昆一中第四次月考理科数学
2024届云南省昆明市一中高三新课标第四次一轮复习检测数学试题及答案
昆明市第一中学2024届高中新课标高三第四次一轮复习检测数学试卷本试卷共4页，22题．全卷满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡的非答题区域均无效．3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 若复数z 满足()2i iz +=-，则z 在复平面内对应点位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2. 若{}{}()2410,R b x ax x a b =-+=∈，则a b +等于（ ）A.92B.92或14C.85D.85或143. 直线530x y -=是双曲线2221(0)25x y a a -=>的一条渐近线，则=a （ ）A. 9B. 5C. 4D. 34. 某款厨房用具中的香料收纳罐的实物图如图1所示，该几何体为上、下底面边长分别为8cm,6cm 的正四棱台，若棱台的高为3cm ，忽略收纳罐的厚度，则该香料收纳罐的容积为（ ）的图1 图2A.3148cm 3B. 374cm C. 3148cm D. 3298cm 5. 某校高三年级有500人，一次数学考试的成绩X 服从正态分布()110,100N ．估计该校高三年级本次考试学生数学成绩在120分以上的有（ ）参考数据：若()2~,X N μσ，则()0.6827,(22)0.9545P X P X μσμσμσμσ-<≤+=-<≤+=，3309().973P X μσμσ-<≤+=．A. 75人B. 77人C. 79人D. 81人6. 埃拉托斯特尼是古希腊亚历山大时期著名的地理学家，他最出名的工作是计算了地球（大圆）的周长：如图，在赛伊尼，夏至那天中午的太阳几乎正在天顶方向（这是从日光直射进该处一井内而得到证明的）.同时在亚历山大城（该处与赛伊尼几乎在同一子午线上），其天顶方向与太阳光线的夹角测得为7.2°.因太阳距离地球很远，故可把太阳光线看成是平行的．已知骆驼一天走100个视距段，从亚历山大城到赛伊尼须走50天．一般认为一个视距段等于157米，则埃拉托斯特尼所测得地球的周长约为（ ）A. 37680千米B. 39250千米C. 41200千米D. 42192千米7. 已知235log 6,log 7,log 9a b c ===，则下列判断正确是（ ）A. c b a<< B. b c a<< C. a b c<< D. a c b<<8. 已知定义在R 上的函数11()e e x x f x x --=-+，则不等式(1)(22)2f x f x -+-≥的解集为（ ）A. (,1]-∞- B. (,1]-∞ C. [1,1]- D. [1,)+∞二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9. 某校1500名学生参加数学竞赛，随机抽取了40名学生的竞赛成绩（单位：分），成绩的频率分布直方的图如图所示，则（ ）A. 频率分布直方图中a 的值为0.005B. 估计这40名学生的竞赛成绩的第60百分位数为75C. 估计这40名学生的竞赛成绩的众数为80D. 估计总体中成绩落在[)60,70内的学生人数为22510. 如图，点A ，B ，C ，M ，N 是正方体顶点或所在棱的中点，则满足MN ∥平面ABC 的有（ ）A. B.CD.11. 直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于,A B 两点，点P在曲线:C y =上，则ABP的面积可能是（ ）A.B. 2C. 5D. 912. 已知数列{}n a 满足()111134n n n a a n -+-+-⋅=-（2n ≥且*n ∈N ），则下列说法正确的是（ ）A. 245a a +=，且312a a -=B. 若数列{}n a 的前16项和为540，则16a =C. 数列{}n a 的前()*4k k ∈N项中的所有偶数项之和为26kk-的.D. 当n 是奇数时，()()211314n n n a a+++=+三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 已知点F 是抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点，O 为坐标原点，若以F 为圆心，||FO 为半径的圆与60y -+=相切，则抛物线C 的方程为_______．14. 已知定义在[21,4]m m -+上的奇函数()f x ，当0x >时，()31x f x =-，则()f m 的值为_____________．15. 已知,a b 是非零向量，1a = ，()a b a +⊥ ，a 在b方向上的投影向量为||a b -= _____________．16. 定义在ππ,00,22⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上的奇函数()f x 的导函数为()f x '，且当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()tan ()0f x x f x '->，则不等式π ()2sin 6f x f x ⎛⎫< ⎪⎝⎭的解集为_____________．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. 某同学进行投篮训练，已知该同学每次投篮投中的概率均为12．（1（2）若该同学进行三次投篮，第一次投中得1分，第二次投中得1分，第三次投中得2分，记X 为三次总得分，求X 的分布列及数学期望．18. 在单位圆上的三点A ，B ，C 构成的锐角ABC 中，内角A ，B ，C所对的边分别为22,,,sin sin sin )sin a b c c A C B B -=-．（1）求a ；（2c -的取值范围．19. 设各项均不为零数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =，且)*n =∈N ．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令910nn n b a ⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭，当n b 最大时，求n 的值．20. 如图，直三棱柱111ABC A B C -中，点D ，E 分别为棱111A B CC 、的中点，的111,4AE A B AB AC AA ⊥===．（1）设过A ，D ，E 三点的平面交11B C 于F ，求11B FFC 的值；（2）设H 在线段BC 上，当DH 的长度最小时，求点H 到平面ADE 的距离．21. 已知二元关系222(,)(2)(2)f x y x y x y ay b =+-+++，曲线:(,)0E f x y =，曲线E 过点(2,0),(4,6)C D ，直线:1l x =，若Q 为l 上的动点，A ，B 为E 与x 轴的交点，且点A 在点B 的左侧，QA 与E 的另一个交点为,M QB 与E 的另一个交点为N ．（1）求a ，b ；（2）求证：直线MN 过定点．22. 已知函数2()(ln )2ln 2,0f x a x x x x b a =-++>．（1）讨论()f x 的单调性；（2）若21e ,20a a b <≤+<，证明：()f x只有一个零点．昆明市第一中学2024届高中新课标高三第四次一轮复习检测数学试卷本试卷共4页，22题．全卷满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡的非答题区域均无效．3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 若复数z 满足()2i iz +=-，则z 在复平面内对应的点位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】C 【解析】【分析】本题可根据复数的除法法则得出12i 55z =--，即可得出结果.【详解】因为()2i i z +=-，所以()()()i 2i i 12i 2i 2i 2i 55z ---===--++-，则z 对应的点为12,55⎛⎫-- ⎪⎝⎭，在第三象限，故选：C .2. 若{}{}()2410,R b x ax x a b =-+=∈，则a b +等于（ ）A.92B.92或14C.85D.85或14【答案】B【解析】【分析】由题意可知2410ax x -+=只有一个实数根，讨论0a =和0a ≠，由根的判别式可得答案.详解】∵{}{}()2410,R b x ax x a b =-+=∈，∴2410axx -+=只有一个实数根.当0a =时，{}14b ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，此时14a b +=；当0a ≠时，1640a ∆=-=，所以4a =，此时12b =.∴19422a b +=+=.故14a b +=或92a b +=.故选：B .3. 直线530x y -=是双曲线2221(0)25x y a a -=>的一条渐近线，则=a （ ）A. 9B. 5C. 4D. 3【答案】D 【解析】【分析】由双曲线的一条渐近线，列方程求a 的值.【详解】直线530x y -=是双曲线2221(0)25x y a a -=>的一条渐近线，由直线530x y -=的斜率为5353=，所以3a =.故选：D ．4. 某款厨房用具中的香料收纳罐的实物图如图1所示，该几何体为上、下底面边长分别为8cm,6cm 的正四棱台，若棱台的高为3cm ，忽略收纳罐的厚度，则该香料收纳罐的容积为（ ）图1 图2A.3148cm 3B. 374cm C. 3148cm D. 3298cm 【答案】C 【解析】【【分析】根据棱台的体积公式，计算求值，即得答案.【详解】由题意可知，该香料收纳罐的容积为(2231386148cm 3⨯⨯+=．故选：C ．5. 某校高三年级有500人，一次数学考试的成绩X 服从正态分布()110,100N ．估计该校高三年级本次考试学生数学成绩在120分以上的有（ ）参考数据：若()2~,X N μσ，则()0.6827,(22)0.9545P X P X μσμσμσμσ-<≤+=-<≤+=，3309().973P X μσμσ-<≤+=．A. 75人B. 77人C. 79人D. 81人【答案】C 【解析】【分析】()110,100X N ，1(1101011010)(120)2P X P X --≤≤+>=，由概率计算人数即可.【详解】()110,100X N ，110μ=，10σ=，因为()P =0.6827X μσμσ-<≤+，所以1(1101011010)10.6827(120)0.158622P X P X --≤≤+->==≈，所以数学成绩在1205000.158679⨯≈人.故选：C ．6. 埃拉托斯特尼是古希腊亚历山大时期著名的地理学家，他最出名的工作是计算了地球（大圆）的周长：如图，在赛伊尼，夏至那天中午的太阳几乎正在天顶方向（这是从日光直射进该处一井内而得到证明的）.同时在亚历山大城（该处与赛伊尼几乎在同一子午线上），其天顶方向与太阳光线的夹角测得为7.2°.因太阳距离地球很远，故可把太阳光线看成是平行的．已知骆驼一天走100个视距段，从亚历山大城到赛伊尼须走50天．一般认为一个视距段等于157米，则埃拉托斯特尼所测得地球的周长约为（ ）A. 37680千米B. 39250千米C. 41200千米D. 42192千米【答案】B 【解析】【分析】首先读懂题意，根据比例关系，即可求解地球周长.【详解】由亚历山大城到赛伊尼走100505000⨯=，则地球大圆周长的视距段为x ，则7.25000360x=，得250000x =个视距段，则地球的周长为25000015739250000⨯=米39250=千米.故选：B7. 已知235log 6,log 7,log 9a b c ===，则下列判断正确的是（ ）A. c b a << B. b c a<< C. a b c<< D. a c b<<【答案】A 【解析】【分析】取中间值3,22，利用对数函数单调性比较可得.【详解】因为22log 6log 42a =>=，32333log 7log 32b =>=，且33log 7log 92b =<=，32553log 9log 52c =<=，所以c b a <<.故选：A .8. 已知定义在R 上的函数11()e e x x f x x --=-+，则不等式(1)(22)2f x f x -+-≥的解集为（ ）A. (,1]-∞-B. (,1]-∞C. [1,1]-D. [1,)+∞【答案】A 【解析】【分析】分析得到函数()f x 关于点(1,1)中心对称，且在R 上单调递增，列不等式求解集即可.【详解】由于11()ee 11x xf x x --=-+-+，令1t x =-，则()e e ttg t t -=-+，因为e t y =在R 上单调递增，e t y -=在R 上单调递减，e t y -=-在R 上单调递增，y t =在R 上单调递增，所以()e e t tg t t -=-+在R 上单调递增，又因为()e e t tg t t -=-+定义域为R ，关于原点对称，又()()()e e e e ttttg t t t g t ---=--=--+=-，所以()g t 为奇函数，关于()0,0对称，所以()f x 关于点(1,1)中心对称，且在R 上单调递增，即(2)()2f m f m -+=，由(1)(22)2f x f x -+-≥可得(1)2(22)(2)f x f x f x -≥--=，则12x x -≥，得1x ≤-，故选：A.【点睛】关键点睛：本题主要考查了利用函数的对称性和单调性求解不等式，解题的关键是函数性质的灵活应用.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9. 某校1500名学生参加数学竞赛，随机抽取了40名学生的竞赛成绩（单位：分），成绩的频率分布直方图如图所示，则（ ）A. 频率分布直方图中a 的值为0.005B. 估计这40名学生的竞赛成绩的第60百分位数为75C. 估计这40名学生的竞赛成绩的众数为80D. 估计总体中成绩落在[)60,70内的学生人数为225【答案】AD 【解析】【分析】先根据频率之和为1可得0.005a =，进而可求每组的频率，再结合统计相关知识逐项分析判断即可.详解】由10(23762)1a a a a a ⨯++++=，可得0.005a =，故A 正确；前三个矩形的面积和为10(237)0.6a a a ⨯++=，所以这40名学生的竞赛成绩的第60百分位数为80，故B 错误；40名学生的竞赛成绩的众数为75，故C 错误；总体中成绩落在[)60,70内的学生人数为3101500225a ⨯⨯=，故D 正确.故选：AD10. 如图，点A ，B ，C ，M ，N 是正方体的顶点或所在棱的中点，则满足MN ∥平面ABC 的有（ ）A. B.C. D.【【答案】AD 【解析】【分析】结合线面的位置关系以及线面平行的判定定理确定正确选项．【详解】对于A ，连接ED ,由下图可知////MN DE AC ，MN ⊂平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，所以//MN 平面ABC ，A 正确．对于B ，设H 是EG 的中点，A 是DF 的中点，由下图，结合正方体的性质可知，//AB NH ，////MN AH BC ，//AM CH ，故六边形MNHCBA 为正六边形，所以A ，B ，C ，H ，N ，M 六点共面，B 错误．对于C ，如下图所示，根据正方体的性质可知//MN AD ，由于AD ⊂平面ABC ，所以MN ⊂平面ABC ，所以C 错误．对于D ，设AC NE D = ，由于四边形AECN 是矩形，所以D 是NE 中点，由于B 是ME 中点，所以//MN BD ，由于MN ⊂平面ABC ，BD ⊂平面ABC ，所以//MN 平面ABC ，D 正确．故选：AD ．11. 直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于,A B 两点，点P 在曲线:C y =上，则ABP的面积可能是（ ）A.B. 2C. 5D. 9【答案】BC 【解析】【分析】化简C 的方程并确定出对应图象，然后根据,O C 到直线的距离结合AB 求解出ABP 面积的取值范围，由此可判断出正确选项.【详解】因为直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于,A B 两点，所以()2,0A -，()0,2B -，则AB =，又因为点P 在曲线C ：y =所以点P 在半圆(222(0)x y y +=≥上，圆心)C到直线20x y ++=的距离为11d ，点()0,0到直线20x y ++=的距离为2d ==，所以点P 到直线20x y ++=的距离的范围是+，所以△ABP的面积取值范围是即2,4⎡+⎣，所以BC 正确，故选：BC ．12. 已知数列{}n a 满足()111134n n n a a n -+-+-⋅=-（2n ≥且*n ∈N ），则下列说法正确的是（ ）A. 245a a +=，且312a a -=B. 若数列{}n a 的前16项和为540，则16a =C. 数列{}n a 的前()*4k k ∈N 项中的所有偶数项之和为26kk-D. 当n 是奇数时，()()211314n n n a a+++=+【答案】ACD 【解析】【分析】A 选项，赋值法求解即可；B 选项，先得到()222321461k k a a k k ++=+-=-，求出数列{}n a 的前16项和中偶数项之和，从而得到前16项和中奇数项之和，赋值法得到22113k k a k a +=-+，从而得到1513119753113928448a a a a a a a a a +++++++=+=，求出答案；C 选项，在B 选项的基础上得到22261m m a a m ++=-，从而利用等差数列求和公式求解；D 选项，在B 选项基础上得到22113k k a k a +=-+，令21n k =-可得答案.【详解】A 选项，()111134n n n a a n -+-+-⋅=-中，令2n =得133242a a =⨯--=，令3n =得423345a a +=⨯-=，A 正确；B 选项，()111134n n n a a n -+-+-⋅=-中，令21n k =+得()222321461k k a a k k ++=+-=-，所以426115a a +=⨯-=，8663117a a +=⨯-=，121065129a a +=⨯-=，161467141a a +=⨯-=，相加得246810121416517294192a a a a a a a a +++++++=+++=，因为数列{}n a 的前16项和为540，所以前16项和中奇数项之和为54092448-=，()111134n n n a a n -+-+-⋅=-中，令2n k =得212132464k k a a k k +-=⨯-=--，所以()()2121231646461464614614k k k a k a k k a k k a +--=-+-+--+-++===--+⨯-+ ()21116342k k k k a a k -++=⨯=-+，故222151311975311111377366311a a a a a a a a a a a a +++++++=⨯-++⨯-+++⨯-++ 13928448a =+=，解得17a =，B 错误；C 选项，由B 选项可知22261m m a a m ++=-，{}n a 的前()*4k k ∈N 项中的共有偶数项2k 项，故最后两项之和为()4246211k k a a k -+=--，所以数列{}n a 的前()*4k k ∈N项中的所有偶数项之和为()()2244245127511621162k k k k a a a a k k k -+-++++=+++--==- ，C 正确；D 选项，由B 选项可知22113k k a k a +=-+，令21n k =-，则12n k +=，故()()()1221113421314n n n a n a n a +++==+-+++⨯故当n 是奇数时，()()211314n n n a a +++=+，D 正确.故选：ACD【点睛】当遇到()2n n a a f n +-=时，数列求通项公式或者求和时，往往要分奇数项和偶数项，这类题目的处理思路可分别令21n k =-和2n k =，用累加法进行求解.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 已知点F 是抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点，O 为坐标原点，若以F 为圆心，||FO 为半径的圆与60y -+=相切，则抛物线C 的方程为_______．