第五讲-数列的极限与无穷等比数列各项的和
数列的极限-高中数学知识点讲解
数列的极限1．数列的极限【知识点的知识】1、数列极限的定义：一般地，如果当项数n 无限增大时，无穷数列{a n}的项a n 无限趋近于某个常数a（即|a n﹣a|无限地接近于 0），那么就说数列{a n}以a 为极限，记作푙푖푚a n＝a．（注：a 不一定是{a n}中的项）푛→∞2、几个重要极限：3、数列极限的运算法则：4、无穷等比数列的各项和：（1）公比的绝对值小于 1 的无穷等比数列前n 项的和，当n 无限增大时的极限，叫做这个无穷等比数列各项的和，记做S =푙푖푚S n．푛→∞（2）1/ 3【典型例题分析】典例 1：已知数列{a n}的各项均为正数，满足：对于所有n∈N*，有4푆푛=(푎푛+1)2，其中S n 表示数列{a n}的前n 项푛和．则푙푖푚푎푛=（）푛→∞1A．0 B．1 C．2D．2解：∵4S1＝4a1＝（a1+1）2，∴a1＝1．当n≥2 时，4a n＝4S n﹣4S n﹣1＝（a n+1）2﹣（a n﹣1+1）2，∴2（a n+a n﹣1）＝a n2﹣a n﹣12，又{a n}各项均为正数，∴a n﹣a n﹣1＝2．数列{a n}是等差数列，∴a n＝2n﹣1．푛푛1∴푙푖푚2푛―1=푙푖푚2―1푎푛=푙푖푚푛→∞푛→∞푛→∞푛=12．故选：C．典例 2：已知点P n（a n，b n）在直线l：y＝2x+1 上，P1 为直线l 与y 轴的交点，等差数列{a n}的公差为 1（n∈N*）．（1）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（2）设 c n =1푛|푃1푃푛|(푛≥2)，求푙푖푚(푐2+푐3+⋯+푐푛)的值；푛→∞（3）若d n＝2d n﹣1+a n﹣1（n≥2），且d1＝1，求证：数列{d n+n}为等比数列，并求{d n}的通项公式．解：（1）∵点P n（a n，b n）在直线l：y＝2x+1 上，P1 为直线l 与y 轴的交点，∴b n＝2a n+1，a1＝0，∵等差数列{a n}的公差为 1（n∈N*），∴a n＝0+（n﹣1）＝n﹣1．b n＝2（n﹣1）+1＝2n﹣1．（2）解：由（1）可得a n﹣a1＝n﹣1，b n﹣b1＝2n﹣1﹣1＝2n﹣2，∴|P1P n| =(푎푛―푎1)2+(푏푛―푏1)2=(푛―1)2+4(푛―1)2=5(푛―1)（n≥2）．2/ 3∴c n =1푛|푃1푃푛|=15푛⋅(푛―1)=115(푛―1―1푛)，∴c2+c3+…+c n =15[(1―112)+(2―113)+⋯+(푛―1―1푛)]=15(1―1푛)，∴푙푖푚(푐2+푐3+⋯+푐푛)=푙푖푚푛→∞푛→∞15(1―1푛)=5；5（3）证明：n≥2，d n＝2d n﹣1+a n﹣1，＝2d n﹣1+n﹣2，∴d n+n＝2（d n﹣1+n﹣1），∴数列{d n+n}为等比数列，首项为d1+1＝2，公比为 2，∴푑푛+푛=2푛，∴푑푛=2푛―푛．【解题方法点拨】（1）只有无穷数列才可能有极限，有限数列无极限．（2）运用数列极限的运算法则求数列极限应注意法则适应的前提条件．（参与运算的数列都有极限，运算法则适应有限个数列情形）1（3）求数列极限最后往往转化为푛푚（m∈N）或qn（|q|＜1）型的极限．（4）求极限的常用方法：①分子、分母同时除以n m 或a n．②求和（或积）的极限一般先求和（或积）再求极限．③利用已知数列极限（如等）．④含参数问题应对参数进行分类讨论求极限．∞⑤∞﹣∞，∞，0﹣0，等形式，必须先化简成可求极限的类型再用四则运算求极限．3/ 3。
导数第五课时：数列极限的运算法则+无穷等比数列和
数列极限的运算法则一、复习引入：函数极限的运算法则：如果{ EMBED Equation.3 |,)(lim ,)(lim 0B x g A x f x x x x ==→→则＿＿＿＿＿＿＿，＿＿＿＿（B ）数列极限的运算法则与函数极限的运算法则类似： 如果那么推广：上面法则可以推广到有限．．多个数列的情况。
例如，若，，有极限，则： 特别地，如果C 是常数，那么 例1.已知，求例2.求下列极限： （1）； （2）（3） （4）例4.求下列极限： （1） （2）1.数列极限的运算法则成立的前提的条件是：数列的极限都是存在，在进行极限运算时，要特别注意这一点。
当无限增大时，分式的分子、分母都无限增大，分子、分母都没有极限，上面的极限运算法则不能直接运用。
2.有限个数列的和（积）的极限等于这些数列的极限的和（积）。
3.两个（或几个）函数（或数列）的极限至少有一个不存在，但它们的和、差、积、商的极限不一定不存在。
小结：在数列的极限都是存在的前提下，才能运用数列极限的运算法则进行计算；数列极限的运算法则是对有限的数列是成立的。
练习与作业：1.已知，求下列极限 （1）； （2）无穷等比数列各项的和1、等比数列的前n 项和公式是_________________________________________________无穷等比数列各项的和：公比的绝对值小于1的无穷等比数列前n 项的和当n 无限增大时的极限，叫做这ABCah 第4题个无穷等比数列各项的和. 设无穷等比数列的公比的绝对值小于1，则其各项的和S 为1、求无穷等比数列 0.3， 0.03， 0.003，…各项的和.1、求下列无穷等比数列各项的和： （1） （2）（3） （4）3、如图，等边三角形ABC 的面积等于1，连结这个三角形各边的中点得到一个小三角形，又连结这个小三角形各边的中点得到一个更小的三角形，如此无限继续下去，求所有这些三角形的面积的和.4、如图，三角形的一条底边是a ,这条边上的高是h（1）过高的5等分点分别作底边的平行线，并作出相应的4个矩形，求这些矩形面积的和（2）把高n 等分，同样作出n －1个矩形，求这些矩形面积的和；（3）求证：当n 无限增大时，这些矩形面积的和的极限等于三角形的面积ah/2.求下列极限：（1）； （2）。
无穷递缩等比数列各项和.ppt
a1 S , ( q 1) 1 q
• 注意：（1）我们把|q|<1无穷等比数列 称为无穷递缩等比数列，它的前n项和的 极限才存在， • 当|q|≥1无穷等比数列它的前n项和的极 限是不存在的。 • （2）S是表示无穷等比数列的无限项和， 这种无限个数的和与有限个数的和从意 义上来说是把不一样的，它是前n项和Sn lim S n 当n→∞的极限，即S=
求无穷等比数列 2 1,
2 1 ,· · · · ,的所有项和.
