相关系数课件
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33协方差及相关系数解析精品PPT课件
(1) ρXY 1. ——课本100页定理3.3
证明 : 考虑标准化随机变量
X X E( X ) 与Y Y E(Y ) ,
D( X )
D(Y )
则E( X ) E(Y ) 0,
D( X ) D(Y ) 1,
XY
Cov( X ,Y ) E( X E( X ))(Y E(Y ))
第三章
3.3 协方差及相关系数
一、协方差与相关系数的 概念及性质
二、相关系数的意义 三、协方差矩阵 四、内容小结
一、协方差与相关系数的概念及性质
对于二维随机变量 (X , Y )，除了关心它的各个分 量的数学期望和方差外，还需要知道这两个分量 之间的相互关系，这种关系无法从各个分量的期 望和方差来说明，这就需要引进描述这两个分量 之间相互关系的数字特征——协方差及相关系数， 但如何来刻画这种关系呢？
| |的值越接近于1, Y与X的线性相关程度越高;
| |的值越接近于0, Y与X的线性相关程度越弱.
定义：当 ρXY 0 时, 称 X 和 Y 不相关.
注：需要指出的是:这里的不相关,指的是从线性关 系上看没有关联,并非X与Y之间没有任何关系,也许 此时还存在别的关系
注 (1) 不相关与相互独立的关系
cn1 cn2 cnn
为 n 维随机变量的协方差矩阵.
例如
二维随机变量 ( X1, X2 ) 的协方差矩阵为 C c11 c12 c21 c22
其中 c11 E{[ X1 E( X1 )]2 },
c12 E{[ X1 E( X1 )][ X2 E( X2 )]},
c21 E{[ X2 E( X2 )][ X1 E( X1 )]}, c22 E{[ X 2 E( X 2 )]2 }.
8.1.2样本的相关系数PPT课件(人教版)
第八章 成对数据的统计分析
8.1.2样本的相关系数
学业标准
学科素养
1．了解两随机变量间的样本的相关系 1．通过利用散点图判断变量间的线
数的含义，了解样本相关系数与“标 性相关程度大小培养直观想象能力．
准化”处理后的成对数据两分两向量 2．通过利用相关系数 r 判断变量间的
夹角关系。
线性相关程度大小培养数学分析能
+xn'
yn'）=
1 n
x'
•
y'
1 n
|x'|
|y'|
cos
| x' | x1'2 x2'2
xn'2
( x1 x)2 ( x2 x)2
sx
sx
( xn x)2 sx
(x1 x)2 (x2 x)2 sx
(xn x)2
n
(xi x)2
i1
n,同理可得 | y' | n
成对样本数据都可用直角坐标系中的点表示出来，由
这些点组成了统计图叫做散点图
一、温故知新
3.变量相关关系的分类 正相关和负相关 线性相关和非线性相关
4.两个变量之间相关关系的确定 (1).经验作出推断
(2).通过样本数据分析，从数据中提取信息，并构
建适当的模型，再利用模型进行估计或推断
二、自主探究
n
xi - xyi - y
n
xiyi - nxy
r=
i=1
=
i=1
n
2n
2
xi x
yi y
n xi2 - nx2 n yi2 - ny2
i=1
i=1
i=1
8.1.2样本的相关系数
学业标准
学科素养
1．了解两随机变量间的样本的相关系 1．通过利用散点图判断变量间的线
数的含义，了解样本相关系数与“标 性相关程度大小培养直观想象能力．
准化”处理后的成对数据两分两向量 2．通过利用相关系数 r 判断变量间的
夹角关系。
线性相关程度大小培养数学分析能
+xn'
yn'）=
1 n
x'
•
y'
1 n
|x'|
|y'|
cos
| x' | x1'2 x2'2
xn'2
( x1 x)2 ( x2 x)2
sx
sx
( xn x)2 sx
(x1 x)2 (x2 x)2 sx
(xn x)2
n
(xi x)2
i1
n,同理可得 | y' | n
成对样本数据都可用直角坐标系中的点表示出来，由
这些点组成了统计图叫做散点图
一、温故知新
3.变量相关关系的分类 正相关和负相关 线性相关和非线性相关
4.两个变量之间相关关系的确定 (1).经验作出推断
(2).通过样本数据分析，从数据中提取信息，并构
建适当的模型，再利用模型进行估计或推断
二、自主探究
n
xi - xyi - y
n
xiyi - nxy
r=
i=1
=
i=1
n
2n
2
xi x
yi y
n xi2 - nx2 n yi2 - ny2
i=1
i=1
i=1
Pearson相关系数简介资料PPT课件
16
例13-1
测得某地15名正常成年人的血铅X和24小 时的尿铅Y，试分析血铅与24小时尿铅之 间是否直线相关。
2021
17
15名自愿者的血铅和24小时尿铅测量值（μmol/L）
编号 X
Y 编号 X
Y
1 0.11 0.14 9 0.23 0.24
2 0.25 0.25 10 0.33 0.30
