2020合肥三模理科数学答案

合肥市2020届高三第三次教学质量检测数学试题（理科）
参考答案及评分标准
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案
D
A
C
D
C
B
C
B
D
A
C
A
、填空题：本大题共4小题, 每小题5分，共20分.
13.480 14.-960 15.4 16.
①②④⑤
、解答题：本大题共6小题, 满分70分.
17.（本小题满分12分）
解：
（1）
f x cos x sin
x .3cos x
1 sin
2 x
3
1 cos
2 x i 2
丘
sin 2 x
2
2
3
2
由1 sin 2 x —
1得，f x 的值域是—1 , 3 1.…… ......................... 5分
3
2
2
⑵ T 0 x ，•——2 x —
2
3
3
3
3
由正弦函数的图像可知，fx —在区间0, 上恰有两个实数解，必须2 2
- 3
2 3
解得5
4
. .......................................... 12分
6
3
18.（本小题满分12分）
解：（1） •••四边形AACG 是菱形，• AC AG ,
又••• AC .3AG ,••• ACC , =600 , • ACC 是等边三角形. •••点M 为线段AC 的中点，• GM AC . 又T AC // AG , • GM AC 1. •••在等边 ABC 中，BM AC , 由 AC // AG 可得，BM AG . 又 T BM I C 1M M , • AC 1 平面 BMC 1 ,
••• A 1C 1 平面ABG ,•平面BMG 丄平面ABG ................................................ 5分 （2） T BM AC ,平面ABCL 平面AACG ,且交线为AC •- BM 平面ACC 1A 1 , •直线MB , MC , MG 两两垂直. 以点M 为坐标原点，分别以MB , MC , MG 所在直线为坐 标轴建立空间直角坐标系，如图，
则 B 3 , 0, 0 , G 0, 0, 3 , A 0, uuuir uuu - -
•- AC 1 0, 2 0 , BG 3 , 0, 3 , 2, 3 uuuu
CC 1 ,C 0, 1, 0 , 1, 3 .
0, 设平面ABG 的一个法向量为n
uuuur r A C 1 n …uuun r
x , y, z
1，得n
BG n 0
19.(本小题满分12分)
解：(1)由频率分布直方图可得，空气质量指数在(90, 110］的天数为2天，所以估计空气质量指数在 (90, 100］的天数为1天，故在这30天中空气质量等级属于优或良的天数为28无 ................3分 (2)①在这30天
中， …P X 0
?
C 30
• X 的分布列为⑵ 由⑴知，当a 2时，fx e x e x 2x 在R 上
单调递增,
• g
x f ln x x 1
x 2ln x 在 0, 当n Z 且n 2时, n 1 2l n n 1
n
.••n Z 且 .n 2 时，
1 2
2
n In n n 1
n
1 1 1 1 1 L 1 i
2 i l n i 1
3 2
4 n 1 上单调递增. 1 n 2
1 2ln1 0 ,即卩 2ln n , 1 n 1 1 n 1 n 1 1 1113 n
2 n 212分
n 1 2 n n 1 2n n 1
备孚即点C 到平面ABC 的距离为孚
12分
1 29，
1 2
2 -
29 5
②甲不宜进行户外体育运动的概率为—，乙不宜进行户外体育运动的概率为—，
10
EX 0 -92 145
48 145
2
2
1 9』 …P C 3
C 2 10 10
3 7
10 10
10 567 50000
12分
20.(本小题满分12分) 解：(1) f x e x e 当a
x 2 时，f x e a , a 1 2
4 2 ,a a 2 4 a
a 2 4
,In
U In 2 2
2时，由f x
在R 上单调递增;
a . a 2 4 ln .
2
时，f x 0 ,
••• f
x
在'『「P 和
时，f
0.
上单调递增,
在 lndJ^2,ln12
2 2
上单调递减.
…d
乙不宜进行户外体育运动，且甲适宜进行户外体育运动的天数共6天,
92
145
_ 1 _ 1
C 6 C 24 48
C 6 P X 1 6 £ , P X 2
6. C 30
145
C 30
解：设点 P X o , y , A X i , y i , B x 2, y 2 . (1) T 直线|经过坐标原点，x 2 x 1, y 2 y 1 .
2
..X0
2
2
2
X0
— y 。

1 ，…y 。

1
4
4
2
同理得
2
y
1
1乞.
4
设直线OB 与直线PA 交于点M ，则点M 为线段PA 的中点，且M
•直线PA 的方程为y 比 皀 x 竺，整理得y 2 4y 2 2
将y
.竺口 代入动点Q 的轨迹方程得，x ； 4y ； x 2 4y 2
2
将 x2 y ； 1 代入(^)，整理得 4x 2 4X 2X x | 0.
4
2 2
T 16X 2 16X 2 0，•直线PA 与动点Q 的轨迹相切.
当y o 时，直线PA 的方程为x 1，•直线PA 与动点Q 的轨
迹相切.
2
2
cos 3 si n 3，即
•四边形ABCD 面积的最大值为7.
k pA k pB
y 1 y 0 y 1 y
°
2
2
X 0 X 1 X 0 X 1 X 0
X
1
•直线PA 与直线PB 的斜率之积为定值. 2
2 2 2
X
X
X
X
1亠
1 1
0 1
4
4
4 4 1
2
2
2
2
X
X
X
X
4
1
1
5分
2 2
⑵T luu OA uur OB uui OP r 0 ,• uuu uur
• OP
2O
设Q
-x 0 2x x , y ，贝9
y 0 2y .
2
由生
2 y °
1, 得x 2
4y 2 1, 4
•动点Q 的轨迹方程为x 2 4y 2 1 .
当y 2 0时，
■
2 2
2
“
刘 2 . y 1 , y 1
, • k pA 匹 y 0
4 4 X 1 X 0 1 X 1
X o 4 % y o
X 2 4y 2
综上可知，直线PA 与动点Q 的轨迹相切.
12分
22.(本小题满分10分)
(1) 曲线E 的直角坐标方程为x+1 直线m 的极坐标方程为 ( (2) 设点A , C 的极坐标分别为 2
2
y R). 1
, 2
, 由2+2 • A C I I ■
S
AB CD
得，2+2
cos 3
2 . cos 2
3.同理得 BD 2.si
■7s in 2 3 cos 2
3 sin 2
cos
0 , • !
2 2cos
1 2
2〔AC | |BD
2A /CO sin 2 3 .
s 2
3
X 2X 2
4y 2
4X 2X 4 1 y ；
0( ^).
当且仅当
3
或—时，等号成立,
4
4
(1) f x 2x 2 x, 3x, 3,
根据函数图象得, m 2.
⑵由(1)知，a •- a2 b 1
x
的最小值为-2,
2 ,
2 12 12 12 2 2
a 1
b 1 1
c 2 1 a b c 1 9,
• a2b 1 2 当
且仅当a •- a2 b2
1
2b
2
2 3 ,
c 2, a b c
4c 2 0.
即a 1 , b 2, c 1时等号成立,
......................................... 10分
1 -。