上海市建平中学2019-2020学年高一下学期期中数学试卷(简答)

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上海市建平中学2019_2020学年高一数学下学期期末考试试题含解析

上海市建平中学2019-2020学年高一数学下学期期末考试试题（含解析）一、填空题1.若cos α=，则cos2=α______. 【答案】12【解析】【分析】直接使用二倍角余弦公式代入求值即可..【详解】因为cos α=，所以221cos 22cos 12()122αα=-=⨯--=. 故答案为：12【点睛】本题考查了二倍角余弦公式的应用，考查了代入思想，考查了数学运算能力. 2.已知1sin 3x =，,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则cos x =______.【答案】3- 【解析】【分析】根据三角函数的符号以及三角函数的基本关系式，即可求解.【详解】因为,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，可得cos 0x <，根据三角函数的基本关系式，可得cos 3x ==-.故答案为：3-.【点睛】本题主要考查了三角函数的基本关系式的化简、求值，其中解答中熟记三角函数的基本关系式，以及三角函数的符号是解答的关键，着重考查运算与求解能力. 3.已知{}n a 是等比数列，首项是3，公比是12，则前4项和为______. 【答案】458【解析】【分析】由等比数列的求和公式求解即可.【详解】由等比数列的求和公式得4413[1()]115452=6(1)611616812S -=-=⨯=-. 故答案为：458.【点睛】本题主要考查等比数列的求和，意在考查学生对该知识的理解掌握水平. 4.若tan 3θ=，则sin 2θ=__________. 【答案】35【解析】由正弦函数的倍角公式和三角函数的基本关系式，得22222222sin cos 2sin cos 2tan cos sin 22sin cos cos sin cos sin 1tan cos θθθθθθθθθθθθθθθ====+++，又因为tan 3θ=，则222tan 2331tan 135θθ⨯==++，即3sin 25θ=. 5.已知扇形的圆心角为23π，半径为5，则扇形的面积为______.【答案】253π【解析】【分析】利用弧长公式先求解弧长，再利用扇形的面积公式求解. 【详解】因为扇形的圆心角为23π，半径为5，所以扇形的弧长210533l ππ=⨯=，所以面积11102552233S lr ππ==⨯⨯=.故答案为：253π. 【点睛】本题主要考查扇形的弧长公式与面积公式，侧重考查数学运算的核心素养，属于基础题..6.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，41a =，则7S =______. 【答案】7 【解析】【分析】利用等差数列前n 项和公式和等差中项的性质，即可求出7s . 【详解】解：()1747727722a a a S +⨯⨯===.故答案为：7.【点睛】本题考查等差数列前n 项和公式和等差中项的性质，属于基础题.7.已知函数()2sin 3cos f x x x =+，1x 、2x R ∈，则()()12f x f x -的最大值是______.【答案】【解析】【分析】利用辅助角公式把函数()f x的解析式写成正弦型函数解析式形式，然后利用函数()f x 的最值进行求解即可.【详解】因为()2sin 3cos )f x x x x ϕ=+=+（其中3tan 2ϕ=），所以max min ()()f x f x == 因为1x 、2x R ∈，所以()()12f x f x -的最大值为：1max 2min ()()(f x f x -==故答案为：【点睛】本题考查了辅助角公式的应用，考查了正弦型函数的最值应用，考查了数学运算能力.8.在数列{}n a 中，2a 5=，()nn 1n a a 2n N*+-=∈，则数列{}n a 的通项n a =______．【答案】n 21+ 【解析】【分析】由递推关系累加求和即可求解.【详解】由题意可得：n 1n n 1n 2n 1n 221a a 2a a 2a a 2-----⎧-=⎪-=⎪⎨⋯⎪⎪-=⎩，利用累加法，得：()n 1nn 1221a a 2221---==--，1a 3=，于是：nn a 21=+．故答案为n 21+【点睛】本题考查利用累加法求数列通项公式，是基础题.9.已知{}n a 为等差数列,135246105,99a a a a a a ++=++=,{}n a 前n 项和n S 取得最大值时n 的值为___________.【答案】20 【解析】【分析】先由条件求出1,a d ，算出n S ，然后利用二次函数的知识求出即可【详解】设{}n a 的公差为d ，由题意得135********d a a a a d a a ++++==++即1235a d +=，①2461113599a a a a d a d a d ++=+++++=即1333a d +=，②由①②联立得139,2a d ==-所以()()22139(2)40204002n S n n n n n n -=+⨯-=-+=--+故当20n =时，n S 取得最大值400 故答案：20【点睛】等差数列的n S 是关于n 的二次函数，但要注意n 只能取正整数. 10.函数sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移3π个单位后与函数()f x 的图象重合，则下列结论正确的是______.①()f x 的一个周期为2π-； ②()f x 的图象关于712x π=-对称； ③76x π=是()f x 的一个零点； ④()f x 在5,1212ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递减；【答案】①②③ 【解析】【分析】先由图像的平移变换推导出()f x 的解析式，再分析函数的周期、零点、对称性、单调性，判断是否正确．【详解】解：函数sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移π3个单位后与函数()f x 的图象重合， ()sin 2sin 2333f x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫∴=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，()f x ∴的一个周期为2π-，故①正确； ()y f x =的对称轴满足：232x k ππ-=π+，k Z ∈， ∴当2k =-时，()y f x =的图象关于7πx 12=-对称，故②正确；由()sin 203f x x π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，23x k ππ-=得26k x ππ=+， 76x π∴=是()f x 的一个零点，故③正确；当5,1212x ππ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，2,322x πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭， ()f x ∴在5,1212ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增，故④错误．故答案：①②③．【点睛】本题考查命题真假的判断，考查三角函数的平移变换、三角函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．11.在锐角ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别是,,a b c ，若()21a b b +=，1c =，b -的取值范围是______.【答案】( 【解析】【分析】根据()21a b b +=，结合余弦定理可得6C π=，b -化简成关于A 的三角函数表达式，再根据锐角ABC 求得A 的取值范围，结合三角函数的性质求解值域即可.【详解】因为()21a b b +=，1c =，故222c a b =+.所以222cos 2a b c C ab +-===.又锐角ABC ，故6C π=. 由正弦定理，12sin sin sin sin 6a b c A B C π====，)52sin 2sin 6b A B A A π⎤⎛⎫-=-=-- ⎪⎥⎝⎭⎦112cos 2cos 2sin 226A A A A A A π⎫⎫⎛⎫=--=-=-⎪⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎭⎝⎭. 又锐角ABC ，故02062A A ππππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<--<⎪⎩，解得32A ππ<<，即663A πππ<-<.(2sin 6b A π⎛⎫-=-∈ ⎪⎝⎭.故答案为：(【点睛】本题主要考查了正余弦定理在解三角形中的应用、边角互化求取值范围的问题，需要将所给的边的表达式利用正弦定理转换为角的表达式，同时结合角度的范围求解.属于中档题.12.已知数列{}n a 满足14a =，()*1222,nn n a a n n N -=+≥∈，若不等式()2235nn n a λ--<-对任意*n N ∈恒成立，则实数λ的取值范围是______. 【答案】37(,)8-∞ 【解析】【分析】由数列递推公式，求得(1)2n n a n =+⋅，把不等式()2235n n n a λ--<-对任意*n N ∈恒成立，转化为2352n n λ-<-对任意*n N ∈恒成立，设()232nn f n -=，求得()f n 的单调性与最值，即可求解.【详解】由题意，数列{}n a 满足14a =，()*1222,nn n a a n n N -=+≥∈，则11122n n n n a a --=+（常数），所以数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1422=为首项，以1为公差的等差数列，所以2(1)112n na n n =+-⨯=+，整理得(1)2nn a n =+⋅，不等式()2235n n n a λ--<-对任意*n N ∈恒成立，即223235(1)22n nn n n n λ---->=+⋅对任意*n N ∈恒成立，即2352nn λ-<-对任意*n N ∈恒成立，设()232n n f n -=，则()()112(1)323251222n n n n n n f n f n +++---++-=-=，当1,2n =时，()()10f n f n +->，此时数列为递增数列；当3,n n N +≥∈时，()()10f n f n +-<，此时数列为递减数列，又由()()132,348f f ==，所以337588λ<-=，即实数λ的取值范围是37(,)8-∞. 故答案为：37(,)8-∞. 【点睛】本题主要考查了利用数列的递推公式求解数列的通项公式，以及恒成立问题的求解和数列的单调性的判定及应用，着重考查转化思想，以及推理与运算能力，属于中档试题. 二、选择题 13.函数2sin 6xy π=，x ∈R 的最小正周期是（）A. 12B. 6C.12πD.6π 【答案】A 【解析】【分析】直接应用正弦型函数的最小正周期公式进行求解即可.【详解】函数2sin6xy π=的最小正周期为：2126T ππ==.故选：A【点睛】本题考查了正弦型函数最小正周期公式的应用，属于基础题.14.用数学归纳法证明等式，()123...221n n n ++++=+时，由n k =到1n k =+时，等式左边应添加的项是（） A. 21k +B. 22k +C. ()()2122k k +++D. ()()12...2k k k +++++【答案】C 【解析】试题分析：因为要证明等式的左边是连续正整数，所以当由n k =到1n k =+时，等式左边增加了()()()()()1232212112322122k k k k k k ⎡⎤++++++++-++++=+++⎣⎦，故选C.考点：数学归纳法.15.已知函数()()3sin cos 0f x x x ωωω=+>在[]0,π上由两个零点，则ω的取值范围为（） A. 1117,66⎛⎫⎪⎝⎭B. 1117,66⎡⎫⎪⎢⎣⎭C. 58,33⎛⎫ ⎪⎝⎭D. 58,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】B 【解析】【分析】先化简()π3sin cos 2sin 6f x x x x ωωω⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，再令t =π6x ω+，求出t 范围，根据2sin y t =在t ∈[,]66ππωπ+上有两个零点，作图分析，求得ω的取值范围.【详解】()π3sin cos 2sin 6f x x x x ωωω⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，由[0,]x π∈，又0>ω，则可令t =π[,]666x ππωωπ+∈+，又函数2sin y t =在t ∈[,]66ππωπ+上有两个零点，作图分析：则236πωπππ≤+<，解得ω∈1117,66⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 故选：B.【点睛】本题考查了辅助角公式，换元法的运用，三角函数的图象与性质，属于中档题. 16.有一个三人报数游戏：首先A 报数字1，然后B 报两个数字2、3，接下来C 报三个数字4、5、6，然后轮到A 报四个数字7、8、9、10，依次循环，直到报出10000，则A 报出的第2020个数字为（） A. 5979 B. 5980 C. 5981 D. 以上都不对【答案】B 【解析】【分析】首先分析出A 第n 次报数的个数，得到A 第n 次报完数后总共报数的个数，计算出A 是第0n 次报数中会报到第2020个数字，再计算当A 第0n 次报数时，3人总的报数次数m ，再推算出此时报数的最后一个数m S ，再推出A 报出的第2020个数字.【详解】由题可得A 第n *()n N ∈次报数的个数为32n -，则A 第n 次报完数后总共报数的个数为[1(32)](31)22n n n n n T +--==，再代入正整数n ，使2020,n T n ≥的最小值为37，得372035T =，而A 第37次报时，3人总共报数为3631109⨯+=次，当A 第109次报完数3人总的报数个数为109(1091)12310959952m S +=++++==，即A 报出的第2035个数字为5995，故A 报出的第2020个数字为5980. 故选：B.【点睛】本题考查了等差数列的通项公式和前n 项和公式，主要考查了学生的观察分析能力，逻辑推理能力，难度较大. 三、解答题 17.（1）解方程：sin cos 1sin cos 2x x x x +=-；（2）用数学归纳法证明：()*51nn N-∈能被4整除；【答案】（1）arctan3()x k k Z π=-∈（2）证明过程见解析. 【解析】【分析】（1）根据同角三角函数关系式中的商关系，结合反正切函数进行求解即可；（2）根据数学归纳法的步骤进行证明即可. 【详解】（1）sin cos 12(sin cos )sin cos sin 3cos tan 3sin cos 2x x x x x x x x x x x +=⇒+=-⇒=-⇒=--，所以arctan(3)arctan3()x k k k Z ππ=+-=-∈；（2）当1n =时，1514-=，显然4能被4整除，故当1n =时，命题成立；假设当()n k k N *=∈时，命题成立，即51k -能被4整除，当1()n k k N *=+∈时，15155545(51)4k k k +-=⨯-+=-+，因为51k -能被4整除，所以5(51)k-也能被4整除，因此5(51)4k-+也能被4整除，所以当1n k =+时，命题成立，因此对于*n N ∈，51n -能被4整除.【点睛】本题考查了同角三角函数关系式中的商关系的应用，考查了反正切函数的应用，考查了用数学归纳法证明整除性问题，考查了推理论证能力和数学运算能力. 18.已知n S 为{}n a 的前n 项和，{}n b 是等比数列且各项均为正数，且23122n S n n =+，12b =，2332b b +=. （1）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）记()41n n na cb +=，求数列{}n c 的前n 项和n T . 【答案】（1）31n a n =-，21()2n n b -=；（2）1(1)22n n T n +=-⋅+.【解析】【分析】（1）利用公式11,1,2,n n n S n a S S n n N*-=⎧=⎨-≥∈⎩，求出数列{}n a 的通项公式；设出等比数列{}n b 的公比，根据等比数列的通项公式结合已知求出公比，进而求出数列{}n b 的通项公式；（2）结合（1）求出数列{}n c 的通项公式，最后利用错位相减法，结合等比数列前n 项和公式进行求解即可.【详解】（1）当2,n n N *≥∈时，2213131[(1)(1)]312222n n n a S S n n n n n -=-=+--+-=-，当1n =时，2113111222a S ==⨯+⨯=，也适合上式，故31n a n =-；设等比数列{}n b 的公比为q ，由题意可知：0,0n q b >>，因为12b =，所以由22333122222b b q q q +=⇒+=⇒=或32q =-，因为0q >，所以12q =，因此1121112()()22n n n n q b b ---==⨯=，所以31n a n =-，21()2n n b -=；（2）由（1）可知：31n a n =-，21()2n n b -=，所以()2414321()2n nn n na nc n b -+⋅===⋅，因此12311231122232(1)22(1)n n n n n T c c c c c n n --=+++++=⨯+⨯+⨯++-⋅+⋅，23412122232(1)22(2)n n n T n n +=⨯+⨯+⨯++-⋅+⋅，(1)(2)-得，1231112(12)222222(1)2212n n n n n n T n n n +++--=++++-⋅=-⋅=-⋅--，所以1(1)22n n T n +=-⋅+.【点睛】本题考查了已知数列前n 项和求数列通项公式，考查了等比数列通项公式的应用，考查了错位相减法的应用，考查了等比数列前n 项和公式的应用，考查了数学运算能力. 19.如图，学校门口有一块扇形空地OMN ，已知半径为常数R ，2MON π∠=，现由于防疫期间，学校要在其中圈出一块矩形场地ABCD 作为体温检测使用，其中点A 、B 在弧MN 上，且线段AB 平行于线段MN .取AB 的中点为E ，联结OE ，交线段CD 于点F .记AOB θ∠=，（1）用θ表示线段AB 和AD 的长度；（2）当θ取何值时，矩形ABCD 的面积最大？最大值为多少？【答案】(1) 2sin2AB R θ=，2sin 42AD R πθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭;(2)当4πθ=时，面积最大为()221R -【解析】【分析】(1)由题目已知可求出OE AB ⊥且2AOE BOE θ∠=∠=，在直角三角形中，结合三角函数值可求出2sin2AB R θ=；由题目已知可求出4MOE NOE π∠=∠=，进而可知sin2OF R θ=，结合cos2OE R θ=即可求出AD 的长度.(2)由(1)可求出面积的表达式，结合二倍角公式以及辅助角公式可求222sin 4S R R πθ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，结合0,4πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦即可求出面积的最大值.【详解】(1)解：因为E 为AB 的中点，OA OB R ==，所以OE AB ⊥且2AOE BOE θ∠=∠=，所以22sin 2sin2AB AE AO AOE R θ==⋅⋅∠=，cos cos2OE AO AOE R θ=⋅∠=，因为//MN AB ，所以OE MN ⊥，即4MOE NOE π∠=∠=，则sin2OF DF AE R θ===，所以cossinsin 2242AD OE OF R R θθπθ⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭. (2)由(1)知，矩形ABCD的面积2sinsin 242S AB AD R θπθ⎛⎫=⋅=- ⎪⎝⎭222221cos 2sin cos 2sin sin 2sin 22224R R R θθθθπθθ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-⋅=+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，由题意知，0,4πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，所以当4πθ=时，)222max 1S R R =-=.【点睛】本题考查了三角函数值的定义的应用，考查了辅助角公式，考查了二倍角公式，考查了正弦型函数最值的求解.20.设正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，首项为1，q 为非零正常数，数列(){}lg n a 是公差为lg q的等差数列.（1）求数列{}n S 的通项公式；（2）当1q ≠时，求证：数列1n n S S +⎧⎫⎨⎬⎩⎭是递增数列；（3）当1q ≠时，是否存在正常数c ，使得(){}lg n c S -为等差数列？若存在，求出c 的值和此时q 的取值范围；若不存在，说明理由.【答案】（1）,11,0,11n n n q S q q q q=⎧⎪=-⎨>≠⎪-⎩；（2）证明过程见解析；（3）正常数11c q =-，使得(){}lg nc S -为等差数列，且01q <<.【解析】【分析】（1）由等差数列的通项公式，结合对数的运算性质求出数列{}n a 的通项公式，最后根据q 是否为1进行分类讨论，结合等比数列的前n 项和公式进行求解即可；（2）结合（1）写出数列的通项公式，利用作差比较法，结合指数列函数的单调性进行证明即可；（3）假设存在正常数c ，使得(){}lg n c S -为等差数列，根据等差数列的通项公式，结合对数的运算性质进行求解即可.【详解】（1）因为数列(){}lg n a 是公差为lg q 的等差数列，所以()11lg lg()(1)lg lg1(1)lg (1)lg n n n a a n q n q n q a q-=+-=+-=-⇒=，因为11nn n n a q q a q+-==，所以数列{}n a 是等比数列，因此当1q =时，1n S na n ==；当1q ≠且0q >时，11nn q S q-=-，所以数列{}n S 的通项公式为：,11,0,11n n n q S q q q q =⎧⎪=-⎨>≠⎪-⎩；（2）由（1）可知：当1q ≠且0q >时，11nn q S q-=-，设1n n n S b S += 所以数列1n n S S +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式为：111111111nn nnn n n q S q qb q S q q+++---===---，因此有11122121212111(1)(1)(1)(1)(1)11(1)(1)(1)(1)n n n n n n n n n n n n n n n q q q q q q q q b b q q q q q q +++++++++++---------=-==------，当1q >时，1221,1,1,(1)0nn n q qqq ++>>>->，所以221(1)0(1)(1)n n n q q q q ++->--，即110n n n n b b b b ++->⇒>；当01q <<时，12201,1,1,(1)0nn n q qqq ++<<<<->，所以221(1)0(1)(1)n n n q q q q ++->--，即110n n n n b b b b ++->⇒>，因此数列1n n S S +⎧⎫⎨⎬⎩⎭是递增数列；（3）假设存在正常数c ，使得(){}lg n c S -为等差数列，所以设()1lg lg()1nn n q c c S c q-=-=--，数列{}n c 是等差数列，即()1lg 1c c =-，221lg()lg(1)1q c c c q q -=-=---，3231lg()lg(1)1q c c c q q q-=-=----，显然有2132c c c =+，所以2lg(1)c q --2lg(1)lg(1)c c q q =-+---，2(1)c q --2(1)(1)c c q q =----，解得：11c q=-，因为0c >，所以01q <<，这时11lg()lg 111n nn q q c q q q-=-=---，因为11lg lg lg 11n nn n q q c c q q q++-=-=--，所以数列{}n c 是等差数列，因此存在正常数11c q=-，使得(){}lg n c S -为等差数列，且01q <<. 【点睛】本题考查了等差数列、等比数列的定义和通项公式，考查了等比数列的前n 项和公式，考查了指数函数的单调性应用，考查了用作差比较法证明数列的单调性，考查了对数的运算性质，考查了数学运算能力.21.数列{}n a 满足1212n n n n n n a a a a a a ++++=++()*11,n n a a n N +≠∈，且11a =，22a =.规定的{}n a 通项公式只能用()sin A x c ωϕ++0,0,2A πωϕ⎛⎫≠>< ⎪⎝⎭的形式表示. （1）求3a 的值；（2）证明3为数列{}n a 的一个周期，并用正整数k 表示ω；（3）求{}n a 的通项公式.【答案】（1）33a =（2）证明见解析；()*2N 3k k πω=∈.（3）2233n a n ππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）代入1n =计算即可.（2）分别令n ＝1，2，3，即可证明，根据周期公式即可求出.（3）分别由a 1＝1，a 2＝2，a 3＝3，可得1＝A sin （23π+φ）+c ，2＝﹣A sin （3π+φ）+c ，3＝A sin φ+c ，解得即可求出【详解】解：（1）当a 1＝1，a 2＝2，a 1a 2a 3＝a 1+a 2+a 3，解得a 3＝3；（2）当n ＝2时，6a 4＝2+3+a 4，解得a 4＝1，当n ＝3时，3a 5＝1+3+a 5，解得a 5＝2， …，可得a n +3＝a n ，当a 1＝1，a 2＝2，a 3＝3；故3为数列{a n }的一个周期，则2k πω＝3，k ∈N *，则()*2N 3k k πω=∈；（3）由（2）可得a n ＝A sin （23πn +φ）+c ，则1＝A sin （23π+φ）+c ，2＝﹣A sin （3π+φ）+c ，3＝A sin φ+c ，即1＝A φ﹣A •12sin φ+c ，①2＝﹣A φ﹣A •12sin φ+c ，②由①+②，可得3＝﹣A sin φ+2c ， ∴c ＝2，A sin φ＝1，①﹣②，可得﹣1＝A cos φ，则tan ， ∵|φ|＜2π， ∴φ＝﹣3π，∴A故2233n a n ππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭．【点睛】本题考查了数列的递推公式和三角函数的解析式，考查了运算能力和转化能力，属于中档题．。

