河海大学《大学物理》第四章 功和能
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大学物理第四章--功和能
a
a
l
xdx
2l
前已得出：
Af
mg(l a)2
2l
mg(l 2 a2 ) mg(l a)2 1 mv2
2l
2l
2
得v
g l
1
(l 2 a 2 ) (l a)2 2
§3 保守力的功与势能 一、 保守力
rB
B
两个质点之间的引力
B
第四章 功和能
§4.1 功 §4.2 动能定理 §4.3 保守力功与势能 §4.4 功能原理机械能守恒定律
§1 功和功率
一、恒力做功 直线运动
A=Fcos S
记作A F S F r
F
F
M
M
S
位移无限小时：
dA
F
dr
dA称为元功
功等于质点受的力和它的位移的点积(标积)
例１一水平放置的弹簧，其一端固定，另一端系一小球，求小
球的位置由A到B的过程中弹力对它所做的功。（在O处弹簧无 形变）
解：根据胡克定律 F F kx
W F dr
xB Fdx
xA
xB xA
kxdx
O
1 2
A
k xB2
B
xA2
1 2
k xA2
作用在质点
上．在该质点从坐标原点运动到(0，2R)位
置过程中，力
F
对它所作的功为多少？
y
b
b
A a F.dr a (Fxdx Fydy)
R
x O
例4 如图，水平桌面上有质点 m ，桌面的摩 擦系数为μ 求：两种情况下摩擦力作的功
a
l
xdx
2l
前已得出：
Af
mg(l a)2
2l
mg(l 2 a2 ) mg(l a)2 1 mv2
2l
2l
2
得v
g l
1
(l 2 a 2 ) (l a)2 2
§3 保守力的功与势能 一、 保守力
rB
B
两个质点之间的引力
B
第四章 功和能
§4.1 功 §4.2 动能定理 §4.3 保守力功与势能 §4.4 功能原理机械能守恒定律
§1 功和功率
一、恒力做功 直线运动
A=Fcos S
记作A F S F r
F
F
M
M
S
位移无限小时：
dA
F
dr
dA称为元功
功等于质点受的力和它的位移的点积(标积)
例１一水平放置的弹簧，其一端固定，另一端系一小球，求小
球的位置由A到B的过程中弹力对它所做的功。（在O处弹簧无 形变）
解：根据胡克定律 F F kx
W F dr
xB Fdx
xA
xB xA
kxdx
O
1 2
A
k xB2
B
xA2
1 2
k xA2
作用在质点
上．在该质点从坐标原点运动到(0，2R)位
置过程中，力
F
对它所作的功为多少？
y
b
b
A a F.dr a (Fxdx Fydy)
R
x O
例4 如图，水平桌面上有质点 m ，桌面的摩 擦系数为μ 求：两种情况下摩擦力作的功
大学物理第04章_功和能
Ek
1 2
mv2
单位：（J）
设质点m在力的作用下沿 曲线从a点移动到b点
dr
b
元功：
F
dW F dr F cosds a
F cos
ma
m dv dt
dW
F
cosds m
dv ds dt
mvdv
总功：
W
dW
v2 v1
mvdv
1 2
m(v22
v12 )
质点的动能定理：
合外力对质点所做的功等于质点动能的增量。
对系统内所有质点求和
i
n
n
n
n
Wi内 Wi外 Ek2i Ek1i
fi
i 1
i 1
i 1
i 1
W内 W外 Ek 2 Ek1
质点系的动能定理：
质点系动能的增量等于作用于系统的所有外力和 内力作功之代数和。
值得注意：
内力做功可以改变系统 的总动能。
例3 如图所示，用质量为M的铁锤把质量为m 的钉子 敲入木板。设木板对钉子的阻力与钉子进入木板的深 度成正比。在铁锤敲打第一次时，能够把钉子敲入 1cm深，若铁锤第二次敲钉子的速度情况与第一次完 全相同，问第二次能把钉子敲入多深？
dxi dyj dzk
bx ax
Fxdx
by ay
Fydy
bz az
Fzdz
在自然坐标系中
F F e Fnen dr dse
W
b
F dr
a
b
a F e
Fnen
dse
s1 s0
F
ds
附:功率的定义：
功率是反映作功快慢程度的物理量。
功率： 单位时间内所作的功。
大学物理 第四章功和能(必看)
2GMr2 r1 (r1 r2 )
v2
2GMr1 r2 (r1 r2 )
例 题 18
r2
r1
解： 1）
EP近 - EP远
GMm GMm 1 1 ( ) ( ) GMm( ) r1 r2 r2 r1
2）法一：
1 Mm 1 Mm 2 机械能守恒： mv12 G mv2 G 2 r1 2 r2
角动量守恒：
解得： v1
mv1r1 mv2 r2
2GMr2 r1 (r1 r2 )
根据动能定理例题66已知一质点在x轴上运动其fx关系如图所示则质点运动从0到10m过程中f所作的功例题77有一倔强系数为的弹簧竖直放置下端悬一质量为的小球先使弹簧为原长而小球恰好与地面接触再将弹簧缓慢地提起直到小球能脱离地面为止
第四章
功和能 教学基本要求 基本概念
例题分析
一、教学基本要求 掌握功的概念，能计算直线运动情况下变 力的功。
2
2
8、一人从10m深的井中提水。起始时桶中装有8kg
例题8
的水，桶的质量为2kg，由于水桶漏水，每升高1m
要漏去0.2kg的水，求：1）水桶匀速的从井底提到
井口，外力作功；2）将水桶以0.2m/s2 的加速度提
升到井口，外力作功。
解： 1）匀速运动时，满足：F mg
建立坐标如图所示，在任意位置， 水桶的总质量为：
Ek
1 mv 2 2
保守力：如果一对力的功与相对路径的形状无关， 只决定于相互作用质点的始末位置，这样的一对力 （简称一个力）称为保守力。（反之称为非保守力）
F dr 0
L
势能：质点系内的相互作用力是保守力，则存在着一
v2
2GMr1 r2 (r1 r2 )
例 题 18
r2
r1
解： 1）
EP近 - EP远
GMm GMm 1 1 ( ) ( ) GMm( ) r1 r2 r2 r1
2）法一：
1 Mm 1 Mm 2 机械能守恒： mv12 G mv2 G 2 r1 2 r2
角动量守恒：
解得： v1
mv1r1 mv2 r2
2GMr2 r1 (r1 r2 )
