高考总复习 概率与统计
2024高考数学压轴题——概率与统计高考常见题型解题思路及知识点总结
2024高考数学压轴题——概率与统计高考常见题型解题思路及知识点总结2024高考数学压轴题——概率与统计的挑战与应对随着高考的临近，数学科目的复习也进入了关键阶段。
2024年的高考数学压轴题将会涉及到概率与统计的内容，这不仅考察学生的基本数学知识，更侧重于考察学生的逻辑思维能力、实际应用能力和问题解决能力。
本文将针对这一部分的常见题型、解题思路和知识点进行总结，希望能为广大考生提供一些帮助和指导。
一、常见题型的解题思路1、概率计算：在解决概率计算问题时，学生需要明确事件的独立性、互斥性和概率公式的应用。
尤其是古典概率和条件概率的计算，需要学生熟练掌握。
对于涉及多个事件的概率计算，学生需要理清事件的关联关系，采用加法、乘法或全概率公式进行计算。
2、随机变量及其分布：这部分要求学生掌握离散型和连续型随机变量的分布律及分布函数，理解并掌握几种常见的分布，如二项分布、泊松分布和正态分布等。
对于随机变量的数字特征，如期望、方差和协方差等，学生需要理解其含义并掌握计算方法。
3、统计推断：在统计推断问题中，学生需要掌握参数估计和假设检验的基本方法。
对于点估计，学生需要理解矩估计法和最大似然估计法的原理，并能够进行计算。
对于假设检验，学生需要理解显著性检验的原理，掌握单侧和双侧检验的方法。
4、相关与回归分析：相关与回归分析要求学生能够读懂散点图，理解线性相关性和线性回归的概念，掌握回归方程的拟合方法和拟合优度的评估方法。
二、概率与统计的相关知识点总结1、概率的基本概念：事件、样本空间、事件的概率、互斥事件、独立事件等。
2、随机变量及其分布：离散型随机变量和连续型随机变量，二项分布、泊松分布和正态分布等。
3、统计推断：参数估计、假设检验、点估计、置信区间、单侧和双侧检验等。
4、相关与回归分析：线性相关性和线性回归的概念，回归方程的拟合方法和拟合优度的评估方法。
三、示例分析下面我们通过一个具体的示例来演示如何分析和解决一道概率与统计的压轴题。
高考数学概率与统计题型解析与答题技巧
高考数学概率与统计题型解析与答题技巧在高考数学中，概率与统计是一个重要的板块，它不仅考查学生的数学知识和技能，还培养学生的数据分析和推理能力。
对于很多同学来说，这部分内容既有一定的挑战性，又充满了得分的机会。
下面我们就来详细解析高考数学中概率与统计的常见题型以及相应的答题技巧。
一、概率题型1、古典概型古典概型是概率中最基础的题型之一。
它的特点是试验结果有限且等可能。
例如，从装有若干个红球和白球的袋子中摸球，计算摸到某种颜色球的概率。
答题技巧：首先，确定总的基本事件数和所求事件包含的基本事件数。
然后，利用古典概型的概率公式 P（A）＝所求事件包含的基本事件数÷总的基本事件数进行计算。
2、几何概型几何概型与古典概型不同，它的试验结果是无限的。
常见的有长度型、面积型、体积型几何概型。
比如，在一个区间内随机取一个数，求满足某个条件的概率。
答题技巧：对于几何概型，关键是要正确确定几何度量。
例如，长度型就计算长度，面积型就计算面积，体积型就计算体积。
然后，按照几何概型的概率公式 P（A）＝构成事件 A 的区域长度（面积或体积）÷试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）进行求解。
3、条件概率条件概率是指在事件 B 发生的条件下，事件 A 发生的概率。
题目中通常会给出一些条件，让我们计算在这些条件下的概率。
答题技巧：利用条件概率公式 P（A|B）＝ P（AB）÷P（B），先求出 P（AB）和 P（B），再计算条件概率。
4、相互独立事件与互斥事件相互独立事件是指一个事件的发生与否对另一个事件的发生概率没有影响；互斥事件则是指两个事件不能同时发生。
答题技巧：对于相互独立事件，它们同时发生的概率用乘法计算，即 P（AB）＝ P（A）×P（B）；对于互斥事件，它们至少有一个发生的概率用加法计算，即 P（A∪B）＝ P（A）＋ P（B）。
二、统计题型1、抽样方法包括简单随机抽样、分层抽样和系统抽样。
新高考数学复习：概率与统计
新高考数学复习：概率与统计随着新高考改革的深入，数学科目的考查范围与难度也在逐年增加。
作为高考复习的重要环节，概率与统计部分的知识点成为了考生们的焦点。
本文将探讨如何有效地进行新高考数学复习，特别是概率与统计部分的知识点。
一、明确考试要求在复习概率与统计之前，首先要了解新高考数学对于这一部分的考试要求。
通常，高考数学对于概率与统计的考查包括以下几个方面：随机事件及其概率、随机变量及其分布、数理统计的基本概念与方法等。
因此，在复习过程中，要着重这些方面的知识点。
二、扎实基础知识概率与统计部分的知识点较为抽象，需要考生具备扎实的数学基础。
在复习过程中，要注重对基础知识点的掌握，例如：集合、不等式、函数等。
只有掌握了这些基础知识，才能更好地理解概率与统计的相关概念与公式。
三、强化解题能力解题能力是高考数学考查的重要方面。
在复习概率与统计时，要注重强化解题能力。
具体而言，可以通过以下几个方面来提高解题能力：1、掌握解题方法对于概率与统计的题目，要掌握常用的解题方法，例如：直接法、排除法、枚举法等。
同时，要了解各类题型的解题步骤与方法，从而在解题时能够迅速找到突破口。
2、多做真题做真题是提高解题能力的有效途径。
通过多做真题，可以了解高考数学对于概率与统计的考查重点与难点，进而有针对性地进行复习。
同时，也可以通过对比历年真题，发现自身的知识盲点，及时查漏补缺。
3、反思与总结在解题过程中，要及时反思与总结。
对于做错的题目，要分析错误原因，并总结出正确的解题方法。
同时，也要总结出各类题型的解题技巧与注意事项，以便在今后的解题中能够更加得心应手。
四、拓展知识面高考数学对于考生知识面的考查也越来越广泛。
在复习概率与统计时，要注重拓展自身的知识面。
具体而言，可以通过以下几个方面来拓展知识面：1、阅读相关书籍可以阅读相关的数学书籍，例如：《概率论与数理统计》、《统计学》等。
通过阅读这些书籍，可以深入了解概率与统计的相关知识点，拓展自身的知识面。
高考复习概率与统计知识点归纳总结
概率与统计知识点总结（一）知识点思维导图（二）常用定理、公式及其变形1．用样本的数字特征估计总体的数字特征（1）样本本均值：nx x x x n +++= 21 （2）样本标准差：nx x x x x x s s n 222212)()()(-++-+-== （3）频率分布直方图估算样本众数、中位数、平均数①众数：最高小矩形中点值；②中位数：先确定中位数所在小组，设中位数为m ，由直线x=m 两侧小矩形面积之和等于0.5列方程求m ． ③平均数：各小矩形中点值与其面积的积的和．2．随机事件的概率及概率的意义（1）随机事件：在条件S 下可能发生也可能不发生的事件，叫相对于条件S 的随机事件；（2）概率定义：在相同的条件S 下重复n 次试验，观察某一事件A 是否出现，称n 次试验中事件A 出现的次数n A 为事件A 出现的频数；称事件A 出现的比例f n (A)=n n A为事件A 出现的频率：对于给定的随机事件A ，如果随着试验次数的增加，事件A 发生的频率f n (A)稳定在某个常数上，把这个常数记作P （A ），称为事件A 的概率．3．概率的基本性质（1）事件的包含、并事件、交事件、相等事件（2）若A∩B 为不可能事件，即A∩B=ф，那么称事件A 与事件B 互斥；（3）若A∩B 为不可能事件，A∪B 为必然事件，那么称事件A 与事件B 互为对立事件；（4）当事件A 与B 互斥时，满足加法公式：P(A∪B)= P(A)+ P(B)；若事件A 与B 为对立事件，则A∪B 为必然事件，所以P(A∪B)= P(A)+ P(B)=1，于是有P(A)=1—P(B)4．古典概型及随机数的产生（1）古典概型的使用条件：试验结果的有限性和所有结果的等可能性．（2）公式P （A ）=总的基本事件个数包含的基本事件数A 5．几何概型及均匀随机数的产生（1）几何概率模型：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型；（2）公式：P （A ）=积）的区域长度（面积或体试验的全部结果所构成积）的区域长度（面积或体构成事件A ． 