空间向量的数量积运算一-PPT精选
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如 图 A1B1 是 b 在 a 方 向上的射影向量.
(3)空间两个向量的数量积性质
rr r 显然,对于非零向量 a 、b , e 是单位向
量有下列性质: r r r rr
① a e a cos a, e ；
②
r a
r b
r a
r b
0
;
r2 r r
r
③ a a a 也就是说 a
A' D A
AC
D' B'
C B
C' 解：Q u A u C u r u A u B u r u A u D u r u A u A u r
uuuur uuur uuur uuur | AC |2 (AB AD AA)2
uuur uuur uuur | AB |2 | AD|2 | AA |2
及ab 0¿ a 0或b 0
练习运算
课堂练习
r
r
1.已知 a 2 2 , b
2 rr ,ab
2,
则
r a
r 与b
2
的夹角大小为_1_3__5 _o.
2.判断真假:
rr
r rr r
1)若 a b 0,则 a 0, b 0
rr r r rr
2)(ab)c a(bc)
rr
rr
a, b =0 时, a 与 b 同向; r
rA a
O
r
B
rr
rr
b
b
a, b =π 时, a 与 b 反向
rr rr
⑵ a, b＝b, a
⑶如果
rr a, b
r ,则称 a
r 与b
垂直,记为
r a
r b
2
2）两个向量的数量积
rr
已 知 空 间 两 个 非 零 向 量 a 、b , 则
( ) ( )
3)
ur2 p
r2 q
ur ( p
r q)2
( )
ur r ur r ur2 r2 4) pq pq p q
( )
A B C D A B C D AB4
A D 3 , A A 5 , B A D 9 0 , B A A D A A 6 0
rr rr
rr
rr
a b cosa, b 叫做 a 、b 的数量积,记作 a b .
r r rr rr 即 a b a b cosa, b .
注:①两个向量的数量积是数量，而不是向量.
②规定:零向量与任意向量的数量积等于零.
A
a
A1
B1
b
B
类比平面向量,你能说 rr
出 a b 的几何意义吗? uuuur r r
空间向量的数量积运算(一)
引入
数量积运 算定义
课堂练习
思考1数量 积的性质
思考2数量 积的运算律
空间向量的数量积运算(一)
ur F
ur
S
W= |F| |s| cos
根据功的计算,我们定义了平面两向量的 数量积运算.一旦定义出来,我们发现这种运 算非常有用,它能解决有关长度和角度问题.
空间向量数量积
uuur uuur uuur uuur uuur uuur 2(ABgAD ABgAA ADgAA) 42 32 52 2(0 10 7.5)
85 uuuu r |AC| 85
类似地,我们可以定义空间向量的数量积运算:
1)两个向量的夹角的定义:
rr
如图,已知两个非零向量 a 、b ,在空间任取
uuur r uuur r
一点 O ,作 OA a , OB b ,则角 AOB 叫做向
rr
rr
量 a 与 b 的夹角,记作: a, b .
rr
r
⑴范围: 0 ≤ a, b ≤ a
r2 a
.
注：
性质② 是证明两向量垂直的依据；
Baidu Nhomakorabea
性质③是求向量的长度（模）的依据；
运算律是否成立
(4)空间向量的数量积满足的运算律
r r rr
⑴(a) b (a b)
这些运算律
rr rr ⑵ a b b a (交换律)
r r r rr rr
成立,说明数量积 不仅有用,而且运
⑶ a (b c) a b a c (分配律) 算 起 来 还 极 为 方
便
⑴、⑵是显然成立的
思考：你能证明分配律成立吗？
rrr r rr
注意：数量积不满足结合律即
rr rr r
（ r ab)ca(bc)
另外 a b a c ¿ b c
rr
rr rr
(3)空间两个向量的数量积性质
rr r 显然,对于非零向量 a 、b , e 是单位向
量有下列性质: r r r rr
① a e a cos a, e ；
②
r a
r b
r a
r b
0
;
r2 r r
r
③ a a a 也就是说 a
A' D A
AC
D' B'
C B
C' 解：Q u A u C u r u A u B u r u A u D u r u A u A u r
uuuur uuur uuur uuur | AC |2 (AB AD AA)2
uuur uuur uuur | AB |2 | AD|2 | AA |2
及ab 0¿ a 0或b 0
练习运算
课堂练习
r
r
1.已知 a 2 2 , b
2 rr ,ab
2,
则
r a
r 与b
2
的夹角大小为_1_3__5 _o.
2.判断真假:
rr
r rr r
1)若 a b 0,则 a 0, b 0
rr r r rr
2)(ab)c a(bc)
rr
rr
a, b =0 时, a 与 b 同向; r
rA a
O
r
B
rr
rr
b
b
a, b =π 时, a 与 b 反向
rr rr
⑵ a, b＝b, a
⑶如果
rr a, b
r ,则称 a
r 与b
垂直,记为
r a
r b
2
2）两个向量的数量积
rr
已 知 空 间 两 个 非 零 向 量 a 、b , 则
( ) ( )
3)
ur2 p
r2 q
ur ( p
r q)2
( )
ur r ur r ur2 r2 4) pq pq p q
( )
A B C D A B C D AB4
A D 3 , A A 5 , B A D 9 0 , B A A D A A 6 0
rr rr
rr
rr
a b cosa, b 叫做 a 、b 的数量积,记作 a b .
r r rr rr 即 a b a b cosa, b .
注:①两个向量的数量积是数量，而不是向量.
②规定:零向量与任意向量的数量积等于零.
A
a
A1
B1
b
B
类比平面向量,你能说 rr
出 a b 的几何意义吗? uuuur r r
空间向量的数量积运算(一)
引入
数量积运 算定义
课堂练习
思考1数量 积的性质
思考2数量 积的运算律
空间向量的数量积运算(一)
ur F
ur
S
W= |F| |s| cos
根据功的计算,我们定义了平面两向量的 数量积运算.一旦定义出来,我们发现这种运 算非常有用,它能解决有关长度和角度问题.
空间向量数量积
uuur uuur uuur uuur uuur uuur 2(ABgAD ABgAA ADgAA) 42 32 52 2(0 10 7.5)
85 uuuu r |AC| 85
类似地,我们可以定义空间向量的数量积运算:
1)两个向量的夹角的定义:
rr
如图,已知两个非零向量 a 、b ,在空间任取
uuur r uuur r
一点 O ,作 OA a , OB b ,则角 AOB 叫做向
rr
rr
量 a 与 b 的夹角,记作: a, b .
rr
r
⑴范围: 0 ≤ a, b ≤ a
r2 a
.
注：
性质② 是证明两向量垂直的依据；
Baidu Nhomakorabea
性质③是求向量的长度（模）的依据；
运算律是否成立
(4)空间向量的数量积满足的运算律
r r rr
⑴(a) b (a b)
这些运算律
rr rr ⑵ a b b a (交换律)
r r r rr rr
成立,说明数量积 不仅有用,而且运
⑶ a (b c) a b a c (分配律) 算 起 来 还 极 为 方
便
⑴、⑵是显然成立的
思考：你能证明分配律成立吗？
rrr r rr
注意：数量积不满足结合律即
rr rr r
（ r ab)ca(bc)
另外 a b a c ¿ b c
rr
rr rr