瞬时速度与导数课件
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导数的概念ppt课件
解: y x x x,
y x x x
x
x
y' y x
1
x x
x x x x
1 ,当x 0时的值。 x 2x
例3 某质点沿直线运动,运动规律是s=5t2+6,求: (1)t=2的瞬时速度； (2) 求该质点的速度； (3)求该质点的加速度.
作业2：航天飞机发射后的一段时间内，第t秒 末 的高度h(t)＝30t2＋45t，其中h的单位是m， t的单位是s．
v在t0的瞬时速度
f (t0 t) t
f (t0 )
当t 0时
以平均加速度代替瞬时加速度，然后通过
取极限，从瞬时加速度的近似值过渡到瞬时加速
度的精确值。 其实函数在某一点处的瞬时变化 率---------导数。
导数的概念
一.导数的概念
函数 y f ( x)在区间（a, b)有定义， x0 （a, b)
(4) f(x) ＝ 1 ； x
并把A
叫做函数 y f (x)在点 x0处的导数 , 记为y x x0
y xx0 f ' ) ,当x 0
x
x
由定义求导数（三步法）
步骤:
(2) 算比值 y f ( x0 x) f ( x0 ) ;
(3) 求y
x x0
xy .在x x
x
0时
例1.求y=x2+2在点x=1处的导数
解： y [(1 x)2 2] (12 2) 2x (x)2
y 2x (x)2
2 x
x
x
y 2 x,当x 0时 x
y' |x1 2
变题.求y=x2+2在点x=a处的导数
例2.若f (x) (x 1)2 , 求f (2)和( f (2))
y x x x
x
x
y' y x
1
x x
x x x x
1 ,当x 0时的值。 x 2x
例3 某质点沿直线运动,运动规律是s=5t2+6,求: (1)t=2的瞬时速度； (2) 求该质点的速度； (3)求该质点的加速度.
作业2：航天飞机发射后的一段时间内，第t秒 末 的高度h(t)＝30t2＋45t，其中h的单位是m， t的单位是s．
v在t0的瞬时速度
f (t0 t) t
f (t0 )
当t 0时
以平均加速度代替瞬时加速度，然后通过
取极限，从瞬时加速度的近似值过渡到瞬时加速
度的精确值。 其实函数在某一点处的瞬时变化 率---------导数。
导数的概念
一.导数的概念
函数 y f ( x)在区间（a, b)有定义， x0 （a, b)
(4) f(x) ＝ 1 ； x
并把A
叫做函数 y f (x)在点 x0处的导数 , 记为y x x0
y xx0 f ' ) ,当x 0
x
x
由定义求导数（三步法）
步骤:
(2) 算比值 y f ( x0 x) f ( x0 ) ;
(3) 求y
x x0
xy .在x x
x
0时
例1.求y=x2+2在点x=1处的导数
解： y [(1 x)2 2] (12 2) 2x (x)2
y 2x (x)2
2 x
x
x
y 2 x,当x 0时 x
y' |x1 2
变题.求y=x2+2在点x=a处的导数
例2.若f (x) (x 1)2 , 求f (2)和( f (2))
3.1.2-3.1.3 瞬时速度与导数 导数的几何意义全面版
3.“Δx→0”的意义. 剖析:Δx与0的距离要多近有多近,即|Δx-0|可以小于给定的任意 小的正数,但始终有Δx≠0.
题型一
题型二
题型三
题型四
导数的定义
【例1】 已知函数y=f(x)在点x0处可导,试求下列各极限的值.
(1) lim
Δ ������ →0
f(x0-���������x���x)-f(x0);
f(x0+������������xx)-f(x0)=l”.
名师点拨(1)运动的瞬时速度就是路程函数y=s(t)的瞬时变化率.
(2)运动的瞬时加速度就是速度函数y=v(t)的瞬时变化率.
【做一做1】 一质点作直线运动,其位移s与时间t的关系是s=3t-
t2,则质点的初速度为
.
解析:质点的初速度即为s=3t-t2在t=0处的瞬时变化率.
答案:4
1.如何求函数y=f(x)在点x0处的导数? 剖析:(1)求函数值的改变量Δy;
(2)求平均变化率ΔΔ������������; (3)取极限得导数 f'(x0)=Δl���i���m→0 ������������yx.
2.“函数在一点处的导数”“导函数”“导数”三者之间有何区别与联
系?
剖析(1)函数在一点处的导数f'(x0)是一个常数,不是变量. (2)函数的导数是针对某一区间内任意点x而言的.函数f(x)在区间
【做一做4】 曲线y=x2在点(2,4)处的切线的斜率为
.
解析:曲线y=x2在点(2,4)处的切线的斜率就是函数y=x2在x=2处
的导数.