2019-2020学年上海中学高一(下)期中数学试卷

2019-2020学年上海中学高一（下）期中数学试卷试题数：21.满分：01.（填空题.3分）已知点A（2.-1）在角α的终边上.则sinα=___ ．2.（填空题.3分）函数y=sin（πx+2）的最小正周期是___ ．3.（填空题.3分）设扇形半径为2cm.圆心角的弧度数为2.则扇形的面积为___ ．4.（填空题.3分）已知函数f（x）=sinx（x∈[0.π]）和函数g（x）= 12tanx的图象交于A.B.C三点.则△ABC的面积为___ ．5.（填空题.3分）在平面直角坐标系xOy中.角α与角β均以Ox为始边.它们的终边关于y轴对称.若sinα= 13.则cos（α-β）=___ ．6.（填空题.3分）已知sin（x- π4）= 35.则sin2x的值为 ___ ．7.（填空题.3分）设x.y∈（0.π）.且满足sin2x−cos2x+cos2xcos2y−sin2xsin2ysin(x+y)=1 .则x-y=___ ．8.（填空题.3分）我国古代数学家秦九韶在《数学九章》中记述了“三斜求积术”.用现代式子表示即为：在△ABC中.∠A.∠B.∠C所对的边长分别为a.b.c.则△ABC的面积S=√1 4[(ab)2−(a2+b2−c22)2]．根据此公式若acosB+（b+3c）cosA=0.且a2-b2-c2=2.则△ABC的面积为___ ．9.（填空题.3分）若函数f(x)=2sin(2x+π6)+a−1(a∈R)在区间[0，π2]上有两个不同的零点x1.x2.则x1+x2-a的取值范围是___ ．10.（填空题.3分）已知函数f(α)=m−sinαcosα在(0，π2)上单调递减.则实数m的取值范围是___ ．11.（单选题.3分）已知cosα=k.k∈R.α∈（π2.π）.则sin（π+α）=（）A.- √1−k2B. √1−k2C.± √1−k2D.-k12.（单选题.3分）对任意的锐角α.β.下列不等关系中正确的是（）A.sin（α+β）＞sinα+sinβB.sin（α+β）＞cosα+cosβC.cos（α+β）＜sinα+sinβD.cos（α+β）＜cosα+cosβ13.（单选题.3分）设函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A.ω.φ是常数.A＞0.ω＞0.|φ|＜π2）.为了得到f（x）的图象.则只需将g（x）=cos2x的图象（）A.向右平移π12个单位B.向右平移π6个单位C.向左平移π12个单位D.向左平移π6个单位14.（单选题.3分）若函数f（x）=sin（2x- π3）与 g（x）=cosx-sinx都在区间（a.b）（0＜a ＜b＜π）上单调递减.则b-a的最大值为（）A. π6B. π3C. π2D. 5π1215.（单选题.3分）已知α.β为锐角且α+β＞π2，x∈R，f(x)=(cosαsinβ)|x|+(cosβsinα)|x|.下列说法正确的是（）A.f（x）在定义域上为递增函数B.f（x）在定义域上为递减函数C.f（x）在（-∞.0]上为增函数.在（0.+∞）上为减函数D.f（x）在（-∞.0]上为减函数.在（0.+∞）上为增函数16.（单选题.3分）在△ABC中.a.b.c分别为角A.B.C的对边的长.若a2+b2=2020c2.则2tanA•tanBtanC(tanA+tanB)的值为（）A.1B.2018C.2019D.202017.（问答题.0分）化简：f(α)=sin(−α)cos(π+α)cos(π2−α)cos(π−α)sin(2π+α)tan(π+α)．18.（问答题.0分）已知函数f(x)=√3cos2x−sin2x．（1）用五点法作出f（x）在一个周期内的图象.并写出f（x）的值域.最小正周期.对称轴方程（只需写出答案即可）；（2）将f（x）的图象向左平移一个π4单位得到函数y=g（x）的图象.求y=g（x）的单调递增区间．19.（问答题.0分）如图.矩形ABCD中.E.F两点分别在边AB.BC上.∠DEF=90°.设∠ADE=α.∠EDF=β．（1）试用该图中提供的信息证明两角和的余弦公式；（2）若x∈(0，π4)，y∈(π4，3π4) .且sin（3π4+x）= 513.cos（π4-y）= 45.求cos（x-y）的值．20.（问答题.0分）某公司要在一条笔直的道路边安装路灯.要求灯柱AB与地面垂直.灯杆BC 与灯柱AB所在的平面与道路垂直.路灯C采用锥形灯罩.射出的光线与平面ABC的部分截面如图中阴影部分所示．已知∠ABC= 23π.∠ACD= π3.路宽AD=24米．设∠BAC=θ (π12≤θ≤π6)．（1）求灯柱AB的高h（用θ表示）；（2）此公司应该如何设置θ的值才能使制造路灯灯柱AB与灯杆BC所用材料的总长度最小？最小值为多少？（结果精确到0.01米）21.（问答题.0分）设函数f（x）=5cosθsinx-5sin（x-θ）+（4tanθ-3）sinx-5sinθ为偶函数．（1）求tanθ的值；（2）若f（x）的最小值为-6.求f（x）的最大值及此时x的取值；（3）在（2）的条件下.设函数g(x)=λf(ωx)−f(ωx+π2) .其中λ＞0.ω＞0．已知y=g（x）在x=π6处取得最小值并且点(2π3，3−3λ)是其图象的一个对称中心.试求λ+ω的最小值．2019-2020学年上海中学高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析试题数：21.满分：01.（填空题.3分）已知点A（2.-1）在角α的终边上.则sinα=___ ．【正确答案】：[1]- √55【解析】：根据三角函数的坐标法定义.直接计算即可．【解答】：解：设O为坐标原点.因为A（2.-1）．由已知得|OA|=√22+(−1)2=√5 .∴ sinα=−1|OA|=−√55．故答案为：−√55．【点评】：本题考查三角函数的坐标法定义.以及学生的运算能力.属于基础题．2.（填空题.3分）函数y=sin（πx+2）的最小正周期是___ ．【正确答案】：[1]2【解析】：由题意利用正弦函数的周期性.得出结论．【解答】：解：函数y=sin（πx+2）的最小正周期是2ππ=2.故答案为：2．【点评】：本题主要考查正弦函数的周期性.属于基础题．3.（填空题.3分）设扇形半径为2cm.圆心角的弧度数为2.则扇形的面积为___ ．【正确答案】：[1]4cm2【解析】：由已知利用扇形的面积公式即可计算得解．【解答】：解：由已知可得：半径r为2cm.圆心角α的弧度数为2.则扇形的面积S= 12 r2α= 12×22×2 =4cm2．故答案为：4cm2．【点评】：本题主要考查了扇形的面积公式的应用.属于基础题．4.（填空题.3分）已知函数f（x）=sinx（x∈[0.π]）和函数g（x）= 12tanx的图象交于A.B.C 三点.则△ABC的面积为___ ．【正确答案】：[1] √3π4【解析】：画出两个函数的图象.求出三个点的坐标.然后求解三角形面积．【解答】：解：函数f（x）=sinx（x∈[0.π]）和函数g（x）= 12tanx的图象.可得A（0.0）.B（π.0）.令sinx= 12 tanx.解得C（π3. √32）.所以S△ABC= 12× π×√32= √3π4．故答案为：√3π4．【点评】：本题考查三角函数的图象以及三角形的面积的求法.考查转化思想以及计算能力．5.（填空题.3分）在平面直角坐标系xOy中.角α与角β均以Ox为始边.它们的终边关于y轴对称.若sinα= 13.则cos（α-β）=___ ．【正确答案】：[1]- 79【解析】：方法一：根据教的对称得到sinα=sinβ= 13.cosα=-cosβ.以及两角差的余弦公式即可求出方法二：分α在第一象限.或第二象限.根据同角的三角函数的关系以及两角差的余弦公式即可求出【解答】：解：方法一：∵角α与角β均以Ox为始边.它们的终边关于y轴对称.∴sinα=sinβ= 13.cosα=-cosβ.∴cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ=-cos2α+sin2α=2sin2α-1= 29 -1=- 79方法二：∵sinα= 13.当α在第一象限时.cosα=2√23. ∵α.β角的终边关于y 轴对称.∴β在第二象限时.sinβ=sinα= 13.cosβ=-cosα=- 2√23. ∴cos （α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ=- 2√23 × 2√23 + 13 × 13 =- 79：∵sinα= 13 .当α在第二象限时.cosα=-2√23. ∵α.β角的终边关于y 轴对称.∴β在第一象限时.sinβ=sinα= 13 .cosβ=-cosα= 2√23. ∴cos （α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ=- 2√23 × 2√23 + 13 × 13 =- 79综上所述cos （α-β）=- 79 ．方法三：∵α.β角的终边关于y 轴对称. ∴α+β=π+2kπ.k∈Z .∴cos （α-β）=cos （α-（π+2kπ-α））=cos （2α-π）=-cos2α=2sin²α-1=2×（ 13 ）²-1=- 79．故答案为：- 79 ．【点评】：本题考查了两角差的余弦公式.以及同角的三角函数的关系.需要分类讨论.属于基础题6.（填空题.3分）已知sin （x- π4 ）= 35 .则sin2x 的值为 ___ ．【正确答案】：[1] 725【解析】：利用二倍角的正弦可求得 sin 2(x −π4) = 1−sin2x 2 = 925.从而可得sin2x 的值．【解答】：解：∵sin （x- π4 ）= 35. ∴ sin 2(x −π4) = 1−cos[2(x−π4)]2 = 1−sin2x 2 = 925. ∴1-sin2x= 1825. ∴sin2x= 725 ．故答案为： 725 ．【点评】：本题考查二倍角的正弦.考查诱导公式的应用.考查转化思想与运算能力.属于中档题．7.（填空题.3分）设x.y∈（0.π）.且满足sin2x−cos2x+cos2xcos2y−sin2xsin2ysin(x+y)=1 .则x-y=___ ．【正确答案】：[1] π2【解析】：结合已知条件.利用和差角公式.平方关系化简可得sin（x-y）=1.进而得到答案．【解答】：解：∵x.y∈（0.π）.且-π＜x-y＜π.∴ sin2x−cos2x+cos2xcos2y−sin2xsin2ysin(x+y)=1⇒sin2x(1−sin2y)+cos2x(cos2y−1)sin(x+y)=1⇒sin2xcos2y−cos2xsin2ysin(x+y)=(sinxcosy+cosxsiny)(sinxcosy−cosxsiny)sin(x+y)=1⇒sin(x+y)sin(x−y)sin(x+y)=sin(x−y)=1⇒x−y=π2（由于-π＜x-y＜π）.故答案为：π2．【点评】：本题主要考查三角函数的化简求值.考查和差角公式以及同角三角函数基本关系的运用.考查运算能力.属于基础题．8.（填空题.3分）我国古代数学家秦九韶在《数学九章》中记述了“三斜求积术”.用现代式子表示即为：在△ABC中.∠A.∠B.∠C所对的边长分别为a.b.c.则△ABC的面积S=√1 4[(ab)2−(a2+b2−c22)2]．根据此公式若acosB+（b+3c）cosA=0.且a2-b2-c2=2.则△ABC的面积为___ ．【正确答案】：[1] √2【解析】：直接利用三角函数关系式的恒等变换和余弦定理的应用求出结果．【解答】：解：由于acosB+（b+3c）cosA=0.整理得：acosB+bcosA=-3ccosA.故是sinAcosB+cosAsinB=-3sinCcosA.即sin（A+B）=sinC=-3sinCcosA.故：cosA=−13．由余弦定理得：b2+c2-a2=2bccosA=-2.整理得bc=3.所以：S=√14[(bc)2−(b2+c2−a22)2]=√2．故答案为：√2【点评】：本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换.余弦定理的应用.主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力.属于基础题型．9.（填空题.3分）若函数f(x)=2sin(2x+π6)+a−1(a∈R)在区间[0，π2]上有两个不同的零点x1.x2.则x1+x2-a的取值范围是___ ．【正确答案】：[1] [π3，π3+1)【解析】：由题意将问题转化为y=2sin(2x+π6)与y=1-a在区间[0，π2]上有两个不同的交点的问题.作出两个函数的图象.可求解．【解答】：解：若函数f(x)=2sin(2x+π6)+a−1(a∈R)在区间[0，π2]上有两个不同的零点x1.x2.即2sin(2x+π6)=1−a在区间[0，π2]上有两个不同的零点x1.x2.也就是y=2sin(2x+π6)与y=1-a区间[0，π2]上有两个不同的交点.横坐标分别为x1.x2.数形结合可知. x1+x22=π6，1−a∈[1，2) .∴ x1+x2=π3，−a∈[0，1)∴ x1+x2−a∈[π3，π3+1)．故答案为：[π3，π3+1)．【点评】：本题考查三角函数的图象与性质.以及利用数形结合思想解决问题的能力.同时考查了学生的运算能力.属于中档题．10.（填空题.3分）已知函数f(α)=m−sinαcosα在(0，π2)上单调递减.则实数m的取值范围是___ ．【正确答案】：[1]（-∞.1]【解析】：根据题意.任取0＜α＜β＜π2.由函数单调性的定义分析可得f（α）-f（β）=m(cosβ−cosα)−sin(α−β)cosαcosβ＞0 .据此变形可得m＜1+tanα2tanβ2tanα2+tanβ2.分析1+tanα2tanβ2tanα2+tanβ2的最小值.即可得答案．【解答】：解：根据题意.任取0＜α＜β＜π2.若函数f(α)=m−sinαcosα在(0，π2)上单调递减.则有f（α）-f（β）＞0.即f（α）-f（β）=m(cosβ−cosα)−sin(α−β)cosαcosβ＞0则有m•2sinα+β2•sinα−β2＞2sinα−β2cosα−β2可得m＜cosα−β2sinα+β2=cosα2cosβ2+sinα2sinβ2sinα2cosβ2+cosα2sinβ2=1+tanα2tanβ2tanα2+tanβ2.又由0＜α＜β＜π2 .则0＜α2＜β2＜π4，0＜tanα2＜tanβ2＜1从而1+tanα2tanβ2−(tanα2+tanβ2)=(1−tanα2)(1−tanβ2)＞0 .变形可得1+tanα2tanβ2tanα2+tanβ2＞1 .必有m≤1.即m的取值范围为（-∞.1]；故答案为（-∞.1]．【点评】：本题函数的单调性的性质.涉及三角函数的恒等变形以及和差公式的应用.属于基础题11.（单选题.3分）已知cosα=k.k∈R.α∈（π2.π）.则sin（π+α）=（）A.- √1−k2B. √1−k2C.± √1−k2D.-k【正确答案】：A【解析】：由已知及同角三角函数基本关系的运用可求sinα.从而由诱导公式即可得解．【解答】：解：∵cosα=k.k∈R.α∈（π2.π）.∴sinα= √1−cos2α = √1−k2 .∴sin（π+α）=-sinα=- √1−k2．故选：A．【点评】：本题主要考查了同角三角函数基本关系的运用.运用诱导公式化简求值.属于基本知识的考查．12.（单选题.3分）对任意的锐角α.β.下列不等关系中正确的是（）A.sin（α+β）＞sinα+sinβB.sin（α+β）＞cosα+cosβC.cos（α+β）＜sinα+sinβD.cos（α+β）＜cosα+cosβ【正确答案】：D【解析】：对于A.B中的α.β可以分别令为30°.60°验证即可.对于C中的α.β可以令他们都等于15°.验证即可.对于D我们可以用放缩法给出证明cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ＜cosα×1+cosβ×1=cosα+cosβ【解答】：解：对于AB中的α.β可以分别令为30°.60°则知道A.B均不成立对于C中的α.β可以令他们都等于15°.则知道C不成立cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ＜cosα×1+cosβ×1=cosα+cosβ故选：D．【点评】：本题考查了两角和与差的正余弦公式.同时也考查了放缩法对命题的证明.属于基础题．13.（单选题.3分）设函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A.ω.φ是常数.A＞0.ω＞0.|φ|＜π）.为了2得到f（x）的图象.则只需将g（x）=cos2x的图象（）个单位A.向右平移π12个单位B.向右平移π6C.向左平移π个单位12个单位D.向左平移π6【正确答案】：A【解析】：由函数的图象的顶点坐标求出A.由周期求出ω.由五点法作图求出φ的值.可得f（x）的解析式.再根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律.得出结论．【解答】：解：利用函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A.ω.φ是常数.A＞0.ω＞0.|φ|＜π2）的图象.可得A=1. 14•2πω= π3- π12.∴ω=2．再根据五点法作图.可得2× π12+φ= π2.∴φ= π3.故f（x）=sin（2x+ π3）．将g（x）=cos2x=sin（2x+ π2）的图象向右平移π12个单位.可得y=sin（2x- π6 + π2）=sin（2x+ π3）=f（x）的图象.故选：A．【点评】：本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式.由函数的图象的顶点坐标求出A.由周期求出ω.由五点法作图求出φ的值.函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律.属于基础题．14.（单选题.3分）若函数f（x）=sin（2x- π3）与 g（x）=cosx-sinx都在区间（a.b）（0＜a ＜b＜π）上单调递减.则b-a的最大值为（）A. π6B. π3C. π2D. 5π12【正确答案】：B【解析】：求出函数f（x）、g（x）在（0.π）上的单调递减区间.从而求得b-a的最大值．【解答】：解：函数f（x）=sin（2x- π3）在（0. 5π12）上单调递增.在（5π12 . 11π12）上单调递减.在（11π12.π）上单调递减；函数g（x）=cosx-sinx= √2 cos（x+ π4）在（0. 3π4）上单调递减.在（3π4.π）上单调递增；∴f（x）、g（x）都在区间（5π12 . 3π4）上单调递减.∴b-a的最大值为3π4 - 5π12= π3．故选：B．【点评】：本题考查了三角函数在某一区间上的单调性问题.是中档题．15.（单选题.3分）已知α.β为锐角且α+β＞π2，x∈R，f(x)=(cosαsinβ)|x|+(cosβsinα)|x|.下列说法正确的是（）A.f（x）在定义域上为递增函数B.f（x）在定义域上为递减函数C.f（x）在（-∞.0]上为增函数.在（0.+∞）上为减函数D.f（x）在（-∞.0]上为减函数.在（0.+∞）上为增函数【正确答案】：C【解析】：先利用α.β为锐角且α+β＞π2结合三角函数的单调性得出cosαsinβ. cosβsinα的取值范围.再对x的值分类讨论.结合指数函数的单调性即可得出答案．【解答】：解：∵α.β为锐角且α+β＞π2 .∴ π2＞α＞π2-β＞0.∴cosα＜cos（π2 -β）.sinα＞sin（π2-β）.即0＜cosα＜sinβ.sinα＞cosβ＞0.∴0＜cosαsinβ＜1.0＜cosβsinα＜1．∴在（-∞.0]上. f(x)=(cosαsinβ)−x+(cosβsinα)−x为增函数.在（0.+∞）上. f(x)=(cosαsinβ)x+(cosβsinα)x为减函数．故选：C．【点评】：本题主要考查了指数函数的单调性与特殊点.考查了三角函数的性质.属于基础题．16.（单选题.3分）在△ABC中.a.b.c分别为角A.B.C的对边的长.若a2+b2=2020c2.则2tanA•tanBtanC(tanA+tanB)的值为（）A.1B.2018C.2019D.2020【正确答案】：C【解析】：直接利用三角函数关系式的恒等变换和正弦定理余弦定理的应用求出结果．【解答】：解：由于△ABC中.a.b.c分别为角A.B.C的对边的长.若a2+b2=2020c2.所以a2+b2-c2=2019c2.则：2tanA•tanBtanC(tanA+tanB)=2sinAcosAsinBcosBsinCcosC(sinAcosA+sinBcosB).= 2sinAsinBcosCsinC(sinAcosB+cosAsinB)=2sinAsinBcosCsin2C.= 2abcosCc2=a2+b2−c2c2=2019故选：C．【点评】：本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换.正弦定理余弦定理和三角形面积公式的应用.主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力.属于基础题型．17.（问答题.0分）化简：f(α)=sin(−α)cos(π+α)cos(π2−α)cos(π−α)sin(2π+α)tan(π+α)．【正确答案】：【解析】：利用诱导公式化简要求的式子.再利用同角三角函数的基本关系化简到最简形式．【解答】：解：f(α)=sin(−α)cos(π+α)cos(π2−α)cos(π−α)sin(2π+α)tan(π+α)= (−sinα)(−cosα)sinα(−cosα)sinαtanα=−cosα．【点评】：本题考查同角三角函数的基本关系.诱导公式的应用.要特别注意公式中的符号．18.（问答题.0分）已知函数f(x)=√3cos2x−sin2x．（1）用五点法作出f（x）在一个周期内的图象.并写出f（x）的值域.最小正周期.对称轴方程（只需写出答案即可）；（2）将f（x）的图象向左平移一个π4单位得到函数y=g（x）的图象.求y=g（x）的单调递增区间．【正确答案】：【解析】：（1）用五点作图法即可作出函数在一个周期上的图象.利用余弦函数的性质即可求解其值域.最小正周期.对称轴方程．（2）由条件利用y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律和正弦函数的图象和性质即可求解y=g （x）的单调递增区间．【解答】：解：（1）f(x)=√3cos2x−sin2x =2cos（2x+ π6）.列表如下：2x+ π6π2π3π22πx - π12π65π122π311π12y 2 -2 2 作图：可得：f（x）的值域为[-2.2].最小正周期为π.对称轴方程为x=kπ2−π12，k∈Z．（2）将f（x）=2cos（2x+ π6）的图象向左平移一个π4单位得到函数y=g（x）=2cos（2x+ π2+ π6）=-2sin（2x+ π6）的图象.令2kπ+ π2≤2x+ π6≤2kπ+ 3π2.k∈Z.解得kπ+ π6≤x≤kπ+ 2π3.k∈Z.可得函数的单调递增区间为：[kπ+π6，kπ+2π3]，k∈Z．【点评】：本题主要考查用五点法作函数y=Asin（ωx+φ）在一个周期上的图象.y=Asin （ωx+φ）的图象变换规律.考查正弦函数的性质.属于基础题．19.（问答题.0分）如图.矩形ABCD中.E.F两点分别在边AB.BC上.∠DEF=90°.设∠ADE=α.∠EDF=β．（1）试用该图中提供的信息证明两角和的余弦公式；（2）若x∈(0，π4)，y∈(π4，3π4) .且sin（3π4+x）= 513.cos（π4-y）= 45.求cos（x-y）的值．【正确答案】：【解析】：（1）根据题意利用直角三角形的边角关系.即可证明cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ；（2）利用三角恒等变换化简求值即可．【解答】：解：（1）由已知∠ADE=∠BEF=α.所以cos（α+β）=cos∠DFC= CFDF = BC−BFDF= ADDE• DEDF- BFEF• EFDF=cosαcosβ-sinαsinβ；（2）由已知3π4+x∈(3π4，π)，π4−y∈(−π2，0) .从而cos(3π4+x)=−√1−sin2(3π4+x)=−1213.sin(π4−y)=−√1−cos2(π4−y)=−35.所以cos(x−y)=−cos(x−y+π)=−cos[(3π4+x)+(π4−y)]= sin(3π4+x)sin(π4−y)−cos(3π4+x)cos(π4−y)=513•(−35)−(−1213)•45=3365．【点评】：本题考查了直角三角形边角关系应用问题.也考查了三角函数化简求值问题.是中档题．20.（问答题.0分）某公司要在一条笔直的道路边安装路灯.要求灯柱AB与地面垂直.灯杆BC 与灯柱AB所在的平面与道路垂直.路灯C采用锥形灯罩.射出的光线与平面ABC的部分截面如图中阴影部分所示．已知∠ABC= 23π.∠ACD= π3.路宽AD=24米．设∠BAC=θ (π12≤θ≤π6)．（1）求灯柱AB的高h（用θ表示）；（2）此公司应该如何设置θ的值才能使制造路灯灯柱AB与灯杆BC所用材料的总长度最小？最小值为多少？（结果精确到0.01米）【正确答案】：【解析】：（1）在△ACD中与在△ABC中.分别利用正弦定理即可得出；（2）△ABC中.利用正弦定理可得：BC.再利用和差公式即可得出．【解答】：解：（1）在△ACD中. ∠CDA=θ+π6.由ADsin∠ACD =ACsin∠CDA.得AC=AD•sin∠CDAsin∠ACD=16√3sin(θ+π6) .在△ABC中. ∠ACB=π3−θ .由ABsin∠ACB =ACsin∠ABC.得ℎ=AC•sin∠ACBsin∠ABC=32sin(θ+π6)sin(π3−θ)(π12≤θ≤π6)．（2）△ABC中.由BCsin∠BAC =ACsin∠ABC.得BC=AC•sin∠BACsin∠ABC=32sin(θ+π6)sinθ .∴ AB+BC=32sin(θ+π6)sin(π3−θ)+32sin(θ+π6)sinθ = 16sin2θ+8√3 .∵ π12≤θ≤π6.∴ π6≤2θ≤π3.∴当θ=π12时.AB+BC取得最小值8+8√3≈21.86．故制造路灯灯柱AB与灯杆BC所用材料的总长度最小.最小值约为21.86米．【点评】：本题考查了正弦定理余弦定理、和差公式、三角函数求值.考查了推理能力与计算能力.属于中档题．21.（问答题.0分）设函数f（x）=5cosθsinx-5sin（x-θ）+（4tanθ-3）sinx-5sinθ为偶函数．（1）求tanθ的值；（2）若f（x）的最小值为-6.求f（x）的最大值及此时x的取值；（3）在（2）的条件下.设函数g(x)=λf(ωx)−f(ωx+π2) .其中λ＞0.ω＞0．已知y=g（x）在x=π6处取得最小值并且点(2π3，3−3λ)是其图象的一个对称中心.试求λ+ω的最小值．【正确答案】：【解析】：（1）利用三角函数关系式的恒等变换和函数的性质的应用求出结果．（2）利用函数的关系式的变换和三角函数的性质的应用求出结果．（3）利用分类讨论思想的应用和关系式的变换的应用求出参数的值．【解答】：解：（1）f（x）=5cosxsinθ+（4tanθ-3）sinx-5sinθ.f（x）是偶函数. ∴（4ta nθ-3）sinx=0对一切x∈R恒成立.∴ tanθ=34（2）f（x）=5sinθ（cosx-1）.其最小值为-6.此时sinθ=35，cosx=−1 .∴f（x）=3（cosx-1）.从而f（x）的最大值为0.此时x的取值为x=2kπ.k∈Z；（3）g(x)=λf(ωx)−f(ωx+π2)=3λcosωx−3λ−3cos(ωx+π2)+3=3λcosωx-3λ+3sinωx+3由g（x）在x=π6处取最小值.知g（x）的图象关于x=π6对称.有g(−π3)=g(2π3)=3−3λ故3λcos(−ωπ3)+3sin(−ωπ3)=0 .且3λcos2ωπ3+3sin2ωπ3=0 .从而λ=tanωπ3=−tan2ωπ3=tan(kπ−2ωπ3) .则ωπ3=kπ−2ωπ3.即ω=k（k∈Z）又ω＞0.则ω是正整数.∵λ＞0.ω是正整数.∴ ω=3l−2(l∈N∗)，λ=√3 .当ω=1时. g(x)=3√3cosx+3sinx+3−3√3显然.g（x）在x=π6处有最大值.而不是最小值.矛盾．当ω=4时. g(x)=3√3cos4x+3sin4x+3−3√3 .显然.g（x）在x=π6处有最大值.而不是最小值.矛盾．当ω=7时. g(x)=3√3cos7x+3sin7x+3−3√3 .显然.g（x）g（x）在x=π6处有最小值.且y=g（x）的图象关于点(2π3，3−3√3)中心对称.∴λ+ω的最小值为√3+7．【点评】：本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换.正弦型函数的性质的应用.分类讨论思想的应用.主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力.属于基础题型．。