解： a1 q 2 1, 2 1 3 2 2 2 1
2 1 3 2 2 s 2 1 3 2 2
a1 使用公式 S 1 q 要注意三个问题
:
• （1）所给数列是等比数列； • （2）公比的绝对值小于1; • (3)前n项和与所有项和的关系:
无穷递缩等比数列各项和
几个基本数列的极限
1.
1 lim 0 n n
q 1时, lim q 0
n n
2.
3.
c为常数, lim c c
n
n
lim
x
1 1 n
=e
引例:把无限循环小数 0.333· · · · · 化为一个分数.
定义:我们把|q|<1的无穷等 比数列前n的和Sn,当n→∞ 时的极限叫做无穷等比数 列各项和.
• •
lim Tn =
n
lim
x
n
=1;
• 当q≠1时， Sn =
1 q 1 q
n
, Tn =
1 q n1 lim n 1 q n
Sn1 1 qn1 Sn 1 qn
数列极限
数列极限数列极限定义：一般地，在n 无限增大的变化过程中，如果无穷数列{}n a 中的n a 无限趋近于某个常数A ，那么A 叫做{}n a 的极限，记作lim n n a A →∞=。
注意：⏹ A 是常数，数列必须是无穷数列。
⏹{}n a 以A 为极限，可以lim 0lim n n n n a A a A →∞→∞-=⇔=（趋近） ⏹ 数列的极限与数列的前任何有限项都无关。
几个重要结论：1） 对于数列{}nq ，当1q <时，有lim 0nn q →∞=2） 对于等比数列{}nq ，当01q <<时，有lim 0nn q →∞=3） 对于数列1n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭，有1lim0n n→∞= 4） 对于常数数列{}c ，有lim n c c →∞=数列极限运算性质：如果lim n n a A →∞=，lim n n b B →∞=那么：✧ lim()lim lim n n n n n n n a b a b A B →∞→∞→∞±=±=+✧ lim()lim lim n n n n n n n a b a b A B →∞→∞→∞=⋅=⋅✧ lim lim (0)lim n n n n n nn a a A B b b B →∞→∞→∞==≠常见数列极限类型：第一类：关于自然数n 的多项式的商的极限1111011110lim kk k k l l n l l a n a n a n a b n b n b n b ---→∞-++++=++++ 0kla k lb k l ⎧ =⎪⎨⎪ <⎩（其中当k l >时，极限不存在）第二类：关于自然数n 的指数式极限lim n n q →∞=0111q q ⎧ <⎪⎨ =⎪⎩（当11q q > =-或时，极限不存在）等差数列中的数列极限： 1()n a dn a d d R =+-∈当0d =时，1lim n n a a →∞=；当0d ≠时，极限不存在。
数列与数列的极限与等比数列的求和问题解答的证明
数列与数列的极限与等比数列的求和问题解答的证明数学中，数列是由一串有限或无限的数按照一定顺序排列而成的。
数列的极限是指当数列中的数值无限逼近某个固定值时，该固定值即为数列的极限。
而等比数列是指数列中的每一项与其前一项之比都相等的数列。
在本文中，我们将详细探讨数列与数列的极限以及等比数列的求和问题，并给出相关问题的证明。
一、数列的极限1. 有界数列的极限对于一个有界数列，它的上界与下界各有一个固定值。
假设数列的上界为M，下界为m。
当数列中的每一项都无限逼近M或m时，该数列的极限即为M或m。
证明过程如下：- 首先，根据上界与下界的定义，数列中的所有项必定小于等于M 且大于等于m。
- 其次，由于数列是按照一定顺序排列的，可以推断出随着数列中项的增加，每一项都会无限逼近M或m。
- 最后，可以根据数列定义及数学归纳法证明，当数列中的每一项都无限逼近M或m时，该数列的极限即为M或m。
2. 无穷大数列的极限无穷大数列是指当数列中的每一项都趋向于正无穷或负无穷时。
证明过程如下：- 首先，根据数列的定义，无穷大数列中的每一项都无限逼近正无穷或负无穷。
- 其次，可以利用数学归纳法证明，当数列中的每一项都趋向于正无穷或负无穷时，该数列的极限即为正无穷或负无穷。
二、等比数列的求和问题等比数列的求和问题是指对于一个等比数列，求其前n项的和。
设等比数列的首项为a，公比为r，前n项的和为Sn。
根据等比数列的性质，可得到以下公式：1. 当r=1时，等比数列退化为等差数列，其前n项和的计算公式为Sn = na。
2. 当r≠1时，等比数列的前n项和的计算公式为Sn = a * (1 - r^n) / (1 - r)。
以上公式可以通过数学归纳法证明，具体证明过程略。
