吉林省高考数学一轮复习：15 定积分与微积分基本定理(理科专用)B卷
高三数学一轮复习 定积分与微积分基本定理(理)课件 新人教B版
解析：由方程组
y＝2x＋3， 2 y ＝ x ，
可得x1＝－1，x2
2 3－1(2x＋3)dx－3－1x dx ＝3.故所求图形面积为s＝
＝(x
2
1 3 3 32 3 ＋3x)|－1 － x |－1 ＝ . 3 3
32 答案： 3
• 点评：利用定积分求平面图形的面积时，关键是将待求 面积的平面图形看成可求积分的平面图形的和或差，还 要注意待求面积的平面图形在y轴上方还是下方，以确 定积分的正负．
• (2)∵f(x)＝6x2－4，x∈[－1,1]． • ∴当x＝0时，f(x)min＝－4； • 当x＝±1时，f(x)max＝2.
在曲线y＝x2(x≥0)上某一点A处作一切线使之 1 与曲线以及x轴所围成的面积为 .则 12 (1)切点A的坐标为________． (2)过切点A的切线方程为________．
a－b＋c＝2 b＝0
(a≠0)，
，即
c＝2－a b＝0
，∴f(x)＝ax2＋(2－
a)．
1 2 1 f(x)dx＝ [ax ＋(2－a)]dx 又
0 0
1 3 2 1 ＝[ ax ＋(2－a)x]|0 ＝2－ a＝－2， 3 3 ∴a＝6，从而f(x)＝6x2－4.
b－a ③求和： f(ξi)· ； n i＝1
n
b－a ④取极限： f(x)dx＝linm . →∞ f(ξi)· n i＝1
b a
n
注：定义中将区间[a，b]分成n个小区间，当 λ→0时，和式 f (ξi)Δxi的极限存在．但在实际应用中
i＝0 n－1
为了方便，一般将区间[a，b] n ，则所有小区间 · 等分 ．． b－a b－a 长度都是 ，故λ＝ ，当n→∞时，λ→0，和式 n n
高中数学高考高三理科一轮复习资料第2章 2.4 定积分与微积分基本定理
方)； (2)如果在[a，b] 上，f(x)≤0，则曲线 y＝f(x)，x＝a，x＝ b b b(a ＜ b) 和 x 轴围成的曲边梯形的面积为 S ＝ |f(x)|dx ＝－
a a
f(x)dx(这时曲线全部在 x 轴下方)；
(3)如果在[a，b]上，f(x)有正有负，即曲线在 x 轴上方和下 方都有图象，例如：在(a，c)上位于 x 轴上方，在(c，b)上位于 x 轴下方，则曲线 y＝f(x)，x＝a，x＝b(a＜b)和 x 轴围成的曲 c b 边梯形的面积为 S＝ f(x)dx＋ |f(x)|dx＝
b b b 4. f(x)dx， |f(x)|dx， | f(x)dx|三者在几何意义上的不同． 当
i 0 n－1
果和式极限存在，则称和式 In 的极限为函数 f(x)在区间[a，b] b fxdx 上的定积分，记作①______，即 ＝②________.
a
b (2)在 f(x)dx 中， a 与 b 分别叫做积分下限与积分上限， 区
a
间③________叫做积分区间，函数④________叫做被积函数， ⑤________叫做积分变量，⑥________叫做被积式．
a
曲线 f(x)以及直线 x＝a、 x＝b 之间的曲边梯形面积的代数和(图 ②中阴影所示)，其中在 x 轴上方的面积等于该区间上的积分 值，在 x 轴下方的面积等于该区间上积分值的⑦__________.
3．定积分的基本性质： b (1) kf(x)dx＝⑧____________________________.
c a
b f(x)dx－ f(x)dx.
c
a
c
2．由曲线 y＝f(x)，y＝g(x)(f(x)＞g(x))与直线 x＝a，x＝ b b(a＜b)围成的图形的面积为 S＝ [f(x)－g(x)]dx.