根据动能定理例题66已知一质点在x轴上运动其fx关系如图所示则质点运动从0到10m过程中f所作的功例题77有一倔强系数为的弹簧竖直放置下端悬一质量为的小球先使弹簧为原长而小球恰好与地面接触再将弹簧缓慢地提起直到小球能脱离地面为止
第四章
功和能 教学基本要求 基本概念
例题分析
一、教学基本要求 掌握功的概念，能计算直线运动情况下变 力的功。
2
2
8、一人从10m深的井中提水。起始时桶中装有8kg
例题8
的水，桶的质量为2kg，由于水桶漏水，每升高1m
要漏去0.2kg的水，求：1）水桶匀速的从井底提到
井口，外力作功；2）将水桶以0.2m/s2 的加速度提
升到井口，外力作功。
解： 1）匀速运动时，满足：F mg
建立坐标如图所示，在任意位置， 水桶的总质量为：
Ek
1 mv 2 2
保守力：如果一对力的功与相对路径的形状无关， 只决定于相互作用质点的始末位置，这样的一对力 （简称一个力）称为保守力。（反之称为非保守力）
F dr 0
L
势能：质点系内的相互作用力是保守力，则存在着一
《大学物理》第四章功和能
地球的半径为6.37 106 m，地球绕太阳公转的速度 为 29.8 km / s ，试求Ｖ１、Ｖ２、Ｖ３。
v
29.8km / s
S
S
E
r0 ~ 109 m
v 29.8km / s
S
E
r0 ~ 109 m
解：(1)
G0
mM E RE 2
m v12 RE
v1 gRE 7.9103 m / s
（２）
开始在距地面 R 处自由下落。
求：它到达地球表面时的速度。 A m
解： E pA = E pB =
GMm 2R
GMm R
BR
地球 R
M
由机械能守恒定律：
GMm 2R
+
0
=
GMm R
+
1 2
mv
2
v=
GM R
例7：航天器绕地球表面运动所需的速度称为第一宇宙 速度Ｖ１，脱离地球所需的最小速度称为第二宇宙速度 Ｖ２，脱离太阳系所需的速度称为第三宇宙速度Ｖ３，设
zk
b b
W
F dr
a
a
Fxi Fy j Fzk
dxi dyj dzk
b
a Fxdx Fydy Fzdz
4
功的基本性质：
合力对质点所作的功等于每个分力对质点作功之代数
和。
W
b a
b
a F1
F
dr
dr
b a
b
a F2
F1 F2 Fn
ra
r
dr
r dr
b
F
G0
Mm r2
er
W
G rb
ra
0
v
29.8km / s
S
S
E
r0 ~ 109 m
v 29.8km / s
S
E
r0 ~ 109 m
解：(1)
G0
mM E RE 2
m v12 RE
v1 gRE 7.9103 m / s
（２）
开始在距地面 R 处自由下落。
求：它到达地球表面时的速度。 A m
解： E pA = E pB =
GMm 2R
GMm R
BR
地球 R
M
由机械能守恒定律：
GMm 2R
+
0
=
GMm R
+
1 2
mv
2
v=
GM R
例7：航天器绕地球表面运动所需的速度称为第一宇宙 速度Ｖ１，脱离地球所需的最小速度称为第二宇宙速度 Ｖ２，脱离太阳系所需的速度称为第三宇宙速度Ｖ３，设
zk
b b
W
F dr
a
a
Fxi Fy j Fzk
dxi dyj dzk
b
a Fxdx Fydy Fzdz
4
功的基本性质：
合力对质点所作的功等于每个分力对质点作功之代数
和。
W
b a
b
a F1
F
dr
dr
b a
b
a F2
F1 F2 Fn
ra
r
dr
r dr
b
F
G0
Mm r2
er
W
G rb
ra
0
大学物理 第四章
b
b a
质点动能定理：
5
§4.2 动能定理
质点系动能定理
F1
b
f1 = − f 2
r11
m
m
r2
2
F2
O 外力做功A外 内力做功A内
a
A内 + A外 = E k 2 − E k 1
质点系动能定理
质点系总动能
6
§4.2 动能定理
例4.2：已知一质量为m的质点做平面曲线运动，其运动方程为 试求在t=0到t=π/2ω时间内质点所受合外力的功。
解：（利用动能定理）
t=0 t=π/2ω
7
A = F • r = Fr cosθ
重力做功：
§4.3 保守力做功、势能
dA = − mg cos αds = − mgdy
重力做功只与 质点始末位置 有关，与质点 经过路径无关
8
§4.3 保守力做功、势能
弹簧弹性力做功：
弹簧弹性力做功只与质 点始末位置有关，与质 点经过路径无关
第四章 功和能
做功是物体能量改变的原因之一，是物 体机械能改变的唯一原因。
主要内容： 一个定理：动能定理 一个原理：功能原理 一个定律：机械能守恒定律 三个概念：功、动能、势能
§4.1 力的空间累积效应
功的定义：
A = F • r = Fr cos θ
元功的定义：
θ
r
θ
dA = F cos θdr = F • dr
解：
平衡方程为：
力F做功：
4
§4.2 动能定理
b Aab = ∫a F • dr = ∫a F cos αdr
b
力F对质点m沿曲 线从a到b做的功：
b a
质点动能定理：
5
§4.2 动能定理
质点系动能定理
F1
b
f1 = − f 2
r11
m
m
r2
2
F2
O 外力做功A外 内力做功A内
a
A内 + A外 = E k 2 − E k 1
质点系动能定理
质点系总动能
6
§4.2 动能定理
例4.2：已知一质量为m的质点做平面曲线运动，其运动方程为 试求在t=0到t=π/2ω时间内质点所受合外力的功。
解：（利用动能定理）
t=0 t=π/2ω
7
A = F • r = Fr cosθ
重力做功：
§4.3 保守力做功、势能
dA = − mg cos αds = − mgdy
重力做功只与 质点始末位置 有关，与质点 经过路径无关
8
§4.3 保守力做功、势能
弹簧弹性力做功：
弹簧弹性力做功只与质 点始末位置有关，与质 点经过路径无关
第四章 功和能
做功是物体能量改变的原因之一，是物 体机械能改变的唯一原因。
主要内容： 一个定理：动能定理 一个原理：功能原理 一个定律：机械能守恒定律 三个概念：功、动能、势能
§4.1 力的空间累积效应
功的定义：
A = F • r = Fr cos θ
元功的定义：
θ
r
θ
dA = F cos θdr = F • dr
