海伦公式的多种推导
三角形的海伦公式与应用解析
三角形的海伦公式与应用解析三角形是几何学中最基本的图形之一，在数学的研究和实际应用中具有广泛的重要性。
海伦公式是解决三角形面积和边长之间关系的基本公式，被广泛应用于三角形相关的问题求解。
本文将介绍海伦公式的定义和推导过程，并探讨其在实际问题中的应用。
一、海伦公式的定义对于任意给定的三角形ABC，假设其三边长分别为a, b, c，半周长为p，面积为S。
则根据海伦公式，我们可以得到以下关系式：S = √(p(p-a)(p-b)(p-c))其中，p = (a+b+c)/2。
二、海伦公式的推导为了推导海伦公式，我们可以利用三角形的高、底边和斜边之间的关系。
首先，我们选取三角形ABC中的任意一点D作为高的垂足。
根据垂足的定义，我们知道AD垂直于BC。
由于AD是三角形的高，则根据几何学的性质，可以得到以下等式：S = (1/2) * AD * BC另一方面，根据直角三角形的性质，我们知道：AB² = AD² + BD²AC² = AD² + CD²将上述两个等式相减，可以得到：AB² - AC² = BD² - CD²根据余弦定理，我们可以得到：AB² = AC² + BC² - 2 * AC * BC * cos(BAC)将以上两个等式代入前一等式中，可得：AC² + BC² - 2 * AC * BC * cos(BAC) - AC² = BD² - CD²化简后可得：BC² - 2 * AC * BC * cos(BAC) = BD² - CD²由于BC = BD + CD，我们可以将上式继续转化为：(BD + CD)² - 2 * AC * (BD + CD) * cos(BAC) = BD² - CD²展开并化简，可得：BD² + 2 * BD * CD + CD² - 2 * AC * BD * cos(BAC) - 2 * AC * CD * cos(BAC) = BD² - CD²将BD²和CD²消去，再将公式两边除以2，最后整理得：BD * CD = AC * BC * cos(BAC)既然我们已经得到了三角形的面积公式S = (1/2) * AD * BC，我们可以继续推导：AD = 2 * S / BC将AD代入前一等式中，可得：BD * CD = (2 * S / BC) * BC * cos(BAC)化简后可以得到：BD * CD = 2 * S * cos(BAC)同理，我们也可得到：CD * AD = 2 * S * cos(ABC)AD * BD = 2 * S * cos(ACB)三、海伦公式在实际应用中的解析海伦公式的应用非常广泛，它可以用于求解任意三角形的面积，仅需知道三边长即可。
海伦公式的几种证明与推广
海伦公式的几种证明与推广
1. 直角三角形海伦公式的证明：
令直角三角形ABC的斜边长为c，其中a、b分别为直角边的长度，则有：
c^2=a^2+b^2
令三角形ABC的外接圆的半径为R，则有：
R=a+b+c/2
由此，可以推出：
R^2=(a+b+c/2)^2=a^2+2ab+b^2+c^2/4=a^2+2ab+b^2+c^2/4 即：
R^2=a^2+b^2+2ab
两边同时乘以4，得：
4R^2=4a^2+4b^2+8ab
即：
4R^2=(2a+2b)^2
即：
R^2=(a+b)^2
由此可以得到海伦公式：
c^2=a^2+b^2-2ab
2. 直角三角形海伦公式的推广：
（1）等腰三角形海伦公式：
设等腰三角形ABC的斜边长为c，其中a、b分别为等腰边的
长度，则有：
c^2=a^2+b^2-2ab
（2）等腰梯形海伦公式：
设等腰梯形ABCD的斜边长为c，其中a、b分别为等腰边的
长度，则有：
c^2=a^2+b^2-2ab
（3）等边三角形海伦公式：
设等边三角形ABC的斜边长为c，其中a分别为等边的长度，则有：
c^2=3a^2-2ab。
海伦公式的推导和应用
海伦公式海伦公式又译作希伦公式、海龙公式、希罗公式、海伦－秦九韶公式，传说是古代的叙拉古国王希伦二世发现的公式，利用三角形的三条边长来求取三角形面积。但根据Morris Kline在1908年出版的著作考证，这条公式其实是阿基米德所发现，以托希伦二世的名发表。我国宋代的数学家秦九韶也提出了“三斜求积术”，它与海伦公式基本一样。假设有一个三角形，边长分别为a、b、c，三角形的面积S可以下公式求得：S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]而公式里的p为半周长：p=(a+b+c)/2——————————————————————————————————————————————注1：\《度量论》)手抄本中用s作为半周长，所以S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]和S=√[s(s-a)(s-b)(s-c)]两种写法都是可以的，但多用p作为半周长。——————————————————————————————————————————————于任何n边的多边形都可以分割成n-2个三角形，所以海伦公式可以用作求多边形面积的公式。比如说测量土地的面积的时候，不用测三角形的高，只需测两点间的距离，就可以方便地导出答案。 证明：与海伦在他的著作\《度量论》)中的原始证明不同，在此我们用三角公式和公式变形来证明。设三角形的三边a、b、c的对角分别为A、B、C，则余弦定理为cosC = (a_+b_-c_)/2abS=1/2*ab*sinC=1/2*ab*√(1-cos_ C)=1/2*ab*√[1-(a_+b_-c_)_/4a_*b_] =1/4*√[4a_*b_-(a_+b_-c_)_]=1/4*√[(2ab+a_+b_-c_)(2ab-a_-b_+c_)] =1/4*√[(a+b)_-c_][c_-(a-b)_] =1/4*√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)]设p=(a+b+c)/2则p=(a+b+c)/2, p-a=(-a+b+c)/2, (a-b+c)/2,p-c=(a+b-c)/2,上式=√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)/16] =√[p(p-a)(p-b)(p-c)]所以，三角形ABC面积S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]证明：我国宋代的数学家秦九韶也提出了“三斜求积术”。