空间向量的数量积运算一-PPT精选
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空间向量的数量积运算完整版课件
O→M、O→N、B→C，最后证O→G·B→C＝0 即可． [规范解答]连结 ON，
设∠AOB＝∠BOC＝∠AOC＝θ，
又设O→A＝a，O→B＝b，O→C＝c，
则|a|＝|b|＝|c|.
2分
又O→G＝12(O→M＋O→N)＝12[12O→A＋12(O→B＋O→C)]
＝14(a＋b＋c)，
B→C＝c－b. ∴O→G·B→C＝14(a＋b＋c)·(c－b)
数量 特别地：a·a＝|a|2或|a|＝ a·a
积的 性质
(3)若θ为a，b的夹角，则cos θ＝
a·b |a||b|
.
(4)|a·b|≤|a|·|b|.
想一想：类比平面向量，你能说出a·b的几何意义吗？ 提示 数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影 |b|·cos θ的乘积．
名师点睛
所以O→A·B→C＝O→A·A→C－O→A·A→B
＝|O→A||A→C|cos〈O→A，A→C〉－|O→A||A→B|cos〈O→A，A→B〉
＝8×4×cos 135°－8×6×cos 120°
＝－16 2＋24.
所以 cos〈O→A，B→C〉＝O|→O→AA·||B→B→CC|＝24－8×165
2＝3－52
1．空间向量夹角的理解 (1)任意两个空间向量均是共面的，故空间向量夹角范围 同两平面向量夹角范围一样，即[0，π]； (2)空间向量的夹角在[0，π]之间，但空间两异面直线夹角
π 在(0， 2 ]内，利用向量求两异面直线夹角时注意转化，两
异面直线的夹角余弦值一定为非负数．
2．平面向量与空间向量数量积的关系 由于空间任意两个向量都可以转化为共面向量，所以空间 两个向量的夹角的定义和取值范围、两个向量垂直的定义 和表示符号、向量的模的概念和表示符号、以及运算律等 都与平面向量相同．
设∠AOB＝∠BOC＝∠AOC＝θ，
又设O→A＝a，O→B＝b，O→C＝c，
则|a|＝|b|＝|c|.
2分
又O→G＝12(O→M＋O→N)＝12[12O→A＋12(O→B＋O→C)]
＝14(a＋b＋c)，
B→C＝c－b. ∴O→G·B→C＝14(a＋b＋c)·(c－b)
数量 特别地：a·a＝|a|2或|a|＝ a·a
积的 性质
(3)若θ为a，b的夹角，则cos θ＝
a·b |a||b|
.
(4)|a·b|≤|a|·|b|.
想一想：类比平面向量，你能说出a·b的几何意义吗？ 提示 数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影 |b|·cos θ的乘积．
名师点睛
所以O→A·B→C＝O→A·A→C－O→A·A→B
＝|O→A||A→C|cos〈O→A，A→C〉－|O→A||A→B|cos〈O→A，A→B〉
＝8×4×cos 135°－8×6×cos 120°
＝－16 2＋24.
所以 cos〈O→A，B→C〉＝O|→O→AA·||B→B→CC|＝24－8×165
2＝3－52
1．空间向量夹角的理解 (1)任意两个空间向量均是共面的，故空间向量夹角范围 同两平面向量夹角范围一样，即[0，π]； (2)空间向量的夹角在[0，π]之间，但空间两异面直线夹角
π 在(0， 2 ]内，利用向量求两异面直线夹角时注意转化，两
异面直线的夹角余弦值一定为非负数．
2．平面向量与空间向量数量积的关系 由于空间任意两个向量都可以转化为共面向量，所以空间 两个向量的夹角的定义和取值范围、两个向量垂直的定义 和表示符号、向量的模的概念和表示符号、以及运算律等 都与平面向量相同．
空间向量的数量积运算 PPT课件
人 教 A 版 数 学
第三章 空间向量与立体几何
1．由于空间任意两个向量都可转化为共面向量，所以
空间两个向量的夹角的定义和取值范围、两个向量垂直的
定义和表示及向量的模的概念和表示等，都与平面向量相
同．
人 教
A
2．要准确理解两向量夹角的概念，它和两直线夹角是
版 数
学
不同的，它与向量的方向有关，其取值范围是[0，π]．
记〈a，b〉＝θ，a、b都是非零向量．
①a∥b时，θ＝0或π，θ＝0时，a与b同向；
θ＝π时，a与b反向．
第三章 空间向量与立体几何
③θ为锐角时，a·b>0，但a·b>0时，θ可能为0；θ为钝
角时，a·b<0，但a·b<0时，θ可能为π.
人 教
A
④|a·b|≤|a|·|b|，特别地，当θ＝0时，a·b＝|a|·|b|，当θ
3°|a·b|≤|a||b|用于判断或证明不等式．
第三章 空间向量与立体几何
人 教 A 版 数 学
第三章 空间向量与立体几何
1．已知两个非零向量a、b，在空间任取一点O，作
，则角 ∠AOB 叫做向量a与b的夹角，
记作〈a，b〉．
通常规定0°≤〈a
，b〉≤180°，且〈a，b〉＝
〈b，a〉
人 教
A
A→A1＝c，则|a|＝|b|＝|c|＝1，a·b＝b·c＝c·a＝0，
A→1B＝a－c，A→C＝a＋b.
