高中数学干货资料-圆锥曲线中的最值和范围问题
高考题型：圆锥曲线 难点3：圆锥曲线中的范围最值问题 - 解析
圆锥曲线难点03：范围最值问题一方法综述圆锥曲线中最值与范围问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一是利用几何法，即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是利用代数法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，再求这个函数的最值．在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下几个方面考虑：①利用判别式来构造不等关系，从而确定取值范围；②利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出取值范围；③利用基本不等式求出取值范围；④利用函数的值域的求法，确定取值范围．二方法体会方法一通过建立目标问题的表达式，结合参数或几何性质求范围【例1】抛物线上一点到抛物线准线的距离为，点关于轴的对称点为，为坐标原点，的内切圆与切于点，点为内切圆上任意一点，则的取值范围为__________．【解析】因为点在抛物线上，所以，点A到准线的距离为，解得或．当时，，故舍去，所以抛物线方程为∴，所以是正三角形，边长为，其内切圆方程为，如图所示，∴．设点（为参数），则，∴．【点评】本题主要考查抛物线性质的运用，参数方程的运用，三角函数的两角和公式合一变形求最值，属于难题，对于这类题目，首先利用已知条件得到抛物线的方程，进而可得到为等边三角形和内切圆的方程，进而得到点的坐标，可利用内切圆的方程设出点含参数的坐标，进而得到，从而得到其取值范围，因此正确求出内切圆的方程是解题的关键．【变式】已知椭圆是椭圆上的两点，线段的垂直平分线与轴相交于点，则的取值范围是__________．（用表示）即答案为.方法二 利用根的判别式或韦达定理建立不等关系求范围【例2】在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线2:4C x y =，点P 是C 的准线 l 上的动点，过点P 作C 的两条切线，切点分别为,A B ，则AOB ∆面积的最小值为（ ） A ．2 B ． 2 C ． 22 D ． 4【点评】解决本题的难点在于利用导数的几何意义确定两个切点,A B 的横坐标间的关系，便于确定直线AB 在y 轴上的解截距．【变式】已知直线1y x =-+与椭圆()222210x y a b a b+=>>相交于,A B 两点，且OA OB ⊥（O 为坐标原点），若椭圆的离心率13,22e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则a 的最大值为___________．方法三 利用基本不等式求范围【例3】如图，已知抛物线24y x =的焦点为F ，直线l 过F 且依次交抛物线及圆()22114x y -+=于点,,,A B C D 四点，则4AB CD +的最小值为（ ）A ．172 B ． 152 C ． 132 D ． 112【解析】由题意得()1,0F ，即为圆的圆心，准线方程为1x =-．由抛物线的定义得1A AF x =+，又12AF AB =+，所以12A AB x =+． 同理12D CD x =+．①当直线l 与x 轴垂直时，则有1A D x x ==，∴331544222AB CD +=+⨯=． ②当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 方程为()1y k x =-，由()21{ 4y k x y x=-=消去y 整理得()2222240k x k x k -++=，∴22241,A D A D k x x x x k +⋅=+=， ∴55134424222A D A D AB CD x x x x +=++≥+=，当且仅当4A D x x =时等号成立． 综上可得1342AB CD +≥．选C ． 【点评】（1）与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关．利用定义可将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，可以使运算化繁为简．“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径．（2）圆锥曲线中的最值问题，可利用基本不等式求解，但要注意不等式成立的条件．【变式】已知F 为抛物线2y x =的焦点，点,A B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，而且·6OAOB =（O 为坐标原点），若ABO ∆与AFO ∆的面积分别为1S 和2S ，则124S S +最小值是（ ）A ．732 B ． 6 C ． 132D ． 43 设点A 在x 轴的上方，则10y >，∵1,04F ⎛⎫⎪⎝⎭∴()1212111111111331943426224222S S y y y y y y y y ⎛⎫+=⨯⨯-+⨯⨯=++=+≥ ⎪⎝⎭ 当且仅当11922y y =，即132y =时取等号∴124S S +的最小值是6，故选B.方法四 求解函数值域得范围【例5】已知椭圆C ：22143x y +=的右焦点为F ，过点F 的两条互相垂直的直线1l ，2l ， 1l 与椭圆C 相交于点A ，B ，2l 与椭圆C 相交于点C ，D ，则下列叙述不正确的是（ ）A ． 存在直线1l ，2l 使得AB CD +值为7 B ． 存在直线1l ，2l 使得AB CD +值为487C ． 弦长AB 存在最大值，且最大值为4D ． 弦长AB 不存在最小值()2212134k CD k +=+，特别地当21k=时，247AB CD ==，即487AB CD +=，则B 正确 ；由()222121333434k AB k k +==+++，故当0k =时， AB 取到最大值4，则C 正确；由233334AB k=+>+，但当弦AB 的斜率不存在时， 3AB =，故AB 存在最小值3，故D 选项不对，故选D ．【点评】解析几何中的最值是高考的热点，在圆锥曲线的综合问题中经常出现，求解此类问题的一般思路为在深刻认识运动变化的过程之中，抓住函数关系，将目标量表示为一个(或者多个)变量的函数，然后借助于函数最值的探求来使问题得以解决．【变式】已知过抛物线C ：28y x =的焦点F 的直线l 交抛物线于P ，Q 两点，若R 为线段PQ 的中点，连接OR 并延长交抛物线C 于点S ，则OS OR的取值范围是（ ）A ． ()0,2B ． [)2,+∞C ． (]0,2D ． ()2,+∞ 【答案】D方法五 利用隐含或已知的不等关系建立不等式求范围【例5】设直线l 与抛物线22y px =相交于A ，B 两点，与圆()2225(0)x y r r -+=>相切于点M ，且M为线段AB 的中点．若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是（ ） A ． ()1,3 B ． ()1,4 C ． ()2,3 D ． ()2,4【变式】已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的上、下顶点、右顶点、右焦点分别为B 2、B 1、A 、F ，延长B 1F与AB 2交于点P ，若∠B 1PA 为钝角，则此椭圆的离心率e 的取值范围为_____． 【解析】由题意得椭圆的长半轴、短半轴、半焦距分别为a 、b 、c ，（c=22a b -） 可得∠B 1PA 等于向量2B A 与21F B 的夹角，∵A （a ，0），B 1（0，﹣b ），B 2（0，b ），F 2（c ，0）∴2B A =（a ，﹣b ），21F B =（﹣c ，﹣b ）， ∵∠B 1PA 为钝角，∴2B A 与21F B 的夹角大于2π，由此可得2B A •21F B ＜0，即﹣ac+b 2＜0，将b 2=a 2﹣c 2代入上式得：a 2﹣ac ﹣c 2＜0，不等式两边都除以a 2，可得1﹣e ﹣e 2＜0，即e 2+e ﹣1＞0， 解之得e ＜152--或e ＞152-+，结合椭圆的离心率e ∈（0，1），可得152-+＜e ＜1，即椭圆离心率的取值范围为（152-+，1）．故答案为（152-+，1）．。
圆锥曲线中的最值与范围问题
圆锥曲线中的最值与范围问题圆锥曲线中的最值与范围问题是高考的考查热点，往往以圆锥曲线（包括圆）与直线为载体，结合函数、不等式及导数等知识，综合考查解题能力. 求解这类问题的基本方法有几何特征法和代数法.几何特征法几何特征法即利用圆锥曲线的几何特征蕴含的条件，如抛物线上任意一点到焦点的距离等于其到准线的距离、过椭圆焦点的所有弦中通径最短等，构造相应的函数或不等式求解.例1已知直线l：x+y+3=0和圆C：x2+y2-2x-2y-2=0，设A是直线l上一动点，直线AC交圆C于点B，若在圆C 上存在点M，使∠MAB=，则点A横坐标的取值范围为.解析：圆C：（x-1）2+（y-1）2=4. 如图1所示，过C 点作CN⊥AM于点N，则CN≤CM=2.在Rt△CNA中，∠NAC=，所以AC=2CN≤4.设A（x，-x-3），则AC2=（x-1）2+（-x-3-1）2=2x2+6x+17≤16，解得≤x≤.所以点A横坐标的取值范围为≤x≤.点评：解答例1 的关键是利用圆心到直线的距离与圆的半径的大小关系，建立不等关系求解.当直线AM与圆C相切时，N, M两点重合，CN取到最大值2；而AC可通过∠MAB与CN建立量的关系，由此构建以点A的横坐标x 为自变量、以AC为因变量的函数，进而求解.例2［2013年嘉兴市高三教学测试（一）第17题］已知抛物线y2=4x的焦点为F，若点A，B是该抛物线上的点，∠AFB=，线段AB的中点M在抛物线的准线上的射影为N，则的最大值为.解析：如图2所示，过点A，B分别作准线的垂线，垂足分别为A1，B1.设FA=t1，FB=t2，则由∠AFB=可得AB=.因为AM=MB，NM∥AA1∥BB1，所以MN=（AA1+BB1）.由抛物线定义可知AA1=FA，BB1=FB，所以MN=（FA+FB）=（t1+t2），所以=.由[t1][2]+[t2][2]≥2t1t2可得2[t1][2]+2[t2][2]≥2t1t2+（[t1][2]+[t2][2]）=（t1+t2）2，t1+t2≤?，所以≤=，当且仅当t1=t2时取到等号，所以的最大值为.点评：例2利用抛物线的定义，将线段MN的长度与FA，FB的长度t1，t2相联系，构造了含有双变量的函数，然后利用不等式（a+b）2≤2（a2+b2）求得函数的最大值.代数法利用题目所给条件的范围或限制，如点的坐标、直线的斜率、线与线之间构成的多边形的面积等，构造相应的函数或不等式求解.例3设椭圆+=1 （a>b>0）的焦点分别为F1（-1，0），F2（1，0），直线l：x=a2交x轴于点A，且F2为F1 A的中点.（1）求椭圆的方程；（2）如图3所示,过F1，F2分别作互相垂直的两直线与椭圆分别交于D，E，M，N四点，试求四边形DMEN面积的最大值和最小值.解析：（1）由F2为F1A的中点可得F1F2=F2 A，又OF2=1，所以F2 A=2，点A的坐标为（3，0）.由直线l：x=a2交x轴于点A可得a=，b==，所以椭圆方程为+=1.（2）当直线DE与x轴垂直时，MN=2a=2.由F1（-1，0），椭圆方程+=1可得点D-1，，所以DF1=，DE=2DF1=，四边形DMEN的面积S==4.同理，当MN与x轴垂直时，也可得四边形DMEN的面积S==4.当直线DE，MN均不与x轴垂直时，设直线DE：y=k （x+1），代入+=1中消去y，得（2+3k2）x2+6k2x+（3k2-6）=0.设D（x1，y1），E（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=.所以x1-x2==，DE==?x1-x2= .设直线MN：y=-（x-1），同理可得MN=.所以四边形DMEN的面积S==??=.令u=k2+，得S==4-S≥4-=，当且仅当k2=1时取等号.所以当k=±1时，Smin=；当直线DE或MN与x轴垂直时，Smax=4.点评：与抛物线的焦点弦长的计算方法（往往利用定义，即几何特征法）不同，椭圆的焦点弦长一般利用代数法求解，以焦点弦的斜率或倾斜角为变量来表示其长度，如例3中的DE=.例3正是通过建立四边形DMEN的面积S与焦点弦的斜率k的函数关系，求得了面积S的最值.与抛物线的焦点弦长的计算方法（往往利用定义，即几何特征法）不同，椭圆的焦点弦长一般利用代数法求解，以焦点弦的斜率或倾斜角为变量来表示其长度.【练一练】［2012年嘉兴市高三教学测试（二）第9题］已知椭圆x2+my2=1的离心率e∈，1，则实数m的取值范围是（A）0 ，（B），+∞（C）0 ，∪，+∞（D），1∪1，【参考答案】解析：先将椭圆方程x2+my2=1化为标准方程：x2+=1，因方程为椭圆方程，所以m>0.又因其焦点位置不确定，所以需要分类讨论. 当01时，椭圆长半轴长a=1，短半轴长b=，所以离心率e===.由e∈，1可得1，所以. 当>1即0。
高考数学复习：圆锥曲线中的最值、范围、证明问题
b a
2
2＝－
1， 2
所以 a2 ＝2b2，
又 c＝1， a2＝ b2＋ c2，所以 a2＝ 2， b2＝ 1，
所以椭圆 E 的标准方程为 x2＋ y2＝ 1. 2
(2)设直线方程为 y＝ kx＋m， 交椭圆于点 P(x1， y1)， Q(x2 ，y2 ).
联立方程
y＝ kx＋m， x2＋ y2＝ 1， 2
＝ 1＋ k2
16k2m2 1＋ 2k2
设 MF 1 的方程为 x＝ my－ 3，
x＝my－ 3， 由 x42＋ y2＝ 1
得 (m2＋ 4) y2－ 2 3my－ 1＝0，
y1＋
y2＝
2 m
2＋3m4，
故 1
y1y2＝－ m2＋ 4.
设 F1 M 与 F 2N 的距离为 d，
四边形 F1F 2NM 的面积为 S，
则
S＝
1 2
(|F
1M
得 (1＋ 2k2)x2＋ 4kmx＋ 2m2 －2＝ 0，
Δ＝ 8(2k2＋ 1－m2)>0 ，得 2k2＋ 1>m2，
x1＋
x2＝－
1＋4km2k2，
x1
x2＝
2m2－ 2 1＋2k2 .
所以 |PQ|＝ 1＋ k2 x1＋ x2 2－ 4x1x2
＝ 1＋ k2
－ 4km 1＋ 2k2
2－
8m2－ 8 1 ＋ 2 k2
的一个动点，且 |PF 2|的最大值为 2＋ 3， E 的离心率与椭圆
Ω：
x2 2
＋
y2 8
＝
1
的离心率相等
.
(1)求 E 的方程； (2)直线 l 与 E 交于 M ，N 两点 (M ，N 在 x 轴的同侧 )，当 F 1M ∥ F 2N 时，求四边形 F1F2NM 面 积的最大值 .
高三总复习数学课件 圆锥曲线中的最值、范围问题
[针对训练]
1．已知点F1，F2依次为双曲线C：
x2 a2
－
y2 b2
＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，且
|F1F2|＝6，B1(0，－b)，B2(0，b)．
由 k2≥0 可得―F1→M·―F1→N∈－1，72. 综上可知，―F1→M·―F1→N 的取值范围是－1，72.