它与海伦公式基本一样，其实在《九章算术》中，已经有求三角形公式“底乘高的一半”，在实际丈量土地面积时，于土地的面积并不是的三角形，要找出它来并非易事。所以他们想到了三角形的三条边。如果这样做求三角形的面积也就方便多了。但是怎样根据三边的长度来求三角形的面积？直到南宋，我国著名的数学家九韶提出了“三斜求积术”。秦九韶他把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜。“术”即方法。三斜求积术就是用小斜平方加上大斜平方，送到斜平方，取相减后余数的一半，自乘而得一个数小斜平方乘以大斜平方，送到上面得到的那个。相减后余数被4除冯所得的数作为“实”，作1作为“隅”，开平方后即得面积。所谓“实”、“隅”指的是，在方程px 2=qk,p为“隅”，q为“实”。以△、a,b,c表示三角形面积、大斜、中斜、小斜，所以q=1/4[c 2a 2-(c%| 2+a 2-b 2/2) 2]当P＝1时，△2＝q,S△=√{1/4[c 2a 2-(c 2+a 2-b 2/2) 2]}因式分解得1/16[(c+a) 2-b 2][b 2-(c-a) 2]=1/16(c+a+b)(c+a-b)(b+c-a)(b-c+a)=1/8S(c+a+b-2b)(b+c+a-2a)(b+a+c-2c)=p(p-a)(p-b)(p-c根号下(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)代入解得s=8√ 3海伦公式的几种另证及其推广关于三角形的面积计算公式在解题中主要应用的有：设△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，ha为a边上的高，R、r分别为△ABC外接圆、内切圆的半径，p = (a+b+c),则S△ABC=1/2 aha =1/2 ab×sinC =1/2 r p= 2R2sinAsinBsinC= √[p(p-a)(p-b)(p-c)]其中，S△ABC =√[p(p-a)(p-b)(p-c)]就是著名的海伦公式，在希腊数学家海伦的著作《测地术》中有记载。海伦公式在解题中有十分重要的应用。 一、海伦公式的证明 证一勾股定理 如右图勾股定理证明海伦公式。证二：斯氏定理 如右图。斯氏定理证明海伦公式证三：余弦定理分析：变形②S =可知，运用余弦定理c2 = a2 + b2－2abcosC对其进行证明。证明：要证明S =则要证S === ab×sinC此时S = ab×sinC为三角形计算公式，故得证。 证四：恒等式恒等式证明(1)恒等式证明(2)证五：半角定理∵证一，x = =－c = p－cy = =－a = p－az = =－b = p－b∴r3 =∴r =∴S△ABC = r·p =故得证。 二、海伦公式的推广于在实际应用中，往往需计算四边形的面积，所以需要对海伦公式进行推广。于三角形内接于圆，所以猜想海伦公式的推广为：在任意内接与圆的四边形ABCD中，设p= ,则S四边形=现根据猜想进行证明。证明：如图，延长DA，CB交于点E。 设EA = e EB = f∵∠1+∠2 =180○∠2+∠3 =180○∴∠1 =∠3∴△EAB～△ECD∴= = =解得：e =①f =②于S四边形ABCD = S△EAB将①，②跟b =代入公式变形④，得：∴S四边形ABCD =所以，海伦公式的推广得证。 三、海伦公式的推广的应用海伦公式的推广在实际解题中有着广泛的应用，特别是在有关圆内接四边形的各种综合题中，直接运用海伦公式的推广往往事倍功半。例题：如图，四边形ABCD内接于圆O中，SABCD = ,AD = 1,AB = 1, CD = 2.求：四边形可能为等腰梯形。 解：设BC = x海伦公式的推广，得：(4－x)(2＋x)2 =27x4－12x2－16x＋27 = 0x2(x2—1)－11x(x－1)－27(x－1) = 0(x－1)(x3＋x2－11x－27) = 0x = 1或x3＋x2－11x－27 = 0当x = 1时，AD = BC = 1∴四边形可能为等腰梯形。在程序中实现(VBS): dim a,b,c,p,q,sa=inputbox(\请输入三角形第一边的长度\ b=inputbox(\请输入三角形第二边的长度\ c=inputbox(\请输入三角形第三边的长度\ a=1*a b=1*b c=1*cp=(a+b+c)*(a+b-c)*(a-b+c)*(-a+b+c) q=sqr(p) s=(1/4)*qmsgbox(\三角形面积为\,\三角形面积\在VC中实现#include #include main() {int a,b,c,s;printf(\输入第一边\\n\ scanf(\ printf(\输入第二边\\n\ scanf(\ printf(\输入第三边\\n\ scanf(\ s=(a+b+c)/2;printf(\面积为:%f\\n\ }海伦公式
海伦公式的推导和应用
海伦公式海伦公式又译作希伦公式、海龙公式、希罗公式、海伦－秦九韶公式,传说是古代的叙拉古国王希伦Heron,也称海龙二世发现的公式,利用三角形的三条边长来求取三角形面积;但根据Morris Kline在1908年出版的著作考证,这条公式其实是阿基米德所发现,以托希伦二世的名发表未查证; 我国宋代的数学家秦九韶也提出了“三斜求积术”,它与海伦公式基本一样;假设有一个三角形,边长分别为a、b、c,三角形的面积S可由以下公式求得：S=√pp-ap-bp-c而公式里的p为半周长：p=a+b+c/2——————————————————————————————————————————————注1："Metrica"度量论手抄本中用s作为半周长,所以S=√pp-ap-bp-c 和S=√ss-as-bs-c两种写法都是可以的,但多用p作为半周长;——————————————————————————————————————————————由于任何n边的多边形都可以分割成n-2个三角形,所以海伦公式可以用作求多边形面积的公式;比如说测量土地的面积的时候,不用测三角形的高,只需测两点间的距离,就可以方便地导出答案;证明1：与海伦在他的著作"Metrica"度量论中的原始证明不同,在此我们用三角公式和公式变形来证明;设三角形的三边a、b、c的对角分别为A、B、C,则余弦定理为cosC = a^2+b^2-c^2/2abS=1/2absinC=1/2ab√1-cos^2 