高考数学一轮复习：15 定积分与微积分基本定理(理科专用)
高考数学一轮复习：15 定积分与微积分基本定理（理科专用）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）由直线及曲线所围成的封闭的图形的面积为（）A .B . 3C .D .2. （2分）由直线，曲线及轴所围成的图形的面积为（）A .B .C .D .3. （2分）若则S1S2S3的大小关系为（）A . S1<S2<S3B . S2<S1<S3C . S2<S3<S1D . S3<S2<S14. （2分） (2019高二上·阜阳月考) 函数与两条平行线，及轴围成的区域面积是（）A .B .C .D .5. （2分） (2019高二下·深圳月考) 设f（x）=|x﹣1|，则 =（）A . 5B . 6C . 7D . 86. （2分）由y=﹣1，y=0，x=2所对应的曲线围成的封闭图形的面积为（）A . ln2﹣B . ﹣ln2C . 1﹣ln2D . ln2﹣17. （2分）曲线与直线所围成图形的面积为（）A . 2B . 1C .8. （2分）如图，函数y=f（x）在区间[a，b]上，则阴影部分的面积S为（）A . f（x）dxB . f（x）dx﹣ f（x）dxC . ﹣f（x）dx﹣ f（x）dxD . ﹣f（x）dx+ f（x）dx9. （2分）做变速直线运动的物体的速度满足，该物体在内经过的路程为9，则的值为（）A . 1B . 2C . 3D . 410. （2分）由曲线，直线y=x-2及y轴所围成的图形的面积为（）A .B . 4D . 611. （2分）设函数在区间上连续，用分点，把区间等分成个小区间，在每个小区间上任取一点，作和式(其中为小区间的长度)，那么的大小（）A . 与和区间有关，与分点的个数和的取法无关B . 与和区间以及分点的个数有关，与的取法无关C . 与和区间以及分点的个数，的取法都有关D . 与和区间以及的取法有关，与分点的个数无关12. （2分）由幂函数y=和幂函数y=x3图象围成的封闭图形面积为（）A .B .C .D .二、填空题 (共6题；共6分)13. （1分） (2017高二下·海淀期中) 如图，f（x）=1+sinx，则阴影部分面积是________．14. （1分）(2017·衡阳模拟) 直线y=4x与曲线y=x2围成的封闭区域面积为________．15. （1分）的展开式中的常数项为a，则直线y=ax与曲线y=x2围成图形的面积为________16. （1分）求由曲线与直线所围成的平面图形的面积时，把区间5等分，则面积的近似值(取每个小区间的左端点)是________．17. （1分）曲线y=+2x+2e2x ，直线x=1，x=e和x轴所围成的区域的面积是________18. （1分） (2017高二下·宜昌期末) 如图，在边长为1的正方形OABC中任取一点P，则点P恰好取自阴影部分的概率为________．三、解答题 (共3题；共15分)19. （5分）求抛物线y2=2x与直线2x+y﹣2=0围成的平面图形的面积．20. （5分） (2016高二下·辽宁期中) 如图所示，抛物线y=1﹣x2与x轴所围成的区域是一块等待开垦的土地，现计划在该区域内围出一块矩形地块ABCD作为工业用地，其中A、B在抛物线上，C、D在x轴上．已知工业用地每单位面积价值为3a元（a＞0），其它的三个边角地块每单位面积价值a元．（1）求等待开垦土地的面积；（2）求等待开垦土地的面积；（3）如何确定点C的位置，才能使得整块土地总价值最大．（4）如何确定点C的位置，才能使得整块土地总价值最大．21. （5分） (2016高二下·昌平期中) 计算由曲线y2=x，y=x3所围成的图形的面积S．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、答案：略2-1、答案：略3-1、答案：略4-1、5-1、6-1、答案：略7-1、答案：略8-1、答案：略9-1、答案：略10-1、11-1、答案：略12-1、答案：略二、填空题 (共6题；共6分)13-1、14-1、15-1、16-1、17-1、18-1、三、解答题 (共3题；共15分)19-1、20-1、答案：略20-2、答案：略20-3、答案：略20-4、答案：略21-1、答案：略。
2-14第十四节 定积分与微积分基本定理(理)(2015年高考总复习)
新课标A版数学
基 础 自 评
1 x 1. (e ＋2x)dx＝(
0
) B．e－1 D．e＋1
A．1 C．e
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第二章
第十四节
高考总复习模块新课标
新课标A版数学
解析
1 0
1 (ex＋2x)dx＝(ex＋x2)|0
＝(e＋1)－1＝e.
物体B在直线l上，且在物体A的正前方5 m处，同时以v＝10t(m/s) 的速度与A同向运动，出发后物体A追上物体B所用的时间t(s)为 ( ) A．3 C．5 B．4 D．6
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第十四节
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【答案】 C
定积分的计算
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新课标A版数学
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第十四节
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【规律方法】
①利用微积分基本定理求定积分，其关键是
求出被积函数的原函数，求一个函数的原函数与求一个函数的导 数是互逆运算，因此应注意掌握一些常见函数的导数．②根据积 分的几何意义可利用面积求积分．
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第十四节
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新课标A版数学
高考这样考 1.考查定积分的概念，定积分的几何意义，微积分基本定理． 2.利用定积分求曲边形面积、变力做功、变速运动的质点的运 动路程.
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高考数学一轮复习3.3定积分与微积分基本定理课件理新人教B版
上、下限,确定被积函数,由定积分求出其面积,然后应用方程的思
想建立关于参数的方程,从而求出参数的值.