[方法技巧] 圆锥曲线中取值范围问题的常用解法
(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值 范围．
(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解决这类问题的核心是建立两 个参数之间的等量关系．
(1)若a＝ 5，以d ＝(3，－4)为方向向量的直线l经过B1，求F2到l的距离；
(2)若双曲线C上存在点P，使得―B1→P ·―B2→P ＝－2，求实数b的取值范围． 解：(1)依题意，2c＝6，则b＝ 9－5＝2， 则双曲线C：x52－y42＝1，B1(0，－2)，F2(3,0)． 设直线l：4x＋3y＋m＝0， 将B1(0，－2)代入解得m＝6， 此时l：4x＋3y＋6＝0，
1 4k
x，∴
N
6，－23k
.联立
x2＋4y2＝4， y＝－41kx，
得x2＝
16k2 1＋4k2
，即x
2 M
＝
16k2 1＋4k2
，∵|OM|2＝
|ON|·|OE|，∴11＋6k42k2＝－12＋4k4mk2，∴m＝－23k，∴直线l的方程为y＝kx－23，过
定点
23，0.易知当定点与点H(0,1)的连线与直线l垂直时，d取得最大值
专题圆锥曲线中的最值及范围问题
高三数学专题复习圆锥曲线中的最值问题和范围的求解策略最值问题是圆锥曲线中的典型问题，它是教学的重点也是历年高考的热点。
解决这类问题不仅要紧紧把握圆锥曲线的定义，而且要善于综合应用代数、平几、三角等相关知识。
以下从五个方面予以阐述。
一．求距离的最值或范围：例1.设AB 为抛物线y=x 2的一条弦，若AB=4，则AB 的中点M 到直线y+1=0的最短距离为 ，解析：抛物线y=x 2的焦点为F （0 ，41），准线为y=41-，过A 、B 、M 准线y=41-的垂线，垂足分别是A 1、B 1、M 1，则所求的距离d=MM 1+43=21(AA 1+BB 1) +43=21(AF+BF) +43≥21AB+43=21×4+43=411,当且仅当弦AB 过焦点F 时，d 取最小值411， 评注：灵活运用抛物线的定义和性质，结合平面几何的相关知识，使解题简洁明快，得心应手。
练习：1、(2008海南、宁夏理)已知点P 在抛物线y 2= 4x 上，那么点P 到点Q （2，－1）的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为（ A ）A. （41，－1） B. （41，1） C. （1，2） D. （1，－2） 2、（2008安徽文）设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>其相应于焦点(2,0)F 的准线方程为4x =.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）已知过点1(2,0)F -倾斜角为θ的直线交椭圆C 于,A B两点，求证：22AB COS θ=-;（Ⅲ）过点1(2,0)F -作两条互相垂直的直线分别交椭圆C 于,A B 和,D E ,求AB DE + 的最小值解 ：（1）由题意得：2222222844c a a c b a b c=⎧⎪⎧=⎪⎪=⎨⎨=⎪⎩⎪⎪=+⎩∴ ∴椭圆C 的方程为22184x y += (2)方法一：由（1）知1(2,0)F -是椭圆C的左焦点，离心率2e =设l 为椭圆的左准线。
圆锥曲线专题：最值与范围问题的6种常见考法(解析版)
圆锥曲线专题：最值与范围问题的6种常见考法一、圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：1、几何法：通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；2、代数法：把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解．二、最值问题的一般解题步骤三、参数取值范围问题1、利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；2、利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；3、利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；4、利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围；5、利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围．题型一距离与长度型最值范围问题【例1】已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，焦距为2，点E 在椭圆上．当线段2EF 的中垂线经过1F 时，恰有21cos EF F ∠．（1）求椭圆的标准方程；（2）直线l 与椭圆相交于A 、B 两点，且||2AB =，P 是以AB 为直径的圆上任意一点，O 为坐标原点，求||OP 的最大值．【答案】（1）2212x y +=；（2）max ||OP 【解析】（1）由焦距为2知1c =，连结1EF ，取2EF 的中点N ，线段2EF 的中垂线经过1F 时，1||22EF c ∴==，221212cos ,.1,F N EF F F N F F ∠∴∴-2122,2EF a EF EF a ∴=-∴=+=∴由所以椭圆方程为2212x y +=；（2）①当l 的斜率不存在时，AB 恰为短轴，此时||1OP =；②当l 的斜率存在时，设:l y kx m =+．联立2212x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得到222(21)4220k x kmx m +++-=，∴△2216880k m =-+>，122421km x x k -+=+，21222221m x x k -=+．21AB x x =-=2==，化简得2222122k m k +=+．又设M 是弦AB 的中点，121222()221my y k x x m k +=++=+∴()2222222241,,||212121km m k M OM k k k m -+⎛⎫= ⎪⎝⎭+⋅++,∴()()()222222222412141||22212221k k k OM k k k k +++=⋅=++++,令2411k t += ，则244||43(1)(3)4t OM t t t t===-++++∴||1OM =- （仅当t =，又||||||||1OP OM MP OM +=+2k =时取等号）．综上：max ||OP =【变式1-1】已知抛物线21:4C y x =的焦点F 也是椭圆22222:1(0)x y C a b a b+=>>的一个焦点，1C 与2C 的公共弦长为3．（1）求椭圆2C 的方程；（2）过椭圆2C 的右焦点F 作斜率为(0)k k ≠的直线l 与椭圆2C 相交于A ，B 两点，线段AB 的中点为P ，过点P 做垂直于AB 的直线交x 轴于点D ，试求||||DP AB 的取值范围．【答案】（1）22143x y +=；（2）1(0,)4【解析】（1）抛物线21:4C y x =的焦点F 为(1,0)，由题意可得2221c a b =-=①由1C 与2C 关于x 轴对称，可得1C 与2C 的公共点为2,33⎛± ⎝⎭，可得2248193a b +=②由①②解得2a =，b ，即有椭圆2C 的方程为22143x y+=；（2）设:(1)l y k x =-，0k ≠，代入椭圆方程，可得2222(34)84120k x k x k +-+-=，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则2122834kx x k +=+，212241234k x x k -=+，即有()312122286223434k ky y k x x k k k k -+=+-=-=++，由P 为中点，可得22243()3434k kP k k -++，，又PD 的斜率为1k -，即有222314:3434k k PD y x k k k ⎛⎫--=-- ++⎝⎭，令0y =，可得2234k x k=+，即有22034k D k ⎛⎫⎪+⎝⎭可得2334PD k ==+又AB ==2212(1)34k k +=+，即有DP AB =，由211k +>，可得21011k <<+，即有104<，则有||||DP AB 的取值范围为1(0,)4．【变式1-2】已知曲线C 上任意一点(),P x y2=，（1）求曲线C 的方程；（2）若直线l 与曲线C 在y 轴左､右两侧的交点分别是,Q P ，且0OP OQ ⋅=，求22||OP OQ +的最小值.【答案】（1）2212y x -=；（2）8【解析】（1）设())12,F F ，2=，等价于12122PF PF F F -=<，∴曲线C 为以12,F F 为焦点的双曲线，且实轴长为2，焦距为故曲线C 的方程为：2212y x -=；（2）由题意可得直线OP 的斜率存在且不为0，可设直线OP 的方程为()0y kx k =≠，则直线OQ 的方程为1=-y x k ，由2212y x y kx ⎧-=⎪⎨⎪=⎩，得222222222x k k y k ⎧=⎪⎪-⎨⎪=⎪-⎩，所以()2222221||2k OP x y k+=+=-，同理可得，()2222212121||1212k k OQ k k⎛⎫+ ⎪+⎝⎭==--，所以()()()22222222211111||||22121k k k OP OQ k k -+-++===++()()22222222112222228||||OQ OP OP OQ OP OQOP OQ OP OQ ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥+=++=++≥+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，当且仅当2OP OQ ==时取等号，所以当2OP OQ ==时，22||OP OQ +取得最小值8.【变式1-3】已知抛物线()2:20E x py p =>的焦点为F ，过点F 且倾斜角为3π的直线被E 所截得的弦长为16.（1）求抛物线E 的方程；（2）已知点C 为抛物线上的任意一点，以C 为圆心的圆过点F ，且与直线12y =-相交于,A B两点，求FA FB FC ⋅⋅的取值范围.【答案】（1）24x y =；（2）[)3,+∞【解析】（1）由抛物线方程得：0,2p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，可设过点F 且倾斜角为3π的直线为：2py =+，由222p y x py⎧=+⎪⎨⎪=⎩得：220x p --=，由抛物线焦点弦长公式可得：)12122816y y p x x p p ++=++==，解得：2p =，∴抛物线E 的方程为：24x y =.（2）由（1）知：()0,1F ，准线方程为：1y =-；设AFB θ∠=，圆C 的半径为r ，则2ACB θ∠=，FC CA CB r ===，1133sin 2224AFBSFA FB AB AB θ∴=⋅=⋅=，又2sin AB r θ=，3FA FB r ∴⋅=；由抛物线定义可知：11c CF y =+≥，即1r ≥，333FA FB FC r ∴⋅⋅=≥，即FA FB FC ⋅⋅的取值范围为[)3,+∞.题型二面积型最值范围问题20y -=与圆O 相切．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）椭圆C 的上顶点为B ，EF 是圆O 的一条直径，EF不与坐标轴重合，直线BE 、BF 与椭圆C 的另一个交点分别为P 、Q ，求BPQ 的面积的最大值及此时PQ 所在的直线方程．【答案】（1）2219x y +=；（2）()max278BPQ S=，PQ 所在的直线方程为115y x =±+【解析】20y -=与圆O相切，则1b =，由椭圆的离心率223c e a ==，解得：29a =，椭圆的标准方程：2219x y +=；（2）由题意知直线BP ，BQ 的斜率存在且不为0，BP BQ ⊥，不妨设直线BP 的斜率为(0)k k >，则直线:1BP y kx =+．由22119y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得22218911991k x k k y k -⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，或01x y =⎧⎨=⎩，所以2221819,9191k k P k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭.用1k -代替k ，2229189,9k k Q k k ⎛⎫-+ ⎝+⎪⎭则21891k PB k ==+2189BQ k==+，22222111818162(1)22919(9)(19)BPQ k k k S PB BQ k k k k +=⋅=⋅=++++△342221162()162()99829982k k k k k k k k ++==++++，设1k k μ+=，则21621622764829(2)89BPQ S μμμμ∆==≤+-+．当且仅当649μμ=即183k k μ+==时取等号，所以()max278BPQ S=.即21128(()49k k kk-=+-=，1k k -=直线PQ的斜率222222291911191918181010919PQk k k k k k k k k k k k k ---+-⎛⎫++===-= ⎪⎝⎭--++PQ所在的直线方程：1y =+.【变式2-1】在平面直角坐标系xOy 中，ABC 的周长为12，AB ，AC 边的中点分别为()11,0F -和()21,0F ，点M 为BC 边的中点（1）求点M 的轨迹方程；（2）设点M 的轨迹为曲线Γ，直线1MF 与曲线Γ的另一个交点为N ，线段2MF 的中点为E ，记11NF O MF E S S S =+△△，求S 的最大值.【答案】（1）()221043x y y +=≠；（2）max 32S =【解析】（1）依题意有：112F F =，且211211262MF MF F F ++=⨯=，∴121242MF MF F F +=>=，故点M 的轨迹C 是以()11,0F -和()21,0F 为焦点，长轴长为4的椭圆，考虑到三个中点不可共线，故点M 不落在x 上，综上，所求轨迹方程：()221043x y y +=≠.（2）设()11,M x y ，()22,N x y ，显然直线1MF 不与x 轴重合，不妨设直线1MF 的方程为：1x ty =-,与椭圆()221043x y y +=≠方程联立整理得：()2234690t y ty +--=，()()22236363414410t t t ∆=++=+>，112634t y y t +=+，1129034y y t =-<+,11111122NF O S F y y O ==△，112122211112222MF E MF F S S F F y y ==⋅=△△,∴()()1112122111Δ22234NF O MF E S S S y y y y t =+=+=-=⋅=+△△令()2344u t u =+≥，则()S u ϕ====∵4u ≥，∴1104u <≤，当114u =，即0=t 时，∴max 32S =,∴当直线MN x ⊥轴时，∴max 32S =.【变式2-2】已知双曲线()222210x y a a a-=>的右焦点为()2,0F ，过右焦点F 作斜率为正的直线l ，直线l 交双曲线的右支于P ，Q 两点，分别交两条渐近线于,A B 两点，点,A P 在第一象限，O 为原点．（1）求直线l 斜率的取值范围；（2）设OAP △，OBP ，OPQ △的面积分别是OAP S △，OBP S △，OPQS ，求OPQ OAP OBPS S S ⋅△△△的范围．【答案】（1）()1,+∞；（2）).【解析】（1）因为双曲线()222210x y a a a-=>的右焦点为()2,0F ，故2c =，由222c a a =+得22a =，所以双曲线的方程为，22122x y -=，设直线l 的方程为2x ty =+，联立双曲线方程得，()222222121021420Δ0120t x y t y ty t x ty y y ⎧⎧-≠⎪-=⎪⇒-++=⇒>⇒<⎨⎨=+⎪⎪⋅<⎩⎩，解得01t <<，即直线l 的斜率范围为()11,k t=∈+∞；（2）设()11,P x y ，渐近线方程为y x =±，则P 到两条渐近线的距离1d ，2d 满足，22111212x yd d-⋅==而21221AAxy x tx ty yt⎧⎧=⎪⎪=⎪⎪-⇒⎨⎨=+⎪⎪=⎪⎪-⎩⎩，OA==21221BBxy x tx ty yt⎧⎧=⎪⎪=-⎪⎪+⇒⎨⎨=+-⎪⎪=⎪⎪+⎩⎩，OB==所以12122112221OAP OBPS S OA d OB d d dt⋅=⋅⋅⋅=-△△由()2222214202x y t y tyx ty⎧-=⇒-++=⎨=+⎩，12OPQ OFP OFQ P QS S S OF y y=+=-△△△所以，OPQOAP OBPSS S=⋅△△△，∵01t<<，∴)2OPQOAP OBPSS S∈⋅△△△.【变式2-3】已知抛物线()2:20E y px p=>的焦点为F，P为E上的一个动点，11,2⎛⎫⎪⎝⎭Q与F在E的同一侧，且PF PQ+的最小值为54.（1）求E的方程；（2）若A点在y轴正半轴上，点B、C为E上的另外两个不同点，B点在第四象限，且AB，OC互相垂直、平分，求四边形AOBC的面积.（人教A版专题）【答案】（1）2y x=；（2）【解析】（1）作出E的准线l，方程为2px=-，作PR l⊥于R，所以PR PF=，即PR PQ+的最小值为54，因为11,2⎛⎫⎪⎝⎭Q与F在E的同一侧，所以当且仅当P，Q，R三点共线时PR PQ+取得最小值，所以5124p+=，解得0.5p=，所以E的方程为2y x=；（2）因为AB，OC互相垂直、平分，所以四边形AOBC是菱形，所以BC x⊥轴，设点()0,2A a，所以2BC a=，由抛物线对称性知()2,B a a-，()2,C a a，由AO OB =，得2a=a =所以菱形AOBC 的边AO =23h a ==，其面积为3S AO h =⋅==题型三坐标与截距型最值范围问题【例3】已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>过点()，渐近线方程为12y x =±，直线l 是双曲线C 右支的一条切线，且与C 的渐近线交于A ，B 两点．（1）求双曲线C 的方程；（2）设点A ，B 的中点为M ，求点M 到y 轴的距离的最小值．【答案】（1）2214x y -=；（2）2【解析】（1）由题设可知2281112a b b a ⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得21a b =⎧⎨=⎩则C ：2214x y -=．（2）设点M 的横坐标为0M x >当直线l 斜率不存在时，则直线l ：2x =易知点M 到y 轴的距离为2M x =﹔当直线l 斜率存在时，设l ：12y kx m k ⎛⎫=+≠± ⎪⎝⎭，()11,A x y ，()22,B x y ，联立2214x y y kx m ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩，整理得()222418440k x kmx m -+++=，()()222264164110k m k m ∆=--+=，整理得2241k m =+联立2204x y y kx m ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩，整理得()22241840k x kmx m -++=，则122288841km km k x x k m m+=-=-=--，则12402Mx x kx m +==->，即0km <则222216444Mk x m m==+>，即2M x >∴此时点M 到y 轴的距离大于2；综上所述，点M 到y 轴的最小距离为2．【变式3-1】若直线:l y =22221(0,0)x y a b a b -=>>的一个焦点，且与双曲线的一条渐近线平行.（1）求双曲线的方程；（2）若过点B (0，b )且与x 轴不平行的直线和双曲线相交于不同的两点M ，N ，MN 的垂直平分线为m ，求直线m 与y 轴上的截距的取值范围.【答案】（1）2213x y -=；（2）(4,)+∞.【解析】（1）直线323:33l y =-过x 轴上一点(2,0)，由题意可得2c =，即224a b +=，双曲线的渐近线方程为b y x a=±，由两直线平行的条件可得b a =1a b ==，即有双曲线的方程为2213x y -=.（2）设直线1(0)y kx k =+≠，代入2213x y -=，可得22(13)660k x kx ---=，设1122(,),(,)M x y N x y ，则12122266,1313k x x x x k k +==--，MN 中点为2231,1313kk k ⎛⎫ --⎝⎭，可得MN 的垂直平分线方程为221131313k y x k k k ⎛⎫-=-- ⎪--⎝⎭，令0x =，可得2413y k =-，由223624(13)0k k ∆=+->，解得232k <，又26031k <-，解得231k <，综上可得，2031k <<，即有2413k -的范围是(4,)+∞，可得直线m 与y 轴上的截距的取值范围为(4,)+∞.【变式3-2】已知动圆C 过定点(2,0)A ，且在y 轴上截得的弦长为4，圆心C 的轨迹为曲线Γ.（1）求Γ的方程：（2）过点(1,0)P 的直线l 与F 相交于,M N 两点.设PN MP λ=，若[]2,3λ∈，求l 在y 轴上截距的取值范围.【答案】（1）24y x =；（2）⎡-⎣【解析】（1）设(,)C x y ，圆C 的半径为R ，则()()22222220R x x y =+=-+-整理，得24y x=所以Γ的方程为24y x =.