数列专题五构造法求通项公式

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高三用构造法求数列通项公式

用构造法求数列通项公式已知数列的递推公式，求其通项公式是数列中重要的题型之一，在近年的高考试卷中也经常出现此类题型，解决这个问题除验算—猜想—证明的方法外；利用公式的变形构造一个新数列来求解也是重要的手段，下面通过例题分析阐述常用的变形方法，供参考。

一、配凑构造例1 数列{a n }的前n 项和记为S n ,已知a 1=1,a n+1=nn 2+S n (n=1,2,3……)，求a n .解析：∵a n+1=S n+1-S n ,a n+1=nn 2+S n ∴(n+2)S n =n(S n+1-S n )，整理得nS n+1=2(n+1)S n ,即11++n S n =2·n S n ，故数列{n S n }是以11S=a 1=1为首项，2为公比的等比数列，即nS n =2n-1,S n =n ·2n-1，当n ≥2时，a n =S n -S n-1=n ·2n-1-(n-1)2n-2=(n+1)2n-2,当n=1时也适合，故a n =(n+1)·2n-2n ∈N *.二、相除构造例2 已知数列{a n }的前n 项和为S n ,且满足a n +2S n S n-1=0(n ≥2);a 1=21,求通项a n .解析:当n ≥2时, a n =S n -S n-1=-2 S n S n-1,两边同除以S n S n-1得n S 1- 11-n S =2,又11S =11a =2, ∴数列{n S 1}是以2为首项,2为公差的等差数列,则nS 1=2+2(n-1)=2n, S n =n 21,由a 1=21,n ≥2时,a n =S n -S n-1=n 21-)1(21-n =- )1(21-n n ,二式不能合并.三、平方构造例3 已知函数f(x)=42-x (x ≤-2).(1)求f -1(x),(2)若a 1=1,a n =-f -1(a n-1),求数列{a n }的通项公式.解析:(1)f -1(x)=- 42+x (x ≥0),(2)由a n =-f -1(a n-1),∴a n =421+-n a ,两边平方得a n 2-a n-12=4,∴数列{a n 2}是以a 12=1为首项,公差为4的等差数列,∴a n 2=1+(n-1)4=4n-3,又a n >0,∴a n =34-n .四、开方构造例4 已知函数f(x)=(x +2)2(x>0),设正项数列{a n }的首项a 1=2,前n 项和S n 满足S n =f(S n-1)(n ≥2且n ∈N *),求通项a n .解析:∵a n >0,∴S n >0,由S n =f(S n-1)=(1-n S +2)2两边开方得n S =1-n S +2,∴数列{n S }是以1S =1a =2为首项,公差d=2的等差数列,即n S =2+(n-1)2=2n,则S n =2n 2,当n ≥2时,a n =S n -S n-1=4n-2,当n=1时,a 1=2也适合上式,故a n =4n-2(n ∈N *).五、待定系数法例5 已知数列{a n }中,a 1=1,且a n+1=3a n -1(n ∈N *),求a n .解析:设a n+1+x=3(a n +x),则a n+1=3a n +2x,又a n+1=3a n -1,则2x=-1,即x=-21,故而a n+1-21=3(a n -21),则数列{a n -21}是以首项a 1-21=21,公比为3的等比数列,∴a n -21=21·3n-1,即a n =21·3n-1+21. 六、公式变形例6 已知正项数列{a n }的前项和S n 满足S n =21(a n +na 1)，求通项a n . 解析：由S 1=a 1=21(a 1+11a )得a 1=1，又a n =S n -S n-1(n ≥2)∴S n =21(a n +na 1)= 21(S n -S n-1+11--n n S S )可得S n +S n-1=11--n n S S ，即S n 2-S n-12=1,∴数列{S n 2}是首项为S 12=a 12=1,公差为1的等差数列.∴S n 2=1+(n-1)·1=n ，又S n >0，∴S n =n ,当n ≥2时，a n =S n -S n-1=n -1-n ,当n=1时，a 1=1也适合，故通项a n =n -1-n .七、取倒数例7 已知数列{a n }中，a 1=2,a n =2211+--n n a a (n ≥2)，求通项a n .解析：由题意知a n ≠0，在a n =2211+--n n a a 两边同时取倒数得，n a 1=1122--+n n a a =11-n a +21,即n a 1-11-n a =21,∴数列{n a 1}是首项为11a ，公差为21的等差数列，∴n a 1=21+(n-1)21=2n , 则a n =n 2.。

