二次函数与一次函数交点求范围专题
九年级数学上册专题突破19二次函数和反比例函数解密二次函数与一次函数的交点问题新
解密二次函数与一次函数的交点问题1. 知识载体ymxnmnm≠0）+ （1（）一次函数解析式:为常数且=、2acabyaxbxc :,=为常数且+,+≠0）（（2）二次函数解析式解题思想2.数形结合（把交点问题转化为方程问题求解）解题方法3.求这两个函数的交点坐标或交点个数需要把一次函数解析式和二次函数解析式联立方程组y?mx?n?，整理后得到一个新的一元二次方程，根据判别式来确定交点的个数：?2y?ax?bx?c??一次函数与二次函数有两个交点；0 （1）△＞?二次函数与一次函数有一个交点；）△=0 （2?二次函数与一次函数没有交点。
0 （3）△＜注意：（2）△=0是（1）和（3）的分界点，所以在解决问题时往往利用△=0求出参数的值，从而确定所求范围。
2?2xx?1y?y?x?n，分析两图象的交点个数。
抛物线解析式为：，直线解析式为：例22AxABxymxm在轴交于例题1 （历下区二模）已知二次函数的图象与=﹣2两点（点+、﹣422xyDmxmxmBy轴下方的部分的图象在=﹣1时，将函数=﹣﹣点2的左边），且与轴交于点4。
当+QQx有两个公共与图象沿图象的其余部分保持不变，轴翻折，得到一个新的图象当直线。
b点时，求实数的取值范围。
22mxxxymxmm=0得﹣2+2+，解得﹣4=0==，﹣2，令答案：212mDBAmm ﹣4，，0））（0，∴（2﹣，0），（+2，2BAymxx，﹣0，则﹣3，（﹣30），（1，），顶点为（﹣14）时，﹣当=1=+21x??by Q有两个公共点，因为直线与图象213x?y?bb?A，则当直线点时过22 111x?bb?y?B，，0当直线过）时，（122731?bx?by?2xxy只有一个公共点时，﹣2，与+3当直线=﹣1627331bb根据图象，可得﹣＞＜。
＜或2216Q抛折后直线与翻键题的关，还要注意的点拨：弄清直线与图象的交点个数情况是解法。
b的求切物线相时，2BaxybxA，0），）两点。
专题5二次函数与一次函数的关系1(含解析)
专题5 二次函数与一次函数的关系1一、单选题（共6小题）1.直线y1＝x+1与抛物线y2＝﹣x2+3的图象如图，当y1＞y2时，x的取值范围为（）A．x＜﹣2 B．x＞1 C．﹣2＜x＜1 D．x＜﹣2或x＞12.若二次函数y＝kx2+2x﹣1的图象与x轴仅有一个公共点，则常数k的值为（）A．1 B．±1 C．﹣1 D．3.已知二次函数y＝（a﹣1）x2﹣2x+1的图象与x轴有两个交点，则a的取值范围是（）A．a＜2 B．a＞2 C．a＜2且a≠1 D．a＜﹣24.若二次函数y＝x2+4x+n的图象与x轴只有一个公共点，则实数n的值是（）A．1 B．3 C．4 D．65.已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）经过点M（﹣1，2）和点N（1，﹣2），则下列说法错误的是（）A．a+c＝0B．无论a取何值，此二次函数图象与x轴必有两个交点，且函数图象截x轴所得的线段长度必大于2 C．当函数在x＜时，y随x的增大而减小D．当﹣1＜m＜n＜0时，m+n＜6.如图是抛物线y＝﹣（x+1）2+k的部分图象，其顶点为M，与y轴交于点（0，3），与x轴的一个交点为A，连接MO，MA．以下结论：①k＝3；②抛物线经过点（﹣2，3）；③S△OMA＝4；④当x＝﹣3+时，y＞0．其中正确的是（）A．①③B．②③C．①④D．②④二、填空题（共8小题）7.若二次函数y＝x2+2x+a的图象与x轴有两个不相同的交点，则a的取值范围是．8.已知抛物线y＝x2﹣x﹣1与x轴的一个交点为（m，0），则代数式m2﹣m+5＝．9.二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）中的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：x…﹣﹣1﹣01…y…﹣﹣2﹣﹣2﹣0…则ax2+bx+c＝0的解为﹣．10.如图，若抛物线y＝ax2+h与直线y＝kx+b交于A（3，m），B（﹣2，n）两点，则不等式ax2﹣b＜kx﹣h的解集是﹣．11.抛物线y＝x2﹣4x+3与x轴交于A、B，与y轴交于C，则△ABC的面积＝．12.已知抛物线y＝x2+（m+1）x﹣m﹣2（m＞0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，不论m取何正数，经过A、B、C三点的⊙P恒过y轴上的一个定点，则该定点的坐标是．13.如图，抛物线的对称轴为直线x＝1，点P、Q是抛物线与x轴的两个交点，点P在点Q的右侧，如果点P的坐标为（4，0），那么点Q的坐标为﹣．14.已知点P（x0，m），Q（1，n）在二次函数y＝（x+a）（x﹣a﹣1）（a≠0）的图象上，且m＜n下列结论：①该二次函数与x轴交于点（﹣a，0）和（a+1，0）；②该二次函数的对称轴是x＝；③该二次函数的最小值是（a+2）2；④0＜x0＜1．其中正确的是．（填写序号）三、解答题（共6小题）15.抛物线y＝ax2+bx+c上部分点的横坐标x纵坐标y的对应值如下表x…﹣2﹣1012…y…0﹣4﹣408…（1）试确定该抛物线的对称轴及当x＝﹣3时对应的函数值；（2）试确定抛物线y＝ax2+bx+c的解析式．16.如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴负半轴交于点A，正半轴交于点B，OA＝2OB＝4．求抛物线的顶点坐标．17.如图，若二次函数y＝x2﹣x﹣2的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于C点．（1）求A，B两点的坐标；（2）若P（m，﹣2）为二次函数y＝x2﹣x﹣2图象上一点，求m的值．18.已知抛物线y＝x2﹣4x+3（1）写出抛物线的开口方向，对称轴和顶点坐标；（2）求抛物线与x轴的交点坐标；（3）当y＞0时，直接写出x的取值范围．19.如图，对称轴为直线x＝﹣2的抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A（﹣5，0），B（1，0）两点，与y轴相交于点C．（1）求抛物线的解析式，并求出顶点坐标．（2）若点P在抛物线上，且S△POC＝4S△BOC，求出点P的坐标．20.已知抛物线y1＝ax2+bx﹣3（a≠0）经过点（﹣2，﹣3）．（1）若点A（1，m），B（3，n）为抛物线上的两点，比较m，n的大小．（2）当x≥﹣2时，y1≤﹣2，求抛物线的解析式．（3）无论a取何值，若一次函数y2＝a2x+m总经过y1的顶点，求证：m≥﹣．专题5 二次函数与一次函数的关系1参考答案一、单选题（共6小题）1.【分析】根据函数图象，写出直线在抛物线上方部分的x的取值范围即可．【解答】解：由图可知，x＜﹣2或x＞1时，y1＞y2．故选：D．【点评】本题考查了二次函数与不等式，此类题目，利用数形结合的思想求解是解题的关键．2.【分析】根据二次函数y＝kx2+2x﹣1的图象与x轴仅有一个公共点，可知当y＝0时的△＝0，从而可以求得k的值，本题得以解决．【解答】解：∵二次函数y＝kx2+2x﹣1的图象与x轴仅有一个公共点，∴当y＝0时，0＝kx2+2x﹣1，则△＝22﹣4×k×（﹣1）＝0，解得，k＝﹣1，故选：C．【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．3.【分析】根据抛物线与x轴的交点问题得到△＝22﹣4（a﹣1）＞0，a﹣1≠0，然后解不等式即可．【解答】解：由题意得：，解得：．故选：C．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，△＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数；△＝b2﹣4ac ＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac ＜0时，抛物线与x轴没有交点．4.【分析】利用判别式的意义得到△＝42﹣4n＝0，然后解关于n的方程即可．【解答】解：根据题意得△＝42﹣4n＝0，解得n＝4，故选：C．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x 轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程；△＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数．5.【分析】A．把M、N的坐标代入解析式得到两个三元一次方程，进而可求得a+c的值，B．令y＝0，求出△，判断图象与x轴的交点个数，根据根的个数与根的判别式的关系得解；C．求出对称轴，然后结合a的取值范围判断；D．根据a的取值范围，判断的箱号便可得结果．【解答】解：∵函数经过点M（﹣1，2）和点N（1，﹣2），∴a﹣b+c＝2，a+b+c＝﹣2，∴a+c＝0，b＝﹣2，∴A正确；∵c＝﹣a，b＝﹣2，∴y＝ax2﹣2x﹣a，∴△＝4+4a2＞0，∴无论a为何值，函数图象与x轴必有两个交点，∵x1+x2＝，x1x2＝﹣1，∴|x1﹣x2|＝2＞2，∴B正确；二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的对称轴x＝﹣＝，当a＞0时，不能判定x＜时，y随x的增大而减小；∴C错误；∵﹣1＜m＜n＜0，a＞0，∴m+n＜0，＞0，∴m+n＜；∴D正确，故选：C．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，交点坐标和系数的关系，熟悉抛物线的对称性及抛物线与x轴的交点坐标是本题的关键．6.【分析】①y＝﹣（x+1）2+k＝﹣x2﹣2x+k﹣1，故k﹣1＝3，则k＝4，即可求解；②函数的对称轴为：x＝﹣1，故点（﹣2，3）在抛物线上，即可求解；③S△OMA＝＝＝2≠4，即可求解；④x＝﹣3+＜﹣3，故y＞0，即可求解．【解答】解：①y＝﹣（x+1）2+k＝﹣x2﹣2x+k﹣1，故k﹣1＝3，则k＝4，顶点为：（﹣1，4），故①错误，不符合题意；②函数的对称轴为：x＝﹣1，故点（﹣2，3）在抛物线上，故符合题意；③S△OMA＝＝＝2≠4，故不符合题意；④x＝﹣3+＜﹣3，故y＞0，符合题意；故选：D．【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．二、填空题（共8小题）7.【分析】由题意得：△＝b2﹣4ac＝4﹣4a＞0，即可求解．【解答】解：由题意得：△＝b2﹣4ac＝4﹣4a＞0解得：a＜1，故答案为：a＜1．【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．8.【分析】利用抛物线与x轴的交点问题得到m2﹣m﹣1＝0，则m2﹣m＝1，然后利用整体代入的方法计算m2﹣m+5的值．【解答】解：∵抛物线y＝x2﹣x﹣1与x轴的一个交点为（m，0），∴m2﹣m﹣1＝0，即m2﹣m＝1，∴m2﹣m+5＝1+5＝6．故答案为6．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x 轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．9.【分析】由二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）过点（﹣1，﹣2），（0，﹣2），可求得此抛物线的对称轴，又由此抛物线过点（1，0），即可求得此抛物线与x轴的另一个交点．继而求得答案．【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）过点（﹣1，﹣2），（0，﹣2），∴此抛物线的对称轴为：直线x＝﹣，∵此抛物线过点（1，0），∴此抛物线与x轴的另一个交点为：（﹣2，0），∴ax2+bx+c＝0的解为：x＝﹣2或1．故答案为：x＝﹣2或1．【点评】此题考查了抛物线与x轴的交点问题．此题难度适中，注意掌握二次函数的对称性是解此题的关键．10.【分析】根据二次函数和一次函数的图象和性质即可求解．【解答】解：∵抛物线y＝ax2+h与直线y＝kx+b交于A（3，m），B（﹣2，n）两点，∴不等式ax2﹣b＜kx﹣h的解集为﹣2＜x＜3，故答案为：﹣2＜x＜3．【点评】本题考查了二次函数和不等式、二次函数与一次函数的交点，解决本题的关键是利用图象解决问题．11.【分析】y＝0时可求出A、B两点的坐标，则可得线段AB的长，再求出顶点C的纵坐标．即可求出△ABC的面积．【解答】解：y＝0时，0＝x2﹣4x+3，解得x1＝3，x2＝1∴线段AB的长为2，∵与y轴交点C（0，3），∴以AB为底的△ABC的高为3，∴S△ABC＝×2×3＝3，故答案为：3．【点评】此题主要考查了二次函数与坐标轴的交点坐标求法，进而得出有关三角形的面积，正确的得出有关点的坐标是解决问题的关键．12.【分析】根据已知条件得到求出OA＝2，OB＝m+2，OC＝m+2，判断出∠OCB＝∠OAF，根据三角函数的定义即可得到结论．【解答】解：令y＝0，∴x2+（m+1）x﹣m﹣2＝0，∴（x﹣1）[x+（m+2）]＝0，∴x＝1或x＝﹣（m+2），∴A（1，0），B（﹣m﹣2，0），∴OA＝1，OB＝m+2，令x＝0，∴y＝﹣m﹣2，∴C（0，﹣m﹣2），∴OC＝m+2，如图，∵点A，B，C在⊙P上，∴∠OCB＝∠OAF，在Rt△BOC中，tan∠OCB＝＝＝1，在Rt△AOF中，tan∠OAF＝＝＝1，∴OF＝1，∴点F的坐标为（0，1）；故答案为：（0，1）．【点评】此题主要考查了一元二次方程的根的判别式，圆周角定理，锐角三角函数，勾股定理，求出点A，B，C的坐标是解本题的关键．13.【分析】根据抛物线的对称轴结合点P的横坐标，即可求出点Q的横坐标，此题得解．【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线x＝1，点P的坐标为（4，0），∴点Q的横坐标为1×2﹣4＝﹣2，∴点Q的坐标为（﹣2，0）．故答案为：（﹣2，0）．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点以及二次函数的性质，牢记抛物线的对称性是解题的关键．14.【分析】先求出二次函数的对称轴，然后再分两种情况讨论，即可解答．【解答】解：①∵二次函数y＝（x+a）（x﹣a﹣1），∴当y＝0时，x1＝﹣a，x2＝a+1，即该二次函数与x轴交于点（﹣a，0）和（a+1，0）．故①结论正确；②对称轴为：x＝＝．故②结论正确；③由y＝（x+a）（x﹣a﹣1）得到：y＝（x﹣）2﹣（a+）2，则其最小值是﹣（a+）2，故③结论错误；④当P在对称轴的左侧（含顶点）时，y随x的增大而减小，由m＜n，得0＜x0≤；当P在对称轴的右侧时，y随x的增大而增大，由m＜n，得＜x0＜1，综上所述：m＜n，所求x0的取值范围0＜x0＜1．故④结论正确．故答案是：①②④．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征，解决本题的关键是利用二次函数的性质，要分类讨论，以防遗漏．三、解答题（共6小题）15.【分析】（1）根据抛物线的对称性质求得对称轴方程x＝＝﹣，由图象的对称性质知当x＝﹣3与x＝2时所对应的函数值相等．（2）设抛物线解析式为y＝a（x+2）（x﹣1）（a≠0），将点（0，﹣4）代入求得a的值，然后将该抛物线解析式转化为一般式即可．【解答】解：（1）由图表中的数据知，当x＝﹣1与x＝0所对应的函数值相等，则其对称轴方程x＝＝﹣，由图象的对称性质知当x＝﹣3与x＝2时所对应的函数值相等，即当x＝﹣3时对应的函数值是8；（2）根据表格中的数据知，抛物线与x轴的两交点坐标是（﹣2，0）、（1，0），故设抛物线解析式为y＝a（x+2）（x﹣1）（a≠0），将点（0，﹣4）代入，得a（0+2）（0﹣1）＝﹣4解得a＝2故该抛物线解析式是：y＝2（x+2）（x﹣1）＝2x2+2x﹣4，即y＝2x2+2x﹣4．【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．16.【分析】先写出A、B点的坐标，然后利用交点式写出抛物线解析式，再利用配方法得到抛物线的顶点坐标．【解答】解：∵OA＝2OB＝4，∴B（2，0），A（﹣4，0），∴抛物线解析式为y＝﹣（x+4）（x﹣2），即y＝﹣x2﹣2x+8，∵y＝﹣（x+1）2+9，∴抛物线的顶点坐标为（﹣1，9）．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x 轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．17.【分析】（1）解方程x2﹣x﹣2＝0可得A，B两点的坐标；（2）把P（m，﹣2）代入y＝x2﹣x﹣2得m2﹣m﹣2＝﹣2，然后解关于m的方程即可．【解答】解：（1）当y＝0时，x2﹣x﹣2＝0，解得x1＝﹣1，x2＝2，∴A（﹣1，0），B（2，0）；（2）把P（m，﹣2）代入y＝x2﹣x﹣2得m2﹣m﹣2＝﹣2，解得m1＝0，m2＝1，∴m的值为0或1．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x 轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．18.【分析】（1）先把一般式配成顶点式，然后根据二次函数的性质解决问题；（2）通过解方程x2﹣4x+3＝0得抛物线与x轴的交点坐标；（3）写出抛物线在x轴上方所对应的自变量的范围．