八年级下册数学--二次根式知识点整理
数学八下二次根式
数学八下二次根式
1.定义：一般地，形如√a（a≥0）的代数式叫做二次根式，其中，a叫做被开方数。
当a≥0时，√a表示a的算术平方根；当a小于0时，在实数范围内，这样的二次根式是没有意义的。
2.最简二次根式：在二次根式的化简过程中，无论是计算还是得出最后的结果，二次
根式必须化为最简形式，即被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。
3.二次根式的加减法：
•同类二次根式：几个二次根式化为最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式就是同类二次根式。
•合并同类二次根式：将几个同类二次根式合并为一个二次根式。
•加减法则：在进行二次根式的加减运算时，首先需要将每个二次根式化为最简形式，然后找出被开方数相同的项进行合并。
4.二次根式的乘除法：
•乘法：当两个二次根式相乘时，将被开方数相乘，而根指数保持不变。
然后，将结果化为最简二次根式。
•除法：与乘法类似，当两个二次根式相除时，将被开方数相除，根指数保持不变，并将结果化为最简二次根式。
数学八年级下册知识点总结
数学八年级下册知识点总结那咱们就开始总结八年级下册的数学知识点吧。
在八年级下册的数学里呀，有好多有趣又重要的东西呢。
一、二次根式。
二次根式这部分呀，就像一个个小怪兽，不过只要掌握了规律就很好搞定。
形如√(a)（a≥0）这样的式子就是二次根式啦。
这里面有个很重要的性质哦，那就是(√(a))^2 = a（a≥0）。
比如说√(4)，它就等于2，那(√(4))^2当然就是4啦。
还有√(ab)=√(a)·√(b)（a≥0，b≥0），就像拆礼物一样，把一个复杂的根式拆成简单的相乘的形式。
不过要注意哦，反过来√(a)·√(b)=√(ab)这个规则可是有条件的，a和b都得是非负数呢。
二、勾股定理。
勾股定理可是个超级明星知识点。
直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方，也就是a^2 + b^2 = c^2。
比如说一个直角三角形，两条直角边分别是3和4，那斜边就是√(3^2 + 4^2)=√(9 + 16)=√(25)=5。
这个定理可以用来求直角三角形的边长，还能判断一个三角形是不是直角三角形呢。
如果一个三角形的三条边满足a^2 + b^2 =c^2，那这个三角形就是直角三角形。
这就像是一个小密码，能解开很多三角形的秘密。
三、平行四边形。
平行四边形就像一个规规矩矩的小房子。
它的两组对边分别平行且相等。
比如说一个平行四边形ABCD，那AB就平行且等于CD，AD也平行且等于BC。
平行四边形的对角线互相平分，就像把这个小房子从中间分开，两边是对称的呢。
而且平行四边形的对角相等，邻角互补。
如果我们知道平行四边形的一个角是60度，那它的对角也是60度，邻角就是120度。
四、一次函数。
一次函数y = kx + b（k，b为常数，k≠0）就像一个小火车在数轴上跑。
k是斜率，它决定了这个小火车的倾斜程度。
如果k>0，那这个函数图像就是上升的，就像小火车在爬坡；如果k<0，那图像就是下降的，小火车在下山喽。
人教版初二下册数学知识点
人教版初二下册数学知识点二次根式二次根式是指形如a√b（a≥0）的式子。
其中，a被称为系数，b被称为被开方数。
最简二次根式必须同时满足以下三个条件：被开方数中不含开方开的尽的因数或因式；被开方数中不含分母；分母中不含根式。
同类二次根式是指二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。
二次根式有以下几个性质：a²=a（a≥0）；a√b × c√d =ac√bd（a,b,c,d≥0）；a√b ÷ c√d = a÷c √b÷d（a,b,c,d≥0,c≠0,d≠0）。
二次根式的运算包括因式的外移和内移、加减法、乘除法。
在运算过程中，需要将二次根式化为最简二次根式，并合并同类项。
例题：1、下列哪些式子是二次根式？1)11；3)−x²+2；4)4；5)(−5)²；6)1−a；7)a²−2a+1.答案：1、3、4、5、6.2、求下列二次根式中字母的取值范围：（1）(x+5)÷(3−x)；（2）√((x-2)²+1)。
答案：（1）x≠3；（2）x∈R。
3、在1) a²+b²；2) x；3) x²-xy；4) 27abc中，最简二次根式是哪个？答案：C。
4、已知y=1−8x+8x⁻¹，求代数式1÷y+2−2y⁻¹的值。
答案：4x²-4x+1.5、已知数a，b，若(a−b)²=b−a，则a≤b。
给定$a=11,b=5$，求$\frac{b^5+1}{2a+b(b+a)}$的值。
首先，将$a$和$b$的值代入，得到：$\frac{5^5+1}{2\times11+5(5+11)}$。
计算分子和分母，得到：$\frac{3126}{96}$。
化简分数，得到：$\frac{1043}{32}$。
因此，$\frac{b^5+1}{2a+b(b+a)}=\frac{1043}{32}$。
初中八年级下册数学二次根式知识讲解(基础)
二次根式（基础）【学习目标】1、理解二次根式的概念，了解被开方数是非负数的理由.2、理解并掌握下列结论： a ≥0，（a ≥0），（a ≥0），（a ≥0），并利用它们进行计算和化简．【要点梳理】要点一、二次根式及代数式的概念1.二次根式：一般地，我们把形如(a ≥0)•的式子叫做二次根式，“”称为二次根号． 要点诠释：二次根式的两个要素：①根指数为2；②被开方数为非负数.2.代数式：形如5，a ，a+b ，ab ，，x 3，这些式子，用基本的运算符号(基本运算包括加、减、乘、除、乘方、开方)把数和表示数的字母连接起来的式子，我们称这样的式子为代数式. 要点二、二次根式的性质1.a ≥0，（a ≥0）；2. （a ≥0）；3.. 要点诠释：1.二次根式(a ≥0)的值是非负数。
