2004级《高等数学》(I)期末考试试卷(A)(答案)

2004级《高等数学》（I ）期末考试试卷(A)

答案及评分标准

一、填空题（本题共8小题，每小题3分，满分24分）：

1．=-+--→45215lim 22x x x x 81.

2. =--⎰+→x

dt e x t x cos 1)1(lim 001. 3. 设⎪⎩

⎪⎨⎧≤+>+=0,0,sin )1ln()(222x b x x x x x f 在0=x 处连续，则=b 1. 4. 曲线162

13123+++=x x x y 在点)1,0(处的切线方程是16+=x y . 5. 设x cos 为)(x f 的一个原函数，则=⎰

dx x xf )(C x x x +-sin cos .

6. ⎰-=+2

223sin )sin (cos ππtdt t t 32.

7. =⎰∞

+-022dx xe x 1.

8. 若向量与向量)2,1,2(-=平行，且满足18-=⋅，则=)4,2,4(--.

二、求解下列各题（本题共4小题，每小题6分，满分24分）：

1. 求极限()x x x cos ln 1203sin 1lim +→.

解 ()()x x x x x e x 3s i n 1ln cos ln 1lim cos ln 120203sin 1lim +→→=+ (2分)

()

x x x x x x x x x cos ln )3(lim cos ln 3sin lim 3sin 1ln cos ln 1lim 202020→→→==+ （4分） ,18cos 18lim 0-==→x

x x （5分） ()18cos ln 1203sin 1lim -→=+∴e x x x （6分）

2. 求由参数方程⎩

⎨⎧==t b y t a x sin cos 所确定的函数的二阶导数22dx y d . ,cot sin cos t a

b t a t b dx dy -=-= （3分） t

a b t a t a b dx y d 32222sin sin csc -=-= （6分） 3. 设x x y cos =，求dy .

解 ,ln cos x x e y = （2分）

)cos ln sin (ln cos x

x x x e y x x +

-=' （5分） )cos ln sin (cos x

x x x x x +-= （6分） 4. 求由方程0=-+e xy e y 所确定的隐函数y 的导数dx dy . 解 方程两边对x 求导得

0='++'y x y y e y （4分）

)0(≠++-=∴y y

e x e x y dx dy （6分） 三、求解下列各题（本题共4小题，每小题6分，满分24分）： 1. 求⎰++3011dx x x . （或令t x =+1）

解 ⎰⎰-+-=++303

0)11(11dx x x x dx x x ⎰+--=30)11(dx x （3分） 35)1(3

233023=++-=x （6分） 2. 求⎰-+102)2()1ln(dx x x .

解 dx x x x x x dx x dx x x ⎰⎰⎰-⋅+--+=-+=-+100101

0221112)1ln(2)1ln()2()1ln( （3分） dx x x ⎰⎪⎭

⎫ ⎝⎛-++-=102111312ln （4分）

2ln 3121ln 312ln 1

0=-+-=x x （6分） 3. 设⎩⎨⎧≤<-≤≤=21,

210,)(2x x x x x f ,求⎰20)(dt t f . 解 ⎰⎰⎰-+=211

022

0)2()(dt t dt t dt t f （3分） 65)2(21312

1

2=--=t （6分） 4. 证明方程0111304=+--⎰x

dt t x 在区间)1,0(内有唯一实根.

解 ⎰+--=x dt t x x f 04

1113)(设， （1分） 则)(x f 在]1,0[上连续，且-=<-=2)1(,01)0(f f 011104>+⎰dt t ，由零点定理， 至少)1,0(∈∃ξ使0)(=ξf . （3分）

又0113)(4>+-

='x

x f ，故)(x f 至多有一个零点， （5分） 综上所述，方程0111304=+--⎰x dt t x 在区间)1,0(内有唯一实根. （6分）

四、求解下列各题（本题共4小题，每小题6分，满分24分）：

1．试确定a 的值，使函数x x a x f 3sin 31sin )(+

=在3

π处取得极值，指出它是极大值还是极小值，并求出此极值. 解 x x a x f 3c o s c o s

)(+=' （1分） 201233cos 3cos )3(=⇒=-=+='a a a f 令ππ

π， (3分) 又x x a x f 3sin 3sin )(--=''，0)3

(<''π

f ， （5分） 3)3

(=∴πf 为极大值. （6分）

2．求抛物线22x y =与2

1x y +=所围图形的面积，及该图形绕y 轴旋转一周所成的旋转体的体积.

解 由⎪⎩⎪⎨⎧+==2212x y x y 得交点)2,1(-，)2,1( （2分）

34)1(2)21(210

22102=-=-+=⎰⎰dx x dx x x A ， （4分） 2)1(2)21(21

022102πππ=

-=-+=⎰⎰dx x x dx x x x V . （6分）

3．求过点)1,2,1(0-M 且与直线1

1122-=-=-+z y x 垂直相交的直线方程. 解 过点)1,2,1(0-M 且与直线1

1122-=-=-+z y x 垂直的平面方程为 0)1()2()1(2=++---z y x ，

即 012=++-z y x ， （2分）

令

t z y x =-=-=-+1

1122，得t z t y t x -=+=--=,1,22， 代入平面方程得32-=t ，求得平面与直线的交点为)3

2,31,32(-M ， （4分） )3

5,35,35(0--=MM ， 取)1,1,1(--=s ， 所求直线方程为 111211+=--=--z y x （6分） 4．已知 ,2,1,tan 4

0==⎰n dx x u n n π

，证明：(1) 1+≥n n u u ；

(2) 当2>n 时，112-=

+-n u u n n ； (3) {}n u 收敛，并求其极限. 证明 （1）)4,0(tan

tan 1π

∈≥+x x x n n ， （1分） 14014

0,tan tan ＋即n n n n u u dx x dx x ≥≥∴⎰⎰+ππ （2分）

（2）=

+-2n n u u ⎰⎰-+40240tan tan ππ

dx x dx x n n dx x x dx x x n n n )tan 1(tan )tan (tan 2402240+=+=

⎰⎰--π

π （3分） x d x x d x x n n t a n t a n s e c t a n 402240

2⎰⎰--==π

π 402tan 11π

x n n --=11-=n （4分） （3）1,0+≥≥n n n u u u 且 ，