3 0.23 0.28 11 0.15 0.16
适用条件 1、两变量均应由测量得到的连续变量。 2、两变量所来自的总体都应是正态分布， 或接近正态的单峰对称分布。 3、变量必须是成对的数据。 4、两变量间为线性关系。
Hale Waihona Puke 202114Pearson相关系数的计算
r
XXYY lXY
2
2
XX YY
lXlX YY
X 的离均差平方和:
2
2021
20
相关系数的假设检验
步骤 1.提出假设
H0 ： p=0 无关 H1 ： p≠0
相关
2.确定显著性水平 =0.05
如果从相关系数ρ=0的总体中取得某r值的概率P>0.05，我们就接受假 设，认为此r值的很可能是从此总体中取得的。因此判断两变量间无显著关 系；
如果取得r值的概率P≤0.05或P≤0.01，我们就在α=0.05或 α=0.01水准上拒绝检验假设，认为该r值不是来自ρ=0的总体，而是来自 ρ≠0的另一个总体，因此就判断两变量间有显著关系。
2021
7
它的形状象一块橄榄状
的云，中间的点密集，边沿 的点稀少，其主要部分是一 个椭圆。
2021
8
2.相关类型：
2021
9
协方差和相关系数的计算ppt(共24张PPT)
E(X 2) 2
D( X ) D(Y ) 2
E(Y 2 ) 2
cov(U ,V ) (a2 b2 ) 2
而 D(U ) a2D( X ) b2D(Y ) (a2 b2 ) 2
D(V ) a2D( X ) b2D(Y ) (a2 b2 ) 2
故
UV
a2 a2
b2 b2
XY 1 0 P pq
E(X ) p, E(Y ) p, D(X ) pq, D(Y ) pq, E(XY ) p, D(XY ) pq,
cov( X ,Y ) pq, XY 1
例2 设 ( X ，Y ) ~ N ( 1，12，2，22，)， 求
XY ．
解
cov( X ,Y )
当D(X ) > 0， D(Y ) > 0 时，当且仅当
P(Y E(Y ) t0 ( X E( X ))) 1
时，等式成立 —Cauchy-Schwarz不等式．
证明 令
g(t) E[(Y E(Y )) t( X E( X ))]2 D(Y ) 2t cov( X ,Y ) t2D( X )
在寒冷的年代里，母爱是温暖。
协方差和相关系数的计算
cov(U ,V ) 解 在文明的年代里，母爱是道德。
继续讨论：a，b 取何值时，U，V 不相关？
E(UV
)
E(U
)E(V
)
为X，Y 的相关系数，记为
a E( X ) b E(Y ) 例2 设 ( X ，Y ) ~ N ( 1， 12， 2， 22，2 )， 求 2XY ． 2
E( XY ) p, D( XY ) pq,
cov( X ,Y ) pq, XY 1
X X p ,Y Y p , P(X Y ) 1
相关系数公式 PPT课件
m
22.875 2.1389 6 1
贝他系数的计算 ：
J
JM
(
J M
)
0.8928
2.8358 2.1389
1.18
23
课堂问题
❖问题五： ❖了解了贝塔系数的计算后，你认为如何才
可以改变公司的贝塔呢？
24
（0.5×0.50×0.122 + 2×0.5×0.5×0.024 + 0.5×0.5×0.22 ） =0.0256
❖ 该组合的标准差为0.16。 ❖ 等于两证券的加权平均数0.32/2=16
10
情况2：如果两种证券的预期相关系数是0.2，两者的协方差为 0.0048，组合的标准差会小于加权平均的标准差，其方差为：
证为是各券j证的2。券方对自差于身。矩的当阵方j对=差k角。时线，位相置关上系的数投是资1组，合并，且其 协j 方差k 就变
8
协方差比方差更重要
影响证券组合的标准差不仅取决于单个证券 的标准差，而且还取决于证券之间的协方差。
随着证券组合中证券个数的增加，协方差项 比方差项更重要。
随着组合中证券个数的增加，证券的斜方差 数量增长的很快，对投资组合风险的影响会 更大。
等，投资者均有完全相同的主观估计。 • 所有的资产均可被完全细分，拥有充分的流动性且没有交易成本。 • 没有税金。 • 所有投资者均为价格接受者。即任何一个投资者的买卖行为都不会对
股标价格产生影响。
12
课堂问题
❖问题四： ❖贝塔系数用来某种股票的风险，我们是否
可以根据股票的贝塔系数来判断风险，并 进行投资呢？
合计
1.00
期望收益 0.185 期望收益0.06
标准差 i0.1484 标准差 j 0.0872
第五章相关系数.精选PPT
少于30对。 相关系数的选用与解释
相关系数是两列变量间相关程度的数字表现形式，或者说是用来表示相关关系强度的指标。 φ相关适用的资料是除四分相关之外的四格表资料。
• （3）两列变量各自总体的分布都是正态 如果两变量是线性关系，则可以用偏相关和部分相关进行控制，表示这两个变量间纯净的相关度。
斯皮尔曼等级相关的概念与适用资料
第五章相关系数
优选第五章相关系数
第五章 相关系数
相关、相关系数与散点图 积差相关 等级相关 质与量相关 品质相关 相关系数的选用与解释
