高中数学精讲精练(新人教A版)第03章三角函数B

2013高中数学精讲精练 第三章 三角函数B

第5课 三角函数的图像和性质（一）

【考点导读】

1.能画出正弦函数，余弦函数，正切函数的图像，借助图像理解正弦函数，余弦函数在[0,2]π，正切函数在(,)22

ππ

-

上的性质； 2.了解函数sin()y A x ωϕ=+的实际意义，能画出sin()y A x ωϕ=+的图像； 3.了解函数的周期性，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型． 【基础练习】

1. 已知简谐运动()2sin(

)()3

2

f x x π

π

ϕϕ=+<

的图象经过点(0，1)，则该简谐运动的最小正周期

T =_________；初相ϕ=__________．

2. 三角方程2sin(

2

π

－x )=1的解集为_______________________． 3. 函数),2

,0)(sin(R x x A y ∈π

<ϕ>ωϕ+ω=的部分图象如图所示，则函数表达式为

______________________．

4. 要得到函数sin y x =的图象，只需将函数cos y x π⎛⎫

=- ⎪3⎝⎭

的图象向右平移__________个单位． 【范例解析】

例1.已知函数()2sin (sin cos )f x x x x =+．

（Ⅰ）用五点法画出函数在区间,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦

上的图象，长度为一个周期； （Ⅱ）说明()2sin (sin cos )f x x x x =+的图像可由sin y x =的图像经过怎样变换而得到． 例2.已知正弦函数sin()y A x ωϕ=+(0,0)A ω>>的图像如右图所示． （1）求此函数的解析式1()f x ；

（2）求与1()f x 图像关于直线8x =对称的曲线的解析式2()f x ； （3）作出函数12()()y f x f x =+的图像的简图．

第3题

【反馈演练】

1．为了得到函数R x x y ∈+=),6

3sin(2π

的图像，只需把函数2sin y x =，x R ∈的图像上所有的点

①向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的31

倍（纵坐标不变）；

②向右平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的3

1

倍（纵坐标不变）；

③向左平移

6π

个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）； ④向右平移6

π

个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）．

其中，正确的序号有___________． 2．为了得到函数)6

2sin(π

-

=x y 的图象，可以将函数x y 2cos =的图象向右平移____个单位长度．

3．若函数()2sin()f x x ωϕ=+，x ∈R （其中0ω>，2

ϕπ

<

）的最小正周期是π，且(0)3f =，则ω=______；ϕ=__________．

4．在()π2,0内，使x x cos sin >成立的x 取值范围为____________________． 5．下列函数： ①sin 6y x π⎛⎫

=+

⎪⎝

⎭

； ②sin 26y x π⎛⎫

=-

⎪⎝

⎭

； ③cos 43y x π⎛⎫

=-

⎪⎝

⎭

； ④cos 26y x π⎛⎫

=-

⎪⎝

⎭

． 其中函数图象的一部分如右图所示的序号有__________．

6．如图，某地一天从6时至14时的温度变化曲线近似满足函数

b x A y ++=)sin(ϕω

（1）求这段时间的最大温差； （2）写出这段时间的函数解析式．

7．如图，函数π

2cos()(00)2y x x >ωθωθ=+∈R ，，≤

≤

的图象与y 轴相交于点(03)，，且该函数的最小正周期为π． （1）求θ和ω的值；

－2

2

2

x =8

x

y

O

第6题

第5题

（2）已知点

π

2

A

⎛⎫

⎪

⎝⎭

，，点P是该函数图象上一点，点

00

()

Q x y

，是PA

当

y=

π

π

2

x

⎡⎤

∈⎢⎥

⎣⎦

，时，求

x的值．

（二）

【考点导读】

1.理解三角函数sin

y x

=，cos

y x

=，tan

y x

=的性质，进一步学会研究形如函数sin()

y A x

ωϕ

=+的性质；

2.在解题中体现化归的数学思想方法，利用三角恒等变形转化为一个角的三角函数来研究．

【基础练习】

1.写出下列函数的定义域：

（1）y=的定义域是______________________________；

（2）

sin2

cos

x

y

x

=的定义域是____________________．

2．函数f (x) = | sin x +cos x |的最小正周期是____________．

3．函数22

sin sin

44

f x x x

ππ

=+--

（）（）（）的最小正周期是_______．

4. 函数y=sin(2x+

3

π

)的图象关于点_______________对称．

5. 已知函数tan

y x

ω

=在（－

2

π

，

2

π

）内是减函数，则ω的取值范围是______________．

【范例解析】

例1.求下列函数的定义域：

（1）

sin

tan

x

y

x

=+（2）y=

例2．求下列函数的单调减区间：

（1）sin(2)

3

y x

π

=-；（2）

2cos

sin()

42

x

y

x

π

=

-

；

例3．求下列函数的最小正周期：

（1）5tan(21)

y x

=+；（2）sin sin

32

y x x

ππ

⎛⎫⎛⎫

=++

⎪ ⎪

⎝⎭⎝⎭

．

第7题