高三上学期期末数学试题(解析版)

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高三上学期期末考试数学试卷(附答案解析)

高三上学期期末考试数学试卷(附答案解析)班级:___________姓名：___________考号：______________一、单选题1．已知集合12|log (1)0A x ax ⎧⎫=->⎨⎬⎩⎭，若1A ∈，则a 的取值范围是（）A ．(,2)-∞B ．31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．(1,2)D ．(2,)+∞2．设函数f （x ）=cosx+bsinx （b 为常数），则“b=0”是“f （x ）为偶函数”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件3．给出如下几个结论:①命题“R,cos sin 2x x x ∃∈+=”的否定是“R,cos sin 2x x x ∃∈+≠”; ②命题“1R,cos 2sin x x x ∃∈+≥”的否定是“1R,cos 2sin x x x∀∈+<”; ③对于π10,,tan 22tan x x x⎛⎫∀∈+≥ ⎪⎝⎭;④R x ∃∈，使sin cos x x +=其中正确的是（） A ．③B ．③④C ．②③④D ．①②③④4．已知a 、b 为正实数，a+b=1，则2134a b+的最小值是（） A ．1112 B ．116C ．1112+D ．1112+5．函数2441()2x f x x -+=的大致图象是（）A ．B ．C ．D ．6．当()0,x ∈+∞时幂函数()2531m y m m x --=--为减函数，则实数m 的值为（）A ．2m =B ．1m =-C ．1m =-或2m =D ．m ≠7．若0.110a =与lg0.8b =和5log 3.5c =，则（） A ．a b c >> B ．b a c >> C ．c a b >>D ．a c b >>8．已知函数()f x 是定义在R 上的函数,()11f =.若对任意的1x ,2x R ∈且12x x <有12123f x f x x x ,则不等式()()222log 32log 163log 32f x x -<--⎡⎤⎣⎦的解集为A ．2,13⎛⎫⎪⎝⎭B ．4,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ C ．24,33⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．4,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭9．已知0,,0,22ππαβ⎛⎫⎛⎫∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且()2sin 2cos 2cos 1sin αβαβ=+，则下列结论正确的是（）A ．22παβ-=B ．22παβ+=C ．2παβ+=D ．2παβ-=10．已知函数()()2sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭，其图象相邻的最高点之间的距离为π，将函数()y f x =的图象向左平移12π个单位长度后得到函数()g x 的图象，且()g x 为奇函数，则（） A ．()f x 的图象关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭对称B ．()f x 的图象关于点,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称C ．()f x 在,63ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增D ．()f x 在2,36ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递增 11．函数()2sin(),(0,)22f x x ππωϕωϕ=+>-<<的部分图象如图所示，则,ωϕ的值分别是（）A．2,3π-B．2,6π-C．4,6π-D．4,3π12．已知函数()2ln,01,0xxf x xx x⎧>⎪=⎨⎪-≤⎩若函数()()g x f x k=-有三个零点，则（）A．1ek<≤B．1ek-<<C．1e<<k D．11ek<<二、填空题13．若22x x a++≥对Rx∈恒成立，则实数a的取值范围为___.14．已知实数0a≠，函数2,1()2,1x a xf xx a x+<⎧=⎨--≥⎩，若(1)(1)f a f a-=+，则a的值为________ 15．已知1cos63πα⎛⎫⎪⎝=⎭+，则5cos6πα⎛⎫-⎪⎝⎭的值为______．三、双空题四、解答题17．已知幂函数()2()294mf x m m x=+-在(,0)-∞上为减函数.(1)试求函数()f x解析式；(2)判断函数()f x的奇偶性并写出其单调区间.18．已知函数()e ln exf x a x=--.（1）当1a=时讨论函数()f x的零点存在情况；（2）当1a>时证明：当0x>时()2ef x>-.19．已知函数2()sin sin 2f x x x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.（1）求()f x 的最小正周期和最大值；（2）讨论()f x 在2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调性.20．已知函数()()2112122f x cos x sin x cos x x R ππ⎛⎫⎛⎫=+++-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．()1求()f x 在区间,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值；()2若7224f απ⎛⎫-=⎪⎝⎭2sin α的值． 21．已知函数()||1()f x x x a x =--+∈R .(1)当2a =时试写出函数()()g x f x x =-的单调区间； (2)当1a >时求函数()f x 在[1,3]上的最大值.22．已知函数π()e sin sin ,[0,π]4xf x x x x ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭.(1)若1a ≤，判断函数()f x 的单调性； (2)证明：e (π)1sin cos x x x x -+≥-.参考答案与解析1．C【详解】1A ∈12log (1)0a ∴-> 011a ∴<-<，即12a <<则实数a 的取值范围是(1,2) 故选:C. 2．C【分析】根据定义域为R 的函数()f x 为偶函数等价于()=()f x f x -进行判断. 【详解】0b = 时()cos sin cos f x x b x x =+=, ()f x 为偶函数；()f x 为偶函数时()=()f x f x -对任意的x 恒成立()cos()sin()cos sin f x x b x x b x -=-+-=-cos sin cos sin x b x x b x +=- ，得0bsinx =对任意的x 恒成立，从而0b =.从而“0b =”是“()f x 为偶函数”的充分必要条件，故选C.【点睛】本题较易，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查. 3．B【分析】根据全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题可判断①，②；利用基本不等式判断③;结合三角函数恒等变换以及性质判断④,可得答案.【详解】根据全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题知①不正确命题“1R,cos 2sin x x x ∃∈+≥”的否定是“1R,cos 2sin x x x∀∈+<或sin 0x = ”,故②不正确；因为π10,,tan 22tan x x x ⎛⎫∀∈+≥ ⎪⎝⎭当且仅当1tan tan x x=即π0,2π4x ⎛=∈⎫ ⎪⎝⎭ 时取等号，③正确；由πsin cos [4x x x ⎛⎫+=+∈ ⎪⎝⎭，比如π4x =时π4x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭故R x ∃∈，使sin cos x x += 故选：B 4．D 【分析】将2134a b +与a b +相乘，展开后利用基本不等式可求得2134a b+的最小值.【详解】由已知条件可得()2118318311111113412121212b a a b a b a b a b ⎛⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝=时等号成立.因此，2134a b +的最小值是1112+故选：D. 5．D【分析】判断函数的奇偶性可排除B ，C ；利用特殊值可判断A,D,即得答案.【详解】因为函数2441()2x f x x -+=的定义域为(,0)(0,)-∞+∞ ，且2441()()2x f x f x x -+-== 故2441()2x f x x -+=是偶函数，排除选项B ，C ；当2x =时15(2)032f -=<，对应点在第四象限，故排除A 故选：D. 6．A【分析】根据幂函数的定义和单调性可得答案.【详解】因为函数()2531m y m m x --=--既是幂函数又是()0,+∞的减函数所以211530m m m ⎧--=⎨--<⎩解得：m=2.故选：A. 7．D【分析】根据指数函数以及对数函数的性质，判断a,b,c 的范围，即可比较大小，可得答案. 【详解】由函数10x y =为增函数可知0.1110a =>由lg y x =为增函数可得lg0.80b =<，由由5log y x =为增函数可得50log 3.51c <=<0.15101log 3.50lg0.8a c b ∴=>>=>>=a cb ∴>>故选:D 8．C【解析】因为等式12123f x f x x x 可化为()()()12123f x f x x x -<--,即()()112233f x x f x x +<+,令函数()()3F x f x x =+,根据函数()F x 是R 上的增函数,即可求得答案.【详解】不等式12123f x f x x x 可化为()()()12123f x f x x x -<--即()()112233f x x f x x +<+令函数()()3F x f x x =+,由()()112233f x x f x x +<+ 可得()()21>F x F x ,结合12x x <∴ 函数()()3F x f x x =+是R 上的增函数又()14F =不等式()()222log 32log 163log 32f x x -<--⎡⎤⎣⎦ ∴ ()()2log 321F x F -<⎡⎤⎣⎦ ∴ ()2log 321x -<,即0322x <-< ∴2433x <<不等式()()222log 32log 163log 32f x x -<--⎡⎤⎣⎦的解集为:24,33⎛⎫⎪⎝⎭. 故选:C.【点睛】利用函数性质解抽象函数不等式,解题关键是根据已知构造函数,利用对应函数单调性进行求解函数不等式,考查了转化能力和分析能力,属于中档题. 9．A【分析】用二倍角公式、两角差的正弦公式和诱导公式化简()2sin 2cos 2cos 1sin αβαβ=+，由此得出正确结论.【详解】有()2sin 2cos 2cos 1sin αβαβ=+，得()22sin cos cos 2cos 1sin ααβαβ=+sin cos cos sin cos αβαβα-= ()πsin cos sin 2αβαα⎛⎫-==- ⎪⎝⎭，由于0,,0,22ππαβ⎛⎫⎛⎫∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以ππ,222αβααβ-=--=，故选A. 【点睛】本小题主要考查三角恒等变换，考查二倍角公式、两角差的正弦公式和诱导公式，属于中档题. 10．C【分析】根据函数()f x 图象相邻的最高点之间的距离为π，得到T π=，易得()()2sin 2f x x ϕ=+.将函数()y f x =的图象向左平移12π个单位长度后，可得()2sin 26g x x πϕ⎛⎫++ ⎪⎝⎭=，再根据()g x 是奇函数，得到()2sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，然后逐项验证即可.【详解】因为函数()f x 图象相邻的最高点之间的距离为π 所以其最小正周期为T π=，则22Tπω==. 所以()()2sin 2f x x ϕ=+. 将函数()y f x =的图象向左平移12π个单位长度后可得()2sin 22sin 2126x x g x ππϕϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫++=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦=的图象又因为()g x 是奇函数，令()6k k Z πϕπ+=∈所以()6k k ϕπ=π-∈Z .又2πϕ<所以6πϕ=-.故()2sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.当6x π=时()1f x =，故()f x 的图象不关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭对称，故A 错误；当6x π=-时()2f x =-，故()f x 的图象关于直线6x π=-对称，不关于点,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，故B 错误；在,63ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上2,622x πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，()f x 单调递增，故C 正确；在2,36ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上3,2262x πππ⎛⎫-∈-- ⎪⎝⎭，()f x 单调递减，故D 错误. 故选：C【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质及其图象变换，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 11．A【分析】根据()f x 的图象求得T π=，求得2ω=，再根据5()212f π=，求得2,3k k Z πϕπ=-+∈，求得ϕ的值，即可求解.【详解】根据函数()f x 的图象，可得353()41234T πππ=--=，可得T π=所以22Tπω== 又由5()212f π=，可得5sin(2)112πϕ⨯+=，即52,62k k Z ππϕπ+=+∈ 解得2,3k k Z πϕπ=-+∈因为22ππϕ-<<，所以3πϕ=-.故选：A. 12．C【分析】将问题转化为()y f x =与y k =图象有三个交点，分析分段函数的性质并画出()f x 图象，即可确定k 的范围.【详解】由题意，()y f x =与y k =图象有三个交点当0x >时()ln x f x x=，则()21ln xf x x -'=∴在()0,e 上0fx，()f x 递增，在()e,+∞上0fx，()f x 递减∴0x >时()ln x f x x =有最大值()1e ef =，且在()0,e 上()1(,)e f x ∈-∞，在()e,+∞上()1(0,)ef x ∈.当0x ≤时()21f x x =-+单调递增∴()f x 图象如下∴由图知：要使函数()g x 有三个零点，则10e<<k . 故选：C. 13．94a ≥【分析】根据一元二次不等式对R x ∈恒成立，可得Δ14(2)0a =--≤ ，即可求得答案. 【详解】220x x a ++-≥对R x ∈恒成立，9Δ14(2)0,4a a ∴=--≤∴≥ 故答案为：94a ≥14．34-【解析】分当0a >时和当a<0时两种分别讨论求解方程，可得答案. 【详解】当0a >时11,1+>1a a -<，所以(1)(1)f a f a -=+ ()()211+2,a a a a -+=--解得302a =-<，不满足，舍去；当a<0时1>1,1+1a a -<，所以()()1221,a a a a ---=++解得304a =-<，满足.故答案为34-.【点睛】本题考查解分段函数的方程，在分段函数求函数值的时候，要把自变量代入到所对应的解析式中是解本题的关键，属于基础题．15．13-【分析】由已知条件，利用诱导公式化简5cos cos 66ππαπα⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦即可求解.【详解】解：因为1cos 63πα⎛⎫ ⎪⎝=⎭+所以51cos cos cos 6663πππαπαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=-+=-+=-⎪⎛⎫⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎪⎝⎭ 故答案为：13-.16． sin x - 【分析】对()cos f x x '=求导可得()sin f x x ''=-，由正弦函数的图象可知()0f x ''<成立根据函数的性质123123sin sin sin 3sin 3x x x x x x ++⎛⎫++≤ ⎪⎝⎭，即可求得123sin sin sin x x x ++的最大值. 【详解】设()sin f x x =，()0,πx ∈则()cos f x x '= 则()sin f x x ''=-，()0,πx ∈由于()0f x ''<恒成立故()f x 有如下性质()()()1212n n f x f x f x x x x f n n ++++++⎛⎫≥⎪⎝⎭.则123123πsin sin sin 3sin 3sin 33x x x x x x ++⎛⎫++≤=⨯= ⎪⎝⎭∴123sin sin sin x x x ++故答案为 sin x -17．(1)5()f x x -=(2)奇函数，其单调减区间为(,0)-∞ (0,)+∞【分析】（1）根据幂函数的定义，令22941m m +-=，求解即可；（2）根据幂函数的性质判断函数的单调性，继而可得其单调区间. 【详解】（1）由题意得22941m m +-=，解得12m =或5m =- 经检验当12m =时函数12()f x x =在区间(,0)-∞上无意义所以5m =-，则5()f x x -=. （2）551()f x x x -==，∴要使函数有意义，则0x ≠ 即定义域为(,0)(0,)-∞+∞，其关于原点对称.5511()()()f x f x x x-==-=--∴该幂函数为奇函数.当0x >时根据幂函数的性质可知5()f x x -=在(0,)+∞上为减函数函数()f x 是奇函数，∴在(,0)-∞上也为减函数故其单调减区间为(,0)-∞ (0,)+∞.18．（1）两个零点；（2）证明见解析.【分析】(1)将1a =代入可得(1)0f =，求出函数()f x 的导数，利用导数探讨函数的单调性并借助零点存在性定理即可求解；(2)根据已知条件构造函数()e ln 2x g x x =--，证明()0g x >在0x >时恒成立即可得解.【详解】(1)当1a =时()e ln e x f x x =--，显然(1)0f =，即1是()f x 的一个零点求导得()1e x f x x '=-，()f x '在(0,)+∞上单调递增，且131e 303f ⎛⎫'=-< ⎪⎝⎭(1)e 10f '=-> 则()f x '在1(,1)3上存在唯一零点0x ，当00x x <<时()0f x '<，当0x x >时()0f x '> 因此，函数()f x 在()00,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增，而()0(1)0f x f <= 31e 31e 3e 0ef ⎛⎫=+-> ⎪⎝⎭ 从而得在()00,x 上函数()f x 存在一个零点所以函数()f x 存在两个零点；(2)令()e ln 2x g x x =--，x>0，则1()e x g x x'=-，由(1)知()g x '在(0,)+∞上单调递增，且在1(,1)3上存在唯一零点0x ，即001x e x = 当()00,x x ∈时()g x 单调递减，当()0,x +∞时()g x 单调递增因此()000000011()e ln 2e ln 220e x x x g x g x x x x ≥=--=--=+->，即ln 2x e x ->，则e ln e 2e x x -->- 而1a >，有e e x x a >，于是得()e ln e>e ln e 2e x x f x a x x =---->-所以当1a >，0x >时()2e f x >-.19．（1）最小正周期为π，最大值为1（2）在5,612ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增，在52,123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减. 【分析】（1）由条件利用三角恒等变换化简函数，再利用正弦函数的周期性和最值求得()f x 的最小正周期和最大值；（2）根据[]20,3x ππ-∈，利用正弦函数的单调性，分类讨论求得()f x 的单调性. 【详解】（1）2()sin sin 2f x x x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭2sin cos x x x =11cos 2sin 222x x +=sin 23x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭则()f x 的最小正周期为22T ππ== 当22,32x k k Z πππ-=+∈，即25,1ππ=+∈x k k Z 时()f x取得最大值为1；（2）当2,63x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时[]20,3x ππ-∈ 则当20,32x ππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，即5,612x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时()f x 为增函数；当2,32x πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦时即52,123x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时()f x 为减函数 f x 在5,612ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增，在52,123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减. 【点睛】本题考查正弦函数的性质，解题的关键是利用三角恒等变换化简函数.20．（1）3()4=max f x()min f x =；（2）2325 【分析】利用倍角公式降幂，再由辅助角公式化积．()1由x 的范围求得相位的范围，则函数最值可求；()2由已知求得145sin πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，再由诱导公式及倍角公式求2sin α的值．【详解】解：()2112122f x cos x sin x cos x ππ⎛⎫⎛⎫=+++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭212111622222222sin x cos x cos x cos x x π⎛⎫+ ⎪⎛⎫+⎝⎭=+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭131222222223cos x x sin x x x π⎛⎫⎫⎛⎫=+=+ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． ()1,02x π⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦,22,333x πππ⎡⎤∴+∈-⎢⎥⎣⎦23sin x π⎡⎛⎫∴+∈-⎢ ⎪⎝⎭⎣⎦ 则3()4max f x =()min f x = ()2由7224f απ⎛⎫-= ⎪⎝⎭7123ππα⎛⎫-+= ⎪⎝⎭145sin πα⎛⎫∴-= ⎪⎝⎭． 2123221212242525sin cos sin ππααα⎛⎫⎛⎫∴=-=--=-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【点睛】本题考查三角函数的恒等变换应用,考查()y Asin x ωϕ=+型函数的图象与性质，考查计算能力,属于中档题．21．(1)单调递减区间为3,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦和[2,)+∞，单调递增区间为3,22⎛⎫ ⎪⎝⎭ (2)()()max 1(13)103(34)24a f x a a a a ⎧<≤⎪=-<<⎨⎪-≥⎩【分析】（1）当2a =时求出()()()2231(2)12x x x g x f x x x x x ⎧-+<⎪=-=⎨-++≥⎪⎩，利用二次函数的性质确定函数的单调区间；（2）作出函数()f x 的大致图象，数形结合，分类讨论，比较()f x 在[1,3]上的函数值(1)f (3)f ()f a 的大小关系，即可求得答案.（1）当2a =时()()2221(2)21212x x x f x x x x x x ⎧-+<⎪=--+=⎨-++≥⎪⎩所以()()()2231(2)12x x x g x f x x x x x ⎧-+<⎪=-=⎨-++≥⎪⎩当2x <时2()31g x x x =-+，其图象开口向上，对称轴方程为32x =所以()g x 在3,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦上单调递减，在3,22⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增；当2x ≥时2()1g x x x =-++，其图象开口向下，对称轴方程为12x =所以()g x 在[2,)+∞上单调递减. 综上可知，()g x 的单调递减区间为3,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦和[2,)+∞，单调递增区间为3,22⎛⎫ ⎪⎝⎭；（2）由题意知1a >，()()2211()x ax x a f x x ax x a ⎧-++≥=⎨-+<⎩作出大致图象如图：易得(0)()1f f a == 2124a a f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 所以可判断()f x 在[1,3]上的最大值在(1)f (3)f ()f a 中取得.当13a 时max ()()1f x f a ==.当3a >时()f x 在1,2a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在,32a ⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递增又13422a a a ⎛⎫⎛⎫---=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 所以，若34a <<，则max ()(3)103f x f a ==-；若4a ≥，则max ()(1)2f x f a ==-.综上可知，在区间[1,3]上()()max1(13)103(34)24a f x a a a a ⎧<≤⎪=-<<⎨⎪-≥⎩ . 22．(1)在3π[0,]4上，()f x 为增函数；在3π[,π]4上时()f x 为减函数. (2)证明见解析.【分析】（1）求出函数的导数，判断导数正负，从而判断函数单调性；（2）当1a =时结合（1）可得πe sin 14x x x ⎛⎫-≥- ⎪⎝⎭，整理为e sin 1sin cos x x x x +≥-，然后构造函数()πsin g x x x =--，利用其导数证明结论.【详解】（1）因为π()e sin sin ,[0,π]4x f x x x x ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭所以()π()e sin e cos cos()e sin cos )(cos sin )e (sin (cos )4x x x x f x x x x x x a x x a x x '=+-=+-+=-+因为1a ≤，所以在()0,π上e 0x a ->由()0f x '=，解得3π4x =. 当3π04x <<时()0f x '>，故()f x 在3π[0,]4上为增函数；当3ππ4x <<时()0f x '<，()f x 在3π[,π]4上为减函数. （2）证明：由（1）知，当1a =时π()e sin 4x f x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在3π[0,]4上为增函数，在3π[,π]4上为减函数. 因为(0)1,(π)1f f ==-所以()(π)f x f ≥故πe sin 14x x x ⎛⎫-≥- ⎪⎝⎭所以e sin sin cos 1x x x x ≥--所以e sin 1sin cos x x x x +≥-.设()πsin ,()1cos 0g x x x g x x '=--=--≤所以()g x 在[0,π]上为减函数.又(π)0g =，则()(π)0g x g ≥=，所以πsin x x -≥所以e (π)1e sin 1sin cos x x x x x x -+≥+≥-.【点睛】本题考查了利用导数判断函数的单调性以及利用导数证明不等式问题，解答时要明确导数与函数的单调性之间的关系，解答的关键是根据题中要证明的不等式合理变式，构造函数，利用导数判断单调性进而进行证明.。

山东省潍坊市2024届高三上学期期末数学含答案解析

潍坊市2023-2024学年上学期期末考试高三数学本试卷共4页.满分150分.考试时间120分钟.注意事项：1.答题前、考生务必在试卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名.2.回答选择题时，选出每小题答案后、用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束，考生必须将试卷和答题卡一并交回.一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.集合{}2P x x =<，12xQ y y ⎧⎫⎪⎪⎛⎫==⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，则P Q = （）A.1,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B.10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭C.()0,2 D.∅【答案】C【解析】因为12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭，函数的值域为()0,∞+，所以{}0Q y y =>，又因为{}2P x x =<，所以()0,2P Q = .故选：C 2.已知复数z 在复平面内对应的点的坐标为()3,4-，则43iz=+（）A.iB.i- C.1i+ D.1i-【答案】A【解析】复数z 在复平面内对应的点的坐标为()3,4-，则34i z =-+，则()()()()34i 43i 34i 25ii 43i 43i 43i 43i 25z -+--+====+++-，故选：A3.已知角ϕ的终边落在()0y x =>上，下列区间中，函数()()2sin f x x ϕ=+单调递增的区间是（）A.π,02⎛⎫-⎪⎝⎭B.π0,2⎛⎫⎪⎝⎭C.π,π2⎛⎫⎪⎝⎭D.3ππ,2⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】A【解析】因为角ϕ的终边落在()0y x =>上，可取一点(，则sin 2ϕ=，则ϕ与π3的终边相同，可令π3ϕ=，则()π2sin 3f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令ππ2π+2π,Z 232k x k k π-+≤≤+∈,所以5ππ2π2π,Z 66k x k k -+≤≤+∈，所以()f x 的单调递增区间为5ππ2π,2πZ 66k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦，只有π5ππ,02π,2πZ 266k k k ⎛⎫⎡⎤-⊆-++∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，故A 正确，B,C,D 错误，故选：A.4.已知圆锥的侧面展开图是半径为的半圆，则该圆锥的体积为（）A.B. C.3πD.9π【答案】C【解析】由圆锥的侧面展开图是半径为l =，设圆锥的底面半径为r ，则2πr ，解之得r =，则圆锥的高3h ==则该圆锥的体积为211ππ333π33r h =⨯⨯=，故选：C 5.如图，谢尔宾斯基地毯是一种无限分形结构，由波兰数学家谢尔宾斯基于1916年发明.它的美妙之处在于，无论将其放大多少次，它总是保持着相同的结构.它的构造方法是：首先将一个边长为1的正方形等分成9个小正方形，把中间的小正方形抠除，称为第一次操作；然后将剩余的8个小正方形均重复以上步骤，称为第二次操作；依次进行就得到了谢尔宾斯基地毯.则前n 次操作共抠除图形的面积为（）A.1889n⎛⎫⎪⎝⎭B.819n⎛⎫- ⎪⎝⎭C.1189n⎛⎫- ⎪⎝⎭D.111889n⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】B【解析】观察图形的变化可知：图①中，第一次操作涂黑部分正方形的面积为89，图②中，第二次操作涂黑部分正方形的面积为289⎛⎫ ⎪⎝⎭，图③中，第三次操作涂黑部分正方形的面积为389⎛⎫ ⎪⎝⎭，依次类推，可得第n 次操作涂黑部分正方形的面积为89n⎛⎫ ⎪⎝⎭，故前n 次操作共抠除图形的面积为819n⎛⎫- ⎪⎝⎭.故选：B 6.若函数()ln e 1xf x mx =--为偶函数，则实数m =（）A.1B.1-C.12D.12-【答案】C【解析】由函数()ln e 1xf x mx =--为偶函数，可得()()11f f -=，即1ln e 1ln e 1m m --+=--，解之得12m =，则()1ln e 1(0)2x f x x x =--≠，()()111ln e 1ln e 1ln e 1222x x x f x x x x x f x --=-+=--+=--=故()1ln e 12x f x x =--为偶函数，符合题意.故选：C 7.已知甲：1x ≥，乙：关于x 的不等式()01x aa x a -<∈--R ，若甲是乙的必要不充分条件，则a 的取值范围是（）A.1a ≥B.1a > C.a<0D.0a ≤【答案】A【解析】甲：1x ≥，设此范围对应集合[)1,A =+∞；由1a a <+，则乙：()()01011x ax a x a a x a x a -<⇔---<⇔<<+--，设此范围对应集合(,1)B a a =+，若甲是乙的必要不充分条件，则B A ⊆，其中A B =必不成立；则(,1)a a +[)1,⊆+∞，所以1a ≥.故选：A.8.已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，左顶点为A ，点P 在C 上，且112PF AF =，2160PF F ∠=︒，则C 的离心率为（）A.2B.2C.33D.12【答案】D【解析】由题意可得1AF a c =-，则11222PF AF a c ==-，则1222PF a PF c =-=，又212F F c =，2160PF F ∠=︒，则21PF F 为等边三角形，则222a c c -=，即2a c =，故C 的离心率12c e a ==.故选：D 二、多项选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.9.某校举行演讲比赛，6位评委对甲、乙两位选手的评分如下：甲：7.57.57.87.88.08.0乙：7.57.87.87.88.08.0则下列说法正确的是（）A.评委对甲评分的平均数低于对乙评分的平均数B.评委对甲评分的方差小于对乙评分的方差C.评委对甲评分的40%分位数为7.8D.评委对乙评分的众数为7.8【答案】ACD【解析】选项A ，评委对甲评分的平均数7.57.57.87.88.08.017.87.8630x +++++==-<甲，评委对乙评分的平均数7.57.87.87.88.08.017.87.8660x +++++==+>乙，所以x x <甲乙，故A 正确；选项B ，由A 知，两组数据平均数均约为7.8，且纵向看，甲组数据与乙组数据仅一组数据7.5,7.8不同，其余数据相同，又甲组数据7.5与平均数的差明显大于乙组数据7.8与平均数的差，且差距较大，故与平均数比较，甲组数据波动程度明显大些，即评委对甲评分的方差大于对乙评分的方差，故B 错误；选项C ，由640% 2.4⨯=不是整数，则评委对甲评分的40%分位数为从小到大第3个数据，即：7.8，故C 正确；选项D ，评委对乙评分中最多的数据，即众数为7.8，故D 正确.故选：ACD.10.双曲线22:1E mx ny +=（0m >，0n <）的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 在E 上，则（）A.12PF PF -=B.12F F =C.ED.E的渐近线方程为y =【答案】ABD【解析】221mx ny +=（0m >，0n <），所以双曲线的标准方程为22111x y m n -=⎛⎫- ⎪⎝⎭，双曲线为焦点在x 轴，所以21a m =，a =21b n =-，b =，22211c a b m n=+=-，c =122PF PF a -==A正确；122F F c ==，所以B 正确；E的离心率为e ==，所以C 错误；双曲线的渐近线方程为b y x a =±=，所以D 正确.故选：ABD 11.如图，棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，M 为棱11D C 的中点，N 为棱1CC 上的动点（不与端点重合），则（）A.直线AM 与BN 为异面直线B.存在点N ，使得MN ⊥平面BDNC.当//AM 平面BDN 时，23CN =D.当N 为1CC 的中点时，点C 到平面BDN的距离为3【答案】AD【解析】如图：以D 为原点，建立空间直角坐标系.则()0,0,0D ，()2,0,0A ，()2,2,0B ，()0,2,0C ，()0,1,2M ，()0,2,N t （02t <<）.对A ：假设A ，B ，M ，N 共面，则存在,,R x y z ∈，使得DA xDB yDM zDN =++，且1x y z ++=，即()()()()2,0,02,2,00,1,20,2,x y z t =++⇒2202021x x y y tz x y z =⎧⎪=+⎪⎨=+⎪⎪++=⎩，解得：1222x y z t =⎧⎪=-⎪⎨=⎪⎪=⎩，即()0,2,2N .故只有N ，1C 重合时，才有直线AM 与BN 共面.而条件N 不与线段1CC 端点重合，所以AM 与BN 必为异面直线，故A 对；对B ：若MN ⊥平面BDN ，则MN DB ⊥⇒()()0,1,2·2,2,00t -=⇒20=，故B 错误；对C ：当23CN =时，设平面DBN 的一个法向量(),,n x y z = ，则n DB n DN ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩ ⇒()()(),,·2,2,002,,·0,2,03x y z x y z ⎧=⎪⎨⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎩⇒003x y z y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，取1x =可得：()1,1,3n =- ，此时()()·2,1,2·1,1,33AM n =--= ，所以AM 与n 不垂直，即AM 平面BDN 不成立，故C 错误；对D ：当N 为1CC 中点时，设C 到平面BDN 的距离为h ，则··BDC BDN S CN S h = .而·2BDC S CN = ，在BDN 中，22DB =，5DN BN ==，所以DB 523-=122362BDN S =⨯= 636h ==，故D 正确.故选：AD 12.已知函数()()2221R f x ax x x ax a =++++∈，则（）A.当1a =-时，()f x 为增函数B.若()f x 有唯一的极值点，则0a >C.当2a ≤-时，()f x 的零点为1±D.()f x 最多有2个零点【答案】ACD【解析】函数()()2221R f x ax x x ax a =++++∈，对于A 中，当1a =-时，()1f x x =+单调递增，所以A 正确；对于B 中，当0a =时，()221f x x x =++，此时函数()f x 只有一个极大值点，所以B 错误；对于C 中，当2a ≤-时，设210x ax ++=的两个根据分别为12,x x 且12x x ≤，则122x x a +=-≥，121=x x ，所以1201,1x x <≤≥，当1x x <或2x x >时，()2(1)(2)1f x a x a x =++++，此时函数()f x 的开口向下，且对称轴为()20,102(1)a x f a +=-<-=+，当12x x x <<时，()2(1)(2)1f x a x a x =-+--，此时函数()f x 的开口向下，且对称轴为()20,102(1)a x f a -=>=-，如图所示，所以C 正确；对于D 中，由选项C 可知，当2a ≤-时，函数()f x 有两个零点，当22a -<≤时，240a ∆=-<，可得()2(1)(2)1f x a x a x =++++至多有两个零点；当2a >时，设方程210x ax ++=的两个根据分别为12,x x 且12x x ≤，则122x x a +=-<，121=x x ，所以122,10x x <--<<，当1x x <或2x x >时，()2(1)(2)1f x a x a x =++++，此时图象开口向上，对称轴为()21,01,(1)02(1)2a x f f a -+=<-=-=+；当12x x x <<时，()2(1)(2)1f x a x a x =-+--，此时图象开口向上，对称轴为()2(0,1),10,(0)12(1)a x f f a -=∈==--，(1)2(2)0f a -=->，如图所示，所以D 正确.故选：ACD.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置.13.已知向量a ，b满足2a b == ，,60a b =︒ ，则a b -=r r ___.【答案】2【解析】向量a ，b满足2a b == ，,60a b =︒ ，则a b -==r r2===，14.已知函数()()()ln e ,021,0x x f x f x x ⎧-+≤⎪=⎨->⎪⎩，则()2f =_________.【答案】4【解析】由题意()()()221404ln e=4f f f ===.故答案为：4.15.无重复数字且各位数字之和为8的三位数的个数为__________.【答案】24【解析】分两类：第一类不含数字0，有以下几种组合125++和134++，结果为332A 12=；第二类含数字0，有以下几种组合017++、026++和035++，结果为12223C A 12=；综上，无重复数字且各位数字之和为8的三位数的个数是24.故答案是：24.16.已知1n a n=，若对任意的()*n n ∈N ，都有()()()212222n a a a kn +++ ≥，则实数k 的最大值为___.【答案】158【解析】由题意可得：()()()122222n a a a k n +++≤对*n ∈N 恒成立.设()()()122222n n a a a b n +++=，令11n n b b +≥，得()2212111n n n ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭≥+⇒331n n ≥+⇒2n ≥，又11231b +==，()2112215248b ⎛⎫++ ⎪⎝⎭==，所以158k ≤.故答案为：158四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知等比数列{}n a 满足112a =，246a a =.（1）求{}n a 的通项公式；（2）求数列{}n na 的前n 项和.【解析】（1）设{}n a 的公比为q ，由已知得()23511a q a q ⋅=⋅，……………………………………………………2分所以112q =，2q =，…………………………………………………………3分所以121222n n n a --=⨯=.………………………………………………………4分（2）22n n na n -=⋅设数列{}n na 的前n 项和为n S ，则10121222322n n S n --=⋅+⋅+⋅++⋅ ，①所以()012121222122n n n S n n --=⋅+⋅++-⋅+⋅ ，②……………………………6分①-②得1121121212122n n n S n ----=⋅+⋅+⋅++⋅-⋅ ，()11122212n n n --=-⋅-……………………………………………………8分()11122n n -=-⋅-……………………………………………………9分所以()11122n n S n -=-⋅+.…………………………………………………………10分18.如图，矩形ABCD 中，4AB =，6BC =，点E ，F 在边BC ，AD 上，且2CE DF ==.将矩形CDFE 沿EF 折起至C D FE ''，使得60C EB '∠=︒，M ，N 分别为AB ，C D ''的中点.（1）证明：EN ⊥平面MNF ；（2）求EN 与平面C AE '所成角的正弦值.【解析】（1）在矩形C D FE ''中，2C N C E ''==，90C '∠=︒，所以45C NE '∠=︒，同理45D NF '∠=︒，故EN NF ⊥，①…………………………………………2分连结BC '、ME ，在BEC '△中，由余弦定理知：2222cos 164812BC EB EC EB EC C EB =+-⋅⋅∠=+-''=''，所以BC '=MN =，又因为NE ===ME ===所以222ME MN NE =+，所以90ENM ∠=︒，即EN MN ⊥，②………………………5分由①，②及MN NF N = ，,MN NF ⊂平面MNF ，可得EN ⊥平面MNF .………………6分（2）以E 为坐标原点，EF ，EB 所在直线为x ，y 轴，建立如图所示的空间直角坐标系E xyz -.则()0,0,0E，(C '，()4,4,0A，(N，(EC '= ，()4,4,0EA =，设平面C AE '的法向量(),,n x y z =，则0440n EC y n EA x y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=⎪⎩'+=，令x =y =，1z =，所以)n =.…………………………………………………………9分因为(EN =，所以42cos ,14n EN n EN n EN⋅===，………………………………………………………11分所以EN 与平面C AE '所成角的正弦值为14.…………………………………………………………12分19.在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c，且a c +=，3A C π-=.（1）求cosB ；（2）若b =ABC 的面积.【解析】（1）因为a c +=，所以由正弦定理得sin sin A C B +=，…………………………………………………………1分因为3A C π-=，且A B C π++=，所以32B C π=-，232B A π=-，…………………………………………………………2分所以2sin sin 3232B B B ππ⎛⎫⎛⎫-+-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即22sin cos cos sin sin cos cos sin 32323232B B B B B ππππ-+-=，…………………………4分2B B =，所以cos4sin cos 222B B B =，因为022B π<<，所以1sin 24B =，…………………………………………………………5分所以27cos 12sin 28B B =-=；…………………………………………………………6分（2）由余弦定理可得2222cos b a c ac B =+-，………………………………………………………7分即()27524a c ac ac =+--，得()21554ac =-，得443ac =，…………………………………………………………9分因为7cos 8B =，所以sin 8B =，………………………………………………………10分所以1sin 212ABC S ac B ==△…………………………………………………………12分20.已知函数()()()e 2ln 0x f x a a x a =+->，()f x 的导函数为()f x '.（1）当1a =时，解不等式()e xf x >；（2）判断()f x '的零点个数；（3）证明：()224ln 4a f x a ++≥.【解析】（1）当1a =时，()e 12ln e x x f x x =+->，所以1ln 2x <，所以0x <<，所以不等式的解集为(.…………………………………………………………3分（2）函数()f x 的定义域为()0,∞+，()2e 2e x xax f x a x x ='-=-.………………………………4分令()e 2x g x ax =-，则()()1e 0xg x a x =+>'，所以()g x 在区间()0,∞+上单调递增.…………………………………………………………5分又因为()020g =-<，2222e 22e 10a a g a ⎛⎫⎛⎫=-=-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以存在020,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭使得()00g x =，所以()f x '在区间()0,∞+上有且只有一个零点0x .……………………………………………………7分（3）证明：由（2）知，当()00,x x ∈时，()0f x '<，()f x 在()00,x 上单调递减，当()0,x x ∞∈+时，()0f x '>，()f x 在()0,x ∞+上单调递增，所以()()()000e 2ln x f x f x a a x ≥=+-.…………………………………………………………9分因为00e 20x ax -=，所以002e x a x =，00ln ln 2ln a x x +=-.……………………………………10分所以()()()0200002e 2ln 2ln 2ln x f x a a x a a x x =+-=+---22220022ln 4ln 44a a x a a x =+++++≥，所以()224ln 4a f x a ≥++.…………………………………………………………12分21.某人从A 地到B 地有路程接近的2条路线可以选择，其中第一条路线上有n 个路口，第二条路线上有m 个路口.（1）若2n =，2m =，第一条路线的每个路口遇到红灯的概率均为23；第二条路线的第一个路口遇到红灯的概率为34，第二个路口遇到红灯的概率为35，从“遇到红灯次数的期望”考虑，哪条路线更好？请说明理由.（2）已知；随机变量i X 服从两点分布，且()()110i i i P X P X p ==-==，.则11n i i n i i E X p ==⎛⎫= ⎪⎝⎭∑∑，且()2112,1,2,3,,n n i i i i i j i j E X p p p i j n ==<⎡⎤⎛⎫=+=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦∑∑∑ .若第一条路线的第i 个路口遇到红灯的概率为12i ，当选择第一条路线时，求遇到红灯次数的方差.【解析】（1）应选择第一条路线，…………………………………………………………1分理由如下：设走第一、第二条路线遇到的红灯次数分别为随机变量1X 、2X ，则10,1,2X =，20,1,2X =，()2111039P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()1122141C 339P X ==⨯⨯=，()2212242C 39P X ⎛⎫==⋅= ⎪⎝⎭，所以()1484993E X =+=；…………………………………………………………3分又()212104510P X ==⨯=，()2321391454520P X ==⨯+⨯=，()233924520P X ==⨯=，所以()299272202020E X =+⨯=；……………………………………………………5分因为427320<，所以应选择第一条路线.………………………………………………6分（2）设选择第一条路线时遇到的红灯次数为X ，所以()11n n i i i i E X E X p ==⎛⎫== ⎪⎝⎭∑∑；()22112n n i i i j i i i j E X E X p p p ==<⎡⎤⎛⎫==+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦∑∑∑，………………………………………………8分设随机变量Y ，Y 取值为()1,2,3,,i Y i n =L ，其概率分别为i q ，且11n i i q==∑，()(){}21n i i i D Y Y E Y q ==-⎡⎤⎣⎦∑()(){}2212n i i i i i i Y q E Y Y q E Y q ==⋅-⋅+⋅⎡⎤⎣⎦∑()()()()()22111222n n ni i i i i i i i Y q E Y Y q E Y q E Y E Y ====⋅-⋅+⋅⎡⎤⎣⎦=-⎡⎤⎣⎦∑∑∑所以()()()()22D X E X E X=-2112n n i i j i i i j i p p p p =<=⎛⎫=+- ⎪⎝⎭∑∑∑21122n n i i j i i j i i j i i j p p p p p p =<=<⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭∑∑∑∑()21ni i i p p ==-∑，………………………………………11分又因为12i i p =，所以()1111111111224411241124n n n n i i i i D X ==⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=-=---∑∑2113342n n =+-⋅.…………………………………………………………12分22.在直角坐标系xOy 中，点P 到直线92y =的距离等于点P 到点70,2⎛⎫ ⎪⎝⎭的距离，记动点P 的轨迹为C .（1）求C 的方程；（2）设A ，B 是C 上位于y 轴两侧的两点，过A ，B 的C 的切线交于点Q ，直线QA ，QB 分别与x 轴交于点M ，N ，求QMN 面积的最小值.【解析】（1）设(),P x y ，92y =-，…………………………………………………………1分整理得282x y =-；…………………………………………………………3分（2）如图：设2,42a A a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，2,42b B b ⎛⎫- ⎪⎝⎭，不妨设0a b <<，因为242x y =-，所以y x '=-，…………………………………………………………4分所以过点A 的切线方程为()242a y a x a ⎛⎫--=-- ⎪⎝⎭，即242a y ax =-++，同理可得过点B 的切线方程242b y bx =-++，………………………………………………………6分联立QA ，QB 方程，得8,22a b ab Q +-⎛⎫⎪⎝⎭，令0y =，得4,02a M a ⎛⎫+⎪⎝⎭，4,02b N b ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，所以()42a b b a MN ab --=+，…………………………………………………………8分所以QMN 的面积()4181822222a b ab b a ab S MN ab ⎡⎤----⎛⎫⎛⎫=⨯=+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦，因为0a ->，所以()()418222b a b a ab S ab ⎧⎫⎡⎤+-+--⎪⎪⎛⎫⎣⎦=+⎨⎬ ⎪-⎝⎭⎪⎪⎩⎭142284822222ab ab ab ab ⎛⎛⨯--⎛⎫⎛⎫≥+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，………………………………10分t =，得234816416224t t S t t t t ⎛⎫+⎛⎫⎛⎫=+=++ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以221643164S t t ⎛⎫=+- ⎝'⎪⎭，令0S '=，得283t =由0S '>⇒22643160t t +->⇒()()223880t t -+>⇒283t >；所以当2803t <<时，()S t 单调递减，当283t >时，()S t 单调递增；所以当283t =，即3t =时，9S =为最小值.…………………………………………………12分。