三、综合例题考虑一个等差数列的极限与等比数列的求和问题的综合例题：已知数列{an}的通项公式为an = 2^n + 3^n，求该数列的前n项和Sn。
首先，我们可以观察到该数列是由两个不同的幂函数相加而成的。
数列与数列的极限与等比数列的求和问题解答的证明的综合考察
数列与数列的极限与等比数列的求和问题解答的证明的综合考察数列在数学中起着重要的作用，它不仅可以描述数值的变化规律，还可以用于解决各种实际问题。
在数列的研究中，极限与等比数列的求和问题是常见且重要的内容。
本文将对这两个问题进行综合考察，并给出相应的证明。
一、数列的极限数列的极限是指当数列中的项无限逼近某个值时，该值即为数列的极限。
我们可以用一种简洁的表示方法来描述数列的极限，即极限符号。
表示为：lim (n→∞) an = L其中，lim表示极限，n表示数列的项数，an表示数列的第n项，L表示极限值。
证明：对于数列{an}，若存在实数L，对于任意给定的ε>0，都存在正整数N，使得当n>N时，有|an-L|<ε成立，那么称L为数列的极限。
二、等比数列的求和问题等比数列是指一个数列中，任意两个相邻的项的比值都相等的数列。
等比数列的求和问题是指求等比数列中前n项和的问题，我们可以用一个公式来表示等比数列的前n项和，即：S_n = a_1(1 - r^n)/(1 - r)其中，S_n表示等比数列的前n项和，a_1表示等比数列的首项，r 表示等比数列的公比。
证明：等比数列的前n项和可以通过以下方法得出。
首先，我们可以得到一个等比数列的递归公式：a_n = a_1 * r^(n-1)然后，我们对该递归公式进行推导得到：S_n = a_1 + a_1 * r + a_1 * r^2 + ... + a_1 * r^(n-1)通过将等式两边乘以公比r，我们可以得到：r * S_n = a_1 * r + a_1 * r^2 + ... + a_1 * r^n接着，我们将上述两个等式相减，可得：S_n - r * S_n = a_1 - a_1 * r^n化简后，可以得到等比数列的前n项和的公式：S_n = a_1 * (1 - r^n)/(1 - r)三、综合考察与证明在上述数列的极限与等比数列的求和问题的基础上，我们综合考察这两个问题并给出相应的证明。
无穷等比数列各项的和
练习3:已知{an}是公差不为0的等差数列，如果Sn nan 是{an}的前n项和，求 lim 的值。 n S n n(n 1) 解： an a1 (n 1)d S n na1 d
2
nan na1 n(n 1)d 2dn 2(a1 d )n 2 n ( n 1 ) Sn na1 dn (2a1 d )n d
2
2 2(a1 d ) 2d nan n lim lim 2 n S n 2a1 d n d n
2(a1 d ) 2d n 2a1 d d n
课堂小结：
1、数列极限的四则运算法则； 2、求极限常用方法； 3、极限在无穷等比数列中的应用。
. .
(3)0.214 0.2 0.014 0.2 0.014 0.000014 2 0.014 2 14 212 214 2 106 . 10 1 0.01 10 990 990 990 445
说明: 由上知化循环小数为分数,实际上就是求无穷等比 数列的各项之和,且有下列结论:
. .
. .
(1)纯循环小数化为分数:这个分数的分子就是一个循环 节的数字组成的,分母的各位数字均是9,9的个数和一个循 环节的位数相同.
. . 6 2 . . 12 4 370 10 如： 0.6 ;0.12 ;0.37 0 ; 9 3 99 33 999 27 .
(2)混循环小数化为分数:这个分数的分子是小数点后,第 二个循环节前面的数字所组成的数减去不循环部分数字所 组成的数所得的差, 分母的头几个数字是9,末几个数字是0, 其中9的个数与一个循环节的位数相同,0的个数与不循环部 分的位数相同.
无穷等比数列的各项和
无穷等比数列各项和
一、引言无穷等比数列是数学中一个重要的概念，它具有广泛的应用。
无穷等比数列各项和的研究，对于理解数列的性质、解决实际问题以及深入探索数学领域具有重要意义。
本文将介绍无穷等比数列各项和的概念、性质、计算方法以及应用，旨在为广大读者提供一份关于无穷等比数列各项和的全面概述。
二、无穷等比数列的定义及性质1. 定义无穷等比数列是指一个数列，其中任意一项与其前一项的比值是一个常数。
设无穷等比数列的首项为a1，公比为q，则该数列可表示为：a1, a1q, a1q^2, a1q^3, ...2. 性质（1）若公比q≠1，则无穷等比数列各项和S不存在。
（2）若公比q=1，则无穷等比数列各项和S=a1。
（3）若公比q≠1，且|q|<1，则无穷等比数列各项和S存在，且S=a1/(1-q)。
三、无穷等比数列各项和的计算方法1. 公比q=1时此时，无穷等比数列各项和S=a1。