【答案】28x y =【解析】【分析】根据题意知抛物线方程C ：22(0)x py p =>的焦点0,2p F ⎛⎫⎪⎝⎭，利用点F 到直线60y -+=的距离为FO 列出方程，解得4p =，从而求解.【详解】由题意知抛物线C ：22(0)x py p =>的焦点0,2p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，又因为点F60y -+=的距离为FO ，所以：2p d ，又因为：0p >，解得：4p =，则抛物线C 的方程为：28x y =.故答案为：28x y =.14. 已知定义在[21,4]m m -+上的奇函数()f x ，当0x >时，()31x f x =-，则()f m 的值为_____________．【答案】2-【解析】【分析】根据奇函数定义域关于原点对称，结合奇函数的性，质运用代入法进行求解即可.【详解】因为函数()f x 是定义在[21,4]m m -+上的奇函数，所以有(21)(4)0m m -++=，得1m =-，所以()(1)(1)312f f -=-=--=-．故答案为：2-15. 已知,a b 是非零向量，1a = ，()a b a +⊥ ，a 在b方向上的投影向量为||a b -= _____________．【解析】【分析】1a = ，由()a b a +⊥ ，得1a b ⋅=- ，a 在b方向上的投影向量为由2a b - ，得a b - .【详解】已知,a b是非零向量，1a =，由()a b a +⊥r r r ，有()20a a b a a b ⋅+=⋅+= ，可得1a b ⋅=- ，a 在b方向上的投影向量为，则有a b b⋅=由22225a b a b a b -=+-⋅=，所以a b -=16. 定义在ππ,00,22⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上的奇函数()f x 的导函数为()f x '，且当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()tan ()0f x x f x '->，则不等式π ()2sin 6f x f x ⎛⎫< ⎪⎝⎭的解集为_____________．【答案】πππ,0,266⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【解析】【分析】构造函数()()sin f x F x x=，通过研究()F x 的奇偶性与单调性求解不等式.【详解】令()()sin f x F x x =，因为()f x 是定义在ππ,00,22⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上的奇函数，则()()()()sin()sin f x f x F x F x x x ---====--，所以()F x 为偶函数.当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，sin 0x >，cos 0x >，由已知()tan ()0f x x f x '->，所以()22()sin ()cos cos ()()tan ()0sin sin f x x f x x xF x f x x f x x x'-''==->，则()F x 在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，由π()2()sin 6f x f x <可化为π()()6πsin sin 6f f x x <，即π()()6F x F <，得π06x <<；当π,02x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，sin 0x <，则π()()6πsin sin()6f f x x ->-，即π()()6F x F >-，由()F x 为偶函数，则()F x 在π,02⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，得ππ26x -<<-，所以不等式π()2sin 6f x f x ⎛⎫<⎪⎝⎭的解集为πππ,0,266⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ．故答案为：πππ,0,266⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【点睛】关键点点睛：本题解题关键是构造函数()()sin f x F x x=并发现()F x 是偶函数，通过研究其单调性来解不等式，特别要注意分段讨论，因为sin x 的符号不能确定.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. 某同学进行投篮训练，已知该同学每次投篮投中的概率均为12．（1）求该同学进行三次投篮恰好有两次投中的概率；（2）若该同学进行三次投篮，第一次投中得1分，第二次投中得1分，第三次投中得2分，记X 为三次总得分，求X 的分布列及数学期望．【答案】（1）38（2）分布列见解析，2【解析】【分析】（1）应用独立事件概率乘积公式计算即可；（2）应用独立事件概率乘积公式结合对立事件的概率公式计算概率，写出分布列计算数学期望即得；【小问1详解】记该同学进行三次投篮恰好有两次投中为事件“B ”，则()11111111132222222228P B =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=.【小问2详解】设事件123,,A A A 分别表示第一次投中，第二次投中，第三次投中，根据题意可知0,1,2,3,4X =.故()()()1231(0)8P X P A P A P A ===.()()()()()()1231231(1)4P X P A P A P A P A P A P A ==+=，()()()()()()1231231(2)4P X P A P A P A P A P A P A ==+=()()()()()()1231231(3)4P X P A P A P A P A P A P A ==+=，()()()()123111142228P X P A P A P A ===⨯⨯=.所以于X 的分布列为：X 的数学期望11111()01234284448E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.18. 在单位圆上的三点A ，B ，C 构成的锐角ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为22,,,sin sin sin )sin a b c c A C B B -=-．（1）求a ；（2c -的取值范围．【答案】（1 （2）(【解析】分析】（1）根据条件，利用正弦定理，角转边得到222c b a +-=，再结合余弦定理，即可得到π4A =，由外接圆半径及正弦定理求出结果.（2）根据条件，利用正弦定理边化为角，根据两角差的正弦公式，利用余弦函数的性质及角的范围，可求出结果.【小问1详解】【由22sin sin sin )sin C C A B B -=-及正弦定理得：222c a b -=-，由余弦定理得：2222cos A b c a bc +-===， 又因为0πA <<，所以π4A =，因为ABC 外接圆半径为1，2sin a A ∴==.【小问2详解】因为ABC 的外接圆半径1R =，所以,2sin sin b c B C==所以2sin ,2sin b B c C ==，2sin c B C -=-3π)2sin 4C C =--2cos 2sin 2sin 2cos C C C C =+-=， 又因为ABC 为锐角三角形，即π023ππ042C B C ⎧<<⎪⎪⎨⎪<=-<⎪⎩，故ππ42C <<，所以0cos C <<，所以02cos C <<，所以0c <-<c -的取值范围是(.19. 设各项均不为零的数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =，且)*n =∈N ．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令910nn n b a ⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭，当n b 最大时，求n 的值．【答案】（1）2n a n = （2）9或10【解析】【分析】（1）利用公式1n n n a S S -=-，求得数列21{}n a -是首项为2，公差为4的等差数列，数列2{}n a 是首项为4，公差为4的等差数列，可求数列{}n a 的通项公式； （2）n b 最大时，则11n n nn b b b b -+≥⎧⎨≥⎩，列不等式求n 的值．【小问1详解】12a =，且)*n =∈N ．则有0n a >，14n n n S a a +=⋅，当1n =时，12114a a a S ==，所以24a =，当2n ≥时，11144n n n n n n n a a a a a S S +--⋅⋅=-=-，所以114n n a a +--=，则数列21{}n a -是首项为2，公差为4的等差数列，所以2124(1)2(21)n a n n -=+-=-，数列2{}n a 是首项为4，公差为4的等差数列，所以244(1)2(2)n a n n =+-=，所以2n a n =.【小问2详解】由已知得：9921010n nn n b a n ⎛⎫⎛⎫=⋅=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，195b =，28125b =，12<b b ，1b 不是最大项，设数列{}n b 的最大项为()2n b n ≥，则：11n n nn b b b b -+≥⎧⎨≥⎩，即：19922(1)1010n n n n -⎛⎫⎛⎫⋅≥-⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭且19922(1)1010n n n n +⎛⎫⎛⎫⋅≥+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得910n ≤≤，所以n b 最大时，n 的值为9或10.20. 如图，直三棱柱111ABC A B C -中，点D ，E 分别为棱111A B CC 、的中点，111,4AE A B AB AC AA ⊥===．（1）设过A ，D ，E 三点的平面交11B C 于F ，求11B F FC 的值；（2）设H 在线段BC 上，当DH 长度最小时，求点H 到平面ADE 的距离．【答案】（1）2（2【解析】【分析】（1）先将平面ADE 延展，在图中表示出1B F 和1FC ，根据三角形相似即可求出11B F FC 的值；（2）由题意可以建立空间直角坐标系，根据垂线段最短，确定H 的位置，由点到平面的距离的向量表示公式DH n d n×= 即可求出点H 到平面ADE 的距离.【小问1详解】如图延长AD 交1BB 于P ，连接PE 交11B C 于F ，如图所示：因为D 为棱11A B 的中点，1DB AB ，且112DB AB =，所以1B 是PB 的中点，即1112PB BB C E ==，因为11PB C E ，所以1PB F △∽1EC F △，所以11112PB B F C E FC ==.【小问2详解】的由题知1AA ⊥平面ABC ，则1AA AB ⊥，因为11∥A B AB ，且11AE A B ⊥，所以AB AE ⊥，所以AB ⊥平面11ACC A ，所以AB AC ⊥，如图所示，以A 为原点，AC ，AB ，1AA 分别为x ，y ，z 轴正方向建立空间直角坐标系，所以()0,0,0A ，()0,2,4D ，()4,0,2E ， ()0,4,0B ，()4,0,0C ，设(),4,0H x x -，()04x ≤≤，()0,2,4AD = ，()4,0,2AE = ，因为DH 最短，所以DH BC ⊥，所以()(),2,44,4,0880DH BC x x x ⋅=--⋅-=-= ，解得1x =，所以()1,3,0H ，则(1,1,4DH =- ，设平面ADE 的法向量(),,n x y z = ，则00n AD n AE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即240420y z x z +=⎧⎨+=⎩，所以()1,4,2n =- ，所以点H 到平面ADE 的距离d 21. 已知二元关系222(,)(2)(2)f x y x y x y ay b =+-+++，曲线:(,)0E f x y =，曲线E 过点(2,0),(4,6)C D ，直线:1l x =，若Q 为l 上的动点，A ，B 为E 与x 轴的交点，且点A 在点B 的左侧，QA 与E 的另一个交点为,M QB 与E 的另一个交点为N ．（1）求a ，b ；（2）求证：直线MN 过定点．【答案】（1）2,12a b ==-（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由题意将(2,0)0f =，(4,6)0f =代入方程(),0f x y =运算可得解；（2）设:MN l my x t =+，与曲线E 方程联立，由韦达定理可得122631mt y y m +=-，212231231t y y m -=-，由A ，Q ，M 三点共线，由B ，Q ，N 三点共线，列式消元运算可求得t 的值，得证.【小问1详解】由题意知，(2,0)0f =，(4,6)0f =，代入方程()()222220x y x y ay b +-+++=，可得()()222440246426360b a b ⎧-+=⎪⎨⨯+-+⨯++=⎪⎩，解得2a =，12b =-.【小问2详解】由（1）可知222(2)(2)2120x y x y y +-++-=，整理得曲线E ：221412x y -=，设:MN l my x t =+，11(,)M x y ，22(,)N x y ，0(1,)Q y ，由题意知(2,0),(2,0)A B -，联立22312my x t x y =+⎧⎨-=⎩，得()2223163120m y mty t --+-=，所以2310m -≠，0∆>即221240m t +->，21212226312,.3131mt t y y y y m m -+==--由A ，Q ，M 三点共线知011122y y x =++①，由B ，Q ，N 三点共线知022122y y x =--②，由①②两式得1212322y y x x -=+-③.又因为22111412x y -=，即11113(2)2y x x y -=+，代入③式得12129(2)2x y y x --=-，即12129(2)2my t y y my t ---=--，整理得()221212919(2)()9(2)0m y y m t y y t +-++++=，即()222223126919(2)9(2)03131t mt m m t t m m -+-+++=--，化简得(2)(4)0.t t ++=当2t =-时，:2MN l my x =-，直线过定点(2,0)，不符合题意，舍去.当4t =-时，:4MN l my x =-，直线过定点(4,0).所以直线MN 过定点(4,0)..【点睛】思路点睛：本题第二问考查圆锥曲线中的直线过定点问题. 设出:MN l my x t =+，于曲线E 方程联立，根据韦达定理可得12y y +，12y y ，由A ，Q ，M 三点共线，由B ，Q ，N 三点共线从斜率关系列式并结合M ，N 在曲线E t 的值，从而得证问题.22. 已知函数2()(ln )2ln 2,0f x a x x x x b a =-++>．（1）讨论()f x 的单调性；（2）若21e ,20a a b <≤+<，证明：()f x 只有一个零点．【答案】（1）答案见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）依题意用导数对a 分类讨论即可；（2）结合第一问的单调性，运用零点存在性定理即可求解.【详解】（1）()f x 的定义域为()0,∞+，()ln ()2x f x a x x'=-，i 若1a >，则当()0,1x ∈时，ln 0x <，0a x ->，故()0f x '<，当()1,x a ∈时，ln 0x >，0a x ->，故()0f x '>，.当(),x a ∈+∞时，ln 0x >，0a x -<，故()0f x '<，此时()f x 在()0,1内单调递减，在()1,a 内单调递增，在(),a +∞内单调递减；ii.若1a =，()ln ()210xf x x x '=-≤，此时()f x 在()0,+∞内单调递减；iii.若01a <<，则当()0,x a ∈时，ln 0x <，0a x ->，故()0f x '<，当(),1x a ∈时，ln 0x <，0a x -<，故()0f x '>，当()1,x ∈+∞时，ln 0x >，0a x ->，故()0f x '<此时()f x 在()0,a 内单调递减，在(),1a 内单调递增，在()1,+∞内单调递减；（2）当21e a <≤，20a b +<时，()1220f b a b =+<+<，且2b a ->，故0e 1<<，故e 2e 10f ⎛⎫⎛=> ⎪ ⎪⎝⎝⎭，即()e 10f f ⎛⎫⋅< ⎪ ⎪⎝⎭，由（1）可知()f x 在()0,1内单调递减，故()f x 在区间()0,1内有且仅有一个零点，由21e a <≤知0ln 2a <≤，则()()()()22ln 2ln 2ln 2ln ln ln 20f a a a a a a b a a a a a a a =-++<-=-≤，()f x 在()1,a 内单调递增，在(),a +∞内单调递减，故对任意()1,x ∈+∞，()()0f x f a ≤<，故函数()f x 在区间()1,+∞内没有零点，综上可得，()f x 只有一个零点．。
《精编》云南省昆明市高三数学高考适应性月考卷 四 试题 理(校对版)新人教A版.doc
