线性代数课件-向量组及其线性组合

例如 (1,2,3, ,n)
(1 2i,2 3i, ,n (n 1)i)
第2个分量 第1个分量
第n个分量
n维实向量 n维复向量
2、n 维向量的表示方法
n 维向量写成一列，称为列向量，也就是列
矩阵，通常用 a,ba,1, 等表示，如：
a
a2 或(a1
,
a2
,L
, an )T
an
n 维向量写成一行，称为行向量，也就是行
且5 2 （2 5）, 求
§3 向量组的线性相关性
• 向量、向量组与矩阵 • 向量的线性组合 • 线性相关性的概念 • 线性相关性的判定 • 小结
一、向量组与矩阵
1、若干个同维数的列向量组成的集合叫做列向量组．
若干个同维数的行向量组成的集合叫做行向量组．
2、矩阵A
(a
ij
) mn
有n个m维列向量
x x
11
22
n xn b
Ax b
x1
(1,2 ,L
n
)
x2 M
b
xn
注： 1 x1 2 x2 L
x nn
b 实际上是表示
一个线性方程组，该方程组的系数矩阵为(1,2 ,L n )
增广矩阵 B (1,2 ,L n ,b)
二、向量组的线性组合
1、定义1 给定向量组 A :1, 2 , , m , 对于任何一
m个n维行向量所组成
的
向量组
T 1
,
T 2
,
mT ,
构成一个m n矩阵
B
T 1
T 2
mT
5、线性方程组的向量表示
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1,
a21 x1 a22 x2 a2n xn b2 ,
am1 x1 am2 x2 amn xn bm .
关键看线性方程组x11 x22 xmm =b是否有解
即判断线性方程组Ax=b是否有解,其中 A=(1,2 m ).
3、定理
定理1 向量 b 可由向量组1,2 , m 线性表示
矩阵A (1,2 , ,m )的秩等于矩阵 B (1,2 , ,m , b)的秩
注：行向量b可由行向量组1，2 m线性表示
组实数 k1, k2 , , km ,
向量
k11 k22 kmm
称为向量组1, 2, , m 的一个 线性组合 ,
k1, k2, , km 称为这个线性组合的组合系数.
2、定义2
给定向量组
A :1,2,L
,
和向量
m
b, 如果
存在一组数1，2，L , m，使
b 11 2 2 m m
则向量b是向量组A的线性组合，这时称 向量 b 能 由向量组 A 线性表示,且称1，2， ，m为组合系数.
(4)设1 (1, 0)，2 (0,1)，3 (2, 3)，
问：
3可否由1，
线性表示
2
?
注： 1）零向量0可由任一向量组a1,a2 ,L ,am
的线性表出. 0 0 a1 0 a2 L 0 am .
2）一向量组中每一向量都可由该向量组线性表出.
3）任一 n 维向量 (a1,a2 ,L ,an ) 都是向量组 1 (1,0,L ,0), 2 (0,1,L ,0), L , n (0,0,L ,1)
§ 2 n维向量及其线性运算
• n维向量的概念及表示法 • 向量的线性运算
一、n 维向量
1、概念
定义1 n 个有次序的数 a1,a2 , ,an 所组成的数 组称为 n 维向量，这 n 个数称为该向量的n 个分 量，第 i 个数 ai称为第 i 个分量 .
分量全为实数的向量称为实向量，
分量全为复数的向量称为复向量.
T 1
T 2
A ai1 ai2
ain
T i
am1
am2
amn
T m
向量组
T 1
,
T 2
,
…，
T m
称为矩阵A的行向量组．
4、反之，由有限个同维向量所组成的向量组可 以构成一个矩阵.
m个n维列向量所组成的向量组1,2 , ,m ,
构成一个n m矩阵
A (1 , 2 , , m )
矩阵，通常用 aT ,bT ,T , T 等表示，如：
aT (a1,a2 , ,an )
注意 1. 行向量和列向量总被看作是两个不同的向量；
2. 行向量和列向量都按照矩阵的运算法则进行 运算；
3. 当没有明确说明是行向量还是列向量时， 都当作列向量.
3、向量的线性运算
1) 加法： (a1 b1, ,an bn )T 和向量 2) 数乘： k (ka1, ,kan )T 例 （4，7， 3，2）, （11， 12，8，8）
的一个线性组合．
事实上，有对任意 (a1,a2 ,L ,an ) , 皆有
a11 a2 2 L an n .
1, 2 ,L , n也称为 n 维单位向量组．
(5) 向量b (1, 0, 4)T 能否由向量组1 (0, 1, 1)T，
2 (1, 0, 1)T ,3 (1, 1, 0)T 线性表示？ 分析：(列)向量b能否由(列)向量组1,2 m线性表示,
R(1T
,
T 2
,
T m
,
bT
)
R(1T
,
T 2
,
T m
例1 （1）向量b (6, 7, 2)T 能否由向量组 1 (1, 1, 2)T， 2 (7, 6, 4)T ,3 (12, 14, 4)T 线性表示？
（2）向量b (0, 0, 0)T 能否由向量组
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1 (1, 1, 2)T，2 (7, 6, 4)T 线性表示？
（3）向量1 (1, 1, 2)T 能否由向量组 1 (1, 1, 2)T，2 (7, 6, 4)T 线性表示？
a1 a2
aj
an
a11 a12 a1 j a1n
A
a21
a22
a2 j a2n
am1 am2 amj amn
向量组a1, a2 , , an 称为矩阵A的列向量组.
3、类似地,
矩阵A
(aij
) mn
又有m个n维行向量
a11 a21
a12 a22
a1n a2n
2、定义2
给定向量组 A :1,2, ,m和向量 b,如果存在 一组数1，2， ,m，使
b 11 2 2 m m
则向量b是向量组A的线性组合，这时称 向量 b 能 由向量组 A 线性表示,且称1，2， ，m为组合系数.
注：向量b能否由向量组1,2 m线性表示,
关键看线性方程组x11 x22 xmm =b是否有解