有限元法及程序设计教案7

E
(1 )(12 ) 1
E (1 ) (1 )(12 )
1
1 1
1
0 0
0 0
0
0
1
1
D
E(1 )
1
1
(1 )(1 2)
0
0
0 0
1 0 0
0
1 2 2(1 )
0
0
0
1 2
2(1 )
0
0
0
0 0 0
0
0
1 2
2(1
)
1 A1 A1 0 0 0
A1
1
A1
0
1 6V
(ciui
bivi )
i, j,m, p
yz
1 6V
(divi
ci wi
)
i, j,m, p
zx
1 6V
(diui
bi wi
)
i, j,m, p
bi 0 0
0
ci
0
Bi
1 6V
0
ci
0 bi
di 0
0
di
ci
di 0 bi
(i, j, m, p轮换)
（2）物理分析
0
1
x y
xy
2
e Dee De 弹性矩阵
DeBe e
S e e S e 应力矩阵
Si
Sj
Sm
e
i j
e
m
Si i
i, j,m
其中: Si DeBi
E
1 2
1
0
1 0
1
0
0
1 2
bi
0
ci
0
ci
bi
2
E 2(1
2)
bi
1
bi
2
ci
36(1 )(1 2)V
brbs A2 (crcs drds )
A1crbs A2brcs
A1drbs A2br ds
A1brcs A2brbs crcs A2 (brbs dr ds )
A1drcs A2cr ds
A1br ds A2drbs
A1cr ds A2drcs
v*j
um*
vm* eT
任一点(x, y)的虚应变为：
*e
* x
* y
* T xy
*e为单元虚结点位移向量
*e 虚应变
由虚功原理有（解析条件）：
*eT Fe *eT e dV Ve Ve (Be *e )T DBe e dV
即： Fe VeBeT DBe dV e
ke e
有
限
元
法
及
主 讲
程
： 简
序
政 教
设
授计
3 3 单元分析
1. 二维问题
(1)几何分析------建立几何矩阵 B e
弹性力学平面问题的几何方程
x
u x
几何矩阵
y
v y
xy
u y
v x
e
u
e
x y
xy
x
v
y
u y
v x
u Ni (x, y)ui
i, j,m
v Ni (x, y)vi
2. 三维问题
（1）几何分析
e B e
i e
Bi
Bj
Bm
Bp
e
j
m
p
Ni
1 6V
(ai
bi x ci y
di z)
x
x
( Niui )
Ni x
ui
1 6V
bi
ui
i, j,m, p
y
1 6V
ci
vi
i, j,m, p
z
1 6V
d
i
wi
i, j,m, p
xy
bs A1cs A1ds
k rs e
E(1 ) 36(1 )(1 2)V
br
0
0
0 cr 0
0 0 dr
cr br 0
0 dr cr
dr 0 br
A1bs A1bs A2cs 0
cs A1cs A2bs A2 d s
A1d
s
ds 0
A2cs
E(1 )
A2ds 0 A2bs
0
0
D
E(1 ) (1 )(1 2)
A1 0
A1 0
1 0
0 A2
0 0
0
0
0
0
0
0
A2
0
0 0 0 0 0 A2
其中：
A1
1
A2
1 2 2(1 )
1 A1 A1 0 0 0 bi 0 0
A1
1
A1
0
0
0
0
ci
0
Si
E(1 ) 6(1 )(1 2)V
A1 0
ci
ci
1
2
bi
(i, j, m轮换)
平面应变问题:
1
E
E
1
2
代换即可
(3) 平衡分析----------- k e
静力平衡的解析条件----------给定虚位移状态,外力总虚功等于 弹性体的总虚应变能-----------此即变形体系的虚功原理。
为了应用上述解析条件，选择两个状态， 图（a）为单元的实际受力状态，图（b）为给定的虚位移状态。
其中：
k e
BeT
Ve
DBe
dV
单刚矩阵的一般形式，对其它单元是普遍适用的。
ke VeBeT DBetdxdy
BeT DBet
e
kii k ji
kij k jj
kim k jm
kmi kmj kmm
其中子块：
krs Br T DBs t
1 2
br
0
0 cr
cr br
E
i, j,m
u
x
x
( Ni )ui
i, j,m
i,
j,m
Ni (x, x
y)ui
i,
j,m
1 2
bi
ui
1 2 (bi ui bj u j bm um )
同理 :
v y
1 2
(ci
vi
cj
vj
cm
vm )
u y
v x
1 2
(ci
ui
cj
uj
cm
um
bi
vi
bj
vj
bm
vm )
A1 0
1 0
0 A2
0 0
0 0
0
ci
0 bi
di 0
0
0
0
0
A2
0 0
di
ci
0 0 0 0 0 A2 di 0 bi
bi A1ci A1di
A1bi
ci
A1di
Si
E(1 ) 6(1 )(1 2)V
A1bi A2ci
A1ci A2bi
di 0
(i, j, m, p)
带入几何矩阵,并写成矩阵形式: ui e
e
x y
x
y
1 2
b0i ci
0 ci bi
Bi B j
bj 0 cj
0 cj bj
bm 0 cm
0
e
vi
cm
bm
u v
j j
um
Bm
e
i j
e
vm
m
e Be
其中: Bi
1 2
bi
0
0
ci
(i, j, m轮换)
2(1 2 )
bs
1
bs
2
cs
cs
cs
1
2
bs
t
Et 4(1
2)
bcr br bs s1122cbr rccs s
br cs
1
2
bscr
cr cs
1
2
br bs
(r, s i, j, m)
Fe Re
ke e Re
小小 结结
e Be e e De DBe e Se e ke e Re
0
A2di
A2ci
A2di 0 A2bi
（3）平衡分析
ke e Fe 或 ke e Re
kii
其中：ke k ji
kkmipi
kij k jj kmj k pj
kim k jm kmm k pm
kip
k jp
kmp k pp
其中子块：
krs e Br T DBs
Vm Um
Vi
（a）
Ui
Vj Uj
（b）
Vm Um
Vj
Vi
Uj
（a）
Ui
图(a)中：
F e Ui Vi U j Vj U m
任一点的应力为：
e x
y
T xy
Fe 为 单 元 结 点 力 向 量
Vm eT
e由结点力产生的应力
（b）
图（b）中：
*e ui*
vi*
u
* j
ci bi
(2) 物理分析----------- De
弹性力学物理方程 平面应力问题:
x y
1 E 1 E
xy
( x y )
( y x )
1 G
xy
或:
xwk.baidu.com
E
1 2
( x
y )
y
E
1 2
( y
x )
xy
E 2(1
)
xy
写成矩阵
e
e
e
x y
xy
E
1 2
1
0
1 0
0
drds A2 (crcs brbs )
该部分内容参见朱伯芳著《有限元方法原理与应用》
e De DBe e S e e
Si S j Sm
Si i
i, j,m, p
i
S p
e
j
m
p
2G
0 0 0
2G
0
0
0
其中：D
0
2G 0 0 0
0
0
G
0
0
0
0
0 0 G 0
0
0
0 0 0 G
Lame常数：
G
E (1 )(12
E 2(1 )
)
2G E