2. 公比q≠1时此时，无穷等比数列各项和S=a1/(1-q)。
四、无穷等比数列各项和的应用1. 解决实际问题（1）计算无限级数的和在物理学、工程学等领域，许多实际问题都涉及到无限级数的和。
例如，计算电子在导体中的电阻、计算卫星在轨道上的能量等。
无穷等比数列各项和的计算方法为解决这类问题提供了有力工具。
（2）计算人口增长在生物学、经济学等领域，人口增长模型常常采用无穷等比数列。
利用无穷等比数列各项和的计算方法，可以预测未来人口数量。
2. 深入探索数学领域（1）研究数列的性质无穷等比数列各项和的研究有助于我们更好地理解数列的性质，如收敛性、极限等。
（2）探索数学问题无穷等比数列各项和的计算方法在解决一些数学问题中具有重要意义。
例如，在解析几何中，利用无穷等比数列各项和可以证明圆的面积公式。
五、总结无穷等比数列各项和是数学中一个重要的概念，它具有广泛的应用。
本文介绍了无穷等比数列的定义、性质、计算方法以及应用。
通过对无穷等比数列各项和的研究，我们可以更好地理解数列的性质，解决实际问题，并深入探索数学领域。
初中数学教案 数列的极限与等比数列求和
初中数学教案数列的极限与等比数列求和数列是数学中常见的概念之一，它由一系列按照一定规律排列的数所组成。
数列的极限及等比数列的求和是初中数学中重要的内容，本教案旨在通过清晰的讲解和具体例题的实践，帮助学生掌握数列的极限求解和等比数列求和的方法。
一、数列的极限1. 引入当一个数列的前几项趋近于某个常数时，我们说该数列有极限。
用数学的语言描述，数列{an}有极限L，表示为lim(n→∞) an = L。
在数列中逐渐增大或逐渐减小的数，就是数列的极限。
2. 数列的收敛和发散数列的极限分为收敛和发散两种情况。
若数列{an}有极限L，且满足当n趋近于无穷大时，数列的差值an - L趋近于0，则称数列收敛于L。
反之，若数列{an}无极限或数列的差值an - L无限趋近于无穷大，则称数列发散。
3. 数列极限的性质- 数列极限唯一性：若数列{an}的极限存在，则该极限唯一。
- 收敛数列的有界性：若数列{an}收敛，则数列的所有项有界。
- 收敛数列的保号性：若数列{an}收敛于L，且an > 0，则L > 0。
4. 数列极限的求解方法数列的极限求解方法根据不同的数列类型可以有不同的应用技巧。
以下是几种常见的数列类型及其求解方法：- 等差数列：对于等差数列{an}，若公差为d，则数列的极限为d。
- 等比数列：对于等比数列{an}，若公比为q (|q| < 1)，则数列的极限为0。
- 斐波那契数列：对于斐波那契数列{an}，极限为黄金分割比(1 + √5) / 2。
二、等比数列求和1. 引入等比数列是一种数列，其每一项与前一项的比相等，称为公比。
形式化地表示为an = a1 * q^(n-1)，其中a1为首项，q为公比，n为项数。
2. 等比数列求和公式等比数列的求和公式可以通过以下步骤推导得出：令S_n表示等比数列{an}的前n项和，则有：S_n = a1 + a1q + a1q^2 + ... + a1q^(n-1)qS_n = a1q + a1q^2 + ... + a1q^(n-1) + a1q^n两式相减得到：S_n - qS_n = a1 - a1q^n化简得：S_n(1 - q) = a1(1 - q^n)因此，等比数列的前n项和公式为：S_n = a1(1 - q^n) / (1 - q)三、实例分析例如，已知等比数列{an}的首项a1 = 2，公比q = 0.5，求该数列的前5项和S_5。
无穷等比数列的各项和
93 2
于是，这些垂线长的和l是：
如图，从∠BAC的一条边上一点B作BC⊥AC， 从C作CD⊥AB，从D再作DE⊥AC，这样无限地进行 下去，假定BC＝7cm，CD＝6cm，求这些垂线长的和．
小结:
1.无穷等比数列各项的和
S a1 , q 1,q0 1q
2. S与Sn的关系
S
lim
n
Sn
3. 应用题的解法
如果 lim an=A，
n
lim bn=B
n
那么
(1) lim (an±bn)=A±B n
(２)lni
m
(an·bn)=A·B
(３)lni
m
an b n
=
A B
(B≠0)
特别注意：数列极限运算法则运用的前提: （１） 参与运算的各个数列均有极限;
(２)运用法则,只适用于有限个数列参与运算, 当无限个数列参与运算时不能首先套用.
(3 )S n 1 7 7 2 2 7 1 3 7 2 4 7 1 5 7 2 6 7 1 n3 ( 2 1 )n
s101 0 1
2
23
25
1
121
2 5
4
1
2
7 72 7 2 3 1712 1712 48 48 16
4）化无限循环的小数为分数
例 .化 0 .9 为 分 数 .
