实数集与函数解读
《数学分析》第一章 实数集与函数
❖实数的性质
1.实数集R对加,减,乘,除(除数不为0)四则运算是 封闭的.即任意两个实数和,差,积,商(除数不为0) 仍然是实数. 2.实数集是有序的.即任意两个实数a, b必满足下 述三个关系之一: a < b, a = b, a > b .
由二项展开式
(1+ h)n 1+ nh + n(n 1) h2 + n(n 1)(n 2) h3 + + hn ,
2!
3!
有 (1+ h)n >上式右端任何一项.
今日作业 P4,3, 4, 6, 7
§1.2 数集·确界原理
一、区间与邻域 二、上确界、下确界
一、区间与邻域
1.集合: 具有某种特定性质的事物的总体.
❖实数的性质
3.实数集的大小关系具有传递性.即若a > b, b > c,则有
a>c. 4.实数具有阿基米德性 , 即对任何 a, b R, 若 b > a > 0
则存在正整数 n, 使得na > b.
5.实数集R具有稠密性.即任何两个不相等的实数之间必 有另一个实数,且既有有理数,也有无理数.
绝对值定义：
a, a0 | a | a , a < 0
从数轴上看的绝对值就是到原点的距离：
-a
a
0
绝对值的一些主要性质 1. | a | | a | 0 当且仅当 a 0 时 | a | 0 2 . -|a| a |a| 3. |a|< h -h < a < h ; | a | h h a h , h > 0 4. a b a b a + b 5. | ab || a | | b | 6. a | a | , b 0
数学分析1.1实数
第一章实数集与函数1 实数一、实数及其性质定义1：(两个实数的大小关系) 给定两个非负实数x=a0.a1a2…a n…，y=b0.b1b2…b n…，其中a0，b0为非负整数，a k，b k（k=1,2,…）为整数，0≤a k≤9，0≤b k≤9。
若有a k=b k，k=1,2,…，则称x与y相等，记为x=y；若a0>b0或存在非负整数j，使得a k=b k（k=1,2,…j）而a j+1>b j+1，则称x大于y或y小于x，分别记为x>y或y<x.定义2：设x=a0.a1a2…a n…为非负实数。
称有理数x n=a0.a1a2…a n为实数x的n位不足近似，而有理数= x n称为实数x的n位过剩近似，n=1,2,….对于负实数x= -a0.a1a2…a n…，其n位不足近似与过剩近似分别规定为x n= -a0.a1a2…a n与= -a0.a1a2…a n.命题：设x=a0.a1a2…，y=b0.b1b2…为两个实数，则x>y等价条件是：存在非负整数n，使得x n>.例1：设x、y为实数，x<y. 证明：存在有理数r满足x<r<y.证：由于x<y，故存在非负整数n，使得<y n. 令r=(+y n)，则r为有理数，且有：x≤<r<y n<y，即得x<r<y.实数的一些主要性质：1. 实数集R对加、减、乘、除(除数不为0)四则运算是封闭的，即任意两个实数的和、差、积、商(除数不为0)仍然是实数；2. 实数集是有序的，即任意两个实数a、b必满足下述三个关系之一：a<b，a=b，a>b.3. 实数的大小关系具有传递性，即a>b，b>c，则有a>c.4. 实数具有阿基米德性，即对任何a、b∈R，若b>a>0，则存在正整数n，使得na>b.5. 实数集R具有稠密性，即任何两个不相等的实数之间必有其它实数，且既有有理数，也有无理数；6. 如果在一条直线(通常画成水平直线)上确定一点O作为原点，指定一个方向为正向(通常把指向右边的方向规定为正向)，并规定一个单位长度，则称此直线为数轴。
数学分析知识点总结
数学分析知识点总结第一章实数集与函数§1实数授课章节：第一章实数集与函数——§1实数教学目的：使学生掌握实数的基本性质．教学重点：(1)理解并熟练运用实数的有序性、稠密性和封闭性；(2)牢记并熟练运用实数绝对值的有关性质以及几个常见的不等式．（它们是分析论证的重要工具）教学难点：实数集的概念及其应用．教学方法：讲授．（部分内容自学）教学程序：引言上节课中，我们与大家共同探讨了《数学分析》这门课程的研究对象、主要内容等话题．从本节课开始，我们就基本按照教材顺序给大家介绍这门课程的主要内容．首先，从大家都较为熟悉的实数和函数开始．[问题]为什么从“实数”开始．答：《数学分析》研究的基本对象是函数，但这里的“函数”是定义在“实数集”上的（后继课《复变函数》研究的是定义在复数集上的函数）．为此，我们要先了解一下实数的有关性质．一、实数及其性质1、实数．[问题]有理数与无理数的表示不统一，这对统一讨论实数是不利的．为以下讨论的需要，我们把“有限小数”（包括整数）也表示为“无限小数”．为此作如下规定：对于正有限小数其中，记；对于正整数则记；对于负有限小数（包括负整数），则先将表示为无限小数，现在所得的小数之前加负号．0表示为0＝例：；利用上述规定，任何实数都可用一个确定的无限小数来表示．在此规定下，如何比较实数的大小？2、两实数大小的比较1）定义1给定两个非负实数，. 其中为非负整数，为整数，．若有，则称与相等，记为；若或存在非负整数，使得，而，则称大于或小于，分别记为或．对于负实数、，若按上述规定分别有或，则分别称为与（或）．规定：任何非负实数大于任何负实数．2）实数比较大小的等价条件（通过有限小数来比较）．定义2（不足近似与过剩近似）：为非负实数，称有理数为实数的位不足近似；称为实数的位过剩近似，.对于负实数，其位不足近似；位过剩近似.注：实数的不足近似当增大时不减，即有；过剩近似当n增大时不增，即有．命题：记，为两个实数，则的等价条件是：存在非负整数n，使（其中为的位不足近似，为的位过剩近似）．命题应用例1．设为实数，，证明存在有理数，满足．证明：由，知：存在非负整数n，使得．令，则r为有理数，且．即．3、实数常用性质（详见附录Ⅱ．）．1）封闭性（实数集对）四则运算是封闭的．即任意两个实数的和、差、积、商（除数不为0）仍是实数．2）有序性：，关系，三者必居其一，也只居其一.3）传递性：，．4）阿基米德性：使得．5）稠密性：两个不等的实数之间总有另一个实数．6）一一对应关系：实数集与数轴上的点有着一一对应关系．例2．设，证明：若对任何正数，有，则．（提示：反证法．利用“有序性”，取）二、绝对值与不等式1、绝对值的定义实数的绝对值的定义为．2、几何意义从数轴看，数的绝对值就是点到原点的距离．表示就是数轴上点与之间的距离．3、性质1）（非负性）；2）；3），；4）对任何有（三角不等式）；5）；6）（）．三、几个重要不等式1、2、均值不等式:对记(算术平均值)(几何平均值)(调和平均值)有平均值不等式:即：等号当且仅当时成立.3、Bernoulli不等式:(在中学已用数学归纳法证明过)有不等式当且,且时,有严格不等式证：由且4、利用二项展开式得到的不等式:对由二项展开式有上式右端任何一项.［练习］P4．5［课堂小结］：实数：.[作业]P4．1．(1)，2．(2)、(3)，3§2数集和确界原理授课章节：第一章实数集与函数——§2数集和确界原理教学目的：使学生掌握确界原理，建立起实数确界的清晰概念.教学要求：(1)掌握邻域的概念；(2)理解实数确界的定义及确界原理，并在有关命题的证明中正确地加以运用.教学重点：确界的概念及其有关性质（确界原理）.教学难点：确界的定义及其应用.教学方法：讲授为主.教学程序：先通过练习形式复习上节课的内容，以检验学习效果，此后导入新课.引言。