人
教
∴A→1B·A→C＝(a－c)·(a＋b)＝|a|2＋a·b－a·c－b·c＝1，而
A 版 数
学
|A→1B|＝|A→C|＝ 2.
∴cos〈A→1B，A→C〉＝
1 2×
第三章 空间向量与立体几何
1．由于空间任意两个向量都可转化为共面向量，所以
空间两个向量的夹角的定义和取值范围、两个向量垂直的
定义和表示及向量的模的概念和表示等，都与平面向量相
同．
人 教
A
2．要准确理解两向量夹角的概念，它和两直线夹角是
版 数
学
不同的，它与向量的方向有关，其取值范围是[0，π]．
记〈a，b〉＝θ，a、b都是非零向量．
①a∥b时，θ＝0或π，θ＝0时，a与b同向；
θ＝π时，a与b反向．
第三章 空间向量与立体几何
③θ为锐角时，a·b>0，但a·b>0时，θ可能为0；θ为钝
角时，a·b<0，但a·b<0时，θ可能为π.
人 教
A
④|a·b|≤|a|·|b|，特别地，当θ＝0时，a·b＝|a|·|b|，当θ
3°|a·b|≤|a||b|用于判断或证明不等式．
第三章 空间向量与立体几何
人 教 A 版 数 学
第三章 空间向量与立体几何
1．已知两个非零向量a、b，在空间任取一点O，作
，则角 ∠AOB 叫做向量a与b的夹角，
记作〈a，b〉．
通常规定0°≤〈a
，b〉≤180°，且〈a，b〉＝
〈b，a〉
人 教
A
A→A1＝c，则|a|＝|b|＝|c|＝1，a·b＝b·c＝c·a＝0，
A→1B＝a－c，A→C＝a＋b.
人
教
∴A→1B·A→C＝(a－c)·(a＋b)＝|a|2＋a·b－a·c－b·c＝1，而
A 版 数
学
|A→1B|＝|A→C|＝ 2.
∴cos〈A→1B，A→C〉＝
1 2×
空间向量的数量积运算(43张PPT)——高中数学人教A版选择性必修第一册
环节一创设情境引入课题根据功的计算，我们定义了 平面向量的数量积运算， 一旦 定义出来，我们发现这种运算 非常有用，它能解决有关长度 和角度问题，在空间向量中亦 是如此。
在必修第二册中我们还学习了平面向量的数量积运算，现在我们 类比平面向量数量积的运算，学习空间向量的数量积运算.
平面
空间(学生填空)
空间向量及其 线性运算
共线向量的判定及应用共面向量的判定及应用
线性运算的应用
相关概念
作业布置：教科书习题1.1 第4,7题.
环节七 目标检测，作业布置
设BB₁=1,则AB=√2.∵AB₁=BB₁-BA,BC₁ =BB₁ +BC, ∴AB₁·BC₁=(BB₁-BA)·(BB₁+BC)=BB²-BA·BC=1-√2×√2×cos60°=0, ∴AB₁ ⊥BC₁ , ∴AB₁与BC₁所成的角为90°
思考1.对于三个均不为0的数a,b,c,若ab=ac, 则b=c, 对于向量a,b,c,由a.b=a·c,你能得到b=c 吗?如果不能，请举出反例.
设a是非零向量，且b≠c,求证：a·b=a·c ⇔b-c)⊥a B
a.b=a·c⇔a.b-a·c=0⇔a.(b-c)=0 →(b-c)⊥a
思考2.对于三个均不为0的数a,b,c,若ab=c, 则 (或 对于向量a,b,若a.b=k, 能不能写成 的形式?3.对于三个均不为0的数a,b,c,有(ab)c=a(bc),对于向量a,b,c,(a.b)·c=a·(b·c) 成立吗?为什么?
1.如图，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，若AB=√2BB₁,则AB₁与BC₁所成 角的大小为(B )A.60° B.90° C.105° D.75°
(第1题)
2.如图，正方体ABCD-A'B'C'D'的棱长为1,设AB=a,AD=b,AA'=c,求：(1)a.(b+c); (2)a·(a+b+c); (3)(a+b)·(b+c).(1)a.(b+c)=a.b+a·c=0+0=0;(2)a·(a+b+c)=a²+a.b+a·c=a²+0+0=1;(3)(a+b)·(b+c)=a.b+a·c+b²+bc=0+0+l²+0=1(第2题)
在必修第二册中我们还学习了平面向量的数量积运算，现在我们 类比平面向量数量积的运算，学习空间向量的数量积运算.
平面
空间(学生填空)
空间向量及其 线性运算
共线向量的判定及应用共面向量的判定及应用
线性运算的应用
相关概念
作业布置：教科书习题1.1 第4,7题.
环节七 目标检测，作业布置
设BB₁=1,则AB=√2.∵AB₁=BB₁-BA,BC₁ =BB₁ +BC, ∴AB₁·BC₁=(BB₁-BA)·(BB₁+BC)=BB²-BA·BC=1-√2×√2×cos60°=0, ∴AB₁ ⊥BC₁ , ∴AB₁与BC₁所成的角为90°
思考1.对于三个均不为0的数a,b,c,若ab=ac, 则b=c, 对于向量a,b,c,由a.b=a·c,你能得到b=c 吗?如果不能，请举出反例.
