实数集与函数解读

第一章 实数集与函数
习题
§1实数
1、 设a 为有理数，x 为无理数。

证明：
（1）a+ x 是无理数；（2）当a ≠0时，ax 是无理数。

2、 试在数轴上表示出下列不等式的解：
（1）x （2x -1）>0；（2）|x-1|<|x-3|；（3）1-x -12-x ≥23-x 。

3、 设a 、b ∈R 。

证明：若对任何正数ε有|a-b|<ε，则a = b 。

4、 设x ≠0，证明|x+x
1|≥2，并说明其中等号何时成立。

5、 证明：对任何x ∈R 有（1）|x-1|+|x-2|≥1；（2）|x-1|+|x-2|+|x-3|≥2。

6、 设a 、b 、c ∈+R （+R 表示全体正实数的集合）。

证明 |22b a +-22c a +|≤|b-c|。

你能说明此不等式的几何意义吗？
7、 设x>0，b>0，a ≠b 。

证明x b x a ++介于1与b
a 之间。

8、 设p 为正整数。

证明：若p 不是完全平方数，则p 是无理数。

9、 设a 、b 为给定实数。

试用不等式符号（不用绝对值符号）表示下列不等式的解：
（1）|x-a|<|x-b|；（2）|x-a|< x-b ；（3）|2x -a|<b 。

§2数集、确界原理
1、 用区间表示下列不等式的解：
（1）|1-x|-x ≥0；（2）| x+x
1|≤6； （3）（x-a ）（x-b ）（x-c ）>0（a ，b ，c 为常数，且a<b<c ）；
（4）sinx ≥2
2。

2、 设S 为非空数集。

试对下列概念给出定义：
（1）S 无上界；（2）S 无界。

3、 试证明由（3）式所确定的数集S 有上界而无下界。

4、 求下列数集的上、下确界，并依定义加以验证：
（1）S={x|2x <2}；（2）S={x|x=n ！，n ∈+N }；（3）S={x|x 为（0，1）内的无理数}；
（4）S={x|x=1-n
21，n ∈+N }。

5、 设S 为非空有下界数集。

证明：infS=ξ∈S ⇔ξ=minS 。

6、 设S 为非空数集，定义-
S ={x|-x ∈S}。

证明：
（1）inf -S =-supS ；（2）sup -
S =-infS 。

7、 设A 、B 皆为非空有界数集，定义数集A+B={z|z=x+y ，x ∈A ，y ∈B}。

证明：
（1）sup （A+B ）=supA+supB ；（2）inf （A+B ）=infA+infB 。

8、 设a>0，a ≠1，x 为有理数。

证明 sup{r a |r 为有理数，r<x}，当a>1， x a = inf{r a |r 为有理数，r<x}，当a<1。

§3函数概念
1、 试作下列函数的图象：
（1）y=2x +1；（2）y=2)1(+x ；（3）y=1-2)1(+x ；（4）y=sgn （sinx ）；（5）y=⎪⎩
⎪⎨⎧=<>.1||,3,1||,,1||,33x x x x x
2、 试比较函数y=x a 与y=log x a 分别当a=2和a=2
1时的图象。

3、 根据图1-2写出定义在[0，1]上的分段函数1f （x ）和2f （x ）的解析表达式。

4、 确定下列初等函数的存在域：
（1）y=sin （sinx ）；（2）y=lg （lgx ）；（3）y=arcsin （lg 10x ）；（4）y=lg （arcsin 10
x ）。

5、 设函数f （x ）=⎩⎨⎧>≤+.
0,2,0,2x x x x 求：（1）f （-3），f （0），f （1）；（2）f （Δx ）-f （0），f （-Δx ）-f （0）（Δx>0）。

6、 设函数f （x ）=x +11，求f （2+x ），f （2x ），f （2x ），f （f （x ）），f （)
(1x f ）。

7、 试问下列函数是由哪些基本初等函数复合而成：
（1）y=20)1(x +；（2）y=22)(arcsin x ；（3）y=lg （1+21x +）；（4）y=x 2sin 2。