第一节 相关、相关系数与散点图
一、什么是相关
事物之间的相互关系 （1）因果关系：一种现象是另一种现象的原因，而另
一种现象是结果。数学上的函数关系。 （2）共变关系：表面上看来有联系的两种事物都与第
N
N
83891 1725 485
10
298525 1725 2 23609 485 2
10
10
0 .7919
• 答：这10名学生的身高与体重的相关系数为0.7919
• （2）差法公式
三、散点图
在直角坐标系中，以 X、Y 二列变量中的一列变 量（如X 变量）为横坐标，以另一列变量（如Y 变 量）为纵坐标，把每对数据Xi、Yi当做同一个平面 上的个点（Xi、Yi），一一描绘在XOY坐标系中， 产生的图形就称为散点图。
散点图通过点的散布形状和疏密程度来显示两 个变量的相关趋势和相关程度，能够对原始数据间 的关系做出直观而有效的预测和解释。
相关系数的取值介于-1.00至+1.00之间，常用小 数形式表示。它只是一个比率，不代表相关的百分数， 更不是相关量的相等单位的度量。
如何理解相关系数? 相关系数是两列变量间相关程度的数字表现形式。 （1）相关系数的取值在-1.00和+1.00之间； （2）相关系数的绝对值表示两个变量之间的相 关强度，绝对值越接近1表示相关越强，越接近0 表示相关越弱； （3）相关系数的正负号表示相关的方向，相关 系数为正的表示正相关，相关系数为负的表示负 相关； （4）相关系数可以比较大小，但不能进行加减 乘除运算。
相关系数是两列变量间相关程度的数字表现形式，或者说是用来表示相关关系强度的指标。 φ相关适用的资料是除四分相关之外的四格表资料。
• （3）两列变量各自总体的分布都是正态 如果两变量是线性关系，则可以用偏相关和部分相关进行控制，表示这两个变量间纯净的相关度。
斯皮尔曼等级相关的概念与适用资料
第五章相关系数
优选第五章相关系数
第五章 相关系数
相关、相关系数与散点图 积差相关 等级相关 质与量相关 品质相关 相关系数的选用与解释
第一节 相关、相关系数与散点图
一、什么是相关
事物之间的相互关系 （1）因果关系：一种现象是另一种现象的原因，而另
一种现象是结果。数学上的函数关系。 （2）共变关系：表面上看来有联系的两种事物都与第
N
N
83891 1725 485
10
298525 1725 2 23609 485 2
10
10
0 .7919
• 答：这10名学生的身高与体重的相关系数为0.7919
• （2）差法公式
三、散点图
在直角坐标系中，以 X、Y 二列变量中的一列变 量（如X 变量）为横坐标，以另一列变量（如Y 变 量）为纵坐标，把每对数据Xi、Yi当做同一个平面 上的个点（Xi、Yi），一一描绘在XOY坐标系中， 产生的图形就称为散点图。
散点图通过点的散布形状和疏密程度来显示两 个变量的相关趋势和相关程度，能够对原始数据间 的关系做出直观而有效的预测和解释。
相关系数的取值介于-1.00至+1.00之间，常用小 数形式表示。它只是一个比率，不代表相关的百分数， 更不是相关量的相等单位的度量。
如何理解相关系数? 相关系数是两列变量间相关程度的数字表现形式。 （1）相关系数的取值在-1.00和+1.00之间； （2）相关系数的绝对值表示两个变量之间的相 关强度，绝对值越接近1表示相关越强，越接近0 表示相关越弱； （3）相关系数的正负号表示相关的方向，相关 系数为正的表示正相关，相关系数为负的表示负 相关； （4）相关系数可以比较大小，但不能进行加减 乘除运算。
相关系数课件
思索3：假如两个变量成负有关，从整体上看这两个变 量旳变化趋势怎样？其散点图有什么特点？
一种变量随另一种变量旳变大而变小，散点图中旳点 散布在从左上角到右下角旳区域.这就像函数中旳增 函数和减函数。即一种变量从小到大，另一种变量也 从小到大，或从大到小。
思索4：你能列举某些生活中旳变量成正有关或负有 关旳实例吗?
(2)计算
xi
n
与
yi
旳积,求
i
1
xi yi
(3)计算 xi2
i 1
(4)将上述有关成果代入公式，求b、a，写
出回归直线方程．
C.用回归直线方程处理应用问题
有关性
1、在散点图中，点有一种集中旳大致趋势 2、在散点图中，全部旳点都在一条直线附近
波动－－－－线性有关。
y
•
••
• ••
• •ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
• •
• •
r
i1
n
xi2 n(x)2
n
yi2
_
n(y)2
i1
i1
n
_
_
n
__
(xi x)( yi y)
xi yi n x y
b i1 n
i1 n
(xi x)2
xi2 n( x)2
i 1
i 1
例. 下表是随机抽取旳8对母女旳身高数据，试 根据这些数据探讨y与x之间旳关系.
解:画出散点图
有关系数r旳性质：
当r 0 时, 表明两个变量正相关; （1） 当r 0 时, 表明两个变量负相关.