C=1/2ab√1-a^2+b^2-c^2^2/4a^2b^2=1/4√4a^2b^2-a^2+b^2-c^2^2=1/4√2ab+a^2+b^2-c^22ab-a^2-b^2+c^2=1/4√a+b^2-c^2c^2-a-b^2=1/4√a+b+ca+b-ca-b+c-a+b+c设p=a+b+c/2则p=a+b+c/2, p-a=-a+b+c/2, p-b=a-b+c/2,p-c=a+b-c/2,上式=√a+b+ca+b-ca-b+c-a+b+c/16=√pp-ap-bp-c所以,三角形ABC面积S=√pp-ap-bp-c证明2：我国宋代的数学家秦九韶也提出了“三斜求积术”;它与海伦公式基本一样,其实在九章算术中,已经有求三角形公式“底乘高的一半”,在实际丈量土地面积时,由于土地的面积并不是的三角形,要找出它来并非易事;所以他们想到了三角形的三条边;如果这样做求三角形的面积也就方便多了;但是怎样根据三边的长度来求三角形的面积直到南宋,我国著名的数学家九韶提出了“三斜求积术”;秦九韶他把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜;“术”即方法;三斜求积术就是用小斜平方加上大斜平方,送到斜平方,取相减后余数的一半,自乘而得一个数小斜平方乘以大斜平方,送到上面得到的那个;相减后余数被4除冯所得的数作为“实”,作1作为“隅”,开平方后即得面积;所谓“实”、“隅”指的是,在方程px 2=qk,p为“隅”,q为“实”;以△、a,b,c表示三角形面积、大斜、中斜、小斜,所以q=1/4c 2a 2-c%| 2+a 2-b 2/2 2当P＝1时,△2＝q,S△=√{1/4c 2a 2-c 2+a 2-b 2/2 2}因式分解得1/16c+a 2-b 2b 2-c-a 2=1/16c+a+bc+a-bb+c-ab-c+a=1/8Sc+a+b-2bb+c+a-2ab+a+c-2c=pp-ap-bp-c由此可得：S△=√pp-ap-bp-c其中p=1/2a+b+c这与海伦公式完全一致,所以这一公式也被称为“海伦－秦九韶公式”;S=c/2根号下a^-{a^-b^+c^/2c}^ .其中c>b>a.根据海伦公式,我们可以将其继续推广至四边形的面积运算;如下题：已知四边形ABCD为圆的内接四边形,且AB=BC=4,CD=2,DA=6,求四边形ABCD 的面积这里用海伦公式的推广S圆内接四边形= 根号下p-ap-bp-cp-d 其中p为周长一半,a,b,c,d,为4边代入解得s=8√ 3海伦公式的几种另证及其推广关于三角形的面积计算公式在解题中主要应用的有：设△ABC中,a、b、c分别为角A、B、C的对边,ha为a边上的高,R、r分别为△ABC外接圆、内切圆的半径,p = a+b+c,则S△ABC=1/2 aha=1/2 ab×sinC=1/2 r p= 2R2sinAsinBsinC= √pp-ap-bp-c其中,S△ABC =√pp-ap-bp-c 就是著名的海伦公式,在希腊数学家海伦的著作测地术中有记载;海伦公式在解题中有十分重要的应用;一、海伦公式的证明证一勾股定理如右图勾股定理证明海伦公式;证二：斯氏定理如右图;斯氏定理证明海伦公式证三：余弦定理分析：由变形②S = 可知,运用余弦定理c2 = a2 + b2 －2abcosC 对其进行证明;证明：要证明S =则要证S === ab×sinC此时S = ab×sinC为三角形计算公式,故得证;证四：恒等式恒等式证明1恒等式证明2证五：半角定理∵由证一,x = = －c = p－cy = = －a = p－az = = －b = p－b∴r3 = ∴r =∴S△ABC = r·p = 故得证;二、海伦公式的推广由于在实际应用中,往往需计算四边形的面积,所以需要对海伦公式进行推广;由于三角形内接于圆,所以猜想海伦公式的推广为：在任意内接与圆的四边形ABCD中,设p= ,则S四边形=现根据猜想进行证明;证明：如图,延长DA,CB交于点E;设EA = e EB = f∵∠1+∠2 =180○ ∠2+∠3 =180○∴∠1 =∠3 ∴△EAB～△ECD∴= = =解得： e = ① f = ②由于S四边形ABCD = S△EAB将①,②跟b = 代入公式变形④,得：∴S四边形ABCD =所以,海伦公式的推广得证;三、海伦公式的推广的应用海伦公式的推广在实际解题中有着广泛的应用,特别是在有关圆内接四边形的各种综合题中,直接运用海伦公式的推广往往事倍功半;例题：如图,四边形ABCD内接于圆O中,SABCD = ,AD = 1,AB = 1, CD =2.求：四边形可能为等腰梯形;解：设BC = x由海伦公式的推广,得：4－x2＋x2 =27x4－12x2－16x＋27 = 0x2x2—1－11xx－1－27x－1 = 0x－1x3＋x2－11x－27 = 0x = 1或x3＋x2－11x－27 = 0当x = 1时,AD = BC = 1∴四边形可能为等腰梯形;在程序中实现VBS:dim a,b,c,p,q,sa=inputbox"请输入三角形第一边的长度"b=inputbox"请输入三角形第二边的长度"c=inputbox"请输入三角形第三边的长度"a=1ab=1bc=1cp=a+b+ca+b-ca-b+c-a+b+cq=sqrps=1/4qmsgbox"三角形面积为"&s, ,"三角形面积"在VC中实现include<stdio.h>include<math.h>main{int a,b,c,s;printf"输入第一边\n";scanf"%d",&a;printf"输入第二边\n";scanf"%d",&b;printf"输入第三边\n";scanf"%d",&c;s=a+b+c/2;printf"面积为:%f\n",sqrtss-as-bs-c;}海伦公式。
海伦公式的推导和应用
海伦公式海伦公式又译作希伦公式、海龙公式、公式、海伦－秦九韶公式，传说是古代的国王希伦（,也称海龙）二世发现的公式，利用三角形的三条边长来求取三角形面积。
但根据Morris Kline在1908年出版的着作考证，这条公式其实是所发现，以托希伦二世的名发表（未查证）。
我国宋代的数学家也提出了“三斜求积术”，它与海伦公式基本一样。