8、 在什么条件下，函数y=d
cx b ax ++的反函数就是它本身？ 9、 试作函数y=arcsin （sinx ）的图象。

10、试问下列等式是否成立：
(1)tan （arctanx ）=x ，x ∈R ；
(2)arctan （tanx ）=x ，x ≠k π+2
π，k=0，±1，±2，… 11、试问y=|x|是初等函数吗？
12、证明关于函数y=[x]的如下不等式：
（1）当x>0时，1-x<x[x 1]≤1；（2）当x<0时，1≤x[x
1]<1-x 。

§4具有某些特性的函数
1、 证明f （x ）=1
2+x x 是R 上的有界函数。

2、 （1）叙述无界函数的定义； （2）证明f （x ）=
21x 为（0，1）上的无界函数； （3）举出函数f 的例子，使f 为闭区间[0，1]上的无界函数。

3、 证明下列函数在指定区间上的单调性：
（1）y=3x-1在（-∞，+∞）上严格递增；
（2）y=sinx 在[-2π，2
π]上严格递增； （3）y=cosx 在[0，π]上严格递减。

4、 判别下列函数的奇偶性：
（1）f （x ）=2
14x +2x -1；（2）f （x ）=x+sinx ； （3）f （x ）=2x 2x e -；（4）f （x ）=lg （x+21x +）。

5、求下列函数的周期：
（1）x 2cos ；（2）tan3x ；（3）cos 2x +2sin 3
x 。

6、设函数f 定义在[-a ，a]上，证明：
（1）F （x ）=f （x ）+f （-x ），x ∈[-a ，a]为偶函数；
（2）G （x ）=f （x ）-f （-x ），x ∈[-a ，a]为奇函数；
（3）f 可表示为某个奇函数与某个偶函数之和。

7、设f 、g 为定义在D 上的有界函数，满足
f （x ）≤
g （x ），x ∈D 。

证明：（1）D x ∈sup f （x ）≤D x ∈sup g （x ）；（2）D x ∈inf f （x ）≤D
x ∈inf g （x ）。

8、设f 为定义在D 上的有界函数，证明：
（1）D x ∈sup {-f （x ）}=-D x ∈inf f （x ）；（2）D x ∈inf f （x ）=-D
x ∈sup f （x ）。

9、证明：tanx 在（-
2π，2π）上无界，而在（-2π，2
π）内任一闭区间[a ，b]上有界。

10、讨论狄利克雷函数 1，当x 为有理数，
D （x ）=
0，当x 为无理数
的有界性、单调性与周期性。

11、证明：f （x ）=x+sinx 在R 上严格增。

12、设定义在[a ，+∞）上的函数f 在任何闭区间[a ，b]上有界。

定义[a ，+∞）上的函数：m （x ）=x y a ≤≤inf f （y ），M （x ）=x
y a ≤≤sup f （y ）。

试讨论m （x ）与M （x ）的图象，其中
（1）f （x ）=cosx ，x ∈[0，+∞）；（2）f （x ）=2
x ，x ∈[-1，+∞）。

总练习题
1、 设a 、b ∈R ，证明：
（1）max{a ，b}=21（a+b+|a-b|）；（2）min{a ，b}=2
1（a+b-|a-b|）。

2、设f 和g 都是D 上的初等函数。

定义
M （x ）=max{f （x ），g （x ）}，m （x ）=min{f （x ），g （x ）}，x ∈D
试问M （x ）和m （x ）是否为初等函数？
3、设函数f （x ）=x
x +-11，求： f （-x ），f （x+1），f （x ）+1，f （
x 1），)(1x f ，f （2x ），f （f （x ））。

4、已知f （x
1）=x+21x +，求f （x ）。

5、利用函数y=[x]求解：
（1）某系各班级推荐学生代表，每5人推荐1名代表，余额满3人可增选1名。

写出可推选代表数y 与班级学生数x 之间的函数关系（假设每班学生数为30—50人）；
（2）正数x 经四舍五入后得整数y ，写出y 与x 之间的函数关系。

6、已知函数y=f （x ）的图象，试作下列各函数的图象：
（1）y==-f （x ）；（2）y=f （-x ）；（3）y=-f （-x ）；（4）y=|f （x ）|；
（5）y=sgnf （x ）；（6）y=21[|f （x ）|+f （x ）]；（7）y=2
1[|f （x ）|-f （x ）]。