2019-2020学年上海市建平中学高一上学期期中考试数学试卷含详解

建平中学高一期中数学卷一.填空题1.已知全集{}5,6,7,8,9U =，{}6,7,8A =，那么U A =ð________.2.不等式211x x +<-的解集是________.3.已知,a b R ∈，命题：若0ab ≠，则0a ≠且0b ≠的逆否命题是__．4.已知函数()222019,0,0x x f x x x ⎧-≤=⎨->⎩，则()2f =________.5.若“x a >”是“5x >”的充分非必要条件，则实数a 的取值范围是________.6.若x 、y +∈R ，且4xy =，则4x y +的最小值是________.7.函数y =________.8.设函数()246,06,0x x x f x x x ⎧-+≥=⎨+<⎩，则不等式()3f x >的解集是________.9.若函数()f x =的定义域为R ，则实数m 的取值范围是______.10.已知集合2{|(2)10,}A x x a x x R =+++=∈，{|0,}B x x x =>∈R ，若A B ⋂=∅，则实数a 的取值范围是________．11.关于x 的不等式2315x x a a+--≤-的解集不是∅，则实数a 的取值范围为______.12.已知x 、y +∈R ，21x y +=，可以利用不等式1ax x +≥42ay y +≥()0a >求得14x y +的最小值，则其中正数a 的值是________.二.选择题13.对于集合M 、N ，若M NÜ，则下面集合的运算结果一定是空集的是（）A.U M NI ð B.U M Nð C.U UM N痧ID.M N⋂14.已知a ，b ，c 满足c b a <<，且0ac <，那么下列各式中不一定成立的是（）A.ab ac >B.()0c b a ->C.22cb ab < D.()0ac a c -<15.若集合{}2540A x x x =-+<，{}1B x x a =-<，则“()2,3a ∈”是“B A ⊆”的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又不必要条件16.已知A 与B 是集合{}1,2,3,,100L 的两个子集，满足：A 与B 的元素个数相同，且A B ⋂为空集，若n A ∈时总有22n B +∈，则集合A B ⋃的元素个数最多为（）A.62B.66C.68D.74三.解答题17.解不等式组()()31150x x x ⎧->⎪⎨--≥⎪⎩.18.若0a >，0b >，求证：22b a a b a b+≥+.19.若()f x x=+，()()02x g x x-=，()()()F x f x g x =+.（1）分别求()f x 与()g x 的定义域；（2）求()F x 的定义域与值域；（3）在平面直角坐标系内画出函数()F x 的图象，并标出特殊点的坐标.20.设集合{}210A x x =-=，集合{}20,B x x ax b x R =-+=∈，且B ≠∅.（1）若B A ⊆，求实数a 、b 的值；（2）若A C ⊆，且{}21,21,C m m =-+，求实数m 的值.21.按照某学者的理论，假设一个人生产某产品单件成本为a 元，如果他卖出该产品的单价为m 元，则他的满意度为m m a +；如果他买进该产品的单价为n 元，则他的满意度为nn a+.如果一个人对两种交易(卖出或买进)的满意度分别为1h 和2h 现假设甲生产A 、B 两种产品的单件成本分别为12元和5元，乙生产A 、B 两种产品的单件成本分别为3元和20元，设产品A 、B 的单价分别为A m 元和B m 元，甲买进A 与卖出B 的综合满意度为h 甲，乙卖出A 与买进B 的综合满意度为h 乙(1)求h 甲和h 乙关于A m 、B m 的表达式；当35A B m m =时，求证：h 甲=h 乙；(2)设35A B m m =，当A m 、B m 分别为多少时，甲、乙两人的综合满意度均最大？最大的综合满意度为多少？(3)记(2)中最大的综合满意度为0h ，试问能否适当选取A m 、B m 的值，使得0h h ≥甲和0h h ≥乙同时成立，但等号不同时成立？试说明理由．建平中学高一期中数学卷一.填空题1.已知全集{}5,6,7,8,9U =，{}6,7,8A =，那么U A =ð________.【答案】{}5,9【分析】根据补集的定义可得出集合U A ð.【详解】全集{}5,6,7,8,9U =，{}6,7,8A =，由补集的定义可得{}5,9U A ð=.故答案为{}5,9.【点睛】本题考查补集的计算，考查对补集定义的理解，属于基础题.2.不等式2101x x +<-的解集是________.【答案】112x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭【分析】将分式不等式等价变形为()()2110x x +-<，解此不等式即可.【详解】不等式2101x x +<-等价于()()2110x x +-<，解得112x -<<，因此，不等式2101x x +<-的解集是112x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭.故答案为112x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭.【点睛】本题考查分式不等式的求解，考查运算求解能力，属于基础题.3.已知,a b R ∈，命题：若0ab ≠，则0a ≠且0b ≠的逆否命题是__．【答案】若0a =或0b =，则0ab =【分析】根据逆否命题的定义进行求解即可．【详解】由逆否命题定义可得原命题的逆否命题为：若0a =或0b =，则0ab =故答案为：若0a =或0b =，则0ab =.【点睛】本题主要考查四种命题的关系，掌握逆否命题的定义是解决本题的关键．4.已知函数()222019,0,0x x f x x x ⎧-≤=⎨->⎩，则()2f =________.【答案】4-【分析】根据分段函数()y f x =的解析式可计算出()2f 的值.【详解】()222019,0,0x x f x x x ⎧-≤=⎨->⎩ ，()2224f ∴=-=-.故答案为4-.【点睛】本题考查分段函数值的计算，解题时要根据自变量所满足的定义域选择合适的解析式来进行计算，考查计算能力，属于基础题.5.若“x a >”是“5x >”的充分非必要条件，则实数a 的取值范围是________.【答案】()5,+∞【分析】根据充分非必要条件关系得出()(),5,a +∞+∞Ü，由此可得出实数a 的取值范围.【详解】 “x a >”是“5x >”的充分非必要条件，()(),5,a ∴+∞+∞Ü，则5a >.因此，实数a 的取值范围是()5,+∞.故答案为()5,+∞.【点睛】本题考查利用充分不必要条件求参数，一般转化为集合包含关系来求解，考查化归与转化思想的应用，属于基础题.6.若x 、y +∈R ，且4xy =，则4x y +的最小值是________.【答案】8【分析】直接利用基本不等式可求出4x y +的最小值.【详解】由基本不等式可得48x y +≥==，当且仅当4y x =时，等号成立.因此，4x y +的最小值为8.故答案为8.【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，在利用基本不等式求最值时，也要注意“一正、二定、三相等”条件的成立，考查计算能力，属于基础题.7.函数y =________.【答案】()2,∞+【分析】根据偶次根式被开方数非负、分式中分母不为零，列出关于x 的不等式组，解出即可得出函数的定义域.【详解】由题意可得2102520x x x -≥⎧⎨-+>⎩，解得2x >.因此，函数y =的定义域是()2,∞+.故答案为()2,∞+.【点睛】本题考查具体函数定义域的求解，解题时要根据函数解析式有意义列不等式组进行求解，考查计算能力，属于基础题.8.设函数()246,06,0x x x f x x x ⎧-+≥=⎨+<⎩，则不等式()3f x >的解集是________.【答案】()()3,13,-+∞ 【分析】分0x ≥与0x <两种情况解不等式()3f x >，得出不等式的解集与定义域取交集，然后将两段解集取并集可得出()3f x >的解集.【详解】当0x ≥时，由()3f x >，得2463x x -+>，即2430x x -+>，解得1x <或3x >，此时，01x ≤<或3x >；当0x <时，由()3f x >，得63x +>，解得3x >-，此时，30x -<<.综上所述，不等式()3f x >的解集是()()3,13,-+∞ .故答案为()()3,13,-+∞ .【点睛】本题考查分段不等式的求解，解题时要注意对自变量的取值范围进行分类讨论，在得出不等式的解集后要注意与定义域取交集，考查运算求解能力，属于中等题.9.若函数()f x =的定义域为R ，则实数m 的取值范围是______.【答案】1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【分析】由题意知，对任意的x R ∈，不等式()221940mx m x m ++++≥恒成立，然后分0m =和0m >⎧⎨∆≤⎩两种情况分析，由此可得出实数m 的取值范围.【详解】由题意可知，对任意的x R ∈，不等式()221940mx m x m ++++≥恒成立.①当0m =时，则有240x +≥，该不等式在R 上不恒成立；②当0m >时，由于不等式()221940mx m x m ++++≥在R 上恒成立，则()()()224149448210m m m m m ∆=+-+=⨯--+≤，即28210m m +-≥，解得12m ≤-或14m ≥，此时，14m ≥.因此，实数m 的取值范围是1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.故答案为1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.【点睛】本题考查利用函数的定义域求参数，解题的关键就是将问题转化二次不等式在R 上恒成立问题，利用首项系数和判别式的符号来进行求解，考查化归与转化思想的应用，属于中等题.10.已知集合2{|(2)10,}A x x a x x R =+++=∈，{|0,}B x x x =>∈R ，若A B ⋂=∅，则实数a 的取值范围是________．【答案】4a >-【分析】根据A B ⋂=∅可知，A =∅或方程2(2)10x a x +++=只有非正根，由此可解得a 的范围.【详解】分A ≠∅和A =∅两种情况讨论．①当A ≠∅时，A 中的元素为非正数，A B ⋂=∅，即方程2(2)10x a x +++=只有非正数解，所以2(2)40,(2)0,a a ⎧∆=+-≥⎨-+≤⎩解得0a ≥；②当A =∅时，2(2)40a ∆=+-<，解得40a -<<．综上所述，实数a 的取值范围是4a >-．故答案为：4a >-【点睛】当A B ⋂=∅时，包含A ≠∅和A =∅两种情况，A =∅容易被忽略.11.关于x 的不等式2315x x a a +--≤-的解集不是∅，则实数a 的取值范围为______.【答案】(][),14,-∞+∞ 【分析】由题意知，存在x R ∈，使得2315x x a a +--≤-，然后利用绝对值三角不等式求出31x x +--的最小值4-，将问题转化为解不等式254a a -≥-，解出即可.【详解】由题意知，存在x R ∈，使得2315x x a a +--≤-，则()2min531a a x x -≥+--.由绝对值三角不等式得()()31314x x x x +--≤+--=，4314x x ∴-≤+--≤，()2min 5314a a x x ∴-≥+--=-，即2540a a -+≥，解得1a ≤或4a ≥.因此，实数a 的取值范围是(][),14,-∞+∞ .故答案为(][),14,-∞+∞ .【点睛】本题考查绝对值不等式成立问题，一般转化为绝对值不等式的最值问题，可利用绝对值三角不等式来得到，考查化归与转化思想的应用，属于中等题.12.已知x、y +∈R ，21x y +=，可以利用不等式1ax x+≥42ay y +≥()0a >求得14x y +的最小值，则其中正数a 的值是________.【答案】9+【分析】利用两个基本不等式等号成立的条件得出x 、y 的表达式，代入21x y +=可求出实数a 的值.【详解】由基本不等式得1axx +≥()10,0ax x a x =>>时，即当x =.由基本不等式得42ay y +≥，当且仅当()420,0ay y a y =>>时，即当y=时，等号成立.此时，21x y+==1=+所以，(219a =+=+.故答案为9+【点睛】本题考查利用基本不等式求最值时等号成立的条件，求出对应的变量后，还应将变量代入定值条件求出参数，考查运算求解能力，属于中等题.二.选择题13.对于集合M 、N ，若M N Ü，则下面集合的运算结果一定是空集的是（）A.U M N I ð B.U M Nð C.U UM N痧ID.M N⋂【答案】A【分析】作出韦恩图，利用韦恩图来判断出各选项集合运算的结果是否为空集.【详解】作出韦恩图如下图所示：如上图所示，U M N =∅I ð，U M N ≠∅I ð，U UM N ≠∅I 痧，M N M =≠∅I .故选A.【点睛】本题考查集合的运算，在解题时可以充分利用韦恩图法来表示，考查数形结合思想的应用，属于基础题.14.已知a ，b ，c 满足c b a <<，且0ac <，那么下列各式中不一定成立的是（）A.ab ac >B.()0c b a ->C.22cb ab <D.()0ac a c -<【答案】C【分析】由已知可得0a >，0c <，再由不等式的基本性质逐一判断即可．【详解】解：因为c b a <<，且0ac <，所以0a >，0c <，对于A ，0a >，0b c ->，所以()0ab ac a b c -=->，所以ab ac >，故A 正确；对于B ，()0c b a ->，故B 正确；对于C ，当0b =时，22cb ab =，故C 错误；对于D ，0ac <，0a c ->，所以()0ac a c -<，故D 正确．故选：C ．15.若集合{}2540A x x x =-+<，{}1B x x a =-<，则“()2,3a ∈”是“B A ⊆”的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又不必要条件【答案】A【分析】解出集合A 、B ，由B A ⊆得出关于a 的不等式组，求出实数a 的取值范围，由此可判断出“()2,3a ∈”是“B A ⊆”的充分非必要条件.【详解】解不等式2540x x -+<，解得14x <<，{}14A x x ∴=<<.解不等式1x a -<，即11x a -<-<，解得11a x a -<<+，{}11B x a x a ∴=-<<+.B A ⊆ ，则有1114a a -≥⎧⎨+≤⎩，解得23a ≤≤.因此，“()2,3a ∈”是“B A ⊆”的充分非必要条件.故选A【点睛】本题考查充分非必要条件的判断，一般将问题转化为集合的包含关系来判断，考查逻辑推理能力，属于中等题.16.已知A 与B 是集合{}1,2,3,,100L 的两个子集，满足：A 与B 的元素个数相同，且A B ⋂为空集，若n A ∈时总有22n B +∈，则集合A B ⋃的元素个数最多为（）A.62 B.66C.68D.74【答案】B【分析】令22100n +≤，解得49n ≤，从A 中去掉形如22n +的数，此时A 中有26个元素，注意A 中还可含以下7个特殊元素：10、14、18、26、32、42、46，故A 中元素最多时，A 中共有33个元素，由此可得出结论.【详解】令22100n +≤，解得49n ≤，所以，集合A 是集合{}1,2,3,,49L 的一个非空子集.再由A B ⋂=∅，先从A 中去掉形如()22n n N *+∈的数，由2249n +≤，可得23n ≤，492326-=，此时，A 中有26个元素.由于集合A 中已经去掉了4、6、8、12、16、20、22这7个数，而它们对应的形如22n +的数分别为10、14、18、26、32、42、46，并且10、14、18、26、32、42、46对应的形如22n +的数都在集合B 中.故集合A 中还可有以下7个特殊元素：10、14、18、26、32、42、46，故集合A 中元素最多时，集合A 中共有33个元素，对应的集合B 也有33个元素，因此，A B ⋃中共有66个元素.故选B.【点睛】本题考查集合中参数的取值问题，同时也考查了集合中元素的个数问题，考查分类讨论思想的应用，属于中等题.三.解答题17.解不等式组()()31150x x x ⎧->⎪⎨--≥⎪⎩.【答案】[)(]1,24,5U 【分析】分别解出两个不等式，然后将两个不等式的解集取交集即可得出不等式组的解集.【详解】解不等式31x ->，即31x -<-或31x ->，解得2x <或>4x .解不等式()()150x x --≥，即()()150x x --≤，解得15x ≤≤.因此，不等式组()()31150x x x ⎧->⎪⎨--≥⎪⎩的解集为[)(]1,24,5U .【点睛】本题考查不等式组的解法，涉及绝对值不等式和一元二次不等式的求解，考查运算求解能力，属于基础题.18.若0a >，0b >，求证：22b a a b a b+≥+.【答案】证明见解析.【分析】将不等式两边做差，变形为多个因式的积或商的形式，判断每个因式的正负即可.【详解】2233()()b a a b a b ab a b a b ab ⎛⎫+-++-+= ⎪⎝⎭()222()()()a b a ab b ab a b a b ab ab+-+-+-==.0a > ，0b >，0a b +>2()()0a b a b ab+-∴≥，22()0b a a b a b ⎛⎫∴+-+≥ ⎪⎝⎭∴原式得证.19.若()f x x=+，()()02x g x x -=，()()()F x f x g x =+.（1）分别求()f x 与()g x 的定义域；（2）求()F x 的定义域与值域；（3）在平面直角坐标系内画出函数()F x 的图象，并标出特殊点的坐标.【答案】（1）()f x 的定义域为()0,∞+，()g x 的定义域为()()0,22,+∞U ；（2）()F x 的定义域是()()0,22,+∞U ，()F x 的值域是[)2,∞+；（3）图象见解析.【分析】（1）根据函数解析式有意义列不等式组，由此可得出函数()y f x =和()y g x =的定义域；（2）将函数()y f x =和()y g x =的定义域取交集可得出函数()y F x =的定义域，并求出函数()y F x =的解析式，利用基本不等式可得出函数()y F x =的值域；（3）根据双勾函数的图象可得出函数()y F x =在其定义域上的图象.【详解】（1）对于函数()f x x =+0x >，则函数()f x x =+的定义域为()0,∞+.对于函数()()02x g x x --=，有2000x x x -≠⎧⎪≥⎨⎪≠⎩，解得0x >且2x ≠，所以，函数()()02x g x x -=的定义域为()()0,22,+∞U ；（2）()()()11x x F x f x g x x x x x x-=+=++=+Q ，定义域为()()0,22,+∞U .由基本不等式可得()12F x x x =+≥=，当且仅当1x =时，等号成立.因此，函数()y F x =的值域为[)2,∞+；（3）函数()1F x x x=+，()()0,22,x ∈+∞U为双勾函数图象的一部分，如下图所示：【点睛】本题考查函数的定义域与值域的求解，同时也涉及到了函数图象的画法，解题时要熟悉几种常见的函数，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.20.设集合{}210A x x =-=，集合{}20,B x x ax b x R =-+=∈，且B ≠∅.（1）若B A ⊆，求实数a 、b 的值；（2）若A C ⊆，且{}21,21,C m m =-+，求实数m 的值.【答案】（1）2a =，1b =或2a =-，1b =或0a =，1b =-；（2）0m =或1m =.【分析】（1）解出集合{}1,1A =-，分集合{}1B =-、{}1、{}1,1-三种情况讨论，结合韦达定理可得出实数a 、b 的值；（2）由A C ⊆可得出211m +=或21m =，并利用集合C 中的元素满足互异性得出实数m 的值.【详解】（1）{}{}2101,1A x x =-==- ，B A ⊆ ，且B ≠∅，分以下三种情况讨论：①当{}1B =-时，由韦达定理得()212211a b =-⨯=-⎧⎪⎨=-=⎪⎩；②当{}1B =时，由韦达定理得212211a b =⨯=⎧⎨==⎩；③当{}1,1B =-时，由韦达定理得()()110111a b ⎧=+-=⎪⎨=⨯-=-⎪⎩.综上所述，2a =，1b =或2a =-，1b =或0a =，1b =-；（2）A C ⊆ ，且{}21,21,C m m =-+，211m ∴+=或21m =，解得0m =或1m =±.当0m =时，{}1,1,0C =-，集合C 中的元素满足互异性，合乎题意；当1m =-时，211m +=-，集合C 中的元素不满足互异性，舍去；当1m =时，{}1,3,1C =-，集合C 中的元素满足互异性，合乎题意.综上所述，0m =或1m =.【点睛】本题考查利用集合的包含关系求参数，同时也考查了一元二次方程根与系数的关系，解题时要注意有限集中的元素要满足互异性，考查分类讨论思想的应用，属于中等题.21.按照某学者的理论，假设一个人生产某产品单件成本为a 元，如果他卖出该产品的单价为m 元，则他的满意度为m m a +；如果他买进该产品的单价为n 元，则他的满意度为n n a+.如果一个人对两种交易(卖出或买进)的满意度分别为1h 和2h现假设甲生产A 、B 两种产品的单件成本分别为12元和5元，乙生产A 、B 两种产品的单件成本分别为3元和20元，设产品A 、B 的单价分别为A m 元和B m 元，甲买进A 与卖出B 的综合满意度为h 甲，乙卖出A 与买进B 的综合满意度为h 乙(1)求h 甲和h 乙关于A m 、B m 的表达式；当35A B m m =时，求证：h 甲=h 乙；(2)设35A B m m =，当A m 、B m 分别为多少时，甲、乙两人的综合满意度均最大？最大的综合满意度为多少？(3)记(2)中最大的综合满意度为0h ，试问能否适当选取A m 、B m 的值，使得0h h ≥甲和0h h ≥乙同时成立，但等号不同时成立？试说明理由．【答案】(1)见解析（2）即20,12B A m m ==时，甲乙两人同时取到最大的综合满意度为5.(3)不存在满足条件的A m 、B m 的值【详解】本小题主要考查函数的概念、基本不等式等基础知识，考查数学建模能力、抽象概括能力以及数学阅读能力．满分16分．(1)当35A B m m =时，h ==甲h ==乙,h 甲=h 乙（2）当35A B m m =时，h =甲由111[5,20][,]205B B m m ∈∈得，故当1120B m =即20,12B A m m ==时，甲乙两人同时取到最大的综合满意度为105．（3）（方法一）由（2）知：0h=5由05h h ≥=甲得：12552A B A B m m m m ++⋅≤，令35,,A B x y m m ==则1[,1]4x y ∈、，即：5(14)(1)2x y ++≤．同理，由得：5(1)(14)2x y ++≤另一方面，1[,1]4x y ∈、51414[2,5],11[,2],2x y x y 、、++∈++∈55(14)(1),(1)(14),22x y x y ++≥++≥当且仅当14x y ==，即A m =B m 时，取等号．所以不能否适当选取A m 、B m 的值，使得0h h ≥甲和0h h ≥乙同时成立，但等号不同时成立．。