假设有一个三角形，边长分别为a、b、c，三角形的面积S可由以下公式求得：S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]而公式里的p为半周长：p=(a+b+c)/2——————————————————————————————————————————————注1："Metrica"(《度量论》)手抄本中用s作为半周长，所以S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)] 和S=√[s(s-a)(s-b)(s-c)]两种写法都是可以的，但多用p作为半周长。
——————————————————————————————————————————————由于任何n边的多边形都可以分割成n-2个三角形，所以海伦公式可以用作求多边形面积的公式。
比如说测量土地的面积的时候，不用测三角形的高，只需测两点间的距离，就可以方便地导出答案。
证明（1）：与海伦在他的着作"Metrica"(《度量论》)中的原始证明不同，在此我们用三角公式和公式变形来证明。
设三角形的三边a、b、c的对角分别为A、B、C，则为cosC = (a^2+b^2-c^2)/2abS=1/2*ab*sinC=1/2*ab*√(1-cos^2 C)=1/2*ab*√[1-(a^2+b^2-c^2)^2/4a^2*b^2]=1/4*√[4a^2*b^2-(a^2+b^2-c^2)^2]=1/4*√[(2ab+a^2+b^2-c^2)(2ab-a^2-b^2+c^2)]=1/4*√[(a+b)^2-c^2][c^2-(a-b)^2]=1/4*√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)]设p=(a+b+c)/2则p=(a+b+c)/2, p-a=(-a+b+c)/2, p-b=(a-b+c)/2,p-c=(a+b-c)/2,上式=√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)/16]=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]所以，三角形ABC面积S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]证明（2）：我国宋代的数学家秦九韶也提出了“三斜求积术”。
海伦公式几种证明方法
海伦公式几种证明方法海伦公式是用于计算三角形面积的一种公式，公式为：面积S=√(s(s-a)(s-b)(s-c))其中，a、b、c是三角形的三边长度，s是半周长，即s=(a+b+c)/2以下是几种证明海伦公式的方法。
1.利用矢量运算法证明海伦公式：首先，将三角形的三个顶点用向量表示，分别为A、B、C。
然后，利用向量的性质计算向量AB、BC和CA的模长，即三边的长度。
接下来，计算向量AB和BC的叉乘，得到一个新的向量P。
最后，利用向量的模长和叉乘的结果，计算三角形的面积S，即S=1/2*，P。
2.利用三角形的高进行证明：设h_a、h_b和h_c分别为三角形的三条高，分别与边a、b和c对应。
根据三角形的面积公式S=1/2*a*h_a，我们可以得到以下三个等式：S=1/2*a*h_aS=1/2*b*h_bS=1/2*c*h_c将这三个等式相加，可以得到S=1/2*(a*h_a+b*h_b+c*h_c)。
而另一方面，根据海伦公式的定义，s=(a+b+c)/2、将之前得到的三个等式代入，可以得到S=√(s(s-a)(s-b)(s-c))。
3.利用三角形内切圆进行证明：内切圆是与三角形的三条边都相切的圆。
设内切圆的半径为r。
根据圆的性质，可以得到以下三个等式：S=1/2*a*rS=1/2*b*rS=1/2*c*r将这三个等式相加，可以得到S=1/2*(a*r+b*r+c*r)。
而另一方面，根据海伦公式的定义，s=(a+b+c)/2、将之前得到的三个等式代入，可以得到S=√(s(s-a)(s-b)(s-c))。
以上是三种常见的证明海伦公式的方法。
这些证明方法均可以通过基本的几何性质和定理进行推导，从而得到海伦公式。
海伦公式展开式
海伦公式展开式海伦公式是一个用于计算三角形面积的公式，它的展开式可是相当有趣呢！咱们先来说说海伦公式本身哈，它的表达式是：S = √[p(p - a)(p -b)(p - c)] ，其中 S 表示三角形的面积，a、b、c 分别是三角形的三条边，而 p 则是半周长，也就是 p = (a + b + c) / 2 。
那海伦公式的展开式到底是啥样呢？咱们来一步步推导推导。
假设三角形的三条边分别是 a、b、c ，半周长 p = (a + b + c) / 2 ，那咱们就从 p 开始动手。
p = (a + b + c) / 2 ，两边同时乘以 2 ，得到 2p = a + b + c 。
接下来，我们把海伦公式里的S = √[p(p - a)(p - b)(p - c)] 中的 (p -a)(p - b)(p - c) 乘开。
先看 (p - a)(p - b) ，乘出来就是 p² - pb - pa + ab 。
然后再乘以 (p - c) ，得到：(p² - pb - pa + ab)(p - c) = p³ - p²c - p²b + pbc - p²a + pac + pab - abc把这个式子代入到海伦公式里，就有S = √[p(p³ - p²c - p²b + pbc - p²a + pac + pab - abc)]这式子看起来挺复杂，是吧？但咱们别怕，数学就是这样，一步一步来，总能理清楚。
我想起之前给学生们讲这个的时候，有个小同学皱着眉头问我：“老师，这公式这么麻烦，有啥用啊？”我笑着告诉他：“就像你搭积木，每一块积木看起来不起眼，但是组合在一起就能搭出漂亮的城堡。
这个公式也是，虽然复杂，但是在解决一些三角形面积问题的时候，可管用啦！”咱们接着说这个展开式。
为了让它更简洁一点，咱们再做进一步的变形和化简。
海伦公式的推导和应用
海伦公式的推导和应用(总6页)-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除海伦公式海伦公式又译作希伦公式、海龙公式、希罗公式、海伦－秦九韶公式，传说是古代的叙拉古国王希伦（Heron,也称海龙）二世发现的公式，利用三角形的三条边长来求取三角形面积。
但根据Morris Kline在1908年出版的著作考证，这条公式其实是阿基米德所发现，以托希伦二世的名发表（未查证）。
我国宋代的数学家秦九韶也提出了“三斜求积术”，它与海伦公式基本一样。
