高中数学精讲精练(新人教A版)第03章三角函数B
高中数学 第三章 三角恒等变换 3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式课时训练(含解析)新人教A版
3高中数学第三章三角恒等变换3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式课时训练（含解析）新人教A版必修4456编辑整理：7891011尊敬的读者朋友们：12这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第三章三角恒等变换3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式课时训练（含解析）新人教A版必修4）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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1414.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式课时目标 1.会从两角和的正弦、余弦、正切公式导出二倍角的正弦、余弦、正切公式.2。
能熟练运用二倍角的公式进行简单的恒等变换，并能灵活地将公式变形运用．1．倍角公式（1)S2α：sin 2α＝2sin αcos α，sin 错误!cos 错误!＝错误!sin α；（2)C2α：cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；(3）T2α：tan 2α＝错误!。
2．倍角公式常用变形（1)错误!＝__________，错误!＝__________；(2)（sin α±cos α)2＝__________；（3)sin2α＝______________，cos2α＝______________.一、选择题1．计算1－2sin222。
5°的结果等于（）A.错误! B。
错误! C.错误! D.错误!2．函数y＝2cos2(x－错误!)－1是（)A．最小正周期为π的奇函数B．最小正周期为错误!的奇函数C．最小正周期为π的偶函数D．最小正周期为错误!的偶函数3．若sin(错误!－α）＝错误!,则cos（错误!＋2α)的值为（）A．－错误! B．－错误! C.错误! D。
高考数一轮复习精讲精练(新人教A)第03章 三角函数
2013高中数学精讲精练第三章三角函数【知识导读】【方法点拨】三角函数是一种重要的初等函数，它与数学的其它部分如解析几何、立体几何及向量等有着广泛的联系，同时它也提供了一种解决数学问题的重要方法——“三角法”．这一部分的内容，具有以下几个特点：1．公式繁杂.公式虽多，但公式间的联系非常密切，规律性强.弄清公式间的相互联系和推导体系，是记住这些公式的关键.2．思想丰富.化归、数形结合、分类讨论和函数与方程的思想贯穿于本单元的始终，类比的思维方法在本单元中也得到充分的应用.如将任意角的三角函数值的问题化归为锐角的三角函数的问题，将不同名的三角函数问题化成同名的三角函数的问题，将不同角的三角函数问题化成同角的三角函数问题等.3．变换灵活.有角的变换、公式的变换、三角函数名称的变换、三角函数次数的变换、三角函数表达形式的变换及一些常量的变换等，并且有的变换技巧性较强.4．应用广泛.三角函数与数学中的其它知识的结合点非常多，它是解决立体几何、解析几何及向量问题的重要工具，并且这部分知识在今后的学习和研究中起着十分重要的作用，比如在物理学、天文学、测量学及其它各门科学技术都有广泛的应用.第1课 三角函数的概念【考点导读】1． 理解任意角和弧度的概念，能正确进行弧度与角度的换算．角的概念推广后，有正角、负角和零角；与α终边相同的角连同角α本身，可构成一个集合{}Z k k S ∈⋅+==,360 αββ；把长度等于半径的圆弧所对的圆心角定义为1弧度的角，熟练掌握角度与弧度的互换，能运用弧长公式r l α=及扇形的面积公式S ＝lr 21（l 为弧长）解决问题.2． 理解任意角的正弦、余弦、正切的定义.角的概念推广以后，以角的顶点为坐标原点，角的始边为x 轴的正半轴，建立直角坐标系，在角的终边上任取一点(,)P x y （不同于坐标原点），设OP r =（0r =>），则α的三个三角函数值定义为：sin ,cos ,tan y x y r r xααα===． 从定义中不难得出六个三角函数的定义域：正弦函数、余弦函数的定义域为R ；正切函数的定义域为{|,,}2R k k Z παααπ∈≠+∈．3． 掌握判断三角函数值的符号的规律，熟记特殊角的三角函数值．由三角函数的定义不难得出三个三角函数值的符号，可以简记为：一正（第一象限内全为正值），二正弦（第二象限内只有正弦值为正），三切（第三象限只有正切值为正），四余弦（第四象限内只有余弦值为正）．另外，熟记0、6π、4π、3π、2π的三角函数值，对快速、准确地运算很有好处.4． 掌握正弦线、余弦线、正切线的概念．在平面直角坐标系中，正确地画出一个角的正弦线、余弦线和正切线，并能运用正弦线、余弦线和正切线理解三角函数的性质、解决三角不等式等问题．【基础练习】1． 885-化成2(02,)k k Z πααπ+≤≤∈的形式是 ．13612ππ-+2．已知α为第三象限角，则2α所在的象限是 ．3．已知角α的终边过点(5,12)P -，则cos α= ， tan α= ．4．tan(3)sin 5cos8-的符号为 ．5．已知角θ的终边上一点(,1)P a -（0≠a ），且a -=θtan ，求θsin ，θcos 的值． 解：由三角函数定义知，1a =±，当1a =时，sin θ=cos θ=； 当1a =-时，sin θ=cos θ= 【范例解析】例1.（1）已知角α的终边经过一点(4,3)(0)P a a a -≠，求2sin cos αα+的值； （2）已知角α的终边在一条直线y =上，求sin α，tan α的值． 分析：利用三角函数定义求解．解：（1）由已知4x a =，5r a =．当0a >时，5r a =，3sin 5α=-，4cos 5α=，则22sin cos 5αα+=-； 当0a <时，5r a =-，3sin 5α=，4cos 5α=-，则22sin cos 5αα+=． （2）设点()(0)P a a ≠是角α的终边y =上一点，则tan α=； 当0a >时，角α是第一象限角，则sin α=； 当0a <时，角α是第三象限角，则sin α= 点评：要注意对参数进行分类讨论．例2.（1）若sin cos 0θθ⋅>，则θ在第_____________象限． （2）若角α是第二象限角，则sin 2α，cos 2α，sin 2α，cos2α，tan2α中能确定是正值的有____个．解：（1）由sin cos 0θθ⋅>，得sin θ，cos θ同号，故θ在第一，三象限．第二或第四513-125-正（2）由角α是第二象限角，即222k k ππαππ+<<+，得422k k παπππ+<<+，4224k k ππαππ+<<+，故仅有tan2α为正值．点评：准确表示角的范围，由此确定三角函数的符号．例3. 一扇形的周长为20cm ，当扇形的圆心角α等于多少时，这个扇形的面积最大？最大面积是多少？分析：选取变量，建立目标函数求最值．解：设扇形的半径为x ㎝，则弧长为(202)l x =-㎝，故面积为21(202)(5)252y x x x =-=--+， 当5x =时，面积最大，此时5x =，10l =，2lxα==， 所以当2α=弧度时，扇形面积最大252cm ．点评：由于弧度制引入，三角函数就可以看成是以实数为自变量的函数．【反馈演练】1．若sin cos θθ>且sin cos 0θθ⋅<则θ在第_______象限． 2．已知6α=，则点(sin ,tan )A αα在第________象限． 3．已知角θ是第二象限，且(P m为其终边上一点，若cos m θ=，则m 的值为_______．4．将时钟的分针拨快30min ，则时针转过的弧度为 ．5．若46παπ<<，且α与23π-终边相同，则α= ． 6．已知1弧度的圆心角所对的弦长2，则这个圆心角所对的弧长是_______，这个圆心角所在的扇形的面积是___________． 7．（1）已知扇形AOB 的周长是6cm ，该扇形中心角是1弧度，求该扇形面积．（2）若扇形的面积为82cm ，当扇形的中心角α(0)α>为多少弧度时，该扇形周长最小．二 三12π-163π11sin211cos1-简解：（1）该扇形面积22cm ；（2）2182r l yrl +=⎧⎪⎨=⎪⎩，得162y r r =+≥，当且仅当r =l =，2lrα==．第2课 同角三角函数关系及诱导公式【考点导读】1.理解同角三角函数的基本关系式；同角的三角函数关系反映了同一个角的不同三角函数间的联系．2.掌握正弦，余弦的诱导公式；诱导公式则揭示了不同象限角的三角函数间的内在规律，起着变名，变号，变角等作用．【基础练习】1. tan600°=______．2. 已知α是第四象限角，5tan 12α=-，则sin α=______． 3.已知cos 2πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，且2πϕ<，则tan ϕ______．3513- －4.sin15°cos75°+cos15°sin105°=___1___． 【范例解析】 例1.已知8cos()17πα-=，求sin(5)απ-，tan(3)πα+的值． 分析：利用诱导公式结合同角关系，求值．解：由8cos()17πα-=，得8cos 017α=-<，α∴是第二，三象限角． 若α是第二象限角，则15sin(5)sin 17απα-=-=-，15tan(3)tan 8παα+==-；若α是第三象限角，则15sin(5)sin 17απα-=-=，15tan(3)tan 8παα+==．点评：若已知正弦，余弦，正切的某一三角函数值，但没有确定角所在的象限，可按角的象限进行分类，做到不漏不重复．例2.已知α是三角形的内角，若1sin cos 5αα+=，求tan α的值． 分析：先求出sin cos αα-的值，联立方程组求解． 解：由1sin cos 5αα+=两边平方，得112sin cos 25αα+⋅=，即242sin cos 025αα∴⋅=-<． 又α是三角形的内角，cos 0α∴<，2παπ∴<<．由249(sin cos )25αα-=，又sin cos 0αα->，得7sin cos 5αα-=． 联立方程组1sin cos 57sin cos 5αααα⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得4sin 53cos 5αα⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，得4tan 3α=-．点评：由于2(sin cos )12sin cos αααα±=±⋅，因此式子sin cos αα-，sin cos αα+，sin cos αα⋅三者之间有密切的联系，知其一，必能求其二．【反馈演练】1．已知sin α=则44sin cos αα-的值为_____．2．“21sin =A ”是“A =30º”的必要而不充分条件． 3．设02x π≤≤,sin cos x x =-，则x 的取值范围是544x ππ≤≤4．已知1sin cos 5θθ+=，且324θππ≤≤，则cos 2θ的值是 ．53- 725-5．（1）已知1cos 3α=-，且02πα-<<，求2cos()3sin()4cos()sin(2)παπααπα--+-+-的值．（2）已知1sin()64x π+=，求25sin()sin ()63x x ππ-+-的值．解：（1）由1cos 3α=-，得tan α=-原式=2cos 3sin 23tan 4cos sin 4tan αααααα-+-+=--2=（2）1sin()64x π+=，225sin()sin ()sin[()]sin [()]63626x x x x ππππππ∴-+-=-++-+219sin()cos ()6616x x ππ=+++=．6．已知4tan 3α=-，求（I ）6sin cos 3sin 2cos αααα+-的值；（II ）212sin cos cos ααα+的值．解：（I ）∵ 4tan 3α=-；所以6sin cos 3sin 2cos αααα+-=6tan 13tan 2αα+-=46()173463()23-+=--．（II ）由4tan 3α=-，于是212sin cos cos ααα+2222sin cos tan 152sin cos cos 2tan 13ααααααα++===-++．第3课 两角和与差及倍角公式（一）【考点导读】1.掌握两角和与差，二倍角的正弦，余弦，正切公式，了解它们的内在联系；2.能运用上述公式进行简单的恒等变换；3.三角式变换的关键是条件和结论之间在角，函数名称及次数三方面的差异及联系，然后通过“角变换”，“名称变换”，“升降幂变换”找到已知式与所求式之间的联系；4.证明三角恒等式的基本思路：根据等式两端的特征，通过三角恒等变换，应用化繁为简，左右归一，变更命题等方法将等式两端的“异”化“同”．【基础练习】 1.sin163sin 223sin 253sin 313+= ___________．2. x x =．3. 若f (sin x )＝3－cos2x ，则f (cos x )＝___________ ．4.化简：sin sin 21cos cos 2αααα+=++___________． 【范例解析】例 .化简：（1）42212cos 2cos 22tan()sin ()44x x x x ππ-+-+； （2)θπ<<．（1）分析一：降次，切化弦．解法一：原式=2221(2cos 1)22sin()4cos ()4cos()4x x x x πππ----22(2cos 1)4sin()cos()44x x x ππ-=--2cos 22sin(2)2xx π=-1cos 22x =．分析二：变“复角”为“单角”． 解法二：原式=22cos 2cos sin 2(sin cos )cos sin x x x x x x x =-⋅++1cos 22x =．（2）原式22cos (sin cos )cos cos 2222cos cos 22θθθθθθθ--⋅==0θπ<<，022θπ∴<<，cos 02θ>，∴原式=cos θ-．点评：化简本质就是化繁为简，一般从结构，名称，角等几个角度入手．如：切化弦，“复角”变“单角”，降次等等．【反馈演练】1．化简22sin 2cos 1cos 2cos 2⋅=+ααααtan 2α． 12 3＋cos2x )3x π+tan α2．若sin tan 0x x ⋅<=_________． 3．若0＜α＜β＜4π，sin α＋cos α = α，sin β＋cos β= b ，则a 与b 的大小关系是_________．4．若sin cos tan (0)2παααα+=<<，则α的取值范围是___________． 5．已知α、β均为锐角，且cos()sin()αβαβ+=-，则tan α= 1 .6．化简：222cos 12tan()sin ()44αππαα--⋅+．解：原式=222cos 12sin()4cos ()4cos()4απαπαπα--⋅--cos 22sin()cos()44αππαα=-⋅-cos 21cos 2αα==．7．求证：222sin 22cos cos 22cos x x x x +=． 证明：左边=2224sin cos 2cos cos 2x x x x +22222cos (2sin 12cos )2cos x x x x =+-==右边． 8．化简：22sin sin 2sin sin cos()αβαβαβ+++．解：原式=22sin sin 2sin sin (cos cos sin sin )αβαβαβαβ++-2222sin sin 2sin sin cos cos 2sin sin αβαβαβαβ=++- 2222sin (1sin )sin (1sin )2sin sin cos cos αββααβαβ=-+-+ 2222sin cos sin cos 2sin sin cos cos αββααβαβ=++ 2(sin cos sin cos )αββα=+ 2sin ()αβ=+．第4课 两角和与差及倍角公式（二）)3,4(ππa b <【考点导读】1.能熟练运用两角和与差公式，二倍角公式求三角函数值；2.三角函数求值类型：“给角求值”，“给值求值”，“给值求角” ． 【基础练习】1．写出下列各式的值：（1）2sin15cos15︒︒=_________；（2）22cos 15sin 15︒-︒=_________； （3）22sin151︒-=；（4）22sin 15cos 15︒+︒=____1_____．2．已知3(,),sin 25παπα∈=)4πα+=_________．3．求值：（1）1tan151tan15-︒=+︒；（2）5cos cos 1212ππ=_________． 4．求值：tan10tan 20tan 20)︒⋅︒︒+︒=____1____．5．已知tan 32α=，则cos α=________． 6．若cos 2πsin 4αα=⎛⎫- ⎪⎝⎭，则cos sin αα+=_________． 【范例解析】例1.求值：（1）sin 40(tan10︒︒-； （2．分析：切化弦，通分． 解：（1）原式=sin10sin 40(cos10︒︒-︒=sin 402sin(1060)sin 40cos10︒-︒=︒⋅︒2cos 40sin 40cos10︒=-︒⋅︒sin 801cos10-︒==-︒．（2）2sin 4013tan101cos10︒+︒=+==︒，又=︒．原式=2==．12 2317 14－512点评：给角求值，注意寻找所给角与特殊角的联系，如互余，互补等，利用诱导公式，和与差公式，二倍角公式进行转换．例2.设4cos()5αβ-=-，12cos()13αβ+=，且(,)2παβπ-∈，3(,2)2παβπ+∈，求cos 2α，cos 2β． 分析：2()()ααβαβ=-++， 2()()βαβαβ=+--． 解：由4cos()5αβ-=-，(,)2παβπ-∈，得3sin()5αβ-=，同理，可得5sin()13αβ+=-33cos 2cos[()()]65ααβαβ∴=-++=-，同理，得63cos 265β=-． 点评：寻求“已知角”与“未知角”之间的联系，如：2()()ααβαβ=-++，2()()βαβαβ=+--等．例3.若3cos()45x π+=，177124x ππ<<，求2sin 22sin 1tan x x x +-的值． 分析一：()44x x ππ=+-．解法一：177124x ππ<<，5234x πππ∴<+<，又3cos()45x π+=，4sin()45x π∴+=-，4tan()43x π+=-．cos cos[()]44x x ππ=+-=，sin x ∴=，tan 7x =． 所以，原式2875=-．分析二：22()42x x ππ=+-．解法二：原式=sin 2sin 2tan 1tan x x x x +⋅-sin 2(1tan )sin 2tan()1tan 4x x x x x π+==⋅+-又27sin 2sin[2()]cos 2()[2cos ()1]424425x x x x ππππ=+-=-+=--+-=，所以，原式7428()25375=⋅-=-．点评：观察“角”之间的联系以寻找解题思路．【反馈演练】1．设)2,0(πα∈，若3sin 5α=，则)4cos(2πα+=__________． 2．已知tan 2α=2，则tanα的值为_______，tan ()4πα+的值为___________ ．3．若316sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛-απ，则⎪⎭⎫ ⎝⎛+απ232cos =___________．4．若13cos(),cos()55αβαβ+=-=，则tan tan αβ= ．5．求值：11sin 20tan 40-=︒︒． 6．已知232,534cos παππα<≤=⎪⎭⎫⎝⎛+．求⎪⎭⎫ ⎝⎛+42cos πα的值 解：().2sin 2cos 224sin 2sin 4cos 2cos 42cos ααπαπαπα-=-=⎪⎭⎫⎝⎛+又3cos 0,224πππαα⎛⎫≤<+> ⎪⎝⎭且,47443ππαπ<+≤ 544cos 14sin 2-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=⎪⎭⎫ ⎝⎛+∴παπα从而25244cos 4sin 222sin 2cos -=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫⎝⎛+=παπαπαα， 2574cos 2122cos 2sin 2=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=παπαα 5023125725242242cos -=⎪⎭⎫ ⎝⎛--⨯=⎪⎭⎫ ⎝⎛+∴πα第5课 三角函数的图像和性质（一）51 43- 17- 97- 12【考点导读】1.能画出正弦函数，余弦函数，正切函数的图像，借助图像理解正弦函数，余弦函数在[0,2]π，正切函数在(,)22ππ-上的性质； 2.了解函数sin()y A x ωϕ=+的实际意义，能画出sin()y A x ωϕ=+的图像； 3.了解函数的周期性，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型． 【基础练习】1. 已知简谐运动()2sin()()32f x x ππϕϕ=+<的图象经过点(0，1)，则该简谐运动的最小正周期T =_____6____；初相ϕ=__________．2. 三角方程2sin(2π－x )=1的解集为_______________________． 3. 函数),2,0)(sin(R x x A y ∈π<ϕ>ωϕ+ω=的部分图象如图所示，则函数表达式为______________________．4. 要得到函数sin y x =的图象，只需将函数cos y x π⎛⎫=- ⎪3⎝⎭的图象向右平移__________个单位．【范例解析】例1.已知函数()2sin (sin cos )f x x x x =+．（Ⅰ）用五点法画出函数在区间,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图象，长度为一个周期；（Ⅱ）说明()2sin (sin cos )f x x x x =+的图像可由sin y x =的图像经过怎样变换而得到．分析：化为sin()A x ωϕ+形式．解：（I ）由x x x x x x f 2sin 2cos 1cos sin 2sin 2)(2+-=+= )42sin(21)4sin 2cos 4cos 2(sin 21πππ-+=-⋅+=x x x ． 列表，取点，描图：6π {2,}3x x k k Z ππ=±∈)48sin(4π+π-=x y第3题π6故函数)(x f y =在区间]2,2[-上的图象是：（Ⅱ）解法一：把sin y x =图像上所有点向右平移4π个单位，得到sin()4y x π=-的图像，再把sin()4y x π=-的图像上所有点的横坐标缩短为原来的12（纵坐标不变），得到sin(2)4y x π=-的图像，然后把sin(2)4y x π=-的图像上所有点纵坐标伸长到原来的倍（横坐标不变），得到)4y x π=-的图像，再将)4y x π=-的图像上所有点向上平移1个单位，即得到1)4y x π=-的图像．解法二：把sin y x =图像上所有点的横坐标缩短为原来的12（纵坐标不变），得到sin 2y x =的图像，再把sin 2y x =图像上所有点向右平移8π个单位，得到sin(2)4y x π=-的图像，然后把sin(2)4y x π=-的图像上所有点纵坐标伸长到原来的倍（横坐标不变），得到)4y x π=-的图像，再将)4y x π=-的图像上所有点向上平移1个单位，即得到1)4y x π=-的图像．例2.已知正弦函数sin()y A x ωϕ=+(0,0)A ω>>的图像如右图所示． （1）求此函数的解析式1()f x ；（2）求与1()f x 图像关于直线8x =对称的曲线的解析式2()f x ； （3）作出函数12()()y f x f x =+的图像的简图．解：（1）由图知，A =，22(62)16πω=⨯+=，8πω∴=，即)8y x πϕ=+．将2x =，y =)4πϕ+=4πϕ=，即1()sin()84f x x ππ=+． （2）设函数2()f x 图像上任一点为(,)M x y ，与它关于直线8x =对称的对称点为(,)M x y '''，得8,2.x xy y '+⎧=⎪⎨⎪'=⎩解得16,.x x y y '=-⎧⎨'=⎩代入1()sin()84f x x ππ''=+中，得2()sin()84f x x ππ=-．（3）1(y f =示．点评：由图像求解析式，A 比较容易求解，困难的是待定系数求ω和ϕ，通常利用周期确定ω，代入最高点或最低点求ϕ．【反馈演练】xx1．为了得到函数R x x y ∈+=),63sin(2π的图像，只需把函数2sin y x =，x R ∈的图像上所有的点①向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的31倍（纵坐标不变）；②向右平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的31倍（纵坐标不变）；③向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）； ④向右平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）．其中，正确的序号有_____③______． 2．为了得到函数)62sin(π-=x y 的图象，可以将函数x y 2cos =的图象向右平移__3π__个单位长度． 3．若函数()2sin()f x x ωϕ=+，x ∈R （其中0ω>，2ϕπ<）的最小正周期是π，且(0)f =，则ω=__2____；ϕ=__________．4．在()π2,0内，使x x cos sin >成立的x 取值范围为____________________． 5．下列函数： ①sin 6y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭； ②sin 26y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭； ③cos 43y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭； ④cos 26y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭． 其中函数图象的一部分如右图所示的序号有_____④_____．6．如图，某地一天从6时至14时的温度变化曲线近似满足函数b x A y ++=)sin(ϕω （1）求这段时间的最大温差； （2）写出这段时间的函数解析式．解：（1）由图示，这段时间的最大温差是201030=-℃（2）图中从6时到14时的图象是函数b x A y ++=)sin(ϕω的半个周期∴614221-=⋅ωπ，解得8πω= 由图示，10)1030(21=-=A 20)3010(21=+=b这时，20)8sin(10++=ϕπx y将10,6==y x 代入上式，可取43πϕ=第6题3π 5,44ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭第5题综上，所求的解析式为20)438sin(10++=ππx y （]14,6[∈x ）7．如图，函数π2cos()(00)2y x x >ωθωθ=+∈R ，，≤≤的图象与y轴相交于点(0，且该函数的最小正周期为π．（1）求θ和ω的值；（2）已知点π02A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，点P 是该函数图象上一点，点00()Q x y ，是PA当0y =，0ππ2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，求0x 的值．解：（1）将0x =，y =2cos()y x ωθ=+得cos θ= 因为02θπ≤≤，所以6θπ=． 又因为该函数的最小正周期为π，所以2ω=， 因此2cos 26y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭． （2）因为点02A π⎛⎫ ⎪⎝⎭，，00()Q x y ，是PA 的中点，0y =所以点P 的坐标为022x π⎛- ⎝．又因为点P 在2cos 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象上，所以05cos 46x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭ 因为02x ππ≤≤，所以075194666x πππ-≤≤， 从而得0511466x ππ-=或0513466x ππ-=． 即023x π=或034x π=．第7题第6课 三角函数的图像和性质（二）【考点导读】1.理解三角函数sin y x =，cos y x =，tan y x =的性质，进一步学会研究形如函数sin()y A x ωϕ=+的性质；2.在解题中体现化归的数学思想方法，利用三角恒等变形转化为一个角的三角函数来研究．【基础练习】1.写出下列函数的定义域：（1）y =的定义域是______________________________； （2）sin 2cos x y x=的定义域是____________________． 2．函数f (x ) = | sin x +cos x |的最小正周期是____________．3．函数 22sin sin 44f x x x ππ=+--（）（）（）的最小正周期是_______． 4. 函数y =sin(2x +3π)的图象关于点_______________对称． 5. 已知函数tan y x ω= 在（－2π，2π）内是减函数，则ω的取值范围是______________．【范例解析】例1.求下列函数的定义域：{663,}x k x k k Z πππ≤≤+∈ {,}2x x k k Z ππ≠+∈ π π （3π，0） 10ω-≤<（1）sin tan xy x =+2）y = 解：（1）,2tan 0,2sin 10.x k x x ππ⎧≠+⎪⎪≠⎨⎪+≥⎪⎩即,2,722.66x k x k k x k πππππππ⎧≠+⎪⎪≠⎨⎪⎪-≤≤+⎩，故函数的定义域为7{2266x k x k ππππ-≤≤+且,x k π≠,}2x k k Z ππ≠+∈（2）122log 0,tan 0.x x +≥⎧⎪⎨⎪≥⎩即04,.2x k x k πππ<≤⎧⎪⎨≤<+⎪⎩故函数的定义域为(0,)[,4]2ππ⋃．点评：由几个函数的和构成的函数，其定义域是每一个函数定义域的交集；第（2）问可用数轴取交集．例2．求下列函数的单调减区间： （1）sin(2)3y x π=-； （2）2cos sin()42xy x π=-；解：（1）因为222232k x k πππππ-≤-≤+，故原函数的单调减区间为5[,]()1212k k k Z ππππ-+∈． （2）由sin()042x π-≠，得{2,}2x x k k Z ππ≠+∈， 又2cos 4sin()24sin()42x x y x ππ==+-，所以该函数递减区间为3222242x k k πππππ+<+<+，即5(4,4)()22k k k Z ππππ++∈．点评：利用复合函数求单调区间应注意定义域的限制． 例3．求下列函数的最小正周期：（1）5tan(21)y x =+；（2）sin sin 32y x x ππ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 解：（1）由函数5tan(21)y x =+的最小正周期为π2，得5tan(21)y x =+的周期2T π=．（2）sin()sin()(sin cos cos sin )cos 3233y x x x x x ππππ=++=+2111cos 2sin cos sin 2242xx x x x +==+1sin(2)23x π=++ T π∴=． 点评：求三角函数的周期一般有两种：（1）化为sin()A x ωϕ+的形式特征，利用公式求解；（2）利用函数图像特征求解．【反馈演练】1．函数x x y 24cos sin +=的最小正周期为_____________．2．设函数()sin ()3f x x x π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭R ，则()f x 在[0,2]π上的单调递减区间为___________________．3．函数()sin ([,0])f x x x x π=∈-的单调递增区间是________________．4．设函数()sin 3|sin 3|f x x x =+，则()f x 的最小正周期为_______________．5．函数22()cos 2cos 2xf x x =-在[0,]π上的单调递增区间是_______________． 2π[,0]6π-32π[,]3ππ 2[,]63ππ，75[,]63ππ6．已知函数()f x = （Ⅰ）求()f x 的定义域； （Ⅱ）若角α在第一象限且3cos 5α=，求()f α． 解：（Ⅰ） 由πsin 02x ⎛⎫+≠ ⎪⎝⎭得ππ2x k ≠-+，即ππ2x k ≠-()k ∈Z ． 故()f x 的定义域为π|π2x x k k ⎧⎫∈≠-∈⎨⎬⎩⎭R Z ，．（Ⅱ）由已知条件得4sin 5α===．从而()f α==21cos 2sin 22cos 2sin cos cos cos ααααααα+++==142(cos sin )5αα=+=． 7． 设函数)(),0( )2sin()(x f y x x f =<<-+=ϕπϕ图像的一条对称轴是直线8π=x ．（Ⅰ）求ϕ；（Ⅱ）求函数)(x f y =的单调增区间； （Ⅲ）画出函数)(x f y =在区间],0[π上的图像 解：（Ⅰ）)(8x f y x ==是函数π的图像的对称轴，,1)82sin(±=+⨯∴ϕπ,.42k k Z ππϕπ∴+=+∈ .43,0πϕϕπ-=<<- （Ⅱ）由（Ⅰ）知).432sin(,43ππϕ-=-=x y 因此 由题意得.,2243222Z k k x k ∈+≤-≤-πππππ所以函数.],85,8[)432sin(Z k k k x y ∈++-=πππππ的单调增区间为（Ⅲ）由知)432sin(π-=x y故函数上图像是在区间],0[)(πx f y =第7课 三角函数的值域与最值【考点导读】1.掌握三角函数的值域与最值的求法，能运用三角函数最值解决实际问题；2.求三角函数值域与最值的常用方法：（1）化为一个角的同名三角函数形式，利用函数的有界性或单调性求解；（2）化为一个角的同名三角函数形式的一元二次式，利用配方法或图像法求解；（3）借助直线的斜率的关系用数形结合求解；（4）换元法．【基础练习】1.函数x x y cos 3sin +=在区间[0,]2π上的最小值为 1 ．2.函数)(2cos 21cos )(R x x x x f ∈-=的最大值等于 ．3.函数tan()2y x π=-(44x ππ-≤≤且0)x ≠的值域是___________________． 4.当20π<<x 时，函数x xx x f 2sin sin 82cos 1)(2++=的最小值为 4 ．【范例解析】例1.（1）已知1sin sin 3x y +=，求2sin cos y x -的最大值与最小值． （2）求函数sin cos sin cos y x x x x =⋅++的最大值． 分析：可化为二次函数求最值问题．解：（1）由已知得：1sin sin 3y x =-，sin [1,1]y ∈-，则2sin [,1]3x ∈-． 22111sin cos (sin )212y x x ∴-=--，当1sin 2x =时，2sin cos y x -有最小值1112-；当2sin 3x =-时，2sin cos y x -有最小值49．（2）设sin cos x x t +=(t ≤≤，则21sin cos 2t x x -⋅=，则21122y t t =+-，当t =时，y有最大值为12+ 点评：第（1）小题利用消元法，第（2）小题利用换元法最终都转化为二次函数求最值问题；但要注意变量的取值范围．例2.求函数2cos (0)sin xy x xπ-=<<的最小值．分析：利用函数的有界性求解．解法一：原式可化为sin cos 2(0)y x x x π+=<<)2x ϕ+=，即sin()x ϕ+=，解得y ≥或y ≤（舍），所以y．43 (,1][1,)-∞-⋃+∞解法二：2cos (0)sin xy x xπ-=<<表示的是点(0,2)A 与(sin ,cos )B x x -连线的斜率，其中点B 在左半圆221(0)a b a +=<上，由图像知，当AB 与半圆相切时，y 最小，此时AB k =，所以y ．点评：解法一利用三角函数的有界性求解；解法二从结构出发利用斜率公式，结合图像求解．例3.已知函数2π()2sin 24f x x x ⎛⎫=+-⎪⎝⎭，ππ42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，． （I ）求()f x 的最大值和最小值；（II ）若不等式()2f x m -<在ππ42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，上恒成立，求实数m 的取值范围．分析：观察角，单角二次型，降次整理为sin cos a x b x +形式．解：（Ⅰ）π()1cos 221sin 222f x x x x x ⎡⎤⎛⎫=-+=+⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦∵ π12sin 23x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭．又ππ42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∵，ππ2π2633x -∴≤≤，即π212sin 233x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭≤≤，max min ()3()2f x f x ==，∴．（Ⅱ）()2()2()2f x m f x m f x -<⇔-<<+∵，ππ42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，max ()2m f x >-∴且min ()2m f x <+，14m <<∴，即m 的取值范围是(14)，．点评：第（Ⅱ）问属于恒成立问题，可以先去绝对值，利用参数分离转化为求最值问题．本小题主要考查三角函数和不等式的基本知识，以及运用三角公式、三角函数的图象和性质解题的能力．【反馈演练】1．函数))(6cos()3sin(2R x x x y ∈+--=ππ的最小值等于____－1_______．2．当04x π<<时，函数()f x =的最小值是______4 _______．3．函数sin cos 2xy x =+4．函数cos tan y x x =⋅的值域为 .5．已知函数()2sin (0)f x x ωω=>在区间,34ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值是2-，则ω的最小值等于_________．6．已知函数()2cos (sin cos )1f x x x x x =-+∈R ，． （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求函数()f x 在区间π3π84⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的最小值和最大值． 解：（Ⅰ）π()2cos (sin cos )1sin 2cos 224f x x x x x x x ⎛⎫=-+=-=- ⎪⎝⎭． 因此，函数()f x 的最小正周期为π． （Ⅱ）因为π()24f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭在区间π3π88⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上为增函数，在区间3π3π84⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上为减函数，又π08f ⎛⎫=⎪⎝⎭，3π8f ⎛⎫= ⎪⎝⎭3π3πππ14244f ⎛⎫⎛⎫=-==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故函数()f x 在区间π3π84⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，最小值为1-．32(1,1)-第８课 解三角形【考点导读】1.掌握正弦定理，余弦定理，并能运用正弦定理，余弦定理解斜三角形；2.解三角形的基本途径：根据所给条件灵活运用正弦定理或余弦定理，然后通过化边为角或化角为边，实施边和角互化．【基础练习】1．在△ABC 中，已知BC ＝12，A ＝60°，B ＝45°，则AC ＝. 2．在ABC ∆中，若sin :sin :sin 5:7:8A B C =，则B ∠的大小是______________.3．在ABC △中，若1tan 3A =，150C =，1BC =，则AB =．【范例解析】例1. 在△ABC 中，a ，b ，c 分别为∠A ，∠B ，∠C 的对边，已知20a c +=，2C A =，3cos 4A =． （1）求ca的值；（2）求b 的值． 分析：利用2C A =转化为边的关系．解：（1）由sin sin 232cos sin sin 2c C A A a A A ====．（2）由20,3.2a c c a +=⎧⎪⎨=⎪⎩得8,12.a c =⎧⎨=⎩．由余弦定理2222cos a b c bc A =+-得： 218800b b -+=，解得：8b =或10b =， 若8b =，则A B =，得4A π=，即3cos 4A =≠矛盾，故10b =． 点评：在解三角形时，应注意多解的情况，往往要分类讨论．例2.在三角形ABC 中，已知2222()sin()()sin()a b A B a b A B +-=-+，试判断该三角形的形状．解法一：(边化角)由已知得：22[sin()sin()][sin()sin()]a A B A B b A B A B --+=---+，化简得222cos sin 2cos sin a A B b B A =，3π 2由正弦定理得：22sin cos sin sin cos sin A A B B B A =，即sin sin (sin cos sin cos )0A B A A B B -=，又,(0,)A B π∈，sin sin 0A B ∴⋅≠，sin 2sin 2A B ∴=．又2,2(0,2)A B π∈，22A B ∴=或22A B π=-，即该三角形为等腰三角形或直角三角形．解法二：(角化边)同解法一得：222cos sin 2cos sin a A B b B A =，由正余弦定理得：2222222222b c a a c b a b b abc ac+-+-=， 整理得：22222()()0a b c a b ---=，即a b =或222c a b =+，即该三角形为等腰三角形或直角三角形．点评：判断三角形形状主要利用正弦或余弦定理进行边角互化，从而利用角或边判定三角形形状．例3.如图，D 是直角△ABC 斜边BC 上一点，AB =AD ，记∠CAD =α，∠ABC =β.（1）证明：sin cos 20αβ+=； （2）若ACDC ，求β．分析：识别图中角之间的关系，从而建立等量关系. （1）证明：C βα=+，2C B π=-，22πβα∴=+，sin cos 20αβ∴+=（2）解：ACDC，2sin 2βαββ∴===-.(0,)2πβ∈，sin β∴=，3πβ∴=. 点评：本题重点是从图中寻找到角之间的等量关系，从而建立三角函数关系，进而求出β的值.【反馈演练】1．在ABC ∆中，,75,45,300===C A AB 则BC =_____________．2．ABC ∆的内角∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ，b ，c 成等比数列，且2c a =，则cos B =_____．BDCαβ A例433- 343．在ABC ∆中，若2a b c =+，2sin sin sin A B C =，则∆的形状是____等边___三角形．4．若ABC ∆的内角A 满足2sin 23A =，则sin cos A A += ．5．在ABC ∆中，已知2AC =，3BC =，4cos 5A =-．（Ⅰ）求sin B 的值； （Ⅱ）求sin 26B π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．解：（Ⅰ）在ABC ∆中，3sin 5A ===，由正弦定理，sin sin BC AC A B =．所以232sin sin 355AC B A BC ==⨯=．（Ⅱ）因为4cos 5A =-，所以角A 为钝角，从而角B 为锐角，于是cos B ===2217cos 22cos 12125B B =-=⨯-=， 2sin 22sin cos 25B B B ==⨯=sin 2sin 2cos cos 2sin 666B B B πππ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭171252=⨯= 6．在ABC ∆中，已知内角A π=3，边BC =．设内角B x =，周长为y ． （1）求函数()y f x =的解析式和定义域；（2）求y 的最大值． 解：（1）ABC ∆的内角和A B C ++=π，由00A B C π=>>3，，得20B π<<3． 应用正弦定理，知sin 4sin sin BC AC B x x A ===，2sin 4sin sin BC AB C x A π⎛⎫==- ⎪3⎝⎭． 因为y AB BC AC =++，所以224sin 4sin 03y x x x ππ⎛⎫⎫=+-+<<⎪⎪3⎝⎭⎭， （2）因为14sin sin 2y x x x ⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭5x x ππππ⎛⎫⎫=++<+< ⎪⎪6666⎝⎭⎭， 所以，当x ππ+=62，即x π=3时，y取得最大值．7．在ABC ∆中，1tan 4A =，3tan 5B =． （Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）若ABC ∆，求最小边的边长．解：（Ⅰ）π()C A B =-+，1345tan tan()113145C A B +∴=-+=-=--⨯．又0πC <<，3π4C ∴=．（Ⅱ）34C =π，AB∴边最大，即AB =．又tan tan 0A B A B π⎛⎫<∈ ⎪2⎝⎭，，，，∴角A 最小，BC 边为最小边．由22sin 1tan cos 4sin cos 1A A A A A ⎧==⎪⎨⎪+=⎩，，且π02A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，得sin A =sin sin AB BC C A =得：sin 2sin A BC AB C== 所以，最小边BC =第9课 解三角形的应用【考点导读】1.运用正余弦定理等知识与方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．2.综合运用三角函数各种知识和方法解决有关问题，深化对三角公式和基础知识的理解，进一步提高三角变换的能力．【基础练习】1．在200m 高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30°，60°，则塔高为_________m ．2．某人朝正东方向走x km 后，向右转150°，然后朝新方向走3km ，结果他离出发点恰好3km ，那么x 的值为_______________ km ． 3．一船以每小时15km 的速度向东航行，船在A B 在北偏东60，行驶4h 后，船到达C 处，看到这个灯塔在北偏东15，这时船与灯塔的距离为km ．4．如图，我炮兵阵地位于A 处，两观察所分别设于B ，D ，已知ABD ∆为边长等于a 的正三角形，当目标出现于C 时，测得45BDC ∠=，75CBD ∠=，求炮击目标的距离AC解：在BCD ∆中，由正弦定理得：sin 60sin 45a BC=︒︒∴BC =在ABC ∆中，由余弦定理得：2222cos AC AB BC AB BC ABC =+-⋅⋅∠∴AC =A BCD第4题23或3 3400AA甲例1（1）答：线段AC． 【范例解析】例 .如图，甲船以每小时海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于1A 处时，乙船位于甲船的北偏西105方向的1B 处，此时两船相距20海里，当甲船航行20分钟到达2A 处时，乙船航行到甲船的北偏西120方向的2B处，此时两船相距海里，问乙船每小时航行多少海里？分析：读懂题意，正确构造三角形，结合正弦定理或余弦定理求解．解法一：如图(2)，连结12A B，由已知22A B =122060A A ==1222A A AB ∴=， 又12218012060A A B =-=∠，122A A B ∴△是等边三角形，1212A B A A ∴==，由已知，1120A B =，1121056045B A B =-=∠， 在121A B B △中，由余弦定理，22212111211122cos 45B B A B A B A B A B =+-2220220=+-⨯⨯200=．12B B ∴=60=（海里/答：乙船每小时航行海里．解法二：如图（3），连结21A B ，AA甲例1（2）AA105甲例1由已知1120A B =，122060A A ==112105B A A =∠， cos105cos(4560)=+cos 45cos 60sin 45sin 60=-=sin105sin(4560)=+sin 45cos 60cos 45sin 60=+=． 在211A A B △中，由余弦定理，22221111211122cos105A B A B A A A B A A =+-2220220=+-⨯100(4=+．2110(1A B ∴=．由正弦定理11121112212(13)2sin sin 10(13)A B A A B B A A A B +===+∠∠， 12145A A B ∴=∠，即121604515B A B =-=∠，2(1cos15sin105+==在122B A B △中，由已知22A B =22212212221222cos15B B AB A B A B AB =+-22210(1210(1=++-⨯⨯200=．12B B ∴=60=（海里/小时）． 答：乙船每小时航行海里．点评：解法二也是构造三角形的一种方法，但计算量大，通过比较二种方法，学生要善于利用条件简化解题过程．【反馈演练】1．江岸边有一炮台高30m45︒和30︒，而且两条船与炮台底部连线成30︒____________m ．2．有一长为1km 的斜坡，它的倾斜角为20︒，现要将倾斜角改为10︒，则坡底要伸长____1___km ．3．某船上的人开始看见灯塔在南偏东30︒方向，后来船沿南偏东60︒方向航行45海__________海里．4．把一根长为30cm 的木条锯成两段，分别作钝角三角形ABC 的两边AB 和BC ，且120ABC ∠=︒，则第三条边____________cm ．5．设)(t f y =是某港口水的深度y （米）关于时间t （时）的函数，其中240≤≤t .下表是该港口某一天经长期观察，函数)(t f y =的图象可以近似地看成函数)sin(ϕω++=t A k y 的图象.下面的函数中,最能近似表示表中数据间对应关系的函数是（ A ）A ．]24,0[,6sin 312∈+=t t y πB ．]24,0[),6sin(312∈++=t t y ππC ．]24,0[,12sin 312∈+=t t y πD ．]24,0[),212sin(312t t y ππ++=。