（2）设1122(,),(,)M x y N x y ，又(1,0)P ，由PN MP λ=，得()()22111,1,x y x y λ-=--21211(1)x x y y λλ-=-⎧∴⎨=-⎩①②由②，得12222y y λ=，∵2211224,4y x y x ==∴221x x λ=③联立①､③解得2x λ=，依题意有0λ>(2,N N ∴-或，又(1,0)P ，∴直线l 的方程为())11y x λ-=-，或())11y x λ-=--，当[2,3]k ∈时，l 在y轴上的截距为21λ-或21λ--，21=[2,3]上是递减的，21λ≤≤-，21λ-≤-≤-∴直线l 在y轴上截距的取值范围为⎡--⎣.【变式3-3】已知两个定点A 、B 的坐标分别为()1,0-和()1,0，动点P 满足AP OB PB ⋅=（O 为坐标原点）．（1）求动点P 的轨迹E 的方程；（2）设点(),0C a 为x 轴上一定点，求点C 与轨迹E 上点之间距离的最小值()d a ；(3)过点()0,1F 的直线l 与轨迹E 在x 轴上方部分交于M 、N 两点，线段MN 的垂直平分线与x 轴交于D 点，求D 点横坐标的取值范围．【答案】（1）24y x =；（2）(),22a a d a a ⎧<⎪=⎨≥⎪⎩；（3）()3,+∞【解析】（1）设(),P x y ，()1,AP x y =+，()1,0OB =，()1,PB x y =--，()1101AP OB x y x ⋅=+⨯+⨯=+，B P =AP OB PB ⋅=，则1x +，所以2222121x x x x y ++=-++，即24y x =．（2）设轨迹E ：24y x =上任一点为()00,Q x y ，所以2004y x =，所以()()222200004CQ x a y x a x =-+=-+()()20200220x a x a x =--+≥，令()()()220000220g x x a x a x =--+≥，对称轴为：2a -，当20a -<，即2a <时，()0g x 在区间[)0,∞+单调递增，所以00x =时，()0g x 取得最小值，即2min 2CQ a =，所以min CQ a =，当20a -≥，即2a ≥时，()0g x 在区间[)0,2a -单调递减，在区间[)2,a -+∞单调递增，所以02x a =-时，()0g x 取得最小值，即()22min 2244CQ a a a =--+=-，所以minCQ =，所以(),22a a d a a ⎧<⎪=⎨≥⎪⎩（3）当直线l 的斜率不存在时，此时l ：0x =与轨迹E 不会有两个交点，故不满足题意；当直线l 的斜率存在时，设l ：1y kx =+，()11,M x y 、()22,N x y ，代入24y x =，得2+14y y k =⨯，即2440ky y -+=，所以124y y k +=，124y y k =，121212211242y y y y x x k k k k k--+-+=+==-，因为直线l 与轨迹E 在x 轴上方部分交于M 、N 两点，所以0∆>，得16160k ->，即1k <；又M 、N 两点在x 轴上方，所以120y y +>，120y y >，即40k>，所以0k >，又1k <，所以01k <<，所以MN 中点1212,22x x y y ++⎛⎫⎪⎝⎭，即2212,kk k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以垂直平分线为22121y x k k k k ⎛⎫-=--+ ⎝⎭，令0y =，得222111152248x k k k ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭，因为01k <<，所以11k >，所以21115248x k ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭在11k >时单调递增，所以22111511522134848k ⎛⎫⎛⎫-+>-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即3x >，所以D 点横坐标的取值范围为：()3,+∞.题型四斜率与倾斜角最值范围问题【例4】设12F F 、分别是椭圆2214x y +=的左、右焦点．（1）若P 是该椭圆上的一个动点，求125=4PF PF ⋅-，求点P 的坐标；（2）设过定点(0,2)M 的直线l 与椭圆交于不同的两点A 、B ，且AOB ∠为锐角（其中O 为坐标原点），求直线l 的斜率k 的取值范围．【答案】（1）⎛ ⎝⎭；（2）2,2⎛⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【解析】（1）由题意知，2,1,a b c ===所以())12,F F ，设(,)(0,0)P m n m n >>，则22125(,),)34PF PF m n m n m n ⋅=-⋅-=+-=-，又2214m n +=，有222214534m n m n ⎧+=⎪⎪⎨⎪+-=-⎪⎩，解得1m n =⎧⎪⎨=⎪⎩，所以P ；（2）显然0x =不满足题意，设直线l 的方程为2y kx =+，设()()1122,,A x y B x y ，，22221(14)1612042x y k x kx y kx ⎧+=⎪⇒+++=⎨⎪=+⎩，22(16)4(41)120k k ∆=-+⨯>，解得234k >，①1212221612,4141k x x x x k k +=-=++，则212121212(2)(2)2()4y y kx kx k x x k x x =++=+++，又AOB ∠为锐角，则cos 0AOB ∠>，即0OA OB ⋅>，12120x x y y +>，所以21212121212(1)2()4x x y y y y k x x k x x +==++++2222212(1)1624(4)40414141k k k k k k k +⋅-=-+=>+++，解得204k <<，②由①②，解得322k -<<或322k <<，所以实数k的取值范围为(2,-.【变式4-1】已知椭圆:Γ22221(0x y a b a b +=>>）的左焦点为F ，其离心率22e =，过点F垂直于x 轴的直线交椭圆Γ于P ，Q两点，PQ （1）求椭圆Γ的方程；（2）若椭圆的下顶点为B ，过点D （2，0）的直线l 与椭圆Γ相交于两个不同的点M ，N ，直线BM ，BN 的斜率分别为12,k k ，求12k k +的取值范围．【答案】（1）2212x y +=；（2）()1211,,2222k k ⎛⎫⎛+∈-∞⋃-⋃+∞⎪ ⎝⎭⎝【解析】（1）由题可知2222222c e a bPQ a a b c⎧==⎪⎪⎪==⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得11a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩.所以椭圆Γ的方程为：2212x y +=.（2）由题可知，直线MN 的斜率存在，则设直线MN 的方程为(2)y k x =-，11(,)M x y ，22(,)N x y .由题可知2212(2)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，整理得2222(21)8820k x k x k +-+-=22222(8)4(21)(81)8(21)0k k k k ∆=--+-=-->，解得22k ⎛∈- ⎝⎭.由韦达定理可得2122821k x x k +=+，21228221k x x k -=+.由（1）知，点(0,1)B -设椭圆上顶点为A ，(0,1)A ∴，12DA k k ≠=-且12DB k k ≠=，∴()()1212121212211111k x k x y y k k x x x x -+-++++=+=+()()()221221228121212228212k k k x x k k k k x x k -⋅-++=+=+-+()242111212,,221212122k k k k k k ⎛⎫⎛=-==-∈+∞⋃-∞⋃ ⎪ +++⎝⎭⎝∴12k k +的取值范围为()11,,2222⎛⎫⎛-∞⋃-⋃+∞ ⎪ ⎝⎭⎝．【变式4-2】）已知椭圆1C 的方程为22143x y +=，双曲线2C 的左、右焦点分别为1C 的左、右顶点，而2C 的左、右顶点分别是1C 的左、右焦点.（1）求双曲线2C 的方程；（2）若直线:2l y kx =+与双曲线2C 恒有两个不同的交点A 和B ，且1OA OB ⋅>（其中O 为原点），求k 的取值范围.【答案】（1）2213y x -=（2）(()1,1-【解析】（1）由题,在椭圆1C 中,焦点坐标为()1,0-和()1,0；左右顶点为()2,0-和()2,0,因为双曲线2C 的左、右焦点分别为1C 的左、右顶点，而2C 的左、右顶点分别是1C 的左、右焦点,所以在双曲线2C 中,设双曲线方程为22221x ya b-=,则221,4a c ==,所以2223b c a =-=,所以双曲线2C 的方程为2213y x -=（2）由（1）联立22213y kx y x =+⎧⎪⎨-=⎪⎩,消去y ,得()223470k x kx -++=①；消去x ,得()2223121230k y y k -+-+=②设()()1122,,,A x y B x y ,则12,x x 为方程①的两根,12,y y 为方程②的两根；21212227123,33k x x y y k k -+⋅=⋅=--，21212227123133k OA OB x x y y k k -+⋅=⋅+⋅=+>--，得23k >或21k <③,又因为方程①中,()22216384k k k ∆=-4⨯7-=-12+>0,得27k <④,③④联立得k的取值范围(()1,1⋃-⋃【变式4-3】已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F 到准线的距离为2．（1）求C 的方程;（2）已知O 为坐标原点，点P 在C 上，点Q 满足9PQ QF =，求直线OQ 斜率的最大值.【答案】（1）24y x =；（2）最大值为13.【解析】（1）抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，准线方程为2p x =-，由题意，该抛物线焦点到准线的距离为222p p p ⎛⎫--== ⎪⎝⎭，所以该抛物线的方程为24y x =；（2）[方法一]：轨迹方程+基本不等式法设()00,Q x y ，则()00999,9PQ QF x y ==--，所以()00109,10P x y -，由P 在抛物线上可得()()200104109y x =-，即20025910y x +=，据此整理可得点Q 的轨迹方程为229525=-y x ，所以直线OQ 的斜率000220001025925910OQ y y y k y x y ===++，当00y =时，0OQ k =；当00y ≠时，0010925OQ k y y =+，当00y >时，因为0092530y y +≥，此时103OQ k <≤，当且仅当00925y y =，即035y =时，等号成立；当00y <时，0OQ k <；综上，直线OQ 的斜率的最大值为13.[方法二]：【最优解】轨迹方程+数形结合法同方法一得到点Q 的轨迹方程为229525=-y x ．设直线OQ 的方程为y kx =，则当直线OQ 与抛物线229525=-y x 相切时，其斜率k 取到最值．联立2,29,525y kx y x =⎧⎪⎨=-⎪⎩得22290525k x x -+=，其判别式222940525⎛⎫∆=--⨯= ⎪⎝⎭k ，解得13k =±，所以直线OQ 斜率的最大值为13．题型五向量型最值范围问题【例5】在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线221:142x y C -=与椭圆222:142x y C +=，A ，B分别为1C 的左､右顶点，点P 在双曲线1C 上，且位于第一象限.（1）直线OP 与椭圆2C 相交于第一象限内的点M ，设直线PA ，PB ，MA ，MB 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，4k ，求1234k k k k +++的值；（2）直线AP 与椭圆2C 相交于点N （异于点A ），求AP AN ⋅的取值范围.【答案】（1）0；（2）()16,+∞【解析】（1）方法1：设直线():0OP y kx k =>，联立22142y kxx y =⎧⎪⎨-=⎪⎩，消y ，得()22124k x -=，所以20120k k >⎧⎨->⎩，解得202k <<，设()()1111,0,0P x y x y >>，则11x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以P ⎛⎫.联立22142y kxx y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，消y ，得()22124k x +=，设()()2222,0,0M x y x y >>，则22x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以M ⎛⎫.因为()2,0A -，()2,0B ，所以211111221112821124224412k y y x y k k k x x x k k-+=+===-+---，222223422222821124224412ky y x y k k k x x x k k ++=+==--+--+，所以1234110k k k k k k ⎛⎫+++=+-= ⎪⎝⎭.方法2设()()1111,0,0P x y x y >>，()()2222,0,0M x y x y >>，因为()2,0A -，()2,0B ，所以11111221112224y y x yk k x x x +=+=-+-，22223422222224y y x yk k x x x +=+=-+-.因为点P 在双曲线1C 上，所以2211142x y -=，所以221142x y -=，所以1121x k k y +=.因为点Q 在椭圆线2C 上，所以2222142x y +=，所以222242x y -=-，所以2342x k k y +=-.因为O ，P ，M 三点共线，所以1212y y x x =，所以121234120x x k k k k y y +++=-=.（2）设直线AP 的方程为2y kx k =+，联立22224y kx k x y =+⎧⎨-=⎩，消y ，得()()22222184210k x k x k -+++=，解得12x =-，2224212k x k +=-，所以点P 的坐标为222424,1212k k k k ⎛⎫+ ⎪--⎝⎭，因为点P 位于第一象限，所以222420124012k k k k ⎧+>⎪⎪-⎨⎪>⎪-⎩，解得202k <<，联立22224y kx k x y =+⎧⎨+=⎩，消y ，得()()22222184210k x k x k +++-=，解得32x =-，2422412kx k -=+，所以点N 的坐标为222244,1212k k k k ⎛⎫- ++⎝⎭，所以()22222224161422444221212121214k k k k kAP AN AP AN k k k k k +⎛⎫⎛⎫+-⋅=⋅=--+⋅= ⎪⎪-+-+-⎝⎭⎝⎭，设21t k =+，则312t <<，所以22161616314(1)48384t tAP AN t t t t t ⋅===---+-⎛⎫-+ ⎪⎝⎭.因为函数3()4f x x x=+在区间31,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，所以当312t <<时，3748t t <+<，所以30841t t ⎛⎫<-+< ⎪⎝⎭，所以1616384t t >⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，即16AP AN ⋅>，故AP AN ⋅的取值范围为()16,+∞.【变式5-1】已知O为坐标原点，椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>的离心率为3，且经过点P．（1）求椭圆C的方程；（2）直线l与椭圆C交于A，B两点，直线OA的斜率为1k，直线OB的斜率为2k，且1213k k=-，求OA OB⋅的取值范围．【答案】（1）22193x y+=；（2）[3,0)(0,3]-.【解析】（1）由题意，223611caa b⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，又222a b c=+，解得3,a b==所以椭圆C为22193x y+=.（2）设()()1122,,,A x yB x y，若直线l的斜率存在，设l为y kx t=+，联立22193y kx tx y=+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y得：()222136390+++-=k x ktx t，22Δ390k t=+->，则12221226133913ktx xktx xk-⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，又12k k=121213y yx x=-，故121213=-y y x x且120x x≠，即2390-≠t，则23≠t，又1122,y kx t y kx t=+=+，所以()()()222222222121212221212122691133939313-+++++-+==+=+==---+k t tkx t kx t kt x x ty y t kkk ktx x x x x x tk，整理得222933=+≥t k，则232≥t且Δ0>恒成立．221212121212222122393333133313--⎛⎫⋅=+=-==⋅=⋅=-⎪+⎝⎭t tOA OB x x y y x x x x x xk t t，又232≥t，且23≠t，故2331[3,0)(0,3)⎛⎫-∈-⎪⎝⎭t.当直线l的斜率不存在时，2121,x x y y==-，又12k k=212113-=-yx，又2211193x y+=，解得2192x=则222111233⋅=-==OA OB x y x．综上，OA OB ⋅的取值范围为[3,0)(0,3]-．【变式5-2】已知双曲线22221(00)x y C a b a b-=>>：，的离心率为2，F 为双曲线的右焦点，直线l 过F 与双曲线的右支交于P Q ，两点，且当l 垂直于x 轴时，6PQ =；（1）求双曲线的方程；（2）过点F 且垂直于l 的直线'l 与双曲线交于M N ，两点，求MP NQ MQ NP ⋅⋅+的取值范围．【答案】（1）2213y x -=；（2）(],12-∞-【解析】（1）依题意，2c a =，当l 垂直于x 轴时，226b PQ a==，即23b a =，即223c a a -=，解得1a =，b =2213y x -=；（2）设:2PQ l x my =+，联立双曲线方程2213y x -=，得：()22311290m y my -++=，当0m =时，()()()()2,3,2,3,0,1,0,1P Q M N --，12MP NQ MQ NP ⋅+⋅=-，当0m ≠时，设()()()()11223344,,,,,,,P x y Q x y M x y N x y ，因为直线PQ 与双曲线右支相交，因此1229031y y m =<-，即m ⎛⎫⎛∈⋃ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，同理可得234293m y y m =-，依题意()()MP NQ MF FP NF FQ MF NF FP FQ =+⋅+=⋅+⋅⋅，同理可得，()()MQ NP MF FQ NF FP MF NF FP FQ =+⋅+⋅=⋅+⋅，而()212342111FP FQ MF NF m y y y y m ⎛⎫⋅+⋅=+++ ⎪⎝⎭，代入122931y y m =-，234293m y y m =-，()()()()()()222242224222919118163633133103133m m m m m FP FQ MF NF m m m m m m ++-+++⋅+⋅=+==----+--，分离参数得，2429663103m FP FQ MF NF m m ⋅+⋅=---+，因为3333m ⎛⎫⎛∈⋃ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，当210,3m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，由22110,3m m ⎛⎫+∈+∞ ⎪⎝⎭，()22966,61310FP FQ MF NF m m ⋅+⋅=-∈-∞-⎛⎫+- ⎪⎝⎭，所以()()2,12MP NQ MQ N FP FQ MF NF P ⋅=⋅+⋅∈∞-⋅-+，综上可知，MP NQ MQ NP ⋅⋅+的取值范围为(],12-∞-.【变式5-3】已知抛物线()2:20E x py p =>的焦点为F ，直线4x =分别与x 轴交于点P ，与抛物线E 交于点Q ，且54QF PQ =.（1）求抛物线E 的方程；（2）如图，设点,,A B C 都在抛物线E 上，若ABC 是以AC 为斜边的等腰直角三角形，求AB AC ⋅uu u r uuu r的最小值.【答案】（1）24x y =；（2）32【解析】（1）设点()04,Q y ，由已知000216524py p y y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，则8102p p p +=，即24p =.因为0p >，则2p =，所以抛物线E 的方程是24x y =.