假设有一个三角形，边长分别为a、b、c，三角形的面积S可由以下公式求得：S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]而公式里的p为半周长：p=(a+b+c)/2——————————————————————————————————————————————注1："Metrica"(《度量论》)手抄本中用s作为半周长，所以S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)] 和S=√[s(s-a)(s-b)(s-c)]两种写法都是可以的，但多用p作为半周长。
——————————————————————————————————————————————由于任何n边的多边形都可以分割成n-2个三角形，所以海伦公式可以用作求多边形面积的公式。
比如说测量土地的面积的时候，不用测三角形的高，只需测两点间的距离，就可以方便地导出答案。
证明（1）：与海伦在他的著作"Metrica"(《度量论》)中的原始证明不同，在此我们用三角公式和公式变形来证明。
设三角形的三边a、b、c的对角分别为A、B、C，则余弦定理为cosC = (a^2+b^2-c^2)/2abS=1/2*ab*sinC=1/2*ab*√(1-cos^2 C)=1/2*ab*√[1-(a^2+b^2-c^2)^2/4a^2*b^2]=1/4*√[4a^2*b^2-(a^2+b^2-c^2)^2]=1/4*√[(2ab+a^2+b^2-c^2)(2ab-a^2-b^2+c^2)]=1/4*√[(a+b)^2-c^2][c^2-(a-b)^2]=1/4*√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)]设p=(a+b+c)/2则p=(a+b+c)/2, p-a=(-a+b+c)/2, p-b=(a-b+c)/2,p-c=(a+b-c)/2,上式=√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)/16]=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]所以，三角形ABC面积S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]证明（2）：我国宋代的数学家秦九韶也提出了“三斜求积术”。
海伦公式的几种证明与推广
海伦公式的几种证明与推广第一篇：海伦公式的几种证明与推广海伦公式的几种证明与推广古镇高级中学付增德高中数学必修⑤第一章在阅读与思考栏目向学生介绍一个非常重要且优美的公式——海伦公式〔Heron's Formula〕：假设有一个三角形，边长分别为a,b,c,，三角形的面积S可由以下公式求得：s=(p-a)(p-b)(p-c)，而公式里的p=2(a+b+c)，称为半周长。
图1C海伦公式又译希伦公式，传说是古代的叙拉古国王希伦二世发现的公式，利用三角形的三条边长来求取三角形面积。
但根据Morris Kline在1908年出版的著作考证，这条公式其实是阿基米德所发现，以托希伦二世的名发表。
由于任何n边的多边形都可以分割成n-2个三角形，所以海伦公式可以用作求多边形面积的公式。
比如说测量土地的面积的时候，不用测三角形的高，只需测两点间的距离，就可以方便地导出答案。
海伦公式形式漂亮，结构工整，有多种变形，如：S=p(p-a)(p-b)(p-c)===141414(a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)(a=[(a+b)-c][c144ab-(a-b)]+b-c+2ab)[-(a+b-c-2ab)]=-(a+b-c)2ab+2ac+2bc-a-b-cabsinC和余弦定理教课书中并以习题形式出现，给出的参考答案是利用三角形面积计算公式s=c=a+b-2abcosC的证明过程：s=absinC=ab1-cosnC=ab1-（a+b-c2ab)下略。
我国南宋著名数学家秦九韶也发现了与海伦公式等价的“三斜求积”公式，中国古代的天元术发展水平非常高，笔者猜想秦九韶在独立推出“三斜求积”公式过程中，利用了解方程的方法，因此海伦公式可以作如下推证，从三角形最基本的面积公式S∆ABC= aha入手，利用勾股定理，布列方程组求高。
如图2，B图2C⎧x2+y2=c2222⎪2a+c-b22在△ABC中，AD为边BC上的高，根据勾股定理，有⎨x+z=b解方程，得y=，2a⎪y+z=a⎩z=a+b-c2a，x=c-y=c-（a+c-b2a)=12a4ac-(a+c-b)下略。
三角形海伦公式
三角形海伦公式三角形海伦公式是用来计算三角形面积的一种公式。
它是由古希腊数学家海伦提出的，被广泛应用于计算几何中。
本文将详细介绍三角形海伦公式的推导和应用。
三角形是几何学中最基本的图形之一，它由三条边和三个顶点组成。
在计算三角形的面积时，我们通常需要知道三角形的底和高，或者三边的长度。
但是有时候，我们可能只知道三个顶点的坐标，并不直接知道边长或高，这个时候就需要使用三角形海伦公式。
三角形海伦公式的表达形式是：S = √(s(s-a)(s-b)(s-c))，其中S表示三角形的面积，a、b、c表示三角形的三条边的长度，s表示半周长，计算公式为：s = (a+b+c)/2。
要理解为什么海伦公式成立，我们可以从勾股定理来推导。
根据勾股定理，直角三角形的斜边的平方等于两腰的平方和。
而当我们知道一个三角形的三个顶点的坐标时，可以通过距离公式计算出任意两点之间的距离。
因此，我们可以通过平方差公式计算出三条边的长度的平方，并根据海伦公式求得三角形的面积。
为了更好地理解三角形海伦公式的应用，我们来看一个例子。
假设有一个三角形，其三个顶点分别为A(0, 0)、B(3, 0)和C(0, 4)。
我们可以根据这三点的坐标，利用距离公式计算出三条边的长度。
边AB的长度为3，边AC的长度为4，边BC的长度为5。
然后，我们可以使用半周长公式计算出s的值，s = (3 + 4 + 5) / 2 = 6/2 = 3。
最后，代入海伦公式进行计算，S = √(3(3-3)(3-4)(3-5)) = √(3 * 0 * -1 * -2) = √0 = 0。
通过这个例子，我们可以看到海伦公式的一个特点，即如果三个顶点的坐标共线，那么三角形的面积将为0。
这是因为共线的三个点所构成的图形本身就不是一个三角形。