设a是非零向量，且b≠c,求证：a·b=a·c ⇔b-c)⊥a B
a.b=a·c⇔a.b-a·c=0⇔a.(b-c)=0 →(b-c)⊥a
思考2.对于三个均不为0的数a,b,c,若ab=c, 则 (或 对于向量a,b,若a.b=k, 能不能写成 的形式?3.对于三个均不为0的数a,b,c,有(ab)c=a(bc),对于向量a,b,c,(a.b)·c=a·(b·c) 成立吗?为什么?
1.如图，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，若AB=√2BB₁,则AB₁与BC₁所成 角的大小为(B )A.60° B.90° C.105° D.75°
(第1题)
2.如图，正方体ABCD-A'B'C'D'的棱长为1,设AB=a,AD=b,AA'=c,求：(1)a.(b+c); (2)a·(a+b+c); (3)(a+b)·(b+c).(1)a.(b+c)=a.b+a·c=0+0=0;(2)a·(a+b+c)=a²+a.b+a·c=a²+0+0=1;(3)(a+b)·(b+c)=a.b+a·c+b²+bc=0+0+l²+0=1(第2题)
3.1.3 空间向量的数量积运算(共68张ppt)资料
ab 1.利用向量法求两条异面直线所成角的依据是 cos〈a, b〉 . ab
2.题2中若求EC1与FD1所成的角，需要求出 EC FD 及 | EC | 1 1 1 与 | FD1 | 的值.
【解析】1．选C．如图，设AB=AC=AA1=1，
A1B AB AA1， AC1 AC CC1 AC AA1， A1B AC1 (AB AA1 ) (AC AA1 ) AB AC AB AA1 AA1 AC AA1 0 0 0 1 1,
3 3
2．设 AB a, AD b, AA c， 1 则|a|=4,|b|=3,|c|=2，
1 EC1 EB BC CC1 AB AD AA1 4 1 a b c, 4 FD1 FC CC1 C1D1 2 2 AD AA1 AB a b c, 3 3
直线AB与CD所成的角就是〈a,b〉;若〈a,b〉大于90°，则直
线 AB与CD所成的角是π-〈a,b〉.特别地，若〈a,b〉=0或
〈a,b〉=π,则AB∥CD；若 〈 a, b 〉 , 则AB⊥CD.
2
2.空间向量数量积的性质及几何意义 (1)空间向量的数量积a·b可以为正，可以为负，也可以为零. (2)若向量a,b是非零向量，则 a b 0 a b. (3)特例与变形：①若a是单位向量，则a·b=|b|· cos〈a,b〉; ② cos〈a, b〉 ③a·a=|a|2. (4)几何意义：a与b的数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方 向上的投影|b|·cos〈a,b〉的乘积.
(2)结论：把__________________ |a||b|cos〈a,b〉 叫做a,b的数量积.
2.题2中若求EC1与FD1所成的角，需要求出 EC FD 及 | EC | 1 1 1 与 | FD1 | 的值.
【解析】1．选C．如图，设AB=AC=AA1=1，
A1B AB AA1， AC1 AC CC1 AC AA1， A1B AC1 (AB AA1 ) (AC AA1 ) AB AC AB AA1 AA1 AC AA1 0 0 0 1 1,
3 3
2．设 AB a, AD b, AA c， 1 则|a|=4,|b|=3,|c|=2，
1 EC1 EB BC CC1 AB AD AA1 4 1 a b c, 4 FD1 FC CC1 C1D1 2 2 AD AA1 AB a b c, 3 3
直线AB与CD所成的角就是〈a,b〉;若〈a,b〉大于90°，则直
线 AB与CD所成的角是π-〈a,b〉.特别地，若〈a,b〉=0或
〈a,b〉=π,则AB∥CD；若 〈 a, b 〉 , 则AB⊥CD.
2
2.空间向量数量积的性质及几何意义 (1)空间向量的数量积a·b可以为正，可以为负，也可以为零. (2)若向量a,b是非零向量，则 a b 0 a b. (3)特例与变形：①若a是单位向量，则a·b=|b|· cos〈a,b〉; ② cos〈a, b〉 ③a·a=|a|2. (4)几何意义：a与b的数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方 向上的投影|b|·cos〈a,b〉的乘积.
(2)结论：把__________________ |a||b|cos〈a,b〉 叫做a,b的数量积.
1.1.2空间向量的数量积运算课件(人教版)(1)
1.1.2 空间向量的数量积运算
复习巩固
• 类比平面向量推广得到空间向量
1、空间向量的定义及相关概念
2、空间向量的线性运算及运算律(加法、减法、数乘) 3、【共线向量定理】
对任意两个空间向量a，b (b 0) , a // b的充要条件是 存在实数λ使 a b
4、【共面向量定理】
一、复习回顾
A.60°
B.90°
C.105°
D.75°
2BB1，则
解：设BB1 1，则AB 2.