2023届吉林省长春市第二中学高三上学期期末数学试题(解析版)

2023届吉林省长春市第二中学高三上学期期末数学试题一、单选题1．已知全集{}55U x x =-<<，{}260A x x x =+-<，则UA =（）A ．[3,2)-B ．(3,2]-C ．(5,3)(2,5)--⋃D ．(5,3][2,5)--⋃【答案】D【分析】解一元二次不等式，求出{}32A x x =-<<，从而求出补集. 【详解】260x x +-<，解得：32x -<<，所以{}32A x x =-<<，因为{}55U x x =-<<，所以(5,3][2,5)UA =--⋃．故选：D2．已知双曲线()222:10y C x b b-=>的离心率是2，则其渐近线的方程为（）A ．0x =B 0y ±=C ．30x y ±=D ．30x y ±=【答案】B【分析】根据双曲线的离心率求出b 的值，进而可得答案.【详解】由双曲线()222:10y C x b b-=>可得1,a c =2c e b a ∴===⇒=所以双曲线的渐近线方程为y ==，0y ±=. 故选：B3．下列说法中正确的是（） A ．若//a α，b α⊂，则//a b B ．若//αβ，//a α，则//a βC ．平面α内ABC 的三个顶点到平面β的距离相等，则α与β平行D ．若//a α，//a b ，b β⊥，则αβ⊥ 【答案】D【分析】对于A ，由线面平行的定义和性质判断，对于B ，由面面平行的性质判断，对于C ，由面面平行的判定方法判断，对于D ，由面面垂直的判定方法分析判断.【详解】对于A ，若//a α，b α⊂，则a 与b 可能平行，可能异面，所以A 错误，对于B ，若//αβ，//a α，则有可能//a β，有可能a β⊂，所以B 错误，对于C ，若平面α内ABC 的三个顶点到平面β的距离相等，则当,,A B C 三点在β的同侧时，AB ∥β，AC ∥β，因为AB AC A ⋂=，,AB AC α⊂，所以α与β平行，当,,A B C 三点在β的两侧时，可得α与β相交，所以C 错误，对于D ，因为//a b ，b β⊥，所以a β⊥，因为//a α，所以αβ⊥，所以D 正确，故选：D4．在ABC 中，,1,3AB a AC b BD BC ===，则AD =（）A ．1233a b +B ．2133a b +C ．3455a b +D ．4355a b +【答案】B【分析】根据向量的运算的几何表示结合条件即得. 【详解】∵AB a AC b ==，，∴BC AC AB b a =-=-，又13BD BC =∴()11213333AD AB BD a BC a b a a b =+=+=+-=+.故选：B.5．在三棱锥-P ABC 中，PA ⊥平面ABC ，6PA =，3BC =，π6CAB ∠=，则三棱锥-P ABC 的外接球半径为（） A ．3 B ．C ．D ．6【答案】C【分析】先求出△ABC 外接圆半径，利用勾股定理求出三棱锥-P ABC 的外接球半径. 【详解】由正弦定理得,△ABC 外接圆直径为326πsin 6r ==，得r=3.设球心到平面ABC 的距离为d ，则132d PA ==. ∴三棱锥-P ABC 的外接球半径为R =故选：C6．阅读下面材料，完成本题．材料：初等数论是纯粹数学的分支之一，主要研究整数的性质．如果算式a bq r =+中0r =，则b 整除a ，记作|b a （其中a ，b ，q ，r 均为整数）．若整数a 与整数b 分别除以整数n ，所得余数相同，则称a 与b 模n 同余，记作()mod a b n ≡，设(),a b 是a 与b 的最大公因数．我们把形如()mod ax b n ≡的方程称为关于x 的一次同余方程，该方程有解的充分必要条件是(),a n b ∣．据此，请完成：若关于x 的一次同余方程()407mod222x b ≡有解，则b 的值可以为（） A ．72 B ．74C ．76D ．78【答案】B【分析】由更相减损术或辗转相除法求出407和222的最大公因数，则b 是407和222的最大公因数的整数倍即可.【详解】由题意可得：关于x 的一次同余方程()407mod222x b ≡有解，则()407,222b ∣. 方法1：∵4072221185=⨯+，222185137=⨯+，1853750=⨯+， ∴407和222的最大公因数为37， ∴()407,222|37|b b =，∴37整除b ，即：b 是37的整数倍，选项中74是37的整数倍，方法2：∵407222185-=，22218537-=，18537148-=，14837111-=，1113774-=，743737-=， ∴407和222的最大公因数为37， ∴()407,222|37|b b =，∴37整除b ，即：b 是37的整数倍，选项中74是37的整数倍，故选：B.7．设0.6log 2a =，2log 0.6b =，20.6c =，则a ，b ，c 的大小关系为（） A ．b c a << B ．c b a << C ．a b c << D ．b a c <<【答案】C【分析】由指数对数的运算性质，利用中间值0，1-进行比较大小即可求得. 【详解】20.60c =>，0c >；22log 0.6log 10b =<=且22log 0.6log 0.51b =>=-，10b -<<；()0.6211log 2,1log 0.6a b===∈-∞-，1a <-.所以a b c << 故选：C8．在正方体1111ABCD A B C D -中，3AB =，点M 是平面1AB C 内的一个动点，且满足1213D M MB +=+，则MC 的最大值为（） A ．362B ．162+C ．61+D ．62+【答案】C【分析】连接BD ，首先证明1BD ⊥平面1AB C ，设1BD 平面11A BC E =，连接ME 、1B E ，即可得到三棱锥1B AB C -为正三棱锥，求出BE 、1D E ，再利用勾股定理表示1D M MB +，即可得到1ME =，从而得得出答案.【详解】解：连接BD ，因为四边形ABCD 为正方形，则BD AC ⊥， 1DD ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，则1AC DD ⊥，因为1BDDD D =，1,BD DD ⊂平面1BDD ，AC ∴⊥平面1BDD ，1B D ⊂平面1BDD ，1BD AC ∴⊥，同理可证11BD AB ⊥，1AB AC A =，1,AB AC ⊂平面1AB C ，1BD ∴⊥平面1AB C ，设1BD 平面11A BC E =，连接ME 、1B E ，因为1132AB B C AC ===1AB BB BC ==，所以三棱锥1B AB C -为正三棱锥，则E 为1AB C 的中心，则()22123232632B E ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭且1AB C 内切圆的半径1112r B E ==所以BE =1BD =∴11D E BD BE =-=1BD ⊥平面1AB C ，ME ⊂平面1AB C ，1ME BD ∴⊥，即BE ME ⊥，1D E ME ⊥，因为12D M MB +=20ME >，解得1ME =，所以点M 的轨迹是以E 为圆心，半径为1的圆，则MC 的最大值为：1111EC B E +=+=. 故选：C .二、多选题9．已知复数1z ，2z ，则下列结论中一定正确的是（） A ．若120z z =，则10z =或20z =B ．若22120z z +=，则120z z == C ．若2212z z =，则12=z zD ．若12=z z ，则2212z z =【答案】AC【分析】设()12i,i,,,,R z x y z a b x y a b =+=+∈，根据复数的乘法运算和复数的模长的概念，可判断A 、C ；取121i,1i,z z =+=-可判断B 、D.【详解】对于A ，设()12i,i,,,,R z x y z a b x y a b =+=+∈，若120z z =，则()()()12i i ++i 0z z x y a b xa yb xb ya =++=-=，所以0+0xa yb xb ya -=⎧⎨=⎩，即xa yb xb ya =⎧⎨=-⎩，所以22ab ab x y =-，若0a b ，则22ab ab x y =-成立，此时20z =；若00a b =≠，，由xa yb =得0y =，由xb ya =-得0x =，此时10z =；若00a b ≠≠，，由22ab ab x y =-得22x y =-，所以0x y ==，此进10z =，所以若120z z =，则10z =或20z =，故A 正确；对于B ，设121i,1i,z z =+=-则()()2222121i +1i 0z z +=+-=，故B 不正确；对于C ，设()12i,i,,,,R z x y z a b x y a b =+=+∈，所以()()22222212i =+2i,+2i ,,,R z x y x y xy z a b ab x y a b =+-=-∈，若2212z z =，则222222x a x y a b y b xy ab =⎧-=-⎧⇒⎨⎨==⎩⎩或x ay b =-⎧⎨=-⎩，所以12=z z ，故C 正确；对于D ，由12=z z ，取11i z =+，21i z =-满足条件，而22122i 2i z z =-≠=，故D 不正确. 故选：AC.10．已知()44sin ,cos 22x xa f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()1,1b =-，若a 与b 共线，则下列说法错误的是（）A ．将()f x 的图象向左平移π3个单位得到函数12π3cos 2434y x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象B ．函数()f x 的最小正周期为2πC ．直线3π4x =是()f x 的一条对称轴 D ．点π,012⎛⎫- ⎪⎝⎭是()f x 的一个对称中心【答案】BCD【分析】由已知可得()13cos 244f x x =+.根据平移变换得出解析式，即可判断A 项；根据周期公式求出函数()f x 的最小正周期，即可判断B 项；整理代入即可判断C 、D 项. 【详解】因为a 与b 共线，所以()44sincos 022x xf x --+=，所以()44sin cos 22x xf x =+22222sin cos 2sin cos 2222x x x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭21sin 12x =-+13cos 244x =+.对于A 项，将()f x 的图象向左平移π3个单位得到函数1π312π3cos 2cos 2434434y x x ⎛⎫⎛⎫=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故A 项说法正确；对于B 项，因为()13cos 244f x x =+，所以2ππ2T ==,故B 项说法错误；对于C 项，因为3π3π2π,42k k ⨯=≠∈Z ，所以直线3π4x =不是()f x 的对称轴，故C 项说法错误；对于D 项，因为πππ2π,1262k k ⎛⎫⨯-=-≠+∈ ⎪⎝⎭Z ，所以点π,012⎛⎫- ⎪⎝⎭不是()f x 的对称中心，故D 项说法错误.因本题选择的是说法错误的，所以应当选择BCD.11．已知抛物线2:2C y x =的焦点为F ，准线为l ，A ，B 是C 上的两点，O 为坐标原点，则（） A ．l 的方程为=1x -B ．若0OA OB ⋅=，则8OA OB ⋅≥C ．若直线AB 经过点F ，则以线段AB 为直径的圆与y 轴相切D ．若3AF FB =，则直线AB的斜率为【答案】BD【分析】根据抛物线方程求出焦点坐标与准线方程，即可判断A ，设()11,A x y ，()22,B x y ，即可得到1212x x y y =-，从而得到124x x =，再利用基本不等式求出OA OB ⋅的最小值，即可判断B ，利用特殊值判断C ，设直线的方程为12x my =+，设()11,A x y ，()22,B x y ，由向量的关系，可得A ，B 的纵坐标的关系，代入两根之和及两根之积，可得参数的值，再求直线的斜率的值，即可判断D ．【详解】解：抛物线2:2C y x =的焦点为1,02F ⎛⎫⎪⎝⎭，准线方程为12x =-，故A 错误；设()11,A x y ，()22,B x y ，则12120OA OB x x y y ⋅=+=，即1212x x y y =-，而2212121222y y x x y y =⋅=-，所以124y y =-或120y y =（舍去），则124x x =，所以()()()2222222221122122132OA OB x y x y x y x y ⋅=++=++122132264x x y y ≥+⋅=，当且仅当1221x y x y =时取等号，所以8OA OB ⋅≥，故B 正确；对于C ：若AB 与x 轴垂直，令12x =，则21y =，解得1y =±，所以1,12A ⎛⎫⎪⎝⎭，1,12B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，此时以线段AB 为直径的圆的半径1r =，圆心恰为焦点1,02F ⎛⎫⎪⎝⎭，显然不与y 轴相切，故C 错误；对于D ：显然直线AB 的斜率不为0，设直线的方程为12x my =+，设()11,A x y ，()22,B x y ，联立2122x my y x ⎧=+⎪⎨⎪=⎩，整理可得2210y my --=，可得122y y m +=，121y y =-，当3AF FB =时，即123y y -=，而122y y m +=，可得2y m =-，13y m =，又121y y =-，可得231m =，可得m =，所以直线的斜率1k m ==D 正确；12．已知函数()()ln 1x f x x+=，下列结论正确的是（）A ．函数()f x 在()0,∞+上为减函数B ．当210x x >>时，()()122221f x f x x x >C ．若方程()f x a =有2个不相等的解，则a 的取值范围为()0,1D ．2111ln 1ln 1ln 12333n⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，n +∈N 【答案】ACD【分析】由已知求出()()()()21ln 11x x x f x x x -++'=+.构造()()()1ln 1g x x x x =-++，根据导函数得到()()00g x g <=，所以()0f x '<，即可得出A 项；构造函数()()()2ln 1h x x f x x x ==+，求出导函数得到函数单调性，即可判断B 项；先证明()ln 1x x +<()0x >，然后根据函数的单调性可得()f x 在()0,∞+上有()01f x <<.进而根据零点的存在定理证明当01a <<时，函数()()ln 1m x x ax =+-在()0,∞+上有唯一零点即可，然后根据奇偶性即可判断C 项；根据()ln 1x x +<()0x >可得11ln 133nn ⎛⎫+< ⎪⎝⎭，然后根据等比数列前n 项和得出结果，即可判断D 项. 【详解】()f x 定义域为()()1,00,-⋃+∞，()()()()()22ln 11ln 111xx x x x x f x x x x -+-+++'==+. 对于A 项，令()()()1ln 1g x x x x =-++，则()()()()11ln 11ln 101g x x x x x '=-+-+=-+<+在0x >时恒成立，所以()g x 在()0,∞+上单调递减，所以，当0x >时，()()00g x g <=.又当0x >时，()210x x +>，所以()0f x '<，所以函数()f x 在()0,∞+上为减函数，故A 项正确；对于B 项，令()()()2ln 1h x x f x x x ==+.则()()ln 101xh x x x '=++>+在0x >时恒成立，所以()h x 在()0,∞+上单调递增.又210x x >>，()()21h x h x >，即()()222211x f x x f x >，所以()()212212f x f x x x >，即()()122221f x f x x x <，故B 项错误；对于C 项，令()()ln 1k x x x =+-，0x >. 则()11011xk x x x -'=-=<++在0x >时恒成立，所以()k x 在()0,∞+上单调递减，所以当0x >时，()()00k x k <=恒成立，则()0ln 1x x <+<，所以当0x >时，()()ln 11x xf x xx+=<=，又()0f x >.所以当0x >时，()01f x <<.令()()ln 1m x x ax =+-，0x >，0a >，()1111a a x a m x a x x -⎛⎫-- ⎪⎝⎭'=-=++. 当1a ≥时，有()()()ln 1ln 10m x x ax x x =+-≤+-<在()0,∞+上恒成立，所以()ln 1x ax +<，此时函数()m x 没有零点；当01a <<时，解()0m x '=可得111a x a a-==-. 解()0m x '>可得，10a x a -<<，所以()m x 在10,a a -⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增；解()0m x '<可得，1a x a ->，所以()m x 在1,a a -⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递减. 所以当1a x a -=时，()m x 有唯一极大值也是最大值111ln 1ln 1a a a m a a a a a a ---⎛⎫⎛⎫=+-⨯=-+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. 令()ln 1n a a a =-+，01a <<，则()110n a a'=-<在()0,1上恒成立，所以()ln 1n a a a =-+在()0,1上单调递减.又()10n =，所以()0n a >，所以10a m a -⎛⎫> ⎪⎝⎭；①当112a <<时，有11aa -<，且()4ln54ln520m a =-<-<. 根据零点的存在定理以及()m x 在1,a a -⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减可得， 01,4a x a -⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，使得()00m x =，且()m x 在()4,+∞上没有零点.又()00m =，()m x 在10,a a -⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，所以()m x 在10,a a -⎛⎫ ⎪⎝⎭上没有零点，所以()m x 在()0,∞+上有唯一零点；②当102a <≤时，有222120a a a a --=>，所以22111a a->-. 2ln 22222221ln 2ln e ln 2a m a a a a a a a ⎛⎫-=-⨯+=-+- ⎪⎝⎭，令2ln ln 41t a=≥>，2e t a -=，设()2e 2e ln 2t tp t t -=-+-，则()22e 2e e 2220e t t t t p t -⎛⎫'=--=-++≤-=-< ⎪⎝⎭，当且仅当2e ett=，即1ln 22t =时，等号成立. 因为1t >，所以()0p t '<恒成立，所以()p t 单调递减.又()112e 2e ln 20p -=-+-<，所以()0p t <，所以2210m a ⎛⎫-< ⎪⎝⎭.根据零点的存在定理以及()m x 在1,a a -⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减可得， 0212,1a x a a -⎛⎫∃∈- ⎪⎝⎭，使得()00m x =，且()m x 在221,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上没有零点.又()00m =，()m x 在10,a a -⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，所以()m x 在10,a a -⎛⎫⎪⎝⎭上没有零点，所以()m x 在()0,∞+上有唯一零点.综上所述，当01a <<时，函数()m x 在()0,∞+上有唯一零点.又因为()y f x =为偶函数，所以01a <<时，方程()f x a =有2个不相等的解，故C 项正确；对于D 项，由C 知，当0x >时，()ln 1x x +<.所以11ln 133nn ⎛⎫+< ⎪⎝⎭，所以2111ln 1ln 1ln 1333n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2111333n <+++11133113n⎡⎤⎛⎫⨯-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦=-11112232n ⎡⎤⎛⎫=⨯-<<⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，故D 项正确. 故选：ACD.【点睛】关键点点睛：根据()0ln 1x x <+<，可得()()ln 1m x x ax =+-在()0,∞+上有唯一零点时应有01a <<，进而根据零点的存在定理证明当01a <<时，函数()()ln 1m x x ax =+-在()0,∞+上有唯一零点即可.三、填空题13．数列{}n a 满足2310n n a n +=+，当n =______时，12n a a a 最小．【答案】6或7 【分析】先比较2310n n a n +=+与1，得到对应的范围，然后利用作商法能得到11122n n n a a a a a a a -=，在结合前面求解的范围进行解答即可【详解】因为*N n ∈，所以100n +>，230n +>，23010n n +>+，所以23110n n a n +=<+可转化成2310n n +<+，解得17,n ≤<*N n ∈， 23110n n a n +==+可转化成2310n n +=+，解得7n =， 23110n n a n +=>+可转化成2310n n +>+，解得7n >，*N n ∈，所以当*27,N n n ≤<∈时，121211n nn a a a a a a a -=<，所以112123126a a a a a a a a a >>>>；当7n =时，16127721a a a a a a a ==，所以126127a a a a a a =；当*7,N n n >∈时，121211n nn a a a a a a a -=>，所以127128129a a a a a a a a a <<<，综上，当n =6或7时，12n a a a 最小故答案为：6或714．设()y f x =是定义在R 上的奇函数，且()()2f x f x +=-，又当[]0,1x ∈时，()2f x x =，则()25.5f 的值为______. 【答案】1【分析】由已知可得函数的周期为4，然后根据函数解析式结合周期性奇偶性可求得结果. 【详解】因为()()2f x f x +=-，所以()()42f x f x +=-+，所以()()4f x f x +=，所以()y f x =的周期为4，因为()y f x =是定义在R 上的奇函数，当[]0,1x ∈时，()2f x x =，所以()()25.546 1.5f f =⨯+()1.5f = ()0.52f =-+()0.5f =-- ()0.5f = 20.51=⨯=，故答案为：115．过点()4,3P 作圆22:(1)(2)4C x y -+-=的两条切线，切点分别为A ，B ，则AB 的直线方程为______.【答案】390x y +-=【分析】根据题意以P 为圆心，PA 为半径作圆P ，两圆方程作差即可得直线AB 的方程. 【详解】圆22:(1)(2)4C x y -+-=的圆心()1,2C ，半径2r =，方程化为一般式方程为222410x y x y +--+=，则PC =以(4,3)P 为圆心，PA ==P ，其方程为22(4)(3)6x y -+-=，方程化为一般式方程为2286019x x y y --++=， ∵PA PB =，则,A B 是圆P 与圆C 的交点，两圆方程作差可得：62180390x y x y +-=⇒+-=， ∴直线AB 的方程为390x y +-=. 故答案为：390x y +-=【点睛】关键点睛：根据两圆相交进行求解是解题的关键.16．平面二次曲线方程的一般形式为22Γ:0Ax Bxy Cy Dx Ey F +++++=．已知曲线22:33280C x y xy +--=表示中心在坐标原点的椭圆，若中心为坐标原点的矩形的四个顶点均在椭圆C 上，则该矩形面积的最大值为______.【答案】【分析】首先设椭圆焦点为12(,),(,)F p q F p q --，根据椭圆定义可得2a ，整理可得2222222222()2()()a p x pqxy a q y a a p q --+-=--，从而由222222222()3328a p a q pq a a p q -----===-，解得2221,4p q a ===，求得长轴和短轴，由该矩形面积的最大值1222S a b =⋅⋅，即可得解.【详解】由22:33280C x y xy +--=表示中心在坐标原点的椭圆，故设椭圆焦点为12(,),(,)F p q F p q --，2a ，移项平方去根号，化简可得：2222222222()2()()a p x pqxy a q y a a p q --+-=--，对应2233280x y xy +--=可得：222222222()3328a p a q pq a a p q -----===-，解得2221,4p q a ===，2a =，所以焦距122c F F ==c =b =所以该矩形面积的最大值1222S a b =⋅⋅=故答案为：四、解答题17．已知函数()()π36cos πsin 62f x x x ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭．(1)求()f x 的单调减区间；(2)若函数()y f x a =-在π5π,1212x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦存在零点，求实数a 的取值范围．【答案】(1)()Z π5ππ,π36k k k ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦++(2)[]0,3【分析】（1）化简函数()π3sin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，结合三角函数的图象与性质，即可求解；（2）根据题意转化为方程πsin 263a x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭在π5π,1212x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有解，以π26x -为整体，结合正弦函数图象运算求解.【详解】（1）解：()()π36cos πsin 62f x x x ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭π36cos sin 62x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭3136cos sin cos 222x x x ⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭2333sin cos 3cos 2x x x =-+331cos 23sin 23222x x +=-⨯+ 31π3sin 2cos 23sin 2226x x x ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()π3sin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，令ππ3π2π22π,Z 262k x k k +≤-≤+∈，则π5πππ,Z 36k x k k +≤≤+∈， ∴函数()f x 的单调递减区间为()Z π5ππ,π36k k k ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦++.（2）解：令()0y f x a =-=，即π3sin 206x a ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，则πsin 263a x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，∵()y f x a =-在π5π,1212x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦存在零点，则方程πsin 263a x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭在π5π,1212x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有解，若π5π,1212x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，则π2π20,63x ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，可得[]πsin 20,16x ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，∴013a≤≤，得03a ≤≤ 故实数a 的取值范围是[]0,3．18．如图，等腰Rt AOB ，2OA OB ==，点C 是OB 的中点，AOB 绕BO 所在的边逆时针旋转至BOD ，23AOD π∠=．(1)求AOB 旋转所得旋转体的体积V 和表面积S ； (2)求直线AC 与平面BOD 所成角的正弦值．【答案】(1)8π9V =，4244S +=+； 15【分析】（1）由题意旋转体的体积为圆锥体积的13，利用公式计算即可；表面由两个直角三角形，一个13底面圆和13侧面组成，分别计算相加即可；（2）建立空间直角坐标系，利用法向量解决线面角即可. 【详解】（1）由题意旋转体的体积为圆锥体积的13，所以2118π22π339V =⨯⨯⨯⨯=；表面由两个直角三角形，一个13底面圆和13侧面组成，2111π222π2222332S =⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯424π43+=+；（2）建立如图所示的空间直角坐标系则： (2,0,0)A ，(0,0,1)C ，(0,0,2)B ，(1,3,0)D -，则(2,0,1)AC =-，(0,0,2)OB =，(1,3,0)OD =-，设平面BOD 的法向量为(,,)n x y z =，则，200300z n OB x y n OD ⎧=⎧⋅=⎪⎪⇒⎨⎨-+=⎪⋅=⎪⎩⎩令1y =，得(3,1,0)n =，设直线AC 与平面BOD 所成角为θ，则||2315sin ||||52AC n AC n θ⋅===⋅所以直线AC 与平面BOD 1519．在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，2,2sin 3sin2c b A C ==. (1)求sin C ；(2)若ABCAB 边上的中线CD 的长. 【答案】【分析】（1）利用二倍角公式，结合正弦定理、余弦定理及同角三角函数关系式即可求出结果；（2）利用三角形面积公式，及（1）的相关结论，再结合平面向量的四边形法则，利用向量的线性表示出CD ，最后利用求模公式即可求AB 边上的中线CD 的长. 【详解】（1）因为2sin 3sin2A C =，所以2sin 6sin cos A C C =，所以26cos a c C =，即3cos a c C =，所以cos 3aC c=，由余弦定理及2c b =得：2222222243cos 222a b c a b b a b C ab ab ab +-+--===，又cos 36a a C c b ==，所以222232926a b aa b ab b-=⇒=，即a =，所以2cos 66a C b b ==所以sin C ===（2）由214374211sin 2ABCSab C ab，所以ab =由（1）a =，所以2,b a == 因为CD 为AB 边上的中线，所以()12CD CA CB =+，所以()222124CD CA CB CA CB =++⋅ ()2212cos 4ba ab C =⨯++ 1418224⎛=⨯++⨯⨯ ⎝⎭7=，所以7CD =，所以AB 边上的中线CD 20．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，152a =，124n n S a +=-． (1)求{}n a 的通项公式； (2)若()()()121111n n n n n a b a a +--=++，求数列{}n b 的前n 项和为nT．【答案】(1)5,123,2n n n a n ⎧=⎪=⎨⎪≥⎩ (2)11717031n n n T ++=-+【分析】（1）利用1n n n a S S -=-得到{}n a 从第二项起为等比数列，求出2a ，利用2a 写出通项公式即可，最后将通项公式写成分段形式；（2）利用裂项相消法可求出2n ≥时的n T ，然后综合1T 写出n T . 【详解】（1）124n n S a +=-①, ∴当2n ≥时，124n n S a -=-②，①-②得12n n n a a a +=-，即13n na a +=，又2112245S a a ==-=，得29a =， 222933n n n n a a q --∴==⨯=，又152a =不符合3n n a = 5,123,2n n n a n ⎧=⎪∴=⎨⎪≥⎩；（2）当1n =时，()()()111251132511701912a b a a --===++⎛⎫++ ⎪⎝⎭当2n ≥时，()()()112131131313131n n n n nn n n n b ++--+==-++++，当2n ≥时，233412123341213131313131313131337070n n n n T n n n +++=+++-+-+-=-+++++++++ 11717031n n ++=-+，又当1n =时，11370T b ==，符合11717031n n n T++=-+ 11717031n n n T ++∴=-+. 21．已知平面上一动点P 到()2,0F 的距离与到直线6x = (1)求动点P 的轨迹方程C ；(2)曲线C 上的两点()11,A x y ，()22,B x y ，平面上点()2,0E -，连结PE ，PF 并延长，分别交曲线C 于点A ，B ，若1PE EA λ=，2PF FB λ=，问，12λλ+是否为定值，若是，请求出该定值，若不是，请说明理由．【答案】(1)221128x y+=；(2)12λλ+是定值，124λλ+=.【分析】（1）设(),P x y ，根据已知可得3PF d==，整理即可得到动点P 的轨迹方程C ；（2）当点P 在x 轴上时，以右端点为例，写出点的坐标，由已知求出1λ，2λ的值，即可得出124λλ+=；当点P 不在x 轴上时，设直线PE 方程为2x my =-，联立直线与椭圆方程得到()22238160my my +--=，由韦达定理得到0121623y y m -=+，同理可得到0221623y y n -=+.根据向量关系，表示出1λ，2λ，根据斜率公式推得2200122388x y λλ+++=，结合点P 满足椭圆方程，化简即可得出结果.【详解】（1）解：设(),P x y ，则PF =P 到直线6x =的距离6d x =-.由已知可得PF d=，整理可得221128x y +=.所以，动点P 的轨迹是椭圆，方程为221128x y +=.（2）解：12λλ+是定值，124λλ+=.当点P在x 轴上时，不妨设点P 为椭圆右端点()P ，由已知可得()A -，()B -，所以()2PE=--，()2,0EA =-，()2PF =-，()2,0FB =-，所以()23223PE EA EA =++=，()23223PF FB FB =--=，即12λ=22λ=，所以124λλ+=.同理可得，当点P 为椭圆左端点时，12λ=22λ=，所以124λλ+=；当点P 不在x 轴上时，设()00,P x y ()00y ≠，直线PE 方程为2x my =-，直线PF 方程为2x ny =+.联立直线PE 方程与椭圆方程2221128x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理可得()22238160m y my +--=，根据韦达定理有0121623y y m -=+. 联立直线PE 方程与椭圆方程2221128x ny x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理可得()22238160n y ny ++-=，根据韦达定理有0221623y y n -=+. 又()002,P y E x ---=，()112,x EA y =+，()002,P x F y =--，()222,x FB y =-，因为1PE EA λ=，2PF FB λ=，所以011022y y y y λλ=-⎧⎨=-⎩，所以1201211y y y λλ⎛⎫+=-⋅+ ⎪⎝⎭20010211y y y y y ⎛⎫=-⋅+ ⎪⎝⎭222023231616m n y ⎛⎫++=-⋅+ ⎪--⎝⎭()222022616y m n =⋅++. 又002x m y +=，002x n y -=，所以()()222002202220002228x x x m n y y y +-++=+=，所以2222000012202823826168y x x y y λλ⎛⎫++++=⋅⨯+= ⎪⎝⎭，又22001128x y +=，所以22002324x y +=，所以124λλ+=. 综上所述，124λλ+=.所以，12λλ+是定值，124λλ+=.22．已知函数()()()221ln 1f x x x a x =+--．(1)当1a =时，求()f x 在1x =处的切线方程； (2)当1x ≥时，()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围； (3)证明：当0m n >>时，()22ln 6m n m n n m n +⎛⎫+> ⎪-⎝⎭．【答案】(1)0y =； (2)1a ≤； (3)证明见解析.【分析】（1）利用导数的几何意义即可求得答案；（2）求得导数并变形为()12ln 22ln 222(ln 1)f x x x x ax x x ax x x a x'=++-≥+-=+-，由此找到10a -≥时，()0f x '≥，此时结论成立，然后证明只有1a ≤时，当1x ≥时，()0f x ≥恒成立，1a >时，不合题意；（3）令,1m t t n => ，()22ln 6m n m n n m n +⎛⎫+> ⎪-⎝⎭化为26ln 121t t t +>-+ ，再进行换元，采用分析证明的方法，直到利用（2）中结论，证明不等式成立.【详解】（1）当1a =时, ()()()221ln 1,(0)f x x x x x =+-->,()12ln ,0f x x x x x x'=+->,故()2ln1110,(1)01f f '=+-==，所以()f x 在1x =处的切线方程为00(1)y x -=-，即0y =. （2）由题意得()12ln 2,1f x x x x ax x x'=++-≥，由当1x ≥时，()0f x ≥恒成立，而()10f =，即1x =时函数取得最小值，由于12x x+≥ ，1x ≥，故()12ln 22ln 222(ln 1)f x x x x ax x x ax x x a x'=++-≥+-=+-，当10a -≥时，()0f x '≥，等号仅会在1x =时取得，则1a ≤，此时当1x ≥时，()f x 递增，且()()01x f f ≥=；下面证明只有1a ≤时，当1x ≥时，()0f x ≥恒成立.因为1x ≥，所以()()()()22221ln 11ln 1x x a x x x x +--≥+--，只需证明()()221ln 10x x x +--≥恒成立；设()()22()1ln 1,g x x x x =+--1()2ln g x x x x x'=+-，令211()2ln ,()2ln 10m x x x x m x x x x '=+-∴=+-≥，仅在1x =时取得等号，故1()2ln ,(1)g x x x x x x'=+-≥单调递增，则()(1)0g x g ''≥=，故()()22()1ln 1,g x x x x =+--(1)x ≥单调递增，所以()(1)0g x g ≥=，即此时当1x ≥时，()0f x ≥恒成立.当,11a x >≥时，()()22()1ln 1f x x x a x =+--，则1()2ln 2f x x x x ax x '=++-，令1()2ln 2h x x x x ax x =++-，则21()32ln 2h x x a x'=+--，在[1,)+∞上为增函数，且(1)220h a '=-<，2211(e )32230e e a a a h a a '=+--=->，故存在0(1,e )a x ∈使得0()0h x '=，则0(1,)x x ∈时，()0h x '<，则1()2ln 2f x x x x ax x'=++-递减，且()(1)2(1)0f x f a ''<=-<，即()()22()1ln 1f x x x a x =+--在0(1,)x 上递减，而(1)0f =，则当0(1,)x x ∈时，()(1)0f x f <=，与题设矛盾，故当1a >时，不合题意，综合上述可知：1a ≤.（3）当0m n >>时，令,1m t t n => ，则()22ln 6m n m n n m n +⎛⎫+> ⎪-⎝⎭，即26ln 121t t t +>-+ ，故要证明当0m n >>时，()22ln 6m n m n n m n +⎛⎫+> ⎪-⎝⎭，只需证明：26ln,(1)121t t t t +>>-+，令21t u t +=- ，则231111t u t t +==+>--，故需证明：2(1)ln ,(1)1u u u u ->>+，令2,1u x x => ，则需证：221ln ,(1)1x x x x ->>+恒成立，由（2）知()()221ln 10x x x +--≥恒成立，即221ln ,(1)1x x x x ->>+恒成立，故当0m n >>时，()22ln 6m n m n n m n +⎛⎫+> ⎪-⎝⎭. 【点睛】难点点睛：在证明当0m n >>时，()22ln 6m n m n n m n +⎛⎫+> ⎪-⎝⎭时，要注意变形既换元法的应用，,1m t t n =>，则原不等式化为26ln 121t t t +>-+，难点就在于采用分析证明的方法，连续换元，构造函数，直到可以利用（2）中结论为止.。

