A B A B A B y y y y k x x y y y y --=====--+--.设直线AB 的方程为y x m =-+，即0x y m +-=. 由直线AB 与圆M2=，解得3m =±经检验3m =+3m =+.∴所求直线AB的方程为3y x =-+-. ……………………12分(21)(本小题满分12分)(Ⅰ)∵()212x f x e x ax =--，∴()x f x e x a '=--. 设()x g x e x a =--，则()1x g x e '=-. 令()10x g x e '=-=，解得0x =.∴当() 0x ∈-∞，时，()0g x '<；当()0x ∈+∞，时，()0g x '>. ∴()()min 01g x g a ==-.当1a ≤时，()()0g x f x '=≥，∴函数()f x 单调递增，没有极值点；当1a >时，()010g a =-<，且当x →-∞时，()g x →+∞；当x →+∞时，()g x →+∞. ∴当1a >时，()()x g x f x e x a '==--有两个零点12x x ，. 不妨设12x x <，则120x x <<.∴当函数()f x 有两个极值点时，a 的取值范围为()1 +∞，. …………………5分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知，12x x ，为()0g x =的两个实数根，120x x <<，()g x 在() 0-∞，上单调递减. 下面先证120x x <-<，只需证()()210g x g x -<=.∵()2220x g x e x a =--=，得22x a e x =-，∴()2222222x x x g x e x a e e x ---=+-=-+.设()2x x h x e e x -=-+，0x >，则()120x xh x e e'=--+<，∴()h x 在()0 +∞，上单调递减， ∴()()00h x h <=，∴()()220h x g x =-<，∴120x x <-<. ∵函数()f x 在()1 0x ，上也单调递减，∴()()12f x f x >-. ∴要证()()122f x f x +>，只需证()()222f x f x -+>，即证222220x x e e x -+-->.设函数()()220x x k x e e x x -=+--∈+∞，，，则()2x x k x e e x -'=--. 设()()2x x x k x e e x ϕ-'==--，则()20x x x e e ϕ-'=+->， ∴()x ϕ在()0+∞，上单调递增，∴()()00x ϕϕ>=，即()0k x '>. ∴()k x 在()0+∞，上单调递增，∴()()00k x k >=. ∴当()0x ∈+∞，时，220x x e e x -+-->，则222220x x e e x -+-->，∴()()222f x f x -+>，∴()()122f x f x +>. ………………………12分(22)(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程(Ⅰ)由直线l的参数方程11x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩得，其普通方程为2y x =+， ∴直线l 的极坐标方程为sin cos 2ρθρθ=+. 又∵圆C 的方程为()()22215x y -+-=， 将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入并化简得4cos 2sin ρθθ=+，∴圆C 的极坐标方程为4cos 2sin ρθθ=+. ……………………5分 (Ⅱ)将直线l ：sin cos 2ρθρθ=+，与圆C ：4cos 2sin ρθθ=+联立，得()()4cos 2sin sin cos 2θθθθ+-=， 整理得2sin cos 3cos θθθ=，∴tan 32πθθ==，或.不妨记点A 对应的极角为2π，点B 对应的极角为θ，且tan =3θ.于是，cos cos sin 2AOB πθθ⎛⎫∠=-== ⎪⎝⎭. ……………………10分(23)(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲(Ⅰ)()1f x x ≤+，即131x x x -+-≤+. (1)当1x <时，不等式可化为4211x x x -≤+≥，. 又∵1x <，∴x ∈∅；(2)当13x ≤≤时，不等式可化为211x x ≤+≥，. 又∵13x ≤≤，∴13x ≤≤.(3)当3x >时，不等式可化为2415x x x -≤+≤，. 又∵3x >，∴35x <≤.综上所得，13x ≤≤，或35x <≤，即15x ≤≤.∴原不等式的解集为[]1 5，. …………………5分 (Ⅱ)由绝对值不等式性质得，()()13132x x x x -+-≥-+-=， ∴2c =，即2a b +=.令11a m b n +=+=，，则11m n >>，，114a m b n m n =-=-+=，，， ()()2222211114441112m n a b m n a b m n m n mn m n --+=+=+++-=≥=+++⎛⎫ ⎪⎝⎭， 原不等式得证. …………………10分。

安徽省合肥市2019-2020学年中考数学三模试卷含解析

安徽省合肥市2019-2020学年中考数学三模试卷含解析

安徽省合肥市2019-2020学年中考数学三模试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．若※是新规定的某种运算符号，设a※b=b 2 -a，则-2※x=6中x的值（）A．4 B．8 C． 2 D．-22．某中学为了创建“最美校园图书屋”，新购买了一批图书，其中科普类图书平均每本书的价格是文学类图书平均每本书价格的1.2倍．已知学校用12000元购买文学类图书的本数比用这些钱购买科普类图书的本数多100本，那么学校购买文学类图书平均每本书的价格是多少元？设学校购买文学类图书平均每本书的价格是x元，则下面所列方程中正确的是（）A．1200012000100 1.2x x=+B．12000120001001.2x x=+C．1200012000100 1.2x x=-D．12000120001001.2x x=-3．2018的相反数是（）A．12018B．2018 C．-2018 D．12018-4．估计41的值在（）A．4和5之间B．5和6之间C．6和7之间D．7和8之间5．近两年，中国倡导的“一带一路”为沿线国家创造了约180000个就业岗位，将180000用科学记数法表示为（）A．1.8×105B．1.8×104C．0.18×106D．18×1046．如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，那么小巷的宽度为( )A．0.7米B．1.5米C．2.2米D．2.4米7．下列算式中，结果等于x6的是（）A．x2•x2•x2B．x2+x2+x2C．x2•x3D．x4+x28．某校决定从三名男生和两名女生中选出两名同学担任校艺术节文艺演出专场的主持人，则选出的恰为一男一女的概率是（）A．45B．35C．25D．159．对于反比例函数2yx=，下列说法不正确的是（）A．点（﹣2，﹣1）在它的图象上B．它的图象在第一、三象限C ．当x ＞0时，y 随x 的增大而增大D ．当x ＜0时，y 随x 的增大而减小10．小明和小亮按如图所示的规则玩一次“锤子、剪刀、布”游戏，下列说法中正确的是（ ）A ．小明不是胜就是输，所以小明胜的概率为12B ．小明胜的概率是13，所以输的概率是23 C ．两人出相同手势的概率为12D ．小明胜的概率和小亮胜的概率一样11．许昌市2017年国内生产总值完成1915.5亿元，同比增长9.3%，增速居全省第一位，用科学记数法表示1915.5亿应为（ ） A ．1915.15×108 B ．19.155×1010 C ．1.9155×1011D ．1.9155×101212．如图，⊙O 的直径AB 垂直于弦CD ，垂足为E.若60B ∠=︒，AC=3，则CD 的长为A ．6B ．23C ．3D ．3二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．A ．如果一个正多边形的一个外角是45°，那么这个正多边形对角线的条数一共有_____条． B ．用计算器计算：7•tan63°27′≈_____（精确到0.01）．14．对于实数a ，b ，我们定义符号max{a ，b}的意义为：当a≥b 时，max{a ，b}＝a ；当a ＜b 时，max{a ，b]＝b ；如：max{4，﹣2}＝4，max{3，3}＝3，若关于x 的函数为y ＝max{x+3，﹣x+1}，则该函数的最小值是_____．15．如图，MN 是⊙O 的直径，MN=4，∠AMN=40°，点B 为弧AN 的中点，点P 是直径MN 上的一个动点，则PA+PB 的最小值为_____．16．若关于x 的分式方程2122x a x -=-的解为非负数，则a 的取值范围是_____． 17．如果分式42x x -+的值为0，那么x 的值为___________． 18．如图，在△ABC 中，BD 和CE 是△ABC 的两条角平分线．若∠A ＝52°，则∠1＋∠2的度数为_______．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（6分）如图，抛物线y=ax 2﹣2ax+c （a≠0）与y 轴交于点C （0，4），与x 轴交于点A 、B ，点A 坐标为（4，0）．（1）求该抛物线的解析式；（2）抛物线的顶点为N ，在x 轴上找一点K ，使CK+KN 最小，并求出点K 的坐标；（3）点Q 是线段AB 上的动点，过点Q 作QE ∥AC ，交BC 于点E ，连接CQ ．当△CQE 的面积最大时，求点Q 的坐标；（4）若平行于x 轴的动直线l 与该抛物线交于点P ，与直线AC 交于点F ，点D 的坐标为（2，0）．问：是否存在这样的直线l ，使得△ODF 是等腰三角形？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．20．（6分）计算：033.14 3.1412cos45π⎫-+÷-⎪⎪⎝⎭o )()12009211-++-.21．（6分）某同学报名参加校运动会，有以下5个项目可供选择：径赛项目：100m ，200m ，400m(分别用1A 、2A 、3A 表示)；田赛项目：跳远，跳高(分别用1B 、2B 表示)．()1该同学从5个项目中任选一个，恰好是田赛项目的概率为______；()2该同学从5个项目中任选两个，利用树状图或表格列举出所有可能出现的结果，并求恰好是一个田赛项目和一个径赛项目的概率．22．（8分）已知：如图，抛物线y=ax 2+bx+c 与坐标轴分别交于点A （0，6），B （6，0），C （﹣2，0），点P 是线段AB 上方抛物线上的一个动点． （1）求抛物线的解析式；（2）当点P 运动到什么位置时，△PAB 的面积有最大值？（3）过点P 作x 轴的垂线，交线段AB 于点D ，再过点P 做PE ∥x 轴交抛物线于点E ，连结DE ，请问是否存在点P 使△PDE 为等腰直角三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．23．（8分）在学校组织的朗诵比赛中，甲、乙两名学生以抽签的方式从3篇不同的文章中抽取一篇参加比赛，抽签规则是：在3个相同的标签上分别标注字母A 、B 、C ，各代表1篇文章，一名学生随机抽取一个标签后放回，另一名学生再随机抽取．用画树状图或列表的方法列出所有等可能的结果，并求甲、乙抽中同一篇文章的概率．24．（10分）如图，已知O e 是ABC ∆的外接圆，圆心O 在ABC ∆的外部，4AB AC ==，43BC =，求O e 的半径.25．（10分）一辆汽车行驶时的耗油量为0.1升/千米，如图是油箱剩余油量y （升）关于加满油后已行驶的路程x （千米）的函数图象.根据图象，直接写出汽车行驶400千米时，油箱内的剩余油量，并计算加满油时油箱的油量；求y 关于x 的函数关系式，并计算该汽车在剩余油量5升时，已行驶的路程. 26．（12分）求抛物线y=x 2+x ﹣2与x 轴的交点坐标． 27．（12分）已知函数y=3x（x ＞0）的图象与一次函数y=ax ﹣2（a≠0）的图象交于点A （3，n ）． （1）求实数a 的值；（2）设一次函数y=ax ﹣2（a≠0）的图象与y 轴交于点B ，若点C 在y 轴上，且S △ABC =2S △AOB ，求点C 的坐标．参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．C 【解析】解：由题意得：226x +=，∴24x =，∴x=±1．故选C ． 2．B 【解析】 【分析】首先设文学类图书平均每本的价格为x 元，则科普类图书平均每本的价格为1.2x 元，根据题意可得等量关系：学校用12000元购买文学类图书的本数比用这些钱购买科普类图书的本数多100本，根据等量关系列出方程， 【详解】设学校购买文学类图书平均每本书的价格是x 元，可得：12000120001001.2x x=+ 故选B ． 【点睛】此题主要考查了分式方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程． 3．C 【解析】【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数进行解答即可得. 【详解】2018与-2018只有符号不同，由相反数的定义可得2018的相反数是-2018， 故选C.【点睛】本题考查了相反数的定义，熟练掌握相反数的定义是解题的关键. 4．C 【解析】<<，∴67<<.6和7之间.5．A【解析】【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【详解】180000=1.8×105，故选A．【点睛】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．6．C【解析】【分析】在直角三角形中利用勾股定理计算出直角边，即可求出小巷宽度.【详解】在Rt△A′BD中，∵∠A′DB=90°，A′D=2米，BD2+A′D2=A′B′2，∴BD2+22=6.25，∴BD2=2.25，∵BD＞0，∴BD=1.5米，∴CD=BC+BD=0.7+1.5=2.2米．故选C．【点睛】本题考查勾股定理的运用，利用梯子长度不变找到斜边是关键.7．A【解析】试题解析：A、x2•x2•x2=x6，故选项A符合题意；B、x2+x2+x2=3x2，故选项B不符合题意；C、x2•x3=x5，故选项C不符合题意；D、x4+x2，无法计算，故选项D不符合题意．故选A．8．B试题解析：列表如下：∴共有20种等可能的结果，P（一男一女）=123= 205．故选B．9．C【解析】【详解】由题意分析可知，一个点在函数图像上则代入该点必定满足该函数解析式，点（-2，-1）代入可得，x=-2时，y=-1，所以该点在函数图象上，A正确；因为2大于0所以该函数图象在第一，三象限，所以B正确；C中，因为2大于0，所以该函数在x＞0时，y随x的增大而减小，所以C错误；D中，当x＜0时，y 随x的增大而减小，正确，故选C.考点：反比例函数【点睛】本题属于对反比例函数的基本性质以及反比例函数的在各个象限单调性的变化10．D【解析】【分析】利用概率公式，一一判断即可解决问题.【详解】A、错误．小明还有可能是平；B、错误、小明胜的概率是13，所以输的概率是也是13；C、错误．两人出相同手势的概率为13；D 、正确．小明胜的概率和小亮胜的概率一样，概率都是13； 故选D ． 【点睛】本题考查列表法、树状图等知识．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 11．C 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为10n a ⨯的形式，其中110a ≤<，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值>1时，n 是正数；当原数的绝对值<1时，n 是负数． 【详解】用科学记数法表示1915.5亿应为1.9155×1011， 故选C ． 【点睛】考查科学记数法，掌握绝对值大于1的数的表示方法是解题的关键. 12．D 【解析】 【详解】解：因为AB 是⊙O 的直径，所以∠ACB=90°,又⊙O 的直径AB 垂直于弦CD ，60B ∠=︒，所以在Rt △AEC 中，∠A=30°,又AC=3，所以CE=12AB=32,所以CD=2CE=3， 故选D. 【点睛】本题考查圆的基本性质；垂经定理及解直角三角形，综合性较强，难度不大. 二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．） 13．20 5.1 【解析】 【分析】A 、先根据多边形外角和为360°且各外角相等求得边数，再根据多边形对角线条数的计算公式计算可得；B 、利用计算器计算可得． 【详解】A 、根据题意，此正多边形的边数为360°÷45°=8， 则这个正多边形对角线的条数一共有8(83)2⨯-=20，故答案为20；B•tan63°27′≈2.646×2.001≈5.1，故答案为5.1．【点睛】本题主要考查计算器-三角函数，解题的关键是掌握多边形的内角与外角、对角线计算公式及计算器的使用．14．2【解析】试题分析：当x+3≥﹣x+1，即：x≥﹣1时，y=x+3，∴当x=﹣1时，y min=2，当x+3＜﹣x+1，即：x＜﹣1时，y=﹣x+1，∵x＜﹣1，∴﹣x＞1，∴﹣x+1＞2，∴y＞2，∴y min=2，15．【解析】【分析】过A作关于直线MN的对称点A′，连接A′B，由轴对称的性质可知A′B即为PA+PB的最小值，【详解】解：连接OB，OA′，AA′，∵AA′关于直线MN对称，∴»¼''AN A N∵∠AMN=40°，∴∠A′ON=80°，∠BON=40°，∴∠A′OB=120°，过O作OQ⊥A′B于Q，在Rt△A′OQ中，OA′=2，∴A′B=2A′Q=即PA+PB 的最小值【点睛】本题考查轴对称求最小值问题及解直角三角形，根据轴对称的性质准确作图是本题的解题关键. 16．1a ≥-且2a ≠ 【解析】分式方程去分母得：2（2x-a ）=x-2， 去括号移项合并得：3x=2a-2， 解得：223a x -=， ∵分式方程的解为非负数， ∴2203a -≥且 22203a --≠， 解得：a≥1 且a≠4 ． 17．4 【解析】 【详解】 ∵402x x -=+， ∴x-4=0，x+2≠0， 解得：x=4， 故答案为4. 18．64° 【解析】解：∵∠A=52°，∴∠ABC+∠ACB=128°．∵BD 和CE 是△ABC 的两条角平分线，∴∠1=12∠ABC ，∠2=12∠ACB ，∴∠1+∠2=12（∠ABC+∠ACB ）=64°．故答案为64°． 点睛：本题考查的是三角形内角和定理、角平分线的定义，掌握三角形内角和等于180°是解题的关键． 三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（1）y=﹣2142x x ++；（1）点K 的坐标为（817，0）；（2）点P 的坐标为：（1）或（1，1）或（，2）或（1，2）． 【解析】试题分析：（1）把A 、C 两点坐标代入抛物线解析式可求得a 、c 的值，可求得抛物线解析；（1）可求得点C 关于x 轴的对称点C′的坐标，连接C′N 交x 轴于点K ，再求得直线C′K 的解析式，可求得K 点坐标；（2）过点E 作EG ⊥x 轴于点G ，设Q （m ，0），可表示出AB 、BQ ，再证明△BQE ≌△BAC ，可表示出EG，可得出△CQE关于m的解析式，再根据二次函数的性质可求得Q点的坐标；（4）分DO=DF、FO=FD和OD=OF三种情况，分别根据等腰三角形的性质求得F点的坐标，进一步求得P点坐标即可．试题解析：（1）∵抛物线经过点C（0，4），A（4，0），∴416840ca a=⎧⎨-+=⎩，解得124ac⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴抛物线解析式为y=﹣12x1+x+4；（1）由（1）可求得抛物线顶点为N（1，92），如图1，作点C关于x轴的对称点C′（0，﹣4），连接C′N交x轴于点K，则K点即为所求，设直线C′N的解析式为y=kx+b，把C′、N点坐标代入可得924k bb⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，解得1724kb⎧=⎪⎨⎪=-⎩，∴直线C′N的解析式为y=172x-4 ，令y=0，解得x=817，∴点K的坐标为（817，0）；（2）设点Q（m，0），过点E作EG⊥x轴于点G，如图1，由﹣12x1+x+4=0，得x1=﹣1，x1=4，∴点B 的坐标为（﹣1，0），AB=6，BQ=m+1，又∵QE ∥AC ，∴△BQE ≌△BAC ， ∴EG BQ CO BA = ，即246EG m += ，解得EG=243m + ； ∴S △CQE =S △CBQ ﹣S △EBQ =12（CO-EG ）·BQ=12（m+1）（4-243m +） =2128-333m m ++ =-13（m-1）1+2 ． 又∵﹣1≤m≤4，∴当m=1时，S △CQE 有最大值2，此时Q （1，0）；（4）存在．在△ODF 中，（ⅰ）若DO=DF ，∵A （4，0），D （1，0），∴AD=OD=DF=1．又在Rt △AOC 中，OA=OC=4，∴∠OAC=45°．∴∠DFA=∠OAC=45°．∴∠ADF=90°．此时，点F 的坐标为（1，1）．由﹣12x 1+x+4=1，得x 1=1+5 ，x 1=1﹣5． 此时，点P 的坐标为：P 1（1+5，1）或P 1（1﹣5，1）；（ⅱ）若FO=FD ，过点F 作FM ⊥x 轴于点M ．由等腰三角形的性质得：OM=12OD=1， ∴AM=2． ∴在等腰直角△AMF 中，MF=AM=2．∴F （1，2）．由﹣12x 1+x+4=2，得x 13x 1=13． 此时，点P 的坐标为：P 2（32）或P 4（13，2）；（ⅲ）若OD=OF ，∵OA=OC=4，且∠AOC=90°．∴．∴点O 到AC 的距离为．而OF=OD=1＜矛盾．∴在AC 上不存在点使得OF=OD=1．此时，不存在这样的直线l ，使得△ODF 是等腰三角形．综上所述，存在这样的直线l ，使得△ODF 是等腰三角形．所求点P 的坐标为：（1）或（11）或（，2）或（1，2）．点睛：本题是二次函数综合题，主要考查待定系数法、三角形全等的判定与性质、等腰三角形的性质等，能正确地利用数形结合思想、分类讨论思想等进行解题是关键.20．π【解析】【分析】根据绝对值的性质、零指数幂的性质、特殊角的三角函数值、负整数指数幂的性质、二次根式的性质及乘方的定义分别计算后，再合并即可【详解】原式()3.14 3.141π=--+÷ ()212-⨯+-13.14 3.14121π=-+--11π=-π=.【点睛】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．21． (1)25;(2)35. 【解析】【分析】（1）由5个项目中田赛项目有2个，直接利用概率公式求解即可求得答案；（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与恰好是一个田赛项目和一个径赛项目的情况，再利用概率公式即可求得答案．【详解】（1）∵5个项目中田赛项目有2个，∴该同学从5个项目中任选一个，恰好是田赛项目的概率为：25．故答案为25；（2）画树状图得：∵共有20种等可能的结果，恰好是一个田赛项目和一个径赛项目的有12种情况，∴恰好是一个田赛项目和一个径赛项目的概率为：123 205．【点睛】本题考查了用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．22．（1）抛物线解析式为y=﹣12x2+2x+6；（2）当t=3时，△PAB的面积有最大值；（3）点P（4，6）．【解析】【分析】（1）利用待定系数法进行求解即可得；（2）作PM⊥OB与点M，交AB于点N，作AG⊥PM，先求出直线AB解析式为y=﹣x+6，设P（t，﹣12t2+2t+6），则N（t，﹣t+6），由S△PAB=S△PAN+S△PBN=12PN•AG+12PN•BM=12PN•OB列出关于t的函数表达式，利用二次函数的性质求解可得；（3）由PH⊥OB知DH∥AO，据此由OA=OB=6得∠BDH=∠BAO=45°，结合∠DPE=90°知若△PDE为等腰直角三角形，则∠EDP=45°，从而得出点E与点A重合，求出y=6时x的值即可得出答案．【详解】（1）∵抛物线过点B（6，0）、C（﹣2，0），∴设抛物线解析式为y=a（x﹣6）（x+2），将点A（0，6）代入，得：﹣12a=6，解得：a=﹣12，所以抛物线解析式为y=﹣12（x﹣6）（x+2）=﹣12x2+2x+6；（2）如图1，过点P作PM⊥OB与点M，交AB于点N，作AG⊥PM于点G，设直线AB 解析式为y=kx+b ，将点A （0，6）、B （6，0）代入，得：660b k b =⎧⎨+=⎩， 解得：16k b =-⎧⎨=⎩， 则直线AB 解析式为y=﹣x+6， 设P （t ，﹣12t 2+2t+6）其中0＜t ＜6， 则N （t ，﹣t+6）， ∴PN=PM ﹣MN=﹣12t 2+2t+6﹣（﹣t+6）=﹣12t 2+2t+6+t ﹣6=﹣12t 2+3t ， ∴S △PAB =S △PAN +S △PBN =12PN•AG+12PN•BM =12PN•（AG+BM ） =12PN•OB =12×（﹣12t 2+3t ）×6 =﹣32t 2+9t =﹣32（t ﹣3）2+272， ∴当t=3时，△PAB 的面积有最大值；（3）△PDE 为等腰直角三角形，则PE=PD ，点P （m ，-12m 2+2m+6）， 函数的对称轴为：x=2，则点E 的横坐标为：4-m ，则PE=|2m-4|，即-12m 2+2m+6+m-6=|2m-4|， 解得：m=4或-2或1717-2和17）故点P的坐标为：（4，6）或（5-17，317-5）．【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，涉及到待定系数法、二次函数的最值、等腰直角三角形的判定与性质等，熟练掌握和灵活运用待定系数法求函数解析式、二次函数的性质、等腰直角三角形的判定与性质等是解题的关键.23．13．【解析】试题分析：首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与甲、乙抽中同一篇文章，再利用概率公式求解即可求得答案．试题解析：解：如图：所有可能的结果有9种，甲、乙抽中同一篇文章的情况有3种，概率为39=13．点睛：本题主要考查了用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率=所求情况数与总情况数之比．24．4【解析】【分析】已知△ABC是等腰三角形，根据等腰三角形的性质，作AH BC⊥于点H，则直线AH为BC的中垂线，直线AH过O点，在Rt△OBH中，用半径表示出OH的长，即可用勾股定理求得半径的长．【详解】作AH BC⊥于点H，则直线AH为BC的中垂线，直线AH过O点，2OH OA AH r=-=-，3BH=222OH BH OB+=，即()(2222r r -+=，4r =.【点睛】考查垂径定理以及勾股定理，掌握垂径定理是解题的关键.25．（1）汽车行驶400千米，剩余油量30升，加满油时，油量为70升；（2）已行驶的路程为650千米.【解析】【分析】（1）观察图象，即可得到油箱内的剩余油量,根据耗油量计算出加满油时油箱的油量；()2用待定系数法求出一次函数解析式，再代入进行运算即可.【详解】（1）汽车行驶400千米，剩余油量30升，304000.170.+⨯=即加满油时，油量为70升.（2）设()0y kx b k =+≠，把点()0,70，()400,30坐标分别代入得70b =，0.1k =-，∴0.170y x =-+，当5y =时，650x =，即已行驶的路程为650千米.【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征等，关键是掌握待定系数法求函数解析式.26．（1，0）、（﹣2，0）【解析】试题分析：抛物线与x 轴交点的纵坐标等于零，由此解答即可．试题解析：解：令0y =，即220x x +-=．解得：11x =，22x =-．∴该抛物线与x 轴的交点坐标为（－2，0），（1，0）．27．（1）a=1；（2）C （0，﹣4）或（0，0）．【解析】【分析】（1）把 A （3，n ）代入y=3x（x ＞0）求得 n 的值，即可得A 点坐标， 再把A 点坐标代入一次函数 y=ax ﹣2 可得 a 的值；（2）先求出一次函数 y=ax ﹣2（a≠0）的图象与 y 轴交点 B 的坐标，再分两种情况（①当C 点在y 轴的正半轴上或原点时；②当C 点在y 轴的负半轴上时）求点C 的坐标即可．【详解】（1）∵函数y=3x（x＞0）的图象过（3，n），∴3n=3，n=1，∴A（3，1）∵一次函数y=ax﹣2（a≠0）的图象过点A（3，1），∴1=3a﹣1，解得a=1；（2）∵一次函数y=ax﹣2（a≠0）的图象与y 轴交于点B，∴B（0，﹣2），①当C点在y轴的正半轴上或原点时，设C（0，m），∵S△ABC=2S△AOB，∴12×（m+2）×3=2×12×3，解得：m=0，②当C点在y 轴的负半轴上时，设（0，h），∵S△ABC=2S△AOB，∴12×（﹣2﹣h）×3=2×12×3，解得：h=﹣4，∴C（0，﹣4）或（0，0）．【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数交点问题，解决第（2）问时要注意分类讨论，不要漏解．。

