正交试验设计(方差分析)

子
A 罗拉加压 10×11×10 （原工艺） 11×12×10 13×14×13
B 后区牵伸 1.80 （原工艺） 1.67 1.50 6 8 10
C 后区隔距 （原工艺）
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首先要选择一个合适的正交表,选 L9 (34 ) 来制定试验 方案. 其次，将A、B、C三个因素随机地填在表的三列上， 如A、B、C依次放在1，2，3列，第4列为空列，这个过 程叫表头设计.
若交互作用占有多列，则其离差平方和等于所占多列离差平 方和之和， 例：r=3时
SS AB SS SS （AB） （AB）
1 2
④试验误差的离差平方和
方差分析时，在进行表头设计时一般要求留有空列，即误差 列
误差的离差平方和为所有空列所对应离差平方和之和 ：
SSe SS空列
… … … … …
K1k K2k
…
i
Kmj K1j2 K2j2
…Baidu Nhomakorabea
Km1 K112 K212
…
Km2 K122 K222
…
Kmk K1k2 K2k2
…
QT＝ x 2 i
i＝ 1
SST＝QT CT 1 m 2 Q j＝ K ij r i＝ 1 SS j＝Qj CT
Kmj2 SSj
Km12 SS1
( j)
B、C、A
由因素的主次可以看出后区牵伸（因素B）对指标影响 最主要,其次是后区隔距（因素C），罗拉加压影响最小.
3．选出最优工艺参数 （1）直接看： 直接比较已做的9次试验得到的条子条干不匀率，容易 看出第6号试验条干不匀率最小, 第6号试验的水平组合 A2B3C1称为“直接看”的好条件.它是通过试验的实践直接 得到的,比较可靠. （2）算一算： ( j) 通过比较 ki 的大小可选出排在第j列的因素的最好水平， (1) (1) (1) 如第1列的因素A： k1 0.87 k3 1.07 k2 1.23 分别表示因素A的三个水平的平均条干不匀率,经比较可知当 因素A取A1水平时，条干不匀率最小，所以A1的效果最好.
＝9.5
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2． 分析因素的影响 根据极差 R 的数据知，第2列和第3列的极差较大， 这反映了当因素B、C的水平波动时,指标波动较大,说明因 素B、C对指标影响较大； 第1列的极差较小,说明因素A的水平变动时,指标变动 较小，说明因素A对指标影响较小； 而第4列是空列,极差为0.34,这是由随机误差产生的,又 因为因素A的极差0.36与空列的极差0.34接近，所以可粗略 地认为因素A对指标影响不显著 由此可以根据极差的大小顺序排出因素的主次： 主 次
（1）计算离差平方和
①总离差平方和
n 1 SST ( yi y )2 yi2 ( yi ) 2 Q P n i 1 i 1 i 1
2 设： Q yi i 1 n
n
n
T yi
i 1
n
2 1 n T P ( yi )2 n i 1 n
6.5 正交试验结果的方差分析
极差分析法简单明了，通俗易懂，计算工作量少便 于推广普及。但这种方法不能将试验中由于试验条件改
变引起的数据波动同试验误差引起的数据波动区分开来，
也就是说，不能区分因素各水平间对应的试验结果的差 异究竟是由于因素水平不同引起的，还是由于试验误差 引起的，无法估计试验误差的大小。此外，各因素对试 验结果的影响大小无法给以精确的数量估计，不能提出 一个标准来判断所考察因素作用是否显著。为了弥补极 差分析的缺陷，可采用方差分析。
先将各因素和交互作用的方差与误差方差比较，若MS因
（MS交） <2MSe，可将这些因素或交互作用的偏差平方和、 自由度并入误差的偏差平方和、自由度，这样使误差的偏差
平方和和自由度增大，提高了F检验的灵敏度。
表
L9(34)正交表
处理号 1 2 3
第1列（A） 1 1 1
第2列 1 2 3
第3 列 1 2 3
②各因素引起的离差平方和 第j列所引起的离差平方和 ：
r r 2 T2 r r 2 SS j ( Ki ) ( Ki ) P n i 1 n n i 1
因此：
SST SS j
j 1
m
③交互作用的离差平方和
若交互作用只占有一列，则其离差平方和就等于所在列的离 差平方和SSj
误差列 2.9 3.8 2.8 0.97 1.27 0.93 0.34
各数据说明
其中：
K1( j )
K2( j )
K
( j) 3
Ki( j )
为第j列的第i水 平数据之和
k1( j ) k
( j) 2
ki( j )
为其平均值
k3( j )
R
( j)
R( j )
为第j列的极差
T xi
i 1
9
，
，
同理可选出因素B和因素C的最好条件分别为B3、C1。 于是通过 “算一算”得到一个较优的水平组合A1 B3C1.称为 “算一算” 的好条件. 比较“直接看”的好条件A2B3C1与 “算一算”的好条 件A1 B3C1，除了因素A的水平不同外，其它两个因素所取 的好条件是一致的。又因为第一列的极差与误差列的极差 接近，认为因素A对条干不匀率的影响不显著,为方便操作 选取原工艺A1.最后确定最优工艺为A1B3C1.