【解答】解：（1）y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，所以抛物线的开口向上，抛物线的对称轴为直线x＝2，顶点坐标为（2，﹣1）；（2）当y＝0时，x2﹣4x+3＝0，解得x1＝1，x2＝3，所以抛物线与x轴的交点坐标为（1，0），（3，0）；（3）当x＜1或x＞3时，y＞0．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x 轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．19.【分析】（1）把A、B两点坐标代入，根据待定系数法可求得抛物线解析式，进而可求出顶点坐标；（2）根据S△POC＝4S△BOC，可得P到OC的距离是OB的4倍，可得P点的横坐标，根据自变量与函数值的对应关系，进而得到点P的坐标．【解答】解：（1）把A（﹣5，0），B（1，0）两点代入y＝x2+bx+c得，解得：，∴抛物线解析式为y＝x2+4x﹣5，∴顶点坐标为（﹣2，9）；（2）由S△POC＝4S△BOC，得P到OC的距离是OB的4倍，即P点的横坐标为4或﹣4，当x＝4时，y＝42+4×4﹣5＝19，P1（4，19）当x＝﹣4时，y＝（﹣4）2+2×（﹣4）﹣5＝5，即P2（﹣4，3），综上所述：P1（4，19），P2（﹣4，3）．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，利用S△POC＝4S△BOC得P到OC的距离是OB的4倍是解题关键．20.【分析】（1）抛物线y1＝ax2+2ax﹣3，将点A、B坐标分别代入上式得：m＝3a﹣3，n＝9a+6a﹣3＝12a﹣3，即可求解；（2）当x≥﹣2时，y1≤﹣2，则a＜0，抛物线的顶点坐标为：（﹣1，﹣3﹣a），即﹣3﹣a＝﹣2，解得：a＝﹣1，即可求解；（3）y1的顶点坐标代入y2＝a2x+m得：m＝a2﹣a﹣3，∵1＞0，故m有最大值，此时，a＝，最小值为﹣，即可求解．【解答】解：（1）将点（﹣2，﹣3）坐标代入抛物线y1的表达式得：﹣3＝4a﹣2b﹣3，解得：b＝2a，故抛物线y1＝ax2+2ax﹣3，将点A、B坐标分别代入上式得：m＝3a﹣3，n＝9a+6a﹣3＝12a﹣3，故当a＞0时，m＜n，当a＜0时，m＞n；（2）当x≥﹣2时，y1≤﹣2，则a＜0，抛物线的顶点坐标为：（﹣1，﹣3﹣a），即﹣3﹣a＝﹣2，解得：a＝﹣1，故抛物线的表达式为：y1＝﹣x2﹣2x﹣3；（3）y1的顶点坐标代入y2＝a2x+m得：m＝a2﹣a﹣3，∵1＞0，故m有最小值，此时，a＝时，最小值为﹣，故m≥﹣．【点评】本题考查的是二次函数与不等式（组），要求学生对二次函数基本性质、不等式的求解非常熟悉，其中（3），用函数最值的方式求解m的取值范围，比较新颖．。
一次函数和二次函数交点公式
一次函数和二次函数交点公式一次函数和二次函数是高中数学中常见的两种函数类型，它们在图像上有着不同的特点和性质。
当这两种函数相交时，我们可以通过交点公式来求解它们的交点坐标。
一次函数一般可以表示为y = kx + b的形式，其中k和b分别是函数的斜率和截距。
而二次函数一般可以表示为y = ax^2 + bx + c 的形式，其中a、b和c是函数的系数。
当一次函数和二次函数相交时，意味着它们在某一点上的函数值相等。
我们可以通过解方程来求解它们的交点坐标。
将二次函数的表达式代入一次函数的表达式中，即将y = ax^2 + bx + c代入y = kx + b中，得到一个关于x的二次方程。
这个二次方程可以表示为ax^2 + (b-k)x + (c-b) = 0。
接下来，我们可以使用二次方程的求根公式来求解这个方程。
求根公式是一个关于x的一元二次方程解的公式，可以表示为x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a。
将方程ax^2 + (b-k)x + (c-b) = 0代入求根公式中，即可得到交点的x坐标。
通过求解得到的x坐标，我们可以将其代入一次函数的表达式中，计算出对应的y坐标。
这样就得到了一次函数和二次函数的交点坐标。
需要注意的是，一次函数和二次函数可能有0个、1个或2个交点。
当二次函数的判别式b^2 - 4ac大于0时，有两个不同的实根，即两个交点；当判别式等于0时，有一个重根，即一个交点；当判别式小于0时，无实根，即没有交点。
交点公式的推导过程中，我们使用了一些数学概念和技巧，例如函数的表达式、代入、二次方程和求根公式等。
这些概念和技巧在高中数学中都有相应的学习内容，通过掌握它们，我们可以更好地理解和应用交点公式。
总结起来，一次函数和二次函数交点公式是通过将二次函数代入一次函数，并求解得到的二次方程，得出交点坐标的公式。
通过学习和掌握这个公式，我们可以更好地理解和分析一次函数和二次函数的交点问题，从而解决相关的数学计算和实际应用中的问题。
中考数学专题专练--二次函数与一次函数的综合 (1)
中考数学专题专练--二次函数与一次函数的综合1．如图，二次函数y＝- 34x2+94x+3的图象与x轴交于点A、B（B在A右侧），与y轴交于点C．（1）求点A、B、C的坐标；（2）求△ABC的面积．2．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=﹣1，且抛物线经过A （1，0），C（0，3）两点，与x轴相交于点B．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴x=﹣1上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求出点M的坐标；（3）设点P为抛物线的对称轴x=﹣1上的一个动点，求使△BPC为直角三角形的点P的坐标．3．如图，抛物线y=x2 +bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（2，0）两点．（1）求该抛物线的解析式；（2）设（1）中的抛物线上有一个动点P，当点P在该抛物线上滑动到什么位置时，满足S△P AB=6，并求出此时P点的坐标．4．如图，抛物线y1=a(x-1)2+4与x轴交于A(-1，0)。
（1）求该抛物线所表示的二次函数的表达式；（2）一次函数y2=x+1的图象与抛物线相交于A，C两点，过点C作CB垂直于x 轴于点B，求△ABC的面积。
5．如图，已知直线y=-3x+3与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y=ax2+bx+c经过点A和点C，对称轴为直线I：x=-1，该抛物线与x轴的另一个交点为B。
（1）求此抛物线的解析式；（2）点P在抛物线上且位于第二象限，求△PBC的面积最大值及点P的坐标。
（3）点M在此抛物线上，点N在对称轴上，以B、C、M、N为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，写出所有满足要求的点M 的坐标；若不能，请说明理由。
6．如图，直线y=-x+2与抛物线y=ax 2交于A ，B 两点，点A 坐标为(1，1)。
（1）水抛物线的函数表达式：（2）连结OA ，OB ，求△AOB 的面积。
7．已知抛物线y=ax 2+bx+c 的顶点P(1，-1)，且过Q(5，3)。
(完整)二次函数与一次函数交点求范围专题
(完整)二次函数与一次函数交点求范围专题二次函数与一次函数交点求范围专题1.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=2x2+mx+n经过点A（0，﹣2)，B(3,4)．(1求抛物线的表达式及对称轴；（2）设点B关于原点的对称点为C,点D是抛物线对称轴上一动点，记抛物线在A，B 之间的部分为图象G（包含A，B两点）．若直线CD 与图象G有公共点，结合函数图象，求点D纵坐标t的取值范围?2.二次函数y=x2+bx+c的图象如图所示，其顶点坐标为M（1，—4）．（1）求二次函数的解析式；(2）将二次函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象,请你结合新图象回答：当直线y=x+n与这个新图象有两个公共点时，求n的取值范围．3．已知二次函数y=(t+1）x2+2（t+2）x+错误!在x=0和x=2时的函数值相等．(1)求二次函数的解析式;（2）若一次函数y=kx+6的图象与二次函数的图象都经过点A(−3，m），求m和k的值;（3）设二次函数的图象与x轴交于点B,C(点B在点C的左侧)，将二次函数的图象在点B，C间的部分(含点B 和点C）向左平移n（n〉0)个单位后得到的图象记为G,同时将（2）中得到的直线y=kx+6向上平移n个单位．请结合图象回答：当平移后的直线与图象G有公共点时，求n的取值范围．4。
已知二次函数y=x2-2（k+1）x+k2-2k—3与x轴有两个交点．（1)求k的取值范围；(2）当k取最小的整数时，求二次函数的解析式；(3）将（2）中求得的抛物线在x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，图象的其余部分不变，得到一个新图象．请你画出这个新图象,并求出新图象与直线y=x+m有三个不同公共点时m的值．1。
在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=2x2+mx+n经过点A（0，﹣2），B（3,4）．(1求抛物线的表达式及对称轴；(2）设点B关于原点的对称点为C,点D是抛物线对称轴上一动点,记抛物线在A，B之间的部分为图象G(包含A，B两点)．若直线CD 与图象G有公共点,结合函数图象，求点D纵坐标t的取值范围？解：（1）∵抛物线y=2x2+mx+n经过点A（0,﹣2），B（3，4），代入得:,解得：，∴抛物线解析式为y=2x2﹣4x﹣2，对称轴为直线x=1；（2）由题意得：C(﹣3，﹣4）,二次函数y=2x2﹣4x﹣2的最小值为﹣4，由函数图象得出D纵坐标最小值为﹣4,设直线BC解析式为y=kx+b，将B与C坐标代入得：,解得：k=，b=0,∴直线BC解析式为y=x,当x=1时，y=,则t的范围为﹣4≤t≤．2。
一次函数和二次函数相交的问题
类型一：已知一次函数和二次函数解析式求交点坐标并比较大小1如图，已知直线y=x与抛物线y=-x2交于A、B两点.21 (2)记一次函数y=x的函数值为y i,二次函数y=^x2 若y i>y2,求x的取值范围.类型二：已知相关点的坐标求解一次函数和二次函数的解析式并比较大小如图，二次函数y (x-2) 2+m的图象与y轴交于点C,点B是点C关于该二次函数图象的对称轴对称的点.已知一次函数y=kx+b的图象经过该二次函数图象上点 A (1, 0)及点B.(1) 求一次函数与二次函数的解析式；(2) 根据图象，写出满足kx+b>(x-2) 2+m的x的取值范围.练习1:如图所示，二次函数的图象与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C,点C、D 是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象过点B、D. (1)求D点的坐标和一次函数、二次函数的解析式；(2)根据图象写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围.练习2:在同一直角坐标系，开口向上的抛物线与坐标轴分别交于 A (-1, 0), B (3, 0), C (0, -3), 一次函数图象与二次函数图象交于B、C两点.(1)求一次函数和二次函数的解析式.(2) 当自变量x为何值时，两函数的函数值都随x的增大而增大?(3) 当自变量x为何值时，一次函数值大于二次函数值.(4) 当自变量x为何值时，两函数的函数值的积小于0.类型三：与一次函数和二次函数的交点有关的面积类问题1如图，一次函数y=x- 1与x轴交点A恰好是二次函数与x的其中一个交点，已知二次函数图2象的对称轴为x=1，并与y轴的交点为(0，1).( 1)求二次函数的解析式；(2)设该二次函数与一次函数的另一个交点为C点，连接BC,求三角形ABC的面积. 瑞练习1：如图，A (-1，0)、B (2，-3)两点在一次函数y i=-x+m与二次函数y2=a«+bx-3的图象上.(1 )求m的值和二次函数的解析式.(2) 二次函数交y轴于。
中考数学复习考点知识归类讲解23 二次函数中的交点问题
中考数学复习考点知识归类讲解 专题23 二次函数中的交点问题知识对接考点一、直线与抛物线的交点（1）y 轴与抛物线c bx ax y ++=2得交点为(0, c ).（2）与y 轴平行的直线h x =与抛物线c bx ax y ++=2有且只有一个交点(h ,c bh ah ++2).（3）抛物线与x 轴的交点二次函数c bx ax y ++=2的图像与x 轴的两个交点的横坐标1x 、2x ，是对应一元二次方程02=++c bx ax 的两个实数根.抛物线与x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：①有两个交点⇔0>∆⇔抛物线与x 轴相交；②有一个交点（顶点在x 轴上）⇔0=∆⇔抛物线与x 轴相切； ③没有交点⇔0<∆⇔抛物线与x 轴相离. （4）平行于x 轴的直线与抛物线的交点同（3）一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k ，则横坐标是k c bx ax =++2的两个实数根.（5）一次函数()0≠+=k n kx y 的图像l 与二次函数()02≠++=a c bx ax y 的图像G 的交点，由方程组cbx ax y n kx y ++=+=2的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时⇔l 与G有两个交点; ②方程组只有一组解时⇔l 与G 只有一个交点；③方程组无解时⇔l 与G 没有交点.（6）抛物线与x 轴两交点之间的距离：若抛物线c bx ax y ++=2与x 轴两交点为()()0021，，，x B x A ，由于1x 、2x 是方程02=++c bx ax 的两个根，故acx x a b x x =⋅-=+2121,()()a a acb a ca b x x x x x x x x AB ∆=-=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--=-=-=444222122122121专项训练 一、单选题1．如图，已知抛物线()20y axbx c a =++≠的对称轴为直线1x =，与x 轴的一个交点坐标为()1,0-，其部分图象如图所示．下列结论：①方程20ax bx c ++=的两个根是11x =-，23x =；②0a b c -+=；③80a c +<；④当0y >时，x 的取值范围是13x ．其中结论正确的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．42．将抛物线y ＝x 2+2mx +m 2﹣1向左平移8个单位，平移后的抛物线对称轴为直线x ＝1，则平移后的抛物线与y轴的交点坐标为（）A．(0，0) B．(0，4) C．(0，15) D．(0，16)3．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴的两个交点横坐标为﹣2，x0，且满足（a+b+c）（4a+2b+c）＜0，与y轴的负半轴相交，抛物线经过点A（﹣1，y1），B（﹣2，y2），C （1，y3），正确结论是（）A．y3＞y2＞y1B．y3＞y1＞y2C．y1＞y2＞y3D．y1＞y3＞y24．直线y＝x+a不经过第二象限，则关于x的函数y=ax2+2x+1与坐标轴的交点个数是（）A．1个B．2个C．3个D．2个或3个5．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A(﹣1，0)，与y轴的交点B在(0，﹣2)和(0，﹣1)之间（不包含这两点），对称轴为直线x＝1．在下列结论中：①abc＞0；②16a+4b+c＜0；③4ac﹣b2＜8a；④13＜a＜23；⑤b＜c．正结论的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．46．如图是抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，抛物线的顶点坐标A(1，3)，与x 轴的一个交点B(4，0)，有下列结论：①2a+b＝0；②abc＞0；③方程ax2+bx+c＝2有两个不相等的实数根；④当y＜0时，﹣2＜x＜4，⑤b2+12a＝4ac．其中正确的个是（）A ．2B ．3C ．4D ．57．如图为某二次函数的部分图像，有如下四个结论：①此二次函数表达式为y ＝14x 2﹣x ＋9：②若点B （﹣1，n ）在这个二次函数图像上，则n ＞m ；③该二次函数图像与x 轴的另一个交点为（﹣4，0）；④当0＜x ＜5.5时，m ＜y ＜8．所有正确结论的序号是（）A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④8．已知抛物线()2y a x h k =-+与x 轴有两个交点()1,0A -，()3,0B ，抛物线()2y a x h m k =--+与x 轴的一个交点是()4,0，则m 的值是（） A ．5B ．1-C ．5或1D ．5-或1-9．若抛物线2y x bx c =++与x 轴两个交点间的距离为4．对称轴为2x =，P 为这条抛物线的顶点，则点P 关于x 轴的对称点的坐标是（） A ．