2020合肥三模数学(理)高三三联简易答案

2020合肥三模数学(理)高三三联简易答案

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合肥市重点初中2020年三模试卷-数学及参考答案

合肥市重点初中2020年三模试卷-数学及参考答案

34.8
35.2
35
40.3
39.7
40
A、B 两点间的距离（单位：米）
90.1
90.3
（1）AB 的平均距离是
米。
（2）根据表格提供的数据，求出发射塔的高度。
20．如图，平行四边形 ABCD 的对角线 AC，BD 交于点 O，CE 平分∠BCD 交 AB 于点 E，交 BD 于点 F，且∠ABC＝60°，AB＝2BC，连接 OE． （1）证明：EO⊥AC； （2）求 BD：BF 的值．
= Ꜩ Ꜩ Ꜩ Ꜩ 22019
；．
解法一：先从面积入手找规律
解法二：将 y 轴向右平移一个单位，过点 A。
五、（本大题共 2 小题，每小题 10 分，满分 20 分）
19．（10 分）（1）AB 的平均距离是 90.2 米
------1 分
（2）根据表格提供的数据，求出发射塔的高度。
解:连接 CD 并延长交 EP 于点 G,
解：（1）设该校的图书借阅总量从 2017 年至 2019 年的年平均增长率为 x， ------1 分
由题意得 5000（1+ x）2=7200
------3 分
解得 x1=0.2，x2= - 2.2，（不合题意，舍去） 答：该校的图书借阅总量从 2017 年至 2019 年的年平均增长率为 20%。------6 分
15．化简求值：(
a2 a
3
＋
3
9
a
)÷
a3 2a
，且-3≤
a
≤3，请选择合适的值代入求解。
九年级数学 第 2 页 共 6 页
16．如图，网格纸上正方形小格的边长为 1．图中△ABC 绕着一个点旋转得到△A′B′C′ （1）请作出它们的旋转中心 O （尺规作图，保留作图痕迹）； （2）求出旋转时点 B 经过的路线长度； （3）在网格内，以 O 为位似中心，画出△ABC 的位似图形△A"B"C"，使得△A"B"C"与△ABC 的位似比为 2:1.

安徽省合肥市2020届高三第三次教学质量检测理科综合试题答案

安徽省合肥市2020届高三第三次教学质量检测理科综合试题答案

OP
sin
45
又
qv0
B
m
v02 r
OP 2L
解得
B
2mv0 qL
（2）带电微粒从 O 点垂直虚线射入第三象限，因为 E2 E1
沿 x 方向：初速度 vx v0 sin 45
2 2
v0
，仅受向右的电场力 qE2 mg
所以 tON
2vx g
vNx vx （沿 x 轴正方向）
沿 y 方向：初速度 vy v0 cos 45
（2 分）
（3）蒸发浓缩、（冷却）结晶 （1 分）
真空或隔绝空气 （1 分）
（4）100 （3 分）
28.（14 分）
（1）氧气与碳发生燃烧反应放热，放出的热被可逆反应吸收利用，促进反应正向移动 （1 分）
（2）C(s) + CO2(g)
2CO(g) ΔH = +176 kJ·mol－1
（2 分）
（3）T3
35.（15 分）
(1)
（1 分）
O>N>C>H
（1 分）
(2) sp2 （1 分） 甘氨酸为极性分子，且分子中的氨基和羧基都能与水分子形成氢键 （2 分）
(3)BH4- 或 AlH4-
（1 分）
(4) 7.22×10 24
（1 分）
离子晶体晶格能小，熔点低（2 分）
(5) 六方最密堆积 （1 分）
（1 分）
CO(NH2)2 + ClO- + 2OH-
N2H4·H2O + Cl-+ CO32-
H―N―N―H
││
HH
（2 分）
（2 分）
（2）①20℃(冷)水浴

安徽省合肥市2020年高三第三次教学质量检测数学(理科)试卷文字版含答案

安徽省合肥市2020年高三第三次教学质量检测数学(理科)试卷文字版含答案

合肥市2020年高三第三次教学质量检测数学试题（理科）（考试时间:120分钟 满分:150 分）注意事项:1．答题前，务必在答题卡和答题卷规定的地方填写自己的姓名、准考证号和座位号后两位．2．答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．3．答第Ⅱ卷时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卷上书写，要求字体工整、笔迹清晰．作图题可先用铅笔在答题卷规定的位置绘出，确认后再用0．5毫米的黑色墨水签字笔描清楚。

必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上答题无效．第Ⅰ卷（满分60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知R 为实数集，集合{}20<<=x x A ，{}3<=x x B 则B A C R I )(=A ．{}32<<x xB ．{}32<≤x xC ．{}320<≤<x x x 或D ．{}320<≤≤x x x 或2．若复数21,z z 在复平面内对应的点关于原点对称，i z +=11，则21z z ⋅=A ．2-B ．i 2-C ．2D ．i 23．某居委会从辖区内A ，B ，C 三个小区志愿者中各选取2人，随机安排到这三个小区，协助小区保安做好管理和宣传工作．若每个小区安排2人，则每位志愿者不安排在自已居住小区，且每个小区安排的志愿者来自不同小区的概率为A ．95B ．94C ．454D ．1352 4．已知双曲线)0(12222>>=-b a b y a x 的顶点到渐近线的距离为2a ，则该双曲线的离心率为 A ．32 B ．2 C ．23 D ．332 5．“关于x 的方程x x a 2)12(=+有实数解”的一个充分不必要条件是A ．131<<aB ．21≥aC ．132<<aD ．121<≤a 6．已知23)3tan(=+πα，则ααααsin cos 3cos sin 3-+= A ．91 B ．93 C ．31 D ．33 7．公元前1650年的埃及莱因德纸草书上载有如下问题:“十人分十斗玉米，从第二人开始，各人所得依次比前人少八分之一，问每人各得玉米多少斗?”在上述问题中，第一人分得玉米A ．18870109-⨯斗B ．10101078810-⨯斗C ．1010978810-⨯斗D ．1010878810-⨯斗 8．已知△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若B c b a cos 2=+，则2)(bc a b +的最小值为 A ．22 B ．3 C ．32 D ．49．某校高一年级研究性学习小组利用激光多普勒测速仪实地测量复兴号高铁在某时刻的速度，该激光测速仪工作原理是：激光器发出的光平均分成两束后射出，并在被测物体表面汇聚，探测器接收反射光，当被测物体横向速度为零时，反射光与探测光频率相同；当横向速度不为零时，反射光相对探测光会发生频移λϕsin 2v f p =，其中v 为测速仪测得被测物体的横向速度，入为激光波长，ϕ为两束探测光线夹角的一半，如图．若该激光测速仪安装在距离高铁1m 处，发出的激光波长为1550nm （1nm=9-10m ） ，测得某时刻频移为）（h /110030.99⨯，则该时刻高铁的速度约等于A ．h km /320B ．h km /330C ．h km /340D ．h km /35010．在长方体1111D C B A ABCD -中，AB=AD=6，AA 1=2，M 为棱BC 的中点，动点P 满足∠APD=∠CPM ，则点P 的轨迹与长方体的面DCC 1D 1的交线长等于A ．32πB ．πC ．34π D ．π2 11．已知不等式)]1ln([1+->--x x m x e x 对一切正数x 都成立，则实数m 的取值范围是A ．]3,(e -∞B ．]2,(e -∞ C ．]1,(-∞ D ．],(e -∞12．在矩形ABCD 中，AB=4，BC=34，点G ，H 分别是直线BC ，CD 上的动点，AH 交DG 于点P ．若）（，10212<<==λλλCB CG DC DH ，矩形ABCD 的对称中心M 关于直线AD 的对称点是N ，则△PMN 的周长为A ．12B ．16C ．λ24D ．λ32第Ⅱ卷（非选择题 共90分）本卷包括必考题和选考题两部分，第13题—第21题为必考题，每个试题考生都必须作第22题、第23题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．把答案填在答题卡上的相应位置．13．某高中各年级男女生人数统计如下表:性别人数年级高一 高二 高三男生592 563 520 女生 528 517 a 按年级分层抽样，若抽取该校学生80人中，高二学生有27人，则上表中a= .14．5)44(x x +-的展开式中2x 的系数为 .15．已知数列{}n a 中n a n =．数列{}n b 的前n 项和12-=n n S ．若数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n b a 的前n 项和M T n <对于*N n ∈∀都成立，则实数M 的最小值等于 .16．已知三棱锥A —BCD 的三条侧棱AB ，AC ，AD 两两垂直．其长度分别为a ，b ，c ．点A 在底面BCD 内的射影为O ，点A ，B ，C ，D 所对面的面积分别为S A ，S B ，S C ，S D ，在下列所给的命题中，正确的有 （请写出所有正确命题的编号）。