一个非负数可以写成它的算术平方根的形式，即2()(0a a a =≥）.2.2a 与2()a 要注意区别与联系：1).a 的取值范围不同，2()a 中a ≥0，2a 中a 为任意值。
2).a ≥0时，2()a =2a =a ；a <0时，2()a 无意义，2a =a -.【典型例题】类型一、二次根式的概念1（2015春•潍坊期中）下列各式中，一定是二次根式的有（ ）个．A.2B.3C.4D.5【答案】 B【解析】2231x +-，B ．【总结升华】0．举一反三：【变式】下列式子中二次根式的个数有（ ）.（1）13；（2）3-； （3）21x -+；（4）38； （5）21()3-；（6）1x -（1x >） A ．2 B.3 C.4 D.5【答案】B.2. （2016•贵港）式子在实数范围内有意义，则x 的取值范围是（ ）A ．x ＜1B ．x ≤1C ．x ＞1D ．x ≥1【思路点拨】被开方数是非负数，且分母不为零，由此得到：x ﹣1＞0，据此求得x 的取值范围．【答案】C ．【解析】解：依题意得：x ﹣1＞0，解得x ＞1．故选：C ．【总结升华】考查了二次根式的意义和性质．概念：式子（a ≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．注意：本题中的分母不能等于零．举一反三：【变式】下列格式中，一定是二次根式的是（ ）.A. 23-B.()20.3- C. 2- D. x【答案】B.类型二、二次根式的性质3. 计算下列各式： (1)232()4--2(3.14)π- 【答案与解析】(1) 33=-2=-42⨯原式. (2) =3.14-=-3.14ππ原式.【总结升华】 二次根式性质的运用.举一反三：【高清课堂：二次根式及其乘除法（上）例3 （2）（3）】【变式】（1）2)252(-=_____________. （2）2)2(2a a ---=_____________.【答案】(1) 10;(2) 0.4. （2015春•孝南区月考）已知实数a ，b ，c 在数轴上的位置如图所示， 化简：22||()||a a c c b b -++---|．【解析】解：由图可知，a ＜0，c ＜0，b ＞0，且|c|＜|b|，所以，a+c ＜0，c ﹣b ＜0，22||()||a a c c b b ++--=﹣a+a+c+b ﹣c ﹣b=0.【总结升华】根据数轴判断出a 、b 、c 的正负性，根据二次根式的性质与化简、绝对值的性质，正确进行计算即可.举一反三：【变式】若整数m 2(1)1,5m m m +=+<且则m 的值是___________. 【答案】m =0或m =-1.。
八年级下册数学二次根式
八年级下册数学二次根式八年级下册数学课程中，二次根式是一个重要的知识点。
在这里，我们将为大家详细介绍二次根式的相关内容，包括定义、性质、简化、运算和应用等方面。
一、定义二次根式是指形如$\sqrt{a}$的式子，其中$a$是一个非负实数。
其中$\sqrt{a}$是该非负实数的二次根，也就是说，$\sqrt{a}\times\sqrt{a}=a$。
二、性质1. 二次根式的值为非负实数。
2. 二次根式与绝对值的运算具有相同的性质，即$|\sqrt{a}|=\sqrt{a}$。
3. 如果$a>b>0$，则$\sqrt{a}>\sqrt{b}$。
4. 如果$a>b\geq0$，则$\sqrt{a+b}<\sqrt{a}+\sqrt{b}$。
三、简化1. 若$a$为完全平方数，则$\sqrt{a}$可被化简为一个整数。
2. 若$a$为非完全平方数，则$\sqrt{a}$需保留在根号内。
3. 要注意化简后的二次根式是否符合原式。
四、运算1. 加减法：$\sqrt{a}\pm\sqrt{b}=\sqrt{a\pm2\sqrt{ab}+b}$。
2. 乘法：$\sqrt{a}\times\sqrt{b}=\sqrt{ab}$。
3. 除法：$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}$（其中$b$不能为零）。
五、应用二次根式在各个领域中均有广泛应用，例如：1. 数学中的勾股定理、三角函数等概念均涉及二次根式。
2. 物理中常见的速度、加速度、力等量的平方根也是二次根式。
3. 工程领域中还涉及到诸如距离、面积、体积等二次根式的运用。
以上就是关于八年级下册数学二次根式的详细介绍。
希望本文能帮助大家更好地理解这一知识点，提高数学学习成绩。
(完整版)八年级下册数学--二次根式知识点整理
二次根式1、算术平方根的定义：一般地，如果一个正数x的平方等于a，那么这个正数x叫做a的算术平方根。
2、解不等式（组）：尤其注意当不等式两边乘(除以)同一个负数，不等号方向改变。
如：-2x＞4，不等式两边同除以-2得x＜-2。
不等式组的解集是两个不等式解集的公共部分。
如｛3、分式有意义的条件：分母≠04、绝对值：｜a｜=a （a≥0）；｜a｜= - a （a＜0）一、二次根式的概念一般地，我们把形如 a （a≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号。