()2,4B ．()2,4-C ．()2,4--D ．()2,4-10．如图，抛物线21(6)22y x =--与x 轴交于点A B 、，把抛物线在x 轴及其下方的部分记作1C ，将1C 向左平移得到22,C C 与x 轴交于点B O 、，若直线12y x m =+与12C C 、共有3个不同的交点，则m 的取值范围是（）A ．32m -≤<-B ．4128m -<<- C ．52m -≤<- D ．2528m -<<- 二、填空题11．定义：若抛物线与x 轴有两个交点，且这两个交点与它的顶点所构成的三角形是直角三角形，则把这种抛物线称作“和美抛物线”．如图，一组抛物线的顶点B 1(1，y 1)，B 2(2，y 2)，B 3(3，y 3)，… B n (n ，y n )（n 为正整数）依次是直线y 1134x =+上的点，这组抛物线与x 轴正半轴的交点依次是A 1(a 1，0)，A 2(a 2，0)，A 3(a 3，0)，…A n +1(a n +1，0)（0＜a 1＜1，n 为正整数）．若这组抛物线中存在和美抛物线，则a 1＝___．12．已知二次函数245y x x =-++，它的图象与x 轴的交点坐标为________． 13．已知抛物线()20y axbx c a =++≠与x 轴的一个交点坐标为（3，0），对称轴为直线1x =，则关于x 的一元二次方程()200++=≠ax bx c a 的根是_______．14．我们把一个半圆与抛物线的一部分组成的封闭图形称为“蛋圆”．如图，A 、B 、C 、D 分别是某蛋圆和坐标轴的交点其中抛物线的解析式为y =x 2﹣2x ﹣3，则“蛋圆”的弦CD 的长为____．15．关于抛物线221(0)y ax x a =-+≠，给出下列结论：①当0a <时，抛物线与直线22y x =+没有交点；②若抛物线与x 轴有两个交点，则其中一定有一个交点在点（0，0）与（1，0）之间；③若抛物线的顶点在点（0，0），（2，0），（0，2）所围成的三角形区域内（包括边界），则1a ．其中正确结论的序号是________． 三、解答题16．已知关于x 的二次函数()22410y kx kx k k =-++>，（1）若二次函数的图象与x 轴没有交点，求k 的取值范围；（2）若(),P m n 和()3,q q -是抛物线上两点，且n q <，求实数m 的取值范围； （3）若()1,B c b +和(),C c s 是抛物线上两点，试比较b 和s 的大小．17．定义：若一次函数y ax b =+（0a ≠）与反比例函数c y x=（0c ≠）满足2a c b +=，则我们把函数2y ax bx c =++称为一次函数与反比例函数的“附中函数”．（1）一次函数36y x =+与反比例函数9y x=是否存在“附中函数”？如果存在，写出其“附中函数”，如果不存在，请说明理由．（2）若一次函数y x b =+与反比例函数c y x=（0c ≠）存在“附中函数”，且该“附中函数”的图象与直线27y x =+有唯一交点，求b ，c 的值．（3）若一次函数y ax b =+（0a >）与反比例函数c y x=-（0c ≠）的“附中函数”的图象与x 轴有两个交点分别是A （1x ，0），B （2x ，0），其中3a c a ≤≤，点C （3，4），求△ABC 的面积S △ABC 的变化范围． 18．已知抛物线2122y x x =-．（1）求这个函数的最大值或最小值，并写出函数y 取得最大值或最小值时相应的自变量x 的值．（2）求该抛物线与x 轴的交点坐标，并直接写出当0y >时相应的x 的取值范围． 19．已知抛物线2(21)46y x m x m =--+-．（1）试说明：不论m 取任何实数，该抛物线都经过x 轴上的定点A ；（2）设该抛物线与x 轴的另一个交点为B （A 与B 不重合），顶点为C ，当ABC 为直角三角形时，求m 的值；（3）在（2）的条件下，若点B 在A 的右侧，点(0,3)D ，点E 是抛物线上的一点．问：在x 轴上是否存在一点F ，使得以D ，E ，F 为顶点的三角形是等腰直角三角形，且90EDF ∠=︒，若存在，求F 点的坐标；若不存在，请说明理由．20．已知二次函数24y ax ax b =++与x 轴交于A ，B 两点（其中A 在B 的左侧），且2AB =．（1）抛物线的对称轴是______． （2）求点A 和点B 坐标．（3）点C 坐标为()2.5,4--，()0,4D -．若抛物线24y ax ax b =++与线段CD 恰有一个交点，求a 的取值21．已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a 、b 、c 为常数，且a ≠0）（1）若抛物线的对称轴为x ＝3，若抛物线与x 轴的两个交点的横坐标比为1：2，求这两个交点的坐标；（2）抛物线的顶点为点C ，抛物线与x 轴交点分别为A 、B ，若△ABC 为等边三角形，求证：b 2—4ac ＝12；（3）若当x ＞—1时，y 随x 的增大而增大，且抛物线与直线y ＝ax —1a ＋c 相切于点D ，若ODc 的取值范围．22．如图，抛物线y ＝a （x ﹣2）2+3（a 为常数且a ≠0）与y 轴交于点A （0，53）．（1）求该抛物线的解析式；（2）若直线y ＝kx 23+（k ≠0）与抛物线有两个交点，交点的横坐标分别为x 1，x 2，当x 12+x 22＝10时，求k 的值；（3）当﹣4＜x ≤m 时，y 有最大值43m，求m 的值． 23．现有牌面编码为﹣1，1，2的三张卡片，背面向上，从中随机抽取一张卡片，记其数字为k ，将抽到的卡片背面朝上，放回打乱后，再抽一张记其数字为m ，则事件“关于a 、b的方程组2122a b ka b+=+⎧⎨+=⎩的解满足0≤a﹣b≤1，且二次函数y＝x2﹣2x+m的图象与x轴恰有2个交点”成立的概率为__．。
二次函数和一次函数交点求k取值范围
二次函数和一次函数交点求k取值范围摘要：1.二次函数和一次函数的交点问题概述2.求解交点的方法3.求k 取值范围的方法4.举例说明5.总结正文：一、二次函数和一次函数的交点问题概述二次函数和一次函数的交点问题，是指在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c 与一次函数y=kx+d 的图像有且仅有一个交点的情况。
此时，两个函数的交点是重合的，也就是说，它们在交点处的函数值相等。
二、求解交点的方法为了求解二次函数和一次函数的交点，我们可以先将两个函数的方程联立起来，得到一个一元二次方程。
具体来说，将二次函数y=ax2+bx+c 和一次函数y=kx+d 的方程联立，可以得到以下方程组：ax2+bx+c=kx+d然后，我们可以通过消元、化简，将这个方程组化为标准的一元二次方程形式，即：ax2+(b-k)x+(c-d)=0接着，我们可以使用求根公式求解这个一元二次方程，得到它的两个根x1和x2。
这两个根分别对应着二次函数和一次函数的交点的横坐标。
将这两个横坐标代入任一方程，就可以求出对应的纵坐标，即交点的坐标。
三、求k 取值范围的方法由于二次函数和一次函数的交点只有一个，因此它们的判别式应该等于0。
具体来说，判别式Δ=b2-4ac 应该等于0。
将二次函数和一次函数的系数代入，可以得到：(b-k)2 - 4a(c-d) = 0展开后，可以得到一个关于k 的一元二次方程：k2 - 2bk + (b2 - 4ac + 4ad) = 0根据一元二次方程的求根公式，这个方程的两个根为：k1,2 = [2b ± sqrt((2b)2 - 4(b2 - 4ac + 4ad))] / 2化简后，可以得到：k1,2 = b ± sqrt(b2 - 4ac + 4ad)注意到，这个方程的判别式为Δ" = b2 - 4(b2 - 4ac + 4ad)，因此，当Δ" = 0 时，方程只有一个根，即二次函数和一次函数的交点只有一个。
中考数学总复习《二次函数与一次函数的综合应用》练习题附有答案
中考数学总复习《二次函数与一次函数的综合应用》练习题附有答案一、单选题(共12题；共24分)1．已知直线y=kx+2过一、二、三象限，则直线y=kx+2与抛物线y=x2−2x+3的交点个数为（）A．0个B．1个C．2个D．1个或2个2．已知一次函数y1=kx+m(k≠0)和二次函数y2=ax2+bx+c(a≠0)部分自变量和对应的函数值如表：x…-10245…y1…01356…y2…0-1059…21A．-1＜x＜2B．4＜x＜5C．x＜-1或x＞5D．x＜-1或x＞43．如图，抛物线y＝﹣2x2+8x﹣6与x轴交于点A、B，把抛物线在x轴及其上方的部分记作C1，将C1向右平移得C2，C2与x轴交于点B，D．若直线y＝x+n与C1、C2共有3个不同的交点，则n的取值范围是（）A．−2＜n＜18B．−3＜n＜−74C．−3＜n＜−2D．−3＜n＜−1584．已知直线y=mx+n和抛物线y=ax2+bx+c在同一坐标系中的位置如图所示，且抛物线与x轴交于点（-1，0）、（2，0），抛物线与直线交点的横坐标为1和，那么不等式mx+n ＜ax2+bx+c ＜0的解集是()A．1＜x＜2B．x＜或x＞1C．＜x＜2D．-1＜x＜25．若min{a,b,c}表示a,b,c三个数中的最小值，当y=min{x2,x+2,8−x}时(x≥0)，则y的最大值是（）A．4B．5C．6D．7 6．新定义：若一个点的纵坐标是横坐标的2倍，则称这个点为二倍点.若二次函数y= x2−x+c（c为常数）在−2<x<4的图象上存在两个二倍点，则c的取值范围是（）A．−2<c<14B．−4<c<94C．−4<c<14D．−10<c<947．二次函数y1=x2+bx+c与一次函数y2=kx−9的图象交于点A（2，5）和点B（3，m），要使y1<y2，则x的取值范围是（）A．2<x<3B．x>2C．x<3D．x<2或x>38．将二次函数y=−x2+2x+3的图象在x轴上方的部分沿x轴翻折后，所得新函数的图象如图所示．当直线y=x+b与新函数的图象恰有3个公共点时b的值为（）A．−214或−3B．−134或−3C．214或−3D．134或−39．如图，平面直角坐标系中，点M是直线y=2与x轴之间的一个动点，且点M是抛物线y=12x2+bx+c的顶点，则方程12x2+bx+c=1的解的个数是（）A．0或2B．0或1C．1或2D．0，1或210．如图①，在正方形ABCD中，点P沿边DA从点D开始向点A以1cm/s的速度移动，同时点Q沿边AB，BC从点A开始向点C以2cm/s的速度移动，当点P移动到点A时P、Q同时停止移动。
(完整版)一次函数和二次函数相交的问题
一次函数和二次函数相交的问题类型一：已知一次函数和二次函数解析式求交点坐标并比较大小 如图，已知直线y=x 与抛物线y=21x 2交于A 、B 两点． （1）求交点A 、B 的坐标；（2）记一次函数y=x 的函数值为y 1，二次函数y=21x 2的函数值为y 2． 若y 1＞y 2，求x 的取值范围．类型二：已知相关点的坐标求解一次函数和二次函数的解析式并比较大小如图，二次函数y=（x-2）2+m 的图象与y 轴交于点C ，点B 是点C 关于该二次函数图象的对称轴对称的点．已知一次函数y=kx+b 的图象经过该二次函数图象上点A （1，0）及点B ． （1）求一次函数与二次函数的解析式；（2）根据图象，写出满足kx+b≥（x-2）2+m 的x 的取值范围．练习1：如图所示，二次函数的图象与x 轴相交于A 、B 两点，与y 轴相交于点C ，点C 、D 是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象过点B 、D ．（1）求D 点的坐标和一次函数、二次函数的解析式；（2）根据图象写出使一次函数值大于二次函数值的x 的取值范围．练习2：在同一直角坐标系，开口向上的抛物线与坐标轴分别交于A （-1，0），B （3，0），C （0，-3），一次函数图象与二次函数图象交于B 、C 两点．（1）求一次函数和二次函数的解析式．（2）当自变量x 为何值时，两函数的函数值都随x 的增大而增大？ （3）当自变量x 为何值时，一次函数值大于二次函数值． （4）当自变量x 为何值时，两函数的函数值的积小于0．ABC Oxy练习3：一次函数y=2x+3与二次函数y=ax 2+bx+c 的图象交于A （m ，5）和B （3，n ）两点，且点B 是抛物线的顶点．（1）求一次函数和二次函数的表达式；（2）在同一坐标系中画出两个函数的图象； （3）从图象上观察，x 为何值时，两个函数的值都随x 的增大而增大，当x 为何值时，二次函数的值大于一次函数的值？类型三：与一次函数和二次函数的交点有关的面积类问题。
中考专题复习7：一次函数与二次函数相交问题
中考专题复习7：一次函数与二次函数相交问题
类型一：已知一次函数和二次函数解析式求交点坐标并比较大小
如图，已知直线y=x 与抛物线y=2
1x 2交于A 、B 两点． （1）求交点A 、B 的坐标；
（2）记一次函数y=x 的函数值为y 1，二次函数y=2
1x 2的函数值为y 2． 若y 1＞y 2，求x 的取值范围．
类型二：已知相关点的坐标求解一次函数和二次函数的解析式并比较大小 如图，二次函数y=（x-2）2+m 的图象与y 轴交于点C ，点B 是点C 关于该二次函数图象的对称轴对称的点．已知一次函数y=kx+b 的图象经过该二次函数图象上点A （1，0）及点B ．
（1）求一次函数与二次函数的解析式；
（2）求抛物线与x 轴的另一个交点坐标；
（2）根据图象，写出满足kx+b≥（x-2）2+m 的x 的取值范围．
A B C O x y
练习：在同一直角坐标系，开口向上的抛物线与坐标轴分别交于A（-1，0），B （3，0），C（0，-3），一次函数图象与二次函数图象交于B、C两点．
（1）求一次函数和二次函数的解析式．
（2）当自变量x为何值时，两函数的函数值都随x的增大而增大？
（3）当自变量x为何值时，一次函数值大于二次函数值．
（4）当自变量x为何值时，两函数的函数值的积小于0．。
专题二次函数与一元二次方程(5个考点)(题型专练+易错精练)
专题5.3 二次函数与一元二次方程（5个考点）【考点1 二次函数与x 轴交点问题】【考点2 图象法确定一元二次方程的根】【考点3已知函数值y 求x 的取值范围】【考点4二次函数与一次函数不等式的关系】【考点5二次函数综合】【考点1 二次函数与x 轴交点问题】1．在平面直角坐标系中，二次函数24y ax ax c =-+（0a ¹）的图象与x 轴的一个交点的横坐标为1-，则另一个交点的横坐标为（ ）A ．5B ．3C ．3-D ．5-2．抛物线y=x 2+6x+8与x 轴交点坐标（ ）A ．（0，8）B ．（0，-8）C ．（0，6）D ．（-2，0），（-4，0）3．二次函数256y x x =--与坐标轴的交点个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．0个4．如图，二次函数2y x mx n =-++的图象与x 轴的一个交点坐标为(5,0)，那么关于x 的一元二次方程20x mx n -++=的解为（ ）A ．15x =，21x =B ．15x =，21x =-C ．15x =，25x =-D ．5x =5．已知二次函数22y x x m =--+的部分图象如图所示，则关于x 的一元二次方程220x x m --+=的解为（ ）A ．3或1B ．3-或1C ．3或3-D ．3-或1-6．若抛物线224y x x =-与x 轴分别交于A 、B 两点，A 、B 两点间的距离是 ．7．若二次函数22y x x b +=-的图象与坐标轴有两个公共点，则b 满足的条件是 ．【考点2 图象法确定一元二次方程的根】8．根据下列表格对应值：x3.24 3.253.262ax bx c++0.020.01-0.03-判断关于x 的方程20ax bx c ++=的一个解的范围是（ ）A ． 3.24x < B ．3.24 3.25x <<C ．3.25 3.26x <<D ． 3.26x >9．观察下列表格，一元二次方程x 2﹣x ＝1.1的一个解x 所在的范围是（ ） x 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9x 2﹣x0.110.240.390.560.750.961.191.441.71A ．1.5＜x ＜1.6B ．1.6＜x ＜1.7C ．1.7＜x ＜1.8D ．1.8＜x ＜1.910．下表是一组二次函数 y =ax 2+bx +c 的自变量x 与函数值y 的对应值：那么下列选项中可能是方程 20ax bx c ++=的近似根的是（ ）x 1.21.31.4 1.5 1.6y0.36-0.01-0.360.751.16A ．1.2B ．1.3C ．1.4D ．1.511．小明在学习了利用图象法来求一元二次方程的近似根的知识后进行了尝试：在直角坐标系中作出二次函数2210y x x =+-的图象．由图象可知，方程22100x x +-=有两个根，一个在5-和4-之间，另一个在2和3之间，利用计算器进行探索：由下表知，方程的一个近似根是（ ）x4.1- 4.2- 4.3- 4.4-y1.39-0.76-0.11-0.56A ． 4.12-B ． 4.23-C ． 4.32-D ． 4.43-12．根据下列表格，判断出方程28910x x +-=的一个近似解（结果精确到0.01）是（ ）x1.5- 1.4- 1.3- 1.2- 1.1-2891x x +- 3.52.080.820.28- 1.22-A ． 1.45-B ． 1.35-C ． 1.25-D ． 1.15-13．下列表格是二次函数2y ax bx c =++的自变量x 与函数值y 的对应值，判断方程20ax bx c ++=（0,,,a a b c ¹为常数）的一个解x 的范围是（ ）x1.5-00.51.52y ax bx c=++ 1.25-2- 1.25- 1.75A ．