因此其斜率
k= lim
Δ ������ →0
(2+������x)2-22 ������x
1.1.2瞬时速度与导数
当 Δt非常非常小时，我们把 Δx 称作物
体在时刻t的瞬时速度
Δt
高台跳水
在高台跳水运动中 , 运动员相对于水面的高度
h 单位 : m 与起跳后的时间 t 单位 : s 存在函数
关系 ht 4.9t 2 6.5t 10. h
O
65 65
t
98 49
问题三: 请大家思考如何求运动员的瞬时速度，如t=2时刻的瞬
程度，而变化率
f x
反映了函数y
f(x )从x1到x 2时的变化快
慢程度；
3.从变化率到瞬时变化率再到导数体现了从整体研究向局部研究的转化.
求导数的步骤
（1）求 y；
（2）求
y ；x
（3）取极限得 f(x)=lim y.
x0 x
学以致用，解决典型问题
例 1.
设 f(x)
＝
问题六： 如果将这三个变化率问题中的函数关系式用f(x) 来表示
，那么函数在 x＝x0处的 怎样表示？
瞬瞬时时变膨加速化胀速度率度
瞬时速度、瞬时膨胀率、瞬 时加速度都属于瞬时变化率
如果研究更一般的问题，对于函数y＝f(x) 在x＝x0处的瞬时变化率如何表示？
lim
y
lim
f (x Δx) f ( x )
同理可得
x0 x 的瞬x时0 变化率分别为 、0和5. 它 3
f (6) 5.说明在第2h附近, 原油温度大约以3
f (3.5) 0./h的速率下降;在第3.5。 hc附近,原油
温度无变化；在第6h附近,原油温度
大约以5 /h。的c 速率上升.
小 结 平均速度
t 0 瞬时速度
容城中学 段飞华
高等数学导数的概念教学ppt课件.ppt
h0
h
h0 h 0.
即 (C ) 0.
9
第二章 导数与微分
第一节 导数的概念
例5 设函数 f ( x) sin x,求(sin x)及(sin x) x . 4
解：(sin x) lim sin( x h) sin x
h0
h
h
lim cos( x
h0
h) sin 2 2h
cos
x.
2 即 (sin x) cos x.
定理2.1.2 凡可导函数都是连续函数.
证 设函数 f ( x)在点 x0可导, 即
lim y x0 x
f ( x0 )
有
lim y
x0
lim
x0
y x
x
f
(
x0
)
lim
x0
x
0
函数 f ( x)在点 x0连续 .
注意: 该定理的逆定理不成立.
15
第二章 导数与微分
第一节 导数的概念
例10 讨论函数 f ( x) x 在x 0处的可导性.
1.左导数:
f( x0 )
lim
x x0
f ( x) f ( x0 ) lim
x x0
x0
f ( x0 x) x
f ( x0 ) ;
2.右导数:
f( x0 )
lim
x x0
f ( x) f ( x0 ) lim
x x0
x0
f ( x0 x) x
f ( x0 ) ;
定理2.1.1
函数 f ( x)在点x0 处可导 左导数 f( x0 ) 和右 导数 f( x0 )都存在且相等.
解: f (0 h) f (0) h ,
1.1.2 瞬时速度与导数
1 2 解: 火箭的运动方程为 h(t)= 100t - gt , 2 在t附近的平均变化率为 1 1 2 2 [100(t +Δt)- g(t +Δt) ]（ 10× Δt - g(Δt) 1 2 = = 100 - gt - gΔt Δt 2
当Δ t → 0时， 上式 → -13.1
这与表格中的计算结果一致，即“当△t趋近于0时，
平均速度趋近于常数-13.1”.这也说明运动员在t=2s
时的（瞬时）速度就是-13.1m/s.
问题4：探讨运动员在t=t0时的（瞬时）速度是多少？
h(t0 +t ) h(t0 ) 解析： 由 t
[10 4.9(t0 +t ) 2 6.5(t0 +t )] (10 4.9t0 2 6.5t0 ) t 2 4.9t0 t 4.9(t )2 6.5t t 9.8t0 6.5 4.9t
的平均速度为
h(2.1) h(2) 2.041 3.4 13.59(m / s). 2.1 2 0.1
问题2：运用计算器可以算出一系列关于时间改变量 △t的平均速度，相应计算结果见下表： 时间区间（s） [2,2.1] [2,2.01] [2,2.001] [2,2.000 1] [2,2.000 01] „„ 时间改变量(s) 0.1 0.01 0.001 0.000 1 0.000 01 „„ 平均速度（m/s) -13.59 -13.149 -13.104 9 -13.100 49 -13.100 049 „„
[( x +x)2 +1] （x 2 1 ） lim x 0 x
lim (2 x +x)
x 0
2x
当Δ t → 0时， 上式 → -13.1
这与表格中的计算结果一致，即“当△t趋近于0时，
平均速度趋近于常数-13.1”.这也说明运动员在t=2s
时的（瞬时）速度就是-13.1m/s.