2019-2020学年上海市浦东新区建平中学高一（上）期中数学试卷（含答案解析）

2019-2020学年上海市浦东新区建平中学高一(上)期中数学试卷一'选择题(本大题共4小题，共12.0分)1.“/〈I”是“xvl”的()条件.A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要2.若a>b,则下列不等式中正确的是()A.a2 >b2B.->|C. ac2>be2D.a3 >b3a b3.集合P=(x|y=Vx+1)»集合Q={y\y=Vx-1).则P与Q的关系是()A.P=QB.P^QC.P^QD. FCQ=04.己知集合为={0,123},B={x|x2_x=o),则集合A C\B的子集个数为()A.2B.4C.6D. 8二、填空题(本大题共12小题，共36.0分)5.设全集U=(-1,2.4}.集合4={一1,4},则C b4=.6.不等式刍VI的解集为.7.已知={x\x2 =1).B={x\ax=1),若B d则实数“的值为.8.用列举法表示集合M=(m|-^eN.mEZ)=:9.若关于a的不等式ax2+6x-a2<0的解集是(-cx>,l)U(rn,+co).则实数m.10.命题“若x<1,则/<1”的逆否命题为.1L集合4={(x,y)|x-y=0},B=((x,y)|2x-3y+4=0).则AnB=.12.“a=O”是“函数/•(x)=x3+ax2(x€R)为奇函数”的条件.13.已知集={x\x z=1),B=(x|ax=1),B=A,则实数a=.14.己知集^A={a+2016,fl2-2015a+2016,2015).且2016E4,则实数“的取值集合为15.已知正实数满足2x+y=l，则土+上的最小值为・16.在A上定义运算“*”：x*y=x(l—y).若不等式(x-a)*(x+a)<1对任意的；v恒成立，则实数〃的取值范围是.三、解答题(本大题共5小题，共60.0分)17.已知x,yER,且|x|Vl,|y|<1.求证：土+&2亡>18.已知集合A=(x\y=1B={x\x—5<0).⑴知n B；(2)若全集u=R,求(GM)nB,(C")U(C〃B)：19.已知函数/•(x)=|2x+a|+x・(1)若q=2,解不等式/(x)V2:(2)若FER, /(%-«)</(%)+a2"是直命题，求实数“的取值范围.20.已知集合A={x|l V2x-1V7},集合5=(x|x2-2%-3<0).⑴求"B；(2)求C R(AUB).21.己知集合4={4,尸+4。

建平中学高一数学下学期期末考试试题含解析

【详解】因为（其中），
所以，
因为、 ,
所以的最大值为: .
故答案为：
【点睛】本题考查了辅助角公式的应用,考查了正弦型函数的最值应用，考查了数学运算能力.
8.在数列中， , ，则数列的通项 ______．
【答案】
【解析】
【分析】
由递推关系累加求和即可求解。
【详解】由题意可得：，
利用累加法，
(2）结合（1）求出数列的通项公式,最后利用错位相减法，结合等比数列前项和公式进行求解即可。
【详解】（1）当时,
，
当时，，也适合上式，
故；
设等比数列的公比为，由题意可知：，
因为 ,所以由或，
因为 ,所以 ,因此，
所以 , ；
（2）由(1）可知：，，
所以，
因此，
,
得，，
(1）用表示线段和的长度；
（2)当取何值时，矩形的面积最大？最大值为多少？
【答案】(1) ，；(2）当时,面积最大为
【解析】
【分析】
(1)由题目已知可求出且，在直角三角形中，结合三角函数值可求出；由题目已知可求出，进而可知 ,结合即可求出的长度。
（2)由(1)可求出面积的表达式,结合二倍角公式以及辅助角公式可求，结合即可求出面积的最大值。
所以数列的通项公式为：；
(2)由（1）可知:当且时，，设
所以数列的通项公式为: ，
因此有
,
当时，，所以 ,
即 ;
当时, ，所以 ,
即，
因此数列是递增数列；
(3）假设存在正常数，使得为等差数列，
所以设，数列是等差数列，