解：
平衡方程为：
力F做功：
4
§4.2 动能定理
b Aab = ∫a F • dr = ∫a F cos αdr
b
力F对质点m沿曲 线从a到b做的功：
大学物理《功和能》课件
A
L A L B
L
L
B
L
B
A
B f dr f dr 0
L
A
§4.3 保守力与势能
2.势能
A引 Gm 1 m 2 rB Gm 1 m 2 rA
A弹 1 2 ks
2 A
1 2
ks B
2
A引
Gm 1 m 2 r B r rA
B f dr k (r
A
r k ( r r0 ) A r 1 1 2 2 k ( r A r0 ) k ( rB r0 ) 2 2
O rA r r0 ) d r r r d r k ( r r0 ) d r r
第4章 功 和 能
Work and Energy
第4章
功和能
质点受力的作用时，如果持续一段时间，质点的动量会 改变；如果质点由空间位置的变化，则力对位移的累积（功） 会使质点的能量（动能和势能）发生变化。对功和能的研究， 是经典力学中重要的组成部分。 与机械运动相联系的能量守恒定律（机械能守恒定律）， 是普遍的能量守恒定律的一种特殊形式。
一般引力势能的零点取质点相距无穷远，E
r
一般弹性势能的零点取弹簧无伸缩状态，Ep
0 ， 0 C
s 0
A点势能可表为 E p ( A )
Ep 0 A
f保 dr
§4.4 引力势能与弹性势能
2.势能曲线
Ep
Ep
Gm1m2 r
Gm1m2 r0
引力势能曲线
引力势能是空间变量
动量动量角动量角动量能量能量守恒量对称性时空性质空间平移空间平移空间转动空间转动时间平移时间平移空间均匀性空间均匀性空间各向同性空间各向同性时间均匀性时间均匀性守称守恒守恒空间反演对称性空间反演对称性安保是指为了达到安全的目的而进行的对人或物的保护活动安保工作是指为集体或个人的安全而进行保卫的各种活动
L A L B
L
L
B
L
B
A
B f dr f dr 0
L
A
§4.3 保守力与势能
2.势能
A引 Gm 1 m 2 rB Gm 1 m 2 rA
A弹 1 2 ks
2 A
1 2
ks B
2
A引
Gm 1 m 2 r B r rA
B f dr k (r
A
r k ( r r0 ) A r 1 1 2 2 k ( r A r0 ) k ( rB r0 ) 2 2
O rA r r0 ) d r r r d r k ( r r0 ) d r r
第4章 功 和 能
Work and Energy
第4章
功和能
质点受力的作用时，如果持续一段时间，质点的动量会 改变；如果质点由空间位置的变化，则力对位移的累积（功） 会使质点的能量（动能和势能）发生变化。对功和能的研究， 是经典力学中重要的组成部分。 与机械运动相联系的能量守恒定律（机械能守恒定律）， 是普遍的能量守恒定律的一种特殊形式。
一般引力势能的零点取质点相距无穷远，E
r
一般弹性势能的零点取弹簧无伸缩状态，Ep
0 ， 0 C
s 0
A点势能可表为 E p ( A )
Ep 0 A
f保 dr
§4.4 引力势能与弹性势能
2.势能曲线
Ep
Ep
Gm1m2 r
Gm1m2 r0
引力势能曲线
引力势能是空间变量
动量动量角动量角动量能量能量守恒量对称性时空性质空间平移空间平移空间转动空间转动时间平移时间平移空间均匀性空间均匀性空间各向同性空间各向同性时间均匀性时间均匀性守称守恒守恒空间反演对称性空间反演对称性安保是指为了达到安全的目的而进行的对人或物的保护活动安保工作是指为集体或个人的安全而进行保卫的各种活动
大学物理-第4章功与能
由于保守力的功只由路径的始、末位置确定，这就说明一定存在状态
重 大
函数，使得保守力的功可用状态函数的变化表示。
数
理 学
势能 potential energy
院
势能（势能函数）是由物体的相对位置决定的函数，与保守力做功
赵 有关，是状态函数。
承
均 1.势能差
物体在保守力场中 a, b 两点的势能 Ep ra , Ep rb 之差等于质点由
重
大
数 非保守力 non-conservative force
理
学
院
做功不仅与物体的始末位置有关，且与做功路径有关，称为非保守力。
赵 承 均
物体沿闭合路径绕行一周，保守力力所做的功恒为零。非保守力则无 此特性。
保守力
重力 弹力 万有引力 静电力
非保守力
摩擦力 ......
…… 爆炸力
第一篇 力学
二、势能
一、功 work
第一篇 力学
§4.1 功、功率
物体在外力作用下，在力的方向上发生了一段位移，则外力对物体作
重 功。功表征了力对空间的累计效应。
大
数 理
1.恒力做功 work done by uniform force
学
院
在恒力 F 作用下质点沿直线发生了一段位移 r ，则在此过程中，
力对质点所做的功按以下计算：
第一篇 力学
解：物体受万有引力，物体以初速度 v 发射，脱离地球引力至少在无穷 远处的速度为 0，
重
大 数 理 学
初态动能：
Eko
1 2
mv2
院
赵 末态动能： r , v 0, Ek 0
承 均
大学物理课件第4章-功和能
如图,求船从离岸 x1处移到 x2 处的 过程中,力 F 对船所作的功.
F
解:判别F 是否为变力作功(大小不变,方
向变元),功属于dW变力作F功.建dx立坐F标,取dx元过co程sa
h
o x2
a
dx x x1 x
cosa x
x2 h2 x
dW F dx
x2 h2
功在数值上等于示功图
F
曲线下的面积。
3. 功率
0 x1
x2 x
dx
平均功率: P =ΔΔWt
瞬时功率:
P
= lim
Δt 0
Δ Δ
Wt =
dW dt
=
F
. dr
dt
= F .v
[ 例1 ] 有一单摆，用一水平力作用于m
使其极其缓慢上升。当θ 由 0 增大到 0 时，
求: 此力的功。
{
F T sinθ T cosθ mg
两边平方
v 2 v12
由动量守恒
2v1
v2
v 22
v
v1
v2
由机械能守 恒（ 势能无变化）
v2
v12
v
2 2
v1 v2 0 两球速度总互相垂直
例8：已知半圆柱形光滑木凹槽，放在光滑桌面上，
如图，求质点下滑至最低点时给木块的压力.