2 1.5x -<<-B ． 1.50x -<<C ．00.5x <<D ．0.5 1.5x <<【考点3已知函数值y 求X 的取值范围】14．已知函数222y x x =--的图象如图所示，根据图象提供的信息，可得1y £时，x 的取值范围是（ ）A ．3x ³-B ．31x -££C ．13x -££D ．1x £-或3x ³15．已知一次函数()10y kx m k =+¹和二次函数()220y ax bx c a =++¹部分自变量和相应的函数值如表，当21y y >时，自变量x 的取值范围是( )x×××1-0245×××1y ×××01356×××2y ×××1-059×××A ．12x -<<B ．45x <<C ．1x <-或5x >D ．1x <-或4x >16．已知关于x 的一元二次方程2x mx n 0++=的两个实数根分别为1x a =，2x b =（a b <），则二次函数2y x mx n =++中，当y 0<时，x 的取值范围是（ ）A ．x a<B ．x b>C ．a x b<<D ．x a <或x b>17．已知二次函数222y x x -=-，当1y >时，则x 的取值范围为（ ）A ．13x -<<B ．31x -<<C ．1x <-或3x >D ．3x <-或1x >18．如图，对于抛物线2y ax bx =+，若当x <3时，y 随x 的增大而减小；当x >3时，y 的值随x 的增大而增大，则使y <0的x 的取值范围为．19．如图，已知点()4,P m 在抛物线223y x x =--上，当y m >时，x 的取值范围是．20．如图，抛物线y=ax 2+bx+c 分别交坐标轴于A （-2，0）、B （6，0）、C （0，4），则0≤ax 2+bx+c<4的解是．21．函数y =-x 3+x 的部分图像如图所示，当y ＞0时，x 的取值范围是 ．【考点4二次函数与一次函数不等式的关系】22．如图是二次函数()210y ax bx c a =++¹和一次函数()20y mx n m =+¹的图象，当12y y <时，x 的取值范围是 ．23．如图，抛物线21(2)1y x =--与直线21y x =--交于(1,0)A 、(4,3)B 两点，则当21y y >时，x 的取值范围为．24．直线11y x =+与抛物线223y x =-+的图象如图，当12y y >时，x 的取值范围为25．如图，抛物线21y ax =与直线2y bx c =+的两个交点坐标分别为()2,4A -，()1,1B ，则12y y £，x 的取值范围是 ．26．如图，已知抛物线2y ax bx c =++与直线y kx m =+交于()31A --，，()03B ，两点．则关于x 的不等式2ax bx c kx m ++£+的解集是．27．二次函数21y ax bx c =++的图象与一次函数2y kx b =+的图象如图所示，当21y y >时，根据图象写出x 的取值范围 ．28．如图，直线y ＝px +q （p ≠0）与抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）交于A （﹣2，m ），B （1，n ）两点，则关于x 的不等式ax 2+bx +c ≤px +q 的解集是 ．29．如图，直线y=mx+n 与抛物线y=ax 2+bx+c 交于A （−1，p ），B （5，q ）两点，则关于x 的不等式mx+n<a 2x +bx+c 解集是 ．【考点5二次函数综合】30．如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y x bx c =++的图象经过点()0,3A -，()1,0B ．(1)求该抛物线的解析式；(2)结合函数图象，直接写出3y <-时，x 的取值范围．31．如图，二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴交于O （O 为坐标原点）、A 两点，且二次函数的最小值为2-，点()1,M m 是其对称轴上一点，点B 在y 轴上，1OB =．(1)求二次函数的解析式；(2)二次函数在第四象限的图象上有一点P ，连接PA ，PB ，求PAB V 面积的最大值；(3)在二次函数图象上是否存在点N ，使得以A ，B ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形若存在，请直接写出所有符合条件的点N 的坐标；若不存在，请说明理由．32．如图，二次函数22y ax ax c =++的图象与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴正半轴交于点C ，且3OA OC ==．(1)求二次函数及直线AC 的解析式．(2)P 是拋物线上一点，且在x 轴上方，若45ABP Ð=°，求点P 的坐标．33．如图，已知直线112y x =+与y 轴交于点A ，与x 轴交于点D ，抛物线2112y x bx =++与直线交于A 、E 两点，与x 轴交于B 、C 两点，且线段OA OB =．（注：抛物线2y ax bx c =++的对称轴为2bx a=-）(1)求该抛物线的解析式；(2)在抛物线的对称轴上找一点M ，使AM CM -的值最大，求点M 的坐标．34．将抛物线2(0)y ax a =¹向左平移1个单位，再向上平移4个单位后，得到抛物线2:()H y a x h k =-+．抛物线H 与x 轴交于点A ，B ，与y 轴交于点C ．已知(3,0)A -，点P是抛物线H 上的一个动点．(1)求抛物线H 的表达式；(2)如图，点M 是抛物线H 的对称轴L 上的一个动点，是否存在点M ，使得以点A ，M ，C 为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点M 的坐标；若不存在，说明理由．35．如图，抛物线234y x bx c =-++与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，直线334y x =+经过A 、C 两点，点D 是第二象限内抛物线上一点.(1)求抛物线的解析式；(2)连接AD 、CD ，求ACD V 面积的最大值；(3)若点D 关于直线BC 的对称点D ¢恰好落在直线AC 上，求点D 的坐标.1．A【分析】本题考查二次函数图象与性质，涉及求抛物线对称轴、图象与x 轴交点的对称性等知识，先求出抛物线对称轴，再由抛物线图象与性质求解即可得到答案，熟练掌握二次函数图象与性质是解决问题的关键．【详解】解：Q 二次函数24y ax ax c =-+（0a ¹）的对称轴为4222-=-=-=b a x a a，且图象与x 轴的一个交点的横坐标为1-，\由抛物线上点的对称性可知，图象与x 轴的另一个交点的横坐标为5，故选：A ．2．D【分析】把y=0代入函数解析式得到x 2+6x+8=0，解方程即可．【详解】解：把y=0代入函数解析式得x 2+6x+8=0，解得 x 1=-2，x 2=-4，∴抛物线y=x 2+6x+8与x 轴交点坐标为（-2,0），（-4,0）．故选：D【点睛】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，求抛物线与x 轴交点坐标就是求当y=0时自变量的取值．3．C【分析】先计算=0x 的函数值得到抛物线与y 轴的交点坐标，再解方程2560x x --=得抛物线与x 轴的交点坐标，从而可判断抛物线与坐标轴的交点坐标．【详解】解：当=0x 时，2566y x x =--=-，∴抛物线与y 轴的交点坐标为(0,6)-，当=0y 时，2560x x --=，解得121,6x x =-=，∴抛物线与x 轴的交点坐标为(1,0),(6,0)-，∴二次函数256y x x =--与坐标轴有3个交点．故选：C ．【点睛】本题考查了二次函数与坐标轴的交点坐标及解一元二次方程，抛物线与x 的的交点纵坐标为0，与y 轴的交点横坐标为0．4．B【分析】此题考查的是求二次函数图象与x 轴的交点坐标和求一元二次方程的根，掌握二次函数图象的对称性和二次函数与x 轴的交点的横坐标与一元二次方程的根的关系是解决此题的关键．根据图象可知二次函数图象的对称轴，然后利用二次函数图象的对称性求出图象与x 轴的另一个交点坐标，最后根据二次函数与x 轴的交点的横坐标与一元二次方程的根的关系即可得出结论．【详解】解：由图象可知：二次函数2y x mx n =-++图象的对称轴为直线2x =，∵图象与x 轴的一个交点为(5,0)，∴图象与x 轴的另一个交点坐标为()1,0-，∴关于x 的一元二次方程20x mx n -++=的两实数根是125,1x x ==-故选B ．5．B【分析】根据函数图象可以得到该函数的对称轴，该函数与x 轴的一个交点，然后根据二次函数的对称性即可得到另一个交点，从而可以得到关于x 的一元二次方程220x x m --+=的解．【详解】解：由图象可知，该函数的对称轴是直线212(1)x -=-=-´-，与x 轴的一个交点是(3,0)-，则该函数与x 轴的另一个交点是(1,0)，即当0y =时，220x x m --+=时，13x =-，21x =，故关于x 的一元二次方程220x x m --+=的解为13x =-，21x =，故选：B ．【点睛】本题考查抛物线与x 轴的交点，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．6．2【分析】本题考查了二次函数与坐标轴交点问题，熟悉掌握交点的运算方法是解题的关键．0y =代入224y x x =-求出两个交点后，即可得到两点间的距离．【详解】解：、把0y =代入224y x x =-得：2240x x -=解得：2x =或0，∴202AB =-=，故答案为：2．7．1-或0【分析】本题考查了二次函数的图象，二次函数与一元二次方程的关系，一元二次方程根的判别式等知识．熟练掌握二次函数的图象，二次函数与一元二次方程的关系，一元二次方程根的判别式是解题的关键．由题意知，分①二次函数22y x x b +=-的图象与x 轴有1个公共点；②二次函数22y x x b +=-的图象与x 轴有2个公共点，但其中一个点为原点，两种情况求解作答即可．【详解】解：∵二次函数22y x x b +=-的图象与坐标轴有两个公共点，∴分①二次函数22y x x b +=-的图象与x 轴有1个公共点；②二次函数22y x x b +=-的图象与x 轴有2个公共点，但其中一个点为原点，两种情况求解；①当二次函数22y x x b +=-的图象与x 轴有1个公共点时，()2240b D =--=，解得1b =-；②当二次函数22y x x b +=-的图象与x 轴有2个公共点，但其中一个点为原点时，0b =，∴()222y x x x x +==+，与x 轴有2个公共点，为()20-，或()00，，综上所述，b 的值为1-或0，故答案为：1-或0．8．B【分析】本题考查二次函数和一元二次方程的根的联系，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质，根据上表可知当20ax bx c ++=时，x 的取值范围为：3.24 3.25x <<，即可．【详解】由上表可知当20ax bx c ++=，关于x 的方程的一个解的范围为：3.24 3.25x <<，故选：B ．9．B【分析】利用表中数据可判断方程解的范围为1.6＜x ＜1.7．【详解】解：因为x =1.6时，x 2-x =0.96，x =1.7时，x 2-x =1.19，所以一元二次方程x 2﹣x =1.1的一个解的范围为1.6＜x ＜1.7．故选：B ．【点睛】本题考查了估算一元二次方程的近似解：用列举法估算一元二次方程的近似解，具体方法是：给出一些未知数的值，计算方程两边结果，当两边结果愈接近时，说明未知数的值愈接近方程的根．10．B【分析】本题考查了抛物线法求方程的近似根，采用零距离比较法，与零的距离越小，越近似看成方程的根，得到所求方程的近似根即可．【详解】观察图表的，得0.01-与零的距离最小，方程 20ax bx c ++=的近似根的是： 1.3x =故选B ．11．C【分析】本题考查了一元二次方程的近似根，当y 等于0时得到的x 值即为方程22100x x +-=的解．分析题干中的表格，取y 值最接近0时x 的值作为方程的近似解．【详解】解：由表格可知，当 4.3x =-时，0.110y =-<，当 4.4x =-时，0.560y =>，则方程的一个根在 4.3-和 4.4-之间， 4.3x =-时的y 值比 4.4x =-时更接近0，\方程的一个近似根为： 4.32-．故选：C ．12．C【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，根据方程28910x x +-=的一个根是函数2891y x x =+-的图象与x 轴的一个交点的横坐标，再找到表格中2891x x +-的值最接近0的数即可，掌握二次函数的图象与x 轴的交点与一元二次方程的关系是解题关键．【详解】解：方程28910x x +-=的一个根是函数2891y x x =+-的图象与x 轴的一个交点的横坐标，即关于函数2891y x x =+-，0y =时，x 的取值，由表格可知：当 1.2x =-时，函数y 的值最接近0，\方程的近似解是 1.25-，故选：C ．13．D【分析】本题考查了用图象法求一元二次方程的近似根，根据表格找到y 由负变为正时，自变量的取值范围即可得到答案．【详解】解：由表格中的数据可知，当0.5x =时， 1.250y =-<，当 1.5x =时， 1.750y =>，∴方程20ax bx c ++=（0,,,a a b c ¹为常数）的一个解x 的范围是0.5 1.5x <<，故选D ．14．C【分析】令y=1，求解出x 的两个值，则在这两个值所包含的范围内的x 均符合题意要求.【详解】解：令y=1，则2221x x --=，解得x=-1或3，则由图像可知当13x -££时，可使得1y £，故选择C.【点睛】本题结合一元二次方程考查了二次函数的知识.15．D【分析】利用表中数据得到直线与抛物线的交点为(−1,0)和(4,5),−1<x<4时,y 1>y 2,从而得到当y 2>y 1时，自变量x 的取值范围.【详解】∵当x=0时,y 1=y 2=0;当x=4时,y 1=y 2=5；∴直线与抛物线的交点为(−1,0)和(4,5)，而−1<x<4时, y 1>y 2，∴当y 2>y 1时，自变量x 的取值范围是x<−1或x>4.故选D.【点睛】此题考查二次函数的性质，解题关键在于掌握其性质定义.16．C【分析】根据抛物线方程画出该抛物线的大体图象，根据图象直接回答问题．【详解】∵关于x 的一元二次方程x 2+mx+n=0的两个实数根分别为x 1=a ，x 2=b （a ＜b ），∴二次函数y=x 2+mx+n 与x 轴的交点坐标分别是（a ，0）、（b ，0）（a ＜b ），且抛物线的开口方向向上，∴该二次函数的图象如图所示：根据图示知，符合条件的x 的取值范围是：a ＜x ＜b ；故选C ．【点睛】考查了抛物线与x 轴的交点问题．解题时，采用的是“数形结合”的数学思想．17．C【分析】先求出当1y =时，对应的x 的值，然后根据二次函数的性质即可解答．【详解】解：根据题意可得：当1y =时，即2221x x --=，解得：1231x x ==-，，∵10a =>，∴图象开口向上，∵1y >，∴1x <-或3x >故选：C ．【点睛】本题考查了二次函数的性质和二次函数与不等式的关系，正确理解题意、明确求解的方法是关键．18．06x <<【分析】求出抛物线与x 轴的交点坐标即可解决问题．【详解】解：由题意对称轴x =3，抛物线经过（0，0）和（6，0），观察图象可知：使y ＜0的x 的取值范围为0＜x ＜6．故答案为：0＜x ＜6．【点睛】本题考查抛物线与x 轴的交点，二次函数的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．19．2x <-或4x >【分析】先将4x =代入223y x x =--求出m 的值，再令y m =，解一元二次方程，结合二次函数图象即可得出x 的取值范围．【详解】解：Q 点()4,P m 在抛物线223y x x =--上，\242435m --=´=，令5y m ==，则2235x x --=，即2280x x --=，解得12x =-，24x =，Q 抛物线开口向上，\当y m >即>5y 时，x 的取值范围是2x <-或4x >．故答案为：2x <-或4x >．【点睛】本题考查二次函数图象上的点的坐标特征，根据交点确定不等式的解集等，解题的关键是掌握二次函数与一元二次方程的关系，熟练运用数形结合的思想．20．-2≤x ＜0或4＜x≤6【分析】根据点A 、B 的坐标确定出对称轴，再求出点C 的对称点的坐标，然后写出即可．【详解】解：∵A （-2，0）、B （6，0），∴对称轴为直线x=262-+=2，∴点C 的对称点的坐标为（4，4），∴0≤ax 2+bx+c ＜4的解集为-2≤x ＜0或4＜x≤6．故答案为：-2≤x ＜0或4＜x≤6．【点睛】本题考查了二次函数与不等式，难点在于求出对称轴并得到C 点的对称点的坐标．21．x ＜-1或0＜x ＜1【分析】根据y =0时，对应x 的值，再求函数值y ＞0时，对应x 的取值范围．【详解】解：y =0时，即-x 3+x =0，∴-x (x 2-1)=0，∴-x (x +1) (x -1)=0，解得x =0或x =-1或x =1，∴函数y =-x 3+x 的部分图像与x 轴的交点坐标为（-1，0），（0，0），（1，0），故当函数值y ＞0时，对应x 的取值范围上是：x ＜-1，0＜x ＜1．