安徽省合肥市一六八中学2020届高三数学下学期第三次教学质量试题理含解析

安徽省合肥市一六八中学2020届高三数学下学期第三次教学质量试题理含解析
【详解】解：因 在 中， ，
所以 边上的高线、垂直平分线和中线合一，则其“欧拉线”为 边 的垂直平分线，
因为点 ，点 ，所以 的中点为
因为直线 的斜率为 ，
所以 的垂直平分线的斜率为 ，
所以 的垂直平分线方程为 ，即 ，
因为“欧拉线”与圆 相切，
所以可得圆心 到“欧拉线”的距离为 ，
所以圆的半径为
故选：B
6. 甲、乙两类水果的质量（单位： ）分别服从正态分布 ，其正态分布的密度曲线如图所示，则下列说法错误的是（ ）
A. 甲类水果的平均质量
B. 甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右
C. 甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小
D. 乙类水果的质量服从正态分布的参数
【答案】D
【解析】
由图象可知，甲类水果的平均质量μ1=0.4kg，乙类水果的平均质量μ2=0.8kg，故A，B，C，正确；乙类水果的质量服从的正态分布的参数σ2= ，故D 不正确．故选D．
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
先求出函数定义域，再判断函数的定义域，然后当 时， ，当 时， ，当 时， ，可得结果.
【详解】函数的定义域为 ，
因为
所以 为奇函数，所以排除B
因为当 时， ，当 时， ，当 时，
所以排除C,D
故选：A
【点睛】此题考查由函数解析式判别断函数图像，利用函数的奇偶性和函数值的变化情况进行判断，属于中档题.
7. 瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上.这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.在平面直角坐标系中作 ， 中， ，点 ，点 ，且其“欧拉线”与圆 相切，则该圆的直径为（ ）

安徽省合肥市2020届 高三 数学 第三次质检 理

安徽省合肥市2020届 高三 数学 第三次质检 理

合肥市高三第三次教学质量检测数学试题（理）（考试时间：120分钟 满分：150分）第I 卷 （满分50分）一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）1．设集合2{|280},{|1},A x x x B x x =+-<=<则图中阴影部分表示的集合为（ ）A ．{|1}x x ≥B ．{|42}x x -<<C ．{|81}x x -<<D ．{|12}x x ≤< 2．已知复数()1aia R i∈+对应的点都在圆心为原点，半径为2的圆内（不包括边界），则a 的取值范围是（ ）A ．（-2，2）B ．（0，2）C ．(7,7)-D ．(2,0)(0,2)-U 3．0a <且10b -<<是0a ab +<的（ ） A ．充要条件 B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件4．在ABC ∆中，已知角A B C 、、所对的边分别为a b c 、、，且3,8,60,a c B ===o则sin A 的值是（ ） A ．316 B ．314C ．3316D ．33145．已知某几何体的三视图如下，则该几何体的体积为（ ）A ．1B ．12 C ．13 D ．166．已知函数()sin()(0,||)2f x x πωφωφ=+><的部分图像如图所示，则,ωφ的值分别为（ ） A ．1,23π B ．2,3π C ．1,26π D ．2,6π7．某单位在一次春游踏青中，开展有奖答题活动．从2道文史题和3道理科题中不放回依次抽取2道题，在第一次抽到理科题的前提下第二次抽到理科题的概率为（ ） A ．925 B ．625C ．310D ．128．执行如图程序，输出的结果为（ ）A ．89100 B ．89144 C ．68100 D ．681109．已知函数()f x 对应关系如表所示，数列{}n a 满足：113,(),n n a a f a +==则2011a =（ ）A ．3B ．2C ．1D ．不确定10．已知函数32(),f x x ax bx c =+++若()f x 在区间（-1，0）上单调递减，则22a b +的取值范围（ ）．A ．9[,)4+∞ B ．9(0,]4 C ．9[,)5+∞ D ．9(0,]5第II 卷（满分100分）二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卷的相应位置） 11．5名男性驴友到某旅游风景区游玩，晚上入住一家宾馆，宾馆有3间客房可选，一间客房为3人间，其余为2人间，则5人入住两间客房的不同方法有 种（用数字法作答）．12．已知P 为直线250x y +-=任意一点，点Q 为221169x y +=上任意一点，则||PQ 的最小值为 ．13．在ABC ∆中，,6,4,AB AC AB AC ⊥==D 为AC 的中点，点E 在边AB 上，且3,AE AB =BD 与CE 交于点G ，则AG u u u r ·BC uuu r= ．14．设函数()f x 的定义域为R ，若(1)f x +与(1)f x -都是奇函数，则函数()y f x =在区间[0，100]上至少有个 零点．15．如图，在直角梯形ABCD 中，//,,//.AB DC AE DC BE AD ⊥M 、N 分别是AD 、BE 上点，且AM BN =，将三角形ADE 沿AE 折起。