云南师大附中2021届高考适应性月考卷〔四〕理科数学本试卷分第一卷〔选择题〕和第二卷〔非选择题〕两局部．参考公式： 样本数据12,,,n x x x 的标准差222121()()()n s x x x x x x n ⎡⎤=-+-++-⎣⎦其中x 为样本平均数 柱体体积公式V Sh = 其中S 为底面面积，h 为高锥体体积公式13V Sh =其中S 为底面面积，h 为高 球的外表积，体积公式24R S π=，334R V π=其中R 为球的半径第一卷〔选择题共60分〕一、选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的．1．设全集U 为实数集R ，{}||2M x x =>，{}2|430N x x x =-+<，那么图1中阴影局部所表示的集合是A ．{}|2x x <B ．{}|22x x -≤≤C ．{}|21x x -≤<D ．{}|12x x <≤2．i 为虚数单位，那么复数133ii-+的虚部是 A ．1- B ．1 C ．i D ． i -3．命题“所有实数的平方都是正数〞的否认为A ．所有实数的平方都不是正数B ．有的实数的平方是正数C ．至少有一个实数的平方不是正数D ．至少有一个实数的平方是正数4．(0,0)a b t a b +=>>，t 为常数，且ab 的最大值为2，那么t ＝A ．2B ．4C ．22D ．255．甲、乙两名运发动在某项测试中的6次成绩的茎叶图如图2所示，1x ，2x 分别表示甲乙两名运发动这项测试成绩的平均数，12,s s 分别表示甲乙两名运发动这项测试成绩的标准差，那么有A ．1212,x x s s ><B ．1212,x x s s =>C ．1212,x x s s ==D ．1212,x x s s =<6．假设二项式321nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中含有非零常数项，那么正整数n 的最小值为A ．3B ．5C ．7D ．107．定义在R 上的函数2()sin x f x e x x x =+-+，那么曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程是A ．1y x =+B ．32y x =-C ． 21y x =-D ．23y x =-+8．如果实数,x y 满足不等式组1,10,220,x x y x y ≥⎧⎪-+≤⎨⎪--≤⎩那么22x y +的最小值是A ．25B ．5C ．4D ．19．如图1给出的是计算111124620++++的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是A ．12?i >B ．11?i >C ．10?i >D ．9?i >10．一几何体的三视图如图4，主视图和左视图都是矩形，俯视图为正方形，在该几何体上任意选择4个顶点，以这4个点为顶点的几何形体可能是①矩形；②有三个面为直角三角形，有一个面为等腰三角形的四面体；③每个面都是直角三角形的四面体．A ．①②③B ．②③C ．①③D ．①②11．定义在R 上的奇函数()f x ，满足(4)()f x f x -=-，且在区间[]0,2上是增函数，假设方程()(0)f x m m =>，在区间[]8,8-上有四个不同的根1234,,,x x x x ，那么1234x x x x +++＝A ．－12B ．－8C ．－4D ．412．设F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点，双曲线两条渐近线分别为12,l l ，过F作直线1l 的垂线，分别交12,l l 于A 、B 两点，且向量BF 与FA 同向．假设||,||,||OA AB OB 成等差数列，那么双曲线离心率e 的大小为A ．2B ．2C ．2D ．2第二卷〔非选择题共90分〕本卷须知：用钢笔或圆珠笔直接答在答题卡上．二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分，把答案填在题中横线上． 13．如果随机变量2~(1,)N ξσ-，且(31)0.4P ξ-≤≤-=，那么(1)P ξ≥＝ ．14．在直角坐标系xOy 中，有一定点(2,1)A ，假设线段OA 的垂直平分线过抛物线22(0)y px p =>的焦点，那么该抛物线的准线方程是 ．15．我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，利用求动点轨迹方程的方法，可以求出过点(3,4)A -，且法向量为(1,2)n =-的直线〔点法式〕方程为1(3)(2)(4)0x y ⨯++-⨯-=，化简得2110x y -+=．类比以上方法，在空间直角坐标系中，经过点(1,2,3)A ，且法向量为(1,2,1)n =--的平面〔点法式〕方程为 ．16．数列{}n a 中121,2a a ==，当整数1n >时，1112()n n n S S S S +-+=+都成立，那么15S ＝ ．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解容许写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．〔本小题总分值12分〕函数21()2cos 2f x x x =--，x R ∈． 〔1〕求函数()f x 的最小正周期；〔2〕设ABC △的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且c =()9f C =，sin 2sin B A =，求,a b 的值．18．〔本小题总分值12分〕班主任统计本班50名学生平均每天放学回家后学习时间的数据用图5所示条形图表示．〔1〕求该班学生每天在家学习时间的平均值；〔2〕假设学生每天在家学习时间为18时至23时，甲每天连续学习2小时，乙每天连续学习3小时，求22时甲、乙都在学习的概率．19．〔本小题总分值12分〕如图4，正三棱柱111ABC A B C -中，E 是AC 中点． 〔1〕求证：平面1BEC ⊥平面11ACC A ；〔2〕假设12A A AB =，求二面角1E BC C --的大小． 20．〔本小题总分值12分〕函数()ln bf x x a x x=-+在1x =处取得极值，且3a > 〔1〕求a 与b 满足的关系式；〔2〕求函数()f x 的单调区间．21．〔本小题总分值12分〕椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的焦距为4，设右焦点为1F ，离心率为e ． 〔1〕假设22e =，求椭圆的方程； 〔2〕设A 、B 为椭圆上关于原点对称的两点，1AF 的中点为M ，1BF 的中点为N ，假设原点O 在以线段MN 为直径的圆上． ①证明点A 在定圆上；②设直线AB 的斜率为k ，假设3k ≥e 的取值范围．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，那么按所做的第一题记分．作答时请写清题号．ABCEB 1A 1C 122．〔本小题总分值10分〕【选修4－1：几何选讲】如图7，圆O 外有一点P ，作圆O 的切线PM ，M 为切点，过PM 的中点N ，作割线NAB ，交圆于A 、B 两点，连接PA 并延长，交圆O 于点C ，连PB 交圆O 于点D ，假设MC BC =．〔1〕求证：△APM ∽△ABP ；〔2〕求证：四边形PMCD 是平行四边形．23．〔本小题总分值10分〕【选修4－4：坐标系与参数方程】 在极坐标系中，直线l 的极坐标方程为()3R πθρ=∈，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，曲线C 的参数方程为2cos ,1cos 2,x y αα=⎧⎨=+⎩〔α为参数〕，求直线l 与曲线C 的交点P 的直角坐标．24．〔本小题总分值10分〕【选修4－5：不等式选讲】 函数2()log (|1||5|)f x x x a =-+--． 〔1〕当2a =时，求函数()f x 的最小值；〔2〕当函数()f x 的定义域为R 时，求实数a 的取值范围．云南师大附中2021届高考适应性月考卷〔四〕理科数学参考答案第一卷〔选择题，共60分〕一、选择题〔本大题共12小题，每题5分，共60分〕第二卷〔非选择题，共90分〕二、填空题〔本大题共4小题，每题5分，共20分〕三、解答题〔共70分. 解容许写出文字说明，证明过程或演算步骤〕 17．〔本小题总分值12分〕解：〔Ⅰ〕1cos 21π()2sin 21226x f x x x +⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭， 那么()f x 的最小正周期是2ππ2T ==. ………………………………………………〔6分〕〔Ⅱ〕π()sin 2106f C C ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，那么πsin 216C ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，∵0πC <<，∴022πC <<，∴ππ11π2<666C -<-，∴ππ262C -=，∴3C π=， ∵sin 2sin B A =，由正弦定理，得12a b =，① 由余弦定理，得2222cos 3c a b ab π=+-，即223a b ab +-=， ②由①②解得1,2a b ==. ……………………………………………………………〔12分〕18．〔本小题总分值12分〕解：〔Ⅰ〕平均学习时间为20102103541.8()50⨯⨯+⨯+⨯=1+小时. ……………〔6分〕 〔Ⅱ〕设甲开始学习的时刻为x ，乙开始学习的时刻为y ，试验的全部结果所构成的区域为Ω ={(x ，y )|18≤x ≤21，18≤y ≤20}，面积S Ω = 2×3=6.事件A 表示“22时甲、乙都在学习〞，所构成的区域为A ={(x ，y )|20≤x ≤21，19≤y ≤20}，面积为111A S =⨯=， 这是一个几何概型，所以P (A )A S S Ω==16. …………………………………………〔12分〕19．〔本小题总分值12分〕〔Ⅰ〕证明：如图3，∵111ABC A B C -是正三棱柱， ∴1,AA ABC ⊥平面 ∴1BE AA ⊥.∵△ABC 是正三角形，E 是AC 中点， ∴,BE AC ⊥ ∴11BE ACC A ⊥平面. 又∵1BE BEC ⊂平面，∴平面111BEC ACC A ⊥平面. …………………………………………………………〔6分〕〔Ⅱ〕 解：如图4，作1CF EC F ⊥于，1FG BC ⊥于G ，连CG . ∵平面111BEC ACC A ⊥平面， ∴1CF BEC ⊥平面，∴FG 是CG 在平面1BEC 上的射影. ∴根据三垂线定理得，1CG BC ⊥， ∴∠CGF 是二面角1E BC C --的平面角，图3图4设AB a =，∵1A A AB =，那么1A A =. 在1Rt ECC △中，11EC CC CF EC ⋅==. 在1Rt BCC △中，11BC CC CG BC ⋅==, 在Rt CFG △中，∵sin CF CGF CG ∠==, ∴45CGF ∠=︒.∴二面角1E BC C --的大小是45°. …………………………………………………〔12分〕20．〔本小题总分值12分〕解：〔Ⅰ〕2()1a bf x x x '=--，由(1)0f '= 得1b a =-. ………………………〔4分〕〔Ⅱ〕函数()f x 的定义域为(0,)+∞，由〔Ⅰ〕可得22221(1)(1)[(1)]()1a a x ax a x x a f x x x x x-------'=--==． 令()0f x '=，那么11x =，21x a =-. 3a >时，11a ->，所以单调递增区间为(0,1)，(1,)a -+∞，单调递减区间为(1,1)a -. ………〔12分〕 21. 〔本小题总分值12分〕解：〔Ⅰ〕由e =，c =2，得a =，b =2 , 所求椭圆方程为22184x y +=. ………………………………………………………〔4分〕〔Ⅱ〕设00(,)A x y ，那么00(,)B x y --，故00+222x y M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，00222x y N -⎛⎫-⎪⎝⎭，. ① 由题意，得0OM ON =.化简，得22004x y +=，所以点A 在以原点为圆心，2为半径的圆上. ……………〔8分〕② 设00(,)A x y ，那么002222200220022222222220000,1,111,(1)444y kx x k x x y k k a ba b a b x kx x y =⎧⎧⎪+=⎪⎪+=⇒⇒+=+⎨⎨⎪⎪+=⎩⎪+=⎩. 将2c e a a ==，222244b a c e=-=-，代入上式整理， 得2242(21)2 1.k e e e -=-+因为42210e e -+>，k 2>0，所以2210e ->，所以 422221321e e k e -+=-≥．化简，得422840,210.e e e ⎧-+⎪⎨->⎪⎩≥解之，得2142e <-≤1,e <故离心率的取值范围是12⎤⎥⎝⎦. ……………………………………………〔12分〕22.〔本小题总分值10分〕【选修4—1：几何证明选讲】证明：〔Ⅰ〕∵PM 是圆O 的切线，NAB 是圆O 的割线，N 是PM 的中点， ∴22,MN PN NA NB ==⋅ ∴,PN NANB PN= 又∵,PNA BNP ∠=∠ ∴PNA △∽BNP △， ∴,APN PBN ∠=∠ 即,APM PBA ∠=∠ ∵,MC BC = ∴,MAC BAC ∠=∠ ∴,MAP PAB ∠=∠∴APM △∽ABP △． …………………………………………………………………〔5分〕〔Ⅱ〕∵ACD PBN ∠=∠，∴ACD PBN APN ∠=∠=∠，即PCD CPM ∠=∠，∴//PM CD ，∵APM △∽ABP △，∴PM A BPA ∠=∠，∵PM 是圆O 的切线，∴PMA MCP ∠=∠，∴PMA BPA MCP ∠=∠=∠，即,MCP DPC ∠=∠∴//,MC PD∴四边形PMCD 是平行四边形． ……………………………………………………〔10分〕23．〔本小题总分值10分〕【选修4—4：坐标系与参数方程】解：因为直线l 的极坐标方程为=()3θρπ∈R ，所以直线l 的普通方程为y =，① ………………………………………………〔3分〕又因为曲线C 的参数方程为2cos ,1cos 2x y αα=⎧⎨=+⎩(α为参数)， 所以曲线C 的直角坐标方程为212y x =([2,2])x ∈-，② …………………………〔6分〕联立①②解方程组得0,0x y =⎧⎨=⎩ 或 6.x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩根据x 的范围应舍去6,x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 故P 点的直角坐标为(0，0). ………………………………………………………〔10分〕24．〔本小题总分值10分〕【选修4—5：不等式选讲】解：〔Ⅰ〕函数的定义域满足：150x x a -+-->， 即15x x a -+->，设()15g x x x=-+-，那么()15g x x x=-+-=26,5, 4,15, 62,1,x xxx x-⎧⎪<<⎨⎪-⎩≥≤g (x)min= 4，f (x)min= log2 (4−2)=1. ………………………………………………〔5分〕〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕知，()15g x x x=-+-的最小值为4.150x x a-+-->，∴a<4，∴a的取值范围是(−∞，4). ………………………………………………〔10分〕。
2020届云南省昆明市第一中学高三第四次一轮复习检测数学(理)试题(解析版)
2020届云南省昆明市第一中学高三第四次一轮复习检测数学（理）试题一、单选题1．已知集合{|213},||ln 1}A x x B x x =-+≤=≤，则A B =I （ ） A ．(-1, e] B ．(-1,1]C ．(-1,0)D ．(0, e]【答案】D【解析】解一元一次不等式和对数不等式化简集合,A B 的表示，再利用集合交集的定义，结合数轴求出结果. 【详解】{}{}2131A x x x x =-+<=>-，{}{}ln 10e B x x x x =≤=<≤，则{}0e A B x x ⋂=<≤. 故选：D 【点睛】本题考查了集合的交集运算，考查了解对数不等式，考查了数学运算能力. 2．已知复数z 满足(2+i) z=3-i ，其中i 为虚数单位，则|z|=（ ） A ．1 B 2C ．32D ．23【答案】B【解析】用复数除法的运算法则化简复数z 的表示，再根据复数模的定义求出模的大小. 【详解】 因为3(3)(2)12(2)(2)i i i z i i i i --⋅-===-++⋅-，所以221(1)2z =+-=故选：B 【点睛】本题考查了复数的除法运算法则，考查了复数模的定义，考查了数学运算能力.3．空气质量指数AQI 是反映空气质量状况的指数，AQI 指数值越小，表明空气质量越好，其对应关系如表：AQI 指数50≤(50,100] (100,150] (150,200] ](200300，300>值 空气质量 优良轻度污染中度污染重度污染严重污染如图是某市10月1日—20日AQI 指数变化趋势：下列叙述正确的是（ ）A ．该市10月的前半个月的空气质量越来越好B ．这20天中的中度污染及以上的天数占12C ．这20天中AQI 指数值的中位数略高于100D ．总体来说，该市10月上旬的空气质量比中旬的空气质量差 【答案】C【解析】通过图象的变换可以判断出选项A 的正确性，通过所给的表可以统计出中度污染及以上的天数，这样可以判断选项B 的正确性，根据表中所提供的数据可以判断出中位数的大小，这样可以判断出选项C 的正确性，通过表中所提供的数据可以判断出选项D 的正确性. 【详解】由图知，前半个月中，空气质量先变好再变差，处于波动状态，A 错误，这20天中的中度污染及以上的天数有5天，B 错误，10月上旬大部分AQI 指数在100以下，10月中旬大部分AQI 指数在100以上，D 错误.根据表中所提供的数据可以判断出中位数略高于100，所以C 正确. 故选：C 【点睛】本题考查了识图和识表的能力，考查了中位数的概念，考查了数据分析能力. 4．若1717(,04)a a Z a +∈<…能被3整除，则a =（ ） A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】B【解析】把17用181-代换，然后用二项式定理展开，根据题意求出a 的值. 【详解】因为17171711616171717+(181)1818181a a C C a =-+=-+⋅⋅⋅+-+，由已知可得：1a =. 故选：B 【点睛】本题考查了二项式定理的应用，考查了有关整除的问题，考查了数学运算能力. 5．已知椭圆E 的中心为坐标原点离心率为12，E 的左焦点与抛物线2:4C y x =-的焦点重合,则椭圆E 的方程为（ ）A ．22143x y +=B ．2212x y +=C ．2211612x y +=D ．221164x y +=【答案】A【解析】求出抛物线的焦点坐标，这样能确定椭圆的左焦点坐标，再根据离心率的公式求出半长轴长，而后根据半长轴长、半焦距、半短轴长的关系求出半短轴长，最后确定椭圆的标准方程. 【详解】因为抛物线C :24y x =-的焦点为(10)，-，设椭圆E 的方程为22221x y a b+=（0a b >>），所以椭圆E 的半焦距1c =，又因为椭圆的离心率为12，所以2a =，3b =E 的方程为22143x y +=.故选：A 【点睛】本题考查了求椭圆的标准方程，考查了抛物线的焦点坐标，考查了数学运算能力. 6．函数22()sin cos 3cos f x x x x x =-+的图象的一条对称轴为（ ） A ．6x π=B ．4x π=C ．3x π=D ．2x π=【答案】C【解析】逆用二倍角的余弦公式、正弦公式、辅助角公式化简函数的解析式为正弦型函数解析式的形式，根据正弦型函数的对称性选出正确答案. 【详解】因为()cos23sin 22sin(2)6f x x x x π=-+=-，所以函数()f x 的图象的一条对称轴为3x π=.故选：C 【点睛】本题考查了二倍角的正弦公式和余弦公式，考查了辅助角公式，考查了正弦型函数的对称性. 7．执行如下所示的程序框图，则输出的a =（ ）A ．2B ．1C ．-1D ．12【答案】D【解析】由初始条件进入循环体，求出每一次a 的值，可以发现规律，最后求出答案. 【详解】11,2n a ==；2,1n a ==-；3,2n a ==；14,2n a ==；…，a 的值构成以3为周期的数列，因为202036731=⨯+，所以当2020n =时，12a =. 故选：D 【点睛】本题考查了循环结构的输出问题，考查了数列的周期性，考查了数学运算能力.8．已知圆锥SO 的底面半径为3，母线长为5.若球1O 在圆锥SO 内，则球1O 的体积的最大值为（ ） A ．92πB ．9πC ．323πD ．12π【答案】A【解析】设圆锥SO 的轴截面为等腰△SAB ，则球1O 的体积最大时，球1O 的轴截面是△SAB 的内切圆，根据三角形面积公式和内切圆的性质求出半径，最后求出体积. 【详解】设圆锥SO 的轴截面为等腰△SAB ，则球1O 的体积最大时，球1O 的轴截面是△SAB 的内切圆，所以11()22SAB S AB SO SA SB AB r =⋅=++⋅V ，解得：32r =，所以球1O 的体积的最大值为92π. 故选：A 【点睛】本题考查了求球体积最大问题，考查了球的几何性质，考查了数学运算能力. 9．设n S 为数列{}n a 的前n 项和，()*32n n S a n =-∈N ，则{}na 的通项公式为（ ）A ．12n n a -=B ．132n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭C ．123n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭D ．112n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭【答案】B【解析】先根据递推公式求出首项，再递推一步，两个等式相减，即可判断出数列{}n a 是等比数列，最后求出通项公式即可. 【详解】因为32()n n S a n *=-∈N …①，1n =时，1132S a =-，可得11a =，2n ≥时，1132n n S a --=-…②，①-②得133n n n a a a -=-，132n n a a -=， 所以{}n a 是等比数列，11331()()22n n n a --=⨯=.故选：B 【点睛】本题考查了通过递推公式求等比数列的通项公式，考查了数学运算能力.10．已知点(3,4)A 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>上一点，12,F F 分别是双曲线C 的左、右焦点，若以12F F 为直径的圆经过点A ，则双曲线C 的离心率为（ ） A 2 B ．2C 5D ．5【答案】C【解析】根据以12F F 为直径的圆经过点A ，结合双曲线的定义可以求出a 的值，最后求出离心率.【详解】解析：由已知得12AF AF ⊥，所以12210F F AO ==，所以5c =22223+5+435+42a -（）（），所以5a =，所以双曲线C 的离心率5e =故选：C 【点睛】本题考查了求双曲线离心率问题，考查了双曲线的定义，考查了数学运算能力.11．