除了计算三角形的面积，海伦公式还可以用来判断三角形是否存在以及是否为等腰、等边、直角等特殊三角形。
例如，根据海伦公式，如果一个三角形的面积为0，那么这个三角形就不存在。
海伦公式的证明方法
海伦公式的证明方法海伦公式的证明介绍海伦公式是解决三角形面积的一个重要公式，可以通过三个边长来计算三角形的面积。
本文将详细介绍海伦公式的证明过程，并列举各种证明方法。
方法一：利用三角形的高度1.假设三角形的边长分别为a，b，c。
2.设三角形的高分别为h1，h2，h3，分别由边a，b，c所对应的高。
3.利用三角形的高度关系，我们可以得到公式h1 = 2 * S / a，h2= 2 * S / b，h3 = 2 * S / c，其中S为三角形的面积。
4.将上述公式带入等式，得到 h1 + h2 + h3 = 2 * S / a + 2 *S / b + 2 * S / c = 2S(a + b + c) / abc 由此可得 S =(abc) / (2(a + b + c))，即为海伦公式。
方法二：利用三角形的面积公式1.根据三角形的面积公式S = sqrt(s(s-a)(s-b)*(s-c))，其中s为三角形的半周长，即s = (a + b + c)/2。
2.可以将该面积公式带入等式，并进行简化运算，推导得到海伦公式。
方法三：利用余弦定理1.根据余弦定理 c^2 = a^2 + b^2 - 2ab*cos(C)，其中C为三角形的夹角。
2.将cos(C)用海伦公式中的三个边长带入，得到 cos(C) = (a^2 +b^2 - c^2) / 2ab。
3.将cos(C)带入三角形的面积公式 S = 1/2 * a * b * sin(C)，并利用sin^2(C) = 1 - cos^2(C)进行变形，可得 S =sqrt(s(s-a)(s-b)*(s-c))，即为海伦公式。
方法四：利用向量法1.假设三角形的顶点分别为A，B，C。
2.对边向量AB和AC作向量叉乘得到一个面积向量，其模长即为三角形的面积的2倍。
3.根据向量叉乘的性质，可以得到该面积向量的模长为|AB ×AC| = * |AB| * |AC| * sin(∠BAC)。
海伦公式的证明(完整版)
海伦公式的证明海伦公式的证明第一篇：海伦公式的证明与海伦在他的著作 metria ^2-b ^2]tana2tanb2tan2=ptana2tanb2tan2=r∴p^2r^2tana2tanb2tan2=pr^3∴s^2=p^2r^2=∴s=√p第四篇：求三角形面积——海伦公式证明：海伦公式：若δab的三边长为a、b、，则sδab=√（（a＋b＋）×（－a＋b＋）×（a－b＋）×（a＋b －））42啊，多此一举！)证明：设边上的高为 h,则有√＋√=√=－√两边平方，化简得：2√=b^2+^2-a^2两边平方，化简得：h=√^2)sδab=h2=√^2)2仔细化简一下，得：sδab=√（（a＋b＋）×（－a＋b＋）×（a－b＋）×（a＋b －））4用三角函数证明！证明：sδab=absin2=ab√^2)2————（1）∵os=∴代入（1）式，（仔细）化简得：sδab=√（（a＋b＋）×（－a＋b＋）×（a－b＋）×（a＋b －））4第五篇：公式及证明初中数学几何定理1。
同角（或等角）的余角相等。
2。
对顶角相等。
3。
三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和。
4。
在同一平面内垂直于同一条直线的两条直线是平行线。
5。
同位角相等，两直线平行。
6。
等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合。
7。
直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。
8。
在角平分线上的点到这个角的两边距离相等。
及其逆定理。
9。
夹在两条平行线间的平行线段相等。
夹在两条平行线间的垂线段相等。
10。
一组对边平行且相等、或两组对边分别相等、或对角线互相平分的四边形是平行四边形。
11。
有三个角是直角的四边形、对角线相等的平行四边形是矩形。
12。
菱形性质：四条边相等、对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。
13。
正方形的四个角都是直角，四条边相等。
海伦公式的几种证明与推广
海伦公式的几种证明与推广古镇高级中学付增德高中数学必修⑤第一章在阅读与思考栏目向学生介绍一个非常重要且优美的公式——海伦公式〔Heron's Formula 〕：假设有一个三角形，边长分别为,,,c b a ，三角形的面积S 可由以下公式求得：))()((c p b p a p s ---=，而公式里的)(21c b a p ++=，称为半周长。
图1C海伦公式又译希伦公式，传说是古代的叙拉古国王希伦二世发现的公式，利用三角形的三条边长来求取三角形面积。
但根据Morris Kline 在1908年出版的著作考证，这条公式其实是阿基米德所发现，以托希伦二世的名发表。
由于任何n 边的多边形都可以分割成n-2个三角形，所以海伦公式可以用作求多边形面积的公式。
比如说测量土地的面积的时候，不用测三角形的高，只需测两点间的距离，就可以方便地导出答案。
海伦公式形式漂亮，结构工整，有多种变形，如：S=))()((c p b p a p p ---=))()()((41a c b b c a c b a c b a -+-+-+++=])(][)[(412222b a c c b a ---+ =)]2()[2(41222222ab c b a ab c b a --+-+-+=222222)(441c b a b a -+- =44422222222241c b a c b c a b a ---++ 教课书中并以习题形式出现，给出的参考答案是利用三角形面积计算公式C ab s sin 21=和余弦定理C ab b a c cos 2222-+=的证明过程：C ab s sin 21==C n ab 2cos 121-=2222)2(121abc b a ab -+-下略。
我国南宋著名数学家秦九韶也发现了与海伦公式等价的“三斜求积”公式，中国古代的天元术发展水平非常高，笔者猜想秦九韶在独立推出“三斜求积”公式过程中，利用了解方程的方法，因此海伦公式可以作如下推证，从三角形最基本的面积公式a ABC ah S 21=∆入手，利用勾股定理，布列方程组求高。