解：
mv MV 0
•2.碰撞分类
正碰 斜碰
（从碰撞前后两球中心连线角度分类 ）
弹性碰撞 非弹性碰撞 完全非弹性碰撞
一般非弹性碰撞
（从碰撞能量损失角度分类）
例7：在平面上两相同的球做完全弹性碰撞，其中一球开始时处于
大学物理功和能课件讲义
解: 以雪橇、冰道和地球为一系统，由功能原理得
Af E2 E1
E2 E1 mgh
Af mg cos s' mgs mg(s's)
mg(s's) mgh
代入已知数据有 s h s' 500m
例4.5 一半径为 R的四分之一圆弧垂直固定于地面上，
止，距离为a. 在万有引力作用下,
两者距离变为b. 在此过程中,万有引
力做的功A=.
解： A Epa Epb
( Gm2 ) ( Gm2 )
a
b
Gm2 (a b)
ab
[思考]两者距离为b时的速率？
[例4-8] 质量为m的质点在指向圆心的力
F=k/r2 的作用下，作半径为r的
圆周运动，若取Ep=0，则系统的机
2. 力学中常见的势能函数
(1) 万有引力势能
由
Aab
(
Gm1m2 ra
) (
Gm1m2 rb
)
=
EPa－EPb
以r→∞时为万有引力势能零点，即令 EPy 0
由任一状态势能值的定义,可得 两物体相距r时的万有引力势能
EP引
EP引
Gm1m2 dr Gm1m2
r
r2
r
O
r
E
P引
G m1m 2 r
一、保守力的定义
1.万有引力的功 —与路径无关 rb
dr
dA以MF处G Md为rm原点rG，Mr2m
r0
dr
r2
dr r
M
r
ra m
(r0
r） r
GMm
r 2 dr
rb
A
rb
ra
大学物理第4章PPT课件
设有两个质点m1和m2相互作用，把它们看成一个系统，若 m1受到m2的作用力是f1，发生的位移为dr1；m2受到m1的作用 力是f2,发生的位移为dr2,则这一对相互作用的内力的功为
dW=dW1+dW2
第一节 功 和 功 率
因为
所以
f1=-f2
dW=f1·dr1+f2·dr2=f1·dr1-f1·dr2=f1·（dr1-dr2）=f2·dr12 4- 5） 在式（4- 5）中, dr12是m1相对于m2的位移，此相对位移与参考系的 选择无关.由式（4- 5）分析可知，系统内的质点没有相对位移时，一对相互
第二节 动能 动能定理
动量是矢量，不但有大小，而且有方向，这是机械运动 的性质；动能是标量，而且永远为正，它是能量的一种形式， 能量并不限于机械运动.除了动能外，还有其他各种形式的能 量，如电能、热能、光能、原子能等.动能与这些能量是可以 相互转化的.
另外，与动量变化相联系的是力的冲量，冲量是力的时 间累积作用，其效果是使物体的动量发生变化.而与动能变化 相联系的是力所做的功，功是力的空间累积作用，其效果是使 物体的动能发生变化.这两个物理量各自遵从一定的规律，它 们是从不同侧面来描写物体机械运动的物理量.
力做的功等于力的大小与位移沿力的方向的分量的乘积.由
此看出，功是力的空间累积作用.功也可以用力F与位移Δr的标
积表示，即
W=F·Δr
（4- 2）
功是一个标量，但有正负之分，功的正负由F与Δr之间的
夹角θ决定.在国际单位制中，功的单位是牛顿·米（N·m）.
第一节 功 和 功 率
2. 变力的功
式（4- 2）为恒力做功的定义式，但在一般情况下作用 在物体上的力不一定都是恒力，质点也不一定做直线运动.这 时，不能直接用式（4- 2）来讨论变力的功，那么如何计算 变力的功呢？设有一个质点，在大小和方向都随时间变化的 力F作用下，沿任意曲线从a点运动到b点，如图4-2所示.
dW=dW1+dW2
第一节 功 和 功 率
因为
所以
f1=-f2
dW=f1·dr1+f2·dr2=f1·dr1-f1·dr2=f1·（dr1-dr2）=f2·dr12 4- 5） 在式（4- 5）中, dr12是m1相对于m2的位移，此相对位移与参考系的 选择无关.由式（4- 5）分析可知，系统内的质点没有相对位移时，一对相互
第二节 动能 动能定理
动量是矢量，不但有大小，而且有方向，这是机械运动 的性质；动能是标量，而且永远为正，它是能量的一种形式， 能量并不限于机械运动.除了动能外，还有其他各种形式的能 量，如电能、热能、光能、原子能等.动能与这些能量是可以 相互转化的.
另外，与动量变化相联系的是力的冲量，冲量是力的时 间累积作用，其效果是使物体的动量发生变化.而与动能变化 相联系的是力所做的功，功是力的空间累积作用，其效果是使 物体的动能发生变化.这两个物理量各自遵从一定的规律，它 们是从不同侧面来描写物体机械运动的物理量.
力做的功等于力的大小与位移沿力的方向的分量的乘积.由
此看出，功是力的空间累积作用.功也可以用力F与位移Δr的标
积表示，即
W=F·Δr
（4- 2）
功是一个标量，但有正负之分，功的正负由F与Δr之间的
夹角θ决定.在国际单位制中，功的单位是牛顿·米（N·m）.
第一节 功 和 功 率
2. 变力的功
式（4- 2）为恒力做功的定义式，但在一般情况下作用 在物体上的力不一定都是恒力，质点也不一定做直线运动.这 时，不能直接用式（4- 2）来讨论变力的功，那么如何计算 变力的功呢？设有一个质点，在大小和方向都随时间变化的 力F作用下，沿任意曲线从a点运动到b点，如图4-2所示.