3.与概率相交汇的问题.解决此类问题应先利用定积分求出相应
平面图形的面积,再用相应的概率公式进行计算.
考点1
考点2
考点3
对点训练 2(1)直线 y=4x 与曲线 y=x3 在第一象限内围成的封闭
解题心得计算定积分的步骤:
(1)把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数
与常数的积的和或差.
(2)把定积分变形为求被积函数为上述函数的定积分.
(3)分别用求导公式的逆运算找到一个相应的原函数.
(4)利用微积分基本定理求出各个定积分的值,然后求其代数和.
考点1
考点2
考点3
对点训练 1 求下列定积分:
(2)变力
M 沿 x 轴正向从 x=1 运动到 x=10 所做的
10
功为 W= 1 F(x)dx=
(1)C (2)342
10
1
(x2+1)dx=
1
10
3
+
|
=342(J).
1
3
解析
关闭
答案
考点1
考点2
考点3
思考利用定积分解决变速运动问题和变力做功问题的关键是什
么?
解题心得利用定积分解决变速运动问题和变力做功问题时,关键
C.
D.16 3 1 2
2 62
17
(1)质点在时间[1,2]内的位移为 1 (t -t+2)dt= - + 2
= .
3
2
高考数学一轮复习 第三章 第4课时 定积分与微积分基本定理 理
(3)2|3－2x|dx 1
(4)y＝ 1－x2，∴x2＋y2＝1，y≥0.
∴1
1－x2dx 几何意义为14个圆的面积．
0
∴1
1－x2dx＝14π.
0
【答案】
(1)134－ln2
(2)－14
1 (3)2
π (4)4
探究1 (1)计算一些简单的定积分，解题的步骤是： ①把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指 数函数与常数的积的和或差； ②把定积分变形为求被积函数为上述函数的定积分； ③分别用求导公式找到一个相应的原函数； ④利用微积分基本定理求出各个定积分的值； ⑤计算原始定积分的值． (2)对于不便求出被积函数的原函数的，可考虑用定积分 的几何意义求解．
1．定积分的定义 如果函数f(x)在区间[a，b]上连续，用分点a＝ x0<x1<…<xi－1<xi<…<xn＝b，将区间[a，b]等分成n个小区 间，在每个区间[xi－1，xi]上取一点ξi(i＝1,2，…，n)，作和式
＝
，当n→＋∞时，
上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f(x)在
区间[a，b]上定积分，记作
A．e＋2
B．e＋1
C．e
D．e－1
答案 C
解析 选 C.
1(2x＋ex)dx＝(x2＋ex)|10＝(1＋e)－(0＋e0)＝e，因此
0
4．若1f(x)dx＝1，2f(x)dx＝－1，则2f(x)dx＝________.
0
0
1
答案 －2
解析 ∵2f(x)dx＝1f(x)dx＋2f(x)dx，
0
0
，即
b
f(x)dx＝
a
高三数学一轮复习《定积分与微积分基本定理》理 新人
[第16讲 定积分与微积分基本定理](时间：35分钟 分值：80分)基础热身1．∫π20(x －sin x)d x 等于( )A .π24－1 B .π28－1C .π28 D .π28＋1 2．下列各命题中，不正确的是( )A ．若f(x)是连续的奇函数，则⎠⎛－aa f(x)d x ＝0B ．若f(x)是连续的偶函数，则⎠⎛－aaf(x)d x ＝2⎠⎛0a f （x ）d xC ．若f(x)在[a ，b]上连续且恒正，则⎠⎛ab f(x)d x>0D ．若f(x)在[a ，b]上连续，且⎠⎛ab f(x)d x>0，则f(x)在[a ，b]上恒正3．设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，0≤x<1，1，1<x≤2，则定积分⎠⎛02f(x)d x ＝( )A .83B ．2C .43D .134．曲线y ＝x 3与直线y ＝x 所围成图形的面积为( ) A .13 B .12 C ．1 D ．2能力提升5．[2013·湖南卷] 由直线x ＝－π3，x ＝π3，y ＝0与曲线y ＝cos x 所围成的封闭图形的面积为( )A .12B ．1C .32D . 3 6．由曲线y ＝x 2，y ＝x 3围成的封闭图形面积为( ) A .112 B .14 C .13 D .7127．如果1 N 的力能拉长弹簧1 cm ，为了将弹簧拉长6 cm ，所耗费的功为( ) A ．0.18 J B ．0.26 J C ．0.12 J D ．0.28 J8．若y ＝⎠⎛0x (sin t ＋cos t sin t)d t ，则y 的最大值是( )A ．1B ．2C ．－72D ．09．[2013·东北名校二模] ⎠⎛01⎝⎛⎭⎪⎫8π1－x 2＋6x 2d x ＝________．10．[2013·陕西卷] 设f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x>0，x ＋⎠⎛0a 3t 2d t ，x ≤0，若f(f(1))＝1，则a ＝________．