（2） r 1 ；
（3） r 越接近于1，x，y旳线性有关
程度越强；
（4） r 越接近于0，x，y旳线性有关
相关系数 -PPT
计算相关系数要求成对数据。若干个个体中每个个体要有
两种不同的观测值。如每个学生的智力分数和学习成绩。
样本容量要求。以n>=30为宜。
没有线性相关，不一定没有关系，可能是非线性的。
12
小练习
相关 -.80所呈现的数据点比相关+.50所呈现的数据点更为 密集地聚集在直线周围。
如果数据密集地聚集在一条从左至右下降的直线上，这 表明这个相关在+.90左右。 大过。
r= X ∑Y ∑ ∑ XY − N
2 2 ( ) ( ) Y X ∑ ∑ 2 2 − ⋅ − Y X ∑ ∑ N N 1725 × 485 83891 − 228.5 10 = = = 0.79 2 2 962.5 ⋅ 86.5 1725 485 ⋅ 23609 − 298525 − 10 10
答：这10名学生身高与体重的相关系数为0.79
X ∑Y ∑ ∑ XY −
第三节 等级相关
23
斯皮尔曼等级相关
英国心理学家Spearman在皮尔逊相关的基础上推导而 来，在定义中把点的坐标换成各自样本的等级。
24
斯皮尔曼等级相关
适用条件
适用于两列等级性质的变量(既可以是等级变量，也可 以是连续变量赋以等级顺序转换而来）。 对数据整体分布不作要求
适用条件： • 要求成对的数据，两列数据都是测量的数据（数值 型变量）； • 正态双变量； • 两列变量之间的关系应是线性的，如果是非线性的， 则不能计算线性相关； • n ≥ 30。
15
积差相关的计算公式
X和Y共同变化的程度 r= X和Y单独变化的程度
SX =
2 X X ( − ) ∑
相关系数 -PPT
2
2
2 2 X X ( X ) = ∑ ∑ −
(∑ X ) 2 N
N
r=
X ∑Y ∑ ∑ XY −
2 ( ) X ∑ 2 − ⋅ X ∑ N 2 Y ( ) ∑ 2 Y − ∑ N
17
下面是10名学生身高与体重的测量结果，问身 高与体重的关系如何？
18
解：已知n=10,利用原始分数计算积差相关的公式得：
X p −Xq 88.4 − 74.8 rpb = ⋅ pq = × 0.5 × 0.5 = 0.766 代入公式得 ： st 8.88
答：第5题与总分相关较高,相关系数为0.766,即第5题的答对答错 与总分有一致性。也可以说该题的区分度较高。 44
小练习
为了检验一种新的学习方法的效果，心理学家随机地将 一个有8名学生分成两组，每组有4个人。训练后，两组 的测验分数如下： 训练 9 7 6 10 未训练 4 7 3 6
35
肯德尔W系数计算公式
2 ( ) R ∑ i 2 R − ∑ i s N W = = 1 1 K 2 (N 3 − N ) K 2 (N 3 − N ) 12 12
Ri -每一被评事物K个等级之和， N-被评价事物的数目，即等级数， K-评价者的数目或等级变量的列数。 肯德尔W系数的取值范围：[0，1]
常用于问答题（主观题）的区分度指标。
当二分变量为真正的二分变量，或不清楚其分布形态 时，使用点二列相关。
48
二列相关
计算公式：
X p − X q pq ⋅ rb = st y
y：为标准正态分布中p值对应的高度，查正态分布表能得到
49
例：下表为10名考生一次测验的卷面总分和一道问答题 的得分，试求该问答题的区分度（该问答题满分为10 分， 因此得6分及以上则认为该题通过）。
2
2 2 X X ( X ) = ∑ ∑ −
(∑ X ) 2 N
N
r=
X ∑Y ∑ ∑ XY −
2 ( ) X ∑ 2 − ⋅ X ∑ N 2 Y ( ) ∑ 2 Y − ∑ N
17
下面是10名学生身高与体重的测量结果，问身 高与体重的关系如何？
18
解：已知n=10,利用原始分数计算积差相关的公式得：
X p −Xq 88.4 − 74.8 rpb = ⋅ pq = × 0.5 × 0.5 = 0.766 代入公式得 ： st 8.88
答：第5题与总分相关较高,相关系数为0.766,即第5题的答对答错 与总分有一致性。也可以说该题的区分度较高。 44
小练习
为了检验一种新的学习方法的效果，心理学家随机地将 一个有8名学生分成两组，每组有4个人。训练后，两组 的测验分数如下： 训练 9 7 6 10 未训练 4 7 3 6
35
肯德尔W系数计算公式
2 ( ) R ∑ i 2 R − ∑ i s N W = = 1 1 K 2 (N 3 − N ) K 2 (N 3 − N ) 12 12
Ri -每一被评事物K个等级之和， N-被评价事物的数目，即等级数， K-评价者的数目或等级变量的列数。 肯德尔W系数的取值范围：[0，1]
常用于问答题（主观题）的区分度指标。
当二分变量为真正的二分变量，或不清楚其分布形态 时，使用点二列相关。
48
二列相关
计算公式：
X p − X q pq ⋅ rb = st y
y：为标准正态分布中p值对应的高度，查正态分布表能得到
49
例：下表为10名考生一次测验的卷面总分和一道问答题 的得分，试求该问答题的区分度（该问答题满分为10 分， 因此得6分及以上则认为该题通过）。
高中数学相关系数52页ppt课件
之间在数量上的变化关系有的是属于因果关系（一种现象
是另一种现象的原因，另一种现象是这种现象的结果）， 有的却不能直接作出因果关系的解释。当一个或几个相互
联系的变量取一定数值时，与之相对应的另一个变量的值
虽然不确定，但它仍然按某种规律在一定范围内变化，变 量间的这种关系，被称为相关关系，如图5-0（b）。
（a）,即一个变量增加（或减少），另一个变量也增加
（或减少）。
图5-4（a） 正相关
负相关：若散布点主要位于二、四象限，如图 5-4（b）,即一个变量增加（或减少），另一个变
量也减少（或增加）。
图5-4（b） 负相关
零相关：散布点的变化无一定规律。如 图5-4（c）。
图5-4（c）零相关
四、相关系数
r是一个比值
r1=0.25,r2=0.5,r3=0.75，不能认为r1=r3-r2 或r2=2r1。 （3）相关系数受变量取值区间大小及观测值 个数的影响较大。