2023-2024学年江苏省连云港市高三(上)期末数学试卷【答案版】

2023-2024学年江苏省连云港市高三（上）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若复数z 满足（1+i ）•z ＝i ，则此复数z 的虚部为（） A ．12B ．−12C ．12iD ．−12i2．已知集合S ＝{x |x ＝k −12，k ∈Z }，T ＝{x |x ＝2k +12，k ∈Z }，则S ∩T ＝（）A ．SB ．TC ．ZD ．R3．随机变量X ～N （2，σ2），若P （X ≤1.5）＝m ，P （2≤X ≤2.5）＝1﹣3m ，则P （X ≤2.5）＝（） A ．0.25B ．0.5C ．0.75D ．0.854．图1是蜂房正对着蜜蜂巢穴开口的截面图，它是由许多个正六边形互相紧挨在一起构成．可以看出蜂房的底部是由三个大小相同的菱形组成，且这三个菱形不在一个平面上．研究表明蜂房底部的菱形相似于菱形十二面体的表面菱形，图2是一个菱形十二面体，它是由十二个相同的菱形围成的几何体，也可以看作正方体的各个正方形面上扣上一个正四棱锥（如图3），且平面ABCD 与平面ATBS 的夹角为45°，则cos ∠ASB ＝（）A ．√22B ．√32 C ．13D ．2√235．某学校广播站有6个节目准备分2天播出，每天播出3个，其中学习经验介绍和新闻报道两个节目必须在第一天播出，谈话节目必须在第二天播出，则不同的播出方案共有（） A ．108种B ．90种C ．72种D ．36种6．已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b2=1（a ＞0，b ＞0）的左顶点为M ，左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2作x 轴的垂线交C 于A ，B 两点，若∠AMB 为锐角，则C 的离心率的取值范围是（） A ．（1，√3）B ．（1，2）C ．（√3，+∞）D ．（2，+∞）7．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若c ＝4，A =π3，且BE 为边AC 上的高，AD 为边BC 上的中线，则AD →•BE →的值为（）A ．2B ．﹣2C ．6D ．﹣68．已知a ＝ln 3，b ＝log 2e ，c =6(2−ln2)e，则a ，b ，c 的大小关系是（） A ．a ＜b ＜cB ．b ＜c ＜aC ．c ＜a ＜bD ．a ＜c ＜b二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

黑龙江省哈尔滨市第三中学2024届高三上学期期末数学试题(解析版)

哈三中2023-2024学年度上学期高三学年期末考试数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知{}21log 1,12xA x xB x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=<=<⎨⎬⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，则A B = （）A. ()1,2- B. ()1,0- C. ()0,2 D. ()1,2【答案】C 【解析】【分析】根据对数函数的单调性、指数函数的单调性，结合集合交集的定义进行求解即可.【详解】由()22log 1log 2020,2x x A <=⇒<<⇒=，由()011100,22x x B ⎛⎫⎛⎫<=⇒>⇒=+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以A B = ()0,2，故选：C 2. 复数12iiz +=的虚部为（）A. 1- B. 2C. i- D. i【答案】A 【解析】【分析】利用复数除法的运算法则化简为复数的代数形式，即可得到复数虚部.【详解】由()()2212i i 12i 2i i 2i i iz +-+===--=--，所以虚部为-1.故选：A3. 函数()232f x x x =+的大致图象是（）A. B.C. D.【答案】B 【解析】【分析】先求出定义域，再确定为偶函数，最后由特殊值法确定即可.【详解】定义域为0x ≠，()()()223322f x x x f x xx -=-+=+=-为偶函数，采用特殊值法代入，当x 趋近于零时，2x 趋近于零，23x 趋于正无穷；此时()232f x x x =+取值趋于正无穷；当x 趋近于正无穷时，2x 趋近于正无穷，23x 趋于零，此时()232f x x x=+取值趋于正无穷；所以只有B 图像符合；故选：B4. 若()(),1,2,,3a b a b a b m +=-==，则实数m =（）A. 6B. 6- C. 3D. 3-【答案】B 【解析】【分析】将a b a b +=- 两边平方，结合数量积的运算律求出a b ⋅ ，再根据数量积的坐标公式即可得解.【详解】因为a b a b +=-，所以()()22a ba b +=- ，即222222a b a b a b a b ++⋅=+-⋅，所以0a b ⋅=，即60+=m ，解得6m =-.故选：B.5. 已知命题：2000R,210x ax ax ∃∈+-≥为假命题，则实数a 的取值范围是（）A. ()(),10,-∞-⋃+∞B. ()1,0-C. []1,0-D. (]1,0-【答案】D 【解析】【分析】根据含有一个量词的命题的否定，可知命题：2R,210x ax ax ∀∈+-<为真命题，讨论a 是否为0，结合0a ≠时，解不等式，即可求得答案.【详解】由题意知命题：2000R,210x ax ax ∃∈+-≥为假命题，则命题：2R,210x ax ax ∀∈+-<为真命题，故当0a =时，2210ax ax +-<，即为10-<，符合题意；当0a ≠时，需满足2Δ440a a a <⎧⎨=+<⎩，解得10a -<<，综合可得实数a 的取值范围是(]1,0-，故选：D6. 若椭圆221259x y +=和双曲线22197x y -=的共同焦点为12,,F F P 是两曲线的一个交点，则12PF F △的面积值为（）A.B.C. D. 8【答案】A 【解析】【分析】设点(),P m n ，根据方程组求点P 的坐标和焦距，进而可得面积.【详解】对于椭圆221259x y +=可知：半长轴长为5，半短轴长为3，半焦距为4，则128F F =，设点(),P m n ，则22221259197m n m n ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得=n 所以12PF F △的面积值为182⨯=.故选：A.7. 等比数列{}n a 中，n S 为{}n a 的前n 项和，若51013S S =，则1015SS =（）A.37B.73C.12D. 1【答案】A 【解析】【分析】根据51051510,,S S S S S --构成等比数列求解即可.【详解】因为{}n a 为等比数列，51013S S =，设510,3,0S k S k k ==>，所以51051510,,S S S S S --构成等比数列.所以15,2,3k k S k -构成等比数列，所以157S k =，所以10153377S k S k ==.故选：A8. 哈三中第38届教改汇报课在2023年12月15日举行，组委会派甲乙等6名志愿者到,A B 两个路口做引导员，每位志愿者去一个路口，每个路口至少有两位引导员，若甲和乙不能去同一路口，则不同的安排方案总数为（）A. 14 B. 20 C. 28 D. 40【答案】C 【解析】【分析】先安排甲乙两人，再根据分组分配的方法安排其余4名志愿者.【详解】先安排甲乙两人，有22A 2=种方法；再安排其余4名志愿者有两类方法，共有122424C A C 14+=种方法，根据分步计数原理可得共有21428⨯=种方法.故选：C二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分，9. 下列说法正确的是（）A. 已知111,,,202420232023α⎧⎫∈---⎨⎬⎩⎭，若幂函数()f x x α=为奇函数，且在()0,∞+上递减，则α只能为1-B. 函数()212log 20242023y x x =-+-的单调递减区间为()1,1012C.函数y =与函数3y x =-是同一个函数D. 已知函数()21f x +的定义域为[]1,1-，则函数()22f x +的定义域为[]1,1-【答案】BCD 【解析】【分析】对于A ，直接由幂函数的奇偶性、单调性即可验证；对于B ，由复合函数单调性以及复合对数函数的定义域即可验证；对于C ，定义域都是全体实数，且对应法则也一样，由此即可判断；对于D ，由抽象函数定义域的求法即可验证.【详解】对于A ，当1α=-时，幂函数()1f x x xα==奇函数，且在()0,∞+上递减，满足题意，当12023α=时，幂函数()1f x x x α==在()0,∞+上递增，不满足题意，当12023α=-时，幂函数()f x x α==()0,∞+上递减，满足题意，当2024α=-时，幂函数()20241f x x xα==为偶函数，在()0,∞+上递减，不满足题意，故A 错误；对于B ，12log y t =关于t 在定义域内单调递减，若函数()212log 20242023y x x =-+-关于x 在定义域内单调递减，则由复合函数单调性可知220242023x x t -+-=关于x 单调递增，而二次函数220242023x x t -+-=开口向下，对称轴为2012x =，所以22024202302012x x x ⎧-+->⎨<⎩，解得12012x <<，所以函数()212log 20242023y x x =-+-的单调递减区间为()1,1012，故B 正确；对于C ，()13333y x x ⎡⎤==-=-⎣⎦，故C 选项正确，对于D ，若函数()21f x +的定义域为[]1,1-，则[][]1,1,211,3x x ∈-+∈-，所以函数()22f x +的定义域满足[]221,3x +∈-，解得[]1,1x ∈-，故D 正确.故选：BCD.10. 已知正数,a b ，2a b +=，且a b >，则下列说法正确的是（）为A.1b a> B. e e a b a b+>+ C.114a b+> D.1<【答案】AB 【解析】【分析】选项A ，将不等式1b a>等价转化为1ab <，由于和式为定值，判断积的取值范围即可；对于选项B ，需要研究函数e x y =的单调性，即可判断不等式；对于选项C ，1111()2a b a b a b ++=+⨯，应用基本不等式即可；对于选项D 平方，2a b =++，判断积的取值范围即可；【详解】对于选项A ，1b a>等价1ab <，2a b =+≥1≤，其中a b >1<，1ab <，不等式成立，选项A 正确；对于选项B ，因为e 1>，指数函数e x y =是增函数，且a b >，所以e e a b >所以e e a b a b +>+，选项B 正确；对于选项C ，1111()112222a b b a a b a b a b ++=+⨯=++≥+=，由于a b >，22b a a b ≠，等号取不到，112a b+>，选项C 不正确；对于选项D ，22()4a b a b +=++≤+=，由于a b >，等号取不到，所以24<2<，选项D 不正确；故选：AB.11. 在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，下列结论正确的有（）A. 11//AC 平面1B CDB. 点1C 到平面1B CDC. 当P 在线段11C D 上运动时，三棱锥11A B PC -的体积不变D. 若Q 为正方体侧面11BCC B 上的一个动点，,E F 为线段1AC 的两个三等分点，则QE QF +的最小值【答案】BCD【解析】【分析】对于A 通过观察可得直线11A C 与平面有公共点1A 所以A 不正确；对于B 利用等体积法计算点到平面距离；对于C 观察到点P 到平面11A B C 的距离为定值，确定三棱锥11A B PC -的体积不变；对于D 利用线段1AC 关于平面11BCC B 的对称直线，将QE QF +转化，利用两点间线段距离最短求解.【详解】对于A ，因为平面1B CD 也就是平面11A B CD 与直线11A C 有公共点1A ，所以A 选项不正确. 对于B ，设点1C 到平面1B CD 的距离为h ，由1111C B CD D CC B V V --=得11111133B CD CC B S h S ⨯=⨯ ，由已知易得11,CD B C D ===则1B CD △是直角三角形，所以1B CD S =112C CD S =，解得h =.故B 选项正确对于C ，设点P 到平面11A B C 的距离为h ，易知点P 所在的直线11C D 与平面11A B C 平行，则点P 到平面11A B C 的距离为定值，因为11111113A B PC P A B C A B C V V S h --==⨯ ，其中11A B C S 也为定值，故C 选项正确.对于D ，如图1QE QF QE QF +=+，当1E Q F 、、共线的时候1QE QF EF +=最小，在1AC M 中222111111cos 23C A C M AMAC M C A C M+-∠==，由余弦定理得22211111111112cos 9EF C E C F C E C F AC M =+-∠=，所以1EF =，所以QE QF +有最小值，故D 正确.故选：BCD12. 已知函数()cos sin (0)f x a x b x ωωω=+>在π6x =处取得最大值2，()f x 的最小正周期为π，将()y f x =图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π3个单位长度得到()g x 的图象，则下列结论正确的是（）A. π6x =是()f x 图象的一条对称轴 B. ()π2cos 26f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭C. π2g x ⎛⎫+⎪⎝⎭是奇函数 D. 方程()2lg 0g x x -=有3个实数解【答案】ACD 【解析】【分析】由()f x 最小正周期为π，求出ω，由最值点和最值，求出,a b ，得()f x 的解析式，判断AB 选项；由函数图象的变换，求()g x 的解析式，验证C 选项，数形结合验证D 选项．【详解】()()cos sin f x a x b x x ωωωϕ=+=-，其中tan b aϕ=，()f x 的最小正周期为πT =，则有2π2π2πT ω===，故()()2f x x ϕ=-，函数()f x 在π6x =处取得最大值2，则πππcos sin 26332f a b ⎧⎛⎫=+= ⎪⎪⎝⎭=，解得1a b =⎧⎪⎨=⎪⎩()πcos22cos 23f x x x x ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，B 选项错误；函数()π2cos 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在π6x =处取得最大值2，则π6x =是()f x 图象的一条对称轴，A 选项正确；将()y f x =图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标不变，得函数π2cos 3y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，再把得到的曲线向左平移π3个单位长度得到()2cos g x x =的图象，ππ2cos 2sin 22g x x x ⎛⎫⎛⎫+=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，函数为奇函数，C 选项正确；在同一直角坐标系下作出函数()2cos g x x =和函数2lg y x =的图象，如图所示，的两个函数图象有3个交点，可知方程()2lg 0g x x -=有3个实数解，D 选项正确.故选：ACD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 已知α为第二象限角，2sin 3α=，则tan2α=_______．【答案】-【解析】【分析】根据同角三角函数的关系式，结合正切的二倍角公式即可求得.【详解】因为2sin 3α=，α为第二象限角，所以cos ===α则sin tan cos ===ααα22tan tan21tan ααα=-2⎛⨯==-故答案为：-14. 已知边长为2的等边三角形ABC 所在平面外一点,S D 是AB 边的中点，满足SD 垂直平面ABC，且SD =S ABC -外接球的体积为_______．【解析】【分析】建立空间直角坐标系，设出球心坐标，根据外接球的性质，列出方程组，即可求出外接球的半径，从而求得三棱锥S ABC -外接球的体积.【详解】因为SD 垂直平面ABC ，ABC 为等边三角形，且D 是AB 边的中点，以D 为坐标原点，分别以,,DB DC DS 所在的直线为x 轴，y 轴，z轴，建系如图，设三棱锥S ABC -外接球的球心(),,O x y z ，半径为R ，因为2AB BC AC ===，则DC ===，又因为SD =(S ，()1,0,0B ，()1,0,0A -，()C ，则====OS OA OB OC R ，即RRR R ====，解得0x y z R =⎧⎪⎪=⎪⎪⎨=⎪⎪⎪=⎪⎩所以三棱锥S ABC -外接球的体积3344R 33V ππ===.15. 直线l 与抛物线24x y =交于,A B 两点且3AB =，则AB 的中点到x 轴的最短距离为_______．【答案】916【解析】【分析】设出直线方程，利用弦长得到两个变量间的关系式，结合函数单调性可得答案.【详解】设直线l 的方程为y kx m =+，()()1122,,,A x y B x y ；联立24y kx m x y=+⎧⎨=⎩，2440x kx m --=，216160k m ∆=+>，12124,4x x k x x m +==-.AB ==因为3AB =3=，整理可得()229161m k k =-+.由()21212242y y k x x m k m +=++=+，所以AB 的中点到x 轴的距离为()2212292112161y y k m k k +=+=++-+设21t k =+，则1t ≥，1291216y y t t +=+-，由对勾函数的单调性可得129216y y +≥，当且仅当0k =时，取到最小值916.故答案为：91616. 设()f x 是定义在()(),00,∞-+∞U 上的奇函数，对任意的()12,0,x x ∈+∞满足()()1221120x f x x f x x x ->-且()315f =，则不等式()5f x x >的解集为_______．【答案】(,3)(0,3)-∞-⋃【解析】【分析】根据题意可设()(),0f x g x x x=≠，结合()f x 的奇偶性判断()g x 的奇偶性，再结合题设判断()g x 的单调情况，进而结合不等式()5f x x >，讨论x 的正负，结合()g x 的单调情况，分类求解，即可得答案.【详解】设()(),0f x g x x x=≠，而()f x 是定义在()(),00,∞∞-⋃+上的奇函数，即()()f x f x -=-，故()()()()f x f x g x g x xx---===--，即()(),0f x g x x x=≠为偶函数；对任意的()12,0,x x ∞∈+，不妨设12x x <，则()()()()121212f x f xg x g x x x -=-()()211212x f x x f x x x -=，又对任意的()12,0,x x ∞∈+满足()()1221120x f x x f x x x ->-，当12x x <时，120x x -<，则()()12210x f x x f x -<，即()()21120x f x x f x ->，而120x x >，故()()()()1212120,f x f x g x g x x x ->∴>，则()g x 在()0,∞+上单调递减，又()g x 为偶函数，故()g x 在(),0∞-上单调递增，()315f =，故()3(3)53f g ==，则(3)5g -=-，而不等式()5f x x >，即为不等式()50f x x x ⎧>⎪⎨⎪>⎩或()50f x x x ⎧<⎪⎨⎪<⎩，即()5(3)0g x g x >=⎧⎨>⎩或()5(3)g x g x <=-⎧⎨<⎩，故03x <<或3x <-，即不等式()5f x x >的解集为(,3)(0,3)-∞-⋃，故答案为：(,3)(0,3)-∞-⋃【点睛】方法点睛：诸如此类抽象函数的问题，解答时要结合题设构造出函数，由此判断出其奇偶性和单.四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. 在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c)sin b C C =-．（1）求角B ；（2）D 为AC 边上一点，DB BA ⊥，且4AD DC =，求cos C 的值．【答案】（1）2π3；（2.【解析】【分析】（1）利用正弦定理边化角，然后由三角形内角和定理与和差公式化简整理即可求解；（2）BCD △和Rt ABD 分别根据正弦定理和三角函数定义列式，联立整理得2c a =，再由余弦定理求得b =，然后可解.在【小问1详解】)sinb C C=-，)sin sinA B C C=-，又()()sin sinπsin sin cos cos sinA B C B C B C B C⎡⎤=-+=+=+⎣⎦，)cos sin sin sinB C B C B C C+=-，整理得)πsin sin2sin sin03C B B C B⎛⎫+=+=⎪⎝⎭，因为()0,π,sin0C C∈>，所以πsin03B⎛⎫+=⎪⎝⎭，又()ππ4π0,π,,333B B⎛⎫∈+∈ ⎪⎝⎭，所以ππ3B+=，即2π3B=.【小问2详解】由（1）知B，因为DB BA⊥，所以π6CBD∠=，记BDCθ∠=，则πBDAθ∠=-，在BCD△中，由正弦定理得πsinsin6CD aθ=，得2sinaCDθ=，在Rt ABD中，有()sinπsinc cADθθ==-，因为4AD DC=，所以2sin sinc aθθ=，得2c a=，在ABC中，由余弦定理可得22222π422cos73b a a a a a=+-⨯=，即b=，所以cos C==18. 已知{}n a是公差不为零的等差数列，11a=，且125,,a a a成等比数列．（1）求数列{}n a的通项公式；.（2）若114(1)n n n n nb a a ++=-⋅，求{}n b 的前1012项和1012T ．【答案】（1）21n a n =- （2）101220242025T =【解析】【分析】（1）根据等差数列的通项公式和等比中项即可得解；（2）由裂项相消法可求出前1012项和.【小问1详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，又11a =，则211a a d d =+=+，51414a a d d =+=+，因为125,,a a a 成等比数列，所以2215a a a =⋅，即()()21114d d +=⨯+，得220d d -=，又因为{}n a 是公差不为零的等差数列，所以2d =，即()()1111221n a a n d n n =+-=+-=-.【小问2详解】由（1）知()()11114411(1)(1)(1)21212121n n n n n n n n b a a n n n n ++++⎛⎫=-=-=-+ ⎪⋅-⋅+-+⎝⎭，1012123410111012T b b b b b b =++++++ 11111111111133557792021202320232025⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+++-++++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 12024120252025=-=.19. 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右顶点为12,A A ，点G 是椭圆C 的上顶点，直线2A G 与圆2283x y +=相切，且椭圆C．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过椭圆C 右焦点F 的直线l （与x 轴不重合）与椭圆C 交于A B 、两点，若点()0,M m ，且MA MB =，求实数m 的取值范围．【答案】（1）22184x y +=（2）[【解析】【分析】（1）先由离心率得出a =，再由直线2A G 与圆2283x y +=相切得到圆心(0,0)O 到直线2A G 的距离等于半径得出2222883a b a b +=，联立即得椭圆方程；（2）依题设出直线AB 方程，与椭圆方程联立，得出韦达定理，求出AB 的中点H 坐标，利用条件MA MB =判断MH 是直线AB 的中垂线，求出方程，将求m 的取值范围转化成求关于t 的函数的值域问题即得.【小问1详解】由c a =可得：a =①因2(,0),(0,)A a G b ，则2:1A Gx y l a b +=即：0bx ay ab +-=，又因直线2A G 与圆2283x y +==2222883a b a b +=②，联立①②，可解得：2a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩故椭圆C 的标准方程为：22184x y +=.【小问2详解】如图，因直线l 与x 轴不重合，椭圆焦点为(2,0)F ，故可设:2l x ty =+，由222184x ty x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x整理得：22(2)440t y ty ++-=，易得：0∆>，不妨设1122(,),(,)A x y B x y ，则有12212242,42t y y t y y t ⎧+=-⎪⎪+⎨⎪⋅=-⎪+⎩设AB 中点为00(,)H x y ，则：1202222y y t y t +==-+,1212022()442()222222x x t y y t t x t t ++==+=⋅-+=++，即：2242(,)22t H t t -++，因MA MB =，则MH 为直线AB 的中垂线.又因直线AB 的斜率为1t，故直线AB 的中垂线MH 的斜率为t -，于是2224:()22MH t l y t x t t +=--++，因()0,M m ，则有：222422222t t tm t t t =-=+++，①当0=t 时，0m =，此时直线:2l x =，点(0,0)M ，符合题意；②当0t ≠时，22m t t=+，若0t >，则2t t +≥可得m ∈，当且仅当t =时取等号；若0t <，则2t t +≤-,可得[m ∈，当且仅当t =.综上，实数m的取值范围为[.20. 如图，在四棱锥P ABCD -中，//,4,2,60AB CD AB BC CD BP DP BCD ︒=====∠=，AD PD ⊥．（1）求证：平面PBD ⊥平面ABCD ；（2）若线段PC 上存在点F ，满足CF FP λ= ，且平面BDF 与平面ADP实数λ的值．【答案】（1）证明见解析（2）2λ=【解析】【分析】（1）要证面面垂直，需证线面垂直，就是要证AD ⊥平面PBD ，再进一步判断面面垂直；（2）建立空间直角坐标系，用向量的方法求解.【小问1详解】如图：因为2CB CD ==，60BCD ∠=︒，所以BCD △为等边三角形，2BD =又//AB CD ，所以60ABD BDC ∠=∠=︒，又4AB =，所以22212··cos 60164242122AD AB BD AB BD =+-︒=+-⨯⨯⨯=.因为222AD BD AB +=，所以ABD △为直角三角形，AD BD ⊥.又AD PD ⊥，BD ，PD 为平面PBD 内的两条相交直线，所以AD ⊥平面PBD ，AD ⊂ABCD ，所以：平面PBD ⊥平面ABCD .【小问2详解】取BD 中点O ，AB 中点E ，因为PB PD =⇒PO BD ⊥，又平面PBD ⊥平面ABCD ，平面PBD 平面ABCD BD =，PO ⊂平面PBD ，所以PO ⊥平面ABCD ，又OE BD ⊥，故以O 为原点，建立如图空间直角坐标系，所以()0,1,0B ，()0,1,0D -，()0,0,3P ，)E，()1,0A -，()C .设(),,F x y z ，因为CF FPλ=⇒()(),,,3x y z x y z λ+=---⇒()3x xy y z z λλλ⎧=-⎪=-⎨⎪=-⎩解得031x y z λλ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎪⎩，所以31F λλ⎛⎫ ⎪ ⎪+⎝⎭.设平面ADP 的法向量为()111,,m x y z =，则m AD m DP ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩ ⇒·0·0m AD m DP ⎧=⎪⎨=⎪⎩⇒()()()()111111,,0,,0,1,30x y z x y z ⎧⋅-=⎪⎨⋅=⎪⎩⇒111030x y z =⎧⎨+=⎩，取()0,3,1m =- ；设平面BDF 的法向量为()222,,n x y z = ，则n BD n BF ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩ ⇒·0·0n BD n BF ⎧=⎪⎨=⎪⎩ ⇒()()()222222,,0,2,003,,1,01x y z x y z λλ⎧⋅-=⎪⎛⎫⎨⋅-= ⎪⎪ ⎪+⎝⎭⎩⇒222030y z λ=⎧⎪⎨+=⎪⎩，取),0,1n =.那么⋅=m n ()0,3,1-⋅),0,11=-，m =，n = .由m n m n ⋅=⋅⇒231λ+=⇒24λ=，又0λ>，所以2λ=.【点睛】关键点睛：根据CF FP λ=，和点C 、F 的坐标，求F 点坐标是本题的一个关键.21. 圆G经过点(()2,,4,0-，圆心在直线y x =上．（1）求圆G 的标准方程；（2）若圆G 与x 轴分别交于,M N 两点，A 为直线:16l x =上的动点，直线,AM AN 与曲线圆G 的另一个交点分别为,E F ，求证直线EF 经过定点，并求出定点的坐标．【答案】（1）2216x y +=（2）证明见详解，直线EF 过定点()1,0【解析】【分析】（1）设出圆心坐标，利用圆心到圆上各点的距离等于半径求解即可；（2）设出直线AM 的方程和直线AN 的方程，分别与圆的方程联立写出E F 、的坐标，进而写出直线EF的方程，化简即可证明直线EF 经过定点，并求出定点的坐标.【小问1详解】因为圆心在直线y x =上，设圆心为(),,a a 又因为圆G经过点(()2,,4,0-则()(()222224a a a a -+-=++，解得0a =，所以圆心()0,0,4=，所以圆G 的标准方程为2216x y +=【小问2详解】由圆G 与x 轴分别交于,M N 两点，不妨设()()4,0,4,0M N -，又A 为直线:16l x =上的动点，设()()16,0A t t ≠，则,,2012==AM AN t t k k 则AM 方程为()420t y x =+，AN 方程为()412ty x =-，设()()1122,,,E x y F x y ，联立方程()2242016t y x x y ⎧=+⎪⎨⎪+=⎩，解得()()22224008164000t x t x t +++-=，所以()212164004400t x t --=+，即()211224400160,400400t t xy t t --==++，即()2224400160,400400t t E t t ⎛⎫-- ⎪ ⎪++⎝⎭.联立方程()2241216t y x x y ⎧=-⎪⎨⎪+=⎩，解得()()22221448161440t x t x t +-+-=，所以()222161444144t x t -=+，即()22222414496,144144t t x y t t --==++，即()222414496,144144t t F t t ⎛⎫-- ⎪ ⎪++⎝⎭.所以()()2222221609640014444004144400144EFt tt t k t t t t --++=----++232240=-t t，所以直线EF 的方程为()222241449632,144240144t t t y x t t t ⎛⎫-- ⎪-=- ⎪+-+⎝⎭化简得()2321,240ty x t =--所以直线EF 过定点()1,0.22. 已知函数()()()22e e e ,,e 12x x x xf xg xh x x -+===+．（1）求函数()f x 在1x =处的切线方程；（2）当0x >时，试比较()()(),,f x g x h x 的大小关系，并说明理由；（3）设n *∈N ，求证：1111111111ln2123421223421n n n -+-+⋅⋅⋅+-<<-+-+⋅⋅⋅+--．【答案】（1）e e 44y x =+ （2）()()()f x g x h x <<；理由见解析；（3）证明见解析.【解析】【分析】（1（2）构造函数，利用导数确定函数的单调性，求出最值，即可判定结论；（3）构造函数，结合数列知识求和即可证明结论.【小问1详解】由()e1xf x x =+得，()()2e 1xx f x x '=+，所以()f x 在1x =处的切线的斜率()e 14k f ='=，切点e 1,2⎛⎫⎪⎝⎭，所以所求切线方程：()e e124y x -=-，即e e 44y x =+；【小问2详解】结论：()()()f x g x h x <<；理由如下：要证()()f x g x <，即证e e e 12x x x x -+<+，只需证()()2e 1e e x x xx -<++，为令()()()2e 1e e x x x x x ϕ-=-++，则()()()()()2e e e 1e -e ee x x x x x x x x x x ϕ---=-+-+=-'，当0x >时，1x e -<，e 1x >，故()0x ϕ'<，所以()()()2e 1e e xx x x x ϕ-=-++在0x >时单调递减，所以()()00x ϕϕ<=，即()()2e 1e e 0x x x x --++<，所以e e e 12x x xx -+<+，故()()f x g x <；要证()()g x h x <，即证22e ee 2x x x -+<，只需证22e e ln ln e 2x x x -+<，令()222e e e e 1ln ln e ln 222x x x x x v x x --++=-=-，则()e e e e x x x x v x x ---=-+'，令()e e e ex xx x w x x ---=-+，则()()241e e x x w x -=-+'，当0x >时，e e 2x x -+>，从而()2e 4x ->，故()()2410e e x x w x -=-'<+，所以()e e e ex xx x v x x ---=-+'在0x >时单调递减，所以()()00v x v ''<=，从而()2e e 1ln 22x x v x x -+=-在0x >时单调递减，所以()()00v x v <=，即22e e ln ln e 20x x x -+-<，即22e e ln ln e 2x x x -+<所以22e ee 2x x x -+<，故()()g x h x <，又因为()()f xg x <，所以()()()f x g xh x <<.【小问3详解】令()()()ln 101x u x x x x =-+>+，则()()()22110111x u x x x x -=-=<+++'所以()()ln 11x u x x x =-++在当0x >时单调递减，所以()()00u x u <=，所以()ln 11x x x <++，即()1ln 111x x <++，令1x n =，则有()11ln 1ln 1ln 1n n n n ⎛⎫<+=+- ⎪+⎝⎭，即()1ln 1ln 1n n n <+-+，所以()()1ln 2ln 12n n n <+-++，()()1ln 3ln 23n n n <+-++，⋯()1ln 2ln 212n n n<--，所以111ln 2ln ln 2112n n n n n++<-=++ ，所以111111234212n n-+-+⋅⋅⋅+--11111111223421242n n ⎛⎛⎫=++++⋅⋅⋅++-++⋅⋅⋅+ ⎪-⎝⎝⎭1111111112342122n n n ⎛⎫⎛⎫=++++⋅⋅⋅++-++⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，所以11111111112342121112n n n n n n-+-+⋅⋅⋅+-=+++-+++ ，因为1111ln 21112n n n n+++<+++ ，所以111111ln 2234212n n -+-+⋅⋅⋅+-<-；下面先证当0x >时，ln 1≤-x x ，令()()1ln 0p x x x x =-->，()111x p x x x'-=-=，令()0p x '>，则1x >，所以()1ln p x x x =--在()0,1上单调递减，在()1,∞+上单调递增，所以()()10p x p ≥=，从而()1ln 0p x x x =--≥，即ln 1≤-x x ，当且仅当1x =时，ln 1x x =-，所以当0x >时，()ln 1x x +<，令1x n =，则有11ln 1n n⎛⎫+< ⎪⎝⎭，即()1ln 1ln n n n+-<，所以()()1ln 2ln 11n n n +-+<+，()()1ln 3ln 22n n n +-+<+，⋯()()1ln 2ln 2121n n n --<-，所以()1111ln 2ln 1221n n n n n n -<++++++- ，即111ln 2121n n n ++++>+- ，因为1111123421n -+-+⋅⋅⋅+-111111112234212422n n ⎛⎫⎛⎫=++++⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅+ ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭111111112342121n n ⎛⎫⎛⎫=++++⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，所以111111111234211221n n n n n -+-+⋅⋅⋅+=++++-++- ，因为1111ln 21221n n n n ++++>++- ，所以11111ln 223421n -+-+⋅⋅⋅+>-，综上所述，1111111111ln2123421223421n n n -+-+⋅⋅⋅+-<<-+-+⋅⋅⋅+--.【点睛】方法点睛：利用导数证明或判定不等式问题：1．通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值），从而得出不等关系；2．利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系；3．适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系；4．构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.。