设函数2()2,0()4,0x a x f x x a x x ⎧-+≤⎪=⎨++>⎪⎩，若(0)f 是函数()f x 的最小值，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[1,2]- B ．[1,0]- C ．[1,2] D ．[0,2]【答案】D【解析】利用基本不等式可以求出当0x >时，函数的最小值，再用分类讨论方法求出0x ≤时，函数的最小值，最后根据题意得到不等式，解这个不等式即可. 【详解】 当0x >时，4424x a x a ax x++≥⋅=+(当且仅当4x x =时取等号，即2x =时取等号)； 当0x ≤时，若0a ≥，函数的最小值为2(0)2f a =+；若0a <，函数的最小值为()2f a =，由题意可知：(0)f 是函数()f x 的最小值，所以有2(0)2412002f a a a a a =+≤+⇒-≤≤≥∴≤≤Q .选D. 【点睛】本题考查了已知分段函数的最小值求参数取值范围，考查了分类讨论思想，考查了数学运算思想. 12．已知平面向量,,a b c r r r满足a b ⊥rr，且{||,||,||}{1,2,4}a b c =rrr ，则||a b c ++rrr的最大值为（ ） A ．45 B ．217+C ．125+D ．425+【答案】A【解析】以,a b r r 所在的直线为横轴纵轴，分类讨论当{}||,||{1,2}a b =r r 时，设出,,a b c r r r的坐标，最后利用圆的几何意义求出||a b c++rr r的最大值，其他情况同理，最后比较出最大值即可.【详解】解析：以,abrr所在的直线为横轴纵轴，当{}||,||{1,2}a b=rr时，不妨设||1,||2(1,0),(0,2)a b a b==∴==r rr r，设(,)c x y=r因为4c=r，所以2216x y+=，22(1,2)||(1)(2)a b c x y a b c x y++=++∴++=+++r rr r r rQ，要想||a b c++rr r最大，说明圆2216x y+=的点到点(1,2)--的距离最大，根据圆的几何意义可知：a b c++r r r的最大值45+，通过计算可知：当||2,||1a b==rr也是一样的，同理可以计算求出当1c=r，a b c++r r r的最大值125+，当2c=r，a b c++r r r的最大值2+17所以a b c++r r r的最大值45+.故选：A.【点睛】本题考查了求平面向量模最大值问题，考查了利用圆的几何性质求解最值问题，考查了建模思想.二、填空题13．若实数,x y满足10220220x yx yx y-+≥⎧⎪+-≤⎨⎪--≤⎩，则32z x y=+的最大值为______.【答案】6【解析】在直角坐标系内画出可行解域，然后平移直线32y x=-，找到直线在可行解域内当在纵轴上的截距最大时所经过的点，求出点的坐标，代入目标函数即可求出最大值.【详解】画出可行域，由图可知目标函数经过点(2,0)A时取得最大值6.【点睛】本题考查了求目标函数的最大值问题，考查了数形结合思想，正确画出可行解域是解题的关键. 14．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若11a =，公差22,20k k d S S +=-=，则k =______. 【答案】4【解析】根据等差数列的前n 项和公式，结合已知的等式可以求出k 的值. 【详解】解析：因为{}n a 是等差数列，所以2(1)122n n n S n n -=⨯+⨯=，由22(2)20k k +-=解得4k =. 故答案为：4 【点睛】本题考查了等差数列的前n 项和公式，考查了数学运算能力.15．已知函数2,01()1,1x x f x x x⎧≤≤⎪=⎨>⎪⎩，若方程1()()4f x x a a =-+∈R 恰好有三个不等的实根，则实数a 的取值范围为______. 【答案】514a <<【解析】要满足方程1()()4f x x a a =-+∈R 恰好有三个不等的实根，则直线14y x a =-+与1y x =在0x >相切以上（不含相切）和直线14y x a =-+过点1,1（）以下（不含过该点的直线），利用方程的思想最后求出实数a 的取值范围. 【详解】解析：要满足方程1()()4f x x a a =-+∈R 恰好有三个不等的实根，则直线14y x a =-+与1y x =在0x >相切以上（不含相切）和直线14y x a =-+过点1,1（）以下（不含过该点的直线），当直线14y x a =-+与1y x =相切时，即11+4x a x =-，所以211+4x ax =-,所以=0∆，所以1a =，（1-舍去），当直线14y x a =-+过点1,1（）时，54a =，所以514a <<.【点睛】本题考查了方程有实根求参数的取值范围，考查了推理认证能力，考查了数学运算能力.16．已知四棱锥P ABCD -7，侧棱长均为5，O 为侧面PCD V 的内心，则四棱锥O ABCD -的体积为______.97【解析】根据题意利用勾股定理可以求出正方形的边长，通过角平分线的性质，结合三棱锥的体积公式可以求出O ABCD -的体积. 【详解】解析：由题意可得，底面ABCD 的边长为6，在△PCD 中，作PE CD ⊥于E ,通过角平分线的性质，53PC PO CE OE ==,所以38OE PE =,所以3978O ABCD P ABCD V V --==97【点睛】本题考查了求三棱锥的体积，考查了角平分线的性质，考查了数学运算能力.三、解答题17．在ABC V 中，内角A ，B ，C 所对的边长分别为,,,cos 23cos()1a b c C A B ++=. (1)求角C ；(2)若2c =，求ABC V 面积的最大值. 【答案】(1)23π (2)33【解析】(1)利用二倍角的余弦公式、三角形内角和定理、对已知听等式进行化简，最后通过解方程可以得到角C 的余弦值，结合三角形的性质求出；(2)利用余弦定理、重要不等式、三角形面积公式可以求出ABC V 面积的最大值. 【详解】解：(1)由cos23cos()1C A B ++=，可得22cos 3cos 20C C --=，(cos 2)(2cos 1)0C C -+=，因为cos 2C ≠，所以1cos 2C =-，23C π=. (2)由2222cos c a b ab C =+-，得224a b ab ++=，2242ab a b ab -=+≥，43ab ≤， 所以11433sin 223S ab C =≤⨯=， 当33a b ==时，△ABC 3【点睛】本题考查了二倍角的余弦公式，考查了余弦定理和重要不等式，考查了三角形面积公式.18．某城市为鼓励人们乘坐地铁出行，地铁公司决定按照乘客经过地铁站的数量实施分段优惠政策，不超过30站的地铁票价如下表： 乘坐站数x 100≤<x2010≤<x2030x <≤票价（元） 369现有甲、乙两位乘客同时从起点乘坐同一辆地铁，已知他们乘坐地铁都不超过30站，甲、乙乘坐不超过10站的概率分别为14，13；甲、乙乘坐超过20站的概率分别为12，13． （Ⅰ）求甲、乙两人付费相同的概率；（Ⅱ）设甲、乙两人所付费用之和为随机变量X ，求X 的分布列和数学期望． 【答案】(1)13(2) ()E X =514【解析】试题分析：(1) 由题意知甲乘坐超过10站且不超过20站的概率为14，乙乘坐超过10站且不超过20站的概率为13，利用乘法概率公式及互斥原理得到甲、乙两人付费相同的概率； (2) 由题意可知X 的所有可能取值为：6，9，12，15，18.求得相应的概率值，即可得到X 的分布列和数学期望. 试题解析：（1）由题意知甲乘坐超过10站且不超过20站的概率为1111424--=， 乙乘坐超过10站且不超过20站的概率为1111333--=， 设“甲、乙两人付费相同”为事件A ，则()11114343P A =⨯+⨯ 111233+⨯=， 所以甲、乙两人付费相同的概率是13.（2）由题意可知X 的所有可能取值为：6，9，12，15，18.()11164312P X ==⨯=，()11943P X ==⨯ 111436+⨯=，()11112432P X ==⨯+ 11113433⨯+⨯=，()11112432P X ==⨯+ 1134⨯=，()11118236P X ==⨯=.因此X 的分布列如下：X69121518P11216131416所以X 的数学期望()1169126E X =⨯+⨯ 11121534+⨯+⨯ 1511864+⨯=. 点睛：求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；第二步是:“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式（常见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件的概率和公式、独立事件的概率积公式，以及对立事件的概率公式等），求出随机变量取每个值时的概率；第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或事件的概率是否正确；第四步是“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值，对于有些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布(如二项分布X ～B(n ，p))，则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式(E(X)＝np)求得.19．如图所示的几何体中，正方形ABCD 所在平面垂直于平面APBQ ，四边形APBQ 为平行四边形，G 为PC 上一点，且BG ⊥平面APC ，2AB =.(1)求证：平面PAD ⊥平面PBC ；(2)当三棱锥P ABC -体积最大时，求平面APC 与平面BCQ 所成二面角的正弦值.【答案】(1)证明见解析 (2)3 【解析】(1)利用面面垂直的性质定理可以得到线面垂直，然后得到线线垂直，再由已知的线面垂直得到线线垂直，利用线面垂直的判断定理得到线面垂直，最后利用面面垂直的判定定理证明出面面垂直； (2)通过三棱锥的体积公式，由等积法可以得到：求三棱锥P ABC -体积的最大值，只需求PA PB ⋅的最大值．设出两个线段的长，建立空间直角坐标系，利用空间向量的数量积公式可以求出平面APC 与平面BCQ 所成二面角的余弦值，最后利用同角的三角函数关系式中的平方和关系求出平面APC 与平面BCQ 所成二面角的正弦值.【详解】(1)证明：因为平面ABCD ⊥平面APBQ ，平面APBQ I 平面ABCD AB =， 四边形ABCD正方形，即BC AB ⊥，BC ⊂平面ABCD ，所以BC ⊥平面APBQ ，又因为AP ⊂平面APBQ ，所以⊥AP BC ， 因为BG ⊥平面APC ，AP ⊂平面PAC ， 所以AP BG ⊥，因为BC BG B =I ，,BC BG ⊂平面PBC ， 所以AP ⊥平面PBC ， 因为AP ⊂平面PAD ， 所以平面PAD ⊥平面PBC ．(2)解：111323P ABC C APB V V PA PB BC PA PB --==⋅⋅⋅⋅=⋅⋅，求三棱锥P ABC -体积的最大值，只需求PA PB ⋅的最大值． 令PA m =，PB n =， 由(1)知，PA PB ⊥，所以224m n +=，当且仅当2m n == 即2PA PB ==时，max22112(2)333P ABC n V m m n -+=≤⋅=， 以AB 中点O 为坐标原点建立空间直角坐标系如图，则(0,1,0)A-，(0,1,0)B，(0,1,2)C，(1,0,0)P设()1,,n x y z=r为平面APC的一个法向量，则11220n AP x yn BP x z⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩u v u u u vu v u u u v，可取1x=，则()11,1,1=-u u rn，因为四边形APBQ为平行四边形，APB∆为等腰直角三角形，所以四边形APBQ为正方形，取平面BCQ的一个法向量为()21,1,0n BP==-u u r u u u r，所以1212126os,cn nn nn n>⋅<==⋅u u r u u ru u r u u ru u r u u r，所以12,3sin n n<=>u u r u u r，即平面APC与平面BCQ所成二面角的正弦值为33.【点睛】本题考查了面面垂直的判定定理和性质定理、线面垂直的判定定理和性质定理，考查了利用空间向量数量积求二面角问题，考查了三棱锥的体积公式，考查了推理认证能力和数学运算能力.20．过点(0,2）的直线l与抛物线2:2(0)C x py p=>交于A，B两点，且OA OB⊥(O为坐标原点).(1)求抛物线C的方程；(2)在y轴上是否存在定点M，使得OMA OMB∠=∠？并说明理由.【答案】(1)22x y=；(2)存在,理由见解析【解析】(1)设出直线l的方程与抛物线方程联立，利用一元二次方程根与系数关系，结合OA OB⊥可以求出抛物线的方程；(2)假设存在，根据二个角相等可以转化为两条直线的斜率互为相反数，根据斜率的公式，结合根与系数的关系可以求出在y 轴上存在定点M ，使得OMA OMB ∠=∠. 【详解】解：(1)设直线l ：2y kx =+，11(,)A x y ，22(,)B x y ，则联立222y kx x py=+⎧⎨=⎩得2240x pkx p --=，则1212=2=4x x pk x x p+⎧⎨-⎩，所以()()()212121212=22+244y y kx kx k x x k x x ++=++=，所以1212440OA OB OA OB x x y y p ⊥⇔⋅=+=-+=u u u r u u u r，1p =，所以抛物线C 的方程为22x y =．(2)假设存在满足条件的点()0,M t ,设11(,)A x y ，22(,)B x y ,由（1）知1212=2=4x x kx x +⎧⎨-⎩，若OMA OMB ∠=∠，则0MA MB k k +=，()()()()122112211212121222y t x y t x kx t x kx t x y t y t x x x x x x -+-+-++---+== ()()()()121212228222042kx x t x x k t kt kx x +-+-+-+====-，所以存在()0,2M -满足条件．【点睛】本题考查了求抛物线的标准方程，考查了利用直线与抛物线的位置关系，考查了平面向量的应用，考查了抛物线中定点问题，考查了数学运算能力. 21．已知函数()ln f x x x =-. (1)求()f x 的最小值；(2)设m 为整数，且对于任意正整数n ，22211111123m n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⨯+⨯⨯+< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L ，求m 的最小值. 【答案】(1)1；(2)2.【解析】(1)对函数进行求导，判断函数的单调性，最后求出最小值； (2) 由(1)可得，()ln 1f x x x =-≥即ln 1x x ≤-，对此可以对21ln 1k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭进行放缩，最后利用裂项相消法求出m 的最小值. 【详解】解：(1)11()1x f x x x'-=-=， 当()0,1x ∈时，()0f x '<，故()f x 在()0,1单调递减； 当()1,x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 在()1,+∞单调递增； 故()(1)1f x f ≥=，故()f x 的最小值为1. (2)由(1)可得，()ln 1f x x x =-≥即ln 1x x ≤-，所以对任意k ∈N*，有222114422ln 14(21)(21)2121k kk k k k k ⎛⎫+≤=<=- ⎪-+-+⎝⎭，则222111222222ln 1ln 1ln 12335572121n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++<-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L L ，即222111222ln 1ln 1ln 1233213n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++<-< ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭L ，因为2e 8<所以2<ln23， 所以222111ln 111ln 223n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⨯+⨯⨯+< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L ，所以222111111223n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⨯+⨯⨯+< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L ．又因为2222111111111232n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⨯+⨯⨯+≥+> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L ，故对任意正整数n ，22211111123m n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⨯+⨯⨯+< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L 的整数m 的最小值为2． 【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性并求最小值问题，考查了通过放缩法求不等式恒成立时参数的取值问题.22．以直角坐标系的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，并在两种坐标系中取相同的长度单位已知直线l 的参数方程为1cos 2sin x t y t αα⎧=+⎪⎨⎪=⎩(t 为参数，0απ<<)，抛物线C 的普通方程为22y x =.(1)求抛物线C 的准线的极坐标方程；(2)设直线l 与抛物线C 相交于A ，B 两点，求||AB 的最小值及此时α的值. 【答案】(1)1cos 2ρθ=-； (2)当且仅当2πα=时，AB 取得最小值2【解析】(1)利用极坐标与直角坐标转化公式求出抛物线C 的准线的极坐标方程；(2) 将直线l 的参数方程代入抛物线C 的普通方程中，利用参数的意义结合一元二次方程根与系数的关系求出||AB 的最小值及此时α的值. 【详解】解:(1)依题意可得，抛物线C 的准线的普通方程为12x =-，化为极坐标方程即是1cos 2ρθ=-. (2)将直线l 的参数方程代入抛物线C 的普通方程22y x =，化简整理得， 22sin 2cos 10t t αα--=，设,A B 两点对应的参数分别为12,t t ,则有1222cos sin t t αα+=，1221sin t t α=-， 所以212121222()4sin AB t t t t t t α=-=+-=，因为0απ<<，所以，20sin 1α<≤，222sin α≥，即2AB ≥， 当且仅当2πα=时，AB 取得最小值2.【点睛】本题考查了极坐标方程转化为直角坐标方程，考查了利用参数的意义求弦长问题，考查了数学运算能力. 23．已知()|4||8|f x ax ax =--+. (1)当2a =时，解不等式()2f x <； (2)求()f x 的最大值【答案】(1)32x x ⎧⎫>-⎨⎬⎩⎭；(2)12【解析】(1)利用零点法化简函数的解析式，然后分类求解即可； (2)利用绝对值的性质可以直接求解出函数的最大值. 【详解】解(1)当2a =时,12(4)()44(42)12(2)x f x x x x <-⎧⎪=---≤≤⎨⎪->⎩当4x <-时，不等式不成立；当42x -≤≤时，解得322x -<≤； 当2x >时，不等式恒成立.综上，不等式()2f x <的解集为32x x ⎧⎫>-⎨⎬⎩⎭.(2)因为()48f x ax ax =--+(4)(8)12ax ax ≤--+=,当且仅当80ax +≤时取到等号，所以()f x 的最大值为12. 【点睛】本题考查了利用零点法解绝对值不等式，考查了利用绝对值的性质求函数的最大值问题，考查了数学运算能力.。
2020年12月云南省昆明市第一中学2021届高三高中新课标第四次一轮复习检测数学(理)答案
第 1 页 （共 8 页）
又 CE DC ， BD I DC D ，所以 CE 平面ABCD ，所以 CE BC ，与 CEB 90 矛盾，所以 D 不正 确，选 C.