高考数学复习精讲精练及测试专题 三角函数[附答案]
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专题内容概要三角函数是高中数学的重要内容之一，跨学科应用是它的鲜明特点．在解答复数、立体几何、解析几何问题时，三角函数是常用工具，更是物理学科的基本工具．因此三角函数是历年高考命题必然要涉及的热点内容之一．从1996年～20XX年全国高考理科三角试题的题型、题量和分值的统计表中，我们可以看出：①三角试题的分值在10～28分之间，平均21.5分；②分值虽然有较大波动，且似有下降趋势，1999、2000年分值均接近平均值，但20XX年仅占10分．估计20XX年高考试卷中三角试题的分值仍然会控制在215分上下.从1998年开始，高考中对三角函数的和差化积与积化和差公式不要求记忆．特别当高考命题从知识立意转向能力立意以后，设计以复数、立体几何、解析几何等形式出现，而化归为三角函数问题解答的试题，成为考查跨学科应用能力的主渠道之一（如1999年理科第（6）题和第（20）题，文科第（21）题）．而增大问题情景的抽象性与综合性，以提高对考生能力的考查力度，是命题的另一个显明趋势.故而在首轮复习的基础上，本专题要进一步深化复习：①三角函数的性质与图象；②三角恒等变换；③解三角形的综合问题．复习中应注重强化以下三个能力：①灵活运用三角函数的性质和图象解答三角问题（主要是选择、填空题）的能力；②对三角函数式熟练进行恒等变形的能力以及对三角函数图象熟练进行平移和伸缩变换的能力；③把三角问题、复数、解析几何、立体几何等问题转化为三角恒等变形问题的能力．§1三角函数的性质与图象一、复习要点三角函数的性质（包括三角公式）与图象是解答三角函数问题的知识基础；借助三角函数的图象来理解、掌握、运用三角函数的基本性质，是常用的复习方法．三角函数的周期性、奇偶性、单调性、对称性、值域性质、关系性质（包括相等关系与不等关系）的判定与应用，是本节复习的重点；掌握好图形变换中，三角函数的图象、表达式及其性质的对应变化规律（要求能把这种规律迁移到一般函数理论中），是本节复习的又一重点，也是难点．二、例题讲解例1（1）如果α，β∈（（π／2），π），且ｔｇα＜ｃｔｇβ，那么必有（）．Ａ．α＜βＢ．β＜αＣ．α＋β＜（3／2）πＤ．α＋β＞（3／2）π（1992年高考文科试题）（2）满足ａｒｃｃｏｓ（1－ｘ）≥ａｒｃｃｏｓｘ的取值范围是（）．Ａ．［－1，－（1／2）］Ｂ．［－（1／2），0］Ｃ．［0，（1／2）］Ｄ．［（1／22），1］（1997年高考理科试题）（3）已知点P （ｓｉｎα－ｃｏｓα，ｔｇα）在第一象限，则在［0，2π）内α的取值范围是________. （1998年高考题）讲解：（1）本题要用已知的正切函数ｔｇα与余切函数ｃｔｇβ的大小关系，来推断角α与β的大小关系，回忆与这个问题紧密相关的基础知识与方法，若想到函数的单调性和利用单位圆作直观分析的方法，可理出如下推断方法：图3-1在单位圆的第二象限中，让角α、β沿逆时针方向旋转，则看到：ｔｇα从－∞开始单调递增到0，而ｃｔｇβ从0开始单调递减向－∞；若α与β重合在第二象限的角平分线上，则ｔｇα＝ｃｔｇβ＝－1．立知当α与β在第二象限的上半象限中任意变化，即α，β∈（（π／2），（3π／4））时，总有ｔｇα＜ｃｔｇβ；而α，β∈（（3π／4），π）时，总有ｔｇα＞ｃｔｇβ．从而由α，β∈（（π／2），π），ｔｇα＜ｃｔｇβ，推出π＜α＋β＜（3π／2）．选C ． 若想用解不等式的方法作推断，并在变形中巧用正切倍角公式，又得如下解法： ∵ α，β∈（（π／2），π），tg α＜ctg βｔｇα＜（1／ｔｇβ）ｔｇαｔｇβ＞11－ｔｇαｔｇβ＜0（tg α＋tg β）／tg （α＋β））＜0，∴ ｔｇα＜ｃｔｇβ（ｔｇα＋ｔｇβ）／ｔｇ（α＋β））＜0．∵ ｔｇα＋ｔｇβ＜0，∴ ｔｇ（α＋β）＞0，并推得π＜α＋β＜（3π／2）． 故选C ．若考虑函数的单调性，由ｔｇα＜ｃｔｇβ，得ｔｇα＜ｔｇ（（3／2）π－β）． ∵ α，β∈（（π／2），π），∴ （3／2）π－β∈（（π／2），π）．又ｙ＝ｔｇｘ在（（π／2），π）上是增函数， ∴ α＜（3／2）π－β，故选Ｃ． 此题还可以用极限思想做推断：当（π／2）＜α＜π，（π／2）＜β＜π，且α→（π／2），β→（π／2）时，有tg α→－∞，ctg β→0．∴总有tg α＜ctg β成立．可见A 、B 、D 均不成立，故选C ．（2）本题是关于反余弦函数的简单不等式解集的判定问题．若想利用反余弦函数的图象来分析判定，则先想出或画出草图．由图可知，反余弦函数在定义域［－1，1］上单调递减，所以原不等式等价于1－ｘ≤ｘｘ≥（1／2）（1／2）≤ｘ≤1．－1≤ｘ≤1， 0≤ｘ≤1－1≤1－ｘ≤1故而选Ｄ．图3-2若能注意到，在ｘ轴上x 与1-x 两点关于（1／2）点对称，则由图象立即看出x 的取值范围是（1／2）≤ｘ≤1．若想利用特殊值法判定，则取ｘ＝－（1／2），可排除Ａ、Ｂ；取ｘ＝0，可排除Ｃ．（3）本题的条件是几何型的，而目标却是求变量α的取值范围，所以解答此题，应首先将几何型条件等价转化为不等式或不等式组，然后分析求解得出答案．现分析解答如下． 点P （sin α－ｃｏｓα，ｔｇα）在第一象限ｓｉｎα－ｃｏｓα＞0，ｓｉｎα＞ｃｏｓα， ① ｔｇα＞0 ｔｇα＞0． ②在单位圆中分析易知：满足不等式①的α为第一、三象限角平分线左上方半圆中的角；满足不等式②的α角为第一或第三象限中的角．图3-3故取以上两个α的变化范围所对应的集合与区间［0，2π）的交集，即得α的取值范围是（（π／4），（π／2））∪（π，（5π／4））．例2 把函数ｙ＝ｓｉｎ（ωｘ＋φ）（其中φ为锐角）的图象至少向右平移（π／8）或至少向左平移（3π／8），可使对应的函数成为奇函数．则函数ｙ＝ｓｉｎ（ωｘ＋φ）的一条对称轴为（ ）． Ａ．ｘ＝（π／2） Ｂ．ｘ＝（π／4） Ｃ．ｘ＝－（π／8） Ｄ．ｘ＝（5π／8）讲解：从题目的条件可以发现这样两个信息：第一，此函数的周期为π；第二，平移后函数图象过原点．由前者得ω＝2；图象向右平移（π／8）后对应的函数解析式为ｙ＝ｓｉｎ［2（ｘ－（π／8））＋φ］，由其过原点知ｓｉｎ（φ－（π／4））＝0，又φ为锐角，∴ φ＝（π／4）．至此可得原函数为ｙ＝ｓｉｎ（2ｘ＋（π／4））．再根据此类函数图象的性质：与平衡位置的交点为对称中心，过顶点作x 轴的垂线即为对称轴．经检验当ｘ＝（5π／8）时此函数取最小值，故应选Ｄ． 例3 （1）若函数ｙ＝（1＋ａｓｉｎｘ／2－ｓｉｎｘ）的值域为［0，2］，则ａ的值为_____． （2）设直线ｘｃｏｓθ＋ｙｓｉｎθ－1＝0?（0＜θ＜（π／2））．①求此直线的倾角φ；②求ｆ（φ）＝（ｓｉｎ２2φ／ｃｏｓ3φ－ｃｏｓφ）＋ｓｉｎφ的值域．讲解：（1）对于此类结构式，一定是用ｓｉｎｘ的范围来确定ｙ的范围，途径有两条：一是化部分分式，将变元集中于分母（请独立思考）；二是将ｓｉｎｘ分离出来，用ｓｉｎｘ来反控ｙ的范围：ｓｉｎｘ＝（2ｙ－1）／（ａ＋ｙ），∴｜（2ｙ－1）／（ａ＋ｙ）｜≤1，平方并化简，得3ｙ２－2（ａ＋2）ｙ＋1－ａ２≤0．由条件知此不等式的解为［0，2］，由韦达定理得ａ＝1．（2）①由题意知ｔｇφ＝－（ｃｏｓθ／ｓｉｎθ）＝－ｃｔｇθ＝ｔｇ（（π／2）＋θ），∵0＜θ＜（π／2），∴φ＝（π／2）＋θ．②∵ｆ（φ）＝（ｓｉｎ２2φ／ｃｏｓ3φ－ｃｏｓφ）＋ｓｉｎφ＝（ｓｉｎ２2φ／－2ｓｉｎ2φｓｉｎφ）＋ｓｉｎφ＝（－ｓｉｎ2φ／2ｓｉｎφ）＋sinφ＝ｓｉｎφ－ｃｏｓφ＝2ｓｉｎ（φ－（π／6））＝2ｓｉｎ（θ＋（π／3）），而θ＋（π／3）∈（（π／3），（5π／6）），∴ｆ（φ）∈（1，2］．例4 在△ＡＢＣ中，Ａ、Ｂ、Ｃ为其三个内角，设ｙ＝2＋ｃｏｓＣｃｏｓ（Ａ－Ｂ）－ｃｏｓ2Ｃ．（1）若任意交换Ａ、Ｂ、Ｃ的位置，ｙ的值是否发生变化?证明之；（2）求ｙ的最大值．讲解：（1）ｙ的值是否变化取决于其表达式是否为轮换对称式，为此注意到为使Ａ、Ｂ对称，可将ｃｏｓＣ换为－ｃｏｓ（Ａ＋Ｂ）：ｙ＝2－ｃｏｓ（Ａ＋Ｂ）ｃｏｓ（Ａ－Ｂ）－ｃｏｓ２Ｃ＝2－（1／2）（ｃｏｓ2Ａ＋ｃｏｓ2Ｂ）－（1＋ｃｏｓ2Ｃ／2）＝（3／2）－（1／2）（ｃｏｓ2Ａ＋ｃｏｓ2Ｂ＋ｃｏｓ2Ｃ），故y的值不发生变化．（2）由于变量较多，故应考虑减少变元．方法之一是研究这些变量之间的内在关系，之二是选取主元．对前者，由于三角形的任意性，不易达到目的，对后者较明显的是以C为主元．这时又有两种思维角度：若运用函数思想，将ｙ视为ｃｏｓＣ的二次函数，用配方法ｙ＝－［ｃｏｓＣ－（ｃｏｓ（Ａ－Ｂ）／2）］２＋2＋（ｃｏｓ２（Ａ－Ｂ）／4）．当－［ｃｏｓＣ－（ｃｏｓ（Ａ－Ｂ）／2）］２＝0且ｃｏｓ２（Ａ－Ｂ）＝1同时成立时ｙ取得最大值．这时有Ａ＝Ｂ且Ｃ＝（π／3），即△ＡＢＣ为正三角形时ｙ取最大值（9／4）．若运用方程思想，将原式变形为ｃｏｓ２Ｃ－ｃｏｓ（Ａ－Ｂ）ｃｏｓＣ＋ｙ－2＝0，视此式为关于ｃｏｓＣ的一元二次方程，则Δ＝ｃｏｓ２（Ａ－Ｂ）－4ｙ＋8≥0，即ｙ≤2＋（ｃｏｓ２（Ａ－Ｂ）／4）≤（9／4），取等号的条件与上面相同．从本题可以看出，要善于运用数学的观点、思想、方法分析和思考问题，这是提高解题能力的有效途径．三、专题训练1．函数ｙ＝9－8ｃｏｓｘ－2ｓｉｎ２ｘ的最大值是（）．Ａ．17Ｂ．－1Ｃ．1Ｄ．32．若f（x）·ｓｉｎｘ是周期为π的奇函数，则f（x）可以是（）.A．ｓｉｎｘＢ．ｃｏｓｘＣ．ｓｉｎ2ｘＤ．ｃｏｓ2x3．若ｓｉｎα＞ｔｇα＞ｃｔｇα（-（π／2）＜α＜（π／2）），则α∈（）.A．（-（π／2），-（π／4））B．（-（π／4），0）C．（0，（π／4））D．（（π／4），（π／2））4．设y=f（x）的定义域为［－1，1］，其反函数y=f－１（x）的图象如图3－4．对于f（x）解析式的判定有如下四种：①f（x）=arcsinx;②f（x）=arcsinx+（π／2）;③f（x）=arccos（-x）；④f（x）=π-arccosx.其中错误判定的个数是（）.图3－4A．0B．1C．2D．35．把函数ｙ＝2ｓｉｎ（（1／2）ｘ＋（π／6））的图象向ｙ轴均匀压缩，使图象上所有点的横坐标缩短到原来的（1／3）．则图象所对应函数的最小正周期变为________．6．当ｘ∈（π，（3／2）π）时，ａｒｃｓｉｎ（ｓｉｎｘ）＝________．7．已知点P（sinx，cosx），角θ以OP为终边，且为第二象限角，那么函数y=tgx+tgθ的值域是________.8．设α为锐角，试比较ｓｉｎ2α与ｓｉｎ（α＋（π／4））的大小．9．已知θ∈（0，2π），且ｓｉｎθｃｏｓ2θ＞0，求θ的取值范围．10．设0≤θ≤（π／2），ｆ（θ）＝ｃｏｓθ＋ｓｉｎθ，ｇ（θ）＝ｃｏｓθ－ｓｉｎθ．（1）当θ为何值时，ｆ（θ）有最大值?（2）若ｇ（θ）＝－（8／5），求ｆ（θ）、ｓｉｎθ的值．§ 2 三角恒等变换一、复习要点三角函数式的恒等变换是解答三角函数问题的方法基础．所谓三角式的恒等变换，就是运用有关概念和公式把给定的三角式化为另一等价形式．同一式子的不同形状，可以暴露式子的不同整体性质，我们对式子作恒等变换的目的，就是要把我们所需的整体性质显现出来．对式子的一次变形常常不能得到所需形状，须经过数次变形转化，才能达到目的．如何选择变形起步点?如何一步一步把给定式子转化为所需形状?通过对例题及训练题的分析，总结归纳出思维规律来，这是本节复习的重难点；本节复习的另一重点是，如何把一个三角函数问题化归为三角式的恒等变形问题．三角式的化简、求值问题，是训练三角恒等变换的基本题型．求三角函数的最小正周期、求三角函数最值、证明三角恒等式、解证三角方程或三角不等式问题，一般都要借助三角恒等变换而完成．联想三角公式与基本题型，并把二者与方程、不等式观点综合运用，这是运用三角恒等变换解答三角函数问题的思维关键．例1 （1）函数ｙ＝2ｓｉｎｘｃｏｓｘ＋2ｃｏｓ２ｘ的最小正周期是（）；Ａ．（π／2）Ｂ．πＣ．2πＤ．4π（2）函数y=2sinxsin2x的最大值是（）；A．（64／27）B．（8／9）C．2D．（／2）（3）若（1／cosθ）-（1／sinθ）=1，则sin2θ的值等于_________.讲解：（1）本题是判定一个较复杂三角函数的最小正周期问题．联想与此问题有关的基础知识与方法，想起我们会求角为ωｘ＋φ的基本三角函数的最小正周期，自然产生这样一个解题念头：希望运用三角公式和概念把原函数式变形为ｙ＝Ａｓｉｎ（ωｘ＋φ）＋Ｂ（或ｙ＝Ａ·ｃｏｓ（ωｘ＋φ）＋Ｂ）的形式，然后用熟知方法求出最小正周期．在这一思路指导下，着重观察已知三角函数式的结构特点，朝着既定目标方向，发现用倍角公式与和角公式能完成变形工作，得解法如下：ｙ＝2ｓｉｎｘｃｏｓｘ+2ｃｏｓ２ｘ＝ｓｉｎ2ｘ＋ｃｏｓ2ｘ＋1＝2ｓｉｎ（2ｘ＋（π／6））＋1，∴Ｔ＝（2π／2）＝π，故选B．（2）本题是一道无附加条件的最值问题.回忆求三角函数最值的基本模型方法，想到用三角恒等变换向基本模型转化，但转化方向一下看不透，应在变形过程中逐步明朗化．首先想到应用倍角公式，把原式化为y=4sin２xcosx，接着思考第二步变形．想法一：希望把原式化为y=Asin（ωx+φ）＋Ｂ的形式；想法二：希望把原式化为二次函数模型．这两种转化思维均受阻以后，应重新深入分析y=4sin２xcosx的结构特点，从中找出转化的新出路．注意到y的最大值应在cosx＞0时取得，因此：①y=4sin２xcosx可视为正变量的乘积，所以y与y２＝16sin４xcos２x同时取得最大值；②由y２的表达形式与sin２x+cos２x=1，联想到均值不等式，产生出想用均值不等式实施转化的思维方向——设法把式子变形为能用均值不等式求最值的形式．构思后，可得如下解法：当cosx＞0时，当且仅当sin２x=2cos２x，即cos２x=（1／3）时，等号成立．故选B．（3）这是一道填空题.条件为：sinθ与cosθ满足的一个方程式；目标为：求sin2θ的值．由目标首先联想到正弦倍角公式，得sin2θ＝2ｓｉｎθ·cosθ，看到了目标与条件的内在联系，萌发出解题的方程观点，想到由方程组（1／ｃｏｓθ）－（1／ｓｉｎθ）＝1，求出sin2θ.ｓｉｎ２θ＋ｃｏｓ２θ＝1，细思考感觉，先求出sinθ与cosθ的方法比较繁，暂不采取．转而思考：能否对条件中的方程式实施三角恒等变换，产生出关于sin2θ的方程而求得其值．朝着这一既定方向，运用三角恒等变换和解方程的方法，便可获得如下两种解法：解法1（1／ｃｏｓθ）－（1／ｓｉｎθ）＝1（（1／ｃｏｓθ）－（1／ｓｉｎθ））２＝11／ｃｏｓ２θ）－（2／ｓｉｎθｃｏｓθ）＋（1／ｓｉｎ２θ）＝1（1／ｓｉｎ２θcos２θ）－（2／ｓｉｎθｃｏｓθ）＝1，即（1／ｓｉｎθｃｏｓθ）２－2（1／ｓｉｎθｃｏｓθ）－1＝0．解得（1／ｓｉｎθｃｏｓθ）＝1±．又由|ｓｉｎθｃｏｓθ|≤1｜（1／ｓｉｎθｃｏｓθ）｜≥1，（1／ｓｉｎθｃｏｓθ）＝1＋，∴ｓｉｎθｃｏｓθ＝－1．故ｓｉｎ2θ＝2（－1）．解法2（1／ｃｏｓθ）－（1／ｓｉｎθ）＝1ｓｉｎθ－ｃｏｓθ＝sinθｃｏｓθ1－2（ｓｉｎθ－ｃｏｓθ）＝1－2ｓｉｎθｃｏｓθ＝（ｓｉｎθ－ｃｏｓθ）２，即（sinθ－ｃｏｓθ）２＋2（ｓｉｎθ－ｃｏｓθ）－1＝0．解得sinθ－ｃｏｓθ＝－1±．又因｜ｓｉｎθ－ｃｏｓθ｜＝｜ｓｉｎθｃｏｓθ｜≤1，ｓｉｎθ－ｃｏｓθ＝－1．故ｓｉｎ2θ＝2ｓｉｎθｃｏｓθ＝2（ｓｉｎθ－ｃｏｓθ）＝2（－1）．例2 （1）计算ctg10°－4ｃｏｓ10°的值;（2）化简ｓｉｎ２α＋ｓｉｎ２β＋2ｓｉｎαｓｉｎβ·ｃｏｓ（α＋β）．讲解：（1）本题是具体角的两个基本三角函数求差，形状虽简单，但两项角度均非特殊角，其倍、半角也非特殊角，也不能分拆为含特殊角的和或差，所以既无法分别求得其值，又不能用拆分角的方法，通过展开、抵消、合并得出结果．这种情况下，一个有效的策略思想是，先设法将两项分散的信息聚笼贯通，希望从中能看到“某种整体特殊性”或“内在联系”，在这一思想下，想到从“切化弦”并通分入手，得ｃｔｇ10°－4ｃｏｓ10°＝（ｃｏｓ10°／ｓｉｎ10°）－4ｃｏｓ10°＝（ｃｏｓ10°－4ｃｏｓ10°ｓｉｎ10°／ｓｉｎ10°）．分子中第二项能用倍角公式将角扩大，出现一新角，得（ｃｏｓ10°－2ｓｉｎ20°／ｓｉｎ10°）．思路1．经观察可见，分子中两项的角度之和恰为特殊角30°，且分母的角度与分子中第一项的角度均为10°，由这种关系想到拆角法：20°＝30°－10°，得（ｃｏｓ10°－2ｓｉｎ（30°－10°）／ｓｉｎ10°）＝（ｃｏｓ10°－2［（1／2）ｃｏｓ10°－（／2）ｓｉｎ10°］／ｓｉｎ10°＝（ｓｉｎ10°）／ｓｉｎ10°．至此求解思路已贯通．整理以上分析，得出解答如下：原式＝（ｃｏｓ10°／ｓｉｎ10°）－4ｃｏｓ10°＝（ｃｏｓ10°－2ｓｉｎ20°）／ｓｉｎ10°＝（ｃｏｓ10°－2ｓｉｎ（30°－10°））／ｓｉｎ10°＝（ｃｏｓ10°－2［（1／2）ｃｏｓ10°－（／2）ｓｉｎ10°］／ｓｉｎ10°）＝．思路2．注意到分式化简的基本思想是对分子、分母因式分解，再行约分，而ｃｏｓ10°与2ｓｉｎ20°的系数不同，不便于化积，加之化为同名（ｓｉｎ80°与ｓｉｎ20°）后两角之差的一半为30°，想到拆项处理：（ｃｏｓ10°－2ｓｉｎ20°）／ｓｉｎ10°＝（ｓｉｎ80°－ｓｉｎ20°－ｓｉｎ20°）／ｓｉｎ10°＝（2ｃｏｓ50°ｓｉｎ30°－ｓｉｎ20°）／ｓｉｎ10°＝（ｃｏｓ50°－ｃｏｓ70°）／ｓｉｎ10°）＝（2ｓｉｎ60°ｓｉｎ10°）／ｓｉｎ10°＝．（2）这是一道二元三角多项式的化简问题．从式子各项中含基本三角函数的名称、幂次、角度及其组合关系看式子的结构特点：第三项比前两项角度复杂，组合关系复杂，而前两项为单角正弦的平方，幂次具有特殊性．由此可以产生出如下三个变形方向：①从分解较复杂的第三项入手，先把和角的三角函数化为单角的三角函数，从角度和幂次方面把第三项向前两项靠拢；②从分解较复杂的第三项入手，先把单角化为和差角，并从角度和幂次方面把第三项向前两项靠拢；③从前两项幂次的特殊性入手，先降幂，再从角度方面向第三项靠拢．若选定第一方向，则先用和角公式展开第三因子，得ｓｉｎ２α＋ｓｉｎ２β＋2ｓｉｎαｓｉｎβ［ｃｏｓαｃｏｓβ－ｓｉｎαｓｉｎβ］＝ｓｉｎ２α＋ｓｉｎ２β＋2ｓｉｎαｓｉｎβｃｏｓαｃｏｓβ－2ｓｉｎ２αｓｉｎ２β．看到第四项与前两项已经相通，拆开第四项与前两项分别合并，得ｓｉｎ２α（1－ｓｉｎ２β）＋ｓｉｎ２β（1－ｓｉｎ２α）＋2ｓｉｎαｓｉｎβｃｏｓαｃｏｓβ＝ｓｉｎ２αｃｏｓ２β＋ｓｉｎ２βｃｏｓ２α＋2ｓｉｎαｓｉｎβｃｏｓαｃｏｓβ．仔细观察发现：式子整体已呈现出两数和的平方展开式的形状，即式子的各部分用两数和的平方公式能贯通为一个整体：（ｓｉｎαｃｏｓβ＋ｃｏｓαｓｉｎβ）２．再用正弦和角公式，立得化简出结果：ｓｉｎ２（α＋β）．整理以上变形过程，得出解法一如下：原式＝ｓｉｎ２α＋ｓｉｎ２β＋2ｓｉｎαｓｉｎβ［ｃｏｓαｃｏｓβ－ｓｉｎαｓｉｎβ］＝ｓｉｎ２α（1－ｓｉｎ２β）＋ｓｉｎ２β（1－ｓｉｎ２α）＋2ｓｉｎαｓｉｎβｃｏｓαｃｏｓβ＝ｓｉｎ2αｃｏｓ2β＋ｃｏｓ2αｓｉｎ2β＋2ｓｉｎαｓｉｎβｃｏｓαｃｏｓβ＝（ｓｉｎαｃｏｓβ＋ｃｏｓαｓｉｎβ）２＝ｓｉｎ２（α＋β）．若选定第二变形方向，并在变形中运用积化和差公式，可得解法二如下：原式＝ｓｉｎ２α＋ｓｉｎ２β＋［ｃｏｓ（α－β）－ｃｏｓ（α＋β）］·ｃｏｓ（α＋β）＝ｓｉｎ２α＋ｓｉｎ２β＋ｃｏｓ（α－β）ｃｏｓ（α＋β）－ｃｏｓ２（α＋β）＝ｓｉｎ２α＋ｓｉｎ２β＋（1／2）（ｃｏｓ2α＋ｃｏｓ2β）－ｃｏｓ２（α＋β）＝ｓｉｎ２α＋ｓｉｎ２β＋（1／2）（1－2ｓｉｎ２α＋1－ｓｉｎ２β）－ｃｏｓ２（α＋β）＝1－ｃｏｓ２（α＋β）＝ｓｉｎ２（α＋β）．若选定第三变形方向，并在变形中运用和差化积公式，可得解法三如下：原式＝1－（1／2）（ｃｏｓ2α＋ｃｏｓ2β）＋2ｓｉｎαｓｉｎβｃｏｓ（α＋β）＝1－ｃｏｓ（α＋β）ｃｏｓ（α－β）＋2ｓｉｎαｓｉｎβｃｏｓ（α＋β）＝1－ｃｏｓ（α＋β）［ｃｏｓ（α－β）－2ｓｉｎαｓｉｎβ］＝1－ｃｏｓ（α＋β）［ｃｏｓαｃｏｓβ－ｓｉｎαｓｉｎβ］＝1－ｃｏｓ２（α＋β）＝ｓｉｎ２（α＋β）．例3（1）求（1＋ｔｇ7°＋ｔｇ8°－ｔｇ7°ｔｇ8°／1－ｔｇ7°－ｔｇ8°－ｔｇ7°ｔｇ8°）的值；（2）若ｔｇθ、ｃｔｇθ是方程2ｘ２－2ｋｘ＝3－ｋ２的两个实根，且π＜θ＜（5π／4），求ｃｏｓθ－ｓｉｎθ的值．讲解：（1）从表达式中含有ｔｇ7°＋ｔｇ8°和ｔｇ7°ｔｇ8°能想到什么呢?在ｔｇ（7°＋8°）的展式中将会出现这样的式子!于是想到思路：ｔｇ15°＝（ｔｇ7°＋ｔｇ8°）／（1－ｔｇ7°ｔｇ8°）．故原式＝[（1＋ｔｇ15°（1－ｔｇ7°ｔｇ8°）－ｔｇ7°ｔｇ8°]／[[1－ｔｇ15°（1－ｔｇ7°ｔｇ8°）－ｔｇ7°ｔｇ8°）]＝[（1＋ｔｇ15°）（1－ｔｇ7°ｔｇ8°）]／（1－ｔｇ15°）（1－ｔｇ7°ｔｇ8°））＝（1＋ｔｇ15°）／（1－ｔｇ15°）＝ｔｇ（45°＋15°）＝．本题中运用的结构联想的思维方法在数学解题中是十分重要的．（2）由这样的条件想到韦达定理是很自然的：ｔｇθ＋ｃｔｇθ＝ｋ，ｔｇθ·ｃｔｇθ＝（1／2）（ｋ２－3）＝1，ｋ２＝5，ｋ＝±．对吗?注意θ的范围！由此应有ｋ＝．由于ｋ的确定，不难求出ｔｇθ＝（－1）／2（也要注意由θ的范围，0＜ｔｇθ＜1），∴（ｃｏｓθ－ｓｉｎθ）２＝1－ｓｉｎ2θ＝1－（2ｔｇθ／1＋ｔｇ２θ）＝（1／5）（5－2）．又∵ｃｏｓθ＜ｓｉｎθ，∴ｃｏｓθ－ｓｉｎθ＝－．（本题也可由ｔｇθ＋ｃｔｇθ＝后直接变形得ｓｉｎθｃｏｓθ＝（1／）代入上式）例4设ａｓｉｎｘ＋ｂｃｏｓｘ＝0，Ａｓｉｎ2ｘ＋Ｂｃｏｓ2ｘ＝Ｃ（ａ，ｂ不同时为0）．证明：2Ａａｂ＋（ｂ２－ａ２）Ｂ＋（ａ２＋ｂ２）Ｃ＝0．讲解：本题要证明的是一个条件等式，其条件可看成关于ｘ的两个三角方程组成的方程组．可由前式解出ｘ再代入后式得出求证不等式．但ｘ不是特殊角，这样做计算量大，不可取．若由前式分别求出ｓｉｎｘ和ｃｏｓｘ再代入后式也可以，但求ｓｉｎｘ、ｃｏｓｘ时涉及到符号问题，这样处理也很麻烦．运用思维模块对ａｓｉｎｘ＋ｂｃｏｓｘ进行变形：ａｓｉｎｘ＋ｂｃｏｓｘ＝（（ａ／）ｓｉｎｘ＋（ｂ／）ｃｏｓｘ）．令ｓｉｎｙ＝－（ｂ／），ｃｏｓｙ＝（ａ／），则ｓｉｎ（ｘ－ｙ）＝0，由此得ｘ＝ｙ＋ｋπ（ｋ∈Ｚ），并求出ｃｏｓ2ｘ和ｓｉｎ2ｘ的值（ｃｏｓ2ｘ＝ｃｏｓ2（ｙ＋ｋπ）＝ｃｏｓ2ｙ＝2ｃｏｓ２ｙ－1＝…）代入后式即可得求证的结论．如果联想到ｓｉｎ2ｘ、ｃｏｓ2ｘ与ｔｇｘ的关系，可由前式求得ｔｇｘ＝（ｂ／ａ）（ａ＝0时另证），用万能公式求得ｓｉｎ2ｘ、ｃｏｓ2ｘ后代入后式也可得证．三、专题训练1．已知ｃｏｓ78°约等于0．20，那么ｓｉｎ66°约等于（）．A．0．92B．0．85C．0．88D．0．952．复数z=ｃｏｓ2＋i的模为（）．A．-cos2B．-cos2C．cos2D．cos23．函数ｙ＝｜ｓｉｎｘ｜＋｜ｃｏｓｘ｜的最小正周期是（）．Ａ．（π／4）Ｂ．（π／2）Ｃ．πＤ．2π4．设（1－ｔｇα）／（1＋ｔｇα）＝3－2，则ｓｉｎ2α的值是（）．Ａ．（／2）Ｂ．（2／3）Ｃ．（3／4）Ｄ．（3／8）5．化简（ｓｉｎ（α／2）＋ｃｏｓ（α＋β／2）ｓｉｎ（β／2）／ｃｏｓ（α／2）－ｓｉｎ（α＋β）／2ｓｉｎ（β／2）），得______________．6．已知α、β为锐角，2ｔｇ（α＋3）ｓｉｎβ＝7，ｔｇα－6ｓｉｎβ＝1，则ｓｉｎα＝________．7．已知ｃｔｇα＝2，ｔｇ（α－β）＝－（2／3），则ｔｇ（β－2α）＝______________．8．求下列三角式的值：（1）ｓｉｎ80°ｃｔｇ20°（ｔｇ20°－1）；（2）ｓｉｎ（60°－（α／2））ｃｏｓ（30°－（α／2））·（ｓｉｎ（α／2）／ｓｉｎ（3α／2））．9．（1）化简：（1＋ｓｉｎα／ｃｔｇ（α／2）－ｔｇ（α／2）［（3ｃｏｓα／2ｃｏｓ2（（π／4）－（α／2）））－2ｔｇ（（π／4）－（α／2）］；（2）证明：2sin4x+（3／4）sin22x+5cos4x-cos3xcosx=2（1+cos2x）.10．已知α、β、γ为锐角，ｔｇ（α／2）＝ｔｇ3（γ／2），2ｔｇβ＝ｔｇγ，求证：α，β，γ成等差数列．§ 3 解三角形的综合问题一、复习要点本节复习的重点是：如何把三角形内角和定理、正弦定理、余弦定理、勾股定理及面积公式与其他三角函数公式配合运用，解答三角形的综合问题.这类试题在历年高考中时有出现．把方程观点和三角式的恒等变形方法结合运用，是解答这类问题的策略之一．把边和角的已知关系式相互转化，是解答这类问题的策略之二．巧用内角和定理，是解答这类问题的策略之三．例如，ｓｉｎ（Ｂ＋Ｃ）＝ｓｉｎＡ，ｃｏｓ（Ｂ＋Ｃ）＝－ｃｏｓＡ，ｓｉｎ（Ｂ＋Ｃ）／2＝ｃｏｓ（Ａ／2），ｃｏｓ（Ｂ＋Ｃ）／2＝ｓｉｎ（Ａ／2），ｔｇ（Ｂ＋Ｃ）／2＝ｃｔｇ（Ａ／2）等．二、例题讲解例1 （1）在△ＡＢＣ中，Ａ＝（π／3），求证ｂ＋ｃ≤2ａ；（2）在△ＡＢC中，ａ，ｂ，ｃ成等差数列，求证B≤60°．讲解：（1）本题是由三角形角的一种特殊性，推证边的一种大小关系.要完成证明，应先吃透条件，寻找沟通目标与条件的渠道．由Ａ＝（π／3）Ｂ＋Ｃ＝（2／3）π，Ａ＝（Ｂ＋Ｃ）／2；根据目标不等式的形状，想到用正弦定理可把目标与条件沟通，即用正弦定理可把边的不等式转化为关于角的不等式，从而与条件相衔接，分析归纳后得证法如下：由正弦定理和Ａ＝（π／3），A+B+C＝π推知ｂ＋ｃ≤2ａｓｉｎＢ＋ｓｉｎＣ≤2ｓｉｎＡｓｉｎ（（2π／3）－Ｃ）＋ｓｉｎＣ≤（／2）ｃｏｓＣ＋（3／2）ｓｉｎＣ≤ｃｏｓＣ＋ｓｉｎＣ≤22ｓｉｎ（Ｃ＋（π／6））≤2ｓｉｎ（Ｃ＋（π／6））≤1．最后一不等式是显然成立的，故有ｂ＋ｃ≤2ａ．（2）本题是由三角形边的一种特殊关系，推证角的一种大小关系问题.先理解条件ａ，ｂ，ｃ成等差数列，即2ｂ＝ａ＋ｃ；再寻找目标与条件的联系：由于目标不等式是三角形一个内角的变化范围，故用余弦定理能把目标与条件联系起来．得证法如下：∵ａ，ｂ，ｃ成等差数列，∴2ｂ＝ａ＋ｃ，且由余弦定理，得ｃｏｓＢ＝（ａ２＋ｃ２－ｂ２）／（2ａｃ）＝（ａ２＋ｃ２－（（ａ＋ｃ）／2）２／（2ａｃ）＝（3（ａ２＋ｃ２）－2ａｃ／8ａｃ）（6ａｃ－2ａｃ／8ａｃ）＝（1／2）＝ｃｏｓ60°．又0＜Ｂ＜π，且余弦函数在区间［0，π］上单调递减，故得Ｂ≤60°．例2在△ABC中，若（sin２Ａ＋ｓｉｎ２Ｂ－ｓｉｎ２Ｃ）／（ｓｉｎ２Ａ－ｓｉｎ２Ｂ＋ｓｉｎ２Ｃ）＝（1＋ｃｏｓ2Ｃ）／（1＋ｃｏｓ2Ｂ），试证明△ABC为等腰三角形或直角三角形；讲解：思路1．要证明三角形为等腰三角形，须由条件推得两边相等或两角相等；要证明三角形为直角三角形，须由条件推得三边满足勾股关系或一角等于90°．这就需要运用恒等变形的方法和方程观点对条件等式进行转化．注意到条件等式右端若用二倍角公式，条件即化为更均称的形式（ｓｉｎ２Ａ＋ｓｉｎ２Ｂ－ｓｉｎ２Ｃ）／（ｓｉｎ２Ａ－ｓｉｎ２Ｂ＋ｓｉｎ２Ｃ）＝（ｃｏｓ２Ｃ／ｃｏｓ２Ｂ）．观察此式，易从左端想到正弦定理，而从右端想到余弦定理；左右两端分别用正余弦定理变形，即可以从边的关系方面把左右两端沟通，有希望解出勾股关系或边的相等关系．进一步分析后，得证法如下：根据二倍角公式，由条件得（ｓｉｎ２Ａ＋ｓｉｎ２Ｂ－ｓｉｎ２Ｃ）／（ｓｉｎ２Ａ－ｓｉｎ２Ｂ＋ｓｉｎ２Ｃ）＝（ｃｏｓ２Ｃ／ｃｏｓ２Ｂ）．等式左右两端分别用正、余弦定理，得（ａ２＋ｂ２－ｃ２／ａ２－ｂ２＋ｃ２）＝（（（ａ２＋ｂ２－ｃ２／2ａｂ））２／（（ａ２＋ｃ２－ｂ２／2ａｃ））２）＝（（ａ２＋ｂ２－ｃ２／ａ２－ｂ２＋ｃ２））２·（ｃ２／ｂ２），∴（ａ２＋ｂ２－ｃ２）／（ａ２－ｂ２＋ｃ２）（ａ２＋ｂ２－ｃ２）／（ａ２－ｂ２＋ｃ２）·（ｃ２／ｂ２）－1）＝0．由（ａ２＋ｂ２－ｃ２）／（ａ２－ｂ２＋ｃ２）＝0，得ａ２＋ｂ２＝ｃ２；由（ａ２＋ｂ２－ｃ２）／（ａ２－ｂ２＋ｃ２）·（ｃ２／ｂ２）－1＝0，得ａ２ｃ２＋ｂ２ｃ２－ｃ４＝ａ２ｂ２－ｂ４＋ｂ２ｃ２，即（ｃ２－ｂ２）（ｂ２＋ｃ２－ａ２）＝0．∴ｂ＝ｃ或ｂ２＋ｃ２＝ａ２．故三角形为等腰三角形或直角三角形．思路2．变换到（ｓｉｎ２Ａ＋ｓｉｎ２Ｂ－ｓｉｎ２Ｃ）／（ｓｉｎ２Ａ－ｓｉｎ２Ｂ＋ｓｉｎ２Ｃ）＝（ｃｏｓ２Ｃ／ｃｏｓ２Ｂ）时，左端用正弦定理即为（ａ２＋ｂ２－ｃ２）／（ａ２＋ｃ２－ｂ２），而此表达式的形式又容易使我们想到余弦定理ａ２＋ｂ２－ｃ２＝2ａｂｃｏｓＣ，ａ２＋ｃ２－ｂ２＝2ａｃｃｏｓＢ，故而此式＝（ｂｃｏｓＣ）／（ｃｃｏｓＢ）＝（ｓｉｎＢｃｏｓＣ）／（ｓｉｎＣｃｏｓＢ），从而有（ｃｏｓ２Ｃ）／ｃｏｓ２Ｂ）＝（ｓｉｎＢｃｏｓＣ）／（ｓｉｎＣｃｏｓＢ），（ｃｏｓＣ／ｃｏｓＢ）＝（ｓｉｎＢ／ｓｉｎＣ），即ｓｉｎ2Ｂ＝ｓｉｎ2Ｃ，2Ｂ＝2Ｃ或2Ｂ＝π－2Ｃ，即Ｂ＝Ｃ或Ｂ＋Ｃ＝（π／2）．可知此三角形为等腰三角形或直角三角形．例3 已知△ＡＢＣ的三个内角A、B、C满足Ａ＋Ｃ＝2Ｂ，（1／ｃｏｓＡ）＋（1／ｃｏｓＣ）＝－（／ｃｏｓＢ）．求ｃｏｓ（Ａ－Ｃ）／2）的值．（1996年高考题）讲解：这是一道三角形中的条件求值问题．根据题目的条件与目标结构特点，解答本题的基本想法可以是：将其他已知条件代入条件方程式（1／ｃｏｓＡ）＋（1／ｃｏｓＣ）＝－（／ｃｏｓＢ），然后运用恒等变形方法和方程观点进行转化，从中解出目标ｃｏｓ（Ａ－Ｃ）／2来．由△ＡＢＣ中，Ａ＋Ｃ＝2ＢＢ＝60°，Ａ＋Ｃ＝120°；代入条件方程式，整理，得ｃｏｓＡ＋ｃｏｓＣ＝－2ｃｏｓＡｃｏｓＣ．观察并朝着目标方向思考，想到用和差化积公式可把方程左端转化为2ｃｏｓ（Ａ＋Ｃ）／2·ｃｏｓ（Ａ－Ｃ）／2，目标出现了，而右端用积化和差公式可转化为－［ｃｏｓ（Ａ＋Ｃ）＋ｃｏｓ（Ａ－Ｃ）］；且二倍角公式能把左边ｃｏｓ（Ａ－Ｃ）／2与右边ｃｏｓ（Ａ－Ｃ）相沟通，又左边ｃｏｓ（Ａ＋Ｃ）／2与右边ｃｏｓ（Ａ＋Ｃ）能求出，故ｃｏｓ（Ａ－Ｃ）／2可由解二次方程求出.整理得解法如下：由题设条件知，Ｂ＝60°，Ａ＋Ｃ＝120°．∵（－／ｃｏｓＢ）＝－2，（1／ｃｏｓＡ）＋（1／ｃｏｓＣ）＝－2．将上式化为ｃｏｓＡ＋ｃｏｓＣ＝－2ｃｏｓＡｃｏｓＣ．利用和差化积及积化和差公式，上式化为2ｃｏｓ（Ａ＋Ｃ）／2ｃｏｓ（Ａ－Ｃ）／2＝－［ｃｏｓ（Ａ＋Ｃ）＋ｃｏｓ（Ａ－Ｃ）］．将ｃｏｓ（Ａ＋Ｃ）／2＝ｃｏｓ60°＝（1/2），ｃｏｓ（Ａ＋Ｂ）＝－（1／2）代入上式，得ｃｏｓ（Ａ－Ｃ）／2＝（／2）－ｃｏｓ（Ａ－Ｃ）．将ｃｏｓ（Ａ－Ｃ）＝2ｃｏｓ2[（Ａ－Ｃ）／2]－1代入上式并整理，得4ｃｏｓ２（Ａ－Ｃ）／2＋2ｃｏｓ（Ａ－Ｃ）／2－3＝0，（2ｃｏｓ（Ａ－Ｃ）／2－）（2ｃｏｓ（Ａ－Ｃ）／2＋3）＝0，∵2ｃｏｓ（Ａ－Ｃ）／2＋3≠0，∴2ｃｏｓ（Ａ－Ｃ）／2－＝0．从而得ｃｏｓ（Ａ－Ｃ）／2＝／2．若运用变量替换法，还可以有如下解法：由题设条件知Ｂ＝60°，Ａ＋Ｃ＝120°．设α＝（Ａ－Ｃ）／2，则A－Ｃ＝2α，可得Ａ＝60°＋α，Ｃ＝60°－α．∴（1／ｃｏｓＡ）＋（1／ｃｏｓＣ）＝－（／ｃｏｓＢ）化为ｃｏｓ（60°＋α）＋ｃｏｓ（60°－α）＝－2ｃｏｓ（60°＋α）ｃｏｓ（60°－α）．又ｃｏｓ（60°＋α）＝（1／2）ｃｏｓα－（／2）ｓｉｎα，ｃｏｓ（60°－α）＝（1／2）ｃｏｓα＋（／2）ｓｉｎα，ｃｏｓ（60°＋α）ｃｏｓ（60°－α）＝（1／4）ｃｏｓ２α－（3／4）ｓｉｎ２α＝ｃｏｓ２α－（3／4），代入上式并整理，得4ｃｏｓ２α＋2ｃｏｓα－3＝0，（2ｃｏｓα－）（2ｃｏｓα＋3）＝0．∵2ｃｏｓα＋3≠0，∴2ｃｏｓα－＝0．故ｃｏｓ（Ａ－Ｃ）／2＝ｃｏｓα＝（／2）．三、专题训练1．若x为三角形中的最小内角，则函数y=sinx+cosx的值域是（）．A．（0，（／2））B．（1，］C．［（1／2），（／2）］D．（（1／2），（／2）］2．△ABC中，cos2Ａ＜cos2Ｂ是Ａ＞B的（）．A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件3．等腰三角形腰长为2，底边的中点到腰的距离为（／2），则三角形外接圆半径为（）．Ａ．（2／3）Ｂ．4Ｃ．2或（2／）Ｄ．4或（4／3）4．设1＜ｔ＜（／2），在△ＡＢＣ中，Ｃ＝（π／2），ａ＋ｂ＝ｔｃ，则｜Ａ－Ｂ｜的变化范围是区间（）．Ａ．（0，（π／3））Ｂ．（（π／4），（π／3））Ｃ．（（π／3），（π／2））Ｄ．（0，（π／2））5．操场上有一旗杆OP（如图3-5），为了测得它的高度ｈ，在地面上取一基线ＡＢ＝20米，在A处测得P点的仰角∠ＯＡＰ＝30°，在B处测得P点的仰角∠ＯＢＰ＝45°，又测得∠ＡＯＢ＝150°，则旗杆的高ｈ＝________米．图3-56．如图3-6所示，货轮在海上以40km/小时的速度沿着方位角（从指正北方向顺时针转到目标方向线的水平角）为140°的方向航行，为了确定船位，在B点观测灯塔A的方位角为110°，航行半小时后到达C点，观测灯塔A的方位角是65°，则货轮到达C点与灯塔A的距离是________km（结果可以保留根号）．图3-67．设△ＡＢC中角A、B、C所对边长分别为ａ、ｂ、ｃ，关于直线ｘｓｉｎＡ＋ａｙ＋ｃ＝0与ｂｘ＋ｙｓｉｎＢ＋ｓｉｎＣ＝0的位置关系有以下四个判定：①可以是相互平行的位置关系；②可以是重合的位置关系；③可以是相互垂直的位置关系；④一定是相交但不垂直的位置关系．其中正确判定的序号是________．（把你认为正确判定的序号都填上）8．在Ｒｔ△ＡＢＣ中，C＝90°，ｒ、Ｒ分别是三角形内切圆半径和外接圆半径，求（ｒ／Ｒ）的最大值．9．已知△ＡＢC的三内角A，B，C成等差数列，公差为θ，又（1／ｓｉｎ2Ａ），（1／ｓｉｎ2Ｂ），（1／ｓｉｎ2Ｃ）也成等差数列，求ｃｏｓθ．10．锐角△ＡＢＣ中，2ｔｇＢ＝ｔｇＡ＋ｔｇＣ，且函数ｆ（ｘ）满足ｆ（ｃｏｓ2Ｃ）＝ｃｏｓ（Ｂ＋Ｃ－Ａ）．（1）求ｔｇＡｔｇＣ的值；（2）求ｆ（ｘ）的表达式．专题能力测试一、选择题1．ω是正实数，函数f（x）=2sinωx在［-（π／3），（π／4）］上递增，那么（）．Ａ．0＜ω≤（3／2）Ｂ．0＜ω≤2Ｃ．0＜ω≤（24／7）Ｄ．ω≥22．ａｒｃｓｉｎ（ｃｏｓ（5π／4））的值是（）．A．－（π／4）Ｂ．（3π／4）Ｃ．（π／4）Ｄ．－（3π／4）3．若函数ｆ（ｘ）＝ａｓｉｎ（ａｘ）＋ａｃｏｓ（ａｘ）（ａ＞0）的最大值是2，则ｆ（ｘ）的最小正周期为（）．Ａ．（π／4）Ｂ．（π／2）Ｃ．πＤ．2π4．函数ｆ（ｘ）＝Ｍｓｉｎ（ωｘ＋φ）（ω＞0）在区间［ａ，ｂ］上是增函数，且ｆ（ａ）＝－Ｍ，ｆ（ｂ）＝Ｍ，则函数ｇ（ｘ）＝Ｍｃｏｓ（ωｘ＋φ）在区间［ａ，ｂ］上（）．Ａ．是增函数B．是减函数C．可取得最大值MＤ．可取得最小值－Ｍ5．如果函数y=f（x）满足f（-x）=-f（x），且有f（x+（π／2））=-f（x），那么f（x）的解析式可以是（）．A．tg（x+π）B．sin（x+π）C．sin2xD.cos2x6．已知sinα＞sinβ，那么下列命题成立的是（）．A．若α、β是第一象限角，则cosα＞cosβB．若α、β是第二象限角，则tgα＞tgβC．若α、β是第三象限角，则cosα＞cosβD．若α、β是第四象限角，则tgα＞tgβ7．函数y=-xcosx 的部分图象是（）．A．B．C．D．图3-78．已知奇函数f（x）在［－1，0］上为单调减函数，又α、β为锐角三角形两内角，则（）．A．f（cosα）＞f（cosβ）B．f（sinα）＞f（sinβ）C．f（sinα）＞f（cosβ）Ｄ．f（sinα）＜f（cosβ）9．下列命题中正确的一个是（）．Ａ．函数ｙ＝ｃｏｓｘ（ｘ∈［0，2π］）是一个偶函数Ｂ．函数ｙ＝ｓｉｎ（ｘ＋（π／4））在第一象限内是增函数Ｃ．函数ｙ＝｜ｔｇｘ｜的最小正周期是πＤ．函数ｙ＝（1／ｓｉｎｘ）的值域是［－1，1］10．把函数ｙ＝3ｓｉｎ（ｘ＋（4π／3））－1的图象向右平移θ（θ＞0）个单位，使点（（π／2），－1）成为图象的一个对称中心，则θ的最小值为（）．Ａ．（π／6）Ｂ．（π／3）Ｃ．（5π／6）Ｄ．（4π／3）11．已知α是第二象限的角，给出四个不等式：ｔｇ（α／2）＞ｓｉｎ（α／2）＞ｃｏｓ（α／2）；ｓｉｎ（α／2）＞ｃｏｓ（α／2）＞ｔｇ（α／2）；ｔｇ（α／2）＞ｃｏｓ（α／2）＞ｓｉｎ（α／2）；ｃｏｓ（α／2）＞ｔｇ（α／2）＞ｓｉｎ（α／2）．其中可能成立的是（）．Ａ．①②Ｂ．①③Ｃ．②③Ｄ．③④12．设f１（x）=cos（2x+（π／3）），f２（x）=cos（3x-（2π／3）），把f１（x）与f２（x）的图象作以下三种变换：先把f1（x）图象向右平移（π／3）个单位，再把图象上各点的横坐标缩短到原来的（2／3）；先把f１（x）图象上各点的横坐标压缩到原来的（2／3），再把图象向左平移（π／3）个单位；先把f２（x）图象向右平移（π／3）个单位，再把图象上各点的横坐标伸长到原来的（3／2）．能使f１（x）与f２（x）重合的变换个数是（）．A．0B．1C．2D．3二、填空题13．函数f（x）=sin（2x+（π／3））在［0，π）内的单调减区间是_______．14．函数f（x）=（1+sinx-2sin2（（π／4）－（x／2））／4sin（x／2））的最小正周期是_______．15．（1／ｓｉｎ40°）＋ｔｇ10°的值是_____．16．给出下列命题：存在实数x，使ｓｉｎｘ＋ｃｏｓｘ＝（3／2）；②若α、β是第一象限角，且α＞β，则ｃｏｓα＜ｃｏｓβ；函数ｙ＝ｓｉｎ（（2／3）π＋（7ｘ／2））是偶函数；若ｃｏｓαｃｏｓβ＝1，则ｓｉｎ（α＋β）＝0；函数ｙ＝ｓｉｎ2ｘ的图象向左平移（π／4）个单位，得到ｙ＝ｓｉｎ（2ｘ＋（π／4））的图象．其中正确命题的序号是_________．三、解答题17．已知1＋ｃｏｓα－ｓｉｎβ＋ｓｉｎαｓｉｎβ＝0，1－ｃｏｓα－ｃｏｓβ＋ｓｉｎαｃｏｓβ＝0．求ｓｉｎα的值．18．已知（ｓｉｎβ／ｓｉｎα）＝ｃｏｓ（α＋β），其中α、β为锐角．（1）求证：ｔｇβ＝（ｓｉｎ2α／3－ｃｏｓ2α）；（2）求ｔｇβ的最大值．19．在△ＡＢＣ中，三角Ａ、Ｂ、Ｃ所对的边分别为ａ、ｂ、ｃ，且ｂ２＝ａｃ成立．求ｙ＝（1＋ｓｉｎ2Ｂ）／（ｓｉｎＢ＋ｃｏｓＢ）的取值范围．20．在△ＡＢＣ中，ｃｏｓＡ＝（5／13），ｔｇ（Ｂ／2）＋ｃｔｇ（Ｂ／2）＝（10／3）．求：（1）ｃｏｓ（Ａ－Ｂ）的值；（2）ｃｏｓ（Ａ－Ｂ／2）的值．专题方法总结一、高考中考查三角函数的主要题型有：1．求三角函数的最小正周期；2．求三角函数及反三角函数的值、值域或定义域；3．比较三角函数或反三角函数值的大小；4．解证三角函数及反三角函数不等式，或判定不等式的解集；5．求三角函数的最值问题；6．求或判定三角函数的单调区间；7．关于三角函数的某一种或几种性质的判定问题；8．三角函数图象与解析式或性质的转换判定问题；9．与函数ｙ＝Ａｓｉｎ（ωｘ＋φ）的图象有关的问题；10．解三角形的问题(常揉进立几试题中考查)；11．与三角形有关的综合问题；12．把三角函数的基本性质与恒等变形方法揉进复数、解几等问题中进行考查．二、三角函数式的基本变形转化方法及技巧有：①化异名函数为同名函数；②化复角为单角，化异角为同角；③化异次式为同次式；④和差化积或积化和差；⑤切割弦互化；⑥用特殊角的三角函数值代换常数；⑦引入辅助角；⑧分拆角；⑨用万能公式．三、三角函数值在单位圆中的线段表示，可以看作自变量为角度的图象，是对不同三角函数值进行综合分析比较的有力工具．在解答三角不等式或三角方程，比较三角函数值的大小，或由三角函数值判定角的变化范围时，借助单位圆分析是一种极有效的方法．四、对三角函数式进行恒等变形的基本思维策略有：1．首先从问题要求和式子的类型特点(多项式、分式、根式等)把握恒等变形的目的或大方向．例如解三角方程ｆ（ｘ）＝0时，对左边ｆ（ｘ）作恒等变形的大方向自然是把ｆ（ｘ）分解为因式乘积形状；化简三角式时，作恒等变形的大方向则应根据三角式的结构特点而选定．2．其次，从式子内部各部分的函数名称、角度、次数、运算关系等方面，深入观察式子结构特点，通过联想有关概念和公式，寻找并发现各部分间的内在联系(对复杂问题，发现的联系常常是大致的，隐隐约约的，在变形过程中逐步明朗化)；然后选定变形起步点，灵活运用公式及各种变形转化方法，一步步把各部分沟通，使给定式子化为所需形状．3．要注意把三角式的基本变形转化方法与代数式的一般变形转化方法综合运用．例如对一般代数式分解因式的拆项、添项法，分式的变形方法等，都是常用方法．4．从近几年的高考看，三角恒等变换中积化和差与和差化积公式已淡化．如需要用积化和差公式或和差化积公式，而公式又没给出时，可改用和差角公式处理．例如：ｃｏｓＡ＋ｃｏｓＢ＝ｃｏｓ（1／2）［（Ａ＋Ｂ）＋（Ａ－Ｂ）］＋ｃｏｓ（1／2）［（Ａ＋Ｂ）－（Ａ－Ｂ）］＝ｃｏｓ（1／2）（Ａ＋Ｂ）ｃｏｓ（1／2）（Ａ－Ｂ）－ｓｉｎ（1／2）（Ａ＋Ｂ）·ｓｉｎ（1／2）（Ａ－Ｂ）＋ｃｏｓ（1／2）（Ａ＋Ｂ）ｃｏｓ（1／2）（Ａ－Ｂ）＋ｓｉｎ（1／2）（Ａ＋Ｂ）ｓｉｎ（1／2）（Ａ－Ｂ）＝2ｃｏｓ（Ａ＋Ｂ）／2·ｃｏｓ（Ａ－Ｂ）／2．五、在未来高考中，三角选择题与填空题仍会以考查三角函数的性质和图象为主；而三角综合题必以考查三角恒等变换、图象变换及应用意识为重点．不论是什么题型，其难度都会控制在低、中档题的水平上，但运用三角基本概念、图象和基本公式进行转化的思维能力，必是考查的核心；而在题目的构思上会突出三角知识与其它数学知识（如几何、不等式、复数、数列等）综合运用的设计，特别是在函数大框架下的特殊设计.专题三三角函数参考答案及提示§ 1 三角函数的性质与图象1．Ａ；2．Ｂ；3．B；4．C；5．（4π／3）；6．π－ｘ；7．（-∞，-2］．8．方法1：运用正弦函数的单调性，分三种情形研究：（1）当α∈（0，（π／4））时，0＜2α＜α＋（π／4），ｓｉｎ2α＜ｓｉｎ（α＋（π／4））；（2）当α＝（π／4）时，2α＝α＋（π／4），ｓｉｎ2α＝ｓｉｎ（α＋（π／4））；（3）当α∈（（π／4），（π／2））时，（π／2）＜α＋（π／4）＜2α＜π，ｓｉｎ2α＜ｓｉｎ（α＋（π／4））．方法2：ｓｉｎ2α－ｓｉｎ（α＋（π／4））＝－ｃｏｓ（（π／2）＋2α）－ｓｉｎ（α＋（π／4））＝2ｔ２－t－1＝2（ｔ－（1／4））２－（9／8）（ｔ＝ｓｉｎ（α＋（π／4））∈（（／。
5.4 三角函数的图象与性质(精讲)(解析版)--人教版高中数学精讲精练必修一