数列构造法

构造法求数列的通项公式在数列求通项的有关问题中,经常遇到即非等差数列,又非等比数列的求通项问题,特别是给出的数列相邻两项是线性关系的题型,在老教材中,可以通过不完全归纳法进行归纳、猜想,然后借助于数学归纳法予以证明,但新教材中,由于删除了数学归纳法,因而我们遇到这类问题,就要避免用数学归纳法;这里我向大家介绍一种解题方法——构造等比数列或等差数列求通项公式;构造法就是在解决某些数学问题的过程中,通过对条件与结论的充分剖析,有时会联想出一种适当的辅助模型,以此促成命题转换,产生新的解题方法,这种思维方法的特点就是“构造”.若已知条件给的是数列的递推公式要求出该数列的通项公式,此类题通常较难,但使用构造法往往给人耳目一新的感觉. 供参考;1、构造等差数列或等比数列由于等差数列与等比数列的通项公式显然,对于一些递推数列问题,若能构造等差数列或等比数列,无疑是一种行之有效的构造方法.例1设各项均为正数的数列的前n项和为S,对于任意正整数n,都有等式：n成立,求的通项a n.解：, ∴,∵,∴.即是以2为公差的等差数列,且.∴例2数列中前n项的和,求数列的通项公式.解：∵当n≥2时,令,则,且是以为公比的等比数列,∴.2、构造差式与和式解题的基本思路就是构造出某个数列的相邻两项之差,然后采用迭加的方法就可求得这一数列的通项公式.例3设是首项为1的正项数列,且,n∈N,求数列的通项公式a n.解：由题设得.∵,,∴.∴.例4数列中,,且,n∈N,求通项公式a n.解：∵∴n∈N3、构造商式与积式构造数列相邻两项的商式,然后连乘也是求数列通项公式的一种简单方法.例5数列中,,前n项的和,求.解：,∴∴4、构造对数式或倒数式有些数列若通过取对数,取倒数代数变形方法,可由复杂变为简单,使问题得以解决.例6设正项数列满足,n≥2.求数列的通项公式.解：两边取对数得：,,设,则是以2为公比的等比数列,,,,∴例7已知数列中,,n≥2时,求通项公式.解：∵,两边取倒数得.可化为等差数列关系式.∴。

(完整版)数列通项公式常用求法及构造法

数列通项公式的常用求法构造法求数列通项公式一、构造等差数列求数列通项公式运用乘、除、去分母、添项、去项、取对数、待定系数等方法，将递推公式变形成为(1)()f n f n +-=A （其中A 为常数）形式，根据等差数列的定义知)(n f 是等差数列，根据等差数列的通项公式，先求出)(n f 的通项公式，再根据)(n f 与n a ，从而求出n a 的通项公式。

例1 在数列{}n a 中，1a =12，133n n n a a a +=+（n N +∈），求数列{}n a 通项公式.解析：由313n n a n a a ++=得，a n+1 a n =3 a n+1-3 a n =0，两边同除以a n+1 a n 得，=-+n n a a 11131，设b n =n a 1，则b n+1- b n =31，根据等差数列的定义知，数列｛b n ｝是首项b 1=2，公差d=31的等差数列，根据等差数列的通项公式得b n =2＋31（n-1）=31n ＋35∴数列通项公式为a n =53+n例2 在数列｛a n ｝中，S n 是其前n 项和，且S n ≠0，a 1=1，a n =1222-n n S S (n ≥2)，求S n 与a n 。

解析：当n ≥2时，a n =S n -S n-1 代入a n =1222-n n S S 得，S n -S n-1=1222-n n S S ，变形整理得S n -S n-1= S n S n-1两边除以S n S n-1得，n S 1-11-n S =2，∴｛n S 1｝是首相为1，公差为2的等差数列∴n S 1=1+2（n-1）=2n-1, ∴ S n =121-n (n ≥2),n=1也适合，∴S n =121-n (n ≥1) 当n ≥2时，a n =S n -S n-1=121-n -321-n =-38422+-n n ，n=1不满足此式， ∴a n ={21138422≥=+--n n n n二、构造等比数列求数列通项公式运用乘、除、去分母、添项、去项、取对数、待定系数等方法，将递推公式变形成为f （n+1）=Af （n ）（其中A 为非零常数）形式，根据等比数列的定义知)(n f 是等比数列，根据等比数列的通项公式，先求出)(n f 的通项公式，再根据)(n f 与n a ，从而求出n a 的通项公式。