大学物理 功和能汇总
0 1
2 动能定理： A 1 2 mv 0
2A v 4 m s m
[思考] 在 x =0 至 x =1m 过程中， F 的冲量？
10
§4.3 质点系的动能定理
Theorem of Kinetic Energy for a system of Particle
对第 i 质点 求和
O 张力不做功，重力做功： 用动能变化定理解：
l
m
T
A mg dl mg dl cos
mgl cos d mgl sin 0 1 2 mgl sin mv 2
ˆn e
v
mg
ˆt e
比直接解牛顿方程简单，但仍作积分运算。
13
§4.4 *柯尼希定理
i
14
一对力 的功
内力总是成对出现 dr1 两质点间的内力 f ij 和 f ji ,
B1
B2
dr2
f 12
称为一对力 f ij f ji
m1
r21
f 21
m2
A1
A2
一对力做的功之和
dA = f12 dr1 + f21 dr2
f 21 dr2 dr1 f 21 dr21
mi ac dri
m i ac
z
y
mi
= ac mi dri
ri
ac
C 质心 O
12
= ac d mi ri = 0 A i
B
x
=
0
【例】柔软细绳长为l，小球质量为m，求摆下至 角时小球的速度和绳的张力。
2 动能定理： A 1 2 mv 0
2A v 4 m s m
[思考] 在 x =0 至 x =1m 过程中， F 的冲量？
10
§4.3 质点系的动能定理
Theorem of Kinetic Energy for a system of Particle
对第 i 质点 求和
O 张力不做功，重力做功： 用动能变化定理解：
l
m
T
A mg dl mg dl cos
mgl cos d mgl sin 0 1 2 mgl sin mv 2
ˆn e
v
mg
ˆt e
比直接解牛顿方程简单，但仍作积分运算。
13
§4.4 *柯尼希定理
i
14
一对力 的功
内力总是成对出现 dr1 两质点间的内力 f ij 和 f ji ,
B1
B2
dr2
f 12
称为一对力 f ij f ji
m1
r21
f 21
m2
A1
A2
一对力做的功之和
dA = f12 dr1 + f21 dr2
f 21 dr2 dr1 f 21 dr21
mi ac dri
m i ac
z
y
mi
= ac mi dri
ri
ac
C 质心 O
12
= ac d mi ri = 0 A i
B
x
=
0
【例】柔软细绳长为l，小球质量为m，求摆下至 角时小球的速度和绳的张力。
大学物理第4章 功和能
f d r 0 （此式也可作为
L
(1 ) ( 1 ) f d r ( 2 ) f d r L1 L2
(2)
L1
L2
保守力的定义） 20
二. 几种保守力 1.万有引力
(2) ×
d r er d r
W 12 对 ( 1 )
(2)
13
本质区别：动能和物体的运动状态相联系，任 一运动状态对应一定的动能，是状态量；而功 是与物体在力作用下的具体运动过程相联系， 它一般是路径的函数，因而功是过程量。 密切关系：过程便意味着状态变化。合外力对 质点做功，质点的动能便发生变化。做功是使 质点动能改变的手段，动能的变化又是用功来 量度的，故二者具有相同的单位。 动能是质 点因运动而具有的做功本领。
——质点的动能定理
“合外力对质点所做的功等于质点动能的增量”
12
2. 分析说明： ①动能定理本质上是牛顿第二定律的推论，它 从一个侧面反映了质点在力学过程（空间积累 过程）中所服从的规律。 ②由动能定理知，力对物体做功，能改变物体 的动能，也只有力对物体做功，物体的动能才 能改变， 功是机械运动能量变化的量度。 ③功和动能的概念不可混淆
14
3. 质点系的动能定理 质点：m1 、 m2
F F 内力： f 1 、f 2 外力： 1 、 2 初速度： 1 a 、 2 a 末速度： 1b 、 2 b
b
v1b
dr b · b·
1 2
v2b
F2
2 2
F1
dr1 m1
m ·
f1 f2
·
m1:
m2:
2 2 2 ( F 1 f 1 ) d r1 1 m 1 1 b 1 m 1 1 a ( 1 ) a 1 2 2 b 2 2 2 ( F 2 f 2 ) d r2 1 m 2 2 b 1 m 2 2 a ( 2 ) a 2 2 2
大学物理力学第四章功与能
（1）一对力的功与相对移动的路径无关，而只决 定于相互作用物体的始末相对位置，这样的一对 力称为保守力 （如：万有引力、弹力、重力）
（2）保守力B的环流 为零A。
y
A
F dr l1
F
A B
dr
l2
B
B
F dr
l1
l1
A F dr l2
F dr
A
l2
B
0
o
x
非保守力——▲ 摩擦力（耗散力):作功为负，
1 2
m2v2 B 2
1 2
m2v2
2 A
B1
B2
B1
B2
F1 • d r1 F 2 • d r2 f 1 • d r1 f 2 • d r2
A1
A2
A1
A2
1 2
m1v1B 2
1 2
m2v2B 2
1 2
m1v1A2
1 2
m2v2 A2
Aext Aint EkB EkA
外力与内力对质点系做的功之和等于质 点系总动能的增量。-----质点系的动能定理
A
rAB
B
A F r cos
F r
恒力的功与物体的具体路径无关，
只和起点和终点位置有关.
2. 变力做功
A
F1
r1
F2
r2
F3
r3
...
Fi
ri
...
ri i
定义: element work元功
Fi
dA F dr 视为恒力,直线
r3
F3
r2 r1
F2
F1
A
B
AAB L
E。
n
n
（2）保守力B的环流 为零A。
y
A
F dr l1
F
A B
dr
l2
B
B
F dr
l1
l1
A F dr l2
F dr
A
l2
B
0
o
x
非保守力——▲ 摩擦力（耗散力):作功为负，
1 2
m2v2 B 2
1 2
m2v2
2 A
B1
B2
B1
B2
F1 • d r1 F 2 • d r2 f 1 • d r1 f 2 • d r2
A1
A2
A1
A2
1 2
m1v1B 2
1 2
m2v2B 2
1 2
m1v1A2
1 2
m2v2 A2
Aext Aint EkB EkA
外力与内力对质点系做的功之和等于质 点系总动能的增量。-----质点系的动能定理
A
rAB
B
A F r cos
F r
恒力的功与物体的具体路径无关，
只和起点和终点位置有关.