5.4三角函数的图象与性质（精讲）一．三角函数的图像及性质π1.周期函数概念①对于函数f(x)，存在一个非零常数T(T>0)条件②当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)结论函数f(x)叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期2.最小正周期条件如果周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数结论这个最小正数叫做f(x)的最小正周期一．用三角函数图象解三角不等式(1)作出相应正弦函数或余弦函数在[0，2π]上的图象；(2)写出适合不等式在区间[0，2π]上的解集；(3)根据公式一写出不等式的解集.二．求三角函数周期(1)定义法，即利用周期函数的定义求解.. (2)公式法，对形如y＝A sin(ωx＋φ)或y＝A cos(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A≠0，ω≠0)的函数，T＝2π|ω|(3)观察法，即通过观察函数图象求其周期.三．判断函数奇偶性(1)看函数的定义域是否关于原点对称；(2)看f(－x)与f(x)的关系.对于三角函数奇偶性的判断，有时可根据诱导公式先将函数式化简后再判断.四．单调区间的求法求形如y＝A sin(ωx＋φ)或y＝A cos(ωx＋φ)的函数的单调区间，要先把ω化为正数．(1)当A>0时，把ωx＋φ整体代入y＝sin x或y＝cos x的单调递增区间内，求得的x的范围即为函数的单调递增区间．(2)当A<0时，把ωx＋φ整体代入y＝sin x或y＝cos x的单调递增区间内，求得的x的范围即为函数的单调递减区间；代入y＝sin x或y＝cos x的单调递减区间内，可求得函数的单调递增区间．五．比较三角函数值大小(1)异名函数化为同名函数．(2)利用诱导公式把已知角转化到同一单调区间上．(3)利用函数的单调性比较大小．六．求三角函数值域或最值（1）形如y＝sin(ωx＋φ)的三角函数，令t＝ωx＋φ，根据题中x的取值范围，求出t的取值范围，再利用三角函数的单调性、有界性求出y＝sin t的最值(值域).(2)形如y＝a sin2x＋b sin x＋c(a≠0)的三角函数，可先设t＝sin x，将函数y＝a sin2x＋b sin x＋c(a≠0)化为关于t 的二次函数y＝at2＋bt＋c(a≠0)，根据二次函数的单调性求值域(最值).(3)对于形如y＝a sin x(或y＝a cos x)的函数的最值还要注意对a的讨论.考点一“五点法”作图的应用【例1-1】（2022·全国·高一专题练习）作出下列函数在一个周期图象的简图：(1)3sin3x y =；(2)2sin 4y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；(3)2sin 214y x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭；(4)2cos 23x y π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．【答案】函数图象见解析【解析】（1）解：因为3sin 3xy =，取值列表：x 032π3π92π6π3x02ππ32π2πy33-0描点连线，可得函数图象如图示：（2）解：因为2sin 4y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，取值列表：x4π-4π34π54π74π4x π+02ππ32π2πy22-0描点连线，可得函数图象如图示：（3）解：因为2sin 214y x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，取值列表：x 8π-8π38π58π78π24x π+02ππ32π2πy1311-1描点连线，可得函数图象如图示：（4）解：因为2cos 23x y π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，取值列表：x 23π-3π43π73π103π23x π+02ππ32π2πy22-02描点连线，可得函数图象如图示：【例1-2】（2023秋·高一课时练习）当[]2,2x ππ∈-时，作出下列函数的图象，把这些图象与sin y x =的图象进行比较，你能发现图象变换的什么规律？（1）sin y x =-；（2）sin y x =；（3）sin y x =.【答案】答案见解析【解析】（1）该图象与sin y x =的图象关于x 轴对称，故将sin y x =的图象作关于x 轴对称的图象即可得到sin y x =-的图象.（2）sin ,2,0,sin sin ,0,2,x x x y x x x x ππππππ-≤≤-≤≤⎧==⎨--≤≤≤≤⎩将sin y x =的图象在x 轴上方部分保持不变，下半部分作关于x 轴对称的图形，即可得到sin y x =的图象.（3）sin ,0,sin sin ,0,x x y x x x ≥⎧==⎨-<⎩将sin y x =的图象在y 轴右边部分保持不变，并将其作关于y 轴对称的图形，即可得到sin y x =的图象.【一隅三反】1．（2023秋·高一课时练习）用“五点法”作出下列函数的简图.(1)2sin y x =，[]0,2πx ∈；(2)πsin 3y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，π5π,33x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦.（3）1π3sin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在一个周期（4πT =）内的图像．(4)2sin y x =-,[]0,2πx ∈;(5)πcos 6y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,π11,π66x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦．（6）πcos 3y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，π5π,33x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦【答案】图象见解析图象见解析【解析】（1）列表：x 0π2π3π22π2sin x22-0描点、连线、绘图，如图所示.（2）列表：π3x +π2π3π22πx π3-π62π37π65π3πsin 3x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭010－1描点连线如图.（3）列表:x 2π35π38π311π314π31π23x -0π2π3π22πy10-10图像如图所示：（4）解:由题知2sin y x =-,[]0,2x π∈,列表如下:xπ2π3π22πy21232根据表格画出图象如下:（5）解:由题知πcos 6y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,π11,π66x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦,列表如下:x π6-π35π64π311π6π6x +π2π3π22πy10-101根据表格画出图象如下:（6）[]π5ππ,0,2π333x x ⎡⎤∈-∴+∈⎢⎥⎣⎦根据五点法作图列表得：π3x +π2π3π22πxπ3-π62π37π65π3y11-01画图像得：考点二正弦、余弦函数的周期【例2-1】（2023湖南）下列函数中，最小正周期为π的函数是（）A ．y ＝sin xB ．y ＝cos xC ．y ＝sin 1π23x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭D ．y ＝cos π23x ⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】D【解析】A.y ＝sin x 的最小正周期为2πT =，故错误；B.y ＝cos x 的最小正周期为2πT =，故错误；C.y ＝sin 1π23x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的最小正周期为2π4π12T ==，故错误；D.y ＝cos ππ2cos 233x x ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2ππ2T ==，故正确；故选：D【例2-2】（2023秋·高一课时练习）下列函数，最小正周期为2π的是（）A ．sin 2x y =B ．sin2y x =C ．sin 2x y =D ．sin2y x=【答案】C【解析】函数sin 2x y =的最小正周期为2π4π12T ==，故A 不符合；函数sin2y x =，其最小正周期为2ππ2T ==，故B 不符合；因为函数sin2xy =的最小正周期为4πT =，所以函数sin 2x y =的最小正周期为2π，故C 符合；因为函数sin2y x =的最小正周期为2ππ2T ==，所以函数sin2y x =的最小正周期为π2，故D 不符合.故选：C.【一隅三反】1．（2023·全国·高一专题练习）函数()cos 26f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭的最小正周期是（）A ．2πB ．πC ．2πD ．4π【答案】B【解析】由函数()cos 26f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，则其最小正周期22T ππ==-.故选：B.2．（2023北京）下列函数中，最小正周期为π的函数是（）A ．sin y x =B ．cos y x =C ．cos y x =D ．sin y x=【答案】B【解析】对于A ，函数sin y x =的最小正周期为2π，故A 不符合题意；对于B ，作出函数cos y x =的图象，由图可知，函数cos y x =的最小正周期为π，故B 符合题意；对于C ，函数cos y x =的最小正周期为2π，故C 不符合题意；对于D ，函数sin ,0sin sin ,0x x y x x x ≥⎧==⎨-<⎩，其图象如图，由图可知，函数sin y x =不是周期函数，故D 不符合题意.故选：B.3．（2023·全国·高一假期作业）（多选）下列函数中，是周期函数的是（）A ．cos y x =B ．cos y x =C ．sin y x =D ．sin y x=【答案】ABC【解析】对于A ，()cos πcos cos x x x +=-= ，cos y x ∴＝的最小正周期为π；对于B ，()cos cos cos x x x =-= ，cos y x ∴=的最小正周期为2π；对于C ，()sin πsin sin x x x +=-= ，sin y x ∴=的最小正周期为π；对于D ，∵sin ,0sin sin ,0x x y x x x ≥⎧==⎨-<⎩，∴函数图象关于y 轴对称，不具有奇偶性，故错误.故选：ABC4．（2023春·江西上饶·高一校联考期中）（多选）下列函数，最小正周期为π的有（）A ．sin y x =B ．sin y x =C ．πsin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭D ．2cos 1y x =-【答案】BC【解析】对于A ，sin ||y x =为偶函数，图象关于y 轴对称，其图象如下，不是周期函数，故A 错误；对于B ，作出函数|sin |y x =的图象如下，观察可得其最小正周期为π，故B 正确；对于C ，由周期公式可得2π||T ω=，可得πsin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的最小正周期为π，故C 正确；对于D ，由周期公式可得2π||T ω=，可得2cos 1y x =-的最小正周期为2π，故D 错误.故选：BC考点三正弦、余弦函数的奇偶性【例3-1】7．（2023春·四川眉山·高一校考期中）下列函数中是奇函数，且最小正周期是π的函数是（）A ．cos 2y x =B ．sin y x=C ．πsin(2)2y x =+D ．3πcos(2)2y x =-【答案】D【解析】对于A ，∵cos 2()cos 2x x -=，∴函数cos 2y x =是偶函数，故A 错误；对于B ，∵sin()sin sin x x x -=-=，∴函数sin y x =是偶函数，故B 错误；对于C ，函数πsin(2)cos 22y x x =+=是偶函数，故C 错误；对于D ，函数3πcos(2)sin 22y x x =-=-是奇函数，最小正周期2ππ2T ==，故D 正确．故选：D.【例3-2】（2021春·陕西榆林·高一校考阶段练习）若函数()cos 203f x x πφφ⎛⎫=+-> ⎪⎝⎭（）是奇函数，则φ的最小值为（）A ．56πB ．43πC ．3πD ．512π【答案】A【解析】因为函数()cos 203f x x πφφ⎛⎫=+-> ⎝⎭（）是奇函数，所以,32k k Z ππφπ-=+∈，解得5,6k k Z πφπ=+∈，所以φ的最小值为56π，故选：A【例3-3】（2023秋·高一课时练习）判断下列函数的奇偶性．(1)1π()sin 22f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭；(2)2π()cos 2f x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；(3)21sin cos ()1sin x x f x x+-=+.【答案】(1)偶函数(2)奇函数(3)非奇非偶函数．【解析】（1）()f x 的定义域为R ，1π11()sin cos cos 2222f x x x x ⎛⎫⎛⎫=-+=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为11()cos cos ()22f x x x f x ⎛⎫-=-== ⎪⎝⎭，所以()f x 为偶函数，（2）()f x 的定义域为R ，22π()cos sin 2f x x x x x ⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭，因为22()()sin()sin ()f x x x x x f x -=---==-，所以()f x 为奇函数，（3）由1sin 0x +≠，得sin 1x ≠-，解得π2π,Z 2x k k ≠-+∈，所以函数的定义域为πR 2π,Z 2x x k k ⎧⎫∈≠-+∈⎨⎬⎩⎭，因为定义域不关于原点对称，所以该函数是非奇非偶函数．【一隅三反】1．（2023秋·高一课时练习）函数()sin R f x x x x +∈=，（）A ．是奇函数，但不是偶函数B ．是偶函数，但不是奇函数C ．既是奇函数，又是偶函数D ．既不是奇函数，又不是偶函数【答案】A【解析】由()sin s ()(in )f x x x x x f x -=-+-=-=-可知()f x 是奇函数．故选:A2．（2023春·云南文山·高一校考阶段练习）下列函数中，最小正周期为π的偶函数是（）A ．cos y x =B ．2sin y x =C ．sin 2y x =D ．cos y x=【答案】A【解析】对于A ，()cos y f x x ==定义域为R ，因为()cos()cos ()f x x x f x -=-==，所以函数cos y x =为偶函数，因为cos y x =的图象是由cos y x =的图象在x 轴下方的关于x 轴对称后与x 轴上方的图象共同组成（如下图所示），又cos y x =的最小正周期为2π，所以cos y x =的最小正周期为π，故A 正确；对于B ：2sin y x =为最小正周期为2π的奇函数，故B 错误；对于C ：()sin 2y g x x ==定义域为R ，()()()sin 2sin 2g x x x g x -=-==，即sin 2y x =为偶函数，又()()ππsin 2sin 2πsin 2sin 222g x x x x x gx ⎛⎫⎛⎫+=+=+=-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以π2为sin 2y x =的周期，故C 错误；对于D ：cos y x =为最小正周期为2π的偶函数，故D 错误；故选：A3．（2023秋·高一课时练习）（多选）已知函数()πsin()4f x x ϕ=++是奇函数，则ϕ的值可以是（）A ．0B ．π4-C ．π2D ．3π4【答案】BD【解析】由函数()πsin()4f x x ϕ=++为奇函数，可得ππ,Z 4k k ϕ+=∈，解得ππ,Z 4k k ϕ=-+∈，当0k =时，π4ϕ=-，所以B 满足题意；当1k =时，43πϕ=，所以D 满足题意；故选：BD.4．（2023秋·宁夏吴忠·高一青铜峡市高级中学校考期末）（多选）以下函数是偶函数的是（）A ．2sin y x =B ．cos2y x =C ．3sin y x x =D ．|sin |cos y x x=【答案】BCD【解析】四个选项中函数的定义域均为全体实数，满足关于原点对称，对于A :()2sin f x x =,()()()2sin 2sin f x x x f x -=-=-=-,所以2sin y x =为奇函数,故A 错误对于B :()cos2g x x =,()()()cos 2cos2g x x x g x -=-==所以()cos2g x x =为偶函数,故B 正确;对于C :()3sin h x x x =,()()()()()333sin sin sin h x x x x x x x h x -=--=--==,所以()3sin h x x x =为偶函数,故C 正确;对于D :()|sin |cos t x x x =,()()()()|sin |cos |sin |cos |sin |cos t x x x x x x x t x -=--=-==,所以()|sin |cos t x x x =为偶函数,故D 正确;故选:BCD考点四正弦、余弦函数的对称性【例4-1】（2023春·北京·高一北京市第一六一中学校考期中）函数πsin 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象（）A ．关于直线π3x =对称B ．关于直线π3x =-对称C ．关于点π,06⎛⎫⎪⎝⎭对称D ．关于点π,03⎛⎫⎪⎝⎭对称【答案】B【解析】A.πππ5πsin 2sin13366f ⎛⎫⎛⎫=⨯+=≠± ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以函数不关于直线π3x =对称，故A 错误；B.ππππsin 2sin 13362f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=⨯-+=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以函数关于直线π3x =对称，故B 正确；C.ππππsin 2sin 106662f ⎛⎫⎛⎫=⨯+==≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以函数不关于点π,06⎛⎫⎪⎝⎭对称，故C 错误；D.πππ5πsin 2sin03366f ⎛⎫⎛⎫=⨯+=≠ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，所以函数不关于点π,06⎛⎫⎪⎝⎭对称，故D 错误；故选：B【例4-2】（2023春·上海杨浦·高一上海市控江中学校考期末）已知常数R ϕ∈，如果函数()cos 2y x ϕ=+的图像关于点4π,03⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，那么ϕ的最小值为（）A ．π3B ．π4C ．π6D ．π2【答案】C【解析】因为函数()cos 2y x ϕ=+的图像关于点4π,03⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，所以π24ππ32k ϕ⨯++=，Z k ∈，所以13ππ6k ϕ=-+，Z k ∈，所以当2k =时π6ϕ=-，当3k =时5π6ϕ=，1k =时7π6ϕ=-，所以ϕ的最小值为π6.故选：C 【一隅三反】1．（2023云南）函数π()2sin 213f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭图象的一个对称中心可以是（）A ．π,03⎛⎫⎪⎝⎭B ．π,112⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．5π,012⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．,16π⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】D【解析】对于A ，由π3x =，得π2π3x +=，1y =，则π,03⎛⎫⎪⎝⎭不是函数π()2sin 213f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭图象的一个对称中心，故A 错误；对于B ，由π12x =，得ππ232x +=，则π,112⎛⎫ ⎪⎝⎭不是函数π()2sin 213f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭图象的一个对称中心，故B 错误；对于C ，由5π12x =，得π7π236x +=，则5π,012⎛⎫⎪⎝⎭不是函数π()2sin 213f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭图象的一个对称中心，故C 错误；对于D ，π6x =-，得π203x +=，1y =，则,16π⎛⎫- ⎪⎝⎭是函数π()2sin 213f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭图象的一个对称中心，故D 正确.故选：D.2．（2023春·四川成都·高一校考期中）下列直线中，可以作为曲线πcos 22y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的对称轴的是（）A ．π4x =B ．π3x =C ．π2x =D ．2π3x =【答案】A【解析】πcos(2)sin 22y x x =-=，对于A ，当π4x =时，πsin 12y ==，则π4x =是曲线πcos 22y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的对称轴，A 是；对于B ，当π3x =时，2πsin 132y ==≠±，则π3x =不是曲线πcos 22y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的对称轴，B 不是；对于C ，当π2x =时，sin π01y ==≠±，则π2x =不是曲线πcos 22y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的对称轴，C 不是；对于D ，当2π3x =时，14π3sin 2y ==-≠±，则2π3x =不是曲线πcos 22y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的对称轴，D 不是.故选：A3．（2023春·河南驻马店·高一统考阶段练习）（多选）已知函数()πcos π4f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则（）A ．()f x 的图象关于直线12x =对称B ．()f x 的图象关于点1,04⎛⎫- ⎪⎝⎭对称C ．()f x 的图象关于点1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭对称D ．()f x 的图象关于直线14x =对称【答案】BD【解析】因为()πcos π4f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，令πππ,Z 4x k k -=∈，则1,Z 4x k k =+∈，所以()f x 的对称轴方程为：1,Z 4x k k =+∈，令10,4k x ==，则D 正确，A 错误；令ππππ,Z 42x k k -=+∈，则3,Z 4x k k =+∈，所以()f x 的对称轴中心为：3,0,Z 4k k ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，令1k =-，则()f x 的一个对称中心为1,04⎛⎫- ⎪⎝⎭，则B 正确，C 错误.故选：BD.考点五正弦、余弦函数的单调性【例5-1】（2023春·重庆江津·高一校考期中）（多选）函数πsin(2y x =-(R )x ∈在（）A ．区间ππ[,22-上是增函数B ．区间π[,π]2上是增函数C ．区间[π,0]-上是减函数D ．区间[,]-ππ上是减函数【答案】BC【解析】ππsin()sin cos 22y x x x ⎛⎫=-=--=- ⎪⎝⎭.A 选项，因cos y x =在π[,0]2-上单调递增，在π[0,]2上单调递减，则πsin()2y x =-在ππ[,]22-上无单调性，故A 错误；B 选项，因cos y x =在π[,π]2上单调递减，则πsin()cos 2y x x =-=-在π[,π]2上单调递增，故B 正确；C 选项，因cos y x =在[π,0]-上单调递增，则πsin()cos 2y x x =-=-在[π,0]-上单调递减，故C 正确；D 选项，因cos y x =在[π,0]-上单调递增，在[0,π]上单调递减，则πsin()2y x =-在[,]-ππ上无单调性，故D错误.故选：BC【例5-2】（2022春·上海浦东新·高一校考期末）函数π12cos 23y x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的单调递增区间是.【答案】πππ,π,36k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z 【解析】由π2ππ22π3k x k -≤-≤，解得ππππ36k x k -≤≤+，所以函数π12cos 23y x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的单调递增区间是πππ,π,36k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z .故答案为：πππ,π,36k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z 【例5-3】（2023春·广西钦州·高一校考期中）（多选）下列函数在区间ππ,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增的是（）A ．()sin f x x =B ．()cos f x x =C ．()sin 2f x x =D ．()cos 2f x x=【答案】AD【解析】A 选项，ππ,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()sin sin f x x x ==，()f x 单调递增，故A 符合.B 选项，ππ,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()cos cos f x x x ==，()f x 单调递减，故B 不符合.C 选项，ππ,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，π2,π2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()sin2sin 2f x x x ==，()f x 单调递减，故C 不符合.D 选项，ππ,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，π2,π2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()cos2cos 2f x x x ==-，()f x 单调递增，故D 符合.故选：AD.【例5-4】（2023春·安徽马鞍山·高一安徽省当涂第一中学校考期中）已知函数π()cos (0)3f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在区间π3,π44⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则实数ω的取值范围为.【答案】80,9⎛⎤⎥⎝⎦【解析】由题意有3ππππ4422T ω-=≤=,可得02ω<≤,又由πππ5π3436ω<+≤，cos y x =在[]0,π上为减函数，故必有3πππ43ω+≤,可得809ω<≤.故实数ω的取值范围为80,9⎛⎤ ⎝⎦.故答案为：80,9⎛⎤⎥⎝⎦【一隅三反】1．（2023春·宁夏吴忠·高一青铜峡市高级中学校考期中）函数cos y x =的一个单调减区间是（）A ．ππ,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．π3π,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．3ππ,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．3π,2π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】C【解析】作出函数cos y x =的图象如图所示，由图象可知，A 、B 都不是单调区间，D 是单调增区间，C 是单调减区间．故选：C2．（2023·全国·高一专题练习）函数()πcos 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的一个单调递减区间为（）A ．5ππ,1212⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．11π5π,1212⎡⎤--⎢⎥⎣⎦C ．ππ,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．π5π,36⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B【解析】令()π2π2π2πZ 6k x k k ≤-≤+∈，解得()π7ππ+πZ 1212k x k k ≤≤+∈，即函数()f x 的单调递减区间为π7ππ+,π,Z 1212k k k ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，取1k =-可得，11π5π,1212⎡⎤--⎢⎥⎣⎦为函数()f x 的单调递减区间，B 正确；取0k =可得，π7π,1212⎡⎤⎢⎥⎣⎦为函数()f x 的单调递减区间，令()π2ππ22πZ 6k x k k -≤-≤∈，解得()5ππππZ 1212k x k k -≤≤+∈，即函数()f x 的单调递增区间为5πππ,π,Z 1212k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦，取0k =可得，,12125ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦为函数()f x 的单调递增区间，A 错误；因为()f x 在π12π,6⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，C 错误；取1k =可得，7π13π,1212⎡⎤⎢⎥⎣⎦为函数()f x 的单调递增区间，所以()f x 在7π5π,126⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，D 错误故选：B.3．（2023秋·高一课时练习）函数π3sin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的单调递减区间为.【答案】5(Z)121,2k k k ππ⎡⎤-+ππ⎢⎥⎦∈+⎣【解析】因为3sin 23sin(2)33y x x ππ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭，所以3sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的单调递增区间就是3sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的单调递减区间．令222(Z)232k x k k πππ-+π≤≤π∈-+，解得51212k x k ππππ-+≤≤+()k ∈Z .所以函数3sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的单调递减区间为5,1212k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦()k ∈Z .故答案为：5,1212k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦()k ∈Z .4．（2023·全国·高一课堂例题）函数2πlog cos 3y x ⎡⎤⎛⎫=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的单调递增区间为．【答案】5ππ2π,2π63k k ⎛⎤-+-+ ⎥⎝⎦，Zk ∈【解析】由题意，得πcos 03x ⎛⎫+> ⎪⎝⎭，所以πππ2π2π232k x k -+<+<+，Z k ∈，解得5ππ2π2π66k x k -+<<+，Z k ∈．令ππ2π2π3k x k -+≤+≤，Z k ∈，则4ππ2π2π33k x k -+≤≤-+，Z k ∈．所以πcos 3y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的单调递增区间为4ππ2π,2π33k k ⎡⎤-+-+⎢⎥⎣⎦，Z k ∈，所以函数2πlog cos 3y x ⎡⎤⎛⎫=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的单调递增区间为5ππ2π,2π63k k ⎛⎤-+-+ ⎥⎝⎦，Z k ∈．故答案为：5ππ2π,2π63k k ⎛⎤-+-+ ⎥⎝⎦，Z k ∈5．（2023秋·江苏宿迁·高一江苏省泗阳中学校考期末）已知函数其中0ω>．若()π,4f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()f x 在区间π3π,24⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，则ω的取值范围是（）A ．(]0,4B ．0,13⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．52,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．15,0332,⎛⎤⎡⎤⋃ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦【答案】D 【解析】由πππ2π2π,242k x k k ω-+≤+≤+∈Z 解得3π2ππ2π,44k k x k ωωωω-+≤≤+∈Z ，所以函数()f x 的单调递增区间为3π2ππ2π,,44k k k ωωωω⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z ，因为()f x 在区间π3π,24⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，所以3πππ2422T ⎛⎫≥-= ⎪⎝⎭，所以04ω<≤.当0k =时，由()f x 在区间π3π,24⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增可知3ππ42π3π44ωω⎧-≤⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩，得103ω<≤；当1k =时，由5ππ429π3π44ωω⎧≤⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩解得332ω≤≤；当2k =时，13ππ4217π3π44ωω⎧≤⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩无实数解.易知，当1k ≤-或2k ≥时不满足题意.综上，ω的取值范围为15,0332,⎛⎤⎡⎤⋃ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦.故选：D6．（2023·全国·高一课堂例题）已知函数()πsin (0)4f x x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭在区间(1,2)上不单调，则ω的取值范围为（）A ．3π,8∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭B ．3π3π7π,,848∞⎛⎫⎛⎫⋃+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．3π7π7π,,888∞⎛⎫⎛⎫⋃+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．3π,4∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】()πsin (0)4f x x ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭ωω的图象的对称轴为直线3ππ4k x ω+=，k ∈Z ，因为()f x 在区间(1,2)上不单调，所以对称轴3ππ4k x ω+=，k ∈Z 在直线1x =与直线2x =之间，即3ππ412k ω+<<，k ∈Z ，化简得3ππ3ππ824k k ω+<<+，k ∈Z ，因为0ω>，所以令0k =，得3π3π84ω<<，又当1k ≥时，7π8ω>，综上3π3π7π,,848ω∞⎛⎫⎛⎫∈⋃+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：B ．考点六正弦、余弦函数的单调性的应用【例6-1】（2023春·福建泉州·高一校联考期中）下列结论正确的是（）A ．()sin 10sin50-︒>︒B ．tan70sin70︒<︒C ．()cos 40cos310-︒<︒D ．cos130cos200︒>︒【答案】D【解析】对于A ，因为()sin 10sin100-︒=-︒<，sin500︒>，所以()sin 10sin50-︒<︒，故A 错误；对于B ，因为0cos701<︒<，所以sin 70tan70sin70cos70︒︒=>︒︒，故B 错误；对于C ，因为()cos 40cos 40-︒=︒，()cos310cos 36050cos 50︒=︒-︒=︒，又cos 40cos50︒>︒，所以()cos 40cos310-︒>︒，故C 错误；对于D ，因为()cos130cos 9040sin 40︒=︒+︒=-︒，()cos 200cos 27070sin 70︒=-︒=-︒，又sin 40sin 70︒<︒，所以sin 40sin 70-︒>-︒，即cos130cos 200︒>︒，故D 正确.故选：D.【例6-2】（2023春·江苏苏州·高一统考期末）已知45a =，2sin 3b =，1cos 3c =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．c b a <<B ．a b c<<C ．b a c<<D ．b<c<a【答案】C【解析】因为2π4πsinsin sin 34253<=<<=b a <，14cos cos 32π65c a =>==，所以c a >，所以b a c <<.故选：C.【一隅三反】1．（2023春·广西钦州·高一校考期中）sin1︒，sin1，sin π︒的大小顺序是（）A ．sin1sin1sin π︒<<︒B ．sin1sin πsin1︒<︒<C ．sin1sin1sin π︒=<︒D ．sin1sin1sin π<︒<︒【答案】B【解析】由正弦函数的单调性可知：sin y x =在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，又易知π0<1<π°<1<2︒，所以sin1sin sin1π︒<︒<.故选：B2．（2023·全国·高一假期作业）下列选项中错误的是（）A ．ππsin sin 1810⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．sin2sin1>C ．23π17πcos cos 54⎛⎫⎛⎫-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．sin508sin144︒︒>【答案】D 【解析】因为ππππ210182-<-<-<，sin y x =在ππ[,]22x ∈-上单调递增，所以ππsin sin 1810⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎝⎭⎝⎭，故A 正确；因为21π1.522+=<，所以2比1距离正弦函数的对称轴π2x =近，所以sin2sin1>，故B 正确；因为23π23π3π17π17ππcos cos 4πcos ,cos cos4πcos 555444⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=--=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，而3ππ05π4-<<-<-，函数cos y x =在(π,0)-上单调递增，所以23π17πcos cos 54⎛⎫⎛⎫-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故C 正确；因为sin508sin148sin144︒︒=︒>，而90144148180︒<︒<︒<︒，由正弦函数的单调性可知sin508sin148sin144︒︒=︒<，故D 错误.故选：D3．（2023春·四川绵阳·高一四川省绵阳南山中学校考期中）设3sin20,cos80,4a b c =︒=︒=，则,,a b c 大小关系（）A ．b a c <<B ．a b c <<C ．c b a <<D ．a c b<<【答案】B【解析】因为2030︒<︒，且sin y x =在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，则1sin 20sin 302︒<︒=，即12a <；又因为π80ππ41803<<，且cos y x =在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，则1ππcos cos80cos 2342=<︒<=，即122b <<，且34c =>a b c <<.故选：B.考点七正弦、余弦函数的最值(值域)问题【例7-1】（2023春·四川眉山·高一校考期中）已知函数()ππ2sin 2,0,62f x x x ⎛⎫⎡⎤=-∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，则()f x 的值域是（）A ．[]22-,B ．[]1,1-C ．[]1,2-D ．2⎡⎤⎣⎦【答案】C【解析】因为π0,2x ⎡⎤∈⎢⎣⎦，所以ππ5π2,666x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，所以π1sin 2,162x ⎛⎫⎡⎤-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以[]π2sin 21,26x ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，所以()f x 的值域是[]1,2-.故选：C.【例7-2】（2023·全国·高一专题练习）函数22sin cos y x x =--的最小值是．【答案】34/0.75【解析】函数2213cos cos 1cos 24y x x x ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭，1cos 1x -≤≤，当1cos 2x =时，函数取得最小值34.故答案为：34【例7-3】（2023春·河南周口·高一周口恒大中学校考阶段练习）函数sin cos ()1sin cos =++x xf x x x的值域为．【答案】11,122⎡⎫⎛⎤--⎪ ⎢⎪ ⎣⎭⎝⎦【解析】令sin cos 4t x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，[1)(t ∈-- ，则212sin cos t x x =+，即21sin cos 2t x x -=，所以2112()12t t f t t --==+，又因为[1)(t ∈-- ，所以()11,11,22f t ⎡⎫⎛⎤-∈--⎪ ⎢⎥⎪ ⎣⎭⎝⎦，即函数sin cos ()1sin cos =++x xf x x x的值域为11,11,22⎡⎫⎛⎤---⎪ ⎢⎥⎪ ⎣⎭⎝⎦．故答案为：11,122⎡⎫⎛⎤--⎪ ⎢⎥⎪ ⎣⎭⎝⎦.【例7-4】（2023春·四川眉山·高一校联考期中）已知函数()πsin (0,[0,π])3f x x x ωω⎛⎫=->∈ ⎪⎝⎭的值域为[，则ω的取值范围是（）A ．15[,]33B ．5[,1]6C ．55[,63D ．513⎡⎤⎢⎥⎣⎦，【答案】C【解析】因为[0,π]x ∈，可得πππ[,π333x ωω-∈--，因为函数()πsin()3f x x ω=-的值域为[，所以ππ4π,323ωπ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，解得55[,]63ω∈.故选：C.【一隅三反】1（2022秋·江苏常州·高一常州高级中学校考期末）函数ππcos ,,032y x x ⎛⎫⎡⎤=+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的值域是（）A ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．⎤⎥⎣⎦C ．12⎡⎢⎣⎦D ．,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】A【解析】因为,02πx ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以πππ,363x ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，因为函数cos t x =在π,06⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上递增，π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递减，又πcos 6⎛⎫-= ⎪⎝⎭cos 01=，π1cos 32=，所以π1cos ,132x ⎛⎫⎡⎤+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦即1,12y ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.故选：A ．2．（2023秋·陕西安康·高一校联考期末）函数2π2πsin 2cos 33y x x x ⎛⎫=+≤≤ ⎪⎝⎭的最小值是．【答案】14-/-0.25【解析】由()222sin 2cos 1cos 2cos cos 12y x x x x x =+=-+=--+，又π2π33x ≤≤，则11cos 22x -≤≤，所以()217cos 1244x -≤--+≤，所以函数2π2πsin 2cos 33y x x x ⎛⎫=+≤≤ ⎪⎝⎭的最小值是14-．故答案为：14-．3．（2023春·江西宜春·高一江西省丰城中学校考阶段练习）已知函数()cos 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，若()f x 在[]0a ，上的值域是112⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，，则实数a 的取值范围为（）A ．403π⎛⎤ ⎥⎝⎦，B ．2433ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，C ．23π∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭，D ．2533ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，【答案】B【解析】由题意可得()cos 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令3t x π=+则cos y t =,如图所示，∵()f x 的值域是112⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，，0x a ，∴333x a πππ++，即：33ta ππ+∴由图可知533aπππ+，解得2433a ππ，所以实数a 的取值范围为2433ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，.故选：B.4．（2023春·四川南充·高一四川省南充市白塔中学校考期中）函数2cos ()2cos xf x x-=+的值域为.【答案】1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】2cos 4()12cos 2cos x f x x x-==++，[]cos 1,1x ∈-，则[]cos 21,3x +∈，44,42cos 3x ⎡⎤∈⎢⎥+⎣⎦，故()1,33f x ∈⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故答案为：1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦考点八正切函数图像及性质【例8】（2024秋·广东）（多选）已知函数()πtan 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则下列说法正确的是（）A ．()f x 的最小正周期为π2B ．()f x 在ππ,63⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减C ．π3π510f f ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．()f x 的定义域为ππ,Z 3x x k k ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭【答案】AC【解析】因为()πtan 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，对于A ：()f x 的最小正周期为π2T =，故A 正确；对于B ：当ππ,63x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，πππ2,662x ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，因为tan y z =在π0,2z ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上单调递增，故()f x 在ππ,63⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，故B 错误；对于C ：因为()f x 的最小正周期为π2T =，所以πππ3π55210f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故C 正确；对于D ：令ππ2π62x k -≠+，Z k ∈，解得ππ32k x ≠+，Z k ∈，所以()f x 的定义域为ππ,Z 32k x x k ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭，故D 错误．故选：AC ．【一隅三反】1．（2023春·辽宁大连·高一大连八中校考阶段练习）（多选）已知函数()tan 2f x x =，则下列说法正确的是（）A ．函数()f x 是奇函数B ．函数()f x 的最小正周期是πC ．函数()f x 在ππ(,44-上单调递增D ．函数()f x 图象的对称中心是π(,0)(Z)4k k ∈【答案】ACD【解析】对于A ，()tan 2f x x =的定义域为ππππ,(Z)4242k k k ⎛⎫-++∈ ⎪⎝⎭，定义域关于原点对称，因为()()tan(2)tan 2f x x x f x -=-=-=-，所以()f x 是奇函数，所以A 正确，对于B ，()f x 的最小正周期为π2T =，所以B 错误，对于C ，由ππ,44x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，得ππ2,22x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，因为tan y x =在ππ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，所以()f x 在ππ(,)44-上单调递增，所以C 正确，对于D ，由π2,Z 2k x k =∈，得π,Z 4k x k =∈，所以()f x 图象的对称中心是π(,0)(Z)4k k ∈，所以D 正确，故选：ACD2．（2023春·广西钦州·高一校考阶段练习）（多选）已知函数()πtan 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则下列说法错误的是（）A ．()f x 的最小正周期为π2B ．()f x 的定义域为ππ,3x x k k ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭Z C ．ππ44f f ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．()f x 在ππ,32⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减【答案】BD【解析】因为()πtan 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，对于A ：所以()f x 的最小正周期为π2T =，故A 正确；对于B ：令ππ2π,Z 62x k k -≠+∈，解得ππ,Z 32kx k ≠+∈，所以()f x 的定义域为ππ,32k x x k ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭Z ，故B错误；对于C ：πππtan tan 4263πf ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭tan tan tan πππ242633π2ππf ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故C 正确；对于D ：当ππ,32x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，ππ5π2,626x ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，因为tan y z =在π5π,26z ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上单调递增，故()f x 在ππ,32⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，故D 错误.故选：BD3．（2023春·广东河源·高一校考阶段练习）（多选）已知函数()π7tan 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则（）A ．π6f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．π6f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭为奇函数C ．()f x 图象的对称中心为()ππ,0Z 68k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭D ．()f x 的定义域为ππ,Z 122k xx k ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭∣【答案】ABD【解析】因为函数()π7tan 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以πππ2π7tan 27tan76633f ⎛⎫⎛⎫=⨯+==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A 正确；由()π7tan 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭得，π7tan 26f x x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，对于函数7tan 2y x =，令π2π,Z 2x k k ≠+∈，得ππ,Z 24k x k ≠+∈，可知定义域为ππ,Z 24k x x k ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭关于原点对称，又()7tan 27tan 2x x -=-，所以函数7tan 2y x =为奇函数，即π6f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭为奇函数，故B 正确；由ππ2(Z)32k x k +=∈，得到()ππZ 46k x k =-∈，所以()π7tan 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的对称中心为()ππ,0Z 46k k ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，故C 错误；令ππ2π,Z 32x k k +≠+∈，得ππ,Z 212k x k ≠+∈，所以()f x 的定义域为ππ,Z 122k xx k ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭∣，故D 正确；故选：ABD。
