向量空间优秀课件

反之，对∀α ∈ L(α1, α2 ,L , αr )，∃数 l1, l2 ,L , lr ,使 α = k1α1 + k2α2 + L + kr αr , 而 α1, α2 ,L , αr 是V 的基, ∴α ∈V ⇒ L(α1, α2 ,L , αr ) ⊂ V . 故V = L(α1, α2 ,L , αr ) 证毕 5. dim V ≤ n； 向量线性相关, 证明 QV中任意n + 1 证毕 ∴V 秩 ≤ n ⇒ dim V ≤ n.
规定：只含零向量的向量空间 ， 规定：只含零向量的向量空间V，dimV＝0. ＝ 注意： 注意：向量空间的维数与向量的维数是两个不同的概念 向量空间维数: 其基所含的向量个数； 向量空间维数: 其基所含的向量个数； 此向量所含的坐标个数； 向 量 维 数：此向量所含的坐标个数； 确定V 的基的一般方法： 确定 的基的一般方法： 先通过观察找出V的一组向量 的一组向量， 先通过观察找出 的一组向量， 并证明其线性无关，再验证 中任一向量都可由该向量 并证明其线性无关，再验证V中任一向量都可由该向量 组线性表示，这组向量即为 的一组基 的一组基。 组线性表示，这组向量即为V的一组基。
§4.4
向量空间
三维向量空间R3中，向量之间的关系－－线性结构: (1) ∀α, β ∈ R3 ⇒ α + β ∈ R3 对加法运算封闭 3 , ∀k ∈ R ⇒ kα ∈ R3 对数乘运算封闭 (2) ∀α ∈ R
加法与数乘合称线性运算， 加法与数乘合称线性运算，三维向量空间对线性运算 封闭. 封闭.
y
维向量空间， 命题 设V 是由 n 维向量构成的 r 维向量空间，则 1. V 的任意 的任意r+1个向量必定线性相关. 个向量必定线性相关. 个向量必定线性相关 证明 设α1, α2 ,L , αr 是V 的一个基, 则对任意β1, β2 ,L , βr＋1 ∈V , ∴每个β j 可由α1, α2 ,L , αr 线性表示 ∴向量组β1, β2 ,L , βr＋1的秩 ≤向量组α1, α2 ,L , αr的秩 = r.
基(Ⅱ)：e1 = (0, 1, 0.5)，e2 = (0, 0.5, 1) e1, e2 线性无关 ∀x = ( 0, x , x ) , 2 3 有 x = 4 x2 − 2 x3 e1 + − 2 x2 + 4 x3 e2 3 3 3 3
(
) (
e1
ε2
)
z
ε3 e2
V1
x
0
y
x
(3) V2 = { x = (1, x2 ,L , xn ) | x j ∈ R, j = 2,L , n 特别 : V2 = { x = (1, x2 , x3 ) | x j ∈ R, j = 2, 3
z
V2
}
}
不是向量空间。 不是向量空间。 是Ox 中的平面, 是Oxyz中的平面,
不通过坐标原点。 标原点。
3. V中任意 个线性无关向量都可作为 的一个基. 中任意r个线性无关向量都可作为 的一个基. 中任意 个线性无关向量都可作为V的一个基 证明 设β1, β2 ,L , βr 是V 中任一组线性无关向量，
由命题1，对∀α ∈V , α, β1, β2 ,L , βr 线性相关, ∴α可由β1, β2 ,L , βr 线性表示 ⇒ β1, β2 ,L , βr 是V 的基. 证毕
此 为 O xyz中 的 xoy 平 面 上 的 向 量 全 体 . z
ε2
L1
ε1
0
y
x
(2)设α1 , α2 ∈ R3 ,且线性无关,L(α1 , α2 )为由原点O, α1 , α2决定的平面. z
z
α2
L2
α
α1
0
0
y
y
x x
(3)设α ∈ R3且α ≠ 0, L ( α ) 为过原点O, 方向为α的直线. (4) R3 = L ( ε1 , ε2 , ε3 ) .
R1
0
x
X
β
0
y
z
α
β
α
0
x
x
y
(2) V1 = { x = ( 0, x2,L, xn ) | x j ∈ R, j = 2,L, n
R2
R3
特别： 特别：V1＝ ( 0, x2, x3 ) x2, x3 ∈R
z
V1
{
中的yoz平面。 yoz平面 } 是Oxyz 中的yoz平面。
是向量空间。 } 是向量空间。
对两个n维向量集合 对两个 维向量集合V1与V2 , 若 维向量集合 (1) V1 ⊂ , (2) V1 , V2都 是 向 量 空 间 ， 则 称 V1是 V2的 子 空 间 . n 例 (1)设 m < n, αi ∈ R（ i = 1, 2,L , m）,则 定义4.12 定义
L ( α1 , α2 ,L ,α m ) ⊂ R n是 R n 的子空间； (2)V1＝（0, x2 ,L , xn）x j ∈ R, j = 2,L , n} ⊂ R n | {
{ x = ( x1, x2 ,L, xn ) | x j ∈ R, j = 1, 2,L, n} 是向量空间.