★正确理解二次根式的概念，要把握以下五点：（1）二次根式的概念是从形式上界定的，必须含有二次根号“”，“”的根指数为2，即“2”，我们一般省略根指数2，写作“”。
如25 可以写作 5 。
（2）二次根式中的被开方数既可以是一个数，也可以是一个含有字母的式子。
（3）式子 a 表示非负数a的算术平方根，因此a≥0， a ≥0。
其中a≥0是 a 有意义的前提条件。
（4）在具体问题中，如果已知二次根式 a ，就意味着给出了a≥0这一隐含条件。
（5）形如b a （a≥0）的式子也是二次根式，b与 a 是相乘的关系。
要注意当b是分数时不能写成带分数，例如832 可写成8 23，但不能写成 2232 。
练习：一、判断下列各式，哪些是二次根式？（1） 6 ；（2）-18 ；（3）x2+1 ；（4）3-8 ；（5）x2+2x+1 ；（6）3｜x｜；（7）1+2x （x＜-12）X≥-2X＜5的解集为-2≤x＜5。
二、当x 取什么实数时，下列各式有意义？（1）2-5x ；（2）4x 2+4x+1二、二次根式的性质：二次根式的性质符号语言文字语言应用与拓展注意a （a ≥0）的性质a ≥0 （a ≥0）一个非负数的算术平方根是非负数。
（1）二次根式的非负性（a ≥0，a ≥0）应用较多，如：a+1 +b-3 =0，则a+1=0，b-3=0，即a= -1，b=3；又如x-a +a-x ，则x 的取值范围是x-a ≥0，a-x ≥0，解得x=a 。
八年级数学下册知识点归纳非常全面
八年级下册知识点归纳第十六章 二次根式1、二次根式： 形如)0(≥a a 的式子。
①二次根式必须满足：含有二次根号“”；被开方数a必须是非负数。
②非负性考点：几个非负数相加为0，那么这几个数都为0.如：-+++=2310a b c 则：30,10,0a b c -=+==2、最简二次根式：满足：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式。
3、化最简二次根式的方法和步骤：（1）如果被开方数含分母，先利用商的算数平方根的性质把它写成分式的形式，然后利用分母有理化进行化简。
（2）如果被开方数是小数就化成分数，带分数化成假分数，是多项式就先分解因式。
4.同类二次根式：二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同的几个二次根式就是同类二次根式。
5、二次根式有关公式 （1）)0()(2≥=a a a （2）⎩⎨⎧<-≥==)0a (a )0a (aa a 2（3）乘法公式)0,0(≥≥∙=b a b a ab （4）除法公式(0,0)a aa b b b=≥> （5）完全平方公式222()2a b a ab b ±=++ 平方差公式：22()()a b a b a b -=+- （6）01(0)a a =≠ 1-=nn aa6、二次根式的加减法则：先将二次根式化为最简，再将被开方数相同的二次根式进行合并。
7、二次根式混合运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的。
二次根式计算的最后结果必须化为最简二次根式.第十七章 勾股定理1.勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么a 2＋b 2=c 2。
①已知a ，b ，求c ，则c=22a b + ②已知a ，c ，求b,则b=22c a -③已知b ，c 求a ，则a=22c b - 没有指明直角边和斜边时要分类讨论2.勾股定理逆定理：如果一个三角形三边长a,b,c 满足a 2＋b 2=c 2。
人教版八年级数学下册 388550二次根式知识讲解(提高)
二次根式（提高）【学习目标】1、理解二次根式的概念，了解被开方数是非负数的理由.2、理解并掌握下列结论：，，，并利用它们进行计算和化简．【要点梳理】要点一、二次根式及代数式的概念1.二次根式：一般地，我们把形如(a ≥0)•的式子叫做二次根式，“”称为二次根号． 要点诠释： 二次根式的两个要素：①根指数为2；②被开方数为非负数.2.代数式：形如5，a ，a+b ，ab ，，x 3，这些式子，用基本的运算符号(基本运算包括加、减、乘、除、乘方、开方)把数和表示数的字母连接起来的式子，我们称这样的式子为代数式. 要点二、二次根式的性质1、； 2.；3.. 要点诠释： 1.二次根式(a ≥0)的值是非负数。
一个非负数可以写成它的算术平方根的形式，即2()(0a a a =≥）.2.2a 与2()a 要注意区别与联系：1）a 的取值范围不同，2()a 中a ≥0，2a 中a 为任意值.2）a ≥0时，2()a =2a =a ；a <0时，2()a 无意义，2a =a -.【典型例题】类型一、二次根式的概念1．当x 是__________时，+在实数范围内有意义？ 【答案】 x ≥-且x ≠-1 【解析】依题意，得23010≥①≠②x x +⎧⎨+⎩由①得：x ≥- 由②得：x ≠-1当x ≥-且x ≠-1时，+在实数范围内有意义.【总结升华】本题综合考查了二次根式和分式的概念.举一反三：【变式】（2015•随州）若代数式11x x +-有意义，则实数x 的取值范围是（ ） A ．x≠1 B. x ≥0 C. x≠0 D. x ≥0且x≠1【答案】D提示：∵代数式+有意义，∴， 解得x ≥0且x ≠1．类型二、二次根式的性质2.根据下列条件，求字母x 的取值范围：(1)； (2). 【答案与解析】(1)(2)【总结升华】二次根式性质的运用.