新教材新人教A版必修一 三角函数习题 课件(9张)
方法四 代数换元 令tan x＝t，即tcos x＝sin x，代入3cos x＋4＝5，cos x＝ 5 ，sin x＝ 5t .
4t＋3
4t＋3
5 5t 再代入 sin2x＋cos2x＝1，得4t＋32＋4t＋32＝1. 解得 t＝43，即 tan x＝43.
方法二 构造方程组
sin2x＋cos2x＝1，
由
消去 cos x，
3cos x＋4sin x＝5，
整理得(5sin x－4)2＝0.
解得 sin x＝45，cos x＝35. 故 tan x＝csions xx＝43.
方法三 构造辅助角 由 3cos x＋4sin x＝545sin x＋35 cos x＝5sin(x＋φ)＝5，其中 cos φ＝45，sin φ＝35. 所以 tan φ＝34. 所以 x＋φ＝2kπ＋π2(k∈Z)， 于是 tan x＝tan2kπ＋π2－φ＝cot φ＝43.
方法八 构造平面向量 因为35cos x＋45sin x＝1，不妨令 m＝(cos x，sin x)，n＝35，54，可知|m|＝1，|n|＝1. 所以 m，n 均为单位向量，且 m·n＝1. 由|m||n|≥|m·n|，等号成立的条件为：m∥n， 则有45cos x＝35sin x，即 tan x＝43.
方法六 构造直线斜率 由3cos x＋4sin x＝5可知点A(cos x，sin x)在直线3x＋4y＝5上，同时也在单位 圆x2＋y2＝1上，所以点A为直线与单位圆的切点. 由于直线的斜率为－34，所以 OA 的斜率为43，
即 tan x＝43.
方法七 构造单位圆 因为 3cos x＋4sin x＝5，即35cos x＋45sin x＝1. 设 A(cos x，sin x)，B35，54，则点 A，B 均在单位圆 x2＋y2＝1 上. 所以过 B 点的切线方程为35x＋45y＝1. 可知点 A(cos x，sin x)也在切线35x＋45y＝1 上， 从而点 A 也是切点，由切点的唯一性也可知 A，B 两点重合，所以 cos x＝35， sin x＝45，即 tan x＝43.
高考数学一轮复习第3章三角函数解三角形课件文新人教A版
有些同学在听课的过程中常碰到这样的问题，比如老师讲到一道很难的题目时，同学们听课的思路就“卡壳“了，无法再跟上老师的思路。这时候该怎么办呢？
如果“卡壳”的内容是老师讲的某一句话或某一个具体问题，同学们应马上举手提问，争取让老师解释得在透彻些、明白些。
如果“卡壳”的内容是公式、定理、定律，而接下去就要用它去解决问题，这种情况下大家应当先承认老师给出的结论（公式或定律）并非继续听下去，先把问题记 下来，到课后再慢慢弄懂它。
尖子生好方法:听课时应该始终跟着老师的节奏，要善于抓住老师讲解中的关键词，构建自己的知识结构。利用老师讲课的间隙，猜想老师还会讲什么，会怎样讲， 怎样讲会更好，如果让我来讲，我会怎样讲。这种方法适合于听课容易分心的同学。
2019/5/22
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2019/5/22
第三章 三角函ห้องสมุดไป่ตู้、解三角形
[五年考情]
考点
2016 年
2015 年 2014 年 2013 年
2012 年
任意角和弧度制及
全国卷
任意角的三角函数
Ⅰ·T2
同角关系、诱导公
全国卷
式
Ⅰ·T2
三角函数的图象和 全国卷Ⅱ·T3 全国卷Ⅰ·T8 全国卷
全国卷·T9
全国卷Ⅰ·T9
性质
全国卷Ⅲ·T14 全国卷Ⅱ·T11 Ⅰ·T7
全国卷·T16
正弦型函数及应用
全国卷Ⅱ·T16
全国卷Ⅰ·T12
简单的三角 全国卷Ⅰ·T13 恒等变换 全国卷Ⅱ·T11
全国卷Ⅰ·T16 全国卷Ⅱ·T14
全国卷Ⅱ·T6
全国卷Ⅲ·T6
正弦定理和 余弦定理
人教版高中数学精讲精练必修一5.4 三角函数的图象与性质(精练)(解析版)
5.4三角函数的图象与性质（精练）1．（2023春·北京昌平·高一统考期末）下列函数中，是偶函数且其图象关于点π(,0)4对称的是（）A ．()sin f x x =B ．()cos f x x =C ．()sin4f x x =D ．()cos2f x x=【答案】D【解析】对于A ，函数()sin f x x =是奇函数，A 不是；对于C ，函数()sin4f x x =是奇函数，C 不是；对于B ，函数()cos f x x =是偶函数，而ππ(cos 0442f ==≠，即()cos f x x =的图象不关于点π(,0)4对称，B 不是；对于D ，函数()cos2f x x =是偶函数，ππ(cos 042f ==，即()cos2f x x =的图象关于点π(,0)4对称，D 是.故选：D2．（2023·全国·高一假期作业）设函数()πcos ,(0)4f x x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的最小正周期为π5，则它的一条对称轴方程为（）A ．π8x =B ．π8x =-C ．π12x =D ．π12x =-【答案】A【解析】因为的()f x 最小正周期为π5，所以2π10T ω==，所以()πcos 104f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，令104πx kπ-=，Z k ∈，解得()1040kππx k Z =+∈，所以()f x 的对称轴为直线()1040kππx k Z =+∈，当1k =时，π8x =，其它各项均不符合，所以π8x =是函数()f x 的对称轴，故选：A ．3．（2022·高一课时练习）已知函数()()2cos 3f x x ϕ=+，则“2πϕ=＋2kπ，k ∈Z ”是“()f x 为奇函数”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当22k πϕπ=+，k ∈Z 时，()2cos(3)2sin 3f x x x ϕ=+=-，所以()f x 为奇函数．当()f x 为奇函数时，2k πϕπ=+，k ∈Z ．综上，“22k πϕπ=+，k ∈Z ”是“()f x 为奇函数”的充分不必要条件．故选：A.4．（2023春·江苏盐城·高一校联考期中）设函数π()sin()3f x x ω=+在区间(0,π)恰有三条对称轴､两个零点，则ω的取值范围是（）A ．513,36⎡⎤⎢⎣⎦B ．519,36⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．138(,63D ．1319(,66【答案】C【解析】由函数π()sin()3f x x ω=+，其中π()0,x ∈，可得πππ(,)333x ωωπ+∈+，因为函数()f x 在区间(0,π)恰有三条对称轴､两个零点，则满足5ππ3π23ωπ<+≤，解得13863ω<≤，所以ω的取值范围为138(,]63.故选：C.5．（2023春·辽宁抚顺·高一校联考期中）已知函数()πcos 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在[],m n 上单调递减，且()()2f m f n -=，则tan2m n+=（）A．BC．D【答案】D【解析】由函数()πcos 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在[],m n 上单调递减，且()()2f m f n -=，可得()π22π6Z π2π2π6m k k n k ⎧-=⎪⎪∈⎨⎪-=+⎪⎩，两式相加得π2()π4π,Z 3m n k k +-=+∈，即ππ,Z 23m n k k +=+∈，所以πtan tan 23m n +==故选：D.6．（2023春·四川绵阳·高一绵阳南山中学实验学校校考阶段练习）已知6πsin 7a =，4πsin 7b =，2πsin 7c =，则（）A ．a b c>>B ．c b a>>C ．c a b>>D ．b c a>>【答案】D【解析】由诱导公式知：ππsin πsin 77a ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，3π3πsin πsin 77b ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，sin y x = 在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，3π2ππsin sin sin 777∴>>，即b c a >>.故选：D.7．（2023秋·高一单元测试）函数y =的定义域是（）A ．}{π|2π2π2,Z x k x k k ≤≤+∈B ．π|ππZ}{2,x k x k k ≤≤+∈C ．}{π|2ππZ 2,x k x k k ≤≤+∈D ．}{ππ|ππ,Z 33x k x k k -≤≤+∈【答案】D【解析】函数y 有意义，则2cos 210x +≥，即1cos 22x ≥-，因此2π2π2π22π,Z 33k x k k -≤≤+∈，解得ππππ,Z 33k x k k -≤≤+∈，所以函数y =的定义域是}{ππ|ππ,Z 33x k x k k -≤≤+∈.故选：D8．（2023春·河北衡水·高一校考阶段练习）不等式cos 20x ≥在[]π,π-上的解集为（）A ．2π2ππ,,π33⎡⎤⎡⎤--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦U B ．2π2π,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．5π5ππ,,π66⎡⎤⎡⎤--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦U D ．5π5π,66⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】D【解析】∵cos 20x ≥，则cos 2x ≥-，注意到[]π,πx ∈-，结合余弦函数图象解得5π5π,66x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦.故选：D.9．（2023春·江西抚州·高一江西省抚州市第一中学校考阶段练习）已知函数()()lg 2cos 1f x x =-，则函数()f x的定义域为（）A ．ππ2π,2π,Z33k k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭B ．ππ2π,2π,Z33k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦C ．Zππ,ππ2,266k k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭D ．Z ππ,ππ2,266k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦【答案】A【解析】由题意得：2cos 10x ->，即1cos 2x >，则ππ2π,2π,Z 33x k k k ⎛⎫∈-+∈ ⎪⎝⎭.故选：A10．（2023春·四川眉山·高一校考阶段练习）已知()3sin2x f x =在区间π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为（）A ．1B ．13C ．12D ．43【答案】A【解析】因为π0,,3x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦所以,23π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦结合三角函数的图像性质，函数()f x 在π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增，所以()max π1,3f x f ⎛⎫== ⎪⎝⎭故选：A.11．（2023春·四川眉山·高一校考期中）函数23cos 4cos 1y x x =-+的最小值是（）A ．13-B ．154C ．0D ．14-【答案】A【解析】函数22213cos 4cos 13cos 33y x x x ⎛⎫=-+=--⎪⎝⎭又函数[]cos 1,1x ∈-，所以当2cos 3x =时，函数2213cos 33y x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭的最小值为13-.故选：A.12．（2023春·福建泉州·高一校考期中）（多选）若函数()π3sin 26f x x ϕ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭是偶函数，则ϕ的值不可能为（）A ．π6B ．π2C ．2π3D ．5π6【答案】ABD【分析】根据二次函数与余弦函数的性质求解最值即可.【详解】由函数()3sin 26f x x πϕ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭是偶函数，可得()03f =±，即πsin 16ϕ⎛⎫-+=± ⎪⎝⎭，则ππ,Z 62k k ϕπ-+=+∈，解得2ππ,Z 3k k ϕ=+∈，当0k =时，可得2π3ϕ=，无论k 取何值，ϕ都不可能等于π6或π2或5π6．故选：ABD ．13．（2023春·河南驻马店·高一校考阶段练习）（多选）下列大小关系中正确的是（）A ．cos11sin10cos168︒<︒<︒B ．cos168sin10cos11︒<︒<︒C ．sin11sin168cos10︒<︒<︒D ．sin168cos10sin11︒<︒<︒【答案】BC【分析】根据二次函数与余弦函数的性质求解最值即可.【详解】 cos11sin 79sin100︒=︒>︒>，又cos1680︒<，cos168sin10cos11∴︒<︒<︒；且sin11sin168sin12cos10cos80︒<︒=︒<︒=︒.故选：BC.14．（2023春·甘肃兰州·高一校考开学考试）（多选）下列不等式中成立的是（）A ．sin sin 810ππ⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．()cos400cos 50︒>-︒C ．sin 3sin 2>D ．87sincos 78ππ>【答案】BD【分析】根据二次函数与余弦函数的性质求解最值即可.【详解】对于A ，因为02810πππ-<-<-<，且函数sin y x =在,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，则sin sin 810ππ⎛⎫⎛⎫-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故A 错误；对于B ，因为()cos 400cos 36040cos 40︒=︒+︒=︒，()cos 50cos50-︒=︒，且函数cos y x =在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，则cos 40cos50︒>︒，即()cos400cos 50︒>-︒，故B 正确；对于C ，因为32322ππ<<<，且函数sin y x =在3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，则sin3sin 2<，故C 错误；对于D ，因为7733cossin sin sin 82888πππππ⎛⎫⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，8sin sin 77ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，且30782πππ<<<，函数sin y x =在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，则3sin sin 78ππ<，即87sin cos 78ππ>，故D 正确；故选：BD15．（2022春·辽宁大连·高一大连八中校考期中）（多选）下列坐标所表示的点中，是函数πtan(26x y =-图像的对称中心的是（）A ．5π(,0)3-B ．π(,0)3C ．2π(,0)3D ．4π(,0)3【答案】ABD【分析】根据二次函数与余弦函数的性质求解最值即可.【详解】令ππ,Z 262x k k -=∈，解得ππ,Z 3x k k =+∈，A 选项，当2k =-时，π5π2π33x =-+=-，故对称中心为5π(,0)3-，A 正确；B 选项，当0k =时，π3x =，故对称中心为π(,0)3，B 正确；C 选项，令π2ππ33k +=，解得13k =，不合要求，舍去，C 错误；D 选项，当1k =时，4π3x =，故对称中心为4π,03⎛⎫⎪⎝⎭，D 正确；故选：ABD16．（2023·上海）（多选）已知函数()πtan 2(0)6f x x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的最小正周期是π2，则（）A ．2ω=B ．()()π2π125f f ->C ．()f x 的对称中心为()ππ,0412k k ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭Z D ．()f x 在区间ππ,123⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增【答案】BCD【解析】因为函数()πtan 2(0)6f x x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的最小正周期是π2，所以ππ22T ω==，又0ω>，得到1ω=，所以π()tan(26f x x =-，选项A ，因为1ω=，故选项A 错误；选项B ，因为()()πππ2π19π11πtan()tan ,tan()tan()123353030f f -=-=-==-，又π11ππ03302<<<，由tan y x =的性质知，π11πtan tan 330<，所以()()π2π125f f ->，故选项B 正确；选项C ，由ππ2(Z)62k x k -=∈，得到()ππ412k x k =+∈Z ，所以π()tan(2)6f x x =-的对称中心为()ππ,0412k k ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭Z ，故选项C 正确；选项D ，当ππ,123x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，ππ2(0,62x -∈，由tan y x =的性质知，()f x 在区间ππ,123⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，故选项D 正确.故选：BCD.17．（2023·全国·高一专题练习）（多选）下列关于函数πtan 23y x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的说法正确的是（）A ．在区间ππ,312⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递减B ．最小正周期是πC ．图象关于点5π,012⎛⎫⎪⎝⎭成中心对称D ．图象关于直线π12x =-成轴对称【答案】AC【解析】对于A ，令ππππ2π232k x k -+<-<+，k ∈Z ，解得ππ5ππ122122k k x -+<<+，当1k =-时，7ππ1212x -<<-，所以πtan 23y x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭在7ππ,1212⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递减，又ππ7ππ,,3121212⎛⎫⎛⎫--⊆-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故函数πtan 23y x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭在区间ππ,312⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递减，正确；对于B ，πtan 23y x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭最小正周期为ππ22T ==-，错误；对于C ，令ππ232k x -+=得，ππ,Z 64k x k =-∈，所以πtan 23y x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭对称中心为ππ,0,Z 64k k ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，当1k =-时，5π,012⎛⎫⎪⎝⎭是对称中心，正确；对于D ，函数πtan 23y x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭不成轴对称，没有对称轴，错误.故选：AC.18．（2023·全国·高三专题练习）函数πtan 34y x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的单调递减区间为．【答案】ππππ,()12343k k k ⎛⎫-++∈ ⎪⎝⎭Z 【解析】ππtan 3tan 344y x x ⎛⎫⎛⎫=-+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．由()()ππππ3πZ Z 242ππππ12343k k k k k x x k -+<-<+∈⇒+<<+∈-，故函数πtan 34y x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的单调递减区间为ππππ,()12343k k k ⎛⎫-++∈ ⎪⎝⎭Z 故答案为：ππππ,()12343k k k ⎛⎫-++∈ ⎪⎝⎭Z 19．（2023春·广东佛山·高一校考阶段练习）若()ππcos 232f x x ϕϕ⎛⎫⎛⎫=++< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭是奇函数，则ϕ=.【答案】6π/16π【解析】由题设πππ32k ϕ+=+且Z k ∈，故ππ6k ϕ=+，Z k ∈，又π2ϕ<，故0k =有π6ϕ=.故答案为：π620．（2023春·高一课时练习）函数1πsin 226y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭与y 轴最近的对称轴方程是．【答案】π6x =-【解析】令ππ2π,62x k k -=+∈Z ，解得ππ,23k x k =+∈Z ，令1k =-，则π6x =-；令0k =，则π3x =；因为ππ63-<，所以与y 轴最近的对称轴方程是π6x =-.故答案为：π6x =-.21．（2023·全国·高一专题练习）已知函数()()()cos 2R ϕ=+∈f x x x 的图象关于点2π,03⎛⎫ ⎪⎝⎭中心对称，则ϕ的最小值为.【答案】π6【解析】因为函数()()()cos 2R ϕ=+∈f x x x 的图象关于点2π,03⎛⎫ ⎪⎝⎭中心对称，所以2ππ2π,Z 32k k ϕ⨯+=+∈，所以5ππ,Z 6k k ϕ=-+∈，则当1k =时，ϕ的最小值为π6.故答案为：π622．（2023春·高一单元测试）已知函数2π()log cos 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的单调增区间为．【答案】ππ(π,π+Z612k k k -∈【解析】令πcos 26t x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由0t >，可得πcos 206x ⎛⎫-> ⎪⎝⎭，所以πππ2π22π+,Z 262k x k k -<-<∈，解得ππππ+,Z 63k x k k -<<∈，所以函数的定义域为ππ(π,π+Z 63k k k -∈，由余弦函数的性质可知：πcos 26t x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在ππ(π,π+Z 612k k k -∈上单调递增，在ππ(π+,π+),Z 123k k k ∈上单调递减，又因为2()log f x t =在定义域上为单调递增函数，由复合函数的单调性可知：函数2π()log cos 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的单调增区间为ππ(π,π+),Z 612k k k -∈.故答案为：ππ(π,π+),Z612k k k -∈23．（2023春·陕西渭南·高一白水县白水中学校考期中）若0πϕ<<，函数()cos(2)f x x ϕ=+在区间ππ,66⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减，且在区间π0,6⎛⎫⎪⎝⎭上存在零点，则ϕ的取值范围是.【答案】ππ,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】当ππ,66x ⎡⎤∈-⎢⎣⎦时，ππ2,33x ϕϕϕ⎡⎤+∈-++⎢⎥⎣⎦，因为0πϕ<<，函数()cos(2)f x x ϕ=+在区间ππ,66⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减，所以[]ππ,0,π33ϕϕ⎡⎤-++⊆⎢⎥⎣⎦，所以π03ππ3ϕϕ⎧-+≥⎪⎪⎨⎪+≤⎪⎩，即π2π33ϕ≤≤，当π0,6x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，π2,3x ϕϕϕ⎛⎫+∈+ ⎪⎝⎭，因为0πϕ<<，()f x 在区间π0,6⎛⎫⎪⎝⎭上存在零点，所以ππ23ϕϕ<<+，解得ππ62ϕ<<，综上：ππ32ϕ≤<，故答案为：ππ,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭24．（2023春·陕西西安·高一西北工业大学附属中学校考阶段练习）求函数()2ln cos 2f x x ⎛=- ⎝⎭的定义域为．【答案】ππ2π,2π,Z46k k k ⎛⎤-++∈ ⎥⎝⎦【解析】根据题意可得12sin 0x -≥，解得1sin 2x ≤，所以7ππ2π,2π,Z 66x k k k ⎡⎤∈-++∈⎢⎥⎣⎦；又2cos 02x -，即cos 22x >，解得ππ2π,2π,Z 44x k k k ⎛⎫∈-++∈ ⎪⎝⎭取交集部分可得，()f x 的定义域为ππ2π,2π,Z 46k k k ⎛⎤-++∈ ⎥⎝⎦.故答案为：ππ2π,2π,Z46k k k ⎛⎤-++∈ ⎥⎝⎦25．（2023·全国·高一专题练习）已知关于x 的不等式2cos 4cos 1x x a -+≥在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦内恒成立，则实数a 的取值范围是．【答案】[)4,∞+【解析】由2cos 4cos 1x x a -+≥得2cos 4cos 1a x x ≥-++，设cos t x =，因π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以[]cos 0,1t x =∈，则241a t t ≥-++在[]0,1t ∈上恒成立，设()241f t t t =-++，则二次函数()f t 的对称轴为2t =，因其开口向下，所以[]0,1t ∈时函数()f t 单调递增，所以()f t 的最大值()14f =，故4a ≥，故答案为：[)4,∞+26．（2023春·山东日照·高一统考期中）函数()π3cos 23f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()0ω>在π5π,36⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是减函数，且在[]0,2π上恰好取得一次最小值3-，则ω的取值范围是．【答案】12,65⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】因为02x π≤≤，所以πππ24π333x ωω≤+≤+.因为()f x 在[]0,2π上恰好取得一次最小值3-，所以ππ4π3π3ω≤+<，所以1263ω≤<.因为π5π36x -≤≤，所以ππππ5ππ1322π9333339x ωωω-<-+≤+≤+<.因为，()f x 在π5π,36⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是减函数，根据余弦函数的单调性可知ππ20335πππ33ωω⎧-+≥⎪⎪⎨⎪+≤⎪⎩，解得205ω<≤.所以，1265ω≤≤.故答案为：12,65⎡⎤⎢⎥⎣⎦.27．（2022秋·黑龙江齐齐哈尔·高一统考期末）函数()πsin 14f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象的对称轴方程为，对称中心为.【答案】()ππ4x k k =+∈Z ()ππ,04k k ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭Z 【解析】由πππ,42x k k +=+∈Z ，解得ππ,4x k k =+∈Z ，所以函数()f x 的对称轴方程为()ππ4x k k =+∈Z .令ππ,4x k k +=∈Z ，得ππ,4x k k =-+∈Z ，所以函数()f x 的对称中心为()ππ,04k k ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭Z .故答案为：()ππ4x k k =+∈Z ，()ππ,04k k ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭Z 28．（2023·全国·高一课堂例题）求函数π2sin 36y x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，[0,π]x ∈的最大值为，最小值为．【答案】41【解析】因为[0,π]x ∈，所以ππ7π,666x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以1πsin 126x ⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭，所以π22sin 16x ⎛⎫-≤-+≤ ⎪⎝⎭，所以π12sin 346x ⎛⎫≤-++≤ ⎪⎝⎭，故函数π2sin 36y x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，[0,π]x ∈的最大值为4，最小值为1．故答案为：4，129．（2023秋·高一课时练习）（1）函数()π24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，π,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦的值域为；（2）函数()23πsin 0,42f x x x x ⎛⎫⎡⎤=-∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的最大值是.【答案】⎡-⎣1【解析】（1）当π,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，π3ππ2,444x ⎡⎤+∈-⎢⎣⎦，πcos 242x ⎡⎤⎛⎫∴+∈⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，()f x -∴∈⎡⎣，即()f x 的值域为⎡-⎣；（2）()222331sin 1cos cos 444f x x x x x x x =+-=-+-=-++，π0,2x ⎛⎫⎡⎤∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭；令cos x t =，则[]0,1t ∈，()221142g t t t ⎛⎫=-++=--+ ⎪ ⎪⎝⎭，则当2t =时，()max 1g t =，即()f x 的最大值为1.故答案为：⎡-⎣；1.30．（2023秋·高一课时练习）求下列函数的值域．(1)212cos 2sin y x x =-+；(2)2sin 2sin x y x-=+；(3)ππ()2sin 2,0,62f x x x ⎛⎫⎡⎤=+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦.【答案】(1)332,⎡⎤-⎢⎥⎣⎦(2)13,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦(3)[]1,2-【解析】（1）2221312cos 2sin 2sin 2sin 12sin .22y x x x x x ⎛⎫=-+=+-=+- ⎪⎝⎭当1sin 2x =-时，min 32y =-；当sin 1x =时，max 3y =.∴函数212cos 2sin y x x =-+的值域为3,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.（2）()42sin 412sin 2sin x y x x-+==-++，∵1sin 1x -≤≤，∴12sin 3x ≤+≤，∴44432sin x≤≤+，141332sin x≤-≤+，即,133y ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.∴函数2sin 2sin x y x -=+的值域为1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦.（3）πππ7π0,,2,2666x x ⎡⎤⎡⎤∈+∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，根据正弦函数的性质，可知π1sin 2,162x ⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦故[]π2sin 21,26x ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭.即函数的值域为[]1,2-.2．（2023·全国·高一课堂例题）已知函数()π2sin (0)6f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在区间ππ,43⎛⎫- ⎪⎝⎭上恰有一个最大值点和一个最小值点，则实数ω的取值范围为（）A ．8,73⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．8,43⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．204,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．20,73⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】因为()f x 在区间ππ,43⎛⎫- ⎪⎝⎭上恰有一个最大值点和一个最小值点，所以ππ342T ⎛⎫--> ⎪⎝⎭，所以127ω>．令π6t x ω=+，当ππ,43x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，ππππ,4636t ωω⎛⎫∈-++ ⎪⎝⎭，于是()π2sin 6f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在区间ππ,43⎛⎫- ⎪⎝⎭上的最值点个数等价于()2sin g t t =在ππππ,4636ωω⎛⎫-++ ⎪⎝⎭上的最值点个数．由127ω>知，ππ046ω-+<，ππ036ω+>，因为()g t 在ππππ,4636ωω⎛⎫-++ ⎪⎝⎭上恰有一个最大值点和一个最小值点，所以3ππππ,2462πππ3π,2362ωω⎧-<-+<-⎪⎪⎨⎪<+<⎪⎩解得843ω<<．答案：B.2．（2023春·河南新乡·高一新乡市第一中学校考阶段练习）已知2πππ()sin (0),363f x x f f ωω⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+>= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，且()f x 在区间ππ,63⎛⎫ ⎪⎝⎭上有最大值，无最小值，则ω的值为（）A ．223B ．263C ．343D ．383【答案】A 【解析】因为2πππ()sin (0),363f x x f f ωω⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+>= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以函数()f x 的图象关于πππ6324x +==对称，且()f x 在区间ππ,63⎛⎫ ⎪⎝⎭上有最大值，无最小值，所以ππ2πsin 1443f ω⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()π2ππ2π,Z 432k k ω+=+∈，所以()8282=8Z 33k k k ω=+--∈，当1k =时，223ω=，当2k =时，462π3πππ,46323363T ω===<-，此时在区间ππ,63⎛⎫ ⎪⎝⎭内已存在最小值;当2k >时，462π3πππ,46323363T ω><=<-，此时在区间ππ,63⎛⎫ ⎪⎝⎭内已存在最小值．故选：A ．3．（2023春·江西宜春·高一江西省宜丰中学校考阶段练习）已知函数()πcos (0)3f x x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭在ππ,64⎡⎤⎢⎣⎦上单调递增，且当ππ,43x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()0f x ≥恒成立，则ω的取值范围为（）A ．522170,,232⎛⎤⎡⎤ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦ B ．4170,8,32⎛⎤⎡⎤ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦ C ．4280,8,33⎛⎤⎡⎤ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦ D ．5220,,823⎛⎤⎡⎤ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦【答案】B【解析】由已知，函数()πcos (0)3f x x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭在ππ,64⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以()111π2ππ2πZ 3k x k k ω-≤-≤∈，解得：()1112π2π2ππZ 33k k x k ωωωω-≤≤+∈，由于()111Z π,π,642π2π2ππ33k k k ωωωω⎡⎤⎡⎤⊆⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎦-+∈，所以112ππ2π632πππ43k k ωωωω⎧≥-⎪⎪⎨⎪≤+⎪⎩，解得：()11141248Z 3k k k ω-≤≤+∈①又因为函数()πcos (0)3f x x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭在ππ,43x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上()0f x ≥恒成立，所以()222πππ2π2π+Z 232k x k k ω-≤-≤∈，解得：()2222π2ππ5πZ 66k k x k ωωωω-≤≤+∈，由于()2222π2ππ5π,Z 6π,46π3k k k ωωωω-+⎡⎤⎡⎤⊆⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣∈⎦，所以222πππ462ππ5π36k k ωωωω⎧≥-⎪⎪⎨⎪≤+⎪⎩，解得：()2222586Z 32k k k ω-≤≤+∈②又因为0ω>，当120k k ==时，由①②可知：04432532ωωω⎧⎪>⎪⎪-≤≤⎨⎪⎪-≤≤⎪⎩，解得403ω⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，；当121k k ==时，由①②可知：028*******2ωωω⎧⎪>⎪⎪≤≤⎨⎪⎪≤≤⎪⎩，解得1782ω⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，.所以ω的取值范围为4170,8,32⎛⎤⎡⎤ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦.故选：B.4．（2023春·辽宁·高一辽宁实验中学校考阶段练习）若函数()()cos 03f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭在,63ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上不单调，则实数ω的取值范围是.【答案】()()1,24,⋃+∞【解析】由题意得()()cos cos 033f x x x ππωωω⎛⎫⎛⎫=-=-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，若函数()()cos 03f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭在,63ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，则π+2π2π,Z 3k x k k πω-≤-≤∈,解得：2+2π+2π33,Z k k x k ππωω-≤≤∈，所以2+2π36,Z +2π33k k k ππωππω⎧-⎪≤⎪⎪∈⎨⎪⎪≤⎪⎩，解得412,Z 16k k k ωω≥-+⎧∈⎨≤+⎩，即41216,Z k k k ω-+≤≤+∈，因为41216,k k k -+≤+∈Z ，所以56k ≤且0ω>，所以0k =，01ω<≤①若函数()()cos 03f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭在,63ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，则2ππ+2π,Z 3k x k k πω≤-≤∈,解得4+2π+2π33,Z k k x k ππωω≤≤∈，所以+2π36,Z 4+2π33k k k ππωππω⎧⎪≤⎪⎪∈⎨⎪⎪≤⎪⎩，解得212,Z 46k k k ωω≥+⎧∈⎨≤+⎩，即21246,Z k k k ω+≤≤+∈，因为21246,Z k k k +≤+∈，所以13k ≤且0ω>，所以0k =，24ω≤≤②又因为函数()()cos 03f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭在,63ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上不单调，且0ω>，所以ω的取值为①②所表示的不等式的补集，即12ω<<或4ω>.故答案为：12ω<<或4ω>.。
高三数学人教版a版数学(理)高考一轮复习教案：3.3 三角函数的图象与性质 word版含答案