变量的取值区间越大，观测值个数越多，相关
系数受抽样误差的影响越小，结果就越可靠，如
二、计算方法 （一）基本公式计算法 步骤：
2、负相关：两个变量中，一个变量增大，
另一个变量对应值也随之减少；或一个变
量值减小，另一个变量对应值也随之增大，
两列变量变化方向相反。如学生学习能力
水平与其解题时间的关系；运动员赛跑与
所用时间之间的相关；学生学习能力与识
记所用时间之间的相关等。
3、零相关。两变量值的变化方向无规律。如
学生的身高与学生成绩的变化关系。
图5-1
散布图
相关散布图的用途： 1、判断相关是否直线式。 当两变量之间呈曲线趋势，其相关散布 图呈弯月状，说明两变量之间是非线性关 系，如图5-2(a)。
相关系数PPT课件
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2、协方差的定义 (X, Y)为二维随机变量，则称下式为X、Y的协方差。
说明：
Cov(X,Y) =E{[ X-E(X)][Y-E(Y) ]}
⑴ 协方差为X,Y偏差[ X-E(X)] 与[Y-E(Y) ] 乘积的数学期望
(2) Cov(X,Y)>0，正相关；Cov(X,Y)<0, 负相关。=0，不相关
2 2
0.5,
0.4
x1*
0.5 0.4 0.3* 0.5 0.3 0.5 2* 0.4 0.3* 0.5
0.704
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(3) Cov(aX, bY) =E{[aX-E(aX)][bY-bE(Y) ]} =E{ab [X-E(X)][Y-E(Y) ]} = ab cov(X, Y)
(4) Cov(X1+X2, Y)=E{[X1+X2 -E(X1+X2)][Y-E(Y) ]} =E{[X1 -E(X1)][Y-E(Y) ]}+E{[ X2 -E(X2)] [Y-E(Y) ]}} =Cov(X1, Y) + Cov(X2, Y)
(3) 当X，Y相同时，Cov(X, X) = D(X)=Var(X).
(4) 离散型 : COV ( X ,Y )
[xi E( X )][y j E(Y )] pij
ij
连续型 : COV (X ,Y ) [x E(X )][y E(Y )]f (x, y)dxdy
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x12
2 1
(1
x1
)2
2 2
2x1(1
x1 )1 2
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求D( P )
2、协方差的定义 (X, Y)为二维随机变量，则称下式为X、Y的协方差。
说明：
Cov(X,Y) =E{[ X-E(X)][Y-E(Y) ]}
⑴ 协方差为X,Y偏差[ X-E(X)] 与[Y-E(Y) ] 乘积的数学期望
(2) Cov(X,Y)>0，正相关；Cov(X,Y)<0, 负相关。=0，不相关
2 2
0.5,
0.4
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0.5 0.4 0.3* 0.5 0.3 0.5 2* 0.4 0.3* 0.5
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(3) Cov(aX, bY) =E{[aX-E(aX)][bY-bE(Y) ]} =E{ab [X-E(X)][Y-E(Y) ]} = ab cov(X, Y)
(4) Cov(X1+X2, Y)=E{[X1+X2 -E(X1+X2)][Y-E(Y) ]} =E{[X1 -E(X1)][Y-E(Y) ]}+E{[ X2 -E(X2)] [Y-E(Y) ]}} =Cov(X1, Y) + Cov(X2, Y)
(3) 当X，Y相同时，Cov(X, X) = D(X)=Var(X).
(4) 离散型 : COV ( X ,Y )
[xi E( X )][y j E(Y )] pij
ij
连续型 : COV (X ,Y ) [x E(X )][y E(Y )]f (x, y)dxdy
第2页/共21页
x12
2 1
(1
x1
)2
2 2
2x1(1
x1 )1 2
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求D( P )
最新心理统计学04—相关系数ppt课件
• 应用：比较几种不同观测值在各自数据分布中的相对位置，
对不同测验的观测值求总和来比较相对位置。
• 公式：
Z XX S
Z分数的性质
• Z分数没有单位，可以看做是以平均数为中点，标准差为 组距的次数分布。这是它可以进行几个不同观测值在各自 总体中位置的比较的原因。
80 语文成绩Z分数
100
比率智商Z分数
•5
18 18 19 3
6 17 14 12 2
7 19 15 20 1
8 20 13 10 2
9 22 11 21 1
相关系数类型
指标 R1,2 R1,3
R1,4
R1,5
数值 .970 -.970 .028 -.827
相关系数计算
• 编号
名称
使用条件
1 积差相关（r） 数据成对，连续变量（正态），线性相关
Z分数的性质
Z分数的平均数为0，标准差为1，不同Z分数可比较或累加
Z X 1 X X 2 X .. .X .N . X . N X N X 0
NS
NS
SZ2
(XiX0)2
S
N
2
(XiX)
N•S2
S2 S2 1
N
N
Z分数的性质
• Z分数的平均数为0，标准差为1，不同Z分数可比较或累加
• 定义：比较多个标准差的抽象对差异量数 • 应用条件：多个样本使用不同的观测工具测量不同特质；
水平差异较大的两个样本使用同一种观测工具 测量同一种特质。
• 公式： CV S 100% X