第6讲（5）
正交试验设计 （方差分析）
正交试验设计的任务之一就是利用正交表确定试验方 案.下面通过一个实例来回顾如何利用正交表制定试验 方案的步骤. 例1 某棉纺厂为了研究并条机的工艺参数对条子条干 不匀率的影响，选择了罗拉加压、后区牵伸、后区隔距 三个因素进行试验，因素及水平如下表：
水 因 平 1 2 3
则：
SSe SSe SS A
df dfe df A
SS MSe e df e
e
（4）计算F值
各均方除以误差的均方，例如：
MS A FA MSe
或
MS A FA MSe
FA B
MS A B MSe
或
FA B
MS A B MSe
（5）显著性检验
L9 (34 )
B 1
试验
列
号
A 1
C 1
空列 1
号
1
2
3 4 5 6 7 8 9
1
1 2 2 2 3 3 3
2
3 1 2 3 1 2 3
2
3 2 3 1 3 1 2
2
3 3 1 2 2 3 1
正交试验的数据分析
（一） 极差分析法 下面仍以例1试验方案为例，回顾极差分析法的思想方 法.依照上表安排的试验方案，进行9次试验（一般不要 按序号顺序来做这9个试验，而应随机地挑选试验号来完 成这些试验.），并将试验数据填写在上表的数据列 中.(该数据是将原始数据减20而得到的，这并不影响分析 结果.) 1． 数据计算
A1 1、 2、 3、 4、
A2 5、 6 7、
A3 8、 9
各水平所在的试 验号
各水平所在试验 号的试验数据
1.5、1.3、－0.2
2.6、1.4、－0.3
2.8、 0.4、 0
在因素A每个水平的三次试验中，因素B、C三个水平 都分别各出现一次，因此,可以理解为因素A有三个水平， 每个水平重复做三次试验，按照单因子方差分析:
2 2 2 2 A 2 2 2 2
3
1
2
3
9
9
3
3
2
1
y9 水平3次重 复测定值
因素A第3 分析第1列因素时，其它列暂不考虑，将其看做条件因素。 因素 A1 A2 A3 重复1 y1 y4 y7 重复2 y2 y5 y8 重复3 y3 y6 y9 和 y1+y2+y3 y4+y5+y6 y7+y8+y9 K1 K2 K3
（2）计算自由度
①总自由度 ：dfT＝n－1
②任一列离差平方和对应的自由度 ： dfj＝r－1
③交互作用的自由度 ：（以A×B为例）
dfA×B＝dfA ×dfB dfA×B＝( r－1 )dfj
若r ＝ 2， dfA×B＝dfj
若r ＝ 3， dfA×B＝ 2dfj= dfA ＋dfB
表头设计
表 Ln（mk）正交表及计算表格
A B …
…
试验数据
列号
试验号 1 2 … n
1
1 1 … m
2
… … … …
…
… … … … …
k
… … … …
xi
x1 x2
…
xi2
x12 x22
…
xn
T＝ x
i＝ 1 n n
xn2
T2 CT n
K1j K2j
…
K11 K21
…
K12 K22
…
…
( j) 分别计算第j列的第i水平数据之和 Ki 以及其平均值
( j) 极差 t、 i
R( j ) 并填入表中.