数学分析讲义 - CH01(实数集与函数)
“集合”和“元素”是不定义的名词，“属于”也是不定义的关系。 2、集合的关系
解释下面记号： A B(B A) ， A B （定义是 A B, B A ）
3、映射
设V 和V 是任意两个非空集合，如果存在某个对应关系T ，使得对 V ，在V 中 有唯一的元素 与之对应，则称 T 是V 到V 的一个映射。记为
na b 。
（2）实数具有稠密性，即任何两个不相等的实数之间必有另一个实数，且既有有理数，
也有无理数。
2、绝对值
实数 a 的绝对值定义为
a
a, a 0 a, a 0
从数轴上看，数 a 的绝对值 a 就是点 a 到原点的距离．
实数的绝对值有如下一些性质：
1 o a a 0；当且仅当 a 0 时有 a 0
2
4
n i 1
xi2
n i 1
yi2
0
如果 xi kyi (i 1, 2,, n) ，则不等式显然以等号形式成立。 反之，如果等号成立，则 0 ，上面二次函数（抛物线）有零点（与 x 有交点），即
n
存在 t R 使 (xit yi )2 0 ，于是 yi txi kxi 。 i 1
sin(x) x 得 sin x x 。
综上，我们又得到不等式
sin x x , x R
其中等号仅当 x 0 时成立．
4、区间与邻域[一些记号]
a,b {x | a x b} ，a,b ， (a,b] ，[a,b)
(a, ) ，[a, ) ， (, a) ， (, a] ， (, ) R
4、可数集与不可数集 引例：古阿拉伯人，只会数 1，如何知道谁口袋里的贝壳（钱）多？ 问：对于两个无穷集，如何比较“多少”？
实数集与函数
1. 定义(反函数)(P13)
设函数 y f ( x), x D 满足 : 对值域 f ( D) 中的每一个值 y, D 中有且仅有一个值 x 使得 f ( x) y, 则按此对应法则得到一 个 定义在 f ( D) 上的函数 , 称这个函数为 f 的反函数 , 记作
f 1 : f ( D) D, yx
2) y x , s t 2 ;
x 3) f ( x) 1, g ( x) . x
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§3.函数概念 一. 函数的定义 2.几点说明
(1)自变量 (independen t variable )与因变量 (dependentvariable )(P10); (2)函数的表示方法 ;
(3)函数的定义域(即存在域);
2. 定义(复合函数)(P12)
例1(P12) 设 y f (u),u g ( x) 1 x2 , 求复合函数 f g ( x).
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§3.函数概念 二. 函数的运算 II.函数的复合运算---复合函数
2. 定义(复合函数)(P12)
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§3.函数概念 二. 函数的运算 II.函数的复合运算---复合函数
(3)函数的定义域(即存在域);
(4)函数的基本要素;
(5)函数的象与原象(P11); (6)单值函数与多值函数(P11); (7) 函数的图形 [思考题] (1) 从函数的图形上看,单值函数与多值函数的区别何在?
(2) 试画出绝对函数,符号函数,取整函数,Dirichlet函数与Riemann 12 函数(P211)的草图.
(i) 分段函数:在定义域不同部分用不同数学式子表示的函数 (ii)用语言表示的函数
3) 定义在[0,1] 上的黎曼函数 (Riemann 函数) 1 p p p, q N , 为既约真分数 , 当x R( x) q q q 0, 当x 0,1和(0,1)内的无理数 .确
第一章实数集与函数
第一章 实数集与函数教学进度：使用六个学时 一 .实数1．实数集的元素构成：有理数与无理数。
有理数是可以用分数形式),(互素q p qp 表示的数，或者也可以说可用有限小数或无限的循环小数来表示；无限的不循环小数则称为无理数。
2．任何实数都可用一个确定的无限小数来表示。
举例： 917291792182&L L ...==L L 00000.= 978&.−=−3．如何定义两个实数的大小定义1 ，为两个非负的实数，若L L n a a a x 10.=L L n b b b y 10.=1），则称x,y 相等，记为),,,,(,L L n k b a k k 10==y x =。
2）若或00b a >),,(..,l k b a t s l k k L 10==∃而，则称x 大于y ，记为11++>l l b a .y x > 下面会给出通过有限小数来比较实数大小的等价条件，先来介绍一个概念。
定义2 设是一个非负实数。
称有理数L L n a a a x 10.=n n a a a x L 10.=为x 的n 位不足近似，而有理数n n n a a a x 10110+=L . 位x 的n 位过剩近似， .,,L 10=n 举例 的0位，1位，2位，3位的不足近似是5，5.1, 5.17, 5.178 ; 0位，L 178965.1位，2位，3位的过剩近似是：6，5.2, 5.18, 5.179. 从这个例子可以看出：不足近似是递增的，过剩近似是递减的。
对于负实数又是如何定义不足与过剩近似？对于负实数L L n a a a x 10.−=，注 1.n n x x x ≤≤2.实数x 的n 位不足近似随着n 的增大不减；实数x 的n 位过剩近似n x n x 随着n 的增大不增。
命题 设，为两个实数，则L L n a a a x 10.=L L n b b b y 10.=y x >的等价条件是：存在非负整数n ，使得.n n y x >因此就不在此叙述。
《数学分析》第一章 实数集与函数 1
( ∞ , b ) = { x x < b}
无限区间
x obxFra bibliotek区间长度的定义: 区间长度的定义: 两端点间的距离(线段的长度 称为区间的长度 两端点间的距离 线段的长度)称为区间的长度 线段的长度 称为区间的长度.