A1
AB1 BB1 BA，BC1 BB1 BC，
AB1 BC1 (BB1 BA) (BB1 BC)
2
BB1 BA BC 1 2 2 cos60 0 A AB1 BC1，所以AB1与BC1所成的角为90
n
m
gn
这就证明了直线l垂直于平面α内的任意一条直线，所以l⊥α .
【用向量解决几何问题的常用方法（三部曲）】 • 选择恰当的向量表示问题中的几何元素 • 通过向量运算得出几何元素的关系 • 把运算结果“翻译”成相应的几何意义
随堂练习
3、(课本P9练习T3)如图，在平行六面体ABCD-A'B'C'D'中，AB=4，AD=3， AA'=5，∠BAD=90°，∠BAA'=∠DAA'=60°.求
C B
98 56 2 所以AC 13.3
D
C
A
B
随堂练习
1、(课本P8练习T2)如图，正方体ABCD-A'B'C'D'的棱长为1，设
AB a, AD b, AA c，求： (1)a (b c); (2)a (a b c); (3)(a b) (b c)
复习巩固
• 类比平面向量推广得到空间向量
1、空间向量的定义及相关概念
2、空间向量的线性运算及运算律(加法、减法、数乘) 3、【共线向量定理】
对任意两个空间向量a，b (b 0) , a // b的充要条件是 存在实数λ使 a b
4、【共面向量定理】
一、复习回顾
A.60°
B.90°
C.105°
D.75°
2BB1，则
解：设BB1 1，则AB 2.
A1
AB1 BB1 BA，BC1 BB1 BC，
AB1 BC1 (BB1 BA) (BB1 BC)
2
BB1 BA BC 1 2 2 cos60 0 A AB1 BC1，所以AB1与BC1所成的角为90
n
m
gn
这就证明了直线l垂直于平面α内的任意一条直线，所以l⊥α .
【用向量解决几何问题的常用方法（三部曲）】 • 选择恰当的向量表示问题中的几何元素 • 通过向量运算得出几何元素的关系 • 把运算结果“翻译”成相应的几何意义
随堂练习
3、(课本P9练习T3)如图，在平行六面体ABCD-A'B'C'D'中，AB=4，AD=3， AA'=5，∠BAD=90°，∠BAA'=∠DAA'=60°.求
C B
98 56 2 所以AC 13.3
D
C
A
B
随堂练习
1、(课本P8练习T2)如图，正方体ABCD-A'B'C'D'的棱长为1，设
AB a, AD b, AA c，求： (1)a (b c); (2)a (a b c); (3)(a b) (b c)
空间向量的数量积运算ppt课件
l m 0, l m 0 , l g 0,即l g.
gl
m
m n ng
l g,即l垂直于平面内任一直线.l .
22
小 结： 通过学习,体会到我们可以利用向量数量积解决立体 几何中的以下问题： 1、证明两直线垂直; 2、求两点之间的距离或线段长度; 3、证明线面垂直; 4、求两直线所成角的余弦值等等.
3.1.3空间向量的 数量积运算
1
一、引入
1.共线向量定理：
空间中任意两个向量a, b (b 0)共线(a b )
的充要条件是存在实数，使得a b
2.共线向量定理的推论：
(1)若直线l过点A且与向量 a平行，则
点P在直线l上 OP OA ta
(2)三点P、A、B共线的充要条件有：
（1）存在实数t，使得AP t AB，即AP AB （2）存在实数t，使得OP OA t AB
另外 a b a c b c 及ab 0 a 0或b 0
10
已知空间向量a，b满足|a|=4，|b|=8，a与b的夹角是150°， 计算：(1)(a+2b)·(2n-b)；(2)|4a一2b|．
11
练习1
如图，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都 等于a，点E、F、G分别是AB、AD、DC的中点。求 下列向量的数量积：
∴ cos AB,CD AB CD 3 1 ，
| AB | | CD | 2 3 2
∴ AB 与 CD 的夹角的余弦值为 1 ． 2
说明：由图形知向量的夹角时易出错，如 AB, BD 150 易错写成 AB, BD 30 ，注意推敲！
17
例 1:在平面内的一条直线,如果和这个平面的一 条斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直.
空间向量的数量积运算ppt课件
l
充要条件可知，存在唯一的有序实数对(x,y)，使 g xm yn .
将上式两边分别与向量 l 作数量积运算，得
l
g
l g xl m yl n.
n
l m 0, l n 0
l g 0即l g
m
g
l g
这就证明了直线l垂直于平面内的任意一条直线
当a与c不共线时, ( a b )c a( b c )
因此, ( a b )c a( b c )不一定成立。
结论: 数量积①不可约分、 ②不可作商、 ③不满足结合律。
典例解析
例2 如图示, 在平行六面体ABCD-A′B′C′D′中, AB=5, AD=3, AA′=7, ∠BAD=60°,
a
a
a
c
(1)
A
a
b
B
a
c
(2)
a
A
c B
l
(3)
如 图 （ 3 ）向
, 量 a向 平 面 投 影 , 就 是 分 别 由 向 量 a的 起 点 A 和 终 点 B 作 平 面 的 垂 线 ,
垂 足 分 别 为 A , B , 得 到 向 量 A B , 向 量 A B 称 为 向 量 a 在 平 面 上 的 投 影 向 量 .