构造法求数列通项公式系列图表

专题：构造法求数列通项公式系列图表已知数列{a n }的首项a 1及如下的递推公式，求此数列的通项公式。

方法：①常数列；②等差数列公式法；③等比数列公式法；④叠加法；⑤叠乘法；⑥构造法（构造等比数列）；⑦构造法（待定系数）；⑧迭代法（递推法）；⑨迭代法（更多由特殊情注：⑦中f (n )常见的是一次函数（待定系数构造等比）、指数函数（两边同除构造等比）一、公式法：1、已知数列{a n }满足：a 1=2，a n +1=a n +3，求此数列的通项公式a n .2、已知数列{a n }满足：a 1=2，a n +1=3a n ，求此数列的通项公式a n .二、叠加法、叠乘法：3、已知数列{a n }满足：a 1=2，a n +1=a n +n +1，求此数列的通项公式a n .4、已知数列{a n }满足：a 1=2，a n +1= n +1n a n ，求此数列的通项公式a n .三、构造法（待定系数法）：5、已知数列{a n }满足：a 1=2，a n +1=2a n +3，求此数列的通项公式a n .6、已知数列{a n }满足：a 1=2，a n +1=3a n +3n ，求此数列的通项公式a n .7、已知数列{a n }满足：a 1=2，a n +1=2a n +3n ，求此数列的通项公式a n .8、已知数列{a n }满足：a 1=2，a n +1=2a n +n +1，求此数列的通项公式a n .四、取倒数法：⑨9、已知数列{a n }满足：a 1=2，a n +1= 3a n 3+a n，求此数列的通项公式a n . 10、已知数列{a n }满足：a 1=2，a n +1= 3a n 2+a n，求此数列的通项公式a n . 五、方程（或方程组）法：11、已知数列{a n }满足：a n ≥0，a n = 3na n+1 ，求此数列的通项公式a n . 12、已知正项数列{a n }中，a 1=2， (n+1)a n +12+a n a n -1－na n 2=0, 求此数列的通项公式a n .六、a n 与S n 的关系法：a n = ⎩⎨⎧S 1 (n=1)，S n -S n-1 (n ≥2)，13、已知S n 为数列{a n }的前n 项和，且S n =－n 2+3n ，求此数列的通项公式a n .14、已知S n 为数列{a n }的前n 项和，且S n =－n 2+3n +4，求此数列的通项公式a n .15、已知S n 为数列{a n }的前n 项和，且S n =2·3n -2求此数列的通项公式a n .16、已知S n 为数列{a n }的前n 项和，且a 1=2，a n +1 =2S n +n ，求此数列的通项公式a n .七、能力提升：17、（必修五课本第69页第6题：已知数列{a n }中，a 1=5，a 2=2，a n =2a n -1+3a n -2 ,(n ≥3)，对于这个数列的通项公式作一研究，能否写出它的通项公式？。

高中数学必修5用构造法求数列的通项公式

用结构法求数列的通项公式在高中数学教材中，有好多已知等差数列的首项、公比或公差 (或许经过计算能够求出数列的首项 ,公比 ),来求数列的通项公式。

但实质上有些数列其实不是等差、等比数列,给出数列的首项和递推公式 ,要求出数列的通项公式。

而这些题目常常能够用结构法，依据递推公式结构出一个新数列，进而间接地求出原数列的通项公式。

关于不一样的递推公式，我们自然能够采纳不一样的方法结构不一样的种类的新数列。

下边给出几种我们常有的结构新数列的方法：一．利用倒数关系结构数列。

比如：数列 { a n } 中，若 a12,114(n N ), 求a n an 1an设b n 1 , 则b n 1b n+4,a n即 b n 1b n＝４，{b n｝是等差数列。

能够经过等差数列的通项公式求出b n,然再求后数列{ a n}的通项。

练习： 1)数列 { a n } 中， a n≠0，且知足a111N ), 求a n , a n11, (n23a nn}中， a11, a n 2a n n通项公式。

2)数列 { a1a n, 求a 2n}中 , a11, a n0,且a n2a n a n 1a n1 0(nn3)数列 { a2, n N ), 求 a .二．结构形如 b n a n2的数列。

例：正数数列 { a n } 中，若 a15, a n 12a n24(n N ), 求a n解：设 b n a n 2 , 则b n1bn4,即b n1b n4数列 { b n } 是等差数列，公差是4， b1225 a1b n25(n 1)( 4)294n即 a n 24n29a n294n , (1n7, n N )练习：已知正数数列 { a n } 中， a1 2, a n 2 a n 1 (n2, n N ) ,求数列 { a n } 的通项公式。

三．结构形如 b n lg a n的数列。

例：正数数列 { a} 中，若 a =10,且lg a n lg a n 1 , (n2, n N ), 求a .n11n2解：由题意得：lg a n1，可设 b n lg a n，lg a n 12即b n1,bn 12b n是等比数列，公比为1， b1 lg 10 12b n 1 (1) n 1(1)n 1 ,(n N) .22(1) n 1 , a n( 1 )n 1即 lg a n10 22练习：（选自 2002 年高考上海卷）数列 { a n } 中，若 a1=3, a n 1a n2 ,n 是正整数，求数列 { a n } 的通项公式。