2023届山东省滨州市高三上学期期末数学试题(解析版)

2023届山东省滨州市高三上学期期末数学试题一、单选题1．已知集合{}1,4,A x =，{}21,B x =，且AB B =，则x 的所有取值组成的集合为（） A ．{}2,0- B ．{}0,2C ．{}2,2-D ．2,0,2【答案】D【分析】根据集合的包含关系分类讨论求解. 【详解】因为A B B =，所以B A ⊆，所以2x A ∈，若24x =，则2x =或2x =-，经检验均满足题意，若2x x =，则0x =或1x =，经检验0x =满足题意，1x =与互异性矛盾，综上x 的所有取值为：2-，0,2，故选:D.2．已知()1i 3i z +=-，其中i 为虚数单位，则z =（）A ．5BC ．2D 【答案】B【分析】由复数的除法运算，化简求复数z 的代数形式，再利用复数模的计算公式，即可求解．【详解】由复数z 满足()1i 3i z +=-，则3i (3i)(1i)24i12i 1i (1i)(1i)2z ----====-++-，则z == 故选：B ．3．若“12x <<”是“不等式2()1x a -<成立”的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是（） A ．[)1,2 B ．(]1,2C ．[]1,2D ．()1,2【答案】C【分析】根据不等式的性质，以及充分条件和必要条件的定义即可得到结论．【详解】解：由2()1x a -<得11a x a -<<+，12x <<是不等式2()1x a -<成立的充分不必要条件，∴满足1112a a -≤⎧⎨+≥⎩，且等号不能同时取得，即21a a ≤⎧⎨≥⎩，解得12a ≤≤，故选：C ．4．在四边形ABCD 中,AB CD ∥,4AB CD =,点E 在线段CB 上,且3CE EB =,设AB a =,AD b =,则AE =（）A ．5182a b +B ．5142a b +C ．131164a b + D ．13184a b + 【答案】C【分析】画出图象,根据向量加减法则及向量共线定理即可得出结果. 【详解】解:由题知,AB CD ∥,4AB CD =，画出示意图如下:因为3CE EB =,AB a =,AD b =, 所以AE AB BE =+ 14AB BC =+()14AB BA AD DC =+++ 311444AB AD DC =++ 3114416AB AD AB =++ 131164AB AD =+ 131164a b =+. 故选:C5．设a ，b 为正数，若圆224210x y x y ++-+=关于直线10ax by -+=对称，则2a bab+的最小值为（）A ．9B ．8C ．6D ．10【答案】A【分析】求出圆的圆心坐标，得到,a b 的关系，然后利用基本不等式求解不等式的最值即可．【详解】解：圆224210x y x y ++-+=，即()()22214x y ++-=，所以圆心为(2,1)-，所以210a b --+=，即21a b +=，因为0a >、0b >，则2222(2)(2)2252229a b a b a b a b ab a ab ab abab+++++⋅===，当且仅当13b a ==时，取等号．故选：A ．6．甲、乙为完全相同的两个不透明袋子，袋内均装有除颜色外完全相同的球．甲袋中装有5个白球，7个红球，乙袋中装有4个白球，2个红球．从两个袋中随机抽取一袋，然后从所抽取的袋中随机摸出1球，则摸出的球是红球的概率为（） A ．12B ．1124C ．712 D ．13【答案】B【分析】判断摸出的球是红球的事件为全概率事件，则只需讨论摸出的红球是甲袋还是乙袋两种情况，再分别求出其概率，即可得出结论.【详解】设事件A 为 “取出甲袋”,事件B 为 “取出红球”, 分两种情况进行讨论. 若取出的是甲袋, 则1()()P P A P B A =⋅, 依题意可得 17(),()212P A P B A ==, 所以 1177()()21224P P A P B A =⋅=⨯=，若取出的是乙袋, 则2()()P P A P B A =⋅, 依题意可得 1()2P A =, 1()3P B A =，所以2111()()236P P A P B A =⋅=⨯=，综上所述, 摸出的球是红球的概率为121124P P P =+=. 故选：B.7．已知m ，n 为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列结论正确的是（） A ．αβ∥，m α∥，则m β∥B ．m α⊂，n ⊂α，m β∥，n β∥，则αβ∥C ．l αβ=，m α⊂，m l ⊥，则m β⊥D ．m α⊥，m n ∥，αβ∥，则n β⊥ 【答案】D【分析】根据线面平行的判定定理、面面平行的判定定理，性质定理、线面垂直的性质定理判断即可.【详解】对于A ，αβ∥，m α∥，则m β∥或m β⊂，A 错误；对于B ，若m α⊂，n ⊂α，m β∥，n β∥，则αβ∥或,αβ相交，只有加上条件,m n 相交，结论才成立，B 错误；对于C ，l αβ=，m α⊂，m l ⊥无法得到m β⊥，只有加上条件αβ⊥才能得出结论，C 错误；对于D ，m α⊥，m n ∥，则n α⊥，又因为αβ∥，所以n β⊥，D 正确. 故选:D.8．某钟表的秒针端点A 到表盘中心O 的距离为5cm ，秒针绕点O 匀速旋转，当时间0=t 时，点A 与表盘上标“12”处的点B 重合．在秒针正常旋转过程中，A ，B 两点的距离d （单位：cm ）关于时间t （单位：s ）的函数解析式为（） A ．π10sin (0)60d t t =≥ B ．π10cos(0)60d t t =≥ C ．()π10sin ,12060120,N 60π10sin ,601201201,N60t k t k k d t k t k k ⎧≤≤+∈⎪⎪=⎨⎪-+<<+∈⎪⎩D ．π10cos ,12030120,N 60π10cos ,3012090120,N60t k t k k d t k t k k ⎧≤≤+∈⎪⎪=⎨⎪-+<<+∈⎪⎩【答案】C【分析】由条件分析函数的性质，由此判断正确选项.【详解】由已知函数()d t 的定义域为[)0,∞+，周期为60s ，且()30s t =时，()10cm d =，对于选项A ，函数π10sin (0)60d t t =≥周期为()2π120s π60=，A 错误；对于选项B ，函数π10cos (0)60d t t =≥周期为()2π120s π60=，B 错误；对于选项D ，当30t =时，0d =，D 错误；对于选项C ， ()2ππ25sin10sin 26060d t t t =⨯=⨯｜｜｜｜，所以函数()π10sin ,12060120,N 60π10sin ,601201201,N60t k t k k d t k t k k ⎧≤≤+∈⎪⎪=⎨⎪-+<<+∈⎪⎩，故选：C.二、多选题9．已知两种不同型号的电子元件的使用寿命（分别记为X ，Y ）均服从正态分布，()211,X N μσ，()222,YN μσ，这两个正态分布密度曲线如图所示，则下列选项正确的是（）参考数据：若()2,Z N μσ~，则()0.6827P Z μσμσ-+≈≤≤，()220.9545P Z μσμσ-+≈≤≤．A ．()111120.8186P X μσμσ-≤≤+≈B ．对于任意的正数t ，有()()P X t P Y t >≤≤C ．()()12P Y P Y μμ≥<≥D ．()()12P X P X σσ≤<≤ 【答案】ABD【分析】抓住平均数μ和标准差σ这两个关键量，结合正态曲线的图形特征分析即可．【详解】解：对于A ：()11112P X μσμσ-<<+ ()()111111111222P X P X μσμσμσμσ=-<<++-<<+⎡⎤⎣⎦1(0.68270.9545)0.81862≈+⨯=，故A 正确；对于B ：对于任意的正数t ，由图象知()P X t ≤表示的面积始终大于()P Y t ≤表示的面积，所以()()P X t P Y t ≤>≤，故B 正确，对于C ：由正态分布密度曲线，可知12μμ<，所以21()()P Y P Y μμ≥≥，故C 错误；对于D ：由正态分布密度曲线，可知12σσ<，所以21()()P X P X σσ≤≤，故D 正确；故选：ABD ．10．已知函数()()sin (0,0,0)f x A x A ωϕωϕπ=+>><<的部分图象如图所示，则下列关于函数()()2g x f x =的结论中，正确的是（）A ．()g x 的最小正周期为2πB ．()g x 的单调递增区间为()511,,242242k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z C ．当,06x π⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，()g x 的最大值为1D ．()g x 在区间[]0,2π上有且仅有7个零点【答案】BC【分析】根据图像求出函数()f x 的解析式，从而可得三角函数()g x 的解析式，根据三角函数的性质对各个选项逐一验证即可. 【详解】由题可知1A =，22,,22362T T T=-=∴===πππππω，()sin(2)ϕ∴=+f x x ， ∴sin 063f ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ππϕ，即222,33k k k ππϕππϕπ+=+⇒=+∈Z ，0ϕπ<<，23πϕ∴=，故2()sin(2)3f x x π=+， ()()2g x f x =，()2sin(4)3g x x π+∴=，()g x 的最小正周期为242T ππ==，故A 错误； ()27242232242242k k k x k x k πππππππππ-+≤+≤+⇒-+≤≤-+∈Z ，即()511242242k k x k +≤≤+∈Z ππππ，故B 正确； 22,040,633x x πππ⎡⎤⎡⎤∈-+∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，当2432x +=ππ时， max ()1g x =，故C 正确；22,040,633x x πππ⎡⎤⎡⎤∈-+∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，当2432x +=ππ时， max ()1g x =，故C 正确；令()24,364k x k x k +=⇒=-+∈Z ππππ，[]0,2x π∈，∴零点可取值为：当1k =时，12x π=；当2k =时，3x π=；当3k =时，712x π=；当4k =时，56x π=；当5k =时，1312x π=；当6k =时，43x π=；当7k =时，1912x π=；当8k 时，116x π=，符合题意；当9k =时，25212x =>ππ，不符合题意；故()g x 在区间[]0,2π上有且仅有8个零点，故D 错误；故选：BC.11．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若23a =，12n n S S n +=+，则下列结论正确的是（） A ．1n n a S +>B ．{}1n a +是等比数列C ．2n n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是单调递增数列D ．2n n S a ≥【答案】AC【分析】由已知得出1n n a S n +=+，可判断A 选项的正误；利用等比数列的定义可判断B 选项的正误；利用数列的单调性可判断C 选项的正误；利用作差法可判断D 选项的正误. 【详解】对于A 选项，由12n n S S n +=+得1n n a S n +=+，故1n n a S +>，A 正确；对于B 选项，将12n n S S n +=+，()1212n n S S n n -=+-≥两式相减得121n n a a +=+，即()1121n n a a ++=+()2n ≥，又令1n =，得21111213212S S a a a =+⇒+=+⇒=，()21121a a +≠+，所以{}1n a +从第二项开始成等比数列，公比为2，故2n ≥时，()221212n n n a a -+=+=，即21n n a =-，所以，2,121,2n n n a n =⎧=⎨-≥⎩，故B 选项错误；对于C 选项，因为2,121,2n nn a n =⎧=⎨-≥⎩.当1n =时，12S =，当2n ≥时，()()()()2312122222112112n n n n S n n n +-=++++--=--=---.所以，12,121,2n n n S n n +=⎧=⎨--≥⎩，令1,1122,22n n n n n S c n n =⎧⎪==⎨+-≥⎪⎩，则2n ≥时，1111211222022222n n n n n n n n n n n n c c ++++++++⎛⎫⎛⎫-=---=-=> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即1n n c c +>，而2154c c =>，所以数列{}n c 单调递增，C 选项正确；对于D 选项，当2n ≥时，()112212211n n n n S a n n ++-=----=-≤-，112S a <显然成立，故2n n S a <恒成立，D 选项错误.故选：AC.12．设点A ，1F ，2F 的坐标分别为()1,1-，()1,0-，()1,0，动点P 满足124PF PF +=，则下列说法正确的是（）A ．点P 的轨迹方程为22143x y +=B ．25PA PF +<C ．11PA PF +>D ．有且仅有3个点P ，使得2PAF △的面积为32【答案】ACD【分析】A 选项，由题易得点P 的轨迹方程为22143x y +=； B 选项，211445PA PF PA PF AF +=+-≤+=，可取等号； C选项，1224441PA PF PA PF AF +=+-≥-=；D 选项，利用三角形的面积公式转化为直线与椭圆的公共点个数问题，联立方程即可判断.【详解】由题知，点P 的轨迹是2a =，1c =，焦点在x 轴上的椭圆，则b =椭圆方程为22143x y +=，故A 选项正确；对于B 选项，211445PA PF PA PF AF +=+-≤+=，当点P 为F 1A 的延长线与椭圆的交点时，等号成立，故B 选项错误；对于C 选项，124PA PF PA PF +=+-，因为22|||||AF |PA PF -≤，所以222||||||AF PA PF AF -≤-≤，所以1224441PA PF PA PF AF +=+-≥-=>当点P 为AF 2的延长线与椭圆的交点时，等号成立，1PA PF +取最小值4，故C 选项正确；对于D 选项，设使得1PAF 的面积为32的P 点坐标为00(,)x y ，由1,A F坐标知，1AF 1AF 的方程为210x y -+=，则1322=，解得00220x y --=或00240x y -+=，联立002200220143x y x y --=⎧⎪⎨+=⎪⎩，化简得200230y y -=，则90∆=>，因此存在两个交点；同理可得直线00240x y -+=与椭圆仅有一个交点；综上，有且仅有3个点P ，使得1PAF 的面积为32，故D 选项正确；故选：ACD三、填空题13．已知双曲线2222x y a b-＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，以F 1F 2为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(3,4)，则此双曲线的方程为________. 【答案】221916x y -= 【解析】圆的半径就是c ，再由点(3,4)在渐近线上可得34ba=，这样可求得,a b ，得双曲线方程．【详解】由题意知，圆的半径为5，又点(3,4)在经过第一、三象限的渐近线y ＝bax 上，因此有222543a b ba ⎧+=⎪⎨=⨯⎪⎩，解得34a b =⎧⎨=⎩所以此双曲线的方程为221916x y -=．故答案为：221916x y -=．【点睛】本题考查求双曲线的标准方程，寻找两个等式是必由之路．本题中两个已知条件：圆的半径等于双曲线的半焦距，点(3,4)在渐近线上．联立后可解得,a b 得双曲线方程．14．“中国天眼”（如图1）是世界最大单口径、最灵敏的射电望远镜，其形状可近似地看成一个球冠（球冠是球面被平面所截的一部分，如图2所示，截得的圆叫做球冠的底，垂直于截面的直径被截得的线段叫做球冠的高．若球面的半径是R ，球冠的高度是h ，则球冠的面积2πS Rh =）．已知天眼的球冠的底的半径约为250米，天眼的反射面总面积（球冠面积）约为25万平方米，则天眼的球冠高度约为_________米．（参考数值410.52π-≈）【答案】130【分析】由()222250R h R -+=，结合2πS Rh =求解.【详解】由题意得：()222250R h R -+=，则222250Rh h =+，则222ππ250π250000Rh h =+=，所以222250000250π42501πh π-⎛⎫==- ⎪⎝⎭，所以425012500.52130πh =-⨯=，故答案为：130.15．10名同学进行队列训练，站成前排3人后排7人，现体育教师要从后排7人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法有______种【答案】420【分析】先从7个人中选2人调整到前排，再把2人在5个位置选2个进行排列，按照乘法计数原理计算即可.【详解】先从7个人中选2人调整到前排有27C 种选法，调整后前排有5个人，把2人在5个位置选2个进行排列由25A 种站法，其他3人的相对顺序不变站到剩余3个位置，按照乘法计数原理得总共有2275C A 420⋅=种方法.故答案为：42016．已知函数()()e ,02e 1,0xx k kx x f x x x -⎧-+<⎪=⎨⎪+≥⎩（e为自然对数的底数），若关于x 的方程()()f x f x -=-有且仅有四个不同的解，则实数k 的取值范围是_________．【答案】()2e,∞+【分析】设()()()F x f x f x =+-，由题可得当0x >时，()F x 有两个零点，进而可得2e 2x x kx k =-有两个正数解，令()()2e 0x g x x x =>，考查直线2y kx k =-与曲线()()2e 0xg x x x =>相切时k 的值，数形结合可得出实数k 的取值范围.【详解】令()()()F x f x f x =+-，可得()()()()F x f x f x F x -=-+=，所以函数()F x 为偶函数，因为()010f =>，则()()0200F f =>，所以，当0x >时，函数()F x 有两个零点，且当0x >时，0x -<，可得()()1e e e 22x xx k k F x x kx x kx =+--+=-+，令()0F x =，可得22e x kx k x -=，令()2e x g x x =，其中0x >，则()()21e 0xg x x '=+>，故函数()g x 在()0,∞+上为增函数，下面考查直线2y kx k =-与函数()g x 的图象相切的情形：设直线2y kx k =-与函数()g x 的图象相切于点()(),t g t ，其中0t >，函数()g x 的图象在x t =处的切线斜率为()21e tt +，故曲线()y g x =在点()(),t g t 的切线的方程为()()2e 21e t ty t t x t -=+-，即()221e 2e t ty t x t =+-，由题意可得()2221e 2e 0t tk t k t t ⎧=+⎪-=-⎨⎪>⎩，解得1t =，2e k =，结合图形可知，当2e k >时，直线2y kx k =-与曲线()y g x =在()0,∞+上的图象有两个交点，即此时函数()F x 在()0,∞+上有两个零点，因此，实数k 的取值范围是()2e,∞+. 故答案为：()2e,∞+.【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与x 轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；（3）参变量分离法：由()0f x =分离变量得出()a g x =，将问题等价转化为直线y a =与函数()y g x =的图象的交点问题.四、解答题17．在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 3sin 3cos b a C c A -=． (1)求C ；(2)若3c =，ACB ∠的平分线CD 交AB 于点D ，且2CD =．求ABC 的面积．【答案】(1)π3【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再根据两角和的正弦公式计算可得；（2）依题意得π6ACD BCD∠=∠=，由ABC ACD BCDS S S=+△△△()2a b=+，再由余弦定理得到29()3a b ab=+-，即可求出ab，最后根据面积公式计算可得.【详解】（1）解：sin cosa C A-=，sin sin cosB AC C A-=，()sin sin cosA C A C C A+-=，cos sin sin sin cosA C A C A C C A-，cos sin sinA C A C=，又()0,πA∈，所以sin0A>，sinC C=，则sintancosCCC==又()0,πC∈，所以π3C=.（2）解：由题意，得π6ACD BCD∠=∠=，又ABC ACD BCDS S S=+△△△，所以1π1π1πsin2sin2sin232626ab b a=⨯+⨯，()2a b=+，由余弦定理得22π92cos3a b ab=+-，即29()3a b ab=+-，于是293ab=-⎝⎭，解得6ab=或2ab=-（舍），所以1sin2ABCS ab C==．18．设公差不为0的等差数列{}n a的前n项和为n S，若39S=，且2a，5a，14a成等比数列．(1)求数列{}n a的通项公式；(2)求满足条件()*231111013111,22023nn nS S S⎛⎫⎛⎫⎛⎫---≥∈≥⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭N的正整数n的最大值．【答案】(1)()*21na n n=-∈N(2)674【分析】（1）设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为()0d d ≠，然后根据题意列方程组可求出1,a d ，从而可求出通项公式；（2）由（1）得2n S n =，则()()21111n n n S n -+-=，从而可求出23111111n S S S ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，再解不等式可得结果.【详解】（1）设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为()0d d ≠，因为39S =，且2a ，5a ，14a 成等比数列，所以125214339a d a a a +=⎧⎨=⎩，12222111138161413a d a a d d a a d d +=⎧⎨++=++⎩，即11320a d d a +=⎧⎨-=⎩，解得11,2.a d =⎧⎨=⎩ 所以数列{}n a 的通项公式为()*21n a n n =-∈N ．（2）由（1）知21n a n =-，易得()21212n n n S n +-==，则()()22221111111n n n n S n n n -+--=-==，所以222222*********111123n n S S S n⎛⎫⎛⎫⎛⎫------=⨯⨯⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． ()()2221113241232n n n n n-+⨯⨯+=⨯⨯⨯=，因为()*231111013111,22023n n n S S S ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---≥∈≥ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭N ，所以1101322023n n +≥，解得20233n ≤，所以正整数n 的最大值为674．19．如图1，在平面六边形ADCFBE 中，四边形ABCD ABE 和BCF △均为正三角形，分别以AC ，BC ，AB 为折痕把ADC BCF ABE ，，折起，使点D ，F ，E 重合于点P ，得到如图2所示的三棱锥P ABC -．(1)证明：平面P AC ⊥平面ABC ；(2)若点M 是棱P A 上的一点，当直线BM 与平面P AC 所成的角最大时，求二面角M BC A --的余弦值．【答案】(1)证明见解析 311【分析】（1）根据题意证明OB ⊥平面P AC ，即可得结果；（2）根据题意可知直线BM 与平面P AC 所成的角为BMO ∠，利用正切值分析可得当M 为PA 的中点时，直线BM 与平面P AC 所成的角最大，建系，利用空间向量求二面角. 【详解】（1）取AC 的中点O ，连接,PO OB ， ∵,PA PC AB AC ==，O 为AC 的中点， ∴,PO AC BO AC ⊥⊥，又∵1,2PO OB PB ===222PO OB PB +=， ∴PO OB ⊥， ,,POAC O PO AC =⊂平面P AC ，则OB ⊥平面P AC ，OB ⊂平面ABC ，故平面P AC ⊥平面ABC .（2）连接OM ，由（1）可知：OB ⊥平面P AC ，则直线BM 与平面P AC 所成的角为BMO ∠，即1tan BO BMO OM OM∠==，当BMO ∠取到最大时，则OM 取到最小，即OM PA ⊥，且OA OP =，故当M 为PA 的中点时，直线BM 与平面P AC 所成的角最大，以O 为坐标原点建立空间直角坐标系，则()()110,,,0,1,0,1,0,022M C B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，设平面MBC 的法向量为(),,n x y z =，∵()311,1,0,0,,22CB CM ⎛⎫== ⎪⎝⎭，则有031022n CB x y n CM y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，令1x =，则1,3y z =-=，即()1,1,3n =-，由题意可得：平面ABC 的法向量为()0,0,1m =， ∵3311cos ,1111n m n m n m⋅===，由图可得二面角M BC A --为锐角，故二面角M BC A --的余弦值为31111.20．某市工业部门计划对所辖中小型企业推行节能降耗技术改造，下面是对所辖的400家企业是否支持技术改造进行的问卷调查的结果：支持不支持合计中型企业 60 20 80 小型企业 180 140 320 合计 240160400(1)依据小概率值0.005α=的独立性检验，能否认为“支持节能降耗技术改造”与“企业规模”有关； (2)从上述支持技术改造的中小型企业中，按分层随机抽样的方法抽出12家企业，然后从这12家企业中随机选出9家进行奖励，中型企业每家奖励60万元，小型企业每家奖励20万元．设X 为所发奖励的总金额（单位：万元），求X 的分布列和均值．附：()()()()22()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，n a b c d =+++．【答案】(1)推断犯错误的概率不大于0.005． (2)分布列见解析，270【分析】(1)提出零假设，计算2χ，比较其与临界值的大小，确定是否接受假设； (2)求随机变量X 的所有可能取值，确定其取各值的概率，再由期望公式求期望即可. 【详解】（1）零假设为0H ：“支持节能降耗技术改造”与“企业规模”无关根据列联表中的数据，计算得到22400(6014018020)9.35780320240160χ⨯⨯-⨯==⨯⨯⨯，{}27.8790.005P χ>=．根据小概率值0.005α=的独立性检验，我们推断0H 不成立，即认为“支持节能降耗技术改造”与“企业规模”有关联，此推断犯错误的概率不大于0.005．（2）由（1）可知支持节能降耗技术改造的企业中，中型企业与小型企业的数量比为1:3．所以按分层随机抽样的方法抽出的12家企业中有3家中型企业，9家小型企业．选出的9家企业的样本点是()0,9，()1,8，()2,7，()3,6（前者为中型企业家数，后者为小型企业家数）．故X 的所有可能取值为180，220，260，300．()0939912C C 1180C 220P X ===，()1839912C C 27220C 220P X ===，()2739912C C 10827260C 22055P X ====，()3639912C C 8421300C 22055P X ====，故X 的分布列为X 的均值为()12727211802202603002702202205555E X =⨯+⨯+⨯+⨯=． 21．已知抛物线2:4C x y =，点M 为直线1y =-上的动点（点M 的横坐标不为0），过点M 作C 的两条切线，切点分别为,A B ． (1)证明：直线AB 过定点；(2)若以点()0,4N 为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求四边形AMBN 的面积．【答案】(1)证明见解析 (2)【分析】（1）根据题意结合导数分别求点,A B 处的切线，分析可得直线AB 的方程为220tx y -+=，即可得结果；（2）根据题意结合韦达定理求得四边形AMBN 的面积()2142S t ⎫=+，再根据由NE AB ⊥求得22t =，代入即可.【详解】（1）设()(),10M t t -≠，()11,A x y ，()22,B x y ，因为24x y =，则2x y '=，所以11|2x x x y ='=，则切线MA 的斜率为12x ，故11112y x x t +=-，整理得11220tx y -+=，同理可得22220tx y -+=，故直线AB 的方程为220tx y -+=，所以直线AB 过定点()0,1.（2）由（1）知直线AB 的方程为12ty x =+，211,4x A x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,4x B x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由2124t y x x y⎧=+⎪⎨⎪=⎩整理得2240x tx --=，于是122x x t +=，124x x =-，2Δ4160t =+>，则()21212222ty y x x t +=++=+，故2124AB x t =-==+．设1d ，2d 分别为点M ，N 到直线AB的距离，则1d ==2d ==，四边形AMBN 的面积()()21211422S AB d d t ⎫=+=+，()* 设E 为线段AB 的中点，则22,2t E t ⎛⎫+ ⎪⎝⎭．由NE AB ⊥，得22612t t t -⨯=-，解得22t =，将22t =代入()*式解得S =AMBN的面积为S = 【点睛】方法点睛：有关圆锥曲线弦长、面积问题的求解方法(1)涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数的关系、设而不求计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数的关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解．(2)面积问题常采用12S =×底×高，其中底往往是弦长，而高用点到直线距离求解即可，选择底很重要，选择容易坐标化的弦长为底．有时根据所研究三角形的位置，灵活选择其面积表达形式，若求多边形的面积问题，常转化为三角形的面积后进行求解．22．已知函数()e sin 1xf x ax x =-+-．（1）若函数()f x 在()0,∞+上为增函数，求实数a 的取值范围；（2）当12a ≤<时，证明：函数()()()2g x x f x =-有且仅有3个零点．【答案】（1）2a ≤；（2）证明见解析.【解析】（1）由()cos x f x e a x '=-+，根据条件即cos x a e x ≤+在()0,x ∈+∞上恒成立，设()cos x h x e x =+，求出其导数，得出单调性，求出最小值，可得答案.（2）由()()2=00=0g g ，，所以2x =，0x =是()()()2g x x f x =-的两个零点．因为12a ≤<，由（1）知，函数()f x 在()0,∞+上为增函数，()()00f x f >=，无零点．所以即证函数()f x 在(),0∞-上有且仅有1个零点，分(],πx ∈-∞-和()π,0x ∈-分别讨论即可证明.【详解】（1）因为()cos x f x e a x '=-+，由函数()f x 在()0,∞+上为增函数，则cos x a e x ≤+在()0,x ∈+∞上恒成立.令()cos x h x e x =+，()0,x ∈+∞，()sin xh x e x '=-当0x >时，e 1x >，所以()sin 0xh x e x '=->恒成立.所以()h x 在()0,∞+为增函数．所以()()02h x h >= 所以2a ≤．（2）由()()()()()2sin 12xe ax g xf x x x x -+=---=，则()()2=00=0g g ，所以2x =，0x =是()()()2g x x f x =-的两个零点．因为12a ≤<，由（1）知，函数()f x 在()0,∞+上为增函数，()()00f x f >=，无零点．所以下面证函数()f x 在(),0∞-上有且仅有1个零点．①当(],πx ∈-∞-时，∵12a ≤<，∴πax -≥，∴()πsin 10xf x e x ≥++->．无零点．②当()π,0x ∈-时，∵sin 0x <，设()()()','sin 0xu x f x u x e x ==->，∴()f x '在()π,0-上递增，又∵()020f a '=->，()ππ10f e a -'-=--<，∴存在唯一零点()0π,0x ∈-，使得()00f x '=．当()0π,x x ∈-时，()0f x '<，()f x 在()0π,x -上递减；当()0,0x x ∈时，0fx，()f x 在()0,0x 上递增．所以，函数()f x 在()π,0-上有且仅有1个零点．故函数()f x 在(),0∞-上有且仅有1个零点．综上：当12a ≤<时，函数()()()2g x x f x =-有且仅有3个零点．【点睛】关键点睛：本题考查由函数单调性求参数范围和利用导数讨论函数零点个数问题，解答本题的关键是将问题转化为cos x a e x ≤+在()0,x ∈+∞上恒成立，以及由()()2=00=0g g ，，所以2x =，0x =是()()()2g x x f x =-的两个零点．因为12a ≤<，由（1）知，函数()f x 在()0,∞+上为增函数，()()00f x f >=，无零点．所以即证函数()f x 在(),0∞-上有且仅有1个零点，属于难题.。