2. 变力做功
A
F1
r1
F2
r2
F3
r3
...
Fi
ri
...
ri i
定义: element work元功
Fi
dA F dr 视为恒力,直线
r3
F3
r2 r1
F2
F1
A
B
AAB L
E。
n
n
大学物理第4章功和能
Ah h 12mgm dh1 gh2
重力作功只与质点的起始和终了位置有 关，而与质点所经过的路径无关。
第一篇 力 学
2、弹性力作功
F
o
x1
x2 x
x
dx
F ＝ kix
d F A d x k i d x i x kxdx
Axx 12kx d1 2x k1 2x1 2k2 2x
§4.3 势能 一、保守力和非保守力
根据做功是否与路径有关，我们可以把力分为两类，即保守力与非保 守力。力学中最重要的保守力有三个：重力、万有引力和弹性力。我们 来看看它们做功的特点：
1、重力作功的特点
h
drdh
dr
h1
mg
h2
o
dr dix d jh d A m g d r mgdh
m
L
v 5F0 L 9m
第一篇 力 学
二、质点系的动能定理
设一系统有n个质点，作用于各个质点的力所作的功分别为：A1,A2,…, An,使各个质点由初动能Ek10,Ek20,…,Ekn0,变成末动能，Ek1,Ek2,…, Ekn
每一个质点的动能定理
A1外 A1内 Ek1 Ek10 A2外 A2内 Ek 2 Ek 20 An外 An内 En1 En10
第一篇 力 学
第一篇 力 学
例3 一对质量分别为m1和m2的质点，彼此之间存在万有引力的作用。 设m1固定不动，m2在m1的引力作用下由a点经某路径l运动到b点。已 知m2在a点和b点时距m1分别为ra和rb，求万有引力的功。
b l
dr
rb
dr
r
m2
F
m1
重力作功只与质点的起始和终了位置有 关，而与质点所经过的路径无关。
第一篇 力 学
2、弹性力作功
F
o
x1
x2 x
x
dx
F ＝ kix
d F A d x k i d x i x kxdx
Axx 12kx d1 2x k1 2x1 2k2 2x
§4.3 势能 一、保守力和非保守力
根据做功是否与路径有关，我们可以把力分为两类，即保守力与非保 守力。力学中最重要的保守力有三个：重力、万有引力和弹性力。我们 来看看它们做功的特点：
1、重力作功的特点
h
drdh
dr
h1
mg
h2
o
dr dix d jh d A m g d r mgdh
m
L
v 5F0 L 9m
第一篇 力 学
二、质点系的动能定理
设一系统有n个质点，作用于各个质点的力所作的功分别为：A1,A2,…, An,使各个质点由初动能Ek10,Ek20,…,Ekn0,变成末动能，Ek1,Ek2,…, Ekn
每一个质点的动能定理
A1外 A1内 Ek1 Ek10 A2外 A2内 Ek 2 Ek 20 An外 An内 En1 En10
第一篇 力 学
第一篇 力 学
例3 一对质量分别为m1和m2的质点，彼此之间存在万有引力的作用。 设m1固定不动，m2在m1的引力作用下由a点经某路径l运动到b点。已 知m2在a点和b点时距m1分别为ra和rb，求万有引力的功。
b l
dr
rb
dr
r
m2
F
m1
大学物理第04章功和能(1)
( Mg )2 Mgh
k
k
最大压缩量x2
x2
2 Mg k
( Mg )2 Mgh
k
k
31
——只有保守内力作功的情况下，质点 系的机械能保持不变．
E Ek Ep
Ek Ek0 (Ep Ep0 ) Ek Ep
能量守恒定律：对一个与自然界无任何 联系的系统来说, 系统内各种形式的能量可 以相互转换，但是不论如何转换，能量既不 能产生，也不能消灭．
讨论 下列各物理量中，与参照系有关的物
B
dA F dr
m'm G r 2 er dr
m从A到B的过程中 F作功：
A
F dr
B A
G
m'm r2
er
dr
er
dr
er
dr
cos
dr
A rB G m'm dr
rA
r2
rA
A
er
r
m
dr
x 0, Ep 0
引力势能曲线
r , Ep 0
4.4 由势能求保守力
Fxdx Fydy Fzdz dEP ( x, y, z)
若保持y，z 不变， 则dy＝dz＝0
Fx
Ep x
同理
Fy
E p y
；Fz
Ep z
F
Fxi Fy j Fzk
k x2
保守力的功 A (Ep2 Ep1) EP
——保守力作正功，势能减少． 注意
势能是状态的函数 Ep Ep (x, y, z)
大学物理,功和能及功能原理4.4 功能原理 机械能守恒定律
t2 I F dt p2 p1 t1 b A F dr Ek 2 Ek 1
a
13
4.4 功能原理
机械能守恒定律
第4章 功和能 功能原理
3）若研究物体的瞬时状态，只有用牛顿运动定律。
dp 力: F dt
动量对时间的变化率
思考问题的顺序为：
2）质点系的机械能和机械能守恒定律也适用 于包含有定轴转动刚体的系统。 3）机械能守恒定律只是普遍的能量转换和守 恒定律的特殊形式。
5
4.4 功能原理
机械能守恒定律
第4章 功和能 功能原理
Ek Ek 0 ( Ep Ep0 )
1）机械能守恒定律的条件是： A外
A非 保 内 0
动能定理
动量守恒定律 当 : F外 0时 ， P Pi 恒 矢 量
功： Aab F dr a A外 A内 Ekb Eka
b
机械能守恒定律
当 : A外 A非 保 内 0时 ， E Ek E p 恒 量
15
4.4 功能原理
外力不作功，意味着物体系既不接受外界的 机械能，也不向外界传递机械能。 如果A非保内= 0，就意味着在物体系内部不存 在机械能与其它能量形式间的相互转换。 所以，当满足A外= 0 和A非保内= 0 的条件时， 系统的机械能将保持不变。
6
4.4 功能原理
机械能守恒定律
第4章 功和能 功能原理
能量守恒定律 亥姆霍兹（1821—1894）， 德国物理学家和生理学家。 于1874年发表了《论力（现 称能量）守恒》的演讲，首 先系统地以数学方式阐述了 自然界各种运动形式之间都 遵守能量守恒这条规律。所 以说亥姆霍兹是能量守恒定 律的创立者之一。
第4章__功和能