2
2
2
CA AB BD 2(CA AB CA BD AB BD )
c 2 a 2 b 2 2(0 0 0)
c 2 a 2 b2
CD c 2 a 2 b2
A
b
a
B
D
巩固练习
充要条件可知，存在唯一的有序实数对(x,y)，使 g xm yn .
将上式两边分别与向量 l 作数量积运算，得
l
g
l g xl m yl n.
n
l m 0, l n 0
l g 0即l g
m
g
l g
这就证明了直线l垂直于平面内的任意一条直线
当a与c不共线时, ( a b )c a( b c )
因此, ( a b )c a( b c )不一定成立。
结论: 数量积①不可约分、 ②不可作商、 ③不满足结合律。
典例解析
例2 如图示, 在平行六面体ABCD-A′B′C′D′中, AB=5, AD=3, AA′=7, ∠BAD=60°,
a
a
a
c
(1)
A
a
b
B
a
c
(2)
a
A
c B
l
(3)
如 图 （ 3 ）向
, 量 a向 平 面 投 影 , 就 是 分 别 由 向 量 a的 起 点 A 和 终 点 B 作 平 面 的 垂 线 ,
垂 足 分 别 为 A , B , 得 到 向 量 A B , 向 量 A B 称 为 向 量 a 在 平 面 上 的 投 影 向 量 .
2
2
2
CA AB BD 2(CA AB CA BD AB BD )
c 2 a 2 b 2 2(0 0 0)
c 2 a 2 b2
CD c 2 a 2 b2
A
b
a
B
D
巩固练习
空间向量的数量积运算 课件
[证明] 不妨设正方体的棱长为 1，
→ AB
＝
a，A→D＝
b，A→A1＝
c，
则 |a|＝ |b|＝ |c|＝ 1， a·b＝ b·c＝ a·c＝ 0.
由图形得：P→A＝P→D＋D→A＝ －12A→A1 －A→D
＝－ b－12c，P→C＝ P→D＋D→C
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
＝－12A→A1＋A→B ＝ a－12c，
B→1O＝B→1B＋B→O＝－ c＋12(－ a＋ b) ＝－12a＋12b－ c.
∴〈G→F，A→C 〉＝ 180°.
∴G→F·A→C＝1a·a·cos180°＝－1a2.
2
2
(4)|E→F |＝ 12a， |B→C |＝ a，又E→F ∥B→D，
∴〈E→F ，B→C 〉＝〈B→D，B→C 〉 ＝ 60°.
∴E→F·B→C＝1a·a·cos60°＝1a2.
2
4
[点评] 本题主要考查空间向量数量积的定义及其 运算，要求大家在熟练掌握的基础上能灵活运用．
4．两个向量数量积的运算律 空间向量的数量积满足如下的运算律： ①(结合律)(λa)·b＝λ(a·b)； ②(交换律)a·b＝b·a； ③(分配律)a·(b＋c)＝a·b＋a·c.
思考感悟 类比平面向量，你能说出 a·b 的几何意义吗？ 提示：数量积 a·b 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的 方向上的投影|b|·cosθ 的乘积．
再用公式．
类型四 利用数量积证明垂直问题 [例4] 如图10，正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为 DD1的中点，O是底面ABCD的中心．求证：B1O⊥平 面PAC.
图 10
[分析] 本题考查利用 a⊥b⇔a·b＝0 求证线 面垂直，关键是在面 PAC 中找出两相交向量与向 量B→1O垂直．
空间向量的数量积最完美版课件
数量积满足非负性，即$mathbf{a} cdot mathbf{b} geq 0$，当且仅当 $mathbf{a}$与$mathbf{b}$同向时 取等号。
02 空间向量向量的数量积定义为它们的 模长之积与它们夹角的余弦值的乘积 ，记作a·b。
当两个向量垂直时，它们的数量积为 0；当两个向量同向时，它们的数量 积为它们的模长之积。
空间向量的数量积最 完美版课件
目录
CONTENTS
• 空间向量的数量积定义 • 空间向量的数量积运算 • 空间向量的数量积的应用 • 空间向量的数量积的习题解析 • 空间向量的数量积的扩展知识
01 空间向量的数量积定义
定义
空间向量的数量积定义为两个向量的模长之积与它们夹角的 余弦值的乘积，记作：$mathbf{a} cdot mathbf{b} = |mathbf{a}| times |mathbf{b}| times cos theta$。
题目8： 已知空间向量 $overset{longrightarrow}{a} = (x,y,z)$， $overset{longrightarrow}{b} = (x + y - z,y - x - z,z - x - y)$，且 $overset{longrightarrow}{a}$与 $overset{longrightarrow}{b}$的数 量积为$0$，求$x^{2} + y^{2} + z^{2}$的值。
高级习题解析
题目7： 已知空间向量 $overset{longrightarrow}{a} = (x,y,z)$， $overset{longrightarrow}{b} = ( 2y + z,x + y, - x + z)$，且 $overset{longrightarrow}{a}$与 $overset{longrightarrow}{b}$的数 量积为$5$，求$x^{2} + y^{2} + z^{2}$的值。