（2）设点()222312123123,,,,,444x x x A x B x C x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，直线AB 的斜率为()0k k >，因为AB BC ⊥，则直线BC 的斜率为1k-.因为AB BC =，则1223x x x x -=-，得()2312x x k x x -=-，①因为22121212444x x x x k x x -+==-，则124x x k +=，即124x k x =-，②因为223223231444x x x x k x x -+-==-，则234x x k +=-，即324x x k =--③将②③代入①，得()2242420x k k x k+--=，即()()322212120k k x k kk-+---=，则()()32211k xk k -=+，所以()()()()22222122··cos 451421AB AC AB AC AB x x k k x k ︒===-+=-+()()()()()2332222411614111k k k k k k k k ⎡⎤-+⎢⎥=-+=++⎢⎥⎣⎦因为212k k +≥，则()22214k k +≥，又()22112k k++≥，则()()3222121k k k +≥+，从而()()3222121kk k +≥+当且仅当1k =时取等号，所以AB AC 的最小值为32.题型六参数型最值范围问题【例6】已知点()()1122,,,M x y N x y 在椭圆222:1(1)xC y a a+=>上，直线,OM ON 的斜率之积是13-，且22212x x a +=.（1）求椭圆C 的方程；（2）若过点()0,2Q 的直线与椭圆C 交于点,A B ，且(1)QB t QA t =>，求t 的取值范围.【答案】（1）2213x y +=；（2）(]1,3【解析】（1）椭圆方程改写为:2222x a y a +=，点()()1122,,,M x y N x y 在椭圆上，有222211a y a x =-，222222a y a x =-，两式相乘，得：()()()222222222241142122122a a a y y a x a x x x x x --==-++，由22212x x a +=，得222212241a y y x x =，由直线,OM ON 的斜率之积是13-，得121213y y x x =-，即222212129y y x x =，∴49a =，23a =，椭圆C 的方程为：2213x y +=.（2）过点()0,2Q 的直线若斜率不存在，则有()0,1A ，()0,1B -，此时3t =；当过点()0,2Q 的直线斜率存在，设直线方程为2y kx =+，由22213y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，得()22131290k x kx +++=，直线与椭圆C 交于点,A B 两点，∴()2221249(13)36360k k k ∆=-⨯⨯+=->，得21k >设()()1122,,,A x y B x y ''''，(1)QB t QA t =>，21x x t '='由韦达定理12122121212(1)13913k x x t x k x x tx k ''''-⎧+==+⎪⎪+⎨⎪⋅+'='=⎪⎩，消去1x '，得()229131441t k t ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭+，由21k >，2101k<<，∴()2311641t t <<+，由1t >，解得13t <<，综上，有13t <≤，∴t 的取值范围为(]1,3【变式6-1】已知A 、B 分别是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右顶点，O 为坐标原点，=6AB ，点2,3⎛⎫⎪⎝⎭5在椭圆C 上．过点()0,3P -，且与坐标轴不垂直的直线交椭圆C 于M 、N 两个不同的点．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若点B 落在以线段MN 为直径的圆的外部，求直线的斜率k 的取值范围；（3）当直线的倾斜角θ为锐角时，设直线AM 、AN 分别交y 轴于点S 、T ，记PS PO λ=，PT PO μ=，求λμ+的取值范围．【答案】（1）22195x y +=；（2）227,,1,332k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∈-∞-⋃⋃+∞ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；（3）4,23⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】（1）因为=6AB ，所以=3a ；又点2,3⎛⎫ ⎪⎝⎭5在图像C 上即()22252319b⎛⎫⎪⎝⎭+=，所以b 所以椭圆C 的方程为22195x y +=；（2）由（1）可得()3,0B ，设直线3l y kx =-：，设11(,)M x y 、22(,)N x y ，由22=-3=195y kx x y ⎧⎪⎨+⎪⎩得22(59)54360k x kx +-+=，22(54)436(59)0k k ∆=-⨯⨯+>解得23k >或23k <-①∵点()3,0B 在以线段MN 为直径的圆的外部，则0BM BN ⋅>，又12212254+=5+936=5+9k x x k x x k ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩②211221212(3,)(3,)(1)3(1)()180BM BN x y x y k x x k x x ⋅=--=+-+++>，解得1k <或72k >由①②得227,,1,332k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∈-∞-⋃⋃+∞ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（3）设直线3l y kx =-：，又直线的倾斜角θ为锐角，由（2）可知23k >，记11(,)M x y 、22(,)N x y ，所以直线AM 的方程是：()1133y y x x =++，直线AN 的方程是：()2233y y x x =++.令=0x ，解得113+3y y x =，所以点S 坐标为1130,+3y x ⎛⎫ ⎪⎝⎭；同理点T 为2230,+3y x ⎛⎫⎪⎝⎭.所以1130,3+3y PS x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，2230,3+3y PT x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()0,3PO =.由PS PO λ=，PT PO μ=，可得：11333+3y x λ+=，22333+3y x μ+=，所以1212233y yx x λμ+=++++，由（2）得1225495k x x k +=+，1223695x k x =+，所以()()()1212121212122311333338229kx x k x x kx kx x x x x x x λμ--++-+-+=++=+++++()222254231189595254936369595k k k k k k k k ⎛⎫⋅+-- ⎪++⎝⎭=+⎛⎫++ ⎪++⎝⎭21012921k k k +=-⨯+++()()2110291k k +=-⨯++101291k =-⨯++，因为23k >，所以5131,0315k k +><<+，10142,2913k ⎛⎫-⨯+∈ ⎪+⎝⎭，故λμ+的范围是4,23⎛⎫⎪⎝⎭.【变式6-2】设A ，B 为双曲线C ：22221x y a b-=()00a b >>，的左、右顶点，直线l 过右焦点F 且与双曲线C 的右支交于M ，N 两点，当直线l 垂直于x 轴时，AMN 为等腰直角三角形．（1）求双曲线C 的离心率；（2）已知4AB =，若直线AM ，AN 分别交直线1x =于P ，Q 两点，若()0D t ，为x 轴上一动点，当直线l 的倾斜角变化时，若PDQ ∠为锐角，求t 的取值范围．【答案】（1）2；（2）{2t t <-或}4t >【解析】（1）由双曲线C ：22221x y a b-=()00a b >>，可得：右焦点(),0F c ，将x c =代入2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>中，2by a=±，当直线l 垂直于x 轴时，AMN 为等腰直角三角形，此时AF FM =，即2b ac a+=，整理得：220a ac b +-=，因为222b c a =-，所以2220a ac c +-=，方程两边同除以2a 得：220e e +-=，解得：2e =或1-（舍去），所以双曲线C 的离心率为2；（2）因为24AB a ==，所以2a =，因为2c e a ==，解得4c =，故22212b c a =-=，所以双曲线的方程为221412x y -=，当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为：()4y k x =-，与双曲线联立得：()22223816120kxk x k -+--=，设()()1122,,,M x y N x y ，则212283k x x k +=-，212216123k x x k +=-，则()()()221212121244416y y k x x k x x x x =--=-++⎡⎤⎣⎦222221612321633k k k k k ⎛⎫+=-+ ⎪--⎝⎭22363k k -=-，因为直线l 过右焦点F 且与双曲线C 的右支交于,M N 两点，所以22121222816124,433k k x x x x k k ++=>=>--，解得：23k >，直线()11:22y AM y x x =++，则1131,2y P x ⎛⎫ ⎪+⎝⎭，同理可求得：2231,2y Q x ⎛⎫⎪+⎝⎭，所以11,213y D x P t ⎪+⎛⎫=- ⎝⎭，22,213y D x Q t ⎪+⎛⎫=- ⎝⎭，因为PDQ ∠为锐角，所以()()12221192202D y y x Q t x P D t ⋅=+-+>++，即()1122122109224y y x x x t x t +-+++>+，所以22222221203693161216433k k k k t k t k -⨯-++--+++>-所以21290t t +-->即()219t ->，解得2t <-或4t >；当直线l 的斜率不存在时，将4x =代入双曲线可得6y =±，此时不妨设()()4,6,4,6M N -，此时直线:2AM y x =+，点P 坐标为()1,3，同理可得：()1,3Q -，所以()1,3DP t =-，()1,3DQ t =--，因为PDQ ∠为锐角，所以2280DP DQ t t ⋅=-->，解得2t <-或4t >；综上所述，t 的取值范围{2t t <-或}4t >【变式6-3】22122:1y x C a b-=上的动点P 到两焦点的距离之和的最小值为22:2(0)C x py p =>的焦点与双曲线1C 的上顶点重合．（1）求抛物线2C 的方程；（2）过直线:(l y a a =为负常数）上任意一点M 向抛物线2C 引两条切线，切点分别为AB ，坐标原点O 恒在以AB 为直径的圆内，求实数a 的取值范围．【答案】（1）24x y =；（2）40a -<<.【解析】（1）由已知：双曲线焦距为，则长轴长为2，故双曲线的上顶点为(0,1)，即为抛物线焦点.∴抛物线2C 的方程为24x y =；（2）设(,)M m a ，2111(,)4A x x ，2221(,)4B x x ，故直线MA 的方程为211111()42y x x x x -=-，即21142y x x x =-，所以21142a x m x =-，同理可得：22242a x m x =-，∴1x ，2x 是方程242a xm x =-的两个不同的根，则124x x a =，2212121()416OA OB x x x x a a ∴⋅=+=+，由O 恒在以AB 为直径的圆内，240a a ∴+<，即40a -<<．。
圆锥曲线中的最值、范围、证明问题 课件(67张)
55 15 .
所以△ABP面积的最大值为251635 5.
[方法技巧] (1)当题目中给出的条件有明显的几何特征，考虑用
图象性质来求解． (2)当题目中给出的条件和结论的几何特征不明显，
则可以建立目标函数，再求这个函数的最值．求函数最 值的常用方法有配方法、判别式法、单调性法、三角换 元法等．
利用基本不等式求最值 [例 3] (2017·太原模拟)已知椭圆 M：xa22＋y32＝1(a>0)的一个 焦点为 F(－1,0)，左、右顶点分别为 A，B.经过点 F 的直线 l 与 椭圆 M 交于 C，D 两点． (1)当直线 l 的倾斜角为 45°时，求线段 CD 的长； (2)记△ABD 与△ABC 的面积分别为 S1 和 S2，求|S1－S2，所以椭圆 M 的方程为x42＋y32＝1， 易求直线方程为 y＝x＋1，联立方程，得x42＋y32＝1，
y＝x＋1， 消去 y，得 7x2＋8x－8＝0， 设 C(x1，y1)，D(x2，y2)，Δ＝288，x1＋x2＝－87，x1x2＝－87， 所以|CD|＝ 2|x1－x2|＝ 2 x1＋x22－4x1x2＝274.
[答案] C
[方法技巧] 利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定
理、性质等进行求解，也叫做几何法．
建立目标函数求最值 [例 2] 已知△ABP 的三个顶点都在抛 物线 C：x2＝4y 上，F 为抛物线 C 的焦点，
点 M 为 AB 的中点， PF ＝3FM . (1)若|PF|＝3，求点 M 的坐标； (2)求△ABP 面积的最大值． [解] (1)由题意知焦点 F(0,1)，准线方程为 y＝－1. 设 P(x0，y0)，由抛物线定义知|PF|＝y0＋1，得 y0＝2， 所以 P(2 2，2)或 P(－2 2，2)， 由 PF ＝3FM ，得 M－232，23或 M232，23.
高考数学知识点复习：圆锥曲线中最值与范围问题 课件
【解答】 (1) 以 O 为原点，AB，OD 所在直线分别为 x 轴、y 轴，建立如图(2)所示
的平面直角坐标系，则 A(－2,0)，B(2,0)，D(0，2)，P( 3，1)，依题意得|MA－MB|＝|PA
－PB|＝ 3＋22＋12－ 3－22＋12＝2 2＜AB＝4，
所以曲线 C 是以原点为中心，A，B 为焦点的双曲线．
设实半轴长为 a，虚半轴长为 b，半焦距为 c，
则 c＝2,2a＝2 2，所以 a2＝2，b2＝c2－a2＝2，
所以曲线 C 的方程为x22－y22＝1.
图(2)
(2) 依题意，可设直线 l 的方程为 y＝kxx－6＝0.
因为直线 l 与双曲线 C 相交于不同的两点 E，F，
x＝my＋12， 消去 x 并整理得 4(3m2＋4)y2＋12my－45＝0. 设 E(x1，y1)，F(x2，y2)，M(x0，y0)， 则 y1＋y2＝－3m32m＋4，所以 y0＝－23m3m2＋4，
所以 x0＝3m22＋4，所以 k＝4mm2＋4. ①当 m＝0 时，k＝0. ②当 m≠0 时，k＝4m1＋m4 ， 因为|4m＋m4 |＝4|m|＋|m4 |≥8，所以 0<|k|≤18， 所以－18≤k≤18，且 k≠0， 综合①②可知，直线 MA 的斜率 k 的取值范围是－18，18.
【解答】 (1) 因为椭圆 C 过点1，32， 所以a12＋49b2＝1.① 因为椭圆 C 关于直线 x＝c 对称的图形过坐标原点， 所以 a＝2c，所以 b2＝34a2.② 由①②得 a＝2，b＝ 3， 所以椭圆 C 的方程为x42＋y32＝1.
(2) 依题意，直线 l 过点12，0，且斜率不为零， 所以可设其方程为 x＝my＋12. 联立x42＋y32＝1，
高考圆锥曲线中的最值和范围问题解析版
高考专题 圆锥曲线中的最值和范围问题★★★高考要考什么1 圆锥曲线的最值与范围问题 (1)圆锥曲线上本身存在的最值问题： ①椭圆上两点间最大距离为2a (长轴长)．②双曲线上不同支的两点间最小距离为2a (实轴长)．③椭圆焦半径的取值范围为[a －c ，a ＋c ]，a －c 与a ＋c 分别表示椭圆焦点到椭圆上的点的最小距离与最大距离．④抛物线上的点中顶点与抛物线的准线距离最近．(2)圆锥曲线上的点到定点的距离的最值问题，常用两点间的距离公式转化为区间上的二次函数的最值问题解决，有时也用圆锥曲线的参数方程，化为三角函数的最值问题或用三角形的两边之和(或差)与第三边的不等关系求解．(3)圆锥曲线上的点到定直线的距离的最值问题解法同上或用平行切线法．(4)点在圆锥曲线上(非线性约束条件)的条件下，求相关式子(目标函数)的取值范围问题，常用参数方程代入转化为三角函数的最值问题，或根据平面几何知识或引入一个参数(有几何意义)化为函数进行处理． (5)由直线(系)和圆锥曲线(系)的位置关系，求直线或圆锥曲线中某个参数(系数)的范围问题，常把所求参数作为函数，另一个元作为自变量求解．与圆锥曲线有关的最值和范围问题的讨论常用以下方法解决：（1）结合定义利用图形中几何量之间的大小关系；（2）不等式（组）求解法：利用题意结合图形（如点在曲线内等）列出所讨论的参数适合的不等式（组），通过解不等式组得出参数的变化范围；（3）函数值域求解法：把所讨论的参数作为一个函数、一个适当的参数作为自变量来表示这个函数，通过讨论函数的值域来求参数的变化范围。
（4）利用代数基本不等式。
代数基本不等式的应用，往往需要创造条件，并进行巧妙的构思；（5）结合参数方程，利用三角函数的有界性。
直线、圆或椭圆的参数方程，它们的一个共同特点是均含有三角式。
因此，它们的应用价值在于： ① 通过参数θ简明地表示曲线上点的坐标；② 利用三角函数的有界性及其变形公式来帮助求解诸如最值、范围等问题； （6）构造一个二次方程，利用判别式∆≥0。
最新高考数学总复习——第8章 第9节 圆锥曲线中的范围、最值问题)
x2 y2 (2019·山师附中模拟)已知椭圆C： 3 ＋ 2 ＝1，直线l： y＝kx＋m(m≠0)，设直线l与椭圆C交于A，B两点． (1)若|m|> 3，求实数k的取值范围； (2)若直线OA，AB，OB的斜率成等比数列(其中O为坐标原点)， 求△OAB的面积的取值范围．
(1)几何法：若题目中的条件和结论能明显体现几何特征和意 义，则考虑利用图形性质数形结合求解．
(2)代数法：若题目中的条件和结论能体现一种明确的函数关 系，或者不等关系，或者已知参数与新参数之间的等量关系等，则 利用代数法求参数的范围．
利用基本不等式求最值 已知椭圆C：x2＋2y2＝4. (1)求椭圆C的离心率； (2)设O为原点，若点A在直线y＝2上，点B在椭圆C上，且 OA⊥OB，求线段AB长度的最小值．
[解](1)由题意，椭圆C的标准方程为x42＋y22＝1， 所以a2＝4，b2＝2，从而c2＝a2－b2＝2. 因此a＝2，c＝ 2. 故椭圆C的离心率e＝ac＝ 22.
(2)设点A，B的坐标分别为(t,2)，(x0，y0)，其中x0≠0. 因为OA⊥OB，所以O→A·O→B＝0， 即tx0＋2y0＝0，解得t＝－2xy00. 又x20＋2y20＝4， 所以|AB|2＝(x0－t)2＋(y0－2)2＝x0＋2xy002＋(y0－2)2 ＝x20＋y20＋4xy2020＋4＝x20＋4－2 x20＋24－ x20 x20 ＋4
(1)求椭圆C的标准方程； (2)求△PCD面积的最大值．
a32＋41b2＝1， [解](1)由题意得ac＝ 23，
a2＝b2＋c2，
得a2＝ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ，b2＝1，
故椭圆C的标准方程为x42＋y2＝1.
圆锥曲线的热点问题—最值、范围、证明问题
23，
当且仅当4t ＝3t，即 t2＝34时等号成立，此时 k2＝73，所以△OAB 面积的最大值为
3 2.
索引
思维升华
求最值常用的方法有两种：①几何法，若题目的条件和结论能明显体现图形 的几何特征及意义，则考虑利用图形的性质来解决；②代数法，若题目的条 件和结论能体现一种明确的函数关系，则可先建立目标函数，再求这个函数 的最值.
索引
类型二 范围问题
例2 如图，已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点，抛物线C：y2＝4x
上存在不同的两点A，B满足PA，PB的中点均在C上.
(1)设AB中点为M，证明：PM垂直于y轴； 证明 设 P(x0，y0)，A14y21，y1，B14y22，y2. 因为 PA，PB 的中点在抛物线上，所以 y1，y2 为方程y＋2y02＝4·14y2＋2 x0， 即 y2－2y0y＋8x0－y20＝0 的两个不同的实根. 所以 y1＋y2＝2y0，即y1＋2 y2＝y0，因此 PM 垂直于 y 轴.
索引
(2)若 P 是半椭圆 x2＋y42＝1(x<0)上的动点，求△PAB 面积的取值范围. 解 由(1)可知yy11＋ y2＝y2＝ 8x02－y0，y20， 所以 PM＝18(y21＋y22)－x0＝43y20－3x0，|y1－y2|＝2 2（y02－4x0）. 因此，△PAB 的面积 S△PAB＝21PM·|y1－y2|＝342(y20－4x0)32. 因为 x20＋y420＝1(－1≤x0<0)， 所以 y20－4x0＝－4x20－4x0＋4∈[4，5]， 因此，△PAB 面积的取值范围是6 2，15410.
索引
思维升华
求参数的取值范围问题常用的方法有两种：①不等式(组)法，根据题意结合图 形列出所讨论的参数满足的不等式(组)，通过不等式(组)得出参数的取值范围； ②函数值域法，用某变量的函数表示所讨论的参数，通过讨论函数的值域求 得参数的取值范围.
圆锥曲线最值范围定值(总结)
l
与椭圆x2＋ 2
y2＝1 有两个不同的交点 P 和 Q.