6．随机变量：如果随机试验可能出现的结果可以用一个变量X 来表示，并且X 是随着试验的结果的不同而变化，那么这样的变量叫做随机变量． 随机变量常用大写字母X 、Y 等或希腊字母 ξ、η等表示．7．离散型随机变量的分布列：一般的，设离散型随机变量X 可能取的值为x 1，x 2，．．．．． ，x i ，．．．．．．，x n ．X 取每一个值 x i (i=1，2，．．．．．．）的概率P(ξ=x i ）＝P i ，则称表为离散型随机变量X 的概率分布，简称分布列分布列性质：∪ p i ≥0， i =1，2， … ；∪ p 1 + p 2 +…+p n = 1．9．条件概率：对任意事件A 和事件B ，在已知事件A 发生的条件下事件B 发生的概率，叫做条件概率．记作P(B|A)，读作A 发生的条件下B 的概率公式：.0)(,)()()|(>=A P A P AB P A B P 10．相互独立事件：事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件，)()()(B P A P B A P ⋅=⋅12．数学期望：一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为 则称 Eξ＝x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x n p n 为ξ的数学期望或平均数、均值，数学期望又简称为期望．是离散型随机变量．13．方差：D(ξ)=(x 1-Eξ)2·P 1+（x 2-Eξ)2·P 2 +．．．．．．+（x n -Eξ)2·P n 叫随机变量ξ的均方差，简称方差．14．正态分布：（1）定义：若概率密度曲线就是或近似地是函数 的图象，其中解析式中的实数0)μσσ>、（是参数，分别表示总体的平均数与标准差．则其分布叫正态分布(,)N μσ记作：，f( x )的图象称为正态曲线；（2）基本性质：∪曲线在x 轴的上方，与x 轴不相交；∪曲线关于直线x=对称，且在x=时位于最高点；∪当一定时，曲线的形状由确定．越大，曲线越“矮胖”；表示总体的分布越分散；越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；∪正态曲线下的总面积等于1．15．3原则：从上表看到，正态总体在 以外取值的概率只有4．6%，在 以外取值的概率只有0．3% 由于这些概率很小，通常称这些情况发生为小概率事件．也就是说，通常认为这些情况在一次试验中几乎是不可能发生的．),(,21)(222)(+∞-∞∈=--x e x f x σμσπμμμσσσσ)2,2(σμσμ+-)3,3(σμσμ+-17．回归分析。
概率与统计高考知识点
概率与统计高考知识点在高考数学中，概率与统计是一个重要的考点。
概率与统计不仅涉及到数学方面的知识，也与现实生活密切相关。
本文将通过几个具体的例子，深入探讨概率与统计相关的知识点，帮助考生更好地理解这一部分内容。
一、概率与事件概率与事件是概率与统计中的基础概念。
概率是描述事件发生可能性大小的数值，通常用P(A)表示。
事件是指随机试验中的一种结果，可以是一个单一结果或若干个结果的组合。
例如，投掷一枚骰子，出现点数小于等于3的事件记为A，则P(A)为1/2。
二、基本事件与对立事件基本事件是指随机试验中的最简单、最基础的事件，它不可再分解成其他事件。
对立事件是指两个事件发生的可能性互相排斥，即当一个事件发生时，另一个事件不发生。
例如，投掷一枚硬币，出现正面和出现反面就是对立事件。
三、概率的性质概率具有以下几个性质：1.非负性：对于任何事件A，有P(A)≥0；2.必然性：对于必然事件S（整个样本空间），有P(S)=1；3.可加性：对于任意两个互不相容的事件A和B，有P(A∪B)=P(A)+P(B)。
四、条件概率条件概率是指在已经发生一个事件的条件下，另一个事件发生的概率。
条件概率表示为P(A|B)，其中A是已知发生的事件，B是条件事件。
例如，某班级男生占总人数的1/4，女生占总人数的3/4，已知某学生是女生，求其也是该班级的概率。
我们可以使用条件概率计算得出P(女生|学生) = P(女生∩学生) / P(学生) = 3/4。
五、独立事件独立事件是指两个事件的发生与否互相不影响。
如果事件A和事件B是独立事件，则有P(A∩B) = P(A) × P(B)。
例如，抛掷一枚硬币和掷一枚骰子，两个事件是独立的。
六、随机变量与概率分布随机变量是表示随机试验结果的变量。
离散型随机变量只能取有限个或可列个数值，连续型随机变量可以取任意实数值。
概率分布是随机变量取各个值的概率。
例如，抛掷一枚骰子，骰子的点数就是一个随机变量，其概率分布为离散型。
高考数学一轮总复习概率与统计解题策略总结与实践
高考数学一轮总复习概率与统计解题策略总结与实践概率与统计作为高考数学中的重要知识点，在考试中占有较大的比重。
为了帮助广大考生更好地掌握概率与统计知识，本文将总结一轮复习中的解题策略，并提供一些实践经验。
一、概率问题解题策略1. 理解题意在解决概率问题时，首先要仔细阅读题目并理解其要求。
明确问题所涉及的事件，确定所需求的概率，有助于我们选择正确的解题方法。
2. 确定样本空间对于概率问题，要确定样本空间，即所有可能的结果。
根据题目的不同，样本空间可以通过列举、排列组合等方法得出。
3. 计算事件的概率一旦确定了样本空间，计算事件的概率就变得相对简单了。
对于基础的概率计算问题，可以直接计算出事件发生的次数与样本空间的比值。
对于复杂的问题，可以利用概率的性质进行计算，如加法原理、乘法原理等。
4. 注意条件概率在解题过程中，有些问题可能会给出一些条件，这时我们需要用到条件概率的概念。
条件概率是指在某个条件下发生某个事件的概率。
根据条件概率的性质，可以利用已知的条件来计算所求事件的概率。
二、统计问题解题策略1. 分析数据类型在解决统计问题时，首先要分析数据的类型。
数据可以是定量的，如身高、体重等；也可以是定性的，如性别、颜色等。
不同类型的数据有不同的统计方法。
2. 描述数据描述数据是统计问题的第一步，目的是对数据进行整理和概括。
通常可以使用集中趋势和离散程度等指标来描述数据的特征。
对于定量数据可以使用均值、中位数、众数等指标，对于定性数据可以使用频数和频率等指标。
3. 分析数据关系统计问题还需要分析数据之间的关系。
通过绘制统计图表，可以直观地观察数据之间的关系和趋势。
常用的统计图表有直方图、折线图、散点图等。
通过观察图表，我们可以分析数据之间的相关性，以及作出相应的结论。
4. 运用统计方法在解决统计问题时，我们可以运用一些统计方法来得出结论。
例如，可以利用抽样调查的方法进行统计推断，通过样本数据来推断总体的特征。
高考总复习优化设计二轮用书数学解答题专项4 概率与统计的综合问题
第二步,根据超几何分布的概率计算公式计算出随机变量取每一个值时的
概率;
第三步,用表格的形式列出分布列.
对点训练3
(2023湖北十堰二模)现有4个红球和4个黄球,将其分配到甲、乙两个盒子
中,每个盒子中4个球.
(1)求甲盒子中有2个红球和2个黄球的概率.
(2)已知甲盒子中有3个红球和1个黄球,若同时从甲、乙两个盒子中取出
从而可以用线性回归模型拟合 y 与 x 的关系.
^
(2)由(1)可得 =
5
∑ -5
=1
5
2
∑ 2 -5
=
-1 537
=-153.7,
10
=1
^
^
所以 = − =1 241.2-(-153.7)×3=1 702.3,
^
所以 y 关于 x 的经验回归方程为 =-153.7x+1 702.3.
P(X=200)=
C22
C210
=
1
C12 C18
,P(X=80)=
45
C210
X
P
=
200
1
45
16
C28
,P(X=10)=
45
C210
=
28
.X
45
的分布列为
80
10
16
28
45
45
(2)甲方案,设获得购物券的金额为 Y,则 Y 可以取 200,80,10,
C23
1
C13 C19
9
C29
6
P(Y=200)= 2 = 22,P(Y=80)= 2 = 22,P(Y=10)= 2 = 11.