02 空间向量向量的数量积定义为它们的 模长之积与它们夹角的余弦值的乘积 ，记作a·b。
当两个向量垂直时，它们的数量积为 0；当两个向量同向时，它们的数量 积为它们的模长之积。
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CONTENTS
• 空间向量的数量积定义 • 空间向量的数量积运算 • 空间向量的数量积的应用 • 空间向量的数量积的习题解析 • 空间向量的数量积的扩展知识
01 空间向量的数量积定义
定义
空间向量的数量积定义为两个向量的模长之积与它们夹角的 余弦值的乘积，记作：$mathbf{a} cdot mathbf{b} = |mathbf{a}| times |mathbf{b}| times cos theta$。
题目8： 已知空间向量 $overset{longrightarrow}{a} = (x,y,z)$， $overset{longrightarrow}{b} = (x + y - z,y - x - z,z - x - y)$，且 $overset{longrightarrow}{a}$与 $overset{longrightarrow}{b}$的数 量积为$0$，求$x^{2} + y^{2} + z^{2}$的值。
高级习题解析
题目7： 已知空间向量 $overset{longrightarrow}{a} = (x,y,z)$， $overset{longrightarrow}{b} = ( 2y + z,x + y, - x + z)$，且 $overset{longrightarrow}{a}$与 $overset{longrightarrow}{b}$的数 量积为$5$，求$x^{2} + y^{2} + z^{2}$的值。
《3.1.3空间向量的数量积运算》ppt课件
(4)错误.在△ABC中,向量 BA，BC 的夹角为∠B,而向量 AB，BC 的夹角与向量 BA，BC 的夹角互补,故此等式不正确. 答案:(1)× (2)× (3)× (4)×
2.做一做(请把正确的答案写在横线上)
(1)若向量a与b满足|a|=1,|b|=2且a与b的夹角为 ,则
3
a·b=
.
(2)已知|a|=
2 ,|b|=
2 2
,a·b=-
2 2
,则a与b的夹角
为
.
(3)已知a,b是空间两个向量,若|a|=2,|b|=2,|a-b|= 7 ,
则cos<a,b>=
.
【解析】(1)a·b=|a||b|cos〈a，b〉=1×2× 1 =1.
2
答案：1
(2)由a·b=|a||b|cos〈a，b〉= 2 2 ×cos〈a，b〉
【解析】EF
FC1
[1 2
c
a
1 2
b]
(1 2
b
a)
1 (a b c) (1 b a)
2
2
1 a 2 1 b 2 2. 24
【方法技巧】 1.空间向量运算的两种方法 (1)利用定义：利用a·b=|a||b|cos〈a，b〉并结合运算律进 行计算. (2)利用图形：计算两个向量的数量积，可先将各向量移到同 一顶点，利用图形寻找夹角，再代入数量积公式进行运算．
形△OAB，△BOC求 OE与 BF 的模.
2. PC
2
PC .
【自主解答】(1)设 OA=a，OB =b，
OC =c且|a|＝|b|＝|c|＝1，
易知∠AOB＝∠BOC＝∠AOC＝ ，
空间向量的数量积运算课件
则|a|＝|c|＝2，|b|＝4，
a·b＝b·c＝c·a＝0. (1)B→C·E→D1＝b·[12(c－a)＋b] ＝|b|2＝42＝16.
(2)B→F·A→B1＝c－a＋12b·(a＋c) ＝|c|2－|a|2＝22－22＝0. (3)E→F·F→C1＝12c－a＋12b·12b＋a ＝12(－a＋b＋c)·12b＋a ＝－12|a|2＋14|b|2＝2.
a·b 性质 ③若 θ 为 a，b 的夹角，则 cos θ＝__|_a_||_b_| __
④|a·b|≤|a|·|b|
探究点一 空间向量的数量积运算
问题 1 空间两个向量的夹角是怎样定义的，范围怎样规 定？
答案 已知两个非零向量 a，b，在空间任取一点 O，作O→A＝ a，O→B＝b，则∠AOB 叫做向量 a，b 的夹角，记作〈a，b〉． 规定：0≤〈a，b〉≤π.
a·(b＋c)＝_____a_·b_＋__a_·_c _____
(3)数量积的性质
①若 a，b 是非零向量，则 a⊥b⇔__a_·_b_＝__0____ 两个
②若 a 与 b 同向，则 a·b＝___|a_|_·|_b_| _； 向量
若反向，则 a·b＝_－__|_a_|·_|b_|_. 数量
特别地，a·a＝____|a_|_2 __或|a|＝ a·a 积的
∴|a＋b＋c|＝10.
小结 求向量的模，可以转化为求向量的数量积，求两点 间的距离或某条线段的长度，可以转化为求对应向量的模， 其中的关键是将线段长度用向量的模表示出来．
解 ∵|a|＝4，|b|＝6，|c|＝2， 且〈a，b〉＝〈a，c〉＝〈b，c〉＝3π， ∴|a＋b＋c|2＝(a＋b＋c)·(a＋b＋c) ＝|a|2＋|b|2＋|c|2＋2a·b＋2a·c＋2b·c
a·b＝b·c＝c·a＝0. (1)B→C·E→D1＝b·[12(c－a)＋b] ＝|b|2＝42＝16.