(1)求 k 的取值范围；
(2)设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A，B，是否存在常数m，使得
向量O→P＋O→Q与A→B共线？如果存在，求m值；如果不存在，请说明理由．
解 (1)由已知条件，知直线 l 的方程为 y＝kx＋ 2， 代入椭圆方程，得x22＋(kx＋ 2)2＝1，整理得12＋k2x2＋2 2kx＋1＝0.① 由直线 l 与椭圆有两个不同的交点 P 和 Q，得 Δ＝8k2－412＋k2＝4k2－2＞0，
a
2
思路二：利用二次方程有实根
由椭圆定义知 | PF1 | | PF2 | 2a ，又由 F1PF2 90 知 PF1 |2 | PF2 |2 | F1F2 |2 4c2 ， 则可得 | PF1 || PF2 | 2(a 2 c2 ) ，这样| PF1 | 与| PF2 | 是方程 u 2 2au 2(a 2 c2 ) 0 的两个
证明 由题意，知 F1(－1,0)，F2(1,0)， 设 B(x1，y1)，E(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)， 直线 y＝k(x－1)，代入x92＋y82＝1， 得 8yk＋12＋9y2－72＝0，即(8＋9k2)y2＋16ky－64k2＝0， 则 y1＋y2＝－8＋169kk2，y1y2＝－8＋649k2k2. 同理，将 y＝k(x－1)代入 y2＝4x，得 ky2－4y－4k＝0， 则y3＋y4＝4k，y3y4＝－4，
a2 ，即 0
2c 2 a 2 e2
a 2 ，所以 e [
2 ，1）. 2
思路五：利用基本不等式
由椭圆定义，有 2a | PF1|| PF2 | ，平方后得
圆锥曲线中的最值、范围问题2
则 x0＝x1＋2 x2＝1－＋33kkt2，y0＝kx0＋t＝1＋t3k2， ∴H－1＋3k3tk2，1＋t3k2. ∵|DP|＝|DQ|，∴DH⊥PQ，即 kDH＝－1k. ∴－1＋1＋t33kk3t2k＋2－20＝－1k，化简得 t＝1＋3k2，② 由①②得，1<t<4.综上，t∈(－2,4)．
F，
离心率为 2 ，过点 F 且垂直于长轴的弦长为 2 .
2
（I）求椭圆 C 的标准方程；
（II）设点 A，B 分别是椭圆的左、右顶点，若过点 P2,0的直线与椭圆相交于不同两点 M,N.
（i）求证： AFM BFN ；
（ii）求 MNF 面积的最大值.
解：（1） e c 2 , 又 2b2 2 ,所以 a 2,b 1.所以椭圆的标准方程为 x2 y2 1…………（4 分）
5．定值问题 解析几何中的定值问题是指某些几何量(线段的长度、 图形的面积、角的度数、直线的斜率等)的大小或某些代数 表达式的值等和题目中的参数无关，不随参数的变化而变 化，而始终是一个确定的值．
6．最值问题 圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但 总体上主要有两种方法：一是利用几何方法，即利用曲线 的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求 解；二是利用代数方法，即把要求最值的几何量或代数表 达式表示为某个(些)参数的函数，然后利用函数方法、不等 式方法等进行求解．
解决圆锥曲线中最值、范围问题的基本思想是建立目标函数 和建立不等关系，根据目标函数不等式求最值、范围．因此这类 问题的难点，就是如何建立目标函数和不等关系．建立目标函数 或不等关系的关键是选用一个合适变量，其原则是这个变量能够 表达要解决的问题，这个变量可以是直线的斜率、直线的截距、 点的坐标等，要根据问题的实际情况灵活处理．
圆锥曲线中参数范围与最值问题(解析版)
圆锥曲线中参数范围与最值问题【方法技巧与总结】1.求最值问题常用的两种方法(1)几何法：题中给出的条件有明显的几何特征，则考虑用几何图形性质来解决，这是几何法．(2)代数法：题中给出的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求该函数的最值．求函数的最值常见的方法有基本不等式法、单调性法、导数法和三角换元法等，这就是代数法．2.求参数范围问题的常用方法构建所求几何量的含参一元函数，形如AB =f k ，并且进一步找到自变量范围，进而求出值域，即所求几何量的范围，常见的函数有：(1)二次函数；(2)“对勾函数”y =x +ax(a >0)；(3)反比例函数；(4)分式函数．若出现非常规函数，则可考虑通过换元“化归”为常规函数，或者利用导数进行解决．这里找自变量的取值范围在Δ>0或者换元的过程中产生．除此之外，在找自变量取值范围时，还可以从以下几个方面考虑：①利用判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围．②利用已知参数的范围，求出新参数的范围，解题的关键是建立两个参数之间的等量关系．③利用基本不等式求出参数的取值范围．④利用函数值域的求法，确定参数的取值范围．【题型归纳目录】题型一：弦长最值问题题型二：三角形面积最值问题题型三：四边形面积最值问题题型四：弦长的取值范围问题题型五：三角形面积的取值范围问题题型六：四边形面积的取值范围问题题型七：向量数量积的取值范围问题题型八：参数的取值范围【典例例题】题型一：弦长最值问题例1.已知圆O :x 2+y 2=r 2的任意一条切线l 与椭圆M :x 26+y 23=1都有两个不同的交点A ，B ．(1)求圆O 半径r 的取值范围；(2)是否存在圆O ，满足OA ⊥OB 恒成立？若存在，求出圆O 的方程及|OA |∙|OB|的最大值；若不存在，说明理由．【解析】解：(1)要使圆O :x 2+y 2=r 2的任意一条切线l 与椭圆M :x 26+y 23=1都有两个不同的交点，则圆必在椭圆的内部，∴0<r <3．(2)设圆的切线方程y =kx +m ，由y =kx +m x 26+y 23=1，得(1+2k 2)x 2+4km x +2m 2-6=0．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，x 1+x 2=-4km 1+2k 2，x 1x 2=2m 2-61+2k 2．y 1y 2=(kx 1+m )(kx 2+m )=m 2-6k 21+2k 2．∵OA ⊥OB ，∴x 1x 2+y 1y 2=0⇒m 2=2k 2+2，⋯①∵y =kx +m 与圆O :x 2+y 2=r 2相切，∴r 2=m 21+k 2⋯②由①②得r 2=2，此时圆的方程为：x 2+y 2=2，当切线的斜率不存在时，切线方程为x =±2A (2,2)，B (2,-2)或A (-2,2)，B (-2,-2)满足条件∴圆的方程为：x 2+y 2=2∵|AB |=1+k 2(x 1+x 2)2-4x 1x 2=221+14k 2+1k2+4≤3，当直线AB 的斜率不存在或为0时，|AB |=22．∴|AB |≤3∵OA ⊥OB ，∴|OA |∙|OB |=r ∙AB ，|OA |∙|OB|的最大值32．例2.平面直角坐标系xoy 中，椭圆C 1:x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的离心率为22，过椭圆右焦点F 作两条相互垂直的弦，当其中一条弦所在直线斜率为0时，两弦长之和为6．(1)求椭圆的方程；(2)A ，B 是抛物线C 2:x 2=4y 上两点，且A ，B 处的切线相互垂直，直线AB 与椭圆C 1相交于C ，D 两点，求弦|CD |的最大值．【解析】解：(1)∵椭圆C 1:x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的离心率为22，过椭圆右焦点F 作两条相互垂直的弦，当其中一条弦所在直线斜率为0时，两弦长之和为6，∴e =c a =222a +2b 2a =6a 2=b 2+c 2，解得a =2，b =c =2，∴椭圆方程为x 24+y 22=1．(2)设直线AB 为：y =kx +m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)，由y =kx +mx 2=4y，得x 2-4kx -4m =0，则x 1+x 2=4k ，x 1x 2=-4m ，由x 2=4y ，得y ′=x2，故切线PA ，PB 的斜率分别为k PA =x 12，k PB =x22，再由PA ⊥PB ，得k PA ∙k PB =-1，∴x 12∙x 22=x 1x 24=-4m 4=-m =-1，解得m =1，这说明直线AB 过抛物线C 1的焦点F ，由y =kx +1x 24+y 22=1，得(1+2k 2)x 2+4kx -2=0，∴|CD |=1+k 2∙(4k )2-4(1+2k 2)∙(-2)1+2k2=1+k 2∙8(1+4k 2)1+2k 2≤3．当且仅当k =±22时取等号，∴弦|CD |的最大值为3．例3.设椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)经过点23,263 ，且其左焦点坐标为(-1,0)．(Ⅰ)求椭圆的方程；(Ⅱ)过椭圆的右焦点作两条相互垂直的直线l ，m ，其中l 交椭圆于M ，N ，m 交椭圆于P ，Q ，求|MN |+|PQ |的最小值．【解析】解：(Ⅰ)∵椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)经过点23,263 ，且其左焦点坐标为(-1,0)，∴c =1，2a =259+249+19+249=4，∴b =a 2-c 2=3，∴椭圆的方程为：x 24+y 23=1．⋯(4分)(Ⅱ)①当直线l 1，l 2中有一条直线的斜率不存在时，|MN |+|PQ |=7．⋯(5分)②当直线l 1的斜率存在且不为0时，设直线l 1的方程y =k (x -1)，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，由y =k (x -1)x 24+y 23=1，得(3+4k 2)x 2-8k 2x +4k 2-12=0，∴x 1+x 2=8k 23+4k 2，x 1x 2=4k 2-123+4k 2，|MN |=(1+k 2)(x 1-x 2)2=1+k 2∙(x 1+x 2)2-4x 1x 2=12(1+k 2)3+4k 2，设直线l 2的方程为y =-1k (x -1)，同理得：|PQ |=12(1+k 2)4+3k 2，所以|MN |+|PQ |=84(k 2+1)2(4+3k 2)(3+4k 2)，⋯(9分)设t =k 2+1，则t >1，所以1t =12时，|MN |+|PQ |有最小值487<7．综上，|MN |+|PQ |的最小值是487．⋯(12分)变式1.已知点Q (2,1)在椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)上，且点Q 到C 的两焦点的距离之和为42．(1)求C 的方程；(2)设圆O :x 2+y 2=85上任意一点P 处的切线l 交C 于点M ，N ，求|OM |⋅|ON |的最小值．【解析】解：(1)由题意可得4a 2+1b2=1，且2a =42，解得a =22，b =2，所以椭圆C 的方程为x 28+y 22=1；(2)当直线MN 的斜率不存在时，可设切线方程为x =405，代入椭圆x 2+4y 2=8，可得M 2105，2105 ，N 2105，-2105 ，则OM ⋅ON =0，且|OM |⋅|ON |=165；当直线MN 的斜率存在时，设切线的方程为y =kx +m ，由切线与圆x 2+y 2=85相切，可得|m |1+k 2=85，化为5m 2=8+8k 2，由y =kx +m 与椭圆方程联立，可得(1+4k 2)x 2+8km x +4m 2-8=0，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1+x 2=-8km 1+4k 2，x 1x 2=4m 2-81+4k 2，OM ⋅ON=x 1x 2+y 1y 2=x 1x 2+(kx 1+m )(kx 2+m )=(1+k 2)x 1x 2+km (x 1+x 2)+m 2=(1+k 2)⋅4m 2-81+4k 2+km -8km 1+4k 2 +m 2，代入m 2=8+8k 25，可得OM ⋅ON =0，即OM ⊥ON ，由OP ⊥MN ，所以|OM |⋅|ON |=|OP |⋅|MN |=85|MN |，而|MN |=1+k 2⋅(x 1+x 2)2-4x 1x 2=1+k 2⋅64k 2m 2(1+4k 2)2-4(4m 2-8)1+4k 2=1+k 2⋅42+8k 2-m 21+4k 2=1+k 2⋅425+32k 251+4k 2=410516k 4+17k 2+116k 4+8k 2+1=4105⋅1+9k 216k 4+8k 2+1≥4105，当k =0时，上式取得等号．所以|OM |⋅|ON |的最小值为85⋅4105=165．变式2.已知椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，焦距为2，点E 在椭圆上．当线段EF 2的中垂线经过F 1时，恰有cos ∠EF 2F 1=2-12．(1)求椭圆的标准方程；(2)直线l 与椭圆相交于A 、B 两点，且|AB |=2，P 是以AB 为直径的圆上任意一点，O 为坐标原点，求|OP |的最大值．【解析】解：(1)由焦距为2知c =1，连结EF 1，线段EF 2的中垂线经过F 1时，∴|EF 1|=2c =2，∵cos ∠EF 2F 1=2-12．∴|F 2N ||F 1F 2|=2-12．∴|F 2N |=2-1，∴|EF 2|=22-2，∴2a =|EF 1|+|EF 2|=22，∴a =2，由所以椭圆方程为x 22+y 2=1；(2)①当l 的斜率不存在时，AB 恰为短轴，此时|OP |=1；②当l 的斜率存在时，设l :y =kx +m ．联立x 22+y 2=1y =kx +m，得到(2k 2+1)x 2+4km x +2m 2-2=0，∴△=16k 2-8m 2+8>0，x 1+x 2=-4km 2k 2+1，x 1x 2=2m 2-22k 2+1．∵|AB |=1+k 2⋅22⋅1+2k 2-m 22k 2+1=2，化简得m 2=2k 2+12k 2+2．又设M 是弦AB 的中点，∴M -2km 2k 2+1,m 2k 2+1 ，|OM |2=4k 2+1(2k 2+1)2⋅m 2，∴|OM |2=4k 2+1(2k 2+1)2⋅2k 2+12k 2+2=4k 2+1(2k 2+1)(2k 2+2)，令4k 2+1=t ≥1，则|OM |2=4t (t +1)(t +3)=4t +3t+4≤423+4=4-23，∴|OM |≤4-23=3-1(仅当t =3时取等)，又∵|OP |≤|OM |+|MP |=|OM |+1≤3(仅当k 2=3-14时取等号)．综上，|OP |max =3．题型二：三角形面积最值问题例4.已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的离心率是22，F 1，F 2分别是椭圆C 的左、右焦点．以线段|F 1F 2|为直径的圆的内接正三角形的边长为6．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)已知点P (6，26)，直线l :y =x +m 与椭圆C 交于A ，B 两点，求ΔPAB 面积的最大值．【解析】解：(1)由题意可知，e =c a =22，6sin60°=2c ，所以a =2，c =2，所以b 2=a 2-c 2=2，所以椭圆C 的标准方程为：x 24+y 22=1；(2)方法一：设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由x 24+y 22=1y =x +m，消去y ，整理得：3x 2+4mx +2m 2-4=0，则△=16m 2-12×(2m 2-4)=-8m 2+48>0，所以m 2<6，所以-6<m <6，所以x 1+x 2=-4m 3，x 1x 2=2m 2-43，所以|AB |=1+k 2(x 1+x 2)2-4x 1x 2=1+1⋅-4m 3 2-4×2m 2-43=46-m 23，P (6,26)到直线l :x -y +m =0的距离为d =|6-26+m |12+(-1)2=|m -6|2，所以S ΔPAB =12×|AB |×d =12×46-m 23|m -6|2=23(6-m )6-m 2，设6-m =t ∈(0,26)，则m =6-t ，所以S ΔPAB =23⋅t ⋅-(t -6)2+6=23t 2(-t 2+26t )=23-t 4+26t 3，令g (t )=-t 4+26t 3，t ∈(0,26)，则g ′(t )=-4t 3+66t 2=2t 2(-2t +36)，当0<t <362时，g ′(t )>0，g (t )单调递增，当362<t <26时，g ′(t )<0，g (t )单调递减，故当t =362，即m =-62时，g (t )取得最大值，即S ΔPAB 取得最大值，所以S ΔPAB 最大值为23×6+62 6-62 2=362，所以ΔPAB 面积的最大值362．方法二：同方法一，S ΔPAB =23(6-m )(6-m )(6+m )=23(6-m )3(6+m )，由(6-m )3(6+m )=13(6-m )3(36+3m )≤13×3(6-m )+36+3m 4 4=354，当且仅当6-m =36+3m ，即m =-62时，取等号，所以S ΔPAB ≤23×354=362，所以ΔPAB 面积的最大值362．例5.已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)经过点D (2,0)，E 1,32 两点．(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线l :y =kx +m 与椭圆C 交于不同两点A ，B ，点G 是线段AB 的中点，点O 为坐标原点，设射线OG 交椭圆C 于点Q ，且OQ =λOG．①证明：λ2m 2=4k 2+1；②求ΔAOB 的面积S (λ)的解析式，并计算S (λ)的最大值．【解析】(1)解：∵椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)经过点D (2,0)，E 1,32 两点，∴4a 2=11a 2+34b 2=1 ，解得a =2，b =1，∴椭圆方程为x 24+y 2=1．(2)①证明：令A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由y =kx +mx 2+4y 2=4，消去y ，得(1+4k 2)x 2+8km x +4m 2-4=0，∴△=(8km )2-4(1+4k 2)(4m 2-4)>0x 1+x 2=-8km 1+4k 2x 1x 2=4m 2-41+4k 2 ，即m 2<1+4k 2x 1+x 2=-8km1+4k 2x 1x 2=4m 2-41+4k 2，∴y 1+y 2=k (x 1+x 2)+2m =k (-8km )1+4k 2+2m =2m1+4k 2，又由中点坐标公式，得G -4km 1+4k 2,m1+4k 2，根据OQ =λOG ，得Q -4λkm 1+4k 2，λm 1+4k 2，将其代入椭圆方程，有4λ2k 2m 2(1+4k 2)2+λ2m 2(1+4k 2)2=1，化简得：λ2m 2=4k 2+1．②解：由①得m ≠0，λ>1，∵|x 1-x 2|=-8km 1+4k 2 2-4×4m 2-41+4k 2=41+4k 2-m 21+4k 2，在ΔAOB 中，S ΔAOB =12|m ||x 1-x 2|，∴S (λ)=2|m |λ2m 2-m 2λ2m 2=2λ2-1λ2，λ>1，令λ2-1=t ，t >0，则S =2t t 2+1=2t +1t<221=1(当且仅当t =1时，即λ=2时取“=” )∴当λ=2时，S (λ)=2λ2-1λ2取得最大值，其最大值为1．例6.已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的短轴顶点分别为A ，B ，且短轴长为2，T 为椭圆上异于A ，B 的任意一点，直线TA ，TB 的斜率之积为-13．