2019-2020学年上海市建平中学高一上学期期中考试数学试题

2019-2020学年上海市建平中学高一上学期期中考试数学试题一、填空题（本答题共有12题，满分36分）考生应在答题纸相应的编号空格内直接填写结果.每个空格填对得3分，否则一律得零分.1.若实数a 满足：a 2∈{1，4，a}，则实数a 的取值集合为_____． 2.函数lg(3)y x =-的定义域为_____． 3.命题“若ab ＝0，则b ＝0”的逆否命题是______． 4.函数y=1x+2的单调区间是_____． 5.已知()f x 为定义在R 上的奇函数，当0x ³时，()(1)f x x x =+，则当0x <时，()f x =__________．6.已知符号函数sgn （x ）1,00,01,0x x x ì>ïï==íï-<ïî，则函数f （x ）=sgn （x ）﹣2x 的所有零点构成的集合为_____．7.函数3()log (81)x f x =+的值域为_______.8.已知a ＞0，b ＞0，则224442a ab b a b++++的最小值为_____．9.设集合A={1，2，6}，B={2，4}，C={x ∈R ﹣1≤x ≤5}，则（A ∪B ）∩C=_____ 10.若y=f （x ）是定义在（﹣∞，+∞）上的单调减函数，且f （x ）＜f （2x ﹣2），则x 的取值范围_____．11.若函数()[]()()2,1,12,1,x x f x f x x ì?ï=í-??ïî，则()5f =_____．12.定义：若平面点集A 中的任一个点（x 0，y 0），总存在正实数r ，使得集合(){x,y }A r <?，则称A 为一个开集．给出下列集合：①{（x ，y ） x 2+y 2=1}； ②{（x ，y ） x+y+2＞0}； ③{（x ，y ） x+y ≤6}； ④()(22{,|01}x y x y <+-< ．二、选择题：（本大题共4题，满分12分）每题有且仅有一个正确答案，考生应在答题纸相应的编号空格内直接填写选项，选对得3分，否则一律得零分. 13.已知实数a b 、满足0ab >，则“11a b<成立”是“a b >成立”的（） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 非充分非必要条件 14.已知函数()y f x =的定义域为[],a b ，(){}(){},|(),,|0x y y f x a x b x y x =＃?只有一个子集，则（） A. 0ab > B. 0ab ³ C. 0ab < D. 0ab £ 15.设()f x 是定义在R 上的函数. ①若存在1212,,x x R x x ?，使()()12f x f x <成立，则函数()f x 在R 上单调递增； ②若存在1212,,x x R x x ?，使()()12f x f x £成立，则函数()f x 在R 上不可能单调递减；③若存在20x >对于任意1x R Î都有()()112f x f x x <+成立，则函数()f x 在R 上单调递减. 则以上真命题的个数为（） A. 0 B. 1 C. 2 D. 316.某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表．那么，各班可推选代表人数y 与该班人数x 之间的函数关系用取整函数y ＝[x ]([x ]表示不大于x 的最大整数)可以表示为( ) A. y ＝[]10x B. y ＝3[]10x + C. y ＝4[]10x + D. y ＝5[]10x + 三、解答题：（本大题共有5题，满分52分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17.已知集合{}2|0,,|22,3x A x x R B x x a x R x 禳-镲=>?-Ｎ睚镲-铪，若A B R ?，求实数a 的取值范围.18.已知关于x 的不等式210x ax -+?有解，求关于x 的不等式472ax x +>-的解.19.设函数()()20a x f x a x+=>．（1）判断函数的奇偶性；（2）探究函数()()20a x f x a x+=>，)x ??上的单调性，并用单调性的定义证明．20.运货卡车以每小时x 千米的速度匀速行驶130千米，按交通法规限制50≤x ≤100（单位：千米/时）．假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油22360x 骣琪+琪桫升，司机的工资是每小时14元．（1）求这次行车总费用y 关于x 的表达式；（2）当x 为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值．21.对于函数()()()212a 0f x ax b x b =+++-?（），若存在实数0x ,使 ()00 f x x =成立，则称0x 为()f x 的不动点.（1）当2,2a b ==-时，求()f x 的不动点；（2）若对于任意的实数,b 函数 ()f x 恒有两个相异的不动点，求实数a 的取值范围；（3）在（2）的条件下，若()y f x =的图象上,A B 两点的横坐标是函数()f x 的不动点，且直线2121y kx a =++ 是线段AB 的垂直平分线，求实数b 的取值范围.2019-2020学年上海市建平中学高一上学期期中考试数学试题一、填空题（本答题共有12题，满分36分）考生应在答题纸相应的编号空格内直接填写结果.每个空格填对得3分，否则一律得零分.1.若实数a 满足：a 2∈{1，4，a}，则实数a 的取值集合为_____．【答案】{﹣1，﹣2，2，0} 【解析】【分析】由2a ∈{1，4，a}，得到2a =1或2a =4，或2a =a ，由此求出实数a 的取值，根据互异性验证后可得所求集合．【详解】∵实数a 满足：2a ∈{1，4，a }， ∴2a =1或2a =4，或2a =a ，解得a=﹣2或a=2或a=﹣1或a=1或a=0，当a=1时，集合为{1，4，1}，不合题意；当a=﹣1，或a=±2，或a=0时，满足题意．∴实数a的取值集合为{﹣1，﹣2，2，0}．故答案为：{﹣1，﹣2，2，0}．【点睛】本题考查集合的求法，是基础题，解题时要认真审题，对得到的结果要进行验证，注意集合中元素性质的合理运用．2.函数lg(3)y x=-的定义域为_____．【答案】[﹣2，3）【解析】【分析】由根式内部的代数式大于等于0和对数的真数大于0得到关于变量x的不等式组，解不等式组后可得定义域．【详解】由题意得2030xxì+?ïí->ïî，解得23x-?．∴函数的定义域为：[﹣2，3）．故答案为：[﹣2，3）．【点睛】本题考查函数的定义域及其求法，解题的关键是构造关于自变量的的不等式（组），是基础题．3.命题“若ab＝0，则b＝0”的逆否命题是______．【答案】“若b≠0，则ab≠0”【解析】因为一个命题的逆否命题，是将原命题逆命题的条件与结论同时否定得到，所以命题“若ab＝0，则b＝0”的逆否命题是“若b≠0，则ab≠0”.故答案为：“若b≠0，则ab≠0”.4.函数y=1x+2的单调区间是_____．【答案】（﹣∞，0）和（0，+∞）【解析】【分析】求出函数的定义域，利用反比例函数的单调性可求得答案．【详解】由题意得函数1y 2x=+的定义域为()(),00,ゥ-?，又函数1y x =在(),0¥-和()0,¥+上单调递减，所以函数1y 2x=+的单调减区间是(),0¥-和()0,¥+．故答案为：（-∞，0）和（0，+∞）．【点睛】本题考查函数单调区间的求法，属于基础题，熟练掌握常见基本函数的单调性是解题的基础，同时还应注意函数的单调区间不能并在一起．5.已知()f x 为定义在R 上的奇函数，当0x ³时，()(1)f x x x =+，则当0x <时，()f x =__________．【答案】(1)x x - 【解析】设0x <，则0x ->由已知当0x ³时，()()1f x x x =+，\当0x ->时，可得()()1f x x x -=--()()()1f x f x x x \=--=-6.已知符号函数sgn （x ）1,00,01,0x x x ì>ïï==íï-<ïî，则函数f （x ）=sgn （x ）﹣2x 的所有零点构成的集合为_____．【答案】11,0,22禳镲-睚镲铪【解析】【分析】根据x 的取值进行分类讨论，得到等价函数后分别求出其零点，然后可得所求集合．【详解】①当x ＞0时，函数f （x ）=sgn （x ）﹣2x =1﹣2x ，令1﹣2x=0，得x=12，即当x ＞0时，函数f （x ）的零点是12；②当x=0时，函数f （x ）=0，故函数f （x ）的零点是0； ③当x ＜0时，函数f （x ）=﹣1﹣2x ，令﹣1﹣2x=0，得x=12-，即当x ＜0时，函数f （x ）的零点是12-．综上可得函数f （x ）=sgn （x ）﹣x 的零点的集合为：11,0,22禳镲-睚镲铪．故答案为：11,0,22禳镲-睚镲铪．【点睛】本题主要考查函数零点的求法，解题的关键是根据题意得到函数的解析式，考查转化思想、分类讨论思想，是基础题． 7.函数3()log (81)x f x =+的值域为_______. 【答案】(0,)+? 【解析】由指数函数的性质可知：80,811x x >\+>，据此可知：()()3log 810x f x =+>，函数的值域为()0,+?.8.已知a ＞0，b ＞0，则224442a ab b a b++++的最小值为_____．【答案】4 【解析】【分析】由题意构造出基本不等式的形式，然后根据基本不等式求解即可．【详解】由题意得222444(2)44(2)222a ab b a b a b a b a b a b+++++==+++++， ∵0,0a b >>，∴20a b +>，∴4(2)42a b a b ++?+，当且仅当422a b a b+=+，即22a b +=时等号成立． ∴224442a ab b a b++++的最小值为4．故答案为：4．【点睛】应用基本不等式求最值时，需要注意使用的条件，即“一正、二定、三相等”，若不满足此条件，则要通过“拼、凑”等方法进行变形，使得满足所需条件．本题考查“构造思想”与基本不等式的运用，属于基础题．9.设集合A={1，2，6}，B={2，4}，C={x ∈R ﹣1≤x ≤5}，则（A ∪B ）∩C=_____ 【答案】{1，2，4} 【解析】【分析】根据并集与交集的定义计算即可．【详解】∵A={1，2，6}，B={2，4}， ∴A ∪B={1，2，4，6}，又C={x ﹣1≤x ≤5，x ∈R}， ∴（A ∪B ）∩C={1，2，4}．故答案为：{1，2，4}．【点睛】本题考查交集与并集的运算，解题时根据集合运算的定义求解即可，是基础题． 10.若y=f （x ）是定义在（﹣∞，+∞）上的单调减函数，且f （x ）＜f （2x ﹣2），则x 的取值范围_____．【答案】（﹣∞，2）【解析】【分析】根据y=f （x ）是定义在（﹣∞，+∞）上的单调减函数可由f （x ）＜f （2x ﹣2）得到x ＞2x ﹣2，解不等式可得x 的取值范围．【详解】∵f （x ）＜f （2x ﹣2），且y=f （x ）是定义在（﹣∞，+∞）上的单调减函数， ∴x ＞2x ﹣2，解得x ＜2．∴x 的取值范围为（﹣∞，2）．故答案为：（﹣∞，2）．【点睛】本题考查函数单调性的应用及一元一次不等式的解法，解题时注意转化思想方法的运用，属于简单题．11.若函数()[]()()2,1,12,1,x x f x f x x ì?ï=í-??ïî，则()5f =_____．【答案】1 【解析】【分析】根据函数的解析式可推导出f （5）=f （3）=f （1），由此可得所求结果．【详解】由题意得()()()()()2552332111f f f f f =-==-===．故答案为：1．【点睛】本题考查求分段函数的函数值和运算求解能力，解题的关键是分清自变量所在的范围，然后代入求值，属于基础题．12.定义：若平面点集A 中的任一个点（x 0，y 0），总存在正实数r ，使得集合(){x,y }A r <?，则称A 为一个开集．给出下列集合：①{（x ，y ） x 2+y 2=1}； ②{（x ，y ） x+y+2＞0}； ③{（x ，y ） x+y ≤6}； ④()(22{,|01}x y x y <+-< ．其中不是开集的是_____．（请写出所有符合条件的序号）【答案】①③ 【解析】【分析】弄清开集的定义是解决本题的关键，解答本题时根据新定义进行计算后判断，即所选的集合需要满足：存在以该集合内任意点为圆心、以正实数为半径的圆，且圆的内部均在该集合内．【详解】对于①，集合A={（x ，y ） x 2+y 2=1}表示以原点为圆心，1为半径的圆，则在该圆上任意取点（x 0，y 0），以任意正实数r 为半径的圆面，均不满足()B {x,y |}A r =?，故①不是开集．对于②，集合A={（x，y） x+y+2＞0}，对于A中的任一点（x0，y0），设该点到直线x+y+2=0的距离为d，取r=d，则满足()B{x,y|}Ar=?，故②是开集．对于③，集合A={（x，y） x+y ≤6}，在曲线 x+y =6任意取点（x0，y0），以任意正实数r为半径的圆面，均不满足()B{x,y|}Ar=?，故该集合不是开集．对于④，集合A=()(22{,|01}x y x y<+-<表示以点(为圆心，以1为半径除去圆心和圆周的圆面，在该平面点集A中的任一点（x0，y0），则该点到圆周上的点的最短距离为d，取r=d，则满足()B{x,y|}Ar=?，故该集合是开集．综上可得①③中的集合不是开集．故答案为：①③．【点睛】本题属于集合的新定义型问题，考查学生即时掌握信息、解决问题的能力，正确理解开集的定义是解决本题的关键．二、选择题：（本大题共4题，满分12分）每题有且仅有一个正确答案，考生应在答题纸相应的编号空格内直接填写选项，选对得3分，否则一律得零分.13.已知实数a b、满足0ab>，则“11a b<成立”是“a b>成立”的（）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 非充分非必要条件【答案】C【解析】【分析】根据不等式的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可.【详解】由11b aa b ab--=，0 ab>，\若11a b<成立,则0b a-<，即a b>成立，反之若a b>，0 ab>，11b aa b ab-\-=<，即11a b<成立，\“11a b<成立”是“a b > 成立”充要条件，故选C. 【点睛】本题主要考查不等式的性质以及充分条件和必要条件的应用，属于中档题. 判断充要条件应注意：首先弄清条件p 和结论q 分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试,p q qp 揶.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.14.已知函数()y f x =的定义域为[],a b ，(){}(){},|(),,|0x y y f x a x b x y x =＃?只有一个子集，则（） A. 0ab > B. 0ab ³ C. 0ab < D. 0ab £ 【答案】A 【解析】空集是任何集合的子集,只有一个子集那只能是空集,所以()(){}(){},|,,|0x y y f x a x b x y x =＃?=Φ所以f(x)的定义域不包含x=0,所以,a 、b 同号,且均不为零,所以ab ＞0 故选：A点睛：本题主要考查了函数的定义，对定义域上的每个x ，有且只有一个y 值与其对应，若x 不在定义域上，当然就不存在y 值与其对应，此时()(){}(){},|,,|0x y y f x a x b x y x =＃?=Φ.15.设()f x 是定义在R 上的函数. ①若存在1212,,x x R x x ?，使()()12f x f x <成立，则函数()f x 在R 上单调递增； ②若存在1212,,x x R x x ?，使()()12f x f x £成立，则函数()f x 在R 上不可能单调递减；③若存在20x >对于任意1x R Î都有()()112f x f x x <+成立，则函数()f x 在R 上单调递减. 则以上真命题的个数为（） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B【分析】根据增函数和减函数的定义判断，注意关键的条件：“存在” 、“任意”以及对应的自变量和函数值的关系.【详解】对于①，“任意”1212,,x x R x x ?，使()()12f x f x <成立，函数()f x 在R 上单调递增，故①不对；对于②，由减函数的定义知，必须有“任意”1212,,x x R x x ?，使()()12f x f x >成立，即若存在12x x <，使()()12f x f x £成立，函数()f x 在R 上不可能单调递减，故②对；对于③，存在20x >对于任意1x R Î都有()()112f x f x x <+成立，则函数()f x 不在R 上单调递减，故③不对；即真命题的个数为1，故选B.【点睛】本题主要考查阅读能力以及对增函数与减函数定义的理解与应用，意在考查对基本概念掌握的熟练程度和灵活应用所学知识解答问题的能力，属于中档题.16.某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表．那么，各班可推选代表人数y 与该班人数x 之间的函数关系用取整函数y ＝[x ]([x ]表示不大于x 的最大整数)可以表示为( ) A. y ＝[]10x B. y ＝3[]10x + C. y ＝4[]10x + D. y ＝5[]10x + 【答案】B 【解析】【分析】根据规定10推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增加一名代表，即余数分别为7，8，9时可以增选一名代表，也就是x 要进一位，所以最小应该加3．进而得到解析式．【详解】根据规定10推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增加一名代表，即余数分别为7，8，9时可以增选一名代表，也就是x 要进一位，所以最小应该加3．因此利用取整函数可表示为y=[310x +] 也可以用特殊取值法若x=56，y=5，排除C 、D ，若x=57，y=6，排除A ；【点睛】本题主要考查给定条件求函数解析式的问题，这里主要是要读懂题意，再根据数学知识即可得到答案．对于选择题要会选择最恰当的方法．三、解答题：（本大题共有5题，满分52分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17.已知集合{}2|0,,|22,3x A x x R B x x a x R x 禳-镲=>?-Ｎ睚镲-铪，若A B R ?，求实数a 的取值范围.【答案】1,22轾犏犏臌【解析】【分析】利用分式不等式的解法化简集合,A 利用绝对值不等式的解法化简集合B ，再由A B R ?,根据并集的定义直接求实数a 的取值范围. 【详解】集合{20,|23x A x x Rx x x 禳-镲=?<睚-镲铪或}3x >，{}{}|22,|2222B x x a x R x a xa =-Ｎ=-＃+，若A B R ?，则222223a a ì-?ïí+?ïî，得122a ＃，所以实数a 的取值范围1,22轾犏犏臌.【点睛】集合的基本运算的关注点：（1）看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提；（2）有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决；（3）注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn 图． 18.已知关于x 的不等式210x ax -+?有解，求关于x 的不等式472ax x +>-的解.【答案】见解析. 【解析】【分析】由关于x 的不等式210x ax -+?有解，可知，240a D=-?,又由()47223ax x a x +>-?>,分20a +>或20a +=或20a +<三种情况，解出不等式的解即可得到结果. 【详解】由于关于x 的不等式210x ax -+?有解，则240a D=-?，即2a ³或2a ?，又由 472ax x +>-等价于()23a x +> , 则当2a ³时，20a +>，所以不等式472ax x +>-的解为32x a >+，当2a =-时，不等式无解，当2a <-时,20a +< ,所以不等式472ax x +>-的解为32x a <+. 【点睛】分类讨论思想的常见类型⑴问题中的变量或含有需讨论的参数的，要进行分类讨论的； ⑵问题中的条件是分类给出的；⑶解题过程不能统一叙述，必须分类讨论的；⑷涉及几何问题时，由几何元素的形状、位置的变化需要分类讨论的.19.设函数()()20a x f x a x+=>．（1）判断函数的奇偶性；（2）探究函数()()20a x f x a x+=>，)x ??上的单调性，并用单调性的定义证明．【答案】（1）奇函数；（2）单调递增，证明见解析．【解析】试题分析：（1）由函数可得函数的定义域关于原点对称，再化简得()()f x f x -=-，即可判定函数的奇偶性；（2）利用函数的单调性的定义，即可证明函数()y f x =在)+?上的单调递增．试题解析：（1）()f x 的定义域()(),00,-ト+?，()()()22a x a x f x f x xx+-+-==-=-- ()f x \为奇函数；（2）函数()y f x =在)+?上的单调递增，证明：()()20a x f x a x+=>，)x ??，任取)12,x x ??，且12x x <则()()()1212121a f x f x x x x x 骣琪-=--琪桫)12,Qx x ??，且12x x <，120x x -<，1210ax x ->，则()()120f x f x -<，即()()12f x f x >\函数()y f x =在)+?上的单调递增．考点：函数的性质的判定与证明．【方法点晴】本题主要考查了函数的性质的判定与证明，其中解答中涉及到函数奇偶性的判定与证明，函数的单调性的判定与证明，函数单调性的定义等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，本题的解得中熟记函数的奇偶性和单调性的判定方法是解答的关键，试题比较基础，属于基础题．20.运货卡车以每小时x 千米的速度匀速行驶130千米，按交通法规限制50≤x ≤100（单位：千米/时）．假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油22360x 骣琪+琪桫升，司机的工资是每小时14元．（1）求这次行车总费用y 关于x 的表达式；（2）当x 为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值．【答案】（1）y ＝21201202(2)12360x x x创++?，x ∈[50,100]．（2）当x＝总费用最低，最低费用为【解析】试题分析：（1）由行车所以时间130t x=小时，即可列出行车总费用y 关于x 的表达式；（2）由（1）知，利用基本不等式求解最值，即可求解结论．试题解析：（1）行车所以时间130t x=小时， ∴[]()21301413023401322,50,10036018x y x x x x x 骣´琪=创++=+?琪桫；．．．．．．．．．．．6分（2）23401318y x x =+?23401318x x =，即x =所以当x =．．．．．．．．．．．．12分考点：函数的解析式；基本不等式的应用．【方法点晴】本题主要考查了实际问题的应用，其中解答中涉及到函数的解析式、基本不等式的求最值及其应用等知识点的综合考查，注重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，试题比较基础，属于基础题，此类问题的解答中准确审题，根据题设条件，列出关系式是解答的关键．21.对于函数()()()212a 0f x ax b x b =+++-?（），若存在实数0x ,使 ()00 f x x =成立，则称0x 为()f x 的不动点.（1）当2,2a b ==-时，求()f x 的不动点；（2）若对于任意的实数,b 函数 ()f x 恒有两个相异的不动点，求实数a 的取值范围；（3）在（2）的条件下，若()y f x =的图象上,A B 两点的横坐标是函数()f x 的不动点，且直线2121y kx a =++ 是线段AB 的垂直平分线，求实数b 的取值范围.【答案】（1）1,2-；（2）02a <<；（3）4÷ê-÷ê滕. 【解析】【分析】(1)设x 为不动点，则有224x x x --=,变形为22240x x --=,解方程即可；(2)将()f x x =转化为220ax bx b ++-=，由已知，此方程有相异二实根，则有0x D >恒成立，可得()2420b a b -->，由0b D <可得结果；(3)由垂直平分线的定义解答，由,A B 两点的横坐标是函数()f x 的不动点,则有1AB k = ,再由直线2121y kx a =++是线段AB 的垂直平分线，得到1k =-，再由中点在直线上2121y kx a =++可得211212a b a a a=-=-++利用基本不等式求解即可.【详解】()()2120ax b x b a +++-?，（1）当2,2a b ==-时，()224f x x x =--，设x 为其不动点，即224x x x --=, 则2122240,1,2x x x x --==-=, 即()f x 的不动点是1,2-.(2)由()f x x =得220ax bx b ++-=，由已知，此方程有相异二实根，则有0x D >恒成立即()2420b a b -->，即2480b ab a -+>对任意b R Î恒成立，20,16320b a a \D <\-<，02a \<<.(3)设()()1122,,,A x x B x x ，直线2121y kx a =++是线段AB 的垂直平分线，1k \=-，记AB 的中点()00,M x x ，由（2）知02bx a=-， M 在2121y kx a =++上，212221b b a a a \-=++，化简得2112142a b a a a=-=-?=-++（当a =时，等号成立）即0b >?4÷ê-÷ê滕. 【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系、直线的方程以及利用基本不等式求最值与新定义问题，属于难题.新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.。