11．[2013·漳州模拟] 由曲线y ＝2x 2，直线y ＝－4x －2，直线x ＝1围成的封闭图形的面积为________．12．(13分)计算下列定积分：(1)⎠⎛03π1－cos 2x d x ；(2)⎠⎛011x 2＋3x ＋2d x ；(3)⎠⎛12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 2d x ；(4)⎠⎛01()e x －e －x 2d x.难点突破13．(12分)已知点P 在曲线y ＝x 2－1上，它的横坐标为a(a>0)，由点P 作曲线y ＝x 2的切线PQ(Q 为切点)．(1)求切线PQ 的方程；(2)求证：由上述切线与y ＝x 2所围成图形的面积S 与a 无关．课时作业(十六)【基础热身】1．B [解析] ∫π20(x －sin x)d x ＝⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2＋cos x π20＝π28－1. 2．D [解析] 根据定积分的几何意义可得． 3．C [解析] ⎠⎛02f (x )d x ＝⎠⎛01x 2d x ＋⎠⎛121d x ＝13x3⎪⎪⎪ )10＋x⎪⎪⎪ )21＝43. 4．B [解析] 如图，所围图形面积A ＝2⎠⎛01(x －x 3)d x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－14x 4⎪⎪⎪10＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12－14－0＝12.【能力提升】5．D [解析] 根据定积分的简单应用的相关知识可得到：由直线x ＝－π3，x ＝π3，y＝0与曲线y ＝cos x 所围成的封闭图形的面积为：S ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪∫π3－π3cos x d x ＝)⎪⎪⎪)sin x⎪⎪⎪ )π3－π3⎪⎪⎪)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin π3－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝3， 故选D .6．A [解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝x 3得交点为(0，0)，(1，1)．所以所求图形的面积S ＝⎠⎛01(x 2－x 3)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－14x 4⎪⎪⎪10＝13－14＝112.7．A [解析] 由物理知识F ＝kx 知，1＝0.01k ，∴k＝100，则W ＝⎠⎛00.06100x d x ＝50x2⎪⎪⎪ )0.060＝0.18(J )． 8．B [解析] y ＝⎠⎛0x (sin t ＋cos t ·sin t)d t ＝⎠⎛0x sin t d t ＋12⎠⎛0x sin 2t d t ＝(－cos t) ⎪⎪⎪ )x 0＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫－12cos 2t⎪⎪⎪ )x 0＝－cos x ＋1－14cos 2x ＋14＝－12(cos x ＋1)2＋2，故当cos x ＝－1时，y max ＝2.9．4 [解析] 根据定积分的性质⎠⎛01⎝⎛⎭⎪⎫8π1－x 2＋6x 2d x ＝8π⎠⎛011－x 2d x ＋2⎠⎛013x 2d x ＝8π×π4＋2×x3⎪⎪⎪ )10＝4.10．1 [解析] 由f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ， x>0，x ＋⎠⎛0a 3t 2d t ， x≤0得f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ， x>0，x ＋a 3， x≤0，f(1)＝lg 1＝0， f(f(1))＝f(0)＝a 3＝1，∴a＝1. 11.163[解析] 联立直线方程与抛物线方程得x 2＋2x ＋1＝0，解得x ＝－1，即直线y＝－4x －2为抛物线y ＝2x 2的一条切线(如图)，因此所求的面积为定积分⎠⎛－11(2x 2＋4x ＋2)d x＝23(x ＋1)3⎪⎪⎪ )1－1＝163.12．解：(1)⎠⎛03π1－cos 2x d x ＝⎠⎛03π2sin 2x d x ＝2⎠⎛03π⎪⎪⎪)sin x⎪⎪⎪ )d x ＝2⎠⎛0πsin x d x －2⎠⎛π2πsin x d x ＋2⎠⎛2π3πs in x d x＝－2cos x⎪⎪⎪ )π0＋2cos x⎪⎪⎪ )2ππ－2cos x⎪⎪⎪ )3π2π＝22＋22＋22＝6 2.(2)⎠⎛011x 2＋3x ＋2d x ＝⎠⎛011x ＋1－1x ＋2d x ＝ln (x ＋1)－ln (x ＋2)⎪⎪⎪ )10 ＝(ln 2－ln 3)－(ln 1－ln 2)＝2ln 2－ln 3.