9
2C13 C11
2024全国高考真题数学汇编：概率与统计章节综合
2024全国高考真题数学汇编概率与统计章节综合一、单选题1．（2024上海高考真题）已知气候温度和海水表层温度相关，且相关系数为正数，对此描述正确的是（）A ．气候温度高，海水表层温度就高B ．气候温度高，海水表层温度就低C ．随着气候温度由低到高，海水表层温度呈上升趋势D ．随着气候温度由低到高，海水表层温度呈下降趋势2．（2024天津高考真题）下列图中，线性相关性系数最大的是（）A ．B ．C ．D ．二、多选题3．（2024全国高考真题）随着“一带一路”国际合作的深入，某茶叶种植区多措并举推动茶叶出口.为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值 2.1x ，样本方差20.01s ，已知该种植区以往的亩收入X 服从正态分布 21.8,0.1N ，假设推动出口后的亩收入Y 服从正态分布 2N x s，则（）（若随机变量Z 服从正态分布 2,N，()0.8413P Z ）A ．(2)0.2P XB ．(2)0.5P XC ．(2)0.5P Y D ．(2)0.8P Y 三、填空题4．（2024上海高考真题）某校举办科学竞技比赛，有、、A B C 3种题库，A 题库有5000道题，B 题库有4000道题，C 题库有3000道题．小申已完成所有题，已知小申完成A 题库的正确率是0.92，B 题库的正确率是0.86，C 题库的正确率是0.72．现他从所有的题中随机选一题，正确率是．5．（2024天津高考真题）,,,,A B C D E 五种活动，甲、乙都要选择三个活动参加.甲选到A 的概率为；已知乙选了A 活动，他再选择B 活动的概率为．6．（2024全国高考真题）甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字1，3，5，7，乙的卡片上分别标有数字2，4，6，8，两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得1分，数字小的人得0分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后的轮次中不能使用）.则四轮比赛后，甲的总得分不小于2的概率为.四、解答题7．（2024全国高考真题）某工厂进行生产线智能化升级改造，升级改造后，从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取150件进行检验，数据如下：优级品合格品不合格品总计甲车间2624050乙车间70282100总计96522150(1)填写如下列联表：优级品非优级品甲车间乙车间能否有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？能否有99%的把握认为甲，乙两车间产品的优级品率存在差异？(2)已知升级改造前该工厂产品的优级品率0.5p ，设p 为升级改造后抽取的n 件产品的优级品率.如果p p 150件产品的数据，能否认为生12.247 ）附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d2P K k0.0500.0100.001k3.8416.63510.8288．（2024上海高考真题）为了解某地初中学生体育锻炼时长与学业成绩的关系，从该地区29000名学生中抽取580人，得到日均体育锻炼时长与学业成绩的数据如下表所示：时间范围学业成绩0,0.50.5,11,1.51.5,22,2.5优秀5444231不优秀1341471374027(2)估计该地区初中学生日均体育锻炼的时长（精确到0.1）(3)是否有95%的把握认为学业成绩优秀与日均体育锻炼时长不小于1小时且小于2小时有关？（附：22(),n ad bc a b c d a c b d 其中n a b c d ， 2 3.8410.05P ．）9．（2024北京高考真题）某保险公司为了了解该公司某种保险产品的索赔情况，从合同险期限届满的保单中随机抽取1000份，记录并整理这些保单的索赔情况，获得数据如下表：赔偿次数01234单数800100603010假设：一份保单的保费为0.4万元；前3次索赔时，保险公司每次赔偿0.8万元；第四次索赔时，保险公司赔偿0.6万元.假设不同保单的索赔次数相互独立.用频率估计概率.(1)估计一份保单索赔次数不少于2的概率；(2)一份保单的毛利润定义为这份保单的保费与赔偿总金额之差.（i ）记X 为一份保单的毛利润，估计X 的数学期望 E X ；（ⅱ）如果无索赔的保单的保费减少4%，有索赔的保单的保费增加20%，试比较这种情况下一份保单毛利润的数学期望估计值与（i ）中 E X 估计值的大小．（结论不要求证明）10．（2024全国高考真题）某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成绩为0分；若至少投中一次，则该队进入第二阶段.第二阶段由该队的另一名队员投篮3次，每次投篮投中得5分，未投中得0分.该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和．某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为p ，乙每次投中的概率为q (1)若0.4p ，0.5q 5分的概率．(2)假设0p q ，（i ）为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大，应该由谁参加第一阶段比赛？（ii ）为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛？参考答案1．C【分析】根据相关系数的性质可得正确的选项.【详解】对于AB ，当气候温度高，海水表层温度变高变低不确定，故AB 错误.对于CD ，因为相关系数为正，故随着气候温度由低到高时，海水表层温度呈上升趋势，故C 正确，D 错误.故选：C.2．A【分析】由点的分布特征可直接判断【详解】观察4幅图可知，A 图散点分布比较集中，且大体接近某一条直线，线性回归模型拟合效果比较好，呈现明显的正相关，r 值相比于其他3图更接近1.故选：A 3．BC【分析】根据正态分布的3 原则以及正态分布的对称性即可解出.【详解】依题可知，22.1,0.01x s ，所以 2.1,0.1Y N ，故 2 2.10.1 2.10.10.84130.5P Y P Y P Y ，C 正确，D 错误；因为 1.8,0.1X N ，所以 2 1.820.1P X P X ，因为 1.80.10.8413P X ，所以 1.80.110.84130.15870.2P X ，而 2 1.820.1 1.80.10.2P X P X P X ，B 正确，A 错误，故选：BC ．4．0.85【分析】求出各题库所占比，根据全概率公式即可得到答案.【详解】由题意知，,,A B C 题库的比例为：5:4:3，各占比分别为543,,121212，则根据全概率公式知所求正确率5430.920.860.720.85121212p ．故答案为：0.85．5．3512【分析】结合列举法或组合公式和概率公式可求甲选到A 的概率；采用列举法或者条件概率公式可求乙选了A 活动，他再选择B 活动的概率.【详解】解法一：列举法从五个活动中选三个的情况有：,,,,,,,,,ABC ABD ABE ACD ACE ADE BCD BCE BDE CDE ,共10种情况，其中甲选到A 有6种可能性：,,,,,ABC ABD ABE ACD ACE ADE ，则甲选到A 得概率为：63105P；乙选A 活动有6种可能性：,,,,,ABC ABD ABE ACD ACE ADE ，其中再选则B 有3种可能性：,,ABC ABD ABE ，故乙选了A 活动，他再选择B 活动的概率为31=62.解法二：设甲、乙选到A 为事件M ，乙选到B 为事件N ，则甲选到A 的概率为 2435C 3C 5P M ；乙选了A 活动，他再选择B 活动的概率为 133524351C 2C C P MN C P N M P M故答案为：35；126．12/0.5【分析】将每局的得分分别作为随机变量，然后分析其和随机变量即可.【详解】设甲在四轮游戏中的得分分别为1234,,,X X X X ，四轮的总得分为X .该轮得分的概率 631448k P X，所以 31,2,3,48k E X k .从而 441234113382k k k E X E X X X X E X .记 0,1,2,3k p P X k k .如果甲得0分，则组合方式是唯一的：必定是甲出1，3，5，7分别对应乙出2，4，6，8，所以04411A 24p ；如果甲得3分，则组合方式也是唯一的：必定是甲出1，3，5，7分别对应乙出8，2，4，6，所以34411A 24p .而X 的所有可能取值是0，1，2，3，故01231p p p p ， 1233232p p p E X .所以121112p p，1213282p p ，两式相减即得211242p，故2312p p .所以甲的总得分不小于2的概率为2312p p .故答案为：12.【点睛】关键点点睛：本题的关键在于将问题转化为随机变量问题，利用期望的可加性得到等量关系，从而避免繁琐的列举.7．