2019-2020学年上海市浦东新区建平中学高一(下)期中数学试卷

2019-2020学年上海市浦东新区建平中学高一（下）期中数学试卷试题数：21.满分：01.（填空题.3分）已知扇形的弧长是6.圆心角为2.则扇形的面积为___ ． 2.（填空题.3分）数列{a n }是等比数列. a 1=12 . q =12 . a n =132 .则n=___ ． 3.（填空题.3分）已知tanθ=-2.则cosθ−sinθsinθ+cosθ =___ ．4.（填空题.3分）三角方程 tan (x −π6)=3 的解集为___ ． 5.（填空题.3分） sinx =13. x ∈[3π2，5π2] .则x 用反正弦可以表示为___ ．6.（填空题.3分）已知数列{a n }满足a 1=0. a n+1=n √3√3a +1（n∈N *）.则a 2020=___ ．7.（填空题.3分）等差数列{a n }的通项为a n =2n-1.令b n =a 2n-1.则数列{b n }的前20项之和为___ ． 8.（填空题.3分）函数y=sin 2ωx -cos 2ωx （ω＞0）的最小正周期为4π.则ω=___ ． 9.（填空题.3分）已知12sinα+5cosα可表示为Asin （α+φ）（A ＞0.0≤φ＜π）的形式.则sin2φ=___ ．10.（填空题.3分）已知角 α，β∈(0，π4) .3sinβ=sin （2α+β）. 4tan α2=1−tan 2α2.则α+β=___ ．11.（填空题.3分）方程 x 2−10xsinπx 2+1=0 实数解的个数为___ ．12.（填空题.3分）设数列{a n }的通项公式为a n =2n-3（n∈N *）.数列{b n }定义如下：对于正整数m.b m 是使得不等式a n ≥m 成立的所有n 中的最小值.则数列{b n }的前2m 项和为___ ．（结果用m 表示）13.（单选题.3分）已知α是第二象限角.则 α2 是（） A.锐角 B.第一象限角 C.第一、三象限角 D.第二、四象限角14.（单选题.3分）在△ABC 中.若tanAtanB ＞1.则△ABC 是（） A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形D.无法确定15.（单选题.3分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0.|φ| ＜π2）的部分图象如图所示.则f（x）的解析式为（）A.f（x）=sin（2x+ π3）B.f（x）=sin（12x+π3）C.f（x）=sin（12x−π3）D.f（x）=sin（2x −π3）16.（单选题.3分）已知{a n}、{b n}均是等差数列.c n=a n•b n.若{c n}前三项是7、9、9.则c10=（）A.-47B.47C.-1D.117.（问答题.0分）已知函数f（x）=2sinxcosx-2sin2x+1．（1）求f（x）的单调递减区间；（2）若函数f(x)=√22.x∈[0.π）.求x．18.（问答题.0分）已知sinα+cosα=−15.α∈（0.π）.求下列式子的值：（1）sinαcosα；（2）tanα2；（3）sin3α+cos3α．19.（问答题.0分）如图.一智能扫地机器人在A处发现位于它正西方向的B处和北偏东30°方向上的C处分别有需要清扫的垃圾.红外线感应测量发现机器人到B的距离比到C的距离少0.4米.于是选择沿A→B→C路线清扫.已知智能扫地机器人的直线行走速度为0.2m/s.忽略机器人吸入垃圾及在B处旋转所用时间.10秒钟完成了清扫任务．（1）B、C两处垃圾的距离是多少？（2）智能扫地机器人此次清扫行走路线的夹角∠B的正弦值是多少？20.（问答题.0分）设{a n}是无穷等差数列.公差为d.前n项和为S n．（1）设a1=40.a6=38.求S n的最大值；（2）设S9=0.且a2+a3+a4+a5=-18.令b n=|a n|.求数列{b n}的前n项和T n．21.（问答题.0分）已知定义在R上的函数f（x）和数列{a n}满足下列条件：a1=a.a2≠a1.当n∈N*且n≥2时.a n=f（a n-1）且f（a n）-f（a n-1）=k（a n-a n-1）.其中a、k均为非零常数．（1）若{a n}是等差数列.求实数k的值；（2）令b n=a n+1-a n（n∈N*）.若b1=1.求数列{b n}的通项公式；（3）令b n=a n+1-a n（n∈N*）.若c1=b1=k＜0.数列{c n}满足c n+1-c n=2（b n+1-b n）.若数列{c n}有最∈(−2，2) .求k的取值范围．大值M.最小值m.且Mm2019-2020学年上海市浦东新区建平中学高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析试题数：21.满分：01.（填空题.3分）已知扇形的弧长是6.圆心角为2.则扇形的面积为___ ．【正确答案】：[1]9【解析】：利用扇形的弧长公式可求扇形的半径.根据扇形的面积公式即可求解．【解答】：解：设扇形的半径为r.则r= 62 =3. 则扇形的面积S= 12 ×6×3=9．故答案为：9．【点评】：本题主要考查了扇形的弧长公式.面积公式的应用.属于基础题． 2.（填空题.3分）数列{a n }是等比数列. a 1=12 . q =12 . a n =132 .则n=___ ．【正确答案】：[1]5【解析】：利用等比数列的通面公式直接求解．【解答】：解：∵数列{a n }是等比数列. a 1=12 . q =12 . a n =132 . ∴ a n =12×(12)n−1=132 .解得n=5．故答案为：5．【点评】：本题考查等比数列的项数n 的求法.考查等比数列的性质等基础知识.是基础题． 3.（填空题.3分）已知tanθ=-2.则 cosθ−sinθsinθ+cosθ =___ ．【正确答案】：[1]-3【解析】：由已知利用同角三角函数基本关系式化简即可求解．【解答】：解：∵tanθ=-2. ∴ cosθ−sinθsinθ+cosθ = 1−tanθtanθ+1 = 1−(−2)−2+1 =-3．故答案为：-3．【点评】：本题主要考查了同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用.属于基础题．4.（填空题.3分）三角方程tan(x−π6)=3的解集为___ ．【正确答案】：[1] {x|x=arctan3+π6+kπ，k∈Z}【解析】：直接根据tan(x−π6)=3 .解方程即可．【解答】：解：∵ tan(x−π6)=3 .∴ x−π6=arctan3+kπ .k∈Z.∴ x=arctan3+π6+kπ .k∈Z．∴方程的解集为{x|x=arctan3+π6+kπ，k∈Z}．故答案为：{x|x=arctan3+π6+kπ，k∈Z}．【点评】：本题考查了三角方程的求法.属基础题．5.（填空题.3分）sinx=13 . x∈[3π2，5π2] .则x用反正弦可以表示为___ ．【正确答案】：[1] x=2π+arcsin13【解析】：根据sinx=13 . x∈[3π2，5π2] .直接求出x即可．【解答】：解：∵ sinx=13 . x∈[3π2，5π2] .∴ x=2π+arcsin13．故答案为：x=2π+arcsin13．【点评】：本题考查了三角方程的求法.属基础题．6.（填空题.3分）已知数列{a n}满足a1=0. a n+1=a n−√3√3a+1（n∈N*）.则a2020=___ ．【正确答案】：[1]0【解析】：求出数列的前几项.判断数列是周期数列.然后求解即可．n∈N*）.【解答】：解：数列{a n}满足a1=0. a n+1=a n−√3√3a+1=- √3 .可得a2= √3√3×0+1a3= √3−√3= √3 .√3×(−√3)+1=0.…a4= √3−√3√3×√3+1所以数列是周期数列.周期为3.所以a2020=a3×673+1=a1=0.故答案为：0．【点评】：本题考查数列的递推关系式的应用.数列的项的求法.判断数列是周期数列是解题的关键．7.（填空题.3分）等差数列{a n}的通项为a n=2n-1.令b n=a2n-1.则数列{b n}的前20项之和为___ ．【正确答案】：[1]780【解析】：由已知代入可求b n.然后结合等差数列的求和公式即可求解．【解答】：解：由a n=2n-1.可得b n=a2n-1=2（2n-1）-1=4n-3.则数列{b n}是以1为首项.以4为公差的等差数列.×4 =780．故前20项之和S20=20×1+ 20×192故答案为：780．【点评】：本题主要考查了等差数列的性质及求和公式的简单应用.属于基础试题．8.（填空题.3分）函数y=sin2ωx-cos2ωx（ω＞0）的最小正周期为4π.则ω=___ ．【正确答案】：[1] 14【解析】：利用二倍角的余弦函数公式化简函数解析式.根据余弦函数的周期公式即可求解．.【解答】：解：∵y=sin2ωx-cos2ωx=-cos2ωx（ω＞0）的最小正周期为4π.即4π= 2π2ω∴ω= 1．4．故答案为：14【点评】：本题主要考查了二倍角的余弦函数公式.余弦函数的周期公式的应用.考查了函数思想.属于基础题．9.（填空题.3分）已知12sinα+5cosα可表示为Asin （α+φ）（A ＞0.0≤φ＜π）的形式.则sin2φ=___ ．【正确答案】：[1]120169【解析】：由题意利用三角恒等变换.辅助角公式.先求出sinφ 和cosφ的值.可得sin2φ的值．【解答】：解：∵12sinα+5cosα=13（ 1213 sinα+ 513 cos α）可表示为Asin （α+φ）（A ＞0.0≤φ＜π）的形式. 则sinφ= 513 .cosφ= 1213 . ∴sin2φ=2sinφcosφ= 120169 . 故答案为： 120169．【点评】：本题主要考查三角恒等变换.辅助角公式的应用.属于中档题．10.（填空题.3分）已知角 α，β∈(0，π4) .3sinβ=sin （2α+β）. 4tan α2=1−tan 2α2.则α+β=___ ．【正确答案】：[1] π4【解析】：从4tan α2 =1-tan 2 α2 ．中解出tanα.利用配角法化简3sinβ=sin （2α+β）.即将其中的2α+β用（α+β）+α.β用（α+β）-α代换.从而求出tan （α+β）.利用三角函数值求解得α+β的值．【解答】：解：∵4tan α2 =1-tan 2 α2 . ∴2•tanα=1.tanα= 12 ． ∵3sinβ=sin （2α+β）.∴3sinβ=sin （α+β）cosα+cos （α+β）sinα． ∴3sin （α+β）cosα-3cos （α+β）sinα =sin （α+β）cosα+cos （α+β）sinα． ∴sin （α+β）cosα=2cos （α+β）sinα． ∴tan （α+β）=2tanα=1．又 α，β∈(0，π4) . ∴α+β= π4 ．故答案为：π4．【点评】：本题主要考查了三角函数化简求值.角的变换是常用技巧．如2α+β=（α+β）+α.β=（α+β）-α等．三角变换中的角的变换.在本题中显得尤为突出.将单角化为复角.对字母角度的巧妙拼凑.使得问题顺利解决.属于基础题．11.（填空题.3分）方程x2−10xsinπx2+1=0实数解的个数为___ ．【正确答案】：[1]12【解析】：将方程变形得sin πx2 = 110x+ x10（x≠0）分别作出sin πx2和y= 110x+ x10的函数图象.根据交点个数进行判断．【解答】：解：∵ x2−10xsinπx2+1=0 .∴sin πx2 = 110x+ x10（x≠0）.令f（x）= 110x + x10= 110（x+ 1x）.则f（x）在（0.1）上单调递减.在（1.+∞）上单调递增.作出y=sin πx2和y=f（x）在（0.+∞）上函数图象如图所示：由图象可知y=sin πx2和y=f（x）在（0.+∞）上有6个交点.又y=sin πx2和y=f（x）都是奇函数.∴y=sin πx2和y=f（x）在（-∞.0）上有6个交点.∴方程x2−10xsinπx2+1=0有个解.故答案为：12．【点评】：本题考查了方程的根与函数图象的关系.属于中档题．12.（填空题.3分）设数列{a n}的通项公式为a n=2n-3（n∈N*）.数列{b n}定义如下：对于正整数m.b m是使得不等式a n≥m成立的所有n中的最小值.则数列{b n}的前2m项和为___ ．（结果用m表示）【正确答案】：[1]m2+4m【解析】：先由题设条件求出数列{b n}的前几项.归纳出b2k-1+b2k=2k+3（k∈N*）.再求出其前2m项和即可．【解答】：解：由题设条件可得：当m=1时.b1=2.当m=2时.b2=3.当m=3时.b3=3.当m=4时.b4=4.当m=5时.b5=4.….故易知：b2k-1=2+k-1=k+1.b2k=3+k-1=k+2.k∈N*.故b2k-1+b2k=2k+3.∴数列{b n}的前2m项和为m(5+2m+3)2=m2+4m．故答案为：m2+4m．【点评】：本题主要考查数列通项公式的求法及数列求和.属于基础题．13.（单选题.3分）已知α是第二象限角.则α2是（）A.锐角B.第一象限角C.第一、三象限角D.第二、四象限角【正确答案】：C【解析】：由α是第二象限角对应的范围.即可求解结论．【解答】：解：∵α是第二象限角.所以π2+2kπ＜α＜π+2kπ.k∈Z.∴ π4+kπ＜α2＜kπ +π2.k∈Z.∴ α2是第一象限或第三象限角.故选：C．【点评】：本题考查角在第几象限的判断.是基础题.解题时要认真审题.注意象限角定义的合理运用．14.（单选题.3分）在△ABC中.若tanAtanB＞1.则△ABC是（）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.无法确定【正确答案】：A【解析】：利用两角和的正切函数公式表示出tan（A+B）.根据A与B的范围以及tanAtanB ＞1.得到tanA和tanB都大于0.即可得到A与B都为锐角.然后判断出tan（A+B）小于0.得到A+B为钝角即C为锐角.所以得到此三角形为锐角三角形．【解答】：解：因为A和B都为三角形中的内角.由tanAtanB＞1.得到1-tanAtanB＜0.且得到tanA＞0.tanB＞0.即A.B为锐角.＜0.所以tan（A+B）= tanA+tanB1−tanAtanB.π）.即C都为锐角.则A+B∈（π2所以△ABC是锐角三角形．故选：A．【点评】：此题考查了三角形的形状判断.用的知识有两角和与差的正切函数公式．解本题的思路是：根据tanAtanB＞1和A与B都为三角形的内角得到tanA和tanB都大于0.即A和B 都为锐角.进而根据两角和与差的正切函数公式得到tan（A+B）的值为负数.进而得到A+B的范围.判断出C也为锐角．）的部分图象如图所15.（单选题.3分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0.|φ| ＜π2示.则f（x）的解析式为（）A.f（x）=sin（2x+ π）3B.f （x ）=sin （ 12x +π3 ）C.f （x ）=sin （ 12x −π3 ）D.f （x ）=sin （2x −π3 ）【正确答案】：A【解析】：依题意.可求得A=1.由T= 2πω =π可求得ω=2.由 π3 ω+φ=π可求得φ．【解答】：解：由图知.A=1；又 T 4 = 7π12 - π3 = π4 .∴T=π.又T= 2πω .∴ω=2；∵f （x ）=Asin （ωx+φ）经过（ π3 .0）.且在该处为递减趋势.∴ π3 ω+φ=π.∴φ=π- π3 ×2= π3 ．∴f （x ）的解析式为：f （x ）=sin （2x+ π3 ）．故选：A ．【点评】：本题考查由y=Asin （ωx+φ）的部分图象确定其解析式.确定φ的值是难点.考查观察与运算能力.属于中档题．16.（单选题.3分）已知{a n }、{b n }均是等差数列.c n =a n •b n .若{c n }前三项是7、9、9.则c 10=（）A.-47B.47C.-1D.1【正确答案】：A【解析】：{a n }、{b n }均是等差数列.故{c n }为二次函数.设c n =an 2+bn+c.根据前3项.求出a.b.c 的值.即可得到c 10．【解答】：解：设c n =a n •b n =an 2+bn+c.则 {a +b +c =74a +2b +c =99a +3b +c =9 .解得a=-1.b=5.c=3.∴c10=-1×102+5×10+3=-47.故选：A．【点评】：本题考查了等差数列的通项公式.考查分析和解决问题的能力和计算能力.属于基础题．17.（问答题.0分）已知函数f（x）=2sinxcosx-2sin2x+1．（1）求f（x）的单调递减区间；（2）若函数f(x)=√22.x∈[0.π）.求x．【正确答案】：【解析】：（1）利用二倍角公式化简函数f（x）的解析式为f（x）= √2 sin（2x+ π4）.令2kπ+ π2≤2x+ π4≤2kπ+ 3π2.（k∈Z）.解得x的范围即得f（x）的单调递减区间．（2）由题意可得sin（2x+ π4）= 12.可求范围2x+ π4∈[ π4. 9π4）.根据正弦函数的图象和性质即可求解．【解答】：解：（1）∵f（x）=sin2x+cos2x= √2 sin（2x+ π4）.∴令2kπ+ π2≤2x+ π4≤2kπ+ 3π2.（k∈Z）.解得kπ+ π8≤x≤kπ+ 5π8.（k∈Z）.∴f（x）的单调递减区间是：[π8+kπ，5π8+kπ] .k∈Z；（2）∵ f(x)=√22 .即√2 sin（2x+ π4）= √22.∴解得：sin（2x+ π4）= 12.∵x∈[0.π）.∴2x+ π4∈[ π4. 9π4）.∴2x+ π4 = 5π6.或13π6.解得x= 7π24 .或23π24．【点评】：本题主要考查了二倍角公式.正弦函数的图象和性质.考查了函数思想和转化思想.属于基础题．18.（问答题.0分）已知sinα+cosα=−15.α∈（0.π）.求下列式子的值：（1）sinαcosα；（2）tanα2；（3）sin3α+cos3α．【正确答案】：【解析】：（1）将已知等式两边平方.利用同角三角函数基本关系式可求得sinαcosα的值；（2）由已知可求α2∈（0. π2）.sinα＞0.cosα＜0.tan α2＞0.利用平方差公式可求sinα-cosα= 75.进而可求sinα= 35 .利用二倍角的正弦函数公式.同角三角函数基本关系式可求tan α2的值．（3）利用立方和公式即可求解．【解答】：解：（1）∵ sinα+cosα=−15.α∈（0.π）.∴两边平方.可得1+2sinαcosα= 125.∴解得sinαcosα=- 1225；（2）∵ sinα+cosα=−15＜0. ①又α∈（0.π）. α2∈（0. π2）.∴sinα＞0.cosα＜0.tan α2＞0.∴sinα-cosα= √(sinα−cosα)2 = √1−2sinαcosα = 75. ②∴由① ② 可得sinα= 35 .即2sinα2cosα2sin2α2+cos2α2= 2tanα21+tan2α2= 35.整理可得：3tan2α2-10tan α2+3=0.∴解得tan α2 =3.或- 13（舍去）．（3）sin3α+cos3α=（sinα+cosα）（sin2α+cos2α-sinαcosα）=（- 15）×（1+ 1225）=- 37125．【点评】：本题主要考查了同角三角函数基本关系式.平方差公式.二倍角的正弦函数公式.立方和公式在三角函数化简求值中的应用.考查了方程思想和转化思想.属于中档题．19.（问答题.0分）如图.一智能扫地机器人在A处发现位于它正西方向的B处和北偏东30°方向上的C处分别有需要清扫的垃圾.红外线感应测量发现机器人到B的距离比到C的距离少0.4米.于是选择沿A→B→C路线清扫.已知智能扫地机器人的直线行走速度为0.2m/s.忽略机器人吸入垃圾及在B处旋转所用时间.10秒钟完成了清扫任务．（1）B、C两处垃圾的距离是多少？（2）智能扫地机器人此次清扫行走路线的夹角∠B的正弦值是多少？【正确答案】：【解析】：（1）由题意C在A处北偏东30°方向上.所以可得∠CAB=90°+30°=120°.及|AB|.|AC|与|BC|的关系.在三角形ABC中由余弦定理可得|BC|的值.（2）由（1）可得|BC|.|AC|.∠BAC=120°.由正弦定理可得sin∠B的值．【解答】：解：（1）由题意可得|AB|+|BC|=0.2×10=2.|AC|-|AB|=0.4.所以|AC|+|BC|=2.4.|AB|=2-|BC|.|AC|=2.4-|BC|.因为C在A处北偏东30°方向上.所以∠CAB=90°+30°=120°.在三角形ABC中.∠BAC=120°.由余弦定理可得|BC|2=|AB|2+|AC|2-2|AB||AC|cos120°=（2-|BC|）2+（2.4-|BC|）2+（2-|BC|）（2.4-|BC|）.整理可得|BC|2-6.6|BC|+7.28=0.解得|BC|=1.4或|BC|=5.2（舍）.所以B、C两处垃圾的距离是1.4米；（2）由（1）可得|BC|=1.4.|AC|=2.4-1.4=1.∠CAB=120°.由正弦定理可得|AC|sin∠B = |BC|sin∠CAB.所以sin∠B= |AC||BC| •sin120°= 11.4 •√32 = 5√314．【点评】：本题考查三角形中正余弦定理的应用.属于中档题．20.（问答题.0分）设{a n }是无穷等差数列.公差为d.前n 项和为S n ．（1）设a 1=40.a 6=38.求S n 的最大值；（2）设S 9=0.且a 2+a 3+a 4+a 5=-18.令b n =|a n |.求数列{b n }的前n 项和T n ．【正确答案】：【解析】：（1）首先求出数列的通项公式.进一步求出数列的和．（2）利用函数的通项公式.进一步利用含绝对值的数列的应用求出数列的和．【解答】：解：（1）数列{a n }是无穷等差数列.公差为d.由于a 1=40.a 6=38.所以a 6=a 1+5d.a 6-a 1=-2=5d.解得d=- 25 ．所以S n = 40n −25×n (n−1)2 = n 2−201n 5 =- 15(n −2012)2+201220；当n=100或101时.S n 取得最大值2020；（2）由于S 9=0.且a 2+a 3+a 4+a 5=-18.故 {S 9=0a 2+a 3+a 4+a 5=−18. 解得 {a 1=−12d =3 .故a n =3n-15.b n =|3n-15|.所以当n≤5.故 T n =|a 1|+|a 2|+⋯|a n |=−a 1−+⋯−a n =−n (−12+3n−15)2=−32n 2+272n ．当n≥5时.T n =|a 1|+|a 2|+…+|a n |=（-a 1-a 2-…-a 5）+（a 1+a 2+…+a n ）= 32n 2−272n +60所以：T n={−32n2+272(n≤5)3 2n2−272n+60(n≥5)．【点评】：本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用.含绝对值的数列的求和的应用.主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力.属于基础题．21.（问答题.0分）已知定义在R上的函数f（x）和数列{a n}满足下列条件：a1=a.a2≠a1.当n∈N*且n≥2时.a n=f（a n-1）且f（a n）-f（a n-1）=k（a n-a n-1）.其中a、k均为非零常数．（1）若{a n}是等差数列.求实数k的值；（2）令b n=a n+1-a n（n∈N*）.若b1=1.求数列{b n}的通项公式；（3）令b n=a n+1-a n（n∈N*）.若c1=b1=k＜0.数列{c n}满足c n+1-c n=2（b n+1-b n）.若数列{c n}有最大值M.最小值m.且Mm∈(−2，2) .求k的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）利用等差数列的定义a n+1-a n=a n-a n-1.a n=f（a n-1）.易得k=1（2）利用等比数列的定义证明数列{b n}是等比数列.进而写出数列{b n}的通项公式（3）利用累加法求得{c n}的通项公式.结合题意.找到数列{c n}的最大项和最小项.解不等式求的结果．【解答】：解：（1）由已知a n=f（a n-1）.f（a n）-f（a n-1）=k（a n-a n-1）.a n+1-a n=f（a n）-f（a n-1）=k（a n-a n-1）.∵数列{a n}是等差数列.∴a n+1-a n=a n-a n-1.∴k=1；（2）由b1=a2-a1≠0.可得b2=a3-a2=f（a2）-f（a1）=k（a2-a1）≠0.且当n＞2时.b n=a n+1-a n=f（a n）-f（a n-1）=k（a n-a n-1）=…=k n-1（a2-a1）≠0.且b nb n−1 = a n+1−a na n−a n−1= f(a n)−f(a n−1)a n−a n−1=k∴数列{b n}是一个以首项为b1.公比为k的等比数列.若b1=1.则数列{b n}的通项公式为 b n=k n-1（n∈N*）；（3）由（2）可得{b n}是以k为首项.以k为公比的等比数列.∴b n=k n.c1=b1=k＜0.∴c n+1-c n=2（b n+1-b n）=2（k n+1-k n）=2（k-1）k n.∴c2-c1=2（k-1）k1.c3-c2=2（k-1）k2.c4-c3=2（k-1）k3.….c n-c n-1=2（k-1）k n-1（n≥2）. 累加得c n-c1=2（k-1）（k1+k2+…+k n-1）=2（k n-k）.∴c n=2k n-k（n≥2）.当n=1时也满足.∴c n=2k n-k（n∈N*）若{c n}存在最大值.结合k＜0.的条件.则-1＜k＜0.∴c2的是最大项.c1是最小项．∴M=2k2-k.m=k.由Mm ∈（-2.2）.得-2＜2k2−kk＜2.解得- 12＜k＜0.∴k的取值范围为（- 12.0）【点评】：本题考查的是数列问题.涉及到的知识点有等差数列的定义.等比数列的通项公式.累加法求数列的通项公式.数列的最大最小项.属于难题．。

2019建平中学高一期中

建平中学高一期中数学试卷2018.11一.填空题1.已知全集{1,2,3,4,5,6}U =，集合{2,4,6}A =，则U A =ð2.不等式102x x -<+的解集为3.已知集合{1,0,2}A =-，2{1}B a =+，若B A ，则实数a 的值为4.用列举法写出集合2{|1,,||1}A y y x x x ==-∈≤=Z5.已知不等式20x ax b -+≤的解集为[2,3]，则a b +=6.命题“如果0a ≠，那么20a >”的逆否命题为7.已知集合{(,)|1,}A x y y x x ==+∈R ，{(,)|3,}B x y y x x ==-∈R ，则A B = 8.已知“1x >”是“x a ≥”的充分非必要条件，则a 的取值范围是9.已知集合{||1|1}A x x =-≤，{|2}B x ax ==，若A B A = ，则实数a 的取值集合为10.已知集合2{|(2)(2)0,}x x x x a x --+=∈R 中的所有元素之和为2，则实数a 的取值集合为11.已知正实数x 、y 满足1x y +=，则141yx y -+的最小值是12.若不等式()x a x y +≤+对任意0x >，0y >恒成立，则a 的取值范围是二.选择题13.“1x >”是“11x <”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件14.设a 、b ∈R ，a b >，则下列不等式一定成立的是（）A.11a b < B.22a b > C.2a ab > D.33a b >15.设集合{|10}P m m =-<≤，2{|210Q m mx mx =+-<对任意x ∈R 恒成立}，则P 与Q 的关系是（）A.P QB.Q PC.P Q =D.P Q =∅16.已知集合{1,2,3,,}A n =⋅⋅⋅()n ∈*N ，集合12{,,,}k B j j j =⋅⋅⋅(2,)k k ≥∈*N 是集合A 的子集，若121m j j j n ≤<<⋅⋅⋅<≤且1i i j j m +-≥(1,2,,1)i k =⋅⋅⋅-，满足集合B 的个数记为()n k m ⊕，则7(32)⊕=（）A.9 B.10 C.11 D.12三.解答题17.已知x 、y 是实数，求证：22222x y x y +≥+-.18.已知全集U =R ，集合2{|120}A x x x =--<，421{|,}x B y y x x +==∈R ，求A B ，()U A B ð.19.已知命题p ：关于x 的一元二次方程2|2|0x m -+-=有两个不相等的实数根，命题q ：关于x 的一元二次方程2|1||3|0x mx a a -+++-=对于任意实数a 都没有实数根.（1）若命题p 为真命题，求实数m 的取值范围；（2）若命题p 和命题q 中有且只有一个为真命题，求实数m 的取值范围.20.已知集合2{|20}A x x x =--≥，集合22{|(1)210,}B x m x mx m =-+-<∈R .（1）当2m =时，求集合A R ð和集合B ；（2）若集合B Z 为单元素集，求实数m 的取值集合；（3）若集合()A B Z 的元素个数为n ()n ∈*N 个，求实数m 的取值集合.21.已知集合P 的元素个数为3n ()n ∈*N 个且元素为正整数，将集合P 分成元素个数相同且两两没有公共元素的三个集合A 、B 、C ，即P A B C = ，A B =∅ ，A C =∅ ，B C =∅ ，其中12{,,,}n A a a a =⋅⋅⋅，12{,,,}n B b b b =⋅⋅⋅，12{,,,}n C c c c =⋅⋅⋅.若集合A 、B 、C 中的元素满足12n c c c <<⋅⋅⋅<，k k k a b c +=，1,2,,k n =⋅⋅⋅，则称集合P 为“完美集合”.（1）若集合{1,2,3}P =，{1,2,3,4,5,6}Q =，判断集合P 和集合Q 是否为“完美集合”？并说明理由；（2）已知集合{1,,3,4,5,6}P x =为“完美集合”，求正整数x 的值；（3）设集合{|13,2,}P x x n n n =≤≤≥∈*N ，①证明：集合P 为“完美集合”的一个必要条件是4n k =或41n k =+()k ∈*N ；②判断当4n =时，集合P 是否为“完美集合”，如果是，求出所有符合条件的集合C ，如果不是，请说明理由.参考答案一.填空题1.{1,3,5}2.(2,1)-3.1±4.{1,0}-5.116.如果20a ≤，则0a =7.{(1,2)}8.1a ≤9.{0}[1,)+∞ 10.{0}(1,)+∞ 11.1212.4a ≥二.选择题13.A14.D 15.C 16.B 三.解答题17.22(1)(1)0x y -+-≥.18.(3,4)A =-，[2,)B =+∞，(,2)U B =-∞ð，[2,4)A B = ，()(,4)U A B =-∞ ð.19.（1）(1,5)-；（2）命题q ：44m -<<，∴范围为(4,1][4,5)-- .20.（1）(1,2)A =-R ð，1(,)(1,)3B =-∞+∞ ；（2）{0}；（3）略.21.（1）P 是，Q 不是；（2）7、9、11；（3）略.。

上海市建平中学2019-2020学年2020届高三第一学期数学期中考试卷(简答)

