最新高考文科数学导数全国卷

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(2024年高考真题)2024年普通高等学校招生全国统一考试数学(文) 试卷全国甲卷(含部分解析)

2024年普通高等学校招生全国统一考试全国甲卷数学（文）试卷养成良好的答题习惯，是决定成败的决定性因素之一。

做题前，要认真阅读题目要求、题干和选项，并对答案内容作出合理预测;答题时，切忌跟着感觉走，最好按照题目序号来做，不会的或存在疑问的，要做好标记，要善于发现，找到题目的题眼所在，规范答题，书写工整;答题完毕时，要认真检查，查漏补缺，纠正错误。

1.集合{1,2,3,4,5,9}A =，{1}B x x A =+∈∣，则A B =( ) A.{1，2，3，4}B.{1，2，3，4}C.{1，2，3，4}D.{1，2，3，4}2.设z =，则z z ⋅=( ) A.2B.2C.2D.23.若实数x ，y 满足约束条件（略），则5z x y =-的最小值为( ) A.5B.12C.2-D.72-4.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若91S =，37a a +=( ) A.2-B.73C.1D.295.甲、乙、丙、丁四人排成一列，丙不在排头，且甲或乙在排尾的概率是( ) A.14 B.13 C.12D.236.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点分别为12(0,4)(0,4)F F -、，且经过点(6,4)P -，则双曲线C 的离心率是( )A.135B.137C.2D.37.曲线6()3f x x x =+在 (0,1)-处的切线与坐标轴围成的面积为( )A.16B.2 C.12D.28.函数()2()e e sin x x f x x x -=-+-的大致图像为( ) 9.已知cos cos sin ααα=-an 4πt α⎛⎫+= ⎪⎝⎭( )A.3B.1-C.3-D.1310.直线过圆心，直径11.已知m n 、是两条不同的直线，αβ、是两个不同的平面：①若m α⊥，n α⊥，则//m n ；②若m αβ=，//m n ，则//n β；③若//m α，//n α，m 与n 可能异面，也可能相交，也可能平行；④若m αβ=，n 与α和β所成的角相等，则m n ⊥，以上命题是真命题的是( )A.①③B.②③C.①②③D.①③④12.在ABC △中，内角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，若π3B =，294b ac =，则sin sin A C +=( )A.13B.13C.2D.1313.略14.函数()sin f x x x =，在[0,π]上的最大值是_______. 15.已知1a >，8115log log 42a a -=-，则a =_______. 16.曲线33y x x =-与2(1)y x a =--+在(0,)+∞上有两个不同的交点，则a 的取值范围为_______.17.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1233n n S a +=-.（1）求{}n a 的通项公式；（2）求数列{} n S 的通项公式. 18.题干略.19.如图，己知//AB CD ，//CD EF ，2AB DE EF CF ====，4CD =，10AD BC ==，23AE =，M 为CD 的中点.（1）证明：//EM 平面BCF ；（2）求点M 到AD E 的距离. 20.已知函数()(1)ln 1f x a x x =--+. （1）求()f x 的单调区间；（2）若2a ≤时，证明：当1x >时，1()e x f x -<恒成立.21.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的右焦点为F ，点3(1,)2M 在椭圆C 上，且MF x ⊥轴.（1）求椭圆C 的方程；（2）(4,0)P ，过P 的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，N 为FP 的中点，直线NB 与MF 交于Q ，证明：AQ y ⊥轴.22.[选修4-4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为cos 1ρρθ=+. （1）写出C 的直角坐标方程；（2）直线x ty t a =⎧⎨=+⎩（t 为参数）与曲线C 交于A 、B 两点，若||2AB =，求a 的值.23.[选修4-5：不等式选讲] 实数a ，b 满足3a b +≥. （1）证明：2222a b a b +>+；（2）证明：22226a b b a -+-≥.2024年普通高等学校招生全国统一考试全国甲卷数学（文）答案1.答案：A解析：因为{}1,2,3,4,5,9A =，{1}{0,1,2,3,4,8}B x x A =+∈=∣，所以{1,2,}3,4A B =，故选A. 2.答案：D解析：因为z =，所以2z z ⋅=，故选D. 3.答案：D解析：将约束条件两两联立可得3个交点：(0,1)-、3,12⎛⎫ ⎪⎝⎭和1 3,2⎛⎫⎪⎝⎭，经检验都符合约束条件.代入目标函数可得：min 72z =-，故选D.4.答案：D解析：令0d =，则9371291,,99n n S a a a a ===+=，故选D.5.答案：B解析：甲、乙、丙、丁四人排成一列共有24种可能.丙不在排头，且甲或乙在排尾的共有8种可能，81243P ==，故选B. 6.答案：C解析：12212F F ce a PF PF ===-，故选C.7. 答案：A解析：因为563y x '=+，所以3k =，31y x =-，1111236S =⨯⨯=，故选A.8.答案：B解析：选B.9. 答案：B解析：因为cos cos sin ααα=-tan 1α=，tan 1tan 141tan πααα+⎛⎫+== ⎪-⎝⎭，故选B.10.答案：直径解析：直线过圆心，直径. 11. 答案：A解析：选A. 12.答案：C 解析：因为π3B =，294b ac =，所以241sin sin sin 93A C B ==.由余弦定理可得：22294b ac ac ac =+-=，即：22134a c ac +=，221313sin sin sin sin 412A C A C +==，所以2227(sin sin )sin sin 2sin sin 4A C A C A C +=++=，sin sin 2A C +=，故选C.13. 答案：略解析： 14.答案：2解析：π()sin 2sin 23f x x x x ⎛⎫==-≤ ⎪⎝⎭，当且仅当5π6x =时取等号.15. 答案：64解析：因为28211315log log log 4log 22a a a a -=-=-，所以()()22log 1log 60a a +-=，而1a >，故2log 6a =，64a =.16. 答案：(2,1)-解析：令323(1)x x x a -=--+，则323(1)a x x x =-+-，设32()3(1)x x x x ϕ=-+-，()(35)(1)x x x ϕ+'=-，()x ϕ在(1,)+∞上递增，在（0，1）上递减.因为曲线33y x x =-与2(1)y x a =--+在(0,)+∞上有两个不同的交点，(0)1ϕ=，(1)2ϕ=-，所以a 的取值范围为(2,1)-. 17.答案：见解析解析：（1）因为1233n n S a +=-，所以12233n n S a ++=-，两式相减可得：121233n n n a a a +++=-，即：2135n n a a ++=，所以等比数列{}n a 的公比53q =，又因为12123353S a a =-=-，所以11a =，153n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭.（2）因为1233n n S a +=-，所以()133511223nn n S a +⎡⎤⎛⎫=-=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦.18.答案：见解析解析：（1）22150(70242630) 6.635965450100χ⨯-⨯=<⨯⨯⨯，没有99%的把握；（2）p p >+. 19.答案：见解析解析：（1）由题意：//EF CM ，EF CM =，而CF 平面ADO ，EM 平面ADO ，所以//EM 平面BCF ；（2）取DM 的中点O ，连结OA ，OE ，则OA DM ⊥，OE DM ⊥，3OA =，OE =而AE =，故OA OE ⊥，AOE S =△因为2DE =，AD =AD DE ⊥，AOE S △DM 设点M 到平面ADE 的距离为h ，所以1133M ADE ADE AOE V S h S DM -=⋅=⋅△△，h ==，故点M到ADE 的距离为5. 20.答案：见解析解析：（1）()(1)ln 1f x a x x =--+，1()ax f x x-=，0x >. 若0a ≤，()0f x <，()f x 的减区间为(0,)+∞，无增区间；若0a >时，当10x a <<时，()0f x '<，当1x >时，()0f x '>，所以()f x 的减区间为10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，增区间为1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；（2）因为2a ≤，所以当1x >时，111e ()e (1)ln 1e 2ln 1x x x f x a x x x x ----=--+-≥-++.令1()e 2ln 1x g x x x -=-++，则11()e 2x g x x -'=-+.令()()h x g x '=.则121()e x h x x-'=-在(1,)+∞上递增，()(1)0h x h ''>=，所以()()h x g x '=在(1,)+∞上递增，()(1)0g x g ''>=，故()g x 在(1,)+∞上递增，()(1)0g x g >=，即：当1x >时，1()e x f x -<恒成立.21.答案：见解析解析：（1）设椭圆C 的左焦点为1F ，则12F F =，3||2MF =.因为MF x ⊥轴，所以152MF =，12||4a MF MF =+=，解得：24a =，2213b a =-=，故椭圆C 的方程为：22143x y +=；（2）解法1：设()11,A x y ，()22,B x y ，AP PB λ=，则12124101x x y y λλλλ+⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩，即212144x x y y λλλ=+-⎧⎨=-⎩.又由()()22112222234123412x y x y λλλ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩可得：1212121234121111x x x x y y y y λλλλλλλλ+-+-⋅⋅+⋅=+-+-，结合上式可得：25230x λλ-+=.(4,0)P ，(1,0)F ，5,02N ⎛⎫⎪⎝⎭，则222122335252Q y y y y y x x λλλλ===-=--，故AQ y ⊥轴.解法2：设()11,A x y ，()22,B x y ，则121244y y x x =--，即：()1221214x y x y y y -=-，所以()()()2222222211*********21213444433y x y x y x y x y x y x y y y ⎛⎫-+=-=+-+ ⎪⎝⎭()()()()212121122144y y y y y y x y x y =-+=-+，即：122121x y x y y y +=+，2112253x y y y =-.(4,0)P ，(1,0)F ，5,02N ⎛⎫⎪⎝⎭，则21212112335252Q y y y y y x y y x ===--，故AQ y ⊥轴.22.答案：（1）221y x =+ （2）34解析：（1）因为cos 1ρρθ=+，所以22(cos 1)ρρθ=+，故C 的直角坐标方程为：222(1)x y x +=+，即221y x =+；（2）将x ty t a =⎧⎨=+⎩代入221y x =+可得：222(1)10t a t a +-+-=，12||2AB t =-==，解得：34a =. 23.答案：见解析解析：（1）因为3a b +≥，所以22222()a b a b a b +≥+>+. （3）222222222222()a b b a a b b a a b a b -+-≥-+-=+-+=22222()()()()(1)6a b a b a b a b a b a b +-+≥+-+=++-≥.高考质量提升是一项系统工程，涉及到多个方面、各个维度，关键是要抓住重点、以点带面、全面突破，收到事半功倍的效果。

导数文科大题含详细答案

导数文科大题1.知函数， .（1）求函数的单调区间；（2）若关于的方程有实数根，数的取值围. 答案解析2.已知 , (1)若 ,求函数在点处的切线方程; (2)若函数在上是增函数,数a 的取值围; (3)令 , 是自然对数的底数);求当实数a等于多少时,可以使函数取得最小值为3.解:(1)时,,′(x),′(1)=3,,数在点处的切线方程为,(2)函数在上是增函数,′(x),在上恒成立,即,在上恒成立,令,当且仅当时,取等号,,的取值围为(3),′(x),①当时,在上单调递减,,计算得出(舍去); ②当且时,即,在上单调递减,在上单调递增,,计算得出,满足条件; ③当,且时,即,在上单调递减,,计算得出(舍去);综上,存在实数,使得当时,有最小值3.解析(1)根据导数的几何意义即可求出切线方程.(2)函数在上是增函数,得到f′(x),在上恒成立,分离参数,根据基本不等式求出答案,(3),求出函数的导数,讨论,,的情况,从而得出答案3.已知函数 ,(1)分别求函数与在区间上的极值;(2)求证:对任意 ,解:(1),令,计算得出:,,计算得出:或,故在和上单调递减,在上递增,在上有极小值,无极大值;,,则,故在上递增,在上递减,在上有极大值,,无极小值;(2)由(1)知,当时,,,故;当时,,令,则,故在上递增,在上递减,,;综上,对任意,解析(1)求导,利用导数与函数的单调性与极值关系,即可求得与单调区间与极值;4.已知函数,其中,为自然数的底数.(1)当时,讨论函数的单调性;(2)当时,求证:对任意的,.解:(1)当时,,则,,故则在R上单调递减.(2)当时,,要证明对任意的,.则只需要证明对任意的,.设,看作以a为变量的一次函数,要使,则,即,恒成立,①恒成立,对于②,令,则,设时,,即.,,在上,,单调递增,在上,,单调递减,则当时,函数取得最大值,故④式成立,综上对任意的,.解析:(1)求函数的导数,利用函数单调性和导数之间的关系进行讨论即可.(2)对任意的,转化为证明对任意的,,即可,构造函数,求函数的导数,利用导数进行研究即可.5.已知函数(1)当时,求函数在处的切线方程;(2)求在区间上的最小值.解:(1)设切线的斜率为k.因为,所以,所以,所以所求的切线方程为,即(2)根据题意得, 令,可得①若,则,当时,,则在上单调递增.所以②若,则, 当时,,则在上单调递减. 所以③若,则,所以,随x的变化情况如下表:所以的单调递减区间为,单调递增区间为所以在上的最小值为综上所述:当时,;当时,;当时,解析(1)设切线的斜率为k.利用导数求出斜率,切点坐标,然后求出切线方程.(2)通过,可得.通过①,②,③,判断函数的单调性求出函数的最值.6.已知函数。

2024年高考数学试卷(文)(全国甲卷)(含答案)