专题05 构造法求数列通项的八种技巧(二)(解析版)

专题05构造法求数列通项的八种技巧(二)【必备知识点】◆构造四:同型构造法所谓同型构造法,就是将找因式中的因子和数列项数相同或者相近的部分通过同除或同乘化归成结构相同的形式,形成新的数列,如常数列,等差数列或等比数列.下面让我们来看看有哪些模型结构吧.模型一:111(1)1n n n n n n a a n a n a n +++−=−−−−→⋅+=⋅+左右同乘,构造n n b n a =⋅,则1n n b b +=,{}n b 为常数数列.模型二:11111n n n n n a a n a a n n n +++−−−−−⋅→+==+左右同除,构造n n a b n=,则1n n b b +=,{}n b 为常数数列.模型三:()()21112(1)(2)(1)n n n n n n a a n a a n n n n n ++++−−−−+=⋅=+−→++−左右同除,构造(1)n n a b n n =+,则1n n b b +=,{}n b 为常数数列.模型四:()111(1)221n n n n n n n a a na n a n +++−−−−−→=+=+左右同除,构造n n ab n=,则12n n b b +=,{}n b 为等比数列.模型五:11111222212n n n n n n n n n n n n n a S S S S S n n S S S nn n ++++++++=⋅=⋅=⇒-⇒−−−−−→+⋅=左右同除,构造nn S b n=,则12n n b b +=,{}n b 为等比数列.模型六:1111111n n n n n a a n a a n n n n ++++=⋅=+++−−−+−−→左右同除,构造n n a b n=,则11n n b b +=+,{}n b 为等差数列.模型七:12111122122n n n n n n n n a a a a +++++−=+=−−−→+−左右同除,构造2n nna b =,则11n n b b +=+,{}n b 为等差数列.模型八:1111111n n a an n n n n n a a a a a a ++++-−−=-=−−−→左右同除,构造1n nb a=,则11n n b b +-=,{}n b 为等差数列.看了这么多模型,是不是觉得很多,很难记住呢,其实向大家展示这么多,只是想向大家展示,当看到这类式子,尽量将1n +和1n a +,n 和n a 等因子和数列项数相同的部分划归成结构相同的形式,构造成新数列.【经典例题1】已知数列{}n a 满足112,31n n na a a n +==⋅+,求n a .【解析】因为11n n na a n +=+,所以1(1).n n n a na ++=令n n b na =,则1n n b b +=,即{}n b 是常数数列,所以1n b b =,即221,33n n n na a a n=⨯==.【经典例题2】已知数列{}n a 中,12n n na a n +=+且12a =,求数列{}n a 的通项公式.【解析】因为12n n na a n +=+,所以11(2),(1)(2)(1).n n n n n a na n n a n n a +++=++=+令(1)n n b n n a =+,则1n n b b +=,即{}n b 是常数数列,所以1.n b b =因此(1)1n n n a +=⨯422,(1)n a n n ⨯=+【经典例题3】已知数列{}n a 中,12(1(1))n n na n a n n +++=+且11a =,求数列{}n a 的通项公式.【解析】12(1(1))n n na n a n n +++=+,等式两侧同除(1)n n +,形成1121n n a a n n +=++,令n n ab n=,则121n n b b +=+,这又回到了构造一的形式,所以12(1)1n n b b +=++,{}1n b +是以2为首项,2为公比的等差数列,即12212n n n b -⨯+==,21n n b =-,所以21n na n=-,(21)n n a n =-.【经典例题4】已知11a =,且1(2)n n na n n a +=++,求数列{}n a 的通项公式.【解析】等式两侧同除(1)(2)n n n ++,得1(1)(2)(1)(1)(2)1n n a a n n n n n n +=++++++,即1(1)(2)(1)(1)(2)1n n a a n n n n n n +-=+++++,1(1)(2)(1)(111)(2)n n a a n n n n n n +=-++++-+,另(1)n n a b n n =+，所以1(12)1)(1n n b b n n +--=++,接下来就是叠加法发挥作用的时候了212311b b -=-323411b b -=-434511b b -=-111(1)n n b b n n ---=+叠加得1112(1)n b b n --=+,11122a b ==,所以1(1)11n b n n n =+=+-，即(1)1n a n n n n =++，2n a n =.【练习1】已知数列{}n a 满足1111,3n n n n a a a a a ++=-=,则10()a =A.28 B.128C.28- D.128-【答案】B 【解析】数列{}n a 满足11a =,113n n n n a a a a ++-=,则:1113n na a +-=(常数)则：数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以111a =为首项,3为公差的等差数列。