(3)⎠⎛12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 2d x ＝⎠⎛12⎝⎛⎭⎪⎫x －2＋1x d x＝⎠⎛12x d x －2⎠⎛121d x ＋⎠⎛121xd x ＝12x 2⎪⎪⎪ )21－2x⎪⎪⎪ )21＋ln x⎪⎪⎪ )21＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2－12－(4－2)＋(ln 2－ln 1)＝ln 2－12. (4)⎠⎛01(e x －e －x )d x ＝⎠⎛01(e x ＋e －x )′d x ＝(e x ＋e －x)⎪⎪⎪ )10＝e ＋1e －2. 【难点突破】13．解：(1)点P 的坐标为(a ，a 2－1)，设切点Q 的坐标为(x ，x 2)，由k PQ ＝a 2－1－x 2a －x 及y′＝2x 知a 2－1－x2a －x＝2x ，解得x ＝a ＋1或x ＝a －1.所以所求的切线方程为2(a ＋1)x －y －(a ＋1)2＝0或2(a －1)x －y －(a －1)2＝0.(2)S ＝⎠⎛a －1a [x 2－2(a －1)x ＋(a －1)2]d x ＋⎠⎛aa ＋1[x 2－2(a ＋1)x ＋(a ＋1)2]d x ＝23.故所围成的图形面积S ＝23，此为与a 无关的一个常数．。
2-14第十四节 定积分与微积分基本定理(理)练习题(2015年高考总复习)
第十四节 定积分与微积分基本定理(理)时间：45分钟 分值：75分一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1．(2013·江西卷)若S 1＝⎠⎛12x 2d x ，S 2＝⎠⎛121x d x ，S 3＝⎠⎛12e x d x ，则S 1，S 2，S 3的大小关系为( )A ．S 1<S 2<S 3B ．S 2<S 1<S 3C ．S 2<S 3<S 1D ．S 3<S 2<S 1解析 本题考查微积分基本定理．S 1＝⎠⎛12x 2d x ＝x 33|21＝73.S 2＝⎠⎛121x d x ＝ln x |21＝ln 2－ln 1＝ln 2.S 3＝⎠⎛12e x d x ＝e x |21＝e 2－e ＝e (e －1)．令e ＝2.7，∴S 3>3>S 1>S 2.故选B . 答案 BA ．3B ．4C ．3.5D ．4.5解析答案 C3．如图所示，图中曲线方程为y ＝x 2－1，用定积分表达围成封闭图形(阴影部分)的面积是()A .⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎠⎛02(x 2－1)d x B .⎠⎛02(x 2－1)d xC.⎠⎛02|x 2－1|d xD .⎠⎛01(x 2－1)d x ＋⎠⎛02(x 2－1)d x解析 面积S ＝⎠⎛01(1－x 2)d x ＋⎠⎛12(x 2－1)d x＝⎠⎛02|x 2－1|d x ，故选C.答案 C4．(2012·湖北卷)已知二次函数y ＝f (x )的图象如图所示，则它与x 轴所围图形的面积为( )A.2π5B.43C.32D.π2解析答案 B5．(2013·湖北卷)一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v (t )＝7－3t ＋251＋t (t 的单位：s ，v 的单位：m/s)行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是( )A ．1＋25ln5B ．8＋25ln 113 C ．4＋25ln5D ．4＋50ln2解析 令v (t )＝0,7－3t ＋251＋t＝0 ∴3t 2－4t －32＝0，∴t ＝4，则汽车行驶的距离为⎠⎛04v (t )d t ＝⎠⎛04⎝⎛⎭⎪⎫7－3t ＋251＋t d t ＝ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤7t －32t 2＋25ln (1＋t )|40＝7×4－32×42＋25ln5－0＝4＋25ln5，故选C.答案 C6．(2014·武汉调研)如图，设D 是图中边长分别为1和2的矩形区域，E 是D 内位于函数y ＝1x (x ＞0)图象下方的区域(阴影部分)，从D 内随机取一个点M ，则点M 取自E 内的概率为( )A.ln22B.1－ln22C.1＋ln22D.2－ln22解析答案 C二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分) 7．(2013·湖南卷)若⎠⎛0T x 2d x ＝9，则常数T 的值为________．解析 ∵⎠⎛0T x 2d x ＝x 33|T 0＝T33＝9，∴T ＝3. 答案 38．(2014·厦门市质检)计算：⎠⎛01(x 2＋1－x 2)d x ＝______.解析 ⎠⎛01(x 2＋1－x 2)d x ＝⎠⎛01x 2d x ＋⎠⎛011－x 2d x ＝x 3310＋14π＝13＋π4.答案 13＋π49．