例1
试
列 验 号 号 A B
试验结果分析表
C 误差列 简化数据 xi－20
1
2 3 4 5 6 7 8 9
1
1 1 2 2 2 3 3 3
1
2 3 1 2 3 1 2 3
1
2 3 2 3 1 3 1 2
2 当m＝2时， SS ＝ 1 （K1j - K 2j） （j＝1， 2， ... ，k） j
n
总自由度：
dfT＝n-1
因素自由度：
df＝m 1 ，m为因素水平个数 j
例2（例1续）方差分析法首先计算各列的离差平方和 S j 以因素A所在的第一列 S1 为例，给出 S j 的计算公式.
A因素的水平
（2）自由度分解：
dfT df因素 df空列（ 误列（
（3）方差：
SS因素 SS误差 MS因素＝ ，MS误差＝ df因素 df误差
（4）构造F统计量：
MS因素 F因素＝ MS误差
（5）列方差分析表，作F检验
若计算出的F值F0>Fa，则拒绝原假设，认为 该因素或交互作用对试验结果有显著影响；若 F0≼Fa，则认为该因素或交互作用对试验结果 无显著影响。
Km22 SS2
…
Kmk2 SSk
总偏差平方和：
（ x i ） 2 SS T ＝ x i － i＝1 n i＝1
2 n
n
n
列偏差平方和：
2 （ x ） i m 1 2 SS j ＝ K ij － i＝1 （j＝1， 2， ... ，k） r i＝1 n
试验总次数为n，每个因素水平数为 m个，每个水平作r次重复r＝n/m。
例如：
若FA F (df A , dfe ) ，则因素A对试验结果有显著影响
若 FAB F (df AB , dfe )，则交互作用A×B对试验结果有 显著影响
（6）列方差分析表
（1）偏差平方和分解：
总偏差平方和＝各列因素偏差平方和+误差偏差平方和
SST SS因素 SS空列（误差）
1
2 3 3 1 2 2 3 1
1.5
1.3 －0.2 2.6 1.4 －0.3 2.8 0.4 0
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例1
各数 列 号 据
试验结果分析表续
B
6.9 3.1 －0.5 2.30 1.03 －0.17 2.47
A
2.6 3.7 3.2 0.87 1.23 1.07 0.36
C
1.6 3.9 4.0 0.53 1.30 1.33 0.80
第4 列 1 2 3
因素A第1 水平3次 试验结果yi 重复测定 y1 值 y2 y3
单因素 4 2 1 2 3 y4 5 2 2 3 1 y5 因素A第2 试验数 1 （y1 y2 ... y9 ） SS 6 ＝ （ y1 y22 y3 ） （y4 3y5 y6 ） （y7 y8 2y9 ） （修正项） 水平 3次重 1 y6 据资料 3 9 复测定值 7 1 3 1 3 2 y7 T 格式 ＝ （K K K ） 8 3 2 1 3 y8
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6.5.1 正交试验结果的方差分析
方差分析基本思想是将数据的总变异分解成因 素引起的变异和误差引起的变异两部分，构造F统 计量，作F检验，即可判断因素作用是否显著。
正交试验结果的方差分 析思想、步骤同前！！
方差分析的基本步骤与格式
设：
用正交表Ln(rm)来安排试验 试验结果为yi（i=1,2,…n）
④误差的自由度：
dfe＝空白列自由度之和
（3）计算均方
SS A 以A因素为例 ： MS A df A
以A×B为例
：
MS AB
SS AB df AB

误差的均方：
SSe MSe df e
注意：
若某因素或交互作用的均方≤MSe，则应将它们归入误差列
计算新的误差、均方 例：若MSA ≤MSe
（6）正交试验方差分析说明
由于进行F检验时，要用误差偏差平方和SSe及其自由度dfe， 因此，为进行方差分析，所选正交表应留出一定空列。当无 空列时，应进行重复试验，以估计试验误差。 误差自由度一般不应小于2，dfe很小，F检验灵敏度很低，
有时即使因素对试验指标有影响，用F检验也判断不出来。
为了增大dfe，提高F检验的灵敏度，在进行显著性检验之前，