例4：使用同一份智力测验量表测得20周岁成人的平均数是101分，标准 差是3.76分，40周岁成人的平均分是105分，标准差是3.86分，问这两个 年龄段的测验分数中哪个分散程度更大？ 解：CV20=（3.76÷101）×100%=3.72
3.1.2 相关系数(精品公开课课件)
i 1
i 1
i 1
x
291 5
58.2
，
y
330 5
66
，可得
r
20040 5 58.2 66
0.9941
17633 5 58.22 22790 5 662
这能说明什么？？
这说明肱骨 y 和股骨 x 有较强的线性相关程度。
例：计算下表变量的线性相关系数r。
并观察，通过计算可以发现什么？ 解析：
根据数据列表计算如下：
i
xi
yi
x
2 i
y
2 i
xi yi
1 -5 0 25 0 0
2 -4 3 16 9 -12
3 -3 4 9 16 -12
4 0 5 0 25 0
5 3 4 9 16 12
6 4 3 16 9 12
7 5 0 25 0 0
0 19 100 75 0
实际上，从散点图上我们也可以验证这一点：
易看出，几个样本点都落在同一个半圆上，而不 是条状分布，此时建立线性回归方程无任何意义，这 与相关系数r的计算结果相一致。
动手做一做
许多先进国家对驾驶员的培训，大多采用室内模拟教学和 训练，而后再进行实地训练并考试，这种方法可以大大节 约训练的费用。问题是这种方法有效吗？下表是12名学员 的模拟驾驶成绩x与实际考试成绩y的记录（单位：分）：
相关关系的测度
（相关系数取值及其意义）
完全负相关
无线性相关
完全正相关
-1.0 -0.5 0 +0.5 +1.0
r
负相关程度增加 正相关程度增加
【练习】
8.1.2样本相关系数课件(人教版)
• 理论层面
从 =
σ
ത
=1 −ҧ −
2
σ
=1 −ҧ
σ
ത 2
=1 −
的结构联想到向量的数量积
Ԧ ∙ = Ԧ
二维、三维向量数量积公式推广到维向量的数量积公式，公式依然定义为
Ԧ ∙ = Ԧ
类似于向量的坐标表示，对于Ԧ = (1 , 2 ,···, )， = (1 , 2 ,···, )，我们有
➢ 整体也是呈现出正相关的相关关系
10.0
20.0
一般地，如果变量和正相关，那么关于均值平移后的大多数散点将分布
在第一、第三象限，对应的成对数据同号的居多。
类比可以得到，如果变量和负相关，那么关于均值平移后的大多数散点
将分布在第一、第三象限，对应的成对数据同号的居多。
• 根据上述分析，你能利用正相关变量和负相关变量的成对样本数据平移后呈现
( − )上
ҧ
因此，可以得到成对样本数据的两个分量之间满足一种线性关系.
所以，样本相关系数[−1,1]
借助信息技术软件，得到以下四个散点图以及对应的样本相关系数，你能找到
一些结论吗？
➢ 的符号反映了相关关系的正负性；
➢ ||的大小反映了两个变量线性相关的程度；
✓ ||越接近于1时，成对数据的线性相关程度越强；
1 ′ ′
=
1 ′ ′
=
=
−1 ≤ ≤ 1
当 = 1时，成对样本数据之间具有怎样的关系？
当 = 1时，表明 = 0或 = ，此时， ′ 与 ′ 共线.
−ത
所以存在一个实数，使得
=
−ҧ
《相关及相关系数》课件
Pearson简单相关系数用来衡量定距变量 间的线性关系。如衡量国民收入和居民储蓄 存款、身高和体重、高中成绩和高考成绩等 变量间的线性相关关系。
计算公式如下。 Pearson简单相关系数计算公式为
对Pearson简单相关系数的统计检验是计 算t统计量，公式为
t统计量服从n−2个自由度的t分布。
为了研究作业量对小学五年级学生学习
成绩的影响，从某小学五年级各班中随机抽取
A、B、C三个平行班来做实验（假定该校五年
级有三个以上的平行班，各班的平均学习成绩、
智力水平及各种教学条件都基本相等），研究
者让A班教师每天布置十道作业题，B每天布
置三道作业题，C班每天都不布置作业。学期
结束时三个班进行统一的数学考试，问作业量
Understanding Correlations
社会支持感与生活满意度的相关研究
家庭暴力与中学生心理素质的相关研究
大学生人际关系困扰与主观幸福感的关系
大学生自我同一性与职业探索、职业决策困难的关 系 中小学生创造性倾向、智力与学业成绩的相关研究
二、相关系数
相关系数的取值范围在−1和+1之间，即 −1≤r≤+1。其中：
Kendall's tua-b等级相关系数用以衡量 定序变量间的线性相关关系，它们利用的是 非参数检验的方法。 计算公式如下。
Spearman等级相关系数为
2。 SPSS中实现过程
研究问题 某语文老师先后两次对其班级学生同一
篇作文加以评分，两次成绩分别记为变量 “作文1”和“作文2”，数据如表6-2所示。 问两次评分的等级相关有多大，是否达到显 著水平？
..\..\..\..\..\科研\拙作\已发\中学生生活满意 度.doc
3相关系数.ppt
22
（二）计算方法
点二列相关是求二分称名变量与连续变量之间的 相关系数的一种统计方法，其公式如下：
X P表示二分变量中，一项所占的比例； q表示二分变量中另一项所占的比例，q=1-P; X P 表示与P部分相对应的连续变量的平均数； X q 表示与q部分相对应的连续变量的平均数； X表示全体连续变量的标准差。
15
6D 2 rR 1 N ( N 2 1) 6 21.50 1 10(102 1) 0.87
当变量的个数 大于2，可采 用肯德尔和谐 系数计算变量 之间的关联 程 度。
∑
21.5
用等级相关法求相关系数的主要优点
第一，不受变量分布特点的限制，不管两 变量是否是正态分布，也不管两变量是否 是连续变量均可采用。对于连续变量，也 可按数值大小变换为顺序变量，然后作为 等级数据计算相关系数； 第二，不受N大小的限制，当N<30时使用 更为简便。但也存在缺点，其算出相关系 数精确度低于积差相关。
Hale Waihona Puke 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
2 3 1 4 7 6 10 9 8 5
14
-1 -1 2 0 -2 0 -3 -1 1 5