已知函数y ＝f (x )的图象是折线段ABC ，其中A (0,0)、B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，5、C (1,0)．函数y ＝xf (x )(0≤x ≤1)的图象与x 轴围成的图形的面积为________．解析 设直线为y ＝kx ＋b ，代入A ，B 两点，得y ＝10x .代入B ，C 两点，则⎩⎨⎧5＝12k ＋b ，0＝k ＋b ，∴k ＝－10，b ＝10.∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧10x ， 0≤x ≤12，－10x ＋10， 12＜x ≤1.∴y ＝xf (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧10x 2， 0≤x ≤12，－10x 2＋10x ， 12＜x ≤1.答案 54三、解答题(本大题共3小题，每小题10分，共30分) 10．若f (x )是一次函数，且⎠⎛01f (x )d x ＝5，⎠⎛01xf (x )d x ＝176，求⎠⎛12f (x )x d x的值．解 ∵f (x )是一次函数，∴设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)．由⎠⎛01(ax ＋b )d x ＝5，得⎝ ⎛⎭⎪⎫12ax 2＋bx |10＝12a ＋b ＝5.① 由⎠⎛01xf (x )d x ＝176，得⎠⎛01(ax 2＋bx )d x ＝176.即⎝ ⎛⎭⎪⎫13ax 3＋12bx 2|10＝176. ∴13a ＋12b ＝176.②解①②，得a ＝4，b ＝3.∴f (x )＝4x ＋3. 于是⎠⎛12f (x )x d x ＝⎠⎛124x ＋3x d x ＝⎠⎛12(4＋3x )d x＝(4x ＋3ln x )|21＝8＋3ln2－4 ＝4＋3ln2.11．(2013·日照调研)如图，直线y ＝kx 分抛物线y ＝x －x 2与x 轴所围图形为面积相等的两部分，求k 的值．解 抛物线y ＝x －x 2与x 轴两交点的横坐标x 1＝0，x 2＝1， 所以抛物线与x 轴所围图形的面积 S ＝⎠⎛01(x －x 2)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22－x 33|10＝12－13＝16. 又可得抛物线y ＝x －x 2与y ＝kx 两交点的横坐标为x ′1＝0，x ′2＝1－k ，所以S 2＝∫1－k0(x －x 2－kx )d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－k 2x 2－x 33|1－k0 ＝16(1－k )3.又知S ＝16，所以(1－k )3＝12. 于是k ＝1－ 312＝1－342.12．设函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx 在点x ＝1处有极值－2. (1)求常数a ，b 的值；(2)求曲线y ＝f (x )与x 轴所围成的图形的面积．解 (1)由题意知，f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，f (1)＝－2，且f ′(1)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋a ＋b ＝－2，3＋2a ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝－3.(2)由(1)可知，f (x )＝x 3－3x .作出曲线y＝x3－3x的草图如图，所求面积为阴影部分的面积，由x3－3x＝0得曲线y＝x3－3x与x 轴的交点坐标是(－3，0)，(0,0)和(3，0)，而y＝x3－3x是R上的奇函数，所以函数图象关于原点成中心对称．所以所求图形的面积为。
备考2020年高考数学一轮复习：15 定积分与微积分基本定理(理科专用)
备考2020年高考数学一轮复习：15 定积分与微积分基本定理（理科专用）一、单选题(共12题；共24分)1．（2分）由直线 y =3−x ，曲线 y =2√x 以及 x 轴所围成的封闭图形的面积是（ ）A ．83B ．3C ．103D ．√2+22．（2分）曲线 y =2x与直线 y =x −1 及 x =4 所围成的封闭图形的面积为( )A ．2ln2B ．2−ln2C ．4−ln2D ．4−2ln23．（2分）曲线y= 4x与直线y=5-x 围成的平面图形的面积为（ ） A ．152B ．154C ．154 -4ln2D ．152-8ln24．（2分）定积分 ∫−a a √a2−x 2dx 等于( )A ．14πa 2B ．12πa 2C ．πa 2D ．2πa 25．（2分）射线 y =4x(x ≥0) 与曲线 y =x 3 所围成的图形的面积为（ ）A ．2B ．4C ．5D ．66．（2分）曲线 y 2=x 与 y =x 2 所围图形的面积为（ ）A ．16B ．π−24C ．13D ．π2−17．