函数的基本性质(考点加经典例题分析)
高一数学函数的基本性质试题答案及解析
高一数学函数的基本性质试题答案及解析1.若函数是偶函数,则的增区间是．【答案】或【解析】由条件，得，即，所以原函数为，所以函数的增区间为．【考点】函数的奇偶性与单调性．2.（12分）已知是定义在R上的奇函数，当时，，其中且. （1）求的值；（2）求的解析式；【答案】（1）0（2）【解析】（1）因是奇函数，所以有，所以=0.……4分（2）当时，，，由是奇函数有，，……12分【考点】本小题主要考查利用函数的奇偶性求函数值和函数解析式的求取，考查学生对函数性质的应用能力.点评：对于分段函数，当已知一段函数的表达式要求另一段时，要利用函数的性质，并且要注意“求谁设谁”的原则.3.已知函数是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，且对任意实数都有，则的值是A．B．C．D．【答案】A【解析】令，可得，令，得所以，令，得，同理令可得，所以【考点】本小题主要考查函数的奇偶性和抽象函数的求值问题，考查学生的运算求解能力.点评：解决抽象函数问题，常用的方法是“赋值法”.4.已知函数的定义域为，为奇函数，当时，，则当时，的递减区间是．【答案】【解析】因为为奇函数，所以的图象关于对称，当时，，所以当时，函数的单调递减区间为，因为图象关于对称，所以当时，的递减区间是.【考点】本小题主要考查函数图象和性质的应用，考查学生数形结合思想的应用和推理能力.点评：解决本小题的关键是分析出函数的图象关于对称，在关于对称的两个区间上单调性相同.5.（本小题12分）已知函数，（1）判断函数在区间上的单调性；（2）求函数在区间是区间［2,6］上的最大值和最小值.【答案】（1）函数是区间上的减函数；（2），【解析】（1）设是区间上的任意两个实数,且,则-==.由得,,于是,即.所以函数是区间上的减函数. ……6分（2）由（1）知函数函数在区间的两个端点上分别取得最大值与最小值,即当时,;当时,. ……12分【考点】本小题主要考查利用定义判断函数的单调性和利用函数的单调性求函数的最值，考查学生对定义的掌握和利用能力以及数形结合思想的应用.点评：利用单调性的定义判断或证明函数的单调性时，要把结果划到最简，尽量不要用已知函数的单调性判断未知函数的单调性.6.设偶函数的定义域为，当时是增函数，则的大小关系是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为是偶函数，所以，而当时是增函数，所以.【考点】本小题主要考查函数奇偶性和单调性的综合应用，考查学生的逻辑推理能力.点评：函数的奇偶性和单调性经常结合考查，要熟练准确应用.7.已知是偶函数，且当时，，则当时，【答案】【解析】由题意知，当时，，所以，又因为是偶函数，所以，所以当时，.【考点】本小题主要考查利用函数的奇偶性求函数的解析式，考查学生的运算求解能力.点评：此类问题要注意求谁设谁.8.（本小题满分13分）已知定义域为的函数是奇函数。
函数的基本性质(考点加经典例题分析)
函数的基本性质函数的三个基本性质：单调性，奇偶性，周期性一、单调性1、定义：对于函数)(x f y =，对于定义域内的自变量的任意两个值21,x x ，当21x x <时，都有))()()(()(2121x f x f x f x f ><或，那么就说函数)(x f y =在这个区间上是增（或减）函数。
2、图像特点：在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的。
（提示：判断函数单调性一般都使用图像法，尤其是分段函数的单调性。
） 3．二次函数的单调性：对函数c bx ax x f ++=2)()0(≠a ，当0>a 时函数)(x f 在对称轴a bx 2-=的左侧单调减小，右侧单调增加； 当0<a 时函数)(x f 在对称轴abx 2-=的左侧单调增加，右侧单调减小；例1：讨论函数322+-=ax x f(x)在(-2,2)内的单调性。
4．证明方法和步骤：1、设元：设21,x x 是给定区间上任意两个值，且21x x <；2、作差：)()(21x f x f -；3、变形：（如因式分解、配方等）；4、定号：即0)()(0)()(2121<->-x f x f x f x f 或；5、根据定义下结论。
例2、判断函数12)(-+=x x x f 在)0,(-∞上的单调性并加以证明.5．复合函数的单调性：复合函数))((x g f y =在区间),(b a 具有单调性的规律见下表：以上规律还可总结为：“同向得增，异向得减”或“同增异减”。
例3：函数322-+=x x y 的单调减区间是 （ ）A.]3,(--∞B.),1[+∞-C.]1,(--∞D.),1[+∞ 6．函数的单调性的应用：判断函数)(x f y =的单调性；比较大小；解不等式；求最值（值域）。
例4：求函数12-=x y 在区间]6,2[上的最大值和最小值.二、奇偶性1．定义：如果对于f(x)定义域内的任意一个x,都有)()(x f x f =-，那么函数f(x)就叫偶函数；（等价于：0)()()()(=--⇔=-x f x f x f x f ）如果对于f(x)定义域内的任意一个x,都有)()(x f x f -=-，那么函数f(x)就叫奇函数。
高常考题—函数的性质(含解析)