2020-2021学年安徽省合肥市高考数学三模试卷(理科)及答案解析

2020-2021学年安徽省合肥市高考数学三模试卷(理科)及答案解析

安徽省高考数学三模试卷（理科）一、选择题（每题5分）1．若集合M={x∈R|x2﹣4x＜0}，集合N={0，4}，则M∪N=（）A．[0，4] B．[0，4）C．（0，4] D．（0，4）2．设i为虚数单位，复数z=，则z的共轭复数=（）A．﹣1﹣3i B．1﹣3i C．﹣1+3i D．1+3i3．在正项等比数列{a n}中，a1008•a1009=，则lga1+lga2+…+lga2016=（）A．2015 B．2016 C．﹣2015 D．﹣20164．已知双曲线﹣=1的焦距为10，一条渐近线的斜率为2，则双曲线的标准方程是（）A．﹣=1 B．﹣=1C．﹣=1 D．﹣=15．直线m：x+（a2﹣1）y+1=0，直线n：x+（2﹣2a）y﹣1=0，则“a=﹣3”是“直线m、n关于原点对称”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件6．执行如图的程序框图，若输入的m，n分别为204，85，则输出的m=（）A．2 B．7 C．34 D．857．若等差数列{a n}的公差d≠0，前n项和为S n，若∀n∈N*，都有S n≤S10，则（）A．∀n∈N*，都有a n＜a n﹣1B．a9•a10＞0C．S2＞S17D．S19≥08．设不等式组表示的平面区域为Ω，则当直线y=k（x﹣1）与区域Ω有公共点时，k的取值范围是（）A．[﹣2，+∞）B．（﹣∞，0] C．[﹣2，0] D．（﹣∞，﹣2]∪[0，+∞）9．（1﹣）（2+）6的展开式中，x项的系数是（）A．58 B．62 C．238 D．24210．某品牌饮料瓶可以近似看作是由一个半球和一个圆台组成，其三视图如图所示，该饮料瓶的表面积为（）A．81πB．125πC．（41+7）πD．（73+7）π11．甲、乙两名选手参加职工技能操作比赛，比赛项目由现场抽签决定，甲选手先从一个不透明的盒中摸出一小球，记下技能名称后放回盒中，再由乙选手摸球，若盒中4个小球分别贴了技能1号到4号的标签，则甲未抽到技能1号，乙未抽到技能2号且甲乙比赛项目不同的概率等于（）A．B．C．D．12．关于x的不等式（x2+2x+2）sin≤ax+a的解集为[﹣1，+∞），实数a的取值范围是（）A．[1，+∞） B．[2，+∞） C．[3，+∞） D．[4，+∞）二、填空题（每题5分）13．已知=（1，t），=（t，4），若∥，则t=______．14．已知函数的部分图象如图所示，则函数的解析式为______．15．已知函数f（x）=，则不等式f（x）＞2的解集是______．16．已知数列{a n}满足：a1=2，（4a n+1﹣5）（4a n﹣1）=﹣3，则+++…+=______．三、解答题17．如图，在△ABC中，∠B=，AC=2．（1）若∠BAC=θ，求AB和BC的长．（结果用θ表示）；（2）当AB+BC=6时，试判断△ABC的形状．18．从某校的一次学料知识竞赛成绩中，随机抽取了50名同学的成绩，统计如下： 组别[30，40][40，50] [50，60] [60，70] [70，80] [80，90] [90，100] 频数 3101215622（Ⅰ）求这50名同学成绩的样本平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （Ⅱ）由频数分布表可以认为，本次学科知识竞赛的成绩Z 服从正态分布N （μ，196），其中μ近似为样本平均数．①利用该正态分布．求P （Z ＞74）；②某班级共有20名同学参加此次学科知识比赛，记X 表示这20名同学中成绩超过74分的人数，利用①的结果，求EX ．附：若Z ～N （μ，σ2），则P （μ﹣σ＜Z ＜+σ）=0.6826，P （μ﹣2＜Z ＜μ+2σ）=0.9544．19．如图，直角三角形ABC 中，∠A=60°，∠ABC=90°，AB=2，E 为线段BC 上一点，且BE=BC ，沿AC 边上的中线BD 将△ABD 折起到△PBD 的位置． （1）求证：PE ⊥BD ；（2）当平面PBD ⊥平面BCD 时，求二面角C ﹣PB ﹣D 的余弦值．20．已知椭圆E ： +=1（a ＞b ＞0）的离心率为，短轴长为2，过圆C ：x 2+y 2=r 2（0＜r＜b ）上任意一点作圆C 的切线与椭圆E 交于A ，B 两点，O 为坐标原点． （1）当r 为何值时，OA ⊥OB ；（2）过椭圆E上任意一点P作（1）中所求圆的两条切线分别交椭圆于M，N，求△PMN面积的取值范围．21．已知函数f（x）=+alnx有极值点，其中e为自然对数的底数．（1）求a的取值范围；（2）若a∈（0，]，求证：∀x∈（0，2]，都有f（x）＜．[选修4-1几何证明选讲]22．如图，⊙O的直径AB的延长线与弦CD的延长线相交于点P，E为⊙O上的一点，=，DE交AB于点F．（1）求证：PF•PO=PA•PB；（2）若PD=4，PB=2，DF=，求弦CD的弦心距．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知曲线C：（α为参数），直线l：（t为参数），以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）写出曲线C的极坐标方程，直线l的普通方程；（2）点A在曲线C上，B点在直线l上，求A，B两点间距离|AB|的最小值．[选修4-5不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x+m|+|2x+1|．（1）当m=﹣1时，解不等式f（x）≤3；（2）若m∈（﹣1，0]，求函数f（x）=|x+m|+|2x+1|的图象与直线y=3围成的多边形面积的最大值．高考数学三模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每题5分）1．若集合M={x∈R|x2﹣4x＜0}，集合N={0，4}，则M∪N=（）A．[0，4] B．[0，4）C．（0，4] D．（0，4）【考点】并集及其运算．【分析】求出集合的等价条件，根据集合的基本运算进行求解即可．【解答】解：集合M={x∈R|x2﹣4x＜0}=（0，4），集合N={0，4}，则M∪N=[0，4]，故选：A．2．设i为虚数单位，复数z=，则z的共轭复数=（）A．﹣1﹣3i B．1﹣3i C．﹣1+3i D．1+3i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数z，则z的共轭复数可求．【解答】解：z==，则=﹣1+3i．故选：C．3．在正项等比数列{a n}中，a1008•a1009=，则lga1+lga2+…+lga2016=（）A．2015 B．2016 C．﹣2015 D．﹣2016【考点】等比数列的通项公式．【分析】由正项等比数列{a n}的性质可得：a1•a2016=a2•a2015=…=a1008•a1009，再利用对数的运算性质即可得出．【解答】解：由正项等比数列{a n}的性质可得：a1•a2016=a2•a2015=…=a1008•a1009=，则lga1+lga2+…+lga2016=lg（a1a2•…•a2015•a2016）==﹣2016．故选：D．4．已知双曲线﹣=1的焦距为10，一条渐近线的斜率为2，则双曲线的标准方程是（）A．﹣=1 B．﹣=1C．﹣=1 D．﹣=1【考点】双曲线的标准方程．【分析】由题意可得2c=10，即c=5，由一条渐近线的斜率为2，可得=2，可得a，b的方程组，解得a，b，即可得到所求双曲线的标准方程．【解答】解：由题意可得2c=10，即c=5，由一条渐近线的斜率为2，可得=2，又a2+b2=25，解得a=，b=2，即有双曲线的方程为﹣=1．故选：A．5．直线m：x+（a2﹣1）y+1=0，直线n：x+（2﹣2a）y﹣1=0，则“a=﹣3”是“直线m、n关于原点对称”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】在直线m：x+（a2﹣1）y+1=0上任取点P（x，y），则点P关于原点对称的点Q（﹣x，﹣y）在直线n上，代入比较即可得出．【解答】解：在直线m：x+（a2﹣1）y+1=0上任取点P（x，y），则点P关于原点对称的点Q（﹣x，﹣y）在直线n上，∴﹣x+（2﹣2a）（﹣y）﹣1=0，化为x+（2﹣2a）y+1=0，与x+（a2﹣1）y+1=0比较，可得：a2﹣1=2﹣2a，解得a=﹣3或a=1．则“a=﹣3”是“直线m、n关于原点对称”的充分不必要条件．故选：A．6．执行如图的程序框图，若输入的m，n分别为204，85，则输出的m=（）A．2 B．7 C．34 D．85【考点】程序框图．【分析】执行程序框图，是利用辗转相除法求m，n的最大公约数，根据输入的m、n的值即可求出输出的值．【解答】解：执行如图的程序框图，是利用辗转相除法求m，n的最大公约数，当输入m=204，n=85时，输出的m=17．故选：B．7．若等差数列{a n}的公差d≠0，前n项和为S n，若∀n∈N*，都有S n≤S10，则（）A．∀n∈N*，都有a n＜a n﹣1B．a9•a10＞0C．S2＞S17D．S19≥0【考点】等差数列的前n项和；数列的函数特性．【分析】由∀n∈N*，都有S n≤S10，a10≥0，a11≤0，再根据等差数列的性质即可判断．【解答】解：∵∀n∈N*，都有S n≤S10，∴a10≥0，a11≤0，∴a9+a11≥0，∴S2≥S17，S19≥0，故选：D．8．设不等式组表示的平面区域为Ω，则当直线y=k（x﹣1）与区域Ω有公共点时，k的取值范围是（）A．[﹣2，+∞）B．（﹣∞，0] C．[﹣2，0] D．（﹣∞，﹣2]∪[0，+∞）【考点】简单线性规划．【分析】画出满足条件的平面区域，求出角点的坐标，结合函数的图象求出k的范围即可．【解答】解：画出满足条件的平面区域，如图示：，由，解得B（2，0），显然y=k（x﹣1）恒过（1，0），k=0时，直线是AB，k＞0时，k→+∞，k＜0时，k的最大值是直线AC的斜率﹣2，故k∈（﹣∞，﹣2]∪[0，+∞），故选：D．9．（1﹣）（2+）6的展开式中，x项的系数是（）A．58 B．62 C．238 D．242【考点】二项式系数的性质．【分析】（2+）6的展开式中，T r+1==26﹣r．分别令=1，=3，进而得出．【解答】解：（2+）6的展开式中，T r+1==26﹣r．分别令=1，=3，解得r=2或r=6．∴（1﹣）（2+）6的展开式中，x项的系数是×1﹣2×=238．故选；C．10．某品牌饮料瓶可以近似看作是由一个半球和一个圆台组成，其三视图如图所示，该饮料瓶的表面积为（）A．81πB．125πC．（41+7）πD．（73+7）π【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知：该几何体是由上下两部分组成，上面是一个半球，下面是一个圆台．利用表面积计算公式即可得出．【解答】解：由三视图可知：该几何体是由上下两部分组成，上面是一个半球，下面是一个圆台．该饮料瓶的表面积=++π×32=π．故选：C．11．甲、乙两名选手参加职工技能操作比赛，比赛项目由现场抽签决定，甲选手先从一个不透明的盒中摸出一小球，记下技能名称后放回盒中，再由乙选手摸球，若盒中4个小球分别贴了技能1号到4号的标签，则甲未抽到技能1号，乙未抽到技能2号且甲乙比赛项目不同的概率等于（）A．B．C．D．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】先求出基本事件总数，再求出甲未抽到技能1号，乙未抽到技能2号且甲乙比赛项目不同包含的基本事件个数，由此能求出甲未抽到技能1号，乙未抽到技能2号且甲乙比赛项目不同的概率．【解答】解：甲、乙两名选手参加职工技能操作比赛，比赛项目由现场抽签决定，甲选手先从一个不透明的盒中摸出一小球，记下技能名称后放回盒中，再由乙选手摸球，若盒中4个小球分别贴了技能1号到4号的标签，则基本事件总数n=4×4=16，甲未抽到技能1号，乙未抽到技能2号且甲乙比赛项目不同包含的基本事件个数：m=1×3+2×2=7，∴甲未抽到技能1号，乙未抽到技能2号且甲乙比赛项目不同的概率p=．故选：D．12．关于x的不等式（x2+2x+2）sin≤ax+a的解集为[﹣1，+∞），实数a的取值范围是（）A．[1，+∞） B．[2，+∞） C．[3，+∞） D．[4，+∞）【考点】其他不等式的解法．【分析】根据极限的思想=1，分离参数，即可得到a≥2×，即可求出答案．【解答】解：由于=1，∵x2+2x+2≤ax+a的解集为[﹣1，+∞），∴a≥2×≥2，∴实数a的取值范围为[2，+∞），故选：B．二、填空题（每题5分）13．已知=（1，t），=（t，4），若∥，则t= ±2 ．【考点】平行向量与共线向量；平面向量的坐标运算．【分析】根据平面向量的坐标表示与共线定理，列出方程即可求出结果．【解答】解：∵=（1，t），=（t，4），且∥，∴1×4﹣t2=0，解得t=±2．故答案为：±2．14．已知函数的部分图象如图所示，则函数的解析式为．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】根据已知中函数的图象，可分析出函数的最值，确定A的值，分析出函数的周期，确定ω的值，将（，）代入解析式，结合，可求出ϕ值，进而求出函数的解析式．【解答】解：由图可得：函数函数y=Asin（ωx+ϕ）的最小值﹣|A|=﹣，令A＞0，则A=又∵，ω＞0∴T=π，ω=2∴y=sin（2x+ϕ）将（，）代入y=sin（2x+ϕ）得sin（+ϕ）=﹣1即+ϕ=+2kπ，k∈Z即ϕ=+2kπ，k∈Z∵∴∴故答案为：15．已知函数f（x）=，则不等式f（x）＞2的解集是（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）．【考点】分段函数的应用．【分析】根据分段函数的表达式，分别讨论x≥1和x＜1，进行求解即可．【解答】解：若x≥1，由f（x）＞2得log2（x+1）＞2，得x+1＞4，即x＞3．若x＜1，则﹣x＞﹣1，2﹣x＞1，则由f（x）＞2得f（2﹣x）＞2，即log2（2﹣x+1）＞2，得log2（3﹣x）＞2，得3﹣x＞4，即x＜﹣1．综上不等式的解为x＞3或x＜﹣1，即不等式的解集为（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞），故答案为：（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）16．已知数列{a n}满足：a1=2，（4a n+1﹣5）（4a n﹣1）=﹣3，则+++…+= （3n﹣1）﹣2n ．【考点】数列递推式；数列的求和．【分析】化简可得[4（a n+1﹣1）﹣1][4（a n﹣1）+3]=﹣3，从而可得16+﹣=0，即+2=3（+2），从而求得数列{+2}是以3为首项，3为公比的等比数列，从而求和即可．【解答】解：∵（4a n+1﹣5）（4a n﹣1）=﹣3，∴[4（a n+1﹣1）﹣1][4（a n﹣1）+3]=﹣3，∴16（a n+1﹣1）（a n﹣1）+12（a n+1﹣1）﹣4（a n﹣1）=0，∴16+﹣=0，∴+2=3（+2），又∵+2=3，∴数列{+2}是以3为首项，3为公比的等比数列，∴+2=3n，故=3n﹣2；故+++…+=3﹣2+9﹣2+…+3n﹣2=﹣2n=（3n﹣1）﹣2n；故答案为：（3n﹣1）﹣2n．三、解答题17．如图，在△ABC中，∠B=，AC=2．（1）若∠BAC=θ，求AB和BC的长．（结果用θ表示）；（2）当AB+BC=6时，试判断△ABC的形状．【考点】三角形的形状判断．【分析】（1）根据正弦定理来求边AB、BC的长度；（2）由AB+BC=6得到：4sin（+θ）+4sinθ=6，结合和差化积公式得到θ的值，由此可以判定△ABC的形状为钝角三角形．【解答】解：（1）由正弦定理得：=，即=，所以BC=4sinθ．又∵∠C=π﹣﹣θ，∴sinC=sin（π﹣﹣θ）=sin（+θ）．∴=即=，∴AB=4sin（+θ）．（2）由AB+BC=6得到：4sin（+θ）+4sinθ=6，所以，8sin（+θ）×=6，整理，得sin（+θ）=．∵0＜+θ＜π，∴+θ=或+θ=，∴θ=，或θ=．∴△ABC是直角三角形．18．从某校的一次学料知识竞赛成绩中，随机抽取了50名同学的成绩，统计如下：组别[30，40][40，50][50，60][60，70][70，80][80，90][90，100]频数 3 10 12 15 6 2 2（Ⅰ）求这50名同学成绩的样本平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（Ⅱ）由频数分布表可以认为，本次学科知识竞赛的成绩Z服从正态分布N（μ，196），其中μ近似为样本平均数．①利用该正态分布．求P（Z＞74）；②某班级共有20名同学参加此次学科知识比赛，记X表示这20名同学中成绩超过74分的人数，利用①的结果，求EX．附：若Z～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜Z＜+σ）=0.6826，P（μ﹣2＜Z＜μ+2σ）=0.9544．【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义；众数、中位数、平均数．【分析】（Ⅰ）利用同一组中的数据用该组区间的中点值作代表，即可求这50名同学成绩的样本平均数；（Ⅱ）①由（I）知，Z～N（60，196），从而P（60﹣14＜Z＜60+14）=0.6826，即可得出结论；②设依题意知X～B（20，0.1587），即可求得EX．【解答】解：（Ⅰ）由所得数据列成的频数分布表，得：样本平均数=×（35×3+45×10+55×12+65×15+75×6+85×2+95×2）=60；（Ⅱ）①由（I）知，Z～N（60，196），从而P（60﹣14＜Z＜60+14）=0.6826，∴P（Z＞74）=（1﹣0.6826）=0.1587，②由①知，成绩超过74分的概率为0.1587，依题意知X～B（20，0.1587），∴EX=20×0.1587=3.174．19．如图，直角三角形ABC中，∠A=60°，∠ABC=90°，AB=2，E为线段BC上一点，且BE=BC，沿AC边上的中线BD将△ABD折起到△PBD的位置．（1）求证：PE⊥BD；（2）当平面PBD⊥平面BCD时，求二面角C﹣PB﹣D的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的性质．【分析】（1）取BD中点O，连结OE，PO，推导出OE⊥BD，PO⊥BD，从而BD⊥平面POE，由此能证明PE⊥BD．（2）以O为原点，OE为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角C﹣PB﹣D的余弦值．【解答】证明：（1）∵直角三角形ABC中，∠A=60°，∠ABC=90°，AB=2，E为线段BC上一点，且BE=BC，∴DC=PD=PB=BD=2，BC=2，取BD中点O，连结OE，PO，∵OB=1，BE=，∴OE=，∴OE⊥BD，∵PB=PD，O为BD中点，∴PO⊥BD，又PO∩OE=O，∴BD⊥平面POE，∴PE⊥BD．解：（2）∵平面PBD⊥平面BCD，∴PO⊥平面BCD，如图，以O为原点，OE为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，则B（0，1，0），P（0，0，），C（），=（0，﹣1，），=（），设平面PBC的法向量=（x，y，z），则，取y=，得=（3，），平面图PBD的法向量=（1，0，0），cos＜＞==，由图形知二面角C﹣PB﹣D的平面角是锐角，∴二面角C﹣PB﹣D的余弦值为．20．已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）的离心率为，短轴长为2，过圆C：x2+y2=r2（0＜r ＜b）上任意一点作圆C的切线与椭圆E交于A，B两点，O为坐标原点．（1）当r为何值时，OA⊥OB；（2）过椭圆E上任意一点P作（1）中所求圆的两条切线分别交椭圆于M，N，求△PMN面积的取值范围．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（1）由椭圆的离心率为，短轴长为2，列出方程组，求出a，b，从而求出椭圆E的方程，当直线AB的斜率不存在时，直线AB：x=±r，得到当r=时，OA⊥OB；当直线l的斜率存在时，设l：y=kx+n，由，得（1+4k2）x2+8knx+4n2﹣4=0，由此利用韦达定理、向量的数量积、直线与圆相切，结合已知条件能求出r的值．（2）OP⊥OM，OP⊥ON，OP⊥MN，且MN过原点O，当MN的斜率存在且不为0时，设MN：y=k1x，（k1≠0），由，得|MN|=2OM=4，同理，|OP|=，由此能求出△PMN面积的取值范围．【解答】解：（1）∵椭圆E：+=1（a＞b＞0）的离心率为，短轴长为2，∴，解得a=2，b=1，∴椭圆E的方程为．设A（x1，y1），B（x2，y2），当直线AB的斜率不存在时，直线AB：x=±r，即x1=x2=±r，代入椭圆方程，得，=x1x2+y1y2==r2﹣（1﹣）=，∵0＜r＜1．∴当r=时，，即OA⊥OB，当直线l的斜率存在时，设l：y=kx+n，由，得（1+4k2）x2+8knx+4n2﹣4=0，则，，∴=x1x2+y1y2=x1x2+（kx1+n）（kx2+n）=（1+k2）x1x2+kn（x1+x2）+n2==，∵直线l与圆C相切，∴=r，即n2=r2（1+k2），∴=，∵0＜r＜1，∴当r=时，=0，即OA⊥OB，综上，r=．（2）由（1）知OP⊥OM，OP⊥ON，∴OP⊥MN，且MN过原点O，当MN的斜率存在且不为0时，设MN：y=k1x，（k1≠0），由，得，，∴|MN|=2OM=2=4，同理，|OP|=2=2，∴S△PMN=|OP|•|MN|=4=4∈[，2），当MN与坐标轴垂直时，S△PMN=2，∴△PMN面积的取值范围是[，2]．21．已知函数f（x）=+alnx有极值点，其中e为自然对数的底数．（1）求a的取值范围；（2）若a∈（0，]，求证：∀x∈（0，2]，都有f（x）＜．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）求出函数的导数，得到ae x﹣x2=0有解，显然a＞0，令m（x）=ae x﹣x2，根据函数的单调性求出a的范围即可；（2）求出函数的导数，令h（x）=ae x﹣x2，根据函数的单调性得到f（x）在（a，1）内有唯一极大值点x0，从而f（x）max≤max{f（1），f（x0）}，结合函数的单调性，证出结论即可．【解答】解：（1）f（x）=+alnx，f′（x）=，若函数f（x）=+alnx有极值点，则ae x﹣x2=0有解，显然a＞0，令m（x）=ae x﹣x2，（a＞0），则m′（x）=ae x﹣2x，m″（x）=ae x﹣2，令m″（x）＞0，解得：x＞ln，令m″（x）＜0，解得：x＜ln，∴m′（x）在（﹣∞，ln）递减，在（ln，+∞）递增，∴m′（x）min=m′（ln）=2﹣2ln＜0，解得：a＜，故0＜a＜；（2）f（x）=+alnx，f′（x）=，令h（x）=ae x﹣x2，则h′（x）=ae x﹣2x，0＜x≤1时，h′（x）≤ae﹣2＜0，由于h（a）=a（e a﹣a）＞0，h（1）=ae﹣1≤0，∴f（x）在（a，1）内有唯一极大值点x0，当a=时，f（x）有极大值点x=1，∴x∈（0，2]时，f（x）max≤max{f（1），f（x0）}，f（x0）=（a＜x0＜1），令ω（x）=，（a＜x＜1），则ω′（x）=﹣e﹣x（x﹣2）xlnx＜0，∴ω（x）＜ω（a）=＜，又f（1）=，∴max{f（1），f（x0）}＜．[选修4-1几何证明选讲]22．如图，⊙O的直径AB的延长线与弦CD的延长线相交于点P，E为⊙O上的一点，=，DE交AB于点F．（1）求证：PF•PO=PA•PB；（2）若PD=4，PB=2，DF=，求弦CD的弦心距．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（1）先证明△PDF∽△POC，再利用割线定理，即可证得结论；（2）设圆的半径为r，由△PDF∽△POC，可得半径为5，由切割线定理可得，PD•PC=PB•PA•解得CD=2，再由垂径定理和勾股定理，计算可得弦CD的弦心距．【解答】解：（1）证明：连接OC、OE，则∠COE=2∠CDE，∵=，∴∠AOC=∠AOE，∴∠AOC=∠CDE，∴∠COP=∠PDF，∵∠P=∠P，∴△PDF∽△POC∴=，∴PF•PO=PD•PC，由割线定理可得PC•PD=PA•PB，∴PF•PO=PA•PB．（2）设圆的半径为r，PD=4，PB=2，DF=，由△PDF∽△POC，可得=，即有PD•OC=PO•DF，即4r=（2+r），解得r=5．由切割线定理可得，PD•PC=PB•PA•即为4（4+CD）=2（2+2r），即有CD=r﹣3=5﹣3=2，则弦CD的弦心距为OH===2．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知曲线C：（α为参数），直线l：（t为参数），以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）写出曲线C的极坐标方程，直线l的普通方程；（2）点A在曲线C上，B点在直线l上，求A，B两点间距离|AB|的最小值．【考点】参数方程化成普通方程．【分析】（1）曲线C：（α为参数），利用cos2α+sin2α=1可得直角坐标方程，．利用ρ2=x2+y2，y=ρsinθ，即可化为直角坐标方程．直线l：（t为参数），消去参数t可得普通方程．（2）利用点到直线的距离公式圆心C（0，2）到直线l的距离d．可得A，B两点间距离|AB|的最小值=d﹣r．【解答】解：（1）曲线C：（α为参数），可得直角坐标方程：x2+（y﹣2）2=4，展开可得：x2+y2﹣4y=0，可得极坐标方程：ρ2﹣4ρsinθ=0，即ρ=4sinθ．直线l：（t为参数），消去参数t可得普通方程：x﹣y﹣3=0．（2）圆心C（0，2）到直线l的距离d==．∴A，B两点间距离|AB|的最小值为﹣2．[选修4-5不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x+m|+|2x+1|．（1）当m=﹣1时，解不等式f（x）≤3；（2）若m∈（﹣1，0]，求函数f（x）=|x+m|+|2x+1|的图象与直线y=3围成的多边形面积的最大值．【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法．【分析】（1）利用绝对值的几何意义，分类讨论解不等式f（x）≤3；（2）由题意，m=0时，函数f（x）=|x+m|+|2x+1|的图象与直线y=3围成的多边形面积取得最大值．【解答】解：（1）当m=﹣1时，不等式f（x）≤3，可化为|x﹣1|+|2x+1|≤3，x时，﹣x+1﹣2x﹣1≤3，∴x≥﹣1，∴﹣1≤x；﹣时，﹣x+1+2x+1≤3，∴x≤1，∴﹣；x≥1时，x﹣1+2x+1≤3，∴x≤1，∴x=1；综上所述，﹣1≤x≤1；（2）由题意，m=0时，函数f（x）=|x+m|+|2x+1|的图象与直线y=3围成的多边形面积取得最大值．图象最低点的坐标是（﹣，），f（x）=1时，x=0或﹣，f（x）=3时，x=﹣或，∴函数f（x）=|x+m|+|2x+1|的图象与直线y=3围成的多边形面积的最大值为=．。