3.邻域: 3.邻域: 设a与δ是两个实数 , 且δ > 0. 邻域
数集{ x x a < δ }称为点a的δ邻域 ,
o a x b 称为闭区间, { x a ≤ x ≤ b} 称为闭区间 记作 [a , b] o a
b
x
{ x a ≤ x < b} { x a < x ≤ b}
称为半开区间, 称为半开区间 记作 [a , b ) 称为半开区间, 称为半开区间 记作 (a , b] 有限区间
[a ,+∞ ) = { x a ≤ x }
a a≥0 a = a a < 0 运算性质: 运算性质 ab = a b ;
5.绝对值: 5.绝对值: 绝对值
( a ≥ 0)
a a = ; b b
绝对值不等式: 绝对值不等式
a b ≤ a ± b ≤ a + b.
x ≤ a ( a > 0) x ≥ a ( a > 0)
a ≤ x ≤ a;
点a叫做这邻域的中心 , δ 叫做这邻域的半径 .
U δ (a ) = { x a δ < x < a + δ }.
δ
δ
x
a aδ a+δ 0 点a的去心的 δ邻域 , 记作 U δ (a ).
U δ (a ) = { x 0 < x a < δ }.
4.常量与变量: 4.常量与变量: 常量与变量 在某过程中数值保持不变的量称为常量 在某过程中数值保持不变的量称为常量, 常量 而数值变化的量称为变量 变量. 而数值变化的量称为变量 注意 常量与变量是相对"过程"而言的. 常量与变量是相对"过程"而言的 常量与变量的表示方法: 常量与变量的表示方法: 通常用字母a, 等表示常量, 通常用字母 b, c等表示常量 等表示常量 用字母x, 等表示 等表示变 用字母 y, t等表示变量.
Chapter01-实数集与函数
数学分析
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北方工业大学数学系
[a, ){ x|ax}, (, b]{ x|xb}, (a, ){ x|a<x},
(, b){ x|x<b},
(, ){ x| |x|<}.
数学分析
S有上确界，则 h sup S S h max S . 例 3：
北方工业大学数学系
S有下确界，则 h inf S S h min S .
证：仅证下确界的情况。
必要性：
h inf S , 故x S , x h . 而h S , 故h min S .
则x>y的等价条件是：存在非负整数n，使得
x n yn ,
其中 x n 表示x的n位不足近似，y n 表示y的n位 过剩近似。
证明：见附录。
数学分析
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北方工业大学数学系
例1 设 x, y为实数，x<y. 证明：存在有理
数r 满足 x<r<y.
（此例说明任意两个不等的实数之间，都 有一个有理数）
例：命题“对任意的实数x, 都存在实数y,使得x+y=1” 可表示为“xR, yR, 使得x+y=1”
数学分析
2
北方工业大学数学系
3. 我们用符号“”表示“充分条件”或“推出”；
比如“ p q ”表示“ 若 p 成立, 则 q 也成立”。 即p 是 q 成立的充分条件.
4. 我们用符号“”表示“当且仅当”或“充要条件”；
显然 ， 任何一个不大于 1的实数都是 N 的下界 . M 0, 取 n0 [ M ] 1, 则 n0 M , 即 N 无上界 .
第一章实数集及函数
第一章 实数集与函数（10学时）§１．实数教学目的：使学生把握实数的大体性质．教学重点：（１）明白得并熟练运用实数的有序性、浓密性和封锁性；（２）牢记并熟练运用实数绝对值的有关性质和几个常见的不等式．（它们是分析论证的重要工具） 教学难点：实数集的概念及其应用．学时安排: 2学时教学方式：教学．（部份内容自学）教学程序：引言上节课中，咱们与大伙儿一起探讨了《分析》这门旅程的研究对象、要紧内容等话题．从本节课开始，咱们就大体依照教材顺序给大伙儿介绍这门课程的要紧内容．第一，从大伙儿都较为熟悉的实数和函数开始．[问题] 什么缘故从“实数”开始．答：《数学分析》研究的大体对象是函数，但那个地址的“函数”是概念在“实数集”上的（《复变函数》研究的是概念在复数集上的函数）．为此，咱们要先了解一下实数的有关性质．一 实数及其性质 １、实数(,q p q p ⎧⎧≠⎪⎨⎨⎩⎪⎩正分数,有理数为整数且q 0)或有限小数和无限小数.负分数,无理数:用无限不循环小数表示. {}|R x x =--为实数全体实数的集合．[问题] 有理数，无理数的表示不统一，这对统一讨论实数是不利的．为以下讨论的需要，咱们把“有限小数”（包括整数）也表示为“无穷小数”．为此作如下规定： ,n a 其,,n n a ≠19999n a -；关于正整数0,x a =1).9999；关于负有限小数（包括负整，那么先将y -表示为无穷小数，此刻所得的小数之前加负号．０＝0.0000例：2.001 2.0009999→3 2.99992.001 2.0099993 2.9999→-→--→-利用上述规定，任何实数都可用一个确信的无穷小数来表示．但新的问题又显现了：在此规定下，如何比较实数的大小？２．两实数大小的比较1） 概念１ 给定两个非负实数01n x a a a =，01n y b b b =. 其中00,a b 为非负整数，,k k a b (1,2,)k =为整数，09,09k k a b ≤≤≤≤．假设有,1,2,k k a b k ==，那么称x 与y 相等，记为x y =；假设00a b >或存在非负整数l ，使得,1,2,,k k a b k l ==，而11l l a b ++>，那么称x 大于y 或y 小于x ，别离记为x y >或y x <．关于负实数x 、y ，假设按上述规定别离有x y -=-或x y ->-，那么别离称为x y =与x y <（或y x >）．规定：任何非负实数大于任何负实数．2） 实数比较大小的等价条件（通过有限小数来比较）．概念２（不足近似与多余近似）：01n x a a a =为非负实数，称有理数01n x a a a =为实数x 的n 位不足近似；110n n n x x =+称为实数x 的n 位多余近似；关于实数01nx a a a =-，其n 位不足近似01110n n n x a a a =--；n 位多余近似01n n x a a a =-. 