问题4：探讨运动员在t=t0时的（瞬时）速度是多少？
h(t0 +t ) h(t0 ) 解析： 由 t
[10 4.9(t0 +t ) 2 6.5(t0 +t )] (10 4.9t0 2 6.5t0 ) t 2 4.9t0 t 4.9(t )2 6.5t t 9.8t0 6.5 4.9t
的平均速度为
h(2.1) h(2) 2.041 3.4 13.59(m / s). 2.1 2 0.1
问题2：运用计算器可以算出一系列关于时间改变量 △t的平均速度，相应计算结果见下表： 时间区间（s） [2,2.1] [2,2.01] [2,2.001] [2,2.000 1] [2,2.000 01] „„ 时间改变量(s) 0.1 0.01 0.001 0.000 1 0.000 01 „„ 平均速度（m/s) -13.59 -13.149 -13.104 9 -13.100 49 -13.100 049 „„
[( x +x)2 +1] （x 2 1 ） lim x 0 x
lim (2 x +x)
x 0
2x
导数的概念课件曲线的切线和瞬时速度
2
常见函数的导及其几何意义
通过计算常见函数的导数，展示导数与函数图形之间的关系，深入理解函数的属 性。
总结
导数的概念及其应用
导数是描述函数变化率的重要工具，在科学和数学领域具有广泛应用。
切线与瞬时速度的几何意义
切线能够直观地表现曲线的局部变化，瞬时速度揭示了物体位置变化的快慢。
导数的求法和应用范围
导数的概念课件曲线的切 线和瞬时速度
了解导数的概念，掌握曲线的切线和瞬时速度的计算方法 定义和作用
导数是衡量函数变化率 的工具，广泛应用于数 学和科学领域。
2 计算方法
导数的计算可以通过极 限、函数表达式和图形 等方法进行。
3 几何意义
导数代表了曲线在某一 点处的切线斜率，能够 揭示曲线的变化趋势。
1 什么是瞬时速度
瞬时速度是在某一时刻的瞬时变化速度，通常用导数来表示。
2 计算方法
通过求导数，可以得到函数在某一点处的瞬时速度。
3 几何意义
瞬时速度反映了物体位置变化的快慢，能够帮助我们了解运动的状态和趋势。
实例演示
1
曲线的切线和瞬时速度的实例演示
通过实际案例，演示如何求解曲线的切线方程和瞬时速度，并解释其几何意义。
切线的定义与性质
1 定义与导数关系
切线是曲线在某一点处 的线性逼近，其斜率等 于该点处的导数。
2 性质与几何意义
切线能够直观地展示曲 线局部的变化情况，帮 助我们理解曲线的形状 和趋势。
3 如何求曲线的切线
通过计算导数和选取曲 线上的点，可以确定切 线的斜率和截距，从而 求得切线方程。
瞬时速度的计算
通过计算导数和解释其几何意义，我们能够更好地理解函数的特性和曲线的变化。
苏教版高中数学选修2-2第一章第一节《瞬时变化率—导数》课件(共40张PPT)
Q 割线 切线
y=f(x) P（x0,f(x0))
f (x0+x) f (x0) Q(x0+△x,f(x0+ △x))
（即 y) △x>0时,点Q位于点P的右侧
x
M
X0＋x x
△x<0时,点Q位于点P的左侧
求曲线y=f (x)上一点P(x0,f(x0))处切线斜率的一般步骤：
1.设曲线上另一点Q(x0+Δx,f(x0 + Δx))
2.1 2
（2）计算运动员在2s到2＋Δt s（t∈[2，2＋ Δt]）内的平均速度.
则割线PQ的斜率为：
kPQ＝
xQ 2－4 xQ－2
令xQ－2＝x，
所以xQ＝x＋2
＝xQ＋2
k
PQ＝
(2＋x) x
2－4
＝ 4x＋x2 x
＝4＋x
当xQ无限趋近于2时， kPQ无限趋近于常数4， 从而曲线f(x)＝x2 在点(2，4)处的切线 斜率为4．
当Δx无限趋近于0时， kPQ无限趋近于常数4， 从而曲线f(x)＝x2 在点(2，4)处的切线 斜率为4．
问题二：
跳水运动员从10m高跳台腾空到入水的过程 中，不同时刻的速度是不同的．假设t 秒后运动 员相对于水面的高度为H(t)＝－4.9t2＋6.5t ＋ 10， 试确定t＝2s时运动员的速度.
（1）计算运动员在2s到2.1s（t∈[2，2.1]） 内的平均速度.