8. 解析：由题意可得抛物线 C : y2 8x 的准线为 l : x 2 ，直线 y k (x 2)(k 0) 恒过 P(2 ， 0) ，过 A ，
与平面 A1BD 所成锐二面角相等；过顶点 A 作平面 与平面 A1BD 平行，则平面 ABD ，平面 ABA1 ，平面 ADA1 与平面 所成锐二面角相等；同理，过顶点 A 作平面 与平面 C1BD ，平面 DA1C1 ，平面 BA1C1 平 行，则正方形 ABCD ，正方形 ABB1A1 ，正方形 ADD1A1 所在平面与平面 所成锐二面角相等，所以这样 的平面 可以作 4 个， 选 D．
e
x
(e ， 3) ，选 C．
5. 解析：这 800 名业主在准备的两个问题中回答每一个问题的概率相同，第一个问题可能被回答 400 次，
在这 400 人中约有 200 人手机尾号是奇数，而有 470 人回答了“是”，即在 400 人中有 270 人回答是否
满意物业、的服务时回答了“是”，即在 400 人中有 270 人满意物业的服务，所以估计本小区对物业服
昆明一中 2021 届高三联考第四期理科数学参考答案及解析
命题、审题组教师
一、选择题
题号 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案 B
D
A
C
D
C
云南省昆明市第一中学西山学校2023-2024学年高一下学期4月期中考试数学试题
云南省昆明市第一中学西山学校2023-2024学年高一下学期4月期中考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{}2,1,0,1,2,{1M N xx =--=≤-∣或3}x ≥，则M N ⋂=（ ） A ．{}2,1-- B ．{}2,1,0,1-- C ．{}2 D ．{}2- 2．若复数z 满足()12i 43i z +=+，则z =（ ）A ．2i -+B ．2i --C ．2i +D ．2i -3．已知向量,a b r r 的夹角为60︒，且1,2a a b =-r r r b =r （ ）A ．1B ．3 CD 4．设0.60.62112,,log 55a b c ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系为（ ） A ．c<a<bB ．b<c<aC ．c b a <<D ．a b c <<5．已知,l m 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下面四个命题中，正确的是（ ）A ．若l P ,m m α⊂，则l P αB ．若l P ,m αP ,βαP β，则l P mC ．若,,l m αβαβ⊥⊂⊂，则l m ⊥D ．若,m l β⊥P ,l αP m ，则αβ⊥6．已知tan 2α=，则2sin21cos2αα=+（ ） A ．2 B ．4 C ．5 D ．67．在ABC V 中，内角A B C ､､的对边分别为,,a b c ，已知π,3B b ==则ac 的最大值为（ ）A B C ．3D ．83 8．如图所示，棱长为3的正四面体形状的木块，点P 是ABC V 的重心，过点P 将木块锯开，并使得截面平行于AD 和BC ，则截面的面积为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4二、多选题9．下列命题正确的是（ ）A ．若复数z 满足1z =，则1z =±或i z =±B ．121211,,z z z z z z ∀∈∈+=+C CC ．若12i +是方程()220x x p p -+=∈R 的一个根，则该方程的另一个根是12i -D ．在复平面内，12,z z 所对应的向量分别为12,OZ OZ u u u u r u u u u r ，其中O 为坐标原点，若12OZ OZ ⊥u u u u r u u u u r ，则1212z z z z +=-10．已知函数()sin2f x x =，若()()12f x f x ==12x x -的值可以是（ ） A ．π6 B ．π3 C ．5π6D ．7π6 11．如图，在四边形ABCD 中，AD //,2,45,90BC AD AB BCD BAD ︒︒==∠=∠=，将ABD △沿BD 进行翻折，在这一翻折过程中，下列说法正确的是（ ）A ．始终有AC BD ⊥B ．当平面ABD ⊥平面BCD 时，AB ⊥平面ACDC ．当平面ABD ⊥平面BCD 时，直线BC 与平面ABD 成45︒角D ．当平面ABD ⊥平面BCD 时，三棱锥A BCD -外接球表面积为16π三、填空题12．若4312,log 12a b ==，则11a b+=.13．已知a ，b ，c 分别为ABC V 三个内角A ，B ，C 的对边，且cos sin 0a C C b c --=，则A =.14．在ABC V 中，过中线AD 的中点E 作一条直线分别交,AB AC 于,M N 两点，若AM xAB =uuu r uu u r ，(0,0)AN yAC x y =>>u u u r u u u r ，则24x y +的最小值为.四、解答题15．已知在平面直角坐标系xOy ，向量()2,1a =-r .(1)求与a r 垂直的单位向量e r 的坐标；(2)若向量()3,2b =r ，且ta b -r r 与2a b +r r 的夹角为钝角，求实数t 的取值范围.16．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，,,AC BC P Q =分别为1,AB AA 的中点，侧面11ABB A 为正方形，求证：(1)1AC P 平面1PB C ；(2)1BQ B C ⊥.17．已知函数()()2cos 2cos f x x x x x =-∈R .(1)求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间；(2)将函数()f x 的图象向左平移π12ϕ+个单位长度，再向上平移1个单位长度得到()g x 的图象，若()30,π,tan 4ϕϕ∈=，求函数()g x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的取值范围. 18．在气象台A 正西方向处有一台风中心B ，它正向东北方向移动，移动速度的大小为40km /h ，距台风中心350km 以内的地区都将受到影响.(1)若台风中心的这种移动趋势不变，气象台A 所在地是否会受到台风的影响？如果会，大3.6≈）(2)台风对气象台A 的影响从开始到结束，线段AB 扫过的面积是多少？ 19．如下如图，水平桌面2222A B C D 上放置一个透明塑料制成的长方体水槽11111,224ABCD A B C D AA AB BC -===，水面高度恰为长方体高的一半，在该长方体侧面11CDD C 上有一个小孔,E E 点到CD 的距离为3.将该长方体水槽绕CD 倾斜（CD 始终在桌面上，如下如图所示），此时水恰好流出时，液面与棱1111,,,AA BB CC DD 分别相交于点,,,M N P Q .(1)证明：四边形MNPQ 是矩形；(2)当水恰好流出时，求二面角2P CD C --的大小.。
云南省昆明市昆钢集团公司第一中学高三数学理月考试题含解析
云南省昆明市昆钢集团公司第一中学高三数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 在复平面内与复数所对应的点关于实轴对称的点为，则对应的复数为（A）（B）（C）（D）参考答案：B【知识点】复数的基本概念与运算L4==1+i，∴复数的共轭复数是1-i，就是复数,所对应的点关于实轴对称的点为A对应的复数；【思路点拨】用两个复数代数形式的乘除法法则，化简复数得到复数的共轭复数，从而得到复数在复平面内的对应点的坐标，得到选项．2. 已知集合，则B中所含元素的个数为A.3B.6C.8D.10参考答案：D当时，。
当时，。
当时，。
当时，。
所以 B 中所含元素的个数为10个，选D.3. 已知集合U=R，集合A={x|－l≤x≤3}，集合B=|x|log2x<2}，则A B=A．{x|1≤x≤3}B．{x|－1≤x≤3}C．{x| 0<x≤3}D．{x|－1≤x<0}参考答案：B略4. 为了检查某超市货架上的奶粉是否含有三聚氰胺，要从编号依次为到的袋装奶粉中抽取袋进行检验，用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法确定所选取的袋奶粉的编号可能是( ) 参考答案：D5. 若，则有（）A．< B . C .> D. >参考答案：D6. 已知集合P=｛x︱x2≤1｝,M=｛a｝.若P∪M=P,则a的取值范围是（）A．(-∞, -1] B．[1, +∞）C．[-1，1] D．（-∞，-1] ∪[1，+∞）参考答案：C7. 已知幂函数的图象经过点，则的值为( )A． B．C．D．参考答案：B8. 若三棱锥的所有顶点都在球的球面上，⊥平面，，，，则球的表面积为（）A．B． C． D．参考答案：B因为，，，所以，所以。
所以，即为直角三角形。
因为三棱锥的所有顶点都在球的球面上，所以斜边AC的中点是截面小圆的圆心，即小圆的半径为.,因为是半径，所以三角形为等腰三角形，过作,则为中点，所以,所以半径，所以球的表面积为,选B.9. 等差数列的前项和为，若，, 则等于（）A．152 B．154 C．156 D．158参考答案：C略10. 已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a5=5，S5=15，则数列的前100项和为(A) (B) (C) (D)参考答案：A由,得，所以，所以，又，选A.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 对于三次函数（），定义：设是函数y＝f(x)的导数y ＝的导数，若方程＝0有实数解x0，则称点(x0，f(x0))为函数y＝f(x)的“拐点”．有同学发现“任何一个三次函数都有‘拐点’；任何一个三次函数都有对称中心；且‘拐点’就是对称中心．”请你将这一发现为条件，函数，则它的对称中心为；计算= .参考答案：; 201212. 已知，则=________ ．参考答案：13. i是虚数单位，计算的结果为．参考答案：﹣i【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】数系的扩充和复数．【分析】直接利用复数的除法运算法则化简求解即可．【解答】解：i是虚数单位，===﹣i．故答案为：﹣i．【点评】本题考查复数的乘除运算，基本知识的考查．14. 已知函数参考答案：略15.设点P是椭圆C：上的动点，F 为C 的右焦点，定点，则的取值范围是____．参考答案：【分析】先计算右焦点，左焦点将转化为，计算的范围得到答案.【详解】，为的右焦点，，左焦点故答案为【点睛】本题考查了椭圆取值范围问题，将转化为是解题的关键，意在考查学生对于椭圆性质的灵活运用和计算能力.16. 已知中心在原点的椭圆与双曲线的公共焦点、都在轴上，记椭圆与双曲线在第一象限的交点为，若是以（为左焦点）为底边的等腰三角形，双曲线的离心率为3，则椭圆的离心率为________参考答案：17. 如图，在四边形ABCD中，＝5，BD＝4，O为BD的中点，且＝，则＝▲．参考答案：－3在中，由余弦定理可得：，由题意可得：，，故.三、解答题：本大题共5小题，共72分。
云南省昆明市第一中学2024届高三第四次一轮复习检测数学答案
昆明一中2024届高三第4次联考数学参考答案命题、审题组教师杨昆华彭力李文清李春宣丁茵王在方张远雄李露陈泳序杨耕耘一、选择题题号12345678答案CBDCCBAA1．解析：因为i 12i 2i 55z =-=---+，则其在复平面内所对应的点为12,55⎛⎫- ⎪⎝⎭，其位于第三象限，选C ．2．解析：由题，知2410tx x -+=只有一个实数根．当0t =时，{}14s ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，此时14s t +=；当0t ≠时，令1640t ∆=-=，有4t =，12s =，此时92s t +=．综上s t +=92或14，选B ．3．解析：因为直线530x y -=的斜率为53，所以553a =，所以3a =，选D ．5．解析：因为()P =0.6827X μσμσ-<≤+，所以1(1101011010)(120)0.15862P X >=≈，所以数学成绩在120分以上的人数约为5000.158679⨯≈人，选C ．6．解析：由题，有亚历山大城到赛伊尼走100505000⨯=视距段，设地球大圆周长的视距段为x ，所以7.25000360x=，得250000x =个视距段，则地球的周长为25000015739250000⨯=米39250=千米，选B ．7．解析：22log 6log 42a =>=，323333log 7log 3log 2b =>=且33log 7log 92b =<=，325553log 9log 5log 2c =<=，则c b a <<，选A .8．解析：由于11()e e 11x x f x x --=-+-+，令1t x =-，则()e e t t g t t -=-+在R 上单调递增，且为奇函数，所以()f x 关于点(1,1)中心对称，且在R 上单调递增，即(2)()2f m f m -+=，由(1)(22)2f x f x -+-≥可得(1)2(22)(2)f x f x f x -≥--=，则12x x -≥，得1x ≤-，选A .二、多选题题号9101112答案ADADBCACD9．解析：由10(23762)1a a a a a ⨯++++=，可得0.005a =，故A 正确；前三个矩形的面积和为10(237)0.6a a a ⨯++=，所以这40名学生的竞赛成绩的第60百分位数为80，故B 错误；由成绩的频率分布直方图易知，这40名学生的竞赛成绩的众数为75，故C 错误；总体中成绩落在[)60,70内的学生人数为3101500225a ⨯⨯=，故D 正确，选A D ．10．解析：由A 选项可知//MN AC ，MN ⊄平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，所以//MN 平面ABC ，A 正确.对于B ，如图1，设H 是EG 的中点，结合正方体的性质可知，//AB NH ，////MN AH BC ，//AM CH ，所以A ，B ，C ，M ，N 共面，B 错误.对于C ，如图2，根据正方体的性质可知//MN AD ，由于AD ⊄平面ABC ，所以C 错误.对于D ，如图3，设AC NE D = ，由于四边形AECN 是矩形，所以D 是NE 中点，由于B 是ME 中点，所以//MN BD ，由于MN ⊄平面ABC ，BD ⊂平面ABC ，所以//MN 平面ABC ，D 正确.选AD.图1图2图311．解析：因为直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，所以(2,0)A -，(0,2)B -，则22AB =；又因为点P 在曲线C ：222y x x =-+上，所以点P 在半圆(2222(0)x y y +=≥上；圆心(20)到直线20x y ++=的距离为122122d +==+点(0,0)到直线20x y ++=的距离为2222d ==，所以点P 到直线20x y ++=的距离的范围是222+，所以△ABP 的面积范围是2,42⎡+⎣，所以B C 正确，选B C ．12．