（2分）曲线y ＝x 2与曲线y ＝8 √x 所围成的封闭图形的面积为 ( )A ．643B ．1283C ．483D ．14438．（2分）如图所示，正弦曲线 y =sin x ，余弦曲线 y =cos x 与两直线 x =0 ， x =π 所围成的阴影部分的面积为（ ）A ．1B ．√2C ．2D ．2√29．（2分）在求由 x =a,x =b(a <b),y =f(x)(f(x)≥0) 及 y =0 围成的曲边梯形的面积 S时，在区间 [a,b] 上等间隔地插入 n −1 个分点，分别过这些分点作x 轴的垂线，把曲边梯形分成 n 个小曲边梯形，下列说法中正确的是( ) A ．n 个小曲边梯形的面积和等于 S B ．n 个小曲边梯形的面积和小于 SC．n个小曲边梯形的面积和大于SD．n个小曲边梯形的面积和与S之间的大小关系无法确定10．（2分）由y＝1x，x＝1，x＝2，y＝0所围成的平面图形的面积为()A．ln 2B．ln 2－1C．1＋ln 2D．2ln 211．（2分）求由抛物线y=2x2与直线x=0,x=t(t>0),y=0所围成的曲边梯形的面积时，将区间[ [0,t]等分成n个小区间，则第i−1个区间为()A．[i−1n ,in]B．[i n,i+1n]C．[t(i−1)n ,tin]D．[t(i−2)n,t(i−1)n]12．（2分）如图，由曲线y=x2−1，直线x=0，x=2和x轴围成的封闭图形的面积是（）A．1B．23C．43D．2二、填空题(共6题；共6分)13．（1分）∫(√1−(x−1)2−2x)dx1=．14．（1分）由曲线y=1x，y2=x与直线x=2，y=0所围成图形的面积为．15．（1分）计算定积分∫(√1−(1−x)2−1)dx=1.16．（1分）∫02√4−x2dx=.17．（1分）曲线y=x2和曲线y= √x围成一个叶形图（如图所示阴影部分），其面积是．18．（1分）已知抛物线C：y=ax2的焦点坐标为(0，1)，则抛物线C与直线y=x所围成的封闭图形的面积为．三、解答题(共3题；共15分)19．（5分）如图，阴影部分区域是由函数y=cosx的图象，直线y=1，x=π围成，求这阴影部分区域面积．20．（5分）求曲线y=2x﹣x2，y=2x2﹣4x所围成图形的面积．与直线y=x，x=2所围成的图形面积．21．（5分）求曲线y= 1x答案解析部分1．【答案】C【解析】【解答】如下图所示，联立 {y =2√xy =3−x ，得 {x =1y =2 ，则直线 y =3−x 与曲线 y =2√x 交于点 A(1,2) ， 结合图形可知，所求区域的面积为 ∫12√xdx +∫(3−x)31dx=43x 32|1+(3x −12x 2)|13 =43+2=103 ，故答案为：C 。
最新高考数学(理)一轮复习讲义 定积分与微积分基本定理
2
1
＝3×4＋4－
3＋2 2
＝10－7＝13(m)．
2
22
答案：13 2
一、思考辨析 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)设函数 y＝f(x)在区间[a，b]上连续，则 错误!f(x)dx＝错误!f(t)dt.( )
(2)若 f(x)是偶函数，则 错误!f(x)dx＝2错误!f(x)dx.( )
解析：错误!(t2＋1)dx＝(t2＋1)x|2－1
＝2(t2＋1)＋(t2＋1)＝3t2＋3. 答案：3t2＋3 2.错误!错误! 2－x2dx 表示以原点为圆心， 2为半径的1圆的面积，故 错误! 2－x2dx＝1π
4
4
×( 2)2＝π. 2
答案：π 2
3．如图，函数 y＝－x2＋2x＋1 与 y＝1 相交形成一个闭合图形(图中的阴影部分)，则该
a
a
常用结论
1．定积分应用的常用结论 当曲边梯形位于 x 轴上方时，定积分的值为正；当曲边梯形位于 x 轴下方时，定积分的 值为负；当位于 x 轴上方的曲边梯形与位于 x 轴下方的曲边梯形面积相等时，定积分的值为 零．
2．若函数 f(x)在闭区间[－a，a]上连续，则有 (1)若 f(x)为偶函数，则 错误!f(x)dx＝2错误!f(x)dx.
(2)若 f(x)为奇函数，则 错误!f(x)dx＝0.
二、习题改编
x2，x≥0，
1．(选修 22P66T14 改编)设 f(x)＝
则 错误!f(x)dx 的值是( )
2x，x<0，
A.错误!x2dx
B．错误!2xdx
C.错误!x2dx＋错误!2xdx
D．错误!2xdx＋错误!x2dx
解析：选 D.由分段函数的定义及定积分运算性质， 得 错误!f(x)dx＝错误!2xdx＋错误!x2dx.故选 D.
2015高考数学一轮复习课件：2.4 定积分与微积分基本定理
2．定积分的几何意义： (1)当函数 f(x)在区间[a，b]上恒为正时，定积分bfxdx的
a
几何意义是由直线 x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0 和曲线 y＝f(x)所 围成的曲边梯形的面积(图①中阴影部分)．
第五页，编辑于星期五：十二点 二十分。
(2)一般情况下，定积分bf(x)dx 的几何意义是介于 x 轴、 a
第十六页，编辑于星期五：十二点 二十分。
4.