故答案为：x ＜-1或0＜x ＜1．【点睛】本题考查了函数值与对应自变量取值范围的关系，需要形数结合解题．22．2<<1x -【分析】本题考查了二次函数的性质．根据图象可以直接回答，使得21y y >的自变量x 的取值范围就是直线()20y mx n m =+¹落在二次函数()210y ax bx c a =++¹的图象上方的部分对应的自变量x 的取值范围．【详解】根据图象可得出：当21y y >时，x 的取值范围是：2<<1x -．故答案为：2<<1x -．23．14x <<【分析】本题考查了二次函数图象与一次函数函数值比较，解决的办法是首先求出交点坐标，然后根据图象找到上方部分，即可解答．【详解】解：抛物线21(2)1y x =--与直线21y x =--交点为(1A ，0)(4B ，3)，由图象知，当21y y >时，x 的取值范围14x <<，故答案为：14x <<．24．2x <-或x >1##x >1或2x <-【分析】根据函数图象写出直线在抛物线上方部分的x 的取值范围即可．【详解】解：∵直线11y x =+与抛物线223y x =-+的图象交点的横坐标分别为2,1-，∴当12y y >时，x 的取值范围为：2x <-或1x >，故答案为：2x <-或1x >．【点睛】本题考查了根据函数图象求不等式的解集，数形结合是解题的关键．25．21x -££【分析】直接观察图象，即可求解．【详解】解：观察图象得：当21x -££时，12y y £，∴12y y £时，x 的取值范围是21x -££．故答案为：21x -££【点睛】本题考查了根据交点求一元二次方程的解，数形结合，理解方程的解为两函数图象的交点的横坐标是解题的关键．26．3x £-或0x ³##0x ³或3x £-【分析】根据图象，写出抛物线在直线下方部分的x 的取值范围即可．【详解】解：∵抛物线y =ax 2+bx +c 与直线y kx m =+交于()31A --，、()03B ，，∴不等式2ax bx c kx m ++£+的解集是3x £-或0x ³，故答案为：3x £-或0x ³．【点睛】本题考查了二次函数与不等式的关系，主要利用了数形结合的思想，解题关键在于对图象的理解，题目中的不等式的含义为：二次函数的图象在一次函数图象下方时，自变量x 的取值范围．27．2<<1x -【分析】利用一次函数与二次函数图象，进而结合其交点横坐标得出21y y >时，x 的取值范围．【详解】解：当21y y >时，即一次函数2y kx b =+的图象在二次函数21y ax bx c =++的图象的上面，可得x 的取值范围是：2<<1x -．故答案为：2<<1x -．【点睛】此题主要考查了二次函数与不等式，解题的关键是正确利用函数的图象得出正确信息．28．x ≤﹣2或x ≥1##x ≥1或x ≤﹣2【分析】直接利用函数的交点坐标进而结合函数图象得出不等式ax2+bx+c≤px+q 的解集．【详解】解：由图象可得点A 左侧与点B 右侧抛物线在直线下方，∴x ≤﹣2或x ≥1时，ax 2+bx +c ≤px +q ，故答案为：x ≤﹣2或x ≥1．【点睛】此题主要考查了二次函数与不等式，正确数形结合分析是解题关键．29．-1＜x ＜5【分析】直接利用函数的交点坐标进而结合函数图象得出不等式mx+n ＜ax 2+bx+c 的解集．【详解】解：∵直线y=mx+n 与抛物线y=ax 2+bx+c 交于A （-1，p ），B （5，q ）两点，∴关于x 的不等式mx+n ＜ax 2+bx+c 解集是-1＜x ＜5故答案为：-1＜x ＜5．【点睛】此题主要考查了二次函数与不等式，正确数形结合分析是解题关键．30．(1)223y x x =+-(2)20x -<<【分析】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握待定系数法求函数解析式，掌握二次函数与方程及不等式的关系.（1）根据待定系数法即可求得；（2）令=3y -求出x 的值，即可求解.【详解】（1）解：将点(0,3),(1,0)A B -代入2y x bx c =++得：301c b c -=ìí=++î，解得：2,3b c =ìí=-î223y x x \=+-.（2）令=3y -即2233x x +-=-，解得：120,2x x ==-，Q 抛物线开口向上，\3y <-时，20x -<<。
专题14 二次函数中动点问题求取值范围(老师版)
专题14二次函数中动点问题求取值范围知识归纳学会用函数的观点去看问题和用数形结合的思想去解决问题是本专题主要研究的知识点。
本专题主要对二次函数中动点问题求取值范围题型进行总结，对其解法进行归纳总结，所选题型为近几年期末考试中的常考题型。
二次函数动点问题解法⑴求二次函数的图象与x轴的交点坐标，需4102转化为一元二次1653方程；⑵求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；⑶根据图象的位置判断二次函数ax²+bx+c=0中a,b,c的符号，或由二次函数中a,b,c的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.⑸与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式ax²+bx+c﹙a≠0﹚本身就是所含字母x的二次函数；常考题型专练一、填空题1．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2–2m x–2m–2与直线y=-x-2交于C，D两点，将抛物线在C、D两点之间的部分(不含C、D）上恰有两个点的横坐标为整数，则m的取值范围为______．【答案】－2≤m<32-或12<m≤1【分析】先联立解方程将C、D点的横坐标解出来，再根据抛物线在C、D两点之间的部分(不含C、D）上恰有两个点的横坐标为整数，得出在C、D之间恰有两个整数解，进行分类讨论即可．【详解】解：∵在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2–2m x–2m–2与直线y=-x-2交于C，D两点，联立解方程：22222y x mx my x⎧=---⎨=--⎩，()()210x m x-+=，解得：121,2x x m=-=∴抛物线与直线交点的横坐标为：1,2m-又∵抛物线在C、D两点之间的部分(不含C、D）上恰有两个点的横坐标为整数∴得出在C、D之间恰有两个整数解当21m >-即12m >-时得出：122m <≤解得：112m <≤当21m <-即12m <-时得出：423m -≤<-解得：322m -≤<-故答案为：322m -≤<-或112m <≤【总结】本题考查抛物线与直线交点以及图象的特点，联立解方程求出交点的横坐标是解题关键，注意分类讨论．2．在平面直角坐标系内，已知点A（﹣1，0），点B（1，1）都在直线y＝12x＋12上，若抛物线y＝ax 2﹣x＋1（a ≠0）与线段AB 有两个不同的交点，则a 的取值范围是____．【答案】1≤a＜98或a≤−2【分析】分a＞0，a＜0两种情况讨论，确定临界点，进而可求a 的取值范围．【详解】解：∵抛物线y＝ax 2−x＋1（a≠0）与线段AB 有两个不同的交点，∴令12x＋12＝ax 2−x＋1，则2ax 2−3x＋1＝0，∴△＝9−8a＞0，∴a＜98，①a＜0时，此时函数的对称轴在y 轴左侧，当抛物线过点A 时，为两个函数有两个交点的临界点，将点A 的坐标代入抛物线表达式得：a＋1＋1＝0，解得a＝−2，故a≤−2②当a＞0时，此时函数的对称轴在y 轴右侧，当抛物线过点B 时，为两个函数有两个交点的临界点，将点B 的坐标代入抛物线表达式得：a −1＋1＝1，解得a＝1，即：a≥1∴1≤a＜98综上所述：1≤a＜98或a≤−2．故答案是：1≤a＜98或a≤−2．【总结】本题考查二次函数图象与系数的关系，一次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象点的坐标特征，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．3．已知抛物线()24410y ax ax a a =+++≠过点(),3A m ，(),3B n 两点，若线段AB 的长不大于4，则代数式21a a ++的最小值是_________.【答案】74【分析】根据题意得4a+1≥3，解不等式求得a≥12，把x=12代入代数式即可求得．【详解】∵抛物线y=ax 2+4ax+4a+1（a≠0）过点A（m，3），B（n，3）两点，∴4222m n a a +=-=-，顶点为（-2,1）∴由题意可知a>0,∵线段AB 的长不大于4，∴4a+1≥3∴a≥12∴a 2+a+1的最小值为：（12）2+12+1=74；故答案为74．【总结】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，根据题意得出4a+1≥3是解题的关键．4．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y =x 2–2m x –2m –2与直线y =-x-2交于C，D 两点，将抛物线在C、D 两点之间的部分(不含C、D）上恰有两个点的横坐标为整数，则m 的取值范围为______．【答案】－2≤m<32-或12<m≤1【分析】先联立解方程将C、D 点的横坐标解出来，再根据抛物线在C、D 两点之间的部分(不含C、D）上恰有两个点的横坐标为整数，得出在C、D 之间恰有两个整数解，进行分类讨论即可．【详解】解：∵在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y =x 2–2m x –2m –2与直线y =-x-2交于C，D 两点，联立解方程：22222y x mx m y x ⎧=---⎨=--⎩，()()210x m x -+=，解得：121,2x x m=-=∴抛物线与直线交点的横坐标为：1,2m-又∵抛物线在C、D 两点之间的部分(不含C、D）上恰有两个点的横坐标为整数∴得出在C、D 之间恰有两个整数解当21m >-即12m >-时得出：122m <≤解得：112m <≤当21m <-即12m <-时得出：423m -≤<-解得：322m -≤<-故答案为：322m -≤<-或112m <≤【总结】本题考查抛物线与直线交点以及图象的特点，联立解方程求出交点的横坐标是解题关键，注意分类讨论．5．如图，在平面直角坐标系中，二次函数23y x bx =-++的图像与x 轴交于A、C 两点，与x 轴交于点(3,0)C ，若P 是x 轴上一动点，点D 的坐标为(0,1)-，连接PC +的最小值是______．【答案】4【分析】过点P 作PJ⊥BC 于J，过点D 作DH⊥BC 于)2PC PD PC PD PJ ⎫+=+=+⎪⎪⎭，求出DP PJ +的最小值即可解决问题．【详解】解：连接BC，过点P 作PJ⊥BC 于J，过点D 作DH⊥BC 于H．∵二次函数23y x bx =-++的图像与x 轴交于点(3,0)C ，∴b＝2，∴二次函数的解析式为223y x x =-++，令y＝0，-x 2+2x+3＝0，解得x＝﹣1或3，∴A（﹣1，0），令x＝0，y=3，∴B（0，3），∴OB＝OC＝3，∵∠BOC＝90°，∴∠OBC＝∠OCB＝45°，∵D（0，-1），∴OD＝1，BD＝4，∵DH⊥BC，∴∠DHB＝90°，设DH x =，则BH x =,∵222DH BH BD +=，∴2224x x +=，∴x =∴DH ＝∵PJ⊥CB，∴90PJC ∠︒＝，∴2PJ PC ＝，)2PC PD PC PD PJ ⎫+=+=+⎪⎪⎭，∵DP PJ DH +≥，∴DP PJ +≥∴DP+PJ 的最小值为PC +的最小值为4．故答案是4．【总结】本题考查了二次函数的相关性质，以及等腰直角三角形的判定和性质，垂线段最短等知识，得到∠OBC＝∠OCB＝45°，2PJ PC ＝是解题的关键．二、解答题1．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线24y x x =-．（1）写这条抛物线的开口方向、顶点坐标，并说明它的变化情况；（2）我们把一条抛物线上横坐标与纵坐标相等的点叫做这条抛物线的“不动点”．试求抛物线24y x x =-的“不动点”的坐标．【答案】（1）抛物线开口向上，顶点坐标为（2，−4），当x＞2，y 随x 的增大而增大，当x＜2，y 随x 增大而减小；（2）“不动点”坐标为（0，0）或（5，5）．【分析】（1）由a＝1＞0，故该抛物线开口向上，顶点A 的坐标为（1，−1），即可分析出变化情况；（2）设抛物线“不动点”坐标为（t，t），则t＝24t t -，即可求解；【详解】解：（1）∵a＝1＞0，故该抛物线开口向上，顶点A 的横坐标为4222b a --=-=，则顶点A 的纵坐标为2242y =-⨯=−4；故顶点A 的坐标为（2，−4），当x＞2，y 随x 的增大而增大，当x＜2，y 随x 增大而减小；（2）设抛物线“不动点”坐标为（t，t），则t＝24t t -，解得：t＝0或5，故“不动点”坐标为（0，0）或（5，5）．【总结】本题考查二次函数的性质；熟练掌握二次函数的图象及性质，数形结合解题是关键．2．已知二次函数2(0)y ax bx a =+≠，其对称轴为直线x=t．（1）当a=1，b=4时，t=________；（2）当a<0时，若点A(1，m)，B(5，n)在此二次函数图象上，且m<n，则t 的取值范围是________；（3）已知点C(0，a)，D(2，3a -2b)，若此二次函数图象与线段CD 有且仅有一个公共点，求t 的取值范围．【答案】（1）-2；（2）t＞3；（3）t≤18【分析】（1）利用对称轴公式，即可求解；（2）根据二次函数的图像开口向下，点A(1，m)，B(5，n)在此二次函数图象上，且m<n，可得点B 离对称轴更近，进而即可求解；（3）分两种情况①当a＞0时，得到22232y a b a b =⨯+≥-，②当a＜0时，得到22232y a b a b =⨯+≤-，进而即可求解．【详解】解：（1）∵当a=1，b=4时，二次函数24y x x =+，∴对称轴为直线x=-2，即：t=-2，故答案是：-2；（2）∵当a<0时，二次函数2(0)y ax bx a =+≠的图像开口向下，又∵点A(1，m)，B(5，n)在此二次函数图象上，且m<n，∴点B 离对称轴更近，即：|5-t|＜|t-1|，∴t＞3，故答案是：t＞3；（3）①当a＞0时，∵C(0，a)在y 轴的正半轴，2(0)y ax bx a =+≠的图像过原点，开口向上，此二次函数图象与线段CD 有且仅有一个公共点，∴只要22232y a b a b =⨯+≥-即可，即：4a+2b≥3a-2b，解得：a≥-4b，∴2b a -≤18，即：t=2b a -≤18，②当a＜0时，同理可得：只要22232y a b a b =⨯+≤-，即：4a+2b≤3a-2b，解得：a≤-4b，∴2b a -≤18，即：t=2b a -≤18，综上所述：t≤18．【总结】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的对称轴方程，二次函数图像的对称性，是解题的关键．3．如图，已知二次函数y=ax 2+bx+3的图象交x 轴于点A（1，0），B（3，0），交y 轴于点C．（1）求这个二次函数的表达式；（2）点P 是直线BC 下方抛物线上的一动点，求△BCP 面积的最大值【答案】（1）y=x 2-4x+3；（2）278【分析】（1）将A（1，0），B（3，0）代入函数解析式y=ax 2+bx+3，求出a、b，即可求解；（2）求出直线BC 解析式；设点P 坐标为（t，t 2-4t+3），过点P 作//PE y 轴，表示出PE 长，得到△BCP 面积与t 函数关系式，根据函数性质即可求解．【详解】解：（1）将A（1，0），B（3，0）代入函数解析式，得309330a b a b ++⎧⎨++⎩＝＝，解得14a b -⎧⎨⎩＝＝，∴这个二次函数的表达式是y=x 2-4x+3；（2）当x=0时，y=3，即点C（0，3），设BC 的表达式为y=kx+m，将点B（3，0）点C（0，3）代入函数解析式，得300k m m +⎧⎨⎩＝＝，解得13k m -⎧⎨⎩＝＝，∴直线BC 的解析是为y=-x+3，设点P 坐标为（t，t 2-4t+3），过点P 作//PE y 轴，交直线BC 于点E（t，-t+3），PE=-t+3-（t 2-4t+3）=-t 2+3t，∴S △BCP =S △BPE +S CPE =12（-t 2+3t）×3=-32（t-32）2+278，∵-32＜0，∴当t=32时，S △BCP 最大=278．【总结】本题为二次函数综合题，考查了二次函数，一次函数等知识，熟知待定系数法，理解函数图象上点的坐标特点，添加适当辅助线是解题关键．4.已知抛物线228y ax ax =--()0a ≠经过点()2,0-．（1）求抛物线的函数表达式和顶点坐标．（2）直线l 交抛物线于点()4,A m -，(),7B n ，n 为正数．若点P 在抛物线上且在直线l 下方（不与点A ，B 重合），分别求出点P 横坐标与纵坐标的取值范围，【答案】（1）228y x x =--，顶点坐标为()1,9-；（2）4p x -<<5，916p y -≤<【分析】（1）把()2,0-代入可求得函数解析式，然后利用配方法将二次函数解析式转化为顶点式，直接得到抛物线的顶点坐标；（2）把()4,A m -，(),7B n 代入可求出m，n，求出点P 横坐标取值范围，在利用二次函数的最值即可求纵坐标的取值范围【详解】解：（1）把()2,0-代入228y ax ax =--，得4480a a +-=，解得1a =，∴抛物线的函数表达式为228y x x =--，配方得()219y x =--，∴顶点坐标为()1,9-．