注：实数x 的不足近似n x 当n 增大时不减，即有012;x x x x ≤≤≤≤ 多余近似n x 当n 增大时不增，即有01x x x x ≥≥≥≥．命题：记01n x a a a =，01n y b b b =为两个实数，那么x y >的等价条件是：存在非负整数n ，使n n x y >（其中n x 为x 的n 位不足近似，n y 为y 的n 位多余近似）．命题应用————例１例１．设,x y 为实数，x y <，证明存在有理数r ，知足x r y <<．证．由x y <，知：存在非负整数n ，使得n n x y <．令()12n n r x y =+，那么r 为有理数，且 n n x x r y y ≤<<≤．即x r y <<．３．实数经常使用性质（详见附录Ⅱ．Ｐ２８９－３０２）．● 封锁性（实数集Ｒ对,,,+-⨯÷）四那么运算是封锁的．即任意两个实数的和、差、积、商（除数不为０）仍是实数．● 有序性：任意两个实数,a b 必知足以下关系之一：,,a b a b a b <>=．● 传递性；,a b b c a c <>⇒>．● 阿基米德性：,,0a b R b a n N ∀∈>>⇒∃∈使得na b >．● 浓密性：两个不等的实数之间总有另一个实数．● 实数集Ｒ与数轴上的点有着一一对应关系．例２．设,a b R ∀∈，证明：假设对任何正数ε，有a b ε<+，那么a b ≤．（提示：反证法．利用“有序性”，取a b ε=-）二 、绝对值与不等式（分析论证的大体工具）．１．绝对值的概念实数a 的绝对值的概念为,0||0a a a a a ≥⎧=⎨-<⎩．２． 几何意义：从数轴看，数a 的绝对值||a 确实是点a 到原点的距离．熟悉到这一点超级有效，与此相应，||x a - 表示确实是数轴上点x 与a 之间的距离．３．性质．１）||||0;||00a a a a =-≥=⇔=（非负性）；２）||||a a a -≤≤；３）||a h h a h <⇔-<<，||.(0)a h h a h h ≤⇔-≤≤>；４）对任何,a b R ∈有||||||||||a b a b a b -≤±≤+（三角不等式）；５）||||||ab a b =⋅；６）||||a a b b =（0b ≠）． ［练习］Ｐ４． ５［课堂小结］：实数：⎧⎨⎩一 实数及其性质二 绝对值与不等式.§２数集和确界原理教学目的：使学生把握确界原理，成立起实数确界的清楚概念。
实数集与函数
6）实数集具有完备性（连续性），即任一实数都对应数轴上唯 一的一点；反之，数轴上的每一点也都唯一地代表一个实数.于 是，实数集 R 与数轴上的点有着一一对应关系. 以后的叙述中，常把“实数a”与“数轴上的点a”这两种说法看 作具有相同的含义. 例1 设a、b∈R，证明：若对任何正数 有a＜b+ , 则a ≤b . 证：（反证法）. 若结论不成立，有实数集的有序性，必有
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又 S A, S 的下界就是A 的下界,
inf S 是S 的下界, inf S 是A 的下界,
inf S inf A;
同理有 inf S inf B 于是有
inf S min inf A, inf B.
综上, 有
inf S min inf A, inf B.
界, B 有下确界.
由定义, 上确界 sup A 是最小的上界, 因此, 任意
yB; sup A y. 这样, sup A 又是 B 的一个下界,
而 inf B 是最大的下界, 因此 sup A inf B.
18
例9 (ii) A 和 B 为非空有界数集, S A B.
. 试证明: inf S min inf A , inf B
21
(i) 若 a R, 定义 S a { x a | x S }, 则
sup { S a } sup S a;
证 (i ) x a S a , 其中 x S , 必有 x sup S ,
于是
x a sup S a .
对于 0, x0 S , 使 x0 sup S , 从而 x0 a S a ,
证 先证 sup S=1.
1第一章 实数集与函数1
结论显然成立． 结论显然成立．
1 1 当 a+b < 且 a − b < 时， 2 2 1 1 1 − b = 1 − ( a + b) + ( a − b) 2 2
≥ 1− 1 1 1 1 1 a + b − a − b > 1− − = . 2 2 4 4 2
所以
综上可知平均不等式成立． 综上可知平均不等式成立．
退出
n +1 . 证明： 例3 证明：∀n > 2, n < n ! < 2
n
证：
又 故不等式成立. 故不等式成立 退出
1 证明： 例4 证明：∀a, b ∈ R, max { a + b , a − b , 1 − b } ≥ . 2
证： 当 a + b ≥
减
整数
除
有理数
极限
实数． 实数．
Hale Waihona Puke 自然数—— 一个一个地数，数出来的数称为自然数． 一个一个地数，数出来的数称为自然数． 自然数 自然数与其相反数构成的整体称为整数． 整数 —— 自然数与其相反数构成的整体称为整数． 有理数—— 能表为分数的数称为有理数．(可公度的数 能表为分数的数称为有理数． 可公度的数 可公度的数) 有理数 无理数—— 不可公度的数．(不能表为分数的数 不可公度的数． 不能表为分数的数 不能表为分数的数) 无理数 退出
此与题设矛盾， 此与题设矛盾，
∴
为无理数． 为无理数． 退出
2、基本性质 、 (1) 四则运算封闭 —— 实数参与四则运算，其结果仍 实数参与四则运算， 是实数． 是实数． (2) 有序性 —— 有且只有一个成立． 有且只有一个成立． (3) 阿基米德性 —— (4) 稠密性 —— (5) 连续性 —— 数轴上的点与点之间无间隙． 数轴上的点与点之间无间隙． (6) 数与形 —— 实数与数轴上的点构成一一对应． 退出 实数与数轴上的点构成一一对应．
实数集与函数
§2数集.确界原理
定义1
设S为R中的数集.若存在数M(L)，使得对一切 x∈S，都有x≤M(x≥L),则称S为有上界(下界)
的数集，数M(L)称为S的一个上界（下 界）.
例1 证明数集N+={n|n为正整数}有下界而 无上界.
