职高数学教案 第二册

§6．1 数列的概念【教学目标】知识目标：（1）了解数列的有关概念；（2）掌握数列的通项（一般项）和通项公式．能力目标：通过实例引出数列的定义,培养学生的观察能力和归纳能力．【教学重点】利用数列的通项公式写出数列中的任意一项并且能判断一个数是否为数列中的一项．【教学难点】根据数列的前若干项写出它的一个通项公式．【教学设计】通过几个实例讲解数列及其有关概念：项、首项、项数、有穷数列和无穷数列．讲解数列的通项（一般项）和通项公式．从几个具体实例入手,引出数列的定义.数列是按照一定次序排成的一列数．学生往往不易理解什么是“一定次序”．实际上，不论能否表述出来，只要写出来，就等于给出了“次序”，比如我们随便写出的两列数：2，1，15，3，243，23与1，15，23，2，243，3，就都是按照“一定次序”排成的一列数，因此它们就都是数列，但它们的排列“次序”不一样，因此是不同的数列．【教学过程】*揭示课题6．1 数列的概念．*创设情境兴趣导入将正整数从小到大排成一列数为1，2，3，4，5，…．(1 )2,2,2,2,2,．(2 )将2的正整数指数幂从小到大排成一列数为2345当n从小到大依次取正整数时，cosπn的值排成一列数为 -1，1，-1，1，…．(3 )取无理数π的近似值（四舍五入法），依照有效数字的个数，排成一列数为3，3.1，3.14，3.141，3.1416，…．(4)*动脑思考探索新知【新知识】按照一定的次序排成的一列数叫做数列．数列中的每一个数叫做数列的项．从开始的项起，按照自左至右的排序，各项按照其位置依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，第3项，…，第n 项，…，其中反映各项在数列中位置的数字1，2，3，…，n，分别叫做对应的项的项数．只有有限项的数列叫做有穷数列，有无限多项的数列叫做无穷数列．【小提示】数列的“项”与这一项的“项数”是两个不同的概念．如数列（2）中，第3项为32，这一项的项数为3.【想一想】上面的4个数列中，哪些是有穷数列,哪些是无穷数列?【新知识】由于从数列的第一项开始，各项的项数依次与正整数相对应，所以无穷数列的一般形式可以写作123,,,,n a a a a ，．()n ∈N简记作{n a }．其中，下角码中的数为项数，1a 表示第1项，2a 表示第2项，…．当n 由小至大依次取正整数值时，n a 依次可以表示数列中的各项，因此，通常把第n 项n a 叫做数列{n a }的通项或一般项． *运用知识 强化练习1.说出生活中的一个数列实例．2.数列“1，2，3，4，5”与数列“5 ，4， 3，2，1 ”是否为同一个数列？3.设数列{}n a 为“-5,-3,-1,1,3, 5，…” ，指出其中3a 、6a 各是什么数？*创设情境 兴趣导入【观察】6.1.1中的数列（1）中，各项是从小到大依次排列出的正整数． 11a =，22a =，33a =，…， 可以看到，每一项与这项的项数恰好相同．这个规律可以用 *()n a n n =∈N 表示．利用这个规律，可以方便地写出数列中的任意一项，如1111a =，2020a =．6.1.1中的数列（2）中，各项是从小到大顺次排列出的2的正整数指数幂．12a =，222a =，332a =，…，可以看到，各项的底都是2，每一项的指数恰好是这项的项数．这个规律可以用 *2()n n a n =∈N 表示，利用这个规律，可以方便地写出数列中的任意一项，如11112a =，20202a =．*动脑思考 探索新知【新知识】一个数列的第n 项n a ，如果能够用关于项数n 1的一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式.数列（1）的通项公式为n a n =，可以将数列（1）记为数列{n }；数列（2）的通项公式为2n n a =，可以将数列（2）记为数列{2}n .*巩固知识 典型例题例1 设数列{n a }的通项公式为12n na =，写出数列的前5项． 分析 知道数列的通项公式，求数列中的某一项时，只需将通项公式中的n 换成该项的项数，并计算出结果．例2 根据下列各无穷数列的前4项,写出数列的一个通项公式. (1)5,10,15,20，…； (2)1111,,,,2468…； （3）−1，1，−1，1，…． 分析 分别观察分析各项与其项数之间的关系，探求用式子表示这种关系．【注意】由数列的有限项探求通项公式时，答案不一定是唯一的．例如，(1)n n a =-与cos =πn a n 都是例2（3）中数列“−1，1，−1，1，…．”的通项公式．【知识巩固】例3 判断16和45是否为数列{3n +1}中的项,如果是,请指出是第几项.