绝密★启用前2024年普通高等学校招生全国统一考试全国甲卷文科数学使用范围：陕西、宁夏、青海、内蒙古、四川注意事项：1．答题前，务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上．2．答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号．3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上．4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效．5．考试结束后，只将答题卡交回．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 集合{}1,2,3,4,5,9A =，{}1B x x A =+Î，则A B =I （）A. {}1,2,3,4B. {}1,2,3 C. {}3,4 D. {}1,2,9【答案】A 【解析】【分析】根据集合B 的定义先算出具体含有的元素，然后根据交集的定义计算.【详解】依题意得，对于集合B 中的元素x ，满足11,2,3,4,5,9x +=，则x 可能的取值为0,1,2,3,4,8，即{0,1,2,3,4,8}B =，于是{1,2,3,4}A B Ç=.故选：A2. 设z =，则z z ×=（）A. -iB. 1C. -1D. 2【答案】D 【解析】【分析】先根据共轭复数的定义写出z ，然后根据复数的乘法计算.【详解】依题意得，z =，故22i 2zz =-=.故选：D3. 若实数,x y 满足约束条件43302202690x y x y x y --³ìï--£íï+-£î，则5z x y =-最小值为（）A. 5B.12C. 2-D. 72-【答案】D 【解析】【分析】画出可行域后，利用z 的几何意义计算即可得.【详解】实数,x y 满足43302202690x y x y x y --³ìï--£íï+-£î，作出可行域如图：由5z x y =-可得1155y x z =-，即z 的几何意义为1155y x z =-的截距的15-，则该直线截距取最大值时，z 有最小值，此时直线1155y x z =-过点A ，联立43302690x y x y --=ìí+-=î，解得321x y ì=ïíï=î，即3,12A æöç÷èø，则min 375122z =-´=-.故选：D.4. 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若91S =，37a a +=（）A. 2- B.73C. 1D.29【答案】D 【解析】的【分析】可以根据等差数列的基本量，即将题目条件全转化成1a 和d 来处理，亦可用等差数列的性质进行处理，或者特殊值法处理.【详解】方法一：利用等差数列的基本量由91S =，根据等差数列的求和公式，911989193612S a d a d ´=+=Û+=，又371111222628(936)99a a a d a d a d a d +=+++=+=+=.故选：D方法二：利用等差数列的性质根据等差数列的性质，1937a a a a +=+，由91S =，根据等差数列的求和公式，193799()9()122a a a a S ++===，故3729a a +=.故选：D方法三：特殊值法不妨取等差数列公差0d =，则9111199S a a ==Þ=，则371229a a a +==.故选：D5. 甲、乙、丙、丁四人排成一列，丙不在排头，且甲或乙在排尾的概率是（）A.14B.13C.12D.23【答案】B 【解析】【分析】分类讨论甲乙的位置，得到符合条件的情况，然后根据古典概型计算公式进行求解.【详解】当甲排在排尾，乙排第一位，丙有2种排法，丁就1种，共2种；当甲排在排尾，乙排第二位或第三位，丙有1种排法，丁就1种，共2种；于是甲排在排尾共4种方法，同理乙排在排尾共4种方法，于是共8种排法符合题意；基本事件总数显然是44A 24=，根据古典概型的计算公式，丙不在排头，甲或乙在排尾的概率为81243=.故选：B6. 已知双曲线2222:1(0,0)y x C a b a b-=>>的上、下焦点分别为()()120,4,0,4F F -，点()6,4P -在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（）A. 4B. 3C. 2D.【答案】C 【解析】【分析】由焦点坐标可得焦距2c ，结合双曲线定义计算可得2a ，即可得离心率.【详解】由题意，()10,4F -、()20,4F 、()6,4P -，则1228F F c ==，110PF ==，26PF ==，则1221064a PF PF =-=-=，则28224c e a ===.故选：C.7. 曲线()631f x x x =+-在()0,1-处的切线与坐标轴围成的面积为（）A.16B.C.12D. 【答案】A 【解析】【分析】先求出切线方程，再求出切线的截距，从而可求面积.【详解】()563f x x =¢+，所以()03f ¢=，故切线方程为3(0)131y x x =--=-，故切线的横截距为13，纵截距为1-，故切线与坐标轴围成的面积为1111236´´=故选：A.8. 函数()()2e esin xxf x x x -=-+-在区间[ 2.8,2.8]-的大致图像为（）A. B.C. D.【答案】B 【解析】【分析】利用函数的奇偶性可排除A 、C ，代入1x =可得()10f >，可排除D.【详解】()()()()()22ee sin e e sin xx x x f x x x x x f x ---=-+--=-+-=，又函数定义域为[]2.8,2.8-，故该函数为偶函数，可排除A 、C ，又()11πe 11111e sin11e sin 10e e 622e 42ef æöæö=-+->-+-=-->->ç÷ç÷èøèø，故可排除D.故选：B.9. 已知cos cos sin a a a =-πtan 4a æö+=ç÷èø（）A. 1+B. 1- C.D. 1【答案】B 【解析】【分析】先将cos cos sin aa -a弦化切求得tan a ，再根据两角和的正切公式即可求解.【详解】因为cos cos sin aa a=-，所以11tan =-a ，tan 1Þa =，所以tan 1tan 11tan 4a +p æö==a +ç÷-aèø，故选：B .原10题略10. 设a b 、是两个平面，m n 、是两条直线，且m a b =I .下列四个命题：①若//m n ，则//n a 或//n b ②若m n ^，则,n n a b^^③若//n a ，且//n b ，则//m n ④若n 与a 和b 所成的角相等，则m n^其中所有真命题的编号是（）A. ①③ B. ②④C. ①②③D. ①③④【答案】A【解析】【分析】根据线面平行的判定定理即可判断①；举反例即可判断②④；根据线面平行的性质即可判断③.【详解】对①，当n Ìa ，因为//m n ，m b Ì，则//n b ，当n b Ì，因为//m n ，m a Ì，则//n a ，当n 既不在a 也不在b 内，因为//m n ，,m m a b ÌÌ，则//n a 且//n b ，故①正确；对②，若m n ^，则n 与,a b 不一定垂直，故②错误；对③，过直线n 分别作两平面与,a b 分别相交于直线s 和直线t ，因为//n a ，过直线n 的平面与平面a 的交线为直线s ，则根据线面平行的性质定理知//n s ，同理可得//n t ，则//s t ，因为s Ë平面b ，t Ì平面b ，则//s 平面b ，因为s Ì平面a ，m a b =I ，则//s m ，又因为//n s ，则//m n ，故③正确；对④，若,m n a b Ç=与a 和b 所成的角相等，如果//,//a b n n ，则//m n ，故④错误；综上只有①③正确，故选：A.11. 在ABC V 中内角,,A B C 所对边分别为,,a b c ，若π3B =，294b ac =，则sin sin A C +=（）A.32B.C.D.【答案】C 【解析】【分析】利用正弦定理得1sin sin 3A C =，再利用余弦定理有22134a c ac +=，再利用正弦定理得到22sin sin A C +的值，最后代入计算即可.【详解】因为29,34B b ac p==，则由正弦定理得241sin sin sin 93A CB ==.由余弦定理可得:22294b ac ac ac =+-=，即:22134a c ac +=，根据正弦定理得221313sin sin sin sin 412A C A C +==，所以2227(sin sin )sin sin 2sin sin 4A C A C A C +=++=，因为,A C 为三角形内角，则sin sin 0A C +>，则sin sin A C +=.故选：C.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．原13题略12. 函数()sin f x x x =在[]0,π上的最大值是______．【答案】2【解析】【分析】结合辅助角公式化简成正弦型函数，再求给定区间最值即可.【详解】()πsin 2sin 3f x x x x æö==-ç÷èø，当[]0,πx Î时，ππ2π,333x éù-Î-êúëû，当ππ32x -=时，即5π6x =时，()max 2f x =.故答案为：213. 已知1a >，8115log log 42a a -=-，则=a ______．【答案】64【解析】【分析】将8log ,log 4a a 利用换底公式转化成2log a 来表示即可求解.【详解】由题28211315log log log 4log 22a a a a -=-=-，整理得()2225log 60log a a --=，2log 1a Þ=-或2log 6a =，又1a >，所以622log 6log 2a ==，故6264a ==故答案：64.为14. 曲线33y x x =-与()21y x a =--+在()0,¥+上有两个不同的交点，则a 的取值范围为______．【答案】()2,1-【解析】【分析】将函数转化为方程，令()2331x x x a -=--+，分离参数a ，构造新函数()3251,g x x x x =+-+结合导数求得()g x 单调区间，画出大致图形数形结合即可求解.【详解】令()2331x x x a -=--+，即3251a x x x =+-+，令()()32510,g x x x x x =+-+>则()()()2325351g x x x x x =+-=+-¢，令()()00g x x ¢=>得1x =，当()0,1x Î时，()0g x ¢<，()g x 单调递减，当()1,x ¥Î+时，()0g x ¢>，()g x 单调递增，()()01,12g g ==-，因为曲线33y x x =-与()21y x a =--+在()0,¥+上有两个不同的交点，所以等价于y a =与()g x 有两个交点，所以()2,1a Î-.故答案为：()2,1-三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17题第21题为必考题，每个考题考生必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．15. 已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1233n n S a +=-.（1）求{}n a 的通项公式；（2）求数列{}n S 通项公式.【答案】（1）153n n a -æö=ç÷èø的（2）353232næö-ç÷èø【解析】【分析】（1）利用退位法可求公比，再求出首项后可求通项；（2）利用等比数列的求和公式可求n S .【小问1详解】因为1233n n S a +=-,故1233n n S a -=-，所以()12332n n n a a a n +=-³即153n n a a +=故等比数列的公比为53q =，故1211523333533a a a a =-=´-=-，故11a =，故153n n a -æö=ç÷èø.【小问2详解】由等比数列求和公式得5113353523213n nn S éùæö´-êúç÷èøêúæöëû==-ç÷èø-.16. 如图，在以A ，B ，C ，D ，E ，F 为顶点的五面体中，四边形ABCD 与四边形ADEF 均为等腰梯形，//,//BC AD EF AD ，4,2AD AB BC EF ====，ED FB ==M 为AD 的中点.（1）证明：//BM 平面CDE ；（2）求点M 到ABF 的距离.【答案】（1）证明见详解；（2【解析】【分析】（1）结合已知易证四边形BCDM 为平行四边形，可证//BM CD，进而得证；（2）作FO AD ^，连接OB ，易证,,OB OD OF 三垂直，结合等体积法M ABF F ABM V V --=即可求解.【小问1详解】因为//,2,4,BC AD BC AD M ==为AD 的中点，所以//,BC MD BC MD =，四边形BCDM 为平行四边形，所以//BM CD ，又因BM Ë平面CDE ，CD Ì平面CDE ，所以//BM 平面CDE ；【小问2详解】如图所示，作BO AD ^交AD 于O ，连接OF ，因为四边形ABCD 为等腰梯形，//,4,BC AD AD =2AB BC ==，所以2CD =，结合（1）BCDM 为平行四边形，可得2BM CD ==，又2AM =，所以ABM V 为等边三角形，O 为AM中点，所以OB =，又因为四边形ADEF 为等腰梯形，M 为AD 中点，所以,//EF MD EF MD =，四边形EFMD 为平行四边形，FM ED AF ==，所以AFM △为等腰三角形，ABM V 与AFM △底边上中点O 重合，OF AM ^，3OF ==，因为222OB OF BF +=，所以OB OF ^，所以,,OB OD OF 互相垂直，由等体积法可得M ABF F ABM V V --=，2112333F ABM ABM V S FO -=×=×=△，222cos 2FA AB FBFAB FAB FA AB+-Ð===Ð=×11sin 222FAB S FA AB FAB =××Ð==△，设点M 到FAB的距离为d ，则1133M FAB F ABM FAB V V S d d --==××==△解得d =M 到ABF .为17. 已知函数()()1ln 1f x a x x =--+．（1）求()f x 的单调区间；（2）若2a £时，证明：当1x >时，()1ex f x -<恒成立．【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】（1）求导，含参分类讨论得出导函数的符号，从而得出原函数的单调性；（2）先根据题设条件将问题可转化成证明当1x >时，1e 21ln 0x x x --++>即可.【小问1详解】()f x 定义域为(0,)+¥，11()ax f x a x x¢-=-=当0a £时，1()0ax f x x -¢=<，故()f x 在(0,)+¥上单调递减；当0a >时，1,x a ¥æöÎ+ç÷èø时，()0f x ¢>，()f x 单调递增，当10,x a æöÎç÷èø时，()0f x ¢<，()f x 单调递减.综上所述，当0a £时，()f x 在(0,)+¥上单调递减；0a >时，()f x 在1,a ¥æö+ç÷èø上单调递增，在10,a æöç÷èø上单调递减.【小问2详解】2a £，且1x >时，111e ()e (1)ln 1e 21ln x x x f x a x x x x ----=--+-³-++，令1()e 21ln (1)x g x x x x -=-++>，下证()0g x >即可.11()e 2x g x x -¢=-+，再令()()h x g x ¢=，则121()e x h x x-¢=-，显然()h x ¢在(1,)+¥上递增，则0()(1)e 10h x h ¢¢>=-=，即()()g x h x =¢在(1,)+¥上递增，故0()(1)e 210g x g ¢¢>=-+=，即()g x 在(1,)+¥上单调递增，故0()(1)e 21ln10g x g >=-++=，问题得证18. 设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，点31,2M æöç÷èø在C 上，且MF x ^轴．（1）求C 的方程；（2）过点()4,0P 的直线与C 交于,A B 两点，N 为线段FP 的中点，直线NB 交直线MF 于点Q ，证明：AQ y ^轴．【答案】（1）22143x y += （2）证明见解析【解析】【分析】（1）设(),0F c ，根据M 的坐标及MF ^x 轴可求基本量，故可求椭圆方程.（2）设:(4)AB y k x =-，()11,A x y ，()22,B x y ，联立直线方程和椭圆方程，用,A B 的坐标表示1Q y y -，结合韦达定理化简前者可得10Q y y -=，故可证AQ y ^轴.【小问1详解】设(),0F c ，由题设有1c =且232b a =，故2132a a -=，故2a =，故b =，故椭圆方程为22143x y +=.【小问2详解】直线AB 的斜率必定存在，设:(4)AB y k x =-，()11,A x y ，()22,B x y ，由223412(4)x y y k x ì+=í=-î可得()2222343264120k x k x k +-+-=，故()()422Δ102443464120k k k =-+->，故1122k -<<，又22121222326412,3434k k x x x x k k-+==++，而5,02N æöç÷èø，故直线225:522y BN y x x æö=-ç÷èø-，故22223325252Q y y y x x --==--，所以()1222112225332525Q y x y y y y y x x ´-+-=+=--()()()12224253425k x x k x x -´-+-=-()222212122264123225825834342525k k x x x x k k k k x x -´-´+-++++==--2222212824160243234025k k k k k x --+++==-，故1Q y y =，即AQ y ^轴.（1）设直线方程，设交点坐标为()()1122,,,x y x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，注意D 的判断；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x （或12y y +、12y y ）的形式；（5）代入韦达定理求解.（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，并用2B 铅笔将所选题号涂黑，多涂、错涂、漏涂均不给分，如果多做，则按所做的第一题计分．19. 在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为cos 1r r q =+.（1）写出C 的直角坐标方程；（2）设直线l ：x t y t a=ìí=+î（t 为参数），若C 与l 相交于A B 、两点，若2AB =，求a 的值.【答案】（1）221y x =+（2）34a =【解析】【分析】（1）根据cos xr r q ìï=í=ïî可得C 的直角方程.（2）将直线的新的参数方程代入C 的直角方程，法1：结合参数s 的几何意义可得关于a 的方程，从而可求参数a 的值；法2：将直线的直角方程与曲线的直角方程联立，结合弦长公式可求a 的值.【小问1详解】由cos 1r r q =+，将cos xr r q ìï=í=ïîcos 1r r q =+，1x =+，两边平方后可得曲线直角坐标方程为221y x =+.【小问2详解】对于直线l 的参数方程消去参数t ，得直线的普通方程为y x a =+.法1：直线l 的斜率为1故直线的参数方程可设为x y ì=ïïíïïî，s ÎR .将其代入221y x =+中得()221)210s a s a +-+-=设,A B 两点对应的参数分别为12,s s ，则)()212121,21s s a s s a +=--=-，且()()22Δ818116160a a a =---=->，故1a <，12AB s s\=-=2==，解得34a =.法2：联立221y x a y x =+ìí=+î，得22(22)10x a x a +-+-=，()22Δ(22)41880a a a =---=-+>，解得1a <，的设()()1122,,,A x y B x y ,2121222,1x x a x x a \+=-=-，则AB ==2=，解得34a =20. 实数,ab 满足3a b +³．（1）证明：2222a b a b +>+；（2）证明：22226a b b a -+-³．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）直接利用22222()a b a b +³+即可证明.（2）根据绝对值不等式并结合（1）中结论即可证明.【小问1详解】因为()()2222222022a b a ab b a b b a -+=--++=³，当a b =时等号成立，则22222()a b a b +³+，因为3a b +³，所以22222()a b a b a b +³+>+;【小问2详解】222222222222()a b b a a b b a a b a b -+-³-+-=+-+22222()()()()(1)326a b a b a b a b a b a b =+-+³+-+=++-³´=。

2024年高考新课标全国Ⅱ卷数学真题卷(含答案与解析)

2024年普通高等学校招生全国统一考试（新课标II 卷）数学本试卷共10页，19小题，满分150分.注意事项：1 .答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2. 选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3. 填空题和解答题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4. 考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的・请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1. 已知z = —1 —i,则（）A. 0B. 1C. V2D. 22. 已知命题p ： Vx e R , x +11> 1 ；命题 q ： > 0 , x 3 = x ，贝I （）A. p 和q 都是真命题B. ~^P 和q 都是真命题C. p 和「0都是真命题D. F 和「0都是真命题3. 已知向量口,直满足|4 = 1J q + 2，= 2,且— 则料=（）A. |B. —C.匝D. 12 2 24. 某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻，得到各块稻田的亩产量（单位：kg ）并部分整理下表据表中数据，结论中正确的是（）亩产量[900,950)[950,1000)[1000,1050)[1100,1150)[1150,1200)频数612182410A. 100块稻田亩产量的中位数小于1050kgB.100块稻田中亩产量低于1100kg的稻田所占比例超过80%C.100块稻田亩产量的极差介于200kg至300kg之间D.100块稻田亩产量的平均值介于900kg至1000kg之间5.已知曲线C：x2+y2=16(歹>0),从。

2023年高考数学(全国甲卷)文科数学(含答案及详细解析)

2023年高考数学真题试卷(全国甲卷)文科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设全集，集合，则（）A．B．C．D．2．（）A．B．1C．D．3．已知向量，则（）A．B．C．D．4．某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名．从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为（）A．B．C．D．5．记为等差数列的前项和．若，则（）A．25B．22C．20D．156．执行下边的程序框图，则输出的（）A．21B．34C．55D．897．设为椭圆的两个焦点，点在上，若，则（）A．1B．2C．4D．58．曲线在点处的切线方程为（）A．B．C．D．9．已知双曲线的离心率为，其中一条渐近线与圆交于A，B两点，则（）A．B．C．D．10．在三棱锥中，是边长为2的等边三角形，，则该棱锥的体积为（）A．1B．C．2D．311．已知函数．记，则（）A．B．C．D．12．函数的图象由的图象向左平移个单位长度得到，则的图象与直线的交点个数为（）A．1B．2C．3D．4二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．记为等比数列的前项和．若，则的公比为．14．若为偶函数，则．15．若x，y满足约束条件，则的最大值为．16．在正方体中，为的中点，若该正方体的棱与球的球面有公共点，则球的半径的取值范围是．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.17．记的内角的对边分别为，已知．（1）求；（2）若，求面积．18．如图，在三棱柱中，平面．（1）证明：平面平面；（2）设，求四棱锥的高．19．一项试验旨在研究臭氧效应，试验方案如下：选40只小白鼠，随机地将其中20只分配到试验组，另外20只分配到对照组，试验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境，对照组的小白鼠饲养在正常环境，一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量（单位：g）．试验结果如下：对照组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为15.218.820.221.322.523.225.826.527.530.132.634.334.835.635.635.836.237.340.543.2试验组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为7.89.211.412.413.215.516.518.018.819.219.820.221.622.823.623.925.128.232.336.5（1）计算试验组的样本平均数；（2）（ⅰ）求40只小白鼠体重的增加量的中位数m，再分别统计两样本中小于m与不小于m的数据的个数，完成如下列联表对照组试验组（ⅱ）根据（i）中的列联表，能否有95%的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量有差异？附：，0.1000.0500.0102.7063.841 6.63520．已知函数．（1）当时，讨论的单调性；（2）若，求的取值范围．21．已知直线与抛物线交于两点，．（1）求；（2）设为的焦点，为上两点，且，求面积的最小值．22．已知点，直线（为参数），为的倾斜角，与轴正半轴、轴正半轴分别交于，且．（1）求；（2）以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，求的极坐标方程．23．已知．（1）求不等式的解集；（2）若曲线与轴所围成的图形的面积为2，求．答案解析部分1．【答案】A【解析】【解答】，故选：A【分析】先计算补集，再求并集即得答案.2．【答案】C【解析】【解答】，故选：C【分析】利用复数乘法运算计算由得出答案。

专题导数及其应用(解答题)(原卷版)(文科专用)-五年(18-22)高考数学真题分项汇编(全国通用)

专题04 导数及其应用（解答题）（文科专用） 1．【2022年全国甲卷】已知函数f(x)=x 3−x,g(x)=x 2+a ，曲线y =f(x)在点(x 1,f (x 1))处的切线也是曲线y =g(x)的切线．(1)若x 1=−1，求a ；(2)求a 的取值范围．2．【2022年全国乙卷】已知函数f(x)=ax −1x −(a +1)lnx ． (1)当a =0时，求f(x)的最大值；(2)若f(x)恰有一个零点，求a 的取值范围．3．【2021年甲卷文科】设函数22()3ln 1f x a x ax x =+-+，其中0a >. （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()y f x =的图象与x 轴没有公共点，求a 的取值范围. 4．【2021年乙卷文科】已知函数32()1f x x x ax =-++．（1）讨论()f x 的单调性；（2）求曲线()y f x =过坐标原点的切线与曲线()y f x =的公共点的坐标． 5．【2020年新课标1卷文科】已知函数()(2)x f x e a x =-+. （1）当1a =时，讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围.6．【2020年新课标2卷文科】已知函数f （x ）=2ln x +1．（1）若f （x ）≤2x +c ，求c 的取值范围；（2）设a >0时，讨论函数g （x ）=()()f x f a x a--的单调性． 7．【2020年新课标3卷文科】已知函数32()f x x kx k =-+．（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有三个零点，求k 的取值范围．8．【2019年新课标2卷文科】已知函数()(1)ln 1f x x x x =---.证明：（1）()f x 存在唯一的极值点；（2）()=0f x 有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数.9．【2019年新课标3卷文科】已知函数32()22f x x ax =-+. （1）讨论()f x 的单调性；（2）当0<<3a 时，记()f x 在区间[]0,1的最大值为M ，最小值为m ，求M m -的取值范围.10．【2018年新课标1卷文科】【2018年新课标I 卷文】已知函数()e 1x f x a lnx =--．（1）设2x =是()f x 的极值点．求a ，并求()f x 的单调区间；（2）证明：当1ea ≥时，()0f x ≥． 11．【2018年新课标2卷文科】已知函数()()32113f x x a x x =-++．（1）若3a =，求()f x 的单调区间；（2）证明：()f x 只有一个零点．12．【2018年新课标3卷文科】已知函数()21x ax x f x e +-=．（1）求曲线()y f x =在点()0,1-处的切线方程；（2）证明：当1a ≥时，()0f x e +≥．。