解析：A 选项，()111134n n n a a n -+-+-⋅=-中，令2n =得133242a a -=⨯-=，令3n =得423345a a +=⨯-=，A 正确；B 选项，()111134n n n a a n -+-+-⋅=-中，令21n k =+得()222321461k k a a k k ++=+-=-，所以426115a a +=⨯-=，8663117a a +=⨯-=，121065129a a +=⨯-=，161467141a a +=⨯-=，相加得246810121416517294192a a a a a a a a +++++++=+++=，因为数列{}n a 的前16项和为540，所以前16项和中奇数项之和为54092448-=，()111134n n n a a n -+-+-⋅=-中，令2n k =得212132464k k a a k k +-=⨯-=--，所以()()212123646461464614k k k a k a k k a k k +--=-+-+--+=+==--- ()211161441632k k a a k k k a ++⨯-+=⨯=-+-++ ，故222151311975311111377366311a a a a a a a a a a a a +++++++=⨯-++⨯-+++⨯-++ 13928448a =+=，解得17a =，B 错误；C 选项，由B 选项可知22261m m a a m ++=-，{}n a 的前()*4k k ∈N 项中的共有偶数项2k 项，故最后两项之和为()4246211k k a a k -+=--，所以数列{}n a 的前()*4k k ∈N 项中的所有偶数项之和为()()2244245127517621162k k k k a a a a k k k -+-++++=+++--==- ，C 正确；D 选项，由B 选项可知22113k k a k a +=-+，令21n k =-，则12n k +=，故()()()2121113421314n n n a a a n n +++==++++⨯-故当n 是奇数时，()()211314n n n a a +++=+，D 正确.选ACD .三、填空题13．解析：因为6222p p d -+==，所以4p =，2 8x y =．14．解析：由题意，(21)(4)0m m -++=，得1m =-，所以(1)(1)2f f -=-=-．15．解析：因为()a b a +⊥ ，所以()20a a b a b a +⋅=+⋅=，所以1a b ⋅=- ，因为a 在b 方向上的投影向量为b b，所以a b b⋅=，所以b = 22225a b a b a b -=+-⋅=，所以a b -= 16．解析：令()()sin f x F x x =，因为()f x 是定义在ππ,00,22⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上的奇函数，所以()F x 为偶函数，当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，sin 0x >，cos 0x >，2()sin ()cos ()0sin f x x f x x F x x '-'=>，则()F x 在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调增，π()2()sin 6f x f x <可化为π()()6πsin sin 6f f x x <，即π()()6F x F <得π06x <<，当π,02x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，sin 0x <，则π()()6πsin sin()6f f x x ->-，即π()()6F x F >-，又()F x 在π,02⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调减，得ππ26x -<<-，所以解集为πππ,0,266⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．四、解答题17．解：（1）记该同学进行三次投篮恰好有两次投中为事件“B ”，则()1111111113P B 2222222228=⨯⨯+⨯⨯+⨯=.………5分（2）设事件123,,A A A 分别表示第一次投中，第二次投中，第三次投中，根据题意可知X 0,1,2,3,4=.故()()()1231P(X 0)P P P 8A A A ===.()()()()()()1231231P(X 1)P P P P P P 4A A A A A A ==+=，()()()()()()1231231P(X 2)P P P P P P 4A A A A A A ==+=()()()()()()1231231P(X 3)P P P P P P 4A A A A A A ==+=，()()()()1231111P X 4P P P 2228A A A ===⨯⨯=.所以于X 的分布列为：X 01234P1814141418X 的数学期望11111()01234284448E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.………10分22222b bc bc bc c a 又因为0πA <<，所以π4A=，2sin a A ==………5分（2）因为ABC △的外接圆半径1R =，所以,2sin sin b cB C==所以2sin ,2sin b B c C ==，2sin c B C -=-3π)2sin 4C C=--2cos 2sin 2sin2cos C C C C =+-=，又因为ππ42C <<,所以220cos C <<，所以02cos C <<，所以0c <-<c -的取值范围是(．………12分20．解：（1）如图延长AD 交1BB 于P ，连接PE 交11B C于F ，因为D 为棱11A B 的中点，1DB ∥AB ，且112DB AB =，所以1B 是PB 的中点，因为1PB ∥1C E ，所以1PB F △∽1EC F △，所以11112PB B FC E FC ==.………6分（2）由题知1AA ⊥平面ABC ，则1AA AB ⊥，因为11A B ∥AB ，且11AE A B ⊥，所以AB AE ⊥，所以AB ⊥平面ACA 1C 1，所以AB AC ⊥，如图所示，以A 为原点，AC ，AB ，1AA 分别为x ，y ，z 轴正方向建立空间直角坐标系，所以()0,0,0A ，()0,2,4D ，()4,0,2E ，()0,4,0B ，()4,0,0C ，设(),4,0H x x -，()04x ≤≤，因为DH 最短，所以DH BC ⊥，所以()(),2,44,4,0880DH BC x x x ⋅=--⋅-=-=，解得1x =，所以()1,3,0H ，则()1,1,4DH =-，设平面ADE 的法向量(),,n x y z = ，则00n AD n AE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即240420y z x z +=⎧⎨+=⎩，所以()1,4,2n =-，所以点H 到平面ADE 的距离132121DH n d n⋅==.………12分21．解：（1）由题意知，(2,0)0f =，(4,6)0f =，所以2,12a b ==-………4分（2）由（1）可知，曲线E ：112422=-y x 设t x my l MN +=:，).,1(),,(),,(02211y Q y x N y x M 由题意知).0,2(),0,2(B A -联立⎩⎨⎧=-+=,123,22y x t x my 得,01236)13222=-+--t mty y m （所以,00132>∆≠-，m .13123,1362221221--=-=+m t y y m mt y y 由A ，Q ，M 三点共线知221110+=+x y y ①，由B ，Q ，N 三点共线知221220-=-x y y ②，由①②两式得2232211--=+x y x y ③.又因为,11242121=-y x 即,)2(321111y x x y -=+代入③式得,2)2(92211--=-x y y x即,2)2(92211---=--t my y y t my 整理得,0)2(9))(2(919(221212=++++-+t y y t m y y m ）即,0)2(9136)2(91312319(22222=++-+---+t m mtt m m t m ）化简得.0)4)(2(=++t t 当2-=t 时，2:-=x my l MN ，直线过定点)0,2(，不符合题意，舍去.当4-=t 时，4:-=x my l MN ，直线过定点)0,4(………12分22．解：（1）()f x 的定义域为()0,+∞，()ln ()2xf x a x x'=-，i.若1a >，则当()0,1x ∈时，ln 0x <，0a x ->，故()0f x '<，当()1,x a ∈时，ln 0x >，0a x ->，故()0f x '>，当(),x a ∈+∞时，ln 0x >，0a x -<，故()0f x '<，此时()f x 在()0,1内单调递减，在()1,a 内单调递增，在(),a +∞内单调递减；ii.若1a =，()ln ()210xf x x x'=-≤，此时()f x 在()0,+∞内单调递减；iii.若01a <<，则当()0,x a ∈时，ln 0x <，0a x ->，故()0f x '<，当(),1x a ∈时，ln 0x <，0a x -<，故()0f x '>，当()1,x ∈+∞时，ln 0x >，0a x ->，故()0f x '<，此时()f x 在()0,a 内单调递减，在(),1a 内单调递增，在()1,+∞内单调递减；………6分证明（2）：当21e a <≤，20a b +<时，()1220f b a b =+<+<，又0e1<<，且e2e 10f ⎛⎛=+> ⎝⎝⎭，即()e 10f f ⎛⋅< ⎝⎭，由（1）可知()f x 在()0,1内单调递减，故()f x 在区间()0,1内有且仅有一个零点，又0ln 2a <≤，则()()()()22ln 2ln 2ln 2ln ln ln 20f a a a a a a b a a a a a a a =-++<-=-≤，()f x 在()1,a 内单调递增，在(),a +∞内单调递减，故对任意()1,x ∈+∞，()()0f x f a ≤<，故函数()f x 在区间()1,+∞内没有零点，综上可得，()f x 只有一个零点．………12分。
云南省昆明一中2020届高三数学上学期第四次月考试卷 人教版
云南省昆明一中2020届高三数学上学期第四次月考试卷一、选择题（本大题共12个小题，每题5分，共60分，在每小题的选项中，只有一项符合） 1．已知αππααcos ),23,(,43tan 则∈=的值是 （ ）A ．54±B ．54C ．－54D ．532．已知向量b a b a 在那么),7,4(),3,2(-==方向上的投影为（ ）A ．565B ．513 C ．65D ．133．（理科做）若复数aii a i a Z +++-=13)2(2007为纯虚数，则的值为（ ）A ．iB ．1C ．－iD ．－1 （文科做）直线013=+-y x 的倾斜角为（ ）A ．6πB ．32π C ．3π D ．65π 4．设集合B A x B x x A x x⋂==≤-=-则}1010|{},02|{22等于（ ）A ．{－１}B ．{2}C ．D ．}2|{≤x x5．已知a ，m ，n 是直线，α，β，γ是平面，给出下列五个命题：①若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β ②若m ⊂α，n ⊂α，m ∥α，n ∥β，则α∥β ③若α∥β，β∥γ，则α∥β ④若β⊥α，a ⊥α，则a ∥β ⑤若α内有不共线的三点到平面β的距离相等，则α∥β 其中正确命题的个数有 （ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个6．圆02422=++-+C y x y x 与y 轴交于A 、B 两点，圆心为P ，若∠APB=90°，则C的值是 （ ）A ．－3B ．3C ．22D ．87．在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AA 1=AB=AC ，AB ⊥AC ，M 是CC 1的中点，Q 是BC 的中点，点P 在A 1B 1上，则直线PQ 与直线AM 所成的角是 （ ） A ．30° B ．45° C ．60° D ．90° 8．四个实数－9，1.,,91,,32121---b b b a a ，成等差数列，五个实数成等比数列，则 )(122a a b -等于（ ）A ．8B ．－8C ．±8D ．99．若向量{}1)(),sin 2,1(),sin ,2(cos 2-⋅==n n n n b a n b n n a 则数列θθθ（ ）A ．既是等差数列又是等比数列B ．既不是等差数列又不是等比数列C ．是等比数列D ．是等差数列10．10个相同的小球放入四个不同的盒中，要求一盒中有1球，一盒中有2个球，一盒中有3个球，一盒中有4个球，不同的放法有 （ ） A ．24种 B ．10种 C ．10！种 D ．12600种11．若O 是平面上的定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三点，且满足))((R CA CB OC OP ∈++=λλ，则P 点的轨迹一定过△ABC 的（ ）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心12．（理科做）设函数f （x ）的定义域为D ，如果对于任意的存在,1D x ∈唯一的Dx ∈2使得C C x f x f (2)()(21=+为常数）成立，则称函数y=f （x ）在D 上的均值为C ，给出四个函数①y=x 3 ②y=4sinx ③y=lgx ④y=2x ，则在其定义域上均值为2的所有函数是 （ ）A ．①②B ．③④C ．②③D ．①③（文科做）在函数x y x y x y x y y xcos ,sin ,tan ,log ,33=====这5个函数中，满足对“对[0，1]中任意的x 1，x 2，任意的λλλλλ++≤++≥1)()(1)(,02121x f x f x x f 恒成立”的函数个数是（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分13．已知⋅+-=反向，则与非零向量),1,1(的取值范围是 14．（理科做）设S n 表示等差数列{a n }的前n 项和，且S 9=18，S n =240，若a n －4=30（n ＞9）则n= （文科做）不等式0||2<-x x 的解集是15．已知22,05302-+⎩⎨⎧≥+-≤-y x y x y x 则的最大值是16．已知△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，AH 为BC 边上的高，以下结论： ①AB AH BC AB AH ⋅=+⋅)( ②2AH AC AH =⋅③B c AC sin = ④A bc c b cos 2)(22-+=-⋅其中正确的是（写出所有你认为正确的结论的序号）三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
云南省昆明市第一中学2016届高三上学期第四次一轮复习检测数学(理)试题(图片版)
BC 3 ， 由 正 弦 定 理 可 知 圆 O1 的 半 径 r 满 足
2r BC sin BDC
3 2 ，所以 r 1 ，在 OO1 D 中，由勾股 3 2
13 3 2 定 理 求 得 球 O 的 半 径 R 1 ， 所 以 球 O 的 体 积 为 2 2
解析：因为 所以
9.
f ( x) 3 sin( x ) cos( x ) 2sin x
6 k
为偶函数，
6
2
(k Z) ，令 k 0 得
2 ， 3
所以
f ( x) 2sin x
的相邻两偶数项之和为 1 ；当 n 为奇数时 an 2 an 1 ，即数列 an 的奇数项是首项为
1 ，公差为 1 的等差数列，所以 S 20 =5
6.
10 11 60 ，选 A． 2
解 析 ： 由 程 序 框 图 知 ， 当 输 出 k 9 时 , S 0 2 4 16 72 ， 而 上 一 项
S 0 2 4 14 56 ，所以 n 56, 72 ，选 D.
7. 解析：由三视图可知，原几何体是一个圆台被轴截面截得的一半，这个圆台的上底面的 半径是 2 ，下底面的半径为 4 ，高为 2 3 ，母线长为 4 ，其表面积是两个半圆的面积、 圆 台 侧 面 积 的 一 半 和 一 个 轴 截 面 的 面 积 之 和 ， 故 表 面 积 等 于
[来源:学科网
12
ZXXK]
C 合
A
D
所以 B 中所含元素的个数 B 2,3 , 2, 4 , 3, 2 , 3,3 , 3.4 , 4, 2 , 4,3 , 4, 4 ， 为 8 个，选 C． 2. 解析： 语言 类节目和歌舞类节目各有 A3 种排法， 以歌舞类节目开头或语言类节目开头， 有两种排法，所以共有排法数 2 A3 A3 72 种，选 B.