分析 如果数a 是数列中的第k 项，那么k 必须是正整数，并且31=+a k .*运用知识 强化练习1. 根据下列各数列的通项公式，写出数列的前4项：（1）23-=n n a ； （2）n a n n ⋅-=)1(．2. 根据下列各无穷数列的前4项,写出数列的一个通项公式：（1）−1，1，3，5，…； (2) 13-, 16, 19-, 112，…； (3) 12,34,56,78，…. 3. 判断12和56是否为数列2{}n n -中的项，如果是，请指出是第几项．*理论升华 整体建构思考并回答下面的问题：数列、项、项数分别是如何定义的？*归纳小结 强化思想利用数列的通项公式写出数列中的任意一项并且能判断一个数是否为数列中的一项．*继续探索 活动探究(1)读书部分：教材(2)书面作业：教材习题6．1 A 组（必做）；6．1 B 组（选做）(3)实践调查：用发现的眼睛寻找生活中的数列实例教学后记：例1和例3是基本题目,前者是利用通项公式写出数列中的项；后者是利用通项公式判断一个数是否为数列中的项,是通项公式的逆向应用．例2是巩固性题目,指导学生分析完成.要列出项数与该项的对应关系，不能泛泛而谈,采用对应表的方法比较直观,降低了难度,学生容易接受.§6．2 等差数列（一）【教学目标】知识目标：（1）理解等差数列的定义；（2）理解等差数列通项公式．能力目标：通过学习等差数列的通项公式,培养学生处理数据的能力．【教学重点】等差数列的通项公式．【教学难点】等差数列通项公式的推导．【教学过程】*揭示课题 6．2 等差数列．*创设情境 兴趣导入【观察】将正整数中5的倍数从小到大列出，组成数列：5，10，15，20，…． （1）将正奇数从小到大列出，组成数列：1，3，5，7，9，…． （2）请观察数列中相邻两项之间的关系*动脑思考 探索新知如果一个数列从第2项开始，每一项与它前一项的差都等于同一个常数，那么，这个数列叫做等差数列．这个常数叫做等差数列的公差，一般用字母d 表示．由定义知，若数列{}n a 为等差数列，d 为公差，则1n n a a d +-=,即*巩固知识 典型例题例１ 已知等差数列的首项为12，公差为−5，试写出这个数列的第2项到第5项．*运用知识 强化练习1. 已知{}n a 为等差数列，58a =-，公差2d =，试写出这个数列的第8项8a ．2. 写出等差数列11,8,5,2,…的第10项.1n n a a d +=+（6.1）*创设情境 兴趣导入你能很快地写出例1中数列的第101项吗?*动脑思考 探索新知设等差数列{}n a 的公差为d ，则,11a a =．．．．．．依此类推,通过观察可以得到等差数列的通项公式(6.2)【想一想】等差数列的通项公式中,共有四个量：n a 、1a 、n 和d ，只要知道了其中的任意三个量，就可以求出另外的一个量. 针对不同情况，应该分别采用什么样的计算方法？*巩固知识 典型例题例2 求等差数列,17,11,5,1-．．．的第50项.例3 在等差数列{}n a 中,,48100=a 公差,31=d 求首项.1a 分析：本题目初看是知道2个条件，实际上是3个条件：100n =，48,n a =13d =． 例4 小明、小明的爸爸和小明的爷爷三个人在年龄恰好构成一个等差数列,他们三人的年龄之和为120岁,爷爷的年龄比小明年龄的4倍还多5岁,求他们祖孙三人的年龄.分析 知道三个数构成等差数列，并且知道这三个数的和,可以将这三个数设为d a -,a ,a d +,这样可以方便地求出a ,从而解决问题.【注意】 将构成等差数列的三个数设为d a -,a ,a d +,是经常使用的方法.*运用知识 强化练习 练习6.2.2(),21123d a d d a d a a +=++=+=,12d a a +=(),321134d a d d a d a a +=++=+=*归纳小结 强化思想等差数列的通项公式*继续探索 活动探究(1)读书部分：教材(2)书面作业：教材习题6．2（必做）；学习指导6．3（选做）(3)实践调查：寻找生活中等差数列的实例教学后记本节的主要内容是等差数列的定义、等差数列的通项公式.重点是等差数列的定义、等差数列的通项公式；难点是通项公式的推导．等差数列的定义中,应特别强调“等差”的特点:d a a n n =-+1(常数).例1是基础题目,有助于学生进一步理解等差数列的定义.教材中等差数列的通项公式的推导过程实际上是一个无限次迭代的过程,所用的归纳方法是不完全归纳法.因此,公式的正确性还应该用数学归纳法加以证明.例2是求等差数列的通项公式及其中任一项的巩固性题目,注意求公差的方法.等差数列的通项公式中含有四个量：只要知道其中任意三个量，就可以求出另外的一个量．,,,,1n a n d a§ 6．