b
f(x)dx
，
b
|f(x)|dx
，
|
b
f(x)dx|
三
者
在
几
何
意
义
上
的
不
a
a
a
同．当 f(x)≥0 即函数 f(x)的图象全部在 x 轴上方时，bf(x)dx
a
＝b|f(x)|dx＝|bf(x)dx|表示界于 x 轴、曲线 y＝f(x)以及直线 x
a
a
二、定积分基本定理 如果 F′(x)＝f(x)且 f(x)在[a，b]上可积，那么
bf(x)dx＝__F_(b_)_－__F_(_a_)，这个结论叫做微积分基本定理，
a
又叫做牛顿－莱布尼兹公式． 为了方便，常把 F(b)－F(a)记成__F_(_x_)_|ba____，即bf(＝F(b)－F(a)．
疑点清源
1.在直角坐标系中，由曲线 f(x)，直线 x＝a，x＝b(a≠b)
和 x 轴围成的曲边梯形的面积的求法分为以下几种情况：
(1)y＝f(x)(f(x)≥0，x∈[a，b])，x＝a，x＝b(a＜b)和 x 轴
围成的曲边梯形的面积为 S＝bf(x)dx(这时曲线全部在 x 轴上 a
方)；
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吉林省高考数学一轮复习：15 定积分与微积分基本定理（理科专用）B卷
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、单选题 (共12题；共24分)
1. （2分）直线y=x与抛物线y=x(x+2)所围成的封闭图形的面积等于（）
A .
B .
C .
D .
2. （2分） (2018高二下·西安期末) 如图所示，在一个边长为1的正方形内，曲线和曲线
围成一个叶形图(阴影部分)，向正方形内随机投一点(该点落在正方形内任何一点是等可能的)，则所投的点落在叶形图内部的概率是（）
A .
B .
C .
D .
3. （2分）如图所示，由函数f（x）=sinx与函数g（x）=cosx在区间[0，]上的图象所围成的封闭图形
的面积为（）
A . 3﹣1
B . 4﹣2
C .
D . 2
4. （2分）由直线，曲线及轴所围图形的面积为（）
A . 3
B . 7
C .
D .
5. （2分）由幂函数y=和幂函数y=x3图象围成的封闭图形面积为（）
A .
B .
C .
D .
6. （2分）(2018·安徽模拟) 由直线及曲线所围成的封闭图形的面积为（）
A . 3
B .
C .
D .
7. （2分）曲线与直线所围成图形的面积为（）
A . 2
B . 1
C .
D .
8. （2分）由直线，曲线及x轴所围图形的面积为（）
A .
B .
C .
D .
9. （2分）做变速直线运动的物体的速度满足，该物体在内经过的路程为9，则的值为（）
A . 1
B . 2
C . 3
D . 4
10. （2分）抛物线与直线y=2x围成的封闭图形的面积是（）
A .
B .
C .
D .
11. （2分）设函数在区间上连续，用分点，把区间
等分成个小区间，在每个小区间上任取一点，作和式(其中为小区间的长度)，那么的大小（）
A . 与和区间有关，与分点的个数和的取法无关
B . 与和区间以及分点的个数有关，与的取法无关
C . 与和区间以及分点的个数，的取法都有关
D . 与和区间以及的取法有关，与分点的个数无关
12. （2分）由曲线y=x2 ， y=x3围成的封闭图形面积为（）
A .
B .
C .
D .
二、填空题 (共6题；共6分)
13. （1分）函数的图象与x轴所围成的封闭图形的面积为________
14. （1分）以曲线为曲边的曲边形（如图阴影部分）面积为________．
15. （1分） (2015高二下·福州期中) 曲线y= 和直线y=x围成的图形面积是________．
16. （1分）求由曲线与直线所围成的平面图形的面积时，把区间5等分，则面积的近似值(取每个小区间的左端点)是________．
17. （1分） (2016高三上·黑龙江期中) 曲线y=x2 ， x=0，y=1，所围成的图形的面积为________．
18. （1分）（x2+ ）6展开式的常数项是15，如图阴影部分是由曲线y=x2和圆x2+y2=a及x轴围成的封闭图形，则封闭图形面积为________．
三、解答题 (共3题；共15分)
19. （5分） (2016高二下·昌平期中) 计算由曲线y2=x，y=x3所围成的图形的面积S．
20. （5分）求曲线y＝x2 ，直线y＝x ， y＝3x围成的图形的面积．
21. （5分） (2016高二下·抚州期中) 设y=f（x）是二次函数，方程f（x）=0有两个相等的实根，且f′（x）=2x+2．
（1）求y=f（x）的表达式；
（2）求y=f（x）的图象与两坐标轴所围成封闭图形的面积．
参考答案一、单选题 (共12题；共24分)
1-1、
2-1、
3-1、
4-1、
5-1、
6-1、
7-1、
8-1、
9-1、
10-1、
11-1、
12-1、
二、填空题 (共6题；共6分)
13-1、
14-1、
15-1、
16-1、
17-1、
18-1、
三、解答题 (共3题；共15分) 19-1、
20-1、
21-1、
21-2、。