2023届山东省济宁市高三上学期期末数学试题(解析版)

2023届山东省济宁市高三上学期期末数学试题一、单选题1．若集合{}2|4,{|1}M x x N x x =>=>，则()R M N =（）A ．{|12}x x <≤B ．{}|2x x ≥-C ．{|1}x x >D ．{}2|x x ≤【答案】B【分析】解一元二次不等式求M ，应用集合的并、补运算求集合. 【详解】由题设{|2M x x =<-或2}x >，则R {|22}M x x =-≤≤，而{|1}N x x =>，故()R {|2}M N x x ⋃=≥-. 故选：B 2．若2i12iz +=-，则z =（） A ．1 B ．1-C ．iD ．i -【答案】D【分析】应用复数的除法化简复数，由共轭复数的概念写出z 即可. 【详解】2i (2i)(12i)5ii 12i (12i)(12i)5z +++====--+，故i z =-. 故选：D3．定义在R 上的函数()f x 满足()()()2log 2,03,0x x f x f x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩，则()2023f =（）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C【分析】利用给定函数可得()()20231f f =，结合解析式及对数运算求函数值即可.【详解】由题设，当0x >时，()(3)f x f x =-，即当0x >时，函数()f x 的值每隔3个单位重复出现，则()()()()()2220233674112log 22log 42f f f f ⎡⎤=⨯+==-=--==⎣⎦. 故选：C4．已知函数()22x f x x =-在点()()22f ,处的切线与直线10x ay ++=垂直，则=a （）A ．()6ln21-B ．()4ln21-C ．()2ln21-D ．0【答案】B【分析】求出()2f '后可求a 的值.【详解】()2ln 22xf x x '=-，故()24ln 24f '=-，故图象在点()()22f ,处的切线的斜率为4ln 24-，所以()14ln 241a ⎛⎫-⨯-=- ⎪⎝⎭即4ln 24a =-，故选：B5．在梯形ABCD 中，1,3AB DC BE EC ==，且AE xAB y AD =+，则x y +=（）A ．16B ．12C ．52D ．72【答案】C【分析】由向量在几何图形中位置关系，结合向量加减、数乘的几何意义用,AB AD 表示出AE ，进而求x y +.【详解】由AE AB BE AD DE =+=+，故2AE AB BE AD DE =+++，又BE CE =-，则3DE DC CE DC BE AB BE =+=-=-，所以24AE AB AD =+，即122AE AB AD =+，由AE xAB y AD =+，故152,,22x y x y ==+=.故选：C6．已知数列{}n a 的前n 项和1(0,1)nn S q q q =->≠.则“1q >”是“数列{}n a 为递减数列”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件【答案】A【分析】应用,n n a S 求{}n a 通项公式，结合等比数列定义确定{}n a 的性质，再由等比数列性质及充分、必要性定义判断推出关系即可.【详解】由题设111a S q ==-，且112(1),n n n n a S S q q n --==-≥-，显然11a q =-满足上式，则11n n a a q -=，即{}n a 是首项为1q -，公比为q 的等比数列，当01q <<时，10q ->，则{}n a 为递减数列；当1q >时，10q -<，则{}n a 为递减数列.若{}n a 为递减数列，则1001q q ->⎧⎨<<⎩或101q q -<⎧⎨>⎩，即01q <<或1q >，所以“1q >”是“数列{}n a 为递减数列”的充分不必要条件. 故选：A7．已知圆22:430C x y y +-+=，点()7,12M ，直线:l y x =.点P 是圆C 上的动点，点Q 是l 上的动点，则PQ QM +的最小值为（） A ．11 B ．12C ．13D ．14【答案】B【分析】找到M 关于:l y x =的对称点(12,7)M '，由||PQ QM PM '+≥且min ||||1PM CM ''=-，即可求最小值.【详解】由题设22:(2)1C x y +-=，即是圆心为(0,2)C ，半径为1的圆，又227(122)1491+-=>，在圆外同时不在直线:l y x =上，如下图示：若M '为M 关于:l y x =的对称点，则(12,7)M '，则||PQ QM PQ QM PM ''+=+≥，而min ||||1PM CM ''=-，所以||112PQ QM CM '+≥-=，仅当,,,C P Q M '共线且P 在,C Q 之间时等号成立，故PQ QM +的最小值为12. 故选：B8．设0.16e ,ln 5a b c === ）A ．b<c<aB ．c b a <<C ．a c b <<D ．a b c <<【答案】A【分析】根据b c -、a c -的形式分别构造1()2ln f x x x x=+-、e ()x g x =，注意给定定义域范围，利用导数研究单调性，进而判断定义域上函数值符号，即可判断大小关系.【详解】由6ln 5b c -=+1()2ln f x x x x =+-，且1x >，所以22211()1(1)0f x x x x'=--=--<，即()f x 在(1,)+∞上递减，所以()(1)0f x f <=在(1,)+∞上恒成立，故21ln x x x+<在(1,)+∞上恒成立，有b c <，由0.1e a c -=e ()x g x =，且102x <<，所以()exg x '=1(0,)2上递增，则()(0)0g x g ''>=，即()g x 在1(0,)2上递增，所以0()(0)e 10g x g -==>在1(0,)2上恒成立，故e x >1(0,)2上恒成立，有a c >.综上，b<c<a . 故选：A二、多选题9．设,αβ是两个不同的平面，,,a b c 是三条不同的直线，下列命题正确的是（） A ．若,a b a c ⊥⊥，则//b c B ．若,a b αα⊥⊥，则//a b C ．若,a a αβ⊥⊥，则//αβ D ．若//a b ，//a α，则//b α 【答案】BC【分析】由线面、线线的位置关系，结合平面的基本性质判断各项的正误. 【详解】A ：,a b a c ⊥⊥，则,b c 可能异面、相交或平行，错误； B ：,a b αα⊥⊥，由垂直于同一平面的两条直线平行知：//a b ，正确；C ：若,αβ不平行，则,αβ必相交，令d αβ⋂=，假设,a a αβ⊥⊥垂足分别是,A B ，在d 上找一点C ，连接,AC BC ，故AC α⊂，BC β⊂，则,a AC a BC ⊥⊥，故90CAB CBA ∠=∠=︒，在△ABC 中内角和大于180︒，显然矛盾，故//αβ，正确；D ：//a b ，//a α，则//b α或b α⊂，错误. 故选：BC10．已知函数()cos sin f x x x =+，则下列结论正确的是（） A ．()f x 是偶函数B ．()f x 在[],ππ-上有4个零点C ．()f x 2D ．()f x 在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增【答案】AC【分析】根据偶函数的定义可判断A 的正误，求出函数在[]0,π上的零点和最值后后可判断BC 的正误，利用辅助角公式结合正弦函数的性质可判断D 的正误.【详解】()f x 的定义域为R ，且()()()cos sin f x x x f x -=-+-=，故()f x 为偶函数，故A 正确.当[]0,πx ∈时，()[]cos sin ,0,πf x x x x =+∈，令()0f x =，则cos sin 00πx x x +=⎧⎨≤≤⎩，解得3π4x =，故()f x 在[],ππ-上有2个零点，故B 错误. 又当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()π24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，因为ππ3π444x <+<且sin y t =在π3π,44⎛⎫⎪⎝⎭不单调，故()f x 在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上不单调，故D 错误.当0x ≥时，()cos sin f x x x =+；当0x <时，()()cos sin cos sin f x x x x x =-+=+；故()cos sin f x x x =+，而()()()2πcos 2πsin 2πcos sin f x x x x x +=+++=+，故()f x 是周期函数且周期为2π.而当[]0,πx ∈时，()[]cos sin ,0,πf x x x x =+∈，故()π4f x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，此时ππ5π444x ≤+≤，故πsin 14x ⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭，故()1f x -≤()max π4f x f ⎛⎫== ⎪⎝⎭由()f x 为偶函数可得()f x 在[],ππ-由()f x 的周期性可得()f x 在R 故选：AC.11．已知抛物线2:4C y x =，其焦点为F ，点M 是抛物线C 上的动点，过点F 作直线:320l mx y m --+=的垂线，垂足为N ，则（）A ．直线l 过定点()3,2B ．当点F 到直线l 的距离最大时，1m =-C ．动点N 的轨迹为椭圆D ．MF MN +的最小值为3 【答案】ABD【分析】根据题意求出直线l 的定点即可判断选项A ；利用点到直线的距离公式，将式子整理化简即可判断选项B ；根据垂直即可判断选项C ；作出图象，借助抛物线的定义即可判断选项D.【详解】直线:320l mx y m --+=可化为(3)(2)0m x y ---=，令3020x y -=⎧⎨-=⎩，解得：32x y =⎧⎨=⎩，所以直线l 过定点()3,2，故选项A 正确；由题意可知：(1,0)F ，则点F 到直线l 的距离d == 当0m =时，2d =；当0m ≠时，222324(21)24(1)111m m m m d m m m m-+-+===-+++，因为1(,2][2,)m m+∈-∞-+∞，所以当1m =-时，d 取最大值222>，也即点F 到直线l 的距离最大时，1m =-，故选项B 正确；因为过点F 作直线:320l mx y m --+=的垂线，垂足为N ，直线l 过定点(3,2)P ，则FN NP ⊥，所以点N 在以PF （PF 的长度为定值）为直径的圆上，也即动点N 的轨迹为圆，故选项C 错误；过点M 作MD 与准线垂直并交准线于点D ，连接PF ，取PF 的中点E ，则E 的坐标为(2,1)，2EP =，因为FN l ⊥，则点N 在以PF 为直径的圆上，其方程为22(2)(1)2x y -+-=，又由MF MD =，得MF MN MD MN +=+，如图所示：MD MN +的最小值为圆22(2)(1)2x y -+-=上的点到准线的距离的最小值，过点E 作ED '与准线=1x -垂直并交于点D ，与圆E 交于点N '，与抛物线交于点M '，则D N ''即为MD MN +的最小值，即min ()32MD MN D N ED EN ''''+==-=故选项D 正确，故选：ABD .12．帕多瓦数列是与斐波那契数列相似的又一著名数列.在数学上，帕多瓦数列被以下递推的方法定义：数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足：()*123311,n n n a a a a a a n ++====+∈N .则下列结论正确的是（） A ．87a = B ．819S =C ．2023a 是偶数D ．()32224n n n S S a n --=++≥【答案】BCD【分析】根据递推关系依次写出前8项，再求8S ，判断A 、B ；根据已知判断数列{}n a 中奇偶数出现的规律，找出其周期，即可判断C ；根据递推关系，应用累加法得到2332451...2(...)n n n a a a a a a a a --=++++++++，两边都加上前3项即可判断D.【详解】由题设4212,a a a =+=5322a a a =+=，6433a a a =+=，7544a a a =+=，8655a a a =+=，A 错误；由上分析，12388...19a a S a a ++=++=，B 正确；由()*123311,n n n a a a a a a n ++====+∈N 知：*表示奇数，@表示偶数，如下表，显然，该数列奇偶数出现以7为周期，一个周期内下标从小到大对应项依次出现3个奇数，2个偶数，1个奇数，1个偶数，而20237289=⨯，故2023a 是偶数，C 正确；由421a a a =+，532a a a =+，643a a a =+，…，23n n n a a a --=+，且4n ≥，所以2332451...2(...)n n n a a a a a a a a --=++++++++，又123...nn S a a a a =++++，故()1233223322...22n n n n n S a a a a a a a S a ----=+++++++=++，D 正确. 故选：BCD三、填空题13．已知tan 2θ=-，则sin cos =θθ__________. 【答案】25-##-0.4【分析】将sin cos θθ分母看成“1”，利用22sin cos 1θθ+=替换，然后把所求的式子转化为tan θ表达式，进而得出结果.【详解】因为tan 2θ=-，则222sin cos tan 22sin cos sin cos tan 1415θθθθθθθθ-====-+++，故答案为：25-14．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若55678915,35S a a a a a =++++=，则14S =__________. 【答案】105【分析】利用等差数列前n 项和公式、等差中项的性质求得33a =、77a =，进而确定公差以及通项公式，最后求14S 即可. 【详解】由题设15355()521522a a a S +⨯===，则33a =， 567897535a a a a a a ++==++，则77a =，若公差为d ，则7314a a d -==，故3(3)n a a n d n =+-=，故1141414()7151052a a S ⨯+==⨯=.故答案为：10515．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左､右焦点分别为12,,F F P 为双曲线上一点，且213PF PF =，若122cos 3F PF ∠=，则该双曲线的离心率是__________.【分析】根据双曲线的定义求出1PF ，2PF ，再在12PF F △中利用余弦定理得到2246c a =，即可得解.【详解】解：因为213PF PF =，122PF PF a -=，故13PF a =，2PF a =，在12PF F △中，利用余弦定理得到122224923cos c a a a a F PF ∠=+-⨯⨯，化简整理得到2246c a =，即2c =，所以离心率62c e a.故答案为：16．三棱锥-P ABC 中，2π,,,3PA PB CA CB ACB PC CA ∠===⊥，若2CA CP +=，则三棱锥-P ABC 外接球的表面积的最小值为__________. 【答案】16π5【分析】先确定三棱锥-P ABC 的球心在底面外接圆圆心作底面垂线上，与线段PC 中垂线的交点上，底面外接圆半径用CA 的长来表示，求出外接球半径也用CA 的长来表示，然后球最值即可. 【详解】如图所示，因为,,PA PB CA CB PC PC === 所以PCA PCB ≅所以PCA PCB ∠≅∠，又因为PC CA ⊥ 所以PC CB ⊥ 又因为CA CB C ⋂= ,CA CB ⊂平面CAB所以PC ⊥平面ABC ，设H 为ABC 的外心，过H 作平面ABC 的垂线，过P 作CH 的平行线，两线交于点D ，取DH 的中点O ，连接OC ，则O 为三棱锥-P ABC外接球的球心；设,2,CA x PC x AB ==-=设三棱锥-P ABC 的外接球半径为R ，外接圆半径为r ，则222πsin3ABr x ==，所以222222552441244555x R x x x x -⎛⎫⎛⎫=+=-+=-+≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以三棱锥-P ABC 的外接球的表面积的最小值为16π5.故答案为：16π5四、解答题17．如图所示，,,A B C 为脚两侧共线的三点，现计划沿直线AC 开通穿山隧道，在山顶P 处测得,,A B C 三点的俯角分别为60,45,30αβγ===，在地面测得5AD =千米，1BE =千米，()1033BC =-千米.求隧道DE 的长度.【答案】(43+千米【分析】在PBC 中，由正弦定理可得求出PC 的长，在R t PAC 中求出AC 的长. 【详解】解：由在山顶P 处测得,,A B C 三点的俯角分别为60,45,30αβγ===得： 30,15,135,60,90C BPC PBC PAC APC ︒︒︒︒︒∠=∠=∠=∠=∠=在PBC 中，由正弦定理可得：sin sin BC PCBPC PBC=∠∠即：(1033sin15sin135PC ︒︒=解得：3PC =在R t PAC 中，由sin PCPAC AC∠= 得：sin PCAC PAC=∠即：203403AC =所以DE AC AD BE BC =---即：(40511034DE =---=+所以隧道DE的长度约为(4+千米.18．数列{}n a 是正项等比数列，已知12a =且324,3,a a a 成等差数列. (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若2122log ,n nn n n n nb b b ac b b +-==+，求数列{}n c 的前n 项和n S . 【答案】(1)2n n a = (2)(2)1n n n n S +=+【分析】（1）由等差中项的性质及等比数列通项公式求公比，进而写出{}n a 的通项公式；（2）由（1）、题设可得1111n c n n =+-+，应用裂项相消法求n S . 【详解】（1）由题设2346a a a =+，令{}n a 公比为0q >，则12n n a q -=，所以231222q q q +=，即26(3)(2)0q q q q +-=+-=，则2q ，故2n n a =.（2）由（1）知：2log n n b a n ==，则2222(1)111111(1)1n n n n n c n n n n n n n n +-++===+=+-++++，所以1111111(2)...(1...)1223111n n n n c c n n n S n n n +=++=+-+-++-=+-=+++. 19．已知函数()sin f x x x mx =+.(1)若函数()f x 在π,π6⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，求实数m 的取值范围；(2)若()f x 在()0,2π内有两个极值点,αβ，讨论αβ+的值. 【答案】(1)m 1≥ (2)2π3αβ+=或8π3【分析】（1）由题设π()2sin()3f x x mx =-+，可得π()2cos()3f x x m '=-+，根据()0f x '≥在π,π6x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立，求范围即可；（2）将问题转化为π2cos()3m x =--在()0,2πx ∈上有两个解，数形结合法判断,αβ的对称轴，即可得结果.【详解】（1）由π()sin 3cos 2sin()3f x x x mx x mx =-+=-+，所以π()2cos()3f x x m '=-+，当π,π6x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则ππ2π[,]363x -∈-，故()[1,2]f x m m '∈-+，又()f x 在π,π6⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，即10m -≥，所以m 1≥.（2）由()0,2πx ∈，令π()2cos()03f x x m '=-+=，则π2cos()3m x =--在()0,2πx ∈上有两个解，而π()2cos(),3g x x y m =--=图象如下，由图知：要使(),g x y m =有两个交点，则交点横坐标关于π3x =或4π3x =对称，所以2π3αβ+=或8π3. 20．如图所示，在高为2的三棱锥-P ABC 中（ABC 为底面），,2AB BC AB ⊥=，22,PA PC D==为AC 的中点.若三棱锥-P ABC 的体积为43.(1)证明：平面ABC ⊥平面PBD ； (2)求二面角A PC B --的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 63【分析】（1）由棱锥体积公式求得2BC =，根据等腰三角形的性质有BD AC ⊥、PD AC ⊥，利用线面、面面垂直的判定证结论；（2）由（1）P 在面ABC 上的射影H 在直线BD 上，进而可得DH BD =，讨论H 与B 在AC 两侧、H 与B 重合两种情况，并构建空间直角坐标系，应用空间向量夹角的坐标表示求二面角的余弦值.【详解】（1）由题设11243633P ABC ABCV Sh AB BC h BC -=⋅⋅=⋅⋅⋅==且-P ABC 的高2h =，故2BC =，由2AB =且D 为AC 的中点，则BD AC ⊥，又22PA PC ==，则PD AC ⊥，由BD PD D =，,BD PD ⊂面PBD ，故AC ⊥面PBD ，又AC ⊂面ABC ，所以平面ABC ⊥平面PBD ；（2）由（1）知：P 在面ABC 上的射影H 在直线BD 上，且2222AC AB C P B PA C =+===，所以362PD PA ==，则222DH PD h =-=，即DH BD =，当H 与B 在AC 两侧，则D 为AC 、BH 的中点，且AB BC ⊥，故ABCH 为正方形且PH ⊥面ABCH ，构建以H 为原点，,,HA HC HP 为,,x y z 轴的空间直角坐标系，如下图，则(2,0,0),(2,2,0),(0,2,0),(0,0,2)A B C P ，故(2,0,2),(0,2,2),(2,0,0)AP CP CB =-=-=，令(,,)m x y z =为面PBC 的一个法向量，则22020CP m y z CB m x ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅==⎪⎩，(0,1,1)m =满足；令(,,)n a b c =为面PAC 的一个法向量，则220220CP n b c AP n a c ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，(1,1,1)n =满足；若锐二面角A PC B --为θ，此时26cos ||3||||23m n m n θ⋅===⨯；当H 与B 重合，且AB BC ⊥，又PH ⊥面ABCH ，,AB BC ⊂面ABCH ，所以,PH AB PH BC ⊥⊥，构建以H 为原点，,,BC BA BP 为,,x y z 轴的空间直角坐标系，如下图，则(0,2,0),(2,0,0),(0,0,2)A C P ，故(0,2,2),(2,0,2)AP CP =-=-，易知：(0,1,0)m =为面PBC 的一个法向量，令(,,)n a b c =为面PAC 的一个法向量，则220220CP n a c AP n b c ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，(1,1,1)n =满足；若锐二面角A PC B --为θ，此时13cos ||3||||3m n m n θ⋅===；综上，二面角A PC B --的余弦值为63或33. 21．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为32，且过点13,2P ⎛⎫- ⎪⎝⎭.(1)求椭圆C 的方程；(2)若1l 为椭圆C 在点P 处的切线，21//l l 且2l 与椭圆C 交于,A B 两点. （i ）求直线1l 的方程；（ii ）求PAB 面积的最大值. 【答案】(1)22:14x C y +=(2)（i ）13240l x y -+=；（ii 33【分析】（1）由离心率及点在椭圆上，椭圆参数关系列方程组求得2241a b ⎧=⎨=⎩，即可得椭圆方程；（2）（i）切线斜率一定存在，令11:(2l y k x -=，联立椭圆方程并整理，结合Δ0=求参数k ，即可得直线方程；（ii ）令直线:AB y m +，联立椭圆方程，注意0∆>求参数m 范围，应用韦达定理、弦长公式、点线距离公式求||AB 、P 到直线AB 的距离，进而得到PAB 面积关于m 的函数，利用导数求最大值即可.【详解】（1）由题设223114c a a b ⎧==⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，可得2241a b ⎧=⎨=⎩，故22:14x C y +=；（2）（i）由题设，切线斜率一定存在，令11:(2l y k x -=，联立2214x y +=，整理得：222(41)41)1230k x k x k +++++-=，所以2222161)4(41)(123)0k k k ∆=+-++-=，即222241)(41)(123)k k k +=++-，整理为2243(20k k -+==，所以k11:2l y x -=，则1240l y -+=；（ii ）由（i ），令直线:AB y m +，联立22:14x C y +=，整理得：2210x m +-=，且22234(1)40m m m ∆=--=->，即22m -<<，所以2,1A B A B x x x x m +==-，则||AB = 又P到:AB y m +的距离d ==，所以1||2PABSAB d =⋅= 令2(0,4)t m =-∈，且33(2)(2)(4)y m m t t =-+=-，则24(3)y t t '=-，当03t <<时，0'>y ，即y 递增；当34t <<时，0'<y ，即y 递减；所以max 3|27(43)27t y y ===⨯-=，故PAB面积的最大值为PABS=22．已知函数()e ln xf x ax x x =--，若()1f x ≥恒成立，(1)求实数a 的取值范围；(2)当0x >时，证明：1e 12sin x x x x >-+.【答案】(1)1a ≥ (2)证明见解析【分析】（1）问题转化为ln 1xx x a xe ++≥在(0,)+∞上恒成立，不等式右边构造函数，利用导数研究单调性，并求出其最大值，即可得参数范围；（2）由（1）知e ln e ln 1x x ax x x x x x --≥--≥，应用分析法，将问题化为证1ln 2sin x x x x++>恒成立，讨论1x ≥、01x <<，利用导数研究单调性并确定区间符号，即可证结论. 【详解】（1）由题设()e ln 1x f x ax x x =--≥在(0,)+∞上恒成立，所以ln 1xx x a xe ++≥在(0,)+∞上恒成立，令ln 1()e xx x g x x ++=，则2(1)(ln )()e xx x x g x x ++'=-，令()ln h x x x =+，则1()10h x x'=+>在(0,)+∞上恒成立，所以()h x 在(0,)+∞上递增，显然111()ln 0222h =+=，(1)10h =>，故01(,1)2x ∃∈使0()0h x =，则0(0,)x 上()0h x <，0(,)x +∞上()0h x >，所以0(0,)x 上()0g x '>，()g x 递增；0(,)x +∞上()0g x '<，()g x 递减；又00ln x x =-，即00xx e -=，则000max 00ln 1()()1e x x x g x g x x ++===，综上，1a ≥.（2）由（1）知：e ln e ln 1x x ax x x x x x --≥--≥，所以e ln 1x x x x ≥++且,()0x ∈+∞，要使1e 12sin xx x x >-+恒成立，只需证1ln 2sin x x x x +>-恒成立，只需证1ln 2sin x x x x ++>恒成立，当1x ≥时，若1y x x =+，则2110y x'=-≥，即y 递增，又ln y x =也递增，所以1ln y x x x=++在[1,)+∞上递增，故1|22sin x y y x =≥=>恒成立，当01x <<时，令sin y x x =-且(0,1)x ∈，则1cos 0y x '=->，即y 递增，故0|0x y y =>=，所以sin x x >在(0,1)上恒成立，故11ln 2sin ln x x x x x x x++->-+，令1()ln k x x x x =-+，则22213()1124()10x k x x x x -+'=--=-<，所以()k x 在(0,1)上递减，故()(1)0k x k >=，即11ln 2sin ln 0x x x x x x x++->-+>，综上，1ln 2sin x x x x++>在,()0x ∈+∞上恒成立，所以，0x >时1e 12sin xx x x >-+得证.【点睛】关键点点睛：第一问转化为ln 1xx x a xe ++≥在(0,)+∞上恒成立，第二问化为证明1ln 2sin x x x x++>恒成立，再构造函数并利用导数研究单调性即可.。