1 2n
111 39
31n1
5 3
lim
n
1
a
a
n
0
a1
2
3、若
a
1
A、
2
,则a的范围是( ) B、a<1
C、
D、a=1
数列的极限与无穷等比数列的各项和
数列的极限与无穷等比数列的各项和【知识梳理】 1、极限的概念当n 无限增大（n →+∞）时，若n a 无限趋近于一个确定的常数A ，则称a 为数列{}n a 的极限，记为：lim n n a A →∞=.（1）若果1q <，则lim 0nn q →∞=；（2）若n a C =，则lim n n a C →∞=（其中C 为常数）；（3）1lim0n n→∞=. 【注】高等数学中关于极限的定义极限，给定数列{}n a 和实数A ，若对任意的0ε>，存在M ，对任意的()*N n M n >∈，都有n a A ε-<，则称A 为n →+∞时数列{{}n a 的极限，记作lim n n a A →∞=.2、极限的运算法则若lim n n a A →∞=，lim n n b B →∞=，则（1）()lim lim lim n n n n n n n a b a b A B →∞→∞→∞±=±=±；（2）()lim lim lim n n n n n n n a b a b A B →∞→∞→∞⋅=⋅=⋅；（3）()lim lim 0lim n nn n nn n a a A B b b B→∞→∞→∞⎛⎫==≠⎪⎝⎭. 【注】注意极限运算性质的适用条件是：极限存在；【注】分式取极限时，分母的极限不能为0；【注】极限运算性质一般只对有限项数列成立.对于不是有限项的式子，在求极限时，一般需要先化简，将其转化为有限项，在利用上述极限运算法则求解.对于有限项数列，式子中的极限都不存在时，还需要对式子进行等价变形，整理成极限存在的形式后才能使用上述法则；【注】上述法则可以推广到有限个数列，有限个数列的和（积）的极限等于这些数列的极限的和（积）；【注】两个（或几个）数列的极限至少有一个不存在，但它们的和、差、积、商的极限不一定不存在．3、无穷等比数列的各项和当无穷等比数列的公比1q <时的前n 项和n S 当n →+∞时的极限叫做无穷等比数列的各．．．．．．．．项和．．，并用符号S 表示，即()1lim 1,01n n aS S q q q→∞==<≠-.【注】无穷等比数列的各项和有些时候又称作等比数列的所有项和，其本质是等比数列前n 项和n S 当n →+∞时的极限；【注】上述公式在使用过程中需要注意公式使用的前提：1q <且0q ≠，各项和的结果等于11a q-，注意辩证理解式中的1a 与q 的含义； 【注】部分等比数列{}n a ，且1q <，若是从第1m +项开始才是等比数列，则该数列的所有项和()1lim 11m n m n a S S S q q+→∞==+<-. 4、常见的几个极限 （1）()lim0,,,,R n an b aac a b c d cn d c→∞+=≠∈+；（2）()22lim 0,,,,,,R n an bn c aad a b c d e f dn en f d→∞++=≠∈++； （3）0,11,1lim 11nn q q q q q →∞⎧<⎪=⎪=⎨>⎪⎪=-⎩不存在，不存在，；（4）(),lim ,n nn n n ma b p m a n b a b n p a q b a b q→∞⎧>⎪⋅+⋅⎪=≠⎨⋅+⋅⎪<⎪⎩； 【注】分式型，极限等于最高此项的系数比；指数型，极限等于底数的绝对值大的系数比.【注】对于分子分母是关于n 的整式的分式型极限，若分子的最高的幂指数大于分母的最高的幂指数，则此式极限不存在；当分子的最高的幂指数与分母的最高的幂指数相同时，极限是分子、分母的最高次幂的系数比；当分子的最高的幂指数小于分母的最高的幂指数时，极限是零.【典型例题】 例1、求下列极限（1）33lim 2nn C n n→∞=+_______； （2）21lim3n n n n→∞+=+_______；（3）23lim 2n n n n →∞⎛⎫--= ⎪+⎝⎭_______； （4）22214lim 1n n n n →∞-⎛⎫+= ⎪+⎝⎭_______； （5）lim n =_______；（6）1234....(21)2lim1n n nn →∞-+-++--=-_______；（7）24lim135(21)nn C n →∞=++++-_______； （8）222235721lim 1111n n n n n n →∞+⎛⎫++++= ⎪++++⎝⎭_______； （9）22221111lim 1111223n n →∞⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫----= ⎪⎪⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦_______； （10）已知*2,N k k ≥∈，求2111lim 3221222n k n n n n n k →∞⎡⎤⎛⎫----⎪⎢⎥+++⎝⎭⎣⎦.例2、已知21lim 0,1n n an b n →∞⎛⎫+--= ⎪+⎝⎭则a =_______，b =_______.【变式1】若1432lim2=+++∞→n bn an n ，则=a ________；=b ________. 【变式2】若1432lim2=+++∞→n bn an n ，则=a ________；=b ________. 【变式3】若2(12...)1lim 2532x a n n n →∞+++=-+，则=a ________.例3、数列{}n a 满足()()211++=n n a n ,则()123lim n n a a a a →∞++++=________.例4、若lim(12)nn x →∞-存在，则实数x 的取值范围为________.【变式】若lim 1()11nn x x →∞⎡⎤-=⎢⎥+⎣⎦，则x 的取值范围为________.例5、求下列极限（1）21(5)3lim (5)3n n n n n ++→∞-+=-+_______；（2）11(2)lim 124(2)n n n +-→∞-=-+-+-_______； （3）11111lim (1)39273n n n -→∞⎡⎤-+++-=⎢⎥⎣⎦_______；（4）1111242lim 1111393n n n →∞++++=++++_______； （5）24235211lim n n n a a a a a a a -→∞++++=++++_______；（6）若24a ≠，则2lim 2n n n n n a a →∞+=-_______；（7）113lim 3n n n n n a a ++→∞-=+_______；（8）已知0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则cos sin lim cos sin n n n n n →∞-=+θθθθ_______；例6、已知0>a ,0>b ,若11lim 5n n n nn a b a b ++→∞-=-，则b a +的值不可能．．．是（ ） A ．