海伦公式的证明及两个推论
海伦公式的证明及两个推论作者：张浩来源：《数学教学通讯·高中版》2017年第09期[摘要] 高中数学教师在教学中容易轻视教材，把资料书作为教学的核心素材，这种做法明显欠妥. 笔者运用教材中“海伦和秦九昭”的阅读内容，激发学生的探知欲望，提高学生数学抽象、逻辑推理以及数学运算能力.[关键词] 海伦公式；秦九昭公式；三角形面积笔者所在地区使用的高中数学教材为人教A版，在必修五教材的第一章内容中有关于“海伦和秦九昭”的阅读与思考内容. 既然是阅读与思考，往往未受到教师和学生的重视. 但是，此部分内容对于学生了解数学史、提高数学素养都是极好的材料，甚至也可以丰富学生解题思路和技巧.海伦—秦九昭公式在解三角形的问题中，一个比较困难的问题是如何由三角形的三边a，b，c直接求出三角形的面积. 据说这个问题最早是由古希腊数学家阿基米德解决的，他得到公式S= ，其中p= （a+b+c）. 但是现在人们常常以古希腊的数学家海伦命名这个公式，称此公式为海伦公式. 其实，我国南宋时期的数学泰斗秦九韶编撰的《数书九章》一书的卷五中曾记载过“三斜求积术”，秦九韶的算法相当于：S= ，其中a≥b≥c. 它虽然与海伦公式形式上不一样，但两者是完全等价的，实质是一样的. 故海伦公式也称之为“海伦—秦九韶公式”.海伦公式的证明笔者以思考题的形式要求学生阅读此部分内容，并用自己的方法证明海伦公式. 学生的证明方法主要有以下两种.方法1：△ABC的三边长分别为a，b，c，则有三角形的面积公式可得S= absinC= ab ，再由余弦定理可得S= ab化简得S= ，令p= （a+b+c），于是有S= ，海伦公式得证.方法2：如图1，△ABC的三边长分别为a，b，c，AD为边BC的高. 又因为BD=ccosB= ，所以，AD2=AB2-BD2=c2- .由于S= ·BC·AD= a· = ，可由平方差公式化简可得S= ·，令p= （a+b+c），于是有S= ，海伦公式得证.点评：学生以上的两种种证明方法思路简单，利用所学求三角形面积的基本知识，以及余弦定理，将角度转化为边长，这样可以使得最后推证的公式中无角度，只存在边长，化简过程较复杂，需要学生细致、耐心的计算，有助于培养学生的转化思想、计算能力和逻辑推理能力.第二种证明方法需要说明：图1中的高AD在三角形的内部，根据三角形知识可知，若是过钝角三角形中的锐角顶点作对边的高，则此时高AD则会在三角形的外部（如图2），那么此时BD=ccos（π-B）= ，也可推证出海伦公式. 也可理解为：即使△ABC为非锐角三角形，过最大内角作对边的高，那么此时高一定在三角形内部，按照此种证明方法海伦公式也可得证.海伦公式的两个推论推论1：已知三角形的三边长为a，b，c，设p= （a+b+c），可得三角形的内切圆半径r= .证明：如图3，圆O为△ABC的内切圆，内切圆半径为r，则有S△ABC=S△AOB+S△BOC+S△AOC= cr+ ar+ br.由海伦公式可得S△ABC= = （a+b+c）r=pr，证得r= .推论2：设边AB，BC，CA上的高分别记为hc，ha，hb，可得ha= ，hb= ·，hc= .证明：因为S△ABC= ah = ，可证得ha= ，同理可证推论2成立.。
海伦公式的推导
海伦公式的推导已知三角形的三边可以计算出三角形的面积，这个公式叫海伦公式。
海伦公式的内容是：设三角形的三边分别为a ，b ，c ，并设p 2c b a =++，则三角形的面积为S=c)b)(p a)(p p(p ---。
海伦公式在一定条件下用起来很方便，但它是怎样得来的呢？下面举出一个推导过程。
设△ABC 的顶点A,B,C 所对的边分别是a ，b ，c ，我们知道它的面积可以用公式C sin ab 21S =来求出。
根据余弦定理c ²=a ²+b ²-2abcosC 可知2abc b a cosC 222-+=，于是sinC=C cos 12-=cosC)cosC)(1(1-+=)2abc b a )(12ab c b a 1(222222-+--++=2ab]b)(a ][c c b)[(a 2222---+。
把sinC=2ab ]b)(a ][c c b)[(a 2222---+代入上式得C si n ab 21S ==ab 21S =×2ab ]b)(a ][c c b)[(a 2222---+ ]b)(a ][c c b)[(a 412222---+=a)b b)(c a c)(c b c)(a b (a 41-+-+-+++=)2a cb )(2bc a )(2c b a )(2c b a (-+-+-+++=a)2c b a b)(2c b a c)(2c b a )(2c b a (-++-++-++++=。
令p 2c b a =++，则得S=c)b)(p a)(p p(p ---。
当然，利用acsinB 21S =或bcsinA 21S =也可以推出海伦公式，请读者朋友自己试试吧，相信你一定会成功的。
海伦——秦九韶公式推导的多样性
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（ ｂ ）ａ－一 ）
／ ＋ ＋）ｏ ｂ ｃ 一ａ Ⅱ ｂ ｃ一 ｂｎ ｂ ｃ 一ｃ （ ｂ ｃ（ ＋ ＋） ２（ ＋ ＋） ２（ ＋ ＋ ） ２ Ⅱ
２ ２ ２ ２ ‘
即 海 俭 — — 泰 力． 公 式 ． 韶
出． 参 考文献 ： ［］ ｔ 吴文俊． 文俊 论数 学机械 化 ［ ．济 南：山东教 吴 Ｍ］
育 出版 社 ，９ ６ １９ ．
（ ａ＋ｂ＋Ｃ （ ） ａ＋ｂ—ｃ （ ） ａ＋ｃ—ｂ （ ） ｂ＋Ｃ—ａ ）
即海 伦 —— 秦 九韶公 式 ：
Ａ ＝ ／（ ｓ Ｓ—ａ （ ） Ｓ—ｂ （ ） ｓ—ｃ ）
可知 ：
如上 图所 示 ， Ｄ ＝ 列方 程可得 Ａ
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（ ａ ） 一 （ ＋ｂ ２ ｂ ａ 一ｃ） 。！
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我们的 目的是消 去 ， ， ｈ 得到 ａ ｂｃ △之 间的关 ，，， 系． 将变元依次排序 Ａ， ｈ 用吴 消元法 对多项 式组 ： ，．
Ｐ．； ｃ・ｈ 一 ２ ， ５
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求其 特征列 ， 可得 ：