1 1 4 0 4 0 9 1 1 25 46
6D 2 rR 1 N ( N 2 1) 6 46 1 2 10(10 1) 0.72
学生 统计 心理 Rx Ry D 学X 学Y
1288 1 8 2 ( 7 3 7) 12
0.7188
18
例7：三位小学教师对6名小学生的心理健康水平按照一定 的标准进行评定，结果如下表，试问这3位教师的评分一 致性程度如何？ 学 3位教师评分 等级 生 2 1 2 3 4 5 6
（二）计算方法
点二列相关是求二分称名变量与连续变量之间的 相关系数的一种统计方法，其公式如下：
X P表示二分变量中，一项所占的比例； q表示二分变量中另一项所占的比例，q=1-P; X P 表示与P部分相对应的连续变量的平均数； X q 表示与q部分相对应的连续变量的平均数； X表示全体连续变量的标准差。
15
6D 2 rR 1 N ( N 2 1) 6 21.50 1 10(102 1) 0.87
当变量的个数 大于2，可采 用肯德尔和谐 系数计算变量 之间的关联 程 度。
∑
21.5
用等级相关法求相关系数的主要优点
第一，不受变量分布特点的限制，不管两 变量是否是正态分布，也不管两变量是否 是连续变量均可采用。对于连续变量，也 可按数值大小变换为顺序变量，然后作为 等级数据计算相关系数； 第二，不受N大小的限制，当N<30时使用 更为简便。但也存在缺点，其算出相关系 数精确度低于积差相关。
Hale Waihona Puke 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
2 3 1 4 7 6 10 9 8 5
14
-1 -1 2 0 -2 0 -3 -1 1 5
1 1 4 0 4 0 9 1 1 25 46
6D 2 rR 1 N ( N 2 1) 6 46 1 2 10(10 1) 0.72
学生 统计 心理 Rx Ry D 学X 学Y
1288 1 8 2 ( 7 3 7) 12
0.7188
18
例7：三位小学教师对6名小学生的心理健康水平按照一定 的标准进行评定，结果如下表，试问这3位教师的评分一 致性程度如何？ 学 3位教师评分 等级 生 2 1 2 3 4 5 6
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旧车车龄与售价关系图 60.0 50.0 40.0 30.0 20.0 10.0 0.0 0 2 4
售价
y = -4.8091x + 57.8 R2 = 0.9865 6 车龄 8 10 12
6.5年的旧车车价==-4.8091*6.5+57.8=26.54
10
11
例5(非线性回归)、 我们收集了年龄与月收入关系的数据，请绘制该数 据的散点图，并求年龄对月收入的回归方程式。
4
例 1、利用统计数据计算广告费与销售额之间的相关系 数。
相关系数
CORREL(B4:B15,C4:C15)=0.92251818
5
例2.我们收集了某厂家同一车型中旧车的车龄及其售价数据，求价 格与车龄的相关系数
6
2、使用数据分析工具求相关矩阵
利用CORREL函数只能返回两种属性之间的相关系数，如果使用Excel提供 的“数据分析”工具可以计算多组数据间的相关系数，组成相关系数表 。
方差分析 df 回归分析 残差 总计 SS MS F Significance F 1 1908.007 1908.007 585.7682 9.0595E-09 8 26.05818 3.257273 9 1934.065
Coefficients 标准误差 t Stat P-value Lower 95% Upper 95%下限 95.0% 上限 95.0% Intercept 57.8 1.232907 46.88106 4.74E-11 54.9569086 60.64309 54.95691 60.64309 车龄 -4.809090909 0.198701 -24.2026 9.06E-09 -5.2672966 -4.35089 -5.2673 -4.35089
扳金 省油 价格
扳金 省油 价格 1 -0.94 1 -0.91 0.835 1
8
四.回归分析
回归分析:当一个结果与一个或多个参数之间存在联系时，可以进行回归分析 ，通常可由一个或多个自变量来预测一个变量的值。 回归方程:表达参数与结果之间相互关系的数学方程式(数学模型) 线性回归:如果变量与结果之间具有线性关系,我们可以用线性方程式来描述 它们之间的关系,这种回归方法叫线性回归. 非线性回归:如果变量与结果之间不具有线性关系,我们必须用非线性方程式 来描述它们之间的关系(如指数关系,对数关系等等),这种回归方法叫非线性 回归. 单回归:当一个结果只与一个参数存在联系时，进行的回归分析称为单回归。 复回归:当一个结果与多个参数存在联系时，进行的回归分析称为复回归。 判定系数(R2):用来确定回归方程式的可解释性，即吻合程度。范围在0-1之间 ，越接近1，解释性越强，即吻合程度越高。 回归方法： 1、给图表增加趋势线； 2、使用Excel提供的“数据分析工具”； 9 3、利用回归函数
y = -4.8091x + 57.8
17
练习题:以下是银行客户的存款金额与贷款金额对照表,用数据分析工 具求存款金额对贷款金额的回归方程,并预测当存款金额为80千万时, 贷款金额为多少? 回归统计
存款金额 贷款金额 (千万) (千万) 65 54 102 87 42 34 58 48 95 81 73 62 32 25 124 107 135 117 45 37
例 3、总平均成绩、出勤率、选修学分与每周打工小时 数的关系。
7
例 利用“数据分析”工具计算汽车扳金、省油与价格的 满意度之间的相关系数。
汽车的扳金、省油与价格的满意度(5-很满意,1-很不满意)
扳金 4 5 4 3 3 4 1 4 3 4 5 3 2 1 省油 3 2 3 4 3 3 5 3 3 3 2 4 5 5 价格 2 1 3 3 4 3 5 3 4 3 2 3 5 5
16