第三节三角函数的图象与性质三角函数的图象及性质能画出y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的图象，了解三角函数的周期性．理解正弦函数、余弦函数在区间[0,2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值以及与x轴的交点等)，理解正切函数在区间⎝⎛⎭⎫－π2，π2内的单调性．知识点正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质易误提醒1．正切函数的图象是由直线x ＝k π＋π2(k ∈Z )隔开的无穷多支曲线组成，单调增区间是⎝⎛⎭⎫－π2＋k π，π2＋k π，k ∈Z 不能说它在整个定义域内是增函数，如π4<3π4，但是tan π4>tan 3π4，正切函数不存在减区间．2．三角函数存在多个单调区间时易错用“∪”联结．3．研究三角函数单调性、对称中心、奇偶性及对称轴时易忽视“k ∈Z ”这一条件． 必记结论 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，当φ＝k π(k ∈Z )时是奇函数，当φ＝k π＋π2(k ∈Z )时是偶函数；函数y ＝A cos(ωx ＋φ)，当φ＝k π(k ∈Z )时是偶函数，当φ＝k π＋π2(k ∈Z )时是奇函数．[自测练习]1．函数y ＝tan 3x 的定义域为( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠3π2＋3k π，k ∈Z B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠π6＋k π，k ∈Z C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠－π6＋k π，k ∈Z D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠π6＋k π3，k ∈Z 解析：由3x ≠π2＋k π，得x ≠π6＋k π3，k ∈Z .答案：D2．设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π2，x ∈R ，则f (x )是( ) A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为π的偶函数C ．最小正周期为π2的奇函数D ．最小正周期为π2的偶函数解析：∵f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π2＝－cos 2x ， ∴f (x )是最小正周期为π的偶函数． 答案：B3．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3(ω>0)的最小正周期为π，则该函数的图象( ) A ．关于直线x ＝π3对称B ．关于点⎝⎛⎭⎫π3，0对称 C ．关于直线x ＝－π6对称D ．关于点⎝⎛⎭⎫π6，0对称解析：∵f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3(ω>0)的最小正周期为π，∴ω＝2，即f (x )＝sin ⎝⎛⎫2x ＋π3. 经验证可知f ⎝⎛⎭⎫π3＝sin ⎝⎛⎭⎫2π3＋π3＝sin π＝0， 即⎝⎛⎭⎫π3，0是函数f (x )的一个对称点． 答案：B4．函数y ＝3－2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的最大值为________，此时x ＝________. 解析：函数y ＝3－2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的最大值为3＋2＝5，此时x ＋π4＝π＋2k π，即x ＝3π4＋2k π(k ∈Z )．答案：5 3π4＋2k π(k ∈Z )考点一 三角函数的定义域、值域|1．函数y ＝cos x －32的定义域为( ) A.⎣⎡⎦⎤－π6，π6 B.⎣⎡⎦⎤k π－π6，k π＋π6，k ∈Z C.⎣⎡⎦⎤2k π－π6，2k π＋π6，k ∈ZD ．R解析：∵cos x －32≥0，得cos x ≥32，∴2k π－π6≤x ≤2k π＋π6，k ∈Z . 答案：C2．函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最小值为( ) A ．－1 B ．－22C ．0D.22解析：因为0≤x ≤π2，所以－π4≤2x －π4≤3π4，由正弦函数的图象知，1≥sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4≥－22，所以函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最小值为－22，故选B. 答案：B3．已知函数f (x )＝12(sin x ＋cos x )－12|sin x －cos x |，则f (x )的值域是________．解析：f (x )＝12(sin x ＋cos x )－12|sin x －cos x |＝⎩⎪⎨⎪⎧cos x (sin x ≥cos x )，sin x (sin x <cos x ).画出函数f (x )的图象(实线)，如图，可得函数的最小值为－1，最大值为22，故值域为⎣⎡⎦⎤－1，22.答案：⎣⎡⎦⎤－1，221．三角函数定义域的求法求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．2．求三角函数值域(最值)的三种方法(1)将所给函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式，通过分析ωx ＋φ的范围，结合图象写出函数的值域．(2)换元法：把sin x (cos x )看作一个整体，化为二次函数来解决． (3)数形结合法，作出三角函数图象可求．考点二 三角函数的单调性|(2015·高考重庆卷)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－x sin x －3cos 2x . (1)求f (x )的最小正周期和最大值； (2)讨论f (x )在⎣⎡⎦⎤π6，2π3上的单调性．[解] (1)f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－x sin x －3cos 2x ＝cos x sin x －32(1＋cos 2x )＝12sin 2x －32cos 2x －32＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3－32， 因此f (x )的最小正周期为π，最大值为2－32.(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤π6，2π3时，0≤2x －π3≤π，从而 当0≤2x －π3≤π2，即π6≤x ≤5π12时，f (x )单调递增，当π2≤2x －π3≤π，即5π12≤x ≤2π3时，f (x )单调递减． 综上可知，f (x )在⎣⎡⎦⎤π6，5π12上单调递增；在⎣⎡⎦⎤5π12，2π3上单调递减．三角函数的单调区间的求法(1)代换法：求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的单调区间时，只需把ωx ＋φ看作一个整体代入y ＝sin x 的相应单调区间内即可．若ω为负，则要先把ω化为正数．(2)图象法：作出三角函数的图象，根据图象直接写出单调区间．1．已知ω>0，函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4在⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递减，则ω的取值范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤12，54 B.⎣⎡⎦⎤12，34 C.⎝⎛⎦⎤0，12 D ．(0,2]解析：由π2<x <π得π2ω＋π4<ωx ＋π4<πω＋π4，又y ＝sin t 在区间⎝⎛⎭⎫π2，32π上递减．∴π2ω＋π4≥π2，且ωπ＋π4≤32π，解之得12≤ω≤54.答案：A2．求函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫π3－2x 的单调区间．解：把函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫π3－2x 变为y ＝－tan ⎝⎛⎭⎫2x －π3.由k π－π2<2x －π3<k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π6<2x <k π＋5π6，k ∈Z ，即k π2－π12<x <k π2＋5π12，k ∈Z .故函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫π3－2x 的单调减区间为⎝⎛⎭⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z )．考点三 三角函数的奇偶性、周期性及对称性|正、余弦函数的图象既是中心对称图形，又是轴对称图形．正切函数的图象只是中心对称图形，应把三角函数的对称性与奇偶性结合，体会二者的统一．归纳起来常见的命题角度有： 1．三角函数的周期性． 2．三角函数的奇偶性．3．三角函数的对称轴或对称中心． 4．三角函数性质的综合应用． 探究一 三角函数的周期性1．函数y ＝⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的最小正周期为________． 解析：∵y ′＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的最小正周期T ′＝π， ∴T ＝T ′2＝π2.答案：π22．(2015·高考湖南卷)已知ω>0，在函数y ＝2sin ωx 与y ＝2cos ωx 的图象的交点中，距离最短的两个交点的距离为23，则ω＝________.解析：由题意，两函数图象交点间的最短距离即相邻的两交点间的距离，设相邻的两交点坐标分别为P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，易知|PQ |2＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2，其中|y 2－y 1|＝2－(－2)＝22，|x 2－x 1|为函数y ＝2sin ωx －2cos ωx ＝22sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π4的两个相邻零点之间的距离，恰好为函数最小正周期的一半，所以(23)2＝⎝⎛⎭⎫2π2ω2＋(22)2，ω＝π2. 答案：π2探究二 三角函数的奇偶性3．若函数f (x )＝sin x ＋φ3(φ∈[0,2π])是偶函数，则φ＝( )A.π2 B.2π3 C.3π2D.5π3解析：由y ＝sin x ＋φ3是偶函数知φ3＝π2＋k π，k ∈Z ，即φ＝3π2＋3k π，k ∈Z ，又∵φ∈[0,2π]，∴φ＝3π2.答案：C探究三 三角函数的对称轴或对称中心4．若函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6(ω∈N *)图象的一个对称中心是⎝⎛⎭⎫π6，0，则ω的最小值为( ) A ．1 B ．2 C ．4D ．8解析：由题知πω6＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )⇒ω＝6k ＋2(k ∈Z )⇒ωmin ＝2，故选B.答案：B5．函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4的图象的一条对称轴是( ) A ．x ＝π4B ．x ＝π2C ．x ＝－π4D ．x ＝－π2解析：∵正弦函数图象的对称轴过图象的最高(低)点， 故令x －π4＝k π＋π2，k ∈Z ，∴x ＝k π＋3π4，k ∈Z .即k ＝－1，则x ＝－π4.答案：C探究四 三角函数性质的综合应用6．(2015·揭阳一模)当x ＝π4时，函数f (x )＝sin(x ＋φ)取得最小值，则函数y ＝f ⎝⎛⎭⎫3π4－x ( ) A ．是奇函数且图象关于点⎝⎛⎭⎫π2，0对称 B ．是偶函数且图象关于点(π，0)对称 C ．是奇函数且图象关于直线x ＝π2对称D ．是偶函数且图象关于直线x ＝π对称 解析：∵当x ＝π4时，函数f (x )取得最小值，∴sin ⎝⎛⎭⎫π4＋φ＝－1，∴φ＝2k π－3π4(k ∈Z )． ∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋2k π－3π4＝sin ⎝⎛⎭⎫x －3π4. ∴y ＝f ⎝⎛⎭⎫3π4－x ＝sin(－x )＝－sin x .∴y ＝f ⎝⎛⎭⎫3π4－x 是奇函数，且图象关于直线x ＝π2对称． 答案：C7．(2015·高考天津卷)已知函数f (x )＝sin ωx ＋cos ωx (ω>0)，x ∈R .若函数f (x )在区间(－ω，ω)内单调递增，且函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝ω对称，则ω的值为________．解析：f (x )＝sin ωx ＋cos ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4，因为函数f (x )的图象关于直线x ＝ω对称，所以f (ω)＝2sin ⎝⎛⎭⎫ω2＋π4＝±2，所以ω2＋π4＝π2＋k π，k ∈Z ，即ω2＝π4＋k π，k ∈Z ，又函数f (x )在区间(－ω，ω)内单调递增，所以ω2＋π4≤π2，即ω2≤π4，取k ＝0，得ω2＝π4，所以ω＝π2.答案：π2函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的奇偶性、周期性和对称性(1)若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)为偶函数，则当x ＝0时，f (x )取得最大或最小值；若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)为奇函数，则当x ＝0时，f (x )＝0.(2)对于函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点，因此在判断直线x ＝x 0或点(x 0,0)是否是函数的对称轴或对称中心时，可通过检验f (x 0)的值进行判断．11.换元法求三角函数的最值问题【典例】 (1)求函数y ＝cos 2x ＋sin x ⎝⎛⎭⎫|x |≤π4的最大值与最小值． (2)求函数y ＝sin x ＋cos x ＋3cos x sin x 的最值．[思路点拨] 利用换元法求解，令t ＝sin x 或令t ＝sin x ＋cos x ．转化为二次函数最值问题．[解] (1)令t ＝sin x ，∵|x |≤π4，∴t ∈⎣⎡⎦⎤－22，22.∴y ＝－t 2＋t ＋1＝－⎝⎛⎭⎫t －122＋54， ∴当t ＝12时，y max ＝54，t ＝－22时，y min ＝1－22.∴函数y ＝cos 2x ＋sin x ⎝⎛⎭⎫|x |≤π4的最大值为54，最小值为1－22. (2)令t ＝sin x ＋cos x ，∴t ∈[－2， 2 ]． 又(sin x ＋cos x )2－2sin x cos x ＝1， ∴sin x cos x ＝t 2－12，∴y ＝32t 2＋t －32，t ∈[－2，2]，∵t 对＝－13∈[－2，2]，∴y 小＝f ⎝⎛⎭⎫－13＝32×19－13－32＝－53， y 大＝f (2)＝32＋ 2.[方法点评] (1)形如y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c 的三角函数，可设sin x ＝t ，再化为关于t 的二次函数求值域(最值)．(2)形如y ＝a sin x cos x ＋b (sin x ±cos x )＋c 的三角函数，可设t ＝sin x ±cos x ，再化为关于t 的二次函数求值域(最值)．[跟踪练习] 当x ∈⎣⎡⎦⎤π6，7π6时，函数y ＝3－sin x －2cos 2x 的最小值是________，最大值是________．解析：由π6≤x ≤7π6，知－12≤sin x ≤1.又y ＝3－sin x －2cos 2x ＝2sin 2x －sin x ＋1 ＝2⎝⎛⎭⎫sin x －142＋78，∴当sin x ＝14时，y min ＝78， 当sin x ＝1或－12时，y max ＝2.答案：782A 组 考点能力演练1．(2015·唐山期末)函数f (x )＝1－2sin 2x2的最小正周期为( )A ．2πB ．π C.π2D ．4π解析：∵f (x )＝1－2sin 2x 2＝cos x ，∴f (x )的最小正周期T ＝2π1＝2π，故选A.答案：A2．函数f (x )＝cos 2x ＋2sin x 的最大值与最小值的和是( ) A ．－2 B ．0 C ．－32D ．－12解析：f (x )＝1－2sin 2x ＋2sin x ＝－2⎝⎛⎭⎫sin x －122＋32，所以函数f (x )的最大值是32，最小值是－3，所以最大值与最小值的和是－32，故选C.答案：C3．已知函数y ＝sin x 的定义域为[a ，b ]，值域为⎣⎡⎦⎤－1，12，则b －a 的值不可能是( ) A.π3 B.2π3 C ．πD.4π3解析：画出函数y ＝sin x 的草图分析知b －a 的取值范围为⎣⎡⎦⎤2π3，4π3.答案：A4．已知函数f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx (ω>0)，f ⎝⎛⎭⎫π6＋f ⎝⎛⎭⎫π2＝0，且f (x )在区间⎝⎛⎭⎫π6，π2上递减，则ω＝( )A ．3B ．2C ．6D ．5解析：∵f (x )在⎝⎛⎭⎫π6，π2上单调递减，且f ⎝⎛⎭⎫π6＋f ⎝⎛⎭⎫π2＝0，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋π22＝0，∵f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋π22＝f ⎝⎛⎭⎫π3＝2sin ⎝⎛⎭⎫π3ω＋π3＝0， ∴π3ω＋π3＝k π(k ∈Z )，又12·2π≥π2－π6，ω>0，∴ω＝2. 答案：B5．若函数f (x )＝cos(2x ＋φ)的图象关于点⎝⎛⎭⎫4π3，0成中心对称，且－π2<φ<π2，则函数y ＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋π3为( ) A ．奇函数且在⎝⎛⎭⎫0，π4上单调递增 B ．偶函数且在⎝⎛⎭⎫0，π2上单调递增 C ．偶函数且在⎝⎛⎭⎫0，π2上单调递减 D ．奇函数且在⎝⎛⎫0，π4上单调递减 解析：因为函数f (x )＝cos(2x ＋φ)的图象关于点⎝⎛⎭⎫4π3，0成中心对称，则8π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z .即φ＝k π－13π6，k ∈Z ，又－π2<φ<π2，则φ＝－π6， 则y ＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＝cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π3－π6＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝－sin 2x ，所以该函数为奇函数且在⎝⎛⎭⎫0，π4上单调递减，故选D. 答案：D6．(2015·长沙一模)若函数f (x )＝2tan ⎝⎛⎭⎫kx ＋π3的最小正周期T 满足1<T <2，则自然数k 的值为________．解析：由题意知，1<πk<2，即k <π<2k .又k ∈N ，所以k ＝2或k ＝3. 答案：2或37．已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2ωx －π4(ω>0)的最大值与最小正周期相同，则函数f (x )在[－1,1]上的单调增区间为________．解析：由题知2π2ω＝2，得ω＝12π， ∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫πx －π4，令－π2＋2k π≤πx －π4≤π2＋2k π，k ∈Z ，解得－14＋2k ≤x ≤34＋2k ，k ∈Z ，又x ∈[－1,1]，所以－14≤x ≤34，所以函数f (x )在[－1,1]上的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－14，34.答案：⎣⎡⎦⎤－14，34 8．已知函数f (x )＝cos x sin x (x ∈R )，给出下列四个命题：①若f (x 1)＝－f (x 2)，则x 1＝－x 2；②f (x )的最小正周期是2π；③f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π4，π4上是增函数； ④f (x )的图象关于直线x ＝3π4对称． 其中真命题的是________．解析：f (x )＝12sin 2x ，当x 1＝0，x 2＝π2时，f (x 1)＝－f (x 2)，但x 1≠－x 2，故①是假命题；f (x )的最小正周期为π，故②是假命题；当x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，π4时，2x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2，故③是真命题；因为f ⎝⎛⎭⎫3π4＝12sin 3π2＝－12，故f (x )的图象关于直线x ＝3π4对称，故④是真命题． 答案：③④9．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，0<φ<2π3的最小正周期为π. (1)求当f (x )为偶函数时φ的值；(2)若f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫π6，32，求f (x )的单调递增区间． 解：∵由f (x )的最小正周期为π，则T ＝2πω＝π， ∴ω＝2.∴f (x )＝sin(2x ＋φ)．(1)当f (x )为偶函数时，f (－x )＝f (x )．∴sin(2x ＋φ)＝sin(－2x ＋φ)，展开整理得sin 2x cos φ＝0，由已知上式对∀x ∈R 都成立，∴cos φ＝0，∵0<φ<2π3，∴φ＝π2. (2)f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫π6，32时， sin ⎝⎛⎭⎫2×π6＋φ＝32， 即sin ⎝⎛⎭⎫π3＋φ＝32. 又∵0<φ<2π3，∴π3<π3＋φ<π.∴π3＋φ＝2π3，φ＝π3. ∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. 令2k π－π2≤2x ＋π3≤2k π＋π2，k ∈Z ， 得k π－5π12≤x ≤k π＋π12，k ∈Z . ∴f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－5π12，k π＋π12，k ∈Z . 10．(2016·长沙模拟)设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫πx 3－π6－2cos 2πx 6. (1)求y ＝f (x )的最小正周期及单调递增区间；(2)若函数y ＝g (x )与y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称，当x ∈[0,1]时，求函数y ＝g (x )的最大值．解：(1)由题意知f (x )＝32sin πx 3－32cos πx 3－1＝3·sin ⎝⎛⎭⎫πx 3－π3－1， 所以y ＝f (x )的最小正周期T ＝2ππ3＝6. 由2k π－π2≤πx 3－π3≤2k π＋π2，k ∈Z ， 得6k －12≤x ≤6k ＋52，k ∈Z ， 所以y ＝f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤6k －12，6k ＋52，k ∈Z . (2)因为函数y ＝g (x )与y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称，所以当x ∈[0,1]时，y ＝g (x )的最大值即为x ∈[3,4]时，y ＝f (x )的最大值，当x ∈[3,4]时，π3x －π3∈⎣⎡⎦⎤2π3，π，sin ⎝⎛⎭⎫π3x －π3∈ ⎣⎡⎦⎤0，32，f (x )∈⎣⎡⎦⎤－1，12， 即当x ∈[0,1]时，函数y ＝g (x )的最大值为12. B 组 高考题型专练1．(2014·高考陕西卷)函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的最小正周期是( ) A.π2B ．πC ．2πD ．4π解析：由周期公式T ＝2π2＝π. 答案：B2．(2015·高考四川卷)下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是( )A ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2 B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2 C ．y ＝sin 2x ＋cos 2x D ．y ＝sin x ＋cos x解析：采用验证法．由y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝－sin 2x ，可知该函数的最小正周期为π且为奇函数，故选A.答案：A3．(2015·高考浙江卷)函数f (x )＝sin 2x ＋sin x cos x ＋1的最小正周期是________，单调递减区间是________．解析：由题意知，f (x )＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4＋32，所以最小正周期T ＝π.令π2＋2k π≤2x －π4≤3π2＋2k π(k ∈Z )，得k π＋3π8≤x ≤k π＋7π8(k ∈Z )，故单调递减区间为⎣⎡⎦⎤3π8＋k π，7π8＋k π(k ∈Z )． 答案：π ⎣⎡⎦⎤3π8＋k π，7π8＋k π(k ∈Z ) 4．(2014·高考北京卷)设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，A >0，ω>0)．若f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π6，π2上具有单调性，且f ⎝⎛⎭⎫π2＝f ⎝⎛⎭⎫2π3＝－f ⎝⎛⎭⎫π6，则f (x )的最小正周期为________． 解析：记f (x )的最小正周期为T . 由题意知T 2≥π2－π6＝π3， 又f ⎝⎛⎭⎫π2＝f ⎝⎛⎭⎫2π3＝－f ⎝⎛⎭⎫π6，且2π3－π2＝π6， 可作出示意图如图所示(一种情况)：∴x 1＝⎝⎛⎭⎫π2＋π6×12＝π3，x 2＝⎝⎛⎭⎫π2＋2π3×12＝7π12， ∴T 4＝x 2－x 1＝7π12－π3＝π4，∴T ＝π. 答案：π5．(2015·高考北京卷)已知函数f (x )＝sin x －23sin 2x 2. (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，2π3上的最小值．解：(1)因为f (x )＝sin x ＋3cos x － 3＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3－3， 所以f (x )的最小正周期为2π.(2)因为0≤x ≤2π3， 所以π3≤x ＋π3≤π. 当x ＋π3＝π，即x ＝2π3时，f (x )取得最小值． 所以f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，2π3上的最小值为f ⎝⎛⎭⎫2π3＝－ 3.。
高考数学一轮复习讲解与练习 3.3三角函数的图像与性质理 新人教A版.pdf
第三节 三角函数的图象与性质 [备考方向要明了] 考 什 么怎 么 考1.能画出y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的图象，了解三角函数的周期性． 2.理解正弦函数、余弦函数在区间[0,2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值以及与x轴的交点等)，理解正切函数在区间内的单调性.1.以选择题或填空题的形式考查三角函数的单调性、周期性及对称性．如2012年新课标全国T9等．2.以选择题或填空题的形式考查三角函数的值域或最值问题．如2012年湖南T6等． 3.与三角恒等变换相结合出现在解答题中．如2012年北京T15等. [归纳·知识整合] 正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质 函数y＝sin xy＝cos xy＝tan x图象定义域RR kZ}值域[－1,1][－1,1]R单调性递增区间：(kZ) 递减区间：(kZ)递增区间：[2kπ－π，2kπ] (k∈Z) 递减区间：[2kπ，2kπ＋π] (k∈Z)递增区间：(kZ)最 值x＝2kπ＋(kZ)时，ymax＝1 x＝2kπ－(kZ)时，ymin＝－1x＝2kπ(kZ)时，ymax＝1 x＝2kπ＋π(kZ) 时，ymin＝－1无最值奇偶性奇函数偶函数奇函数对称性对称中心(kπ，0)，kZ对称中心，kZ对称中心(kZ)对称轴l x＝kπ＋，kZ对称轴l x＝kπ，kZ无对称轴周期2π2ππ [探究] 1.正切函数y＝tan x在定义域内是增函数吗？ 提示：不是．正切函数y＝tan x在每一个区间(kZ)上都是增函数，但在定义域内不是单调函数，故不是增函数． 2．当函数y＝Asin(ωx＋φ)分别为奇函数和偶函数时，φ的取值是什么？对于函数y＝Acos(ωx＋φ)呢？ 提示：函数y＝Asin(ωx＋φ)，当φ＝kπ(kZ)时是奇函数，当φ＝kπ＋(kZ)时是偶函数；函数y＝Acos(ωx＋φ)，当φ＝kπ(kZ)时是偶函数，当φ＝kπ＋(kZ)时是奇函数． [自测·牛刀小试] 1．(教材习题改编)设函数f(x)＝sin，xR，则f(x)是( ) A．最小正周期为π的奇函数 B．最小正周期为π的偶函数 C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数 解析：选B f(x)＝sin(2x－)＝－cos 2x， f(x)是最小正周期为π的偶函数． 2．(教材习题改编)函数y＝4sin x，x[－π，π]的单调性是( ) A．在[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数 B．在上是增函数，在和上都是减函数 C．在[0，π]上是增函数，在[－π，0]上是减函数 D．在上是增函数，在上是减函数 解析：选B 由函数y＝4sin x，x[－π，π]的图象可知，该函数在上是增函数，在和上是减函数． 3．函数y＝ 的定义域为( ) A. B.，kZ C.，kZ D．R 解析：选C cosx－≥0，得cos x≥，2kπ－≤x≤2kπ＋，kZ. 4．(教材习题改编)函数f(x)＝sin，xR的最小正周期为________． 解析：函数f(x)＝sin的最小正周期为 T＝＝4π. 答案：4π 5．函数y＝3－2cos的最大值为________，此时x＝________. 解析：函数y＝3－2cos的最大值为3＋2＝5，此时x＋＝π＋2kπ，即x＝＋2kπ(kZ)． 答案：5 ＋2kπ(kZ) 三角函数的定义域和值域 [例1] (1)求函数y＝lg(2sin x－1)＋的定义域； (2)求函数y＝2cos2x＋5sin x－4的值域． [自主解答] (1)要使函数有意义，必须有 即 解得(kZ)， 即＋2kπ≤x＜＋2kπ(kZ)． 故所求函数的定义域为(kZ)． (2)y＝2cos2x＋5sin x－4 ＝2(1－sin2x)＋5sin x－4 ＝－2sin2x＋5sin x－2 ＝－2(sin x－)2＋. 故当sin x＝1时，ymax＝1， 当sin x＝－1时，ymin＝－9， 故y＝2cos2x＋5sin x－4的值域为[－9,1]． ——————————————————— 1．三角函数定义域的求法 求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图象来求解． 2．三角函数值域的求法 求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型的题目：形如y＝asin x＋bcos x＋c的三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，再求最值(值域)；形如y＝asin2x＋bsin x＋c的三角函数，可先设sin x＝t，化为关于t的二次函数求值域(最值)；形如y＝asin xcos x＋b(sin x±cos x)＋c的三角函数，可先设t＝sin x±cos x，化为关于t的二次函数求值域(最值)． 1．(1)求函数y＝＋的定义域； (2)设aR，f(x)＝cos x(asin x－cos x)＋cos2满足f＝f(0)，求函数f(x)在上的最大值和最小值． 解：(1)要使函数有意义 则即 利用数轴可得： 所以函数的定义域是. (2)f(x)＝cos x(asin x－cos x)＋cos2 ＝asin xcos x－cos2x＋sin2x＝sin 2x－cos 2x. 由于f＝f(0)， 所以·sin－cos＝－1， 即－a＋＝－1，得a＝2. 于是f(x)＝sin 2x－cos 2x＝2sin. 由于x，所以2x－， 因此当2x－＝即x＝时f(x)取得最大值f＝2， 当2x－＝即x＝时f(x)取得最小值f＝. 三角函数的单调性 [例2] 求下列函数的单调递减区间： (1)y＝2sin；(2)y＝tan. [自主解答] (1)由2kπ＋≤x－≤2kπ＋，kZ， 得2kπ＋≤x≤2kπ＋，kZ. 故函数y＝2sin的单调减区间为 (kZ)． (2)把函数y＝tan变为y＝－tan. 由kπ－<2x－<kπ＋，kZ， 得kπ－<2x<kπ＋，kZ， 即－<x0,0<φ<π，直线x＝和x＝是函数f(x)＝sin(ωx＋φ)图象的两条相邻的对称轴，则 φ＝( ) A. B. C. D. (3)(2012·大纲全国卷)若函数f(x)＝sin (φ[0,2π])是偶函数，则φ＝( ) A. B. C. D. [自主解答] (1)法一：(图象特征) 正弦函数图象的对称轴过图象的最高点或最低点， 故令x－＝kπ＋，kZ，x＝kπ＋，kZ.取k＝－1，则x＝－. 法二：(验证法) x＝时，y＝sin＝0，不合题意，排除A；x＝时，y＝sin＝，不合题意，排除B；x＝－时，y＝sin＝－1，符合题意，C项正确；而x＝－时，y＝sin＝－，不合题意，故D项也不正确． (2)由于直线x＝和x＝是函数f(x)＝sin(ωx＋φ)图象的两条相邻的对称轴，所以函数f(x)的最小正周期T＝2π，所以ω＝1，所以＋φ＝kπ＋(kZ)． 又0<φ0，ω>0)的最大值为3，其图象相邻两条对称轴之间的距离为. (1)求函数f(x)的解析式； (2)设α，f＝2，求α的值． 解：(1)函数f(x)的最大值为3，A＋1＝3，即A＝2. 函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为， 最小正周期T＝π， ω＝2，故函数f(x)的解析式为 y＝2sin＋1. (2)f＝2sin＋1＝2， sin＝. 0<α<，－<α－0，若y＝f(ωx)在区间上是增函数，求ω的取值范围； 解：(1)f(x)＝sin2·4sin x＋(cos x＋sin x)· (cos x－sin x) ＝4sin x·＋cos 2x ＝2sin x(1＋sin x)＋1－2sin2x＝2sin x＋1， 故函数解析式为f(x)＝2sin x＋1. (2)f(ωx)＝2sin ωx＋1，ω>0. 由2kπ－≤ωx≤2kπ＋， 得f(ωx)的增区间是，kZ. ∵f(ωx)在上是增函数， ?. ∴－≥－且≤， ω∈. 12．(2012·湖北高考)已知向量a＝(cos ωx－sin ωx，sin ωx)，b＝(－cos ωx－sin ωx,2cos ωx)，设函数f(x)＝a·b＋λ(xR)的图象关于直线x＝π对称，其中ω，λ为常数，且ω. (1)求函数f(x)的最小正周期； (2)若y＝f(x)的图象经过点，求函数f(x)在区间上的取值范围． 解：(1)f(x)＝sin2ωx－cos2ωx＋2sin ωx·cos ωx＋λ＝－cos 2ωx＋sin 2ωx＋λ＝2sin＋λ. 由直线x＝π是y＝f(x)图象的一条对称轴，可得 sin＝±1， 所以2ωπ－＝kπ＋(kZ)，即ω＝＋(kZ)． 又ω(，1)，kZ，所以k＝1，故ω＝. 所以f(x)的最小正周期是. (2)由y＝f(x)的图象过点，得f＝0， 即λ＝－2sin＝－2sin＝－， 即λ＝－. 故f(x)＝2sin－， 由0≤x≤，有－≤x－≤， 所以－≤sin≤1， 得－1－≤2sin－≤2－， 故函数f(x)在上的取值范围为[－1－，2－ ]． 1．求下列函数的定义域： (1)y＝lg sin(cos x)；(2)y＝. 解：(1)要使函数有意义，必须使sin(cos x)＞0. －1≤cos x≤1，0＜cos x≤1. 利用单位圆中的余弦线OM， 依题意知0＜OM≤1，OM只能在x轴的正半轴上， 其定义域为 . (2)要使函数有意义，必须使sin x－cos x≥0. 利用图象．在同一坐标系中画出[0,2π]上y＝sin x和y＝cos x的图象，如图所示． 在[0,2π]内，满足sin x＝cos x的x为，，再结合正弦、余弦函数的周期是2π，所以定义域为 . 2．写出下列函数的单调区间及周期： (1)y＝sin；(2)y＝|tan x|. 解：(1)y＝－sin， 它的增区间是y＝sin的减区间， 它的减区间是y＝sin的增区间． 由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，kZ， 得kπ－≤x≤kπ＋，kZ. 由2kπ＋≤2x－≤2kπ＋，kZ， 得kπ＋≤x≤kπ＋，kZ. 故所给函数的减区间为，kZ； 增区间为，kZ. 最小正周期T＝＝π. (2)观察图象可知，y＝|tan x|的增区间是，kZ，减区间是，kZ.最小正周期：T＝π. 3．求下列函数的值域： (1)y＝； (2)y＝sin2x－4sin x＋5. 解：(1)由y＝，得cos x＝. 因为－1≤cos x≤1， 所以－1≤≤1，解得≤y≤6. 因此，原函数的值域为. (2)y＝sin2x－4sin x＋5＝(sinx－2)2＋1. 因为－1≤sin x≤1，所以2≤y≤10. 因此，原函数的值域为[2,10]． 4．设函数f(x)＝3sin，ω＞0，x(－∞，＋∞)，且以为最小正周期． (1)求f(0)； (2)求f(x)的解析式； (3)已知f＝，求sin α的值． 解：(1)由题设可知f(0)＝3sin＝. (2)f(x)的最小正周期为， ω＝＝4.f(x)＝3sin. (3)f＝3sin＝3cos α＝， cos α＝，sin α＝±＝±.。
5.7 三角函数的应用(精讲)(解析版)--人教版高中数学精讲精练必修一
器在摆动过程中连续三次到达同一位置的时间分别为 t1 ，t2 ，t3 0 t1 t2 t3 ，且 t1 t2 2 ，t2 t3 5 ，则
在一个周期内阻尼器离开平衡位置的位移大于 0.5m 的总时间为（ ）
D． t 40,50 时，盛水筒 P 处于向上运动状态
【答案】AC
【解析】对于
A，
d
3sin
π 30
t
π 6
3 2
的振幅为筒车的半径，筒车的半径为
3m
；
d
3sin
π 30
t
π 6
3 2
的最小正周期 T
2π π 30
60 ，旋转一周用时 60s ，A
正确；
对于
B， dmax
3
3 2
9 2
，筒车的半径 r
A 0, 0,
π 2
近似刻画，据此可估计当天12h 的水深为（
）
A． 7 m 2
C．
5
3
2 2
m
B．4m
D．
5
3
3 2
m
【答案】A
【解析】由题图可得， T
2π
18
6
12
，则
6
，
当 sin(x ) 1 时， y 取得最小值 2 ，即 A 5 2 ，解得 A 3 ，
∵函数 f x 3sin
π 6
x
5 的图象过点
6,
13 2
，
∴sin
π 6
6
1 2
，又 |
|
2
，则
新课标高中数学人教A版必修2精讲精练讲解与习题答案
第1练 §1.1.1柱、锥、台、球的结构特征【第1练】 1～5 DCDDC ； 6.23 4l ； 7. 14cm .8. 解：设长方体的长、宽、高分别为a 、b 、c ，则 2()11 4()24 ab bc ac a b c ++= ìí ++= î ，而对角线长22222 ()2226115 l a b c a b c ab bc ac =++=++---=-= .9. 解：（1）是棱柱，并且是四棱柱. 因为以长方体相对的两个面作底面都是全等的四边形，其余各面都是矩形，且四条侧棱互相平行，符合棱柱定义.（2）截面BCNM 的上方部分是三棱柱 11 BB B CC M - ，下方部分是四棱柱 11 ABMA DCND - .10. 解：把原料切割出所需的两种长方体而没有余料，只有 两种切法， 见图(Ⅰ)和(Ⅱ). 切法(Ⅰ)切割出12个第一种长方体和 6个第二种长方体，切法(Ⅱ)切割出5个第一种长方体和18个第 二种长方体.取 3 块原料，2 块按切法(Ⅰ)切割，1 块按切法(Ⅱ)切割．得 到 29 个第一种长方体和 30 个第二种长方体．因此，取 90 块原 料， 其中60块按切法(Ⅰ)切割，30块按切法(Ⅱ)切割， 共得到 870个第一种长方体和900个第二种长方体． 至 此，没产生任何余料，但还差 30 个第一种长方体．再取 2 块原料，按切法(Ⅲ)切割(见图)，得 30 个第一种长 方体．每块原料剩下12×3×0.1的余料．因此，为了得到这两种长方体各 900个，至少需 90＋2＝92块原料.此时，材料的利用率为 (3120.1)20.21199.9 (312 3.1)92 3.192´´´ -=-»%´´´´ 第2练 §1.1.2 简单组合体的结构特征【第2练】 1～5 ACDBC ；6. 23R ；7. ①③④⑤.8. 解：作截面，利用相似三角形知识，设正方体的棱长为x ，则 x h x a h - = ，解得 ahx a h=+ 9. 解：上、下底面正方形的边长为 1 S 、 2 S ，此棱台对角面、过两相对斜高的截面都是等腰梯形，则侧棱长为 2221 22 () 22 l S S h =-+ g g = 22 21 1 () 2S S h -+ ；斜高为 'h = 2122() 22 S S h -+ =2221 1 () 4S S h -+ .10. 解：（1）通过观察各几何体后，得到下表：图号 顶点数 棱数 面数①8 12 6 ②6 9 5 ③8 12 6 ④8 13 7 ⑤10 15 7 （2）由特殊到一般，归纳猜想得到：顶点数V ＋面数F －棱数E =2；（3）该木块的顶点数为10，面数为7, 棱数为15，有10+7—15=2，与（2）中归纳的数量关系式“V +F —E =2”相符.第3练 §1.2.2 空间几何体的三视图【第3练】 1～5 DADDD ； 6. 球、圆柱、圆锥等； 7. 100π，1010 8. 解：依次从每个几何体的三个方向得到三视图，再与已知三视图比较，所 以依次为C 、A 、D 、B.9. 解：该零件由一个长方体和一个半圆柱体拼接而成，并挖去了一个与该半 圆柱同心的圆柱，这个几何体的三视图如图所示.在视图中，被挡住的轮廓线画成虚线，尺寸线用细实线标出；Φ表示直径，R 表示半径；单位不注明时 按mm 计10. 解：（1）所要正方体个数为7、8、9、10、11都行. （2）最少7个，其俯视图样子不唯一，如下图.最多11个，其俯视图如右图.（图中数字表示在该处的小正方体的个数）第4练 §1.2.3 空间几何体的直观图【第4练】 1～5 BCBBB ； 6. 4 2 ； 7. ①③ 8. 解：（1）画法：如图，按如下步骤完成.第一步 ， 作水平放 置的正方形的直观图 ABCD ， 使 45, BAD Ð= o 2,1 AB cm AD cm == .第二步，过A 作z ¢轴，使 90 BAz ¢ Ð= o . 分别过点 ,, B C D 作z ¢轴的 平行线， 在z ¢轴及这组平行线上分别截取 2 AA BB CC DD cm ¢¢¢¢ ==== .第三步，连接 ,,, A B B C C D D A ¢¢¢¢¢¢¢¢，所得图形就是正方体的直观图. （2）画法：如图，按如下步骤完成.第一步，在已知的圆O 中取直径AB 所在的直线为x 轴，与AB 垂直的半径OD 所在的直线为y 轴，画出对应的x ¢轴和 y ¢轴，使 45 x O y ¢¢¢ Ð= o.第二步，在x ¢轴上取O A OA O B OB ¢¢¢¢ == ， ，在 y ¢轴上取 1 2 O C OC ¢¢= ， 1' 2O D OD ¢= . 第三步，圆的直观图是椭圆，把A B C D¢¢¢¢ ， ， ， 连成椭圆，即得到圆O 的直观图. 9. 解：如图，建立直角坐标系xoy ，在x 轴上取 ''1 OA O A cm == ； 在y 轴上取 2''22 OB O B cm == ；在过点B 的x 轴的平行线上取 ''1 BC B C cm == . 连接O,A,B,C 各点，即得到了原图形.由作法可知，OABC 为平行四边形， 22 813() OC OB BC cm =+=+= ,∴ 平行四边形OABC 的周长为(31)28() cm +´= ， 面积为 2 12222() cm ´= . 10. 解：该几何体类似棱台，先画底面矩形，中心轴，然后上底面矩形，连线 即成.（1） 画法： 如图， 先画轴， 依次画x’、 y’、 z’轴， 三轴相交于点O’， 使 45 x O y ¢¢¢ Ð= o，'90 x O z ¢¢ Ð= o. 在z’轴上取 "8 O O cm ¢ = , 再画x”、y” 轴.在坐标系x’O’y’中作直观图ABCD ， 使得AD =20cm ， AB =8cm ； 在坐标系x’’O’’y’’ 中作直观图A’B’C’D’，使得A’D’=12cm ，A’B’=4cm .连接AA’、BB’、CC’、DD’，即得到所求直观图.（2）如右图所示，延长正视图、侧视图的两腰，设两个交点到下底面的距离分别为h 、h’.根据相似比，分别有 128 20 h h - = 、 8'816'h h - = ，解得 20,'16 h h == .由 ' h h ¹ 可知，各侧棱延长不交于一点. 所以，该几何体不是棱台.第5练 §1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积【第5练】 1～5 BAAAC ；6. 22 ；7. 22:5 .8. 解：一个侧面如右图，易知 1885 2a - == ， 22 13512 h =-= .1 111111 1 3 11 11 11 1 133则 2188 612936() 2S cm + =´´= 侧面积 ， 2 1 88sin 60)6963() 2 S cm =´´´°´= 上底 （ ， 2 1 188sin 60)64863() 2S cm =´´´°´= 下底 （1 . 所以，表面积为 293696348639365823 cm ++=+ （） 9. 解：设圆柱的底面半径为r ，则 r H x R H - = ，解得 Rr R x H =- .∴ 圆柱的表面积 22 2 2()2()() R R RS R x R x x Hx x H H Hp p p =-+-=- .由S 是x 的二次函数， ∴ 当 2 H x = 时，S 取得最大值 2RHp .于是，当圆柱的高是已知圆锥高的一半时，它的表面积最大，最大面积为 2RHp .10. 解：设放入正方体后水深为h cm .当放入正方体后，水面刚好与正方体相平时，由2520102520101010 a ´´=´´+´´ ，解得 8 a = . 当放入正方体后，水面刚好与水箱相平时，由2520302520101010 a ´´=´´+´´ ，解得 28 a = .所以， 当0＜a ≤8时，放入正方体后没有被水淹没，则252025201010 h a h ´´=´´+´´ ，得 5 4a h = . 当828 a <£ 时，放入正方体后被水淹没， 则25202520101010 h a ´´=´´+´´ ，解得 2 h a =+ . 当2830 a <£ 时，放入正方体后水箱内的水将溢出，这时 30 h = .综上可得，当 5(08) 42 (828) 30 (2830) a a h a a a ì <£ ï ï=+<£ í ï <£ ï î.第6练 §1.3.1 柱体、锥体、台体的体积【第6练】 1～5 DBBAB ； 6. 31 cm ； 7.'''PA PB PC PA PB PC×× ×× . 8. 解：由题意有 22401600 S cm == 上 （ ） ， 22 603600() S cm == 下 ,( ) ( )117600 1600160036003600 333 V h S S S S h h =++=´+´+= g 下 下 上 上 .∴ 7600 19000075() 3h h cm =Þ= . 即油槽的深度为75cm .9. 解：设水面圆半径为r , 水深为h , 则有 1213517125h r - == - ， 解得h =7, r =13.于是雨水体积为V = 22 7(12121313)1094.333pp ´´+´+= ， 降雨量为 1094.33 172 pp»3.787(cm ) ，所以降雨量约为37.9mm .10. 解：如果按方案一，仓库的底面直径变成16m ，则仓库的体积231 1116256 ()4() 3323V Sh m p p ==´´´= .如果按方案二，仓库的高变成8m ，则仓库的体积 23 2 1112288()8() 3323 V Sh m p p ==´´´= .（2）如果按方案一，仓库的底面直径变成16m ,半径为8 m . 棱锥的母线长为 22 8445 l =+= ,则仓库的表面积 2 1 845325() S m p p =´´= .如果按方案二，仓库的高变成8m ，棱锥的母线长为 22 8610 l =+= ，则仓库的表面积 22 61060() S m p p =´´= 。