证 显然，任何一个不大于1的实数都是N+的下界，故 N+为有下界的数集. 为证N+无上界，按照定义只需证明：对于无论多么大的数M， 总存在某个正整数n(∈ N+),使得n>M.事实上，对任何正数M （无论多么大），取n=[M]+1,则n∈ N+,且n>M.这就证明了 N+无上界.
符号函数：
即 x>0,sgnx=1； x=0,sgnx= 0； x<0,sgnx=-1.
狄利克雷函数:
D（x）=1,当x为有理数； D（x）=0,当x为无理数.
黎曼函数：
R(x)=1/q，当x=p/q(p,q都属于正整数， p/q为既约真分数)； R(x)=0，当x=0，1和(0,1)内的无理数.
实数集与函数
第一章
实数集与函数
§1 实数
§2数集确界原理
§3函数概念
§1 实数
一.实数的性质：
• 实数集R对加、减、乘、除（除数不为0）四则运算是 封闭的，即任意两个实数的和、差、积、商（除数不 为0）仍然是实数. • 实数集是有序的，即任意两实数a，b必满足下述三个 关系之一a<b,a=b,a>b.
例： 设a,b ∈ R.证明：对任何正数ε有a<b+ε, 则a≤b.
用反证法. 倘若结论不成立，则根据实数集的有序性,有 a>b,令ε=a-b,则ε为正数且a=b+ ε,但这与假设 a<b+ε矛盾.从而必有a≤b. 证
华师大版数学分析第一章实数集与函数1.3函数概念ppt
3、由基本初等函数经过有限次四则运算与复合运算 所得到的函数，统称为初等函数。
7、试问y=|x|是初等函数吗？ 解：y=|x|= = ; u=x2; 可见 y=|x|是由基本初等函数有限次复合而成的函数， ∴y=|x|是初等函数.
8、确定下列初等函数的存在域： (1)y=sin(sinx)；(2)y=lg(lgx)； (3)y=arcsin(lg )；(4)y=lg(arcsin ).
9、下列函数是由哪些基本初等函数复合而成： (1)y=(1+x)20; (2)y=(arcsinx2)2;
(3)y=lg(1+
); (4)y=
.
解：(1)y=u20, u=v1+v2, v1=1, v2=x； (2)y=u2, u=arcsinv, v=x2； (3)y=lgu, u=(u1+u2), u1=1, u2= , v=u1+w, w=x2； (4)y=, u=v2, v=sinx.
或f(x)=xsgn x
狄利克雷函数：D(x)= 定义在[0,1]上的黎曼函数： R(x)=
1、试作下列函数的图象： (1)y=x2+1；(2)y=(x+1)2； (3)y=1-(x+1)2；(4)y=sgn(sinx)；(5)y= 解：如图：
(1)
(2)
(3)
1、试作下列函数的图象： (1)y=x2+1；(2)y=(x+1)2； (3)y=1-(x+1)2；(4)y=sgn(sinx)；(5)y= 解：如图：
注： 两个相同的函数对应法则相同，定义域也相同， 但对应法则的表达形式可能不同，如： f(x)=|x|，x∈R和f(x)= ，x∈R.
函数的三种表示法： 即解析法(或称公式法)、列表法和图象法。 在不同的定义域用不同公式表示的函数称为分段函数。
第一讲实数与实函数
第一讲实数与实函数1 . 1 实数与实函数的基本概念一．实数实数包括有理数和无理数．有理数，就是能够表示成qp形式的数，其中 p 是整数， q 是不为零的整数．如果用小数表示，有理数都可以表示成有限小数，或无限循环小数．无理数，就是不能表示成qp形式的数，也就是无限不循环的小数．如果将有限小数也表示成无限小数，例如：数 1 可表示为 1=1.000… ；也可以表示为 l=0.999… （注：这是实无限的观点），为唯一性起见，数学上作了一个约定，就是不以零为循环节．数 1 约定的表示为l=0.999…，因此，实数就是一个可以用无限小数表示的数．二、实数的性质1 ．实数集合 R 是一个阿基米德有序域( 1 ）在实数集合 R 上定义加法“ + ”和乘法“× ”两种运算，对两种运算分别满足交换律、结合律，以及乘法关于加法的分配律；对加法，有“零元”和“负元”；对乘法有“单位元”和“逆元” ; R 成为一个“域”.( 2 ）在集合 R 上定义了一种序关系“ < " ，且满足传递性：即对 R c b a ∈∀,, ，若 a < b , b < c ,则 a ＜c ；三歧性：即对 ,,R b a ∈∀，关系 a < b , a =b , a > b 三者必居其一,也只居其一 R 是一个全序集．( 3 ) R 中的元素满足阿基米德性：对 R 中的任意两个正数 a , b ，必存在自然数 n ，使得 na ＞b.2 ．实数集合 R 是一个完备集定义1.1（距离空间）设 X 是一个集合，定义映射+→⨯R X X :ρ，满足 ( 1 ）非负性：对();0,,,y x y x X y x =⇔=∈∀ρ ( 2 ）对称性：()()x y y x ,,ρρ= ；( 3 ）三角不等式：()()()y z z x y x ,,,ρρρ+≤;则称ρ是点集 X 上的一个距离．如果 X 是一个线性空间，称()ρ,X 是一个距离空间 。
§4---具有某些特性的函数数学分析(华师大-四版)课件-高教社ppt-华东师大教材配套课件
*§4具有某些特性的函数 有界函数 单调函数奇函数与偶函数 周期函数定义1有界函数设 f 定义在D 上.R,,(),M x D f x M f D ∃∈∀∈≤若则称在上有上界；R,,(),L x D f x L f D ∃∈∀∈≥若则称在上有下界；R,,(),.M x D f x M f D ∃∈∀∈≤若则称在上有界.上既有上界又有下界在上有界在易证D f D f ⇔00R,,(),M x D f x M f D ∀∈∃∈>若则称在上无上界;00R,,(),L x D f x L f D 若则称在上无下界；∀∈∃∈<00R,,(),.M x D f x M f D ∀∈∃∈>若则称在上无界π:()tan [0,),.2f x x =证明在上无上界有下界例1 π[0,).2上有下界0R,arctan(1),M x M ∀∈=+取π[0,).2上无上界0,L =取证 在因此f 00π[0,),tan 1,2x x M M ∈=+>则且在因此f π[0,),(),2x f x L ∀∈≥则)},(sup{)(x g x g ≤()()sup{()}sup{()},f x g x f x g x ≤因此,sup{()}sup{()}x f x g x 由的任意性可知,)}()({的一个上界是x g x f )}.