第三章 二阶矩过程的均方微积分

将上式展开，可得：若随机过程 X (t)满足 lim[R(t Vt, t Vt) R(t, t Vt)
Vt
R(t Vt, t) R(t, t)] 0 一般情况下，自相关函数是t ,t
12
的函数。欲使上式为零，则随机 过程在t点上均方连续，需要R(t1, t2 )在
t1
=t 2
a2 cos(s t)
2 RX (s,t)在(t,t),t T连续，因此，X(t) 均方连续，下面根据均方可导的定
义考察。
lim E[{a cos(t Vt+) a cos(t+)
Vt0
Vt
(a sin(t+)}2 ]
= lim aE[{-2sin(t Vt/2+)sin(t/2)
第三章 二阶矩过程的均方微积分 3.1随机变量的均方极限
3.1.1 称定义在概率空间 (, , P) 上的 具有二阶矩的随机变量的全体所组成的集 合
H {X | E[| X |2] } 为二阶矩变量空间。
一、收 敛
序列 xn 的收敛定义为对任意正数 0 ,存在
正整数N，当n>N时，有| xn x | ;当 n
lim E[{ X (Vt t) X (t) X '(t)}2 ] 0
Vt0
Vt
则称X (t)在t时刻具有均方导数X '(t)
均方导数X '(t)表示为
X '(t) dX (t) l..i.m X (t Vt) X (t)
dt
Vt0
Vt
一般函数存在导数的前提是函数必 须连续，随机过程存在导数的前提也是 需要随机过程必须连续。
例：随机过程X (t) a cos(t ), t ,
其中a,是正常数，在(- , )上均匀分布，试
说明它是均方可导，并给出过程。 解：X (t)的自相关函数为
RX (s,t) E[X (s)X (t)]
E[a cos(s )a cos(t )]
均方收敛也表示为
l.i.m n
Xn

X
式中，l.i. m 表示均方意义下极限。 n
3. 依概率收敛（Probability或p收敛， 又称随机收敛）
如果对于任意给定的正数 0，
随机变量序列X
满足
n
lim
n
P(|
Xn

X
|
)
1
则称随机变量序列X n依概率收敛于X。
4. 分布收敛（Distribution或d收敛， 又称弱收敛。）
则称序列X 以概率1收敛于X，记为 n
lim
n
P( Xn

X
)
1
2. 均方收敛（Mean-Square或m.s 收敛，又称平均意义下收敛）
如果对所有的n，
E[| X n |2 ] , E[| X |2 ] ,
且 lim n
E[|
Xn

X
|2 ]

0
则称随机变量序列X n均方收敛于X。
i 1
0
Y 就定义为X (t)在均方意义下的积分。
另一种表示方式极限和形式
Y l.i.m X (ti )Vti maxVti 0 i
随机过程均方积分的运算法则：
1. 随机过程均方积分的数学期望等 于它的数学期望的积分.
b
若Y X (t)dt，则它的数学期望为
a
b
E[Y ] E[X (t)dt] E[l.i.mX (ti)Vti]

(a
sin
2
(t+
))



=0
则称X (t)有均方导数X '(t) a sin (t+)
3.3 随机过程的积分
当我们把积分区间[a,b]分成n个小区间Vti , 令Vt maxVti ,当n 时
n
lim E[{Y
Vt0

X (ti )Vti}2 ]
若X n的概率分布函数在x的每一连续点 收敛于X的概率分布函数， 则称随机变量序列分布收敛于随机变量X，
记为
lim
n
Fn
(
x)

F
(
x)
例 3.1.1 设Xn是相互独立的随机序列，其分
布律为
n
Xn
:

1
n2
0
1-
1 n2

讨论此序列是否均方收敛。
解：由于
Xm Xn
Vt0
Vt
sin(t+)}2 ]
=a lim E[{sin(t Vt/2+)(1- sin(t/2) )
Vt0
Vt /2
-sin(t Vt/2+) sin(t+)}2]
a lim 1- sin(t/2) E[{sin(t Vt/2+) Vt0 Vt /2
=t点上连续。
如果随机过程的自相关
函数R(t1
,
t2
)在直线t1
=t 上处处 2
连续，随机过程也处处连续。
可以证明, 若随机过程X(t)在均方意义下连续， 它的数学期望也必定连续 lim E[ X (t Vt)] E[ X (t)]
Vt0
E[l.i.m X (t Vt)] Vt0
如果随机过程X '(t)满足
0
的均值与自相关函数。
解：因为X(t)的均值为零，自相关函数为
A2 cos((u v))
2
ts
RX (u,v)dudv存在，根据均方可积准
00
则可得，X(t)均方可积。
t
E[Y(t)]=mX (t)dt 0,
0
它的自相关函数为
ts
R（Y s,t) [RX (u,v)du]dv
t1 t2
t1 t2
E[X ( ) X ( ')d d '] RX ( , ')d d '
00
00
例：随机过程X(t)=A cos(t+),-<t<,其中
A,是正常数，在(- , )上均匀分布，试说明
t
它是均方可积；给出其积分过程Y(t)=X ( )d
00
A2
ts
[ cos((u v))du]dv
200

2 A2
2
sin(s )sin(t ) cos((s
2
2
2
t)
a
maxVti 0 i
b
lim E[X (ti )]Vti mX (t)dt mY
maxVti 0 i
a
上式说明了积分运算和数学期望运算可以交换次序
2. 随机过程均方积分的自相关函数
等于随机过程自相关函数的二重积分
t
如果Y(t)=X ( )d ,它的自相关函数为
0
R（Y t1, t2 ) E[Y (t1)Y (t2 )]
-sin(t Vt/2+) sin(t+)}2]
lim 1- sin (Vt/2) =0
Vt0
Vt/2
前面第二项也为0,因为sin (t+)与cos (t+)
相仿，也是均方连续的，所以，
lim
Vt0
E
aco s (t+)-aco

Vt
s
(t+Vt+ )
时，xn以x为极限，或称 xn 收敛于x
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n
xn

x
随机变量是随机试验的结果，当随机试验
样本空间的所有元素 e S 对应的一族序列
都收敛，称随机变量序列处处收敛。
lim
n
Xn

X
1. 以概率1收敛（准处处收敛或者a.e 收敛，又称强收敛）
若随机变量序列X 满足 n
lim
n
X（n e）＝X(e)的概率为1，
2

E

X
2 m

2Xm
Xn

X
2 n

1 2 1 1 1 2(1 1 ) 2
mn
mn
(m, n )
可见 X n 不均方收敛。
3.2 随机过程的微分
若随机过程X (t)满足 lim E[| X (t Vt) X (t) |2] 0
Vt
则X (t)在t时刻均方意义下连续。