运筹学习题解答
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附录1 习题解答
第一章 线性规划
一、以下集合中，哪些是凸集，哪些不是凸集？
（1） {(x 1,x 2)| x 1+x 2≤1} 是凸集 （2） {(x 1,x 2,x 3)| x 1+x 2≤1,x 1-x 3≤2} 是凸集 （3） {(x 1,x 2)| x 1-x 2=0} 是凸集 （4） {(x 1,x 2,x 3)| x 1≥x 2,x 1+x 2+x 3≤6} 是凸集 （5） {(x 1,x 2)| x 1=1,|x 2|≤4} 是凸集 （6） {(x 1,x 2,x 3)| x 3=|x 2|, x 1≤4} 不是凸集
二、求出以下不等式组所定义的多面体的所有极点。
（1）
x 1 +x 2 +x 3
≤5 -x 1 +x 2 +2x 3
≤6 x 1, x 2, x 3
≥0 解：引进松弛变量x 4，x 5≥0
x 1 +x 2 +x 3 +x 4 =5 -x 1 +x 2 +2x 3 +x 5 =6 x 1,
x 2,
x 3
x 4, x 5
≥0
令 []⎥⎦⎤⎢
⎣⎡-==10
2
1
1
01111
54
3
2
1
a a a a a A ，⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=65b 在A 矩阵中，一共有10个行列式不等于0的方阵，即10个基。
[]⎥⎦⎤⎢
⎣⎡-==1111211a a B ， ⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢
⎣⎡-
=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡=-21121
2
1
2
1
2
121
211
1
65x x b B []⎥⎦⎤⎢
⎣⎡-==2111312a a B ， ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢
⎣⎡-=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡=-31134
313
1
3132
311
2
65x x b B []⎥⎦⎤⎢
⎣⎡-==0111413a a B ， ⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢
⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-116651110x x 411
3b B []⎥⎦
⎤⎢
⎣⎡-==11
0151
4a a B ， ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-115651101x x 511
4b B
[]⎥⎦⎤
⎢
⎣⎡==2111325a a B ， ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢
⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-14651112x x 321
5b B []⎥⎦⎤⎢
⎣⎡==0111426a a B ， ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢
⎣⎡-=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=-15651110x x 421
6
b B []⎥⎦⎤
⎢
⎣⎡==1101527a a B ， ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢
⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-15651101x x 521
7b B []⎥⎦⎤⎢
⎣⎡==0211438a a B ， ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢
⎣⎡-=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡=-23651
0x x 212
1
431
8
b B []⎥⎦⎤⎢
⎣⎡==1201539a a B ， ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢
⎣⎡-=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=-45651201x x 531
9b B []⎥⎦
⎤⎢
⎣⎡==10
0154
10a a B ， ⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢
⎣⎡=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=-65651001
x x 54110b B 相应的基础解是
X 1= （x 1，x 2，x 3，x 4，x 5）=（-1/2，11/2，0，0，0） X 2= （x 1，x 2，x 3，x 4，x 5）=（4/3，0，11/3，0，0） X 3= （x 1，x 2，x 3，x 4，x 5）=（-6，0，0，11，0） X 4= （x 1，x 2，x 3，x 4，x 5）=（5，0，0，0，11） X 5= （x 1，x 2，x 3，x 4，x 5）=（0，4，1，0，0） X 6= （x 1，x 2，x 3，x 4，x 5）=（0，5，0，-1，0） X 7= （x 1，x 2，x 3，x 4，x 5）=（0，5，0，0，1） X 8= （x 1，x 2，x 3，x 4，x 5）=（0，0，3，2，0） X 9= （x 1，x 2，x 3，x 4，x 5）=（0，0，5，0，-4） X 10=（x 1，x 2，x 3，x 4，x 5）=（0，0，0，5，6）
其中B 2、B 4、B 5、B 7、B 8、B 10是可行基，相应的基础可行解为： X 2= （x 1，x 2，x 3，x 4，x 5）=（4/3，0，11/3，0，0） X 4= （x 1，x 2，x 3，x 4，x 5）=（5，0，0，0，11） X 5= （x 1，x 2，x 3，x 4，x 5）=（0，4，1，0，0） X 7= （x 1，x 2，x 3，x 4，x 5）=（0，5，0，0，1） X 8= （x 1，x 2，x 3，x 4，x 5）=（0，0，3，2，0） X 10=（x 1，x 2，x 3，x 4，x 5）=（0，0，0，5，6） 原问题的极点是：
X 2= （x 1，x 2，x 3）=（4/3，0，11/3） X 4= （x 1，x 2，x 3）=（5，0，0） X 5= （x 1，x 2，x 3）=（0，4，1） X 7= （x 1，x 2，x 3）=（0，5，0）