7 B.8 C.9 D.10【变式1】若022lim 1=++∞→n n nn a，则实数a 的取值范围是_________ 【变式2】已知,a b 是不等的两正数，若11lim2,n n n nn a b a b ++→∞-=+则b 的取值范围是________. 【变式3】已知131lim 3(1)3n n n n a +→∞=++，则实数a 的范围________.【变式4】已知a +∈R ，且111321111lim 4lim 1(1)3239273n n n nn n n n a a +--→∞→∞-⎡⎤=⋅-+-++-⎢⎥+⎣⎦，求实数a 的取值范围.例7、已知(1nn a b =+,n n a b 均为正整数），计算limnn na b →∞例8、已知1000322,10001,102n n n n n a n --⎧≤⎪⎪=⎨⎛⎫⎪> ⎪⎪⎝⎭⎩，则lim n n a →∞=___________． 【变式】已知(12011)112()(2012)3n n nn n a n ⎧≤≤⎪⎪+=⎨⎪-⋅≥⎪⎩,则lim n x a →∞=________.【变式】已知1113(1)1342n n n n n a n -⎧≤≤⎪+⎪=⎨⎪⋅≥⎪⎩，n S 为{}n a 的前n 项和，求lim n n a →∞与lim n n S →∞例9、下列命题中正确的命题是： A.若lim n x a A →∞=，lim n x b B →∞=，则limn x na Ab B →∞=（*0,n b n N ≠∈）B.若数列}{n a ，}{n b 的极限都不存在，则}{n n b a +的极限也不存在C.若数列}{n a ，}{n n b a +的极限都存在，则}{n b 的极限也存在D.设n n a a a S ...21++=，若数列}{n a 的极限存在，则数列}{n S 的极限也存在【变式1】“lim ,lim nnn n a p b r →∞→∞==”是“lim n n na pb r→∞=”成立的（ ） A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分也非必要条件【变式2】已知12120121()20122n n n n a n -- , <⎧⎪=⎨- , ≥⎪⎩，n S 是数列{}n a 的前n 项和（ ）A.lim n n a →∞和lim n n S →∞都存在 B.lim n n a →∞和lim n n S →∞都不存在C.lim n n a →∞存在,lim n n S →∞不存在 D.lim n n a →∞不存在，lim n n S →∞存在例10、已知()lim 312n n n a →∞-=⎡⎤⎣⎦，求()lim 5n n na →∞.【变式1】已知()lim 2n n n a b →∞+=，lim(34)1n n n a b →∞-=-，求下列极限：（1）lim n n a →∞；（2）lim()n n n a b →∞⋅；（3）()lim 2n n n a b →∞-【变式2】已知,2lim =∞→n n a 求nn n a n a n -+∞→lim例11、已知23lim 432n n a n n →∞⎡⎤⎛⎫⋅+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，写出{}n a 的一个通项公式n a =________.【变式1】{}n a 是等差数列，公差0≠d ，n S 是前n 项和，则()=++∞→1lim n n nn a a n S ________.【变式2】若三数c a ,1,成等差，且22,1,c a 成等比.则22lim nn a c a c →∞+⎛⎫⎪+⎝⎭值为________.【变式3】已知{},{}n n a b 为公差不为零的等差数列，且lim 2n n na b →∞=，求122...lim nn n a a a nb →∞+++.【变式4】已知{}n a 为无穷等比数列，公比为(0)q q >且1a a =，求1limnn n S S →∞+与22212limnn nS a a a →∞+++.【变式5】首项为1，公比为()0q q >的等比数列前n 项和为n S ,则.______lim 1=+∞→n nn S S【变式6】在数列{}n a 中, 10a ≠, 当*n N ∈时, 111n n a a n +⎛⎫=+⎪⎝⎭．数列{}n a 的前n 项和为n S , 则2limnn nS S →∞=________.【变式7】已知数列的各项均为正数，满足：对于所有，有，其中表示数列的前项和．则_______.}{n a *N ∈n 2)1(4+=n n a S n S }{n a n =∞→nn a nlim【变式8】已知各项为正数的等比数列{}n a 的首项，公比为x ，前n 项和为n S ，设1()lim2n n nS f x S +→∞=（1）求()f x 的解析式； （2）作出()f x 的图像．【变式9】矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛nn n n n n n a a an a a a a a a a a a32333322232211312321中每一行都构成公比为2的等比数列，第i 列各元素之和为i S ，则2lim 2nnn S n →∞=⋅_______.【变式10】数列{}n a 中，12a =，对于任意*m n N ∈、，都有2m n m n a a a +=++，n S 是{}n a 的前n 项和，则lim 1nn nna S →∞=+_______.例12、已知ABC ∆顶点分别是))(0,24(),2,0(),2,0(N n nC n B n A ∈+-，记△ABC 的外接圆面积为n S ，则=∞→n n S lim ________.【变式】在平面直角坐标系中，定义11n n nn n nx y x y y x ++=-⎧⎨=+⎩()*n ∈N 为点(,)n n n P x y 到点111(,)n n n P x y +++的一个变换，我们把它称为点变换.已知()10,1P ，222(,),,P x y (,)n n n P x y()()*111,n n n P x y n +++∈N 是经过点变换得到的一列点.设1n n n a P P +=，数列{}n a 的前n 项和为n S ，那么lim nn nS a →+∞=________.例13、数列}{n a 是等比数列，前n 项和为n S ，且11lim a S n n =∞→，求1a 的取值范围.【变式1】数列}{n a 是等比数列，首项11=a ，公比1-≠q ，求nn S 1lim ∞→的值.【变式2】已知{}n a 为无穷等比数列，满足11a =，12(...)n n n a k a a ++=++，求实数k 的取值范围【变式3】已知各项均为正数的无穷等比数列中，，，则此数列的各项和_______.{}na 11a =31a =S =【变式4】已知无穷等比递缩数列{}n a 中，11a =，{}n a 的所有项和为S ，前n 项和为n S ，则123lim()n n S S S S nS →∞++++-=_______.