新版数学物理方程学习指导书第4章 分离变量法

第4章 分离变量法

物理学、力学和工程技术等方面的许多问题都可归结为偏微分方程的定解问题，上一章我们已初步看到怎样把具体的物理问题表达为定解问题.下面一个重要任务是怎样去解决这些定解问题，也就是说在已经列出的方程与定解条件之后，怎样去求既满足方程又满足定解条件的解.

从微积分学得知，在计算诸如多元函数的微分及重积分时总是把它们转化为单元函数的相应问题来解决.与此类似，求解偏微分方程的定解问题也是要设法把它们转化为常微分方程问题，分离变量法就是常用的一种转化手法.本章我们将通过实例来说明分离变量法的步骤和实质.在4.2我们讨论了如何处理第三类齐次边界条件（当然也包括第二类边界条件）.在4.3说明如何在极坐标系下使用分离变量法.在4.4及4.5我们讨论了如何处理非齐次方程及非齐次边界条件的问题，本章的最后还安排了两个较为综合性的例子作为总结.

4.1 有界弦的自由振动

为了使读者了解什么是分离变量法以及使用分离变量法应该具备什么条件，我们选取两端固定的弦的自由振动问题为例，通过具体地求解逐步回答这些问题.

根据第3章所得的结论，讨论两端固定的弦的自由振动，就归结为求解下列定解问题

22222

000,0,0; (4.1)

0,

0;(4.2)

(),().

(4.3)

x x l t t u

u a x l t t x u u u u x x t ϕψ====⎧∂∂⎪=<<>∂∂⎪⎪

==⎨⎪

∂⎪==⎪∂⎩

这个定解问题的特点是：偏微分方程是线性齐次的，边界条件也是齐次的，求解这样的问题，可以运用叠加原理.我们知道.在求解常系数线性齐次常微分方程的初值问题时，是先求出足够多个特解（它们能构成通解），再利用叠加原理作这些特解的线性组合，使满足初始条件.这就启发我们，要解问题(4.1),(4.2),(4.3)，先寻求齐次方程（4.1)的满足齐次边界条件(4.2)的足够多个具有简单形式（变量被分离的形式）的特解，再利用它们作线性组合使满足初始条件(4.3).

现在我们试求方程(4.1)的变量分离形式(,)()()u x t X x T t =的非零解，并要求它满足齐次边界条件(4.2),式中(),()X x T t 分别表示仅与x 有关及仅与t 有关的待定函数. 由

(,)()()u x t X x T t =

得

2222''()(),()''(),u u

X x T t X x T t x t

∂∂==∂∂

代入方程(4.1)得

2()()()()X x T t a X x T t ''''=

或

2()()

()()

X x T t X x a T t ''''=

这个式子左端仅是x 的函数，右端仅是t 的函数，一般情况下二者不可能相等，只有当它们均为常数时才能相等.令此常数为λ，则有

2()()

()()

X x T t X x a T t λ''''==.

这样我们得到两个常微分方程：

2()()0,T t a T t λ''-= （4.4）

()()0.X x X x λ''-= （4.5）

再利用边界条件(4.2)，由于(,)()()u x t X x T t =)，故有

(0)()0,()()0.X T t X l T t ==

但()0T t ≠,因为如果()0T t ≡，则(,)0u x t ≡，这种解显然不是我们所要求的，所以

(0)0,()0.X X l == （4.6）

因此，要求方程（4.1）满足条件(4.2)的分离变量形式的解，就先要从方程

''()()0,

(0)()0X x X x X X l λ-=⎧⎨

==⎩

中解出()X x .

现在我们就来求非零解()X x ，但要求出()X x 并不是一个简单的问题，因为方程(4.5)中含有一个待定常数λ，所以我们的任务既要确定λ取何值时方程(4.5)才有满足条件(4.6)的非零解，又要求出这个非零数()X x .这种常微分方程问题称为固有值问题，λ称为特征值（固有值，本征值），函数()X x 称为特征函数（固有函数，本征函数）.下面根据第1章所介绍的方法，我们对λ分三种情况来讨论.

1°λ＞0，此时方程(4.5)的通解为

().X x Be =+

由条件(4.6)得

0A B +=，

0.Be +=

解出,A B 得

0A B ==，

即()0X x ≡，不符合非零解的要求，因此λ不能大于零.

2°设λ=0，此时方程(4.5)的通解为

()X x Ax B =+，

由条件(4.6)还是得0A B ==，所以λ也不能等于零.

3°设λ＜0，并令ββλ,2-=为非零实数.此时方程(4.5)的通解为

()cos sin ,X x A x B x ββ=+

由条件(4.6)得

0,A = Bsin 0.l β=

由于B 不能为零（否则()0X x ≡），所以sin 0,l β=即

),,3,2,1(. ==

n l

n π

β

（n 为负整数可以不必考虑，因为例如21,sin n B x l π-=-实际上还是2sin B x l

π

'的形式）从而

22

2,n l

πλ=- （4.7）

这样，我们就求出了一系列固有值及相应的固有函数：

22

2.

(1,2,3,),n n n l

πλ=-=

()sin

(1,2,3,),n n n X x B x n l

π== （4.8）

限定了λ的值后，现在再来求函数()T t ，以(4.7)式中的λ值代入方程(4.4)中得

2222

()()0,n a n T t T t l

π

''+= 显然，其通解为

'

'

()cos

sin (1,2,3,).n n n n at n at T t C D n l l

ππ=+= （4.9）