(1)求椭圆C 的方程；(2)设O 为坐标原点，圆O :x 2+y 2=34的切线l 与椭圆C 相交于P ，Q 两点，求ΔPOQ 面积的最大值．【解析】解：(1)由题意可知2b =2，b =1，A (0,1)，B (0,-1)，设T (x 0，y 0)，满足x 20a2+y 20=1，由k TA ⋅k TB =y 0-1x 0⋅y 0+1x 0=y 20-1x 20=-1a2=-13，则a 2=3，所以椭圆C 的方程：x 23+y 2=1；(2)设直线PQ 的方程：x =my +t ，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，由O 到直线PQ 的距离d =|t |1+m2=32，即t 2=34(1+m 2)，联立方程组x =my +tx 23+y 2=1，消去x ，整理得(m 2+3)y 2+2mty +t 2-3=0，则△=(2mt )2-4(m 2+3)(t 2-3)=12(m 2-t 2+3)=3(m 2+9)>0，y 1+y 2=-2mt m 2+3，y 1y 2=t 2-3m 2+3，则|PQ |=1+m 2(y 1+y 2)2-4y 1y 2=3×(1+m 2)(m 2+9)(m 2+3)2，由(1+m 2)(m 2+9)(m 2+3)2=13×(3+3m 2)(m 2+9)(m 2+3)2≤13×3+3m 2+m 2+92 2(m 2+3)2=43，当且仅当3+3m 2=m 2+9，即m 2=3，m =±3时取等号，所以|PQ |=3×(1+m 2)(m 2+9)(m 2+3)2≤3×23=2，所以ΔPOQ 面积S =12×|PQ |×32≤12×2×32=32，所以ΔPOQ 面积的最大值32．变式3.已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的焦距为22，且经过点32,12 ．(1)求椭圆C 的方程；(2)过点P (0,2)的直线交椭圆C 于A 、B 两点，求ΔAOB (O 为原点)面积的最大值．【解析】解：(1)由2c =22⇒c =2⇒a 2-b 2=2，①由椭圆C 经过点32,12 ，得94a 2+14b2=1，②，联立①②，解得b =1，a =3，∴椭圆C 的方程是x 23+y 2=1．(2)由题意可知直线AB 一定存在斜率，设其方程为y =kx +2，联立y =kx +2x 23+y 2=1，消去y ，得(1+3k )x 2+12kx +9=0，则△=144k 2-36(1+3k 2)>0，得k 2>1，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1+x 2=-12k 1+3k 2，x 1⋅x 2=91+3k 2，∴S ΔAOB =|S ΔPOB -S ΔPOA |=12×2×|x 1-x 2|=|x 1-x 2|，∵(x 1-x 2)2=(x 1+x 2)2-4x 1⋅x 2=-12k 1+3k 2 2-361+3k 2=36(k 2-1)(1+3k 2)2，设k 2-1=t (t >0)，则(x 1-x 2)2=36t (3t +4)2=369t +16t +24≤3629t ×16t+24=34，当且仅当9t =16t ，即t =43时等号成立，此时k 2=73>1，符合题意，此时ΔAOB 面积取得最大值32．变式4.在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的离心率为63，且点32,12 在椭圆C 上．(1)求椭圆C 的方程；(2)过点P (0,2)的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，求ΔAOB 的面积最大时l 的方程．【解析】解：(1)由题意可得e =c a =63，又a 2-b 2=c 2，点32,12 在椭圆C 上，可得94a 2+14b 2=1，解方程可得a =3，b =1，即有椭圆的方程为x 23+y 2=1；(2)设过点P (0,2)的直线l 的方程为x =m (y -2)，代入椭圆方程，可得(3+m 2)y 2+4m 2y +4m 2-3=0，判别式为16m 4-4(3+m 2)(4m 2-3)>0，即有-1<m <1，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1+y 2=-4m 23+m 2，y 1y 2=4m 2-33+m 2，|AB |=1+m 2∙|y 1-y 2|=1+m 2∙16m 4(3+m 2)2-4(4m 2-3)3+m 2=61+m 2∙1-m 2(3+m 2)2，由O 到直线l 的距离d =|2m |1+m 2，则ΔAOB 的面积为S =12d ∙|AB |=6|m |∙1-m 2(3+m 2)2，令t =1-m 2，(0<t ≤1)，即有S =6(1-t )t(4-t )2，由f (t )=t -t 2(t -4)2的导数为f ′(t )=7t -4(t -4)3，当0<t <47时，f (t )递增，47<t <1时，f (t )递减，当且仅当t =47，即m =±217，面积S 取得最大值，即有ΔAOB 的面积最大时l 的方程为x =±217(y -2)．变式5.已知椭圆M :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的一个焦点与短轴的两端点组成一个正三角形的三个顶点，且椭圆经过点2，22 ．(1)求椭圆M 的标准方程；(2)直线l :x =ky +n 与椭圆M 相交于A ，B 两点，且以线段AB 为直径的圆过椭圆的右顶点C ，求ΔABC 面积的最大值．【解析】解：(1)根据题意，设椭圆的上下顶点为B 1(0,b )，B 2(0,-b )，左焦点为F 1(-c ,0)，则△B 1B 2F 1是正三角形，所以2b =c 2+b 2=a ，则椭圆方程为x 24b 2+y 2b 2=1，将2，22 代入椭圆方程，可得24b 2+12b2=1，解得a =2，b =1，故椭圆的方程为：x 24+y 2=1；(2)由题意，设直线l 的方程为x =ky +n ，联立x 24+y 2=1x =ky +n，整理可得：(4+k 2)y 2+2kny +n 2-4=0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1+y 2=-2kn 4+k 2，y 1y 2=n 2-44+k 2，因为以线段AB 为直径的圆过椭圆的右顶点C (2,0)，所以CA ∙CB=0由CA =(x 1-2，y 1)，CB =(x 2-2，y 2)，则(x 1-2)(x 2-2)+y 1y 2=0，将x 1=ky 1+n ，x 2=ky 2+n 代入上式并整理得(1+k 2)y 1y 2+k (n -2)(y 1+y 2)+(n -2)2=0，则(1+k 2)(n 2-4)4+k 2+-2k 2n (n -2)4+k2+(n -2)2=0，化简可得(5n -6)(n -2)=0，解得：n =65，或n =2，因为直线x =ky +n 不过点C (2,0)，所以n ≠2，故n =65所以直线l 恒过点65，0 ．故S ΔABC =12|DC ||y 1-y 2|=122-65(y 1+y 2)2-4y 1y 2=25-125k 4+k 22-43625-4 4+k 2=82525(4+k 2)-26(4+k 2)2设t =14+k 20<t ≤14 ，则S ΔABC =825-36t 2+25t 在t ∈0，14 上单调递增，当t =14时，S ΔABC =825-36×116+25×14=1625，所以ΔABC 的面积的最大值为1625．变式6.在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左、右焦点分别是F 1，F 2，离心率e=12，请再从下面两个条件中选择一个作为已知条件，完成下面的问题：①椭圆C 过点1,32；②以点F 1为圆心，3为半径的圆与以点F 2为圆心，1为半径的圆相交，且交点在椭圆C 上(只能从①②中选择一个作为已知)(1)求椭圆C 的方程；(2)已知过点F 2的直线l 交椭圆C 于M ，N 两点，点N 关于x 轴的对称点为N ，且F 2，M ，N 三点构成一个三角形，求证直线MN 过定点，并求△F 2MN 面积的最大值．【解析】解：(1)选①：由题意知e =c a =121a2+94b 2=1a 2=b 2+c 2，∴a 2=4b 2=3 ．所以椭圆C 的方程为x 24+y 23=1．选②：设圆F 1与圆F 2相交于点Q ．由题意知：|QF 1|+|QF 2|=3+1=4．又因为点Q 在椭圆上，所以2a =4，∴a =2．又因为e =c a -12，∴c =1，∴b 2=3．所以椭圆C 的方程为x 24+y 23=1．(2)由题易知直线MN 斜率存在且不为0，因为F 2(1,0)，故设直线MN 的方程为x =ty +1，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，x =ty +1x 24+y 23=1，∴(3t 2+4)y 2+6ty -9=0，∴y 1+y 2=-6t 3t 2+4，y 1y 2=-93t 2+4，因为点N 关于x 轴的对称点为N ，所以N (x 2，-y 2)，所以直线MN 的方程为y +y 2=y 1+y 2x 1-x 2(x -x 2)，令y =0，∴x =x 2+y 2(x 1-x 2)y 1+y 2=x 1y 2+x 2y 1y 1+y 2．又x =ty +1，∴x =2ty 1y 2+y 1+y 2y 1+y 2=2ty 1y 2y 1+y 2+1=2t -93t 3+4-6t 3t 2+4+1=-18t 3t 2+4-6t3t 2+4=3+1=4．所以直线MN 过定点E (4,0)，∴S △F 2MN=12×|F 2E |×|y 1+y 2|=12×3×-6t 3t 2+4=32×6|t |3t 2+4=32×63|t |+4|t |≤334．当且仅当3|t |=4|t |，即t =±233时，取等号．所以△F 2MN 面积的最大值为334．变式7.已知椭圆C :x 22+y 2=1的左、右焦点分别是F 1，F 2，过F 2的直线l 与椭圆相交于A ，B 两点．(1)若直线l 的倾斜角为45°，试求AB 的中点坐标；(2)求ΔABF 1面积的最大值及此时直线l 的方程．【解析】解：(1)椭圆x 22+y 2=1的左焦点F 1(-1,0)，F 2(1,0)，过F 2且倾斜角为45°的直线l 为y =x -1，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立方程组：y =x -1x 22+y 2=1，消去y 得：3x 2-4x =0，则x 1+x 2=43，所以y 1+y 2=x 1+x 2-2=-23，则AB 的中点坐标为23，-13；(2)当直线l 垂直x 轴时，直线l 的方程为x =1，代入椭圆方程可得y =±22，此时|AB |=2，则S △ABF 1=12|AB ||F 1F 2|=12×2×2=2；当直线l 不垂直x 轴时，设直线方程为x =ty +1(t ≠0)，联立x =ty +1x 22+y 2=1，得(t 2+2)y 2+2ty -1=0，∴y 1+y 2=-2t t 2+2，y 1y 2=-1t 2+2，∴|y 1-y 2|=(y 1+y 2)2-4y 1y 2=4t 2(t 2+2)2+4⋅1t 2+2=22⋅t 2+1t 2+2∴S △ABF 1=12|y 1-y 2|×2=|y 1-y 2|=22⋅t 2+1t 2+2，令t 2+1=m (m >1)，则t 2=m 2-1，则S △ABF 1=22m m 2+1=22m +1m<222=2，综上：ΔABF 1面积的最大值为2，此时直线的方程为x =1．题型三：四边形面积最值问题例7.在直角坐标系xoy 中，已知点F 1(-1,0)，F 2(1,0)，动点P 满足：|OP +OF 2 |+|OP -OF 2 |=4．(1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)若分别过点(-1,0)、(1,0)，作两条平行直线m ，n ，设m ，n 与轨迹C 的上半部分分别交于A 、B 两点，求四边形面积的最大值．【解析】解：(1)设点P (x ,y )，由点F 1(-1,0)，F 2(1,0)．动点P 满足：|OP -OF 1 |+|OP -OF 2 |=4．∴(x +1)2+y 2+(x -1)2+y 2=4．由椭圆定义可知点P 的轨迹是以点(1,0)，(-1,0)为焦点，长轴长为4的椭圆，其方程为：x 24+y 23=1．(2)设直线m :x =ty -1，它与轨迹C 的另一个交点为D ．由椭圆的对称性知：S ABF 1F 2=12(|AF 1|+|BF 2|)⋅d=12(|AF 1|+|DF 1|)⋅d =12|AD |d =S △ADF 2，x =ty -1与C 联立，消去x ，得(3t 2+4)y 2-6ty -9=0，△>0，|AD |=(1+t 2)[(y 1+y 2)2-4y 1y 2]=1+t 2⋅121+t 23t 2+4，又到的距离为d =21+t2，∴S △ADF 2=121+t 23t 2+4，令m =1+t 2≥1，则S △ADF 2=123m +1m ，∵y =3m +1m在[1，+∞)上单调递增∴当m =1即t =0时，S △ADF 2取得最大值3，所以四边形面积的最大值为3．例8.已知抛物线C :x 2=2py (p >0)的焦点为F ，直线y =kx +2与抛物线C 交于A ，B 两点，若k =1，则|BF |-|AF |=43．(1)求抛物线C 的方程；(2)分别过点A ，B 作抛物线C 的切线l 1、l 2，若l 1，l 2分别交x 轴于点M ，N ，求四边形ABNM 面积的最小值．【解析】解：(1)抛物线x 2=2py (p >0)的焦点为F 0,p2，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB 方程y =kx +2与抛物线方程联立，整理得x 2-2pkx -4p =0，x 1+x 2=2pk ，x 1x 2=-4p ，|x 1-x 2|=(x 1+x 2)2-4x 1x 2=4p 2k 2+16p若k =1，||BF |-|AF ||=|y 1-y 2|=k |x 1-x 2|=4p 2+16p =43，∴p =2，即抛物线C 的方程为x 2=4y ．(2)(方法一)由(1)知y =x 24且x 1+x 2=4k ，x 1x 2=-8，|x 1-x 2|=4k 2+2，y =12x ，所以切线l 1的方程为y -y 1=12x 1(x -x 1)即y =12x 1x -14x 21，①同理切线l 2的方程为y =12x 2x -14x 22，②联立①②得x =x 1+x 22，y =14x 1x 2=-2，即切线l 1与l 2的交点为P x 1+x 22,-2 ，由切线l 1:y =12x 1x -14x 21，得M x 12,0 ，同理可得N x 22,0 ，∴S ΔPMN =12×2×x 12-x 22=12|x 1-x 2|=2k 2+2，又∵|AB |=1+k 2|x 1-x 2|=41+k 2k 2+2，点P 到直线AB 的距离为d =k (x 1+x 2)2+41+k 2=|2k 2+4|1+k 2，∴S ΔPAB =12|AB |d =4k 2+2|k 2+2|，(10分)∴四边形ABNM 的面积S =S ΔPAB -S ΔPMN =4k 2+2(k 2+2)-2k 2+2=2k 2+2(2k 2+3)，令t =k 2+2≥2，则S =4t 3-2t ，t ≥2时，S =12t 2-2>0成立，S 单调递增，∴当t=2，即k=0时，四边形ABNM的面积的最小值为62．(方法二)由(1)知y=x24且x1+x2=4k，x1x2=-8，|x1-x2|=4k2+2，y =12x，所以切线l1的方程为y-y1=12x1(x-x1)即y=12x1x-14x21，同理切线l2的方程为y=12x2x-14x22，由切线l1:y=12x1x-14x21，得Mx12,0，同理可得N x22,0，记直线AB:y=kx+2与y轴交点T(0,2)，∴SΔOAB=SΔOTA+SΔOTB=12|OT|(|x1|+|x2|)=12|OT||x1-x2|=|x1-x2|，SΔOAM=12|OM|∙|y1|=1 2x12|y1|=116|x31|，同理SΔOBN=116|x32|，∴四边形ABNM的面积S=SΔOAB+SΔOAM+SΔOBN=|x1-x2|+116|x31-x32|=|x1-x2|+116|x1-x2||x21+ x1x2+x22|=116|x1-x2|3-12|x1-x2|，记t=|x1-x2|≥42，则S=116t3-12t，∵S =316t2-12>0，S单调递增，∴当t=42即k=0时，四边形ABNM面积的最小值为62．例9.在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)和抛物线D:y2=4x，椭圆C的左，右焦点分别为F1，F2，且椭圆C上有一点P满足|PF1|:|F1F2|:|PF2|=3:4:5，抛物线D的焦点为F2．(1)求椭圆C的方程；(2)过F2作两条互相垂直的直线l1和l2，其中直线l1交椭圆C于A，B两点，直线l2交抛物线D于P，Q两点，求四边形APBQ面积的最小值．【解析】解：(1)由题意可知，抛物线D:y2=4x的焦点为(1,0)，因为抛物线D的焦点为F2，所以椭圆C的半焦距c=1，又椭圆C有一点P满足|PF1|:|F1F2|:|PF2|=3:4:5，所以椭圆C的离心率e=2c2a=|F1F2||PF1|+|PF2|=12，所以a=2，b=3，则求得椭圆C的方程是x24+y23=1．(2)当直线AB的斜率不存在时，直线PQ即为x轴，与抛物线只有一个交点，不满足条件；当直线AB的斜率为0时，A，B为椭圆长轴两端点，直线PQ⊥x轴，|PQ|=4，四边形APBQ的面积S=4×2=8；当直线AB的斜率k≠0时，设直线AB的方程为y=k(x-1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立直线AB与椭圆C:y=k(x-1)x24+y23=1，消去y可得(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0，则x1+x2=8k23+4k2，x1x2=4k2-123+4k2．则弦长|AB|=1+k2⋅|x1-x2|=1+k2⋅8k23+4k22-4⋅4k2-123+4k2=1+k2⋅144(k2+1)(3+4k2)2=12(1+k2)3+4k2，设P (x 3，y 3)，Q (x 4，y 4)，联立直线PQ 与抛物线D :y =-1k (x -1)y 2=4x，消去y 可得x 2-(4k 2+2)x +1=0，则x 3+x 4=4k 2+2，由抛物线的定义，弦长|PQ |=x 3+x 4+2=4k 2+2+2=4(k 2+1)，由于AB ⊥PQ ，则四边形APBQ 的面积S =12×12(1+k 2)3+4k 2×4(k 2+1)=24(k 2+1)23+4k 2，令3+4k 2=t >3，则k 2=t -34，即S =32t +1t +2 ，令g (x )=32x +1x +2 ，则g (x )=321-1x2 ，可知x >3时，g(x )>0，则g (x )单调递增，则g (x )>g (3)=8，综上，当直线AB 斜率k =0时，四边形APBQ 面积有最小值8．变式8.已知椭圆C 1:x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的长轴长为4，离心率为12，一动圆C 2过椭圆C 1右焦点F ，且与直线x =-1相切．(1)求椭圆C 1的方程及动圆圆心轨迹C 2的方程；(2)过F 作两条互相垂直的直线，分别交椭圆C 1于P ，Q 两点，交曲线C 2于M ，N 两点，求四边形PMQN 面积的最小值．【解析】解：(1)由已知可得2a =4e =c a =12⇒a =2c =1 ⇒b 2=a 2-c 2=3，则所求椭圆方程C 1:x 24+y 23=1．由已知可得动圆圆心轨迹为抛物线，且抛物线C 的焦点为(1,0)，准线方程为x =-1，则动圆圆心轨迹方程为C 2:y 2=4x ．