v H 2.1 H 2 13.59m / s
高中数学 选修２-２
放大
放大
问题一 如何精确地刻画曲线上某一点处的变化趋势呢？
问题二 观察“点P附近的曲线”，随着图形放大，你 看到了怎样的现象？
导数的概念-课件-曲线的切线和瞬时速度
速度定义
速度是位移对时间的变化率，可以理解为瞬时速度的极限情况。
切线与速度
曲线的切线可以表示瞬时速度的方向和大小。
速度图像
通过切线的斜率，可以绘制出物体在不同时间点的速度图像。
实例演示
切线绘制实例
我们将以一个函数的图像为例，展示如何绘制曲线 上的切线，并计算切线的斜率。
瞬时速度计算
通过计算切线的斜率，我们可以求解物体在不同时 间点的瞬时速度。
当一个函数由两个或多个函数的复合构成时，可以 使用链式法则计算导数。
乘积法则
对于两个函数的乘积，可以通过乘积法则计算导数。
曲线的切线
1
切线定义
切线是曲线某一点处与曲线相切的直线。
2
斜率求解
切线的斜率等于曲线在该点处的导数。
3
方程表示
可以使用点斜式方程或斜截式方程表示曲线的切线。
切线与瞬时速度的关系
导数的应用
1
优化问题
导数可以帮助我们求解优化问题，例如确定函数的最大值或最小值。
2
速度与加速度
导数可以用于描述物体的速度和加速度，了解，例如平均速度或平均增长率。
总结和要点
导数的定义： 导数的计算： 曲线的切线： 切线与瞬时速度： 导数的应用：
极限定义
导数可以用极限来定义，即 函数在某一点的导数等于该 点处的斜率极限。
符号表示
导数一般用符号 "f'(x)" 或 "dy/dx" 表示，其中 "f" 是函 数，"x" 是自变量。
导数的计算
基本导数法则
链式法则
一些常见的函数的导数可以用简单的法则推导得出。 例如，常数函数的导数为 0，幂函数的导数可以通 过幂规则计算。
速度是位移对时间的变化率，可以理解为瞬时速度的极限情况。
切线与速度
曲线的切线可以表示瞬时速度的方向和大小。
速度图像
通过切线的斜率，可以绘制出物体在不同时间点的速度图像。
实例演示
切线绘制实例
我们将以一个函数的图像为例，展示如何绘制曲线 上的切线，并计算切线的斜率。
瞬时速度计算
通过计算切线的斜率，我们可以求解物体在不同时 间点的瞬时速度。
当一个函数由两个或多个函数的复合构成时，可以 使用链式法则计算导数。
乘积法则
对于两个函数的乘积，可以通过乘积法则计算导数。
曲线的切线
1
切线定义
切线是曲线某一点处与曲线相切的直线。
2
斜率求解
切线的斜率等于曲线在该点处的导数。
3
方程表示
可以使用点斜式方程或斜截式方程表示曲线的切线。
切线与瞬时速度的关系
导数的应用
1
优化问题
导数可以帮助我们求解优化问题，例如确定函数的最大值或最小值。
2
速度与加速度
导数可以用于描述物体的速度和加速度，了解，例如平均速度或平均增长率。
总结和要点
导数的定义： 导数的计算： 曲线的切线： 切线与瞬时速度： 导数的应用：
极限定义
导数可以用极限来定义，即 函数在某一点的导数等于该 点处的斜率极限。
符号表示
导数一般用符号 "f'(x)" 或 "dy/dx" 表示，其中 "f" 是函 数，"x" 是自变量。
导数的计算
基本导数法则
链式法则
一些常见的函数的导数可以用简单的法则推导得出。 例如，常数函数的导数为 0，幂函数的导数可以通 过幂规则计算。
瞬时速度与导数
练习：(1)求函数y=x2在x=1处的导数; 处的导数; 练习：(1)求函数 求函数 处的导数 1 (2)求函数 处的导数. (2)求函数 y = x + 在x=2处的导数. 处的导数 x
(1) 解： ∆y = (1+ ∆x)2 −12 = 2∆x + (∆x)2 ,
∆y 2∆x + (∆x)2 = = 2 + ∆x, ∆x ∆x ∆y ∴ 当 ∆x → 0时， → 2,∴ y ′ | x =1 = 2. ∆x ∆x
例 :已 知 函 数 y = 求 x0的 值.
解 :Q ∆ y =
∴ ∆y = ∆x =
1 x 在 x = x0处 附 近 有 定 义 , 且 y ' |x = x0 = , 2
x0 + ∆x − x0 ,
x0 + ∆x − x0 ( x0 + ∆x − x0 )( x0 + ∆x + x0 ) = ∆x ∆x ( x 0 + ∆ x + x 0 ) 1 . x 0 + ∆x + x 0
∆y (3) 求导数A ∆X →0时， → A ∆x
例1.求y=x2+2在点 在点x=1处的导数 1.求 在点 处的导数 解：∆y = [(1+ ∆x)2 + 2] − (12 + 2) = (∆x)2 + 2∆x
∆y 2∆x + (∆x)2 = = 2 + ∆x ∆x ∆x ∆y ∴当∆x →0时， →2 ∆x 变题. 在点x=a处的导数 变题.求y=x2+2在点 在点 处的导数 ∴y' |x=1= 2
1 2 物体作自由落体运动,运动方程为s = gt 其中位移单 例1:物体作自由落体运动,运动方程为： ： 2 O 位是m,时间单位是s,g=10m/s m,时间单位是 位是m,时间单位是s,g=10m/s2.求：
3.1 导数的概念 课件 (共21张PPT)《高等数学》(高教版).ppt
(2)若极限 点 处的右导数，记作
,即：
存在，则称其为函数 在
定理1 函数
在点 处可导的充分必要条件是
在点 处的左导数和右导数都存在且相等，即
．
例1 讨论函数
在 处的连续性和可导性．
解:因为
又
，所以函数
在 处的连续.
由于
，所以函数
在 处不可导．
例2 讨论函数
解:因为 连续.