2020年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标I)【含详答】

2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标I）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知合集A={x|x2−3x−4<0}，B={−4,1,3,5}，则A⋂B=A. {−4,1}B. {1,5}C. {3,5}D. {1,3}2.若z=1+2i+i3，则|z|=()A. 0B. 1C. √2D. 23.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为()A. √5−14B. √5−12C. √5+14D. √5+124.设O为正方形ABCD的中心，在O，A，B，C，D中任取3点，则取到的3点共线的概率为()A. 15B. 25C. 12D. 455.某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x(单位： ∘C)的关系，在20个不同的温度条件下进行种子的发芽实验，由实验数据(x i,y i)(i=1,2，…，20)得到下面的散点图：由此散点图，在10 ∘C至40 ∘C之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y 和温度x的回归方程类型的是()A. y=a+bxB. y=a+bx2C. y=a+be xD. y=a+blnx6.已知圆x2+y2−6x=0，过点(1,2)的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为()A. 1B. 2C. 3D. 47.设函数f(x)=cos(ωx+π6)在[−π,π]的图像大致如下图，则f(x)的最小正周期为()A. 10π9B. 7π6C. 4π3D. 3π28.设alog34=2，则4−a=()A. 116B. 19C. 18D. 169.执行下面的程序框图，则输出的n=()A. 17B. 19C. 21D. 2310.设{a n}是等比数列，且a1+a2+a3=1，a2+a3+a4=2，则a6+a7+a8=()A. 12B. 24C. 30D. 3211.设F1，F2是双曲线C:x2−y23=1的两个焦点，O为坐标原点，点P在C上且|OP|=2，则ΔPF1F2的面积为()A. 72B. 3 C. 52D. 212.已知A，B，C为球O的球面上的三个点，⊙O1为▵ABC的外接圆.若⊙O1的面积为4π，AB=BC=AC=OO1，则球O的表面积为()A. 64πB. 48πC. 36πD. 32π二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若x，y满足约束条件{2x+y−2≤0x−y−1≥0y+1≥0，则z=x+7y的最大值为_____．14.设向量a⃗=(1,−1)，b⃗ =(m+1,2m−4)，若a⃗⊥b⃗ ，则m=______．15.曲线y=lnx+x+1的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为____．16.数列{a n}满足a n+2+(−1)n a n=3n−1，前16项和为540，则a1=____．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.某厂接受了一项加工业务，加工出来的产品(单位：件)按标准分为A，B，C，D四个等级，加工业务约定：对于A级品、B级品、C级品，厂家每件分别收取加工费90元、50元、20元；对于D级品，厂家每件赔偿原料损失费50元，该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务，甲分厂加工成本费为25元/件，乙分厂加工成本费为20元/件，厂家为决定由哪个分厂承接加工业务，在两个分厂各试加工了100件这种产品，并统计了这些产品的等级，整理如下：甲分厂产品等级的频数分布表乙分厂产品等级的频数分布表(1)分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为A级品的概率；(2)分别求甲、乙两分厂加工出来的100件产品的平均利润，以平均利润为依据，厂家应该选哪个分厂承接加工业务？18.▵ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知B=150∘．(1)若a=√3c，b=2√7，求▵ABC的面积；(2)若sinA+√3sinC=√2，求C．219.如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，▵ABC是底面的内接正三角形，P为DO上一点，∠APC=90∘．(1)证明：平面PAB⊥平面PAC；(2)设DO=√2，圆锥的侧面积为√3π，求三棱锥P−ABC的体积．20.已知函数f(x)=e x−a(x+2).(1)当a=1时，讨论f(x)的单调性;(2)若f(x)有两个零点，求a的取值范围．21.已知A，B分别为椭圆E:+=1(a>1)的左、右顶点，G为E的上顶点，=8，P为直线x=6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D，(1)求E的方程;(2)证明：直线CD过定点．22.[选修4−4：坐标系与参数方程](10分)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为{x=cos k ty=sin k t,(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为4ρcosθ−16ρcosθ+3=0．(1)当k=1时，C1是什么曲线？(2)当k=4时，求C1与C2的公共点的直角坐标．23.[选修4—5：不等式选讲]已知函数f(x)=│3x+1│−2│x−1│．(1)画出y=f(x)的图像；(2)求不等式f(x)>f(x+1)的解集．2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标I）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）已知合集A={x|x2−3x−4<0}，B={−4,1,3,5}，则A⋂B=A. {−4,1}B. {1,5}C. {3,5}D. {1,3}【答案】D【解析】【分析】本题主要考查集合的交集运算和解一元二次不等式，属于基础题．【解答】解：由不等式x2−3x−4<0，解得−1<x<4，所以A∩B={1,3}，故选D．24.若z=1+2i+i3，则|z|=()A. 0B. 1C. √2D. 2【答案】C【解析】【分析】本题主要考查复数的运算，求复数的模，属于基础题．【解答】解：z=1+2i−i=1+i，则|z|=√12+12=√2，故选C．25.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为()A. √5−14B. √5−12C. √5+14D. √5+12【答案】C【解析】【分析】根据题意列出a,ℎ′,ℎ的关系式，化简即可得到答案．本题考查了立体几何中的比例关系，属于基础题．【解析】如图，设正四棱锥的高为h，底面边长为a,侧面三角形底边上的高为ℎ′，则由题意可得{ℎ2=12aℎ′ℎ2=(ℎ′)2−(a2)2,故(ℎ′)2−(a2)2=12aℎ′，化简可得4(ℎ′a)2−2(ℎ′a)−1=0,解得ℎ′a =√5+14．故答案选C．26.设O为正方形ABCD的中心，在O，A，B，C，D中任取3点，则取到的3点共线的概率为()A. 15B. 25C. 12D. 45【答案】A【解析】【分析】本题主要考查概率的知识，属于基础题．【解答】解：如图，从5点中随机选取3个点，共有10种情况，其中三点共线的有两种情况：AOC和BOD，则p=210=15．故选A．27.某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x(单位： ∘C)的关系，在20个不同的温度条件下进行种子的发芽实验，由实验数据(x i,y i)(i=1,2，…，20)得到下面的散点图：由此散点图，在10 ∘C至40 ∘C之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y 和温度x的回归方程类型的是()A. y=a+bxB. y=a+bx2C. y=a+be xD. y=a+blnx 【答案】D【解析】【分析】本题考查函数模型的应用，属于基础题．连接各点，判断图象的大致走向，可判断函数为对数模型．【解析】用光滑的曲线把图中各点连接起来，由图象的走向判断，此函数应该是对数函数类型的，故应该选用的函数模型为y=a+blnx．故答案选D．28.已知圆x2+y2−6x=0，过点(1,2)的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为()A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】【分析】本题考查圆的方程、直线方程以及求弦长，属于较易题．【解答】解：由可得，则圆心，半径，已知定点，则当直线与OA垂直时，弦长最小，OA=√(3−1)2+(0−2)2=√8弦长，故选B．29.设函数f(x)=cos(ωx+π6)在[−π,π]的图像大致如下图，则f(x)的最小正周期为()A. 10π9B. 7π6C. 4π3D. 3π2【答案】C【解析】【分析】本题考查了余弦函数的图象与性质，属于中档题．先利用f(−4π9)=0得到w =−3+9k 4(k ∈Z)，由T <2π<2T ，可得，由w =−3+9k 4(k ∈Z)可得k 的值，w 的值可得，即可求解．【解析】解：由图可知f(−4π9)=cos(−4π9w +π6)=0，所以−4π9w +π6=π2+kπ(k ∈Z),化简可得w =−3+9k 4(k ∈Z)，又因为T <2π<2T ，即2π|w |<2π<4π|w |，所以，当且仅当k =−1时，所以w =32，最小正周期T =2π|w |=4π3．故答案选C ．30. 设alog 34=2，则4−a =( )A. 116B. 19C. 18D. 16【答案】B【解析】【分析】本题主要考查指对数的运算，属于基础题．【解答】解：由alog 34=log 34a =2，可得4a =32=9， ∴4−a =(4a )−1=9−1=19，故选B ．31. 执行下面的程序框图，则输出的n =( )A. 17B. 19C. 21D. 23【答案】C【解析】【分析】本题以程序框图为载体，考查了等差数列求和，属于中档题．【解答】解：输入n=1，S=0，则S=S+n=1，S⩽100，n=n+2=3，S=S+n=1+3=4，S⩽100，n=n+2=5，S=S+n=1+3+5=9，S⩽100，n=n+2=7，S=S+n=1+3+5+7=16，S⩽100，n=n+2=9，根据等差数列求和可得，S=1+3+5+⋯+19=100⩽100，n=19+2=21，输出n=21．故选C．32.设{a n}是等比数列，且a1+a2+a3=1，a2+a3+a4=2，则a6+a7+a8=()A. 12B. 24C. 30D. 32【答案】D【解析】【分析】本题主要考查等比数列的通项公式，属基础题．根据a1+a2+a3=1,a2+a3+a4=2，结合等比数列的通项公式可求得等比数列的公比q，因为a6+a7+a8=q5(a1+a2+a3)，从而得到答案．【解答】解：∵a1+a2+a3=1,a2+a3+a4=2，∴q(a1+a2+a3)=2，所以q=2，∵a6+a7+a8=q5(a1+a2+a3)，所以a6+a7+a8=32，故选D33.设F1，F2是双曲线C:x2−y23=1的两个焦点，O为坐标原点，点P在C上且|OP|=2，则ΔPF1F2的面积为()A. 72B. 3 C. 52D. 2【答案】B【解析】【分析】本题主要考查双曲线的定义、双曲线的简单几何性质、圆的性质，属一般题．根据双曲线的标准方程得到其焦点坐标，结合|OP|=2，可确定点P在以F1F2为直径的圆上，得到|PF1|2+|PF2|2=16，结合双曲线的定义可得|PF1|⋅|PF2|的值，从而得到答案．【解答】解：由双曲线的标准方程可得a=1,b=√3，c=2，所以焦点坐标为F1(−2,0),F2(2,0)，因为|OP|=2，所以点P在以F1F2为直径的圆上，∴|PF1|2+|PF2|2=16，∵||PF1|−|PF2||=2a=2，所以||PF1|−|PF2||2=|PF1|2+|PF2|2−2|PF1|⋅|PF2|= 4，所以|PF1|⋅|PF2|=6，所以三角形PF1F2面积为3，故选B．34.已知A，B，C为球O的球面上的三个点，⊙O1为▵ABC的外接圆.若⊙O1的面积为4π，AB=BC=AC=OO1，则球O的表面积为()A. 64πB. 48πC. 36πD. 32π【答案】B【解析】【分析】本题考查球的结构与性质，球的表面积公式，属中档题．【解答】解：由圆O1的面积为4π=πr2，故圆O1的半径ρ=2，∵AB=BC=AC=OO1，则三角形ABC是正三角形，由正弦定理：ABsin60∘=2r=4，得AB=OO1=2√3，由R2=r2+OO12，得球O的半径R=4，表面积为4πR2=64π，故答案为A．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）35.若x，y满足约束条件{2x+y−2≤0x−y−1≥0y+1≥0，则z=x+7y的最大值为_____．【答案】1【解析】【分析】本题考查利用线性规划求最值问题，属基础题．【解答】解：根据约束条件画出可行域为：由z=x+7y得y=−17x+17z，平移直线y=−17x，要使z最大，则y=−17x+17z在y轴上的截距最大，由图可知经过点A(1,0)时截距最大，此时z=1，故答案为1．36.设向量a⃗=(1,−1)，b⃗ =(m+1,2m−4)，若a⃗⊥b⃗ ，则m=______．【答案】5【解析】【分析】本题主要考查平面向量垂直的充要条件，平面向量数量积的坐标运算，属基础题．由a⃗⊥b⃗ 可得a⃗⋅b⃗ =0，再把两向量坐标代入运算可得答案．【解答】解：∵a⃗⊥b⃗ ，所以a⃗⋅b⃗ =0，因为a⃗=(1,−1),b⃗ =(m+1,2m−4)，所以m+1−(2m−4)=0，故m=5．故答案为：537.曲线y=lnx+x+1的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为____．【答案】2x−y=0【解析】【分析】本题主要考查导数的几何意义，属基础题．根据导数的几何意义确定切点坐标，再根据直线的点斜式得到切线方程．【解答】+1解：∵y=lnx+x+1，∴y′=1x+1=2，故x0=1，设切点坐标为(x0,y0)，因为切线斜率为2，所以1x此时，y0=ln1+2=2，所以切点坐标为(1,2)，∴y−2=2(x−1)所以切线方程为2x−y=0．故答案为：2x−y=0．38.数列{a n}满足a n+2+(−1)n a n=3n−1，前16项和为540，则a1=____．【答案】7【解析】【分析】本题主要考查累加法求通项公式，等差数列的求和公式以及数列的递推关系，属较难题．对n取偶数，再结合条件可求得前16项中所有奇数项的和，对n取奇数时，利用累加法求得a n+2的值，用其表示出前16项和可得答案．【解答】解：因为a n+2+(−1)n a n=3n−1，当n=2，6，10，14时，a2+a4=5，a6+a8= 17，a10+a12=29，a14+a16=41因为前16项和为540，所以a1+a3+a5+a7+a9+a11+a13+a15=540−(5+17+29+41)，所以a1+a3+a5+a7+a9+a11+a13+a15=448，当n为奇数时，a n+2−a n=3n−1，所以a3−a1=2，a5−a3=8，a7−a5=14⋯a n+2−a n=3n−1，累加得an+2−a1=2+8+14+⋯3n−1=(2+3n−1)⋅n+122，∴a n+2=(3n+1)⋅(n+1)4+a1，∴a3=2+a1，a5=10+a1，a7=24+a1，a9=44+a1，a11=70+a1，a13= 102+a1，a15=140+a1，因为a1+a3+a5+a7+a9+a11+a13+a15=448，所以8a1+392=448，所以a1=7．故答案为7．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）39.某厂接受了一项加工业务，加工出来的产品(单位：件)按标准分为A，B，C，D四个等级，加工业务约定：对于A级品、B级品、C级品，厂家每件分别收取加工费90元、50元、20元；对于D级品，厂家每件赔偿原料损失费50元，该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务，甲分厂加工成本费为25元/件，乙分厂加工成本费为20元/件，厂家为决定由哪个分厂承接加工业务，在两个分厂各试加工了100件这种产品，并统计了这些产品的等级，整理如下：甲分厂产品等级的频数分布表乙分厂产品等级的频数分布表(1)分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为A级品的概率；(2)分别求甲、乙两分厂加工出来的100件产品的平均利润，以平均利润为依据，厂家应该选哪个分厂承接加工业务？【答案】解：(1)根据频数分布表可知甲、乙分厂加工出来的一件产品为A级品的频数分别为40，28，所以频率分别为40100=0.4，28100=0.28，用频率估计概率可得甲、乙两分厂加工出来的一件产品为A级品的概率分别为0.4和0.28．(2)甲分厂四个等级的频率分别为：0.4，0.2，0.2，0.2，故甲分厂的平均利润为：0.4×(90−25)+0.2×(50−25)+0.2×(20−25)+0.2×(−50−25)=15(元)，乙分厂四个等级的频率分别为：0.28，0.17，0.34，0.21，故乙分厂的平均利润为：0.28×(90−20)+0.17×(50−20)+0.34×(20−20)+0.21×(−50−20)=10(元)，因为甲分厂平均利润大于乙厂的平均利润，故选甲分厂承接加工业务．【解析】本题主要考查频率的算法，平均数的概念及其意义，属基础题．(1)根据图表信息可得甲乙分厂的频数，从而得到答案．(2)根据图表信息可得甲乙分厂的四个等级的频率，再根据平均数的定义求得答案，比较两厂的平均数得到最终答案即可．40.▵ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知B=150∘．(1)若a=√3c，b=2√7，求▵ABC的面积；(2)若sinA+√3sinC=√22，求C．【答案】解：(1)由余弦定理得b2=a2+c2−2accosB，即28=3c2+c2−2√3c2cos150∘，解得c=4，所以a=4√3，所以S△ABC=12acsinB=12×4√3×4×12=4√3．(2)因为A=180∘−B−C=30∘−C，所以sinA+√3sinC=sin(30∘−C)+√3sinC=12cosC+√32sinC=sin(30∘+C)=√22，因为A>0°，C>0°，所以0°<C<30°，所以30°<30°+C<60°，所以30°+C=45°，所以C=15°．【解析】【解析】本题考查余弦定理，三角形面积公式的应用，三角恒等变换的应用，属于中档题．(1)由已知条件结合余弦定理可求得c，从而可根据三角形面积公式求解；(2)由两角差的正弦公式对已知式进行化简，再由辅助角公式根据C的范围求解即可．41.如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，▵ABC是底面的内接正三角形，P为DO上一点，∠APC=90∘．(1)证明：平面PAB⊥平面PAC；(2)设DO=√2，圆锥的侧面积为√3π，求三棱锥P−ABC的体积．【答案】解：(1)由已知条件得PA=PB=PC，因为∠APC=90°，所以PA⊥PC，所以AP2+PC2=AC2，又因为△ABC是等边三角形，所以AC=AB=BC，所以PA2+PB2=AB2，PB2+PC2=BC2，所以PB⊥PA，PB⊥PC，因为PA∩PC=P，所以PB⊥平面PAC，因为PB⊂平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAC．(2)设圆锥的底面半径为r，母线长为l，由题意得{2+r2=l2,πrl=√3π,解得l=√3,r=1，所以等边三角形ABC的边长为√3，从而PA=PB=PC=√62，所以PO=√32−1=√22，所以三棱锥P−ABC的体积V=13SΔABC⋅PO=13×12×√3×√3×√32×√22=√68．【解析】【解析】本题考查线面位置关系的判定，圆锥的侧面积公式，棱锥的体积公式的应用，考查空间想象能力与运算能力，属于中档题．(1)由题意证得PB⊥PA，PB⊥PC，从而得到PB⊥平面PAC，根据面面垂直的判定定理即可证明；(2)由圆锥的性质可求得底面半径与母线长，从而可求得△ABC的边长，从而可求得三棱锥P−ABC的高，从而可求得体积．42.已知函数f(x)=e x−a(x+2).(1)当a=1时，讨论f(x)的单调性;(2)若f(x)有两个零点，求a的取值范围．【答案】解：(1)当a=1时，f(x)=e x−(x+2)，则f′(x)=e x−1，令f′(x)>0，得x>0；令f′(x)<0，得x<0，从而f(x)在(−∞,0)单调递减；在(0,+∞)单调递增．(2)f(x)=e x−a(x+2)=0，显然x≠−2，所以a=e xx+2，令g(x)=e xx+2，问题转化为y=a与g(x)的图象有两个交点，所以g′(x)=e x(x+1)(x+2)2，当x<−2或−2<x<−1时，g′(x)<0，g(x)单调递减；当x>−1时，g′(x)>0，g(x)单调递增，所以g(x)的极小值为g(−1)=1e，当x <−2时，g(x)<0，当x >−2时，g(x)>0，所以当a >1e 时，y =a 与g(x)的图象有两个交点，所以a 的取值范围为(1e ,+∞)．【解析】【解析】本题考查利用导数判断函数的单调性，利用导数研究函数的零点，有一定难度． (1)先求导，可直接得出函数的单调性；(2)先分离参数得a =e x x+2，再构造函数，利用导数研究函数的性质，即可得出a 的取值范围．43. 已知A ，B 分别为椭圆E:+=1(a >1)的左、右顶点，G 为E 的上顶点，=8，P 为直线x =6上的动点，PA 与E 的另一交点为C ，PB 与E 的另一交点为D ， (1)求E 的方程;(2)证明：直线CD 过定点．【答案】解：由题意A (−a,0),B (a,0),G (0,1),AG ⃗⃗⃗⃗⃗ =(a,1),GB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(a,−1), AG⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅GB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a 2−1=8⇒a 2=9⇒a =3， ∴椭圆E 的方程为x 29+y 2=1．(2)由(1)知A (−3,0),B (3,0),P (6,m )，则直线PA 的方程为y =m 9(x +3)，联立{y=m9(x+3)x29+y2=1⇒(9+m2)x2+6m2x+9m2−81=0,由韦达定理−3x C=9m2−819+m2⇒x C=−3m2+279+m2，代入直线PA的方程y=m9(x+3)得，y C=6m9+m2，即C(−3m2+279+m2,6m9+m2)，直线PB的方程为y=m3(x−3)，联立{y=m3(x−3)x29+y2=1⇒(1+m2)x2−6m2x+9m2−9=0,由韦达定理3x D=9m2−91+m2⇒x D=3m2−31+m2，代入直线PA的方程y=m3(x−3)得，y D=−2m 1+m2，即D(3m2−31+m2,−2m1+m2)，∴直线CD的斜率k CD=6m9+m2−−2m1+m2−3m2+279+m2−3m2−31+m2=4m3(3−m2)，∴直线CD的方程为y−−2m1+m2=4m3(3−m2)(x−3m2−31+m2)，整理得y=4m3(3−m2)(x−32)，∴直线CD过定点(32,0)．【解析】本题考查直线于椭圆的位置关系，定点问题，属于较难题；(1)求出各点坐标，表示出向量；(2)求出C，D两点坐标，进而求出直线CD，即可证明．44.[选修4−4：坐标系与参数方程](10分)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为{x=cos k ty=sin k t,(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为4ρcosθ−16ρcosθ+3=0．(1)当k=1时，C1是什么曲线？(2)当k=4时，求C1与C2的公共点的直角坐标．【答案】【答案】(1)当k =1时，曲线C 1的参数方程为{x =costy =sint ，化为直角坐标方程为x 2+y 2=1，表示以原点为圆心，半径为1的圆．(2)当k =4时，曲线C 1的参数方程为{x =cos 4ty =sin 4t ，化为直角坐标方程为√x +√y =1，曲线C 2化为直角坐标方程为4x −16y +3=0，联立{√x +√y =14x −16y +3=0，解得{x =14y =14, 所以曲线C 1与曲线C 2的公共点的直角坐标为(14,14)．【解析】本题考查简单曲线的参数方程、极坐标方程，参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化等知识，考查运算求解能力，难度一般．45. [选修4—5：不等式选讲]已知函数f(x)=│3x +1│−2│x −1│．(1)画出y =f(x)的图像；(2)求不等式f(x)>f(x +1)的解集．【答案】(1)函数f(x)=|3x +1|−2|x −1|={x +3,x >15x −1,−13≤x ≤1−x −3,x <−13，图象如图所示：第21页，共21页(2)函数f(x +1)的图象即将函数f(x)的图象向左平移一个单位所得，如图，联立{y =−x −3y =5x +4可得交点横坐标为x =−76，所以f(x)>f(x +1)的解集为{x|x <−76}．【解析】本题考查解绝对值不等式，考查了运算求解能力及数形结合的思想，难度一般．。