每个 x ∈ R1 是实数轴上的向量；
特别：R1 是实数集,
R2 是实数对集,每个 x ∈ R2 是 XOY 平面上的向量； R3 是三元有序实数组的集, 每个 x ∈ R3 是 O − XYZ 空间中的向量.
是 R n的子空间； (3)设 α1 , α2 ∈ R 3，且 α1 , α2线性无关 ⇒ L (α1 )是 L (α1 , α2 )的子空间，
L (α1 , α2 )是 R 3的子空间.
命题 (例4.11) 例 设向量组 α1 , α2 ,L , αm 和向量组 β1 , β2 ,L , βs 等价. V1 L(α1 , α2 ,L , αm ), V2 L( β1 , β2 ,L , βs ) 若 则 V1 = V2 等价向量组生成相同的向量空间. 即：等价向量组生成相同的向量空间 证明 欲证,对 ∀α ∈V1 ,有 α ∈V2 . Q α ∈V1，∴ α可由 α1 , α2 ,L , α m 线性表示.
命题 若V是向量空间，则V 必含有零向量. 是向量空间， 必含有零向量 是向量空间 含零向量是 为向量空间的必要条件 必要条件. 即 V 含零向量是 V 为向量空间的必要条件 证明 是向量空间， 设V是向量空间，所以 是向量空间
任取 α ∈V，∈ R 0
例 (1) R n
⇒ 0 α = 0 ∈V .
∴ β1, β2 ,L , βr＋1线性相关.
证毕
2. V 的 基 α1 , α 2 , L , α r 是 向 量 组 V 的 一 个 极 大 无 关 组 ， 从 而 dim V = V 秩 .
证明 Q 基向量 α1, α2 ,L , αr 线性无关， 由命题1,V 中r + 1个向量线性相关， ∴由极大无关组定义,α1, α2 ,L , αr 是V 的一个极大无关组.
又 α1 , α2 ,L , α m 可由 β1 , β2 ,L , β s 线性表示， ∴ α可由 β1 , β2 ,L , β s 线性表示 ⇒ α ∈V2 ⇒ V1 ⊂ V2 . 证毕 同理可证 V2 ⊂ V1. ∴V1 = V2 .
有 必 要 寻 求 L α 1 , α 2 , L , α m） 的 最 小 生 成 ： （ 即 在 α 1 , α 2 , L , α m 中 ， 生 成 L的 最 少 向 量 . 根据向量组与极大无关组等价 ⇒
x
1
0
y
( 4 ) V3 = { x = ( 0, L , 0 ) } 是 向 量 空 间 . }是
例1 由 n维向量 α1 , α2 ,L , α m ( m ≥ 1)所有可能的线性 组合生成的向量集合 V = { x = k1α1 + k2 α2 + L + k m α m | k j ∈ R , j = 1, 2, L , m}
是向 量空间。
证明 Q m ≥ 1, ∴ α1 ∈V , 即 V 非空. (1)对 ∀α , β ∈V , ∃k j ∈ R , l j ∈ R , j = 1, 2,L , m, 使 α = k1α1 + k2α2 + L + k m α m 加法封闭 β = l1α1 + l2α2 + L + lm α m ⇒ α + β = ( k1 + l1 )α1 + ( k2 + l2 )α2 + L + ( k m + lm )α m ∈V
4. (例4.12) V 可由基α1, α2 ,L , αr 所生成，即 V = L(α1, α2 ,L , αr ). Qα1, α2 ,L , αr 是V 的基， 证明 ∴∀α ∈V , ∃数l1, l2 ,L , lr ,使 α = l1α1 + l2α2 + L + lr αr , ∴α ∈ L(α1, α2 ,L , αr ) ⇒ V ⊂ L(α1, α2 ,L , αr ).
6. 当V1是V2子空间时， V1 ≤ dim V2 . dim 证明 设 dim V1 = r 1, dim V2 = r2 , 且 V1基：α1, α2 ,L , αr 1 ; V2基：β1, β2 ,L , βr2
例 （1）向量空间R n , 取 ε1 = (1, 0, 0,L , 0)，ε2 = (0,1, 0,L , 0),L , εn = (0, 0,L 0, 1) ① ε1 , ε2 ,L , εn ∈ R n 线性无关 Q ② ∀x = ( x1 , x2 ,L , xn ) ∈ R n ⇒ x = x1ε1 + x2ε2 + L + xn εn ∴ ε1 , ε2 ,L , εn 是 R n 的基，且 dim R n = n 称 R n 为 n 维向量空间。