(新课标)云南省昆明市第一中学2020届高三数学第四次一轮复习检测试题理(扫描版)
2020届昆一中高三联考卷第四期理科数学参考答案及评分标准一、选择题1. 解析：{}{}2131A x x x x =-+<=>-，{}{}ln 10e B x x x x =≤=<≤，则{}0e AB x x =<≤，选D.2. 解析：因为3i1i 2iz -==-+，所以z = B. 3. 解析：由图知，前半个月中，空气质量先变好再变差，处于波动状态，A 错误，这20天中的中度污染及以上的天数有5天，B 错误， 10月上旬大部分AQI 指数在100以下，10月中旬大部分AQI 指数在100以上，D 错误，选C ．4. 解析：因为17171711616171717+(181)1818181a a C C a =-+=-+⋅⋅⋅+-+，由已知可得：1a =，选B.5. 解析：因为抛物线C ：24y x =-的焦点为(10)，-，设椭圆E 的方程为22221x y a b+=（0a b >>），所以椭圆E 的半焦距1c =，又因为椭圆的离心率为12，所以2a =，b 所以椭圆E 的方程为22143x y +=，选A ．6. 解析：因为()cos 222sin(2)6f x x x x π=-=-，所以函数()f x 的图象的一条对称轴为3x π=，选C ． 7. 解析：11,2n a ==；2,1n a ==-；3,2n a ==；14,2n a ==；…，a 的值构成以3为周期的数列，因为202036731=⨯+，所以当2020n =时，12a =.选D.8. 解析：设圆锥SO 的轴截面为等腰△SAB ，则球1O 的体积最大时，球1O 的轴截面是△SAB的内切圆，所以11()22SABS AB SO SA SB AB r =⋅=++⋅，解得：32r =，所以球1O 的体积的最大值为92π，选A ． 9. 解析：因为32()n n S a n *=-∈N …①，1n =时，1132S a =-，可得11a =，2n ≥时，1132n n S a --=-…②，①-②得133n n n a a a -=-，132n n a a -=，所以{}n a 是等比数列，11331()()22n n n a --=⨯=. 选B ．10. 解析：由已知得12AF AF ⊥，所以12210F F AO ==，所以5c =，又2a ，所以a =，所以双曲线C 的离心率e ，选C ．11. 解析：当0a <时，函数()f x 的最小值为()f a ，不满足题意，当0a ≥，要是(0)f 是函数()f x 的最小值，只须2min 4()2x a a x++≥+，即242a a +≥+，即12a -≤≤，所以02a ≤≤，选D.12. 解析：因为a b ⊥，所以当c 满足与a b +同向时，a b c ++取得最大值，当1c =，a b c ++的最大值1+，当2c =，a b c ++的最大值当4c =，a b c ++的最大值4所以a b c ++的最大值4+选A.二、填空题13.解析：画出可行域，由图可知目标函数经过点(2,0)A 时取得最大值6.14.解析：因为{}n a 是等差数列，所以2(1)122n n n S n n -=⨯+⨯=，由22(2)20k k +-=解得4k =.15.解析：要满足方程1()()4f x x a a =-+∈R 恰好有三个不等的实根，则直线14y x a =-+与1y x =在0x >相切以上（不含相切）和直线14y x a =-+过点（1,1）以下（不含过该点的直线），当直线14y x a =-+与1y x =相切时，即11+4x a x =-，所以211+4x ax =-,所以=0∆，所以1a =，（1-舍去），当直线14y x a =-+过点（1,1）时，54a =，所以514a <<.16.解析：由题意可得，底面ABCD 的边长为6，在△PCD 中，作PE CD ⊥于E ,通过角平分线的性质，53PC PO CE OE ==,所以38OE PE =,所以38O ABCD P ABCD V V --==.三、解答题 （一）必考题 17.解：（1）由co s 23c o s ()1C A B ++=，可得22cos 3cos 20C C --=，(cos 2)(2cos 1)0C C -+=，因为cos 2C ≠，所以1cos 2C =-，23C π=. ………6分（2）由2222cos c a b ab C =+-，得224a b ab ++=，2242ab a b ab -=+≥，43ab ≤，所以114sin 223S ab C =≤⨯=，当a b ==ABC . ………12分18.解：（1）由题意知甲乘坐超过10站且不超过20站的概率为1111424--=， 乙乘坐超过10站且不超过20站的概率为1111333--=， 设“甲、乙两人付费相同”为事件A ， 则1111()4343P A =⨯+⨯111233+⨯=， 所以甲、乙两人付费相同的概率是13． ………6分（2）由题意可知X 的所有可能取值为：6，9，12，15，18．111(6)4312P X ==⨯=， 11(9)43P X ==⨯111436+⨯=， 111(12)432P X ==⨯+11113433⨯+⨯=， 111(15)432P X ==⨯+1134⨯=， 111(18)236P X ==⨯=． 因此X 的分布列如下：所以X 的数学期望11()69126E X =⨯+⨯11121534+⨯+⨯1511864+⨯=． ………12分19.（1）证明：因为平面ABCD ⊥平面APBQ ，平面APBQ 平面ABCD AB =，四边形ABCD正方形，即BC AB ⊥，BC ⊂平面ABCD ，所以BC ⊥平面APBQ ，又因为AP ⊂平面APBQ ，所以AP BC ⊥， 因为BG ⊥平面APC ，AP ⊂平面PAC ， 所以AP BG ⊥， 因为BCBG B =，,BC BG ⊂平面PBC ，所以AP ⊥平面PBC ， 因为AP ⊂平面PAD ，所以平面PAD ⊥平面PBC ． ………6分 （2）解：111323P ABC C APB V V PA PB BC PA PB --==⋅⋅⋅⋅=⋅⋅，求三棱锥P ABC -体积的最大值，只需求PA PB ⋅的最大值． 令PA m =，PB n =，由（1）知，PA PB ⊥，所以224mn +=，当且仅当m n = 即PA PB ==max22112(2)333P ABC n V m m n -+=≤⋅=， 以AB 中点O 为坐标原点建立空间直角坐标系如图，则 (0,1,0)A -，(0,1,0)B ，(0,1,2)C ，(1,0,0)P设()1,,n x y z =为平面APC 的一个法向量，则11220n AP x y n BP x z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，可取1x =，则()11,1,1n =-，因为四边形APBQ 为平行四边形，APB ∆为等腰直角三角形，所以四边形APBQ 为正方形，取平面BCQ 的一个法向量为()21,1,0n BP ==-， 所以1212126os ,c n n n n n n ⋅〈〉==⋅，所以12,3sin n n 〈〉=， 即平面APC 与平面BCQ . (12)分20.解：（1）设直线l ：2y kx =+，11(,)A x y ，22(,)B x y ，则联立222y kx x py=+⎧⎨=⎩得2240x pkx p --=，则1212=2=4x x pk x x p+⎧⎨-⎩， 所以()()()212121212=22+244y y kx kx k x x k x x ++=++=， 所以1212440OA OB OA OB x x y y p ⊥⇔⋅=+=-+=，1p =，所以抛物线C 的方程为22x y =． ………6分 （2）假设存在满足条件的点()0,M t ,设11(,)A x y ，22(,)B x y , 由（1）知1212=2=4x x kx x +⎧⎨-⎩，若OMA OMB ∠=∠，则0MA MB k k +=，()()()()122112211212121222y t x y t x kx t x kx t x y t y t x x x x x x -+-+-++---+==()()()()121212228222042kx x t x x k t kt kx x +-+-+-+====-，所以存在()0,2M -满足条件．………12分21. 解：（1）11()1x f x x x-'=-=， 当()1,0∈x 时，0)(<'x f ，故)(x f 在()1,0单调递减； 当()+∞∈,1x 时，0)(>'x f ，)(x f 在()+∞,1单调递增；故()(1)1f x f ≥=，故)(x f 的最小值为1. ………4分 （2）由（1）可得，1ln )(≥-=x x x f 即1ln -≤x x ，所以对任意k ∈N*，有222114422ln 14(21)(21)2121k kk k k k k ⎛⎫+≤=<=- ⎪-+-+⎝⎭，则222111222222ln 1ln 1ln 12335572121n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++<-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L L ， 即222111222ln 1ln 1ln 1233213n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++<-< ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭L ，因为2e 8<所以2<ln23，所以222111l n 111l n 223n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⨯+⨯⨯+< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L ，所以222111111223n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⨯+⨯⨯+< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L ． 又因为2222111111111232n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⨯+⨯⨯+≥+> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L ，故对任意正整数n ，22211111123m n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⨯+⨯⨯+< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L 的整数m 的最小值为2．………12分（二）选考题：第22、23题中任选一题做答。
云南省昆明一中高三上学期第四次月考(理)试卷
云南省昆明一中高三上学期第四次月考（理）试卷语文9.7本试卷，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1.下列各句，没有语病，句意明确的一句是A．现在，许多青年男女不再以财产多寡和门第高低为条件，而以能劳动，有科学文化知识为标准去选择自己的伴侣。
B．这个村今年水稻获得了大丰收，不但向国家交售了六万斤谷子，而且不吃国家的供应粮了。
C.厂长采纳了两个工人的合理化建议，这大大激发了全厂职工出谋献策的积极性。
D．鉴于动物有上述特点，我们可以预测，随着信息时代的到来，科学技术的不断发展，在未来的战争舞台上，将有越来越多的“动物兵”出现。
2. 下面句子中没有语病的、句意明确的一句是（）A．德国布菜希特创立的“叙事剧”与俄国的斯坦尼斯拉夫斯基、中国梅兰芳的京剧“梅派”表演艺术并称世界三大戏剧体系。
B．想一想克隆技术的滥用可能造成的灾难，我们应该记起老子与庄子这两位伟大哲人早就表达过的理念：人类必须有所不为。
C．翻遍赫赫有名的《四库全书》，人们发现为什么大量脍炙人口的戏曲、小说竟然没有一席之地。
D．哲学来自于人类的社会生活实践，它涉及到人类如何认识世界，如何改造世界，如何在认识和改造客观世界的过程中了解自身。
3.下列各组词语中没有错别字的一组是A.权力国家权利启示征文启事B．厉害利害攸关常年常年累月C．处事立身处世暴发爆发战争D.事物事务繁忙修养修养生息4.下列词语中加点的字的读音，全都不相同的一组是A. 奢靡风靡靡靡之音靡费B．困难责难难民难题C. 暖和和面一唱一和和稀泥D. 炮制炮烙炮羊肉炮火5.下列各组词语中加点的字的读音，与所给注音全都相同的一组是:A．号háo 号叫号丧号哭号淘大哭B．强qiáng 强制强迫强化强词夺理C．贴tiè字贴碑贴面贴俯首贴耳D．累lěi 累计连累累赘危若累卵6. 线上与上文衔接的句子①－⑥，排列最恰当的一项是在蒸汽机出现之前,必须解决许多技术问题和科学知识问题,如__________ 机械转动装置的知识等等。
云南省昆一中2019届高三第四次月考 数学理
云南省昆一中2019届高三第四次月考数学理试题( 时间： 120分钟 满分：150分 )目要求的.1．已知集合{}2log (1)0S x x =+>，202x T xx ⎧-⎫=<⎨⎬+⎩⎭，则S T 等于（ ） （A ）()0,2 （B ）()1,2- （C ）()1,-+∞ （D ）()2,+∞2．若(),,,11R b a bi a i i ∈+=+-则ab的值是 （ ） （A ）1 （B ）0 （C ）1- （D ）2-3．下列四个函数①31y x =+；②sin3y x =；③2y x x=+；④2x x e e y --=中，奇函数的个数是（ ）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 4．等差数列{}n a 的公差为2，若134,,a a a 成等比数列，则2a =（ ） （A ）6- （B ）8- （C ）8 （D ）65．某校要从高一、高二、高三共2019名学生中选取50名组成访问团，若采用下面的方法选取：先用分层抽样的方法从2019人中剔除10人，剩下的2000人再按简单随机抽样的方法进行，则每人入选的概率（ ）（A ）不全相等 （B ）均不相等 （C ）都相等且为2015 （D ）都相等且为1406．已知m 、n 是两条不重合的直线，αβγ、、是三个两两不重合的平面，则下列四个命题中真命题是（ ）（A ）若//,,m n αβαγβγ==，则//m n （B ）若//,//m m n α，则//n α（C ）若//,//m n αα，则//m n （D ）若,,//m n m n αβ⊂⊂，则//αβ 7．已知直线x y a +=与圆224x y +=交于A 、B 两点，O 是坐标原点，向量OA 、OB 满足||||OA OB OA OB +=-，则实数a 的值是（ ）（A ）2 （B ）2- （C ）6或6- （D ）2或2- 8．偶函数()x f 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上的解析式为x y 2sin =，且4π-=x 是()x f 的一条对称轴，则()x f 的最小正周期、最小值分别是（ ） （A ）0,π （B ）1,2-π（C ）0,2π（D ）1,-π9．()()4611x x +-的展开式中的系数是（ ）（A ）4- （B ）3- （C ）3 （D ）410．已知1(1)(0)()2(0)x a x a x f x a x ⎧-++<⎪=⎨⎪≥⎩是(,)-∞+∞上的减函数，那么实数a 的取值范围是（ ） （A ）(0,1) （B ）1(0,]2 （C ）12[,]23 （D ）1[,1)211．将5名同学分配到A 、B 、C 三个宿舍中，每个宿舍至少安排1名学生，其中甲同学不能分配到A 宿舍，那么不同的分配方案有（ ）（A ）76 （B ）100 （C ）132 （D ）15012．已知1F 、2F 分别是双曲线221(0)x my m -=>的左、右焦点，P 为双曲线左支上任意一点，若221||||PF PF的最小值为8，则双曲线的离心率的取值范围为（ ）（A ）(1,3] （B ）(0,3] （C ）(1,2] （D ）(1,)+∞ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案直接答在答题卡上.13．已知实数x 、y 满足：101010x x y x y -≤⎧⎪-+≥⎨⎪+-≥⎩，则22y x z +=的最小值是 .14．抛物线24y x =上的点M 到焦点F 的距离为4，则点M 的横坐标是 .15．求值()=⎪⎭⎫⎝⎛-+-⎪⎭⎫ ⎝⎛--21arcsin 3arctan 21arccos 23arcsin.16．若球O 的表面积为π16，边长为2的正三角形ABC 的三个顶点在球O 的表面上，则球心O 到平面ABC 的距离为 .三、解答题：本大题共6小题，共70分。
云南省昆明市第一中学高三上学期第四次一轮复习检测—
昆明市第一中学2016届高三第四次月考参考答案（理科数学）命题、审题组教师一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
1. 解析：列举法得满足条件的集合，所以中所含元素的个数为8个，选C ．2. 解析：语言类节目和歌舞类节目各有种排法，以歌舞类节目开头或语言类节目开头，有两种排法，所以共有排法数种，选B.3. 解析：由得：，所以1311i i i i 22222z -=-+-=-+=，选D ． 4. 解析：过作，垂足为，连接.根据垂径定理得为中点，在中，，，.因为，所以，，选5. 解析：因为，所以当为偶数时，即数列的相邻两偶数项之和为；当为奇数时，即数列的奇数项是首项为，公差为的等差数列，所以，选A ．6. 解析：由程序框图知，当输出时,0241672S =++++=L ，而上一项0241456S =++++=L ，所以，选D.7. 解析：由三视图可知，原几何体是一个圆台被轴截面截得的一半，这个圆台的上底面的半径是，下底面的半径为，高为，母线长为，其表面积是两个半圆的面积、圆台侧面积的一半和一个轴截面的面积之和，故表面积等于()()22111124244482222πππ⨯+⨯++⨯++⨯ B. 8. 解析：连接，由三角形法则得=(+)()MA MB MO OA MO OA ⋅⋅-u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r ，因为的最小值为，的最大值为，所以的最小值为，选A ．9. 解析：因为())cos()2sin 6f x x x x πωϕωϕωϕ⎛⎫ ⎪⎝⎭=+-+=+-为偶函数， 所以()62k k ππϕπ-=+∈Z ，令得， 所以2()2sin 2cos 36f x x x ππωω⎛⎫ ⎪⎝⎭=+-=，由题意可知的最小正周期是， 得，所以，()2cos 263x g f x x ππ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-=-， 由222()3k x k k ππππ≤-≤+∈Z 得2()63k x k k ππππ+≤≤+∈Z ，所以函数的单调递(2,63k k kππππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦++10.当1122131()()322f x x x-'=-+≤（当且仅当取等号），即，因为，所以，选C.11.解析：如图，设过，，，四点的球的球心为，连接并延长交球面于点, 设的外接圆圆心为，连接，则平面，由条件知平面，且，所以，，由正弦定理可知圆的半径满足22==，所以，在中，由勾股定理求得球的半径2R==，所以球的体积为34326π⎛⎫⨯=⎪⎪⎝⎭，选A．12.解析：因为为偶函数，所以的图像关于轴对称，故的图像关于直线对称，所以.不等式即, 令，所以()ln2()()02xf x f xg x'-⋅'=<故为减函数，由()()1(0)2xf xg x g=>=得，选D.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
