高考数学一轮复习课时检测第八章第七节抛物线理

第八章 第七节 抛物线

一、选择题

1．已知抛物线x 2＝ay 的焦点恰好为双曲线y 2－x 2

＝2的上焦点，则a 等于 ( )

A ．1

B ．4

C ．8

D ．16 解析：根据抛物线方程可得其焦点坐标为(0，a 4

)，双曲线的上焦点为(0,2)，依题意则有 a 4＝2, 解得a ＝8.

答案：C

2．抛物线y ＝－4x 2

上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是 ( )

A ．－1716

B ．－1516 C.716 D.1516 解析：抛物线方程可化为x 2＝－y 4，其准线方程为y ＝116

.设M (x 0，y 0)，则由抛物线的定义，可知116－y 0＝1⇒y 0＝－1516

. 答案：B

3．(2011·辽宁高考)已知F 是拋物线y 2

＝x 的焦点，A ，B 是该拋物线上的两点，|AF |＋|BF |＝3，则线段AB 的中点到y 轴的距离为 ( )

A.34

B ．1 C.54 D.74 解析：根据拋物线定义与梯形中位线定理，得线段AB 中点到y 轴的距离为：12

(|AF |＋|BF |)－14＝32－14＝54

. 答案：C

4．已知抛物线y 2

＝2px ，以过焦点的弦为直径的圆与抛物线准线的位置关系是 ( )

A ．相离

B ．相交

C ．相切

D ．不确定 解析：设抛物线焦点弦为AB ，中点为M ，准线l ，A 1、B 1分别为A 、B 在直线l 上的射影，

则|AA 1|＝|AF |，|BB 1|＝|BF |，于是M 到l 的距离d ＝12(|AA 1|＋|BB 1|)＝12(|AF |＋|BF |)＝12

|AB |＝半径，故相切．

答案：C

5．(2012·宜宾检测)已知F 为抛物线y 2＝8x 的焦点，过F 且斜率为1的直线交抛物线于A 、B 两点，则||FA |－|FB ||的值等于 ( )

A ．4 2

B ．8

C ．8 2

D ．16

解析：依题意F (2,0)，所以直线方程为y ＝x －2由⎩⎪⎨⎪

⎧ y ＝x －2，y 2＝8x ，消去y 得x 2

－12x ＋4＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则||FA |－|FB ||＝|(x 1＋2)－(x 2＋2)|＝|x 1－x 2|＝

x 1＋x 22－4x 1x 2＝144－16＝8 2.

答案：C

6．在y ＝2x 2上有一点P ，它到A (1,3)的距离与它到焦点的距离之和最小，则点P 的坐标是 ( )

A ．(－2,1)

B ．(1,2)

C ．(2,1)

D ．(－1,2)

解析：如图所示，直线l 为抛物线y ＝2x 2

的准线，F 为其焦点，PN ⊥

l ，AN 1⊥l ，由抛物线的定义知，|PF |＝|PN |，∴|AP |＋|PF |＝|AP |＋

|PN |≥|AN 1|，当且仅当A 、P 、N 三点共线时取等号．∴P 点的横坐标与A

点的横坐标相同即为1，则可排除A 、C 、D.

答案：B

二、填空题

7．(2012·永州模拟)以抛物线x 2＝16y 的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程为________．

解析：抛物线的焦点为F (0,4)，准线为y ＝－4，则圆心为(0,4)，半径r ＝8.所以，圆的方程为x 2＋(y －4)2＝64.

答案：x 2＋(y －4)2＝64

8．已知抛物线的顶点在原点，对称轴为y 轴，抛物线上一点Q (－3，m )到焦点的距离是5，则抛物线的方程为________．

解析：设抛物线方程为x 2＝ay (a ≠0)，

则准线为y ＝－a 4.

∵Q (－3，m )在抛物线上，

∴9＝am .

而点Q 到焦点的距离等于点Q 到准线的距离，

∴|m －(－a 4)|＝5.将m ＝9a

代入， 得|9a ＋a 4

|＝5，解得，a ＝±2，或a ＝±18， ∴所求抛物线的方程为x 2＝±2y ，或x 2＝±18y .

答案：x 2＝±2y 或x 2＝±18y

9．已知抛物线y 2＝4x 与直线2x ＋y －4＝0相交于A 、B 两点，抛物线的焦点为F ，那么| FA | ＋| FB | ＝________.

解析：由⎩⎪⎨⎪⎧ y 2＝4x 2x ＋y －4＝0，消去y ，得x 2－5x ＋4＝0(*)，方程(*)的两根为A 、B 两点

的横坐标，故x 1＋x 2＝5，因为抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，所以| FA | ＋| FB | ＝

(x 1＋1)＋(x 2＋1)＝7

答案：7

三、解答题

10．根据下列条件求抛物线的标准方程：

(1)抛物线的焦点是双曲线 16x 2－9y 2＝144的左顶点；

(2)过点P (2，－4)．

解：双曲线方程化为x 29－y 216

＝1， 左顶点为(－3,0)，

由题意设抛物线方程为 y 2＝－2px (p >0)，则－p 2

＝－3， ∴p ＝6，∴抛物线方程为y 2

＝－12x .

(2)由于P (2，－4)在第四象限且抛物线对称轴为坐标轴，可设抛物线方程为y 2＝mx 或x 2＝ny ，代入P 点坐标求得m ＝8，n ＝－1，

∴所求抛物线方程为y 2＝8x 或x 2

＝－y .

11．已知点A (－1,0)，B (1，－1)，抛物线C ：y 2＝4x ，O 为坐标原点，过点A 的动直线l 交抛物线C 于M ，P 两点，直线MB 交抛物线C 于另一点Q .若向量OM 与OP 的夹角为π4

，求△POM 的面积．