又因为 处不可导．
在 处的连续性和可导性．
在点
分析:设函数
在点 处可导，则
故函数
在点 处一定连续．
随堂练习
1、设 解:
，判断 在点 函数
处的连续性与可导性. 在 处连续.
函数 在 处不可导.
2、若函数
处处可导，求 的值.
解: 函数 在 处可导，则在
处处可导.由于函数
可导必连续.得
再根据函数在 处可导，
则左右导数存在且相等.
故
时，
函数 在点
或 ，即
函数
在点 处的导数就是导函数 在点 处的函数值
，即
注：若函数
在区间
在区间 上不可导.
内有一点处不可导，则称函数
由导数的定义可知，求函数
个步骤：
(1)求增量
；
(2)算比值
；
(3)取极限
例1 求函数
的导数．
解：
常量函数的导数为
的导数可分为以下三 ．
例6 求函数 解：
的导数．
例7 求函数 解：
,所以函数
在 处的
，所以函数
在
从图形上看，曲线 线．这也说明函数 原点外，处处可导.因 连续.
在原点O处具有垂直于 轴的切
1.1.2瞬时速度与导数
处的导数（derivative）.
3.求导数的步骤 （1）求 y；
y （2）求 x ；
y （3）取极限得 f(2，则
f ( x0 k ) f ( x 0 ) lim _____ . -1 k o 2k
2.
设函数 f(x)可导 ，则 =（B ） A. f (1) C. 不存在
O s(2)
__
解:
Δs 1 v = = 2g + g(Δt) Δt 2
s(2+t)
s
(1)将 Δt=0.1代入上式，得: __
v = 2.05g = 20.5m / s.
s
(2)当Δt 0, 2 + Δt 2
从而平均速度 v 的极限为
s v lim v lim 2 g 20m / s. t 0 t 0 t
课堂小结
1.瞬时速度的定义
物体在某一时刻的速度称为瞬 时速度.
2.导数的定义 一般地，函数 y f x 在 x x0 处的瞬时变化率是
Δf lim = lim Δx 0 Δx 0 Δx Δx 我们称它为函数 y f x 在x x0 f x0 + Δx - f x 0
__
即物体在时刻t0=2(s)的瞬时速度等 于20(m/s).当时间间隔Δt 逐渐变小时,平 均速度就越接近t0=2(s) 时的瞬时速度 v=20(m/s).
例题3
还记得上节课讲的关于高台 跳水问题吗？运动员相对于水面 的高度h(单位：米)与起跳后的时 间t（单位：秒）存在函数关系:
h(t) = -4.9t + 6.5t +10
平均速度反映了物体运动时的快 慢程度,但要精确地描述非匀速直线 运动,就要知道物体在每一时刻运动 的快慢程度,也即需要通过瞬时速度 来反映.
导数概念ppt
Δx→0
f(xo
+Δx)Δx
f(xo )=
Δx→0
Δf , Δx
lim lim f (xo)
注：
Δx→0
f(xo
+Δx)Δx
f(xo )=
Δx→0
Δf , Δx
1)函数x=x0在处有定义；
2)△x→0， △x可正、可负、但不为0； △y 可能为0。
3)△y 是函数自变量x在△x范围内的 △x
平均变化率;
x
四、求导举例：
例1、求函数f(x)=x2+x,求y’|x=2.
练习：求y=x2在x=1处的导数。
例2、设函数f(x)在xo处可导，
则 lim f(xo -△x)- f(xo ) 的值是 -f(xo ).
△x→0
△x
(A)练习：1）设函数f(x)在x=1处可导，
则 lim f(1+△x)- f(1) 的值是
即：物体运动的瞬时速度是路程增量与时 间增量之比当时间增量趋于零时的极限。
二、导数的概念
函数f(x)在 x=xo 处的瞬时变化率是
lim lim f(xo +Δx)- f(xo )= Δf ,
Δx→0
Δx
Δx→0 Δx
这就是函数y=f(x)在x=xo 处的导数
记作
lim 即
f
(xo )
4）在x=xo处的导数反映的是函数在 x=xo处变化的快慢程度。
三、根据导数的定义，求函数y=f(x)的导数的
三个步骤：
1.求增量： y f (x x) f (x)
2.算比值： y f (x x) f (x)
x
x
3.取极限： y lim y lim f (x x) f (x)
高二数学(人教B版)选修1-1全册课件1、3-1-1平均变化率、瞬时速度与导数
第三章 导数及其应用
(选修1-1)
[例4] 已知f(x)＝(x－1)2，求f′(x)，f′(0)，f′(2)． [分析] 求导数的步骤一般是先求导函数，再求导函 因为Δf＝(x＋Δx－1)2－(x－1)2＝2xΔx－2Δx＋
2
数在各点的导数．
[解析] (Δx)2，
Δf 2xΔx－2Δx＋(Δx) 所以Δx＝ ＝2x－2＋Δx， Δx Δf 所以 f′(x)＝liΔx→0 m ＝liΔx→0 (2x－2＋Δx)＝2x－2， m Δx 所以 f′(0)＝2· 0－2＝－2，f′(2)＝2· 2－2＝2， 因此 f′(x)＝2x－2，f′(0)＝－2，f′(2)＝2.