({sup )}({sup )}()({sup x g x f x g x f Dx Dx Dx ∈∈∈≤因此,()sup{()},x D f x f x ∀∈≤有证 :{()()}{()}{()}.sup sup sup x Dx Dx Df xg x f x g x ∈∈∈≤证明(),().f x g x D 设函数是上的正值有界函数例2例3(),()f x g x D 设在上有界,证明:inf{()()}inf{()}sup{()}.x Dx Dx Df xg x f x g x ∈∈∈+≤+ 证 000,,()inf{()}.x Dx D f x f x εε∈∀>∃∈<+使0()sup{()},x Dg x g x ∈≤又故00()()inf{()}sup{()}.x Dx Df xg x f x g x ε∈∈+<++因此00inf{()()}()()x Df xg x f x g x ∈+≤+inf{()}sup{()}.x Dx Df xg x ∈∈≤+§4具有某些特性的函数 有界函数 奇函数与偶函数 周期函数定义2单调函数∀∈<1212,,,x x D x x 若当时≤12(i)()(),f x f x f D 有则称为上的增函数;<12()(),.f x f x f 特别有时称为严格增函数≥12(ii)()(),f x f x f D 有则称为上的减函数;>12()(),.f x f x f 特别有时称为严格减函数.上的函数是定义在设D f ()()f xg x 不难知道,若和是正值严格增的,则()()f x g x 也是正值严格增的.单调函数证例4 2121N ,R n n n y x-+-∈=任意在上严格增;22+R R nn y x-=在上严格增,在上严格减.上为正值严格增，在由+=R x y 1112y y y =可知.上亦正值严格增在+R +R y n 在由归纳法，若已证,上为正值严格增上亦正值在可知++=R y y y n n 11.严格增12210,0,x x x x <<<-<-若则于是2221212121()(),()(),n n n n x x x x ---<--<-2221212121,nnn n x x x x --<>即.21R n y 上严格减,而在上严格增.--121200,x x x x ≤<<≤若或则21212121121200n n n n xxxx----≤<<≤或，21R n y -这证明了在上严格增.2R n y -这就证明了在[]R,y x=易证函数在上是增函数但非严格例5 增.xyO111-1-222-2-343定理1.211,().f f f D --且在其定义域上也是严格增函数(),,y f x x D f =∈设为严格增函数则必有反函数11,,f f f --类似地严格减函数必有反函数且在其.定义域上也是严格减函数,().x D f x y ∈=使,()f D y f D 设在上严格增则∀∈证 只有一个 1212,()(),x x f x y f x ∃<==事实上,若使f则与.的严格增性质相矛盾,),(,2121y y D f y y <∈∀1212,,y y f x x <<由于及的严格增性必有即111122(),(),x f y x f y --==1112()(),f y f y --<n y 因此的反函+R nn y x =由于在上严格增,例6 +,R rn r y x m==在上亦为严格增.1/+R nn z x =数在上严格增,故对任意有理数1:f 再证必是严格增的-1.f -因此也是严格增函数01,R .a <<时在上严格减121122,,,r r Q x r r x ∃∈<<<使因此11sup{,}x ra a r Q r x =∈<22sup{,}.x ra r Q r x a ≤∈<=1,R xy a a =>证明：当时在上严格增;例7 12121.,,.a x x x x Q >∀<设由的稠密性,证 01,R .xa a <<类似可证当时在上严格减log ,xa y x y a ==由于是的反函数因此+log 1R a y x a =>当时,在上严格增；log a y x =+01,R .a <<当时在上严格减当 12r r a a ≤<§4具有某些特性的函数 有界函数 单调函数周期函数定义1奇函数和偶函数.,:,D x D x D ∈-∈∀必有即关于原点对称设,()(),x D f x f x ∀∈-=-若.f D 称为上的奇函数,()(),x D f x f x ∀∈-=若.f D 称为上的偶函数偶函数的充要条件是:(,)()(,)();x y G f x y G f ∈⇔--∈(,)()(,)().x y G f x y G f 或∈⇔-∈()G f f 显然,若记为的图象,则()f x 是奇函数或奇函数与偶函数§4具有某些特性的函数 有界函数 单调函数周期函数21sin ,tan ,n y x y x y x+===例如 是奇函数,2cos ,ny x y x ==是偶函数.(=++211ln 1(e e )2x xy x x y -是奇函数=-的反函数，从而它也是奇函数.而 奇函数与偶函数§4具有某些特性的函数 有界函数 单调函数奇函数与偶函数 周期定义4周期函数),()(,x f x f D x =±∈±σσ且必有,.f f σ则称为周期函数为的一个周期,f 若周期函数的所有正周期中有一个最小的周期f 则称此最小正周期为的基本周期,简称周期..0,f D x D σ∃>∀∈ 设为上定义的函数若使函数§4具有某些特性的函数 有界函数 单调函数奇函数与偶函数 周期注1 周期函数的定义域不一定是R. 例如：.sin )(x x f =sin 2π,x 的周期为tan π,x 的周期为例8 注2 周期函数不一定有最小周期. 例如狄利克雷函 数以任意正有理数为周期，但没有最小周期. 例9 任意正有理数是狄利克雷函数 的周期. ()D x 证 设+Q ,R.r x ∈∈Q,Q,()1();x x r D x r D x ∈+∈+==若则Q,Q,()0().x x r D x r D x ∉+∉+==若则因此,()r D x 是的一个周期.函数复习思考题1.f (x )在[a ,b ]上定义，是否一定存在某个区间 0000[,][,],()[,]a b a b f x a b ⊂使在上是单调函数?2.构造在[0,1]上定义的函数f (x ),使其在任何 00[,][0,1],().a b f x ⊂上无界3. 用肯定语句叙述下列概念: (1) 非周期函数；(2) 非奇函数； (3) 非单调增函数.。
实数集与函数
定义2: 设 x a .a a
0
1 2
a n , 为非负实数，称有理数
x n a0 .a1a 2 a n 为实数x的n位不足近似，而有理数 1 xn xn n 10 称为实数x的n位过剩近似，n 1, 2 , .
对于负实数x a0 .a1a2 an ，其n位不足近似与n位过 剩近似分别规定为 1 xn a0 .a1a2 an n 与 xn a0 .a1a2 an . 10
a k bk， ( k 1, 2 , , l )而a l bl , 则称x大于y或y小于x，分别记为x y或y x;
对于负实数x , y，若按上述规定分别有 x y与 x y， 则分别称x y与x y（或y x）另外，自然规定任何 非负实数 大于任何负实数.