7、已知函数f 和g 的图象，试作下列各函数的图象：
（1）ϕ（x ）=max{f （x ），g （x ）}；（2）ψ（x ）= min{f （x ），g （x ）}。

8、设f 、g 和h 为增函数，满足f （x ）≤g （x ）≤h （x ），x ∈R 。

证明：f （f （x ））≤g （g （x ））≤h （h （x ））。

9、设f 和g 为区间（a ，b ）上的增函数，证明第7题中定义的函数ϕ（x ）和ψ（x ）也都是（a ，b ）上的增函数。

10、设f 为[-a ，a]上的奇（偶）函数。

证明：若f 在[0，a]上增，则f 在[-a ，0]上增（减）。

11、证明：
（1）两个奇函数之和为奇函数，其积为偶函数；
（2）两个偶函数之和与积都为偶函数；
（3）奇函数与偶函数之积为奇函数。

12、设f ，g 为D 上的有界函数。

证明：
（1）D x ∈inf {f （x ）+g （x ）}≤D x ∈inf f （x ）+D
x ∈sup g （x ）； （2）D x ∈sup f （x ）+D x ∈inf g （x ）≤D
x ∈sup {f （x ）+g （x ）}。

13、设f ，g 为D 上的非负有界函数。

证明：
（1）D x ∈inf f （x ）·D x ∈inf g （x ）≤D
x ∈inf {f （x ）g （x ）}； （2）D x ∈sup {f （x ）g （x ）}≤D x ∈sup f （x ）·D
x ∈sup g （x ）。

14、将定义在[0，+∞）上的函数f 延拓到R 上，使延拓后的函数为（ⅰ）奇函数；（ⅱ）偶函数。

设
（1）f （x ）=sinx+1；（2）f （x ）=⎪⎩
⎪⎨⎧>≤≤--.1,,10,1132x x x x 15、设f 为定义在R 上以h 为周期的函数，a 为实数。

证明：若f 在[a ，a+h]上有界，则f 在R 上有界。

16、设f 在区间I 上有界。

记
M=I x ∈sup f （x ），m=I
x ∈inf f （x ）。

证明|)()(|sup ,x f x f I
x x ''-'∈'''=M-m 。

习题答案
§1实数
4、当x=±1时等号成立。

9、（1）当a<b 时，x<
2b a +；当a>b 时，x>2
b a +； （2）当a>b 时，x>2b a +； （3）当a ≥b>0时，b a -<|x|<b a +；当|a|<b 时，|x|<b a +。

§2数集、确界原理
1、（1）x ∈（-∞，2
1）； （2）x ∈[-3-8，-3+8]∪[3-8，3+8]；
（3）x ∈（a ，b ）∪（c ，+∞）；
（4）x ∈[4π+2k π，π4
3+2k π]，k=0，±1，±2，…。

4、（1）supS=2，infS=-2；（2）supS=+∞，infS=1；
（3）supS=1，infS=0；（4）supS=1，infS=2
1 §3函数概念
3、)(1x f =⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤≤;121,44,210,4x x x x )(2x f =⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨⎧≤<≤<-≤≤.121,0,2141,168,410,16x x x x x 4、（1）（-∞，+∞）；（2）（1，+∞）；（3）[1，100]；（4）（0，10）。

5、（1）-1，2，2；（2）x
∆2-2，-Δx 。

6、.21,21,11,211,312x
x x x x x ++++++ 7、（1）y=20u ，u=1+x ；（2）y=2u ，u=arcsinv ，v=2x ；
（3）y=lgu ，u=1+v ，v=w ，w=1+2x ；（4）y=u 2，u=2v ，v=sinx 。

10、（1）成立；（2）不成立。

§4具有某些特性的函数
4、（1）偶；（2）奇；（3）偶；（4）奇。

5、（1）π；（2）3
π；（3）12π。

总练习题
2、 是初等函数。

（提示：利用第1题的结果）
3、.,11,11,11,12,2,112
2
x x x x x x x x x x x x +--++-++--+ 4、.|
|112x x x ++ 5、（1）y=[5
2+x ]，x=30，31，…，50；（2）y=[x+0.5]，x>O 。