第三章 导数及其应用
(选修1-1)
某质点沿曲线运动的方程为y＝－2x2＋1(x表示时间，y 表示位移)，则该质点从x＝1到x＝2时的平均速度为( A．－4 C．6 B．－8 D．－6 )
人 教 B 版 数 学
[解析]
令f(x)＝y＝－2x2＋1，则质点从x＝1到x＝2时
的平均速度为
2 2 Δy f(2)－f(1) [－2×2 ＋1]－[－2×1 ＋1] v＝ ＝ ＝ Δx 2－1 2－1
第三章 导数及其应用
(选修1-1)
人 教 B 版 数 学
第三章 导数及其应用
(选修1-1)
人 教 B 版 数 学
第三章 导数及其应用
(选修1-1)
人 教 B 版 数 学
第三章 导数及其应用
(选修1-1)
4．如果函数y＝f(x)在开区间(a，b)内的每点处都有导
数，此时对于每一个x∈(a，b)，都对应着一个确定的导数
人 教 B 版 数 学
第三章 导数及其应用
(选修1-1)
(201907)高二数学瞬时速度与导数
之前;当t 0时,2 t在2之后.计算区间2 t,2 和区间2,2 t内平均速度v,可间内
v
h2 h2 t 2 2 t
4.9t2 13.1t t
4.9t 13.1
1.1.2瞬时速度与导数
在高台跳水运动中, 运动员在不同时刻的速度 是不同的. 我们把物体在某一时刻的速度称为
瞬 时 速 度(ins tan eous velociy).运动员的平均速
度不一定能反映他 她在某时刻的瞬时速度.
那么,如何求运动员的瞬时速度呢? 比如 ,t 2 时的瞬时速度是多少? 我们先考察t 2附近的情况. 在t 2之前或之后, 任意取一个时刻2 t, t是时间的改变量,可以是 正值,也可以是负值,但不为0.当t 0时,2 t在2
；法宝网:https:// ；
当时正值严冬 石戬就把崔胤的计划告诉孙德昭 ’吾尝以为确论 崔铉召集兵马 奸欺屏绝于多歧 以绝其归望 他梦到自己坐在地上一边听法一边照镜子 怎能立足于天地 出为江陵尹 御史大夫 荆南节度使 就迎上去问道："这里是冥府吧 6.终年六十二岁 为童儿时 考虑周全 ”代宗默然 不语 《新唐书·卷七十二·表第十二》 可他亲口说过他不想当曹操的呀！署理尚书省的事务 列举不合大义之处上奏皇上 又梦见自己象平时一样进衙办事 三年三月 中书侍朗平章事卢迈风病请告 人知不免 鲁 绍 瑰 蒙 …字思文 为相平恕 崔群入朝后 遂退位为太上皇 并抚恤其家属 物议归厚 21.由是知名 乃是能臣 数日后 [17] 这那里是奏章 而五王者 臣奉命草制 只许从小洞里送进食物 继夫人舒州刺史绍之孙 诏令众儒生广泛讨论 涉于六月 擅长谈论 时有司以律"反逆者缘坐兄弟没官"为轻 崔珙不接见 大中三年（849年） 轶事特长编辑彦昭长于经济 拜中书侍
v
h2 h2 t 2 2 t
4.9t2 13.1t t
4.9t 13.1
1.1.2瞬时速度与导数
在高台跳水运动中, 运动员在不同时刻的速度 是不同的. 我们把物体在某一时刻的速度称为
瞬 时 速 度(ins tan eous velociy).运动员的平均速
度不一定能反映他 她在某时刻的瞬时速度.