dA = (− mgk ) ⋅ (dxi + dyj + dzk )
mg
Ι
= − mgdz
A=∫
M2
z2
1
y
x
dA = dE K
合外力对质点所做的功等于质点动能的增量
9
M1
dA = ∫ − mgdz = − mgz 2 − mgz1） （ z
重力的功只决定于作功的起点和终点 与作功的路径无关
10
弹性力的功
r
N
o
f
N =m
υ2
r
f = μN
走一段小位移 dl 所做的功为
dA = f ⋅ dl = f cos πdl = − μm
转一周
υ2
r
dl
dA= F ⋅ dl dυ =m ⋅ dl = mυ ⋅ dυ = mυdυ dt
(b)
A = ∫ dA = − μm
υ2
r
∫
2πr
0
dl = − 2 πμ m υ 2
A外 + A内 = E K − E K 0 = ΔE K
质点系从一个状态运动到另一个状态时， 质点系动能的增量等于作用于各质点的所有外 力和所有内力在这一过程中作功的总和。 思考：为什么内力之和一定为零，而 内力作功之和不一定为零呢？
F = Fx + F y + Fz
§4.3 质点系的功能原理 机械能守恒定律 一、质点系的动能定理
∫ f ⋅ dl
L
=0
环流为零的力场是保守场， 如静电场力的环流也是零，
∫f
L
保
⋅ dr = 0
所以静电场也是保守场。 环流不为零的矢量场是非保守场，如磁场。
大学物理04功和能
速率最大、最小时的速度方向和矢径垂直，角动量守恒。
r1m v r2 m v2 1
r1v1 8.75 1010 5.46 104 r2 5.26 1012 m v2 9.08 102
P92 3.15 用绳系一小球使之在光滑的水平 面上做圆周运动，圆半径为r0，速率为v0。 今缓慢地拉下绳的另一端，使圆半径缩至 r时，小球的速率v为多大？ mv0
A
与保守力相对的称为耗散力，如摩擦力。
4.6 机械能守恒 机械能 EM EK E p
A A A非保内力 A外力 Ek E p 保内力
E p
功能原理
当外力和非保守内力不作功，则
0 机械能守恒： Ek E p 或 EM C
P129 4.8 质量为 72kg的人跳蹦极。弹性蹦极带原长 20m，颈度系数为60N/m。忽略空气阻力。问(1)下落最 大速度及对应高度；(2)已知跳台离水面60m，此人会碰 到水面吗？xb
1 2 1 2 kxb kxa EP 2 2
•做功只与始末位置有关，与路径无 关的力——保守力。 •保守力做功等于势能增加的负值。
保守力沿任意闭合路径所做的功为零。 常见保守力：万有引力、 静电力、弹性力、、、
B
q1q2 F K 2 , F kx r
起点
力的空间积累
ri
A
B
j
i
Fi
F(x)
功
Ai Fi ri
Ai Fi ri cosi
A
dA
元功
B x
或者Ai Fix x F1y y Fiz z
A到B做功
AAB
B Ai Fi ri Fi dri
r1m v r2 m v2 1
r1v1 8.75 1010 5.46 104 r2 5.26 1012 m v2 9.08 102
P92 3.15 用绳系一小球使之在光滑的水平 面上做圆周运动，圆半径为r0，速率为v0。 今缓慢地拉下绳的另一端，使圆半径缩至 r时，小球的速率v为多大？ mv0
A
与保守力相对的称为耗散力，如摩擦力。
4.6 机械能守恒 机械能 EM EK E p
A A A非保内力 A外力 Ek E p 保内力
E p
功能原理
当外力和非保守内力不作功，则
0 机械能守恒： Ek E p 或 EM C
P129 4.8 质量为 72kg的人跳蹦极。弹性蹦极带原长 20m，颈度系数为60N/m。忽略空气阻力。问(1)下落最 大速度及对应高度；(2)已知跳台离水面60m，此人会碰 到水面吗？xb
1 2 1 2 kxb kxa EP 2 2
•做功只与始末位置有关，与路径无 关的力——保守力。 •保守力做功等于势能增加的负值。
保守力沿任意闭合路径所做的功为零。 常见保守力：万有引力、 静电力、弹性力、、、
B
q1q2 F K 2 , F kx r
起点
力的空间积累
ri
A
B
j
i
Fi
F(x)
功
Ai Fi ri
Ai Fi ri cosi
A
dA
元功
B x
或者Ai Fix x F1y y Fiz z
A到B做功
AAB
B Ai Fi ri Fi dri
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B
WAB
(T G) dr
A
B
A G dr
A
d
T B ds
v
G
B
mg
cos
dr
A
0 mgl cosd
mgl sin
对于珠子利用动能定理，得
mgl sin
1 2
mv
2 B
1 2
mv
2 A
而 vA 0， vB v ，所以
v 2gl sin
例2.一质量为10kg的质点，沿x 轴无摩擦 的运动. 设t =0时，质点位于原点，速度为 零（即初始条件为：x0 0,v）0 . 0问：
保守力所作的功与路径无关，仅决定 于始、末位置．
引力的功
W
(G
m'm )
rB
(G
m'm
rA
)
重力的功 W重 (mgzb mgza )
弹力的功
W
(
1 2
kxB2
1 2
kx
2 A
)
F dr F dr A
ACB
ADB
C
F dr F dr F dr
l
ACB
BDA
W l F dr 0
W Wx Wy Wz
功的单位（焦耳）
1J 1Nm
平均功率 P W
瞬时功率 P
t lim
ΔW
dW
F
v
t0 Δt
dt
P Fvcos
功率的单位（瓦特）
1 W 1 J s1 1 kW 103 W
例1、设作用在质量为2kg的物体上的力F = 6t N。
如果物体由静止出发沿直线运动，在头2（s）内
W ex W in Ek Ek0
W in Wiin Wcin Wnicn
i
非保守 力的功
Wcin ( Epi Epi0 ) (Ep Ep0 )
i
i
W ex Wnicn (Ek Ep ) (Ek0 Ep0)
W ex
W in nc
(Ek
Ep ) (Ek0
Ep0 )
这力作了多少功？
解：