2 等差数列【教学目标】知识目标：理解等差数列通项公式及前n 项和公式．能力目标：通过学习前n 项和公式,培养学生处理数据的能力．【教学重点】等差数列的前n 项和的公式．【教学难点】等差数列前n 项和公式的推导．【教学设计】本节的主要内容是等差数列的前n 项和公式,等差数列应用举例.重点是等差数列的前n 项和公式；难点是前n 项和公式的推导以及知识的简单实际应用．等差数列前n 项和公式的推导方法很重要,所用方法叫逆序相加法，应该让学生理解并学会应用．等差数列中的五个量1a 、d 、n 、n a 、n S 中,知道其中三个,可以求出其余两个,例5和例6是针对不同情况,分别介绍相应算法．例7将末项看作是首项的思想是非常重要的,以这类习题作为载体,对培养学生的创新精神是十分重要的．【教学过程】*揭示课题6．2 等差数列．*创设情境 兴趣导入【趣味数学问题】数学家高斯在上小学的时候的故事。

*动脑思考 探索新知从小到大排列的前100个正整数，组成了首项为1，第100项为100，公差为1的等差数列．小高斯的计算表明，这个数列的前100项和为()21001001⨯+． 现在我们按照高斯的想法来研究等差数列的前n 项和．将等差数列{}n a 前n 项的和记作n S ．即12321n n n n S a a a a a a --=++++++． （1）也可以写作12321n n n n S a a a a a a --=++++++． （2） 由于n n a a a a +=+11，()()2111n n n a a a d a d a a -+=++-=+，()()n n n a a d a d a a a +=-++=+-112322，……(1)式与（2）式两边分别相加，得()12n n S n a a =+，由此得出等差数列{}n a 的前n 项和公式为（6.3）即等差数列的前n 项和等于首末两项之和与项数乘积的一半．知道了等差数列{}n a 中的1a 、n 和n a ，利用公式（6.3）可以直接计算n S ．将等差数列的通项公式()d n a a n 11-+=代入公式（6.3），得知道了等差数列{}n a 中的1a 、n 和d ，利用公式（6.4）可以直接计算n S ．【想一想】在等差数列{}n a 中，知道了1a 、d 、n 、n a 、n S 五个量中的三个量，就可以求出其余的两个量．针对不同情况，应该分别采用什么样的计算方法？*巩固知识 典型例题例5 已知等差数列{}n a 中，18a =-,20106a =, 求20S ．（6.4）()112n n n S na d -=+例6 等差数列,3,1,5,9,13----…的前多少项的和等于50？【想一想】例6中为什么将负数舍去？*运用知识 强化练习 练习 6.2.3*巩固知识 典型例题例7 某礼堂共有25排座位，后一排比前一排多两个座位，最后一排有70个座位，问礼堂共有多少个座位？【想一想】 比较本例题的两种解法，从中受到什么启发?例8 小王参加工作后，采用零存整取方式在农行存款．从元月份开始，每月第1天存入银行1000元，银行以年利率1.71%计息，试问年终结算时本金与利息之和（简称本利和）总额是多少（精确到0.01元）?【说明】年利率1.71%，折合月利率为0.1425%．计算公式为月利率=年利率÷12．练习6.2.4*归纳小结 强化思想结论：()12n n n a a S +=，()112n n n S na d -=+．*继续探索 活动探究(1)读书部分：教材(2)书面作业：教材习题6．2（必做）；学习指导6．2（选做）(3)实践调查：运用等差数列求和公式解决生活中的一个实际问题§ 6．3 等比数列【教学目标】知识目标：（1）理解等比数列的定义； （2）理解等比数列通项公式． 能力目标：通过学习等比数列的通项公式,培养学生处理数据的能力．【教学重点】 等比数列的通项公式． 【教学难点】 等比数列通项公式的推导． 【教学设计】本节的主要内容是等比数列的定义,等比数列的通项公式.重点是等比数列的定义、等比数列的通项公式；难点是通项公式的推导．等比数列与等差数列在内容上相类似，要让学生利用对比的方法去理解和记忆，并弄清楚二者之间的区别和联系.等比数列的定义是推导通项公式的基础，教学中要给以足够的重视.同时要强调“等比”的特点:q a a nn =+1(常数). 【教学过程】*揭示课题 6．3 等比数列． *创设情境 兴趣导入【观察】某工厂今年的产值是1000万元，如果通过技术改造，在今后的5年内，每年的产值都比上一年增加10%，那么今年及以后5年的产值构成下面的一个数列（单位：万元）： 23451000,1000 1.1,1000 1.1,1000 1.1,1000 1.1,1000 1.1.