(1)答案见详解(2)答案见详解【分析】（1）根据题中数据完善列联表，计算2K，并与临界值对比分析；（2）用频率估计概率可得0.64p ，根据题意计算p .【详解】（1）根据题意可得列联表：优级品非优级品甲车间2624乙车间7030可得2215026302470754.687550100965416K，因为3.841 4.6875 6.635，所以有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异，没有99%的把握认为甲，乙两车间产品的优级品率存在差异.（2）由题意可知：生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品的频率为960.64 150，用频率估计概率可得0.64p ，又因为升级改造前该工厂产品的优级品率0.5p ，则0.50.50.5 1.650.56812.247p ，可知p p所以可以认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了. 8．(1)12500(2)0.9h(3)有【分析】（1）求出相关占比，乘以总人数即可；（2）根据平均数的计算公式即可得到答案；（3）作出列联表，再提出零假设，计算卡方值和临界值比较大小即可得到结论.【详解】（1）由表可知锻炼时长不少于1小时的人数为占比17943282558058，则估计该地区29000名学生中体育锻炼时长不少于1小时的人数为25 290001250058．（2）估计该地区初中生的日均体育锻炼时长约为10.50.511 1.5 1.522 2.51391911794328580222220.9 ．则估计该地区初中学生日均体育锻炼的时长为0.9小时.（3）由题列联表如下：1,2其他合计优秀455095不优秀177308485合计222358580提出零假设0H ：该地区成绩优秀与日均锻炼时长不少于1小时但少于2小时无关．其中0.05 ．22580(4530817750) 3.976 3.84195485222358．则零假设不成立，即有95%的把握认为学业成绩优秀与日均锻炼时长不小于1小时且小于2小时有关．9．(1)110(2)(i)0.122万元；(ii)这种情况下一份保单毛利润的数学期望估计值大于（i ）中 E X 估计值【分析】（1）根据题设中的数据可求赔偿次数不少2的概率;（2）（ⅰ）设 为赔付金额，则 可取0,0.8,0.1.6,2.4,3，用频率估计概率后可求 的分布列及数学期望，从而可求 E X .（ⅱ）先算出下一期保费的变化情况，结合（1）的结果可求 E Y ，从而即可比较大小得解.【详解】（1）设A 为“随机抽取一单，赔偿不少于2次”，由题设中的统计数据可得 603010180010060301010P A.（2）（ⅰ）设 为赔付金额，则 可取0,0.8,1.6,2.4,3，由题设中的统计数据可得 800410010,0.810005100010P P ，603( 1.6)100050P ，303( 2.4)1000100P ，101(3)1000100P，故 4133100.8 1.6 2.430.27851050100100E故 0.40.2780.122E X （万元）.（ⅱ）由题设保费的变化为410.496%0.4 1.20.403255，故 0.1220.40320.40.1252E Y （万元），从而 E X E Y .10．(1)0.686(2)（i ）由甲参加第一阶段比赛；（i ）由甲参加第一阶段比赛；【分析】（1）根据对立事件的求法和独立事件的乘法公式即可得到答案；（2）（i ）首先各自计算出331(1)P p q 甲，331(1)Pq p 乙，再作差因式分解即可判断；(ii)首先得到X 和Y 的所有可能取值，再按步骤列出分布列，计算出各自期望，再次作差比较大小即可.【详解】（1）甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分，则甲第一阶段至少投中1次，乙第二阶段也至少投中1次，比赛成绩不少于5分的概率 3310.610.50.686P .（2）（i ）若甲先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为331(1)P p q 甲，若乙先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为331(1)P q p 乙，0p q ，3333()()P P q q pq p p pq 甲乙2222()()()()()()q p q pq p p q p pq q pq p pq q pq2222()333p q p q p q pq 3()()3()[(1)(1)1]0pq p q pq p q pq p q p q ，P P 甲乙，应该由甲参加第一阶段比赛.(ii)若甲先参加第一阶段比赛，比赛成绩X 的所有可能取值为0，5，10，15，333(0)(1)1(1)(1)P X p p q， 3213511C 1P X p q q ，3223(10)1(1)C (1)P X p q q ，33(15)1(1)P X p q ，332()151(1)1533E X p q p p p q记乙先参加第一阶段比赛，比赛成绩Y 的所有可能取值为0，5，10，15，同理 32()1533E Y q q q p()()15[()()3()]E X E Y pq p q p q pq p q 15()(3)p q pq p q ，因为0p q ，则0p q ，31130p q ，则()(3)0p q pq p q ，应该由甲参加第一阶段比赛.【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是计算出相关概率和期望，采用作差法并因式分解从而比较出大小关系，最后得到结论.。
版高考数学一轮总复习概率与统计中的条件概率计算
版高考数学一轮总复习概率与统计中的条件概率计算1.条件概率的定义和计算方法：条件概率是指在其中一条件下事件发生的概率。
设A、B为两个事件，且P(B)不为0，则事件B发生的条件下事件A发生的概率记为P(A，B)。
条件概率的计算方法如下：P(A，B)=P(A∩B)/P(B)其中，P(A∩B)表示事件A与事件B同时发生的概率，P(B)表示事件B发生的概率。
若事件A与事件B相互独立，则有P(A，B)=P(A)，即事件B的发生与事件A的发生无关。
2.条件概率的应用举例：考虑一个简单的例子：一袋中有红球和蓝球，总共有10个球，其中4个是红球，6个是蓝球。
现在从袋中随机取出一个球，如果这个球是红球，则把它放回袋中；如果是蓝球，则把它放回袋外。
然后再次从袋中随机取出一个球。
求第二次取出的球是红球的概率。
设事件A表示第二次取出的球是红球，事件B表示第一次取出的球是红球。
根据题意，我们可以知道P(B)=4/10=2/5，也就是说第一次取出的球是红球的概率为2/5、又因为第一次取出的球是红球，所以袋中的球数不变，红球数仍为4个，蓝球数仍为6个。
因此根据袋中球数，我们可以知道第二次取出的球是红球的概率为P(A，B)=4/10=2/5，与第一次取出的球是否为红球无关。
从这个例子可以看出，事件B对事件A的发生没有影响，即事件B的发生与事件A的发生是相互独立的。
3.乘法定理：乘法定理是条件概率的一个重要定理。
设A、B为两个事件，且P(B)不为0，则有：P(A∩B)=P(B)×P(A，B)乘法定理的应用举例：假设一个班级中有50人，其中30人喜欢数学，20人喜欢物理，15人同时喜欢数学和物理。
现在从这个班级中随机选择一名同学，他同时喜欢数学和物理的概率是多少？设事件A表示该同学喜欢数学，事件B表示该同学喜欢物理。
根据题意可以知道P(A)=30/50=3/5，P(B)=20/50=2/5，P(A∩B)=15/50=3/10。
2025年高考数学一轮复习课件第九章概率与统计-专题突破18概率与统计综合问题
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解：（1）设 =“小张选择甲类问题”， =“小张答对所选问题”， =“小张至少答对
一个问题”，则 =“小张选择乙类问题”， =“小张未答对所选问题”， =
“小张一个问题都没答对”.
由题意，知 = = 0.5， | = 0.9， | = 0.1， | = 0.7，
= 0 × 0.3 + 50 × 0.07 + 80 × 0.63 = 53.9.
因为 > ，所以小张应选择先回答甲类问题．
【点拨】概率中的比赛问题是高考命题热点,常以生活中常见赛制为背景,通过设
置一定的限制条件,考查考生逻辑思维能力及利用概率知识解决实际问题的能力.
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（1）根据频率分布直方图，求重量超过505 g的产品数量；
（2）在抽取的40件产品中任取2件，设为重量超过505 g的产品数量，求的分布列；
（3）从流水线上任取5件产品，求恰有2件产品的重量超过505 g的概率．
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解：（1）根据频率分布直方图，可知重量超过505 g的频率为 0.05 + 0.01 × 5 = 0.3.