构造法求数列通项公式专题讲座ppt课件

令 1 1 ( 1 ), 则 3 , 3
an1
2 an
22
1 3 1 ( 1 3), 又 1 3 5
an1
2 an
a1
2
1 an
3
是首项为 5
2
1 公比为 2 的等比数列
1 3 5 ( 1 )n1, 1 3 5 ( 1 )n1
an an
3
22 1 5 (1)n1
1 2
,
1 an
是首项为
1 2
公差3的等差数列。
1 an
1 (n 1) 3 3n 5
2
2
6n 2
5
,
a
n
2 6n 5
例6数列 an
中，a1
2, an1
2an 1 3an
，求 an
解： an1
2an 1 3an
1 ,
an1
1 3an 2an
3 11
2 2 an
构造法的定义
• 所谓构造法就是在解决某些数学问题中通过对条件和结论的充分剖析，有时会联想出一些适当的辅助模型，以促成命题的转换，产生新的解题方法。下面就构造法求数列的通项公式的分类和解题方法分别进行论述。
类型1形如 an1 pa nq p 1, p 0,q 0 的递推式
• 基本思路：可用待定系数法,设an1 pan
•bn p(an An2 Bn C) ;
• (2)本题也可由 an 3an1 2n 1 • , an1 3an2 2(n 1) 1
• （ n 3 ）两式相减得
an an 1 3(an 1 an 2 ) 2
• 转化为 bn2 pbn1 qbn 求之.
练习1 数列 an 前 n 项和为 Sn

构造法求数列通项

构造法求数列通项
构造法就是在解决某些数学问题的过程中，通过对条件与结论的充分剖析，联想出一种适当的辅助模型，进行命题转换，产生新的解题方法，这种思维方法的特点就是“构造”。

若已知条件给的是数列的递推公式要求出该数列的通项公式。

运用乘、除、去分母、添项、去项、取对数、待定系数等方法，将递推公式变形成为f（n+1）=Af（n）（其中A为非零常数）形式，根据等比数列的定义知f（n）是等比数列，根据等比数列的通项公式，先求出f（n）的通项公式，再根据f（n）与an，从而求出an的通项公式。

构造法求递推数列的通项公式

巧用构造法求递推数列的通项公式蒋明权利用递推数列求通项公式，在理论上和实践中均有较高的价值，自从二十世纪八十年代以来，一直是全国高考和高中数学联赛的热点之一。

本文想介绍一下利用构造法求递推数列的通项公式的方法和策略，希望能抛砖引玉。

一、构造等差数列法例1.在数列{a n }中，a na n a n n n n n 1132212==+++++，()()()，求通项公式a n 。

解：对原递推式两边同除以n n n ()()++12可得：a n n a n nn n +++=++12112()()()① 令b a n nn n =+()1② 则①即为b b n n +=+12，则数列{b n }为首项是b a 1111132=+=()×，公差是b b n n +-=12的等差数列，因而b n n n =+-=-3221212()，代入②式中得a n n n n =+-12141()()。

故所求的通项公式是a n n n n =+-12141()() 二、构造等比数列法1.定义构造法利用等比数列的定义q a a n n=+1，通过变换，构造等比数列的方法。

例2.设在数列{a n }中，a a a a n n n 112222==++，，求{a n }的通项公式。

解：将原递推式变形为a a a n n n++=+12222()① a a a n n n+-=-12222()② ①/②得：a a a a n n n n +++-=+-1122222[]，即lg lg[]a a a a n n n n +++-=+-1122222③ 设b a a n n n =+-lg[]22④ ③式可化为a a n n +=12，则数列{b n }是以b 1＝lg[]lg lg()a a 11222222221+-=+-=+为首项，公比为2的等比数列，于是b n n n =+=+-22122211lg()lg()×，代入④式得：a a n n +-22＝()212+n ，解得a n n n=+++-221121122[()]()为所求。