举一反三：【高清课堂：二次根式及其乘除法（上）例1(1)(2)】【变式】x 取何值时，下列函数在实数范围内有意义？（1）y=x -－11+x ,___________________；（2）y=222+-x x ，______________________； 【答案】(1)01001x x x x -+≠∴≠-Q ≥，≤且（2）2222(1)10,x x x x -+=-+>∴Q 为任意实数. 3. （2016•潍坊）实数a ，b 在数轴上对应点的位置如图所示，化简|a |+的结果是（ ）A ．﹣2a +bB ．2a ﹣bC ．﹣bD ．b【思路点拨】直接利用数轴上a ，b 的位置，进而得出a ＜0，a ﹣b ＜0，再利用绝对值以及二次根式的性质化简得出答案．【答案】A ．【解析】解：如图所示：a ＜0，a ﹣b ＜0，则|a |+=﹣a ﹣（a ﹣b ）=﹣2a +b ．故选：A ．【总结升华】此题主要考查了二次根式的性质以及实数与数轴，正确得出各项符号是解题关键．【高清课堂：二次根式及其乘除法（上）例4】4.已知c b a ,,为三角形的三边，则222)()()(a c b a c b c b a -++--+-+=．【答案】a b c ++【解析】Q c b a ,,为三角形的三边,0,0,0a b c b c a b c a ∴+->--<+->即原式=a b c a c b b c a +-++-++-=a b c ++【总结升华】重点考查二次根式的性质：的同时，复习了三角形三边的性质.。
最新人教版八年级数学下册 二次根式知识点归纳及题型总结
最新人教版八年级数学下册二次根式知识点归纳及题型总结二次根式知识点归纳和题型归类一、知识框图二、知识要点梳理知识点一、二次根式的主要性质：1.二次根式的定义：形如$\sqrt{a}$（$a\geq 0$）的式子叫做二次根式。
2.二次根式的双重非负性：$\sqrt{a}\geq 0$，即一个非负数的算术平方根是一个非负数。
3.二次根式的同底同指数相加减：$\sqrt{a}+\sqrt{b}=\sqrt{a+b}$，$\sqrt{a}-\sqrt{b}=\sqrt{a-b}$。
4.积的算术平方根的性质：$\sqrt{ab}=\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}$。
5.商的算术平方根的性质：$\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$（$b\neq 0$）。
6.若$a\geq 0$，则$\sqrt{a^2}=|a|$。
知识点二、二次根式的运算1.二次根式的乘除运算1) 运算结果应满足以下两个要求：①应为最简二次根式或有理式；②分母中不含根号。
2) 注意每一步运算的算理。
3) 乘法公式的推广：$(\sqrt{a}\pm\sqrt{b})^2=a+b\pm2\sqrt{ab}$。
2.二次根式的加减运算：先化简，再运算。
3.二次根式的混合运算1) 明确运算的顺序，即先乘方、开方，再乘除，最后算加减，有括号先算括号里。
2) 整式、分式中的运算律、运算法则及乘法公式在二次根式的混合运算中也同样适用。
例题：1.下列各式中一定是二次根式的是（）。
A。
$-3$；B。
$x$；C。
$x^2+1$；D。
$x-1$2.$x$取何值时，下列各式在实数范围内有意义。
1）$\sqrt{-15+x}$；（2）$\frac{1}{\sqrt{x+4}}$3）$\sqrt{x+4}+\sqrt{2x+1}$；（4）$\sqrt{x+1}-\sqrt{x}$5）$3-\sqrt{x+1}$；（6）$\frac{2x}{\sqrt{x+1}}$7）若$x(x-1)=\frac{1}{4}$，则$x$的取值范围是（）。
新人教版八年级数学下册知识点总结归纳 (1)
八年级数学（下册）知识点总结二次根式【知识回顾】1.二次根式：式子a （a ≥0）叫做二次根式。
2.最简二次根式：必须同时满足下列条件： ⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式； ⑵被开方数中不含分母； ⑶分母中不含根式。
3.同类二次根式：二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。
4.二次根式的性质：（1）（a ）2=a （a ≥0）； （2）==a a 25.二次根式的运算：（1）因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先解因式，•变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面．（2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式．（3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式．a≥0，b≥0）；=b≥0，a>0）． （4）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，•乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算．典型例题1．(1). （A ）5-（B ）5或5-（C ）25 （D ）5(2). （A ）3-（B ）3或3-（C ）9（D ）3(3)计算= ※ ．a （a ＞0）a -（a ＜0）0 （a =0）；(4)实数a ，ba +的化简结果为 ※ ．2. (1)x 的取值范围为（※）.（A ）1x = （B ）1x ≥ （C ）1x > （D ）1x < (2)函数y =x 的取值范围是 ※ ．3．(1)下列各式计算正确的是（※）. （A ）2222-=-（Bab = （C ）)9()4(-⨯-=4-9-⨯ （D ）336=÷(2)下列各式计算正确的是（※）. （A ）12223=-（B）2+= （C ）)9()4(-⨯-=4-9-⨯（D ）336=÷4 (1)（本小题满分6分，各题3分）计算：（1）； （20)a >.(2).（本小题满分6分，各题3分）计算：（1）（2））5（）.（第14题）b ax勾股定理1.勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么a 2＋b 2=c 2。