注: (1) 定义1 给出了两个非负实数相等与不等的 定义，请注意它的定义方式.
(2) 定义2 给出非负实数的 n 位不足近似与 n 位过
剩近似，蕴含了重要的数学思想—“逼近”，应引起
同学们的注意.
同时，非负实数的 n 位不足近似与 n 位过剩近似
都是有理数，且它们分别递增、递减.
如 2 1.4142， 则 1.4, 1.5, 1.41, 1.42, 1.414, 1.4142 , , 称 为 2的 不 足 近 似 ； 1.415, 1.4143 , , 称 为 2的 过 剩 近 似 .
y b0 .b1b2 bn 其中a0 , b0为非负整数a k , bk ( k 1, 2 , ) 为整数， 0 a k 9, 0 bk 9. 若有 a k bk，k 1, 2 , ， 则称x与y相等，记为 x y； 若a0 b0或存在非负整数l，使得
《数学分析》第一章 实数集与函数 2
y = ex
y = ax
(a > 1)
( 0 ,1)
4,三角函数 , 正弦函数 y = sin x
y = sin x
余弦函数 y = cos x
y = cos x
正切函数 y = tan x
y = tan x
3,对数函数 y = log a x ,
(a > 0, a ≠ 1) y = ln x
恒成立 . 则称f ( x )为周 期函数 , l称为 f ( x )的周期 .
(通常说周期函数的周期是指其最小正周期). 通常说周期函数的周期是指其最小正周期) 周期
3l 2
l 2
l 2
3l 2
三,反函数
y
函数 y = f ( x )
y0
y
反函数 x = ( y )
y0
W
W
o
x0
x
o
x0
x
D
y
D : ( 1,1)
如果自变量在定 y 义域内任取一个数值 时,对应的函数值总 是只有一个, 是只有一个,这种函 W y 数叫做单值函数, 数叫做单值函数,否 则叫与多值函数. 则叫与多值函数.
( x, y)
x
例如, 例如, x + y = a .
2 2 2
o
x
D
定义: 定义: 点集C = {( x , y ) y = f ( x ), x ∈ D} 称为
o
I
x
设函数 f ( x )的定义域为 D , 区间 I ∈ D ,
如果对于区间 I 上任意两点 x1 及 x 2 , 当 x1 < x 2时,
恒有 ( 2) f ( x1 ) > f ( x 2 ),
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第一章 实数集与函数习题§1实数1、 设a 为有理数，x 为无理数。
证明：（1）a+ x 是无理数；（2）当a ≠0时，ax 是无理数。
2、 试在数轴上表示出下列不等式的解：（1）x （2x -1）>0；（2）|x-1|<|x-3|；（3）1-x -12-x ≥23-x 。
3、 设a 、b ∈R 。
证明：若对任何正数ε有|a-b|<ε，则a = b 。
4、 设x ≠0，证明|x+x1|≥2，并说明其中等号何时成立。
5、 证明：对任何x ∈R 有（1）|x-1|+|x-2|≥1；（2）|x-1|+|x-2|+|x-3|≥2。
6、 设a 、b 、c ∈+R （+R 表示全体正实数的集合）。
证明 |22b a +-22c a +|≤|b-c|。
你能说明此不等式的几何意义吗？7、 设x>0，b>0，a ≠b 。
证明x b x a ++介于1与ba 之间。
8、 设p 为正整数。
证明：若p 不是完全平方数，则p 是无理数。
9、 设a 、b 为给定实数。
试用不等式符号（不用绝对值符号）表示下列不等式的解：（1）|x-a|<|x-b|；（2）|x-a|< x-b ；（3）|2x -a|<b 。
§2数集、确界原理1、 用区间表示下列不等式的解：（1）|1-x|-x ≥0；（2）| x+x1|≤6； （3）（x-a ）（x-b ）（x-c ）>0（a ，b ，c 为常数，且a<b<c ）；（4）sinx ≥22。
2、 设S 为非空数集。
试对下列概念给出定义：（1）S 无上界；（2）S 无界。
3、 试证明由（3）式所确定的数集S 有上界而无下界。
4、 求下列数集的上、下确界，并依定义加以验证：（1）S={x|2x <2}；（2）S={x|x=n ！，n ∈+N }；（3）S={x|x 为（0，1）内的无理数}；（4）S={x|x=1-n21，n ∈+N }。
5、 设S 为非空有下界数集。
证明：infS=ξ∈S ⇔ξ=minS 。
6、 设S 为非空数集，定义-S ={x|-x ∈S}。
证明：（1）inf -S =-supS ；（2）sup -S =-infS 。
7、 设A 、B 皆为非空有界数集，定义数集A+B={z|z=x+y ，x ∈A ，y ∈B}。
证明：（1）sup （A+B ）=supA+supB ；（2）inf （A+B ）=infA+infB 。
8、 设a>0，a ≠1，x 为有理数。
证明 sup{r a |r 为有理数，r<x}，当a>1， x a = inf{r a |r 为有理数，r<x}，当a<1。
§3函数概念1、 试作下列函数的图象：（1）y=2x +1；（2）y=2)1(+x ；（3）y=1-2)1(+x ；（4）y=sgn （sinx ）；（5）y=⎪⎩⎪⎨⎧=<>.1||,3,1||,,1||,33x x x x x2、 试比较函数y=x a 与y=log x a 分别当a=2和a=21时的图象。
3、 根据图1-2写出定义在[0，1]上的分段函数1f （x ）和2f （x ）的解析表达式。
4、 确定下列初等函数的存在域：（1）y=sin （sinx ）；（2）y=lg （lgx ）；（3）y=arcsin （lg 10x ）；（4）y=lg （arcsin 10x ）。
5、 设函数f （x ）=⎩⎨⎧>≤+.0,2,0,2x x x x 求：（1）f （-3），f （0），f （1）；（2）f （Δx ）-f （0），f （-Δx ）-f （0）（Δx>0）。
6、 设函数f （x ）=x +11，求f （2+x ），f （2x ），f （2x ），f （f （x ）），f （)(1x f ）。
7、 试问下列函数是由哪些基本初等函数复合而成：（1）y=20)1(x +；（2）y=22)(arcsin x ；（3）y=lg （1+21x +）；（4）y=x 2sin 2。
