概率论与数理统计试题

《概率论与数理统计》期末试题（1）

一、填空题（每小题3分，共15分）

1． 设事件B A ,仅发生一个的概率为0.3，且5.0)()(=+B P A P ，则B A ,至少有一个不发生的概率为.

2． 设随机变量X 服从泊松分布，且)2(4)1(==≤X P X P ，则==)3(X P .

3． 设随机变量X 在区间)2,0(上服从均匀分布，则随机变量2X Y =在区间)4,0(内的概率密度为

4． 设随机变量Y X ,相互独立，且均服从参数为λ的指数分布，2)1(-=>e X P ，则=λ，}1),{min(≤Y X P 5． 设总体X 的概率密度为

⎪⎩⎪⎨⎧<<+=其它,

0,10,)1()(x x x f θ

θ 1->θ.

n X X X ,,,21 是来自X

的样本，则未知参数θ的极大似然估计量为

二、单项选择题（每小题3分，共15分）

1．设,,A B C 为三个事件，且,A B 相互独立，则以下结论中不正确的是 （ ）

（A ）若()1P C =，则AC 与BC 也独立. （B ）若()1P C =，则A C 与B 也独立. （C ）若()0P C =，则A C 与B 也独立.

（D ）若C B ⊂，则A 与C 也独立. 2．设随机变量~(0,1),X N X 的分布函数为()x Φ，则(||2)P X >的值为（ ）

（A ）2[1(2)]-Φ. （B ）2(2)1Φ-.

（C ）2(2)-Φ. （D ）12(2)-Φ.

3．设随机变量X 和Y 不相关，则下列结论中正确的是 ()

（A ）X 与Y 独立. （B ）()D X Y DX DY -=+. （C ）()D X Y DX DY -=-. （D ）()D XY DXDY =.

4．设离散型随机变量X 和Y 的联合概率分布为

(,)(1,1)(1,2)(1,3)(2,1)(2,2)(2,3)

1111

69183

X Y P αβ

若,X Y 独立，则,αβ的值为 ()

（A ）21,99αβ=

=. （A ）12

,99αβ==. （C ） 11,66αβ== （D ）51

,1818

αβ==.

5．设总体X 的数学期望为12,,,,n X X X μ为来自X 的样本，则下列

结论中正确的是()

（A ）1X 是μ的无偏估计量. （B ）1X 是μ的极大似然估计量.

（C ）1X 是μ的相合（一致）估计量. （D ）1X 不是μ的估计量. 三、（7分）已知一批产品中90%是合格品，检查时，一个合格品

被误认为是次品的概率为0.05，一个次品被误认为是合格品的概率为0.02，求（1）一个产品经检查后被认为是合格品的概率；（2）一个经检查后被认为是合格品的产品确是合格品的概率. 四、（12分）从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是2/5. 设X 为途中遇到红灯的次数，求X 的分布列、分布函数、数学期望和方差.

五、（10分）设二维随机变量(,)X Y 在区域{(,)|0,0,1}D x y x y x y =≥≥+≤ 上服从均匀分布. 求（1）(,)X Y 关于

X 的边缘概率密度；

（2）Z X Y =+的分布函数与概率密度. 六、（10分）向一目标射击，目标中心为坐标原点，已知命中点的横坐标X 和纵坐标Y 相互独立，且均服从2(0,2)N 分布. 求（1）命中环形区域22{(,)|12}D x y x y =≤+≤的概率；（2）命中点到目标中

心距离Z =的数学期望.

七、（11分）设某机器生产的零件长度（单位：）2~(,)X N μσ，今抽取容量为16的样本，测得样本均值10x =，样本方差20.16s =. （1）求μ的置信度为0.95的置信区间；（2）检验假设20:0.1H σ≤（显著性水平为0.05）.

（附注）0.050.050.025(16) 1.746,(15) 1.753,(15) 2.132,t t t ===

222

0.05

0.050.025(16)26.296,(15)24.996,(15)27.488.χχχ===

《概率论与数理统计》期末试题（2）与解答

一、填空题（每小题3分，共15分） （1） 设()0.5P A =,()0.6P B =,(|)0.8P B A =，则,A B

至少发生一个的概率为()()()() 1.10.20.9P A B P A P B P AB =+-=-=. （2） 设X 服从泊松分布，若26EX =，则

P(X>1) （3） 设随机变量X 的概率密度函数为

1

(1),02,

()4

,x x f x ⎧+<<⎪=⎨⎪⎩其他. 今对X 进行8次独立观测，以Y 表示

观测值大于1的观测次数，则5315

8888

DY =⨯

⨯= （4）

元件的寿命服从参数为1100

的指数分

布，由5个这种元件串联而组成的系统，能够正常工作100小时以上的概率为 （5） 设测量零件的长度产生的误差X 服从

正态分布2

(,)N μσ，今随机地测量16个零件，得16

1

8i

i X ==∑，

16

2

1

34i

i X

==∑. 在置信度0.95下，μ的置信区

0.050.025((15) 1.7531,(15) 2.1315)t t ==

二、单项选择题（下列各题中每题只有一个答案是对的，请将其代号填入（ ）

中，每小题3分，共15分）

（1）,,A B C 是任意事件，在下列各式中，不成立的是（ ） （A ）()A B B A B -=. （B ）()A B A B -=.

（C ）()A B AB AB AB -=.

（D ）()()()A B C A C B C =--. （2）设12,X X 是随机变量，其分布函数分别为12(),()F x F x ，为

使

12()()()F x aF x bF x =+是某一随机变量的分布函数，在下列给定的各组数值（ ）

中应取

（A ）32,55a b =

=-. （B ）22,33a b ==. （C ）13,22a b =-=. （D ）13

,22

a b ==.

（3）设随机变量X 的分布函数为()X F x ，则35Y X =-的分布函数

为()Y F y =（ ）

（A ）(53)X F y -. （B ）5()3X F y -. （C ）3()5X y F +. （D ）31()5

X y

F --.

（4）设随机变量12,

X X 的概率分布为

10

1

1

114

2

4

i

X P

- 1,2i =. 且满足12(0)1P X X ==，则12,X X 的相关系数为1

2

X X ρ= （ ）

（A ）0. （B ）1

4. （C ）12

. （D ）1-.