2023年全国统一高考数学试卷(文科)(乙卷)

2023年全国统一高考数学试卷（文科）（乙卷）A ．1B ．2D ．5B ．{0，1，4，6，8}C ．{1，2，4，6，8}D ．UA ．24B ．26C ．28（2023•乙卷）|2+i 2+2i 3|=（）【答案】A【分析】直接利用集合的补集和并集运算求出结果．【解答】解：由于∁U N={2，4，8}，所以M ∪∁U N={0，2，4，6，8}．故选：A ．（2023•乙卷）如图，网格纸上绘制的是一个零件的三视图，网格小正方形的边长为1，则该零件的表面积为（）【答案】D【分析】首先把三视图转换为几何体的直观图，进一步求出几何体的表面积．【解答】解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体是由两个直四棱柱组成的几何体．如图所示：【答案】C【分析】直接利用复数的模的运算求出结果．（江南博哥）【解答】解：由于|2+i 2+2i 3|=|1-2i|=√12+(−2)2=√5．故选：C ．（2023•乙卷）设全集U={0，1，2，4，6，8}，集合M={0，4，6}，N={0，1，6}，则M ∪∁U N=（）A．π10B．π5D．2π5 A．-2B．-1C．1故该几何体的表面积为：4+6+5+5+2+2+2+4=30．故选：D．（2023•乙卷）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a,b,c,若acosB-bcosA=c,且C=π5，则∠B=（）【答案】C【分析】利用正弦定理以及两角和差的三角公式进行转化求解即可．【解答】解：由acosB-bcosA=c得sinAcosB-sinBcosA=sinC，得sin（A-B）=sinC=sin（A+B），即sinAcosB-sinBcosA=sinAcosB+sinBcosA，即2sinBcosA=0，得sinBcosA=0，在△ABC中，sinB≠0，∴cosA=0，即A=π2，则B=π-A-C=π−π2−π5=3π10．故选：C．（2023•乙卷）已知f（x）=xexeax−1是偶函数，则a=（）【答案】D【分析】根据偶函数的性质，运算即可得解．【解答】解：∵f（x）=xexeax−1的定义域为{x|x≠0}，又f（x）为偶函数，∴f（-x）=f（x），A．5C．25D．5 A．18B．16D．12∴−xe−xe−ax−1=xexeax−1，∴xeax−xeax−1=xexeax−1，∴ax-x=x,∴a=2．故选：D．（2023•乙卷）正方形ABCD的边长是2，E是AB的中点，则EC•ED=（）→→√√【答案】B【分析】由已知结合向量的线性表示及向量数量积的性质即可求解．【解答】解：正方形ABCD的边长是2，E是AB的中点，所以EB•EA=-1，EB⊥AD，EA⊥BC，BC•AD=2×2=4，则EC•ED=（EB+BC）•（EA+AD）=EB•EA+EB•AD+EA•BC+BC•AD=-1+0+0+4=3．故选：B．→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→（2023•乙卷）设O为平面坐标系的坐标原点，在区域{（x,y）|1≤x2+y2≤4}内随机取一点，记该点为A，则直线OA的倾斜角不大于π4的概率为（）【答案】C【分析】作出图形，根据几何概型的概率公式，即可求解．【解答】解：如图，PQ为第一象限与第三象限的角平分线，根据题意可得构成A的区域为圆环，而直线OA的倾斜角不大于π4的点A构成的区域为图中阴影部分，∴所求概率为28=14．故选：C．（2023•乙卷）函数f（x）=x3+ax+2存在3个零点，则a的取值范围是（）A．（-∞，-2）C．（-4，-1）D．（-3，0）B．23C．12D．13【答案】B【分析】求函数的导数，f（x）存在3个零点，等价为f′（x）=0有两个不同的根，且极大值大于0极小值小于0，求函数的极值，建立不等式关系即可．【解答】解：f′（x）=3x2+a,若函数f（x）=x3+ax+2存在3个零点，则f′（x）=3x2+a=0，有两个不同的根，且极大值大于0极小值小于0，即判别式Δ=0-12a＞0，得a＜0，由f′（x）＞0得x＞−a3或x＜-−a3，此时f（x）单调递增，由f′（x）＜0得-−a3＜x＜−a3，此时f（x）单调递减，即当x=-−a3时，函数f（x）取得极大值，当x=−a3时，f（x）取得极小值，则f（-−a3）＞0，f（−a3）＜0，即-−a3（-a3+a）+2＞0，且−a3（-a3+a）+2＜0，即-−a3×2a3+2＞0，①，且−a3×2a3+2＜0，②，则①恒成立，由−a3×2a3+2＜0，2＜-−a3×2a3，平方得4＜- a3×4a29，即a3＜-27，则a＜-3，综上a＜-3，即实数a的取值范围是（-∞，-3）．故选：B．√√√√√√√√√√√√√√（2023•乙卷）某学校举办作文比赛，共6个主题，每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文，则甲、乙两位参赛同学抽到不同主题概率为（）【答案】A【分析】利用古典概型、排列组合等知识直接求解．【解答】解：某学校举办作文比赛，共6个主题，每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文，甲、乙两位参赛同学构成的基本事件总数n=6×6=36，其中甲、乙两位参赛同学抽到不同主题包含的基本事件个数m=A26=30，A．-32B．-12C．12A．1+322B．4D．7则甲、乙两位参赛同学抽到不同主题概率为P=mn=3036=56．故选：A．（2023•乙卷）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）在区间（π6，2π3）单调递增，直线x=π6和x=2π3为函数y=f（x）的图像的两条对称轴，则f（-5π12）=（）√【答案】D【分析】先根据题意建立方程求出参数，再计算，即可得解．【解答】解：根据题意可知T2=2π3−π6=π2，∴T=π，取ω＞0，∴ω=2πT=2，又根据“五点法“可得2×π6+φ=−π2+2kπ，k∈Z，∴φ=−5π6+2kπ，k∈Z，∴f（x）=sin（2x−5π6+2kπ）=sin（2x-5π6），∴f（-5π12）=sin（−5π6-5π6）=sin（-5π3）=sinπ3=32．故选：D．√（2023•乙卷）已知实数x,y满足x2+y2-4x-2y-4=0，则x-y的最大值是（）√【答案】C【分析】根据题意，设z=x-y,分析x2+y2-4x-2y-4=0和x-y-z=0，结合直线与圆的位置关系可得有|2−1−z|1+1≤3，解可得z的取值范围，即可得答案．√【解答】解：根据题意，x2+y2-4x-2y-4=0，即（x-2）2+（y-1）2=9，其几何意义是以（2，1）为圆心，半径为3的圆，设z=x-y,变形可得x-y-z=0，其几何意义为直线x-y-z=0，直线y=x-z与圆（x-2）2+（y-1）2=9有公共点，则有|2−1−z|1+1≤3，解可得1-32≤z≤1+32，故x-y的最大值为1+32．故选：C．√√√√A．（1，1）B．（-1，2）C．（1，3）（2023•乙卷）设A，B为双曲线x2-y29=1上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是（）【答案】D【分析】设AB中点为（x0，y0），利用点差法求得中点弦斜率，列不等式组求解即可．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），AB中点为（x0，y0），V Y Y YY Y Y WY Y Y Y YY Xx12−y129=1①x22−y229=1②，①-②得k AB=y2−y1x2−x1=9×x1+x2y1+y2=9×x0y0，即-3＜9×x0y0＜3⇒−13<x0y0<13，即y0x0>3或y0x0<−3，故A、B、C错误，D正确．故选：D．（2023•乙卷）已知点A（1，5）在抛物线C：y2=2px上，则A到C的准线的距离为94．√【答案】94．【分析】根据已知条件，先求出p,再结合抛物线的定义，即可求解．【解答】解：点A（1，5）在抛物线C：y2=2px上，则5=2p,解得p=52，由抛物线的定义可知，A到C的准线的距离为x A+p2=1+54=94．故答案为：94．√（2023•乙卷）若θ∈（0，π2），tanθ=13，则sinθ-cosθ=-105．√【答案】-105．√【分析】根据三角函数的坐标定义，利用坐标法进行求解即可．【解答】解：∵θ∈（0，π2），tanθ=13=yx，∴令x=3，y=1，设θ终边上一点的坐标P （3，1），则r=|OP|=32+12=10，则sinθ-cosθ=110−310=-210=-105．故答案为：-105．√√√√√√√（2023•乙卷）若x,y 满足约束条件VY Y YW Y Y Y X x −3y ≤−1x +2y ≤93x +y ≥7，则z=2x-y 的最大值为 8．【答案】8．【分析】作出可行域，变形目标函数，平移直线y=2x,由截距的几何意义可得．【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，如图所示：由z=2x-y 可得y=2x-z,则-z 表示直线y=2x-z 在y 轴上的截距，截距越小，z 越大，结合图形可知，当y=2x-z 经过点A 时，Z 最大，由V W X x −3y =−1x +2y =9可得y=2，x=5，即A （5，2），此时z 取得最大值8．故答案为：8．（2023•乙卷）已知点S ，A ，B ，C 均在半径为2的球面上，△ABC 是边长为3的等边三角形，SA ⊥平面ABC ，则SA=2．【答案】2．【分析】先用正弦定理求底面外接圆半径，再结合直棱柱的外接球及球的性质能求出结果．【解答】解：设△ABC 的外接圆圆心为O 1，半径为r,则2r=ABsin ∠ACB =332=23，解得r=3，设三棱锥S-ABC 的外接球球心为O ，连接OA ，OO 1，√√√则OA=2，OO1=12SA，∵OA2=OO12+O1A2，∴4=3+14SA2，解得SA=2．故答案为：2．（2023•乙卷）某厂为比较甲乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应，进行10次配对试验，每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用乙工艺处理，测量处理后的橡胶产品的伸缩率，甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为x i，y i（i=1，2，…10）．试验结果如下：试验序号i12345678910伸缩率x i545533551522575544541568596548伸缩率y i536527543530560533522550576536记z i=x i-y i（i=1，2，⋯，10），记z1，z2，⋯，z10的样本平均数为z，样本方差为s2．（1）求z，s2；（2）判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高．（如果z≥2 s210，则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高，否则不认为有显著提高）√【答案】（1）z=11，s2=61．（2）z≥2s 210，有显著提高．√【分析】（1）根据表中数据，计算z i=x i-y i（i=1，2，…，10），求平均数z和方差s2．（2）根据z和2s 210，比较大小即可得出结论．√【解答】解：（1）根据表中数据，计算z i=x i-y i（i=1，2，…，10），填表如下：试验序号i 12345678910伸缩率x i 545533551522575544541568596548伸缩率y i 536527543530560533522550576536z i =x i -y i968-8151119182012计算平均数为z =11010i =1z i =110×（9+6+8-8+15+11+19+18+20+12）=11，方差为s 2=11010i =1(z i −z )2=110×[（-2）2+（-5）2+（-3）2+（-19）2+42+02+82+72+92+12]=61．（2）由（1）知，z =11，2s 210=26.1＜2 6.25=5，所以z ≥2s 210，认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高．√√√√（2023•乙卷）记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知a 2=11，S 10=40．（1）求{a n }的通项公式；（2）求数列{|a n |}的前n 项和T n ．【答案】（1）a n =-2n+15（n ∈N •）．（2）当1≤n≤7时，T n =-n 2+14n ，当n≥8时，T n =n 2-14n+98．【分析】（1）建立方程组求出首项和公差即可．（2）求出|a n |的表达式，讨论n 的取值，然后进行求解即可．【解答】解：（1）在等差数列中，∵a 2=11，S 10=40．∴V Y Y Y W Y Y Y X a 1+d =1110a 1+10×92d =40，即V Y Y Y W Y Y Y X a 1+d =11a 1+92d =4，得a 1=13，d=-2，则a n =13-2（n-1）=-2n+15（n ∈N •）．（2）|a n |=|-2n+15|=V W X −2n +15，1≤n ≤72n −15，n ≥8，即1≤n≤7时，|a n |=a n ，当n≥8时，|a n |=-a n ，当1≤n≤7时，数列{|a n |}的前n 项和T n =a 1+⋯+a n =13n+n (n −1)2×(−2)=-n 2+14n,当n≥8时，数列{|a n |}的前n 项和T n =a 1+⋯+a 7-⋯-a n =-S n +2（a 1+⋯+a 7）=-[13n+n (n −1)2×(−2)]+2×13+12×7=n 2-14n+98．（2023•乙卷）如图，在三棱锥P-ABC 中，AB ⊥BC ，AB=2，BC=22，PB=PC=6，BP ，AP ，BC 的中点分别为D ，E ，O ，点F 在AC 上，BF ⊥AO ．（1）求证：EF ∥平面ADO ；（2）若∠POF=120°，求三棱锥P-ABC的体积．√√【答案】（1）证明见解析；（2）263．√【分析】（1）作FH ⊥AB ，垂足为H ，设AH=x,利用Rt △AHF ∽Rt △ABC 得出HF ，利用Rt △BHF ∽Rt △OBA 列方程求出x=1，判断H 是AB 的中点，利用中位线定理得出EF ∥PC ，DO ∥PC ，证明EF ∥DO ，得出EF ∥平面ADO ；（2）过P 作PM 垂直FO 的延长线交于点M ，求出BO ，PO ，计算PM ，再求△ABC 的面积和三棱锥P-ABC的体积．【解答】（1）证明：在Rt △ABC 中，作FH ⊥AB ，垂足为H ，设AH=x,则HB=2-x,因为FH ∥CB ，所以Rt △AHF ∽Rt △ABC ，所以AH AB =HF BC ，即x 2=HF22，解得HF=2x,又因为∠BFH=∠FBO ，所以∠AOB=∠FBH ，且∠BHF=∠OBA=90°，所以Rt △BHF ∽Rt △OBA ，所以HF BH =AB BO ，即2x 2−x =22，解得x=1，即AH=1，所以H 是AB 的中点，F 是AC 的中点，又因为E 是PA 的中点，所以EF ∥PC ，同理，DO ∥PC ，所以EF ∥DO ，又因为EF ⊄平面ADO ，DO ⊂平面ADO ，所以EF ∥平面ADO ；（2）解：过P 作PM 垂直FO 的延长线交于点M ，因为PB=PC ，O 是BC 中点，所以PO ⊥BC ，在Rt △PBO 中，PB=6，BO=12BC=2，所以PO =PB 2−OB 2=6−2=2，因为AB ⊥BC ，OF ∥AB ，所以OF ⊥BC ，又PO∩OF=O ，PO ，OF ⊂平面POF ，所以BC ⊥平面POF ，又PM ⊂平面POF ，所以BC ⊥PM ，又BC∩FM=O ，BC ，FM ⊂平面ABC ，所以PM ⊥平面ABC ，即三棱锥P-ABC 的高为PM ，因为∠POF=120°，所以∠POM=60°，所以PM =POsin 60°=2×32=3，√√√√√√√√√√△ABC的面积为S△ABC=12×AB×BC=12×2×22=22，所以三棱锥P-ABC的体积为V三棱锥P-ABC=13×22×3=26 3．√√√√√（2023•乙卷）已知函数f（x）=（1x+a）ln（1+x）．（1）当a=-1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（x））处的切线方程；（2）若函数f（x）在（0，+∞）单调递增，求a的取值范围．【答案】（1）（ln2）x+y-ln2=0；（2）[12，+∞)．【分析】（1）根据已知条件，先对f（x）求导，再结合导数的几何意义，即可求解；（2）先对f（x）求导，推得(−1x2)ln(x+1)+(1x+a)•1x+1≥0，构造函数g（x）=ax2+x-（x+1）ln（x+1）（x＞0），通过多次利用求导，研究函数的单调性，并对a分类讨论，即可求解．【解答】解：（1）当a=-1时，则f（x）=（1x-1）ln（1+x），求导可得，f'（x）=−1x2ln(1+x)+(1x−1)•1x+1，当x=1时，f（1）=0，当x=-1时，f'（1）=-ln2，故曲线y=f（x）在点（1，f（x））处的切线方程为：y-0=-ln2（x-1），即（ln2）x+y-ln2=0；（2）f（x）=（1x+a）ln（1+x），则f'（x）=(−1x2)ln(x+1)+(1x+a)•1x+1(x>−1)，函数f（x）在（0，+∞）单调递增，则(−1x2)ln(x+1)+(1x+a)•1x+1≥0，化简整理可得，-（x+1）ln（x+1）+x+ax2≥0，令g（x）=ax2+x-（x+1）ln（x+1）（x＞0），求导可得，g'（x）=2ax-ln（x+1），当a≤0时，则2ax≤0，ln（x+1）＞0，故g'（x）＜0，即g（x）在区间（0，+∞）上单调递减，g（x）＜g（0）=0，不符合题意，令m（x）=g'（x）=2ax-ln（x+1），则m'（x）=2a-1x+1，当a ≥12，即2a≥1时，1x +1<1，m'（x ）＞0，故m （x ）在区间（0，+∞）上单调递增，即g'（x ）在区间（0，+∞）上单调递增，所以g'（x ）＞g'（0）=0，g （x ）在区间（0，+∞）上单调递增，g （x ）＞g （0）=0，符合题意，当0＜a ＜12时，令m'（x ）=2a −1x +1=0，解得x=12a−1，当x ∈(0，12a −1)时，m'（x ）＜0，m （x ）在区间（0，12a−1）上单调递减，即g'（x ）单调递减，g'（0）=0，当x ∈(0，12a−1)时，g'（x ）＜g'（0）=0，g （x ）单调递减，∵g （0）=0，∴当x ∈(0，12a−1)时，g （x ）＜g （0）=0，不符合题意，综上所述，a 的取值范围为[12，+∞)．（2023•乙卷）已知椭圆C ：y 2a 2+x 2b 2=1（a ＞b ＞0）的离心率为53，点A （-2，0）在C 上．（1）求C 的方程；（2）过点（-2，3）的直线交C 于点P ，Q 两点，直线AP ，AQ 与y 轴的交点分别为M ，N ，证明：线段MN 的中点为定点．√【答案】（1）椭圆C 的方程为y 29+x 24=1；（2）MN 的中点为定点（0，3），证明过程见解析．【分析】（1）由题意列关于a,b,c 的方程组，求得a,b,c 的值，可得椭圆C 的方程；（2）设PQ ：y-3=k （x+2），即y=kx+2k+3，k ＜0，P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），联立直线方程与椭圆方程，化为关于x 的一元二次方程，利用根与系数的关系求得x 1+x 2与x 1x 2的值，写出直线AP 、AQ 的方程，求得M 与N 的坐标，再由中点坐标公式即可证明MN 的中点为定点．【解答】解：（1）由题意，V Y Y Y Y Y Y W Y Y Y Y Y Y X c a =53b =2a 2=b 2+c2，解得V Y Y Y Y W Y Y Y Y X a =3b =2c =5．∴椭圆C 的方程为y 29+x 24=1；证明：（2）如图，√√要使过点（-2，3）的直线交C 于点P ，Q 两点，则PQ 的斜率存在且小于0，设PQ ：y-3=k （x+2），即y=kx+2k+3，k ＜0，P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），联立V Y Y Y W Y Y Y X y =kx +2k +3y 29+x 24=1，得（4k 2+9）x 2+8k （2k+3）x+16k （k+3）=0．Δ=[8k （2k+3）]2-4（4k 2+9）•16k （k+3）=-1728k ＞0．x 1+x 2=−8k (2k +3)4k 2+9，x 1x 2=16k (k +3)4k 2+9，直线AP ：y=y 1x 1+2(x +2)，取x=0，得M （0，2y 1x 1+2）；直线AQ ：y =y 2x 2+2(x +2)，取x=0，得N （0，2y 2x 2+2）．∴2y 1x 1+2+2y 2x 2+2=2y 1(x 2+2)+2y 2(x 1+2)(x 1+2)(x 2+2)=2(kx 1+2k +3)(x 2+2)(kx 2+2k +3)(x 1+2)x 1x 2+2(x 1+x 2)+4=22kx 1x 2+(4k +3)(x 1+x 2)+4(2k +3)x 1x 2+2(x 1+x 2)+4=22k •16k (k +3)4k 2+9+(4k +3)•−8k (2k +3)4k 2+9+4(2k +3)16k (k +3)4k 2+9+2•−8k (2k +3)4k 2+9+4=232k 3+96k 2−64k 3−96k 2−48k 2−72k +32k 3+72k +48k 2+10816k 2+48k −32k 2−48k +16k 2+36=2×10836=6．∴MN 的中点为（0，3），为定点．（2023•乙卷）在直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1的极坐标方程为ρ=2sinθ（π4≤θ≤π2），曲线C 2：V W X x =2cosαy =2sinα（α为参数，π2＜α＜π）．（1）写出C 1的直角坐标方程；（2）若直线y=x+m 既与C 1没有公共点，也与C 2没有公共点、求m 的取值范围．【答案】（1）x 2+（y-1）2=1，（x ∈[0，1]，y ∈[1，2]）；（2）(−∞，0)∪(22，+∞)．√【分析】（1）直接利用转换关系，在参数方程和直角坐标坐标方程之间进行转换；（2）利用直线与圆的位置关系和点到直线的距离公式求出实数m 的取值范围．【解答】解：（1）曲线C 1的极坐标方程为ρ=2sinθ（π4≤θ≤π2），根据V Y Y Y Y W Y Y Y Y X x =ρcosθy =ρsinθx 2+y 2=ρ2转换为直角坐标方程为x 2+（y-1）2=1，因为π4≤θ≤π2，π2≤2θ≤π，x=ρcosθ=2sinθcosθ=sin2θ∈[0，1]，y=ρsinθ=2sin 2θ=1-cos2θ∈[1，2]，所以C 1的直角坐标方程为x 2+（y-1）2=1，x ∈[0，1]，y ∈[1，2]；（2）由于曲线C 1的方程为x 2+（y-1）2=1，（0≤x≤1，1≤y≤2），曲线C 2：V W X x =2cosαy =2sinα（α为参数，π2＜α＜π），转换为直角坐标方程为x 2+y 2=4，（-2＜x ＜0，0＜y ＜2）；如图所示：由于y=x 与圆C 1相交于点（1，1），即m=0，当m ＜0时，直线y=x+m 与曲线C 1没有公共点；当曲线C 2与直线y=x+m 相切时，圆心C 2（0，0）到直线y=x+m 的距离d=|m |2=2，解得m=22（负值舍去），由于直线y=x+m 与曲线C 2没有公共点，所以m >22，故直线y=x+m 既与C 1没有公共点，也与C 2没有公共点、实数m 的取值范围为(−∞，0)∪(22，+∞)．√√√√（2023•乙卷）已知f （x ）=2|x|+|x-2|．（1）求不等式f （x ）≤6-x 的解集；（2）在直角坐标系xOy 中，求不等式组V W X f (x )≤y x +y −6≤0所确定的平面区域的面积．【答案】（1）不等式的解集为[-2，2]．（2）8．【分析】（1）根据绝对值的意义，表示成分段函数，然后解不等式即可．（2）作出不等式组对应的平面区域，求出交点坐标，根据三角形的面积公式进行求解即可．【解答】解：（1）当x≥2时，f （x ）=2x+x-2=3x-2，当0＜x ＜2时，f （x ）=2x-x+2=x+2，当x≤0时，f （x ）=-2x-x+2=-3x+2，则当x≥2时，由f （x ）≤6-x 得3x-2≤6-x,得4x≤8，即x≤2，此时x=2．当0＜x ＜2时，由f （x ）≤6-x 得x+2≤6-x,得2x ＜4，即x ＜2，此时0＜x ＜2．当x≤0时，由f （x ）≤6-x 得-3x+2≤6-x,得2x≥-4，即x≥-2，此时-2≤x≤0．综上-2≤x≤2，即不等式的解集为[-2，2]．（2）不等式组V W X f (x )≤y x +y −6≤0等价为V W X y ≥2|x |+|x −2|x +y −6≤0，作出不等式组对应的平面区域如图：则B （0，2），D （0，6），由V W X x +y −6=0y =x +2，得V W Xx =2y =4，即C （2，4），由V W X x +y −6=0y =−3x +2，得V W X x =−2y =8，即A （-2，8），则阴影部分的面积S=S △ABD +S △BCD =12×（6-2）×2+12×（6-2）×2=4+4=8．。