浙江省杭州市2023-2024学年高三上学期期末数学试题含答案

2023-2024学年浙江省杭州市高三（上）期末数学试卷（答案在最后）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}2230A x x x =--≤，311B x x ⎧⎫=≤⎨⎬-⎩⎭，则A B = （）A.[]1,3 B.(]1,3 C.[]1,1- D.[)1,1-【答案】D 【解析】【分析】先求出集合,A B ，再由交集的定义求解即可.【详解】由2230x x --≤可得：()()130x x +-≤，解得：13x -≤≤，由311x ≤-可得3101x -≤-，即3101x x -+≤-，即()()1401x x x ⎧--≥⎨≠⎩，解得：1x <或4x ≥，故[]1,3A =-，()[),14,B ∞∞=-⋃+，所以A B = [)1,1-.故选：D .2.已知复数z 满足i z z =-（i 为虚数单位），且z =，则2z =（）A.2iB.2i-C.D.【答案】B 【解析】【分析】设i z a b =+，结合共轭复数的定义和复数的模公式求出即可.【详解】设i z a b =+，(),R a b ∈，则i z a b =-，因为i z z =-，则()()i i i i 0a b a b a b a b a b +=--⨯⇒+++=⇒=-，又z =，则222a b +=，解得1,1a b ==-或1,1a b =-=，所以1i z =-或1i z =-+，所以()221i 2i z =-=-或()221i 2i z =-+=-，故选：B.3.已知随机变量1X ，2X 分别满足二项分布111~,3X B n ⎛⎫ ⎪⎝⎭，221~,3X B n ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则“12n n >”是“()()12D X D X >”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】由二项分布的方差公式求出()()12,D X D X ，再由充分条件和必要条件的定义求解即可.【详解】因为111~,3X B n ⎛⎫ ⎪⎝⎭，221~,3X B n ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以()()1112221121121,1339339D X n n D X n n ⎛⎫⎛⎫=⋅⋅-==⋅⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以12n n >，则()()12D X D X >，若()()12D X D X >，则12n n >.所以“12n n >”是“()()12D X D X >”的充要条件.故选：C .4.若102x <<，则1112x x+-的最小值是（）A.3+B.6C. D.9【答案】A 【解析】【分析】由2(12)1x x +-=，得到1111[2(12)]()1212x x x x x x+=+-+--，结合基本不等式，即可求解.【详解】因为102x <<，可得120x ->，且2(12)1x x +-=，则1111122[2(12)]()3121212x x x x x x x x x x -+=+-+=++---33≥+=+，当且仅当12212x x x x -=-时，即22x =时，等号成立，所以1112x x+-的最小值是3+.故选：A.5.冬季是流行病的高发季节，大部分流行病是由病毒或细菌引起的，已知某细菌是以简单的二分裂法进行无性繁殖，在适宜的条件下分裂一次（1个变为2个）需要23分钟，那么适宜条件下1万个该细菌增长到1亿个该细菌大约需要（参考数据：lg 20.3≈）（）A.3小时 B.4小时C.5小时D.6小时【答案】C 【解析】【分析】设适宜条件下1万个该细菌增长到1亿个该细菌大约需要x 分钟，则231210000x⋅=，两边同时取对数得，结合对数的运算性质求解即可.【详解】设适宜条件下1万个该细菌增长到1亿个该细菌大约需要x 分钟，则231210000x ⋅=，两边同时取对数得，lg 2lg10000423x⋅==，所以42392306.7lg 20.3x ⨯=≈≈，所以大约需要306.7560≈小时.故选：C .6.已知定义在R 上的函数()f x 满足()()sin cos 0xf x xf x '+>，则（）A.ππ36f ⎫⎫⎛⎛< ⎪ ⎪⎝⎝⎭⎭B.ππ63f f ⎫⎫⎛⎛< ⎪ ⎪⎝⎝⎭⎭C.ππ36f ⎛⎫⎛⎫>⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ D.ππ63f ⎛⎫⎛⎫>⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】B 【解析】【分析】构造函数()()cos f x F x x=，ππ,Z 2x k k ≠+∈，求导得到其单调性，从而得到ππ63F F ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，化简后得到答案.【详解】令()()cos f x F x x=，ππ,Z 2x k k ≠+∈，故()()()2cos sin 0cos f x x f x xF x x+='>'恒成立，故()()cos f x F x x=在πππ,π,Z 22k k k ⎛⎫-++∈ ⎪⎝⎭上单调递增，故ππ63F F ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即ππππππ6363ππ163cos cos6322f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎛⎫⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎝⎭<⇒⇒< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：B7.已知数列{}n a ，{}n b 满足111a b ==，1n n n a a b +=+，1n n n b a b +=-，则n a =（）A.12n - B.122n - C.122n + D.()21142nn -+-【答案】D 【解析】【分析】根据递推关系，归纳出数列{}n a 的奇数项与偶数项分别为公比为2的等比数列，进而可得数列{}n a 的通项公式.【详解】因为1n n n a a b +=+，1n n n b a b +=-，则112n n n a b a +++=，又211n n n a a b +++=+，则22n n a a +=，所以数列{}n a 的奇数项与偶数项分别为公比为2的等比数列，由111a b ==可得2112a a b =+=，则数列{}n a 的各项为1,2,2,4,4,8,8, ，其中奇数项的通项公式为1122122n n n a a --=⋅=，偶数项的通项公式为122222n n n a a -=⋅=，所以数列{}n a 的通项公式为()21142nn n a -+-=.故选：D8.已知四面体ABCD ，ABC 是边长为6的正三角形，DA DB ==，二面角D AB C --的大小为2π3，则四面体ABCD 的外接球的表面积为（）A.40πB.52πC.72πD.84π【答案】B 【解析】【分析】画出图形，找出外接球球心的位置，利用OD OC r ==以及图形几何关系表示出相应的线段长度，结合勾股定理列方程求出外接球半径即可得解.【详解】如图，取AB 中点E ，连接,CE DE ，因为ABC 是边长为6的正三角形，DA DB ==，则由三线合一可知,AB CE AB DE ⊥⊥，所以二面角D AB C --的平面角为2π3CED ∠=，取三角形ABC 的外心1O ，设外接球的球心为O ，则1OO ⊥平面ABC ，且OA OB OC OD r ====，其中r 为四面体ABCD 外接球的半径，过点D 作DG 垂直平面ABC ，垂足为点G ，由对称性可知点G 必定落在1O E 的延长线上面，由几何关系，设DF x =，而由正弦定理边角互换得112sin 60AB C O =⨯=进而1162O E CE CO =-=⨯-，由勾股定理得DE ==从而()πcos πcos 3EG DE CED DE =⋅-∠=⋅=，()π3sin πsin 32DG DE CED DE =⋅-∠=⋅=，所以132OO FG x ==-，12OF O G ==，所以由OD OC r ==得，2222231222r x r x ⎧⎛⎫=+-⎪ ⎪⎝⎭⎪⎨⎛⎫⎪=+ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎩，解得5,2x r ==，所以四面体ABCD 的外接球的表面积为24π52πr =.故选：B.【点睛】关键点点睛：关键是合理转换二面角D AB C --的大小为2π3，并求出外接球半径，由此即可顺利得解.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知平面向量)a =，(),3b x =- ，则下列命题正确的是（）A.若a b∥，则x =- B.若a b ⊥，则x =C.若a b +=，则0x = D.若5π,6a b =，则x =【答案】ABD 【解析】【分析】A.由共线向量定理求解判断；B.利用向量的数量积运算求解判断；C.利用向量的模公式求解判断；D.由向量的夹角公式求解判断.【详解】A.若a b∥，则13x ⨯=-，解得x =-，故正确；B .若a b ⊥()130+⨯-=，解得x =C.若a b +=，0x =或x =-D.若5π,6a b =，则5πcos ,cos 62a b ===- ，解得x =故选：ABD 10.已知四棱柱1111ABCD A B C D -的底面ABCD 为菱形，且π3DAB ∠=，12A A AB =，11A AB A AD ∠=∠，O 为11AC 的中点，P 为线段1AB 上的动点，则下列命题正确的是（）A.{}1,,OA BD AB可作为一组空间向量的基底B.{},,OA OD AB可作为一组空间向量的基底C.直线//OP 平面1C BDD.向量CP 在平面11AB D 上的投影向量为OP【答案】BCD 【解析】【分析】选项A ，找到11BD B D =，容易判断{}111,,OA B D AB 共面，从而做出判断即可；选项B ，先找到含有两个向量,OA OD 的平面OAD ，判断AB与平面OAD 的关系即可；选项C ，证明平面11//AB D 平面1C BD 即可；选项D ，证明OC 垂直平面11AB D 即可.【详解】如图所示，四棱柱1111ABCD A B C D -，对于选项A ，11BD B D =，三个向量{}111,,OA B D AB 都在平面11AB D ，即三个向量{}111,,OA B D AB 共面，则{}1,,OA BD AB也共面，{}1,,OA BD AB不可作为一组空间向量的基底，选项A 错误；对于选项B ，两个向量,OA OD都在平面OAD ，显然直线AB 与平面OAD 是相交关系，AB不与平面OAD 平行，故三个向量{},,OA OD AB不共面，可作为一组空间向量的基底，选项B 正确；对于选项C ，由于11//BD B D ，11//AB DC ，易得11//B D 平面1C BD ，1//AB 平面1C BD ，从而有平面11//AB D 平面1C BD ，且OP ⊂平面11AB D ，所以直线//OP 平面1C BD ，选项C 正确；对于选项D ，取{}1,,AB AD AA作为一组空间向量的基底，1111()2OC OC C C AB AD AA =+=+- ，111()2B D BD AD AB ==- ，1111()2OA OA A A AB AD AA =+=-+-，其中22111111()()42OC B D AD AB AA AB AA AD ⋅=-+⋅-⋅ ，因为底面ABCD 为菱形，且π3DAB ∠=，12A A AB =，11A AB A AD ∠=∠，得22AD AB = ，11AA AB AA AD ⋅=⋅，所以110OC B D ⋅= ，即11OC B D ⊥，11OC B D ⊥，其中2211[()]2OC OA AA AB AD ⋅=-+ ，显然22134AA AB = ，2222222111π3[()](2)(2cos )24434AB AD AB AD AB AD AB AB AB AB +=++⋅=++= ，所以0OC OA ⋅=，即OC OA ⊥ ，OC OA ⊥，因为11OC B D ⊥，OC OA ⊥，且11B D ⊂平面11AB D ，OA ⊂平面11AB D ，11B D OA O ⋂=，所以OC ⊥平面11AB D ，所以向量CP 在平面11AB D 上的投影向量为OP，选项D 正确；故选：BCD.11.已知函数()cos 2f x x =，()πsin 23g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则（）A.将函数()y f x =的图象右移π12个单位可得到函数()y g x =的图象B.将函数()y f x =的图象右移π6个单位可得到函数()y g x =的图象C.函数()y f x =与()y g x =的图象关于直线π24x =对称D.函数()y f x =与()y g x =的图象关于点7π,024⎛⎫⎪⎝⎭对称【答案】ACD【解析】【分析】由三角函数的平移变换可判断A ，B ；由()π12g x f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭可判断C ；由()7π12g x f x ⎛⎫-=-⎪⎝⎭可判断D .【详解】因为()ππππsin 2cos 2cos 23236g x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=-++=- ⎪ ⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，将函数()y f x =的图象右移π12个单位可得到ππcos 2cos 2126y x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，将函数()y f x =的图象右移π6个单位可得到ππcos 2cos 263y x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故A 正确，B 错误；由A 选项可知，()π12g x f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以函数()y f x =与()π12y g x f x ⎛⎫==- ⎪⎝⎭的图象关于直线π24x =对称，故C 正确；若函数()y f x =与()y g x =的图象关于点7π,024⎛⎫⎪⎝⎭对称，则在()y f x =上取点()11,A x y 关于7π,024⎛⎫ ⎪⎝⎭的对称点117π,12A x y ⎛⎫-- ⎪⎝⎭必在()y g x =上，所以11cos 2y x =，所以1117π7ππ7ππsin 2sin 21212363g x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦1113πsin 2cos 22x x y ⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭，故D 正确.故选：ACD .12.（多选）已知数据1234567x x x x x x x <<<<<<，若去掉4x 后剩余6个数的平均数比7个数的平均数大，记1x ，2x ，3x ，4x 的平均数与方差为1x ，21s ，记4x ，5x ，6x ，7x 的平均数与方差为2x ，22s ，则（）A.1242x x x +>B.1242x x x +<C.()()47222212441414k k k k s s x x x x ==⎡⎤->---⎢⎥⎣⎦∑∑D.()()47222212441414k k k k s s x x x x ==⎡⎤-<---⎢⎥⎣⎦∑∑【答案】AC 【解析】【分析】根据平均数的大小列出不等式变形即可判断AB ，根据方差公式作差后变形，利用1242x x x +>，即可判断CD.【详解】因为123567123456767x x x x x x x x x x x x x +++++++++++>，所以12356746x x x x x x x +++++>，所以()()1234456748x x x x x x x x x +++++++>，所以1242x x x +>，故A 正确，B 错误；2222222222212346412724123455674444 x x x x x x x x x x x x x s x s x x ⎡⎤+++++++++⎛⎫-=--⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎡⎤+++⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎣⎦()()()2222222212356217144x x x x x x x x ⎡⎤=++-+++-⎢⎥⎣⎦()()()()2222221235621217144x x x x x x x x x x ⎡⎤=++-+++-⎣+⎦()()()222222123564271184x x x x x x x x x ⎡⎤>++-++-⎣+⎦()()4722441414k k k k x x x x ==⎡⎤---⎢⎥⎣⎦∑∑，故C 正确，D 错误.故选：AC三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.直线y =的倾斜角是___________.【答案】0【解析】【分析】根据斜率得到倾斜角.【详解】y =的斜率为0，设倾斜角为[)0,πα∈，则tan 0α=，解得0α=，故倾斜角为0故答案为：014.已知二项式()12nx +的展开式中含2x 的项的系数为84，则n =___________.【答案】7【解析】【分析】应用二项展开式的通项公式求解即可.【详解】二项式()12nx +中含2x 的项为：223C (2)n T x =，该项的系数为22(1)2C 42(1)2n n n n n -=⨯=-，由于该项的系数为84，得方程2(1)84n n -=，即2420n n --=，解得7n =或6-（舍去），故答案为：7.15.位于奥体核心的杭州世纪中心总投资近100亿元，总建筑面积约53万平方米，由两座超高层双子塔和8万平方米商业设施构成，外形为杭州的拼音首字母“H”，被誉为代表新杭州风貌、迎接八方来客的“杭州之门”.如图，为测量杭州世纪中心塔高AB ，可以选取与塔底B 在同一水平面内的两个测量基点C 与D ，现测得70BCD ∠=︒，30BDC ∠=︒，108CD =米，在点C 测得塔顶A 的仰角为80°，则塔高AB 为___________米.（结果保留整数，参考数据：cos800174︒≈.）【答案】310【解析】【分析】设AB h =米，进而可得tan80h BC =︒，在BCD △中由正弦定理求出BC ，求解即可得出答案.【详解】设AB h =米，因为在点C 测得塔顶A 的仰角为80°，所以80BCA ∠=︒，在ABC 中，tan 80AB hBC BC=︒=，所以tan80h BC =︒，在BCD △中，因为70BCD ∠=︒，30BDC ∠=︒，所以180703080CBD ∠=︒-︒-︒=︒，由正弦定理得sin sin 30CD BC CBD =∠︒，所以1081sin 802BC=︒，则1108542sin 80sin 80BC ⨯==︒︒，所以545454tan 80tan 80310sin 80cos800.174h BC =︒=⋅︒=≈≈︒︒米.故答案为：310.16.已知点P 是双曲线C ：()22221,0x y a b a b-=>与圆222213x y a c +=+在第一象限的公共点，若点P 关于双曲线C 其中一条渐近线的对称点恰好在y 轴负半轴上，则双曲线C 的离心率e =___________.【答案】62【解析】【分析】根据题意，联立双曲线与圆的方程，求得点P 的坐标，再求得其对称点Q 的坐标，再由1PQ b k a ⎛⎫⋅-=- ⎪⎝⎭，化简即可得到,a b 的关系，再由离心率公式，即可得到结果.【详解】联立22222222113x y a b x y a c ⎧-=⎪⎪⎨⎪+=+⎪⎩，取0,0x y >>，解得2333x a y b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即,33P a b ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，设点P 关于双曲线C 的渐近线by x a=-的对称点为Q ，则Q 恰好在y 轴负半轴上，且OQ OP ==0,Q ⎛ ⎝，由点P 与点Q 关于渐近线b y x a =-对称，所以直线PQ 的斜率为a b，233a b =，即3233b a b =，化简可得222a b =，所以2c e a ====.故答案为：2四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，4a =，8b =，角C 为锐角，已知ABC 的面积为.（1）求c ；（2）若CD 为AB 上的中线，求BDC ∠的余弦值.【答案】（1）c =（2）34.【解析】【分析】（1）由三角形的面积公式和余弦定理求解即可；（2）因为CD 为AB 上的中线，所以()12CD CA CB =+，对其两边同时平方可求出CD = ，再由余弦定理求解即可.【小问1详解】由ABC 的面积为可得：1sin 2ab C =因为4a =，8b =，解得：得sin 4C =，由角C 为锐角得3cos 4C =，故2222cos 32c a b ab C =+-=，解得c =【小问2详解】因为CD 为AB 上的中线，所以()12CD CA CB =+，所以()22212cos 4CD CA CB CA CB ACB =++⋅，()2212cos 4b a b a ACB =++⋅1364162483244⎛⎫=++⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭，解得：CD =.故22222222243cos 2422242BD DC a BDC BD DC +-+-∠===⋅⋅⋅.18.已知n S 为公差为2的等差数列{}n a 的前n 项和，若数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列.（1）求n a ；（2）求数列{}2n S 的前n 项和.【答案】（1）2n a n=（2）11410233n n +++-.【解析】【分析】（1）由等差中项的性质可得3212132S S S a a a ⋅=+，再由等差数列的通项公式和前n 项和公式代入化简可求得12a =，即可求出答案；（2）由（1）得2n S n n =+，则242n nnS =+，再由等比数列的前n 项和公式和分组求和法求解即可.【小问1详解】因为数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，所以3212132S S S a a a ⋅=+，因为n S 为公差为2的等差数列{}n a 的前n 项和，则111122362124a a a a ++⋅=+++，解得12a =.故()2212n a n n =+-=.【小问2详解】由（1）得()122n n n a a S n n +==+，故242n n nS =+，故数列{}2n S 的前n 项和为()()114142124102141233n nn n ++--=+=+---.19.已知直三棱柱111ABC A B C -，1122AB AC AA ===，AB AC ⊥，D ，E 分别为线段1CC ，1BB 上的点，1CD =.（1）证明：平面BDA ⊥平面1ECA ；（2）若点1B 到平面1ECA 的距离为47，求直线BD 与平面1ECA 所成的角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）1121.【解析】【分析】（1）建系，分别求出平面BDA 和平面1ECA 的法向量，利用两法向量垂直，两面垂直即可证明；（2）设出E 点坐标，由已知点面距离利用向量法解出点E 坐标，再代入线面角的向量公式求出即可.【小问1详解】证明：在直三棱柱中，AB AC ⊥，1AA ⊥平面ABC ，所以以A 为原点，AB ，AC ，1AA 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则点()10,0,4A ，()2,0,0B ，()12,0,4B ，()0,2,0C ，()0,2,1D ，则()2,2,1BD =- ，()2,0,0AB = ，()10,2,4A C =-，设BE t =，则()2,0,E t ，()2,2,EC t =--设平面BDA 和平面1ECA 的法向量分别为()()11112222,,,,,n x y z n x y z ==，则11111122020n BD x y z n AB x ⎧⋅=-++=⎪⎨⋅==⎪⎩，取11y =，则()10,1,2n =- ；22222122220240n EC x y mz n A C y z ⎧⋅=-+-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，取21z =，则24,2,12m n -⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，因为120n n ⋅=，所以平面BDA ⊥平面1ECA .【小问2详解】设点()2,0,E t ，由()10,2,4A C =- ，()12,0,4A E t =- 得平面1ECA 的法向量()4,4,2n t =-，由()112,0,0A B =得点1B 到平面1ECA 的距离1147A B n d n⋅===，解得83t =，由()2,2,1BD =- ，4,4,23n ⎛⎫= ⎪⎝⎭得，直线BD 与平面1ECA 所成的角的正弦值为11cos ,21BD n BD n BD n ⋅==⋅ .20.已知点1F ，2F 为椭圆C ：2212x y +=的左，右焦点，椭圆C 上的点P ，Q 满足12//F P F Q ，且P ，Q在x 轴上方，直线1FQ ，2F P 交于点G .已知直线1PF 的斜率为()0k k >.（1）当1k =时，求12PF QF +的值；（2）记1PFG ，2QF G △的面积分别为1S ，2S ，求12S S -的最大值.【答案】（1（2）2.【解析】【分析】（1）由椭圆的性质可得1211PF QF PF Q F =+'+，再利用弦长公式求解即可；（2）利用已知条件将12S S -表示出来，在利用基本不等式即可求解.【小问1详解】设直线1PF 与椭圆的另一个交点为Q '，由椭圆的对称性得Q ，Q '关于原点对称.设点()11,P x y ，()22,Q x y '.因为C ：2212x y +=中222,1,1a b c ====，所以()11,0F ，所以当1k =时，直线1PF 的方程为：1y x =+，联立直线1y x =+与椭圆22220x y +-=的方程得2340x x +=，所以12124,03x x x x +=-=，所以1243x x -==，所以12111212PF QF PF Q F x x +=+=-=-='【小问2详解】由题可设直线1PF 的方程为：1yx k=-，联立直线1y x k =-与椭圆22220x y +-=得：2212210y y k k ⎛⎫+--= ⎪⎝⎭，所以122221122ky y k k k+==++，1212121212F F P F F Q F F P F F Q S S S S S S '-=-=- ，()()1211221212111222122222F F y F F y y y y y kk=⋅-⋅-=⨯+=+=≤+，所以当12k k =即2k =时等号成立，12S S -取到最大值2.【点睛】思路点睛：本题考查直线与椭圆综合应用中的面积问题的求解，求解此类问题的基本思路如下：①假设直线方程，与椭圆方程联立，整理为关于y 的一元二次方程的形式,得到韦达定理；②表示出12S S -的面积，将韦达定理代入，再借助基本不等式即可求出面积的最大值.21.我国有天气谚语“八月十五云遮月，正月十五雪打灯”，说的是如果中秋节有降水，则来年的元宵节亦会有降水.某同学想验证该谚语的正确性，统计了40地5年共200组中秋节与来年元宵节的降水状况，整理如下：中秋天气元宵天气合计降水无降水降水194160无降水5090140合计69131200（1）依据0.05α=的独立性检验，能否认为元宵节的降水与前一年的中秋节降水有关？（2）从以上200组数据中随机选择2组，记随机事件A 为二组数据中中秋节的降水状况为一降水一无降水，记随机事件B 为二组数据中元宵节的降水状况为一降水一无降水，求()P B A .参考公式与数据：()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++.α0.10.050.010.0050.001x α2.7063.8416.6357.87910.828【答案】（1）无关（2）47105【解析】【分析】（1）计算2χ的值，与临界值比较得出结论；（2）利用条件概率公式求解.【小问1详解】零假设为0H ：元宵节的降水与中秋节的降水无关.()222200199041502003400.3 3.84169131601406913160140χ⨯⨯-⨯⨯==≈<⨯⨯⨯⨯⨯⨯，因为20.05x χ<，所以没有充分证据推断0H 不成立，故元宵节的降水与中秋节的降水无关.【小问2详解】中秋节的降水状况为一降水一无降水概率为()220014060C P A ⨯=，中秋节、元宵节的降水状况均为一降水一无降水概率为()220019904150C P AB ⨯+⨯=，故()()()47105P AB P B A P A ==.22.定义满足()()00f x f x '=的实数0x 为函数()y f x =的然点.已知()()ln e xf x x a -=+.（1）证明：对于a ∀∈R ，函数()y f x =必有然点；（2）设0x 为函数()y f x =的然点，判断函数()()()0g x f x f x =-的零点个数并证明.【答案】（1）证明见解析（2）2个零点，证明见解析【解析】【分析】（1）根据函数零点存在原理，结合导数的性质、题中定义进行运算证明即可；（2）根据（1）的结论，结合函数零点存在原理、结合放缩法进行求解即可.【小问1详解】()1ln e x f x x a x -⎛⎫'=-- ⎪⎝⎭，由()()f x f x '=得1ln 02x a x -+=.令()1ln 2h x x a x=-+，因为()h x 在()0,∞+上单调递增，故()h x 至多一个零点，又因为()1e02e aah --=-<，()2222221e 2102e a ah a a a a ++=++->++>，所以()220e ,ea ax -+∃∈使()00h x =，故对于a ∀∈R ，函数()y f x =有唯一然点0x .【小问2详解】由（I ）得001ln 2a x x =-，()1ln e xg x x a x -⎛⎫'=-- ⎪⎝⎭令()1ln G x x a x =--，因为()G x 在()0,∞+上单调递减，且()00102G x x =>，()2222221e 210eaa G a a a a ++=---<---<，故()220,e at x +∃∈使()0G t =，()g x 在(]0,t 上单调递增，在[),t +∞上单调递减.因为()00g x =，故()()00g t g x >=，将001ln 2a x x =-代入，得()00001e ln ln e 22x x g x x x x x --⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭()002000020010c 211ln 1e 2211e e e 22e x x x x x x g x x x --+-⎛⎫+++⎪-⎛⎫⎝⎭++=⋅-⋅ ⎪-⎝⎭()000020011e 221e 12e e 2x x x x x x -⎛⎫++ ⎪- ⎪<-⎛⎫ ⎪⋅+ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭()0000000e 2e 21e 02e e 222(e 2)x x x x x x x -⎛⎫+ ⎪- ⎪=-< ⎪⎛⎫⋅+ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，所以()g x 有2个零点.【点睛】关键点睛：根据题中定义，运用零点存在原理是解题的关键.。

高三上学期期末考试数学试卷-附答案解析

高三上学期期末考试数学试卷-附答案解析班级:___________姓名：___________考号：___________一、单选题 1．设全集{6}Ux N x =∈<∣，集合{1,2,3},{1,4}A B ==，则()UA B ⋃等于（）A ．{1,2,3,4}B ．{5}C ．{2,4}D ．{0,5}2．生物入侵指生物由原生存地入侵到另一个新的环境，从而对入侵地的生态系统造成危害的现象.若某入侵物种的个体平均繁殖数量为Q ，一年四季均可繁殖，繁殖间隔T 为相邻两代间繁殖所需的平均时间.在物种入侵初期，可用对数模型()ln K n n λ=来描述该物种累计繁殖数量n 与入侵时间K （单位：天）之间的对应关系，且1TQ λ=+，在物种入侵初期，基于现有数据得出9Q =和80T =.据此，累计繁殖数量比现有数据增加3倍所需要的时间约为（ln 20.69≈，ln3 1.10≈）（） A ．6.9天B ．11.0天C ．13.8天D ．22.0天3．“1a =-”是“直线1:430l ax y +-=与直线()2:320l x a y +-+=平行的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知符号函数1,0sgn 0,01,0x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，偶函数()f x 满足()()2f x f x +=，当[]0,1x ∈时()f x x =，则（）A ．()sgn 0f x >⎡⎤⎣⎦B ．202112f ⎛⎫= ⎪⎝⎭C ．()()sgn 211k f k +=⎡⎤⎣⎦∈ZD ．()()sgn sgn f k k k =∈⎡⎤⎣⎦Z5．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数()()20f x f x --+=，当(]0,1x ∈时()2log f x x =，则4039924f f ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（） A ．3- B ．1- C ．2 D ．36．已知函数()2log 2f x ax =-的图象关于直线x=2对称，则函数f （x ）图象的大致形状为（）A ．B ．C ．D ．7．已知函数()41xf x x=+，则不等式()3213f x -<+<的解集是（） A ．1,2B ．()2,1-C ．()(),12,-∞-+∞D ．()(),21,-∞-+∞8．下列关于命题的说法错误的是9．曲线(2)x y ax e =+在点(0,2)处的切线方程为2y x b =-+，则ab =（） A ．4-B ．8-C ．4D ．810．已知定义在R 上的偶函数()f x ，其导函数为()f x '，若()()20xf x f x '->，()21f -= 则不等式()214f x x <的解集是（） A ．()2,2- B ．()(),22,-∞-+∞C ．()()2,00,2-⋃D ．()(),00,2-∞11．关于函数()222e xx x f x +-=，有如下列结论：①函数()f x 有极小值也有最小值；②函数()f x 有且只有两个不同的零点；③当2262e e k -<<时()f x k =恰有三个实根；④若[]0,x t ∈时()2max 6ef x =，则t 的最小值为2．其中正确．．结论的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．412．已知函数221552sin ,544()5log (1),4x x f x x x π⎧-≤≤⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩＞，若存在实数满足1234()()()()f x f x f x f x m ====，则（）A ．01m ≤≤B ．1252x x += C ．34340x x x x --= D ．340x x >二、填空题13．命题“2230ax ax -->不成立”是真命题，则实数a 的取值范围是______．14．在△ABC 中，点O 是BC 的三等分点2OC OB =，过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于点E ，F ，且AB mAE =，AC nAF =(0m >，0n >)，若()210t t m n+>的最小值为3，则正数t 的值为___________.15．已知函数()322sin x x x f x =+-，则不等式()()2650f x f x -+≤的解集为___________.16．已知()3,0e 3,0x xx f x x x x ⎧≥⎪=⎨⎪-<⎩，若关于x 的方程()f x a =有3个不同实根，则实数a 取值范围为______．三、解答题 17．化简求值：（1）2302427216log log 839π-⎛⎫++- ⎪⎝⎭；（2）已知tan 2α，求2sin()sin 2cos()sin(3)ππααααπ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭-+-的值．18．已知定义域为R 的函数()122xx b f x a+-=+是奇函数．(1)求实数a 、b 的值；(2)判断函数()f x 在R 的单调性并给予证明； (3)求函数()f x 的值域．19．已知函数()1xf x e ax =--.(1)当1a =时求()f x 的单调区间与极值；(2)若()2f x x ≤在[)0,x ∈+∞上有解，求实数a 的取值范围.20．已知：函数()(1)ln()f x ax x ax =+-. （1）当1a =时讨论函数()f x 的单调性；（2）若()f x 在(0,)x ∈+∞上单调递增，求实数a 的取值范围.21．已知函数()316f x x x =+-．（1）求曲线()y f x =在点()2,6-处的切线方程；（2）直线l 为曲线()y f x =的切线，且经过原点，求直线l 的方程及切点坐标．22．已知函数()()2ln 2f x x ax a x =+++和a ∈R ．(1)当2a =-时讨论()f x 的单调性；(2)当a<0时若关于x 的不等式()21f x b a≤-+-恒成立，求实数b 的取值范围；(3)设*n ∈N 时证明：()1111ln 12ln 22341n n n ⎛⎫+≥++++- ⎪+⎝⎭．参考答案与解析1．【答案】D故选：D ． 2．【答案】C 【分析】根据1TQ λ=+，9Q =与80T =，求得λ，进而得到()ln K n n λ=求解. 【详解】因为1TQ λ=+，9Q =与80T =所以8091λ=+解得10λ=.设初始时间为1K ，初始累计繁殖数量为n ，累计繁殖数量增加3倍后的时间为2K 则()21442213.80K K ln n lnn ln ln λλλ-=-==≈天. 故选：C 3．【答案】A【分析】求出当12l l //时实数a 的值，再利用集合的包含关系判断可得出结论. 【详解】当12l l //时()34a a -=，即2340a a --=，解得1a =-或4.当1a =-时直线1l 的方程为430x y -+=，直线2l 的方程为420x y -+=，此时12l l //；当4a =时直线1l 的方程为304x y +-=，直线2l 的方程为20x y ++=，此时12l l //. 因为{}1-{}1,4-，因此，“1a =-”是“直线1:430l ax y +-=与直线()2:320l x a y +-+=平行”的充分不必要条件. 故选：A. 4．【答案】C【分析】利用特殊值法可判断AD 选项；利用函数的周期性以及题中定义可判断BC 选项. 【详解】对于A 选项 ()sgn 0sgn 00f ==⎡⎤⎣⎦，A 错；对于B 选项 202111110102222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，B 错；对于C 选项，对任意的Z k ∈，()()2111f k f +== 则()sgn 21sgn11f k +==⎡⎤⎣⎦，C 对；对于D 选项 ()()sgn 2sgn 0sgn 00f f ===⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，而sgn 21=，D 错. 故选：C. 5．【答案】D【分析】由函数()f x 是定义在R 上的奇函数，结合()()20f x f x --+=，可得函数的周期为4，然后利用周期和()()20f x f x --+=及奇函数的性质，分别对40399,24f f ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭化简，使其自变量在区间(]0,1上，然后代入解析式中求解即可【详解】解：因为函数()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()()0f x f x +-= 因为()()20f x f x --+=，所以()(2)f x f x -=+ 所以()(2)f x f x =-+，所以(2)(4)f x f x +=-+所以()(4)f x f x =+，所以()f x 的周期为4所以403911711201945043222222f f f f f f⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=⨯++==-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭911124444f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭因为当(]0,1x ∈时()2log f x x = 所以40399112424f f ff ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭2211log log 24=--22log 2log 43=+=故选：D 6．【答案】A【分析】根据函数图象的变换和()2log 2f x ax =-的图象关于2x =对称得到220a -=，即1a =，然后再根据对数函数的图象和图象的变换判断即可.【详解】因为()2log 2f x ax =-的图象关于2x =对称，所以220a -=，解得1a =，则()2log 2f x x =- 所以()f x 的图象可由函数2log y x =的图象沿y 轴翻折，再向右平移2个单位得到. 故选：A. 7．【答案】B【分析】先判断函数()f x 的奇偶性和单调性，再利用函数的单调性化简得3213x -<+<，解不等式即得解. 【详解】因为()()f x f x -=-，所以()f x 是奇函数当0x >时()44411x f x x x==-++是增函数，此时()0f x > 又(0)0f =所以()f x 在R 上是增函数．又因为()33f -=- ()33f = 所以()3213f x -<+<可化为()(3)21(3)f f x f -<+< 所以3213x -<+< 解得2<<1x -．故选：B 8．【答案】D【分析】利用原命题与逆否命题的关系可判断出A 选项的正误；根据充分必要性判断出B 选项的正误；利用特称命题的否定可判断出C 选项的正误；利用作商法和指数函数的单调性可判断出D 选项的正误. 【详解】对于A 选项，命题的逆否命题，只需把原命题的结论否定当条件，条件否定当结论即可，A 选项正确；对于B 选项，若函数()log a f x x =在区间()0,∞+上为增函数，则1a >，所以，“2a =”是“函数()log a f x x =在区间()0,∞+上为增函数”的充分不必要条件，B 选项正确；对于C 选项，特称命题的否定为全称，C 选项正确；对于D 选项，当0x <时由于函数32x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭为增函数，则03331222x x x ⎛⎫⎛⎫=<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 23x x ∴>，D 选项错误.故选D.【点睛】本题考查四种命题的关系、充分不必要条件的判断、特称命题的否定以及特称命题真假的判断，考查逻辑推理能力，属于中等题. 9．【答案】B【解析】求函数导数，利用切线斜率求出a ，根据切线过点(0,2)求出b 即可. 【详解】因为(2)x y ax e =+ 所以(2)x y e ax a '=++ 故0|22x k y a ='==+=- 解得4a =- 又切线过点(0,2)所以220b =-⨯+，解得2b = 所以8ab =- 故选：B【点睛】本题主要考查了导数的几何意义，切线方程，属于中档题. 10．【答案】C【解析】构造函数令2()()f x g x x =，依题意知()g x 为偶函数且在区间(0,)+∞单调递增；不等式2()1()(2)4f x g x g x <⇔<，利用单调性脱去“g ”即可求得不等式2()14f x x <的解集．【详解】解：令2()()f xg x x=，则243()2()()2()()x f x xf x xf x f x g x x x '-'-'==因为()2()0xf x f x '->所以，当0x >时()0g x '>，即()g x 在区间(0,)+∞单调递增；又()f x 是R 上的偶函数又()2f ()21f =-=；故()2g 2(2)124f == 于是，不等式2()14f x x <化为()()2g x g < 故||2x <解得22x -<<，又0x ≠ 故选：C ．【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查函数奇偶性，考查化归思想与运算能力，属于难题． 11．【答案】C【分析】求导后，根据()f x '正负可确定()f x 的单调性；根据()0f x >在()2,+∞上恒成立，结合极值和最值的定义可知①正确；利用零点存在定理可说明②正确；作出()f x 图象，将问题转化为()f x 与y k =的交点个数问题，采用数形结合的方式可确定③错误；根据图象和函数值域可确定④正确. 【详解】()()()2224e e x xx x x f x +--'==∴当()(),22,x ∈-∞-+∞时()0f x '<；当()2,2x ∈-时0fx ；f x 在(),2-∞-，()2,+∞上单调递减，在()2,2-上单调递增；对于①，()f x 在2x =-处取得极小值，极小值为()222e 0f -=-<当2x >时2220x x +->恒成立，()0f x ∴>在()2,+∞上恒成立()2f ∴-为()f x 的最小值，则()f x 既有极小值也有最小值，①正确；对于②()33e 0f -=> ()222e 0f -=-< ()110f =>ef x 在()3,2--和()2,1-上各有一个零点又当2x >时()0f x >恒成立，f x 有且只有两个不同的零点，②正确；对于③()262e f =，f x 图象如下图所示由图象可知：当22e 0k -<≤时()f x 与y k =有且仅有两个不同交点即当22e 0k -<≤时()f x k =有且仅有两个不等实根，③错误；对于④，若[]0,x t ∈时()2max 6e f x =，结合图象可知：2t ≥，即t 的最小值为2，④正确. 故选：C.【点睛】方法点睛：本题考查利用导数研究函数的相关性质的问题，其中考查了方程根的个数问题，解决此类问题的基本方法有：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根来确定根的个数；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 12．【答案】C【分析】根据题意分段函数的定义，逐个分析即可. 【详解】由15544x -≤≤得3π2ππ252x -≤≤ ()[]2π2sin 2,25f x x ∴=∈- 由54x >得114x ->()()20log 1f x x ∴=-≥对应函数图像如图所示若1234()()()()f x f x f x f x m ==== 则2m <，A 错；1x ，2x 关于54x =-对称 1252x x ∴+=-，B 错；由()()34221log lo 1g x x -=-()()23420log l 11og x x ∴-+-=()()342110log x x ∴--=⎡⎤⎣⎦，得()()34111x x --=即34340x x x x --=，C 对；由34340x x x x --=，得34111x x +=>(31x 41x ≠) 344x x ∴>，D 错.故选：C 13．【答案】【详解】2230ax ax --≤恒成立，当0a =时30-≤成立；当0a ≠时 20{4120a a a <∆=+≤得30a -≤< 30a ∴-≤≤ 14．【答案】3【分析】由平面向量基本定理可得2133AO mAE nAF =+，进而又由点E ，O ，F 三点共线，则21133m n +=，根据“1”的作用由基本不等式的性质，可解得t 的值．【详解】解：在ABC 中，点O 是BC 的三等分点 ||2||OC OB = ∴1121()3333AO AB BO AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+AB mAE = AC nAF = ∴2133AO mAE nAF =+ O ，E ，F 三点共线 ∴21133m n += ∴2222222112122222()()233333393333t t n mt t t t t m n m n m n m n +=++=+++++=++当且仅当2233n mt m n =，即2222m t n =时取等号，∴21t m n +的最小值为2233t +即22333t += 0t > 3t ∴=故答案为：3 15．【答案】[2,3]【分析】由奇偶性定义、导数判断()f x 的奇偶性及单调性，再应用奇函数、单调性求解不等式即可.【详解】由题设，()322sin ()f x x x f x x =-+=---且定义域为R ，故()f x 为奇函数又()()2321cos 0f x x x =+-≥'，()f x 在定义域上递增 ∴()()2650f x f x -+≤，可得()2(65)(56)f x f x f x ≤--=-∴256(2)(3)0x x x x -+=--≤，解得23x ≤≤ ∴原不等式解集为[2,3]. 故答案为：[2,3]. 16．【答案】10,e ⎛⎫⎪⎝⎭【分析】利用导函数研究出函数()y f x =的单调性，极值情况，画出函数图象，并将函数的根的问题转化为两函数交点个数问题，数形结合求出实数a 的取值范围. 【详解】当0x ≥时()e xx f x = ()1e x xf x -'=当[)0,1x ∈时()10e x xf x -'=>，当()1,x ∈+∞时()10e xx f x -'=< 故()f x 在[)0,1x ∈上单调递增，在()1,x ∈+∞上单调递减且()11e f =，当0x >时()ex xf x =恒为正当0x <时()33=-f x x x ()()()233311f x x x x '=-=+-当(),1x ∈-∞-时()2303'=-<f x x ，当()1,0x ∈-时()2303'=->f x x故()f x 在(),1x ∈-∞-上单调递减，在()1,0x ∈-上单调递增且()1312f -=-+=-画出()3,0e 3,0x xx f x x x x ⎧≥⎪=⎨⎪-<⎩的图象如下：要想关于x 的方程()f x a =有3个不同实根，则要函数()y f x =与y a =有3个不同的交点即可显然当10,e a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时符合要求.故答案为：10,e ⎛⎫⎪⎝⎭17．【答案】（1）49；（2）1-.【分析】(1)根据指数与对数的运算公式求解即可； (2)根据诱导公式，转化为其次问题进行求解即可.【详解】(1)原式2222241log log 333⎛⎫=++- ⎪⎝⎭2411log 92=++ 49=. (2)原式2sin cos cos sin αααα+=-2tan 11tan αα+=-1=-.18．【答案】(1)2,1a b == (2)单调递减，证明见详解 (3)11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】（1）利用()00f =，()()011f f +-=列方程求出a 、b 的值，然后验证函数()f x 为奇函数即可；（2）任取12x x >，然后通过计算()()12f x f x -的正负来判断证明单调性；（3）以120x +>为基础，利用不等式的性质计算121222x +-+的范围，即为函数()f x 的值域.【详解】（1）定义域为R 的函数()122xx b f x a +-=+是奇函数∴()00f = ()()011f f +-=即110222041b ab b a a --⎧=⎪⎪+⎨--⎪+=⎪++⎩，解得21a b =⎧⎨=⎩ 即()11222x x f x +-=+又()()111112121221022222222x x x x x x x x f x f x -+-+++----+-=+=+=++++ ()11222xx f x +-∴=+是奇函数2,1a b ∴==；（2）由（1）得()11122222122x x x f x ++-=+=-++，其为定义域在R 上的单调减函数任取12x x >()()()()()2112121112111122121222222222222x x x x x x f x f x ++++++⎛⎫⎛⎫∴-=---= ⎪ ⎪++++⎝+⎭-+⎝⎭ 12x x > 1211x x ∴+>+1211220x x ++∴>>()()120f x f x ∴-<，即()()12f x f x <∴函数()f x 是R 上单调递减函数；（3）120x +>1222x +∴+>1110222x +∴<<+120122x +∴<<+1121122222x +∴-<-<+即函数()f x 的值域为11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭19．【答案】(1)在(),0∞-上单调递减，在()0,∞+上单调递增，函数()f x 有极小值0，无极大值 (2)2a e ≥-【分析】（1）利用导数的正负判断函数的单调性，然后由极值的定义求解即可；（2）分0x =和0x >两种情况分析求解，当0x >时不等式变形为1()x e a x x x-+在[0x ∈，)∞+上有解，构造函数1()()x e g x x x x=-+，利用导数研究函数()g x 的单调性，求解()g x 的最小值，即可得到答案．(1)当1a =时()1x f x e x =--，所以()1xf x e '=-当0x <时()0f x '<；当0x >时0fx所以()f x 在(),0∞-上单调递减，在()0,∞+上单调递增所以当0x =时函数()f x 有极小值()00f =，无极大值.(2)因为()2f x x ≤在[)0,∞+上有解所以210x e x ax ---≤在[)0,∞+上有解当0x =时不等式成立，此时a R ∈ 当0x >时1x e a x x x ⎛⎫≥-+ ⎪⎝⎭在()0,∞+上有解令()1x e g x x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，则()()()()22221111xx x e x e x x g x x x x ⎡⎤--+-⎛⎫-⎣⎦'=-= ⎪⎝⎭由（1）知0x >时()()00f x f >=，即()10xe x -+>当01x <<时()0g x '<；当1x >时()0g x '> 所以()g x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增所以当1x =时()min 2g x e =-，所以2a e ≥- 综上可知，实数a 的取值范围是2a e ≥-.【点睛】利用导数研究不等式恒成立问题或有解问题的策略为：通常构造新函数或参变量分离，利用导数研究函数的单调性，求出最值从而求得参数的取值范围．20．【答案】（1）()0,∞+单调递增；（2）[]0,e .【解析】（1）由1a =得到()()1ln()f x x x x =+-，求导1ln 1()ln x x f x x x x+'=+=，再讨论其正负即可. （2）根据()f x 在(0,)x ∈+∞上单调递增，则1()ln 0f x a x x'=+≥，(0,)x ∈+∞恒成立，转化ln 10ax x +≥，(0,)x ∈+∞恒成立，令()ln 1h x ax x =+求其最小值即可.【详解】（1）当1a =时()()1ln()f x x x x =+- 所以1ln 1()ln x x f x x x x+'=+= 令()ln 1g x x x =+，则()1ln g x x '=+ 当10x e<<时()0g x '<，()g x 递减；当1x e>时()0g x '>，()g x 递增；所以()g x 取得最小值1110g e e ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭所以()0f x '>在()0,∞+上成立所以()f x 在()0,∞+上递增；（2）因为()f x 在(0,)x ∈+∞上单调递增所以1()ln 0f x a x x'=+≥，(0,)x ∈+∞恒成立即ln 10ax x +≥，(0,)x ∈+∞恒成立令()ln 1h x ax x =+，则()()1ln h x a x '=+ 当0a >时当10x e<<时()0h x '<，()h x 递减；当1x e>时()0h x '>，()h x 递增；所以()h x 取得最小值11a h e e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭所以10ae-≥ 0a e <≤当a<0时易知()ln 11ah x ax x e=+≤-，不成立当a=0时()10h x =>成立综上：0a e ≤≤所以实数a 的取值范围[]0,e .【点睛】方法点睛：1、利用导数研究函数的单调性，当f(x)不含参数时关键在于准确判定导数的符号；当f(x)含参数时需依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论．2、可导函数f(x)在指定的区间D 上单调递增(减)，求参数范围问题，转化为f ′(x)≥0(或f ′(x)≤0)恒成立问题，构建不等式求解，要注意“＝”是否取到．21．【答案】（1）1332y x =-；（2）直线l 的方程为13y x =，切点坐标为(226)--，．【分析】（1）求导，由导数在切点处的导数值可求切线斜率，根据点斜式即可求解；（2）设切点，求出切线方程，根据切线方程经过()00，，代入切线方程即可求解. 【详解】(1)∵()3222166f ＝＋－＝－ ∴点()26-，在曲线上． ∵()321631()f x x x x ''＝＋－＝＋ ∴在点()26-，处的切线的斜率为()2232113.k f '⨯＝＝＋＝ ∴切线的方程为)132(6)(y x ＝－＋－．即1332y x ＝－.(2)设切点为00()x y ，则直线l 的斜率为()2003 1f x x '＝＋∴直线l 的方程为：2300003116()()y x x x x x ＝＋－＋＋－.又∵直线l 过点(0,0)∴2300000 3 116()()x x x x ＝＋－＋＋－整理得308=-x∴3002221626()()x y ＝－，＝－＋－－＝－∴23()3211k ⨯＝－＋＝∴直线l 的方程为13y x ＝，切点坐标为(226)－，－． 22．【答案】(1)()f x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减(2)[)1,-+∞ (3)证明见解析【分析】（1）将2a =-代入()f x ，对其求导，利用导数与函数的单调性的关系即可得解；（2）先利用导数求得()f x 的最大值，再将问题转化为()max 21f x b a ≤-+-，从而得到11ln b a a⎛⎫≥-+ ⎪⎝⎭，构造函数()()ln 0g t t t t =->，求得()max g t 即可得解；（3）结合（2）中结论取特殊值得到2ln 21x x ≤-恒成立，进而得到()2ln 1ln ln 2n n n--≤-，利用累加法即可得证，注意1n =的验证.【详解】（1）当2a =-时()2ln 2f x x x =-，()0,x ∈+∞则()21144x f x x x x-'=-=．当10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时0fx；当1,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时()0f x '<所以()f x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减．（2）当a<0时()()()1121212a x x ax x a f x x x ⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪++⎝⎭⎝⎭'==．当10,x a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时0f x ；当1,x a ∈-+∞⎛⎫⎪⎝⎭时()0f x '<所以()f x 在10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，在1,a ∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭上单调递减．所以()max 111211ln ln 1a f x f a a a a a a+⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-+-=--- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．由不等式()21f x b a ≤-+-恒成立，得112ln 11b a aa ⎛⎫---≤-+- ⎪⎝⎭恒成立即11ln b a a⎛⎫≥-+ ⎪⎝⎭在a<0时恒成立令1t a =-，()()ln 0g t t t t =->则()111tg t t t-'=-=．当()0,1t ∈时()()0,g t g t '>单调递增；当()1,t ∈+∞时()()0,g t g t '<单调递减．所以()g t 的最大值为()11g =-所以1b ≥-，即实数b 的取值范围是[)1,-+∞．【点睛】结论点睛：恒成立问题：（1）()0f x >恒成立()min 0f x ⇔>；()0f x <恒成立()max 0f x ⇔<．（2）()f x a >恒成立()min f x a ⇔>；()f x a <恒成立()max f x a ⇔<．（3）()()f x g x >恒成立()()min 0f x g x ⇔->⎡⎤⎣⎦；()()f x g x <恒成立()()max 0f x g x ⇔-<⎡⎤⎣⎦；（4）1x M ∀∈，2x N ∀∈与()()()()1212min max f x g x f x g x >⇔>．。