八年级下册数学第一章二次根式
第一节：概述1.1 介绍数学第一章的主题 - 二次根式 1.2 定义二次根式第二节：二次根式的运算2.1 开方2.2 含有根号的算术式的加减乘除2.3 对一元二次方程进行求根第三节：二次根式的化简3.1 提取因数3.2 合并同类项3.3 求解含有二次根式的方程第四节：一元二次方程的复根4.1 i的引入4.2 复数解的运算第五节：二次根式在几何中的应用5.1 定理的引入5.2 二次根式的计算第六节：二次根式的实际应用6.1 实际问题6.2 解题方法6.3 实际应用案例第七节：总结7.1 本章知识点总结7.2 学习方法和技巧的总结第八节：拓展8.1 相关知识的拓展8.2 学科交叉知识的拓展第一节：概述1.1 介绍数学第一章的主题 - 二次根式数学是一门关于数量、结构、空间和变化等概念的研究。
而二次根式作为数学课程中的一个重要内容，是数学在现实生活中的一种具体应用。
八年级下册的数学教材中，第一章就是关于二次根式的学习。
在这一章节中，我们将会学习到如何对含有二次根式的算式进行运算、如何对二次根式进行化简、以及二次根式在几何和实际生活中的应用等知识。
1.2 定义二次根式在数学中，二次根式指的是形如a√b的数学表达式，其中a和b都是实数，b为大于等于0的数，且a不等于0。
其中√b表示对b开平方的结果。
2√3和-5√8都是二次根式。
在这一章节中，我们将深入学习二次根式的运算规则，化简方法以及实际应用，全面掌握二次根式的相关知识。
第二节：二次根式的运算2.1 开方在学习二次根式的运算过程中，我们首先需要了解开方的概念。
开方是指找出一个数的平方根。
对于一个非负数a，如果存在另一个非负数b，使得b的平方等于a，则称b为a的平方根，记作√a。
在实际应用中，开方是一种常见的运算方法，我们将学习如何对含有根号的算式进行加减乘除等运算。
2.2 含有根号的算术式的加减乘除含有根号的算术式在运算过程中与普通的算术式有些许不同。
八年级下册：二次根式的详细计算专题
八年级下册：二次根式的详细计算专题二次根式是数学中的一个重要概念，掌握了二次根式的计算方法对于学习代数和解决实际问题非常有帮助。
本文将详细介绍二次根式的计算方法和相关技巧。
1. 二次根式的定义二次根式是指形如$\sqrt{a}$ 的数，其中$a$ 为一个非负实数。
如果 $a$ 的平方为一个有理数，则二次根式是一个有理数；否则，二次根式是一个无理数。
2. 二次根式的基本运算2.1. 二次根式的加减运算对于同样的二次根式，可以进行加减运算。
例如：$\sqrt{2} + \sqrt{3} = \sqrt{2} + \sqrt{3}$$\sqrt{5} - \sqrt{2} = \sqrt{5} - \sqrt{2}$2.2. 二次根式的乘法运算对于两个二次根式，可以进行乘法运算。
例如：$\sqrt{2} \times \sqrt{3} = \sqrt{6}$$\sqrt{5} \times \sqrt{2} = \sqrt{10}$2.3. 二次根式的除法运算对于两个二次根式，可以进行除法运算。
例如：$\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}} = \sqrt{3}$$\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{5}} = \sqrt{2}$3. 二次根式的化简有时候，我们需要将二次根式化简为最简形式。
化简的方法有：3.1. 提取公因数如果一个二次根式可以被一个数整除，那么可以将这个数提取出来。
例如：$2\sqrt{3} = \sqrt{12}$$3\sqrt{6} = \sqrt{54}$3.2. 有理化分母如果二次根式的分母是一个二次根式，可以通过有理化分母将其化简为最简形式。
例如：$\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$\frac{3}{\sqrt{5}} = \frac{3\sqrt{5}}{5}$4. 二次根式的应用二次根式在解决实际问题中经常会用到。
初二下册数学二次根式知识点
初二下册数学二次根式知识点
一、二次根式的定义
二次根式是一种常见的函数，是表示二次函数y = ax2+ bx+ c (a≠ 0) 的根的简写形式。
它一般由一个未知数 x 和一些常数 a、b、c 组成，它的形式如：ax2+ bx+ c= 0。
二次根式又称二次方程根，二次根式中的常数 a、b、c 可以推倒出
二次函数 y = ax2+ bx+ c，这时 x 可以表示为 ax2+ bx+ c = 0中它的解，也就是 y 轴上的两个变化点，这样 x 就变成了 ax2+ bx+ c = 0 中
一个变量，而不是一个常数。
二、二次根式的解法
