高三上学期期末数学试题(解析版)

2020届北京市海淀区高三上学期期末数学试题

一、单选题

1．已知集合{}1,2,3,4,5,6U =，{}13,5A =,，{}2,3,4B =，则集合U A B I ð是( )

A ．{1,3,5,6}

B ．{1,3,5}

C ．{1,3}

D ．{1,5}

【答案】D

【解析】利用补集和交集的定义可求出集合U A B I ð. 【详解】

Q 集合{}1,2,3,4,5,6U =，{}13,5A =,，{}2,3,4B =，则{

}1,5,6U B =ð， 因此，{

}1,5U A B =I ð. 故选：D. 【点睛】

本题考查交集与补集的混合运算，熟悉交集和补集的定义是解题的关键，考查计算能力，属于基础题.

2．抛物线2

4y x =的焦点坐标为（ ）

A ．()1,0-

B ．()1,0

C ．()0,1-

D ．()0,1 【答案】B

【解析】解：由 抛物线方程的特点可知，抛物线的焦点位于x 轴正半轴，由24p = ，可得：

12

p

= ，即焦点坐标为()1,0 . 本题选择B 选项.

3．下列直线与圆()()22

112x y -+-=相切的是（ ） A ．y x =- B ．y x =

C ．2y x =-

D ．2y x =

【答案】A

【解析】观察到选项中的直线都过原点，且圆也过原点，只需求出圆在原点处的切线方程即可. 【详解】

由于选项中各直线均过原点，且原点在圆上， 圆心坐标为()1,1，圆心与原点连线的斜率为1，

所以，圆()()22

112x y -+-=在原点处的切线方程为y x =-. 故选：A. 【点睛】

本题考查直线与圆的位置关系的判断，考查计算能力，属于基础题. 4．已知a 、b R ∈，且a b >，则（ ）

A ．11a b

<

B ．sin sin a b >

C ．1133a b

⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

D ．22a b >

【答案】C

【解析】利用特殊值法和函数单调性可判断出各选项中不等式的正误. 【详解】

对于A 选项，取1a =，1b =-，则a b >成立，但

11

a b

>，A 选项错误； 对于B 选项，取a π=，0b =，则a b >成立，但sin sin0π=，即sin sin a b =，B 选项错误；

对于C 选项，由于指数函数13x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭

在R 上单调递减，若a b >，则1133a b

⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，C

选项正确；

对于D 选项，取1a =，2b =-，则a b >，但22a b <，D 选项错误. 故选：C. 【点睛】

本题考查不等式正误的判断，常用特殊值法、函数单调性与不等式的性质来进行判断，考查推理能力，属于中等题.

5．在5

1x x ⎛⎫- ⎪⎝

⎭的展开式中，3x 的系数为（ ）

A ．5-

B ．5

C ．10-

D ．10

【答案】A

【解析】写出二项展开式的通项，令x 的指数为3，求出参数的值，代入通项即可计算出3x 的系数. 【详解】

51x x ⎛⎫- ⎪⎝

⎭的展开式通项为()5525511k

k k k k k C x C x x --⎛⎫⋅⋅-=⋅-⋅ ⎪⎝⎭，令523k -=，得1k =.

因此，3x 的系数为()1

515C ⋅-=-.

故选：A. 【点睛】

本题考查二项展开式中指定项系数的求解，解题时要熟练利用二项展开式通项来计算，考查计算能力，属于基础题.

6．已知平面向量a r 、b r 、c r

满足0a b c ++=r r r r ，且1a b c ===r r r ，则a b ⋅r r 的值为（ ）

A ．1

2

-

B ．

12

C ．

D 【答案】A

【解析】由等式0a b c ++=r r r r 得a b c +=-r r r ，等式两边平方可求出a b ⋅r r

的值.

【详解】

由0a b c ++=r r r r 可得a b c +=-r r r

，等式两边平方得2222c a b a b =++⋅r r r r r

，即

221a b ⋅+=r r

， 因此，12

a b ⋅=-r r .

故选：A. 【点睛】

本题考查平面向量数量积的计算，解题的关键就是对等式进行变形，考查计算能力，属于中等题.

7．已知α、β、γ是三个不同的平面，且m αγ=I ，n βγ=I ，则“//m n ”是“//αβ”的（ ）

A ．充分而不必要条件

B ．必要而不充分条件

C ．充分必要条件

D ．既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】根据几何模型与面面平行的性质定理，结合充分条件和必要条件的定义可判断出“//m n ”是“//αβ”的必要而不充分条件. 【详解】

如下图所示，将平面α、β、γ视为三棱柱的三个侧面，设a αβ⋂=，将a 、m 、n 视为三棱柱三条侧棱所在直线，则“//m n ”⇒“//αβ”；

另一方面，若//αβ，且m αγ=I ，n βγ=I ，由面面平行的性质定理可得出//m n . 所以，“//αβ”⇒“//m n ”，因此，“//m n ”是“//αβ”的必要而不充分条件. 故选：B. 【点睛】

本题考查必要不充分条件的判断，同时也考查了空间中平行关系的判断，考查推理能力，属于中等题.

8．已知等边ABC ∆边长为3，点D 在BC 边上，且BD CD >，7AD =.

下列结论

中错误的是（ ） A ．

2BD

CD

= B ．

2ABD

ACD

S S ∆∆= C ．

cos 2cos BAD

CAD

∠=∠

D ．

sin 2sin BAD

CAD

∠=∠

【答案】C

【解析】利用余弦定理计算出BD ，结合正弦定理等三角形知识可对各选项的正误进行判断. 【详解】 如下图所示：

Q 点D 在BC 边上，且BD CD >，1322

BD BC ∴>

=， 由余弦定理得2

2

2

2cos

3

AD AB BD AB BD π

=+-⋅⋅，整理得2320BD BD -+=，

32

BD >Q ，解得2BD =，1CD =∴，则

2ABD ACD S BD S CD ∆∆==，