8、 在什么条件下，函数y=dcx b ax ++的反函数就是它本身？ 9、 试作函数y=arcsin （sinx ）的图象。
10、试问下列等式是否成立：(1)tan （arctanx ）=x ，x ∈R ；(2)arctan （tanx ）=x ，x ≠k π+2π，k=0，±1，±2，… 11、试问y=|x|是初等函数吗？12、证明关于函数y=[x]的如下不等式：（1）当x>0时，1-x<x[x 1]≤1；（2）当x<0时，1≤x[x1]<1-x 。
§4具有某些特性的函数1、 证明f （x ）=12+x x 是R 上的有界函数。
2、 （1）叙述无界函数的定义； （2）证明f （x ）=21x 为（0，1）上的无界函数； （3）举出函数f 的例子，使f 为闭区间[0，1]上的无界函数。
3、 证明下列函数在指定区间上的单调性：（1）y=3x-1在（-∞，+∞）上严格递增；（2）y=sinx 在[-2π，2π]上严格递增； （3）y=cosx 在[0，π]上严格递减。
4、 判别下列函数的奇偶性：（1）f （x ）=214x +2x -1；（2）f （x ）=x+sinx ； （3）f （x ）=2x 2x e -；（4）f （x ）=lg （x+21x +）。
5、求下列函数的周期：（1）x 2cos ；（2）tan3x ；（3）cos 2x +2sin 3x 。
6、设函数f 定义在[-a ，a]上，证明：（1）F （x ）=f （x ）+f （-x ），x ∈[-a ，a]为偶函数；（2）G （x ）=f （x ）-f （-x ），x ∈[-a ，a]为奇函数；（3）f 可表示为某个奇函数与某个偶函数之和。
7、设f 、g 为定义在D 上的有界函数，满足f （x ）≤g （x ），x ∈D 。
证明：（1）D x ∈sup f （x ）≤D x ∈sup g （x ）；（2）D x ∈inf f （x ）≤Dx ∈inf g （x ）。
8、设f 为定义在D 上的有界函数，证明：（1）D x ∈sup {-f （x ）}=-D x ∈inf f （x ）；（2）D x ∈inf f （x ）=-Dx ∈sup f （x ）。
9、证明：tanx 在（-2π，2π）上无界，而在（-2π，2π）内任一闭区间[a ，b]上有界。
10、讨论狄利克雷函数 1，当x 为有理数，D （x ）=0，当x 为无理数的有界性、单调性与周期性。
11、证明：f （x ）=x+sinx 在R 上严格增。
12、设定义在[a ，+∞）上的函数f 在任何闭区间[a ，b]上有界。
定义[a ，+∞）上的函数：m （x ）=x y a ≤≤inf f （y ），M （x ）=xy a ≤≤sup f （y ）。
试讨论m （x ）与M （x ）的图象，其中（1）f （x ）=cosx ，x ∈[0，+∞）；（2）f （x ）=2x ，x ∈[-1，+∞）。
总练习题1、 设a 、b ∈R ，证明：（1）max{a ，b}=21（a+b+|a-b|）；（2）min{a ，b}=21（a+b-|a-b|）。
2、设f 和g 都是D 上的初等函数。
定义M （x ）=max{f （x ），g （x ）}，m （x ）=min{f （x ），g （x ）}，x ∈D试问M （x ）和m （x ）是否为初等函数？3、设函数f （x ）=xx +-11，求： f （-x ），f （x+1），f （x ）+1，f （x 1），)(1x f ，f （2x ），f （f （x ））。
4、已知f （x1）=x+21x +，求f （x ）。
5、利用函数y=[x]求解：（1）某系各班级推荐学生代表，每5人推荐1名代表，余额满3人可增选1名。
写出可推选代表数y 与班级学生数x 之间的函数关系（假设每班学生数为30—50人）；（2）正数x 经四舍五入后得整数y ，写出y 与x 之间的函数关系。
6、已知函数y=f （x ）的图象，试作下列各函数的图象：（1）y==-f （x ）；（2）y=f （-x ）；（3）y=-f （-x ）；（4）y=|f （x ）|；（5）y=sgnf （x ）；（6）y=21[|f （x ）|+f （x ）]；（7）y=21[|f （x ）|-f （x ）]。
7、已知函数f 和g 的图象，试作下列各函数的图象：（1）ϕ（x ）=max{f （x ），g （x ）}；（2）ψ（x ）= min{f （x ），g （x ）}。
8、设f 、g 和h 为增函数，满足f （x ）≤g （x ）≤h （x ），x ∈R 。
证明：f （f （x ））≤g （g （x ））≤h （h （x ））。
9、设f 和g 为区间（a ，b ）上的增函数，证明第7题中定义的函数ϕ（x ）和ψ（x ）也都是（a ，b ）上的增函数。
10、设f 为[-a ，a]上的奇（偶）函数。
证明：若f 在[0，a]上增，则f 在[-a ，0]上增（减）。
11、证明：（1）两个奇函数之和为奇函数，其积为偶函数；（2）两个偶函数之和与积都为偶函数；（3）奇函数与偶函数之积为奇函数。
12、设f ，g 为D 上的有界函数。
证明：（1）D x ∈inf {f （x ）+g （x ）}≤D x ∈inf f （x ）+Dx ∈sup g （x ）； （2）D x ∈sup f （x ）+D x ∈inf g （x ）≤Dx ∈sup {f （x ）+g （x ）}。
13、设f ，g 为D 上的非负有界函数。
证明：（1）D x ∈inf f （x ）·D x ∈inf g （x ）≤Dx ∈inf {f （x ）g （x ）}； （2）D x ∈sup {f （x ）g （x ）}≤D x ∈sup f （x ）·Dx ∈sup g （x ）。
14、将定义在[0，+∞）上的函数f 延拓到R 上，使延拓后的函数为（ⅰ）奇函数；（ⅱ）偶函数。
设（1）f （x ）=sinx+1；（2）f （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤--.1,,10,1132x x x x 15、设f 为定义在R 上以h 为周期的函数，a 为实数。
证明：若f 在[a ，a+h]上有界，则f 在R 上有界。
16、设f 在区间I 上有界。
记M=I x ∈sup f （x ），m=Ix ∈inf f （x ）。
证明|)()(|sup ,x f x f Ix x ''-'∈'''=M-m 。