1、求根公式法
即已知二次根式 ax2+ bx+ c = 0，求解 x 的一般解法，首先用根公
式法，即设 x1、x2 是该方程的根，则有：
x1+x2=-b/a
x1x2=c/a
根据以上两式可求出：
x1 = [-b + √(b2- 4ac)]/2a x2 = [-b - √(b2- 4ac)]/2a
2、分部分求根法
即将二次根式分成两部分，一部分是首项与其系数之积 ax2，另一部
分是常数项 c，将两部分分别化简。
(1) 首先将 ax2 化简为 A，求出 bx + c = 0 的解 x1；
(2) 然后将 A + bx = 0 化简为 ax2 + bx = -c，求出其解 x2
二次根式的解有一般解和特殊解，当a、b、c中有变数时，可以用一般解；当a、b、c中有常数时，可以用特殊解。
三、二次根式的应用
1、二次根式可以用来求解一元二次方程，根据一元二次方程 y = ax2+ bx+ c = 0 的特点，可以求出两个不同的解，分别为 x1、x2。
八年级下册数学计算题二次根式
八年级下册数学计算题二次根式一、二次根式的概念与性质1. 二次根式的定义形如√(a)(a≥0)的式子叫做二次根式。
例如：√(4)，√(9)都是二次根式，而√(2)不是二次根式，因为被开方数-2<0。
2. 二次根式的性质(√(a))^2=a(a≥0)。
例如：(√(5))^2 = 5。
√(a^2)=| a|=<=ft{begin{array}{l}a(a≥0) a(a<0)end{array}right.例如：√(3^2)=|3| = 3，√((-3)^2)=| 3|=3。
二、二次根式的运算1. 二次根式的乘法√(a)·√(b)=√(ab)(a≥0,b≥0)。
例1：计算√(3)×√(6)。
解析：根据二次根式乘法法则，√(3)×√(6)=√(3×6)=√(18)，然后将√(18)化简为√(9×2)=3√(2)。
2. 二次根式的除法(√(a))/(√(b))=√(frac{a){b}}(a≥0,b>0)。
例2：计算(√(12))/(√(3))。
解析：根据二次根式除法法则，(√(12))/(√(3))=√(frac{12){3}}=√(4) = 2。
3. 二次根式的加减先将二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式。
例3：计算√(8)+√(18)。
解析：先把√(8)和√(18)化为最简二次根式，√(8)=√(4×2)=2√(2)，√(18)=√(9×2)=3√(2)。
然后合并同类二次根式，2√(2)+3√(2)=(2 + 3)√(2)=5√(2)。
4. 二次根式的混合运算按照先乘方、再乘除、最后加减的顺序进行计算，如果有括号先算括号里面的。
例4：计算(√(3)+1)(√(3)-1)。
解析：根据平方差公式(a + b)(a b)=a^2-b^2，这里a=√(3)，b = 1，所以(√(3)+1)(√(3)-1)=(√(3))^2-1^2=3 1=2。
八年级数学下册二次根式化简
八年级数学下册二次根式化简知识点1、二次根式定义形如式子叫做二次根式；二次根式必须满足：含有二次根号；被开方数a必须是非负数（含有，且有意义）。
①被开方数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式；②判断时一定要注意不要化简，一定要有意义。
知识点2、最简二次根式若二次根式满足：被开方数的因数是整数，因式是整式；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式叫做最简二次根式。
①根号下无分母，分母中无根号；②被开方数中没有能开方的因数或因式。
知识点3、二次根式的性质（1）非负性√a （a≥0）是一个非负数注意：此性质可作公式记住，后面根式运算中经常用到．（2）（√a）^2=a（a≥0）注意：此性质既可正用，也可反用，反用的意义在于，可以把任意一个非负数或（3）非负代数式写成注意：（1）字母不一定是正数．（2）能开得尽方的因式移到根号外时，必须用它的算术平方根代替．知识点4、最简二次根式和同类二次根式（1）最简二次根式：☆最简二次根式的定义：①被开方数是整数，因式是整式②被开方数中不含能开得尽方的数或因式，分母中不含根号☆同类二次根式（可合并根式）：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式，即可以合并的两个根式知识点5、二次根式计算——分母有理化（1）分母有理化定义：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。
（2）有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式。
有理化因式确定方法如下：①单项二次根式：利用来确定，如下，分别互为有理化因式。
②两项二次根式：利用平方差公式来确定。
如下列式子，互为有理化因式（3）分母有理化的方法与步骤：①先将分子、分母化成最简二次根式；②将分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式；知识点6、二次根式计算——二次根式的乘除（1）积的算术平方根的性质积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积。
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二次根式1、 算术平方根的定义：一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，那么这个正数x 叫做a 的算术平方根。