（2）当4x =-时，16m =．当7y =时，2287n n --=，解得15n =，23n =-．n 为正数，∴5n =．点P 在抛物线上且在直线l 的下方（不与点A ，B 重合），∴4p x -<<5．∵1a =＞0∴开口向上，当x=1时函数取得最小值=-9∴当41x -<≤时，y 随x 的增大而减小；当15x <<时，y 随x 的增大而增大，当x=-4时，y=16，当x=5时y=7，∴916p y -≤<【总结】本题二次函数综合题，考查了利用待定系数法求二次函数解析式，配方法把二次函数一般式化成顶点式，以及二次函数的性质．5.已知她物线2y x bx c =++的图象开口向上，且经过点(0,3)A 、19,24B ⎛⎫ ⎪⎝⎭．（1）求抛物线的解析式：（2）用配方法求出抛物线的顶点坐标和对称轴，（3）若点C 与点A 关于此抛物线的对称轴对称，点D 在抛物线上，且横坐标为4，记抛物线在点A，D 之间的部分（含点A，D）为图象M，若图象M 向下平移()0t t >个单位长度时与直线BC 只有一个交点，求t 的取值范围．【答案】（1）223y x x =-+（2）顶点坐标（1，2），对称轴x=1（3）1＜t≤7【分析】（1）把点A (0，3)和B 1924()，代入2y x bx c =++，得到关于b 、c 的方程组，然后解方程组求出b 、c 即可得到抛物线解析式；（2）利用配方法得到2(1)2y x =-+，求出抛物线的顶点坐标和对称轴；（3）画出抛物线，如图，先利用待定系数法求出直线BC 的解析式为y=12x+2，再利用平移的性质得到图象M 向下平移1个单位时，点A 在直线BC 上；图象M 向下平移7个单位时，点D 在直线BC 上，由于图象M 向下平移t (t >0）个单位后与直线BC 只有一个公共点，即可得答案．【小问1详解】解：把点A (0，3)和B 1924()，代入2y x bx c =++，得=3{1193424c b ++=，解得=3{2c b =-，∴抛物线的解析式为223y x x =-+；【小问2详解】∵2223(1)2y x x x =-+=-+，∴抛物线的顶点坐标（1，2），对称轴x=1；【小问3详解】点C 与点A 关于此抛物线的对称轴对称，所以C 点坐标为(2，3)，抛物线如下图，设直线BC 的解析式为y=mx +n，把B 1924()，，C(2，3)代入得，19+={2423m n m n +=，解得：1{22m n ==，∴直线BC 的解析式为y=12x+2，∵抛物线223y x x =-+，当x =4时，223y x x =-+=16-2×4+3=11，∴点D 的坐标为（4，11），∵直线y=12x+2，当x=0时，y=12x+2=2，当x=4时，y=12x+2=4，∴如下图，点E 的坐标（0，2），点F 的坐标（4，4），设点A 平移后的对应点为点A '，点D 平移后的对应点为点D ¢，当图象M 向下平移至点A '与点E 重合时，点D ¢在直线BC 上方，此时t=1，当图象M 向下平移至点D ¢与点F 重合时，点A '在直线BC 下方，此时t=11-4=7，结合图象可知，符合题意的t 的取值范围是1<t≤7．【总结】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象与几何变换，解题的关键是利用了“数形结合”的数学思想，使抽象的问题变得直观化了．6.已知抛物线y＝ax 2+bx+c 的顶点为（3，2），且过点（0，11）．（1）求抛物线的解析式；（2）将抛物线先向左平移2个单位长度，再向下平移m（m＞0）个单位长度后得到新抛物线．①若新抛物线与x 轴交于A，B 两点（点A 在点B 的左侧），且OB＝3OA，求m 的值；②若P（x 1，y 1），Q（x 2，y 2）是新抛物线上的两点，当n≤x 1≤n+1，x 2≥4时，均有y 1≤y 2，求n 的取值范围．【答案】（1）y＝（x﹣3）2+2；（2）①94或6；②23n-≤≤【分析】（1）设抛物线解析式为顶点式y＝a（x﹣3）2+2，把点（0，11）代入求值即可；（2）①利用抛物线解析式求得点A、B的坐标，根据抛物线的对称性质和方程思想求得m的值即可；②根据抛物线的对称性质知：当x＝4和x＝﹣2时，函数值相等．结合图象，得n≥﹣2且n+1≤4．解该不等式组得到：﹣2≤n≤3．【详解】解：（1）∵顶点为（3，2），∴y＝ax2+bx+c＝y＝a（x﹣3）2+2（a≠0）．又∵抛物线过点（0，11），∴a（0﹣3）2+2＝11，∴a＝1．∴y＝（x﹣3）2+2；（2）由平移的性质知，平移后的抛物线的表达式为y＝（x﹣3+2）2+2﹣m＝x2﹣2x+3﹣m，①分情况讨论：若点A，B均在x轴正半轴上，设A（x，0），则B（3x，0），由对称性可知：12（x+3x）＝1，解得x＝12，故点A的坐标为（12，0），将点A的坐标代入y＝x2﹣2x+3﹣m得：0＝14﹣1+3﹣m，解得m＝9 4若点A在x轴负半轴上，点B在x轴正半轴上，设A（x，0），则B（﹣3x，0），由对称性可知：12（x﹣3x）＝1，解得x＝﹣1，故点A的坐标为（﹣1，0），同理可得m＝6，综上：m＝94或m＝6；②∵新抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1，∴当x＝4和x＝﹣2时，函数值相等．又∵当n≤x 1≤n+1，x 2≥4时，均有y 1≤y 2，∴结合图象，得214n n ≥-⎧⎨+≤⎩，∴﹣2≤n≤3．【总结】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．7.如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线212y x bx c =++经过点()0,2A 和31,2B ⎛⎫ ⎪⎝⎭．（1）求抛物线的解析式；（2）已知点C 与点A 关于此抛物线的对称轴对称，求点C 的坐标；（3）点D 在抛物线上，且横坐标为4，记抛物线在点A，D 之间的部分（含点A，D）为图像G，若图像G 向下平移t（0t >）个单位后与直线BC 只有一个公共点，求t 的取值范围．【答案】（1）2122y x x =-+（2）()2,2（3）13t <≤【分析】（1）把点A、B 的坐标代入212y x bx c =++得到关于b、c 的方程组，然后解方程组求得b、c 的值，即可得到抛物线的解析式；（2）利用配方法可得()213122y x =-+，则抛物线的对称轴为直线1x =，然后根据点C 与点A 关于此抛物线的对称轴对称，即可求得点C 的坐标；（3）画出图象，先利用待定系数法求出直线BC 的解析式为112y x =+，再利用平移的性质得到图象G 向下平移1个单位时，点A 的直线BC 上；图象G 向下平移3个单位时，点D 在直线BC 上；然后根据图像G 向下平移t （0t >）个单位后与直线BC 只有一个公共点即可求得答案.【小问1详解】解：把点()0,2A 和31,2B ⎛⎫ ⎪⎝⎭代入212y x bx c =++得：21322c b c ì=ïí++=ïî，解得：12b c =-⎧⎨=⎩，所以抛物线解析式为2122y x x =-+；【小问2详解】解：∵()2211321222y x x x =-+=-+，∴抛物线的对称轴为直线1x =，∵点C 与点A 关于此抛物线的对称轴对称，∴C 点坐标为()2,2；【小问3详解】解：如图，设直线BC 的解析式为y mx m =+，把31,2B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()2,2C 代入y mx m =+，得：3222m n m n ì+=ïíï+=î，解得：121m n ⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴直线BC 的解析式为112y x =+，当0x =时，1112y x =+=，∴图象G 向下平移1个单位时，点A 的直线BC 上，当4x =时，1132y x =+=，∵4x =时，21262y x x =-+=，∴图象G 向下平移3个单位时，点D 在直线BC 上，∴当13t <≤时，图象G 向下平移t（0t >）个单位后与直线BC 只有一个公共点．【总结】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a 不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式.也考查了待定系数法求函数解析式.解题的关键是利用数形结合思想，把抽象问题直观化.8.如图，抛物线y＝x 2+bx 与直线y＝kx+2相交于点A（﹣2，0）和点B．（1）求b 和k 的值；（2）求点B 的坐标，并结合图象写出不等式kx+2＞x 2+bx 的解集；（3）点M 是直线AB 上的一个动点，将点M 向下平移2个单位长度得到点N，若线段MN 与抛物线有公共点，请直接写出点M 的横坐标m 的取值范围．【答案】（1）b=2，k=1（2）2<<1x -（3）21m -≤≤-或01m ≤≤【分析】(1)用待定系数法即可求解；(2)首先求出点B 的坐标，再观察函数图象即可求解；(3)画出图，根据图进而求解即可．【小问1详解】解：把点A（﹣2，0）代入y＝x 2+bx得0=4-2b，解得b=2把点A（﹣2，0）代入y＝kx+2得0=-2k+2，解得k=1故b=2，k=1【小问2详解】解：由(1)知抛物线与直线的解析式分别为：y＝x 2+2x，y＝x+2由222y x x y x ⎧=+⎨=+⎩解得13x y =⎧⎨=⎩或20x y =-⎧⎨=⎩(舍去)故点B 的坐标为(1,3)故由图象可知：不等式kx+2＞x 2+bx 的解集为2<<1x -【小问3详解】解：如图：设直线与y 轴的交点为点E，抛物线的顶点为点C，对称轴所在直线与直线的交点为点D当点M 在点A 的左侧或点B 的右侧时，线段MN 与抛物线没有公共点在y＝x+2中，令x=0，则y=2，则点E(0,2)，OE=2y＝x 2+2x=(x+1)2-1，故点C(-1,-1)当x=-1时，y＝x+2=-1+2=1则DC=1+1=2故当点M 在点D、E 之间时，将点向下平移2个单位长度得到点N，线段MN 与抛物线没有公共点故当21m -≤≤-或01m ≤≤时，线段MN 与抛物线有公共点【总结】本题考查了利用选定系数法求二次函数及一次函数的解析、利用图象求不等式的解集，坐标与图形，画出图形确定点M 的位置是解题的关键．9．如图，二次函数y＝﹣x 2＋bx＋c 与x 轴交于点B 和点A（﹣1，0），与y 轴交于点C（0，4），与一次函数y ＝x＋a 交于点A 和点D．（1）求出a、b、c 的值；（2）若直线AD 上方的抛物线存在点E，可使得△EAD 面积最大，求点E 的坐标；（3）点F 为线段AD 上的一个动点，点F 到（2）中的点E 的距离与到y 轴的距离之和记为d，求d 的最小值及此时点F 的坐标．【答案】（1）1a =，3b =，4c =；（2）点E 的坐标为（1，6）时，面积最大；（3）d 最小值为5，此时F 点的坐标为（1，2）．【分析】（1）将A、C 两个点的坐标代入二次函数解析式，即可得出b、c 的值，将点A（－1，0）代入一次函数中，即可求得a 的值；（2）设点E 的横坐标为m，则点E 的纵坐标为234m m -++，过点E 作x 轴的垂线l，交x 轴于点G，交AD 于点H，则点H 的坐标为(),1m m +.过点D 作l 的垂线，垂足为T，联立直线方程和二次函数方程，即可得出D 的坐标，再根据∆∆∆=+AED AEH HED S S S ，得出含m 的函数，根据函数图象，可知，当1m =时，面积取得最大值，从而可得出E 的坐标；（3）过A 作y 轴的平行线AS，过F 作FG⊥y 轴交AS 于点M，过F 作FN⊥x 轴于N，根据角平分线的性质可得：FM FN =，即有11d FE FM FE FN =+-=+-，可知当N、F、E 所在直线与x 轴垂直时，d 取得最小值，即可得出点F 的坐标．【详解】解：（1）∵点C（0，4），A（-1，0）在函数的图象上，∴410=⎧⎨--+=⎩c b c 解得：34b c =⎧⎨=⎩，二次函数解析式为：234y x x =-++，∵点A（－1，0）在一次一次函数y x a =+上，∴01a =-+,∴1a =，一次函数解析式为：1y x =+；所以1a =，3b =，4c =；（2）设点E 的横坐标为m，则点E 的纵坐标为234m m -++，过点E 作x 轴的垂线l，交x 轴于点G，交AD 于点H，则点H 的坐标为(),1m m +.过点D 作l 的垂线，垂足为T，将1y x =+与2y 34x x =-++联立组成方程组，解得点D 的坐标为（3，4），所以1122AED AEH HED S S S EH AG EH DT ∆∆∆=+=⨯+⨯()12EH AG DT =+()2134132m m m =-++--⨯()23162m =--+∵函数图象开口向下，存在最大值，∴AED S ∆有最大值，当1m =时，最大值为6，此时点E 的坐标为（1，6）；（3）过A 作y 轴的平行线AS，过F 作FG⊥y 轴交AS 于点M，过F 作FN⊥x 轴于N，如图所示：∵点D 的坐标为（3，4），点A 坐标为（-1，0）∴45DAB ∠=︒，∴AD 平分SAB ∠，∴FM FN =，∴11d FE FM FE FN =+-=+-显然，当N、F、E 所在直线与x 轴垂直时，1d FE FN =+-最小，最小值为615d =-=，此时点F 的横坐标为1，代入1y x =+得：F 点的坐标为（1，2）．【总结】本题主要考查二次函数与一次函数的综合问题，二次函数、一次函数解析式的确定，组成面积的最值，角平分线的性质等，理解题意，作出相应辅助线，结合函数的基本性质是解题关键．。
一次函数与二次函数图象的交点问题专项练习及答案
一次函数与二次函数图象的交点问题专项练习1.已知：关于x 的一元二次方程mx 2﹣（4m +1）x +3m +3=0（m ＞1）。
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）设方程的两个实数根分别为x 1，x 2（其中x 1＞x 2），若y 是关于m 的函数，且y =x 1﹣3x 2，求这个函数的解析式；（3）将（2）中所得的函数的图象在直线m =2的左侧部分沿直线m =2翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象，请你结合这个新的图象回答：当关于m 的函数y =2m +b 的图象与此图象有两个公共点时，b 的取值范围。
2.已知抛物线2221y x mx m =-+-+与x 轴交点为A 、B （点B 在点A 右侧），与y 轴交于点C 。
（1）试用含m 的代数式表示A 、B 两点的坐标；（2）当点B 在原点的右侧，点C 在原点的下方时，若BOC △是等腰三角形，求抛物线的解析式；（3）已知一次函数y kx b =+，点P （n ，0）是x 轴上一个动点，在（2）的条件下，过点P 作垂直于x 轴的直线交这个一次函数的图象于点M ，交抛物线2221y x mx m =-+-+于点N ，若只有当14n <<时，点M 位于点N 的下方，求这个一次函数的解析式。
3.已知关于x 的方程mx 2+（3m +1）x +3=0（m ≠0）。
（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程的两个实数根都是整数，求正整数m 的值；（3）在（2）的条件下，将关于x 的二次函数y =mx 2+（3m +1）x +3的图象在x 轴下方的部分沿x 轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象，请结合这个新的图象回答：当直线y =x +b 与此图象有两个公共点时，b 的取值范围。
4.已知一次函数1y kx b=+（k ≠0）的图象经过(2,0)，(4,1)两点，二次函数2224y x ax =-+（其中a ＞2）。
一次函数与二次函数图像的交点问题
A
B
(3)已知点P(m,0)是x轴上的一个动点,过点P作垂直于x轴的直线交(2) 中的二次函数图象于点M,交一次函数y=px+q的图象于点N.若只有当 1<m<5时,点M位于点N的下方,求一次函数y=px+q 的解析式．
C A
解：依题意并结合图象可知，一次函数的图
象与二次函数的图象交点的横坐标分别为1
在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx2-2mx+m+4与y轴交于点A （0,3），与x轴交于点B，C（点B在点C左侧）. (1)求该抛物线的表达式及点B，C的坐标；
在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx2-2mx+m+4与y轴交于点A （0,3），与x轴交于点B，C（点B在点C左侧）. (1)求该抛物线的表达式及点B，C的坐标；
解：∵抛物线y=mx2-2mx+m+4与y轴交于点A（0,3）， ∴m+4=3．∴m=-1． ∴抛物线的表达式为y=-x2+2x+3． ∵抛物线y=-x2+2x+3与x轴交于点B,C， ∴令y=0，即-x2+2x+3=0 ． 解得x1=-1，x2=3． 又∵点B在点C左侧， ∴点B的坐标为(-1,0)，点C的坐标为(3,0)．
一次函数与二次函数 图像的交点问题
高级教师 萧老师
核心考点 考纲要求 考试题型 中考分值 考查频率
会根据二次
点在函数图 函数解析式
象上的意义； 求其图象与
一次函数、 坐标轴的交
二次函数、 点坐标；会 解答题
4-7分 ★ ★ ★ ★ ★
一元二次方 利用二次函
程
数的图象求
一元二次方
程的近似解.