【变式5】已知数列{}n a 满足11a =，()*111N 2n n n a a n ++⋅=∈，求()123lim +n n a a a a →∞+++.【变式6】已知2,32,4n n n n a n -≤⎧=⎨≥⎩，求()123lim +n n a a a a →∞+++.例14、如图，已知正111A B C ∆的边长是1，面积是1P ，取111A B C ∆各边的中点222,,A B C ，222A B C ∆的面积为2P ，再取222A B C ∆各边的中点333,,A B C ，333A B C ∆的面积为3P ，依此类推.记123n n S P P P P =++++，则lim n n S →∞=__________．A 1B 1C 12B 2C 2A 3B 3C 3【变式1】如图，在边长为1的等边ABC ∆中，圆1O 为ABC ∆的内切圆，圆2O 与圆1O 外切，且与AB 、BC 相切，，圆1n O +与圆n O 外切，且与AB 、BC 相切，如此无限继续下去，记圆n O 的面积为{}()*N n a n ∈.（1）证明{}n a 是等比数列；（2）求()123lim n n a a a a →∞++++的值.【变式2】已知函数()f x kx m =+，当11[,]x a b ∈时，()f x 的值域为22[,]a b ，当22[,]x a b ∈时，()f x 的值域为33[,]a b ，以此类推，一般地，当11[,]n n x a b --∈时，()f x 的值域为[,]n n a b ，其中,k m 为常数，且110,1a b ==．（1）当1,2k m ==时，求数列{}{},n n a b 的通项公式；（2）当2m =时，问是否存在常数0k >，使得数列{}n b 满足lim 4n n b →∞=？若存在求出k 的值；若不存在，请说明理由．（3）当10k -<<，设{}{},n n a b 的前n 项和为n S 、n T ，求lim()n n n T S →∞-．。
数列的极限与无穷级数求和
数列的极限与无穷级数求和数学中的数列和级数是常见的概念，在许多数学问题中都有着重要的应用。
本文将探讨数列的极限和无穷级数求和的相关概念和性质。
一、数列的极限数列是按照一定规律排列的一系列数值的集合。
对于一个数列{an}，其中an表示数列中的第n个数。
当n趋向于无穷大时，数列可能会逐渐趋近于一个确定的数值，这个数值被称为数列的极限。
数列的极限可以用以下符号表示：lim(n→∞)an = L其中，lim表示极限，n→∞表示n趋向于无穷大，an表示数列中的第n个数，L表示数列的极限值。
若数列{an}的极限存在且为L，则称该数列收敛于L。
若数列的极限不存在，则称该数列发散。
数列的极限有以下基本性质：1. 极限的唯一性：若数列{an}收敛于L，则其极限值唯一。
2. 有界性：若数列{an}收敛于L，则存在正数M，使得对于所有的n，都有|an| ≤ M。
3. 保序性：若数列{an}收敛于L，且bn是另一个数列，满足an ≤ bn，则数列{bn}的极限也收敛且不大于L。
二、无穷级数求和无穷级数是指由数列的各项之和构成的级数。
常见的无穷级数形式为：S = a1 + a2 + a3 + ...其中，a1、a2、a3等表示数列的各项。
对于无穷级数，我们关心的是它是否收敛以及如何求和。
对于收敛的无穷级数，我们可以通过求和的方法计算其和。
常见的无穷级数求和方法有以下几种：1. 等差数列求和公式：若无穷级数可以表示为S = a + (a + d) + (a + 2d) + ...，其中a为首项，d为公差，则无穷级数的和可表示为：S = a / (1 - d)2. 等比数列求和公式：若无穷级数可以表示为S = a + ar + ar^2 + ...，其中a为首项，r为公比（|r| < 1），则无穷级数的和可表示为：S = a / (1 - r)3. 绝对收敛级数求和：对于绝对收敛级数，可以通过重新排列项的顺序，将其拆分为正项级数和负项级数，然后对正项级数和负项级数分别求和。
数列的极限与等比数列求和
数列的极限与等比数列求和数学中的数列是由一系列按照特定规律排列的数所组成的序列。
在数列中，常常会涉及到两个重要的概念，即极限和等比数列求和。
本文将探讨数列的极限以及等比数列求和的相关知识，并介绍它们在数学中的应用。
一、数列的极限数列的极限是指随着数列项数的增加，数列中的数值逐渐趋近于某个确定的值。
当数列的极限存在时，我们可以通过一定的方法来计算并求得其极限值。
以下是几种常见的数列极限计算方法：1.1 极限的定义假设有一个数列{a_n}，若存在一个实数L，使得对于任意给定的正数ε，总存在正整数N，当n>N时，有|a_n - L| < ε成立，则称L为数列{a_n}的极限。
即数列{a_n}的极限为L。
1.2 等差数列的极限等差数列是指数列中相邻两项之差保持不变的数列。
对于等差数列{a_n}，其通项公式为a_n = a_1 + (n-1)d，其中a_1为首项，d为公差。
对于等差数列来说，无论数列中项数多少，其极限值都为首项a_1。
1.3 等比数列的极限等比数列是指数列中相邻两项之比保持不变的数列。
对于等比数列{a_n}，其通项公式为a_n = a_1 * r^(n-1)，其中a_1为首项，r为公比。
当公比|r| < 1时，等比数列收敛于无穷等比数列的首项为0，公比为|r|。
二、等比数列求和等比数列求和指的是求解等比数列的前n项和。
对于等比数列{a_n}，其前n项和记作S_n。
等比数列求和的公式如下：S_n = a_1 * (1 - r^n) / (1 - r)其中a_1为等比数列首项，r为等比数列公比。
通过公式可以很方便地计算出等比数列的前n项和。
三、数列的应用数列在数学中有着广泛的应用。
例如，在金融领域中，复利计算中的增长率往往可以使用等比数列的概念进行解释和计算。
此外，在物理学中，数列的概念也被应用于描述运动过程中的位移、速度等量。
总结：数列作为数学中的重要概念，涉及到极限和等比数列求和的计算，其应用也非常广泛。
高二数学无穷等比数列各项的和
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第五讲 数列的极限与无穷等比数列各项的和
知识提要
1. 数列的极限 ：n 无限增大，n a 无限趋近一个常数.A
（1） 数列极限的运算法则（加法、乘法法则可推广到有限多个数列）.
如果n n a ∞
→lim =A ，n n b ∞
→lim =B 存在，那么 ①B A b a b a n n n n n n n ±=±=±∞
→∞
→∞
→lim lim )(lim ；
②B A b a b a n n n n n n n ⋅=⋅=⋅∞→∞→∞→lim lim )(lim ； ③lim lim (0)lim n n n n n n
n a a A B b b B →∞
→∞→∞
==≠. （2）数列极限的几种类型：
①有理分式型：同除以某个非零因式； ②求和型：无限项，先求和再求极限；无穷数列各项的和.