2、 解不等式（组）：尤其注意当不等式两边乘(除以)同一个负数，不等号方向改变。
如：-2x ＞4，不等式两边同除以-2得x ＜-2。
不等式组的解集是两个不等式解集的公共部分。
如3、 分母≠04、 绝对值：｜a ｜=a （a ≥0）；｜a ｜= - a （a ＜0）一、 二次根式的概念一般地，我们把形如 a （a ≥0）的式子叫做二次根式，“ ”称为二次根号。
★ 正确理解二次根式的概念，要把握以下五点：（1） 二次根式的概念是从形式上界定的，必须含有二次根号“ ”，“ ”的根指数为2，即“2 ”，我们一般省略根指数2，写作“ ”。
如25 可以写作 5 。
（2） 二次根式中的被开方数既可以是一个数，也可以是一个含有字母的式子。
（3） 式子 a 表示非负数a 的算术平方根，因此a ≥0， a ≥0。
其中a ≥0是 a 有意义的前提条件。
（4） 在具体问题中，如果已知二次根式 a ，就意味着给出了a ≥0这一隐含条件。
（5） 形如b a （a ≥0）的式子也是二次根式，b 与 a 是相乘的关系。
要注意当b 是分数时不能写成带分数，例如83 2 可写成8 2 3 ，但不能写成2 232 。
练习：一、判断下列各式，哪些是二次根式？（1） 6 ； （2）-18 ； （3）x 2+1 ；（4）3-8 ； （5）x 2+2x+1 ； （6）3｜x ｜ ； （7）1+2x （x ＜- 12 ）二、当x 取什么实数时，下列各式有意义？（1）2-5x ； （2）4x 2+4x+1二、二次根式的性质：练习：计算（1）（35 ）2 (2) （4 3 ）2 (3) （-62) （4）- （- 18）2 （6）x 2-2x+1 + x 2-6x+9 （1≤x ≤3） ★（ a ）2（a ≥0）与a 2 的区别与联系：三、代数式用基本运算符号（基本运算包括加、减、乘、除、乘方和开方）把数或表示数的字母连接起来的式子叫代数式。
例：3，x ，x+y ，3x （x ≥0），-ab ，s t（t ≠0，x 3都是代数式 注（1）单独一个数或字母也是代数式；（2）代数式中不能含有关系符号（＞，＜，=等）（1） 将两个代数式用关系符号（＞，＜，=等）连接起来的式子叫关系式，方程和不等式都是关系式。
如2x+3＞3x-5是关系式。
练习：下列式子：①0；②π2③2+x=4；④x-23 ＞1；⑤2a+3b ；⑥2-x (x ≤2)，其中是代数式的有（ ）列代数式的常用方法：（1） 直接法：根据问题的语言叙述直接写出代数式。
（2） 公式法：根据公式列出代数式。
（3）探究规律法：将蕴含在一组数或一组图形中的排列规律用代数式表示出来。
练习：列代数式（1）把a本书平均分给若干名学生，若每人分5本，还余3本，则学生人数为（）（2）若圆A的半径r是圆B的半径的5倍，则这两个圆的周长之和为（）典型例题剖析题型一：二次根式有意义的条件当x取何值时，下列各式在实数围有意义？（1）x+5-3-2x；（2）2x-11-x；（3）x-3+3+x题型二：利用二次根式的非负性化简求值已知a2+b-2=4a-4，求ab的值。
题型三：二次根式非负性的简单应用已知实数x，y满足｜x-4｜+y-8=0，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是（）题型四：利用a2 =｜a｜并结合数轴化简求值已知实数a，b在数轴上的位置如图所示。
试化简：a2+b2+（a-b）2+（b-1）2-（a-1）2题型五：a2 =｜a｜与三角形三边关系的综合应用在△ABC中，a，b，c是三角形的三边长，化简（a-b+c）2-2｜c-a-b｜题型六：逆用（ a ）2 = a（a≥0）在实数围分解因式在实数围分解因式：（1）x4-4；（2）x4-4x2+4二次根式的乘除1、单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。
2、单项式与单项式相除，把系数与同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。
一、 二次根式的乘法法则a ．b =ab （a ≥0，b ≥0）即：二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变（1） 进行二次根式的乘法运算时，一定不能忽略其被开方数a ，b 均为非负数这一条件。
（2） 推广① a ． b ． c =abc （a ≥0，b ≥0，c ≥0）②a b ．c d =ac bd ③乘法交换律和结合律在二次根式的乘法中任然可应用。
练习：（1）28 ．7 ；（2）14 ．256 ；（3）4xy ．1y(4)627 ．（-2 3 ） 二、二次根式乘法法则的逆用ab = a ． b （a ≥0，b ≥0）即积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积 利用这个性质可以把二次根式化简，在进行二次根式的化简运算时，先将被开方数进行因式分解或因数分解，然后再将能开得尽方的因式或因数开方后移到根号外。
注：（1）公式中的a ，b 可以是数，也可以是代数式，但必须满足a ≥0，b ≥0，实际上，公式中的a ，b 是限制公式右边的，对公式的左边，只要ab ≥0即可，如（-4）×（-9） ≠-4 ．-9 。
（2）在本章中如果没有特别说明，所有的字母都表示正数。