建平中学高三期中数学卷2019.11一. 填空题1. 设函数()f x A ，R 为全体实数集，则A =R ð2. 若复数1z ，2z 满足112i z =+，234i z =+（i 是虚数单位），则12||z z ⋅=3. 在二项式51)x 的展开式中，展开式的系数和为4. 双曲线22221x y a b-=的一个焦点是(5,0)，一条渐近线是340y x -=，那么双曲线的方程是5. 若n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，11a =，4d =，则2lim1n n S n →∞=+ 6. 已知函数34()log (2)f xx =+，则方程1()4f x -=的解x =7. 行列式sin 4cos 35x x 的最大值为 8. 如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为9. 某学生选择物理、化学、地理三门学科参加等级考，已知每门学科考A +得70分，考A 得67分，考B +得64分，该生每门学科均不低于64分，则其总分至少为207分的概率为10. 已知数列{}n a 中，其中199199a =，11()a n n a a -=，那么99100log a = 11. 已知a r 、b r 、2c r 是平面内三个单位向量，若a b ⊥r r ，则|4|2|32|a c a b c +++-r r r r r 的最小值是12. 已知二次函数2()2019f x ax bx c =++（0a >），若存在0x ∈Z ，满足01|()|2019f x ≤，则称0x 为函数()f x 的一个“近似整零点”，若()f x 有四个不同的“近似整零点”，则a 的取值范围是二. 选择题13. 若函数()sin()f x x ϕ=+是偶函数，则ϕ的一个值可能是（）A. 0B. 2π C. π D. 2π 14. 设x ∈R ，则“250x x -<”是“|1|1x -<”的（）条件A. 充分而不必要B. 必要而不充分C. 充要D. 既不充分也不必要15. 已知椭圆的参数方程为2cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩，[0,2)θπ∈，则该椭圆的焦点坐标为（）A. (0,B. (2,0)±C. (D. (1,0)±16. 数列{}n a 为1、1、2、1、1、2、4、1、1、2、1、1、2、4、8、...，首先给出11a =，接着复制该项后，再添加其后继数2，于是21a =，32a =，然后再复制前面的所有项1、1、2，再添加2的后继数4，于是41a =，51a =，62a =，74a =，接下来再复制前面的所有项1、1、2、1、1、2、4，再添加8，...，如此继续，则2019a =（）A. 16B. 4C. 2D. 1三. 解答题17. 如图，在Rt △ABC 中，6OAB π∠=，斜边4AB =，D 是AB 的中点，现将Rt △ABC以直角边AO 为轴旋转一周得到一个圆锥，点C 为圆锥底面圆周上的一点，且2BOC π∠=. （1）求该圆锥的全面积（即表面积）；（2）求异面直线AO 与CD 所成角的大小.（结果用反三角函数值表示）18. 在△ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知2b c a +=，5sin 7sin c B a C =.（1）求cos B 的值；（2）设()sin()f x x B =+，解不等式1()2f x ≥.19. 某公司为了应对金融危机，决定适当进行裁员，已知这家公司现有职工2m 人（60150m <<，且m 为10的整数倍），每人每年可创利100千元，据测算，在经营条件不变的前的提下，若裁员人数不超过现有人数的30%，则每裁员1人，留岗员工每人每年就能多创利1千元（即若裁员a 人，留岗员工可多创利润a 千元）；若裁员人数超过现有人数的30%，则每裁员1人，留岗员工每人每年就能多创利2千元（即若裁员a 人，留岗员工可多创利润2a 千元），为保证公司的正常运转，留岗的员工数不得少于现有员工人数的50%，为了保障被裁员工的生活，公司要付给被裁员工每人每年20千元的生活费.（1）设公司裁员人数为x ，写出公司获得的经济效益y （千元）关于x 的函数（经济效益=在职人员创利总额—被裁员工生活费）；（2）为了获得最大的经济效益，该公司应裁员多少人？20. 如图，已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>，左顶点为(4,0)A -，经过点(2,3)，过点A 作斜率为(0)k k ≠的直线l 交椭圆C 于点D ，交y 轴于点E .（1）求椭圆C 的方程；（2）已知P 为AD 的中点，(3,0)Q -，证明：对于任意的(0)k k ≠都有OP EQ ⊥恒成立；（3）若过点作直线的平行线交椭圆C 于点M ，求||||||AD AE OM +的最小值.21. 设数列{}n a 和{}n b 的项数均为m ，则将两个数列的偏差距离定义为[{},{}]n n M a b ，其中1122[{},{}]||||||n n m m M a b a b a b a b =-+-+⋅⋅⋅+-.（1）求数列1，2，7，8和数列2，3，5，6的偏差距离；（2）设A 为满足递推关系+11+=1n n na a a -的所有数列{}n a 的集合，{}nb 和{}nc 为A 中的两个元素，且项数均为m ，若12b =，13c =，{}n b 和{}n c 的偏差距离小于2020，求m 最大值；（3）记S 是所有8项数列{|18,0n n a n a ≤≤=或1}的集合，T S ⊆，且T 中任何两个元素的偏差距离大于或等于4，证明：T 中的元素个数小于或等于16.参考答案一. 填空题1. {|11}x x -<<2.3. 324. 221916x y -= 5. 2 6. 1 7. 5 8.439.427 10. 1 11. 12. 21(0,]2019二. 选择题13. B 14. B 15. C 16. D三. 解答题17.（1）12π；（2）. 18.（1）12-；（2）[2,2]26k k ππππ-+，k ∈Z . 19.（1）(100)(2)20,00.6(1002)(2)20,0.6x m x x x m y x m x x m x m +--<≤⎧=⎨+--<≤⎩；（2）30m -.20.（1）2211612x y +=；（2）证明略；（3）21.（1）6；（2）3461；（3）证明略.。

2019-2020学年上海中学高一下学期期中数学试卷(有解析)

2019-2020学年上海中学高一下学期期中数学试卷一、单选题（本大题共6小题，共18.0分）1.若sin(π+α)=√53且α∈(−π2,0)，则cos(π−α)=()A. −23B. −√53C. 23D. ±232.若sinαsinβ=1，则cos(α+β)=()A. 1B. −1C. 0D. 0或−13.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π2)的部分图象如图所示，则f(x)的解析式是()A. f(x)=2sin(2x+π3)B. f(x)=2sin(x+π3)C. f(x)=2sin(2x+π6)D. f(x)=2sin(x+π6)4.函数f(x)=cos(π6−x)的单调递减区间是()A. [2kπ+π6,2kπ+7π6]，k∈Z B. [2kπ−5π6,2kπ+π6]，k∈ZC. [2kπ+7π6,2kπ+13π6]，k∈Z D. [2kπ,2kπ+π]，k∈Z5.求满足2x(2sinx−√3)≥0，x∈(0,2π)的角α的集合()A. (0,π3) B. [π3,2π3] C. [π3,π2] D. [π2,2π3]6.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，且ctanC=√3acosB+√3bcosA，若c=√7,a=2，则b的值为()A. 3B. 1C. 2D. √2二、单空题（本大题共10小题，共30.0分）7.点P是角α的终边上的一点，且P(3,−4)，则sinα−cosα=______ ．8.函数y=3sin(π2x+3)的最小正周期为________。

9.在单位圆中，面积等于1的扇形所对的圆心角的弧度数为____．10.已知(x0,0)是函数f(x)=3sin(x+π6)图象的一个对称中心，则tan(5π+x0)=．11.已知α，β∈(0,π2)，sin(α−β)=35，cosβ=1213，则sinα=______．12.已知，则的值为_________．13.若，则的值为__________．14.在△ABC中，角A，B，C所对边长分别为a，b，c，若b2+c2=4a2，则cos A的最小值为______．15.函数y=2sin(3x+π3)在区间[−π6,π3]上的最小值为__________．16.函数y=x+5x−a在(−1,+∞)上是单调递减函数，则实数a的取值范围是____．三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）17.已知α为第三象限角，f(α)=sin(α−π2)cos(3π2+α)tan(π−α)tan(−α−π)sin(−α−π)．(1)化简f(α)；(2)若f(α)=45，求tanα18.设函数的最小正周期为．(1)若f(α2+3π8)=2425，且α∈(−π2,π2)，求tanα的值．(2)“五点法”画出函数y=f(x)在区间[0,π]上的简图．(3)y=f(x)的图象经过怎样的图象变换，可以得到y=sinx的图象．y=f(x)→ _____________ →y=sinx19.已知sinα=23，α∈(π2,π)，cosβ=−35，β∈(π,3π2)，求sin(α+β)的值．20.如图所示，在斜度一定的山坡上的一点A测得山顶上一建筑物顶端C对于山坡的斜度为15°，向山顶前进100米后到达点B，又从点B 测得斜度为45°，建筑物的高CD为50米．求此山对于地平面的倾斜角θ的余弦值．21.已知函数f(x)=2√3sin(x+π4)cos(x+π4)+sin2x+a的最大值为1．(1)求实数a的值;(2)若将f(x)的图象向左平移π6个单位，得到函数g(x)的图象，求函数g(x)在区间[0,π2]上的最小值．【答案与解析】1.答案：A解析：解：∵sin(π+α)=√53，∴sinα=−√53，且α∈(−π2,0)，∴cosα=√1−sin 2α=23，则cos(π−α)=−cosα=−23．故选：A ．已知等式利用诱导公式化简求出sinα的值，根据α的范围，利用同角三角函数间基本关系求出cosα的值，所求式子利用诱导公式化简后将cosα的值代入计算即可求出值．此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．2.答案：B解析：解：由sinαsinβ=1，得cosαcosβ=0， ∴cos(α+β)=cosαcosβ−sinαsinβ=−1．故选：B ．由sinαsinβ=1，得cosαcosβ=0，利用两角和的余弦函数公式可得答案．本题考查两角和与差的余弦公式，考查学生的运算能力，属基础题．3.答案：B解析：本题主要考查由函数y =Asin(ωx +φ)的部分图象求解析式，属于基础题．由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由f (76π)=−2结合0<φ<π2求出φ的值．解：由函数过点(2π3,0)，(7π6,−2) 可得A =2，14T =π2ω=7π6−2π3=π2则ω=1，即f (x )=2sin (x +φ)，又f(76π)=−2，即sin(76π+φ)=−1，所以76π+φ=32π+2kπ(k∈Z)，又0<φ<π2，所以φ=π3，所以函数f(x)=2sin(x+π3)．故选B．4.答案：A解析：本题考查了余弦函数的单调性，属于基础题．先根据余弦函数的单调性判断出单调递减时x−π6的范围，进而求得x的范围，求得函数的单调递减区间．解：对于函数，∵y=cosx的单调减区间为[2kπ,2kπ+π]，k∈Z，∴2kπ≤x−π6≤2kπ+π，k∈Z，解得2kπ+π6≤x≤2kπ+7π6，k∈Z，故函数f(x)的单调减区间为[2kπ+π6,2kπ+7π6]，k∈Z故选A．5.答案：B解析：解：∵满足2x(2sinx−√3)≥0，2x>0．∴sinx≥√32，∵x∈(0,2π)，∴π3≤x≤2π3，故选：B．满足2x(2sinx−√3)≥0，化为sinx≥√32，由于x∈(0,2π)，利用正弦函数的单调性即可得出．本题考查了指数函数的单调性、正弦函数的单调性，属于基础题．6.答案：A解析：本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，余弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．由正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式可得sinCtanC =√3sinC ，结合sinC ≠0，可求得tanC =√3，结合范围C ∈(0,π)，可求C ，进而根据余弦定理b 2−2b −3=0，解方程可求b 的值．解：∵ctanC =√3acosB +√3bcosA ，∴由正弦定理可得：sinCtanC =√3(sinAcosB +sinBcosA)=√3sin(A +B)=√3sinC ， ∵sinC ≠0， ∴可得tanC =√3， ∵C ∈(0,π)， ∴C =π3， ∵c =√7，a =2，∴由余弦定理c 2=a 2+b 2−2abcosC ，可得7=4+b 2−2×2×b ×12，可得b 2−2b −3=0， ∴解得b =3，或b =−1(负值舍去)．故选A ．7.答案：−73解析：解：∵|OP|=√32+(−4)2=5， ∴sinα=−45，cosα=35． ∴sinα−cosα=−45−35=−75．故答案为：−75．利用三角函数的定义即可得出．本题考查了三角函数的定义，属于基础题．8.答案：4解析：本题考查三角函数的周期公式．依题意，最小正周期为2ππ2=4，即可得到结果．解：因为y=3sin(π2x+3)，所以最小正周期为2ππ2=4，故答案为4．9.答案：2解析：本题考查了扇形的面积公式应用问题，根据扇形的面积公式，计算该扇形的圆心角弧度数即可，是基础题．解：由题意可知扇形的半径为r=1，面积为S=1，则S=12α⋅r2=12α=1，α=2，∴该扇形的圆心角α的弧度数是2．故答案为2．10.答案：−√33解析：本题主要考查正弦函数的图像及性质和正切的诱导公式及周期，属于基础题．首先根据正弦函数的图像和性质求出x0，然后利用诱导公式求正切即可．解：因为(x0,0)是函数f(x)=3sin(x+π6)图象的一个对称中心，所以x0+π6=kπ(k∈Z)，即x0=kπ−π6(k∈Z)，所以tan(5π+x0)=tanx0=tan(kπ−π6)=−tanπ6=−√33．11.答案：5665解析：解：α，β∈(0,π2)，sin(α−β)=35，cosβ=1213，可得cos(α−β)=√1−sin2(α−β)=45，sinβ=√1−cos2β=513，sinα=sin(α−β+β)=sin(α−β)cosβ+cos(α−β)sinα=35×1213+45×513=5665．故答案为：5665．利用同角三角函数基本关系式以及两角和与差的正弦函数化简求解即可．本题考查同角三角函数基本关系式以及两角和与差的三角函数，考查计算能力．12.答案：78解析：题主要考查了诱导公式，二倍角的余弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．由诱导公式，二倍角的余弦函数公式化简所求，结合已知即可计算求值．解：，，∴sin2x=cos(π2−2x)=1−2sin2(π4−x)=78．故答案为78.13.答案：解析：，则14.答案：34解析：本题考查了余弦定理和基本不等式的应用问题，是基础题．利用余弦定理和基本不等式，即可求得cos A的最小值．解：△ABC中，b2+c2=4a2，则a2=14(b2+c2)，由余弦定理得，cosA=b2+c2−a22bc=b2+c2−14(b2+c2)2bc=3(b2+c2)8bc ≥3×2bc8bc=34，当且仅当b=c时取等号，∴cosA的最小值为34．故答案为：34．15.答案：−√3解析：因为x∈[−π6,π3]，所以3x+π3∈[−π6,4π3]，所以当3x+π3=4π3时，函数y=2sin(3x+π3)有最小值−√3...16.答案：(−5,−1]解析：本题以分式函数为例，考查了函数的单调性的判断与证明，属于基础题.题中的分式函数与反比例函数有关，因此用反比例函数的图象研究比较恰当．根据题意，将题中的函数分离常数，变形为y=1+a+5x−a ，进而研究反比例函数y=a+5x在区间(0,+∞)上是一个单调减的函数，从而得出实数a的取值范围．解：函数y=x+5x−a =1+a+5x−a函数的图象可由函数y=a+5x的图象先向右平移a个单位，再向上平移1个单位而得，∵函数在(−1,+∞)上单调递减，∴{a +5>0a ≤−1，可得−5<a ≤−1，故答案为(−5,−1]．17.答案：解：(1)由f(α)=sin(α−π2)cos(3π2+α)tan(π−α)tan(−α−π)sin(−α−π)=−cosαsinα⋅(−tanα)−tanα⋅sinα=−cosα． (2)∵f(α)=45，即cosα=−45，α为第三象限角，那么：sinα=−√1−cos 2α=−35可得tanα=sinαcosα=34．解析：(1)根据诱导公式化简可得f(α)；(2)利用同角三角函数关系式即可得解．本题主要考察了同角三角函数关系式和诱导公式的应用，属于基本知识的考查．18.答案：解：(1)∵函数的最小正周期为， ∴2πω=π，∴ ω=2.可知f(x)=sin(2x −3π4) ，由f(α2+3π8)=2425得：sinα=2425， ∵−π2<α<π2， ∴cosα=725，∴tanα=247.(2)由(1)知f(x)=sin(2x −3π4)，于是有： x 0 π8 5π8π y −√22−1 0 1 0 −√22描点，连线，函数y =f(x)在区间[0,π]上的图象如下：(3)把y =f(x)=sin(2x −3π4)图象上点的横坐标变为原来的2倍，可得函数y =sin(x −3π4)的图象；再把图象向左平移3π4个单位长度，可得函数y =sinx 的图象.解析：本题主要考查正弦函数的性质，用五点法作函数y =Asin(ωx +φ)在一个周期上的简图，函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，属于中档题．(1)由周期可得：f(x)=sin(2x −3π4)，然后利用已知结合α的取值范围求解．(2)用五点法作函数y =Asin(ωx +φ)在一个周期上的简图．(3)根据函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，可得结论．19.答案：解：∵sinα=23，α∈(π2,π)，cosβ=−35，β∈(π,3π2)，∴cosα=−√1−sin 2α=−√53，sinβ=−√1−cos 2β=−45， ∴sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=23×(−35)+(−√53)×(−45)=4√5−615．解析：由已知利用同角三角函数基本关系式可求cosα，sinβ的值，进而利用两角和的正弦函数公式即可计算得解sin(α+β)的值．本题主要考查了同角三角函数基本关系式，两角和的正弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想和计算能力，属于基础题．20.答案：解：在△ABC 中，∠BAC =15°，AB =100米，∠ACB =45°−15°=30°. (3分)根据正弦定理有100sin30∘=BC sin15∘，∴BC =100sin15°sin30∘. (6分)又在△BCD 中，∵CD =50，BC =100sin15°sin30∘，∠CBD =45°，∠CDB =90°+θ，根据正弦定理有50sin45∘=100sin15°sin30∘sin(90∘+θ).(10分)解得cosθ=√3−1(12分)解析：在△ABC中，根据正弦定理求出BC，在△BCD中，推出∠CDB=90°+θ，通过正弦定理转化求解即可．本题考查正弦定理的实际应用，解三角形的方法，考查计算能力．21.答案：解：(1)∵函数f(x)=2√3sin(x+π4)cos(x+π4)+sin2x+a=√3cos2x+sin2x+a=2sin(2x+π3)+a≤2+a=1，∴a=−1；(2)将f(x)的图象向左平移π6个单位，得到函数g(x)的图象，∴g(x)=f(x+π6 )=2sin[2(x+π6)+π3]−1=2sin(2x+2π3)−1．当x∈[0,π2]时，2x+2π3∈[2π3,5π3]，故当2x+2π3=3π2时，sin (2x+2π3)=−1，函数g(x)取得最小值为−2−1=−3．解析：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，正弦函数的图像和性质，属于中档题．(1)由条件利用三角恒等变换化简函数的解析式为函数f(x)=2sin(2x+π3)+a，可得a=−1．(2)根据函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，可得g(x)=2sin(2x+2π3)−1.再根据x∈[0,π2]，利用正弦函数的图像和性质求得函数g(x)的最小值．。