高考数学最新真题专题解析—导数及其应用(新高考卷)

高考数学最新真题专题解析—导数及其应用（新高考卷）【母题来源】2022年新高考I 卷【母题题文】已知函数f(x)=x 3−x +1，则( ) A. f(x)有两个极值点 B. f(x)有三个零点C. 点(0,1)是曲线y =f(x)的对称中心D. 直线y =2x 是曲线y =f(x)的切线【答案】AC 【分析】本题考查利用导数研究函数的极值与零点以及曲线上一点的切线问题，函数的对称性，考查了运算能力以及数形结合思想，属于中档题．【解答】解： f(x)=x 3−x +1⇒f′(x)=3x 2−1 ，令 f′(x)=0 得： x =±√33，f′(x)>0⇒x <−√33 或 x >√33 ； f′(x)<0⇒−√33<x <√33，所以 f(x) 在 (−∞,−√33) 上单调递增，在 (−√33,√33) 上单调递减，在 (√33,+∞)上单调递增，所以 f(x) 有两个极值点 (x =−√33 为极大值点， x =√33为极小值点 ) ，故 A正确 ;又 f(−√33)=−√39−(−√33)+1=1+2√39>0 ， f(√33)=√39−√33+1=1−2√39>0 ，所以 f(x) 仅有 1 个零点 ( 如图所示 ) ，故 B 错 ;又 f(−x)=−x 3+x +1⇒f(−x)+f(x)=2 ，所以 f(x) 关于 (0,1) 对称，故 C 正确 ;对于 D 选项，设切点 P(x 0,y 0) ，在 P 处的切线为 y −(x 03−x 0+1)=(3x 02−1)(x −x 0) ，即 y =(3x 02−1)x −2x 03+1 ，若 y =2x 是其切线，则 {3x 02−1=2−2x 03+1=0，方程组无解，所以 D 错．【母题来源】2022年新高考II 卷【母题题文】曲线y =ln|x|经过坐标原点的两条切线方程分别为，．【答案】y =x e y =−xe 【分析】本题考查函数切线问题，设切点坐标，表示出切线方程，带入坐标原点，求出切点的横坐标，即可求出切线方程，为一般题．【解答】解：当 x >0 时，点 (x 1,lnx 1)(x 1>0) 上的切线为 y −lnx 1=1x 1(x −x 1).若该切线经过原点，则 lnx 1−1=0 ，解得 x =e ，此的切线方程为 y =xe ．当 x <0 时，点 (x 2,ln(−x 2))(x 2<0) 上的切线为 y −ln (−x 2)=1x 2(x −x 2) ．若该切线经过原点，则 ln(−x 2)−1=0 ，解得 x =−e ，此时切线方程为 y =−xe ．【命题意图】考察导数的概念，考察导数的几何意义，考察导数求导法则求导公式，导数的应用，考察数学运算和逻辑推导素养，考察分类讨论思想，函数和方程思想，化归与转化的数学思想，分析问题与解决问题的能力。

2024年新高考I卷数学高考试卷(原卷+答案)

2024年普通高等学校招生全国统一考试（新高考I 绝密★启用前卷）1. 项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分. 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦数（适用地区:山东、广东、湖南、湖北、河北、江苏、福建、浙江、江西、安徽、河南）学注意事项：干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案书写在答题卡上，写在本试卷上无效。