第九章 概率与统计
专题突破18 概率与统计综合问题
核心考点
课时作业
考点一 概率中的比赛问题
例1 某学校组织“数学文化”知识竞赛，有甲、乙两类问题.每位参加比赛的选手先在两
类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该选手比赛结束；若
回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该选手比
种选法，
所以某箱产品抽检被记为B的概率 = 1 −
C2 +C22
C2+2
=1−
版高考数学一轮总复习概率与统计中的区间估计问题
版高考数学一轮总复习概率与统计中的区间估计问题概率与统计是高中数学的重要内容之一，也是高考数学考试的重点知识点。
其中，区间估计是概率与统计中的一个重要概念，用于对总体参数进行估计。
本文将重点介绍区间估计的概念、原理和应用，并通过例题来进一步说明。
一、区间估计的概念区间估计是指利用样本统计量来对总体参数进行估计，并给出一个范围，可以称之为置信区间。
其中，总体参数可以是总体平均数、总体比例、总体标准差等。
置信区间由一个下限和一个上限构成，表示对总体参数的估计范围。
二、区间估计的原理区间估计的原理基于样本的随机性和样本统计量的抽样分布。
假设我们要估计总体平均数μ，首先从总体中随机抽取一个样本，然后计算样本平均数μ 。
根据中心极限定理，当样本容量足够大时，样本平均数的抽样分布近似服从正态分布。
假设我们希望得到一个置信水平为(1 − μ)的区间估计，那么我们需要找到样本平均数μ 与总体平均数μ之间的关系。
根据正态分布的性质，我们可以得到以下公式：μ − μ (μ/2) *μ/√μ≤ μ≤ μ + μ (μ/2) *μ/√μ其中，μ(μ/2)表示标准正态分布在尾部的面积，μ为显著性水平，μ为总体标准差，μ为样本容量。
三、区间估计的应用区间估计在实际问题中有着广泛的应用。
例如，某手机品牌声称其电池寿命平均为30小时，现在要对此进行验证。
我们可以随机抽取20部手机，记录其电池寿命，并计算样本平均数为28小时，样本标准差为3小时。
现在我们希望以95%的置信水平估计该手机品牌电池寿命的真实情况。
根据公式，我们可以得到置信区间为：28 - μ(0.025)*3/√20 ≤ μ≤ 28 + μ(0.025)*3/√20利用标准正态分布的对应值，我们可以计算出μ(0.025) ≈ 1.96，代入公式中得到：28 - 1.96*3/√20 ≤ μ≤ 28 + 1.96 *3/√20计算得到，置信区间为27.029小时≤ μ≤ 28.971小时。
高考复习概率与统计知识点归纳总结
高考复习概率与统计知识点归纳总结概率与统计是高中数学中的一大重点和难点。
在高考中，这一部分的知识点占有相当大的比重，因此学生需要在复习阶段集中精力，深入理解和掌握相关的知识点。
本文将对高考概率与统计的知识点进行归纳总结，以帮助学生们更好地复习和备考。
一、概率基本概念1. 随机事件与样本空间：随机事件是对某一随机试验的结果的一种描述，样本空间是一个随机试验中可能出现的所有结果的集合。
2. 事件的概率：事件A发生的概率用P(A)表示，其计算公式为P(A) = 事件A的可能结果数 / 样本空间的结果总数。
3. 事件的互斥与对立：互斥事件指的是两个事件不可能同时发生，对立事件指的是两个事件中一个必然发生，另一个必然不发生。
4. 事件的独立性：两个事件相互独立指的是一个事件的发生不受另一个事件的影响，它们的概率计算是相互独立的。
二、排列与组合1. 排列：排列是从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素，按一定的顺序排列成一列。
公式为An^m = n(n-1)(n-2)...(n-m+1)。
2. 组合：组合是从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素，不考虑排列顺序。
公式为Cn^m = n! / (m!(n-m)!)。
三、事件概率的计算1. 加法定理：对于两个事件A和B，其和事件A∪B的概率为P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)。
2. 乘法定理：对于两个独立事件A和B，其积事件A∩B的概率为P(A∩B) = P(A) × P(B)。
3. 全概率公式：对于一组互斥事件A1、A2、...、An，其和事件A的概率为P(A) = P(A1) + P(A2) + ... +P(An)。
4. 条件概率公式：对于两个事件A和B，已知事件B发生的条件下事件A发生的概率为P(A|B) = P(A∩B) / P(B)。
四、随机变量与概率分布1. 随机变量：随机变量是随机试验结果的函数，它的取值是随机的。
2025年高考数学一轮复习课件第九章概率与统计-9.9正态分布
备是否需要进一步调试，说明你的理由.
附：若～ , 2 ，则 − 2 < < + 2 ≈ 0.954 5，
− 3 < < + 3 ≈ 0.997 3.
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解：（1） =
2 =
1
10
1
10
× 87 + 87 + 88 + 92 + 95 + 97 + 98 + 99 + 103 + 104 = 95，
× 64 + 64 + 49 + 9 + 0 + 4 + 9 + 16 + 64 + 81 = 36，则 = 6.
（2）①因为 ∼ 95,36 ，所以
> 107 = > + 2 ≈ 0.5 −
率约为
1
2
1 − 0.682 7 = 0.158 65.所以理论上在130分以上的人数约为0.158 65 × 40 ≈
6.故选C.
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考点三 正态分布的应用
例3 某车间生产一批零件，现从中随机抽取10个零件，测量其内径（单位：cm）的
数据如下：
87 87 88 92 95 97 98 99 103 104
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（4）在参数 取固定值时，正态曲线的位置由 确定，且随着 的变化而沿
轴
_____平移，如图1所示.
图1
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（5）当 取定值时，正态曲线的形状由 确定.当 较小时，峰值高，曲线
高考数学复习：概率与统计的综合问题
思维升华
高考常将回归模型与分布列等交汇在一起进行考查，求经验回归方程 时要充分利用已知数据，合理利用公式减少运算.求解概率问题时要 注意概率模型的应用，明确所求问题所属的事件类型是关键.
跟踪训练2 (2023·武汉模拟)某企业计划新购买100台设备，并将购买的 设备分配给100名年龄不同(视为技术水平不同)的技工加工一批模具，因 技术水平不同而加工出的产品数量不同，故产生的经济效益也不同.若用 变量x表示不同技工的年龄，变量y为相应的效益值(元)，根据以往统计经验，
6
6
参考数据：y2i ＝3 463， (yi－ y )2＝289.
i＝1
i＝1
参考公式： r＝
n
xi－ x yi－ y
n
xi－ x yi－ y
i＝1
i＝1
，b^ ＝
，
n
xi－ x 2
n
yi－ y 2
n
xi－ x 2
i＝1
i＝1
i＝1
a^ ＝ y －b^ x .
6
6
因为xi＝54，所以 x ＝9，所以 (xi－ x )2＝64，
X的分布列为
X
0
1
2
P
1 30
1 3
19 30
E(X)＝0×310＋1×13＋2×3109＝85.
思维升华
高考常将频率分布直方图与分布列等交汇在一起进行考查，解题时要正 确理解频率分布直方图，能利用频率分布直方图正确计算出各组数据. 概率问题以计算为主，往往和实际问题相结合，要注意理解实际问题的 意义，使之和相应的概率计算对应起来.
X0 1 2 3 4
P
1 256
3 64
27 128
高考数学2024概率与统计历年题目全解
高考数学2024概率与统计历年题目全解概率与统计作为高考数学中的重要部分，一直是考生们难以逾越的“坎”。
为了帮助广大考生更好地应对高考概率与统计部分的考题，本文将对高考数学2024年概率与统计题目进行全面解析，希望能够为考生们提供帮助和指导。
1. 选择题部分选择题是高考中概率与统计部分的常见题型，也是考生们容易出错的地方。
以下是2024年高考概率与统计选择题的解答：题目一：已知事件A发生的概率为P(A)=0.6，事件B发生的概率为P(B)=0.3，且事件A与事件B相互独立。
求事件A发生且事件B不发生的概率。
解答一：事件A发生且事件B不发生，表示为A发生的概率P(A)乘以B不发生的概率P(B')，即P(A且B')=P(A)×P(B')=0.6×(1-0.3)=0.6×0.7=0.42。
因此，事件A发生且事件B不发生的概率为0.42。
题目二：已知事件C发生的概率为P(C)=0.4，事件D发生的概率为P(D)=0.5，且事件C与事件D相互独立。
求事件C或事件D发生的概率。
解答二：事件C或事件D发生，表示为C发生的概率P(C)加上D发生的概率P(D)，即P(C或D)=P(C)+P(D)=0.4+0.5=0.9。
因此，事件C或事件D发生的概率为0.9。
2. 计算题部分计算题是概率与统计部分的重要考察内容，需要考生们掌握一定的计算方法和技巧。
以下是2024年高考概率与统计计算题的解答：题目一：某班有40名学生，其中20名男生、20名女生。
现从该班级随机选取3名学生，求选出的3名学生全为男生的概率。
解答一：选出的3名学生全为男生的概率等于从20名男生中选取3名学生的概率除以从40名学生中选取3名学生的概率。