推广：abcd = a ． b ． c ． d （a ≥0，b ≥0，c ≥0，d ≥0）练习：化简 （1）300 ； （2）（-14）×（-112） ；（3）200a 5b 4c 3 ； （4）132-122 ； （5）16x 4+32x 2三、二次根式的除法法则 a b =a b （a ≥0，b ＞0）即：二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变。
注：（1）a 必须是非负数，b 必须是正数，式子才成立。
若a ，b 都是负数，虽然a b＞0，a b 有意义，但 a ， b 在实数围无意义；若b=0，则a b无意义。
（2）如果被开方数是带分数，应先将其化成假分数，如414 必须先化成174，以免出现414 = 4 ×14这样的错误。
（3）在二次根式的计算中，最后结果应不含能开得尽方的因数或因式，同时分母中不含二次根式。
推广：（m a ）÷（n b ）=（m ÷n ）×（ a ÷ b ），其中a ≥0，b ＞0，n ≠0。
练习：计算（1）48 ÷ 6 ； （2）-27 ÷（310 38 ）； （3）a 4b4a 3b ÷（-a 4b ； （4）72a 2b 6b 四、二次根式除法法则的逆用a b = a b（a ≥0，b ＞0）即商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根。
注：公式中的a ，b 可以是数，也可以是代数式，但必须满足a ≥0，b ＞0。
公式中的a ，b 是限制公式右边的，对公式的左边，只要a b≥0即可。
例如计算-3-4 ，不能写为-3-4 =-3 -4 ，而应写为-3-4 =34 = 3 4 = 3 2 。
利用这个公式，同样可以达到化简二次根式的目的，在化简被开方数是分数（或分式）的二次根式时，先将其化为 a b（a ≥0，b ＞0）的形式，然后利用分式的基本性质，分子和分母同乘上一个适当的因式，化去分母中的根号即可。
当被开方数是带分数时，应先把它化成假分数。
练习：化简（1）549 ； （2）81×125144 ； （3）121b 516a 2五、最简二次根式的概念★满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式。
（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。
★对于最简二次根式的概念我们可作如下解释：（1）被开方数中不含分母，因此被开方数是整数或整式；（2）被开方数中每一个因数或因式的指数都是1。
★化简二次根式的一般方法（1）0.3 ；（2）25xy ；（3）yx；（4）x3；（5）a3+6a2+9a ；（6）2（x2-y2）；（7）32n ；（8）23拓展：分母有理化：二次根式的除法可以用化去分母中的根号的方法来进行，这种化去分母中根号的变形叫做分母有理化。
分母有理化的方法是根据分式的基本性质，将分子和分母都乘上分母的有理化因式．．．．．（两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式），化去分母中的根号。
分母有理化因式不唯一，但以运算最简便为宜。
常用的有理化因式有：a与a；a+b与a+b；a-b与a-b；a+b与a-b；a b+c d与a b-c d等。
练习：把下列二次根式化成最简二次根式：（1）240；（2）1.25；（3）1720；（4）75a2b典型例题剖析题型一：二次根式乘除法法则成立的条件（1）若x+3．x-3=（x+3）（x-3）成立，则（）A、x≥3B、x≥-3C、-3≤x≤3D、x为任意实数（2）如果xx-6=xx-6成立，那么（）A、x≥6B、0≤x≤6C、x≥0D、x＞6 题型二：二次根式的化简化简：（1）12ab ．9a 34； （2）412-402； （3）x 4+x 2 题型三：二次根式的乘法混合运算计算：（1）212÷328×（-5227）；（2）2a 2-b 26a ×a 3a+6b ÷（45a-b b ） 题型四：利用二次根式的性质把根号外的非负因数（式）移到根号把下列各式中根号外的因数（式）移到根号： （1）535；（2）-32；（3）-2a 12a ；（4）-a - 1a ；（5）x y x（x ＜0，y ＜0） 题型五：二次根式的大小比较比较大小：（1）72与311； （2）-211与-3 5二次根式的加减1、同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项，例如3ab 与-4ab2、合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项，合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数和，且字母部分不变。
3、整式的加减：一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项。
4、平方差公式：（a+b ）（a-b ）=a 2-b 2完全平方公式（a ±b ）2=a 2±2ab+b 25、多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，即（a+b ）（m+n ）=am+an+bm+bn一、可以合并的二次根式★将二次根式化成最简二次根式，如果被开方数相同，则这样的二次根式可以合并。
合并的方法与合并同类项类似，把括号外的因数（式）相加，根指数和被开方数不变，合并的依据是乘法分配律，如m a+n a=（m+n ） a练习：化简下列二次根式，并指出哪些是可以合并的二次根式。