巧用构造法求数列的通项公式

谈学论教高中数学中十分常见.推式的形式多样，且较为复杂，据递推关系式的特点构造出形如等差、项公式的式子，将问题转化为等差、公式问题来求解.这样才能化繁为简.活，造出合适的辅助数列，一、已知a n +1=qa n+p ，求a n对于形如a n +1=qa n +p (p ≠0,q ≠0且q 关系式，在运用构造法求数列{}a n 引入参数λ，设a n +1+λ=q ()a n +λ，关系式列出式子，求出q 、λ的值，列{}a n +λ，求得其首项和公比，通项公式，或运用累乘法求得数列{}a n 例1.在数列{}a n 中，a 1=5，a n +1=3a n -{}a n 的通项公式.分析：首先根据已知递推关系式a n +1=a n +1-λ=q ()a n -λ，通过对比系数求出q 、λ构造出等比数列{}a n -λ，便能求出数列{}a n 的通项公式.解：由a n +1=3a n -4，可得a n +1-2=3(a n ∵a 1=5，∴数列{}a n -2是以a 1-2=3为首项，等比数列，∴a n -2=3n，a n =3n +2，∴数列{}a n 的通项公式为a n =3n+2.二、已知a n +1=qa n +c n，求a n由形如a n +1=qa n +c n的通项公式，需先将递推关系式设为p æèçöø÷a n c n +λ，并求出p 、λ的值，再根据等比数列的通项公式，法，就便能得到数列{}a n 的通项公式.例2.在数列{}a n 中，a 1=32，a n +1=2a n +3n ，求数列{}a n 的通项公式.解：由a n +1=2a n +3n，可设a n +13n +1+λ=p æèçöø÷a n 3n +λ，可得p =23,λ=-1，∴数列{}a n 3n -1是首项为a 13-1=-12，公比为23的等比数列，∵a n 3n -1=-12∙æèöø23n -1=-2n -23n -1，∴a n =-3∙2n -2+3n ，∴数列{}a n 通项公式为a n =-3∙2n -2+3n.解答本题，需首先根据递推关系式的特点，在其左右同时除以3n ，并设递推关系式为a n +13n+1+λ=p æèçöø÷a n 3n +λ，求出p 、λ的值，即可构造出等比数列{}a n3n-1.三、已知a n +1=g ()n a n +f (n )，求a n对于形如a n +1=g ()n a n +f ()n 的递推关系式，也需采用构造法来求数列的通项公式，其解题思路为：①根据g ()n 的特点，在已知递推关系式的两边同除以ϕ()n ，使其变形为形如a n +1ϕ()n +1-an ϕ()n =f ()n ϕ()n 的式子，②令n =1,2,3，…，n -1，将这n -1个式子累加，并进行化简，或根据等差数列的通项公式即可求得数列的通项公式.例3.在数列{}a n 中，a 1=1，a n +1=æèöø1+1n a n +(n +1)∙2n .若b n =an n，求数列{}a n 和{}b n 的通项公式.分析：在已知递推关系式a n +1=n +1n a n +()n +1∙2n的两边同除以n +1，将其变形为a n +1n +1-an n=2n ，构造出等比数列，再运用累加法即可解题.龚海亮谈学论教。

数列构造法求通项

数列构造求通项一、累加法例1 已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。

（2nan=）。

练习、在数列}{n a 中，11=a ，321+-=+nn n a a ，求数列}{n a 的通项公式。

（或构造成等差）二、累乘例2数列{}n a 中，211=a ，前n 项的和n n a n S 2=，求n a .1()(1)n a n n =+1n n a pa q +=+三、(1)形如：型递推式121n n n n a pa qn r a pa qn rn t++=++=+++变式：例3.在数列｛a n｝中，a1=1，a n+1=4a n+3n+1，求数列｛a n｝通项公式。

例4.在数列中，，求通项公式。

解：原递推式可化为，比较系数可得：，，上式即为是一个等比数列，首项，公比为。

所以。

故为所求。

练习：已知数列，其中，求通项公式。

1nn n a pa mq +=+(2)形如：型递推式11(n nn n n n a q p a q a q λλ++≠+=+⎧⎫⎨⎬⎩⎭可化为：p q 时，)构成等比数列或p=q 时，构造成等差数列11nn nnn n a pa mq a pa mq ++=+=+变式：+r 型递推式及+rn+t 型递推式例5.在数列｛a n ｝中，a 1=1，a n+1=3a n +2n（n ∈N *），求数列｛a n ｝通项公式。

例6n1n 1n n a 2a 2a 3n a +==++已知，，试求的通项公式。

n 1n 1nn a m3x n 1y 2a m3xn y ++++++=+++解：构造（）（）nn 1n 1n 11nn 1n m 1x 1y 1a 3n 1a -31122a 32-n 1---=-==-++=++⋅==+-展开化简依次可以解得，，所以（）所以练习：1、已知数列{}n a 满足1132313nn n a a a +=+⨯+=，，求数列{}n a 的通项公式。

用构造法求数列的通项公式汇总

用构造法求数列的通项公式汇总
1、等差数列：
1）定义：等差数列是指其各项两两之差皆相等的数列。

2）通项公式：若等差数列{an}的首项a1、公差d，则该数列的通项公式为：an = a1 + (n - 1)d
3）案例分析：
（1）求3,5,7,9,11,13的通项公式。