二次函数与一次函数交点问题.doc
课题：一次函数与二次函数的交点及交点的判断目的：掌握一次函数与二次函数的交点坐标的算法会用判别式判断一次函数与二次函数有无交点初步认识函数图像中的集合问题重点：一次函数与二次函数的交点坐标的计算难点：理解函数交点坐标的意义课时：一课时过程：引入(1)看函数图像通过函数特点，性质求解析式⑵ 通过解析式画函数图像通过观察发现在同一坐标系当川图像相交于A,C两点像这种图像相交点经常会应用到例如：连接OC O,A,C三点构成三角形OAC,如果要求三角形OAC的面积应该如何求解呢根据；S = — xOAx y c只要求出C点的坐标就可以求出三角形OAC的面积新课一.求交点坐标分析交点坐标的特点：例如A (1,0)是两函数的交点，该点的意义在于：当即y\ = >2 =纵坐标=o上式说明：当X“时两函数值是相等的。
推导：y\ -=纵坐标如果让风=儿=纵坐标，推导出函数的横坐标，即：2兀2 — 4x + 2 = 2x — 2 =纵坐标观察2? — 4x + 2 = 2兀—2是一个一元二次方程x是满足x =儿的未知数，所以只要解出方程的根就是满足的横坐标2兀2 — 4x + 2 = 2兀一2移项得至ij：2X2-6X +4=0因式分解：(x —l)(x —2)=0解根为X] = iyX2 = 2把T] =1带入任意一个函数得至叽=0即坐标为（1,0）把V] = 1带入任意一个函数得至少]=0即坐标为（2,2）由此得到交点坐标的方法:1:令两函数值相等（解析式等）2：3：解出等式的未知数x4：把未知数x的值带入两函数任意一个（一般是一次函数）5：写出交点坐标（x, y）练习1y} - x2 + 2x -1y2 =1解：令X =歹2 即X2 4- 2x - 1 = X + 1解方程：兀]=1,无2=-2 把坷=l,x2 =—2带入上述函数的到x =2,y2 =-1(-2, -1)即交点坐标为（1,2）练习2j = x1 +3x4-4 Y求歹2=一兀一 1 解：令=?2得交点即x~ + 3x + 4 = —x— I解方程：无解分析：无解说明没有X能满足必=旳也就是没有交点如何能在不计算的情况判断函数有无交点。
九年级数学二次函数交点问题专题
九年级二次函数交点问题专题【知识解读】二次函数与坐标轴交点问题笔记二次函数图象与x轴的位置关系有三种:没有公共点,有一个公共点,有两个公共点.这对应着一元二次方程根的三种情况:没有实数根,有两个相等的实数根,有两个不等的实数根当△>0时,抛物线与x轴有2个交点当△=0时,抛物线y=ax2+bx+c与x轴有1个交点当△<0时,抛物线y=ax2+bx+c与x轴没有交点【实战演练】二次函数与坐标轴交点问题例题1、二次函数y=kx2−6x+3的图象与x轴有两个交点，则k的取值范围是（）A.k<3B. k<3且k≠0C. k≤3D. k≤3且k≠0练习1、已知二次函数y=x2−2mx+m2+3(m是常数)，该函数的图象与x轴的交点个数为。
练习2、抛物线y=mx2+(2m−1)x+m−1与x轴的交点个数是（）A.0个B.1个C.2个D.无法确定【知识解读】二次函数与一次函数交点问题笔记二次函数图象与一次函数图象的交点个数:解决二次函数y=ax2+bx+c与一次函数y=kx+m的交点个数问题,我们可以把两个函数解析式联立,即ax2+bx+c=kx+m,求这个一元二次方程的判别式即可。
若△>0,则二次函数与一次函数的图象有两个交点；若△=0,则二次函数与一次函数的图象有一个交点；若△<0,则二次函数与一次函数的图象没有交点次；函数图象与一次函数图象的交点坐标求解二次函数y=ax2+bx+c与一次函数y=kx+m的交点坐标问题,我们可以把两个函数解析式联立,即ax2+bx+c=kx+m,,求这个一元二次方程的解即可，解就是交点的横坐标，代入任意一个解析式中，求出的y值为纵坐标。
【实战演练】二次函数与一次函数交点问题例题5(1)判断直线y=−x+1与抛物线y=x2−3x+1是否有交点，如果有交点，求出交点坐标。
(2)当b为何值时,直线y=3x+b与抛物线y=x2+2x−1只有一个交点例题6、在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2与直线y=2x+3相交于A、B两点，已知点A的坐标（-1，1），求点B的坐标。
中考数学压轴题专题-二次函数与交点公共点综合问题
专题13二次函数与交点公共点综合问题【例1】（2021•宜昌）在平面直角坐标系中，抛物线y1＝﹣（x+4）（x﹣n）与x轴交于点A和点B（n，0）（n≥﹣4），顶点坐标记为（h1，k1）．抛物线y2＝﹣（x+2n）2﹣n2+2n+9的顶点坐标记为（h2，k2）．（1）写出A点坐标；（2）求k1，k2的值（用含n的代数式表示）（3）当﹣4≤n≤4时，探究k1与k2的大小关系；（4）经过点M（2n+9，﹣5n2）和点N（2n，9﹣5n2）的直线与抛物线y1＝﹣（x+4）（x﹣n），y2＝﹣（x+2n）2﹣n2+2n+9的公共点恰好为3个不同点时，求n的值．【例2】（2021•德州）小刚在用描点法画抛物线C1：y＝ax2+bx+c时，列出了下面的表格：x…01234…y…36763…（1）请根据表格中的信息，写出抛物线C1的一条性质：；（2）求抛物线C1的解析式；（3）将抛物线C1先向下平移3个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到新的抛物线C2；①若直线y＝x+b与两抛物线C1，C2共有两个公共点，求b的取值范围；②抛物线C2的顶点为A，与x轴交点为点B，C（点B在点C左侧），点P（不与点A重合）在第二象限内，且为C2上任意一点，过点P作PD⊥x轴，垂足为D，直线AP交y轴于点Q，连接AB，DQ．求证：AB∥DQ．【例3】（2021•黔西南州）如图，直线l：y＝2x+1与抛物线C：y＝2x2+bx+c相交于点A（0，m），B（n，7）．（1）填空：m＝，n＝，抛物线的解析式为．（2）将直线l向下移a（a＞0）个单位长度后，直线l与抛物线C仍有公共点，求a的取值范围．（3）Q是抛物线上的一个动点，是否存在以AQ为直径的圆与x轴相切于点P？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【例4】（2021•绵阳）如图，二次函数y＝﹣x2﹣2x+4﹣a2的图象与一次函数y＝﹣2x的图象交于点A、B （点B在右侧），与y轴交于点C，点A的横坐标恰好为a．动点P、Q同时从原点O出发，沿射线OB分别以每秒和2个单位长度运动，经过t秒后，以PQ为对角线作矩形PMQN，且矩形四边与坐标轴平行．（1）求a的值及t＝1秒时点P的坐标；（2）当矩形PMQN与抛物线有公共点时，求时间t的取值范围；（3）在位于x轴上方的抛物线图象上任取一点R，作关于原点（0，0）的对称点为R′，当点M恰在抛物线上时，求R′M长度的最小值，并求此时点R的坐标．【例5】（2020•襄阳）如图，直线y=−12x+2交y轴于点A，交x轴于点C，抛物线y=−14x2+bx+c经过点A，点C，且交x轴于另一点B．（1）直接写出点A，点B，点C的坐标及拋物线的解析式；（2）在直线AC上方的抛物线上有一点M，求四边形ABCM面积的最大值及此时点M的坐标；（3）将线段OA绕x轴上的动点P（m，0）顺时针旋转90°得到线段O′A′，若线段O′A′与抛物线只有一个公共点，请结合函数图象，求m的取值范围．【题组一】1．（2021•苏州模拟）问题一：已知二次函数：y＝（x﹣m）2﹣2m﹣（m为常数），当m取不同的值时，其图象构成一个“抛物线系”．我们发现：是当m取不同数值时，此二次函数的图象的顶点在同一条直线上，那么这条直线的表达式是．问题二：已知直线l：y＝x﹣2交x轴于点A，交y轴于点B，抛物线L：y＝（x﹣m）2﹣2m﹣（m 为常数）图象的顶点为C．（1）如图1，若点C在Rt△AOB的内部（不包括边界），求m的取值范围；（2）如图2，当抛物线L的图象经过点A，B时，在抛物线上（AB的下方）是否存在点P，使∠ABO ＝∠ABP？若存在，求出点P的横坐标；若不存在．请说明理由．2．（2021•东城区二模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣3ax+1与y轴交于点A．（1）求抛物线的对称轴；（2）点B是点A关于对称轴的对称点，求点B的坐标；（3）已知点P（0，2），Q（a+1，1）．若线段PQ与抛物线与恰有一个公共点，结合函数图象，求a 的取值范围．3．（2021•南关区一模）在平面直角坐标系中，把函数y＝ax2+2bx+2（a、b为常数）的图象记为G．（1）求G与y轴交点的坐标．（2）当b＝2时，G与x轴只有一个交点，求a的值．（3）①设k≠0，若点A（2﹣k，t）在G上，则点B（2+k，t）必在G上，且G过点C（3，﹣1），求G的函数表达式．②点D（1，y1）、E（4，y2）是①中函数图象上的两点，比较y1与y2的大小．③点P（m，y3）、Q（m+3，y4）是①中函数图象上的两点，比较y3与y4的大小．（4）矩形FHMN四个顶点的坐标分别为F（1，﹣2）、H（4，﹣2）、M（4，4）、N（1，4），当a＝﹣1时，函数y＝ax2+2bx+2（x≥0）的图象在矩形FHMN内部的部分均为自左向右下降时，直接写出b 的取值范围．4．（2021•九江一模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+2mx﹣m2+m的顶点为A．（1）求抛物线的顶点坐标（用含m的式子表示）；（2）若点A在第一象限，且OA＝，求抛物线的解析式；（3）已知点B（m﹣1，m﹣2），C（2，2）．若该抛物线与线段BC有公共点，结合函数图象，求出m 的取值范围．【题组二】5．（2021•邯郸模拟）如图1，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线G：y＝ax2﹣4ax+1（a＞0）．（1）若抛物线过点A（﹣1，6），求出抛物线的解析式；（2）当1≤x≤5时，y的最小值是﹣1，求1≤x≤5时，y的最大值；（3）已知直线y＝﹣x+1与抛物线y＝ax2﹣4ax+1（a＞0）存在两个交点，若两交点到x轴的距离相等，求a的值；（4）如图2，作与抛物线G关于x轴对称的抛物线G'，当抛物线G与抛物线G'围成的封闭区域内（不包括边界）共有11个横、纵坐标均为整数的点时，直接写出a的取值范围．6．（2021•姜堰区一模）已知，二次函数y＝ax2+2ax﹣3a（a为常数，且a≠0）的图象与x轴交于点A、B （点B在点A的左侧），与y轴交于点C，将点A绕着点C顺时针旋转90°至点P．（1）求A、B两点的坐标；（2）设点P的坐标为（m，n），试判断m+n的值是否发生变化？若不变，请求出m+n的值；若变化，请说明理由；（3）若点D、Q在平面直角坐标系中，且D（0，﹣1），D、Q、P、C四点构成▱CPDQ．①求点Q的坐标（用含a的代数式表示）；②若▱CPDQ的边DQ与二次函数的图象有公共点，直接写出满足条件的a的取值范围．7．（2021•襄州区二模）在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（0，6）和B（﹣2，﹣2）．（1）求c的值，并用含a的代数式表示b．（2）当a＝时，①求此函数的表达式，并写出当﹣4≤x≤2时，y的最大值和最小值．②如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的左侧交点为C，作直线AC，D为直线AC下方抛物线上一动点，过点D作DE⊥OC于点E，与AC交于点F，作DM⊥AC于点M．是否存在点D使△DMF的周长最大？若存在，请求出D点的坐标；若不存在，请说明理由．（3）若线段GH的端点G、H的坐标分别为（﹣5，10）、（1，10），此二次函数的图象与线段GH只有一个公共点，求出a的取值范围．8．（2021•朝阳区校级三模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2﹣2x+1+m．（1）求此抛物线的顶点坐标（用含m的式子表示）；（2）如果当﹣2＜x＜﹣1时，y＞0，并且当2＜x＜3时，y＜0，求该抛物线的表达式；（3）如果（2）中的抛物线与x轴相交于A、B（点A在点B左侧），现将x轴下方的图象沿x轴向上翻折，得到的图象与剩余的图象组成的图形记为M，当直线l：y＝﹣x+k与M有两个公共点时，直接写出k的取值范围．【题组三】9．（2021•天心区二模）定义：二元一次不等式是指含有两个未知数（即二元），并且未知数的次数是1次（即一次）的不等式；满足二元一次不等式（组）的x和y的取值构成有序数对（x，y），所有这样的有序数对（x，y）构成的集合称为二元一次不等式（组）的解集，如：x+y＞3是二元一次不等式，（1，4）是该不等式的解．有序实数对可以看成直角坐标平面内点的坐标，于是二元一次不等式（组）的解集就可以看成直角坐标系内的点构成的集合．（1）已知A（，1），B（1，﹣1），C（2，﹣1），D（﹣1，﹣1）四个点．请在直角坐标系中标出这四个点，这四个点中是x﹣y﹣2≤0的解的点是．（2）设的解集在坐标系内所对应的点形成的图形为G．①求G的面积；②反比例函数y＝（x＞0）的图象和图形G有公共点，求k的取值范围；（3）设的解集围成的图形为M，直接写出抛物线y＝mx2﹣2mx+m+与图形M有交点时m的取值范围．10．（2021•西城区校级模拟）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+2mx﹣m2+m+2，（1）该抛物线的顶点坐标为（用含m的代数式表示）；（2）若该抛物线经过点A（x1，y1）和点B（x2，y2），其中x1＜m＜x2，且x1+x2＜2m，则y1与y2的大小关系是：y1y2（填“＞，＝，或＜”号）；（3）点C（﹣4，﹣2），将点C向右平移6个单位长度，得到点D．