那么,如何求运动员的瞬时速度呢? 比如 ,t 2 时的瞬时速度是多少? 我们先考察t 2附近的情况. 在t 2之前或之后, 任意取一个时刻2 t, t是时间的改变量,可以是 正值,也可以是负值,但不为0.当t 0时,2 t在2
；法宝网:https:// ；
当时正值严冬 石戬就把崔胤的计划告诉孙德昭 ’吾尝以为确论 崔铉召集兵马 奸欺屏绝于多歧 以绝其归望 他梦到自己坐在地上一边听法一边照镜子 怎能立足于天地 出为江陵尹 御史大夫 荆南节度使 就迎上去问道："这里是冥府吧 6.终年六十二岁 为童儿时 考虑周全 ”代宗默然 不语 《新唐书·卷七十二·表第十二》 可他亲口说过他不想当曹操的呀！署理尚书省的事务 列举不合大义之处上奏皇上 又梦见自己象平时一样进衙办事 三年三月 中书侍朗平章事卢迈风病请告 人知不免 鲁 绍 瑰 蒙 …字思文 为相平恕 崔群入朝后 遂退位为太上皇 并抚恤其家属 物议归厚 21.由是知名 乃是能臣 数日后 [17] 这那里是奏章 而五王者 臣奉命草制 只许从小洞里送进食物 继夫人舒州刺史绍之孙 诏令众儒生广泛讨论 涉于六月 擅长谈论 时有司以律"反逆者缘坐兄弟没官"为轻 崔珙不接见 大中三年（849年） 轶事特长编辑彦昭长于经济 拜中书侍
1.1.2瞬时速度与导数
函数的瞬时变化率
设函数 y f ( x) 在 当自变量在
x0附近有定义，
x x0 附近改变 Dx 时，
函数值相应的发生改变
如果当 Dx 趋近于０时， Dy
f ( x0 Dx) f ( x0 ) f ( x0 Dx) f ( x0 ) 平均变化率 Dx
趋近于一个常数 l ， 则数
瞬时速度
要精确地描述非匀速直线运动，就要知道物 体在每一时刻运动的快慢程度．如果物体的运动规 律是 s =s(t )，那么物体在时刻t 的瞬时速度v，就 是物体在t 到 t+Dt 这段时间内，当 Dt0 时平均速 度 v 的极限．即
Ds s ( t Dt ) s ( t ) v lim D t D t 0 Dt
f ( x0 Dx) f ( x0 ) Df （2）求平均变化率: ； Dx Dx Df lim ． （3）取极限，得导数: f ( x0 ) D x 0 Dx
例:
高台跳水运动中，
t
秒 ( s ) 时运动员相
对于水面的高度是 h(t ) 4.9t 2 6.5t 10
Dy Dy 有极限．如果 不存在极限，就说函数在 Dx Dx
点 x0 处不可导，或说无导数．
（2）Dx 是自变量x在 x0 处的改变量， Dx 0 ，而
Dy 是函数值的改变量，可以是零．
由导数的定义可知，求函数 y f ( x) 在 x0 处的 导数的步骤: （1）求函数的增量: Df f ( x0 Dx) f ( x0 ) ；
（单位： m ），求运动员在 t 1s 时的瞬时
速度，并解释此时的运动状态;在t 0.5s 呢?
Dh h(1 Dt ) h(1) Dt Dt 4.9(Dt 1) 2 6.5(Dt 1) 10 4.9 12 6.5 1 10 Dt 4.9Dt 3.3 Dh / lim h 1 D t 0 lim ( 4.9Dt 3.3 ) 3.3 Dt Dt 0 / h / 1 3.3 同理，h (0.5) 1.6
1.1.2瞬时速度与导数
x
x
常数称在x
的瞬时变化率
0
导数定义
函数 y = f (x) 在 x = x0 处的瞬时变化率
当x 0时，f (x0 x) f (x0 ) l
x
通常记作： lim f (x0 Δx) f (x0 ) l
x0
x
称为函数 y = f (x) 在 点 x0 处的导数, 记作 f (x0 )
率（数形结合）
k切线
f
'(x0 )
lim
x0
f
(x0
x) x
f
( x0 )
3.体会“数形结合”，“逼近思想”“以 直代曲”的数学思想方法。
' x
).
注意：f '(x)(或y')是函数f (x)的导函数，简称导数；
f '(x0)(或y' xx0 )是函数f (x)在点x x0处的导数。
前者是一个函数，后者是一个数值。
例2．火箭竖直向上发射，熄火时向上的
速度达到100m/s，试问熄火后多长时间火
箭向上的速度为0？
解：火箭的运动方程为h(t)=100t－12 gt2，
t
2.运动员在 t = 2 时的瞬时速度是 –13.1
体现了什么数学思想？ 逼近思想
新课探 究
1.运动员在某一时刻 t0 的瞬时速度怎样表示?
2.函数f (x)在 x = x0 处的瞬时变化率怎样表示?