解：由等差数列的性质可知，该数列的首项为a1=3，公差d=2，故该数列的通项公式为：an=3+(n-1)2
（2）求1，7，13，19，25的通项公式。

解：由等差数列的性质可知，该数列的首项为a1=1，公差d=6，故该数列的通项公式为：an=1+(n-1)6
2、等比数列：
1）定义：等比数列是指其各项之比等于一个不为零的常数的数列。

2）通项公式：若等比数列{an}的首项a1和公比q，则该数列的通项公式为：an=a1q n-1
3）案例分析：
（1）求2、4、8、16的通项公式。

解：由等比数列的性质可知，该数列的首项a1=2，公比q=2，故该数列的通项公式为：an=2·2 n-1
（2）求2、6、18、54的通项公式。

解：由等比数列的性质可知，该数列的首项a1=2，公比q=3。

(完整版)用构造法求数列的通项公式汇总

用构造法求数列的通项公式上海外国语大学嘉定外国语实验学校徐红洁在高中数学教材中，有很多已知等差数列的首项、公比或公差(或者通过计算可以求出数列的首项,公比),来求数列的通项公式。

但实际上有些数列并不是等差、等比数列,给出数列的首项和递推公式,要求出数列的通项公式。

而这些题目往往可以用构造法，根据递推公式构造出一个新数列，从而间接地求出原数列的通项公式。

对于不同的递推公式，我们当然可以采用不同的方法构造不同的类型的新数列。

下面给出几种我们常见的构造新数列的方法：一．利用倒数关系构造数列。

例如：}{n a 数列中，若),(411,211N n a a a nn ∈+==+求a n n n nn b b a b ==+1,1则设+4, 即n n b b -+1＝４， n b {∴｝是等差数列。

可以通过等差数列的通项公式求出n b ,然再求后数列{ a n }的通项。

练习：1)数列{ a n }中，a n ≠0，且满足),(,311,2111N n a a a nn ∈+==+求a n 2)数列{ a n }中，,22,111+==+n nn a a a a 求a n 通项公式。

3)数列{ a n }中,),,2(02,0,1111N n n a a a a a a n n n n n ∈≥=-⋅+≠=--且求a n . 二．构造形如2n n a b =的数列。

例：正数数列{ a n }中，若n n n a N n a a a 求),(4,52211∈-==+ 解：设4,4,112-=--==++n n n n n n b b b b a b 即则),71(,429429429)4()1(25254}{2211N n n n a na n nb a b b n n n n ∈≤≤-=∴-=-=-⋅-+=∴==-即，是等差数列，公差是数列练习：已知正数数列{ a n }中，),2(2,211N n n a a a n n ∈≥==-, 求数列{ a n }的通项公式。

2023年新高考数学技巧解密之数列(新高考适用)专题05 构造法求数列通项的八种技巧(二)(解析版)