2020年上海市浦东新区建平中学高一(下)期中数学试卷

期中数学试卷题号一二三总分得分一、选择题（本大题共4小题，共12.0分）1.“θ=”是“sin（x+θ）=cos x”成立的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件2.等于（）A. cos2B. -cos2C. cosD. -cos3.△ABC中，三边长分别为、、，且x2+y2=z2，则△ABC的形状为（）A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 无法判断4.设函数f（x）=a x+b x-c x，其中c＞a＞0，a＞b＞0，若a、b、c是△ABC的三条边长，则下列结论中正确的是（）①存在x∈R+，使a x、b x、c x不能构成一个三角形的三条边②对一切x∈（-∞，1），都有f（x）＞0③若△ABC为钝角三角形，则存在x∈（1，2），使f（x）=0．A. ①②B. ①③C. ②③D. ①②③二、填空题（本大题共12小题，共36.0分）5.幂函数f（x）的图象过点（3，），则f（x）的解析式是______．6.若角α的终边上一点P（-3a，4a）（a≠0），则cosα=______．7.若扇形的圆心角为，则扇形的内切圆的面积与形面积之比为______．8.已知点P（tanα，cosα）在第三象限，则角α的终边在第______象限．9.已知，且α在第二象限角，则tanα=______．10.已知，α在第二象限，则=______．11.求值：=______．12.已知sin（2x+）=，x∈[，]，则cos2x=______．13.在△ABC中，sin2B+sin A sin C≥sin2A+sin2C，则角B的最小值是______．14.△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知3a cos C=2c cos A，tan A=，则B=______．15.已知函数f（x）=（）x，g（x）=x，记函数h（x）=，则函数F（x）=h（x）+x-5所有零点的和为______．16.如果满足B=45°，AC=10，BC=k的△ABC恰有一个，则实数k的取值范围是______．三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）17.已知α为第二象限角，化简．18.已知cosα=，cos（α-β）=，且0＜β＜α＜．（1）求tan2α；（2）求cos2β．19.如图，C、D是两个小区所在地，C、D到一条公路AB的垂直距离分别为CA=1km，DB=2km，AB两端之间的距离为6km．（1）如图1，某移动公司将在AB之间找一点P，在P处建造一个信号塔，使得P 对A、C的张角与P对B、D的张角相等，试确定点P的位置．（2）如图2，环保部门将在AB之间找一点Q，在Q处建造一个垃圾处理厂，使得Q对C、D所张角最大，试确定点Q的位置．20.若函数f（x）定义域为R，且对任意实数x1，x2，有f（x1+x2）＜f（x1）+f（x2），则称f（x）为“V形函数”，若函数g（x）定义域为R，函数g（x）＞0对任意x∈R 恒成立，且对任意实数x1，x2，有lg[g（x1+x2）]＜lg[g（x1）]+lg[g（x2）]，则称为“对数V形函数”．（1）试判断函数f（x）=x2是否为“V形函数”，并说明理由；（2）若是“对数V形函数”，求实数a的取值范围；（3）若f（x）是“V形函数”，且满足对任意x∈R，有f（x）＞2，问f（x）是否为“对数V形函数”？证明你的结论．21.（1）若直角三角形两直角边长之和为12，求其周长p的最小值；（2）若三角形有一个内角为，周长为定值p，求面积S的最大值；（3）为了研究边长a，b，c满足9≥a≥8≥b≥4≥c≥3的三角形其面积是否存在最大值，现有解法如下：16S2=（a+b+c）（a+b-c）（a-b+c）（-a+b+c）=[（a+b）2-c2][c2-（a-b）2]=-c4+2（a2+b2）c2-（a2-b2）2=-[c2-（a2+b2）]2+4a2b2而-[c2-（a2+b2）]2≤0，a2≤81，b2≤64，则S≤36，但是，其中等号成立的条件是c2=a2+b2，a=9，b=8，于是c2=145与3≤c≤4矛盾，所以，此三角形的面积不存在最大值．以上解答是否正确？若不正确，请你给出正确的答案．（注：16S2=（a+b+c）（a+b-c）（a-b+c）（-a+b+c）称为三角形面积的海伦公式，它已经被证明是正确的）答案和解析1.【答案】A【解析】解：若sin（x+θ）=cos x，则θ=+2kπ，即k∈Z，当k=0时，θ=，则“θ=”是“sin（x+θ）=cos x”成立的充分不必要条件，故选：A根据诱导公式以及充分条件和必要条件的定义即可得到结论．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据诱导公式是解决本题的关键．2.【答案】B【解析】解：==|cos2|=-cos2．故选：B．直接利用二倍角公式求解即可．本题考查二倍角的余弦函数的应用，三角函数值的符号，基本知识的考查．3.【答案】A【解析】【分析】由已知可得为三角形最大边，设所对的最大角为θ，利用余弦定理可求cosθ＞0，可得θ为锐角，即可得解．本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．【解答】解：由已知可得为三角形最大边，设所对的最大角为θ，∵由已知可得：x2+y2=z2，可得x+y=，∴由余弦定理可得：cosθ==＞0，∴θ为锐角．故选：A．4.【答案】D【解析】【分析】在①中，令a=2，b=3，c=4，得①正确；在②中，由a，b，c是△ABC的三条边长，得到0＜＜1，0＜＜1，当x∈（-∞，1）时，f（x）=a x+b x-c x=cx[（）x+（）x-1]＞0；在③中，推导出f（1）=a+b-c＞0，f（2）=a2+b2-c2＜0，根据根的存在性定理可知在区间（1，2）上存在零点，即x∈（1，2），使f（x）=0．本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意三角形性质的合理运用．【解答】在①中，令a=2，b=3，c=4，则a．b．c可以构成三角形，∵c＞a＞0，c＞b＞0，∴0＜＜1，0＜＜1，当x∈（-∞，1）时，f（x）=a x+b x-c x=cx[（）x+（）x-1]＞cx（-1）=cx•＞0，故②正确．在③中，∵c＞a＞0，c＞b＞0，若△ABC为钝角三角形，∴a2+b2-c2＜0，∵f（1）=a+b-c＞0，f（2）=a2+b2-c2＜0，∴根据根的存在性定理可知在区间（1，2）上存在零点，即x∈（1，2），使f（x）=0，故③正确．故选：D．5.【答案】【解析】【分析】本题的考点是幂函数的解析式，考查用待定系数法求已知函数类型的函数的解析式，待定系数法求解析式是求函数解析式的常用方法，主要用求函数类型已知的函数的解析式，属于基础题．幂函数f（x）的图象过点（3，），故可根据幂函数的定义用待定系数法设出函数的解析式，代入所给点的坐标求参数，由此可得函数的解析式．【解答】解：由题意设f（x）=x a，∵幂函数f（x）的图象过点（3，），∴f（3）=3a=，∴a=，∴f（x）=，故答案为.6.【答案】±【解析】解：∵角α的终边上一点P（-3a，4a）（a≠0），∴x=-3a，y=4a，当a＞0时，r=|OP|=5a，则cosα==-，当a＜0时，r=|OP|=-5a，则cosα==，故答案为：．利用任意角的三角函数的定义，求得cosα的值．本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．7.【答案】2：3【解析】解：∵扇形的圆心角是，设其半径为R，∵扇形的内切圆的圆心在圆心角的角平分线上，∴几何知识，r+2r=R，所以内切圆的半径为，∴S圆形=，∴扇形的内切圆面积与扇形的面积之比为：=2：3．故答案为：2：3．确定扇形的内切圆的半径，分别计算扇形的内切圆面积与扇形的面积，即可得到结论．本题考查扇形的面积公式，考查学生的计算能力，确定扇形的内切圆的半径是关键，属于基础题．8.【答案】二【解析】解：因为点P（tanα，cosα）在第三象限，所以，tanα＜0，cosα＜0，则角α的终边在第二象限，故答案为：二．由点P（tanα，cosα）在第三象限，得到tanα＜0，cosα＜0，从而得到α所在的象限．本题考查第三象限内的点的坐标的符号，以及三角函数在各个象限内的符号．9.【答案】【解析】解：∵=sinα，且α在第二象限角，∴cosα=-=-，∴tanα==．故答案为：．由已知利用诱导公式可求sinα，进而利用同角三角函数基本关系式可求cosα的值，进而可求tanα的值．本题主要考查了诱导公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．10.【答案】3【解析】解：∵已知，α在第二象限，∴cosα=-=-，∴===3，故答案为：3．利用同角三角函数的基本关系，半角公式，求得tan的值．本题主要考查同角三角函数的基本关系，半角公式的应用，属于基础题．11.【答案】【解析】解：∵tan60°=tan[θ+（60°-θ）]==，∴=-tanθtan（60°-θ）+tanθtan（60°-θ）=，故答案为：．由特殊角的三角函数值，两角和的正切函数公式可得tanθ+tan（60°-θ）=-tanθtan （60°-θ），化简所求即可得解．本题主要考查了特殊角的三角函数值，两角和的正切函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．12.【答案】【解析】解：∵x∈[，]，∴2x+∈[，]．∵sin（2x+）=，∴cos（2x+）=-，∴cos2x=cos[（2x+）-]=cos（2x+）cos+sin（2x+）sin=-×+=，故答案为：．由条件利用同角三角函数的基本关系求得cos（2x+），再根据cos2x=cos[（2x+）-]，利用两角差的余弦公式求得结果．本题主要考查同角三角函数的基本关系的应用，两角和差的余弦公式的应用，属于中档题．13.【答案】【解析】解：∵sin2B+sin A sin C≥sin2A+sin2C，∴由正弦定理，可得：b2+ac≥a2+c2，∴a2+c2-b2≤ac，∴cos B=≤=，∵B∈（0，π），y=cos B在（0，π）是单调递减的，∴角B的最小值是．故答案为：．由已知即正弦定理可得a2+c2-b2≤ac，利用余弦定理可求cos B≤，结合B∈（0，π）及余弦函数的单调性即可求解．本题主要考查了正弦定理，余弦定理及余弦函数的单调性在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．14.【答案】【解析】解：∵3a cos C=2c cos A，由正弦定理可得3sin A cos C=2sin C cos A，∴3tan A=2tan C，∵tan A=，∴2tan C=3×=1，解得tan C=．∴tan B=tan[π-（A+C）]=-tan（A+C）=-=-=-1，∵B∈（0，π），∴B=．故答案为：．由3a cos C=2c cos A，利用正弦定理可得3sin A cos C=2sin C cos A，再利用同角的三角函数基本关系式可得tan C，利用tan B=tan[π-（A+B）]=-tan（A+B）即可得出．本题考查了正弦定理、同角的三角函数基本关系式、两角和差的正切公式、诱导公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．15.【答案】5【解析】解：∵函数f（x）=（）x，g（x）=x，关于直线y=x对称，记函数h（x）=，∴可知h（x）关于直线y=x对称．∵y=x与y=5-x，交点为A（2.5，2.5）∴y=5-x，与函数h（x）交点关于A对称，x1+x2=2×=5∴函数F（x）=h（x）+x-5，的零点．设h（x）与y=5-x交点问题，可以解决函数F（x）=h（x）+x-5零点问题．故函数F（x）=h（x）+x-5所有零点的和为5．故答案为：5．运用函数f（x）=（）x与g（x）=x关于直线y=x对称，可知h（x）关于直线y=x对称．利用y=x与y=5-x的交点，结合图求解即可．本题考查了函数的交点，解决复杂函数的零点问题，反函数的对称问题，16.【答案】【解析】【分析】本题主要考查解三角形的实际应用判断三角形个数的问题，是中档题．利用三角形有一解的条件，建立不等式求出k的取值范围．【解答】解：由C点向底AB作高，垂足为D，△ABC中，B=45°，AC=10，BC=k，∴CD=BC sin45°=k，当AC=CD=k=10，即k=10时，△ABC只有一个；当AC≥BC，即10≥k时，∴0＜k≤10时，△ABC只有一个；∴满足条件的k的取值范围是0＜k≤10或k=10．故答案为：．17.【答案】解：∵α为第二象限角，∴原式=．【解析】本题主要考查应用诱导公式、同角三角函数的基本关系的应用，属于基础题．应用诱导公式、同角三角函数的基本关系，求得要求式子的值．18.【答案】解：（1）∵0＜α＜，cosα=，∴sinα==，∴tanα==4∴tan2α==-；（2）∵0＜β＜α＜，∴0＜α-β＜，又∵cos（α-β）=，∴sin（α-β）==，∴cosβ=cos[α-（α-β）]=cosαcos（α-β）+sinαsin（α-β）==∴cos2β=2cos2β-1=【解析】（1）由同角三角函数基本关系可得tanα，代入二倍角的正切公式可得；（2）同理可得sin（α-β），可得cosβ=cos[α-（α-β）]=cosαcos（α-β）+sinαsin（α-β），代入数据可得其值，由二倍角的余弦可得cos2β本题考查两角和与差的三角函数公式，涉及二倍角公式，属基础题．19.【答案】解：（1）设PA=x，∠CPA=α，∠DPB=β．依题意有，．由tanα=tanβ，得，解得x=2，故点P应选在距A点2km处；（2）设PA=x，∠CQA=α，∠DQB=β．依题意有，，tan∠CQD=tan[π-（α+β）]=-tan（α+β）=，令t=x+6，由0＜x＜6，得6＜t＜12，则=，∵，∴，当时，所张的角为钝角，故点Q应选在距A 点km处．【解析】（1）设出PA的长度x，把∠CPA，∠DPB的正切值用含x的代数式表示，由正切值相等求得x的值，即可确定P点的位置；（2）设出PA的长度x，把∠CQA与∠DQB的正切值用含有x的代数式表示，最后把∠CQD 的正切值用含有x的代数式表示，换元后再利用基本不等式求最值，最后得到使Q对C、D所张角最大时的x值，即可确定点Q的位置．本题考查解三角形的实际应用，考查了利用基本不等式求最值，解答的关键是把实际问题转化为数学问题，是中档题．20.【答案】解：（1）∵函数f（x）=x2，∴，，当x1、x2同号时，，不满足f（x1+x2）＜f（x1）+f（x2），∴函数f（x）=x2不是“V形函数”；（2）若是“对数V形函数”，则恒成立，∴a≥0，根据题意，g（x1+x2）＜g（x1）•g（x2）恒成立，即，去括号整理得，∴a≥1；（3）若f（x）是“V形函数”，且满足对任意x∈R，有f（x）＞2，则f（x1+x2）＜f（x1）+f（x2），∵f（x1）＞2，∴f（x1）-1＞1，同理f（x2）-1＞1，∴[f（x1）-1][f（x2）-1]＞1，去括号整理得f（x1）f（x2）＞f（x1）+f（x2），∴f（x1+x2）＜f（x1）f（x2），即lg[f（x1+x2）]＜lg[f（x1）]+lg[f（x2）]，是“对数V形函数”．【解析】（1）根据“V形函数”的定义，结合函数f（x）=x2，判断可得函数f（x）=x2不是“V形函数”（2）若是“对数V形函数”，则恒成立，结合g（x1+x2）＜g（x1）•g（x2）恒成立，可得实数a的取值范围；（3）若f（x）是“V形函数”，且满足对任意x∈R，有f（x）＞2，则f（x1+x2）＜f（x1）+f（x2），即lg[f（x1+x2）]＜lg[f（x1）]+lg[f（x2）]，是“对数V形函数”本题考查的知识点是函数恒成立问题，正确理解新定义“V形函数”，是解答的关键．21.【答案】解：（1）设直角三角形两直角边长为x、12-x，斜边长为y ，则，∴两直角边长为6时，周长p 的最小值为．（2）设三角形中边长为x、y 的两边所夹的角为，则周长第11页，共12页p =，∴，即．又S =，∴为．（3）不正确．16S2=（a+b+c）（a+b-c）（a-b+c）（-a+b+c）=[（b+c）2-a2][a2-（b-c）2]=-a4+2（b2+c2）a2-（b2-c2）2 =-[a2-（b2+c2）]2+4b2c2而-[a2-（b2+c2）]2≤0，b2≤64，c2≤16，则S≤16，其中等号成立的条件是a2=b2+c2，b=8，c=4，则．∴当三角形的边长为的直角三角形时，其面积取得最大值16．（另解：）【解析】（1）设直角三角形两直角边长为x、12-x，斜边长为y，由勾股定理和二次函数的性质求出y的最小值，即得周长p的最小值．（2）根据周长p =，利用基本不等式求得，再由S ==，求得面积S的最大值．（3）不正确，由海伦公式化简可得16S2=-[a2-（b2+c2）]2+4b2c2 ，而-[a2-（b2+c2）]2≤0，b2≤64，c2≤16，则S≤16，故当三角形的边长为的直角三角形时，其面积取得最大值16．另解：．本题考查基本不等式，反余弦函数的定义，海伦公式的应用，三角形中的几何计算，属于中档题．第12页，共12页。

2020-2021学年上海市浦东新区建平中学高一(下)期中数学复习卷(有解析)

2020-2021学年上海市浦东新区建平中学高一(下)期中数学复习卷一、单选题（本大题共4小题，共12.0分）1.在△ABC中，“cosA+sinA=cosB+sinB”是“∠C=90°”的()A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件2.已知sin(π2+θ)=−12，则2sin2θ2−1()A. 12B. −12C. √32D. ±√323.在△ABC中，已知三角形的三边长分别为3、5、7，则最大角为()．A. 60∘B. 75∘C. 120∘D. 150∘4.已知函数f(x)=a x(0<a<1)，给出下列命题：①若x>0，则0<f(x)<1；②若x<1，则f(x)>a；③若f(x1)>f(x2)，则x1<x2.其中正确的命题有()A. 3个B. 2个C. 1个D. 0个二、单空题（本大题共12小题，共36.0分）5.若幂函数f(x)的图象过点(2,√22)，则f(9)=______ ．6.角α的终边上一点P(7,24)，则1sinα=______ ．7.已知扇形的圆心角为π3，所对的弧长为2，那么扇形的面积是_________．8.若θ是第二象限角，cosθ2−sinθ2=√1−sinθ，则角θ2的终边所在的象限是______ ．9.已知sin(π+α)=−35，且α为第二象限角，则tanα=_______．10.若cosα=45，且α∈(0,π)，则tanα2=______．11.tan19°+tan41°+√3tan19°tan41°=______ ．12.若f(x)=sin(2x+π6)−cos2x，则f(x)在[0,π2]上的最大值与最小值之和为______ ．13.ΔABC中，若sin2A−sin2B+sin2C=sinAsinC，那么角B=___________．14.已知△ABC的三个内角∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，且cosAcosB =−ab+2c，则角A的大小为______ ．15.若x1满足3x+3x−1=7，x2满足3x+3log3(x−2)=7，则x1+x2=______ ．16. 如图，△ABC 中，AB =AC =2，BC =2√3，点D 在BC 边上，∠ADC =45°，则AD 的长度等于____．三、解答题（本大题共5小题，共60.0分） 17. 已知函数f(α)=cos(π2+α)cos(2π+α)sin(−α+32π)sin(α+7π2)sin(−3π−α)．(1)化简f(α)；(2)若α是第三象限角，且tanα=34，求f(2α)．18. 已知π2<β<α<3π4，且cos(α−β)=1213，sin(α+β)=−35，求：cos2α的值．19. 如图，已知A 、B 、C 是一条直路上的三点，AB 与BC 各等于1千米，从三点分别遥望塔M ，在A 处看见塔在北偏东45方向，在B 处看见塔在正东方向，在C 处看见塔在南偏东60°方向，求塔到直路ABC 的最短距离．20.若函数f(x)满足：对于任意正数s,t，都有f(s)>0,f(t)>0，且f(s)+f(t)<f(s+t)，则称函数f(x)为“L函数”．(1)试判断函数f1(x)=x2与f2(x)=x12是否是“L函数”；(2)若函数g(x)=3x−1+a(3−x−1)为“L函数”，求实数a的取值范围；(3)若函数f(x)为“L函数”，且f(1)=1，求证：对任意x∈(2k−1,2k)(k∈N∗)，都有f(x)−f(1x )> x2−2x．21.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且sinAa +sinBb=cosCc．(1)求tan C的值；(2)若a2+b2−c2=8，求△ABC的面积．【答案与解析】1.答案：B解析：解：若C=90°，则A+B=90°，则B=90°−A，，即必要性成立．若A=B=30°，满足cosA+sinA=cosB+sinB，但C=90°不成立，即充分性不成立，故“cosA+sinA=cosB+sinB”是“∠C=90°”的必要不充分条件，故选：B．根据三角函数的诱导公式以及充分条件和必要条件的定义即可得到结论．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据三角函数的诱导公式是解决本题的关键．2.答案：A解析：解：sin(π2+θ)=−12，可得：cosθ=−12．则2sin2θ2−1=−cosθ=12．故选：A．利用诱导公式以及二倍角公式化简求解即可．本题考查二倍角公式以及诱导公式的应用，考查计算能力．3.答案：C解析：本题考查余弦定理，设三角形最大角为α，利用余弦定理表示出cosα，把三边长代入求出cosα的值，即可确定出α的度数．解：∵三角形的三边长分别为3，5，7，且最大角为α，∴cosα=32+52−722×3×5=−12，则α=120°．故选C．4.答案：A解析：因为函数f(x)=a x(0<a<1)，所以函数单调递减，①若x>0，则0<f(x)<1正确；②若x<1，则f(x)>a正确；③若f(x1)>f(x2)，则x1<x2正确，故选A．5.答案：13解析：本题考察了幂函数的概念、解析式，熟练掌握幂函数的定义是解题的关键．属于基础题．利用幂函数的定义，用待定系数法设出f(x)的解析式，即可求出f(x)，将x=9代入即可得．解：设幂函数f(x)=xα，∵幂函数y=f(x)的图象过点(2,√22)，∴√22=2α，解得α=−12．∴f(x)=x−12，∴f(9)=9−12=13，故答案为13．6.答案：2524解析：解：∵角α的终边上一点P(7,24)，∴x=7、y=24、r=|OP|=25，∴sinα=yr =2425，∴1sinα=2524，故答案为2524．由条件利用任意角的三角函数的定义求出sinα=yr 的值，可得1sinα的值．本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．7.答案：6π解析：本题考查扇形的面积、弧长公式，考查学生的计算能力，比较基础．利用扇形的圆心角为π3，弧长为2，求出扇形的半径，再求扇形的面积．解：∵扇形的圆心角α为π3，弧长l为2，∴扇形的半径r=lα=6π，∴扇形的面积S=12αr2=12×π3×(6π)2=6π．故答案为6π．8.答案：第三象限解析：解：∵√1−sinθ=√(sinθ2−cosθ2)2=|sinθ2−cosθ2|=cosθ2−sinθ2．∴sinθ2<cosθ2．∵θ是第二象限角，∴π2+2kπ<θ<π+2kπ，则π4+kπ<θ2<π2+kπ,k∈Z．综上，5π4+2kπ<θ2<3π2+2kπ,k∈Z．则角θ2的终边所在的象限是第三象限．故答案为：第三象限．化根式内部的代数式为完全平方式，由开方可知sinθ2<cosθ2，结合θ是第二象限角求出θ2的范围，则答案可求．本题考查了三角函数的符号，关键是把根式内部的代数式开方，是基础题．9.答案：−34解析：本题考查同角三角函数基本关系的应用，属于基础题目.解题关键在于判断三角函数在各象限的符号，属于基础题．先求出cosα=−45，再利用tanα=sinαcosα=35−45=−34即可求解．解：sin(π+α)=−35，则sin α=35，所以cos2α=1−sin2α=1625，因为α为第二象限角，所以，所以cosα=−45，所以tanα=sinαcosα=35−45=−34．故答案为−34．10.答案：13解析：解：∵cosα=45，且α∈(0,π)，∴sinα=35，则tanα2=sinα1+cosα=351+45=39=13，故答案为：13．根据半角的正切公式进行求解即可．本题主要考查半角的正切公式的应用，比较基础．11.答案：√3解析：由tan60°=tan(19°+41°)=√3，利用两角和与差的正切函数公式化简，变形后代入所求式子中化简即可求出值．本题考查两角和与差的正切函数公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握公式是解本题的关键，属中档题．解：∵tan60°=tan(19°+41°)=tan19°+tan41°1−tan19°tan41°=√3，∴tan19°+tan41°=√3(1−tan19°tan41°)，∴tan19°+tan41°+√3tan19°tan41°=√3(1−tan19°tan41°)+√3tan19°tan41°=√3．故答案为：√3．12.答案：12解析：解：∵f(x)=sin(2x+π6)−cos2x=√32sin2x+12cos2x−cos2x=√32sin2x−12cos2x=sin(2x−π6).x∈[0,π2]，可得2x−π6∈[−π6,5π6]，sin(2x−π6)∈[−12,1]，∴函数的最大值与最小值之和为1−12=12，故答案为：12．利用两角和差的正弦公式化简函数的解析式为f(x)sin(2x−π6)，再根据x∈[0,π2]，利用正弦函数的定义域和值域求得函数的最值，从而求得f(x)在[0,π2]上的最大值与最小值之和．本题主要考查两角和差的正弦公式的应用，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．13.答案：2π3解析：本题考查利用正余弦定理进行边角的互化，从而解的本题。