函数的性质一、题型选讲题型一 、 函数的奇偶性正确理解奇函数和偶函数的定义，必须把握好两个问题：(1)定义域在数轴上关于原点对称是函数f (x )为奇函数或偶函数的必要非充分条件；(2)f (－x )＝－f (x )或f (－x )＝f (x )是定义域上的恒等式.奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称，反之也成立.利用这一性质可简化一些函数图象的画法，也可以利用它去判断函数的奇偶性.填空题，可用特殊值法解答，但取特值时，要注意函数的定义域．例1、（2020届山东省枣庄、滕州市高三上期末）函数()y f x =是R 上的奇函数，当0x <时，()2xf x =，则当0x >时，()f x =（ ） A ．2x - B ．2x - C ．2x --D ．2x例2、（2020·山东省淄博实验中学高三上期末）已知定义在[]5,12m m --上的奇函数()f x ，满足0x >时，()21x f x =-，则()f m 的值为（ ）A ．-15B ．-7C ．3D ．15例3、（2020届浙江省台州市温岭中学3月模拟）若函数()2ln 1f x a x ⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭是奇函数，则使()1f x <的x 的取值范围为（ ） A ．11,1e e -⎛⎫- ⎪+⎝⎭B ．10,1e e -⎛⎫⎪+⎝⎭C ．1,11e e -⎛⎫⎪+⎝⎭D ．11,(1,)1e e -⎛⎫-⋃+∞ ⎪+⎝⎭例4、【2018年高考全国Ⅰ卷理数】设函数()()321f x x a x ax =+-+，若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点()0,0处的切线方程为 A ．2y x =- B ．y x =- C ．2y x = D ．y x =题型二、函数的单调性已知函数的单调性确定参数的值或范围要注意以下两点：①若函数在区间[a ，b ]上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的；②分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值.对于复合函数y ＝f [g (x )]，若t ＝g (x )在区间(a ，b )上是单调函数，且y ＝f (t )在区间(g (a )，g (b ))或者(g (b )，g (a ))上是单调函数，若t ＝g (x )与y ＝f (t )的单调性相同(同时为增或减)，则y ＝f [g (x )]为增函数；若t ＝g (x )与y ＝f (t )的单调性相反，则y ＝f [g (x )]为减函数.简称：同增异减.例5、（江苏省如皋市2019-2020学年高三上学期10月调研）已知函数22,1()1,1ax x x f x ax x ⎧+≤=⎨-+>⎩在R 上为单调増函数，则实数a 的取值范围为________．例6、函数()()212log 4f x x =-的单调递增区间是例7、（2020届山东师范大学附中高三月考）已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当12x x ≠时，有1212[()()]()0f x f x x x --<恒成立，若(31)(2)0f x f ++>，则x 的取值范围是________．题型三、 函数的周期性1、若()f x 是一个周期函数，则()()f x T f x +=，那么()()()2f x T f x T f x +=+=，即2T 也是()f x 的一个周期，进而可得：()kT k Z ∈也是()f x 的一个周期2、函数周期性的判定：（1）()()f x a f x b +=+：可得()f x 为周期函数，其周期T b a =- （2）()()()f x a f x f x +=-⇒的周期2T a = （3）()()()1f x a f x f x +=⇒的周期2T a = （4）()()f x f x a k ++=（k 为常数）()f x ⇒的周期2T a = （5）()()f x f x a k ⋅+=（k 为常数）()f x ⇒的周期2T a =例8、(2019通州、海门、启东期末）已知函数f(x)的周期为4，且当x ∈(0，4]时，f(x)＝⎩⎨⎧cos πx 2，0<x≤2，log 2⎝⎛⎭⎫x －32，2<x≤4.则f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫12的值为________．例9、(2017南京三模）已知函数f (x )是定义在R 上且周期为4的偶函数． 当x ∈[2，4]时，f (x )＝|log 4(x －32)|，则f (12)的值为 ▲ ．题型四 函数的对称性函数的对称性要注意一下三点：（1）()()f a x f a x -=+⇔()f x 关于x a =轴对称（当0a =时，恰好就是偶函数）（2）()()()f a x f b x f x -=+⇔关于2a bx +=轴对称 （3）()f x a +是偶函数，则()()f x a f x a +=-+，进而可得到：()f x 关于x a =轴对称。