专题05 构造法求数列通项的八种技巧(二)【必备知识点】◆构造四:同型构造法所谓同型构造法,就是将找因式中的因子和数列项数相同或者相近的部分通过同除或同乘化归成结构相同的形式,形成新的数列,如常数列,等差数列或等比数列.下面让我们来看看有哪些模型结构吧. 模型一:111(1)1n n n n n n a a n a n a n +++−=−−−−→⋅+=⋅+左右同乘,构造n n b n a =⋅,则1n n b b +=,{}n b 为常数数列. 模型二:11111n n n n n a a n a a n n n +++−−−−−⋅→+==+左右同除,构造n n a b n=,则1n n b b +=,{}n b 为常数数列. 模型三:()()21112(1)(2)(1)n n n n n n a a n a a n n n n n ++++−−−−+=⋅=+−→++−左右同除,构造(1)n n a b n n =+,则1n n b b +=,{}n b 为常数数列.模型四:()111(1)221n n n n n n n a a na n a n +++−−−−−→=+=+左右同除,构造n n ab n=,则12n n b b +=,{}n b 为等比数列. 模型五:11111222212n n n n n n n n n n n n n a S S S S S n n S S S nn n ++++++++=⋅=⋅=⇒-⇒−−−−−→+⋅=左右同除,构造nn S b n=,则12n n b b +=,{}n b 为等比数列. 模型六:1111111n n n n n a a n a a n n n n ++++=⋅=+++−−−+−−→左右同除,构造n n a b n=,则11n n b b +=+,{}n b 为等差数列.模型七:12111122122n n n n n n n n a a a a +++++−=+=−−−→+−左右同除,构造2n nna b =,则11n n b b +=+,{}n b 为等差数列. 模型八:1111111n n a an n n n n n a a a a a a ++++-−−=-=−−−→左右同除,构造1n nb a=,则11n n b b +-=,{}n b 为等差数列. 看了这么多模型,是不是觉得很多,很难记住呢,其实向大家展示这么多,只是想向大家展示,当看到这类式子,尽量将1n +和1n a +,n 和n a 等因子和数列项数相同的部分划归成结构相同的形式,构造成新数列. 【经典例题1】已知数列{}n a 满足112,31n n n a a a n +==⋅+,求n a . 【解析】因为11n n na a n +=+,所以1(1).n n n a na ++=令n n b na =,则1n n b b +=,即{}n b 是常数数列,所以1n b b =,即221,33n n n na a a n=⨯==.【经典例题2】已知数列{}n a 中,12n n na a n +=+且12a =,求数列{}n a 的通项公式. 【解析】因为12n n na a n +=+,所以11(2),(1)(2)(1).n n n n n a na n n a n n a +++=++=+令(1)n n b n n a =+,则1n n b b +=,即{}n b 是常数数列,所以1.n b b =因此(1)1n n n a +=⨯422,.(1)n a n n ⨯=+【经典例题3】已知数列{}n a 中,12(1(1))n n na n a n n +++=+且11a =,求数列{}n a 的通项公式. 【解析】12(1(1))n n na n a n n +++=+,等式两侧同除(1)n n +,形成1121n n a a n n +=++,令n n ab n=,则121n n b b +=+,这又回到了构造一的形式,所以12(1)1n n b b +=++,{}1n b +是以2为首项,2为公比的等差数列,即12212n n n b -⨯+==, 21n n b =-,所以21n na n=-,(21)n n a n =-. 【经典例题4】已知11a =,且1(2)n n na n n a +=++,求数列{}n a 的通项公式. 【解析】等式两侧同除(1)(2)n n n ++,得1(1)(2)(1)(1)(2)1n n a a n n n n n n +=++++++,即1(1)(2)(1)(1)(2)1n n a a n n n n n n +-=+++++,1(1)(2)(1)(111)(2)n n a a n n n n n n +=-++++-+,另(1)n n a b n n =+，所以1(12)1)(1n n b b n n +--=++,接下来就是叠加法发挥作用的时候了212311b b -=-323411b b -=-434511b b -=-……111(1)n n b b n n ---=+ 叠加得1112(1)n b b n --=+,11122a b ==,所以1(1)11n b n n n =+=+-，即(1)1n a n n n n =++，2n a n =. 【练习1】已知数列{}n a 满足1111,3n n n n a a a a a ++=-=,则10()a =A. 28B. 128C. 28-D. 128- 【答案】B 【解析】数列{}n a 满足11a =,113n n n n a a a a ++-=,则:1113n na a +-=(常数) 则：数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以111a =为首项,3为公差的等差数列。

“构造法”求数列的通项公式

“构造法”求数列的通项公式作者：侯保霞来源：《神州》2011年第26期数列問题历年来都是高考命题的热点,求数列的通项公式更是高考重点考查的内容之一，常用的等差数列或等比数列可直接求出它们的通项公式，但有一些数列要通过构造来形成等差数列或等比数列，借助于构造出的等差数列或等比数列求原来数列的通项公式。

1．形如■的形式，令A（+m）= B(+ m)，然后对比系数求m的值，从而构造出等比数列。

例1：数列{an}中，■，求数列{an}的通项公式。

解析：设■，即■，与■对比系数得■即■，而■所以，数列{■}是首项为■，公比为■的等比数列，所以■，即■2. 递推式的两边同除以关于n的幂的形式构造等差数列。

例2：数列{bn}满足，■，求数列{bn}的通项公式。

解析：等式■的两边同除以2n+1，得到■即■所以，数列{■}为首项是■=1,公差是1的等差数列，所以，■3. 构造出数列的相邻两项之差，然后采用迭加的方法就可求得这一数列的通项公式.例3设｛an｝是首项为1的正项数列，且■，求数列的通项公式an.解：由题设得■4. 构造数列相邻两项的商式，然后连乘也是求数列通项公式的一种方法.例4：数列｛an｝中，■，前n项的和■，求an+1.■5. 形如■的形式，递推式的两边同除以■，构造倒数式。

例5：数列{an}是首项为1的正项数列并且满足，■（n∈N*），求数列{an}的通项公式。

■总之，构造等差数列或等比数列来求数列的通项公式，是求通项公式的重要方法也是高考重点考查的数学思想，当然题是千变万化的，构造方式也会跟着千差万别,要具体问题具体分析，需要我们反复推敲归纳，从而确定其形式，应该说构造方法的形成是在探索中前进，在前进中探索。