(2)B→F·A→B1＝c－a＋12b·(a＋c) ＝|c|2－|a|2＝22－22＝0. (3)E→F·F→C1＝12c－a＋12b·12b＋a ＝12(－a＋b＋c)·12b＋a ＝－12|a|2＋14|b|2＝2.
a·b 性质 ③若 θ 为 a，b 的夹角，则 cos θ＝__|_a_||_b_| __
④|a·b|≤|a|·|b|
探究点一 空间向量的数量积运算
问题 1 空间两个向量的夹角是怎样定义的，范围怎样规 定？
答案 已知两个非零向量 a，b，在空间任取一点 O，作O→A＝ a，O→B＝b，则∠AOB 叫做向量 a，b 的夹角，记作〈a，b〉． 规定：0≤〈a，b〉≤π.
a·(b＋c)＝_____a_·b_＋__a_·_c _____
(3)数量积的性质
①若 a，b 是非零向量，则 a⊥b⇔__a_·_b_＝__0____ 两个
②若 a 与 b 同向，则 a·b＝___|a_|_·|_b_| _； 向量
若反向，则 a·b＝_－__|_a_|·_|b_|_. 数量
特别地，a·a＝____|a_|_2 __或|a|＝ a·a 积的
∴|a＋b＋c|＝10.
小结 求向量的模，可以转化为求向量的数量积，求两点 间的距离或某条线段的长度，可以转化为求对应向量的模， 其中的关键是将线段长度用向量的模表示出来．
解 ∵|a|＝4，|b|＝6，|c|＝2， 且〈a，b〉＝〈a，c〉＝〈b，c〉＝3π， ∴|a＋b＋c|2＝(a＋b＋c)·(a＋b＋c) ＝|a|2＋|b|2＋|c|2＋2a·b＋2a·c＋2b·c
数学：3.1.3《空间向量的数量积运算》PPT课件(1) 2
A
E
F
B
D
C
三、典型例题-------证垂直
（教材P91例3）已知m,n是平面内的两条相交直 线，直线l与的交点为B，且l⊥m，l⊥n， 求证：l⊥
分析：由定义可知，只需证l
与平面内任意直线g垂直。
l
lm
g m
gn n
l
lm
g m
gn n
证明：在内作不与m、n重合的任一 条直线g,在l、m、n、g上取非零向 量l、m、n、g，因m与n相交，得向量 m、n不平行，由共面向量定理 可知，存在唯一的有序实数对
即空间直线由空间一点及直线的方向向量唯一确定.
uuur uuur
如图 OA、O不B共线，
uuur uuur
uuur uuur uuur
AP t AB(t R)，则可以用OA、OB表示OP如下： O
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
OP OA AP OA t AB OA t(OB OA)
注意：（教材P90思考） 数量积不满足消去率和结合律
（a b) c a (b c)
二、 课堂练习
3.如图：已知空间四边形 ABCD的每条边和对角线长都 等于1，点E、F 分别是 AB、AD的中点。 计算：（1）EF BA (2) EF BD (3) EF DC (4) EF AC
C' 解：Q AC AB AD AA
uuuur uuur uuur uuur | AC |2 ( AB AD AA)2
uuur uuur uuur | AB |2 | AD |2 | AA |2
uuur uuur uuur uuur uuur uuur 2( ABgAD ABgAA ADgAA) 42 32 52 2(0 10 7.5)
空间向量的数量积运算ppt课件
而向量的夹角必须是同起点，其取值范围[0°,180°]
3.空间两个向量的数量积：
已知两个非零向量,，则|
Ԧ
|
Ԧ ||cos<,>叫做
Ԧ
,的
Ԧ
数量积，记作Ԧ ∙ ，即Ԧ ∙ = ||
Ԧ ||cos<,>
Ԧ
特别地: （1）零向量与任意向量的数量积为0.
（2）Ԧ ⊥ ⟺ Ԧ ∙ =0
k
a
b
②若 a b k
,则
(结合律)
③ ( a b) c a ( b c )
D1
A1
a
A
C1
B1
D
C
B
6.空间两个向量数量积的性质:
(1) ∙ =||cos<, >
(2) ⊥ ⟺ ∙ =0
(3)||2 = ∙
(4)| ∙ |≤ ||||
（3）Ԧ ∙ Ԧ = |||
Ԧ |
Ԧ
< Ԧ ∙ Ԧ >=||
Ԧ2
注:两个向量的数量积是数量，而不是向量.
4.投影向量
向量在向量上的投影向量
量 = ,
称为向量在向上的投影向量.
5.空间向量数量积的运算律:
（1）（ ） ∙ =（） ∙
（2） ∙ = ∙
（3）（ + ） ∙ = ∙ + ∙
注意： (1)数量积不满足结合律即( ∙ ) ∙ ≠ ∙ ( ∙ )
(2) ∙ =�� ∙ ⇏ =
(3) ∙ =0⇏ = 或 =
对于空间向量下列命题成立吗?