在每小题给出的四个选项中，只有一个选.已知集合=−<<=−−A xx B 3}{∣55,{3,1,0,2,3}，则A B =（）A−{1,0} B.{2,3} C. −−{3,1,0} D. 2. −{1,0,2}若z −z1=+1i ，则z =（）A.−−1i B.−+1i C. −1i D. 3. +1i 已知向量a b x ==(0,1),(2,)，若b b a ⊥−(4)，则x =（）A. −2 B. 4. D. C. −112已知 αβαβ+==mcos(),tan tan 2，则cos()αβ−=（）A. −3m B. −m 3C.m 3D. 5. 3m，则圆锥的体积为（）AB.C.D.6. 已知函数⎩++≥−−−<⎧x x x ax a x x e ln(1),0f x ()=⎨2,0在R 上单调递增，则a 的2取值范围是（）A.−∞(,0] B.−[1,0] C. −[1,1] D. 7. +∞[0,)当[0,2]πx 时，曲线y x =sin 与⎝⎭⎪⎛⎫y x π=−6 D. C. B. 2sin 3的交点个数为（）468f x ()的定义域为R A. 38. 已知函数，，>−+−f x f x f x ()(1)(2)且当x <3时f x x ()=，则下列结论中一定正确的是（）.A. f >(10)100B. f >(20)1000C.f <(10)1000 D. 要求. 全部选对得6 分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.9. 随着“一带一路”国际合作的深入，某茶叶种植区多措并举推动茶叶出口.二、选择题：本题共3 小题，每小题6 分，共18 分. f <(20)10000在每小题给出的选项中，有多项符合题目为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值x =2.1，样本方差s =0.012，已知该种植区以往的亩收入X 服从正态分布N )(1.8,0.12，假设推动出口后的亩收入Y 服从正态分布N x s ,2)(，则（）（若随机变量Z 服从正态分布N)(μσ,2， P Z <+≈μσ()0.8413）A. P X >>(2)0.2 B. P X ><(2)0.5 C.P Y >>(2)0.5 D. 10. P Y ><(2)0.8设函数 f x x x ()(1)(4)=−−2，则（）A.x =3是f x ()的极小值点 B. 当<<x 01时，f x f x()<2)C. (当<<x 12时，−<−<f x D. 4(21)0当x−<<10时，11. 设计一条美丽的丝带,其造型可以看作图中的曲线C 的一部分.已知C 过坐标原点O .且C 上的点满足:−>f x f x (2)()横坐标大于−2，到点F (2,0)的距离与到定直线 x a a =<(0)的距离之积为4，则（）A. B. a =−2点D. C. C 在第一象限的点的纵坐标的最大值为在C 上1当点,)在C (x y 00上时，x 0+4212. 三、填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分y 0≤.设双曲线−=>>a bC a b x y :1(0,0)2222左右焦点分别为、F F 12，过F 2作平行于y 轴的直线交C 于A ，B 两点，若||13,||1013. ，则C F A AB 1==的离心率为___________．若曲线=+y x e x 在点(0,1)处的切线也是曲线=++y x a ln(1)的切线，则张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得1分，数字小的人得0分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后的轮次中不能使用）.则四轮比赛后，甲的总得分不小于2的概率为_________分别标有数字2，4，6，81，3，5，714. a =__________.甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字，乙的卡片上，两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一.的15. 四、解答题：本题共5 小题，共77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.记ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c，已知sin =C B，a b c （1）求B ；（2）222+−=若ABC的面积为16. c 3．已知A (0,3)和⎝⎭⎪⎛⎫P 23,3椭圆+=>>a bC a b x y :1(0)22（1）求C 的离心率;（2）若过P 上两点22.的直线l 交C 于另一点B ，且ABP17. 的面积为9，求l 的方程．如图，四棱锥−P ABCD 中，底面ABCD PA ⊥，PA AC ==2，BC AB == （1）1,．若⊥AD PB ，证明：（2）PBC AD //平面；若⊥AD DC ，且二面角−−A CP D正弦值为7，求AD ．为18. 已知函数 2−=++−f x ax b x x()ln(1)（1）x3若b =0，且 x ≥f '()0，求（2）a 的最小值；证明：曲线（3）y f x =()是中心对称图形；若f x >−()2当且仅当<<x 12，求19. 设m b 的取值范围．为正整数，数列a a a a 1242,,...,m +是公差不为0的等差数列，若从中删去两项i 和a i j j (<)后剩余的4m 项可被平均分为组，且每组的m 个数都能构成等差数列，则称数列a a a 1242,,...,m +是（1）(i j ,)−可分数列．写出所有的(i j ,)，≤<≤i j 16，使数列 ,,...,a a a 126是（2）(i j ,)−可分数列；当m ≥3时，证明：数列,,...,m +a a a 1242是（3）(2,13)−可分数列；从1,2,...,42m +中一次任取两个数i 和<j i j )(，记数列,,...,m +a a a 1242是(i j ,)−可分数列的概率为P m ，证明：P >m 81．1.【答案】A 【详解】参考答案因为=<<=−−A x x B |,3,1,0,2,3{}{，且注意到<<12从而AB ，=故选：A.2.【答案】C 【详解】{−1,0}.因为−−−==+=+z z z 11111i z z −+111，所以z =+=−i 11i (4故选：C.3【答案】D 1.【详解】因为)b b a ⊥−，所以)b b a (40⋅−= ，所以b a b −⋅=240即+−=440x x 2，故故选：D.4.【答案】A x =2，【详解】因为cos (αβ+=)m ，所以 cos cos sin sin αβαβ−=m ，而tan tan 2αβ=，所以= ααβsin sin 2cos cos ，故cos cos 2cos cos αβαβ−=m 即cos cos αβ=−m ，从而sin sin 2αβ=−m ，故cos 3αβ−=−m )故选：A.5. 【答案】B (，【详解】设圆柱的底面半径为r，而它们的侧面积相等，所以=π2πr r=，故r =3，故圆锥的体积为3故选：B.6. 【答案】B 【详解】π⨯=91.因为f x ()在R 上单调递增，且x ≥0时，f x x x)(()=++e ln 1单调递增，则需满足()⎩−≤+⎪⨯−⎪ ⎨⎧−≥21a e ln1−2a0−≤≤10a 0，解得，.即a 的范围是T =2πy x =sin 故选：B.7. 【答案】C 【详解】−[1,0].因为函数的的最小正周期为，函数⎝⎭⎪y x ⎛⎫=−62sin 3π的最小正周期为 T =32π，所以在x ∈[0,2π]上函数⎝⎭⎪y x ⎛⎫=−62sin 3x <8. 【答案】B 【详解】由图可知，两函数图象有6个交点.故选：π有三个周期的图象，在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示：C 因为当3时 f x x()=，所以f f (1)1,(2)2==，又因为>−+−f x f x f x ()(1)(2)，则f f f f f f (3)(2)(1)3,(4)(3)(2)5>+=>+>，>+>>+>>+>f f f f f f f f f (5)(4)(3)8,(6)(5)(4)13,(7)(6)(5)21，>+>>+>>+>f f f f f f f f f (8)(7)(6)34,(9)(8)(7)55,(10)(9)(8)89，f f f f f f f f f >+>>+>>+>11)377(11)(10)(9)144,(12)(11)(10)233,(13)(12)(>+>>+>f f f f f f (14)(13)(12)610,(15)(14)(13)987，>+>>f f f (16)(15)(14)15971000，则依次下去可知且无证据表明ACD 一定正确.故选：B.9. 【答案】，则B f >(20)1000正确；BC【详解】依题可知，x s ==2.1,0.012，所以(2.1,0.1YN)，故P Y P Y P Y )() ()，C 正确，D (>=>−=<+≈>2 2.10.1 2.10.10.84130.5错误；因为(1.8,0.1XN )，所以P X P X )()(>=>+⨯2 1.820.1，因为P X )(<+≈1.80.10.8413，所以 P X )(>+≈−=<1.80.110.84130.15870.2，而P X P X P X )()()故选：BC ．10. 【答案】ACD 【详解】对A ，B 正确，A (>=>+⨯<>+<2 1.820.1 1.80.10.2错误，，因为函数f x 的定义域为R ()，而'f x x x x x x 2))(())()((()=−−+−=−−2141313，易知当x ∈(1,3)时，'f x ()<0，当x ∈−(∞,1)或x ∈+(3,∞)时，'f x ()>0函数f x ()在(−∞,1)上单调递增，在(1,3)上单调递减，在(3,+∞)上单调递增，故x =3是函数f x 点，正确；对B ()的极小值，当<<x 01时，x x x x −=−>2)(10，所以>>>10x x 2，而由上可知，函数f x ()在(0,1)上单调递增，所以f x f x2)对C ()>(，错误；，当<<x 12时，<−<x 1213，而由上可知，函数 f x ()在(1,3)上单调递减，所以f f x f ())()>−>(1213，即−<−<f x 4210)对D (，正确；，当x −<<10时，−−=−−−−−−=−−>f x f x x x x x x x (2)()12141220222))()()()(()(，所以故选：ACD.11. 【答案】ABD 【详解】对于A −>f x f x (2)()，正确；：设曲线上的动点P x y (,)，则x >−2x a −=4，a04−=，解得对于B ，故A 正确a =−2.x +=24，而x >−2，x +=24)(.当x y ==0=−=2844)(，故)对于C 在曲线上，故B 正确(.：由曲线的方程可得()x +y x =−−216222(2)，取x =23，则494y 2641=−，而⨯−−=−=>−49449449410641645256245，故此时y 2>1，故对于D 在第一象限内点的纵坐标的最大值大于1，故C 错误C .：当点,)在曲线上时，由C (x y 00的分析可得()()++x x 2216160022y x 00=−−≤22(2)，故 −≤≤x x 00++4422故选：ABD.12. ，故D 正确y 0.【答案】2【详解】3由题可知,,A B F 2三点横坐标相等，设A 在第一象限，将=x c 代入a b −=x y12222得a y =±b 2，即⎝⎭⎝⎭−⎛⎫⎛⎫a a A c B c ⎪ ⎪,,,b b 22，故a AB ==102b 2，a AF ==52b 2，又AF AF a −=212，得AF AF a a 12=+=+=22513，解得a =4，代入a=5b 2得b 2=20，故c a b 222=+=36,，即c =6，所以a e ===c 4263.故答案为：213. 3【答案】【详解】ln 2由=+y x e x得y '|e 12x =0=+=0y '=+e 1x ，，故曲线=+y xe x在(0,1)处的切线方程为y x =+21；由=++y x a ln 1)(得 x +y '=11，设切线与曲线=++y x a ln 1) (相切的切点为,ln 100()(x x a )++，由两曲线有公切线得y '==x 0+112，解得2x 01=−，则切点为⎝⎭ ⎪−+ ⎛⎫a 22,ln 11，切线方程为⎝⎭ ⎪=+++=++− ⎛⎫y x a x a 222ln 21ln 211，根据两切线重合,所以 a −=ln 20，解得a =ln 2.故答案为：14. ln 2【答案】2【详解】1##0.5设甲在四轮游戏中的得分分别为,,,X X X X 1234，四轮的总得分为X .对于任意一轮，甲乙两人在该轮出示每张牌的概率都均等，其中使得甲获胜的出牌组合有六种，从而甲在该轮获胜的概率⨯===P X k 448163)(，所以 E X k k (1,2,3,4))==83(.从而==E X E X X X X E X k k k823311123444)( )∑∑(()=+++===.记p P X k k k ===)(0,1,2,3)如果甲得0分，则组合方式是唯一的：必定是甲出1，3，5，7分别对应乙出2，4，6，8(.，所以A 24114如果甲得3分，则组合方式也是唯一的：必定是甲出1，3，5，7分别对应乙出8，2，4，6p 0==4；，所以A 24114p 3==4.而的所有可能取值是0，1，2，3X ，故p p p p 0123+++=1，223p p p E X 1233++==().所以12p p 12++=11，822p p 1213++=，两式相减即得242p 211+=，故 2所以甲的总得分不小于2p p 231+=.的概率为 2p p 231+=.故答案为： 215.【答案】（11.） B =3（2π）a b c ab C +−=【小问1详解】由余弦定理有2cos 222，对比已知a b c 222+−=，可得+−ab ab a b c 222cos C ===222，因为C ∈(0,π)，所以sin 0C >，从而C ===2 sin ，又因为sin =C B ，即 2cos B =1，注意到B ∈(0,π)，所以 B =3【小问2详解】由（1π.）可得B =3π，2cos C =，C ∈0,π()，从而C =4π，A =−−=3412 π5πππ，而⎝⎭⎝⎭⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫A ==+=+⨯=124622224sin sin sin 1ππ5π，由正弦定理有==a b c1234sin sin sin ππ5π，从而==== +a c b c 4222,1，由三角形面积公式可知，ABCSab C c c c 的面积可表示为ABC==⋅⋅= +222228sin 由已知21113，ABC的面积为+3，可得 c 8=332所以16. 【答案】（1c =）2（2）1直线l 的方程为3260【解析】【小问1x y −=x y −−=或20.详解】由题意得⎪+=⎪⎪⎪⎧14⎨99⎩a b b =322⎩a ，解得=⎨212⎧b 2=9，所以e ===21【小问2.详解】法一：−k AP==−03223−AP 13，则直线的方程为 y x =−+231，即x y +−=260，==AP ，由（1）知+= x y 129C :122，设点B 到直线AP的距离为d，则d ==25，则将直线AP 沿着与AP 垂直的方向平移5单位即可，此时该平行线与椭圆的交点即为点B ，设该平行线的方程为：x y C ++=20，=5，解得C =6或C =−18，当C =6时，联立⎪⎩x y ++=⎪260⎨129+=1⎧x y 22，解得⎩y =−⎨3⎧x =0或⎩⎪⎨y ⎧=−23⎪x =−3，即B (0,3−)或⎝⎭⎪−−⎛⎫23,3，当B (0,3−)时，此时k l =23，直线l 的方程为2y x =−33，即3260x y −−=，当⎝⎭ ⎪−−⎛⎫B 23,3时，此时k l=21，直线l 的方程为 =y x 21，即x y −=20，当C =−18时，联立⎪⎩x y +−=⎪2180⎨129+=1⎧x y 22得2271170，此时该直线与椭圆无交点27421172070y y 2−+=，∆=−⨯⨯=−<2.综上直线 l 的方程为x y −−=3260或x y −=20.法二：同法一得到直线AP 的方程为B x y +−=260，点到直线AP 的距离 d =5，B x y ,00)(，则⎩⎪⎪=129+=1x y 0022，解得⎩⎪⎨⎧2y 0=− 3⎪x 0=−3或⎩y 0=−⎨3⎧x 0=0，设即B (0,3−)或⎝⎭⎪−−⎛⎫23,，以下同法一3.法三：同法一得到直线AP 的方程为B x y +−=260，点到直线AP的距离 d =5，设B ,3sin θθ)(，其中θ∈π[0,2)= 5，联立cos sin 1θθ+=22，解得⎩⎪⎨⎪⎧2⎪sin θ=−21⎪cos θ=−或⎩θ⎨=−θ=sin 1⎧cos 0，即B (0,3−)或⎝⎭⎪−−⎛⎫23,3，以下同法一；法四：当直线AB 的斜率不存在时，此时B SPAB(0,3−)，=⨯⨯=26391，符合题意，此时k l =23，直线l 的方程为2y x =−33，即x y −−=3260，当线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y kx =+3，联立椭圆方程有⎪⎩⎪129+=1⎨x y ⎧y kx =+322，则43240k x kx 22++=)(，其中k k ≠AP ，即k ≠−21，解得x =0或x =43k 2−24k +，k ≠0， k ≠−21，令x =43k 2−24k +，则+k y =k 43−+12922，则⎝⎭++ ⎪−−+⎛⎫k k B k k 4343 ,24129222同法一得到直线AP 的方程为x y +−=260，点B 到直线AP的距离 d =5，=，解得32 k，此时⎝⎭ ⎪−−⎛⎫B 23,3，则得到此时k l=21，直线l 的方程为 =y x 21，即x y −=20，综上直线 l 的方程为3260x y −=20x y −−=或.法五：当l 的斜率不存在时，⎝⎭⎪=−=⎛⎫l x B PB A 2:3,3,,3, 3到PB 距离d =3，此时SABP=⨯⨯=≠ 22339不满足条件19.当l 的斜率存在时，设−=−2PB y k x :(3)3，令P x y B x y ,,,1122))((，⎪⎪⎪⎪x y ⎩⎧y k x =−+129+=12(3)⎨322，消y 可得+−−+−−=2222 ))(Δ(4324123636270k x k k x k k ，=−−+−−>2222)(()k k ≠)(24124433636270k kk k k ，且AP ，即k ≠−21，⎩+⎪⎨⎪−⎧k 43363627,432⎪x x 12=k k 2−−PB ==k 2+⎪x x 12+=2412k k 2，A 到直线PB 距离9PABd S===21 ，∴=k 21或23，均满足题意，∴=l y x 2:1或2y x =−33，即x y −−=3260或x y −=20.法六：当l斜率不存在时，⎝⎭⎪=−=⎛⎫l x B PB A 2:3,3,,3, 3到PB 距离d =3，此时SABP=⨯⨯=≠ 22339不满足条件19.当直线l 斜率存在时，设2l y k x :(3)=−+3，设l 与y 轴的交点为Q ，令x =0，则⎝⎭⎪ ⎛⎫Q k 20,3−+3，联立⎪⎨⎩⎪y kx k ⎧=−+343623x y 223+=，则有⎛⎫ ⎪⎝⎭32222)(34833636270+−−+−−=k x k k x k k ，⎛⎫ ⎪⎝⎭32222)(34833636270+−−+−−=k xk k x k k ，其中⎝⎭ ⎪⎛⎫2834343636270Δ=−−+−−>k k k k k 3222)2()(，且k ≠−21，则==++−−−−k kx x B B 3434 3,3636271212922k k k k 22，则+=−=+=S AQ x x k k +P B 2223439k 11312182，解的k =21或32 的，经代入判别式验证均满足题意k .则直线l 为=y x 21或y x =−233，即x y −−=3260或（217. 【答案】（1）x y −=20.证明见解析PA 【解析】【小问1详解】（1）因为⊥平面ABCD ，而 AD ⊂平面ABCD ，所以⊥PA AD ，又⊥AD PB ，PBPA P =，⊂PB PA ,平面PAB ，所以AD ⊥平面 PAB ，而PAB AB ⊂平面，所以 ⊥AD AB .因BC AB AC +=222，所以，⊥BC AB 根据平面知识可知AD BC //，又⊄AD 平面PBC ，⊂BC 平面PBC ，所以AD //平面【小问2详解】如图所示，过点D PBC ．作⊥DEAC E ，再过点E 作⊥EF CP 于F ，连接DF ，因为PA ⊥平面ABCD ，所以平面PAC ⊥平面ABCD ，而平面PAC 平面=ABCD AC ，所以⊥DE 平面 PAC ，又⊥EF CP ，所以 CP ⊥平面DEF ，根据二面角的定义可知，∠DFE 即为二面角−−A CP D 的平面角，即DFE 7sin ∠=，即 ∠=DFE tan 因为⊥AD DC ，设=AD x，则=CD，由等面积法可得，DE =2，又CE ==24−x2，而EFC 为等腰直角三角形，所以EF =2，故∠==DFE tan 22x =AD =．为18. 【答案】（1）（3（2）−2证明见解析）b ≥−3b =0【解析】【小问12详解】时，−xf x ax ()=+ln2x，其中x ∈(0,2)，则()− '−x x x x f x a a x ,0,2()()=++=+∈11222，因为⎝⎭x x ⎛⎫⎪2−+2x x2)(21−≤=，当且仅当x =1时等号成立，故=+'f x a 2min ()，而'f x ()≥成立，故a +≥20即a ≥−2，所以a 的最小值为【小问2.−2，详解】−xf x ax b x 3) (()=++−ln12x 的定义域为(0,2)，设P m n(,)为=y f x ()图象上任意一点，P m n (,)关于(1,a )的对称点为Q m a n (2,2−−)，因为P m n ,)(在=y f x ()图象上，故=++−n am b m 2−m mln 1 3)(，而⎣⎦⎢⎥⎡⎤−m m 2f m a m b m am b m a −2m m 33)())(()=−+(2ln221ln 12−=+−+−−=−++−+，n a 2，所以Q m a n(2,2−−)也在=y f x ()图象上，由P 的任意性可得=y f x ()图象为中心对称图形，且对称中心为【小问3(1,a ).详解】因为f x ()>−2当且仅当<<x12，故x =1为f x ()=−2的一个解，所以f)=−(12即a =−2，先考虑<<x12时，f x 恒成立()>−2.此时f x ()>−2即为+−+−>2−x x ln21103) )((x b x 在(1,2)上恒成立，设t x =−∈10,1()，则1−−+>tln 20t bt t +13(0,1)上恒成立，设−g t t bt t 3()()=−+∈ln 2,0,11t +1t，则−'−t tg t bt 112−++32322232 t bt b 22)()(=−+=，当b ≥0，−++≥−++=>32332320bt b b b 2，故'g t ()>0恒成立，故 g t ()在(0,1)上为增函数，故g t g )(00 ()>=即f x 上恒成立(1,2()>−2在).当−≤<3b 0 2时，−++≥+≥323230bt b b 2，故'g t ()≥0恒成立，故 g t ()在(0,1)上为增函数，故g t g )(00()>=即 f x ()>−2在上恒成立(1,2).当b <−32，则当<<<t 01时，'g t ()<0故在⎝ ⎛上g t ()为减函数，故g t g)(00()<=，不合题意，舍；综上，f x ()>−2在(1,2)上恒成立时 b ≥−2.3而当 b ≥−32时，而b ≥−32时，由上述过程可得g t ()在(0,1)递增，故 g t ()>0的解为(0,1)，即 f x >−2()的解为(1,2).综上， b ≥−19. 【答案】（12.3） )()()（3）(1,2,1,6,5,6证明见解析（2(i j ,)−（2）证明见解析【解析】【分析】（1）直接根据可分数列的定义即可；）根据(i j ,)−可分数列的定义即可验证结论；在（3）证明使得原数列是(i j ,)−可分数列的(i j ,)至少有2),,...,m 【小问1详解】个，再使用概率的定义(m m +−1.首先，我们设数列+a a a 1242的公差为d ，则d ≠0.由于一个数列同时加上一个数或者乘以一个非零数后是等差数列，当且仅当该数列是等差数列，故我们可以对该数列进行适当的变形'=+=+da k m ka a k 11,2,...,42−1)(，得到新数列a k k m '==+k(1,2,...,42)，然后对,,...,m '''+进行相应的讨论即可a a a 1242.换言之，我们可以不妨设a k k m ==+k 回到原题，第1，此后的讨论均建立在该假设下进行(1,2,...,42).小问相当于从中取出两个数 i 和j i j ，使得剩下四个数是等差数列(<).那么剩下四个数只可能是 1,2,3,4，或2,3,4,5，或3,4,5,6.所以所有可能的(i j ,)就是)()()m 【小问2详解】(1,2,1,6,5,6.由于从数列+1,2,...,42中取出2和13后，剩余的4m 个数可以分为以下两个部分，共m 组，使得每组成等差数列：①1,2,3,4,5,61,4,7,10,3,6,9,12,5,8,11,14}}{}{{，共3组；②{m m m m −++}} }{{15,16,17,18,19,20,21,22,...,41,4,41,42，共m −3组.（如果，则忽略②m −=30）故数列m +1,2,...,42是【小问3可分数列(2,13)−.详解】定义集合=+==+A k k m m }}{{410,1,2,...,1,5,9,13, (41)=+==+B k k m m}}{ {420,1,2,...,2,6,10,14,...,42.下面证明，对≤<≤+i j m 142，如果下面两个命题同时成立，则数列 1,2,...,42m +一定是命题1(i j ,)−可分数列：：∈∈i A j B ,或命题2∈∈i B j A ,；：我们分两种情况证明这个结论j i −≠3..第一种情况：如果∈∈i A j B ,，且j i −≠3.此时设j k =+422i k =+411，，∈,0,1,2,...,k k m 12}{.则由i j <可知4142k k 12+<+，即 4k k 211−>−，故k k ≥21.此时，由于从数列 m +1,2,...,42中取出i k =+411和 j k =+422后，剩余的4m 个数可以分为以下三个部分，共m 组，使得每组成等差数列：①−−−1111}}{k k k k}{{1,2,3,4,5,6,7,8,...,43,42,41,4，共k 1组；②++++++++−−+111111112222}}{}{{42,43,44,45,46,47,48,49,...,42,41,4,41k k k k k k k k k k k k ，共k k −21组；③++++++++−++22222222}}{ }{ {43,44,45,46,47,48,49,410,...,41,4,41,42k k k k k k k k m m m m ，共组m k −2.（如果某一部分的组数为 0，则忽略之）故此时数列m +1,2, (42)可分数列(i j ,)−.第二种情况：如果∈∈i B j A ,，且j i −≠3.此时设i k =+421，j k =+412，∈,0,1,2,..., k k m 12}{.则由<i j 可知4241k k 12+<+，即 4k k 211−>，故k k >21.由于j i −≠3，故+−+≠21))((41423k k ，从而k k 21−≠1，这就意味着k k 21−≥2.此时，由于从数列m +1,2,...,42中取出i k =+421和j k =+412后，剩余的4m 个数可以分为以下四个部分，共m 组，使得每组成等差数列：①−−−1111}}{k k k k}{{1,2,3,4,5,6,7,8,...,43,42,41,4，共k 1组；②+++++++1121212}{41,31,221,31k k k k k k k ，+++++++1212122 }{32,222,32,42k k k k k k k ，共③2组；全体+++++++1121212} {4,3,22,3k p k k p k k p k k p ，其中3,4,...,21=−p k k ，共k k 21−−2组；④++++++++−++22222222}}{ }{{43,44,45,46,47,48,49,410,...,41,4,41,42k k k k k k k k m m m m ，共m k −2组.（如果某一部分的组数为这里对②和③进行一下解释：将③0，则忽略之）中的每一组作为一个横排，排成一个包含4k k 21−−2个行，个列的数表以后，4个列分别是下面这些数：+++1112}{43,44,...,3k k k k ，+++++121212}{33,34,...,22k k k k k k ，+++++121212}{223,223,...,3k k k k k k ，++++33,34,...,412122}{k k k k k . 可以看出每列都是连续的若干个整数，它们再取并以后，将取遍+++112}{41,42,...,42k k k 中除开五个集合++11}{41,42k k ，++++1212}{31,32k k k k ，221,222k k k k 1212++++}{，++++31,321212}{k k k k ，++22}中的十个元素以外的所有数{41,42k k .而这十个数中，除开已经去掉的42 k 1+和41以外，剩余的八个数恰好就是②中出现的八个数k 2+.这就说明我们给出的分组方式满足要求，故此时数列m +1,2,...,42是可分数列(i j ,)−.至此，我们证明了：对≤<≤+i j m ，如果前述命题1和命题2142同时成立，则数列的个数(i j ,可分数列.(i j ,)m +1,2,...,42一定是−然后我们来考虑这样的).首先，由于A B ⋂=∅，A 和B 各有个元素，故满足命题1m +1的(i j ,)总共有2(m +1)个；而如果j i −=3，假设∈∈i A j B ,，则可设i k =+411，j k =+422，代入得+−+=21 ))((42413k k .但这导致 2k k 211−=，矛盾，所以∈∈i B j A ,.设i k =+421，j k =+412，∈,0,1,2,...,k k m 12}{，则+−+=21) )((41423k k ，即k k 21−=1.所以可能的,)(k k 12恰好就是(0,1,1,2,...,1,)()(m m −)，对应的m m (i j ,)分别是−+2,5,6,9,...,42,41)()()(，总共个m .所以这2个满足命题1(m +1)的)中，不满足命题2(i j ,的恰好有这就得到同时满足命题1和命题2个m .的(i j ,)的个数为2)(m m +−1.当我们从m +1,2,...,42中一次任取两个数i 和j i j (<)时，总的选取方式的个数等于=++2)((2141m m))()(4241m m ++.而根据之前的结论，使得数列,,...,m +a a a 1242是(i j ,)−可分数列的(i j ,)至少有 2)个(m m +−1.所以数列a a a 1242,,...,m +是(i j ,)−可分数列的概率))))P m 一定满足(()(()(()(()⎝⎭ ⎪P ⎛⎫≥=>==m m ++214121412142221218m m m m m m m m m +m ++++++++42m m ++11122212)这就证明了结论(m m +−1..。