5.7 三角函数的应用(精练)(原卷版)--人教版高中数学精讲精练必修一
5.7三角函数的应用（精练）1．（2023·广西）智能主动降噪耳机工作的原理是通过耳机两端的噪声采集器采集周围的噪声，然后通过主动降噪芯片生成与噪声相位相反、振幅相同的声波来抵消噪声（如图）．已知噪声的声波曲线()cos y A x ωϕ=+（其中0A >，0ω>，0πϕ≤<2）的振幅为1，周期为2π，初相位为π2，则通过主动降噪芯片生成的声波曲线的解析式为（）A ．sin y x =B ．cos y x =C ．sin y x =-D ．cos y x=-2．（2023春·陕西西安·高一校考期中）古代数学家刘徽编撰的《重差》是中国最早的一部测量学著作，也为地图学提供了数学基础，现根据刘徽的《重差》测景一个球体建筑物的高度，已知点A 是球体建筑物与水平地面的接触点（切点），地面上B ，C 两点与点A 在一条直线上，且在点A 的同侧，若在B ，C 处分别测得球体建筑物的最大仰角为60°和30°，且100m BC =，则该球体建筑物的高度约为（）A ．100mB ．(502m +C ．(502mD ．3．（2022春·北京海淀·高一北京市八一中学校考阶段练习）为了研究钟表秒针针尖的运动变化规律，建立如图所示的平面直角坐标系，设秒针针尖位置为点(),P x y ．若初始位置为点0122P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，秒针从0P （规定此时0=t ）开始沿顺时针方向转动，点P 的纵坐标y 与时间t 的函数关系式可能为（）A ．ππ2sin 303y t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭B ．ππsin 603y t ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭C ．ππsin 306y t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭D ．ππcos 306y t ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭4．（2023春·浙江宁波·高一统考期末）据长期观察，某学校周边早上6时到晚上18时之间的车流量y （单位：量）与时间t （单位：h ）满足如下函数关系式：π13sin π30048y A t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭（A 为常数，618t ≤≤）.已知早上8：30（即8.5h t =）时的车流量为500量，则下午15：30（即15.5h t =）时的车流量约为（）2 1.41≈3 1.73≈）A ．441量B ．159量C ．473量D ．127量5．（2023秋·高一单元测试）如图是一个半径为R 的水车，一个水斗从点()33,3A -出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时60秒，经过t 秒后，水斗旋转到点P ，设P 的坐标为()P x y ，，其纵坐标满足()()πsin 002y f t R t t ωϕωϕ⎛⎫==+>>< ⎪⎝⎭，，，则下列叙述错误的是（）A ．6R =、π=30ω、π=6ϕ-B ．当[]35,55t ∈时，点P 到x 轴距离的最大值是6C ．当[]10,25t ∈时，函数()y f t =单调递减D ．当20t =时，63PA =6．（2023春·云南）（多选）单摆是一种简谐运动，摆球的运动情况可以用三角函数表达为()sin y A ωx φ=+，0A >，0ωϕπ><，，其中x 表示时间（s ），y 表示位移（cm ），A 表示振幅，2πω表示频率，φ表示初相位.如图甲某个小球做单摆运动，规定摆球向右偏移的位移为正，竖直方向为平衡位置.图乙表示该小球在[]0,3秒运动时的位移随时间变化情况.根据秒表记录有：当23x =时，小球第一次到平衡位置；当76x =时，小球的位移第一次到反向最大值.根据以上图文信息，下列选项中正确的是（）A ．频率为12B ．初相位π3ϕ=或2π3C ．振幅10A =D ．当83x =时，小球第三次回到平衡位置7（2023春·四川成都·高一校考期中）（多选）如图所示的是一质点做简谐运动的图象，则下列结论正确的是（）A ．该质点的运动周期为0.7sB ．该质点在0.3s 和0.7s 时运动速度为零C ．该质点在0.1s 和0.5s 时运动速度为零D ．该质点的运动周期为0.8s8．（2023秋·江苏淮安·高一统考期末）近年来，淮安市依托地方资源优势，用风能等清洁能源替代传统能源，因地制宜实施新能源项目，在带来了较好经济效益的同时，助力了本地农户增收致富．目前利用风能发电的主要手段是风车发电．如图，风车由一座塔和三个叶片组成，每两个叶片之间的夹角均为120 ，现有一座风车，塔高90米，叶片长40米．叶片按照逆时针方向匀速转动，并且每6秒旋转一圈，风车开始旋转时某叶片的一个端点P 在风车的最低点（此时P 离地面50米）．设点P 转动t （秒）后离地面的距离为S （米），则S 关于t 的函数关系式为，叶片旋转一圈内点P 离地面的高度不低于70米的时长为秒．9．（2023秋·江苏宿迁·高一统考期末）如图点O 为做简谐运动的物体的平衡位置，取向右的方向为物体位移的正方向，若已知振幅为3cm ，周期为3s ，且物体向左运动到平衡位置开始计时，则物体对平衡位置的位移()cm x 和时间()s t 之间的函数关系式为x =．11．（2023·全国·高三对口高考）已知函数()sin y A t ωϕ=+（其中0A >，0ω>，π2ϕ<）的图象如图1所示，它刻画了质点P 做匀速圆周运动（如图2）时，质点相对水平直线l 的位置值y （y 是质点与直线l 的距离（米），质点在直线l 上方时，y 为正，反之y 为负）随时间t （秒）的变化过程．则①质点P 运动的圆形轨道的半径为米；②质点P 旋转一圈所需的时间T =秒；③函数()f t 的解析式为：；④图2中，质点P 首次出现在直线l 上的时刻t =秒．12．（2023·重庆）已知某弹簧振子的位移y （单位：cm ）与时间t （单位：s ）满足()()sin 0y A t ωϕω=+>，初始时将弹簧振子下压至4cm -后松开，经过测量发现弹簧振子每10s 往复振动5次，则在第45s 时，弹簧振子的位移是cm.13（2023春·浙江温州·高一校联考期中）如图，某公园摩天轮的半径为50m ，圆心距地面的高度为60m ，摩天轮做匀速转动，每6min 转一圈，摩天轮上的点p 的起始位置在最低点处．(1)已知在时刻t （单位：min ）时点P 距离地面的高度()()sin f t A t h ωϕ=++（其中0A >，0ω>，π<ϕ），求函数()f t 解析式及8min 时点P 距离地面的高度；(2)当点P 距离地面(60253m +及以上时，可以看到公园的全貌，若游客可以在上面游玩18min ，则游客在游玩过程中共有多少时间可以看到公园的全貌？14．（2023春·四川眉山·高一校考期中）海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮，一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐．在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋．下面是某港口在某季节每天的时间与水深关系表：时刻2：005：008：0011：0014：0017：0020：0023：00水深（米）7.5 5.0 2.5 5.07.5 5.0 2.5 5.0经长期观测，这个港口的水深与时间的关系，可近似用函数()sin()0,0,||2f t A t b A πωϕωϕ⎛⎫=++>>< ⎪⎝⎭来描述．(1)根据以上数据，求出函数()sin()f t A t b ωϕ=++的表达式；(2)一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4.25米，安全条例规定至少要有2米的安全间隙（船底与洋底的距离），该货船在一天内(0:0024:00)-什么时间段能安全进出港口？15．（2023春·广东佛山·高一统考期中）在地球公转过程中，太阳直射点的纬度随时间周而复始不断变化.如图，设地球表面某地正午太阳高度角为θ，δ为此时太阳直射点的纬度（太阳直射北半球时正值，太阳直射南半球时取负值），ϕ为当地的纬度值.(1)若45ϕ=︒，20δ=︒，求θ的值，并直接写出用ϕ，δ表示θ的关系式；(2)某科技小组以某年春分（太阳直射赤道且随后太阳直射点逐渐北移的时间）为初始时间，统计了连续400天太阳直射点的纬度平均值.下面是该科技小组的三处观测站成员在春分后第45天测得的当地太阳高度角数据：观测站A B C 观测站所在纬度ϕ/度40.000023.43930.0000观测站正午太阳高度角θ/度66.387082.946473.6141太阳直射点的纬度δ/度16.385716.3859太阳直射点的纬度平均值y /度请根据数据补充完成上面的表格（计算结果精确到0.0001）；(3)设第x 天时太阳直射点的纬度平均值为y .该科技小组通过对数据的整理和分析，推断y 与x 近似满足函数23.392911sin 0.01720279y x =，经计算2365.2422T πω=≈，已知2023年春分是3月21日，问2023年夏至大概是几月几日?(4)定义从某年春分到次年春分所经历的时间为一个回归年，估计每400年中，应设定多少个闰年，可使这400年与400个回归年所含的天数最为接近（精确到1）.16．（2023春·福建福州·高一福建省福州屏东中学校考期中）某大桥是交通要塞，每天担负着巨大的车流量．已知其车流量y （单位：千辆）是时间t （024t ≤≤，单位：h ）的函数，记为()y f t =，下表是某日桥上的车流量的数据：()t h 03691215182124y （千辆）3.0 1.0 2.9 5.0 3.1 1.0 3.1 5.0 3.1经长期观察，函数()y f t =的图象可以近似地看做函数()()sin f t A t b ωϕ=++（其中0A >，0ω>，0b >，π0ϕ-≤≤）的图象．(1)根据以上数据，画出散点图，并求函数()y f t =的近似解析式；(2)为了缓解交通压力，有关交通部门规定：若车流量超过4千辆时，核定载质量10吨及以上的大货车将禁止通行，试估计一天内将有多少小时不允许这种货车通行？17．（2023春·山东临沂·高一山东省临沂第一中学校考阶段练习）如图，一个半径为4m 的筒车按逆时针方向每分转2圈，筒车的轴心O 距离水面的高度为2m.设筒车上的某个盛水筒P 到水面的距离为d （单位：m ）（在水面下则d 为负数），若以盛水筒P 刚浮出水面时开始计算时间.(1)求d 与时间t （单位：s ）之间函数关系ππsin()0,0,22d A t K A ωϕωϕ⎛⎫=++>>-<< ⎪⎝⎭(2)在（1）的条件下令()()sin f x A x ωϕ=-，()f x 的横坐标缩小为原来的π30，纵坐标变缩小为原来的14得到函数()g x ，画出()g x 在[]0,π上的图象。
人教版高中数学精讲精练必修一5.5 三角恒等变换(精讲)(解析版)
5
13
33 A．
65
B． 33 65
16 C．
65
D． 16 65
【答案】A
【解析】 α，β 为锐角，α β 0，π ， sin α β 1 cos2 α β 12 ，
13
又 sinα 1 cos2α 4 ， 5
cosβ
cos
α
β
α
cos α
β cosα
sin
α
β
sinα
5 13
=
2
cos
3
21 2
1，故正确.
C
选项，
2 tan 22.5 1 tan2 22.5
tan
45
1 ，故正确.
D 选项， 1 1 cos 1 1 3 2 3 1 ，故错误故选：ABC
22 6 22 2
2
考点二 给值求值
【例 2-1】（2022 日照）已知锐角 α，β 满足 cosα 3 ， cos α β 5 ，则 cosβ 的值为（ ）
A． 3 2
B． 1 2
C． 3 2
D． 1 2
【答案】B
【解析】 sin62cos32 sin32cos118 sin62cos32 sin32cos(180 62)
sin62cos32 sin32cos62
sin 62 32 sin30 1 ，A，C，D 不符合题意.
2 故答案为：B. 2．（2022 昌平期末）在平面直角坐标系 xOy 中，角 α 以 Ox 为始边，终边经过点 P(2，3) ，则 tan(α π )
B． 4 5
C． 2 3 5
D． 2 3 5
【解析】由
cos
α
π 6
高考人教A版理科数学一轮复习课件第三章三角函数、解三角形3-5
方向2：三角函数零点(方程的根)问题 【例4】 已知关于x的方程2sin2x－ 3 sin2x＋m－1＝0在π2，π 上有两 个不同的实数根，则m的取值范围是________。
解析 方程2sin2x－ 3sin2x＋m－1＝0可转化为m＝1－2sin2x＋ 3sin2x
＝cos2x＋
3
解析
把函数y＝sin
2x＋π5
的图象向右平移
π 10
个单位长度得函数g(x)
＝sin2x－1π0＋π5＝sin2x的图象，由－2π＋2kπ≤2x≤2π＋2kπ(k∈Z)得－π4＋
kπ≤x≤4π ＋kπ(k∈Z)，令k＝1，得 34π
≤x≤
5π 4
，即函数g(x)＝sin2x的一个单
一、走进教材
1．(必修4P55练习T2改编)为了得到函数y＝2sin 2x－π3 的图象，可以将函 数y＝2sin2x的图象( )
A．向右平移π6个单位长度 B．向右平移3π个单位长度 C．向左平移6π个单位长度 D．向左平移π3个单位长度
答案 A
2．(必修4P62例4改编)某地农业监测部门统计发现：该地区近几年的生 猪收购价格每四个月会重复出现。下表是今年前四个月的统计情况：
必考部分
第三章 三角函数、解三角形
第五节 函数y＝Asin(ωx＋φ)的 图象及三角函数模型的简单应用
微知识·小题练 微考点·大课堂
2019考纲考题考情
微知识·小题练
教材回扣 基础自测
1．用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图 用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下 表所示。
B．g(x)的图象可由函数f(x)的图象向上平移2个单位长度，向右平移
人教A版高中数学精讲精练第03章三角函数B(含答案解析)
2018高中数学精讲精练 第三章 三角函数B第5课 三角函数的图像和性质【考点导读】1.能画出正弦函数，余弦函数，正切函数的图像，借助图像理解正弦函数，余弦函数在[0,2]π，正切函数在(,)22ππ-上的性质； 2.了解函数sin()y A x ωϕ=+的实际意义，能画出sin()y A x ωϕ=+的图像； 3.了解函数的周期性，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函型． 【基础练习】1. 已知简谐运动()2sin()()32f x x ππϕϕ=+<的图象经过点(0，1)，则该简谐运动的最小正周期T =_____6____；初相ϕ=__________．2. 三角方程2sin(2π－x)=1的解集为_______________________． 3. 函数),2,0)(sin(R x x A y ∈π<ϕ>ωϕ+ω=的部分图象如图所示，则函数表达式为______________________．4. 要得到函数sin y x =的图象，只需将函数cos y x π⎛⎫=- ⎪3⎝⎭的图象向右平移__________个单位． 【范例解析】例1.已知函数()2sin (sin cos )f x x x x =+．（Ⅰ）用五点法画出函数在区间,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图象，长度为一个周期；（Ⅱ）说明()2sin (sin cos )f x x x x =+的图像可由sin y x =的图像经过怎样变换而得到． 分析：化为sin()A x ωϕ+形式．解：（I ）由x x x x x x f 2sin 2cos 1cos sin 2sin 2)(2+-=+= )42sin(21)4sin 2cos 4cos 2(sin 21πππ-+=-⋅+=x x x ． 列表，取点，描图：6π{2,}3x x k k Z ππ=±∈ )48sin(4π+π-=x y第3题π6故函数)(x f y =在区间]2,2[-上的图象是：（Ⅱ）解法一：把sin y x =图像上所有点向右平移4π个单位，得到sin()4y x π=-的图像，再把sin()4y x π=-的图像上所有点的横坐标缩短为原来的12（纵坐标不变），得到sin(2)4y x π=-的图像，然后把sin(2)4y x π=-的图像上所有点纵坐标伸长到原来的倍（横坐标不变），得到)4y x π=-的图像，再将)4y x π=-的图像上所有点向上平移1个单位，即得到1)4y xπ=+-的图像．解法二：把sin y x =图像上所有点的横坐标缩短为原来的12（纵坐标不变），得到sin 2y x =的图像，再把sin 2y x =图像上所有点向右平移8π个单位，得到sin(2)4y x π=-的图像，然后把sin(2)4y x π=-的图像上所，得到)4y x π=-的图像，再将)4y x π=-的图像上所有点向上平移1个单位，即得到1)4y x π=+-的图像．例2.已知正弦函数sin()y A x ωϕ=+(0,0)A ω>>的图像如右图所示． （1）求此函数的解析式1()fx ；（2）求与1()f x 图像关于直线8x =对称的曲线的解析式2()f x ； （3）作出函数12()()y f x f x =+的图像的简图．解：（1）由图知，A =22(62)16πω=⨯+=，8πω∴=，即sin()8y x πϕ=+．将2x =，y =sin()4πϕ+=4πϕ=，即1()sin()84f x x ππ=+．（2）设函数2()f x 图像上任一点为(,)M x y ，与它关于直线8x =对称的对称点为(,)M x y '''， 得8,2.x xy y '+⎧=⎪⎨⎪'=⎩解得16,.x x y y '=-⎧⎨'=⎩代入1()sin()84f x xππ''=+中，得2()sin()84f x x ππ=-．（3）12()()sin()sin()2cosy f x f x x x x πππππ=+=+-=，简图如图所示．点评：由图像求解析式，A 比较容易求解，困难的是待定系数求ω和ϕ，通常利用周期确定ω，代入最高点或最低点求ϕ．【反馈演练】1．为了得到函数R x x y ∈+=),63sin(2π的图像，只需把函数2sin y x =，x R ∈的图像上所有的点①向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的31倍（纵坐标不变）；②向右平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的31倍（纵坐标不变）；③向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）；④向右平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）． 其中，正确的序号有_____③______． 2．为了得到函数)62sin(π-=x y 的图象，可以将函数x y 2cos =的图象向右平移__3π__个单位长度．3．若函数()2sin()f x x ωϕ=+，x ∈R （其中0ω>，2ϕπ<）的最小正周期是π，且(0)f =，则ω=__2____；ϕ=__________． 4．在()π2,0内，使x x cos sin >成立的x 取值范围为____________________． 5．下列函数： ①sin 6y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭； ②sin 26y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭； ③cos 43y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭； ④cos 26y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭． 其中函数图象的一部分如右图所示的序号有_____④_____．6．如图，某地一天从6时至14时的温度变化曲线近似满足函数b x A y ++=)sin(ϕω3π5,44ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 第5题（1）求这段时间的最大温差； （2）写出这段时间的函数解析式． 解：（1）由图示，这段时间的最大温差是201030=-℃（2）图中从6时到14时的图象是函数b x A y ++=)sin(ϕω的半个周期∴614221-=⋅ωπ，解得8πω= 由图示，10)1030(21=-=A 20)3010(21=+=b这时，20)8sin(10++=ϕπx y将10,6==y x 代入上式，可取43πϕ= 综上，所求的解析式为20)438sin(10++=ππx y （]14,6[∈x ） 7．如图，函数π2cos()(00)2y x x >ωθωθ=+∈R ，，≤≤的图象与y轴相交于点(0，且该函数的最小正周期为π．（1）求θ和ω的值；（2）已知点π02A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，点P 是该函数图象上一点，点00()Q x y ，是PA当0y =，0ππ2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，求0x 的值．解：（1）将0x =，y =2cos()y x ωθ=+得cos θ=， 因为02θπ≤≤，所以6θπ=． 又因为该函数的最小正周期为π，所以2ω=， 因此2cos 26y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭． （2）因为点02A π⎛⎫ ⎪⎝⎭，，00()Q x y ，是PA 的中点，0y =， 所以点P 的坐标为022x π⎛-⎝． 又因为点P 在2cos 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象上，所以05cos 462x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭因为02x ππ≤≤，所以075194666x πππ-≤≤， 第6题 第7题从而得0511466x ππ-=或0513466x ππ-=． 即023x π=或034x π=．第6课 三角函数的图像和性质【考点导读】1.理解三角函数sin y x =，cos y x =，tan y x =的性质，进一步学会研究形如函数sin()y A x ωϕ=+的性质；2.在解题中体现化归的数学思想方法，利用三角恒等变形转化为一个角的三角函数来研究． 【基础练习】1.写出下列函数的定义域： （1）y =的定义域是______________________________； （2）sin 2cos x y x=的定义域是____________________． 2．函数f (x) = | sin x +cos x |的最小正周期是____________． 3．函数 22sin sin 44f x x x ππ=+--（）（）（）的最小正周期是_______． 4. 函数y=sin(2x+3π)的图象关于点_______________对称． 5. 已知函数tan y x ω= 在（－2π，2π）内是减函数，则ω的取值范围是______________． 【范例解析】例1.求下列函数的定义域： （1）sin tan xy x =+（2）y = {663,}x k x k k Z πππ≤≤+∈ {,}2x x k k Z ππ≠+∈ π π （3π，0） 10ω-≤<解：（1）,2tan 0,2sin 10.x k x x ππ⎧≠+⎪⎪≠⎨⎪+≥⎪⎩即,2,722.66x k x k k x k πππππππ⎧≠+⎪⎪≠⎨⎪⎪-≤≤+⎩，故函数的定义域为7{2266x k x k ππππ-≤≤+且,x k π≠,}2x k k Z ππ≠+∈（2）122log 0,tan 0.x x +≥⎧⎪⎨⎪≥⎩即04,.2x k x k πππ<≤⎧⎪⎨≤<+⎪⎩故函数的定义域为(0,)[,4]2ππ⋃．点评：由几个函数的和构成的函数，其定义域是每一个函数定义域的交集；第（2）问可用数轴取交集．例2．求下列函数的单调减区间：（1）sin(2)3y x π=-； （2）2cos sin()42xy x π=-；解：（1）因为222232k x k πππππ-≤-≤+，故原函数的单调减区间为5[,]()1212k k k Z ππππ-+∈． （2）由sin()042x π-≠，得{2,}2x x k k Z ππ≠+∈， 又2cos 4sin()24sin()42x x y x ππ==+-，所以该函数递减区间为3222242x k k πππππ+<+<+，即5(4,4)()22k k k Z ππππ++∈． 点评：利用复合函数求单调区间应注意定义域的限制． 例3．求下列函数的最小正周期： （1）5tan(21)y x =+；（2）sin sin 32y x x ππ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 解：（1）由函数5tan(21)y x =+的最小正周期为π2，得5tan(21)y x =+的周期2T π=． （2）sin()sin()(sin cos cos sin )cos 3233y x x x x x ππππ=++=+2111cos 2sin cos sin 222422x x x x x +=+=+1sin(2)23x π=+ T π∴=． 点评：求三角函数的周期一般有两种：（1）化为sin()A x ωϕ+的形式特征，利用公式求解；（2）利用函数图像特征求解．【反馈演练】1．函数x x y 24cos sin +=的最小正周期为 _____________． 2．设函数()sin ()3f x x x π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭R ，则()f x 在[0,2]π上的单调递减区间为___________________． 3．函数()sin ([,0])f x x x x π=∈-的单调递增区间是________________． 4．设函数()sin 3|sin 3|f x x x =+，则()f x 的最小正周期为_______________． 5．函数22()cos 2cos 2x f x x =-在[0,]π上的单调递增区间是_______________． 6．已知函数π124()πsin 2x f x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭=⎛⎫+ ⎪⎝⎭． （Ⅰ）求()f x 的定义域； （Ⅱ）若角α在第一象限且3cos 5α=，求()f α． 解：（Ⅰ） 由πsin 02x ⎛⎫+≠ ⎪⎝⎭得ππ2x k ≠-+，即ππ2x k ≠-()k ∈Z ． 故()f x 的定义域为π|π2x x k k ⎧⎫∈≠-∈⎨⎬⎩⎭R Z ，．（Ⅱ）由已知条件得4sin 5α===．从而π124()πsin 2f ααα⎛⎫- ⎪⎝⎭=⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 2π[,0]6π-32π[,]3ππ 2[,]63ππ，75[,]63ππππ1cos 2cos sin 2sin 44cos ααα⎫+⎪⎝⎭= 21cos 2sin 22cos 2sin cos cos cos ααααααα+++==142(cos sin )5αα=+=． 7． 设函数)(),0( )2sin()(x f y x x f =<<-+=ϕπϕ图像的一条对称轴是直线8π=x ．（Ⅰ）求ϕ；（Ⅱ）求函数)(x f y =的单调增区间； （Ⅲ）画出函数)(x f y =在区间],0[π上的图像解：（Ⅰ）)(8x f y x ==是函数π的图像的对称轴，,1)82sin(±=+⨯∴ϕπ,.42k k Z ππϕπ∴+=+∈ .43,0πϕϕπ-=<<- （Ⅱ）由（Ⅰ）知).432sin(,43ππϕ-=-=x y 因此 由题意得.,2243222Z k k x k ∈+≤-≤-πππππ 所以函数.],85,8[)432sin(Z k k k x y ∈++-=πππππ的单调增区间为 （Ⅲ）由知)32sin(π-=x y 故函数上图像是在区间],0[)(πx f y =第7课 三角函数的值域与最值【考点导读】1.掌握三角函数的值域与最值的求法，能运用三角函数最值解决实际问题；2.求三角函数值域与最值的常用方法：（1）化为一个角的同名三角函数形式，利用函数的有界性或单调性求解；（2）化为一个角的同名三角函数形式的一元二次式，利用配方法或图像法求解；（3）借助直线的斜率的关系用数形结合求解；（4）换元法． 【基础练习】1.函数x x y cos 3sin +=在区间[0,]2π上的最小值为 1 ．2.函数)(2cos 21cos )(R x x x x f ∈-=的最大值等于 ．3.函数tan()2y x π=-(44x ππ-≤≤且0)x ≠的值域是___________________． 4.当20π<<x 时，函数xxx x f 2sin sin 82cos 1)(2++=的最小值为 4 ．【范例解析】例1.（1）已知1sin sin 3x y +=，求2sin cos y x -的最大值与最小值． （2）求函数sin cos sin cos y x x x x =⋅++的最大值． 分析：可化为二次函数求最值问题． 解：（1）由已知得：1sin sin 3y x =-，sin [1,1]y ∈-，则2sin [,1]3x ∈-． 22111sin cos (sin )212y x x ∴-=--，当1sin 2x =时，2sin cos y x -有最小值1112-；当2sin 3x =-时，2sin cos y x -有最小值49．（2）设sin cos x x t +=(t ≤≤，则21sin cos 2t x x -⋅=，则21122y t t =+-，当t =时，y 有最大值为12+ 点评：第（1）小题利用消元法，第（2）小题利用换元法最终都转化为二次函数求最值问题；但要注意变量的取值范围． 例2.求函数2cos (0)sin xy x xπ-=<<的最小值．分析：利用函数的有界性求解．解法一：原式可化为sin cos 2(0)y x x x π+=<<)2x ϕ+=，即sin()x ϕ+=，43 (,1][1,)-∞-⋃+∞1≤，解得y ≥y ≤，所以y 解法二：2cos (0)sin xy x xπ-=<<表示的是点(0,2)A 与(sin ,cos )B x x -连线的斜率，其中点B 在左半圆221(0)a b a +=<上，由图像知，当AB 与半圆相切时，y 最小，此时AB k =y点评：解法一利用三角函数的有界性求解；解法二从结构出发利用斜率公式，结合图像求解．例3.已知函数2π()2sin 24f x x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，ππ42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，． （I ）求()f x 的最大值和最小值；（II ）若不等式()2f x m -<在ππ42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，上恒成立，求实数m 的取值范围．分析：观察角，单角二次型，降次整理为sin cos a x b x +形式．解：（Ⅰ）π()1cos 221sin 222f x x x x x ⎡⎤⎛⎫=-+=+⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦∵ π12sin 23x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭．又ππ42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∵，ππ2π2633x -∴≤≤，即π212sin 233x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭≤≤，max min ()3()2f x f x ==，∴．（Ⅱ）()2()2()2f x m f x m f x -<⇔-<<+∵，ππ42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，max ()2m f x >-∴且min ()2m f x <+，14m <<∴，即m 的取值范围是(14)，．点评：第（Ⅱ）问属于恒成立问题，可以先去绝对值，利用参数分离转化为求最值问题．本小题主要考查三角函数和不等式的基本知识，以及运用三角公式、三角函数的图象和性质解题的能力．【反馈演练】 1．函数))(6cos()3sin(2R x x x y ∈+--=ππ的最小值等于____－1_______．2．当04x π<<时，函数22cos ()sin xf x x x=-的最小值是______4 _______．3．函数sin cos 2x y x =+的最大值为，最小值为________.3- (1,1)-4．函数cos tan y x x =⋅的值域为 .5．已知函数()2sin (0)f x x ωω=>在区间,34ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值是2-，则ω的最小值等于_________．6．已知函数()2cos (sin cos )1f x x x x x =-+∈R ，． （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求函数()f x 在区间π3π84⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的最小值和最大值．解：（Ⅰ）π()2cos (sin cos )1sin 2cos 224f x x x x x x x ⎛⎫=-+=-=- ⎪⎝⎭．因此，函数()f x 的最小正周期为π．（Ⅱ）因为π()24f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间π3π88⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上为增函数，在区间3π3π84⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上为减函数，又π08f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，3π8f ⎛⎫= ⎪⎝⎭3π3πππ14244f ⎛⎫⎛⎫=-==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故函数()f x 在区间π3π84⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的最大值为1-．第８课 解三角形【考点导读】1.掌握正弦定理，余弦定理，并能运用正弦定理，余弦定理解斜三角形；2.解三角形的基本途径：根据所给条件灵活运用正弦定理或余弦定理，然后通过化边为角或化角为边，实施边和角互化． 【基础练习】1．在△ABC 中，已知BC ＝12，A ＝60°，B ＝45°，则AC ＝ .2．在ABC ∆中，若sin :sin :sin 5:7:8A B C =，则B ∠的大小是______________.3．在ABC △中，若1tan 3A =，150C =，1BC =，则AB = ．32 3π 2【范例解析】例1. 在△ABC 中，a ，b ，c 分别为∠A ，∠B ，∠C 的对边，已知20a c +=，2C A =，3cos 4A =． （1）求ca的值；（2）求b 的值． 分析：利用2C A =转化为边的关系．解：（1）由sin sin 232cos sin sin 2c C A A a A A ====． （2）由20,3.2a c c a +=⎧⎪⎨=⎪⎩得8,12.a c =⎧⎨=⎩．由余弦定理2222cos a b c bc A =+-得： 218800b b -+=，解得：8b =或10b =， 若8b =，则A B =，得4A π=，即3cos 24A =≠矛盾，故10b =． 点评：在解三角形时，应注意多解的情况，往往要分类讨论．例2.在三角形ABC 中，已知2222()sin()()sin()a b A B a b A B +-=-+，试判断该三角形的形状． 解法一：(边化角)由已知得：22[sin()sin()][sin()sin()]a A B A B b A B A B --+=---+， 化简得222cos sin 2cos sin a A B b B A =，由正弦定理得：22sin cos sin sin cos sin A A B B B A =，即sin sin (sin cos sin cos )0A B A A B B -=， 又,(0,)A B π∈，sin sin 0A B ∴⋅≠，sin 2sin 2A B ∴=．又2,2(0,2)A B π∈，22A B ∴=或22A B π=-，即该三角形为等腰三角形或直角三角形． 解法二：(角化边)同解法一得：222cos sin 2cos sin a A B b B A =，由正余弦定理得：2222222222b c a a c b a b b a bc ac+-+-=，整理得：22222()()0a b c a b ---=，即a b =或222c a b =+，即该三角形为等腰三角形或直角三角形．点评：判断三角形形状主要利用正弦或余弦定理进行边角互化，从而利用角或边判定三角形形状． 例3.如图，D 是直角△ABC 斜边BC 上一点，AB=AD ，记∠CAD=α，∠ABC=β. （1）证明：sin cos 20αβ+=； （2）若，求β．分析：识别图中角之间的关系，从而建立等量关系. （1）证明：C βα=+，2C B π=-，22πβα∴=+，sin cos 20αβ∴+=BDCαβ A例4（2）解：，2sin βαββ∴==.(0,)2πβ∈，sin β∴=，3πβ∴=.点评：本题重点是从图中寻找到角之间的等量关系，从而建立三角函数关系，进而求出β的值.【反馈演练】1．在ABC ∆中，,75,45,300===C A AB 则BC =_____________． 2．ABC ∆的内角∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ，b ，c 成等比数列，且2c a =，则cos B =_____．3．在ABC ∆中，若2a b c =+，2sin sin sin A B C =，则∆的形状是____等边___三角形． 4．若ABC ∆的内角A 满足2sin 23A =，则sin cos A A += ．5．在ABC ∆中，已知2AC =，3BC =，4cos 5A =-．（Ⅰ）求sin B 的值； （Ⅱ）求sin 26B π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．解：（Ⅰ）在ABC ∆中，3sin 5A ===，由正弦定理，sin sin BC AC A B =．所以232sin sin 355AC B A BC ==⨯=． （Ⅱ）因为4cos 5A =-，所以角A 为钝角，从而角B 为锐角，于是cos 5B ===，2217cos 22cos 12125B B =-=⨯-=， 2sin 22sin cos 25B B B ==⨯=．sin 2sin 2cos cos 2sin 666B B B πππ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭17125252=⨯= 6．在ABC ∆中，已知内角A π=3，边BC =B x =，周长为y ． （1）求函数()y f x =的解析式和定义域；（2）求y 的最大值．33- 34解：（1）ABC ∆的内角和A B C ++=π，由00A B C π=>>3，，得20B π<<3．应用正弦定理，知sin 4sin sin sin BC AC B x x A ===3，2sin 4sin sin BC AB C x A π⎛⎫==- ⎪3⎝⎭． 因为y AB BC AC =++，所以224sin 4sin 03y x x x ππ⎛⎫⎫=+-+<<⎪⎪3⎝⎭⎭，（2）因为14sin cos sin 2y x x x ⎛⎫=+++ ⎪ ⎪2⎝⎭5x x ππππ⎛⎫⎫=++<+< ⎪⎪6666⎝⎭⎭， 所以，当x ππ+=62，即x π=3时，y取得最大值7．在ABC ∆中，1tan 4A =，3tan 5B =． （Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）若ABC ∆解：（Ⅰ）π()C A B =-+，1345tan tan()113145C A B +∴=-+=-=--⨯． 又0πC <<，3π4C ∴=．（Ⅱ）34C =π，AB∴边最大，即AB =又tan tan 0A B A B π⎛⎫<∈ ⎪2⎝⎭，，，，∴角A 最小，BC 边为最小边．由22sin 1tan cos 4sin cos 1A A A A A ⎧==⎪⎨⎪+=⎩，，且π02A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，得sin A =sin sin AB BC C A =得：sin 2sin A BC AB C == 所以，最小边BC1A2A120105 乙例1（1）第9课 解三角形的应用【考点导读】1.运用正余弦定理等知识与方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．2.综合运用三角函数各种知识和方法解决有关问题，深化对三角公式和基础知识的理解，进一步提高三角变换的能力．【基础练习】1．在200m 高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30°，60°，则塔高为_________m ．2．某人朝正东方向走x km 后，向右转150°，然后朝新方向走3km ，结果他离出发点恰好3km ，那么x 的值为_______________ km ． 3．一船以每小时15km 的速度向东航行，船在A 60，行驶4h 后，船到达C 处，看到这个灯塔在北偏东15，这时船与灯塔的距离为 km 4．如图，我炮兵阵地位于A 处，两观察所分别设于B ，D ，已知ABD ∆为边长等于a 的正三角形，当目标出现于C 时，测得45BDC ∠=，75CBD ∠=，求炮击目标的距离AC 解：在BCD ∆中，由正弦定理得：sin 60sin 45a BC=︒︒∴BC =在ABC ∆中，由余弦定理得：2222cos AC AB BC AB BC ABC =+-⋅⋅∠∴AC =答：线段AC 的长为． 【范例解析】例 .如图，甲船以每小时线航行，A BCD第4题 23或3 340030当甲船位于1A 处时，乙船位于甲船的北偏西105方向的1B 处，此时两船相距20海里，当甲船航行20分钟到达2A 处时，乙船航行到甲船的北偏西120方向的2B 处，此时两船相距海里，问乙船每小时航行多少海里？分析：读懂题意，正确构造三角形，结合正弦定理或余弦定理求解．解法一：如图(2)，连结12A B，由已知22A B =122060A A ==1222A A AB ∴=， 又12218012060A A B =-=∠，122A A B ∴△是等边三角形，1212A B A A ∴==，由已知，1120A B =，1121056045B A B =-=∠， 在121A B B △中，由余弦定理，22212111211122cos45B B A B A B A B A B =+-22202202=+-⨯⨯200=．12B B ∴=60=/小时）答：乙船每小时航行海里． 解法二：如图（3），连结21A B ， 由已知1120A B =，122060AA ==112105B A A =∠， cos105cos(4560)=+cos 45cos60sin 45sin 60=-=，sin105sin(4560)=+sin 45cos60cos 45sin 60=+=在211A A B △中，由余弦定理，22221111211122cos105A B A B A A A B A A =+-22202204=+-⨯⨯100(4=+．2110(1A B ∴=．1A2A120 105例1（2）1A2A120 乙例1（3）由正弦定理11121112212(13)2sin sin 10(13)A B A A B B A A A B +===+∠∠， 12145A A B ∴=∠，即121604515B A B =-=∠，2(1cos15sin105+==．在122B A B △中，由已知22A B =22212212221222cos15B B A BA B A BA B =+-22210(1210(1=++-⨯+⨯200=．12B B ∴=6020=（海里/小时）． 答：乙船每小时航行海里．点评：解法二也是构造三角形的一种方法，但计算量大，通过比较二种方法，学生要善于利用条件简化解题过程．【反馈演练】1．江岸边有一炮台高30m45︒和30︒，而且两条船与炮台底部连线成30︒角，则两条船相距2．有一长为1km 的斜坡，它的倾斜角为20︒，现要将倾斜角改为10︒，则坡底要伸长____1___km ．3．某船上的人开始看见灯塔在南偏东30︒方向，后来船沿南偏东60︒方向航行45海里后，看见灯塔在正西方向，则此时船与灯塔的距离是__________4．把一根长为30cm 的木条锯成两段，分别作钝角三角形ABC 的两边AB 和BC ，且120ABC ∠=︒，则第三条边AC 的最小值是． 5．设)(t f y =是某港口水的深度y （米）关于时间t （时）的函数，其中240≤≤t .下表是该港口某一天 从0 经长期观察，函数)(t f y =的图象可以近似地看成函数)sin(ϕω++=t A k y 的图象.下面的函数中, 最能近似表示表中数据间对应关系的函数是（ A ）A ．]24,0[,6sin 312∈+=t t y πB ．]24,0[),6sin(312∈++=t t y ππC ．]24,0[,12sin312∈+=t t y πD ．]24,0[),212sin(312t t y ππ++=。
高考数学第一轮复习 第三篇 三角函数、解三角形细致讲解练 理 新人教A版