14、（1）（ⅰ）f （x ）=⎪⎩
⎪⎨⎧<-=>+,0,1sin ,0,0,0,1sin x x x x x （ⅱ）f （x ）=⎩⎨⎧<-≥+;0,sin 1,0,1sin x x x x
（2）（ⅰ）f （x ）=⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧>≤<--≤≤--+--<,1,,10,11,01,11,1,32
23x x x x x x x x （ⅱ）f （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧>≤---<-.1,,1||,11,1,323x x x x x x 典型习题解答
1、（§1的第3题）设a 、b ∈R 。

证明：若对任何正数ε有|a-b|<ε，则a = b 。

证法一：（用反证法）假设a ≠b ，则a>b 或a<b 。

当a>b 时，则|a-b|=a-b 。

令ε=a-b ，则ε为正数，与|a-b|=a-b<ε矛盾； 当a<b 时，则|a-b|=b-a ，令ε=b-a ，则ε为正数，与|a-b|=b-a<ε矛盾
从而必有a = b 。

证法二：已知任何正数ε有|a-b|<ε，则有-ε< a-b <ε。

当a-b <ε时，即a <ε+b ，则根据P3的例2，有a ≤b ；
当-ε< a-b 时，即b<ε+a ，故有b ≤a 。

从而a = b 。

2、（§2的第4（4）题）求数集S={x|x=1-
n
21，n ∈+N }的上、下确界，并依定义加以验证。

解：由于0<n
21≤21，故∀x ∈S ，有21≤x<1。

从而supS=1，infS=21。

先验证supS=1：由上已知∀x ∈S ，有x<1。

又由于∀ε>0，∃k ∈+N ，使得k x =1-k 21 ∈S ，且k x =1-k 2
1>1-ε。

再证infS=21：由上已知∀x ∈S ，有21≤x 。

又由于∀ε>0，∃1x =1-21=2
1∈S ，且1x <2
1+ε。

3、（§2的第5题）设S 为非空有下界数集。

证明：infS=ξ∈S ⇔ξ=minS 。

证明：1）⇒）设infS=ξ∈S ，则∀x ∈S ，有x ≥ξ，而ξ∈S ，故ξ是S 中最小的数，即ξ=minS 。

2）⇐）设ξ=minS ，则ξ∈S 。

下证infS=ξ。

①∀x ∈S ，有x ≥ξ，即ξ是S 的下界；②∀β>ξ，只须取0x =ξ∈S ，则0x <β，从而β不是S 的下界。

故ξ=infS 。

4、（§4第1题）证明f （x ）=
1
2+x x 是R 上的有界函数。

证明：已知∀x ∈R ，有2x ≤1+2x 。

从而∀x ∈R ，有|21x x +|≤|212x
x +|≤1，即函数f （x ）=1
2+x x 在R 上有界。

5、（§4第5（3）题）求函数y=cos 2x +2sin 3
x 的周期。

解：因为cos 2x =cos （2x +2π）=cos （2x +24π）=cos 24π+x ，所以函数1y =cos 2
x 的周期是4π；又因为sin 3x =sin （3x +2π）=sin （3x +36π）=sin 36π+x ，所以函数2y =sin 3
x 的周期是6π。

故函数y=cos 2x +2sin 3x 的周期是12π。

6、（§4第8题）设f 为定义在D 上的有界函数，证明：
（1）D x ∈sup {-f （x ）}=-D x ∈inf f （x ）；（2）D x ∈inf f （x ）=-D
x ∈sup f （x ）。

证明：先证等式D x ∈sup {-f （x ）}=-D
x ∈inf f （x ）成立。

设D
x ∈inf f （x ）=ξ，则由下确界定义知，∀x ∈D ，有f （x ）≥ξ，即- f （x ）≤-ξ，可见-ξ是- f （x ）的一个上界；且∀
ε>0，∃0x ∈D ，使得f （0x ）<ξ+ε，即- f （0x ）>-ξ-ε，
可见-ξ是-f （x ）的上界中最小者。

故D x ∈sup {-f （x ）}=-ξ=-D
x ∈inf f （x ）。

同理可证等式D x ∈inf f （x ）=-D
x ∈sup f （x ）成立。