(2)当直线MN 的斜率不存在时，|MN |=4，此时PQ 的长即为椭圆长轴长，|PQ |=4，从而S PMQN =12|MN |⋅|PQ |=12×4×4=8．设直线MN 的斜率为k ，则k ≠0，直线MN 的方程为：y =k (x -1)，直线PQ 的方程为y =-1k(x -1)，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，P (x 3，y 3)，Q (x 4，y 4)，由y =k (x -1)y 2=4x，消去y 可得k 2x 2-(2k 2+4)x +k 2=0，由抛物线定义可知：|MN |=|MF 2|+|NF 2|=x 1+1+x 2+1=2k 2+4k 2+2=4+4k2，由y =-1k (x -1)x 24+y 23=1 ，消去y 得(3k 2+4)x 2-8x +4-12k 2=0，从而|PQ |=1+-1k 2|x 3-x 4|=12(1+k 2)3k 2+4，∴S PMQN =12|MN |⋅|PQ |=124+4k 2 12(1+k 2)3k 2+4=24(1+k 2)23k 4+4k 2，令1+k 2=t ，∵k >0，则t >1，则S PMQN =12|MN |⋅|PQ |=24t 23(t -1)2+4(t -1)=24t 23t 2-2t -1=243-2t -1t23-2t -1t 2=4-1+1t 2∈(0,3)，所以S PMQN =243-2t -1t2>8，所以四边形PMQN 面积的最小值为8．变式9.已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左、右焦点分别是F 1，F 2，P 是椭圆上的一点，I 为△PF 1F 2的内切圆圆心，S △PIF 1=2S △IF 1F 2-S △PIF 2，且△PF 1F 2的周长为6．(1)求椭圆C 的方程．(2)已知过点(0,1)的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，若2OP =3(OA +OB )，求四边形OAPB 面积的最大值．【解析】解：(1)因为S △PIF 1=2S △IF 1F 2-S △PIF 2，所以|PF 1|+|PF 2|=2|F 1F 2|，即a =2c ①，又因为△PF 1F 2的周长为6，所以|PF 1|+|PF 2|+|F 1F 2|=6，即2a +2c =6②，由①②可得a =2，c =1，则b =3，所以椭圆的方程为x 24+y 23=1．(2)设直线AB 的方程为y =kx +1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则由y =kx +1x 24+y 23=1，联立消y 可得，(3+4k 2)x 2+8kx -8=0，△>0x 1+x 2=-8k3+4k 2x 1x 2=-83+4k 2，因为2OP=3(OA +OB )，所以S 四边形OAPB =3S ΔOAB ，所以S 四边形OAPB =32x 1-x 2 =321612k 2+6 3+4k 2=662k 2+13+4k 2，令2k 2+1=t ≥1，所以k 2=t 2-12，所以S 四边形OAPB =66t 2t 2+1=662t +1t，又因为y =2t +1t在区间[1，+∞)上单调递增，所以y ≥3，所以S 四边形OAPB ≤26．所以四边形OAPB 的面积最大值为26．题型四：弦长的取值范围问题例10.设F 1，F 2分别是椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左、右焦点，已知椭圆的长轴为22，P 是椭圆C 上一动点，PF 1 ⋅PF 2 的最大值为1．(1)求椭圆C 的方程；(2)过点(2,0)的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，M 为椭圆C 上一点，O 为坐标原点，且满足OA +OB =m OM ，其中m ∈455,433 ，求|AB |的取值范围．【解析】解：(1)由题意可得2a =22，即a =2，设P (x ,y )，F 1(-c ,0)，F 2(c ,0)，可得PF 1 ⋅PF 2=(-c -x ，-y )⋅(c -x ，-y )=(-c -x )(c -x )+y 2=x 2+y 2-c 2，x 2+y 2可看作P 与椭圆上的点的距离的平方，当P 位于椭圆的长轴的端点处，|OP |取得最大值a ，即有a 2-c 2=1，即b =1，可得椭圆的方程为x 22+y 2=1；(2)设过点(2,0)的直线l 的方程为y =k (x -2)，联立椭圆方程x 2+2y 2=2，可得(1+2k 2)x 2-8k 2x +8k 2-2=0，则△=64k 4-4(1+2k 2)(8k 2-2)>0，即k 2<12，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (s ,t )，则x 1+x 2=8k 21+2k 2，x 1x 2=8k 2-21+2k 2，y 1+y 2=k (x 1+x 2-4)=k 8k 21+2k 2-4 =-4k1+2k 2，由OA +OB =mOM ，即(x 1+x 2，y 1+y 2)=m (s ，t )，可得s =1m ⋅8k 21+2k 2，t =1m ⋅-4k1+2k 2，将(s ,t )代入椭圆方程可得12⋅1m 28k 21+2k 2 2+1m 2⋅-4k1+2k 22=1，解得m 2=16k 21+2k 2，由m 2∈165，163 ，解得k 2∈13，1 ，结合△>0则13≤k 2<12，则|AB |=1+k 2|x 1-x 2|=1+k 2⋅(x 1+x 2)2-4x 1x 2=1+k 2⋅64k 4(1+2k 2)2-4(8k 2-2)1+2k 2=22⋅1-k 2-2k 44k 4+4k 2+1=22⋅-12+2k 2+32k 4+k 2-1，设2k 2+3=u ，113≤u <4 ，即k 2=u -32，2k 2+32k 4+k 2-1=u (u -3)22+u -32-1=2u +4u -5，由u +4u 在113≤u <4递增，可得u +4u ∈15733，5 ，2u +4u-5∈-∞，-334 ，2+2k 2+32k 4+k 2-1∈-∞，-254 ，-12+2k 2+32k 4+k 2-1∈0，25 ，可得|AB |∈0，425 ．例11.已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)过点1,22 ，且焦距为2．(1)求椭圆C 的方程；(2)过点M (2,0)的直线l 交椭圆C 于点A ，B 两点，P 为椭圆C 上一点，O 为坐标原点，且满足OA +OB=tOP ，其中t ∈263,2 ，求|AB |的取值范围．【解析】解：(1)依题意椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)过点1,22 ，且焦距为2．有a 2=b 2+11a 2+12b 2=1⇒a 2=2b 2=1，所以椭圆C 的方程为x 22+y 2=1．(2)由题意可知该直线l 存在斜率，设其直线l 方程为y =k (x -2)，由y =k (x -2)x 22+y 2=1，消去y 得(1+2k 2)x 2-8k 2x +8k 2-2=0，所以△=8(1-2k 2)>0，即k 2<12，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (x ,y )，则x 1+x 2=8k 21+2k 2y 1+y 2=k (x 1+x 2-4)=-4k 1+2k 2．由OA +OB =tOP ，得P 8k 2t (1+2k 2),-4k t (1+2k 2)，代入椭圆C 的方程x 22+y 2=1，得t 2=16k 21+2k 2，由263<t <2，得14<k 2<12，|AB |=1+k 2|x 1-x 2|=1+k 2⋅22⋅1-2k 21+2k2=22(1+2k 2)2+11+2k 2-1，令u =11+2k2，则u ∈12,23 ，所以|AB |=22u 2+u -1∈0,253．例12.在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的离心率为22，直线y =x 被椭圆C 截得的线段长为833．(I )求椭圆C 的方程．(Ⅱ)直线l 是圆O :x 2+y 2=r 2的任意一条切线，l 与椭圆C 交于A 、B 两点，若以AB 为直径的圆恒过原点，求圆O 的方程，并求出|AB |的取值范围．【解析】解：(Ⅰ)椭圆方程x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)，a 2=b 2+c 2，∵e =c a =22，∴a 2=2c 2，∴a 2=2b 2，设直线与椭圆交于P ，Q 两点．不妨设P 点为直线和椭圆在第一象限的交点，又∵弦长为833，∴P 263,263，∴83a 2+83b 2=1，又a 2=2b 2，解得a 2=8，b 2=4，∴椭圆方程为x 28+y 24=1．(Ⅱ)(i )当切线l 的斜率不存在时，设x =r (或x =-r )，代入椭圆方程得：∴A r ,8-r 22，B r ,-8-r 22，∵以AB 为直径的圆恒过原点，∴OA ⊥OB ，∴r 2-8-r 22=0，∴r 2=83，∴圆O 的方程为x 2+y 2=83，此时|AB |=28-r 22=463(同理当x =-r 时，上述结论仍然成立)，(ii )当切线l 的斜率存在时，设l 方程为：y =kx +m ，∵l 与圆O 相切∴|m |1+k2=r ，即m 2=(1+k 2)r 2，将直线方程代入椭圆方程并整理得：(1+2k 2)x 2+4km x +2m 2-8=0，①△=8k 2+4-m 2>0，②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1，x 2是方程①的两个解，由韦达定理得：x 1+x 2=-4km 1+2k 2，x 1x 2=2m 2-81+2k 2，y 1y 2=(kx 1+m )(kx 2+m )=k 2x 1x 2+km (x 1+x 2)+m 2=m 2-8k 21+2k 2，∵以AB 为直径的圆恒过原点，∴OA ⊥OB ，∴x 1x 2+y 1y 2=0，∴2m 2-81+2k 2+m 2-8k 21+2k 2=0，∴3m 2-8-8k 2=0，3m 2=8(1+k 2)，又∵m 2=(1+k 2)r 2，∴3(1+k 2)r 2=8(1+k 2)，∴r 2=83，此时m 2=83(1+k 2)，代入②式后成立，∴圆O 的方程为x 2+y 2=83，此时|AB |=1+k 2⋅(x 1+x 2)2-4x 1x 2，=1+k 2⋅-4km 1+2k 2 2-4⋅2m 2-81+2k 2，=1+k 2⋅222k 2+1⋅8k 2+4-m 2，=463⋅1+k2⋅4k2+11+2k2，=463⋅4k4+5k2+11+2k2，=463⋅4k4+5k2+14k4+4k2+1，=463⋅1+k24k4+4k2+1；(i)若k=0，则|AB|=463，(ii)若k≠0，则|AB|=463⋅1+14k2+4+1k2∈463，23 ，综上，圆O的方程为x2+y2=83，|AB|的取值范围是463，23．变式10.已知抛物线C1:y2=4x的焦点F也是椭圆C2:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的一个焦点，C1与C2的公共弦长为46 3．(Ⅰ)求椭圆C2的方程；(Ⅱ)过椭圆C2的右焦点F作斜率为k(k≠0)的直线l与椭圆C2相交于A，B两点，线段AB的中点为P，过点P做垂直于AB的直线交x轴于点D，试求|DP||AB|的取值范围．【解析】解：(Ⅰ)抛物线C1:y2=4x的焦点F为(1,0)，由题意可得a2-b2=1①由C1与C2关于x轴对称，可得C1与C2的公共点为23，±263，可得49a2+83b2=1②由①②解得a=2，b=3，即有椭圆C2的方程为x24+y23=1；(Ⅱ)设l:y=k(x-1)，k≠0，代入椭圆方程，可得(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1+x2=8k23+4k2，x1x2=4k2-123+4k2，即有y1+y2=k(x1+x2)-2k=8k33+4k2-2k=-6k3+4k2，由P为中点，可得P4k23+4k2，-3k3+4k2，又PD的斜率为-1k，即有PD:y--3k3+4k2=-1k x-4k23+4k2，令y=0，可得x=k23+4k2，即有Dk23+4k2，0 ，可得|PD|=k23+4k2-4k23+4k22+-3k3+4k22=3k4+k23+4k2，又|AB|=1+k2∙(x1+x2)2-4x1x2=1+k2∙8k23+4k22-4(4k2-12)3+4k2=12(1+k2) 3+4k2，即有|DP ||AB |=14k 2k 2+1=141-11+k 2，由k 2+1>1，可得0<11+k 2<1，即有0<141-11+k 2<14，则有|DP ||AB |的取值范围为0,14 ．变式11.如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的离心率为12，过椭圆右焦点F 作两条互相垂直的弦AB 与CD ．当直线AB 斜率为0时，AB +CD =7．(1)求椭圆的方程；(2)求AB +CD 的取值范围．【解析】解：(1)由题意知，e =c a =12，CD =7-2a ，所以a 2=4c 2，b 2=3c 2，⋯2分因为点c ,7-4c2 在椭圆上，即c 24c 2+7-4c 2 23c 2=1，解得c =1．所以椭圆的方程为x 24+y 23=1．⋯6分(2)①当两条弦中一条斜率为0时，另一条弦的斜率不存在，由题意知AB +CD =7；⋯7分②当两弦斜率均存在且不为0时，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，且设直线AB 的方程为y =k (x -1)，则直线CD 的方程为y =-1k(x -1)．将直线AB 的方程代入椭圆方程中，并整理得(3+4k 2)x 2-8k 2x +4k 2-12=0，所以x 1=4k 2-6k 2+13+4k 2，x 2=4k 2+6k 2+13+4k 2，所以AB =k 2+1|x 1-x 2|=12(k 2+1)3+4k 2．⋯10分同理，CD =121k2+1 3+4k2=12(k 2+1)3k 2+4．所以AB +CD =12(k 2+1)3+4k 2+12(k 2+1)3k 2+4=84(k 2+1)2(3+4k 2)(3k 2+4)，⋯12分令t =k 2+1，则t >1，3+4k 2=4t -1，3k 2+4=3t +1，设f (t )=(4t -1)(3t +1)t 2=-1t 2+1t +12=-1t -12 2+494，因为t >1，所以1t ∈(0,1)，所以f (t )∈12,494 ，所以AB +CD =84f (t )∈487,7．综合①与②可知，AB +CD 的取值范围是487,7．⋯16分．变式12.已知圆C 1的圆心在坐标原点O ，且恰好与直线l 1:x -2y +35=0相切，点A 为圆上一动点，AM ⊥x 轴于点M ，且动点N 满足ON =23OA +223-23OM ，设动点N 的轨迹为曲线C ．(Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)若直线l 与椭圆C 相交于不同两点A ，B ，且满足OA ⊥OB (O 为坐标原点)，求线段AB 长度的取值范围．【解析】解：(Ⅰ)设动点N (x ,y )，A (x 0，y 0)，∵AM ⊥x 轴于点M ，∴M (x 0，0)，设圆C 1的方程为x 2+y 2=r 2，由题意得r =|35|1+4=3，∴圆C 1的方程为x 2+y 2=9．由题意，ON =23OA +223-23 OM ，得(x ,y )=23(x 0,y 0)+223-23(x 0,0)，∴x =223x 0y =23y 0 ，即x 0=322x y 0=32y，将A 322x ,32y代入x 2+y 2=9，得动点N 的轨迹方程为x 28+y 24=1；(Ⅱ)(1)假设直线l 的斜率存在，设其方程为y =kx +m ，联立y =kx +m x 2+2y 2=8，可得(1+2k 2)x 2+4km x +2m 2-8=0．∴△=64k 2-8m 2+32>0．x 1+x 2=-4km 1+2k 2,x 1x 2=2m 2-81+2k 2，(*)∵OA ⊥OB ，∴OA ⋅OB =0，则x 1x 2+(kx 1+m )(kx 2+m )=0，化简可得，(k 2+1)x 1x 2+km (x 1+x 2)+m 2=0．将(*)代入可得3m 2=8k 2+8．又∵|AB |=1+k 2|x 1-x 2|=1+k 264k 2-8m 2321+2k 2．将m 2=83(k 2+1)代入，可得|AB |=1+k 2⋅2×64k 23+3231+2k2=323⋅1+k 21+4k 4+4k 2=323⋅1+11k 2+4k 2+4≤23．∴当且仅当k 2=12，即k =±22时等号成立．又由k 21+4k 4+4k2≥0，∴|AB |≥323=463．∴463≤|AB |≤23．(2)若直线l 的斜率不存在，则OA 所在直线方程为y =x ，联立y =x x 2+2y 2=8 ，解得A 263,263，同理求得B 263,-263，求得|AB |=463．综上，得463≤|AB |≤23．变式13.已知椭圆x 2a 2+y 2b2=1的离心率为63，P (1,1)是椭圆上一点，直线y =13x +m 与椭圆交于A ，B 两点(B 在A 的右侧且不同于P 点)(Ⅰ)求椭圆方程；(Ⅱ)若直线PA 的斜率为1，求直线PB 的斜率；(Ⅲ)求|PA ||PB |的取值范围．【解析】解：(Ⅰ)由题意可得e =c a =631a 2+1b 2=1c 2=a 2-b 2，解得：a 2=4，b 2=43，所以椭圆的方程为：x 24+3y 24=1；(Ⅱ)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，因为k PA =y 1-1x 1-1=1，所以直线PA 的方程为y -1=x -1，即y =x ，联立直线PA 与椭圆的方程：y =x x 2+3y 2-4=0 ，整理可得x 2=1，解得x =-1或x =1(舍)，所以A (-1,-1)，而A 在直线y =13x +m 上，所以m =-23，所以直线AB 的方程为y =13x -23，联立直线AB 与椭圆的方程y =13x -23x 2+3y 2-4=0，整理可得x 2-x -2=0，解得x =2或x =-1(舍)，即B (2,0)，所以直线PB 的斜率为0-12-1=-1；(Ⅲ)因为k PA +k PB =y 1-1x 1-1+y 2-1x 2-1=13x 1+m -1 (x 2-1)+13x 2+m -1 (x 1-1)(x 1-1)(x 2-1)=23x 1x 2+m -43 (x 1+x 2)-2(m -1)(x 1-1)(x 2-1)，直线AB 与椭圆联立y =13x +m x 24+3y 24=1 整理可得：43x 2+2mx +3m 2-4=0，△=4m 2-4⋅43⋅(3m 2-4)>0，即m 2<169，且x 1+x 2=-32m ，x 1x 2=3(3m 2-4)4，①将其代入可得：k PA +k PB =23⋅34(3m 2-4)+m -43 -32m -2(m -1)(x 1-1)(x 2-1)=0，。
圆锥曲线中的范围、最值问题课件-2025届高三数学一轮复习
设Q(xQ，yQ)，因为5A→B＝8Q→B，所以5(x2－x1)＝8(x2－xQ)，解得xQ＝2， 过点P作PH垂直准线于点H，根据抛物线的定义，得|PF|＋|PQ|＝|PH|＋ |PQ|，当Q，P，H三点共线且与x轴平行时，|PF|＋|PQ|有最小值，最小 值为|QH|＝2＋1＝3，所以|PF|＋|PQ|的最小值为3.故选A．
6时，f′(x)<0，f(x)在32，
6上单调递减，故当
x＝32时，f(x)有最
大值，
即当 x1＝32时，S△ABM 有最大值，此时 y1＝ 410，抛物线过点32， 410，所以 p＝254.