2020届合肥市高考第三次教学质量检测数学模拟试题(理)有答案(加精)

2020届合肥市高考第三次教学质量检测数学模拟试题(理)有答案(加精)

合肥市高三第三次教学质量检测数学试题(理科)(考试时间：120分钟 满分：150分)第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数2i1iz =+(i 为虚数单位)，则z = A.3 B.2 C.3 D.22.已知集合{}220A x R x x =∈-≥，{}2210B x R x x =∈--=，则()C R A B =IA.∅B.12⎧⎫-⎨⎬⎩⎭C.{}1D.1 12⎧⎫-⎨⎬⎩⎭，3.已知椭圆2222:1y x E a b+=(0a b >>)经过点A()5 0，，()0 3B ，，则椭圆E 的离心率为 A.23B.5C.49 D.594.已知111 2 3 23α⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭，，，，，若()f x x α=为奇函数，且在()0 +∞，上单调递增，则实数α的值是 A.-1，3B.13，3C.-1，13，3D.13，12，35.若l m ，为两条不同的直线，α为平面，且l α⊥，则“//m α”是“m l ⊥”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 6.已知()()*12nx n N -∈展开式中3x 的系数为80-，则展开式中所有项的二项式系数之和为A.64B.32C.1D.1-7.已知非零实数a b ，满足a a b b >，则下列不等式一定成立的是A.33a b >B.22a b >C.11a b < D.1122log log a b < 8.运行如图所示的程序框图，若输出的s 值为10-，则判断框内的条件应该是A.3?k <B.4?k <C.5?k <D.6?k <9.若正项等比数列{}n a 满足()2*12n n n a a n N +=∈，则65a a -的值是A.2B.162-C.2D.16210.如图，给7条线段的5个端点涂色，要求同一条线段的两个端点不能同色，现有4种不同的颜色可供选择，则不同的涂色方法种数有A.24B.48C.96D.12011.我国古代《九章算术》将上下两面为平行矩形的六面体称为刍童.如图所示为一个刍童的三视图，其中正视图及侧视图均为等腰梯形，两底的长分别为2和4，高为2，则该刍童的表面积为A.125B.40C.16123+D.16125+ 12.已知函数()22f x x x a =---有零点12x x ，，函数()2(1)2g x x a x =-+-有零点34x x ，，且3142x x x x <<<，则实数a 的取值范围是A.924⎛⎫-- ⎪⎝⎭，B.9 04⎛⎫- ⎪⎝⎭， C.(-2，0)D.()1 +∞，第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题—第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)题、第(23)题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.把答案填在答题卡相应的位置.(13)若实数x y ，满足条件1010330x y x y x y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩，则2z x y =-的最大值为.(14)已知()23 0OA =u u r ，，()0 2OB =uu u r ，，AC t AB t R =∈u u u r u u u r，，当OC uuu r 最小时，t =. (15)在ABC ∆中，内角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，.若45A =o ，2sin sin 2sin b B c C a A -=，且ABC ∆的面积等于3，则b =.(16)设等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项的和为n S ，若数列{}n S n +也是公差为d 的等差数列，则=n a .三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． (17)(本小题满分12分)已知函数()13sin cos cos 223f x x x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭.(Ⅰ)求函数()f x 图象的对称轴方程； (Ⅱ)将函数()f x 图象向右平移4π个单位，所得图象对应的函数为()g x .当0 2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，求函数()g x 的值域.(18)(本小题满分12分)2018年2月9-25日，第23届冬奥会在韩国平昌举行.4年后，第24届冬奥会将在中国北京和张家口举行.为了宣传冬奥会，某大学在平昌冬奥会开幕后的第二天，从全校学生中随机抽取了120名学生，对是否收看平昌冬奥会开幕式情况进行了问卷调查，统计数据如下：(Ⅰ)根据上表说明，能否有99%的把握认为，收看开幕式与性别有关？(Ⅱ)现从参与问卷调查且收看了开幕式的学生中，采用按性别分层抽样的方法，选取12人参加2022年北京冬奥会志愿者宣传活动.(ⅰ)问男、女学生各选取了多少人？(ⅱ)若从这12人中随机选取3人到校广播站开展冬奥会及冰雪项目的宣传介绍，设选取的3人中女生人数为X ，写出X 的分布列，并求()E X .附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.(19)(本小题满分12分)如图，在多面体ABCDE 中，平面ABD ⊥平面ABC ，AB AC ⊥，AE BD ⊥，DE P 12AC ，AD=BD=1.(Ⅰ)求AB 的长；(Ⅱ)已知24AC ≤≤，求点E 到平面BCD 的距离的最大值.(20)(本小题满分12分)已知抛物线2:2C y px =(0p >)的焦点为F ，以抛物线上一动点M 为圆心的圆经过点F.若圆M 的面积最小值为π.EDCBA(Ⅰ)求p 的值；(Ⅱ)当点M 的横坐标为1且位于第一象限时，过M 作抛物线的两条弦MA MB ，，且满足AMF BMF ∠=∠.若直线AB 恰好与圆M 相切，求直线AB 的方程.(21)(本小题满分12分)已知函数()212x f x e x ax =--有两个极值点12x x ，(e 为自然对数的底数). (Ⅰ)求实数a 的取值范围； (Ⅱ)求证：()()122f x f x +>.请考生在第(22)、(23)题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时，请用2B 铅笔在答题卡上，将所选题号对应的方框涂黑. (22)(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为11x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数)，圆C 的方程为()()22215x y -+-=.以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.(Ⅰ)求直线l 及圆C 的极坐标方程；(Ⅱ)若直线l 与圆C 交于AB ，两点，求cos AOB ∠的值.(23)(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲已知函数()13f x x x =-+-． (Ⅰ)解不等式()1f x x ≤+；(Ⅱ)设函数()f x 的最小值为c ，实数a b ，满足0a >，0b >，a b c +=，求证：22111a b a b +≥++.合肥市高三第三次教学质量检测数学试题 (理科)参考答案及评分标准一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.(13)4 (14)34(15)3 (16)1na=-或1524na n=-三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.(17)(本小题满分12分)(Ⅰ)()11cos cos22cos2234f x x x x x xπ⎛⎫=--=-⎪⎝⎭1sin226xπ⎛⎫=-⎪⎝⎭.令262x k k Zπππ-=+∈，，解得32kxππ=+.∴函数()f x图象的对称轴方程为32kx k Zππ=+∈，. …………………………5分(Ⅱ)易知()12sin223g x xπ⎛⎫=-⎪⎝⎭.∵02xπ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，∴222333xπππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，，∴2sin213xπ⎡⎛⎫-∈-⎢⎪⎝⎭⎣⎦，∴()121sin2232g x xπ⎡⎛⎫=-∈-⎢⎪⎝⎭⎣⎦，即当02xπ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，函数()g x的值域为12⎡-⎢⎣⎦. …………………………12分(18)(本小题满分12分)(Ⅰ)因为()22120602020207.5 6.63580408040K⨯⨯-⨯==>⨯⨯⨯，所以有99%的把握认为，收看开幕式与性别有关. ………………………5分(Ⅱ)(ⅰ)根据分层抽样方法得，男生31294⨯=人，女生11234⨯=人，所以选取的12人中，男生有9人，女生有3人. ………………………8分(ⅱ)由题意可知，X的可能取值有0，1，2，3.()()302193933312128410801220220C C C CP X P XC C======，，()()1203939333121227123220220C C C C P X P X C C ======，， ∴X 的分布列是：X 0 1 23 P84220108220 272201220∴()84108271301232202202202204E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. ……………………12分(19)(本小题满分12分)(Ⅰ)∵平面ABD ⊥平面ABC ，且交线为AB ，而AC⊥AB，∴AC⊥平面ABD. 又∵DE∥AC，∴DE⊥平面ABD ，从而DE⊥BD .注意到BD⊥AE，且DE∩AE=E，∴BD⊥平面ADE ，于是，BD⊥AD . 而AD=BD=1，∴2AB =. ………………………5分(Ⅱ)∵AD=BD，取AB 的中点为O ，∴DO⊥AB . 又∵平面ABD ⊥平面ABC ，∴DO⊥平面ABC.过O 作直线OY∥AC，以点O 为坐标原点，直线OB ，OY ，OD分别为x y z ，，轴，建立空间直角坐标系O xyz -，如图所示.记2AC a =，则12a ≤≤，22 0 0 0 0A B ⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，，， 22 2 00 0 C a D ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，，，20E a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，，，()2 2 0BC a =-，，u u u r ，22 0 BD ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，，u u u r . 令平面BCD 的一个法向量为()n x y z =，，r.由00BC n BD n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r r u u u r r 得220220x ay x z ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩.令2x =，得12 2n a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，，r . 又∵()0 0DE a =-，，u u u r ，∴点E 到平面BCD 的距离2||14DE n d n a⋅==+u u u r rr . ∵12a ≤≤，∴当2a =时，d 取得最大值，max 217=144d =+.………………………12分(20)(本小题满分12分)(Ⅰ)由抛物线的性质知，当圆心M 位于抛物线的顶点时，圆M 的面积最小，此时圆的半径为2p OF =，∴24P ππ=，解得2p =. ……………………4分(Ⅱ)依题意得，点M 的坐标为(1，2)，圆M 的半径为2.由F (1，0)知，MF x ⊥轴.由AMF BMF ∠=∠知，弦MA ，MB 所在直线的倾斜角互补，∴0MA MB k k +=. 设MA k k =(0k ≠)，则直线MA 的方程为()12y k x =-+，∴()121x y k=-+， 代入抛物线的方程得，()21421y y k ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，∴24840y y k k -+-=，∴4422A A y y k k+==-，. 将k 换成k -，得42B y k=--， ∴22441444A B A B AB A B A B A B y y y y k x x y y y y --=====--+--.设直线AB 的方程为y x m =-+，即0x y m +-=. 由直线AB 与圆M2=，解得3m =±经检验3m =+3m =+.∴所求直线AB的方程为3y x =-+-. ……………………12分(21)(本小题满分12分)(Ⅰ)∵()212x f x e x ax =--，∴()x f x e x a '=--. 设()x g x e x a =--，则()1x g x e '=-. 令()10x g x e '=-=，解得0x =.∴当() 0x ∈-∞，时，()0g x '<；当()0x ∈+∞，时，()0g x '>. ∴()()min 01g x g a ==-.当1a ≤时，()()0g x f x '=≥，∴函数()f x 单调递增，没有极值点；当1a >时，()010g a =-<，且当x →-∞时，()g x →+∞；当x →+∞时，()g x →+∞. ∴当1a >时，()()x g x f x e x a '==--有两个零点12x x ，. 不妨设12x x <，则120x x <<.∴当函数()f x 有两个极值点时，a 的取值范围为()1 +∞，. …………………5分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知，12x x ，为()0g x =的两个实数根，120x x <<，()g x 在() 0-∞，上单调递减. 下面先证120x x <-<，只需证()()210g x g x -<=.∵()2220x g x e x a =--=，得22x a e x =-，∴()2222222x x x g x e x a e e x ---=+-=-+.设()2x x h x e e x -=-+，0x >，则()120x xh x e e'=--+<，∴()h x 在()0 +∞，上单调递减， ∴()()00h x h <=，∴()()220h x g x =-<，∴120x x <-<. ∵函数()f x 在()1 0x ，上也单调递减，∴()()12f x f x >-. ∴要证()()122f x f x +>，只需证()()222f x f x -+>，即证222220x x e e x -+-->.设函数()()220x x k x e e x x -=+--∈+∞，，，则()2x x k x e e x -'=--. 设()()2x x x k x e e x ϕ-'==--，则()20x x x e e ϕ-'=+->， ∴()x ϕ在()0+∞，上单调递增，∴()()00x ϕϕ>=，即()0k x '>. ∴()k x 在()0+∞，上单调递增，∴()()00k x k >=. ∴当()0x ∈+∞，时，220x x e e x -+-->，则222220x x e e x -+-->，∴()()222f x f x -+>，∴()()122f x f x +>. ………………………12分(22)(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程(Ⅰ)由直线l的参数方程11x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩得，其普通方程为2y x =+， ∴直线l 的极坐标方程为sin cos 2ρθρθ=+. 又∵圆C 的方程为()()22215x y -+-=， 将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入并化简得4cos 2sin ρθθ=+，∴圆C 的极坐标方程为4cos 2sin ρθθ=+. ……………………5分 (Ⅱ)将直线l ：sin cos 2ρθρθ=+，与圆C ：4cos 2sin ρθθ=+联立，得()()4cos 2sin sin cos 2θθθθ+-=， 整理得2sin cos 3cos θθθ=，∴tan 32πθθ==，或.不妨记点A 对应的极角为2π，点B 对应的极角为θ，且tan =3θ.于是，cos cos sin 2AOB πθθ⎛⎫∠=-== ⎪⎝⎭. ……………………10分(23)(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲(Ⅰ)()1f x x ≤+，即131x x x -+-≤+. (1)当1x <时，不等式可化为4211x x x -≤+≥，. 又∵1x <，∴x ∈∅；(2)当13x ≤≤时，不等式可化为211x x ≤+≥，. 又∵13x ≤≤，∴13x ≤≤.(3)当3x >时，不等式可化为2415x x x -≤+≤，. 又∵3x >，∴35x <≤.综上所得，13x ≤≤，或35x <≤，即15x ≤≤.∴原不等式的解集为[]1 5，. …………………5分 (Ⅱ)由绝对值不等式性质得，()()13132x x x x -+-≥-+-=， ∴2c =，即2a b +=.令11a m b n +=+=，，则11m n >>，，114a m b n m n =-=-+=，，， ()()2222211114441112m n a b m n a b m n m n mn m n --+=+=+++-=≥=+++⎛⎫ ⎪⎝⎭， 原不等式得证. …………………10分。