⨯⨯⨯⨯⨯不难发现，从第2项开始，数列中的各项都是其前一项的1.1倍，即从第2项开始，每一项与它的前一项的比都等于1.1． *动脑思考 探索新知【新知识】如果一个数列从第2项开始，每一项与它前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列．这个常数叫做这个等比数列的公比，一般用字母q 来表示．由定义知，若{}n a 为等比数列，q 为公比，则1a 与q 均不为零，且有1n na q a +=，即 (6.5)1n n a a q +=⋅．*巩固知识 典型例题例１ 在等比数列{}n a 中，15a =，3q =，求2a 、3a 、4a 、5a ． 【试一试】你能很快地写出这个数列的第９项吗？ *运用知识 强化练习 练习6.3.1*创设情境 兴趣导入 如何写出一个等比数列的通项公式呢？ *动脑思考 探索新知与等差数列相类似，我们通过观察等比数列各项之间的关系，分析、探求规律． 设等比数列{}n a 的公比为q ，则()()2123211234311,,,a a q a a q a q q a q a a q a q q a q =⋅=⋅=⋅⋅=⋅=⋅=⋅⋅=⋅…… 【说明】 01111a a a q =⋅=⋅依此类推，得到等比数列的通项公式（6.6） 知道了等比数列{}n a 中的1a 和q ，利用公式（6.6），可以直接计算出数列的任意一项. 【想一想】等比数列的通项公式中,共有四个量：n a 、1a 、n 和q ，只要知道了其中的任意三个量，就可以求出另外的一个量. 针对不同情况，应该分别采用什么样的计算方法？*巩固知识 典型例题例2求等比数列 ,81,41,21,1--的第10项． 例3 在等比数列{}n a 中，51a =-，18=-a ８，求13a ．【注意】 本例题求解过程中，通过两式相除求出公比的方法是研究等比数列问题的常用方法． 【想一想】在等比数列{}n a 中，719a =， 13q =．求3a 时，你有没有比较简单的方法？【知识巩固】例4 小明、小刚和小强进行钓鱼比赛，他们三人钓鱼的数量恰好组成一个等比数列．已知他们三人一共钓了14条鱼，而每个人钓鱼数量的积为64． 并且知道，小强钓的鱼最多，小明钓的鱼最少，问他们三人各钓了多少条鱼？分析 知道三个数构成等比数列，并且知道这三个数的积,可以将这三个数设为,,aa aq q,这样可以方便地求出a ,从而解决问题. 【注意】 将构成等比数列的三个数设为aq a qa,,，是经常使用的方法． *运用知识 强化练习1.求等比数列,6,2,32.的通项公式与第7项． 2.在等比数列{}n a 中，2125a =-,55a =-, 判断125-是否为数列中的项，如果是，请指出是第几项.*理论升华 整体建构等比数列的通项公式是什么*归纳小结 强化思想本次课学了哪些内容？重点和难点各是什么？ *继续探索 活动探究(1)读书部分：教材(2)书面作业：教材习题6．3A 组（必做）；教材习题6．3B 组（选做） (3)实践调查：用等比数列的通项公式解决生活中的一个问题 【教师教学后记】例1是基础题目,有助于学生进一步理解等比数列的定义.与等差数列一样，教材中等比数列的通项公式的归纳过程实际上也是不完全归纳法，公式的正确性也应该用数学归纳法加以证明，这一点不需要给学生讲.等比数列的通项公式中含有四个量：1a ，q ,n , n a , 只有知道其中任意三个量，就可以求出另外的一个量.教材中例2、例３都是这类问题.注意:例3中通过两式相除求公比的方法是研究等比数列问题常用的方法.从例4可以看到,若三个数成等比数列,则将这三个数设成是aq a qa,,比较好,因为这样设了以后,这三个数的积正好等于,3a 很容易将a 求出.§ 6．3 等比数列【教学目标】知识目标：理解等比数列前n 项和公式． 能力目标：通过学习等比数列前n 项和公式,培养学生处理数据的能力．【教学重点】等比数列的前n 项和的公式． 【教学难点】等比数列前n 项和公式的推导． 【教学设计】本节的主要内容是等比数列的前n 项和公式,等比数列应用举例.重点是等比数列的前n 项和公式；难点是前n 项和公式的推导、求等比数列的项数n 的问题及知识的简单实际应用．等比数列前n 项和公式的推导方法叫错位相减法，这种方法很重要，应该让学生理解并学会应用．等比数列的通项公式与前n 项和公式中共涉及五个量：n n S a n q a 、、、、1，只要知道其中的三个量，就可以求出另外的两个量.教材中例6是已知n n S a a 、、1求n q 、的例子．将等号两边化成同底数幂的形式,利用指数相等来求解n 的方法是研究等比数列问题的常用方法.【教学过程】*揭示课题 6．3 等比数列． *创设情境 兴趣导入【趣味数学问题】传说国际象棋的发明人和国王的故事。