即P(全为男生)=C(20,3)/C(40,3)=[20×19×18]/[40×39×38]=0.0283。
因此，选出的3名学生全为男生的概率为0.0283。
高考数学一轮总复习概率与统计解题技巧与方法总结
高考数学一轮总复习概率与统计解题技巧与方法总结在高考数学中，概率与统计是一个重要的知识点，也是考试中常常涉及的内容。
掌握概率与统计解题的技巧和方法，对于提高数学成绩至关重要。
本文将总结一些高考数学概率与统计解题的技巧与方法，希望能对广大考生有所帮助。
一、概率解题技巧与方法1. 理解基本概念：在解概率题时，首先要理解基本概念，如概率、样本空间、随机变量等。
只有对这些基本概念有深刻的理解，才能更好地解题。
2. 利用树状图：树状图是概率解题常用的工具，特别适用于多次实验的情况。
通过画出树状图，可以清晰地展示出每次实验的结果和对应的概率，进而计算出整个事件发生的概率。
3. 排列组合与概率的结合：当求解一些带有限定条件的概率问题时，可以结合排列组合的知识来解决。
通过排列组合的思想，可以确定事件发生的总数，从而计算出概率。
4. 利用条件概率：在解题过程中，经常会涉及到条件概率。
利用条件概率的性质，可以将问题分解为多个子问题，通过计算各个子问题的概率，最终得到所求事件的概率。
二、统计解题技巧与方法1. 数据整理与分析：在统计解题中，首先要将给定的数据进行整理和分析。
通过整理数据，可以清晰地了解到底有哪些数据，从而为后续的解题提供有效的信息。
2. 构建统计图表：构建统计图表是统计解题中常用的方法之一。
通过绘制条形图、折线图、散点图等，可以直观地展示数据之间的关系，进而进行数据的比较和分析。
3. 正确选择统计指标：在解题过程中，需要根据具体的问题选择合适的统计指标。
常见的统计指标有平均数、中位数、众数等，根据问题的要求选择合适的指标进行计算。
4. 运用概率与统计的基本原理：在统计解题中，概率与统计的基本原理经常会被运用到。
通过理解与运用这些基本原理，可以更好地解决统计问题，提高解题效率。
总之，高考数学概率与统计解题在考试中占据较大的比重，掌握解题技巧和方法是提高数学成绩的关键。
通过理解基本概念、使用树状图、结合排列组合与概率、利用条件概率等技巧，以及进行数据整理与分析、构建统计图表、选择合适的统计指标以及运用概率与统计的基本原理等方法，可以辅助考生更好地应对概率与统计解题的挑战。
高考数学概率统计知识点(大全)
高考数学概率统计知识点（大全）高考数学概率统计知识点一、随机事件(1)事件的三种运算：并(和)、交(积)、差;注意差A—B可以表示成A与B 的逆的积。
(2)四种运算律：交换律、结合律、分配律、德莫根律。
(3)事件的五种关系：包含、相等、互斥(互不相容)、对立、相互独立。
二、概率定义(1)统计定义：频率稳定在一个数附近，这个数称为事件的概率;(2)古典定义：要求样本空间只有有限个基本事件，每个基本事件出现的可能性相等，则事件A所含基本事件个数与样本空间所含基本事件个数的比称为事件的古典概率;(3)几何概率：样本空间中的元素有无穷多个，每个元素出现的可能性相等，则可以将样本空间看成一个几何图形，事件A看成这个图形的子集，它的概率通过子集图形的大小与样本空间图形的大小的比来计算;(4)公理化定义：满足三条公理的任何从样本空间的子集集合到[0，1]的映射。
三、概率性质与公式(1)加法公式：P(A+B)=p(A)+P(B)—P(AB)，特别地，如果A与B互不相容，则P(A+B)=P(A)+P(B);(2)差：P(A—B)=P(A)—P(AB)，特别地，如果B包含于A，则P(A—B)=P(A)—P(B);(3)乘法公式：P(AB)=P(A)P(B|A)或P(AB)=P(A|B)P(B)，特别地，如果A与B相互独立，则P(AB)=P(A)P(B);(4)全概率公式：P(B)=∑P(Ai)P(B|Ai)。
它是由因求果，贝叶斯公式：P(Aj|B)=P(Aj)P(B|Aj)/∑P(Ai)P(B|Ai)。
它是由果索因;如果一个事件B可以在多种情形(原因)A1，A2，...，An下发生，则用全概率公式求B发生的概率;如果事件B已经发生，要求它是由Aj引起的概率，则用贝叶斯公式。
(5)二项概率公式：Pn(k)=C(n，k)p^k(1—p)^(n—k)，k=0，1，2，...，n。
当一个问题可以看成n重贝努力试验(三个条件：n次重复，每次只有A与A的逆可能发生，各次试验结果相互独立)时，要考虑二项概率公式。
新教材适用2024版高考数学二轮总复习第1篇专题6概率与统计第3讲统计与成对数据的分析核心考点2用样
核心考点2 用样本估计总体核心知识· 精归纳1.频率分布直方图的相关结论(1)直方图中各小长方形的面积之和为1.(2)直方图中纵轴表示频率组距，故每组样本的频率为组距×频率组距，即矩形的面积． (3)直方图中每组样本的频数为频率×总数． 2.中位数、众数、平均数、百分位数 (1)中位数 将一组数据按大小依次排列，处于最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的_中位数__.(2)众数一组数据中出现次数_最多__的数据称为这组数据的众数．(3)平均数 一组数据的_算术平均数__即为这组数据的平均数，n 个数据x 1，x 2，…，x n 的平均数x ＝ 1n(x 1＋x 2＋…＋x n ) . (4)百分位数①第p 百分位数的定义：一般地，一组数据的第p 百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有p %的数据_小于或等于__这个值，且至少有 (100－p)% 的数据大于或等于这个值．②计算一组n 个数据的第p 百分位数的步骤：第1步，按_从小到大__排列原始数据．第2步，计算i ＝_n ×p %__.第3步，若i 不是整数，而大于i 的比邻整数为j ，则第p 百分位数为第j 项数据；若i 是整数，则第p 百分位数为第i 项与第_(i ＋1)__项数据的平均数．3.样本的数字特征如果有n 个数据x 1，x 2，…，x n ，那么：平均数为x ＝ 1n(x 1＋x 2＋…＋x n ) ， 标准差为s ＝1n [x 1－x 2＋x 2－x 2＋…＋x n －x 2]，方差为s 2＝ 1n[(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2] .多维题组· 明技法角度1：统计图表1. (2023·郑州三模)为了树立和践行绿水青山就是金山银山的理念，A市某高中全体教师于2023年3月12日开展植树活动，购买柳树、银杏、梧桐、樟树四种树苗共计600棵，比例如图所示．青年教师、中年教师、老年教师报名参加植树活动的人数之比为5∶3∶2，若每种树苗均按各年龄段报名人数的比例进行分配，则中年教师应分得梧桐的数量为( C )A．30棵B．50棵C．72棵D．80棵【解析】由题意可知，梧桐树苗有40%×600＝240颗，根据人数占比可得中年教师应分得梧桐的数量为240×35＋3＋2＝72颗．故选C.2. (2023·市中区校级二模)某调查机构抽取了部分关注济南地铁建设的市民作为样本，分析其年龄和性别结构，并制作出如下等高条形图．根据图中(35岁以上含35岁)的信息，关于该样本的结论不一定正确的是( C )A．男性比女性更关注地铁建设B．关注地铁建设的女性多数是35岁以上C．35岁以下的男性人数比35岁以上的女性人数多D．35岁以上的人对地铁建设关注度更高【解析】由等高条形图可得：由左图知，样本中男性数量多于女性数量，所以男性比女性更关注地铁建设，故A正确；由右图知女性中35岁以上的占多数，从而样本中多数女性是35岁以上，从而得到关注地铁建设的女性多数是35岁以上，故B正确；由左图知男性人数大于女性人数，由右图知35岁以下的男性占男性人数比35岁以上的女性占女性人数的比例少，所以无法判断35岁以下的男性人数与35岁以上的女性人数的多少，故C不一定正确；由右图知样本中35岁以上的人对地铁建设关注度更高，故D正确．故选C.3. (2023·雁塔区校级模拟)某滑冰馆统计了某小区居民在该滑冰馆一个月的锻炼天数，得到如图所示的频率分布直方图(将频率视为概率)，则下列说法正确的是( B )A ．该小区居民在该滑冰馆的锻炼天数在区间(25,30]内的最少B ．估计该小区居民在该滑冰馆的锻炼天数超过15天的概率为0.465C ．估计该小区居民在该滑冰馆的锻炼天数的中位数为16D ．估计小区居民在该滑冰馆的锻炼天数的平均值为15【解析】 该小区居民在该滑冰馆的锻炼天数在区间(20,25]内的最少，A 错误；估计该小区居民在该滑冰馆的锻炼天数超过15天的概率为(0.06＋0.013＋0.02)×5＝0.465，B 正确；(0.02＋0.04)×5＝0.3，(0.02＋0.04＋0.047)×5＝0.535，∴中位数落在区间[10,15)，设中位数为x ，则：0.3＋(x －10)×0.047＝0.5，解得x ≈14，C 错误；0.013×5×52＋0.04×5×5＋102＋0.047×5×10＋152＋0.06×5×15＋202＋0.013×5×20＋252＋0.02×5×25＋302≈14，D 错误．故选B. 角度2：样本与总体数据的估计4. (2023·长沙模拟)某校1 000名学生参加环保知识竞赛，随机抽取了20名学生的考试成绩(单位：分)，成绩的频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是( D )A ．频率分布直方图中a 的值为0.004B ．估计这20名学生考试成绩的第60百分位数为75C ．估计这20名学生数学考试成绩的众数为80D ．