2020年安徽省合肥市C20教育联盟中考数学三模试卷 有解析

2020年安徽省合肥市C20教育联盟中考数学三模试卷 有解析

2020年安徽省合肥市C20教育联盟中考数学三模试卷题号 一 二 三 四 总分 得分一、选择题（本大题共10小题，共20.0分） 1. 下面各数中，比−1小的数是( )A. 1B. 0C. −2D. −12【答案】C【解析】解：∵|−1|<|−2|， ∴−1>−2， 故选：C ．2. 下列运算中正确的是( )A. (π−1)0=0B. 3−2=−6C. (−a)2=a 2D. (a 3)2=a 5【答案】C 【解答】解：A.原式=1，故A 错误； B.原式=(13)2=19，故B 错误；C.(−a)2=a 2，故C 正确；D.原式=a 6，故D 错误． 故选C ．3. 中国信息通信研究院测算，2020−2025年，中国5G 商用带动的信息消费规模将超过8万亿元，直接带动经济总产出达10.6万亿元．其中数据10.6万亿用科学记数法表示为( ) A. 10.6×104 B. 1.06×1013 C. 10.6×1013 D. 1.06×108 【答案】B【解析】解：10.6万亿=106000 00000000=1.06×1013． 故选：B ．4. 桌上摆着一个由若干个相同小正方体组成的几何体，其三视图如图所示，则组成此几何体需要的小正方体的个数是( )A. 5B. 6C. 7D. 8【答案】C【解析】解：根据俯视图可知该组合体共3行、2列，结合主视图和左视图知该几何体中小正方体的分布情况如图所示：则组成此几何体需要正方体的个数是7，故选：C．5.受新冠肺炎疫情的影响，某电器经销商今年2月份电器的销售额比1月份电器的销售额下降20%，3月份电器的销售额比2月份电器的销售额下降m%，已知1月份电器的销售额为50万元．设3月份电器的销售额为a万元，则()A. a=50(1−20%−m%)B. a=50(1−20%)m%C. a=50−20%−m%D. a=50(1−20%)(1−m%)【答案】D【解析】解：由题意可得，a=50(1−20%)(1−m%)，故选：D．根据某电器经销商今年2月份电器的销售额比1月份电器的销售额下降20%，3月份电器的销售额比2月份电器的销售额下降m%，1月份电器的销售额为50万元，可以得到2月份是销售额，从而可以得到a的值，本题得以解决．(k≠0)在同一坐标系中的图象可能是()6.函数y=kx−k与y=kxA. B. C. D.【答案】D【解析】解：A、∵由反比例函数的图象在一、三象限可知，k>0，∴−k<0，∴一次函数y=kx−k的图象经过一、三、四象限，故本选项错误；B、∵由反比例函数的图象在一、三象限可知，k>0，∴−k<0，∴一次函数y=kx−k的图象经过一、三、四象限，故本选项错误；C、∵由反比例函数的图象在二、四象限可知，k<0，∴−k>0，∴一次函数y=kx−k的图象经过一、二、四象限，故本选项错误；D、∵由反比例函数的图象在二、四象限可知，k<0，∴−k>0，∴一次函数y=kx−k的图象经过一、二、四象限，故本选项正确；故选：D．7.某数学兴趣小组为了了解本班学生一周课外阅读的时间，随机调查了5名学生，并将所得数据整理如表：学生12345一周课外阅读时间(小时)7548表中有一个数字被污染后而模糊不清，但曾计算得该组数据的平均数为6，则这组数据的方差为()A. 1.5B. 2C. 3D. 6【答案】B【解析】解：∵这组数据的平均数为6，∴模糊不清的数是：6×5−7−5−4−8=6，则这组数据的方差为15[(7−6)2+(5−6)2+(6−6)2+(4−6)2+(8−6)2]=2；故选：B．8.如图，点E是△ABC内一点，∠AEB=90°，AE平分∠BAC，D是边AB的中点，延长线段DE交边BC于点F，若AB=6，EF=1，则线段AC的长为()A. 7B. 152C. 8D. 9【答案】C【解析】解：延长BE交AC于H，∵AE平分∠BAC，∴∠HAE=∠BAE，在△HAE和△BAE中，{∠HAE=∠BAE AE=AE∠AEH=∠AEB，∴△HAE≌△BAE(ASA)∴AH=AB=6，HE=BE，∵HE=BE，AD=DB，∴DF//AC，∵HE=BE，∴HC=2EF=2，∴AC=AH+HC=8，故选：C．9.若无论x取何值，代数式(x+1−3m)(x−m)的值恒为非负数，则m的值为()A. 0B. 12C. 13D. 1【答案】B【解析】解：(x+1−3m)(x−m)=x2+(1−4m)x+3m2−m，∵无论x取何值，代数式(x+1−3m)(x−m)的值恒为非负数，∴△=(1−4m)2−4(3m2−m)=(1−2m)2≤0，又∵(1−2m)2≥0，∴1−2m=0，∴m=12．故选：B．10. 如图①，在矩形ABCD 中，ACAB =k(k 为常数)，动点P 从点B 出发，以每秒1个单位长度的速度沿B →A →C 运动到点C ，同时动点Q 从点A 出发，以每秒k 个单位长度的速度沿A →C →D 运动到点D ，当一个点停止运动时，另一个点也随之停止，设△APQ 的面积为y ，运动时间为t 秒，y 与t 的函数关系图象如图②所示，当t =4时，y 的值为( )A. 43B. 1C. 23D. 13【答案】C【解析】解：①当点P 在AB 上运动时， 过点Q 作QH ⊥AB 于点H ，由题意得：AB =3，则AC =3k ，AP =1，AQ =2k ，当t =2时，即PB =2，y =12×PA ×QH =12×(3−t)×QH =43，解得：QH =83， 则AH =AQcos∠BAC =2k ×1k =2，故PH =1， 则AH =2，而QH =83，故tan∠HAQ =QHAH =43=tanα， 则cosα=35=1k ，解得：k =53，故AB =3，BC =4，AC =5；②当t =4时，点P 在AD 上运动的距离为1，点Q 在CD 上运动了1秒，运动的距离QC 为53，则DQ =3−53，y =12×AP ×QD =12×1×(3−53)=23， 故选：C ．二、填空题（本大题共4小题，共8.0分） 11. −127的立方根为______． 【答案】−13 【解析】解： ∵(−13)3=−127，∴−127的立方根为−13，故答案为：−13．12.已知x2−9y2=3，x+3y=12，则x−3y=______．【答案】6【解析】解：因为x2−9y2=3，x+3y=12，x2−9y2=(x+3y)(x−3y)，所以3=12(x−3y)，所以x−3y=6，故答案为：6．13.如图，在△ABC中，AB=AC=2，以AB为直径的⊙O，交AC于E点，交BC于D点．若劣弧DE的长为π6，则∠BAC=______．【答案】30°【解析】解：连接AB，∵AB为⊙O的直径，∴AD⊥BC，∵AB=AC=2，∴∠CAD=∠BAD，连接OE，OD，设∠DOE=α，∵劣弧DE的长为π6，∴α⋅π×1180=π6，∴α=30°，∴∠CAD=15°，∴∠BAC=2∠CAD=30°，故答案为：30°．14.若函数图象上存在点Q(m,n)，满足n=m+1，则称点Q为函数图象上的奇异点．如：直线y=2x−3上存在唯一的奇异点Q(4,5).若y关于x的二次函数y=12x2+(a−h+1)x+12b+h的图象上存在唯一的奇异点，且当−3≤a≤2时，b的最小值为−2，则h的值为______．【答案】2或4【解析】解：设y关于x的二次函数y=12x2+(a−h+1)x+12b+h的图象上的奇异点为(x,x+1)，代入函数y=12x2+(a−h+1)x+12b+h得：x+1=12x2+(a−h+1)x+12b+h，12x2+(a−h)x+12b+h−1=0∵存在唯一的一个“奇异点”，∴△=(a−h)2−4×12×(12b+h−1)=0，b=(a−h)2−2h+2，这是一个b关于a的二次函数，图象为抛物线，开口向上，对称轴为a=h，对称轴左侧，b随a的增大而减小；对称轴右侧，a随a的增大而增大；①h<−3，当−3≤a≤2时，在对称轴右侧递增，∴当a=−3时，b有最小值为−2，即(−3−h)2−2h+2=−2，h2+4t+13=0，△=16−4×1×13<0，方程无解，②h>2，当−3≤a≤2时，在对称轴左侧递减，∴当a=2时，b有最小值为−2，即(2−h)2−2h+2=−2，h2−6h+8=0，解得，h=4或2(舍去)，③当−3≤h≤2，当−3≤a≤2时，n有最小值为−2h+2=−2，∴h=2综上所以述：h的值为4或2，故答案为4或2．三、计算题（本大题共2小题，共16.0分）15.计算x−yx ÷(x−2xy−y2x).【答案】解：x−yx ÷(x−2xy−y2x)=x−yx ÷x2−2xy+y2x=x−yx ⋅x (x−y)2=1x−y．16.大蜀山是合肥市的著名景点，某数学兴趣小组到大蜀山测量山上电视塔的高度．如图所示，电视塔CD在高270m的山峰BC上，在山脚的A处测得电视塔底部C的仰角为42°，再沿AB方向前进62.5m到达E处，测得电视塔顶部D的仰角为58°，求电视塔CD的高度．(精确到1m.参考数据：sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90，sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60.)【答案】解：在Rt△ABC中，tan∠BAC=tan42°=BCAB，∴AB=BCtan42∘≈2700.90=300m，∵AE=62.5m，∴BE=AB−AE=300−62.5=237.5(m)，在Rt△BED中，tan∠BED=tan58°=BDBE，∴BD=BE⋅tan58°≈237.5×1.6=380(m)，∴CD=BD−BC≈380−270=110(m)．答：电视塔CD的高度约为110m．四、解答题（本大题共7小题，共76.0分）17.如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别为A(−4,−1)，B(−2,−4)，C(−1,−2)．(1)请画出△ABC向右平移5个单位后得到的△A1B1C1；(2)请画出△ABC关于直线y=−x对称的△A2B2C2；(3)线段B1B2的长是______．【答案】√37【解析】解：(1)如图，△A1B1C1即为所求；(2)如图，△A2B2C2即为所求；(3)线段B1B2的长是√12+62=√37．故答案为：√37．18.《计算之书》是意大利中世纪著名数学家斐波那契(公元1175−1250年)的经典之作．书中记载了一道非常有趣的“狐跑犬追”问题：在相同的时间里，猎犬每跑9m，狐狸跑6m.若狐狸与猎犬同时起跑时狐狸在猎犬前面50m，问狐狸跑多少距离后被猎犬追上？x米，【答案】解：设狐狸跑x米后被猎犬追上，此时猎犬跑了96x−x=50，依题意，得：96解得：x=100．答：狐狸跑100米后被猎犬追上．19.如图，下列各正方形中的四个数之间具有相同的规律．根据此规律，回答下列问题：(1)第5个图中4个数的和为______．(2)a=______；c=______．(3)根据此规律，第n个正方形中，d=2564，则n的值为______．【答案】−152(−1)n⋅2n−1(−1)n⋅2n+4 10【解析】解：(1)第5个图形中的4个数分别是−16，−32，−28，−764个数的和为：−16−32−28−76=−152．(2)a=(−1)n⋅2n−1；b=2a=(−1)n⋅2n，c=b+4=(−1)n⋅2n+4．(3)根据规律知道，若d=2564>0，则n为偶数，当n为偶数时a=2n−1，b=2n，c=2n+4，2n−1+2n+2n+4=2564，依题意有2n−1+2n+2n=2560，解得n=10．故答案为：−152；(−1)n⋅2n−1；(−1)n⋅2n+4；10．20.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径的⊙O交AC于点E，⊙O的切线DE交BC于点F，交AB的延长线于点D．(1)若BD=2，DE=4，求⊙O的半径；(2)求证：BF=CF．【答案】(1)解：连接OE，如图，∵DE为⊙O的切线，∴∠OEF=90°，设⊙O半径为x，则OB=OE=x，∵BD=2，∴OD=OB+BD=x+2，在Rt△DEO中，∵OE2+DE2=OD2，∴x2+42=(x+2)2，解得x=3，即⊙O半径为3；(2)证明：连接BE，如图，∵AB为⊙O的直径，∴∠AEB=90°，∠CEB=90°，∴∠CBE+∠C=90°，∠CEF+∠FEB=90°，∵∠ABC=90°，∴BC为⊙O的切线，∵DE为⊙O的切线，∴BF=EF，∴∠CBE=∠BEF，∴∠C=∠CEF，∴CF=EF，∴BF=CF．21.某葡萄种植大镇，果农广宇为了了解甲、乙两个大棚里所种植的“夏黑”葡萄的生长情况．现从两个大棚里分别随机抽取了20串葡萄，对它们的重量(单位：g)进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息：(葡萄重量用x表示，共分为五组，A 组：400≤x<450，B组：450≤x<500，C组：500≤x<550，D组：550≤x<600，E组：600≤x<650)甲大棚20串葡萄的重量分别为：545，560，414，565，640，560，590，542，425，560，630，580，466，530，487，625，490，513，508，540，乙大棚20串葡萄的重量在C组中的数据是：520，545，530，520，533，522．甲、乙两大棚随机抽取的葡萄的重量数据统计表如图表所示：根据以上信息，解答下列问题：(1)请直接写出上述统计表中a，b的值：a=______，b=______；(2)若甲、乙两大棚的葡萄总共有2400串，请估计甲、乙两大棚重量在600克及以上的葡萄共有多少串？(3)本次抽取的共40串葡萄中，重量在600g/串及以上的视为“佳品葡萄”，果农广宇在“佳品葡萄”中任选2串参加镇里举行的葡萄大赛，求这2串葡萄全部来自甲大棚的概率．【答案】560 531.5【解析】解：(1)甲大棚的出现次数最多的是560，因此众数是560，即a=560．乙大棚A、B两组串数为20×(10%+20%)=6，中位数是从小到大排列后处在第10、11位两个数的平均数，由C组中的数据是：520，545，530，520，533，522可得，处在第10、11位的两个数的平均数为：530+5332=531.5，因此b=531.5，故答案为：560，531.5；(2)乙大棚重量在600克(含600克)以上的葡萄有：(1−10%−20%−30%−25%)×20=3(串)，甲大棚重量在600克(含600克)以上的葡萄有：625g，630g，640g共3串，∴甲，乙两大棚共有重量在600克(含600克)以上的葡萄：2400×640=360(串)．答：由此可以估计甲，乙两大棚重量在600克及以上的葡萄共有360串；(3)甲大棚在600g及以上的3串葡萄记为a，b，c；乙大棚在600g及以上的3串葡萄记为x，y，z；列树状图如下：共有30种等可能结果，这2串葡萄全部来自甲大棚的结果有6种，∴这2串葡萄全部来自甲大棚的概率为630=15．22.如图，已知抛物线y=x2+bx+c过点A(0,−2)，B(−√2,0)，G(x1,y1)，H(x2,y2)是抛物线上任意不同两点．(1)求抛物线的解析式；(2)若直线GH与直线y=2x平行，求y1+y2的最小值．【答案】解：(1)∵抛物线过点A (0,−2)，B (−√2,0)∴{(−√2)2−√2b+c=0c=−2∴{b=0c=−2则抛物线解析式为y=x2−2；(2)由(1)知，G (x1,x12−2)，H (x2,x22−2)，∵GH与直线y=2x平行，∴设直线GH的解析式为y=2x+m，令x2−2=2x+m，即(x−1)2=m+3，解得x1=1−√m+3，x1=1+√m+3，∴y1+y2=x12+x22−4=(1−√m+3)2+(1+√m+3)2−4=2+2m+6−4=2m+4，∵(x−1)2=m+3，∴m=(x−1)2−3，∴y1+y2=2[(x−1)2−3]+4=2(x−1)2−2，∴当x=1时，y1+y2取小值−2．23.如图①，在△ABC中，AC=BC，CD为AB边上的中线，CE//AB，线段DE交BC于点G．(1)若CE=CG=1，AB=4，求DE的长；(2)如图②，取△ABC外一点F，连接AF，BF，CF，DF，CF与DE交于点H，若∠ACB=90°，AC=AF，BF⊥CF，DE⊥DF．①求HFDH的值；②求证：CH=FH．【答案】解：(1)∵CE//AB，∴△CEG∽△BDG，∴CEBD =CGBG，∵在等腰三角形ABC中，AC=BC，CD为AB边上的中线，∴BD=12AB=2，CD⊥AB，∴12=1BG，∴BG=2，∴BC=BG+CG=2+1=3，∴CD2=BC2−BD2=32−22=5，∵CE//AB，CD⊥AB，∴CD⊥CE，∴∠DCE=90°，∴在Rt△CED中，DE=√CD2+CE2=√5+12=√6；(2)①∵DE⊥DF，CD⊥AB，∴∠FDE=∠CDB=90°，∴∠FDB=∠HDC，∵BF⊥CF，∴∠CFB=∠EDF=90°，∴∠CFB+∠DFH=∠EDF+∠DFH，∴∠DFB=∠DHC，∵∠ACB=90°，AC=BC，∴△ABC是等腰直角三角形，CD为AB边上的中线，∴BD=CD，在△DFB和△DHC中，{∠DFB=∠DHC ∠FDB=∠HDC BD=CD，∴△DFB≌△DHC(AAS)，∴DF=DH，∵∠EDF=90°，∴△HDF是等腰直角三角形，∴HF=√2DH，即HFDH的值为√2；②设AC=BC=a，∵△ABC是等腰直角三角形，CD为AB边上的中线，∴AB=√2AC=√2a，AD=12AB=√22a，∴ADAC =ACAB=√22，∵AC=AF，∴ADAF =AFAB=√22，∵∠DAF=∠FAB，∴△DAF∽△FAB，∴DFBF =AFAB=√22，即BF=√2DF，∵△DFB≌△DHC，∴CH=BF，DF=DH，∴CH=√2DF=√2DH，∵HF=√2DH，∴CH=FH．。