2023届浙江省宁波市慈溪市高三上学期期末数学试题(解析版)

2023届浙江省宁波市慈溪市高三上学期期末数学试题一、单选题1．已知角α的终边经过点(-，则tan α=（）A ．B C ．D 【答案】A【分析】根据任意角的三角函数的定义求解即可.【详解】根据任意角的三角函数的定义，tan α==故选：A.2．已知抛物线22(0)y px p =>的焦点与双曲线2212y x -=的其中一个焦点相同，则p =（）A．1 B ．2 C D ．【答案】D【分析】根据给定条件，求出抛物线、双曲线的焦点坐标，即可计算作答.【详解】抛物线22(0)y px p =>的焦点(,0)2p ，双曲线2212y x -=的右焦点，依题意，2p=p =故选：D3．已知集合{}(){}2,R ,,1,,R A x y x x B x y y x x y ==∈==+∈，则（） A ．{1,2}A B = B ．{(1,2)}A B = C ．R A B == D ．A B ⋂=∅【答案】D【分析】判断集合,A B 的元素类型，根据集合交集运算的含义，可得答案.【详解】由题意可知集合{}2,R A x y x x ==∈为数集，集合(){},1,,R B x y y x x y ==+∈表示点集，二者元素类型不同，所以A B ⋂=∅，故选：D.4．若A ，B ，C ，D ，E 五人排队照相，则A ，B 两人不相邻的概率为（） A ．45B ．35C ．12D ．15【答案】B【分析】计算五人排队照相的全部排法：55120A =种，再计算A ，B 两人不相邻的排法，然后，两种排法相除，可得所求的概率.【详解】先排C 、D 、E ，有336A =种排法，再将A ，B 插入C 、D 、E 及其两侧空位，有2412A =种，故A ，B 不相邻有61272⨯=种，全部排法为55120A =种，故所求概率为7231205=. 故选：B.5．若二项式()(12)n x n *+∈N 的展开式中第6项与第7项的系数相等，则此展开式中二项式系数最大的项是（） A ．3448x B ．41120x C ．51792x D ．61792x【答案】B【分析】根据第6项与第7项的系数相等列出方程，求出8n =，进而得到二项式系数最大项为5T ，计算出答案.【详解】556667C (2),C (2)n n T x T x ==，所以6655C 2C 2n n ⋅=⋅，所以56C 2C n n =，即!2!(5)!5!6!(6)!n n n n ⋅=--，所以62(5)2168n n n =-⇒=⇒=，所以二项式系数最大项为44458C (2)1120T x x ==.故选：B.6．如图，是某种型号的家用燃气瓶，其盛气部分近似可以看作由一个半球和一个圆柱体组成，设球的半径为R ，圆柱体的高为h ，若要保持圆柱体的容积为定值3πV =立方米，则为使制造这种燃气瓶所用材料最省（温馨提示：即由半球和圆柱体组成的几何体表面积最小），此时Rh=（）A 2B ．12C ．13D ．14【答案】C【分析】根据题意，先求出表面积的表达式，利用3πV =为定值求出h 与R 的关系，再利用基本不等式求解即可. 【详解】依题意，22π3π,3R h R h ==，所以()2222ππ2ππ32S R R Rh R Rh =++=+22263333π3π33π322R R R R R R R R ⎛⎫⎛⎫=+=++≥⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当233R R=时取等，所以1,3R h ==，故13R h =.故选：C.7．在ABC 中，内角A ，B ，C 的对应边分别为a ，b ，c ，已知sin()sin 2A Cb B C a ++=，且ABC 的面积为23ABC 周长的最小值为（） A ．2B ．3C ．62D ．63+【答案】C【分析】首先利用正弦定理及诱导公式，二倍角公式对原式化简得1sin 22B =，即求出B 的大小，再利用三角形面积公式得8ac =，从而求出a c +的最小值，最后得到2()()24ABCC a c a c =++-利用函数单调性即可求出其最小值. 【详解】因为πsin sin2Bb A a -=，根据正弦定理及诱导公式得sin sin sin cos2B B A A ⋅=⋅， ()0,πA ∈，sin 0A ∴≠，sin cos2B B ∴=，即2sincos cos 222B B B =，()0,πB ∈，则π0,22B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则cos 02B≠解得1sin 22B =,所以ππ263B B =⇒=，所以13sin 232acS ac B === 所以8,242ac a c ac =+≥=，当且仅当22a c == 根据余弦定理得222cos b a c ac B +-22b a c ac +- 设ABC 的周长为C ，所以22()3()()24ABCCa c a c ac a c a c =+++-=+++-，设,42a c t t +=≥，则()224f t t t =+-，根据复合函数单调性及增函数加增函数为增函数的结论得：()f t 在)42,⎡+∞⎣上为单调增函数，故()()min 4262f t f ==，故()min62ABC C=，当且仅当22a b c ===时取等. 故选：C.8．若单位向量,a b 满足,120a b 〈〉=︒，向量c 满足()()a b c c -⊥-，则max ||a b c c ⋅+⋅=（）. A ．32B ．134+ C ．132+ D ．3【答案】C【分析】设出,,(,)a OA b OB c OC x y ====，由()()c a c b -⊥-得到C 在以AB 为直径的圆上，表达出13132222a cbc x x y x y ⋅+⋅=-+=+，设1333cos ,sin 4242x y θθ=+=+，利用辅助角公式得到a c b c ⋅+⋅的最值.【详解】令,,(,)a OA b OB c OC x y ====，不妨13(1,0),,22a b ⎛==- ⎝⎭，所以3,AB AB =中点坐标为134⎛ ⎝⎭，因为()()c a c b -⊥-，所以C 在以AB 为直径的圆上，即2213344x y ⎛⎛⎫-+= ⎪⎝⎭⎝⎭，所以131322a c b c x x y x y ⋅+⋅=-=+，令1333,4x y θθ=+=，则11113sin 22424a c b c x y θθθθ⎛⎫⎫⋅+⋅==+=+ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭111πcos 2223θθθ⎫⎛⎫==-∈⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦，因为[]1πc 1,os 3θ⎛⎫∈⎪⎭-- ⎝，所以1π223a c b c θ⎛⎫⋅+⋅=+-∈ ⎪⎝⎭⎣⎦，所以max1a c b c +⋅+⋅=故选：C.【点睛】平面向量解决几何最值问题，通常有两种思路：①形化，即用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或取值范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行求解；②数化，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域，不等式的解集，方程有解等问题，然后利用函数，不等式，方程的有关知识进行求解.二、多选题9．设,a β是两个不同的平面，m ，n 是两条不同的直线，（） A ．若,m n αα⊥⊥，则m n ∥B ．若,,,m n m n ααββ⊂⊂∥∥，则αβ∥C ．若,,m n αβαβ⊂⊥∥，则m n ⊥D ．若αβ⊥，m β⊥，m α⊄，则m α 【答案】ACD【分析】垂直于同一平面的两条直线平行，A 正确；当m n ∥时结论未必成立，B 错误；证明CD 正确，得到答案.【详解】对选项A ：垂直于同一平面的两条直线平行，正确；对选项B ：当m n ∥时结论未必成立，错误；对选项C ：,n αββ⊥∥，故n α⊥，又m α⊂，故m n ⊥，正确；对选项D ：αβ⊥，m β⊥，则m α或m α⊂，排除m α⊂，则m α，正确. 故选：ACD.10．已知0a b >>，则（）A．22<B ．log log a <C．33ab +> D．a b +>【答案】AD【分析】根据不等式性质及指数函数、幂函数单调性可判断A ；举反例可判断B ；利用基本不等式可判断C,D.【详解】根据幂函数1y 22xy =在定义域内均为单调增函数，0,22a b >><<A 正确；由0a b >>，取12,2a b ==，可得21211log log 22>=-，故B 错误；由0a b >>可得33a b +≥=33a b =即9a b =取等号，C 错误；由基本不等式可知a b +≥，当且仅当a b =取等号，但0a b >>，等号取不到，故D 正确，故选：AD.11．已知12,z z C ∈，且11210z z z +=，则（） A ．当121i,i(,)z z x y x y =-=+∈R 时，必有22(1)(1)10x y ++-= B ．复平面内复数1z的圆 C．1min i 1z -=D．21max1z z =+【答案】BD【分析】利用复数的模的定义以及其复数的几何意义，逐个选项进行计算，即可判断答案. 【详解】A 项：()()22121011100z z x y +=⇒++-=，故错误； B项：因为1z =C项：11||||1z i z i -≥-=，当1z 与i 对应向量同向时取等，故错误； D项：211z z =≤==+，当12z z +与1z 对应向量反向时取等，故正确. 故选：BD.12．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆221:14x C y +=，圆22213:72C x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，直线：:l y kx b =+（k ，b 为常数，且0k ≠）.点2P ⎭，（）A ．若点Q 在2C 上运动，则PQB ．若l 与12C C 、都相切，则这样的l 共有4240y +-=C ．若过P 点作1C 40+-=D ．若2,Z k b =∈，l 与12C C 、都相交且截得的弦长相等，则0b = 【答案】AC【分析】A 选项：圆2C 的半径r =PQ 的最大值为2PC r +，利用两点间距离公式求出答案；B 选项：画出图形，由1C 与2C 外离，得到公切线有4条，由点到直线距离得到2C 240y +-=外离，不相切，从而判断B ；C 选项：先得到点P 在1C 上，切线唯一，再考虑过P ⎭的直线斜率不存在和斜率存在两种情况，将直线与椭圆方程联立，结合根的判别式为0，求出斜率，得到切线方程；D 选项，利用弦长公式得到l 与1C 相交弦长，利用垂径定理得到l 与2C 的弦长，列出方程，得到0b ≠.【详解】A 选项，22213:72C x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭的圆心为130,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，半径r =点Q 在2C 上运动，PQ 的最大值为2PC r +，2PC ==所以max 22||PQ PC C Q =+=A 正确；B 项：1C 的上顶点与2C 的圆心距离为13111722-=>1C 与2C 外离，所以由图易知l 有4条，2C 3240x y +-=距离为777d ==> 2C 3240x y +-=外离，不相切，故B 错误；C 项：22,P ⎭满足221:14x C y +=，故点P 在1C 上，所以切线唯一，当过22,P ⎭的直线斜率不存在时，此时直线方程为2x 此时与221:14x C y +=不相切，舍去；设过22,2P ⎭的切线方程为(22y k x =，联立221:14x C y +=，得(221224x k x ⎡⎣+⎦=⎢，整理，得()()22221442828820k x k k x k k ++-+--=，由()()()22224224148820k k k k k ∆=--+--=，解得12k =-，故切线方程为(21222y x -=-2240x +-=，故C 正确； D 项：分别记l 与12,C C 交点为A ，B 和C ，D ，:l y kx b =+与221:14x C y +=，联立，得()222148440k x kbx b +++-=，设()()1122,,,A x y B x y ，则2121222844,1414kb b x x x x k k -+=-=++，则l 与1C 截得弦长为()222222221212228444141||14141414kb b k k b AB k x x x x k k k -+⋅+-⎛⎫=++-+--⋅ ⎪++⎝⎭l 为圆心2C距离为d =所以||CD ==，因为||||AB CD == 因为2k ==显然0b ≠，故D 错误. 故选：AC.【点睛】结论点睛：过圆()()222x a y b r -+-=上一点()00,x y 的切线方程为()()()()200x a x a y b y b r --+--=；过圆()()222x a y b r -+-=外一点()00,x y 的切点弦方程为()()()()200x a x a y b y b r --+--=；过椭圆22221x y a b+=上一点()00,P x y 的切线方程为00221x x y y a b +=；过双曲线22221x y a b-=上一点()00,P x y 的切线方程为00221x x y y a b -=.三、双空题13．在平面直角坐标系中，已知(2,0),(2,0),(0,1)A B C -三点，请写出2个函数关系式或曲线的方程，使函数图象或方程的曲线经过A ，B ，C 三点：______，______.【答案】 ||12x y =-（答案不唯一，符合题意即可） 214x y =-（答案不唯一，符合题意即可）【分析】根据题意设解析式，代入运算求解.【详解】∵(2,0),(2,0)A B -关于y 轴对称，且(0,1)C 在y 轴上，可设y k x m =+，则可得201k m m +=⎧⎨=⎩，解得112m k =⎧⎪⎨=-⎪⎩，故||12x y =-；可设2y ax bx c =++，则可得4204201a b c a b c c ++=⎧⎪-+=⎨⎪=⎩，解得1401a b c ⎧=-⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩，故214x y =-.故答案为：||12x y =-；214x y =-.四、填空题14．已知变量x 和y 的统计数据如下表：如果由表中数据可得经验回归直线方程为ˆˆ0.85yx a =+，那么，当10x =时，残差为______.（注：残差=观测值-预测值）【答案】0.3##310【分析】先求出回归方程，再根据回归方程求出预测值，最后计算残差即可. 【详解】678910 3.545 5.578,555x y ++++++++====，所以0.8550.85818ˆ.ay x =-=-⨯=-，所以10x =时，50.8510 1.88.5 1.8 6.7y =⨯-=-=，所以残差为7 6.70.3-=. 故答案为：0.3.15．若正数,,αβγ满足αβγπ++=，且sin sin 2022sin αγβ+=，则22cos sin cos sin 22sin()αγγααγ++的值为______. 【答案】20232##1011.5 【分析】利用和差化积公式和诱导公式化简sin sin 2022sin αγβ+=，得出2021tantan222023αγ=，再利用倍角公式与和差公式化简22cos sin cos sin 22sin()αγγααγ++，再利用弦切互化即可求解. 【详解】依题意，因为sin sin 2022sin 2022sin()αγβαγ+==+ 所以2sincos20222sincos2222αγαγαγαγ+-++⋅=⋅⋅又因为αβγπ++=，所以sin02αγ+≠，所以cos 2022cos22αγαγ-+=⋅，所以coscos sin sin 2022cos cos 2022sin sin 22222222αγαγαγαγ+=- 20212023sinsin2021coscostantan2222222023αγαγαγ⇒=⇒=，所以222coscos cos sin cos sin cos sin cos sin 22222222sin()sin()αγαγγααγγααγαγ⎛⎫++ ⎪⎝⎭=++coscos11202322202121tan tan 1cos 2220232αγαγαγ====+⎛⎫-- ⎪⎝⎭.故答案为：20232. 16．已知数列{}n a 满足：11111,ln 1n n n a a a a ++=-=+，若()1142n n n n k a a a a n *++≤-+∈N 恒成立，则实数k 的取值范围是______. 【答案】(],0-∞【分析】根据数列{}n a 的递推公式利用数学归纳法即可证明{}n a 单调递减且01n a <≤，构造函数2()2(2)ln(1)f x x x x x =-+++可得()1n k f a +≤，判断出函数单调性根据恒成立问题即可求出k 的取值范围.【详解】由11111,ln1n n n a a a a ++=-=+，可得122ln(1)a a a =-+，即22ln(1)1a a ++=，因为()ln(1)F x x x =++在()1,x ∈-+∞上为单调递增，且(0)0,(1)1ln 2F F ==+，而222()ln(1)1F a a a =++=，即2(0)()(1)F F a F <<，可得2110a a =<<，可猜想数列{}n a 单调递减且01n a <≤，下面由数学归纳法证明：当1n =时，122ln(1)a a a =-+，即22ln(1)1a a ++=，满足2110a a =<<，当n k =时，假设101k k a a +<<≤成立，当1n k =+时，()122ln 1k k k a a a +++=-+，即()()212ln 0,11k k k a a a +++++∈=，即()22()0,1,(0)()(1)k k F a F F a F ++∈∴<<，可得201k a +<<，又因为()()12211ln 11n 0l k k k k k a a a a a +++++--=++=<，即21k k a a ++<，所以2110k k a a ++<<<成立，即数列{}n a 单调递减且01n a <≤成立，由单调有界收敛定理可知{}n a 收敛，设lim n n a a →+∞=，所以()11lim lim ln 1n n n n n a a a ++→+∞→+∞=-+⎡⎤⎣⎦，所以ln(1)a a a =-+，所以0a =，即{}n a 递减且趋于0，令2()2(2)ln(1)f x x x x x =-+++，则()1n k f a +≤恒成立，1()21ln(1)1f x x x x '=-++++，令1()()21ln(1)1g x f x x x x '==-++++，则222(1)()0(1)x xg x x ++'=>+在()0,1恒成立，所以()(0)0f x f ''>=在()0,1恒成立，所以()f x 在()0,1单调递增，所以由()1n k f a +≤恒成立可知()1lim n x k f a +→+∞≤，即(0)0k f ≤=，所以(,0]k ∈-∞. 故答案为：(],0-∞.【点睛】关键点点睛：根据数列{}n a 的递推公式确定01n a <≤，再通过构造函数将问题转化成不等式恒成立问题，利用导数判断函数单调性即可求解.五、解答题17．甲、乙两位棋手，与同一台智能机器人进行国际象棋比赛，相互独立，互不影响，记分规则如下：在一轮比赛中，如果甲赢而乙输，则甲得1分；如果甲输而乙赢，则甲得1-分；如果甲和乙同时赢或同时输，则甲得0分.设甲赢机器人的概率为0.6，乙赢机器人的概率0.5.记甲在一轮比赛中的得分记为X ，在两轮比赛中的得分为Y .(1)若甲单独与机器人进行三次比赛，求甲恰有两次赢的概率； (2)求X 的分布列； (3)求Y 的均值. 【答案】(1)0.432 (2)分布列见解析 (3)()0.2E Y =【分析】（1）利用独立重复试验求概率公式进行求解；（2）写出X 的可能取值及相应的概率，得到分布列；（3）在第二问的基础上，写出Y 的可能取值及相应的概率，得到分布列，得到均值. 【详解】（1）设甲恰有两次赢的概率为1P ，2213C (0.6)(10.6)0.432P -=⨯=；（2）X 的可能取值为1-，0，1.根据记分规则，得()(1)10.60.50.2P X =-=-⨯=，()()(0)0.610.510.60.50.5P X ==⨯-+-⨯=， ()(1)0.610.50.3R X ==⨯-=，所以X 的分布列为（3）两轮比赛甲的得分Y 的可能取值为2,1,0,1,2--. 由于两轮比赛的结果是独立的，所以(2)0.20.20.04,(1)0.20.50.50.20.2P Y P Y =-=⨯==-=⨯+⨯=， (0)20.20.30.50.50.37,(1)20.30.50.3P Y P Y ==⨯⨯+⨯===⨯⨯=，(2)0.30.30.09P Y ==⨯=，所以Y 的分布列为故()(2)0.04(1)0.200.3710.320.090.2E Y =-⨯+-⨯+⨯+⨯+⨯=.18．在菱形ABCD 中，G 是对角线BD 上异于端点的一动点（如图1），现将ABD △沿BD 向上翻折，得三棱锥A BCD -（如图2）.(1)在三棱锥A BCD -中，证明：DG AC ⊥； (2)若菱形ABCD 的边长为23，π3ABC ∠=，且2BG GD =，在三棱锥A BCD -中，当3AC =时，求直线AG 与平面ACD 所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2)1313【分析】（1）证明DG ⊥平面AOC ，根据线面垂直的性质定理即可证明结论；（2）由题意求得相关线段的长，证明AH ⊥平面COD ，建立空间直角坐标系，求得相关点坐标，求出平面ACD 的法向量，利用空间角的向量求法，即可求得答案. 【详解】（1）在图1中，连接AC 交BD 于O ，连接,AG CG ，由菱形的性质得,DG AO DG CO ⊥⊥，在图2中，因为,CO AO ⊂平面AOC 且AO CO O =，,DG AO DG CO ⊥⊥,所以由直线与平面垂直的判定定理得DG ⊥平面AOC ，因为AC ⊂平面AOC ，所以DG AC ⊥.（2）由DG ⊥平面,AOC DG ⊂平面COD ，得平面COD ⊥平面AOC ，菱形ABCD 的边长为3π3ABC ∠=，2BG GD =，则26,2BD BO GD ===,则三棱锥A BCD -中，3CO AO ==3AC =，解AOC 得2223391cos 22233AO CO AC AOC AO CO +-+-∠===-⋅⨯⨯，故120AOC ∠=︒，作AH CO ⊥，交CO 延长线于H ，得32AH =，由于平面COD ⊥平面AOC ，平面COD 平面AOC CO =，AH ⊂平面AOC , 所以AH ⊥平面COD ，如图，以O 为原点，,OC OD 分别为,x y 轴，过O 作AH 的平行线作为z 轴，建立空间直角坐标系，如图，所以33,(3,0,0),(0,3,0),(0,1,0)2A C D G ⎛⎫⎪⎝⎭， 3333333,0,,,3,,,1,222222AC AD AG ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，设平面ACD 的法向量为(,,)n x y z =，则333022333022n AC z n AD x y z ⎧⋅=-=⎪⎪⎨⎪⋅=+-=⎪⎩，取3x =1,3y z ==，可得平面ACD 的法向量(3,1,3)n =，设直线AG 与平面ACD 所成角为θ，π[0,]2θ∈，所以|213sin |cos ,|||||132|n AG n AG n AG θ⋅=〈〉===⋅⨯另解提示：根据上述解法求出32AH =，由2,23CG DG AG CD ====3CDG S △ 由3,3CD AD AC ===，可得339ACD S =△，设点G 到平面ACD 的距离为d ，直线AG 与平面ACD 所成角为θ，因为A CDG G ACD V V --=即1133CDG ACD AH S d S ⋅⋅=⋅⋅△△，可得21313d =，所以13sin 13d AG θ==. 19．如图，ABCD 是一个边长为8m 的有部分腐蚀的正方形铁皮，其中腐蚀部分是一个半径为6m 的扇形AMN ，其他部分完好可利用.铁匠师傅想在未被腐蚀部分截下一个长方形铁皮PRCQ （P 是圆弧上的一点），以用于制作其他物品.(1)当长方形铁皮PRCQ 为正方形时，求此时它的面积； (2)求长方形铁皮PRCQ 的面积S 的最大值.【答案】(1))282482cm -(2)()216cm【分析】（1）连接AP ，设π02PAD θθ⎛⎫∠=≤≤ ⎪⎝⎭，延长QP 交AD 于E ，当长方形铁皮PRCQ 为正方形时，π4θ=，可得32RD =（2）由（1）设，得sin 6sin ,cos 6cos PE PA AE PA θθθθ====，表示出()6448sin cos 36sin cos S θθθθ=-++，令sin cos t θθ=+，通过换元法求解即可. 【详解】（1）连接AP ，设π02PAD θθ⎛⎫∠=≤≤ ⎪⎝⎭，延长QP 交AD 于E ，当长方形铁皮PRCQ 为正方形时，显然π4θ=，此时πsin 324RD PE PA ===所以)222(832)82482cm S CR ==-=-；（2）由（1）设，得sin 6sin ,cos 6cos PE PA AE PA θθθθ====所以()()()86cos 86sin 6448sin cos 36sin cos S PR PQ θθθθθθ=⋅=--=-++，其中，π02θ≤≤，令sin cos t θθ=+，则21sin cos 2t θθ-=，所以()226448181184846S t t t t =-+-=-+，因为π02θ≤≤，所以π2sin [1,2]4t θ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭，所以241814,[1,2]3S t t ⎛⎫=-+∈ ⎪⎝⎭，所以当1t =时，得()2max 16cm S =，即长方形铁皮PRCQ 的面积S 的最大值为()216cm .20．已知数列{}{}{},,n n n a b c 满足1111a b c ===，且12n n n nc b c b ++=. (1)若{}n a 是等比数列，且12,3n n n a a c b +=+=，求2023b 的值，并写出数列{}n b 的通项公式； (2)若{}n b 是等差数列，公差0d >，且1n n n b a a +=-，求证：3123321111,N 3n a n c c c c a *-++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+<∈-. 【答案】(1)101120232b =，12222,,32,.n n n n b n --⎧⎪=⎨⎪⋅⎩为奇数为偶数 (2)证明见解析【分析】（1）根据等比数列的定义，对n 分奇数偶数两种情况讨论即可求解；（2）由累乘法求出2211111(2)n n n n n b b n c b b d b b ++⎛⎫==-≥ ⎪⎝⎭，由裂项相消法可求得123111111n c c c c d++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+<+，再利用1n n n b a a +=-求出312a d -=+即可证明. 【详解】（1）依题意，因为211a a c =+，所以22a =，公比212a q a ==，所以12n n a -=，所以12112,2n n n n n n n nb c c a a b c -+++=-===，所以{}n b 的奇数项和偶数项分别是公比为2的等比数列，得101120232b =，故()1*12,21N 32,2k n k n k b k n k --⎧=-=∈⎨⋅=⎩，亦即12222,,32,.n n n n b n --⎧⎪=⎨⎪⋅⎩为奇数为偶数. （2）由12n n n n c b c b ++=，得2334451112233112,,,,n n nc b c b c b c b b c b c b c b c b b +===⋅⋅⋅⋅⋅⋅=，由叠乘得1112n n nc b b c b b +=，所以12n n n b b c b +=，得2211111(2)n n n n n b b n c b b d b b ++⎛⎫==-≥ ⎪⎝⎭，因为110,0,0n b d b +>>>，所以 21232334111*********n n n b c c c c db b b b b b +⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+=+-+-+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 2221111111111n n b b d b b d b d++⎛⎫⎛⎫=+-=+-<+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为121232,b a a b a a =-=-，所以1231b b a a +=-即312a d -=+，得3331121133a d a a -+=+=--，故31233111123n a c c c c a -++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+<-. 21．法国数学家加斯帕尔·蒙日被誉为画法几何之父.他在研究椭圆切线问题时发现了一个有趣的重要结论：一椭圆的任两条互相垂直的切线交点的轨迹是一个圆，尊称为蒙日圆，且蒙日圆的圆心是该椭圆的中心，半径为该椭圆的长半轴与短半轴平方和的算术平方根.已知在椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>中，离心率12e =，左、右焦点分别是1F 、2F ，上顶点为Q ，且22QF =，O为坐标原点.(1)求椭圆C 的方程，并请直接写出椭圆C 的蒙日圆的方程；(2)设P 是椭圆C 外一动点（不在坐标轴上），过P 作椭圆C 的两条切线，过P 作x 轴的垂线，垂足H ，若两切线斜率都存在且斜率之积为12-，求POH △面积的最大值.【答案】(1)椭圆C 的方程为22143x y +=，蒙日圆的方程为227x y +=【分析】（1）根据椭圆离心率结合题设求得,,a b c ，即得椭圆方程，进而写出蒙日圆的方程；（2）设00(,)P x y ，设过点P 的切线方程为()00y y k x x -=-，联立椭圆方程结合判别式确定点00(,)P x y的轨迹方程，进而利用基本不等式求得00x y ⋅≤，即可求得答案. 【详解】（1）设椭圆方程为22221,(0)x y a b a b+=>>，焦距为2c .由题意可知21,22c e QF a a ====，所以1,c b ==C 的方程为22143x y +=，且蒙日圆的方程为227x y +=；（2）设00(,)P x y ，设过点P 的切线方程为()00y y k x x -=-，由()00223412y y k x x x y ⎧-=-⎨+=⎩，消去y 得()()22222200000034422484120k x ky k x x k x kx y y ++-+-+-=①，由于相切，所以方程①的Δ0=，可得：22222200000016(22)4(34)(48412)0ky k x k k x k y y --+-+-=，整理成关于k 的方程可得：()()22200004230x k x y k y -++-=，由于P 在椭圆22143x y +=外，故22003412x y +>，故()2200034124x y '-=+∆>，设过点P 的两切线斜率为12,k k ，据题意得，00122024x y k k x +=--，2122034y k k x -⋅=-，又因为1212k k ⋅=-，所以可得20203142y x -=--，即点00(,)P x y的轨迹方程为：()220000012,0105x y x x x +=≠±≠≠，由不等式可知：2200001105x y y =+≥=⋅，即00x y ⋅≤，当且仅当2200105x y =时取等号，此时00x y ==所以0012POH S x y =⋅≤△POH 【点睛】关键点点睛：求解POH △面积的最大值时，设出过点P 的切线方程并联立椭圆方程，利用判别式为0结合根与系数的关系求得点P 的轨迹方程后，关键要利用基本不等式求出00x y ⋅≤，即可求解.22．已知函数1()ln ,0f x x k x k x ⎛⎫=--> ⎪⎝⎭.(1)当3k =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； (2)若对()()0,1,0x f x ∀∈<恒成立，求k 的取值范围； (3)求证：对(0,1)x ∀∈，不等式22e 11ln x x x x x-<+恒成立. 【答案】(1)10x y +-= (2)(0,2] (3)证明见解析【分析】(1)对函数求导，利用导数的几何意义即可求解；(2)根据题意将不等式进行等价转化为求函数()f x 在(0,1)的最小值问题，利用导数求解即可；(3)结合（2）的结论，构造函数2e ()(01)1xm x x x =<<+，利用导数即可求解.【详解】（1）因22211331()3ln ,(1)0,()1x x f x x x f f x x x x x -+⎛⎫=--==+-=⎝' ⎪⎭，所以(1)1f '=-，所以所求切线方程为()()()111y f f x '-=-，即10x y +-=；（2）因为1()ln 0f x x k x x ⎛⎫=--< ⎪⎝⎭在(0,1)上恒成立，而22211()1k x kx f x x x x '-+=+-=，令'()0f x =得210x kx -+= 所以24,0k k ∆=->①当2Δ40k =-≤，即02k <≤时，()0f x '≥，所以()f x 在(0,1)上单调递增，则()(1)0f x f <=，满足题意； ②当2Δ40k =->，即2k >时，设2()1,01x x kx x ϕ=-+<<，则()ϕx 的对称轴为1,(0)1,(1)202kx k ϕϕ=>==-<，第 21 页共 21 页所以()ϕx 在(0,1)上存在唯一零点1x ，当()1,1x x ∈时，()0,()0x f x ϕ'<<，所以()f x 在()1,1x 上单调递减，故()(1)0f x f >=，不合题意. 综上，k 的取值范围为(0,2]；（3）由（2），当2k =时，12ln 0x x x --<在(0,1)恒成立，即212ln x x x->，令2e ()(01)1xm x x x =<<+，则()222e (1)()01x x m x x -'=>+，故()m x 在(0,1)上单调递增，所以e ()(1)22m x m <=<，即2e 21xx <+在(0,1)上恒成立. 综上可得，对(0,1)x ∀∈，不等式22e 11ln x x x x x-<+恒成立. 【点睛】关键点点睛：第三问解题关键是在（2）中令2k =得到212ln x x x->，将所证明的不等式转化为证明2e 21xx <+在(0,1)上恒成立即可.。