③指数型0(1)
1(1)lim ;(1)(1)
n n q q q q q →∞
<⎧⎪
=⎪
=⎨=-⎪⎪>⎩不存在不存在 ④{}n n S S .lim n n S →∞⎧⎪⎨⎪⎩表示数列的极限，可先求，再求极限；无穷运动的归宿，直接考虑极限位置；无穷数列各项的和
2．无穷等比数列各项的和：若1q <且0q ≠，则1
lim 1n n a S S q
→∞
==
-存在. （1）1
1,0;1q q a S q <≠⎧⎪⎨=⎪-⎩
注意区别： (a)11lim ≤<-⇔∞→q q n n 存在; (b)1||0lim <⇔=∞
→q q n
n ; (c)无穷等比数列各项和存在1,0q q ⇔<≠
（2）无穷等比数列建模：①求出首项1a ；②找到1n n a a +与的关系式；③利用q
a S -=
11
求出答案. 典型例题
【例1】求极限：（1）(51)(1)
lim 3(21)n n n n n →∞--=+ ； （2）()()21
1223lim 23n n n n n ++→∞--=-+ ； （3）()2111lim 2n n n n a a a ++
+-→∞-∈=+R ；
（4）若234lim()62
n n an b n →∞+-+=+，则a b += .
【例2】已知无穷等比数列{}n a ，且()12lim n n a a a a →∞
+++=L ，求首项1a 的取值范围.
【例3】在半径为R 的圆内作内接正三角形，在这三角形内作内切圆，在第二个圆内又作内接正三角形，
如此无限作下去，则所有这些圆的面积之和是 ( )
(A) 234R π (B) 23
5
R π (C) 22R π (D) 都不是
【例4】已知数列{}n a ()0n a >是一个首项为a ，公比为q 的等比数列，n S 是它的前n 项和，求lim
.n n n
a a
S →∞+
巩固练习
1、数列ΛΛ,11
)1(,,41,31,211+--+n n 的极限为 . 2、=-+++∞→)1
21(lim 222n
n n n n Λ .
3、计算：()11
1
1111112482lim 111
1393
n n n n --→∞--+-++-=++++L L .
4、=+-++⨯+⨯+⨯∞
→))
13)(23(1
1071741411(
lim n n n Λ . 5、等差数列{}n a 、{}n b 的前n 项为n S 、n T ，若
2453++=n n T S n n ，则=∞→n
n n b a
lim .
6、若b an n n n =-+∞→)4
5(
lim 2
，则常数b a ,构成点),(b a 的坐标为 . 7、求和...
0.90.090.009+++=L . 8、已知数列{}n a 与{}n b 都是等差数列，且lim 2,n n n a b →∞=则∞→n lim 12212n
n
a a a
b b b ++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+的值为 .
9、若()
21
lim 21n n x +→∞
+存在,则实数x 的取值范围是 .
10、下列命题中假命题的个数为（ ）
①若)0(lim 2
2>=∞
→A A a n n ，则A a n n =∞→lim 或A a n n -=∞
→lim
②若n n b a >且q b p a n n n n ==∞
→∞
→lim ,lim ，则q p >
③若0)(lim =-∞
→n n n b a ，则n n n n b a ∞
→∞
→=lim lim
④若数列{}{}n n b a ,均无极限，则数列{}n n b a ⋅和{}n n b a +也一定无极限 ⑤首项为1，公比为2的无穷等比数列各项和1
112
S =
=-- （A ） 1 （B ） 5 （C ） 2 （D ） 4
11、若0log log <<ππb a ，则lim n n
n n
n a b a b →∞-+的值为 .
12、已知数列{}n a 是一个以q 为公比的等比数列，则0lim =∞
→n n a 是1
lim 1n n a S q
→∞
=
-成立的（ ） （A ）充分非必要条件（B ）必要非充分条件（C ）充要条件（D ）既非充分又非必要条件 13、一个无穷等比数列首项为2，公比为负数，各项和为S ，则（ ）
（A ） 10<<S （B ） 2<S （C ） 20<<S （D ） 21<<S 14、已知点)0,2
4(),2,0(),2,0(n
C n B n A +
-，其中n 为正整数，设n S 表示ABC ∆外接圆的面积，则=∞
→n n S lim .
15、已知数列{}n a ，对于任意的正整数n ，⎪⎩
⎪
⎨⎧≥⋅-≤≤=-)2010(.)31(2)20091(12009
n n a n n ，
，设n S 表示数列{}n a 的前n 项和．下列说法正确的有 . ①lim 1n n a →∞
=②lim 0n n a →∞
= ③⎩
⎨
⎧≥-≤≤=+∞
→)2010(.1)20091(2009lim n n S n n ，
（*N n ∈）④2008lim =+∞→n n S ⑤1lim -=+∞→n n S
16、若()2
3lim 51,,73n n n
n n a pb c
a b c p R a b c →∞++=-<<∈-+，则p = . 17、已知数列2311111sin0,
sin ,sin ,,sin ,332332
n n πππ-L L ，则该数列所有项之和为 . 18、已知13n n b kb +=+，若lim 5n n b →∞
=，则k = . 19、设正数等比数列{}24,4,16,n a a a == ∞
→n lim (
2
221lg ...lg lg n a a a n
n n +++++)
20、已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，首项11a =，公比为()0x x >，求lim n
n n
a S →∞.
21、已知数列{}n a 中, 0n a >，前n 项的和为n S ，且满足()2
28n n a S =+. （1）求证: 数列{}n a 是等差数列 （2）若数列{}n b 满足()()24
11,n a n b t t +->=n T 为数列{}n b 的前n 项和, 求lim n n T →∞
22、已知{}n a 是公差为d 的等差数列，{}n b 是公比为q 的等比数列．找出所有数列{}n a 和{}n b ，使对一切*n N ∈，1
n n n
a b a +=，并说明理由.。