规律方法
函数法求最值(范围)问题就是构建关于变量的目标函数，将问 题转化为求函数的最值(或值域)，解决问题时要注意自变量的取值 范围．
则3x62 ＋2y02 ＝1， (x＋6)(x－4)＋y2＝0，
可得 2x2＋9x－18＝0，得 x＝32或 x＝－6. 由于 y>0，故 x＝32，于是 y＝523.
所以点
P
的坐标是32，5
2
3.
(2)设M是椭圆长轴AB上的一点，点M到直线AP的距离等于|MB|，求椭圆上 的点到点M的距离d的最小值．
解：由(1)可得直线AP的方程是x－ 3 y＋6＝0，点B(6,0)． 设点 M 的坐标是(m,0)，则点 M 到直线 AP 的距离是|m＋2 6|，于是|m＋2 6|＝|m －6|， 又－6≤m≤6，解得m＝2. 由椭圆上的点(x，y)到点M的距离为d，
得 d2＝(x－2)2＋y2＝x2－4x＋4＋20－59x2＝49x－922＋15， 由于－6≤x≤6，由 f(x)＝49x－922＋15 的图象可知， 当 x＝92时，d 取最小值，且最小值为 15.
广东专用2024版高考数学总复习：圆锥曲线中的最值或范围问题课件
【点拨】求与直线或与圆锥曲线有关的某个量的取值范围问题,依据已知条件建立关于该量的函数表达式,转化为求函数值域问题，要正确确定定义域.应注意到的是本例第（1）问使用了判别式法求参数范围.
变式1 如图，在平面直角坐标系 中，已知等轴双曲线 的左顶点为 ，过右焦点 且垂直于 轴的直线与 交于 ， 两点，若 的面积为 ．
由 得 .因为点 为 与 的一个交点，所以 ，解得 .所以 .直线 的方程变形为 ，设原点到直线 的距离为 ，则 .所以 .
（方法一） .设 ，则 .所以
.因为 （当且仅当 时，等号成立）.所以 面积的最大值为 ．（方法二） .设 ，则 .所以 .
第八章 平面解析几何
综合突破五 圆锥曲线的综合问题第1课时 圆锥曲线中的最值或范围问题
核心考点 精准突破
课时作业 知能提升
规范答题——解析几何解答题
考点一 构造函数求最值或范围问题
例1 已知椭圆 上两个不同的点 ， 关于直线 对称.
（1） 求实数 的取值范围；
解：如图，由题意知 ，可设直线 的方程为 ， ， .由
（2） 当点 在 轴上方时，过点 作 轴的垂线与 轴相交于点 ，设直线 与双曲线 相交于不同的两点 ， ，若 ，求实数 的取值范围.
， ，又 ，所以 ，所以 （由题意取负），所以直线 的斜率为 .代入 式，得 ，所以 ，所以 ，又 ，所以 的取值范围为 .
【点拨】若题设中给出直线（曲线）与曲线有公共点或无公共点的条件时，可以通过联立消元，得到一元二次方程，进而用判别式法得到不等关系代入求范围.
[答案] （方法一）设切点 ，因为 ，所以 ，则在点 处的切线方程为 ，化简得 ，令 ，得 .
圆锥曲线中范围与最值问题：高考数学复习
由题意知直线l的斜率一定存在且不为0，F(1,0)，设直线l的方程为x ＝ty＋1，t≠0， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)， 易知x1＝ty1＋1>0，x2＝ty2＋1>0， 联立xy＝2＝ty4＋x，1， 消去x得y2－4ty－4＝0.
所以y1＋y2＝4t，y1y2＝－4. 由AC垂直于l，得直线AC的方程为y－y1＝－t(x－x1)， 联立yy－ 2＝y41＝x，－tx－x1， 消去 x 得 ty2＋4y－4tx1－4y1＝0. 所以 y1＋y3＝－4t ，y1y3＝－4tx1t－4y1. 所以|AC|＝ x1－x32＋y1－y32＝ 1＋t12y1＋y32－4y1y3
所以4(m2＋n)＝(n－1)2>0， 所以n≠1，且n2－6n＋1≥0， 解得 n≥3＋2 2或 n≤3－2 2. 设点 F 到直线 MN 的距离为 d，所以 d＝ |n1－＋1m| 2， |MN|＝ 1＋m2 y1＋y22－4y1y2
＝ 1＋m2 16m2＋16n
＝ 1＋m2 4n2－6n＋1＋16n＝2 1＋m2|n－1|， 所以△MFN 的面积 S＝12×|MN|×d＝21×2 1＋m2|n－1|× |n1－＋1m| 2＝(n－1)2， 而 n≥3＋2 2或 n≤3－2 2，
跟踪训练2 (2023·济宁模拟)已知抛物线E：y2＝2px(p>0)的焦点为F， 点M(4，m)在抛物线E上，且△OMF的面积为 12p2 (O为坐标原点). (1)求抛物线E的方程；
m2＝8p， 由题意可得12×p2·|m|＝12p2， 解得 p＝2. 故抛物线E的方程为y2＝4x.
(2)过焦点F的直线l与抛物线E交于A，B两点，过A，B分别作垂直于l的 直线AC，BD，分别交抛物线于C，D两点，求|AC|＋|BD|的最小值.
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
圆锥曲线中的最值和范围问题高考在考什么【考题回放】1．已知双曲线12222=-by a x (a >0,b >0)的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是( )A.( 1,2)B. (1,2)C.[2,)+∞D.(2,+∞)2． P 是双曲线221916x y -=的右支上一点，M 、N 分别是圆(x ＋5)2＋y 2＝4和(x －5)2＋y 2＝1上的点，则|PM|－|PN |的最大值为（ ）A. 6B.7C.8D.9 3．抛物线y=-x 2上的点到直线4x +3y -8=0距离的最小值是( )A ．43 B ．75 C ．85D ．3 4．已知双曲线22221,(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 在双曲线的右支上，且|PF 1|=4|PF 2|,则此双曲线的离心率e 的最大值为：（ ）(A)43(B)53(C)2 (D)735．已知抛物线y 2=4x ,过点P (4,0)的直线与抛物线相交于A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)两点，则y 12+y 22的最小值是 .6．设椭圆方程为1422=+y x ，过点M （0，1）的直线l 交椭圆于点A 、B ，O 是坐标原点，点P 满足OP (21=OA +)OB ，点N 的坐标为)21,21(，当l 绕点M 旋转时，求（1）动点P 的轨迹方程；（2）||NP 的最小值与最大值.高考要考什么【考点透视】与圆锥曲线有关的最值和范围问题，因其考查的知识容量大、分析能力要求高、区分度高而成为高考命题者青睐的一个热点。
【热点透析】与圆锥曲线有关的最值和范围问题的讨论常用以下方法解决： （1）结合定义利用图形中几何量之间的大小关系；（2）不等式（组）求解法：利用题意结合图形（如点在曲线内等）列出所讨论的参数适合的不等式（组），通过解不等式组得出参数的变化范围；（3）函数值域求解法：把所讨论的参数作为一个函数、一个适当的参数作为自变量来表示这个函数，通过讨论函数的值域来求参数的变化范围。
（4）利用代数基本不等式。
代数基本不等式的应用，往往需要创造条件，并进行巧妙的构思；（5）结合参数方程，利用三角函数的有界性。
直线、圆或椭圆的参数方程，它们的一个共同特点是均含有三角式。
因此，它们的应用价值在于：① 通过参数θ简明地表示曲线上点的坐标；② 利用三角函数的有界性及其变形公式来帮助求解诸如最值、范围等问题； （6）构造一个二次方程，利用判别式∆≥0。
突破重难点【范例1】已知动点P 与双曲线13222=-y x 的两个焦点F 1、F 2的距离之和为定值，且cos ∠F 1PF 2的最小值为91-．（１）求动点P 的轨迹方程；（２）若已知D (0,3)，M 、N 在动点P 的轨迹上且DN DM λ=，求实数λ的取值范围．【范例2】给定点A (-2,2)，已知B 是椭圆2212516x y +=上的动点，F 是右焦点，当53AB BF +取得最小值时，试求B 点的坐标。
【范例3】已知P 点在圆x 2+(y -2)2=1上移动，Q 点在椭圆2219x y +=上移动,试求|PQ|的最大值。
【范例4】已知△OFQ 的面积为6OF FQ m ⋅= （1646m ≤≤∠OFQ 正切值的取值范围； （2）设以O 为中心，F 为焦点的双曲线经过点Q （如图），26||,(1)OF c m c ==- 当 ||OQ 取得最小值时， 求此双曲线的方程。
自我提升图 3 A B N O xy1．设AB 是过椭圆x a y ba b 222210+=>>()中心的弦，椭圆的左焦点为F 1(-c ，0)，则△F 1AB 的面积最大为（ ）A ．bcB ．abC ．acD ．b 22．已知A （3，2）、B （－4，0），P 是椭圆x y 222591+=上一点，则|P A |＋|PB|的最大值为（ ） A ．10 B ．105- C ．105+ D ．1025+3．已知双曲线221169x y -=，过其右焦点F 的直线l 交双曲线于AB ，若|AB |=5，则直线l 有（ ） A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条4．已知点P 是抛物线y 2=4x 上一点，设P 到此抛物线的准线的距离为d 1, 到直线x +2y+10=0的距离为d 2,则d 1+d 2的最小值为 （ ）A ．5B ．4C 115（D ）1155．设F 是椭圆16722=+y x 的右焦点，且椭圆上至少有21个不同的点P i （i =1，2，3，…），使|FP 1|，|FP 2|，|FP 3|，…组成公差为d 的等差数列，则d 的取值范围为____6．抛物线y 2=2x 上到直线x-y +3=0距离最短的点的坐标为__________7．如图，已知A 、B 是椭圆221169x y +=的两个顶点， C 、D 是椭圆上两点，且分别在AB 两侧，则四边形ABCD 面积的最大值是_______8．如图3，抛物线y 2=4x 的一段与椭圆22143x y +=的一段围成封闭图形，点N （1，0）在x 轴上，又A 、B 两点分别在抛物线及椭圆上，且AB//x 轴， 求△NAB 的周长l 的取值范围。
9．求实数m 的取值范围，使抛物线y 2=x 上存在两点关于直线y=m (x-3)对称 10．已知A （－2，0），B （2，0），动点P 与A 、B 两点连线的斜率分别为k P A 和k PB ，且满足k P A •k PB =t (t ≠0且t ≠－1).（１）求动点P 的轨迹C 的方程；（２）当t ＜0时，曲线C 的两焦点为F 1，F 2，若曲线C 上存在点Q 使得∠F 1QF 2=120O ，求t 的取值范围．圆锥曲线中的最值和范围问题高考在考什么【考题回放】1．已知双曲线12222=-by a x (a >0,b >0)的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是(C )A.( 1,2)B. (1,2)C.[2,)+∞D.(2,+∞)2． P 是双曲线221916x y -=的右支上一点，M 、N 分别是圆(x ＋5)2＋y 2＝4和(x －5)2＋y 2＝1上的点，则|PM|－|PN |的最大值为（ B ）A. 6B.7C.8D.9 3．抛物线y=-x 2上的点到直线4x +3y -8=0距离的最小值是( A )A ．43 B ．75 C ．85D ．3 4．已知双曲线22221,(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 在双曲线的右支上，且|PF 1|=4|PF 2|,则此双曲线的离心率e 的最大值为：（B ）(A)43(B)53(C)2 (D)735．已知抛物线y 2=4x ,过点P (4,0)的直线与抛物线相交于A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)两点，则y 12+y 22的最小值是 32 .6．设椭圆方程为1422=+y x ，过点M （0，1）的直线l 交椭圆于点A 、B ，O 是坐标原点，点P 满足OP (21=OA +)OB ，点N 的坐标为)21,21(，当l 绕点M 旋转时，求（1）动点P 的轨迹方程；（2）||NP 的最小值与最大值.【专家解答】（1）法1：直线l 过点M （0，1）设其斜率为k ，则l 的方程为y=kx+1.记A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)，由题设可得点A 、B 的坐标 (x 1,y 1)、 (x 2,y 2)是方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=14122y x kx y 的解. 将①代入②并化简得(4+k 2)x 2+2kx -3=0， 所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=++-=+.48,42221221k y y k k x x于是).44,4()2,2()(21222121k k k y y x x OB OA OP ++-=++=+= 设点P 的坐标为(x,y ), 则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+-=.44,422k y k k x 消去参数k 得4x 2+y 2-y =0 ③ ① ②当k 不存在时，A 、B 中点为坐标原点（0，0），也满足方程③， 所以点P 的轨迹方程为4x 2+y 2-y =0解法二：设点P 的坐标为(x ,y )，因A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)在椭圆上，所以,142121=+y x ④ .142222=+y x ⑤④—⑤得0)(4122212221=-+-y y x x ，所以.0))((41))((21212121=+-++-y y y y x x x x当21x x ≠时，有.0)(4121212121=--⋅+++x x y y y y x x ⑥ 并且⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧--=-+=+=.1,2,221212121x x y y x y y y y x x x ⑦ 将⑦代入⑥并整理得 4x 2+y 2-y =0 ⑧ 当x 1=x 2时，点A 、B 的坐标为（0，2）、（0，－2），这时点P 的坐标为（0，0）也满足⑧，所以点P 的轨迹方程为.141)21(16122=-+y x （2）由点P 的轨迹方程知.4141,1612≤≤-≤x x 即所以127)61(3441)21()21()21(||222222++-=-+-=-+-=x x x y x NP故当41=x ，||取得最小值，最小值为1;4当16x =-时，||取得最大值，最大值为.621高考要考什么【考点透视】与圆锥曲线有关的最值和范围问题，因其考查的知识容量大、分析能力要求高、区分度高而成为高考命题者青睐的一个热点。
【热点透析】与圆锥曲线有关的最值和范围问题的讨论常用以下方法解决： （1）结合定义利用图形中几何量之间的大小关系；（2）不等式（组）求解法：利用题意结合图形（如点在曲线内等）列出所讨论的参数适合的不等式（组），通过解不等式组得出参数的变化范围；（3）函数值域求解法：把所讨论的参数作为一个函数、一个适当的参数作为自变量来表示这个函数，通过讨论函数的值域来求参数的变化范围。
（4）利用代数基本不等式。
代数基本不等式的应用，往往需要创造条件，并进行巧妙的构思；（5）结合参数方程，利用三角函数的有界性。
直线、圆或椭圆的参数方程，它们的一个共同特点是均含有三角式。
因此，它们的应用价值在于：① 通过参数θ简明地表示曲线上点的坐标；② 利用三角函数的有界性及其变形公式来帮助求解诸如最值、范围等问题； （6）构造一个二次方程，利用判别式∆≥0。