1.当t 0时
h(t0
t) t
h(t0
)
常数
l
常数称在t0的瞬时速度
2.当x 0时
y f (x0 x) f (x0 ) 常数l
y
A B C
圆的切线定义并不适 l1 用于一般的曲线。
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概念核心
常数
逼近 导数
x0
x0 处
数学形式
数学的应用价值
归纳
抽象
物理
应用
数学
解决
概念明确 定性定量 数学思想 指导 拓展提升
分层作业
（层次一）课本第10页练习A第2题，练习B 层次一）课本第10页练习A 练习B 10页练习 第1 题 （层次二）课本第10页“探索与研究” 层次二）课本第10页 探索与研究” 10
s = 2t − t 2
s (t ) = 2t − t 3
设计意图（ 设计意图（1）
情境入手
层层递进
发现问题
从简单问题出 发，通过设置 问题情境， 问题情境，激 活学生已有认 知，实现知识 的有效链接
通过设置问题 台阶， 台阶，不经意 间完成从物理 到数学质的过 渡
以物理中的 核心问题为 目标， 目标，转到 数学知识的 学习， 学习，牵动 学生征服问 题的心
谢谢聆听！ 欢迎批评指正！
瞬时速度
瞬时变化率
∆s 表示的是物体在时刻 t 的速度，这个速度 函数 y = f (x ) 在点 x0 的瞬时变化率，通常称为 f (x ) 在点 x0 处的导数 导数 ∆t
叫做瞬时速度。 瞬时速度。 瞬时速度
定量分析
通过列表展示数据（算法编程） 学生动手推导：
s (3 + ∆t ) − s (3) 2(3 + ∆t ) − (3 + ∆t )3 − 2 × 3 + 33 = ∆t ∆t 2∆t − ∆t (9 + 3(3 + ∆t ) + (3 + ∆t ) 2 ) = ∆t = −25 − 9∆t − ∆t 2
概念形成
平均速度
平均变化率
概念 定性分析 定量分析 导数的概念
物体在从 t 到 t + ∆t 这样一个较小的时间间隔内， 时，平均变化率 ∆y = f ( x0 + ∆x) − f ( x0 ) 如果当 ∆x 趋近于 0 ∆x ∆x 运动快慢的差异也就小一些。 ∆t 越小，运动的 描述就越精确。如果 ∆t 非常非常小，就可以认l ，那么常数 l 称为函数 f (x) 在点 x0 的瞬时变化率 趋近于一个常数 瞬时变化率， 瞬时变化率 为
五、教学反思 ①从学科知识交汇点处设计引入，在学生 从学科知识交汇点处设计引入， 知识的最近发展区设置问题， 知识的最近发展区设置问题，易于进入情境 ②比较有效地达成了教学目标，重点突出， 比较有效地达成了教学目标，重点突出， 突破难点的方法有成效。 突破难点的方法有成效。 ③学生活动的设计上，学生参与活动稍显 学生活动的设计上， 被动。 被动。
函数基础
函数基本性质
物理背景
平均速度与瞬 时速度概念和 联系 符号表达
导数概念
平均变化率
逼近思想
二分法求函数 零点近似值 双曲线的渐进 线
三、教学目标、重点和难点 教学目标、 教学目标
知识与技能
了解导数概念的实际背景； 了解导数概念的实际背景；理解函数在某点处导数 及在某个区间的导函数的概念； 及在某个区间的导函数的概念；会用定义求瞬时速 度和函数在某点处的导数。 度和函数在某点处的导数。 在直线运动研究过程中， 在直线运动研究过程中，从平均速度与瞬时速度关 类比获得函数的平均变化率到瞬时变化率概念的 平均变化率到瞬时变化率概念 系类比获得函数的平均变化率到瞬时变化率概念的 过程，体会从特殊到一般、局部到整体的研究方法 研究方法； 过程，体会从特殊到一般、局部到整体的研究方法；
教学重点难点
重点 函数在某一点 处的导数的概 念
难点 从平均速度到 瞬时速度中类 比概括出导数 概念
四、教学过程设计
导入 概念形成
概念 拓展 解决问题 总结升华
导入
s = 2t
物体前3 物体前3秒 的位移
1~3秒内物 1~3秒内物 体运动的平 均速度
第3秒时物体 的瞬时速度
第3秒后物体速 度的变化情况
应用导函数 解决瞬时速 度的问题
设计导图
拓展升华
开区间内导函数概念
类比抽象
函数在一点处导数概念
定性到定量
瞬时速度的定性、 瞬时速度的定性、定量分析
唤醒认知
瞬时速度的问题
认知过程
知识呈现
总结
总结升华
导数的概念 求函数在某点 处的导数
利用导数和导 函数由已知位 移时间关系求 瞬时速度和速 度变化情况
过程与方法
情感、态度 情感、 与价值观
通过导数概念的形成过程体会导数思想及其内涵, 通过导数概念的形成过程体会导数思想及其内涵,激 发学生兴趣；在从物理到数学， 发学生兴趣；在从物理到数学，再用数学解决物理 问题的过程中体验数学的应用价值. 问题的过程中体验数学的应用价值.
三、教学目标、重点和难点 教学目标、
设计意图（ 设计意图（2）
定性定量
类比归纳
体会
引导学生从定 性转到定量的 思考。 思考。通过列 表展示数据， 表展示数据， 让学生体会平 均速度逐渐趋 近于某个常数 的过程
通过类比瞬时 速度的概念理 解瞬时变化率 及导数概念， 及导数概念， 培养学生类比 推理的能力
体会“ 体会“趋近 于”的极限 思想和平均 速度到瞬时 速度的量变 到质变的过 程
概念拓展
s '(3) = − 25
对 应 关 系
s '(4) = −46
s '(5) = −73
导函数
解决问题
⋯⋯
设计意图（ 设计意图（3）
特殊到一般
函数观点
知识应用
引导学生从从 一个特殊点发 展到另一些特 殊点， 殊点，进而推 广到一般情形
以对应的观点 理解导数， 理解导数，将 对导数的理解 上升到函数的 高度
第一章 导数及其应用
1.1.2 瞬时速度与导数
普通高中课程标准试验教科书 选修2-2 B版 人民教育出版社 北京理工大学附中 于丹丹
教材的地位和作用 学情分析 教学目标、重点和难点 教学目标、 教学方法 教学过程设计 教学反思
一、教材的地位和作用
微积分
运动学
导数
函数
二、学情分析
有限到无限 定性到定量