a
F m
6t 3t 2
dv adt
3t
a dt
dv dt
两边积分：
v
t
dv 3tdt
0
0
v 3t2 2
v dx
dx vdt 3 t 2dt
dt
2
W F dx 2 6t 3 t 2dt 9 t 4 2 = 36J
02
40
二、动能定理
1、
质点的动能定理
m1v102 m2v202
f21 m2
对m1+m2:
W外力
W内力
(1 2
m1v12
1 2
m2v22
)
(
1 2
m1v102
1 2
m2v202
)
设有n个质点构成一个系统,对系统内所有质点求和
W外 W内
1 2
mivi2
12mivi20
质点系的动能定理：
质点系动能的增量等于作用于系统的所有外力 和内力作功之代数和。
W F dr
A
Ft dr
Ft
m dv , v dt
dr dt
W v2 mv dv v1
1 2
mv22
1 2
mv12
v1 dr
θ B
F
v2
W
1 2
mv22
1 2
mv12
Ek 2
Ek1
合外力对质点所作的功，等于质点动 能的增量 ——质点的动能定理
注意 ➢ 功是过程量，动能是状态量； ➢ 功和动能依赖于惯性系的选取，
间的摩擦系数为 ，车厢长为d ，物块进入小车
后带动小车开始运动. 当车行驶l 距离时，物块 刚同好 一滑 速到 度一运端动的v. 挡试板分处析.在然上后述物过块程与中小: 平板车以
（1）物块与平板车组成的质点组动量守恒否？
（2）质点组的动能守恒否？
（3）动量和动能有何不同？
v0
v
l
d
解 （1）若把物块与车选为一个质点组， 则该质点组在水平方向无外力作用，所以质 点组在水平方向上动量守恒，在上述所描述 的过程中，初末态的动量相等，有
mv0 (M m)v
考虑过程中间的某一状态时，物块和小车 的速度不同，此时也有动量守恒的关系
mv0 Mv车 mv块
（2）在上述所描述的过程中，对于物块和 小车构成的质点组，虽然没有外力做功，但 有一对摩擦内力存在，这一对内力所做的功 分别为:
物块受与运动方向相反的摩擦力，大小
为 m，g 位移为l + d ，因为力与位移方向相反，
第四章 功和能
力的空间累积效应：
F
对
r
积累
W，动能定理
动能、功、动能定理、机械能守恒
§4-1 功 动能定理
一功
1 恒力作用下的功
W
F
cos
r
F
r
F
r
2 变力的功
质点由a点沿曲线运动到b点的过程中，变力 F 所
作的功 。
W1 F1 cos1r1
W2 F2 cos 2r2
重力势能
Ep mgz
弹性势能
Ep
1 2
k x2
保守力的功 W (Ep2 Ep1) EP
——保守力作功，势能减少
势能计算 W (Ep Ep0 ) Ep
令 Ep0 0
Ep (x, y, z)
Ep0 0
F
dr
(x, y,z)
讨论
势能是状态的函数 Ep Ep (x, y, z)
b
Wab
b
F dr
a
a mgk dxi dyj dzk
b a
mgdz
mg
zb
za
z
za a
r
zb
b
mg
O
y
x
(3) 弹性力作功
F F'
o x Px
F kxi
dW kxdx
W
x2 Fdx
x1
x2 x1
kxdx
( 1 2
k x22
1 2
k x12
)
二 保守力与非保守力
（1）生产实践和科学实验的经验总结； （2）能量是系统状态的函数； （3）系统能量不变, 但各种能量形式可 以互相转化； （4）能量的变化常用功来量度．
讨论
下列各物理量中，与参照系有关的物 理量是哪些？（不考虑相对论效应．）
(1) 质量 (2)动量 (3) 冲量 (4) 动能 (5)势能 (6)功
（1）设质点在F =3+4t 牛顿力的作用下运动 了3秒（t 以秒计），它的速度和加速度增为 多大？
（2）设质点在F =3+4x 牛顿力的作用下移动 了3米（x 以米计），它的速度和加速度增为 多大？
解 （1）设t 时刻质点速度为v ,则由动量
定理得
t
mv mv0
Fdt
0
t
0(3 4t)dt
（3）动量和动能的相同点是：二者都是 描述质点运动的状态量.
动量和动能的不同点是： 动量是矢量， 而动能是标量；动量取决于力对时间的积累 （冲量）, 而动能则取决于力对空间的积累 （功）；质点组动量的改变仅与外力的冲量 有关，质点组动能的改变不仅与外力有关而 且还与内力有关；质点间机械运动的传递用 动量来描述，机械运动与其它形式运动的传 递用动能来描述.
机械能 E Ek Ep
W ex Wnicn E E0
——质点系的功能原理
六 机械能守恒定律
当 W ex
W in nc
0
时，有 E
E0
——只有保守内力作功的情况下，质点
系的机械能保持不变．
E Ek Ep Ek Ek0 (Ep Ep0 ) Ek Ep
说明 守恒定律的意义
能量守恒定律：对一个与自然界无任何 联系的系统来说, 系统内各种形式的能量可 以相互转换，但是不论如何转换，能量既不 能产生，也不能消灭。
§4-2 保守力 势能 机械能守恒定律
一万有引力、重力、弹性力作功的特点
(1) 万有引力作功
m' 对m 的万有引力为
m'm
F G r 2 er
m移动dr时，F作元功为
rA
A r
m
dr
r dr
m'
rB
B
dW
F
dr
G
m'm r2
er
dr
m从A到B的过程中F 作功：
B m'm
B A F2
dr
B A Fn dr
W W1 W2 Wn
结论：合力对质点所作的功等于每个分力对质点
作功之代数和 。
讨论
(1) 功的正、负
0o 90o , dW 0
90 o
90 o
180 o , F dr
dW 0 dW 0
(2) 作功的图示
F cos
W r2 F cos dr r1
3t 2t 2
所以v 3t 2t 2 , a dv 3 4t
m
dt m
代入数据t =3s、m =10kg可得速度和加速 度分别为 v 2.7m s1, a 1.5m s2.
（2）设移动到x 位置时质点速度为v ，则由 动能定理，得
1 mv 2
2
1 2
mv
2 0
x
Fdx
0
x
0 (3 4x)d x
势能具有相对性，势能大小与势能零 点的选取有关． 势能是属于系统的． 势能差与势能零点选取无关．