云南省昆明市第一中学2017届新课标高三月考卷(四)理数试题 含答案
数学（理）试题第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合*2{|560}A x Nx x =∈--<,集合{|36}B x x =≤≤,则A B =（ ）A ．{1,2,3,4,5}B ．{3,4,5}C ．{3,4,5,6}D ．{1,2,3,4,5,6} 2.已知复数51i z i-=-,则z 的虚部为（ ）A ．2iB ．3iC ． 2D ．3 3。
向量13(,22b =，12a b •=,则向量a 在向量b 方向上的投影为（)A ．12B ．32C ．1D 34.在ABC ∆中,三边,,a b c 与面积S 的关系式为2223()12S b c a =+-，则角A 等于( )A ． 2π B ．3π C 。
4π D ．6π5.将一颗骰子掷两次，则第二次出现的点数是第一次出现的点数的3倍的概率为（ ） A ．118B ．112C 。
16D ．136.执行如图所示的程序框图,如果输入6,2a b ==,则输出的S =（ ）A ． 30B ． 120C 。
360D ．7207.若一个圆柱的正视图与其侧面展开图是相似矩形,则这个圆柱的全面积与侧面积之比为（ ） A ．1π+B ．11π+C 。
112π+D ．112π+8。
设曲线22xy =与过原点的直线相交于点M ,若直线OM 的倾斜角为θ，则线段OM 与曲线围成的封闭图形的面积()S θ的图象大致是（ ）9.已知抛物线2:4C yx =的焦点为F,过点F 且倾斜角为3π的直线与抛物线C 相交于,P Q 两点，则弦PQ 的长为（ ）A ． 3B ． 4C 。
5D ．16310.设实数,x y 满足约束条件21021050x y x y x y --≥⎧⎪-+≤⎨⎪+-≤⎩，则当(0,0)z ax by a b =+>>取得最小值2时,则11ab+的最小值是( ）A ．526+ B ．526+ C. 12D ．211.3锥的体积最大时，它的高为（ ） A 3 B 3 C 。
云南省昆明市第一中学高三数学月考试题(四)理(扫描版)
（新课标）云南省昆明市第一中学2017届高三数学月考试题（四）理（扫描版）昆明市第一中学2017届第四期月考参考答案（理科数学）命题、审题组教师 杨昆华 顾先成 刘皖明 易孝荣 李文清 张宇甜 莫利琴 蔺书琴一、选择题 51. 解析：集合{1,2,3,4,5}A =，集合{}|36B x x =≤≤，所以A B ={}3,4,5，选B ．2. 解析：5i1iz -==-32i +，z 的虚部为2，选C ． 3. 解析：由定义，向量a 在向量b 上的投影为1cos ,2a ba ab b ⋅⋅==．所以，选A ． 4. 解析：依题意得1sin 2cos 2bc A bc A ，所以tan A ，故角A 为6π，选D ． 5. 解析：一颗骰子掷两次，共有36种情况．满足条件的情况有()1,3，()2,6，共2种，所求的概率213618P ==，选A ． 6. 解析:由框图知，1654120S =⨯⨯⨯=，选B ． 7. 解析：设圆柱的底面半径为r ，高为h ，则22r hh rπ=，即2h =所以=24S r h r ππ⋅=侧242S rr ππ=全，则1S S ==全侧，选D ．8. 解析：当倾斜角θ从02π→时，阴影部分的面积()S θ从0→+∞，而θ从2ππ→时，阴影部分的面积()S θ从0+∞→，选C ．9. 解析：直线PQ 的方程是)1y x =-，把)1y x =-代入抛物线24y x =消y 得231030x x -+=，设Q （1x ，1y ），P （2x ，2y ），则12103x x +=， 所以PQ =12x x +p +1023=+163=，或者直接用公式PQ =22163sin 3p π=，选D ．10. 解析：画出可行域如图，可知z 在(1,1)H 处取得最小值，故2a b +=，11111()(11)1222a b b a a b a b a b ++=+⋅=+++≥+=，11a b+的最小值是2，选D ．11. 解析：如图，三棱锥P ABC -中，设底面边长为a，则高h =．所以它的体积21133ABC V S h ∆=⋅==649y a a =-+(0)a >，令2t a =(0)t >则329y t t =-+，23183(6)y t t t t '=-+=--，所以函数y 在()0,6上单调递增，在()6,+∞上单调递减，所以当6t =时y 最大，V 也最大，此时1h ==，选C ．12. 解析：设11(,)M x y ，22(,)N x y 分别是曲线(),()f x g x 上的点，所以过,M N 的切线的斜率为11112k x x =+，22x k e a =-，由已知可得12k k =，即21112x x e a x +=-对10x ∀>有解．而1112x x +≥2()x h x e a =-最小值min ()h x ≤a -<a >-C ． 二、填空题13. 解析：因为()f x 是奇函数，由(0,1)x ∈时，2()1f x x =-，当(1,0)x ∈-时，2()1f x x =-+，所以01()2f x =时，所以0x =．14. 解析：由()()()()cos cos sin sin 2sin sin f x x x x θθθθθθ=+-+++()()()cos cos sin sin cos cos x x x x θθθθθθ=+++=+-=，得函数()f x 的最小值为1-．15. 解析：()5511x x =+-⎡⎤⎣⎦，由二项式定理515(1)(1)r r r r T C x -+=+-，故411445(1)(1)(1)a x C x +=-+，所以1145(1)5a C =-=-． 16. 解析：设()1,0A -，()1,0B ，(,)C x y ，则由2AC BC =化简得2251639x y 骣÷ç-+=÷ç÷ç桫，所以C 点轨迹为以5,03骣÷ç÷ç÷ç桫为圆心，以43为半径的圆，所以ABC S D 最大值为1442233创=，所以三角形ABC 面积的最大值为43．三、解答题17. （Ⅰ）证明：因为()1231n n n a a a a a n a n *-∈+++⋅⋅⋅++=-N ，所以()123111n n n a a a a a n a n *++∈+++⋅⋅⋅++=+-N ，两式相减得111n n n a a a ++=-+，即121n n a a +=+， 所以1221n n a a +-=-，所以 ()11112n n a a +-=-； 又因为112a =，所以1112a -=-，故数列{1}n a -是以12-为首项，公比为12的等比数列． ………5分 （Ⅱ）解：由（Ⅰ）知112n n a -=-，所以()12n nnn a -=， 令()2nn f n =， 则1111(1)()222n n n n n n f n f n +++-++-=-=， 所以当2n ≥时，(1)()0f n f n +-<， 故()y f n =为减函数； 而1(1)(2)2f f ==, 因为()1n n a t -≤恒成立, 所以12t ≥. 所以实数t 的取值范围为1 ,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭． ………12分 18. 解：（Ⅰ）证明：连接FG ，因为BF ⊥平面ACE ，CE ⊂平面ACE ，所以BF CE ⊥．又因为EB BC =，所以F 为EC 的中点，而矩形ABCD 中，G 为AC 的中点，所以//FG AE ，又因为AE ⊄平面BFD ，FG ⊂平面BFD ，所以//AE 平面BFD ． ………5分（Ⅱ）因为DA ⊥平面ABE ，//BC DA ，所以BC ⊥平面ABE ，所以BC AE ⊥． 又因为BF ⊥平面ACE ，AE ⊂平面ACE ，所以BF AE ⊥．而BC BF B =，所以AE ⊥平面BCE ，所以AE BE ⊥． 又因为2AE EB ==，所以AB =以A 为原点建立如图所示的空间直角坐标系，由题意得(0,0,0)A，E ，(0,0,2)D，C，所以(2,AE=，AC =设平面ACE 的一个法向量为(,,)n x y z =，由0,0,n AE n AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得0,20,z =+=⎪⎩ 令1x =，得(1,n =-，又因为(2,2)DE =-，设直线DE 与平面ACE 所成的角为α，则21sin cos ,2n DE n DE n DEα⋅=<>===⋅，所以6πα=， 故直线DE 与平面ACE 所成的角为6π． ………12分 19. 解析：（Ⅰ）记“恰有三人是以每件200元的价格购买”为事件B ，则()31624847C C P B C ⋅==． ………5分（Ⅱ）设商场销售A 商品获得的平均利润为X （单位：元）依题意，将频率视为概率，要使每天购进A 商品时所获得的平均利润最大，则每天应购进的件数可能为6件或7件或8件． ………6分当购进A 商品6件时，()6100600E X =⨯=（元） ………7分当购进A 商品7件时，()()4610064010076441010E X =⨯-⨯+⨯⨯=（元） ………9分当购进A 商品8 件时，()()()40352510062401007401008639100100100E X =⨯-⨯⨯+⨯-⨯+⨯⨯=（元）………11分所以商场每天购进7件A 商品时所获得的平均利润最大．………12分20. 解：（Ⅰ）由题设知12= ① 又226a c += ②由①、②得2a =，1c =，所以b =E 的方程是22143x y += ……… 4分（Ⅱ）设1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，不妨设10y >， 20y <，设2FM N ∆的半径为R ，则2FM N∆的周长是48a =，2221()42F MN S MN F M F N R R ∆=++=，因此2F MN S ∆最大，R 就最大，而2F MN S ∆1212121()2F F y y y y =-=-， ………7分由题设知直线l 的斜率不为0，可设直线l 的方程为1x my =-，代入椭圆方程22143x y +=消x 得到22(34)690m y my +--=，由韦达定理知122634m y y m +=+，122934y y m =-+， 所以12y y-=，因此2F MNS∆=，令t=，则1t ≥，2F MN S ∆1213t t=+，设1()3f t t t=+，因为21`()30f t t=->，所以()f t 在[)1,+∞上单调递增，所以()(1)4f t f ≥=，所以2F M N S ∆1234≤=，当1t =，即0m =时43R =，所以m a x 34R =．………12分 21. 解: (Ⅰ) 因为212()2e 2x f x x a -'=-+，由已知得1()02f '=，即:1101a-=+， 所以0a =，………1分所以21()ln 2e x f x x -=-，函数()f x 的定义域为(0,)+∞， 211()2e x f x x-'=- ，………2分由于()f x ' 在(0,)+∞上为减函数，而1()02f '=，所以当1(0,)2x ∈时，()0f x '>；当1(,)2x ∈+∞时，()0f x '<，所以()f x 的单调递增区间为1(0,)2，单调递减区间为1(,)2+∞．5分(Ⅱ) 由于1a ≤，所以ln(2)ln(21)x a x +≤+，所以21()ln(21)e x f x x -≤+-， ………6分令()ln(21)2g x x x =+-（12x >-），则24()22121x g x x x -'=-=++，所以，当102x -<<时，()0g x '>，当0x >时，()0g x '<，所以()g x 在1(,0)2-增函数，在(0,)+∞上为减函数，所以()(0)0g x g ≤=（0x =时取“=”），即: ln(21)2x x +≤ ………8分 令21()e 2x h x x -=-，则21()2(e 1)x h x -'=-，所以，当12x >时，()0h x '>，当1122x -<<时，()0h x '<，所以()h x 在11(,)22-上为减函数，在1(,)2+∞上为增函数，所以1()()02h x h ≥=（12x =时取“=”），即：21e 2x x -≥ (10)分所以，对任意12x >-，21ln(21)e 0x x -+-<，因此，当1a ≤时，对任意2a x >-，21ln(2)e 0x x a -+-<，所以x 的取值范围为(,)2a-+∞ ………12分 第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．解：(Ⅰ) :sin 4C πρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，得22cos 2sin a a ρρθρθ=+，因为2222x y ax ay +=+，即()()222:2C x a y a a -+-=， ()1,P π的直角坐标为()1,0P -所以l：)1y x =+． ………5分（Ⅱ）将直线l的参数方程112x t y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入2222x y ax ay +=+，得212t t at a -+=-，即2(1)120t a t a -+++=，所以由一元二次方程根与系数的关系得：121t t a +=++，1212t t a ⋅=+，1215PM PN t t a +=+=++=解得2a =，此时2(1)4(12)0a a ⎡⎤∆=-++-+>⎣⎦，且0a >． ………10分23．解：1414()a b a b a b 骣÷ç+=++÷ç÷ç桫45b a a b=++59?．当且仅当223b a ==时，等号成立， 即当且仅当13a =，23b =时，14a b+有最小值9； ………5分（Ⅱ）证法一：证明：因为a 、b 、c 为正实数，且a b c m ++=，由柯西不等式得2222()()()a b c b c a a b c b c a++++?+， 化简可得222()a b c a b c b c a ++?+． 即222a b c m b c a ++?，当且仅当3m a b c ===时取等号． ………10分证法二：证明：因为a 、b 、c 为正实数，且a b c m ++=， 所以222222()()()()a b c a b c b c a b c a b c a b c a +++++=+++++，≥2()a b c ++， 所以222()a b c a b c b c a ++?+， 当且仅当3ma b c ===时取等号．………10分。
云南省昆明一中高三年级第四次月考(09.01)-数学(理)
云南省昆明一中2009届高三年级第四次月考数学试题（理科）（时间：120分钟，满分：150分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的） 1．已知集合N M a N M 若},1,0{},1,1{+=-=={1}，则满足条件的所有实数a 构成的集合是（ ）A ．{—1}B ．{0}C ．{0，—1}D ．{0，—1，1} 2．在复平面内，i 为虚数单位，复数ii-1对应的点位于（ ）A ．第 一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 3．已知函数x x y cos sin -=，当函数取最大值时，=x tan（ ） A ．1 B ．—1 C ．22 D ．－22 4． 关于x 的不等式02),,1(0>-++∞>-x bax x b ax 的不等式则关于的解集是的解集是（ ）A ．),2()1,(+∞--∞B ．（—1，2）C ．（1，2）D ．),2()1,(+∞-∞5．等差数列}{n a 中，若151210864,120S a a a a a 则=++++的值为 （ ）A ．360B ．300C ．240D ．180 6．已知函数=-=+-=)(,)(,11lg )(a f b a f xxx f 则若 （ ）A ．bB ．－bC ．b1D ．－b1 7．函数]),0[(26sin 2ππ∈⎪⎭⎫⎝⎛-=x x y 的单调递增区间是（ ）A ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡3,0π B ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡127,12ππ C ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡65,3ππ D ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡ππ,65 8．已知向量与的夹角为120°，若向量c b a c b a c 与则且,,⊥+=的夹角为（ ）A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°9．设α、β、γ为平面，m 、n 、l 为直线，则β⊥m 的一个充分条件是 （ ）A ．l m l ⊥=⊥,,βαβαB ．γβγαγα⊥⊥=,,lC ．αγβγα⊥⊥⊥m ,,D ．αβα⊥⊥⊥m n n ,,10．若直线4)(222=+-=-y a x y x 被圆所截得的弦长为22，则实数a 的值为（ ）A ．31或-B ．1或3C ．－2或6D ．0或411．将4名教师分配到3所学校任教，每所学校至少1名，则不同的分配方案共有（ ） A ．12种 B ．24种 C ．36种 D ．48种 12．已知函数)(,1)(,12)(2x F x x g x f x 构造函数-=-=，定义如下：当)(|)(|x g x f ≥时，)(),()(,)(|)(||;)(|)(x F x g x F x g x f x f x F 那么时当-=<=（ ）A 有最大值1，无最小值B ．有最小值0，无最大值C ．有最小值—1，无最大值D ．无最小值，也无最大值 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13．已知正数y x y x y x y x )21()41(,05302,⋅⎩⎨⎧≥+-≤-则满足的最大值为 .14．321⎪⎭⎫⎝⎛-+x x 的展开式中不含x 的项为 .15． 一个三棱锥三条侧棱两两垂直，其长分别为3，4，5，则它的外接球的表面积为 .16．将圆)1,1(122-==+y x 按向量平移后，恰好与直线0=+-b y x 相切，则实数b 的值为 .三、解答题（本大题共6小题，共70分。