2020年安徽省合肥市第四十六中学中考三模数学试题

2020年安徽省合肥市第四十六中学中考三模数学试题

2020年安徽省合肥市第四十六中学中考三模数学试题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________1．﹣52的绝对值是（ ） A ．﹣25 B ．52 C ．25 D ．﹣522．如图，几何体的主视图是（ ）．A ．B ．C ．D ． 3．响应党中央号召，连日来，全国广大共产党员继续踊跃捐款，表达对新冠肺炎疫情防控工作的支持．据统计，截至3月10日，全国已有7436万多名党员自愿捐款，共捐款76.8亿元，则76.8亿元用科学记数法可表示为（ ）A ．97.6810⨯元B ．107.6810⨯元C ．1176.810⨯元D ．100.76810⨯元4x 的取值范围是（ ）．A ．x ＞﹣1B ．x ≥0C ．x ≥﹣1D ．任意实数 5．如图，现有正方形卡片A 类，B 类和长方形卡片C 类若干张，若要拼一个长为(2)a b +，宽为(3)a b +的大长方形，则需要C 类卡片（ ）A ．5张B ．6张C ．7张D ．8张 6．在数学课上，同学们在练习过点B 作线段AC 所在直线的垂线段时，有一部分同学画出下列四种图形，请你数一数，错误的个数为( )A．1个B．2个C．3个D．4个7．如图，△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的三边分别记为a，b，c，O是△ABC的外心，OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，则OD：OE：OF=（）A．a：b：c B．111::a b cC．cosA：cosB：cosCD．sinA：sinB：sinC8．在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下：甲：将边长为3、4、5的三角形按图1的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距为1，则新三角形与原三角形相似．乙：将邻边为3和5的矩形按图2的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形相似．对于两人的观点，下列说法正确的是( )A．甲对，乙不对B．甲不对，乙对C．两人都对D．两人都不对9．已知函数y＝﹣3﹣（x﹣m）（x﹣n），并且a，b是方程﹣3﹣（x﹣m）（x﹣n）＝0的两个根，则实数m，n，a，b的大小关系可能是（）．A．m＜n＜b＜a B．a＜m＜n＜b C．a＜m＜b＜n D．m＜a＜b＜n 10．如图，已知半径为2的⊙O与直线l相切于点A，点P是直径AB左侧半圆上的动点，过点P作直线l的垂线，垂足为C，PC与⊙O交于点D，连接PA、PB，设PC的长为x（2＜x＜4），则PD•CD的最大值是（）．A．2 B．3 C．4 D．6 11．分解因式：8a3﹣2a＝_____．12．如果单项式﹣xy b+1与12x a﹣2y3是同类项，那么（b﹣a）2020＝_____．13．如图，△ABC内接于⊙O，BD⊥AC于点E，连接AD，OF⊥AD于点F，∠D=45°．若OF=2，则BE的长为___________________．14．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的顶点为D，其图象与x轴的交点A，B 的横坐标分别为﹣1，3，与y轴负半轴交于点C．以下五个结论：①2a+b＝0；②a+b+c＞0；③4a+b+c＞0；④只有当a＝12时，△ABD是等腰直角三角形；⑤使△ACB为等腰三角形的a的值可以有两个．那么，其中正确的结论是_____．15．解分式方程：31133x x-=--______________．16．在如图所示的方格纸中，△ABC的顶点都在小正方形的顶点上，以小正方形互相垂直的两边所在直线建立直角坐标系．（1）作出△ABC 关于y 轴对称的△A 1B 1C 1，其中点A ，B ，C 分别和点A 1，B 1，C 1对应； （2）平移△ABC ，使得点A 在x 轴上，点B 在y 轴上，平移后的三角形记为△A 2B 2C 2，作出平移后的△A 2B 2C 2，其中点A ，B ，C 分别和点A 2，B 2，C 2对应；（3）直接写出△ABC 的面积．17．观察下列等式：2411155-=⨯，2812266-=⨯，21213377-=⨯，…… （1）请写出第四个等式： ；（2）观察上述等式的规律，猜想第n 个等式（用含n 的式子表示），并证明其正确性．18．已知直线y 1＝x ﹣5与双曲线y 2＝﹣26p x-． （1）求证：无论p 取何值时，两个函数的图象恒有两个交点；（2）设两个交点分别为A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2），且满足x 12+x 22＝3x 1x 2，求实数p 的值． 19．如图，专业救助船“沪救1”轮、“沪救2”轮分别位于A 、B 两处，同时测得事发地点C 在A 的南偏东60°且C 在B 的南偏东30°上．已知B 在A 的正东方向，且相距100里，请分别求出两艘船到达事发地点C 的距离．（注：里是海程单位，相当于一海里．结果保留根号）20．如图所示，矩形ABCD 中，点E 在CB 的延长线上，使CE ＝AC ，连接AE ，点F 是AE 的中点，连接BF 、DF ，求证：BF ⊥DF ．21．在9年级毕业前，团支部进行“送赠言”活动，某班团支部对该班全体团员在一个月内所发赠言条数的情况进行了统计，并制成了如图两幅不完整的统计图：（1）求该班团员共有多少？该班团员在这一个月内所发赠言的平均条数是多少？并将该条形统计图补充完整；（2）如果发了3条赠言的同学中有两位男同学，发了4条赠言的同学中有三位女同学．现要从发了3条赠言和4条赠言的同学中分别选出一位参加该校团委组织的“送赠言”活动总结会，请你用列表法或画树状图的方法求出所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学的概率．22．在平面直角坐标系xoy中，直线y＝4x+4分别与x 轴，y 轴分别交于A，B，点A 在抛物线y＝ax2+bx﹣3a (a＜0)上，将点B向右平移3个单位长度，得到点C．（1）求抛物线的顶点坐标；（用含a的代数式表示）（2）若a=﹣1，当t﹣1≤x≤t时，函数y＝ax2+bx﹣3a (a＜0)的最大值是3，求t的值；（3）若抛物线与线段BC有两个公共点，结合函数图像直接写出a的取值范围．23．如图1，△ABC是等腰直角三角形，四边形ADEF是正方形，D、F分别在AB、AC 边上，此时BD=CF，BD⊥CF成立．（1）当正方形ADEF绕点A逆时针旋转θ（0°＜θ＜90°）时，如图2，BD=CF成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．（2）当正方形ADEF绕点A逆时针旋转45°时，如图3，延长BD交CF于点G, AC与BG的交点为M．求证：EM:DM=CG:AC；(3)在(2)小题的条件下，当AB=4，时，求四边形ABGF的面积．参考答案1．B【解析】【分析】根据绝对值的性质：负数的绝对值是它的相反数即可得出答案．【详解】﹣52的绝对值是52，故选：B．【点睛】本题主要考查绝对值，掌握绝对值的性质是解题的关键．2．B【解析】【分析】找到从正面看所得到的图形即可．【详解】解：从正面看易得是一列两个矩形．故选：B．【点睛】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．3．A【解析】【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【详解】解：76.8亿元＝7680000000元＝7.68×109元．故选：A．【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．4．C【解析】【分析】根据二次根式的意义可得出x +1≥0，即可得到结果．【详解】解：由题意得：x +1≥0，解得：x ≥﹣1，故选：C ．【点睛】本题主要是考查了二次根式有意义的条件应用，计算得出的不等式是关键．5．C【解析】【分析】根据长方形的面积等于长乘以宽列式，再根据多项式的乘法法则计算，然后结合卡片的面积即可作出判断．【详解】解: 长为(2)a b +，宽为(3)a b +的大长方形的面积为：(2)a b +(3)a b +=3a 2+7ab+2b 2，A 图形面积为a 2，B 图形面积为b 2，C 图形面积为ab ，则可知需要A 类卡片3张,B 类卡片2张,C 类卡片7张，故选：C ．【点睛】此题主要考查了多项式乘多项式，掌握多项式乘以多项式的法则是本题的关键，注意不要漏项，漏字母,有同类项的合并同类项．6．D【解析】试题解析：从左向右第一个图形中，BE 不是线段，故错误；第二个图形中，BE不垂直AC，所以错误；第三个图形中，是过点E作的AC的垂线，所以错误；第四个图形中，过点C作的BE的垂线，也错误.故选D.7．C【解析】设三角形的外接圆的半径是R．连接OB，OC．∵O是△ABC的外心，且OD⊥BC．∴∠BOD=∠COD=∠A在直角△OBD中，OD=OB•cos∠BOD=R•cosA．同理，OE=R•cosB，OF=R•cosC．∴OD：OE：OF=cosA：cosB：cosC．故选C．【点睛】设三角形的外接圆的半径是R，根据垂径定理，在直角△OBD中，利用三角函数即可用外接圆的半径表示出OD的长，同理可以表示出OE，OF的长，即可求解．8．A【解析】试题分析：根据题意得：AB∥A′B′，AC∥A′C′，BC∥B′C′，∴∠A=∠A′，∠B=∠B′，∴△ABC∽△A′B′C′，∴甲说法正确；乙：∵根据题意得：AB=CD=3，AD=BC=5，则A′B′=C′D′=3+2=5，A′D′=B′C′=5+2=7，∴==，==，∴≠，∴新矩形与原矩形不相似．∴乙说法不正确．故选A ．考点：相似三角形的应用．9．D【解析】【分析】令抛物线解析式中0y =，得到方程的解为a ，b ，即为抛物线与x 轴交点的横坐标为a ，b ，再由抛物线开口向下得到x a <或x b >时y 小于0，根据x m =与n 时函数值小于0，即可确定出m ，n ，a ，b 的大小关系．【详解】 解：函数23()()()3y x m x n x m n x mn =----=-++--，∴抛物线开口向下，a ，b 是方程﹣3﹣（x ﹣m ）（x ﹣n ）＝0的两个根∴当x a =或b 时，0y =， 又当x m =或n 时，30y =-<，∴实数m ，n ，a ，b 的大小关系为m ＜a ＜b ＜n ．故选：D ．【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数之间的关系，难度较大，熟练掌握抛物线的性质是解本题的关键．10．A【解析】【分析】过点O向BC作垂线OH，垂足为H，由垂径定理得到H为PD的中点，设PC=x，根据CD=PC-PD，进而求出PD·CD，整理后得到关于x的二次函数，利用二次函数的性质即可求出所求式子的最大值及此时x的取值．【详解】过点O向BC作垂线OH，垂足为H，∵PD是⊙O的弦，OH⊥PD，∴PH=HD.∵∠CHO=∠HCA=∠OAC=90°，∴四边形OACH为矩形，∴CH=OA=2，∵PC=x，∴PH=HD=PC-CH=x-2，∴CD=PC-PD=x-2(x-2)=4-x，∴PD·CD=2 (x-2)(4-x)=-2x2+12x-16=-2(x-3)2+2，∵2＜x＜4，∴当x=3时，PD·CD的值最大，最大值是2，故选：A．【点睛】本题主要考查了垂径定理、矩形的判定与性质、二次函数的性质，作OH⊥BC，利用垂径定理求解是解答的关键．11．2a（2a+1）（2a﹣1）【解析】【分析】直接提取公因式2a，再利用平方差公式分解因式即可．解：8a 3﹣2a ＝2a （4a 2﹣1）＝2a （2a +1）（2a ﹣1）．故答案为：2a （2a +1）（2a ﹣1）．【点睛】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用公式是解题关键．12．1【解析】【分析】由同类项的概念求出a 、b 值，即可解答.【详解】解：∵单项式﹣xy b +1与12x a ﹣2y 3是同类项， ∴a ﹣2＝1，b +1＝3，解得：a ＝3，b ＝2，故（b ﹣a ）2020＝（3﹣2）2020＝1．故答案为：1.【点睛】本题主要考查了同类项、幂的乘方，正确理解同类项的定义是解答的关键.13．【解析】【分析】根据题意可知，本题考察圆周角定理，等腰三角形的性质和相似三角形，根据圆周角定理以及相似三角形性质，运用相似三角形对应边成比例，进行求解．【详解】解：连接OA ，AD∵BD ⊥AC ，45ADE ∠=︒∴△ADE 是等腰直角三角形∴AD =∵OA=OB∴△AOD 是等腰三角形∴OF 平分∠AOD ，122AF AD AE == ∴12AOF AOD ∠=∠ 由圆周角定理的：12ABD AOD ∠=∠ ∴AOF ABD ∠=∠在△AOF 和△ABE 中，90AOF ABE AFO AEB ∠=∠⎧⎨∠=∠=︒⎩ ∴AOF ABE △△∴AF OF AE BE =，即22AE AE BE=解得BE =故答案为:【点睛】本题考查圆周角定理，等腰三角形的性质和相似三角形，通过作辅助线构造相似三角形运用等腰三角形的性质以及相似三角形性质是解决此类问题的关键.14．①④⑤【解析】【分析】先根据图象与x 轴的交点A ，B 的横坐标分别为-1，3确定出AB 的长及对称轴，再由抛物线的开口方向判断a 与0的关系，由抛物线与y 轴的交点判断c 与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．解：①∵图象与x 轴的交点A ，B 的横坐标分别为﹣1，3，∴AB ＝4，∴对称轴x ＝2b a -＝132-+=1， 即2a +b ＝0；故①正确；②由抛物线的开口方向向上可推出a ＞0，而2b a-＞0 ∴b ＜0，∵对称轴x ＝1，∴当x ＝1时，y ＜0，∴a +b +c ＜0；故②错误；③∵图象与x 轴的交点A ，B 的横坐标分别为﹣1，3，∴a ﹣b +c ＝0，9a +3b +c ＝0，∴10a +2b +2c ＝0，∴5a +b +c ＝0，∴a +4a +b +c ＝0，∵a ＞0，∴4a +b +c ＜0，故③错误；④要使△ABD 为等腰直角三角形，必须保证D 到x 轴的距离等于AB 长的一半；D 到x 轴的距离就是当x ＝1时y 的值的绝对值．当x ＝1时，y ＝a +b +c ，即|a +b +c |＝2，∵当x ＝1时y ＜0，∴a +b +c ＝﹣2，又∵图象与x 轴的交点A ，B 的横坐标分别为﹣1，3，∴当x ＝﹣1时y ＝0即a ﹣b +c ＝0；x ＝3时y ＝0．∴9a+3b+c＝0，解这三个方程可得：b＝﹣1，a＝12，c＝﹣32；⑤要使△ACB为等腰三角形，则必须保证AB＝BC＝4或AB＝AC＝4或AC＝BC，当AB＝BC＝4时，∵AO＝1，△BOC为直角三角形，又∵OC的长即为|c|，∴c2＝16﹣9＝7，∵由抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上，∴c，与2a+b＝0、a﹣b+c＝0联立组成解方程组，解得a＝3；同理当AB＝AC＝4时，∵AO＝1，△AOC为直角三角形，又∵OC的长即为|c|，∴c2＝16﹣1＝15，∵由抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上，∴c与2a+b＝0、a﹣b+c＝0联立组成解方程组，解得a；同理当AC＝BC时在△AOC中，AC2＝1+c2，在△BOC中BC2＝c2+9，∵AC＝BC，∴1+c2＝c2+9，此方程无解．经解方程组可知只有两个a值满足条件．故⑤正确．故答案为：①④⑤．【点睛】二次函数y=ax2+bx+c系数符号的确定：（1）a 由抛物线开口方向确定：开口方向向上，则a ＞0；否则a ＜0；（2）b 由对称轴和a 的符号确定：由对称轴公式x=2b a判断符号； （3）c 由抛物线与y 轴的交点确定：交点在y 轴正半轴，则c ＞0；否则c ＜0；（4）b 2-4ac 由抛物线与x 轴交点的个数确定：①2个交点，b 2-4ac ＞0；②1个交点，b 2-4ac=0；③没有交点，b 2-4ac ＜0．15．x ＝7【解析】【分析】方程两边都乘以最简公分母，注意不要漏乘没有分母的项；去括号，移项合并同类项，即可求得方程的解．【详解】解：方程两边都乘以(x-3),得：3-(x-3)=-1去括号，移项，得：-x=-1-6合并同类项，得：x=7经检验，x=7是原方程的根故答案为：x=7【点睛】本题考查了解分式方程，注意在去分母时，不要漏乘没有分母的项，解分式方程必须验根． 16．（1）见解析；（2）见解析；（3）72【解析】【分析】（1）分别作出三个顶点关于y 轴的对称点，再首尾顺次连接即可得；（2）将三个顶点分别向左平移1个单位，再向下平移4个单位可得；（3）利用割补法求解可得．【详解】解：（1）如图所示，△A 1B 1C 1即为所求．（2）如图所示，将△ABC 三个顶点分别向左平移1个单位，再向下平移4个单位，△A 2B 2C 2即为所求．（3）△ABC 的面积为3×3﹣12×1×3﹣12×1×2﹣12×2×3＝72． 【点睛】本题考查作图-轴对称变换，熟知轴对称的性质是解题的关键．17．（1）4-168=42×18；（2）第n 个等式是24144n n n n n -=⨯++，见解析． 【解析】【分析】（1）把前三个等式都看作减法算式的话，每个算式的被减数分别是1、2、3，减数的分母分别是514、624=+、734=+，减数的分子分别是441=⨯，842=⨯，1243=⨯，差分别是被减数的平方和以减数的分母作分母，以1作分子的分数的乘积；据此判断出第四个等式的被减数是4，减数的分母是8，分子是4的4倍，差等于24与18的乘积； （2）根据上述等式的规律，猜想第n 个等式为：24144n n n n n -=⨯++，然后把等式的左边化简，根据左边=右边，证明等式的准确性即可．【详解】解：（1）4-168=42×18（2）第n 个等式是24144n n n n n -=⨯++． 证明：∵左边=224441444n n n n n n n n n +--==⨯+++ =右边，∴等式成立．【点睛】此题主要考查了探寻数列规律问题，注意观察总结规律，并能正确的应用规律，解答此题的关键是判断出：第n 个等式为：24144n n n n n -=⨯++． 18．（1）证明见解析；（2）p ＝±1 【解析】【分析】（1）根据两个函数解析式，得到方程x 2﹣5x +6﹣p 2＝0，求根的判别式△，当△＞0时，方程总有两个不相等的实数根；（2）根据根与系的关系求出两根和与两根积，再把x 12+x 22＝3x 1x 2变形，化成和与乘积的形式，代入计算，得到一个关于p 的一元二次方程，解方程即可．【详解】 解：（1）联立方程组256y x p y x =-⎧⎪⎨-=⎪⎩，可得x 2﹣5x +6﹣p 2＝0，∴△＝（﹣5）2﹣4×1×（6﹣p 2）＝25﹣24+4p 2＝1+4p 2，∵无论p 取何值时，总有4p 2≥0，∴△＝1+4p 2＞0，∴无论p 取何值时，方程总有两个不相等的实数根；（2）∵x 1+x 2＝5，x 1x 2＝6﹣p 2，又∵x 12+x 22＝3x 1x 2，∴（x 1+x 2）2﹣2x 1x 2＝3x 1x 2，∴52＝5（6﹣p 2），解得p ＝±1， ∴实数p 的值为±1． 【点睛】本题属于一次函数与反比例函数图象的交点问题，主要考查了根的判别式和根与系数的关系的运用，一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a≠0）的根与△＝b 2−4ac 有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．19．A船到达事发地点C的距离是里，B船到达事发地点C的距离是100里．【解析】【分析】作BG⊥AC于G，由方位角证得BC=AB，根据等腰三角形的性质和正弦、余弦概念求出BC、AC即可．【详解】解：作BG⊥AC于G，∵点C在A的南偏东60°，∴∠A=90°﹣60°=30°，∵C在B的南偏东30°，∴∠ABC=120°，∴∠C=30°，∴BC=AB=100里，∴BG=BC•sin30°=50里，∴答：A船到达事发地点C的距离是里，B船到达事发地点C的距离是100里．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-方位角问题，熟练掌握解直角三角形的方法是解答的关键. 20．见解析.【解析】【分析】延长BF，交DA的延长线于点M，连接BD，进而求证△AFM≌△EFB，得AM=BE，FB=FM，即可求得BC+BE=AD+AM，进而求得BD=BM，根据等腰三角形三线合一的性质即可求证BF⊥DF．【详解】延长BF，交DA的延长线于点M，连接BD．∵四边形ABCD是矩形，∴MD∥BC，∴∠AMF=∠EBF，∠E=∠MAF，又F A=FE，∴△AFM≌△EFB，∴AM=BE，FB=FM．∵矩形ABCD中，∴AC=BD，AD=BC，∴BC+BE=AD+AM，即CE=MD．∵CE=AC，∴AC=CE= BD =DM．∵FB=FM，∴BF⊥DF．【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和对应边相等的性质，等腰三角形三线合一的性质，本题中求证DB=DM是解题的关键．21．（1）12，4，3，条形图见解析；（2）树状图见解析，概率7 12．【解析】【分析】（1）总人数=3÷它所占全体团员的百分比；发4条的人数=总人数-其余人数；（2）列举出所有情况，看恰好是一位男同学和一位女同学占总情况的多少即可．【详解】解：（1）该班团员人数为：3÷25%＝12（人）；发4条赠言的人数为：12﹣2﹣2﹣3﹣1＝4（人）；该班团员所发赠言的平均条数为：（2×1+2×2+3×3+4×4+1×5）÷12＝3（条）．补图如下：；（2）画树状图如下：由上得，共12种等可能结果，符合题意的有7种∴所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学的概率P＝7 12．【点睛】此题考查了树状图法与列表法求概率，以及条形统计图与扇形统计图的知识．注意平均条数=总条数÷总人数；如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=mn．22．（1）（1，﹣4a）；（2）t＝0或t＝3；（3）﹣43≤a＜﹣1．【解析】【分析】（1）将()1,0A -代入抛物线得2b a =-，再将抛物线解析式化为顶点式即可求解； （2）当1a =-时，抛物线顶点坐标为()1,4，然后分情况根据抛物线的性质可解答；（3）先求点B 坐标，将点B 向右平移3个单位长度，得到点C ，利用抛物线的顶点坐标求解．【详解】解：（1）直线y ＝4x +4与x 轴，y 轴分别交于点A 、B ，∴()1,0A -，()0,4B ，点A 在抛物线y ＝ax 2+bx ﹣3a (a ＜0)上，∴2b a =-，∴抛物线()22314y ax bx a a x a =+-=--； ∴抛物线的顶点坐标为（1，﹣4a ）．（2）∵a ＝﹣1，∴抛物线y ＝﹣x 2+2x +3＝﹣（x ﹣1）2+4．当＜1t 时，2-233t t ++=，解得：10t =，22t =（舍去）；当-1＞1t 时，即2t ＞，()()2--12-133t t ++=， 解得：11t =（舍去），2=3t ；综上所述可得：t ＝0或 t ＝3．（3）①把0x =代入抛物线，得到3y a =-，当抛物线的顶点不在线段BC 上时，抛物线与线段有两个交点，∴-34a ≤， ∴43a ≥- ②当抛物线的顶点在线段BC 上时，则顶点坐标为()1,4，∴23＞4a a a --，∴1a -＜．∴a 的取值范围是﹣43≤a ＜﹣1． 【点睛】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，结合一次函数的图像特征进行求解是关键． 23．（1）BD=CF 成立，理由见解析；（2）见解析；（3）23【解析】【分析】（1）根据△ABC 是等腰直角三角形，四边形ADEF 是正方形，根据角边角关系证出△BAD ≌△CAF ，根据全等三角形的对应边相等，即可证得BD ＝CF ；（2）先设BG 交AC 于点M ，根据（1）证出的△BAD ≌△CAF ，可得∠ABM ＝∠GCM ，又根据对顶角相等，得出△BMA ∽△CMG ，再根据根据相似三角形的对应角相等，可得∠BGC ＝∠BAC ＝90°，即可证出BD ⊥CF ；（3）首先过点F 作FN ⊥AC 于点N ，利用勾股定理即可求得AE ，BC 的长，继而求得AN ，CN 的长，又由等角的三角函数值相等，可求得AM 的值，从而求出CM 的值．【详解】解（1）BD=CF 成立．理由：∵△ABC 是等腰直角三角形，四边形ADEF 是正方形，∴AB=AC ，AD=AF ，∠BAC=∠DAF=90°∵∠BAD=∠BAC ﹣∠DAC ，∠CAF=∠DAF ﹣∠DAC ，∴∠BAD=∠CAF ，在△BAD 和△CAF 中， AB AC BAD CAF AD AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BAD ≌△CAF （SAS ）∴BD=CF ．（2）证明：设BG 交AC 于点M ．∵△BAD ≌△CAF （已证），∴∠ABM=∠GCM ．∵∠BMA=∠CMG，∴△BMA∽△CMG．∴CM CG BM AB=,∵AB=AC∴CM CG BM AC=．(3)过点F作FN⊥AC于点N．∵在正方形ADEF中，，∴，∴AN=FN=AE=1，∵在等腰直角△ABC 中，AB=4，∴CN=AC﹣AN=3，，∴在Rt△FCN中，tan∠FCN=FN1= CN3，∴在Rt△ABM中，tan∠ABM=AMAB=tan∠FCN=13，∴AM=13AB=43，∴EM=AE﹣AM=4﹣42 =33．【点睛】此题考查了四边形的综合，用到的知识点是相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、矩形的性质、勾股定理以及三角函数等知识，此题综合性很强，难度较大，注意数形结合思想应用．。

