职高数学教案 第二册

§6．1 数列的概念

【教学目标】

知识目标：

（1）了解数列的有关概念；

（2）掌握数列的通项（一般项）和通项公式．

能力目标：

通过实例引出数列的定义,培养学生的观察能力和归纳能力．

【教学重点】

利用数列的通项公式写出数列中的任意一项并且能判断一个数是否为数列中的一项．【教学难点】

根据数列的前若干项写出它的一个通项公式．

【教学设计】

通过几个实例讲解数列及其有关概念：项、首项、项数、有穷数列和无穷数列．讲解数列的通项（一般项）和通项公式．

从几个具体实例入手,引出数列的定义.数列是按照一定次序排成的一列数．学生往往不易理解什么是“一定次序”．实际上，不论能否表述出来，只要写出来，就等于给出了“次

序”，比如我们随便写出的两列数：2，1，15，3，243，23与1，15，23，2，243，3，就

都是按照“一定次序”排成的一列数，因此它们就都是数列，但它们的排列“次序”不一样，

因此是不同的数列．

【教学过程】

*揭示课题6．1 数列的概念．

*创设情境兴趣导入

将正整数从小到大排成一列数为1，2，3，4，5，…．(1 )

2,2,2,2,2,．(2 )将2的正整数指数幂从小到大排成一列数为2345

当n从小到大依次取正整数时，cosπ

n的值排成一列数为 -1，1，-1，1，…．(3 )取无理数π的近似值（四舍五入法），依照有效数字的个数，排成一列数为

3，3.1，3.14，3.141，3.1416，…．(4)

*动脑思考探索新知

【新知识】按照一定的次序排成的一列数叫做数列．数列中的每一个数叫做数列的项．从开始的项起，按照自左至右的排序，各项按照其位置依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，第3项，…，第n 项，…，其中反映各项在数列中位置的数字1，2，3，…，n，分别叫做对应的项的项数．

只有有限项的数列叫做有穷数列，有无限多项的数列叫做无穷数列．

【小提示】数列的“项”与这一项的“项数”是两个不同的概念．如数列（2）中，第3项为32，这一项的项数为3.

【想一想】上面的4个数列中，哪些是有穷数列,哪些是无穷数列?

【新知识】

由于从数列的第一项开始，各项的项数依次与正整数相对应，所以无穷数列的一般形式可以写作

123,,,,n a a a a ，．()n ∈N

简记作{n a }．其中，下角码中的数为项数，1a 表示第1项，2a 表示第2项，…．当n 由小至大依次取正整数值时，n a 依次可以表示数列中的各项，因此，通常把第n 项n a 叫做数列{n a }的通项或一般项． *运用知识 强化练习

1.说出生活中的一个数列实例．

2.数列“1，2，3，4，5”与数列“5 ，4， 3，2，1 ”是否为同一个数列？

3.设数列{}n a 为“-5,-3,-1,1,3, 5，…” ，指出其中3a 、6a 各是什么数？

*创设情境 兴趣导入

【观察】

6.1.1中的数列（1）中，各项是从小到大依次排列出的正整数． 11a =，22a =，33a =，…， 可以看到，每一项与这项的项数恰好相同．这个规律可以用 *()n a n n =∈N 表示．

利用这个规律，可以方便地写出数列中的任意一项，如1111a =，2020a =．

6.1.1中的数列（2）中，各项是从小到大顺次排列出的2的正整数指数幂．

12a =，222a =，332a =，…，

可以看到，各项的底都是2，每一项的指数恰好是这项的项数．这个规律可以用 *2()n n a n =∈N 表示，利用这个规律，可以方便地写出数列中的任意一项，如11112a =，20202a =．

*动脑思考 探索新知

【新知识】一个数列的第n 项n a ，如果能够用关于项数n 1

的一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式.

数列（1）的通项公式为n a n =，可以将数列（1）记为数列{n }；数列（2）的通项公式为2n n a =，

可以将数列（2）记为数列{2}n .

*巩固知识 典型例题

例1 设数列{n a }的通项公式为12n n

a =

，写出数列的前5项． 分析 知道数列的通项公式，求数列中的某一项时，只需将通项公式中的n 换成该项的项数，并计算出结果．

例2 根据下列各无穷数列的前4项,写出数列的一个通项公式. (1)5,10,15,20，…； (2)1111,,,,2468

…； （3）−1，1，−1，1，…． 分析 分别观察分析各项与其项数之间的关系，探求用式子表示这种关系．

【注意】由数列的有限项探求通项公式时，答案不一定是唯一的．例如，(1)n n a =-与cos =πn a n 都是例2

（3）中数列“−1，1，−1，1，…．”的通项公式．

【知识巩固】

例3 判断16和45是否为数列{3n +1}中的项,如果是,请指出是第几项.

分析 如果数a 是数列中的第k 项，那么k 必须是正整数，并且31=+a k .

*运用知识 强化练习

1. 根据下列各数列的通项公式，写出数列的前4项：

（1）23-=n n a ； （2）n a n n ⋅-=)1(．

2. 根据下列各无穷数列的前4项,写出数列的一个通项公式：

（1）−1，1，3，5，…； (2) 13-, 16, 19-, 112，…； (3) 12,34,56,78，…. 3. 判断12和56是否为数列2{}n n -中的项，如果是，请指出是第几项．

*理论升华 整体建构

思考并回答下面的问题：数列、项、项数分别是如何定义的？

*归纳小结 强化思想

利用数列的通项公式写出数列中的任意一项并且能判断一个数是否为数列中的一项．

*继续探索 活动探究

(1)读书部分：教材

(2)书面作业：教材习题6．1 A 组（必做）；6．1 B 组（选做）

(3)实践调查：用发现的眼睛寻找生活中的数列实例