①若 a b a c ,则 b c
第一章1.1.2空间向量的数量积运算PPT课件(人教版)
证明 设A—1→B1＝a，A—1→D1＝b，—A1→A ＝c，
则a·b＝0，b·c＝0，a·c＝0，|a|＝|b|＝|c|. ∵—A1→O＝—A1→A ＋A→O＝—A1→A ＋12(A→B＋A→D) ＝c＋12a＋12b， B→D＝A→D－A→B＝b－a，
O→G＝O→C＋C→G＝12(A→B＋A→D)＋21—CC→1 ＝21a＋12b－12c， ∴—A1→O ·B→D＝c＋12a＋21b·(b－a)
3 随堂演练
PART THREE
1.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列各组向量的夹角为45°的是
√A.A→B与A—1→C1
B.A→B与C—1→A1
C.A→B与A—1→D1
D.A→B与B—1→A1
12345
2.设ABCD－A1B1C1D1是棱长为a的正方体，则有
A.A→B·—C1→A ＝a2
三、用数量积求解夹角和模
例3 如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1 ＝2，点N为AA1的中点.
(1)求B→N的模；
解 由已知得|C→A|＝|C→B|＝1，|—CC→1|＝|—AA→1 |＝2，A→N＝12—AA→1 ＝12—CC→1. 〈C→A，—CC→1 〉＝〈C→B，—CC→1 〉＝〈C→A，C→B〉＝90°，
＝
| BA1 || CB1 |
3 6×
＝ 5
30 10 .
延伸探究 1.(变结论)本例中条件不变，求B→N与—CB→1 夹角的余弦值.
解 由例题知，|B→N|＝ 3，|—CB→1 |＝ 5，
B→N·—CB→1 ＝C→A＋12—CC→1－C→B·(C→B＋—CC→1)
＝12—CC→12－C→B2＝12×22 －12＝1.
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类似地,我们可以定义空间向量的数量积运算:
1)两个向量的夹角的定义:
rr
如图,已知两个非零向量 a 、b ,在空间任取
uuur r uuur r
一点 O ,作 OA a , OB b ,则角 AOB 叫做向
rr
rr
量 a 与 b 的夹角,记作: a, b .
rr
r
⑴范围: 0 ≤ a, b ≤ a
A' D A
AC
D' B'
C B
C' 解：Q u A u C u r u A u B u r u A u D u r u A u A u r
uuuur uuur uuur uuur | AC |2 (AB AD AA)2
uuur uuur uuur | AB |2 | AD|2 | AA |2
uuur uuur uuur uuur uuur uuur 2(ABgAD ABgAA ADgAA) 42 32 52 2(0 10 7.5)
85 uuuu r |AC| 85
⑶ a (b c) a b a c (分配律) 算 起 来 还 极 为 方
便
⑴、⑵是显然成立的
思考：你能证明分配律成立吗？
rrr r rr
注意：数量积不满足结合律即
rr rr r
（ r ab)ca(bc)
另外 a b a c ¿ b c
rr
rr rr
( ) ( )
3)
ur2 p
r2 q
ur ( p
r q)2
( )
ur r ur r ur2 r2 4) pq pq p q
( )
A B C D A B C D AB4
A D 3 , A A 5 , B A D 9 0 , B A A D A A 6 0
及ab 0¿ a 0或b 0
练习运算
课堂练习
r
r
1.已知 a 2 2 , b
2 rr ,ab
2,
则
r a
r 与b
2
的夹角大小为_1_3__5 _o.
2.判断真假:
rr
r rr r
1)若 a b 0,则 a 0, b 0
rr r r rr
2)(ab)c a(bc)
空间向量的数量积运算(一)
引入
数量积运 算定义
课堂练习
思考1数量 积的性质
思考2数量 积的运算律
空间向量的数量积运算(一)
ur F
ur
S
W= |F| |s| cos
根据功的计算,我们定义了平面两向量的 数量积运算.一旦定义出来,我们发现这种运 算非常有用,它能解决有关长度和角度问题.
空间向量数量积
如 图 A1B1 是 b 在 a 方 向上的射影向量.
(3)空间两个向量的数量积性质
rr r 显然,对于非零向量 a 、b , e 是单位向
量有下列性质: r r r rr
① a e a cos a, e ；
②
r a
r b
r a
r b
0
;
r2 r r
r
③ a a a 也就是说 a
rr rr
rr
rr
a b cosa, b 叫做 a 、b 的数量积,记作 a b .
r r rr rr 即 a b a b cosa, b .
注:①两个向量的数量积是数量，而不是向量.
②规定:零向量与任意向量的数量积等于零.
A
a
A1
B1
b
B
类比平面向量,你能说 rr
出 a b 的几何意义吗? uuuur r r
r2 a
.
注：
性质② 是证明两向量垂直的依据；
性质③是求向量的长度（模）的依据；
运算律是否成立
(4)空间向量的数量积满足的运算律
r r rr
⑴(a) b (a b)
这些运算律
rr rr ⑵ a b b a (交换律)
r r r rr rr
成立,说明数量积 不仅有用,而且运
rr
rra, Biblioteka =0 时, a 与 b 同向; r
rA a
O
r
B
rr
rr
b
b
a, b =π 时, a 与 b 反向
rr rr
⑵ a, b＝b, a
⑶如果
rr a, b
r ,则称 a
r 与b
垂直,记为
r a
r b
2
2）两个向量的数量积
rr
已 知 空 间 两 个 非 零 向 量 a 、b , 则