第三篇 三角函数、解三角形第1讲 任意角和弧度制及任意角的三角函数[最新考纲]1．了解任意角的概念；了解弧度制的概念． 2．能进行弧度与角度的互化．3．理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.知 识 梳 理1．角的概念的推广(1)定义：角可以看成平面内的一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．(2)分类⎩⎪⎨⎪⎧按旋转方向不同分为正角、负角、零角.按终边位置不同分为象限角和轴线角.(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S ＝{β|β＝α＋k ·360°，k ∈Z }． 2．弧度制的定义和公式(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．弧度记作rad. (2)公式：角α的弧度数公式 |α|＝lr(弧长用l 表示) 角度与弧度的换算①1°＝π180rad ②1 rad ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫180π°弧长公式弧长l ＝|α|r扇形面积公式S ＝12lr ＝12|α|r 23.任意角的三角函数三角函数 正弦 余弦正切定义 设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么y 叫做α的正弦，记作sin α x 叫做α的余弦，记作cos αyx叫做α的正切，记作tan α 各象限符号Ⅰ ＋＋ ＋ Ⅱ ＋ － － Ⅲ － － ＋ Ⅳ －＋－口诀Ⅰ全正，Ⅱ正弦，Ⅲ正切，Ⅳ余弦续表三角函数线有向线段MP 为正弦线有向线段OM 为余弦线 有向线段AT 为正切线辨 析 感 悟1．对角的概念的认识(1)小于90°的角是锐角．(×) (2)锐角是第一象限角，反之亦然．(×)(3)将表的分针拨快5分钟，则分针转过的角度是30°.(×) (4)相等的角终边一定相同，终边相同的角也一定相等．(×) 2．任意角的三角函数定义的理解(5)(教材练习改编)已知角α的终边经过点P (－1,2)，则sin α＝2－12＋22＝255.(√)(6)(2013·济南模拟改编)点P (tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在第二象限．(√)(7)(2011·新课标全国卷改编)已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则cos θ＝55.(×)[感悟·提升]1．一个区别 “小于90°的角”、“锐角”、“第一象限的角”的区别如下：小于90°的角的范围：⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，π2，锐角的范围：⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，第一象限角的范围：⎝⎛⎭⎪⎫2k π，2k π＋π2(k ∈Z )．所以说小于90°的角不一定是锐角，锐角是第一象限角，反之不成立．如(1)、(2)．2．三个防范 一是注意角的正负，特别是表的指针所成的角，如(3)；二是防止角度制与弧度制在同一式子中出现；三是如果角α的终边落在直线上时，所求三角函数值有可能有两解，如(7).考点一 象限角与三角函数值的符号判断【例1】 (1)若sin α·tan α＜0，且cos αtan α＜0，则角α是( )．A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角(2)sin 2·cos 3·tan 4的值( )． A ．小于0 B ．大于0 C ．等于0D ．不存在解析 (1)由sin α·tan α＜0可知sin α，tan α异号，从而α为第二或第三象限的角，由cos αtan α＜0，可知cos α，tan α异号．从而α为第三或第四象限角．综上，α为第三象限角．(2)∵sin 2＞0，cos 3＜0，tan 4＞0， ∴sin 2·cos 3·tan 4＜0. 答案 (1)C (2)A规律方法 熟记各个三角函数在每个象限内的符号是判断的关键，对于已知三角函数式符号判断角所在象限，可先根据三角函数式的符号确定各三角函数值的符号，再判断角所在象限． 【训练1】 设θ是第三象限角，且⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos θ2＝－cos θ2，则θ2是( )．A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析 由θ是第三象限角，知θ2为第二或第四象限角，∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos θ2＝－cos θ2，∴cos θ2≤0，知θ2为第二象限角．答案 B考点二 三角函数定义的应用【例2】 已知角θ的终边经过点P (－3，m )(m ≠0)且sin θ＝24m ，试判断角θ所在的象限，并求cos θ和tan θ的值． 解 由题意得，r ＝3＋m 2，∴sin θ＝m3＋m2＝24m . ∵m ≠0，∴m ＝± 5.故角θ是第二或第三象限角．当m ＝5时，r ＝22，点P 的坐标为(－3，5)，角θ是第二象限角，∴cos θ＝x r ＝－322＝－64，tan θ＝y x ＝5－3＝－153.当m ＝－5时，r ＝22，点P 的坐标为(－3，－5)，角θ是第三象限角．∴cos θ＝x r ＝－322＝－64，tan θ＝y x ＝－5－3＝153.综上可知，cos θ＝－64，tan θ＝－153或cos θ＝－64，tan θ＝153. 规律方法 利用三角函数的定义求一个角的三角函数值，需确定三个量：角的终边上任意一个异于原点的点的横坐标x 、纵坐标y 、该点到原点的距离r .若题目中已知角的终边在一条直线上，此时注意在终边上任取一点有两种情况(点所在象限不同)． 【训练2】 已知角α的终边在直线y ＝－3x 上，求10sin α＋3cos α的值．解 设角α终边上任一点为P (k ，－3k )， 则r ＝k 2＋－3k2＝10|k |.当k ＞0时，r ＝10k ， ∴sin α＝－3k10k＝－310，1cos α＝10k k ＝10，∴10sin α＋3cos α＝－310＋310＝0；当k ＜0时，r ＝－10k ， ∴sin α＝－3k －10k ＝310，1cos α＝－10k k＝－10， ∴10sin α＋3cos α＝310－310＝0.综上，10sin α＋3cos α＝0.考点三 扇形弧长、面积公式的应用【例3】 已知一扇形的圆心角为α(α＞0)，所在圆的半径为R . (1)若α＝60°，R ＝10 cm ，求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积； (2)若扇形的周长是一定值C (C ＞0)，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？审题路线 (1)角度化为弧度⇒求扇形的弧长⇒S 弓＝S 扇－S △⇒分别求S 扇＝12lr ，S △＝12r 2sinα⇒计算得S 弓．(2)由周长C 与半径R 的关系确定R 与α的关系式⇒代入扇形面积公式⇒确定S 扇与α的关系式⇒求解最值．解 (1)设弧长为l ，弓形面积为S 弓，则α＝60°＝π3，R ＝10，l ＝π3×10＝10π3(cm)， S 弓＝S 扇－S △＝12×10π3×10－12×102×sin π3＝503π－5032＝50⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－32(cm 2)． (2)法一 扇形周长C ＝2R ＋l ＝2R ＋αR ，∴R ＝C2＋α，∴S 扇＝12α·R 2＝12α·⎝ ⎛⎭⎪⎫C 2＋α2 ＝C 22α·14＋4α＋α2＝C 22·14＋α＋4α≤C 216. 当且仅当α2＝4，即α＝2 rad 时，扇形面积有最大值C 216.法二 由已知，得l ＋2R ＝C ， ∴S 扇＝12lR ＝12(C －2R )R ＝12(－2R 2＋RC )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫R －C 42＋C216.故当R ＝C 4，l ＝2R ，α＝2 rad 时，这个扇形的面积最大，最大值为C 216.规律方法 (1)在弧度制下，计算扇形的面积和弧长比在角度制下更方便、简捷．(2)求扇形面积的最值应从扇形面积出发，在弧度制下使问题转化为关于α的不等式或利用二次函数求最值的方法确定相应最值.学生用书第50页【训练3】 (1)一个半径为r 的扇形，若它的周长等于弧所在的半圆的弧长，那么扇形的圆心角是多少弧度？扇形的面积是多少？(2)一扇形的周长为20 cm ；当扇形的圆心角α等于多少弧度时，这个扇形的面积最大？ 解 (1)设扇形的圆心角为θ rad ，则扇形的周长是2r ＋rθ. 依题意：2r ＋rθ＝πr ， ∴θ＝(π－2)rad.∴扇形的面积S ＝12r 2θ＝12(π－2)r 2.(2)设扇形的半径为r ，弧长为l ， 则l ＋2r ＝20，即l ＝20－2r (0＜r ＜10)．∴扇形的面积S ＝12lr ＝12(20－2r )r＝－r 2＋10r ＝－(r －5)2＋25. ∴当r ＝5 cm 时，S 有最大值25 cm 2， 此时l ＝10 cm ，α＝l r＝2 rad.因此，当α＝2 rad 时，扇形的面积取最大值．1．在利用三角函数定义时，点P 可取终边上任一点，如有可能则取终边与单位圆的交点．|OP |＝r 一定是正值．2．三角函数符号是重点，也是难点， 在理解的基础上可借助口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦．3．在解简单的三角不等式时，利用单位圆及三角函数线是一个小技巧．创新突破4——以任意角为背景的应用问题【典例】 (2012·山东卷)如图，在平面直角坐标系xOy 中，一单位圆的圆心的初始位置在(0,1)，此时圆上一点P 的位置在(0,0)，圆在x 轴上沿正向滚动，当圆滚动到圆心位于(2,1)时，OP →的坐标为________．突破1：理解点P 转动的弧长是解题的关键，在单位圆中可寻找直角三角形． 突破2：在直角三角形中利用三角函数定义求边长． 突破3：由几何图形建立P 点坐标与边长的关系．解析 如图，作CQ ∥x 轴，PQ ⊥CQ, Q 为垂足． 根据题意得劣弧＝2，故∠DCP ＝2，则在△PCQ 中，∠PCQ ＝2－π2，|CQ |＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－π2＝sin 2，|PQ |＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2－π2＝－cos 2，所以P 点的横坐标为2－|CQ |＝2－sin 2，P 点的纵坐标为1＋|PQ |＝1－cos 2，所以P 点的坐标为(2－sin 2,1－cos 2)， 故OP →＝(2－sin 2,1－cos 2)． 答案 (2－sin 2,1－cos 2)[反思感悟] (1)解决此类问题时应抓住在旋转过程中角的变化，结合弧长公式、解三角形等知识来解决．(2)常见实际应用问题有：表针的旋转问题、儿童游乐场的摩天轮的旋转问题等． 【自主体验】已知圆O ：x 2＋y 2＝4与y 轴正半轴的交点为M ，点M 沿圆O 顺时针运动π2弧长到达点N ，以ON 为终边的角记为α，则tan α＝( )．A ．－1B ．1C ．－2D ．2解析 圆的半径为2，π2的弧长对应的圆心角为π4，故以ON 为终边的角为⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝2k π＋π4，k ∈Z ，故tan α＝1.答案 B基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1．若sin α＜0且tan α＞0，则α是( )．A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角 解析 ∵sin α＜0，则α的终边落在第三、四象限或y 轴的负半轴；又tan α＞0，∴α在第一象限或第三象限，故α在第三象限． 答案 C2．(2014·汕头一中质检)一段圆弧的长度等于其圆内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为( )．A. π3B.2π3C. 3D. 2解析 设圆的半径为R ，由题意可知，圆内接正三角形的边长为3R ，∴圆弧长为3R .∴该圆弧所对圆心角的弧度数为3RR＝ 3.答案 C3．点P 从(1,0)出发，沿单位圆x 2＋y 2＝1按逆时针方向运动2π3弧长到达Q 点，则Q 的坐标为( )．A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－12C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－32D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12解析 由弧长公式得，P 点逆时针转过的角度α＝2π3，所以Q 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2π3，sin 2π3，即⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32. 答案 A4．已知点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π4，cos 3π4落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ的值为( )． A.π4 B.3π4 C.5π4 D.7π4 解析 由sin 3π4＞0，cos 3π4＜0知角θ是第四象限的角，∵tan θ＝cos3π4sin3π4＝－1，θ∈[0,2π)，∴θ＝7π4.答案 D 5．有下列命题：①终边相同的角的同名三角函数的值相等； ②终边不同的角的同名三角函数的值不等； ③若sin α＞0，则α是第一、二象限的角；④若α是第二象限的角，且P (x ，y )是其终边上一点，则cos α＝－xx 2＋y 2.其中正确的命题的个数是( )．A ．1B ．2C ．3D ．4 解析 ①正确，②不正确，∵sin π3＝sin 2π3，而π3与2π3角的终边不相同．③不正确．sin α＞0，α的终边也可能在y 轴的正半轴上． ④不正确．在三角函数的定义中，cos α＝x r＝x x 2＋y 2，不论角α在平面直角坐标系的任何位置，结论都成立． 答案 A 二、填空题6．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的非负半轴，若P (4，y )是角θ终边上一点，且sin θ＝－255，则y ＝______.解析 因为sin θ＝y42＋y2＝－255，所以y ＜0，且y 2＝64，所以y ＝－8. 答案 －8 7.如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，角α的终边与单位圆交于点A ，点A 的纵坐标为45，则cos α＝____.解析 因为A 点纵坐标y A ＝45，且A 点在第二象限，又因为圆O 为单位圆，所以A 点横坐标x A ＝－35，由三角函数的定义可得cos α＝－35.答案 －358．函数y ＝2cos x －1的定义域为________． 解析∵2cos x －1≥0，∴cos x ≥12.由三角函数线画出x 满足条件的终边的范围(如图阴影所示)． ∴x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π3，2k π＋π3(k ∈Z )． 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π3，2k π＋π3(k ∈Z ) 三、解答题9．(1)写出与下列各角终边相同的角的集合S ，并把S 中适合不等式－360°≤α<720°的元素α写出来： ①60°；②－21°.(2)试写出终边在直线y ＝－3x 上的角的集合S ，并把S 中适合不等式－180°≤α<180°的元素α写出来．解 (1)①S ＝{α|α＝60°＋k ·360°，k ∈Z }，其中适合不等式－360°≤α<720°的元素α为－300°，60°，420°；②S ＝{α|α＝－21°＋k ·360°，k ∈Z }，其中适合不等式－360°≤α<720°的元素α为－21°，339°，699°.(2)终边在y ＝－3x 上的角的集合是S ＝{α|α＝k ·360°＋120°，k ∈Z }∪{α|α＝k ·360°＋300°，k ∈Z }＝{α|α＝k ·180°＋120°，k ∈Z }，其中适合不等式－180°≤α<180°的元素α为－60°，120°.10．(1)已知扇形周长为10，面积是4，求扇形的圆心角；(2)一个扇形OAB 的面积是1 cm 2，它的周长是4 cm ，求圆心角的弧度数和弦长AB . 解 (1)设圆心角是θ，半径是r ，则⎩⎪⎨⎪⎧2r ＋rθ＝10，12θ·r 2＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧r ＝4，θ＝12或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝1，θ＝8(舍去)．∴扇形的圆心角为12.(2)设圆的半径为r cm ，弧长为l cm ， 则⎩⎪⎨⎪⎧12lr ＝1，l ＋2r ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧r ＝1，l ＝2.∴圆心角α＝lr＝2.如图，过O 作OH ⊥AB 于H ，则∠AOH ＝1弧度． ∴AH ＝1·sin 1＝sin 1 (cm)， ∴AB ＝2sin 1 (cm)．能力提升题组 (建议用时：25分钟)一、选择题1．(2014·杭州模拟)已知角α的终边经过点(3a －9，a ＋2)，且cos α≤0，sin α＞0，则实数a 的取值范围是( )． A ．(－2,3] B ．(－2,3) C ．[－2,3) D ．[－2,3]解析 由cos α≤0，sin α＞0可知，角α的终边落在第二象限或y 轴的正半轴上，所以有⎩⎪⎨⎪⎧3a －9≤0，a ＋2＞0，解得－2＜a ≤3.答案 A2．给出下列命题：①第二象限角大于第一象限角；②三角形的内角是第一象限角或第二象限角；③不论用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形所在半径的大小无关； ④若sin α＝sin β，则α与β的终边相同； ⑤若cos θ<0，则θ是第二或第三象限的角． 其中正确命题的个数是( )． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4解析 由于第一象限角370°不小于第二象限角100°，故①错；当三角形的内角为90°时，其既不是第一象限角，也不是第二象限角，故②错；③正确；由于sin π6＝sin 5π6，但π6与5π6的终边不相同，故④错；当θ＝π，cos θ＝－1<0时既不是第二象限角，又不是第三象限角，故⑤错．综上可知只有③正确． 答案 A 二、填空题3．若角α的终边落在直线x ＋y ＝0上，则sin α1－sin 2α＋1－cos 2αcos α＝________. 解析 原式＝sin α|cos α|＋|sin α|cos α，由题意知角α的终边在第二、四象限，sin α与cos α的符号相反，所以原式＝0. 答案 0 三、解答题4．已知sin α＜0，tan α＞0. (1)求α角的集合； (2)求α2终边所在的象限；(3)试判断tan α2sin α2cos α2的符号．解 (1)由sin α＜0，知α在第三、四象限或y 轴的负半轴上； 由tan α＞0，知α在第一、三象限， 故α角在第三象限，其集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|2k ＋1π＜α＜2k π＋3π2，k ∈Z .(2)由(2k ＋1)π＜α＜2k π＋3π2，得k π＋π2＜α2＜k π＋3π4，k ∈Z ，故α2终边在第二、四象限． (3)当α2在第二象限时，tan α2＜0，sin α2＞0，cos α2＜0，所以tan α2sin α2cos α2取正号；当α2在第四象限时，tan α2＜0，sin α2＜0，cos α2＞0，所以tan α2sin α2cos α2也取正号．因此，tan α2sin α2cos α2取正号. 学生用书第51页第2讲 同角三角函数的基本关系式与诱导公式[最新考纲]1．理解同角三角函数的基本关系式：sin 2α＋cos 2α＝1，sin αcos α＝tan α.2．能利用单位圆中的三角函数线推导出π2±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式.知 识 梳 理1．同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1. (2)商数关系：sin αcos α＝tan α.2．三角函数的诱导公式一 二 三 四 五 六 角2k π＋α (k ∈Z ) π＋α －α π－α π2－α π2＋α 正弦sin α －sin α －sin α sin α cos α cos α 余弦cos α －cos α cos α －cos α sin α－sin α正切 tan αtan α－tan α－tan α口诀 函数名不变，符号看象限函数名改变，符号看象限3.特殊角的三角函数值 角α0° 30° 45° 60° 90° 120° 150° 18的弧度数0 π6 π4 π3 π2 2π3 5π6 πin α12223213212os α13222120－12－32－an α03313－3－33辨析感悟1．对三角函数关系式的理解(1)若α，β为锐角，sin2α＋cos2β＝1. (×)(2)若α∈R，则tan α＝sin αcos α恒成立．(×)(3)(教材练习改编)已知sin α＝45，α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π，则cos α＝35.(×)2．对诱导公式的认识(4)六组诱导公式中的角α可以是任意角．(√)(5)诱导公式的记忆口诀中“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指π2的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化．(√)(6)角π＋α和α终边关于y轴对称．(×)3．诱导公式的应用(7)若cos(nπ－θ)＝13(n∈Z)，则cos θ＝13.(×)(8)(2013·广东卷改编)已知sin⎝⎛⎭⎪⎫5π2＋α＝15，则cos α＝－15.(×)[感悟·提升]1．一点提醒平方关系和商数关系式中的角都是同一个角，且商数关系式中α≠π2＋kπ，k∈Z，如(1)、(2)．2．两个防范一是利用平方关系式解决问题时，要注意开方运算结果的符号，需要根据角α的范围确定，如(3)；二是利用诱导公式化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负—脱周—化锐，特别注意函数名称和符号的确定．考点一 同角三角函数基本关系式的应用【例1】 (1)已知tan α＝2，则2sin α－3cos α4sin α－9cos α＝___________，4sin 2α－3sin αcos α－5cos 2α＝________.(2)(2014·山东省实验中学诊断)已知sin θ·cos θ＝18，且π4＜θ＜π2，则cos θ－sinθ的值为________．解析 (1)2sin α－3cos α4sin α－9cos α＝2tan α－34tan α－9＝2×2－34×2－9＝－1，4sin 2α－3sin αcos α－5cos 2α＝4sin 2α－3sin αcos α－5cos 2αsin 2 α＋cos 2α＝4tan 2α－3tan α－5tan 2α＋1＝4×4－3×2－54＋1＝1. (2)当π4＜θ＜π2时，sin θ＞cos θ，∴cos θ－sin θ＜0，又(cos θ－sin θ)2＝1－2sin θcos θ＝1－14＝34，∴cos θ－sin θ＝－32. 答案 (1)－1 1 (2)－32学生用书第52页规律方法 (1)应用公式时注意方程思想的应用，对于sin α＋cos α，sin α－cos α，sin αcos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α可以知一求二．(2)关于sin α，cos α的齐次式，往往化为关于tan α的式子． 【训练1】 (1)已知sin α＋cos α＝15，0＜α＜π，则tan α＝______.(2)已知sin α＝2sin β，tan α＝3tan β，求cos α＝________. 解析 (1)法一 联立方程⎩⎪⎨⎪⎧sin α＋cos α＝15， ①sin 2α＋cos 2α＝1， ②由①得cos α＝15－sin α，将其代入②，整理得25sin 2α－5sin α－12＝0.又0＜α＜π，∴⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝45，cos α＝－35，∴tan α＝－43.法二 ∵sin α＋cos α＝15，∴(sin α＋cos α)2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫152，即1＋2sin αcos α＝125，∴2sin αcos α＝－2425，∴(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1＋2425＝4925.∵sin αcos α＝－1225＜0且0＜α＜π，∴sin α＞0，cos α＜0，∴sin α－cos α＞0，∴sin α－cos α＝75，由⎩⎪⎨⎪⎧sin α＋cos α＝15，sin α－cos α＝75，得⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝45，cos α＝－35，∴tan α＝－43.(2)∵sin α＝2sin β，tan α＝3tan β，∴sin 2α＝4sin 2β，① tan 2α＝9tan 2β，②由①÷②得：9cos 2α＝4cos 2β，③ ①＋③得：sin 2α＋9cos 2α＝4，∵cos 2α＋sin 2α＝1，∴cos 2α＝38，即cos α＝±64.答案 (1)－43 (2)±64考点二 利用诱导公式化简三角函数式【例2】 (1)sin(－1 200°)cos 1 290°＋cos(－1 020°)·sin(－1 050°)＝________. (2)设f (α)＝2sin π＋αcos π－α－cos π＋α1＋sin 2α＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α(1＋2sin α≠0)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π6＝________.解析 (1)原式＝－sin 1 200°cos 1 290°－cos 1 020°sin1 050°＝－sin(3×360°＋120°)cos(3×360°＋210°)－cos(2×360°＋300°)sin(2×360°＋330°)＝－sin 120°cos 210°－cos 300°sin 330°＝－sin(180°－60°)cos(180°＋30°)－cos(360°－60°)·sin(360°－30°) ＝sin 60°cos 30°＋cos 60°sin 30°＝32×32＋12×12＝1. (2)∵f (α)＝－2sin α－cos α＋cos α1＋sin 2α＋sin α－cos 2α＝2sin αcos α＋cos α2sin 2α＋sin α＝cos α1＋2sin αsin α1＋2sin α＝1tan α， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π6＝1tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π6＝1tan ⎝⎛⎭⎪⎫－4π＋π6 ＝1tanπ6＝ 3.答案 (1)1 (2) 3规律方法 (1)诱导公式应用的原则：负化正、大化小，化到锐角为终了． (2)诱导公式应用的步骤：任意负角的三角函数→任意正角的三角函数→ 0～2π的角的三角函数→锐角三角函数注意：诱导公式应用时不要忽略了角的范围和三角函数的符号．【训练2】 (1)sin(－1 071°)sin 99°＋sin(－171°)sin(－261°)＋tan(－1 089°)tan(－540°)＝________.(2)化简：tan π＋αcos 2π＋αsin ⎝⎛⎭⎪⎫α－3π2cos －α－3πsin －3π－α＝________.解析 (1)原式＝(－sin 1 071°)·sin 99°＋sin 171°· sin 261°＋tan 1 089°·tan 540°＝－sin(3×360°－9°)sin(90°＋9°)＋sin(180°－9°)· sin(270°－9°)＋tan(3×360°＋9°)·tan(360°＋180°) ＝sin 9°cos 9°－sin 9°cos 9°＋tan 9°·tan 180° ＝0＋0＝0.(2)原式＝tan αcos αsin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2π＋⎝⎛⎭⎪⎫α＋π2cos 3π＋α[－sin 3π＋α]＝tan αcos αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α－cos αsin α＝tan αcos αcos α－cos αsin α＝－tan αcos αsin α＝－sin αcos α·cos αsin α＝－1.答案 (1)0 (2)－1考点三 利用诱导公式求值【例3】 (1)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝12，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝______；(2)已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝33，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫56π＋α＝________.解析 (1)∵⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝π2，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝12.(2)∵⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋α＝π，∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫56π＋α＝ －tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫56π＋α＝－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－33.答案 (1)12 (2)－33规律方法 巧用相关角的关系会简化解题过程．常见的互余关系有π3－α与π6＋α；π3＋α与π6－α；π4＋α与π4－α等，常见的互补关系有π3＋θ与2π3－θ；π4＋θ与3π4－θ等．【训练3】 (1)已知sin ⎝⎛⎭⎪⎫7π12＋α＝23，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－11π12＝________；(2)若tan(π＋α)＝－12，则tan(3π－α)＝________.解析 (1)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－11π12＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π12－α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＋α＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＋α， 而sin ⎝⎛⎭⎪⎫7π12＋α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＋α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＋α＝23， 所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－11π12＝－23. (2)因为tan(π＋α)＝tan α＝－12，所以tan(3π－α)＝tan(π－α)＝－tan α＝12.答案 (1)－23 (2)121．同角关系及诱导公式要注意象限角对三角函数符号的影响，尤其是利用平方关系在求三角函数值时，进行开方时要根据角的象限或范围，判断符号后，正确取舍．2．三角求值、化简是三角函数的基础，在求值与化简时，常用方法有：(1)弦切互化法：主要利用公式tan x ＝sin x cos x 化成正弦、余弦函数；(2)和积转换法：如利用(sin θ±cos θ)2＝1±2sin θcos θ的关系进行变形、转化；(3)巧用“1”的变换：1＝sin 2θ＋cos 2θ＝cos 2θ(1＋tan 2θ)＝tan π4＝….方法优化2——灵活运用同角三角函数的基本关系式求值【典例】 (2013·浙江卷)已知α∈R ，sin α＋2cos α＝102，则tan 2α＝( )．A.43B.34 C ．－34 D ．－43 [一般解法] 由sin α＋2cos α＝102，得sin α＝102－2cos α，① 又sin 2α＋cos 2α＝1，② 联立①②，解得⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝31010，cos α＝1010或⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝－1010，cos α＝31010.所以tan α＝sin αcos α＝3或－13.当tan α＝3时，tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×31－32＝－34；当tan α＝－13时，tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－131－⎝ ⎛⎭⎪⎫－132＝－34. 综上，tan 2α＝－34.故选C.[优美解法] 法一 (直接法)两边平方，再同时除以cos 2 α，得3tan 2α－8tan α－3＝0，tan α＝3或tan α＝－13，代入tan 2α＝2tan α1－tan 2α，得到tan 2α＝－34.法二 (猜想法)，由给出的数据及选项的唯一性，记sin α＝310，cos α＝110，这时sin α＋2cos α＝102符合要求，此时tan α＝3，代入二倍角公式得到答案C. [答案] C[反思感悟] (1)熟记同角三角函数关系式及诱导公式，特别是要注意公式中的符号问题； (2)注意公式的变形应用，如sin 2α＝1－cos 2α，cos 2α＝1－sin 2α，1＝sin 2α＋cos 2α及sin α＝tan α·cos α等．这是解题中常用到的变形，也是解决问题时简化解题过程的关键所在． 【自主体验】(2013·东北三校模拟)已知sin θ＋cos θ＝43⎝ ⎛⎭⎪⎫0＜θ＜π4，则sin θ－cos θ的值为( )． A.23 B ．－23 C.13 D ．－13解析 法一 ∵0＜θ＜π4，∴cos θ＞sin θ，又(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝169，∴2sin θcos θ＝79，∴(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝1－79＝29，∴sin θ－cos θ＝－23. 法二 ∵sin θ＋cos θ＝43，且θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π4.∴θ＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，sin θ＋cos θ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝43，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝223，又cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝1－sin 2⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝1－⎝⎛⎭⎪⎫2232＝13， ∴sin θ－cos θ＝－(cos θ－sin θ)＝－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝－23. 答案 B基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1．已知α和β的终边关于直线y ＝x 对称，且β＝－π3，则sin α等于( )．A ．－32 B.32 C ．－12 D.12解析 因为α和β的终边关于直线y ＝x 对称，所以α＋β＝2k π＋π2(k ∈Z )．又β＝－π3，所以α＝2k π＋5π6(k ∈Z )，即得sin α＝12. 答案 D2．(2014·临川一中一调)sin 29π6＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－29π3－tan 25π4＝( )． A ．0 B.12 C ．1 D ．－12解析 原式＝sin(4π＋5π6)＋cos(－10π＋π3)－tan(6π＋π4)＝sin 5π6＋cos π3－tan π4＝12＋12－1＝0. 答案 A3．(2014·郑州模拟)1－2sin π＋2cos π－2＝( )． A ．sin 2－cos 2 B ．sin 2＋cos 2 C ．±(sin 2－cos 2) D ．cos 2－sin 2 解析 1－2sin π＋2cos π－2＝1－2sin 2cos 2 ＝sin 2－cos 22＝|sin 2－cos 2|＝sin 2－cos 2.答案 A4．(2014·石家庄模拟)已知sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5，则sin 2α－sin αcos α的值是( )．A.25 B ．－25C ．－2D ．2 解析 由sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5得tan α＋33－tan α＝5即tan α＝2，所以sin 2α－sin αcos α＝sin 2α－sin αcos αsin 2 α＋cos 2 α＝tan 2α－tan αtan 2α＋1＝25. 答案 A5．若sin α是5x 2－7x －6＝0的根，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－α－3π2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－αtan 22π－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αsin π＋α＝( )．A.35B.53C.45D.54解析 由5x 2－7x －6＝0，得x ＝－35或 2.∴sin α＝－35.∴原式＝cos α－cos α·tan 2αsin α·－sin α·－sin α＝1－sin α＝53.答案 B 二、填空题6．(2014·杭州模拟)如果sin(π＋A )＝12，那么cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π－A 的值是________．解析 ∵sin(π＋A )＝12，∴－sin A ＝12.∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π－A ＝－sin A ＝12.答案 127．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋7π12的值为________． 解析 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋7π12＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12＋π2＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12＝－13.答案 －138．(2013·江南十校第一次考试)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－α＝13，且－π＜α＜－π2，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－α＝________.解析 ∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－α＝13，又－π＜α＜－π2，∴7π12＜π12－α＜13π12， ∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫π12－α＝－1－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－α＝－223.答案 －223三、解答题9．化简：sin k π－αcos[k －1π－α]sin[k ＋1π＋α]cos k π＋α(k ∈Z )．解 当k ＝2n (n ∈Z )时，原式＝sin 2n π－αcos[2n －1π－α]sin[2n ＋1π＋α]cos 2n π＋α＝sin －α·cos －π－αsin π＋α·cos α＝－sin α－cos α－sin α·cos α＝－1；当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时，原式＝sin[2n ＋1π－α]·cos[2n ＋1－1π－α]sin[2n ＋1＋1π＋α]·cos[2n ＋1π＋α]＝sin π－α·c os αsin α·cos π＋α＝sin α·cos αsin α－cos α＝－1. 综上，原式＝－1.10．已知在△ABC 中，sin A ＋cos A ＝15.(1)求sin A cos A 的值；(2)判断△ABC 是锐角三角形还是钝角三角形； (3)求tan A 的值．解 (1)∵sin A ＋cos A ＝15，①∴两边平方得1＋2sin A cos A ＝125，∴sin A cos A ＝－1225，(2)由sin A cos A ＝－1225＜0，且0＜A ＜π，可知cos A ＜0，∴A 为钝角，∴△ABC 是钝角三角形． (3)∵(sin A －cos A )2＝1－2sin A cos A ＝1＋2425＝4925，又sin A ＞0，cos A ＜0，∴sin A －cos A ＞0， ∴sin A －cos A ＝75，②∴由①，②可得sin A ＝45，cos A ＝－35，∴tan A ＝sin A cos A ＝45－35＝－43.能力提升题组 (建议用时：25分钟)一、选择题1．(2012·辽宁卷)已知sin α－cos α＝2，α∈(0，π)，则tan α＝( )． A ．－1 B ．－22 C.22 D ．1 解析 法一 因为sin α－cos α＝2， 所以2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝2，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝1. 因为α∈(0，π)，所以α＝3π4，所以tan α＝－1.法二 因为sin α－cos α＝2，所以(sin α－cos α)2＝2，所以sin 2α＝－1.因为α∈(0，π)，2α∈(0,2π)，所以2α＝3π2，所以α＝3π4，所以tan α＝－1. 答案 A2．(2014·衡水质检)已知α为锐角，且2tan(π－α)－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋β＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)＝1, 则sin α的值是( )．A.355B.377C.31010D.13解析 由已知可得－2tan α＋3sin β＋5＝0，tan α－6sin β＝1，解得tan α＝3，又sin 2α＋cos 2α＝1，α为锐角． 故sin α＝31010.答案 C 二、填空题3．sin 21°＋sin 22°＋…＋sin 290°＝________.解析 sin 21°＋sin 22°＋…＋sin 290°＝sin 21°＋sin 22°＋…＋sin 244°＋sin 245°＋cos 244°＋cos 243°＋…＋cos 21°＝(sin 21°＋cos 21°)＋(sin 22°＋cos 22°)＋…＋(sin 244°＋cos 244°)＋sin 245°＋sin 290°＝45＋12＝912.答案912三、解答题4．是否存在α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，β∈(0，π)，使等式sin(3π－α)＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－β，3cos(－α)＝－2cos(π＋β)同时成立？若存在，求出α，β的值；若不存在，请说明理由．解 假设存在角α，β满足条件，则由已知条件可得⎩⎨⎧ sin α＝2sin β，3cos α＝2cos β，①②由①2＋②2，得sin 2α＋3cos 2α＝2. ∴sin 2α＝12，∴sin α＝±22.∵α∈⎝⎛⎭⎪⎫－π2，π2，∴α＝±π4. 当α＝π4时，由②式知cos β＝32，又β∈(0，π)，∴β＝π6，此时①式成立；当α＝－π4时，由②式知cos β＝32，又β∈(0，π)，∴β＝π6，此时①式不成立，故舍去．∴存在α＝π4，β＝π6满足条件.学生用书第53页 第3讲 三角函数的图象与性质[最新考纲]1．能画出y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x 的图象，了解三角函数的周期性．2．借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]，正切函数在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上的性质.知 识 梳 理正弦、余弦、正切函数的图象与性质 (下表中k ∈Z ).函数y ＝sin x y ＝cos x y ＝tan x图象定义域 R R {x | x ∈R ，且x ≠⎭⎬⎫k π＋π2，k ∈Z值域 [－1,1] [－1,1] R 周期性 2π 2π π 奇偶性奇函数偶函数 奇函数递增区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2 [2k π－π，2k π] ⎝⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2递减区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π2，2k π＋3π2 [2k π，2k π＋π]无对称中心 (k π，0)⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π2，0⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2，0对称轴x ＝k π＋π2x ＝k π无辨 析 感 悟1．周期性的判断(1)(教材习题改编)由sin(30°＋120°)＝sin 30°知，120°是正弦函数y ＝sin x (x ∈R )的一个周期． (×)(2)函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的最小正周期为π2. (√) 2．判断奇偶性与对称性(3)函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋3π2是奇函数． (×) (4)函数y ＝sin x 的对称轴方程为x ＝2k π＋π2(k ∈Z )．(×)3．求三角函数的单调区间(5)函数f (x )＝sin(－2x )与f (x )＝sin 2x 的单调增区间都是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π4，k π＋π4(k ∈Z )．(×)(6)函数y ＝tan x 在整个定义域上是增函数． 4．求三角函数的最值(7)存在x ∈R ，使得2sin x ＝3.(×)(8)(教材习题改编)函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最小值为－22.(√) [感悟·提升]1．一点提醒 求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间时，应注意ω的符号，只有当ω>0时，才能把ωx ＋φ看作一个整体，代入y ＝sin t 的相应单调区间求解．2．三个防范 一是函数y ＝sin x 与y ＝cos x 的对称轴分别是经过其图象的最高点或最低点且平行于y 轴的直线，如y ＝cos x 的对称轴为x ＝k π，而不是x ＝2k π(k ∈Z )． 二是对于y ＝tan x 不能认为其在定义域上为增函数，应在每个区间⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2(k∈Z )内为增函数，如(6)．三是函数y ＝sin x 与y ＝cos x 的最大值为1，最小值为－1，不存在一个值使sin x ＝32，如(7).学生用书第54页考点一 三角函数的定义域、值域问题【例1】 (1)函数y ＝sin x －cos x 的定义域为________．(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6时，函数y ＝3－sinx －2cos 2x 的最小值是________，最大值是________．解析 (1)法一 要使函数有意义，必须使sin x －cos x ≥0.