运筹学习题解答
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附录1 习题解答
第一章 线性规划
一、以下集合中,哪些是凸集,哪些不是凸集?
(1) {(x 1,x 2)| x 1+x 2≤1} 是凸集 (2) {(x 1,x 2,x 3)| x 1+x 2≤1,x 1-x 3≤2} 是凸集 (3) {(x 1,x 2)| x 1-x 2=0} 是凸集 (4) {(x 1,x 2,x 3)| x 1≥x 2,x 1+x 2+x 3≤6} 是凸集 (5) {(x 1,x 2)| x 1=1,|x 2|≤4} 是凸集 (6) {(x 1,x 2,x 3)| x 3=|x 2|, x 1≤4} 不是凸集
二、求出以下不等式组所定义的多面体的所有极点。
(1)
x 1 +x 2 +x 3
≤5 -x 1 +x 2 +2x 3
≤6 x 1, x 2, x 3
≥0 解:引进松弛变量x 4,x 5≥0
x 1 +x 2 +x 3 +x 4 =5 -x 1 +x 2 +2x 3 +x 5 =6 x 1,
x 2,
x 3
x 4, x 5
≥0
令 []⎥⎦⎤⎢
⎣⎡-==10
2
1
1
01111
54
3
2
1
a a a a a A ,⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=65b 在A 矩阵中,一共有10个行列式不等于0的方阵,即10个基。
[]⎥⎦⎤⎢
⎣⎡-==1111211a a B , ⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢
⎣⎡-
=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡=-21121
2
1
2
1
2
121
211
1
65x x b B []⎥⎦⎤⎢
⎣⎡-==2111312a a B , ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢
⎣⎡-=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡=-31134
313
1
3132
311
2
65x x b B []⎥⎦⎤⎢
⎣⎡-==0111413a a B , ⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢
⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-116651110x x 411
3b B []⎥⎦
⎤⎢
⎣⎡-==11
0151
4a a B , ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-115651101x x 511
4b B
[]⎥⎦⎤
⎢
⎣⎡==2111325a a B , ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢
⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-14651112x x 321
5b B []⎥⎦⎤⎢
⎣⎡==0111426a a B , ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢
⎣⎡-=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=-15651110x x 421
6
b B []⎥⎦⎤
⎢
⎣⎡==1101527a a B , ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢
⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-15651101x x 521
7b B []⎥⎦⎤⎢
⎣⎡==0211438a a B , ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢
⎣⎡-=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡=-23651
0x x 212
1
431
8
b B []⎥⎦⎤⎢
⎣⎡==1201539a a B , ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢
⎣⎡-=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=-45651201x x 531
9b B []⎥⎦
⎤⎢
⎣⎡==10
0154
10a a B , ⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢
⎣⎡=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=-65651001
x x 54110b B 相应的基础解是
X 1= (x 1,x 2,x 3,x 4,x 5)=(-1/2,11/2,0,0,0) X 2= (x 1,x 2,x 3,x 4,x 5)=(4/3,0,11/3,0,0) X 3= (x 1,x 2,x 3,x 4,x 5)=(-6,0,0,11,0) X 4= (x 1,x 2,x 3,x 4,x 5)=(5,0,0,0,11) X 5= (x 1,x 2,x 3,x 4,x 5)=(0,4,1,0,0) X 6= (x 1,x 2,x 3,x 4,x 5)=(0,5,0,-1,0) X 7= (x 1,x 2,x 3,x 4,x 5)=(0,5,0,0,1) X 8= (x 1,x 2,x 3,x 4,x 5)=(0,0,3,2,0) X 9= (x 1,x 2,x 3,x 4,x 5)=(0,0,5,0,-4) X 10=(x 1,x 2,x 3,x 4,x 5)=(0,0,0,5,6)
其中B 2、B 4、B 5、B 7、B 8、B 10是可行基,相应的基础可行解为: X 2= (x 1,x 2,x 3,x 4,x 5)=(4/3,0,11/3,0,0) X 4= (x 1,x 2,x 3,x 4,x 5)=(5,0,0,0,11) X 5= (x 1,x 2,x 3,x 4,x 5)=(0,4,1,0,0) X 7= (x 1,x 2,x 3,x 4,x 5)=(0,5,0,0,1) X 8= (x 1,x 2,x 3,x 4,x 5)=(0,0,3,2,0) X 10=(x 1,x 2,x 3,x 4,x 5)=(0,0,0,5,6) 原问题的极点是:
X 2= (x 1,x 2,x 3)=(4/3,0,11/3) X 4= (x 1,x 2,x 3)=(5,0,0) X 5= (x 1,x 2,x 3)=(0,4,1) X 7= (x 1,x 2,x 3)=(0,5,0)