估计总体中成绩落在[60,70)内的学生人数为150【解析】 由频率分布直方图，得：10(2a ＋3a ＋7a ＋6a ＋2a )＝1，解得a ＝0.005，故A错误；前三个矩形的面积和为10(2a＋3a＋7a)＝0.6，∴这20名学生数学考试成绩的第60百分数为80，故B错误；这20名学生数学考试成绩的众数为75，故C错误；总体中成绩落在[60,70)内的学生人数为3a×10×1 000＝150，故D正确．故选D.5. (多选)(2023·台江区校级模拟)在某市高三年级举行的一次调研考试中，共有30 000人参加考试．为了解考生的某科成绩情况，抽取了样本容量为n的部分考生成绩，已知所有考生成绩均在[50,100]，按照[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]的分组作出如图所示的频率分布直方图．若在样本中，成绩落在区间[50,60)的人数为16，则由样本估计总体可知下列结论正确的为( AC )A．x＝0.016B．n＝1 000C．考生成绩的第70百分位数为76D．估计该市全体考生成绩的平均分为71【解析】因为(x＋0.030＋0.040＋0.010＋0.004)×10＝1，解得x＝0.016，故A正确；因为成绩落在区间[50,60)内的人数为16，所以样本容量n＝160.016×10＝100，故B错误；因为(0.016＋0.030)×10＝0.46＜0.7，(0.016＋0.030＋0.040)×10＝0.86＞0.7，所以考生成绩的第70百分位数落在区间[70,80)，设考生成绩的第70百分位数为x，则0.46＋(x－70)×0.04＝0.7，解得x＝76，即考生成绩的第70百分位数为76，故C正确；学生成绩平均分为0.016×10×55＋0.030×10×65＋0.040×10×75＋0.010×10×85＋0.004×10×95＝70.6，故D错误．故选AC.角度3：样本数据的数字特征6. (2023·河南三模)某学校对班级管理实行量化打分，每周一总结，若一个班连续5周的量化打分不低于80分，则为优秀班级．下列能断定该班为优秀班级的是( D ) A．某班连续5周量化打分的平均数为83，中位数为81B．某班连续5周量化打分的平均数为83，方差大于0C．某班连续5周量化打分的中位数为81，众数为83D．某班连续5周量化打分的平均数为83，方差为1【解析】根据题意，依次分析选项：对于A，若数据为88,87,81,80,79，满足平均数为83，中位数为81，但不能断定该班为优秀班级；对于B，若数据为88,87,81,80,79，满足平均数为83，其方差一定大于0，但不能断定该班为优秀班级；对于C ，若数据为83,83,81,80,79，满足中位数为81，众数为83，但不能断定该班为优秀班级；对于D ，设数据的最低分为x ，若数据平均数为83，方差为1，则有(83－x )2＜5，必有x ＞80，可以断定该班为优秀班级．故选D.7. (2023·雁峰区校级模拟)若数据x 1＋m 、x 2＋m 、…、x n ＋m 的平均数是5，方差是4，数据3x 1＋1、3x 2＋1、…、3x n ＋1的平均数是10，标准差是s ，则下列结论正确的是( A )A ．m ＝2，s ＝6B ．m ＝2，s ＝36C ．m ＝4，s ＝6D ．m ＝4，s ＝36 【解析】 根据题意，设数据x 1、x 2、…、x n 的平均数为x －，标准差为σ，数据3x 1＋1、3x 2＋1、…、3x n ＋1的平均数是10，则3x 1＋1＋3x 2＋1＋…＋3x n ＋1n ＝3x 1＋x 2＋…＋x n n＋1＝3x －＋1＝10，可得x －＝3，而数据x 1＋m 、x 2＋m 、…、x n ＋m 的平均数是5，则有x 1＋m ＋x 2＋m ＋…＋x n ＋m n ＝x 1＋x 2＋…＋x n n ＋m ＝x －＋m ＝5，可得m ＝2，由方差公式可得[x 1＋m －x －＋m ]2＋[x 2＋m －x －＋m ]2＋…＋[x n ＋m －x －＋m ]2n ＝x 1－x －2＋x 2－x －2＋…＋x n －x －2n＝σ2＝4，s 2＝[3x 1＋1－3x －＋1]2＋[3x 2＋1－3x －＋1]2＋…＋[3x n ＋1－3x －＋1]2n ＝9x 1－x －2＋9x 2－x －2＋…＋9x n －x －2n ＝9σ2＝36，解得s ＝6.故选A. 方法技巧· 精提炼1.关于平均数、方差的计算(1)利用平均数、方差的性质可简化运算，要熟记．(2)方差描述一组数据围绕平均数波动的幅度．2.频率分布直方图中数字特征的计算(1)最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数．(2)中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的．(3)平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和．加固训练· 促提高1. (2023·湖北模拟)云南某镇因地制宜，在政府的带领下，数字力量赋能乡村振兴，利用“农抬头”智慧农业平台，通过大数据精准分析柑橘等特色产业的生产数量、价格走势、市场供求等数据，帮助小农户找到大市场，开启“直播＋电商”销售新模式，推进当地特色农产品“走出去”；通过“互联网＋旅游”聚焦特色农产品、绿色食品、生态景区资源．下面是2022年7月到12月份该镇甲、乙两村销售收入统计数据(单位：百万)：甲：5,6,6,7,8,16；乙：4,6,8,9,10,17.根据上述数据，则( B )A ．甲村销售收入的第50百分位数为7百万B ．甲村销售收入的平均数小于乙村销售收入的平均数C ．甲村销售收入的中位数大于乙村销售收入的中位数D ．甲村销售收入的方差大于乙村销售收入的方差【解析】 因为6×0.5＝3，所以这组数据的第50百分位数为6＋72＝6.5，故A 错误；x 甲＝16×(5＋6＋6＋7＋8＋16)＝8，x 乙＝16×(4＋6＋8＋9＋10＋17)＝9，故甲村销售收入的平均数小于乙村销售收入的平均数，故B 正确；甲村销售收入的中位数为6＋72＝6.5，乙村销售收入的中位数为8＋92＝8.5，则甲村销售收入的中位数小于乙村销售收入的中位数，故C 错误；甲村销售收入的方差s 21＝16×[(5－8)2＋(6－8)2＋(6－8)2＋(7－8)2＋(8－8)2＋(16－8)2]＝413，乙村销售收入的方差s 22＝16×[(4－9)2＋(6－9)2＋(8－9)2＋(9－9)2＋(10－9)2＋(17－9)2]＝503，所以甲村销售收入的方差小于乙村销售收入的方差，故D 错误．故选B.2. (2023·碑林区校级模拟)如图，一组数据x 1，x 2，x 3，…，x 9，x 10的平均数为5，方差为s 21，去除x 9，x 10这两个数据后，平均数为x －，方差为s 22，则( D )A.x －＞5，s 21＞s 22B ．x －＜5，s 21＜s 22 C.x －＝5，s 21＜s 22 D ．x －＝5，s 21＞s 22【解析】 由题意可得：110∑i ＝110x i ＝5，x 9＝1，x 10＝9，则∑i ＝110x i ＝50，故x ＝18∑i ＝18x i ＝18(∑i ＝110x i －x 9－x 10)＝18(50－1－9)＝5，∵x 9，x 10是波幅最大的两个点的值，则去除x 9，x 10这两个数据后，整体波动性减小，故s 21＞s 22.故选D.。
高考数学概率与统计部分知识点梳理
高考复习专题之：概率与统计一、概率：随机事件A 的概率是频率的稳定值，反之，频率是概率的近似值.P （A ）=O ；注：求随机概率的三种方法: （-）枚举法例1如图1所示，有一电路A3是由图示的开关控制，闭合a ，b, c,d, e 五个开关中的任意两个开关，使电路形成通路.则使电路形成通路的概率是 ________ .分析：要计算使电路形成通路的概率，列举出闭合五个开关中的任意两个可能出现的结果总数，从中找出能使电路形成通路的结果数，根据概率的意义计算即可。
解：闭合五个开关中的两个，可能出现的结果数有10种，分别是ab. ac 、ad 、ae 、be. bd. be. cd 、ce 、de, 英中能形成通路的有6种，所以p （通路）=—=-10 5评注:枚举法是求概率的一种重要方法，这种方法一般应用于可能出现 的结果比较少的事件的概率计算. （-）树形图法例2小刚和小明两位同学玩一种游戏•游戏规则为：两人各执“象、虎、鼠”三张牌，同时0出一张牌龙胜负, 英中象胜虎.虎胜鼠、鼠胜象，若两人所出牌相同，则为平局.例如，小刚岀象牌，小明出虎牌，则小刚胜：又 如,两人同时出象牌，则两人平局.如果用A 、B 、C 分别表示小刚的象、虎、鼠三张牌，用B,、G 分别表示小明 的象、虎、鼠三张牌，那么一次出牌小刚胜小明的概率是多少？分析：为了淸楚地看出小亮胜小刚的概率，可用树状图列出所有可能出现的结 果，并从中找出小刚胜小明可能出现的结果数。
解：画树状图如图树状图。
由树状图（树形图）或列表可知，可能出现的结果 有9种，而且每种结果岀现的可能性相同，苴中小刚胜小明的结果有3种.所 以P （—次出牌小刚胜小明）二13点评:当一事件要涉及两个或更多的因素时，为了不重不漏地列出所有可能的结 果，通过画树形图的方法来计算概率 （三）列表法例3将图中的三张扑克牌背面朝上放在桌而上，从中随机摸岀两张，并用这两张扑克牌上的数字组成一个两位 数.请你用画树形（状）图或列表的方法求：（1）组成的两位数是偶数的概率；（2）组成的两位数是6的倍数 的槪率. 分析：本题可通过列表的方法，列出所有可能组成的两位数的可能情况，然后再找岀组成的两位数是偶数的可能 情况和组成两位数小刚 小明小刚 小明开始图1ABC虫 1 5i Ci是6的倍数的可能情况。
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b
i1 n
xi2
2
nx
, a y bˆx,
i1
上述方程对应的直线叫做回归直线,而对两个变量所进行的
上述统计分析叫做线性回归分析.