专题04 导数解答题2013-2022十年全国高考数学真题分类汇编(文科,全国通用版)(解析版)

设，，
当时，，当时，，
故在上为减函数，在上为增函数，
所以，
而，，
有两个不同的零点即的解的个数为2．
当，由(1)讨论可得、仅有一个零点，
当时，由(1)讨论可得、均无零点，
故若存在直线与曲线、有三个不同的交点，
则．
设，其中，故，
设，，则，
故在上为增函数，故即，
【题目栏目】导数\导数的综合应用
【题目来源】2021年高考全国甲卷文科·第20题
10．(2021年全国高考乙卷文科·第21题)已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)求曲线过坐标原点的切线与曲线的公共点的坐标．
【答案】(1)答案见解析；(2) ．
解析：(1)由函数的解析式可得：，
导函数的判别式，
即曲线过坐标原点的切线与曲线的公共点的坐标为．
【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出，在高考中的命题方向及命题角度从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．(4)考查数形结合思想的应用．
故为方程的解，同理也为方程的解，
所以，而，
故即．
【题目栏目】导数\导数的综合应用
【题目来源】2022新高考全国I卷·第22题
5．(2021年新高考全国Ⅱ卷·第22题)已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)从下面两个条件中选一个，证明：有一个零点

高考文科数学导数真题汇编(带答案)

高考文科数学导数真题汇编(带答案)高考数学文科导数真题汇编答案一、客观题组4.设函数f(x)在R上可导，其导函数f'(x)，且函数f(x)在x=-2处取得极小值，则函数y=xf'(x)的图象可能是。

5.设函数f(x)=x^2-2x，则f(x)的单调递减区间为。

7.设函数f(x)在R上可导，其导函数f'(x)，且函数f(x)在x=2处取得极大值，则函数y=xf'(x)的图象可能是。

8.设函数f(x)=1/(2x-lnx)，则x=2为f(x)的极小值点。

9.函数y=1/(2x-lnx)的单调递减区间为(0,1]。

11.已知函数f(x)=x^2+bx+c的图象经过点(1,2)，且在点(2,3)处的切线斜率为4，则b=3.12.已知函数f(x)=ax^2+bx+c的图象过点(1,1)，且在点(2,3)处的切线斜率为5，则a=2.二、大题组2011新课标】21.已知函数f(x)=aln(x/b)+2，曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为x+2y-3=0.(1) 求a、b的值；(2) 证明：当x>1，且x≠b时，f(x)>2ln(x/b)。

解析】1) f'(x)=a/(xlnb)+2/x，由于直线x+2y-3=0的斜率为-1/2，且过点(1,f(1))，解得a=1，b=1.2) 由(1)知f(x)=ln(x)+1，所以f(x)-2ln(x/b)=ln(x/b)+1>0，当x>1，且x≠b时，f(x)>2ln(x/b)成立。

2012新课标】21.设函数f(x)=ex-ax-2.(1) 求f(x)的单调区间；(2) 若a=1，k为整数，且当x>0时，(x-k)f'(x)+x+1>0，求k的最大值。

解析】1) f(x)的定义域为(-∞,+∞)，f'(x)=ex-a，若a≤0，则f'(x)>0，所以f(x)在(-∞,+∞)单调递增。

2023年高考数学真题完全解读(全国甲卷文科)

2023年高考数学真题完全解读（全国甲卷文科）适用省份四川、广西、贵州、西藏2023年高考数学全国卷全面考查了数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析等学科核心素养，体现基础性、综合性、应用性和创新性的考查要求，突出理性思维，发挥出数学学科在人才选拔中的重要作用。

一、题型与分值分布题型：（1）单选题12道，每题5分共60分；（2）填空题4道，每题5分共20分；（3）解答题5道，每题12分共60分；（4）选做题2道，每题10分。

二、题目难度和复杂度知识点题型题目数量总分值整体评价集合单选题1个15分复数单选题1个15分平面向量单选题1个15分程序框图单选题1个15分数列单选题1个填空题1个210分三角函数单选题1个解答题1个217分概率与统计单选题1个解答题1个217分立体几何单选题1个填空题1个解答题1个322分圆锥曲线单选题2个解答题1个322分函数与导数单选题2个填空题1个解答题1个427分极坐标与参数方程选做题1个110分不等式填空题1个（线性规划问题）选做题1个215分主干知识考查全面，题目数量设置均衡；与课程标准保持了一致性。

四、高考试卷命题探究2023年高考数学全国卷在命制情境化试题过程中，通过对阅读题的分析，可以发现今年的高考命题在素材使用方面，对文字数量加以控制，阅读理解难度也有所降低；在抽象数学问题方面，力图设置合理的思维强度和抽象程度；在解决问题方面，通过设置合适的运算过程和运算量，力求使情境化试题达到试题要求层次与考生认知水平的契合与贴切。

一是创设现实生活情境。

数学试题情境取材于学生生活中的真实问题，贴近学生实际，具有现实意义，具备研究价值。

如第4题，取材于学校文艺活动，贴近考生，贴近生活，意在引导学生积极参加文艺活动，全面发展。

二是设置科学研究情境。

科学研究情境的设置不仅考查数学的必备知识和关键能力，而且引导考生树立理想信念，热爱科学，为我国社会主义事业的建设作出贡献。

导数最新文科高考数学真题

2012-2017导数专题1．（2014大纲理）曲线1xy xe-=在点（1,1）处切线的斜率等于（ C ）A．2e B．e C．2 D．12.(2014新标2理) 设曲线y=a x-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x，则a= （ D ）A. 0B. 1C. 2D. 33.(2013浙江文) 已知函数y＝f(x)的图象是下列四个图象之一，且其导函数y＝f′(x)的图象如右图所示，则该函数的图象是(B)4．（2012陕西文）设函数f（x）=2x+lnx 则（ D ）A．x=12为f(x)的极大值点 B．x=12为f(x)的极小值点C．x=2为 f(x)的极大值点 D．x=2为 f(x)的极小值点5.(2014新标2文) 函数()f x在0x x=处导数存在，若0:()0p f x=：0:q x x=是()f x的极值点，则A．p是q的充分必要条件 B. p是q的充分条件，但不是q的必要条件C.p是q的必要条件，但不是q的充分条件 D. p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件【答案】C6．（2012广东理）曲线在点处的切线方程为___________________.【答案】2x-y+1=07．（2013广东理）若曲线在点处的切线平行于轴，则【答案】-18．（2013广东文）若曲线在点处的切线平行于轴，则．【答案】129．(2014广东文)曲线53xy e=-+在点(0,2)-处的切线方程为 .【答案】5x+y+2=010．（2013江西文）若曲线y=xα+1（α∈R）在点（1，2）处的切线经过坐标原点，则α=。

【答案】211.(2012新标文) 曲线在点（1,1）处的切线方程为________12．（2014江西理）若曲线xy e-=上点P处的切线平行于直线210x y++=，则点P的坐标是________.【简解】设P(x,e-x)，()x e-'=-xe-=-2,解得x=-ln2，答案(-ln2,2)13．（2014江西文）若曲线Pxxy上点ln=处的切线平行于直线Pyx则点,012=+-的坐标是_______.33y x x=-+()1,3lny kx x=+(1,)k x k=2lny ax x=-(1,)a x a=(3ln1)y x x=+430x y--=【简解】设P(x,xlnx),()ln x x '=1+lnx=2,x=e ，答案(e,e)14．（2012辽宁文）函数y=x 2㏑x 的单调递减区间为（ B ）（A ）（1,1] （B ）（0,1] （C.）[1，+∞）（D ）（0，+∞） 15．(2014新标2文) 若函数()f x kx lnx=-在区间()1,+∞单调递增，则k 的取值范围是（ D ）（A ）(],2-∞- （B ）(],1-∞- （C ）[)2,+∞ （D ）[)1,+∞ 16. (2013新标1文) 函数()(1cos )sin f x x x =-在[,]ππ-的图象大致为（）【简解】y '=2sin (1cos )cos x x x +-=-2cos 2x-cosx+1=(1+cosx)(1-2cosx)>0,-π/3<x<π/3；y''=4cosxsinx+sinx ，在x=0处为拐点。

高考文科数学全国卷三真题试卷及答案(新课标)

绝密★启用前2021年普通高等学校招生全国统一考试〔新课标Ⅲ〕文科数学考前须知：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．答复选择题时，选出每题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

答复非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分。

在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的。

1．集合A={1,2,3,4}，B={2,4,6,8}，那么A⋂B中元素的个数为A．1 B．2 C．3 D．42．复平面内表示复数z=i(–2+i)的点位于A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游效劳质量，收集并整理了2021年1月至2021年12月期间月接待游客量〔单位：万人〕的数据，绘制了下面的折线图.根据该折线图，以下结论错误的选项是A．月接待游客逐月增加B．年接待游客量逐年增加C．各年的月接待游客量顶峰期大致在7,8月D．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比拟平稳4．4sin cos3αα-=，那么sin2α=A ．79-B ．29-C ．29D ．795．设x ，y 满足约束条件326000x y x y +-≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩，那么z =x -y 的取值范围是 A ．[–3,0]B ．[–3,2]C ．[0,2]D ．[0,3]6．函数f (x )=15sin(x +3π)+cos(x −6π)的最大值为A ．65B ．1C ．35D ．157．函数y =1+x +2sin xx的局部图像大致为A ．B ．C ．D ．8．执行下面的程序框图，为使输出S 的值小于91，那么输入的正整数N 的最小值为A ．5B ．4C ．3D ．29．圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，那么该圆柱的体积为 A ．πB ．3π4C ．π2D ．π410．在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱CD 的中点，那么A ．11A E DC ⊥B ．1A E BD ⊥C ．11A E BC ⊥D ．1AE AC ⊥11．椭圆C ：22221x y a b+=，〔a >b >0〕的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，那么C 的离心率为AB C D ．1312．函数211()2()x x f x x x a ee --+=-++有唯一零点，那么a =A ．12-B ．13C ．12D ．1二、填空题：此题共4小题，每题5分，共20分。

2020年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标Ⅲ)附答案

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此时最大距离为
.
故答案选 B
9.【答案】C
【解析】【分析】本题考查由三视图求几何体的表面积，考查空间想象能力，难度一般. 先由三视图还原几何体，即可求出表面积.
【解答】
解：由三视图可知该几何体是底面为腰长 2 的等腰直角三角形，一侧棱长为 2 且垂直底面的三棱锥，如下图
（ 2）由（1）可得数列
的通项公式，从而判断出该数列为等差数列，利用等差
数列的求和公式列出关于的方程，求得的值即可.
18.【答案】解：（1）空气质量等级为 1 的概率为
;
空气质量等级为 2 的概率为
;
空气质量等级为 3 的概率为
;
空气质量等级为 4 的概率为
;
(2) 一天中该公园锻炼的平均人次的估计值为
，所以平面
，
又平面
,所以
.
(2) 取靠近的三等分点 ,连结
,
因为在上，且
，所以
，且
，
所以四边形
为平行四边形，所以
.
又在上，且
,所以
,且
，
从而
,
,所以四边形
为平行四边形，
所以
,所以
,故
四点共面，点在平面内.
【解析】本题考查了线面垂直的判定及性质，四点共面判定等知识，属中档题.
(1)通过
解：由
，得
，ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
所以 z＝i，故选 D.
3.【答案】C
【解析】【分析】本题主要考查方差的运算，是基础题. 【解答】
解：设
的平均数为，方差
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所以

2023年全国统一高考数学试卷(文科)(甲卷)