利用图象， 在同一坐标系中画出[0,2π]上y ＝sin x 和y ＝cos x 的图象，如图所示．在[0,2π]内，满足sin x ＝cos x 的x 为π4，5π4，再结合正弦、余弦函数的周期是2π，所以原函数的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4，k ∈Z .法二 利用三角函数线，画出满足条件的终边范围(如图阴影部分所示)．∴定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4，k ∈Z. 法三 sin x －cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4≥0，将x －π4视为一个整体，由正弦函数y ＝sin x 的图象和性质可知2k π≤x －π4≤π＋2k π，k ∈Z ，解得2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4，k ∈Z .所以定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4，k ∈Z. (2)y ＝3－sin x －2cos 2x＝3－sin x －2(1－sin 2x )＝2sin 2x －sin x ＋1，令sin x ＝t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1， ∴y ＝2t 2－t ＋1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫t －142＋78，t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，∴y min ＝78，y max ＝2.答案 (1)⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4，k ∈Z(2)78 2规律方法 (1)求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图象来求解． (2)三角函数值域的不同求法①利用sin x 和cos x 的值域直接求．②把形如y ＝a sin x ＋b cos x 的三角函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式求值域． ③利用sin x ±cos x 和sin x cos x 的关系转换成二次函数求值域．【训练1】 (2014·广州模拟)已知函数f (x )＝6cos 4x ＋5sin 2x －4cos 2x ，求f (x )的定义域和值域．解 由cos 2x ≠0得2x ≠k π＋π2，k ∈Z ，解得x ≠k π2＋π4，k ∈Z ，所以f (x )的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ∈R ，且x ≠k π2＋π4，k ∈Z . f (x )＝6cos 4 x ＋5sin 2 x －4cos 2x ＝6cos 4 x ＋5－5cos 2x －42cos 2x －1 ＝2cos 2x －13cos 2x －12cos 2x －1＝3cos 2x －1. 所以f (x )的值域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫y |－1≤y ＜12，或12＜y ≤2.考点二 三角函数的奇偶性、周期性和对称性【例2】 (1)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋3π2(x ∈R )，下面结论错误的是( )．A ．函数f (x )的最小正周期为πB ．函数f (x )是偶函数C ．函数f (x )的图象关于直线x ＝π4对称D ．函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是增函数(2)如果函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3，0中心对称，那么|φ|的最小值为( )．A.π6B.π4C.π3D.π2解析 (1)f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋3π2＝－cos 2x ，故其最小正周期为π，A 正确；易知函数f (x )是偶函数，B 正确；由函数f (x )＝－cos 2x 的图象可知，函数f (x )的图象不关于直线x ＝π4对称，C 错误；由函数f (x )的图象易知，函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是增函数，D 正确，故选C.(2)由题意得3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×4π3＋φ＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋φ＋2π＝3cos ⎝⎛⎭⎪⎫2π3＋φ＝0，∴2π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，∴φ＝k π－π6，k ∈Z ，取k ＝0，得|φ|的最小值为π6.答案 (1)C (2)A规律方法 (1)求最小正周期时可先把所给三角函数式化为y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)的形式，则最小正周期为T ＝2π|ω|；奇偶性的判断关键是解析式是否为y ＝A sin ωx 或y ＝A cos ωx ＋b 的形式．(2)求f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(ω≠0)的对称轴，只需令ωx ＋φ＝π2＋k π(k ∈Z )，求x ；求f (x )的对称中心的横坐标，只需令ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )即可．【训练2】 (1)函数y ＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4－1是( )．A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为π的偶函数C ．最小正周期为π2的奇函数D ．最小正周期为π2的偶函数(2)函数y ＝2sin(3x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫||φ＜π2的一条对称轴为x ＝π12，则φ＝________. 解析 (1)y ＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4－1＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2＝sin 2x 为奇函数，T ＝2π2＝π.(2)由y ＝sin x 的对称轴为x ＝k π＋π2(k ∈Z )，所以3×π12＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，得φ＝k π＋π4(k ∈Z )，又|φ|＜π2，∴k ＝0，故φ＝π4.答案 (1)A (2)π4考点三 三角函数的单调性【例3】 (2014·临沂月考)设函数f (x )＝sin(－2x ＋φ)(0＜φ＜π)，y ＝f (x )图象的一条对称轴是直线x ＝π8.(1)求φ； (2)求函数y ＝f (x )的单调区间．审题路线 令(－2)×π8＋φ＝π2＋k π，k ∈Z ⇒解得φ＝？又0＜φ＜π⇒得出φ值⇒把f (x )＝sin(－2x ＋φ)，化为f (x )＝－sin(2x －φ)⇒令g (x )＝sin(2x －φ)⇒求出g (x )的单调区间⇒利用f (x )与g (x )的关系求f (x )的单调区间． 解 (1)令(－2)×π8＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，∴φ＝k π＋3π4，k ∈Z ，又0＜φ＜π，∴φ＝3π4.(2)由(1)得f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x ＋3π4＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －3π4， 令g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －3π4，由－π2＋2k π≤2x －3π4≤π2＋2k π，k ∈Z ，得π8＋k π≤x ≤5π8＋k π，k ∈Z ，即g (x )的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8＋k π，5π8＋k π，k ∈Z ； 由π2＋2k π≤2x －3π4≤3π2＋2k π，k ∈Z ， 得5π8＋k π≤x ≤9π8＋k π，k ∈Z ， 即g (x )的单调减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π8＋k π，9π8＋k π(k ∈Z )，故f (x )的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π8＋k π，9π8＋k π(k ∈Z )； 单调减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8＋k π，5π8＋k π(k ∈Z ).学生用书第55页规律方法 求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成y ＝A sin(ωx ＋φ)形式，再求y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间，只需把ωx ＋φ看作一个整体代入y ＝sin x 的相应单调区间内即可，注意要先把ω化为正数．【训练3】 (2013·安徽卷)已知函数f (x )＝4cos ωx ·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4(ω＞0)的最小正周期为π.(1)求ω的值；(2)讨论f (x )在区间[0，π2]上的单调性．解 (1)f (x )＝4cos ωx ·sin(ωx ＋π4)＝22sin ωx ·cos ωx ＋22cos 2ωx ＝2(sin 2ωx ＋cos 2ωx )＋2＝2sin(2ωx ＋π4)＋ 2.因为f (x )的最小正周期为π，且ω＞0， 从而有2π2ω＝π，故ω＝1.(2)由(1)知，f (x )＝2sin(2x ＋π4)＋ 2.若0≤x ≤π2，则π4≤2x ＋π4≤5π4.当π4≤2x ＋π4≤π2，即0≤x ≤π8时，f (x )单调递增； 当π2≤2x ＋π4≤5π4，即π8≤x ≤π2时，f (x )单调递减． 综上可知，f (x )在区间[0，π8]上单调递增，在区间[π8，π2]上单调递减．1．求三角函数的定义域应注意利用三角函数线或者三角函数图象．2．判断函数奇偶性，应先判定函数定义域的对称性，注意偶函数的和、差、积、商仍为偶函数；复合函数在复合过程中，对每个函数而言，一偶则偶，同奇则奇．3．三角函数单调区间的确定，一般先将函数式化为基本三角函数标准式，然后通过同解变形或利用数形结合方法求解．对复合函数单调区间的确定，应明确是对复合过程中的每一个函数而言，同增同减则为增，一增一减则为减．4．求三角函数式的最小正周期时，要尽可能地化为只含一个三角函数的式子，否则很容易出现错误．一般地，经过恒等变形成“y＝A sin(ωx＋φ)，y＝A cos(ωx＋φ)，y＝A tan(ωx ＋φ)”的形式，再利用周期公式即可．答题模板5——三角函数的最值(或值域)问题【典例】 (12分)(2013·陕西卷)已知向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x ，－12，b ＝(3sin x ，cos 2x )，x ∈R ，设函数f (x )＝a ·b . (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值和最小值．[规范解答] f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x ，－12·(3sin x ，cos 2x )＝3cos x sin x －12cos 2x(2分) ＝32sin 2x －12cos 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6.(4分)(1)f (x )的最小正周期为T ＝2πω＝2π2＝π， 即函数f (x )的最小正周期为π.(6分)(2)∵0≤x ≤π2，∴－π6≤2x －π6≤5π6.(8分)由正弦函数的性质，得当2x －π6＝π2，即x ＝π3时，f (x )取得最大值1.当2x －π6＝－π6，即x ＝0时，f (0)＝－12，当2x －π6＝5π6，即x ＝π2时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝12，。
高中数学精讲精练(新人教A版)第03章 三角函数A
2013高中数学精讲精练第三章三角函数A【知识导读】【方法点拨】三角函数是一种重要的初等函数，它与数学的其它部分如解析几何、立体几何及向量等有着广泛的联系，同时它也提供了一种解决数学问题的重要方法——“三角法”．这一部分的内容，具有以下几个特点：1．公式繁杂.公式虽多，但公式间的联系非常密切，规律性强.弄清公式间的相互联系和推导体系，是记住这些公式的关键.2．思想丰富.化归、数形结合、分类讨论和函数与方程的思想贯穿于本单元的始终，类比的思维方法在本单元中也得到充分的应用.如将任意角的三角函数值的问题化归为锐角的三角函数的问题，将不同名的三角函数问题化成同名的三角函数的问题，将不同角的三角函数问题化成同角的三角函数问题等.3．变换灵活.有角的变换、公式的变换、三角函数名称的变换、三角函数次数的变换、三角函数表达形式的变换及一些常量的变换等，并且有的变换技巧性较强.4．应用广泛.三角函数与数学中的其它知识的结合点非常多，它是解决立体几何、解析几何及向量问题的重要工具，并且这部分知识在今后的学习和研究中起着十分重要的作用，比如在物理学、天文学、测量学及其它各门科学技术都有广泛的应用.第1课 三角函数的概念【考点导读】1． 理解任意角和弧度的概念，能正确进行弧度与角度的换算．角的概念推广后，有正角、负角和零角；与α终边相同的角连同角α本身，可构成一个集合{}Z k k S ∈⋅+==,360 αββ；把长度等于半径的圆弧所对的圆心角定义为1弧度的角，熟练掌握角度与弧度的互换，能运用弧长公式r l α=及扇形的面积公式S ＝lr 21（l 为弧长）解决问题.2． 理解任意角的正弦、余弦、正切的定义.角的概念推广以后，以角的顶点为坐标原点，角的始边为x 轴的正半轴，建立直角坐标系，在角的终边上任取一点(,)P x y （不同于坐标原点），设OP r =（0r =>），则α的三个三角函数值定义为：sin ,cos ,tan y x y r r xααα===． 从定义中不难得出六个三角函数的定义域：正弦函数、余弦函数的定义域为R ；正切函数的定义域为{|,,}2R k k Z παααπ∈≠+∈．3． 掌握判断三角函数值的符号的规律，熟记特殊角的三角函数值．由三角函数的定义不难得出三个三角函数值的符号，可以简记为：一正（第一象限内全为正值），二正弦（第二象限内只有正弦值为正），三切（第三象限只有正切值为正），四余弦（第四象限内只有余弦值为正）．另外，熟记0、6π、4π、3π、2π的三角函数值，对快速、准确地运算很有好处.4． 掌握正弦线、余弦线、正切线的概念．在平面直角坐标系中，正确地画出一个角的正弦线、余弦线和正切线，并能运用正弦线、余弦线和正切线理解三角函数的性质、解决三角不等式等问题． 【基础练习】1． 885-化成2(02,)k k Z πααπ+≤≤∈的形式是 ．2．已知α为第三象限角，则2α所在的象限是 ．3．已知角α的终边过点(5,12)P -，则cos α= ， tan α= ．4．tan(3)sin 5cos8-的符号为 ．13612ππ-+第二或第四象限 513-125- 正5．已知角θ的终边上一点(,1)P a -（0≠a ），且a -=θtan ，求θsin ，θcos 的值．解：由三角函数定义知，1a =±，当1a =时，sin θ=cos θ=；当1a =-时，sin θ=cos θ= 【范例解析】例1.（1）已知角α的终边经过一点(4,3)(0)P a a a -≠，求2sin cos αα+的值；（2）已知角α的终边在一条直线y =上，求sin α，tan α的值． 分析：利用三角函数定义求解．解：（1）由已知4x a =，5r a =．当0a >时，5r a =，3sin 5α=-，4cos 5α=，则22sin cos 5αα+=-；当0a <时，5r a =-，3sin 5α=，4cos 5α=-，则22sin cos 5αα+=．（2）设点()(0)P a a ≠是角α的终边y =上一点，则tan α=；当0a >时，角α是第一象限角，则sin α=；当0a <时，角α是第三象限角，则sin α=． 点评：要注意对参数进行分类讨论．例2.（1）若sin cos 0θθ⋅>，则θ在第_____________象限． （2）若角α是第二象限角，则sin 2α，cos 2α，sin 2α，cos2α，tan2α中能确定是正值的有____个．解：（1）由sin cos 0θθ⋅>，得sin θ，cos θ同号，故θ在第一，三象限． （2）由角α是第二象限角，即222k k ππαππ+<<+，得422k k παπππ+<<+，4224k k ππαππ+<<+，故仅有tan2α为正值．点评：准确表示角的范围，由此确定三角函数的符号．例3. 一扇形的周长为20cm ，当扇形的圆心角α等于多少时，这个扇形的面积最大？最大面积是多少？分析：选取变量，建立目标函数求最值．解：设扇形的半径为x ㎝，则弧长为(202)l x =-㎝，故面积为21(202)(5)252y x x x =-=--+， 当5x =时，面积最大，此时5x =，10l =，2lxα==， 所以当2α=弧度时，扇形面积最大252cm ．点评：由于弧度制引入，三角函数就可以看成是以实数为自变量的函数．【反馈演练】1．若sin cos θθ>且sin cos 0θθ⋅<则θ在第_______象限． 2．已知6α=，则点(sin ,tan )A αα在第________象限． 3．已知角θ是第二象限，且(P m 为其终边上一点，若cos θ=，则m 的值为4．将时钟的分针拨快30min ，则时针转过的弧度为 ． 5．若46παπ<<，且α与23π-终边相同，则α= ． 6．已知1弧度的圆心角所对的弦长2，则这个圆心角所对的弧长是_______，这个圆心角所在的扇形的面积是___________．7．（1）已知扇形AOB 的周长是6cm ，该扇形中心角是1弧度，求该扇形面积．（2）若扇形的面积为82cm ，当扇形的中心角α(0)α>为多少弧度时，该扇形周长最小． 简解：（1）该扇形面积22cm ；（2）2182r l yrl +=⎧⎪⎨=⎪⎩，得162y r r =+≥，当且仅当r =时取等号．此时，l =，2lrα==．二 三 12π-163π11sin211cos1-第2课 同角三角函数关系及诱导公式【考点导读】1.理解同角三角函数的基本关系式；同角的三角函数关系反映了同一个角的不同三角函数间的联系．2.掌握正弦，余弦的诱导公式；诱导公式则揭示了不同象限角的三角函数间的内在规律，起着变名，变号，变角等作用． 【基础练习】1. tan600°=______． 2. 已知α是第四象限角，5tan 12α=-，则sin α=______．3.已知cos 2πϕ⎛⎫+=⎪⎝⎭，且2πϕ<，则tan ϕ＝． 4.sin15°cos75°+cos15°sin105°=___1___． 【范例解析】 例1.已知8cos()17πα-=，求sin(5)απ-，tan(3)πα+的值． 分析：利用诱导公式结合同角关系，求值．解：由8cos()17πα-=，得8cos 017α=-<，α∴是第二，三象限角． 若α是第二象限角，则15sin(5)sin 17απα-=-=-，15tan(3)tan 8παα+==-；3 513-若α是第三象限角，则15sin(5)sin 17απα-=-=，15tan(3)tan 8παα+==． 点评：若已知正弦，余弦，正切的某一三角函数值，但没有确定角所在的象限，可按角的象限进行分类，做到不漏不重复．例2.已知α是三角形的内角，若1sin cos 5αα+=，求tan α的值． 分析：先求出sin cos αα-的值，联立方程组求解． 解：由1sin cos 5αα+=两边平方，得112sin cos 25αα+⋅=，即242sin cos 025αα∴⋅=-<． 又α是三角形的内角，cos 0α∴<，2παπ∴<<．由249(sin cos )25αα-=，又sin cos 0αα->，得7sin cos 5αα-=． 联立方程组1sin cos 57sin cos 5αααα⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得4sin 53cos 5αα⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，得4tan 3α=-．点评：由于2(sin cos )12sin cos αααα±=±⋅，因此式子sin cos αα-，sin cos αα+，sin cos αα⋅三者之间有密切的联系，知其一，必能求其二．【反馈演练】1．已知sin α=,则44sin cos αα-的值为_____．2．“21sin =A ”是“A =30º”的必要而不充分条件． 3．设02x π≤≤,sin cos x x =-，则x 的取值范围是544x ππ≤≤4．已知1sin cos 5θθ+=，且324θππ≤≤，则cos 2θ的值是 ．5．（1）已知1cos 3α=-，且02πα-<<，求2cos()3sin()4cos()sin(2)παπααπα--+-+-的值． （2）已知1sin()64x π+=，求25sin()sin ()63x x ππ-+-的值． 解：（1）由1cos 3α=-，得tan α=- 原式=2cos 3sin 23tan 4cos sin 4tan αααααα-+-+=--2=．（2）1sin()64x π+=，225sin()sin ()sin[()]sin [()]63626x x x x ππππππ∴-+-=-++-+53- 725-219sin()cos ()6616x x ππ=+++=．6．已知4tan 3α=-，求（I ）6sin cos 3sin 2cos αααα+-的值；（II ）212sin cos cos ααα+的值．解：（I ）∵ 4tan 3α=-；所以6sin cos 3sin 2cos αααα+-=6tan 13tan 2αα+-=46()173463()23-+=--．（II ）由4tan 3α=-，于是212sin cos cos ααα+2222sin cos tan 152sin cos cos 2tan 13ααααααα++===-++．第3课 两角和与差及倍角公式（一）【考点导读】1.掌握两角和与差，二倍角的正弦，余弦，正切公式，了解它们的内在联系；2.能运用上述公式进行简单的恒等变换；3.三角式变换的关键是条件和结论之间在角，函数名称及次数三方面的差异及联系，然后通过“角变换”，“名称变换”，“升降幂变换”找到已知式与所求式之间的联系；4.证明三角恒等式的基本思路：根据等式两端的特征，通过三角恒等变换，应用化繁为简，左右归一，变更命题等方法将等式两端的“异”化“同”． 【基础练习】1.sin163sin 223sin 253sin 313+= ___________．2.x x -=． 3. 若f (sin x )＝3－cos2x ，则f (cos x )＝___________． 4.化简：sin sin 21cos cos 2αααα+=++___________． 【范例解析】12 3＋cos2x )3x π+tan α例 .化简：（1）42212cos 2cos 22tan()sin ()44x x x x ππ-+-+； （2)θπ<<．（1）分析一：降次，切化弦．解法一：原式=2221(2cos 1)22sin()4cos ()4cos()4x x x x πππ----22(2cos 1)4sin()cos()44x x x ππ-=--2cos 22sin(2)2x x π=-1cos 22x =． 分析二：变“复角”为“单角”． 解法二：原式=22c o s 2c o s s i n 2(s i n c o s )c o s s i n x x x x x x x =-⋅++1c o s 22x =．（2）原式22cos (sin cos )cos cos 2222cos cos 22θθθθθθθ--⋅==0θπ<<，022θπ∴<<，cos 02θ>，∴原式=cos θ-．点评：化简本质就是化繁为简，一般从结构，名称，角等几个角度入手．如：切化弦，“复角”变“单角”，降次等等． 【反馈演练】1．化简22sin 2cos 1cos 2cos 2⋅=+ααααtan 2α．2．若sin tan 0x x ⋅<=． 3．若0＜α＜β＜4π，sin α＋cos α = α，sin β＋cos β= b ，则a 与b 的大小关系是_________． 4．若sin cos tan (0)2παααα+=<<，则α的取值范围是___________． 5．已知α、β均为锐角，且cos()sin()αβαβ+=-，则tan α= 1 .)3,4(ππx a b <6．化简：222cos 12tan()sin ()44αππαα--⋅+．解：原式=222cos 12sin()4cos ()4cos()4απαπαπα--⋅--cos 22sin()cos()44αππαα=-⋅-cos 21cos 2αα==．7．求证：222sin 22cos cos 22cos x x x x +=．证明：左边=2224sin cos 2cos cos 2x x x x +22222cos (2sin 12cos )2cos x x x x =+-==右边．8．化简：22sin sin 2sin sin cos()αβαβαβ+++．解：原式=22sin sin 2sin sin (cos cos sin sin )αβαβαβαβ++-2222sin sin 2sin sin cos cos 2sin sin αβαβαβαβ=++- 2222sin (1sin )sin (1sin )2sin sin cos cos αββααβαβ=-+-+ 2222sin cos sin cos 2sin sin cos cos αββααβαβ=++ 2(sin cos sin cos )αββα=+ 2sin ()αβ=+．第4课 两角和与差及倍角公式（二）【考点导读】1.能熟练运用两角和与差公式，二倍角公式求三角函数值；2.三角函数求值类型：“给角求值”，“给值求值”，“给值求角” ． 【基础练习】1．写出下列各式的值：（1）2sin15cos15︒︒=_________；（2）22cos 15sin 15︒-︒=_________； （3）22sin151︒-=；（4）22sin 15cos 15︒+︒=____1_____．12 2312．已知3 (,),sin25παπα∈=)4πα+=_________．3．求值：（1）1tan151tan15-︒=+︒_______；（2）5cos cos1212ππ=_________．4．求值：tan10tan20tan20)︒⋅︒+︒+︒=____1____．5．已知tan32α=，则cosα=________．6．若cos2πsin4αα=⎛⎫-⎪⎝⎭cos sinαα+=_________．【范例解析】例1.求值：（1）sin40(tan10︒︒；（2．分析：切化弦，通分．解：（1）原式=sin10sin40(cos10︒︒︒=sin402sin(1060)sin40cos10︒-︒=︒⋅︒2cos40sin40cos10︒=-︒⋅︒sin801cos10-︒==-︒．（2）2sin4013tan101cos10︒+︒===︒，又cos5︒．原式=2==．点评：给角求值，注意寻找所给角与特殊角的联系，如互余，互补等，利用诱导公式，和与差公式，二倍角公式进行转换．例 2.设4cos()5αβ-=-，12cos()13αβ+=，且(,)2παβπ-∈，3(,2)2παβπ+∈，求cos2α，cos2β．分析：2()()ααβαβ=-++，2()()βαβαβ=+--．14－5412▃ ▄ ▅ ▆ ▇ █ █ ■ ▓点亮心灯 ~~~///(^v^)\\\~~~ 照亮人生 ▃ ▄ ▅ ▆ ▇ █ █ ■ ▓解：由4cos()5αβ-=-，(,)2παβπ-∈，得3sin()5αβ-=，同理，可得5sin()13αβ+=- 33cos 2cos[()()]65ααβαβ∴=-++=-，同理，得63cos 265β=-． 点评：寻求“已知角”与“未知角”之间的联系，如：2()()ααβαβ=-++，2()()βαβαβ=+--等．例3.若3cos()45x π+=，177124x ππ<<，求2sin 22sin 1tan x x x +-的值． 分析一：()44x x ππ=+-． 解法一：177124x ππ<<，5234x πππ∴<+<， 又3cos()45x π+=，4sin()45x π∴+=-，4tan()43x π+=-． cos cos[()]44x x ππ=+-=，sin x ∴=，tan 7x =． 所以，原式2875=-． 分析二：22()42x x ππ=+-． 解法二：原式=sin 2sin 2tan 1tan x x x x +⋅-sin 2(1tan )sin 2tan()1tan 4x x x x x π+==⋅+- 又27sin 2sin[2()]cos 2()[2cos ()1]424425x x x x ππππ=+-=-+=--+-=， 所以，原式7428()25375=⋅-=-． 点评：观察“角”之间的联系以寻找解题思路．【反馈演练】 1．设)2,0(πα∈，若3sin 5α=，则)4cos(2πα+=__________． 51 43- 17-▃ ▄ ▅ ▆ ▇ █ █ ■ ▓点亮心灯 ~~~///(^v^)\\\~~~ 照亮人生 ▃ ▄ ▅ ▆ ▇ █ █ ■ ▓ 2．已知tan 2α=2，则tanα的值为_______，tan ()4πα+的值为___________ ．3．若316sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛-απ，则⎪⎭⎫ ⎝⎛+απ232cos =___________． 4．若13cos(),cos()55αβαβ+=-=，则tan tan αβ= ． 5．求值：11sin 20tan 40-=︒︒． 6．已知232,534cos παππα<≤=⎪⎭⎫ ⎝⎛+．求⎪⎭⎫ ⎝⎛+42cos πα的值 解：().2sin 2cos 224sin 2sin 4cos 2cos 42cos ααπαπαπα-=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+ 又3cos 0,224πππαα⎛⎫≤<+> ⎪⎝⎭且,47443ππαπ<+≤ 544cos 14sin 2-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=⎪⎭⎫ ⎝⎛+∴παπα 从而25244cos 4sin 222sin 2cos -=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=παπαπαα， 2574cos 2122cos 2sin 2=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=παπαα 5023125725242242cos -=⎪⎭⎫ ⎝⎛--⨯=⎪⎭⎫ ⎝⎛+∴πα97- 12。
高中数学(人教A版)必修④精讲精练
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周志明 饶胜文 王艳艳（第一章） 周志明（第二章） 饶胜文（第三章） 温炳伟（第一章） 高建彪（第二章） 周 洁（第三章）
07606853660 zssxzb@ /nh 陆镜平
开 本 890mm×1 240mm 16 开 印 张5 字 数 7 5000 印 数 1 000 册 版 次 2007 年 3 月第 1 版 印 次 2007 年 3 月第 1 次印刷
D. a = b + (2k + 1) ×180o, k Î Z
6. 钟表经过 4 小时，时针与分针各转了
(填度).
7. 与 1840°终边相同的最小正角为
，与－1840°终边相同的最小正角是
.
※能力提高
( ) 8. 将下列各角表示为a + k × 360o k Î Z , 0o £ a < 360o 的形式，并判断角在第几象限.
{ } 所以终边在 x 轴正半轴上的角的集合是： S1 = a a = k × 360o , k Î Z ； { } 终边在 x 轴的负半轴上的角的集合是： S2 = a a = k × 360o + 180o, k Î Z ，
{ } ∴终边在 y 轴上的角的集合是： S = S1 U S2 = a a = n ×180o , n Î Z .
所对弧的长为 l ，三者之间的关系为 a = l . r
2. 角度制与弧度制的换算：p rad = 180o ，变形有1o = p rad » 0.01745rad ； 180
1rad
=
æ 180 çè p
o
ö ÷ø
»
57.30o
=
57o18 '
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2013高中数学精讲精练 第三章 三角函数B第5课 三角函数的图像和性质（一）【考点导读】1.能画出正弦函数，余弦函数，正切函数的图像，借助图像理解正弦函数，余弦函数在[0,2]π，正切函数在(,)22ππ-上的性质； 2.了解函数sin()y A x ωϕ=+的实际意义，能画出sin()y A x ωϕ=+的图像； 3.了解函数的周期性，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型． 【基础练习】1. 已知简谐运动()2sin()()32f x x ππϕϕ=+<的图象经过点(0，1)，则该简谐运动的最小正周期T =_________；初相ϕ=__________．2. 三角方程2sin(2π－x )=1的解集为_______________________． 3. 函数),2,0)(sin(R x x A y ∈π<ϕ>ωϕ+ω=的部分图象如图所示，则函数表达式为______________________．4. 要得到函数sin y x =的图象，只需将函数cos y x π⎛⎫=- ⎪3⎝⎭的图象向右平移__________个单位． 【范例解析】例1.已知函数()2sin (sin cos )f x x x x =+．（Ⅰ）用五点法画出函数在区间,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图象，长度为一个周期； （Ⅱ）说明()2sin (sin cos )f x x x x =+的图像可由sin y x =的图像经过怎样变换而得到． 例2.已知正弦函数sin()y A x ωϕ=+(0,0)A ω>>的图像如右图所示． （1）求此函数的解析式1()f x ；（2）求与1()f x 图像关于直线8x =对称的曲线的解析式2()f x ； （3）作出函数12()()y f x f x =+的图像的简图．第3题【反馈演练】1．为了得到函数R x x y ∈+=),63sin(2π的图像，只需把函数2sin y x =，x R ∈的图像上所有的点①向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的31倍（纵坐标不变）；②向右平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的31倍（纵坐标不变）；③向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）； ④向右平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）．其中，正确的序号有___________． 2．为了得到函数)62sin(π-=x y 的图象，可以将函数x y 2cos =的图象向右平移____个单位长度．3．若函数()2sin()f x x ωϕ=+，x ∈R （其中0ω>，2ϕπ<）的最小正周期是π，且(0)3f =，则ω=______；ϕ=__________．4．在()π2,0内，使x x cos sin >成立的x 取值范围为____________________． 5．下列函数： ①sin 6y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭； ②sin 26y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭； ③cos 43y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭； ④cos 26y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭． 其中函数图象的一部分如右图所示的序号有__________．6．如图，某地一天从6时至14时的温度变化曲线近似满足函数b x A y ++=)sin(ϕω（1）求这段时间的最大温差； （2）写出这段时间的函数解析式．7．如图，函数π2cos()(00)2y x x >ωθωθ=+∈R ，，≤≤的图象与y 轴相交于点(03)，，且该函数的最小正周期为π． （1）求θ和ω的值；－222x =8xyO第6题第5题（2）已知点π2A⎛⎫⎪⎝⎭，，点P是该函数图象上一点，点00()Q x y，是PA当y=ππ2x⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，求x的值．（二）【考点导读】1.理解三角函数siny x=，cosy x=，tany x=的性质，进一步学会研究形如函数sin()y A xωϕ=+的性质；2.在解题中体现化归的数学思想方法，利用三角恒等变形转化为一个角的三角函数来研究．【基础练习】1.写出下列函数的定义域：（1）y=的定义域是______________________________；（2）sin2cosxyx=的定义域是____________________．2．函数f (x) = | sin x +cos x |的最小正周期是____________．3．函数22sin sin44f x x xππ=+--（）（）（）的最小正周期是_______．4. 函数y=sin(2x+3π)的图象关于点_______________对称．5. 已知函数tany xω=在（－2π，2π）内是减函数，则ω的取值范围是______________．【范例解析】例1.求下列函数的定义域：（1）sintanxyx=+（2）y=例2．求下列函数的单调减区间：（1）sin(2)3y xπ=-；（2）2cossin()42xyxπ=-；例3．求下列函数的最小正周期：（1）5tan(21)y x=+；（2）sin sin32y x xππ⎛⎫⎛⎫=++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．第7题点评：求三角函数的周期一般有两种：（1）化为sin()A x ωϕ+的形式特征，利用公式求解；（2）利用函数图像特征求解． 【反馈演练】1．函数x x y 24cos sin +=的最小正周期为 _____________．2．设函数()sin ()3f x x x π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭R ，则()f x 在[0,2]π上的单调递减区间为___________________．3．函数()sin ([,0])f x x x x π=∈-的单调递增区间是________________． 4．设函数()sin3|sin3|f x x x =+，则()f x 的最小正周期为_______________． 5．函数22()cos 2cos2xf x x =-在[0,]π上的单调递增区间是_______________． 6．已知函数π124()πsin 2x f x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭=⎛⎫+ ⎪⎝⎭． （Ⅰ）求()f x 的定义域； （Ⅱ）若角α在第一象限且3cos 5α=，求()f α． 7． 设函数)(),0( )2sin()(x f y x x f =<<-+=ϕπϕ图像的一条对称轴是直线8π=x ．（Ⅰ）求ϕ；（Ⅱ）求函数)(x f y =的单调增区间； （Ⅲ）画出函数)(x f y =在区间],0[π上的图像第7课 三角函数的值域与最值【考点导读】1.掌握三角函数的值域与最值的求法，能运用三角函数最值解决实际问题；2.求三角函数值域与最值的常用方法：（1）化为一个角的同名三角函数形式，利用函数的有界性或单调性求解；（2）化为一个角的同名三角函数形式的一元二次式，利用配方法或图像法求解；（3）借助直线的斜率的关系用数形结合求解；（4）换元法． 【基础练习】 1.函数x x y cos 3sin +=在区间[0,]2π上的最小值为 ．2.函数)(2cos 21cos )(R x x x x f ∈-=的最大值等于 ．3.函数tan()2y x π=-(44x ππ-≤≤且0)x ≠的值域是___________________．4.当20π<<x 时，函数x xx x f 2sin sin 82cos 1)(2++=的最小值为 ．【范例解析】例1.（1）已知1sin sin 3x y +=，求2sin cos y x -的最大值与最小值． （2）求函数sin cos sin cos y x x x x =⋅++的最大值．点评：第（1）小题利用消元法，第（2）小题利用换元法最终都转化为二次函数求最值问题；但要注意变量的取值范围． 例2.求函数2cos (0)sin xy x xπ-=<<的最小值．例3.已知函数2π()2sin 24f x x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，ππ42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，． （I ）求()f x 的最大值和最小值；（II ）若不等式()2f x m -<在ππ42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，上恒成立，求实数m 的取值范围．点评：第（Ⅱ）问属于恒成立问题，可以先去绝对值，利用参数分离转化为求最值问题．本小题主要考查三角函数和不等式的基本知识，以及运用三角公式、三角函数的图象和性质解题的能力． 【反馈演练】 1．函数))(6cos()3sin(2R x x x y ∈+--=ππ的最小值等于_______．2．当04x π<<时，函数22cos ()cos sin sin xf x x x x =-的最小值是___________．3．函数sin cos 2xy x =+的最大值为_______，最小值为________.4．函数cos tan y x x =⋅的值域为 .5．已知函数()2sin (0)f x x ωω=>在区间,34ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值是2-，则ω的最小值等于_________． 6．已知函数()2cos (sin cos )1f x x x x x =-+∈R ，． （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求函数()f x 在区间π3π84⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的最小值和最大值．第８课 解三角形【考点导读】1.掌握正弦定理，余弦定理，并能运用正弦定理，余弦定理解斜三角形；2.解三角形的基本途径：根据所给条件灵活运用正弦定理或余弦定理，然后通过化边为角或化角为边，实施边和角互化． 【基础练习】1．在△ABC 中，已知BC ＝12，A ＝60°，B ＝45°，则AC ＝ .2．在ABC ∆中，若sin :sin :sin 5:7:8A B C =，则B ∠的大小是______________.3．在ABC △中，若1tan 3A =，150C =，1BC =，则AB = ．【范例解析】例1. 在△ABC 中，a ，b ，c 分别为∠A ，∠B ，∠C 的对边，已知20a c +=，2C A =，3cos 4A =． （1）求ca的值；（2）求b 的值． 2.在三角形ABC 中，已知2222()sin()()sin()a b A B a b A B +-=-+，试判断该三角形的形状． 即该三角形为等腰三角形或直角三角形．点评：判断三角形形状主要利用正弦或余弦定理进行边角互化，从而利用角或边判定三角形形状． 例3.如图，D 是直角△ABC 斜边BC 上一点，AB =AD ，记∠CAD =α，∠ABC =β.（1）证明：sin cos 20αβ+=； （2）若ACDC ，求β．点评：本题重点是从图中寻找到角之间的等量关系，从而建立三角函数关系，进而求出β的值.【反馈演练】1．在ABC ∆中，,75,45,300===C A AB 则BC =_____________．2．ABC ∆的内角∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ，b ，c 成等比数列，且2c a =，则cos B =_____． 3．在ABC ∆中，若2a b c =+，2sin sin sin A B C =，则ABC ∆的形状是_______三角形．4．若ABC ∆的内角A 满足2sin 23A =，则sin cos A A += ． 5．在ABC ∆中，已知2AC =，3BC =，4cos 5A =-．（Ⅰ）求sin B 的值； （Ⅱ）求sin 26B π⎛⎫+⎪⎝⎭的值． BDCαβ A例41A2A120 105例1（1）6．在ABC ∆中，已知内角A π=3，边BC =B x =，周长为y ． （1）求函数()y f x =的解析式和定义域；（2）求y 的最大值．7．在ABC ∆中，1tan 4A =，3tan 5B =． （Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）若ABC ∆第9课 解三角形的应用【考点导读】1.运用正余弦定理等知识与方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．2.综合运用三角函数各种知识和方法解决有关问题，深化对三角公式和基础知识的理解，进一步提高三角变换的能力． 【基础练习】1．在200m 高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30°，60°，则塔高为_________m ． 2．某人朝正东方向走x km 后，向右转150°，然后朝新方向走3km ，结果他离出发点恰好3km ，那么x的值为_______________ km ．3．一船以每小时15km 的速度向东航行，船在A 处看到一个灯塔B 在北偏东60，行驶4h 后，船到达C处，看到这个灯塔在北偏东15，这时船与灯塔的距离为 km ．4．如图，我炮兵阵地位于A 处，两观察所分别设于B ，D ，已知ABD ∆为边长等于a 的正三角形，当目标出现于C 时，测得45BDC ∠=，75CBD ∠=，求炮击目标的距离AC【范例解析】例 .如图，甲船以每小时1A 处时，乙船位于甲船的北偏西105方向的1B 处，此时两船相距2020分钟到达2A 处时，乙船航行到甲船的北偏西120方向的2BA BCD第4题点评：解法二也是构造三角形的一种方法，但计算量大，通过比较二种方法，学生要善于利用条件简化解题过程．【反馈演练】1．江岸边有一炮台高30m ，江中有两条船，由炮台顶部测得俯角分别为45︒和30︒，而且两条船与炮台底部连线成30︒角，则两条船相距____________m ．2．有一长为1km 的斜坡，它的倾斜角为20︒，现要将倾斜角改为10︒，则坡底要伸长______km ． 3．某船上的人开始看见灯塔在南偏东30︒方向，后来船沿南偏东60︒方向航行45海里后，看见灯塔在正西方向，则此时船与灯塔的距离是__________海里．4．把一根长为30cm 的木条锯成两段，分别作钝角三角形ABC 的两边AB 和BC ，且120ABC ∠=︒，则第三条边AC 的最小值是____________cm ．5．设)(t f y =是某港口水的深度y （米）关于时间t （时）的函数，其中240≤≤t .下表是该港口某一天 从经长期观察，函数)(t f y =的图象可以近似地看成函数)sin(ϕω++=t A k y 的图象.下面的函数中, 最能近似表示表中数据间对应关系的函数是（ A ）A ．]24,0[,6sin 312∈+=t t y πB ．]24,0[),6sin(312∈++=t t y ππC ．]24,0[,12sin312∈+=t t y πD ．]24,0[),212sin(312t t y ππ++=。