相关系数
n
xi yi nxy
r
i1
xi2
2
nx
n
yi2
n
2
y
i1
i1
用相关系数来描述线性相关关系的强弱.当r>0时,两个变量 正相关;当r<0时,两个变量负相关,r的绝对值越接近1,表 明两个变量的线性相关性越强,r的绝对值接近于0,表明两 个变量之间几乎不存在线性相关关系.通常当|r|大于r0.05 时,认为两个变量有很强的线性相关关系,因而求回归直线 方程才有意义.
1.(2010·重庆)某单位有职工750人,其中青年职工350人,中 年职工250人,老年职工150人,为了了解该单位职工的健康 情况,用分层抽样的方法从中抽取样本.若样本中的青年职 工为7人,则样本容量为( )
A.7
B.15
C.25
D.35
解析:设样本容量为n,则依题意有 3 5 0 750
(2)2×2列联表
一般地,假设有两个分类变量X和Y,它们的值域分别为{x1,x2} 和{y1,y2},其样本频数列联表(称为2×2列联表)为
n(adbc)2
K2= (ab)(cd)(ac)(bd)
用它的大小
可以决定是否拒绝原来的统计假设H0,如果K2值较大,就拒
绝H0,即拒绝事件A与B无关.
考点陪练
总体中所有个体的平均数叫做总体平均数.
样本中所有个体的平均数叫做样本平均数,如果在n个数据中
,x1出现了f1次,x2出现f2次,…,xk出现fk次(这里
f1+f2+…+fk=n),那么 x 1 叫做这n个数的加权平均数n .
(x1f1+x2f2+…+xkfk),
2样本方差,标准差设样本的元素为x1,x2,,xn,样本的
3.频率分布表､频率分布直方图与茎叶图 (1)频率分布
样本中所有数据(或者数据组)的频数和样本容量的比,就是 该数据的频率.所有数据(或者数据组)的频率的分布变化 规律叫做频率分布,可以用频率分布表､频率分布直方图､ 频率分布折线图､茎叶图等来表示.
(2)频率分布折线图:连接频率分布直方图中各小长方形上端 的中点,就得到频率分布折线图.
(3)总体密度曲线 如果样本容量不断增大,分组的组距不断缩小,则频率分布直
方图实际上越来越接近于总体在各小组内所取值的个数与 总数比值的大小,它可以用一光滑曲线来描绘,这条光滑曲 线就叫做总体密度曲线. (4)茎叶图表示数据有两个突出的优点,其一是统计图上没有 原始数据的损失,所有信息都可以从这个茎叶图中得到,其 二是在比赛时随时记录,方便记录与表示.
数据点和它在回归直线上相应位置的差异(y1- y
i)是随机
误差效应,称e
y i=yi-
n
i为残差,将所得值平方后加起
来,用数学符号表 示为 y
(yi-
i)2称为残差平
方和,它代表了随i 1机误差的效应.
8.独立性检验 (1)分类变量的定义 如果某种变量的不同“值”表示个体所属的不同类别,像这
样的变量称为分类变量.
4.用样本的数字特征估计总体的数字特征 (1)众数,中位数,平均数 在一组数据中,出现次数最多的数据叫做这组数据的众数. 将一组数据按大小依次排列,把处在中间位置的一个数据(或
中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数.
如果n个数,x1,x2,…,xn,那么
x1 n
(x1+x2+…+xn)叫做这n个数的平均数.
方程为 yˆabx,则
我们将这个方程叫做回归直线方程,a,b叫做回归系数,相应 的直线叫做回归直线.
(2)最小二乘法 使离差平方和Q=(y1-bx1-a)2+(y2-bx2-a)2+…+(yn-bxn-a)2为
最小的方法,叫做最小二乘法.
7.回归分析
n
xi yi nxy
(1)回归直线方程
y
=bx+a中,
第十模块 概率与统计 第四十八讲 随机抽样､用样本估计 总体､变量间的相互关系､统计案例
回归课本
1.样本及抽样的定义
(1)在数理统计中称研究对象的全体为总体,组成总体的每一 个基本单元为个体,从总体中抽取若干个个体x1,x2,…,xn, 这样的n个个体x1,x2,…,xn称为大小为n(容量为n)的一个 样本.
大,这种相关称为正相关;反之,如果一个变量的值由小变 大时,另一个变量的值在由大到小,这种关系称为负相关. 变量间的这种关系与函数关系不同,它是一种非确定关系.
(2)散点图:表示具有相关关系的两个变量的一组数据的图 形叫做散点图.
6.回归直线方程
(1)一般地,设x和y是具有相关关系的两个变量,且对应于n个 观测值的n个点大致分布在一条直线的附近,若所求的直线
(2)抽样:抽样是为了获取总体的信息,特别在客观实际中对 总体的全部个体逐一进行研究,有的是不适宜､不可能或不 必要的.因此,抽样调查是获取总体信息的重要方法.
2.随机抽样 (1)简单随机抽样:从一个总体中通过逐个抽取的方法从中抽
取一个样本,且每次抽取时各个个体被抽到的概率相等,这 样的抽样称为简单随机抽样.这样抽出的样本称为简单随 机样本.简单随机抽样的基本方法有抽签法和随机数表法.
平均数为x,定义s2
1 n[(x1
x)2
(x2
x)2
(xn x)2],
s
1 n[(x1
x)其中s2表示样本
方差,s表示样本标准差.
5.两个变量的相关关系 (1)当自变量的取值一定时,因变量的取值带有随机性,这两
个变量之间的关系叫做相关关系. 如果一个变量的值由小变大时,另一个变量的值也在由小到
(2)系统抽样:系统抽样被称为等距抽样或机械抽样.它按照 时间或空间的等距间隔抽取样本,即将总体分成几个部分, 然后按照预先定出的规则,从每一部分抽取一个个体,得到 所需要的样本,这种抽样称为系统抽样.系统抽样与简单随 机抽样的联系在于:将总体均分后的每一部分进行抽样时, 采用的是简单随机抽样.
(3)分层抽样:当总体中一部分个体与另一部分个体有明显 的差异且易于区别时,常将相近的个体归成一组,然后按照 各部分所占的比例进行抽样,这种抽样称为分层抽样.其中 所分成的各部分称为层.分层抽样时,每一个个体被抽到的 概率都是相等的.