2023年全国统一高考数学试卷（文科）（甲卷）A．{2，3，5}B．{1，3，4}C．{1，2，4，5}D．{2，3，4，5}A．-1B．1C．1-iD．1+iA．B．（2023•甲卷）设全集U={1，2，3，4，5}，集合M={1，4}，N={2，5}，则N∪∁U M=（）答案：A解析：由已知结合集合补集及并集运算即可求解．解答：解：因为U={1，2，3，4，5}，集合M={1，4}，N={2，5}，所以∁U M={2，3，5}，则N∪∁U M={2，3，5}．故选：A．（2023•甲卷）=（）5（1+）i 3（2+i ）（2-i ）答案：C解析：直接利用复数的运算法则化简求解即可．解答：解：==1-i.故选：C．5（1+）i 3（2+i ）（2-i ）5（1-i ）5（2023•甲卷）已知向量a =（3，1），b =（2，2），则cos 〈a +b ，a -b 〉=（）→→→→→→117√171755答案：B解析：根据题意，求出a +b 和a -b 的坐标，进而求出|a +b |、|a -b |和（a +b ）•（a -b ）的值，进而由数量积的计算公式计算可得答案．→→→→→→→→→→→→A．B．C．D．A．25B．22C．20D．15解答：解：根据题意，向量a =（3，1），b =（2，2），则a +b =（5，3），a -b =（1，-1），则有|a +b |==，|a -b |==，（a +b ）•（a -b ）=2，故cos 〈a +b ，a -b 〉==故选：B．→→→→→→→→√25+9√34→→√1+1√2→→→→→→→→（a +b ）•（a -b ）→→→→|a +b ||a -b |→→→→（2023•甲卷）某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名．从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为（）16131223答案：D解析：从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，基本事件总数n==6，这2名学生来自不同年级包含的基本事件个数m==4，由此能求出这2名学生来自不同年级的概率．C 42C 21C 21解答：解：某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名，从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，基本事件总数n==6，这2名学生来自不同年级包含的基本事件个数m==4，则这2名学生来自不同年级的概率为P===．故选：D．C 42C 21C 21m n 4623（2023•甲卷）记S n 为等差数列{a n }的前n项和．若a 2+a 6=10，a 4a 8=45，则S 5=（）答案：C解析：由已知结合等差数列的性质及通项公式先求出a 1，d,然后结合等差数列的求和公式可求．A．21B．34C．55D．89解答：解：等差数列{a n }中，a 2+a 6=2a 4=10，所以a 4=5，a 4a 8=5a 8=45，故a 8=9，则d==1，a 1=a 4-3d=5-3=2，则S 5=5a 1+d =10+10=20．故选：C．-a 8a 48-45×42（2023•甲卷）执行下边的程序框图，则输出的B=（）答案：B解析：模拟执行程序框图，即可得出程序运行后输出B的值．解答：解：模拟执行程序框图，如下：n=3，A=1，B=2，k=1，k≤3，A=1+2=3，B=3+2=5，k=2，k≤3，A=3+5=8，B=8+5=13，k=3，k≤3，A=8+13=21，B=21+13=34，k=4，k＞3，输出B=34．故选：B．A．1B．2C．4D．5A．y=xB．y=xD．y=x+（2023•甲卷）设F 1，F 2为椭圆C：+y 2=1的两个焦点，点P在C上，若P •P =0，则|PF 1|•|PF 2|=（）x 25→F 1→F 2答案：B解析：根据题意，分析可得∠F 1PF 2=，由椭圆的标准方程和定义可得|PF 1|+|PF 2|=2a,|PF 1|2+|PF 2|2=（2c）2，将两式联立可得|PF 1|•|PF 2|的值即可．π2解答：解：根据题意，点P在椭圆上，满足P •P =0，可得∠F 1PF 2=，又由椭圆C：+y 2=1，其中c 2=5-1=4，则有|PF 1|+|PF 2|=2a=2，|PF 1|2+|PF 2|2=（2c）2=16，可得|PF 1|•|PF 2|=2，故选：B．→F 1→F 2π2x 25√5（2023•甲卷）曲线y=在点（1，）处的切线方程为（）e xx +1e 2e 4e 2e 23e4答案：C解析：先对函数求导，然后结合导数的几何意义求出切线斜率，进而可求切线方程．解答：解：因为y=，y′==，故函数在点（1，）处的切线斜率k=，切线方程为y-=（x-1），即y=x +．故选：C．e xx +1（x +1）-（x +1）′e x e x（x +1）2xe x（x +1）2e 2e 4e 2e 4e 4e 4D．A．1B．C．2D．3（2023•甲卷）已知双曲线C：-=1（a＞0，b＞0）的离心率为，C的一条渐近线与圆（x-2）2+（y-3）2=1交于A，B两点，则|AB|=（）x 2a 2y 2b 2√55554√55答案：D解析：利用双曲线的离心率，求解渐近线方程，然后求解圆的圆心到直线的距离，转化求解|AB|即可．解答：解：双曲线C：-=1（a＞0，b＞0）的离心率为，可得c=a,所以b=2a,所以双曲线的渐近线方程为：y=±2x,一条渐近线与圆（x-2）2+（y-3）2=1交于A，B两点，圆的圆心（2，3），半径为1，所以|AB|=2故选：D．x 2a 2y 2b 2√5√55（2023•甲卷）在三棱锥P-ABC中，△ABC是边长为2的等边三角形，PA=PB=2，PC=，则该棱锥的体积为（）√6√3答案：A解析：取AB的中点D，连接PD、CD，可得AB⊥平面PCD，再求出△PCD面积，然后利用棱锥体积公式求解．A．b＞c＞aB．b＞a＞c C．c＞b＞a D．c＞a＞b解答：解：如图，PA=PB=2，AB=BC=2，取AB的中点D，连接PD，CD，可得AB⊥PD，AB⊥CD，又PD∩CD=D，PD、CD ⊂平面PCD，∴AB⊥平面PCD，在△PAB与△ABC中，求得PD=CD==，在△PCD中，由PD=CD=，PC=，得PD 2+CD 2=PC 2，则PD⊥CD，∴=×PD ×CD =××=，∴=×AB=××2=1．故选：A．√-2212√3√3√6S △PCD 1212√3√332V P -ABC 13S △PCD 1332（2023•甲卷）已知函数f（x）=．记a=f（），b=f（），c=f（），则（）e -（x -1）2√22√32√62答案：A解析：令g（x）=-（x-1）2，先利用作差比较法及一元二次函数的性质，可得g g g ，再根据y=e x 的单调性，即可求解．222解答：解：令g（x）=-（x-1）2，则g（x）的开口向下，对称轴为x=1，∵-1-（1-）=-，而（+-=9+6-16=6-7＞0，1-（1=＞0，1＞1√62√32+√6√3242√6√3）242√2√2+-4√6√322222A．1B．2C．3D．41-（1=，而（+-=4-8＜0，1＜1gg，综合可得g （）＜g （）＜g （），又y=e x 为增函数，∴a＜c＜b,即b＞c＞a.故选：A．22+-4√6√22√6√2）242√32222√22√62√32（2023•甲卷）函数y=f（x）的图象由y=cos（2x+）的图象向左平移个单位长度得到，则y=f（x）的图象与直线y=x-的交点个数为（）π6π61212答案：C解析：利用三角函数的图象变换，求解函数的解析式，然后判断两个函数的图象交点个数即可．解答：解：y=cos （2x+）的图象向左平移个单位长度得到f （x）=cos（2x+）=-sin2x,在同一个坐标系中画出两个函数的图象，如图：y=f（x）的图象与直线y=x-的交点个数为：3．故选：C．π6π6π21212（2023•甲卷）记S n 为等比数列{a n }的前n项和．若8S 6=7S 3，则{a n 答案：见试题解答内容解析：由已知结合等比数列的求和公式即可直接求解．解答：解：等比数列{a n }中，8S 6=7S 3，则q≠1，所以8×=7×，解得q=-．故答案为：-．（1-）a 1q 61-q（1-）a 1q 31-q1212（2023•甲卷）若f（x）=（x-1）2+ax+sin（x+）为偶函数，则a=2．π2答案：2．解析：根据题意，先化简函数的解析式，结合偶函数的定义可得关于a的方程，解可得答案．解答：解：根据题意，设f（x）=（x-1）2+ax+sin（x+）=x 2-2x+ax+1+cosx,若f（x）为偶函数，则f（-x）=x 2+2x-ax+1+cosx=x 2-2x+ax+1+cosx=f（x），变形可得（a-2）x=0在R上恒成立，必有a=2．故答案为：2．π2（2023•甲卷）若x,y满足约束条件，则z=3x+2y的最大值为 15．{3x -2y ≤3，-2x +3y ≤3x +y ≥1，答案：15．解析：作出不等式组对应的平面区域，结合z的几何意义，利用数形结合即可得到结论．解答：解：作出不等式组表示的平面区域，如图所示：由z=3x+2y得y=-x+，{3x -2y ≤3，-2x +3y ≤3x +y ≥1，32z 2则表示直线在y轴截距，截距越大，z越大，结合图形可知，当直线y=-x+经过点A时，z最大，联立可得A（3，3），此时z取得最大值15．z 232z 2{3x -2y =3-2x +3y =3（2023•甲卷）在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AB=4，O为AC 1的中点，若该正方体的棱与球O的球面有公共点，则球O的半径的取值范围是 [2，2]．√2√3答案：[2，2]．√2√3解析：当球是正方体的外接球时半径最大，当边长为4的正方形是球的大圆的内接正方形时半径达到最小．解答：解：设球的半径为R，当球是正方体的外接球时，恰好经过正方体的每个顶点，所求的球的半径最大，若半径变得更大，球会包含正方体，导致球面和棱没有交点，正方体的外接球直径2R′为体对角线长AC 1==4，即2R′=4，R′=2，故R max =2，分别取侧枝AA1，BB 1，CC 1，DD 1的中点M，H，G，N，则四边形MNGH是边长为4的正方形，且O为正方形MNGH的对角线交点，连接MG，则MG=4，当球的一个大圆恰好是四边形MNGH的外接圆，球的半径最小，即R的最小值为2，综上，球O的半径的取值范围是[2，2]．故答案为：[2，2]．√++424242√3√3√3√3√2√2√2√3√2√3（2023•甲卷）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c,已知=2．（1）求bc；（2）若-=1，求△ABC面积．+-b 2c 2a 2cosAacosB -bcosA acosB +bcosAb c 答案：见试题解答内容解析：（1）由已知结合余弦定理进行化简即可求解bc；（2）先利用正弦定理及和差角公式进行化简可求cosA，进而可求A，然后结合三角形面积公式可求．解答：解：（1）因为==2bc=2，所以bc=1；（2）-=-=1，所以-==1，所以sin（A-B）-sinB=sinC=sin（A+B），所以sinAcosB-sinBcosA-sinB=sinAcosB+sinBcosA，即cosA=-，由A为三角形内角得A=，△ABC面积S=bcsinA=×1+-b 2c 2a 2cosA2bccosA cosA acosB -bcosA acosB +bcosAb c sinAcosB -sinBcosA sinAcosB +sinBcosA sinB sinC sin （A -B ）sin （A +B ）sinB sinCsin （A -B ）-sinB sinC 122π3121224（2023•甲卷）如图，在三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，A 1C⊥平面ABC，∠ACB=90°．（1）证明：平面ACC 1A 1⊥平面BB 1C 1C；（2）设AB=A 1B，AA 1=2，求四棱锥A 1-BB 1C 1C的高．答案：（1）证明见解答；（2）四棱锥A 1-BB 1C 1C的高为1．解析：（1）根据线面垂直，面面垂直的判定与性质定理可得平面ACC 1A 1⊥平面BB 1C 1C；（2）利用已知可得A1C=AC，进而可得A1C=AC=，过A1作A1O⊥C1C于O，可得A 1O为四棱锥A1-BB1C1C的高，求解即可．√2解答：解：（1）∵A1C⊥底面ABC，BC⊂面ABC，∴A1C⊥BC，又BC⊥AC，A1C，AC⊂平面ACC1A1，A1C∩AC=C，∴BC⊥平面ACC1，又BC⊂平面BCC1B1，∴平面ACC1A1⊥平面 BCC1B1；（2）∵BC⊥平面ACC1，AC，A1C⊂平面ACC1，∴BC⊥AC，BC⊥A1C，∵AB=A1B，BC=BC，∴Rt△ABC≌Rt△A1BC，∴A1C=AC，∵A1C⊥底面ABC，AC⊂面ABC，∴A1C⊥AC，∴A1C2+AC2=A1A2，∵AA1=2，∴A1C=AC=，∴A1C1=，过A1作A1O⊥C1C于O，∵A1C=A1C1，∴O为CC1的中点，∴A1O=C1C=A1A=1，由（1）可知A1O⊥平面 BCC1B1，∴四棱锥A1-BB1C1C的高为1．√2√21 21 2（2023•甲卷）一项试验旨在研究臭氧效应，试验方案如下：选40只小白鼠，随机地将其中20只分配到试验组，另外20只分配到对照组，试验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境，对照组的小白鼠饲养在正常环境，一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量（单位：g）．试验结果如下：对照组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为15.218.820.221.322.523.225.826.527.530.132.634.334.835.635.635.836.237.340.543.2试验组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为7.89.211.412.413.215.516.518.018.819.219.820.221.622.823.623.925.128.232.336.5（1）计算试验组的样本平均数；（2）（ⅰ）求40只小白鼠体重的增加量的中位数m,再分别统计两样本中小于m与不小于m的数据的个数，完成如下列联表；＜m≥m对照组试验组（ⅱ）根据（i）中的列联表，能否有95%的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量有差异？附：K 2=，P（K 2≥k）0.1000.0500.010k 2.706 3.841 6.635n （ad -bc ）2（a +b ）（c +d ）（a +c ）（b +d ）答案：（1）19.8．（2）（i）中位数是23.4；列联表是＜m ≥m 合计对照组61420试验组14620合计202040（ii）有95%的把握认为有差异．解析：（1）根据平均数的定义计算即可．（2）（i）把两组数据合在一起，按从小到大排列后求中位数m,填写列联表即可；（ii）根据列联表中数据计算K 2，对照临界值得出结论．解答：解：（1）根据题意，计算试验组样本平均数为x =×（7.8+9.2+11.4+12.4+13.2+15.5+16.5+18.0+18.8+19.2+19.8+20.2+21.6+22.8+23.6+23.9+25.1=19.8．（2）（i）由题意知，这40只小鼠体重的中位数是将两组数据合在一起，从小到大排列后第20位与第21位数据的平均数，因为原数据的第11位数据是18.8，后续依次为19.2，19.8，20.2，20.2，21.3，21.6，22.5，22.8，23.2，23.6，…，所以第20位为23.2，第21位数据为23.6，所以这组数据的中位数是m=×（23.2+23.6）=23.4；填写列联表如下：＜m ≥m 合计对照组61420试验组1462012012合计202040（ii）根据列联表中数据，计算K 2==6.4＞3.841，所以有95%的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量有差异．40×（6×6-14×14）220×20×20×20（2023•甲卷）已知函数f（x）=ax-，x∈（0，）．（1）当a=1时，讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）+sinx＜0，求a的取值范围．sinx co xs 2π2答案：（1）f（x）在（0，）上单调递减；（2）（-∞，0]．π2解析：（1）先求导函数，再判断导函数的符号，即可求解；（2）设g（x）=f（x）+sinx=ax -+sinx ，x∈（0，），利用其二阶导函数的符号可得一阶导函数在（0，）上单调递减，再根据g（x）=f（x）+sinx＜0及g （0），可得g′（0）=a-1+1≤0，再分类讨论验证，即可求解．sinx co xs 2π2π2解答：解：（1）当a=1时，f（x）=x -，x ∈（0，），∴f′（x）=1-=1-=，令t=cosx,∵x ∈（0，），∴t∈（0，1），∴cos 3x+cos 2x-2=t 3+t 2-2=（t-1）（t 2+2t+2）=（t-1）[（t+1）2+1]＜0，又cos 3x=t 3＞0，∴f′（x）==＜0，∴f（x）在（0，）上单调递减；（2）设g（x）=f（x）+sinx=ax -+sinx ，x∈（0，），则g ′（x ）=a -+cosx ，x∈（0，），g ″（x ）=--sinx ＜0，∴g′（x）在（0，）上单调递减，若g（x）=f（x）+sinx＜0，又g（0）=0，则g′（0）=a-1+1≤0，∴a≤0，sinx co xs 2π2cosxco x -2cosx （-sinx ）sinxs 2co xs 4co x +2si x s 2n 2co x s 3co x +co x -2s 3s 2co xs 3π2co x +co x -2s 3s 2co xs 3（t -1）（+2t +2）t 2t 3π2sinx co xs 2π21+si x n 2co xs 3π22sinxco x +3（1+si x ）co xsinx s 4n 2s 2co xs 6π2当a=0时，∵sinx -=sinx （1-），又x∈（0，），∴0＜sinx＜1，0＜cosx＜1，∴＞1，∴f （x ）+sinx =sinx -＜0，满足题意；当a＜0时，∵x∈（0，），∴ax＜0，∴f（x）+sinx=ax -+sinx ＜sinx -＜0，满足题意；综合可得：若f（x）+sinx＜0，则a≤0，所以a的取值范围为（-∞，0]．sinx co x s 21co xs 2π21co xs 2sinx co xs 2π2sinx co x s 2sinx co x s 2（2023•甲卷）已知直线x-2y+1=0与抛物线C：y 2=2px（p＞0）交于A，B两点，|AB|=4．（1）求p；（2）设F为C的焦点，M，N为C上两点，且FM •FN =0，求△MFN面积的最小值．√15→→答案：（1）p=2；（2）12-8．√2解析：（1）利用直线与抛物线的位置关系，联立直线和抛物线方程求出弦长即可得出P；（2）设直线 MN：x=my+n,M（x 1，y 1），N（x 2，y 2），利用MF •NF =0，找到m,n 的关系，以及△MNF的面积表达式，再结合函数的性质即可求出其最小值．→→解答：解：设A（x 1，y 1），B（x 2，y 2），联立，消去x得：y 2-4py+2p=0，∴y 1+y 2=4p,y 1y 2=2p,Δ=16p 2-8p＞0，∴p（2p-1）＞0，∴p＞，|AB|=|y 1-y 2|==4，∴16p 2-8p=48，∴2p 2-p-6=0，∴（2p+3）（p-2）=0，∴p=2，（2）由（1）知y 2=4x,所以F（1，0），显然直线MN的斜率不可能为零，设直线MN：x=my+n,M（x 1，y 1），N（x 2，y 2）由，可得y 2-4my-4n=0，所以y 1+y 2=4m,y 1y 2=-4n,Δ=16m 2+16n＞0→m 2+n＞0，因为MF •NF =0，所以（x 1-1）（x 2-1）+y 1y 2=0，即（my 1+n-1）（my 2+n-1）+y 1y 2=0，即 {x -2y +1=0=2px （p ＞0）y 212√1+4√5√（+-4y 1y 2）2y 1y 2√15{=4x x =my +ny 2→→（+1）+m （n -1）（+）+（n -1=0，将y 1+y 2=4m,y 1y 2=-4n,代入得4m 2=n 2-6n+1，∴4（m 2+n）=（n-1）2＞0，所以n≠1，且n 2-6n+1≥0，解得n≥3+2或n≤3-2．|MN|=|y 1-y 2|====2|n-1|，所以△MNF的面积S=|MN|×d=×|n-1|，又n ≥3+2或n ≤3-2，所以当n=3-2时，△MNF的面积S min =（2-2）2=12-8．m 2y 1y 2y 1y 2）2√2√2√1+m 2√1+m 2√（+-4y 1y 2）2y 1y 2√1+m 2√16+16n m 2√1+m 2√4（-6n +1）+16n n 2√1+m 21212√1+m 2√2√2√2√2√2（2023•甲卷）已知点P（2，1），直线l：（t为参数），α为l的倾斜角，l与x轴正半轴、y轴正半轴分别交于A，B，且|PA|•|PB|=4．（1）求α；（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求l的极坐标方程．{x =2+tcosα，y =1+tsinα答案：（1）α=；（2）ρ=．3π43sinθ+cosθ解析：（1）先把参数方程化为普通方程，然后求出A，B的坐标，进而可求|PA||PB|，结合已知可求tanα，进而可求α；（2）结合（1）先求出直线l的直角坐标方程，然后结合直角坐标与极坐标的相互转化公式即可求解．解答：解：（1）直线l：（t为参数）化为普通方程为y=tanα（x-2）+1，令x=0，得y=1-2tanα，令y=0，得x=2-，所以|PA|=，所以|PA||PB|=整理得tan 2α=1，因为l与x轴正半轴、y轴正半轴分别交于A，B，所以tanα＜0，{x =2+tcosα，y =1+tsinα1tanα√4+4ta αn 2所以tanα=-1，故α=；（2）由（1）得y=-（x-2）+1，即x+y-3=0，因为x=ρcosθ，y=ρsinθ，所以极坐标方程为ρcosθ+ρsinθ-3=0，即ρ=．3π43sinθ+cosθ（2023•甲卷）设a＞0，函数f（x）=2|x-a|-a.（1）求不等式f（x）＜x的解集；（2）若曲线y=f（x）与x轴所围成的图形的面积为2，求a.答案：（1）（，3a）．（2）a=2．a 3解析：（1）根据绝对值的意义表示成分段函数，解不等式即可．（2）作出f（x）的图象，求出交点坐标，利用三角形的面积公式进行求解即可．解答：解：（1）∵a＞0，∴当x≥a时，f（x）=2（x-a）-a=2x-3a,当x＜a时，f（x）=-2（x-a）-a=-2x+a,则当x≥a时，由f（x）＜x得2x-3a＜x,x＜3a,此时a≤x＜3a,当x＜a时，由f（x）＜x得-2x+a＜x,x＞，此时＜x ＜a,综上＜x＜3a,即不等式的解集为（，3a）．（2）作出f（x）的图象如图：则A（，0），B（，0），C（a,-a），则|AB|=-=a,则△ABC的高h=a,则S △ABC =•a•a=2，得a 2=4，即a=2．a 3a 3a 3a 3a 23a 23a 2a 212。

2023年高考文科数学全国乙卷解析版

2023年高考文科数学全国乙卷解析版2023年高考文科数学全国乙卷【解析版】小编整理了2023年高考文科数学全国乙卷解析版，数学是一门研究数量、结构、变化、空间以及信息等概念的学科。

数学其英语源自于古希腊语，有学习，学问和科学的意思。

下面是小编为大家整理的2023年高考文科数学全国乙卷解析版，希望能帮助到大家!2023年高考文科数学全国乙卷解析版高考数学必考知识点总结1.导数的意义：曲线在该点处的切线的斜率(几何意义)、瞬时速度、边际成本(成本为因变量、产量为自变量的函数的导数，C为常数)2.多项式函数的导数与函数的单调性在一个区间上(个别点取等号)在此区间上为增函数.在一个区间上(个别点取等号)在此区间上为减函数.3.导数与极值、导数与最值：(1)函数处有且“左正右负”在处取极大值;函数在处有且左负右正”在处取极小值.注意：①在处有是函数在处取极值的必要非充分条件.②求函数极值的方法：先找定义域，再求导，找出定义域的分界点，列表求出极值.特别是给出函数极大(小)值的条件，一定要既考虑，又要考虑验“左正右负”(“左负右正”)的转化，否则条件没有用完，这一点一定要切记.③单调性与最值(极值)的研究要注意列表!(2)函数在一闭区间上的最大值是此函数在此区间上的极大值与其端点值中的“最大值”函数在一闭区间上的最小值是此函数在此区间上的极小值与其端点值中的“最小值”;注意：利用导数求最值的步骤：先找定义域再求出导数为0及导数不存在的的点，然后比较定义域的端点值和导数为0的点对应函数值的大小，其中最大的就是最大值，最小就为最小。

高考数学解题思想高考数学解题思想一：函数与方程思想函数思想是指运用运动变化的观点，分析和研究数学中的`数量关系，通过建立函数关系(或构造函数)运用函数的图像和性质去分析问题、转化问题和解决问题;方程思想，是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题转化为方程(方程组)或不等式模型(方程、不等式等)去解决问题。