2020届安徽省合肥市高三下学期第三次教学质量检测数学(理)试题(解析版)

2020届安徽省合肥市高三下学期第三次教学质量检测数学(理)试题(解析版)
【详解】
解：从辖区内A，B，C三个小区志愿者中各选取2人，随机安排到这三个小区，每个小区安排2人，则基本事件总数 ，
每位志愿者不安排在自己居住小区，且每个小区安排志愿者来自不同小区包含的基本事件个数为 ，
则每位志愿者不安排在自己居住小区，且每个小区安排的志愿者来自不同小区的概率为：
，
故选：C
【点睛】
11．已知不等式ex﹣x﹣1＞m[x﹣ln（x+1）]对一切正数x都成立，则实数m的取值范围是（）
所以离心率 .
故选：A.
【点睛】
本题考查了双曲线的顶点、渐近线、离心率，考查了点到直线的距离公式，属于基础题.
5．“关于x的方程 有实数解”的一个充分不必要条件是（）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】首先根据题意得到 ，令 ， ，再根据 的范围结合选项即可得到答案.
【详解】
由题知： ， ，
令 ， ，
2020届安徽省合肥市高三下学期第三次教学质量检测数学（理）试题
一、单选题
1．已知R为实数集，集合 ， ，则 （）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】先求得集合 或 ，再结合集合的交集运算，即可求解.
【详解】
由题意，集合 ， ，
则 或 ，所以 或 .
故选：D.
【点睛】
本题主要考查了集合的混合运算，其中解答中熟记集合的交集、并集和补集的概念及运算是解答的关键，着重考查运算与求解能力.
A． B．3C． D．4
【答案】B
【解析】应用余弦定理化角为边，然后变形后应用基本不等式可得最小值．
【详解】
由余弦定理得 ， ，
∴ ，当且仅当 即 时等号成立，
所以 的最小值为3．

2020高考模拟合肥三检-理数答案

2020高考模拟合肥三检-理数答案
合肥市 2020 届高三第三次教学质量检测数学试题(理科)
参考答案及评分标准
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D A C D C B C B D A C A
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
， 1
，得
n
1，0，1
，
BC1n 0
3x 3z 0
∴d CC1 n n
3 2
6 2
，即点 C 到平面 A1BC1 的距离为
6 2
.
………………………………12 分
2020 年三模理科试题参考答案 第 1页 共 4页 “”
19.(本小题满分 12 分)
解:(1)由频率分布直方图可得，空气质量指数在(90，110]的天数为 2 天，所以估计空气质量指数在(90，
解：(1)∵四边形 A1 ACC1 是菱形，∴ A1C AC1 ， 又∵ A1C 3AC1 ，∴ACC1 =60 ，∴ACC1 是等边三角形.
∵点 M 为线段 AC 的中点，∴C1M AC .
又∵ AC ∥ A1C1 ，∴C1M A1C1 .
∵在等边ABC 中， BM AC ，
由 AC ∥ A1C1 可得， BM A1C1 . 又∵ BM C1M M ，∴ A1C1 平面BMC1 ，
2
9 10
C21
3 10
7 10
567 50000
.
………………………………12 分
20.(本小题满分 12 分)
解：(1) f x ex ex a . 当a 2 时， f x ex ex a 2 a 0 ， f x 在 R 上单调递增；
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合肥市2020届高三第三次教学质量检测数学试题（理科）
参考答案及评分标准
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案
D
A
C
D
C
B
C
B
D
A
C
A
、填空题：本大题共4小题, 每小题5分，共20分.
13.480 14.-960 15.4 16.
①②④⑤
、解答题：本大题共6小题, 满分70分.
17.（本小题满分12分）
解：
（1）
f x cos x sin
x .3cos x
1 sin
2 x
3
1 cos
2 x i 2
丘
sin 2 x
2
2
3
2
由1 sin 2 x —
1得，f x 的值域是—1 , 3 1.…… ......................... 5分
3
2
2
⑵ T 0 x ，•——2 x —
2
3
3
3
3
由正弦函数的图像可知，fx —在区间0, 上恰有两个实数解，必须2 2
- 3
2 3
解得5
4
. .......................................... 12分
6
3
18.（本小题满分12分）
解：（1） •••四边形AACG 是菱形，• AC AG ,
又••• AC .3AG ,••• ACC , =600 , • ACC 是等边三角形. •••点M 为线段AC 的中点，• GM AC . 又T AC // AG , • GM AC 1. •••在等边 ABC 中，BM AC , 由 AC // AG 可得，BM AG . 又 T BM I C 1M M , • AC 1 平面 BMC 1 ,
••• A 1C 1 平面ABG ,•平面BMG 丄平面ABG ................................................ 5分 （2） T BM AC ,平面ABCL 平面AACG ,且交线为AC •- BM 平面ACC 1A 1 , •直线MB , MC , MG 两两垂直. 以点M 为坐标原点，分别以MB , MC , MG 所在直线为坐 标轴建立空间直角坐标系，如图，
则 B 3 , 0, 0 , G 0, 0, 3 , A 0, uuuir uuu - -
•- AC 1 0, 2 0 , BG 3 , 0, 3 , 2, 3 uuuu
CC 1 ,C 0, 1, 0 , 1, 3 .
0, 设平面ABG 的一个法向量为n
uuuur r A C 1 n …uuun r
x , y, z
1，得n
BG n 0
19.(本小题满分12分)
解：(1)由频率分布直方图可得，空气质量指数在(90, 110］的天数为2天，所以估计空气质量指数在 (90, 100］的天数为1天，故在这30天中空气质量等级属于优或良的天数为28无 ................3分 (2)①在这30天
中， …P X 0
?
C 30
• X 的分布列为⑵ 由⑴知，当a 2时，fx e x e x 2x 在R 上
单调递增,
• g
x f ln x x 1
x 2ln x 在 0, 当n Z 且n 2时, n 1 2l n n 1
n
.••n Z 且 .n 2 时，
1 2
2
n In n n 1
n
1 1 1 1 1 L 1 i
2 i l n i 1
3 2
4 n 1 上单调递增. 1 n 2
1 2ln1 0 ,即卩 2ln n , 1 n 1 1 n 1 n 1 1 1113 n
2 n 212分
n 1 2 n n 1 2n n 1
备孚即点C 到平面ABC 的距离为孚
12分
1 29，
1 2
2 -
29 5
②甲不宜进行户外体育运动的概率为—，乙不宜进行户外体育运动的概率为—，
10
EX 0 -92 145
48 145
2
2
1 9』 …P C 3
C 2 10 10
3 7
10 10
10 567 50000
12分
20.(本小题满分12分) 解：(1) f x e x e 当a
x 2 时，f x e a , a 1 2
4 2 ,a a 2 4 a
a 2 4
,In
U In 2 2
2时，由f x
在R 上单调递增;
a . a 2 4 ln .
2
时，f x 0 ,
••• f
x
在'『「P 和
时，f
0.
上单调递增,
在 lndJ^2,ln12
2 2
上单调递减.
…d
乙不宜进行户外体育运动，且甲适宜进行户外体育运动的天数共6天,
92
145
_ 1 _ 1
C 6 C 24 48
C 6 P X 1 6 £ , P X 2
6. C 30
145
C 30
解：设点 P X o , y , A X i , y i , B x 2, y 2 . (1) T 直线|经过坐标原点，x 2 x 1, y 2 y 1 .
2
..X0
2
2
2
X0
— y 。

1 ，…y 。

1
4
4
2
同理得
2
y
1
1乞.
4
设直线OB 与直线PA 交于点M ，则点M 为线段PA 的中点，且M
•直线PA 的方程为y 比 皀 x 竺，整理得y 2 4y 2 2
将y
.竺口 代入动点Q 的轨迹方程得，x ； 4y ； x 2 4y 2
2
将 x2 y ； 1 代入(^)，整理得 4x 2 4X 2X x | 0.
4
2 2
T 16X 2 16X 2 0，•直线PA 与动点Q 的轨迹相切.
当y o 时，直线PA 的方程为x 1，•直线PA 与动点Q 的轨
迹相切.
2
2
cos 3 si n 3，即
•四边形ABCD 面积的最大值为7.
k pA k pB
y 1 y 0 y 1 y
°
2
2
X 0 X 1 X 0 X 1 X 0
X
1
•直线PA 与直线PB 的斜率之积为定值. 2
2 2 2
X
X
X
X
1亠
1 1
0 1
4
4
4 4 1
2
2
2
2
X
X
X
X
4
1
1
5分
2 2
⑵T luu OA uur OB uui OP r 0 ,• uuu uur
• OP
2O
设Q
-x 0 2x x , y ，贝9
y 0 2y .
2
由生
2 y °
1, 得x 2
4y 2 1, 4
•动点Q 的轨迹方程为x 2 4y 2 1 .
当y 2 0时，
■
2 2
2
“
刘 2 . y 1 , y 1
, • k pA 匹 y 0
4 4 X 1 X 0 1 X 1
X o 4 % y o
X 2 4y 2
综上可知，直线PA 与动点Q 的轨迹相切.
12分
22.(本小题满分10分)
(1) 曲线E 的直角坐标方程为x+1 直线m 的极坐标方程为 ( (2) 设点A , C 的极坐标分别为 2
2
y R). 1
, 2
, 由2+2 • A C I I ■
S
AB CD
得，2+2
cos 3
2 . cos 2
3.同理得 BD 2.si
■7s in 2 3 cos 2
3 sin 2
cos
0 , • !
2 2cos
1 2
2〔AC | |BD
2A /CO sin 2 3 .
s 2
3
X 2X 2
4y 2
4X 2X 4 1 y ；
0( ^).
当且仅当
3
或—时，等号成立,
4
4
(1) f x 2x 2 x, 3x, 3,
根据函数图象得, m 2.
⑵由(1)知，a •- a2 b 1
x
的最小值为-2,
2 ,
2 12 12 12 2 2
a 1
b 1 1
c 2 1 a b c 1 9,
• a2b 1 2 当
且仅当a •- a2 b2
1
2b
2
2 3 ,
c 2, a b c
4c 2 0.
即a 1 , b 2, c 1时等号成立,
......................................... 10分
1 -。

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