广东省揭阳市普通高中2023届高三上学期期末数学试题(解析版)

故选：C.
8.如图，四边形ABCD是边长为的正方形，P是圆弧上的动点，且，Q是线段BC上的动点.当点P固定时，点Q将运动到使取到最小值时的位置；当点Q固定时，点P将运动到使取到最大值时的位置.当某一时刻，点P，Q都不再运动，且满足上述条件时，则（）
A. B. C.2D.不存在
【答案】A
9.在正方体中，下列结论正确的是（）
A. 平面 B. 平面
C.点D到平面的距离为 D. 与平面所成角的正弦值为
【答案】ABC
【解析】
【分析】构建空间直角坐标系，用向量法根据线面平行的判定定理和线面垂直的判定定理判断A、B正确，根据空间向量法求取面的法向量，求得点D到平面的距离为，故C正确，求得与平面所成角的正弦值为，选项D错误.
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由，得，取可判断A，C；根据函数在R上单调递减，可判断B；根据幂函数在R上单调递增可判断D.
【详解】由，得，取，则，选项A不正确；
因为，由于函数在R上单调递减，故，选项B不正确；
因为，取，，选项C不正确；
由于幂函数在R上单调递增，故选项D正确.
连接交于，
因为四边形ABCD是边长为的正方形，
所以，为的中点，
又因，为的中点，
所以，，
所以，
因为为的中点，
所以，
所以 .
故选：A.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
【详解】解：设该圆锥内切球的半径为，则，所以 .

2023届河南省驻马店市高三上学期期末统一考试数学(理)试题(解析版)

2023届河南省驻马店市高三上学期期末统一考试数学（理）试题一、单选题1．设集合{}{}22|120,Z |450A x x x B x x x =--<=∈+-<，则A B =（）A ．{}|31x x -<<B ．{}|13x x -<<C ．{}2,1,0--D ．{}0,1,2【答案】C【分析】由题知{}|34A x x =-<<，{}4,3,2,1,0B =----，再求交集即可.【详解】解：{}()(){}{}2|120|430|34A x x x x x x x x =--<=-+<=-<<，{}()(){}{}2Z |450Z |5104,3,2,1,0B x x x x x x =∈+-<=∈+-<=----，所以，{2,1,0}A B =-- 故选：C2．已知a ，b 为实数，复数2i z a =+，若2i z ba z+=，则||a b -=（） A ．2- B ．1-C ．1D ．2【答案】A【分析】由已知利用复数相等列出方程组，求出||,||a b 即可得答案. 【详解】因为2i z a =+，所以2i z a =-，则2i2i 2i z b a b a a z+++==-，即22i 2i(2i)42i a b a a a a ++=-=+，从而2422a a ba =+⎧⎨=⎩，即231b a a =⎧⎨=⎩，解得||1,||3==a b ，故|||| 2.a b -=-故选：A.3．已知函数()22123x f x x +=--，则()3f =（）A ．4-B ．2-C ．2D ．4【答案】B【分析】整体代换，令213x +=求得x 后代入已知式可求值．【详解】令213x +=，得1x =，则(3)f 2132=--=- 故选：B ．4．蒙古包是蒙古族牧民居住的一种房子，建设和搬迁很方便，适用于牧业生产和游牧生活.小明对蒙古包非常感兴趣，于是做了一个蒙古包的模型，其三视图如图所示，现在他需要买一些油毡纸铺上去（底面不铺），则至少要买油毡纸（）A ．0.99π2mB ．0.9π2mC ．0.66π2mD ．0.81π2m【答案】D【分析】根据题意可知：该蒙古包的模型是一个圆锥与圆柱的组合体.要求该几何体的表面积（除去底面面积），利用圆锥和圆柱的侧面积公式即可求解.【详解】由题三视图可知该蒙古包的模型是一个圆锥与圆柱的组合体. 其中圆锥的母线长为220.3(1.5 1.1)0.5m l +-，则圆锥的侧面积2110.52π0.3=0.15πm 2S =⨯⨯⨯，圆柱的侧面积22 1.12π0.3=0.66πm S =⨯⨯，故总面积为2120.15π0.66π0.81πm S S S =+=+=，所以至少要买油毡纸20.81πm ，故选：D .5．在正项等比数列{n a }中，若3a ，7a 是关于x 的方程240x mx -+=的两实根，则21222329log log log log a a a a ++++=（）A ．8B ．9C ．16D ．18【答案】B【分析】由韦达定理可得374a a =，由等比数列性质可得912392a a a a =，由对数运算性质可得答案.【详解】由韦达定理可得374a a =，由等比数列性质可得254a =，则52a =，由等比数列性质可知31922874654a a a a a a a a a =====，则912392a a a a =，故212223292192392log log log log log ()log 92a a a a a a a a ++++===.故选：B.6．如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PCD ⊥平面ABCD ，CD ⊥平面 PAD ．6AB =，60BAD ∠=︒，224PC AD PD BC ====，则异面直线PA 与BC 所成角的余弦值为（）A ．155B ．105C ．255D ．55【答案】D【分析】根据线面垂直以及面面垂直可建立空间直角坐标系，利用空间向量的夹角即可求解. 【详解】由CD ⊥平面PAD ，,PD AD ⊂平面PAD ，故CD AD ⊥，CD PD ⊥,又平面PCD ⊥平面ABCD ，其交线为CD , AD ⊂平面ABCD ，因此AD ⊥平面PCD ,PD ⊂平面PCD ,故AD PD ⊥,故DA DC DP 、，两两垂直，则以D 为原点，.DA DC DP ⋅的方向分别为x y z ，，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，400002A P ，，,，，13300230B ,,,C ,,,则(4,0,2),(1,3,0).PA BC =-=--.设异面直线PA 与BC 所成的角为θ，则||45cos |cos ,|.5||||252PA BC PA BC PA BC θ⋅=<>===⨯故选：D7．为了让学生了解环保知识，增强环保意识，某班举行了一次环保知识有奖竞答活动，有20名学生参加活动.已知这20名学生得分的平均数为m ，方差为n .若将m 当成一个学生的分数与原来的20名学生的分数一起，算出这21个分数的平均数为m '，方差为n '，则（） A ．2021m m '=，2120n n '= B ．m m '=，2021n n '= C ．2021m m '=，2021n n '= D ．m m '=，2120n n '=【答案】B【分析】设这20名学生得分分别是1x 、2x 、3x 、、20x ，利用平均数和方差公式可得合适的选项. 【详解】设这20名学生得分分别是1x 、2x 、3x 、、20x ，则122020m x x x =+++，12202121m x x x m m =++++='，故m m '=，因为()()()()22221232020n x m x m x m x m =-+-+-++-，()()()()()222221232021n x m x m x m x m m m ''=-+-+-++-+-，因为m m '=，故2021n n '=. 故选：B.8．在三棱柱111ABC A B C 中，ABC 是等边三角形，12AA AB =，在该三棱柱的外接球内随机取一点P ，则点P 在三棱柱111ABC A B C 内的概率为（） A ．2732B ．2732πC ．2764D ．2764π【答案】D【分析】利用几何概型，设三棱柱的外接球体积为V ，可知P 在三棱柱111ABC A B C 内的概率111ABC A B CV P V-=.【详解】设等边三角形ABC 边长为2a ，124AA AB a ==，()222a ⋅=，则111234ABC A B C V a -=⋅=.如图，因ABC 是等边三角形，则三角形外心O ，也为三角形重心，由重心性质可得：13OD AD a ==.则三角形外接圆半径r OC a ====如图，又设三棱柱的外接球圆心为1O ，则1O 为2OO 中点，则外接球半径222224434233O O a R r a a ⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭.设外接球体积为V ，则3334443256333327πππV R a a ⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭.由几何概型，则P 在三棱柱111ABC A B C 内的概率11133432764256327ππABC A B CV a P Va -===.故选：D.9．设0.7 1.2 1.42e e e 1a b c ===-，，，则（） A ．a b c << B ．b<c<a C ．b a c << D ．c b a <<【答案】D【分析】根据不等式的性质可得0.70.7 1.22e e e e >=，令()x f x e =可得曲线()y f x =在 1.4x =处的切线方程为 1.4 1.4e ( 1.4)e y x =-+.根据指数函数的图象可得： 1.4(0.4)(0)e e x x x -≥>，进而得到 1.2 1.4e 0.8e >，然后再利用不等式的性质即可求解.【详解】因为0.70.7 1.22e e e e >=，所以a b >.令()x f x e =，则曲线()y f x =在 1.4x =处的切线方程为1.4 1.4e ( 1.4)e y x =-+.易证 1.4 1.4 1.4(0.4)(0)e e ( 1.4)e e x x x x ≥-+=->，当且仅当 1.4x =时，等号成立，故 1.2 1.4e 0.8e >，即 1.2 1.4 1.4e 1e 10.2e .+->-因为32e 5<，所以 1.5e 5<，所以 1.4e 5<，则 1.410.2e 0->，即 1.2 1.4e 1e 0+->，从而b c >．故c b a <<. 故选：D .10．已知函数()sin 2cos2(0f x x a x ωωω=+>）在π12x =处取得最大值，且()f x 图象的两条相邻的对称轴之间的距离小于π2，若π6f ⎛⎫= ⎪⎝⎭ω的取值可能是（） A ．2 B ．3C ．5D ．7【答案】C【分析】由两条相邻的对称轴之间的距离小于π2得1ω>，利用辅助角公式（引入辅助角ϕ）变形后，由最大值点得,ωϕ的关系，再由(π)6f =a ，从而得ϕ的表达式，代入可得ω的表达式，得正确选项．【详解】因为()f x 图象的两条相邻的对称轴之间的距离小于π2，所以12ππ222ω⨯<，所以1ω>.由辅助角公式可得())f x x ωϕ+，其中sin ϕ=cos ϕ=，因为()f x 在π12x =处取得最大值，所以Z πππ2,62k k ωϕ+=+∈，所以6312,Z πk k ϕω=-+∈， Z π4π,3k k ωϕϕπ+=-+∈，()1sin()4)6ππππ3f k a ωϕϕϕ=+=-+===所以sin ϕ=1cos 2ϕ=，则11Z π,π23k k ϕ=-∈，1226312312212125,Z πk k k k k ϕω=-+=-++=+∈，只有C 满足．故选：C ．11．已知抛物线28y x =的焦点为F ，直线l 与抛物线交于,A B 两点，O 为坐标原点，直线,OA OB 的斜率之积为1-，则4||AF BF +|的最小值是（） A ．32 B ．36C ．42D ．46【答案】C【分析】设直线1122:,(,),(,)l x my t A x y B x y =+，进而与抛物线联立方程，结合韦达定理得12121y y x x =-，再根据121212646418y y x x y y t ===--得8t =，1264x x =，最后根据基本不等式和焦半径公式求解即可.【详解】解：设直线1122:,(,),(,)l x my t A x y B x y =+，联立28x my t y x=+⎧⎨=⎩整理得2880y my t --=，所以，264320m t ∆=+>，12128,8y y m y y t +==-. 因为直线,OA OB 的斜率之积为1-，所以12121y y x x =-，因为2211228,8y x y x ==，所以()2121264y y x x =，所以121212646418y y x x y y t ===--，解得8t =，即()212126464y y x x ==，所以，1264x x =. 因为1222AF x BF x =+=+，，所以()12226442424101042AF BF x x x x +=+++=++≥=，当且仅当22644x x =时，等号成立.所以，4||AF BF +|的最小值是42. 故选：C12．已知函数()2,0()ln ,0x x f x x x ⎧≥⎪=⎨-<⎪⎩，若函数()()()()1g x f f x af x =-+恰有两个零点，则a 的取值范围是（） A ．[){}0,21⋃ B ．()2,+∞ C ．()1,0- D ．(),1-∞-【答案】C【分析】设()t f x =，进而考虑()y f t =与1y at =-的交点，分02a ≤<，2a =，2a >，10a -<<，1a <-五种情况讨论求解即可.【详解】设()t f x =，则()()1y h t f t at ==-+，令()0h t =，得()1f t at =-，我们先来考虑()y f t =与1y at =-的交点，令224,1at t a -=∆=-，当02a ≤<时，1y at =-与()y f t =只有1个交点，交点横坐标()11,0t ∈-，此时()g x 有1个零点；当2a =时，1y at =-与()y f t =只有2个交点，交点横坐标()121,0,1t t ∈-=，此时()g x 有3个零点.当2a >时，1y at =-与()y f t =只有3个交点，交点横坐标()()()1231,0,0,1,1,t t t ∞∈-∈∈+，此时()g x 有5个零点.若1y at =-与()()0y f t t =<相切时，设切点()()00,ln P t t -，所以，切线斜率()000ln 11t a t t -+==，解得01,1t a =-=-，故当1a <-时，1y at =-与()y f t =没有交点，()g x 没有零点.当10a -<<时，1y at =-与()y f t =有2个交点，交点横坐标()120,,t t ∈-∞，此时()g x 有2个零点. 故选：C【点睛】关键点点睛：本题解题的关键在于通过换元()t f x =，将问题转化为直线1y at =-与()y f t =的交点个数，进而数形结合，分类讨论求解即可.二、填空题13．已知非零向量,a b 满足||2||b a =，且()a a b ⊥+，则向量,a b 的夹角是_______．【答案】23π【分析】由向量垂直得到()0a a b ⋅+=，即可得到2a b a ⋅=-，再根据cos ,||||a ba b a b ⋅〈〉=及||2||b a =计算可得；【详解】解：因为()a a b ⊥+，所以()0a a b ⋅+=，即20a a b +⋅=，所以2a b a ⋅=-．因为||2||b a =，所以21cos ,2||||||||a b a a b a b a b ⋅-〈〉===-，因为[],0,a b π〈〉∈，所以2,3a b π〈〉=．故答案为：23π14．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右顶点分别为1A ，2A ，上、下顶点分别为1B ，2B ，左、右焦点分别为1F ，2F ，若22210B A F B ⋅=，则椭圆C 的离心率为________.【分析】写出点2221,,,B A F B 的坐标，根据22210B A F B ⋅=列出,,a b c 的关系，求解.【详解】因为()()22212221,,,,0B A a b F B c b B A F B =-=--⋅=，所以20ac b -+=，即220a c ac --=，则2e e 10+-=，解得e =e =因为0e 1<<，所以e =15．若()()()()()102910701291021111x x a a x a x a x a x +-=+-+-++-+-，则5a =_________.【答案】231-【分析】将()1072x x +-化为()()7101111x x ⎡⎤⎡⎤-++--⎣⎦⎣⎦，后由二项式定理可得答案.【详解】()1072x x =+-()()7101111x x ⎡⎤⎡⎤-++--⎣⎦⎣⎦，设()711x ⎡⎤-+⎣⎦展开式通项为()7171C rrr T x -+=-，令752r r -=⇒=，则()()552371211C T x x =-=-. 设()1011x ⎡⎤--⎣⎦展开式通项为()()1011011C rrrr T x -+=--，令1055r r -=⇒=，则()()()5555610112521C T x x =--=--.则521252231a =-=-. 故答案为：231-16．对于正整数n 的正整数设为n a ，如131,2a a ==，记n n b n a =+，从全体正整数中除去所有n b ，余下的正整数按从小到大的顺序排列得到数列{}n c ，则数列{}n c 的前8项和为_________. 【答案】204【分析】对于正整数k ，就2214k n k k ≤<++、221214k k n k k ++≤<++分类讨论后可求n b ，从而可求{}n c ，故可求前8项和.【详解】对于正整数n ，必存在正整数k ，使得()221k n k ≤<+.如果2214k n k k ≤<++，则12k k ≤+，故n a k =，故n b n k =+，此时22k n k k ≤≤+，故222k k n k k k +≤+≤+故此时n b 取值为区间22,2k k k k ⎡⎤++⎣⎦中的所有正整数.如果221214k k n k k ++≤<++即22121k k n k k ++≤<++，则112k k +<+，故1n a k =+，故1n b n k =++，此时2222132k k n k k k ++≤++<++，故此时n b 取值为区间())2211,32k k k ⎡++++⎣中的所有正整数. 所以当2221k n k k ≤<++时，n b 取值为区间())2222,211,32k k k k k k k ⎡⎡⎤++++++⎣⎦⎣中所有的正整数，而()223211k k k k ++=+++，()221122k k k ++=++，故())2222,211,32k k k k k k k ⎡⎡⎤++++++⎣⎦⎣表示())22,11k k k k ⎡++++⎣中除()21k +以外的所有正整数，取1k =，则14n ≤<，n b 取值为区间[)2,6中除4以外的所有正整数. 取2k =，则49n ≤<，n b 取值为区间[)6,12中除9以外的所有正整数.依次取k m =，则()221m n m ≤<+，n b 取值为区间())22,11m m m m ⎡++++⎣中除()21m +以外的所有正整数. 故1234567891,4,9,16,25,36,49,64,81c c c c c c c c c =========，故前8项和为：1491625364964204+++++++=，故答案为：204.【点睛】思路点睛：对于数列的新定义问题，首先要弄清楚数列的形成过程，特别是与数论有关的新数列构建问题，要能根据整数的形式做合理的分类.三、解答题17．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且2sin cos b A a B c +=. (1)求sin A 的值；(2)若点M 在边AC 上，且BCM 是边长为ABC 的面积.【答案】(1)5sin 5A = (2)33182+【分析】（1）由正弦定理进行边角转换可得1tan 2A =，再结合22sin cos 1A A +=即可求解；（2）在ABC 中，由正弦定理可得35c =，然后利用πA C ABC ++∠=求出5215sin 10ABC +∠=，最后用面积公式求解即可【详解】（1）因为2sin cos b A a B c +=，所以结合正弦定理得2sin sin sin cos sin .B A A B C += 因为πA B C ++=，所以()sin sin sin cos cos sin C A B A B A B =+=+，所以2sin sin cos sin .B A A B =因为0πB <<，所以sin 0B ≠，所以2sin cos A A =，所以sin 1tan cos 2A A A ==. 因为22sin cos 1A A +=,且0πA <<，所以25cos 5A =，5sin 5A =. （2）因为BCM 是边长为23的等边三角形，所以π233BC C ==，. 在ABC 中，由正弦定理可得sin sin a cA C =，则sin 35sin a C c A==. 因为πA C ABC ++∠=，所以()5215sin sin sin cos cos sin 10ABC A C A C A C +∠=+=+=，则ABC 的面积为15215331835232102++⨯⨯⨯=. 18．某工厂为了检验某产品的质量，随机抽取100件产品，测量其某一质量指数，根据所得数据，按[)10,12，[)12,14，[)14,16，[)16,18，[]18,20分成5组，得到如图所示的频率分布直方图．(1)估计该产品这一质量指数的中位数；(2)若采用分层抽样的方法从这一质量指数在[)16,18和[]18,20内的该产品中抽取12件，再从这12件产品中随机抽取4件，记抽取到这一质量指数在[]18,20内的该产品的数量为X ，求X 的分布列与期望．【答案】(1)15； (2)分布列见解析，()43E X =.【分析】（1）利用中位数的求解方法列方程即可求解.（2）由题意分析出X 的所有可能取值为0，1，2，3，4．分别求出对应的概率，得到分布列，求出数学期望.【详解】（1）因为()0.0250.12520.30.5+⨯=<，0.30.20020.70.5+⨯=>，所以该产品这一质量指数的中位数在[)14,16内．设该产品这一质量指数的中位数为m ，则()140.20.30.5m -⨯+=，解得15m =．（2）由题意可知抽取的12件产品中这一质量指数在[)16,18内的有8件，这一质量指数在[]18,20内的有4件．由题意可知X 的所有可能取值为0，1，2，3，4．()48412C 70140C 49599P X ====，()3184412C C 2241C 495P X ===，()2284412C C 168562C 495165P X ====，()1384412C C 323C 495P X ===，()44412C 14C 495P X ===，X 的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 1499 22449556165324951495()1422456321401234994951654954953E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． 19．如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是平行四边形，四边形ACEF 是矩形，22BC AB AF ==，60ABC ∠=︒，AF BC ⊥，H 是棱AD 的中点，P 是棱EF 上的动点.(1)证明：AB ⊥平面ACEF ；(2)求平面PBH 与平面CDE 所成锐二面角的余弦值的最大值. 【答案】(1)证明见解析 (2)32【分析】（1）根据线线垂直可证明线面垂直，进而可得线线垂直即可证明，（2）根据空间向量的坐标运算可利用法向量的夹角与平面角的关系，即可求解. 【详解】（1）证明：因为四边形ACEF 是矩形，所以AF AC ⊥. 因为AF BC ⊥，且AC BC ⊂，平面ABCD ，AC BC C =，所以AF ⊥平面ABCD ．因为AB ⊂平面ABCD ，所以AF AB ⊥ ，因为2BC AB =，且60ABC ∠=，所以3AC AE =，所以222AB AC BC +=，所以AB AC ⊥. 因为AF AC ，⊂平面ACEF ，且AFAC A =，所以AB ⊥平面ACEF .（2）由（1）可知AB AC AF ，，两两垂直，则以A 为原点，分别以AB ，AC ，AF 的方向为x y z ，，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.设1AB PF a ，，则10001B P ,a ，，,，，123H ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，故11BP ,a,, 33022BH,,, 设平面PBH 的法向量为(),,m x y z =,则03302m BP x ay z m BH x y ⎧⋅=-++=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，令1x =，得1313m ,,a .因为ACCD ACCE ，，CD CE ，⊂平面CDE ，且CD CE C =，所以AC ⊥平面CDE ，则平面CDE 的一个法向量为()0,1,0n =.设平面PBH 与平面CDE 所成的锐角为θ，则22333cos θcos 21313413m n m nm naa，，即平面PBH 与平面CDE 所成20．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别是1F ，2F ，点()2,1P 在双曲线C 上，且12PF PF -=(1)求双曲线C 的标准方程；(2)直线l 与双曲线C 的左支交于A ，B 两点，直线AP ，BP 分别与y 轴交于M ，N 两点，且OM ON =-，试问直线l 是否过定点？若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由．【答案】(1)2212x y -=(2)过定点，定点坐标为()0,1【分析】（1）由双曲线定义可知2a =()2,1P 在双曲线C 上，求出,a b ，得到双曲线的标准方程；（2）设直线l ：x my t =+，与双曲线的方程联立，由韦达定理得1212,y y y y +，写出直线AP ，BP 的方程，求得M ，N 两点的坐标，结合OM ON =-，可求得,m t的关系式，从而得出定点坐标．【详解】（1）由题意可得224112a b a ⎧-=⎪⎨⎪=⎩，解得1a b ==故双曲线C 的标准方程为2212x y -=.（2）由题意可知直线l 的斜率不为0，设直线l ：x my t =+，1122(,),(,)A x y B x y 联立2212x my t x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩，整理得()2222220m y mty t -++-= 则212122222,22mt t y y y y m m -+=-=-- 直线AP 的方程为()111212y y x x -=-+-，令0x =，得11122x y y x -=-，则11120,2x y M x ⎛⎫- ⎪-⎝⎭直线BP 的方程为()221212y y x x -=-+-，令0x =，得22222x y y x -=-，则22220,2x y N x ⎛⎫- ⎪-⎝⎭因为OM ON =-，所以11221222022x y x y x x --+=--，整理得1212122112()()2()0x x x x x y x y y y -+-+++= 又11x my t =+，22x my t =+，所以()()()2212122220m m y y mt m t y y t t -+--+++-=，则()()2222222222022t mt m m mt m t t t m m -⎛⎫-⋅+--+-+-= ⎪--⎝⎭即222220m t mt m t ++--=，即2()2()0m t m t +-+= 得()()20m t m t +-+=，解得20m t +-=或0m t += 当20m t +-=时，直线l 经过点P ，与题意不符；当0m t +=时，直线l ：x my m =-，则直线l 过定点()0,1．故直线l 过定点()0,1．21．已知函数()21ln 12f x x x x x =---.(1)求()f x 的单调区间； (2)若函数()()()2121ln 12g x x a x a x =+-+--恰有两个不同的零点，求a 的取值范围. 【答案】(1)单调递减区间是()0,∞+，无递增区间 (2)51,2⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】（1）求出导函数()f x '，再利用导数确定()f x '的正负，从而得单调区间；（2）求出导函数()g x '，在()g x 定义域内分类讨论()0g x '=的根的情况，得函数单调性、极值，然后结合零点存在定理确定参数范围．【详解】（1）由题意可得()ln f x x x '=-，设()()ln h x f x x x '==-，则()111xh x x x-'=-=由()0h x '>，得01x <<，由()0h x '<，得1x >则()h x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，即()f x '在(0,1)单调递增，在(1,)+∞上单调递减，从而()(1)10f x f ''≤=-<，故()f x 的单调递减区间是(0,)+∞，无递增区间（2）由题意可得21(2)1(1)(1)()2a x a x a x a x g x x a x x x-+-+-+--'=+-+==， ()g x 的定义域是(0,)+∞，①当10a -<，即1a >时，1x >时()0g x '>，01x <<时()0g x '<，则()g x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增. 因为0x →时，()g x →+∞，x →+∞时，()g x ∞→+，所以()g x 要有两个零点，则1(1)2102g a =+--<，解得52a <，故152a <<；②当10a -=，即1a =时，由21()102g x x x =--=，解得x 1=±因为0x >，所以1x =+()g x 有且仅有1个零点，故1a =不符合题意； ③当011a <-<，即01a <<时，由()0g x '>，得01x a <<-或1x >，由()0g x '<，得11a x -<<，则()g x 在(0,1)a -和(1,)+∞上单调递增，在(1,1)a -上单调递减. 因为0x →时，()0,g x x <→+∞时，()g x ∞→+，所以()g x 要有两个零点，则1(1)2102g a =+--=或21(1)(1)(2)(1)(1)ln(1)102g a a a a a a -=-+--+---=，若(1)0g =，解得52a =，不符合题意，若(1)0g a -=，设1(0,1)t a =-∈，则(1)0g a -=化为2211(1)ln 1ln 1022t t t t t t t t t +--+-=--+-=，01t <<时，ln 0t t <，221111(1)0222t t t ---=-+-<，所以21ln 102t t t t --+-<，21ln 102t t t t --+-=无解，即(1)0g a -=无解，故01a <<不符合题意；④当11a -=，即0a =时，()0g x '≥恒成立，则()g x 在(0,)+∞上单调递增，从而()g x 最多有1个零点，则0a =不符合题意；⑤当11a ->，即a<0时，由()0g x '>，得01x <<或1x a >-，由()0g x '<，得11x a <<-，则()g x 在(0,1)和(1),a -+∞上单调递增，在(1,1)a -上单调递减. 因为0x →时，()0g x x <→+∞，时，()g x ∞→+ 所以()g x 要有两个零点，则(1)0g =或(1)0g a -=，若1(1)2102g a =+--=，解得52a =，不符合题意，若21(1)(1)(2)(1)(1)ln(1)102g a a a a a a -=-+--+---=．设1(1,)t a =-∈+∞，则(1)0g a -=化为2211(1)ln 1ln 1022t t t t t t t t t +--+-=--+-=，由（1）知21ln 12y t t t t =---在(1,)+∞上单调递减，所以21ln 102t t t t --+-<，21ln 102t t t t --+-=无解，即(1)0g a -=无解，故a<0不符合题意．综上，a 的取值范围是51,2⎛⎫⎪⎝⎭．【点睛】难点与易错点点睛：本题考查用导数研究函数的单调性，函数零点个数问题，难点在于函数定义域是(0,)+∞，因此()0g x '=的根需要根据定义域分类讨论，在定义域内有一个根，还是两个根，有两个根时还需要比较两根的大小，从而得出函数单调性、极值，由于含有参数还需结合函数变化趋势确定零点的存在性，从而得出结论．分类不清易出错．22．在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为1,1x t ty t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程是cos 2sin 20ρθρθ-+=． (1)求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程； (2)若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，点(0,1)P ，求11||||PA PB +的值．【答案】(1)22144x y -=；220x y【分析】（1）消去参数可得C 的普通方程，根据极坐标与直角坐标转化公式可求直线直角坐标方程；（2）将直线的参数方程代入普通方程，消元后根据参数的几何意义求解. 【详解】（1）由1,1x t ty t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数），得224x y -=，故曲线C 的普通方程为22144x y -=．由cos 2sin 20ρθρθ-+=，得220x y ，故直线l 的直角坐标方程为220x y ．（2）由题意可知直线l的参数方程为,1x y ⎧⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）．将直线l 的参数方程代入曲线C的普通方程并整理得23250t --=，设A ，B 对应的参数分别是12,t t ，则1212253t t t t +==-，从而12t t -===故1212121211||||t t t t PA PB t t t t +-+===． 23．已知函数()233f x x x =-++. (1)求不等式()9f x ≤的解集；(2)若()||f x a x ≥恒成立，求a 的取值范围. 【答案】(1)[]3,3- (2)(],3-∞【分析】(1)将函数表示为分段函数形式，分三类情况讨论求解； (2)将不等式等价转化为|23||3|33|2||1|||x x a x x x -++=-++≥，利用绝对值不等式可求33|2||1|x x-++的最小值，即可求解.【详解】（1）因为3,33()2336,3233,2x x f x x x x x x x ⎧⎪-≤-⎪⎪=-++=-+-<≤⎨⎪⎪>⎪⎩，所以()9f x ≤等价于339x x ≤-⎧⎨-≤⎩，或33269x x ⎧-<≤⎪⎨⎪-+≤⎩或3239x x ⎧>⎪⎨⎪≤⎩，解得3x =-或332-<≤x 或332x <≤，即33x -≤≤，即不等式()9f x ≤的解集为[]3,3- （2）当0x =时，60≥恒成立，所以a ∈R ；当0x ≠时，|23||3|33|2||1|||x x a x x x-++=-++≥恒成立，因为3333|2||1||21|3x x x x-++≥-++=，当且仅当33(2)(1)0x x -+≤即-<3≤0x 或302x <≤时取得等号，所以3a ≤，综上，a 的取值范围是(],3-∞.。