Ｃ３ ｉ ・ｈ 一 ２Ａ ， ｃ Ｃ ｉ ｘ ＋ ａ２ 一 ｂ 一 ｃ ２ｃ ２
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海伦公式的证明
海伦公式的证明海伦公式是解决三角形面积的一个重要公式，它是由古希腊数学家海伦提出的。
海伦公式的表达形式为：设三角形的边长分别为a、b、c，半周长为s，则三角形的面积S可以通过如下公式计算：S = √(s(s-a)(s-b)(s-c))其中的s为三角形半周长，可以通过以下公式计算：s = (a + b + c) / 2为了证明海伦公式，我们首先从三角形的面积出发，将三角形划分为一系列小的三角形，通过计算各个小三角形的面积，最终得到整个三角形的面积。
我们假设三角形ABC的边长分别为a、b、c，半周长为s，D 为三角形内部任意一点。
我们可以将三角形ABC划分为三个小三角形：ABD、ACD和BCD。
根据划分，我们可以得到以下等式：S = S(ABD) + S(ACD) + S(BCD)我们分别计算这三个小三角形的面积。
首先，我们来计算S(ABD)的面积。
假设AD = h1为ABD的高。
根据面积公式S(ABD) = 1/2 * AB * h1。
然后，我们来计算S(ACD)的面积。
假设AD = h2为ACD的高。
根据面积公式S(ACD) = 1/2 * AC * h2。
最后，我们来计算S(BCD)的面积。
假设BD = h3为BCD的高。
根据面积公式S(BCD) = 1/2 * BC * h3。
结合以上三个小三角形的面积，我们可以得到整个三角形ABC的面积S：S = 1/2 * AB * h1 + 1/2 * AC * h2 + 1/2 * BC * h3接下来，我们通过辅助线的方式来计算h1、h2和h3的长度。
我们可以将边AB延长到E点，AC延长到F点，BC延长到G点。
连接DE、DF和DG，我们可以得到如下图所示的情况： D/ \A/______\B\ /\F \ __/G \\/ EC根据几何性质，我们可以得到三个等式：AD = AE + DE，AD = AF + DF，BD = BG + DG。
我们综合以上三个等式，可以得到三个高h1、h2和h3的长度：h1 = √(s(s-a)(s-b)(s-DE))/ah2 = √(s(s-a)(s-c)(s-DF))/ah3 = √(s(s-b)(s-c)(s-DG))/b将上述结果代入到面积公式中，可以得到三角形ABC的面积S的新表达式：S = 1/2 * a * √(s(s-a)(s-b)(s-DE))/a + 1/2 * a * √(s(s-a)(s-c)(s-DF))/a + 1/2 * b * √(s(s-b)(s-c)(s-DG))/b化简上述表达式后，可以得到简化的海伦公式：S = √(s(s-a)(s-b)(s-c))这就是海伦公式。
海伦公式的几种证明
海伦公式的几种另证及其推广 关于三角形的面积计算公式在解题中主要应用的有：设△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，h a 为a 边上的高，R 、r 分别为△ABC 外接圆、内切圆的半径，p =21(a+b+c),则 S △ABC =21ah a =21ab×sinC = r p= 2R 2sinAsinBsinC =R abc 4 =))()((c p b p a p p ---其中，S △ABC =))()((c p b p a p p ---就是著名的海伦公式，在希腊数学家海伦的著作《测地术》中有记载。
海伦公式在解题中有十分重要的应用。
一、 海伦公式的变形S=))()((c p b p a p p ---=))()()((41a cb bc a c b a c b a -+-+-+++ ① =])(][)[(412222b a c c b a ---+ ② =)]2()[2(41222222ab c b a ab c b a --+-+-+ ③ =222222)(441c b a b a -+- ④ =44422222222241c b a c b c a b a ---++ ⑤二、 海伦公式的证明证一 勾股定理分析：先从三角形最基本的计算公式S △ABC =21ah a 入手，运用勾股定理推导出海伦公式。
证明：如图h a ⊥BC ，根据勾股定理，得:⎪⎩⎪⎨⎧-=-=-=222222x c h y b h y a x a a x =a b c a 2222-+ y =a b c a 2222+- h a =22y b -=2222224)(a b c a b +--=a b c a b a 2)(4222222+-- ∴ S △ABC =21ah a =21a×ab c a b a 2)(4222222+--=222222)(441c b a b a -+- 此时S △ABC 为变形④，故得证。
海伦公式的多种推导
海伦公式的多种推导
邬月娥
【期刊名称】《中学教研：数学版》
【年(卷),期】1992(000)006
【摘要】初中代数课本第四册,P<sub>166</sub>,17题:“三角形面积公
式:S<sub>△</sub>=（s（s-a）（s-b）（s-c））<sup>1/2</sup>其中
s=1/2（a+b+c）,a,b,c是三角形三边的长,”这个“公式”远在古希腊阿基米德就知道,后由希腊人海伦（Hero）（生于公元前125年）在他的著作“Merprka”一书的“度量表”章中首先证明了这一公式,还举了求边为13,14,15之三角形面积一例。
在与世隔绝的中国南宋时期（约公元1247年）,数学家秦九韶,在他的《数学九章》中曾独创地讨论到它,名为“三斜求积”,大斜、中斜、小科分别表示三角形三边,求面积。
把他的结论用现代算式表示是:
【总页数】3页(P25-27)
【作者】邬月娥
【作者单位】杭州高级中学
【正文语种】中文
【中图分类】G633.6
【相关文献】
1.对称与对称破缺——从海伦公式的推导说起 [J], 沙国祥
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3.三个宇宙速度的多种推导及教学启示 [J], 汪计朝;李兴
4.理想气体状态方程的多种统计推导 [J], 任青;杨文平
5.三个宇宙速度的多种推导及教学启示 [J], 刘鹏松;李兴
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