例8.我们收集了某厂家同一车型中旧车的车龄及其售价数据，请使 用数据分析工具，求车龄对售价的回归方程
车龄 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 价格(万) 56.0 48.5 42.0 37.6 32.5 28.7 22.2 18.5 15.0 12.5
SUMMARY OUTPUT 回归统计 Multiple R R Square Adjusted R Square 标准误差 观测值 0.993241 0.986527 0.984843 1.804792 10
3
1、CORREL函数： CORREL(array1,array2)
返回单元格区域 array1 和 array2 之间的相关系数。使用相关系数可以确 定两种属性之间的关系。例如，可以检测某地的平均温度和空调使用情况之 间的关系。 Array1 第一组数值单元格区域。 Array2 第二组数值单元格区域。 如果数组或引用包含文本、逻辑值或空白单元格，这些数值将被忽略，但是 包含零值的单元格将计算在内。 如果 array1 和 array2 的数据点的数目不同，函数 CORREL 返回错误值 #N/A。
15
T检定:判断回归系数与常数项是否为0
t 检定 Coefficients 标准误差 t Stat P-value Lower 95% Upper 95% 下限 95.0% 上限 95.0% Intercept 1545.831536 315.1378 4.905255 0.0006 843.6605796 2248.002 843.66058 2248.0025 广告费(万) 3.14338351 1.212087 2.593364 0.0268 0.442684371 5.844083 0.44268437 5.8440827
Multiple R R Square Adjusted R Square 标准误差 观测值 0.999956 0.999912 0.999901 0.314492 10
方差分析 df 回归分析 残差 总计 SS MS F Significance F 1 8970.809 8970.8 90701 1.65436E-17 8 0.791241 0.0989 9 8971.6
年龄与每月所得的关系图(多项式回 归) 60000.0
每月所得
40000.0 20000.0 0.0 0
y = -36.54x 2 + 3463.7x 42087 2 R = 0.884 20 40 60 年龄 80 100
有些数据间并不是简单的线性关系，如果用线性模式求其回归方程式，判定系 数（R2）很小，根本不具有任何解释力。因此要引入非线性回归，如多项式、 指数、对数等回归方法。
1
数据分析方法
1.分析工具库
Excel 提供了一组数据分析工具，称为“分析工具库”，在建立复杂统 计或工程分析时可节省步骤。只需为每一个分析工具提供必要的数据和 参数，该工具就会使用适宜的统计或工程函数，在输出表格中显示相应 的结果。其中有些工具在生成输出表格时还能同时生成图表。 安装“分析工具库”: 要使用查看可用的分析工具，请单击“工具”菜单中的“数据分析”命 令。如果“工具”菜单中没有“数据分析”命令，则需要安装“分析工 具库”。
2.工作表函数
Excel 还提供了其他一些统计、财务和工程函数。某些统计函数是内置函 数，而其他一些函数只有在安装了“分析工具库”之后才能使用。
预备知识
要使用这些工具，用户还必须熟悉需要进行分析的统计学或工程学的特定 领域。
2
三.相关性分析
相关性分析： 判断两组数据集（可以使用不同的ห้องสมุดไป่ตู้量单位）之间的关系。 相关系数（R）： 相关性计算的返回值。用来确定两个区域中数据的变化是否 相关，以及相关的程度。是两组数据集的协方差除以它们标准 偏差的乘积。 1、R>0：一个集合的较大数据与另一个集合的较大数据相对应（ 正相关） 2、R<0：一个集合的较大数据与另一个集合的较小数据相对应（ 负相关） 3、R=0：两个集合中的数据互不相关。 |R|<0.4 ：低度相关； 0.4<=|R|<0.6:中度相关； 0.6<=|R|<0.8:高度相关； |R|>=0.8:非常高度相关
树的直径与高度关系图 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0 0 y = 21.512Ln(x) + 19.478 R 2 = 0.9257
高度
5
10
15 直径
20
25
30
13
2、使用“数据分析工具”进行回归分析
加入趋势线可以进行简单的回归分析，但要获得更多的统计数据，可以使用 数据分析工具，求简单相关系数、判定系数、用F检定判定变量与自变量间是 否有回归关系存在、用t检定判定各回归系数是否不为0、计算回归系数的置 信度、标准残差等。
回归分析信息说明
14
方差分析(F检定):用回归分析检定,判定变量与自变量之间是否有显著的 回归关系存在。如果显著水准(Significance F)<a值,回归关系存在,否则不 存在。 (在这里判定系数a=1-置信度,在我们回归分析中置信度取95%, 所以a=1-95%=0.05)
方差分析 回归分析 残差 总计 结 论: F 检定中的显著水准 Significance F = 0.026794856<a=0.05 说明 :销售量与广告费存在回归关系 . df 1 10 11 SS MS F Significance F 1765442 1765442 6.726 0.026794856 2624983 262498.3 4390425
年龄 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 每月所得 6000.0 10000.0 15000.0 26000.0 35000.0 42000.0 50500.0 40500.0 37650.0 30500.0 25000.0 15800.0 10200.0 8000.0
1、给图表增加趋势线进行回归分析