当抛物线y＝﹣x2+2mx﹣m2+m+2与线段CD有且只有一个公共点时，结合函数图象，求m的取值范围．11．（2021•商水县三模）已知抛物线y＝ax2+bx+c经过A（2，0），B（1，）两点，对称轴是直线x＝1．（1）求抛物线的解析式；（2）若C（m，y1），D（n，y2）为抛物线y＝ax2+bx+c上两点（m＜n）．Q为抛物线上点C和点D之间的动点（含点C，D），点Q纵坐标的取值范围为，求m+n的值；（3）已知点E（p，﹣p），F（2，1），若抛物线与线段EF有一个交点，求p的取值范围．12．（2021•靖江市一模）已知抛物线y＝x2+（m﹣2）x﹣3，抛物线与坐标轴交于点A（3，0）、B两点．（1）求抛物线解析式；（2）当点P（2，a）在抛物线上时．①如图1，过点P不与坐标轴平行的直线l1与抛物线有且只有一个交点，求直线l1的方程；②如图2，若直线l2：y＝2x+b交抛物线于M，点M在点P的右侧，过点P（2，a）作PQ∥y轴交直线l2于点Q，延长MQ到点N使得MQ＝NQ，试判断点N是否在抛物线上？请说明理由．【题组四】13．（2020•滨湖区模拟）如图，在平面直角坐标系中，直线y=12x﹣2与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y=12x2+bx+c经过A、C两点，与x轴的另一交点为点B．（1）求抛物线的函数表达式；（2）点D为直线AC下方抛物线上一动点；①连接CD，是否存在点D，使得AC平分∠OCD？若存在，求点D的横坐标；若不存在，请说明理由．②在①的条件下，若点P为抛物线上位于AC下方的一个动点，以P、C、A、D为顶点的四边形面积记作S，则S取何值或在什么范围时，相应的点P有且只有两个？14．（2020•姜堰区二模）二次函数y=6x2−23x+m（m＞0）的图象交y轴于点A，顶点为P，直线PA与x轴交于点B．（1）当m＝1时，求顶点P的坐标；（2）若点Q（a，b）在二次函数y=6x2−23x+m（m＞0）的图象上，且b﹣m＞0，试求a的取值范围；（3）在第一象限内，以AB为边作正方形ABCD．①求点D的坐标（用含m的代数式表示）；②若该二次函数的图象与正方形ABCD的边CD有公共点，请直接写出符合条件的整数m的值．15．（2020•天心区模拟）如图，抛物线y=−845(+（x﹣3m）（其中m＞0）与x轴分别交于A、B 两点（A在B的右侧），与y轴交于点C；（1）点B的坐标为（−3，0），点A的坐标为（3m，0）（用含m的代数式表示），点Cm的代数式表示）；（2）若点P为直线AC上的一点，且点P在第二象限，满足OP2＝PC•PA，求tan∠APO的值及用含m 的代数式表示点P的坐标；（3）在（2）的情况下，线段OP与抛物线相交于点Q，若点Q恰好为OP的中点，此时对于在抛物线上且介于点C与顶点之间（含点C与顶点）的任意一点M（x0，y0）总能使不等式n≤式2n−916≥−4x02+3x0+138恒成立，求n的取值范围．16．（2020•开福区校级二模）如图，抛物线y＝mx2+4mx﹣12m（m＜0）与x轴相交于点A、B（点A在点B的右边），顶点为C．（1）求A、B两点的坐标；（2）若△ABC为等边三角形，点M（x0，y0）为抛物线y＝mx2+4mx﹣12m（m＜0）上任意一点，总有n−856≥02+403y0﹣298成立，求n的最小值；（3）若m=−12，点P为x轴上一动点，若α＝∠CAB+∠CPB，当tanα＝4时，求P点的坐标．【题组五】17．（2020•天心区校级模拟）对某一个函数给出如下定义：若存在实数M＞0，对于任意的函数值y，都满足﹣M≤y≤M，则称这个函数是有界函数，在所有满足条件的M中，其最大值称为这个函数的边界值．例如，图中的函数是有界函数，其边界值是1．（1）分别判断函数y=1（x＞0）和y＝x+2（﹣4≤x≤2）是不是有界函数？若是有界函数，求其边界值；（2）若函数y＝﹣x+2（a≤x≤b，b＞a）的边界值是3，且这个函数的最小值也是3，求b的取值范围；（3）将函数y＝x2（﹣1≤x≤m，m≥0）的图象向下平移m个单位，得到的函数的边界值是t，当m在什么范围时，满足34≤t≤1？18．（2020•思明区校级模拟）已知抛物线C：y1＝a（x﹣h）2﹣1，直线l：y2＝kx﹣kh﹣1．（1）判断命题“抛物线C的对称轴不可能是y轴”的真假，并说明理由；（2）求证：直线l恒过抛物线C的顶点；（3）①当a＝﹣1，m≤x≤2时，y1≥x﹣3恒成立，直接写出m的取值范围；②当0＜a≤2，k＞0时，若在直线l下方的抛物线C上至少存在两个横坐标为整数的点，求k的取值范围．19．（2020•海陵区一模）已知抛物线y1＝ax2﹣2amx+am2+4，直线y2＝kx﹣km+4，其中a≠0，a、k、m是常数．（1）抛物线的顶点坐标是，并说明上述抛物线与直线是否经过同一点（说明理由）；（2）若a＜0，m＝2，t≤x≤t+2，y1的最大值为4，求t的范围；（3）抛物线的顶点为P，直线与抛物线的另一个交点为Q，对任意的m值，若1≤k≤4，线段PQ（不包括端点）上至少存在两个横坐标为整数的点，求a的范围．20（2020•遵化市三模）已知点P（2，﹣3）在抛物线L：y＝ax2﹣2ax+a+k（a，k均为常数，且a≠0）上，L交y轴于点C，连接CP．（1）用a表示k，并求L的对称轴及L与y轴的交点坐标；（2）当L经过（3，3）时，求此时L的表达式及其顶点坐标；（3）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．如图，当a＜0时，若L在点C，P之间的部分与线段CP所围成的区域内（不含边界）恰有4个整点，求a的取值范围；（4）点M（x1，y1），N（x2，y2）是L上的两点，若t≤x1≤t+1，当x2≥3时，均有y1≥y2，直接写出t的取值范围．【题组六】21．（2020•中原区校级模拟）如图1所示，抛物线=232+B+与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，已知C点坐标为（0，4），抛物线的顶点的横坐标为72，点P是第四象限内抛物线上的动点，四边形OPAQ是平行四边形，设点P的横坐标为m．（1）求抛物线的解析式；（2）求使△APC的面积为整数的P点的个数；（3）当点P在抛物线上运动时，四边形OPAQ可能是正方形吗？若可能，请求出点P的坐标，若不可能，请说明理由；（4）在点Q随点P运动的过程中，当点Q恰好落在直线AC上时，则称点Q为“和谐点”，如图（2）所示，请直接写出当Q为“和谐点”的横坐标的值．22．（2020•丰台区二模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣4ax+3a与y轴交于点A．（1）求点A的坐标（用含a的式子表示）；（2）求抛物线与x轴的交点坐标；（3）已知点P（a，0），Q（0，a﹣2），如果抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图象，求a 的取值范围．23．（2020•密云区二模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线C1：y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A 在点B的左侧），与y轴交于点C．点B的坐标为（3，0），将直线y＝kx沿y轴向上平移3个单位长度后，恰好经过B、C两点．（1）求k的值和点C的坐标；（2）求抛物线C1的表达式及顶点D的坐标；（3）已知点E是点D关于原点的对称点，若抛物线C2：y＝ax2﹣2（a≠0）与线段AE恰有一个公共点，结合函数的图象，求a的取值范围．24．（2020•惠安县校级模拟）已知抛物线C：y＝ax2+bx+c（a＞0）的顶点在第一象限，且与直线y＝1只有一个公共点．（1）若抛物线的对称轴为直线x＝1，求a、c之间应当满足的关系式；（2）若b＝﹣2，点P是抛物线的顶点，且点P与点Q关于y轴对称，△OPQ是等腰直角三角形．①求抛物线的解析式；②直线y＝kx（k＞0）与抛物线C1交于两不同点A、B（点A在点B的左侧），与直线y＝﹣2x+4交于点R．求证：对于每个给定的实数k，总有1O+1O=2O成立．。
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二次函数与一次函数交点求范围专题 1. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y=2x 2
+mx+n 经过点A （0，﹣2），B （3，4）．（1求抛物线的表达式及对称轴；（2）设点B 关于原点的对称点为C ，点D 是抛物线对称轴上一动点，记抛物线在A ，B 之间的部分为图象G （包含A ，B 两点）．若直线CD 与图象G 有公共点，结合函数图象，求点D 纵坐标t 的取值范围?
2.二次函数y=x2+bx+c 的图象如图所示，其顶点坐标为M （1，-4）．
（1）求二次函数的解析式；
（2）将二次函数的图象在x 轴下方的部分沿x 轴翻折，图象的其余
部分保持不变，得到一个新的图象，请你结合新图象回答：当直线
y=x+n 与这个新图象有两个公共点时，求n 的取值范围．
3．已知二次函数y=(t+1)x2+2(t+2)x+32
在x=0和x=2时的函数值相等． (1)求二次函数的解析式；
(2)若一次函数y=kx+6的图象与二次函数的图象都经过点A(−3，m)，求m 和k 的值；
(3)设二次函数的图象与x 轴交于点B ，C(点B 在点C 的左侧)，将二次函数的图象在点B ，C 间的部分(含点B 和点C)向左平移n(n>0)个单位后得到的图象记为G ，同时将(2)中得到的直线y=kx+6向上平移n 个单位．请结合图象回答：当平移后的直线与图象G 有公共点时，求n 的取值范围．
4.已知二次函数y=x2-2（k+1）x+k2-2k-3与x 轴有两个交点．
（1）求k 的取值范围；
（2）当k 取最小的整数时，求二次函数的解析式；
（3）将（2）中求得的抛物线在x 轴下方的部分沿x 轴翻折到x 轴上方，
图象的其余部分不变，得到一个新图象．请你画出这个新图象，并求出
新图象与直线y=x+m 有三个不同公共点时m 的值．
1.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=2x2+mx+n经过点A（0，﹣2），B（3，4）．（1
求抛物线的表达式及对称轴；（2）设点B关于原点的对称点为C，点D是抛物线对称轴上一动点，记抛物线在A，B之间的部分为图象G（包含A，B两点）．若直线CD 与图象G有公共点，结合函数图象，求点D纵坐标t的取值范围?
解：（1）∵抛物线y=2x2+mx+n经过点A（0，﹣2），B（3，4），
代入得：，解得：，
∴抛物线解析式为y=2x2﹣4x﹣2，对称轴为直线x=1；
（2）由题意得：C（﹣3，﹣4），二次函数y=2x2﹣4x﹣2的最小值为﹣4，
由函数图象得出D纵坐标最小值为﹣4，
设直线BC解析式为y=kx+b，将B与C坐标代入得：，
解得：k=，b=0，∴直线BC解析式为y=x，
当x=1时，y=，则t的范围为﹣4≤t≤．
2.二次函数y=x2+bx+c的图象如图所示，其顶点坐标为M（1，-4）．
（1）求二次函数的解析式；
（2）将二次函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象，请你结合新图象回答：当直线y=x+n与这个新图象有两个公共点时，求n的取值范围．
（1）因为M （1，-4）是二次函数y=（x+m ）2+k 的顶点坐
标，
所以y=（x-1）2-4=x 2-2x-3，
（2）令x 2-2x-3=0，
解之得：x 1=-1，x 2=3，
故A ，B 两点的坐标分别为A （-1，0），B （3，0）．
如图，当直线y=x+n （n ＜1），
经过A 点时，可得n=1，
当直线y=x+n 经过B 点时，
可得n=-3，
∴n 的取值范围为-3＜n ＜1，
翻折后的二次函数解析式为二次函数y=-x 2+2x+3
当直线y=x+n 与二次函数y=-x 2+2x+3的图象只有一个交点时，
x+n=-x 2+2x+3，
整理得：x 2-x+n-3=0，
△=b 2-4ac=1-4（n-3）=13-4n=0，
解得：n= ， ∴n 的取值范围为：n ＞
，由图可知，符合题意的n 的取值范围为：n ＞
或-3＜n ＜1．
13 4
13 4 13 4
4.已知二次函数y=x2-2（k+1）x+k2-2k-3与x轴有两个交点．
（1）求k的取值范围；
（2）当k取最小的整数时，求二次函数的解析式；
（3）将（2）中求得的抛物线在x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，图象的其余部分不变，得到一个新图象．请你画出这个新图象，并求出新图象与直线y=x+m有三个不同公共点时m的值．
解：（1）∵抛物线与x轴有两个交点，
∴△=4（k+1）2-4（k2-2k-3）=16k+16＞0．
∴k＞-1．
∴k的取值范围为k＞-1．
（2）∵k＞-1，且k取最小的整数，
∴k=0．
∴y=x2-2x-3=（x-1）2-4．
（3）翻折后所得新图象如图所示．
平移直线y=x+m知：直线位于l1和l2时，它与新图象有三个不同的公共点．
①当直线位于l1时，此时l1过点A（-1，0），
∴0=-1+m，即m=1．
②∵当直线位于l2时，此时l2与函数y=-x2+2x+3（-1≤x≤3）的图象有一个公共点
∴方程x+m=-x2+2x+3，即x2-x-3+m=0有两个相等实根．
∴△=1-4（m-3）=0，即．
综上所述，m的值为1或．。