函数的基本性质
函数的基本性质(函数的单调性、奇偶性、周期性)一、函数单调性 1、可以从三个方面理解（1）图形刻画：对于给定区间上的函数()f x ，函数图象如从左向右连续上升，则称函数在该区间上单调递增；函数图象如从左向右连续下降，则称函数在该区间上单调递减。
（2）定性刻画：对于给定区间上的函数()f x ，如函数值随自变量的增大而增大，则称函数在该区间上单调递增；如函数值随自变量的增大而减小，则称函数在该区间上单调递减。
（3）定量刻画，即定义。
2、判断增函数、减函数的方法：①定义法：一般地，对于给定区间上的函数()f x ，如果对于属于这个区间的任意两个自变量的值1x 、2x ，当21x x <时，都有()()21x f x f <〔或都有()()21x f x f >〕，那么就说()f x 在这个区间上是增函数（或减函数）。
与之相等价的定义： ⑴()()02121>--x x x f x f ，〔或都有()()02121<--x x x f x f 〕则说()f x 在这个区间上是增函数（或减函数）。
其几何意义为：增（减）函数图象上的任意两点()()()()2211,,,x f x x f x 连线的斜率都大于（或小于）0。
⑵()()()[]02121>--x f x f x x ，〔或都有()()()[]02121<--x f x f x x 〕则说()f x 在这个区间上是增函数（或减函数）。
②导数法：一般地，对于给定区间上的函数()f x ，如果()0`>x f 那么就说()f x 在这个区间上是增函数；如果()0`<x f 那么就说()f x 在这个区间上是减函数；如果函数()x f y =在某个区间上是增函数（或减函数），就说()f x 在这一区间上具有（严格的）单调性，这一区间叫做()f x 的单调区间。
如函数是增函数则称区间为增区间，如函数为减函数则称区间为减区间。
高一函数知识点总结及例题
高一函数知识点总结及例题高一函数知识点总结及例题：1. 函数的定义与性质：- 函数的定义：函数是一种对应关系，每个自变量对应唯一的因变量。
- 定义域和值域：函数的定义域是自变量的取值范围，值域是函数的所有可能的因变量值的集合。
- 奇偶性：奇函数的图像以原点对称，即满足$f(-x)=-f(x)$；偶函数的图像以y轴对称，即满足$f(-x)=f(x)$。
- 单调性：递增函数的图像从左到右逐渐升高；递减函数的图像从左到右逐渐降低。
例题：给定函数$f(x)=2x^2+3x-1$，求其定义域和值域。
解答：由于函数是多项式函数，所以定义域为全体实数。
接下来求值域，可以求出函数的导函数$f'(x)=4x+3$，根据导函数的单调性可以判断函数的增减性。
导函数的系数为正数4，所以原函数是递增函数。
考虑到函数是二次函数，开口向上，所以函数的最小值就是导数的零点，即$x=-\frac{3}{4}$。
将$x=-\frac{3}{4}$代入函数中，得到最小值为$f(-\frac{3}{4}) = -\frac{7}{8}$。
所以值域为$[-\frac{7}{8},+\infty)$。
2. 基本初等函数：- 线性函数：$f(x)=kx+b$，k为斜率，b为截距。
- 幂函数：$f(x)=x^a$，a为常数，当a>0时，函数递增；当a<0时，函数递减。
- 指数函数：$f(x)=a^x$，a为常数，a>1时，函数递增；0<a<1时，函数递减。
- 对数函数：$f(x)=\log_a x$，a为常数，a>1时，函数递增；0<a<1时，函数递减。
- 三角函数：正弦函数、余弦函数、正切函数等。
例题：已知函数$f(x)=2^x-3$，求解方程$f(x)=0$的解。
解答：将$f(x)$置0得到方程$2^x-3=0$，移项得$2^x=3$。
由指数函数的性质可知，$x=\log_2 3$。
函数的基本性质知识点归纳与题型总结
函数的基本性质知识点归纳与题型总结一、知识归纳1．函数的奇偶性2．函数的周期性(1)周期函数对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．(2)最小正周期如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．解题提醒：①判断函数的奇偶性，易忽视判断函数定义域是否关于原点对称．定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件．②判断函数f(x)的奇偶性时，必须对定义域内的每一个x，均有f(－x)＝－f (x )或f (－x )＝f (x )，而不能说存在x 0使f (－x 0)＝－f (x 0)或f (－x 0)＝f (x 0)．③分段函数奇偶性判定时，误用函数在定义域某一区间上不是奇偶函数去否定函数在整个定义域上的奇偶性．题型一 函数奇偶性的判断典型例题：判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝(x ＋1)1－x1＋x； (2)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ＋1，x ＞0，x 2＋2x －1，x ＜0；(3)f (x )＝4－x 2x 2；(4)f (x )＝log a (x ＋x 2＋1)(a ＞0且a ≠1)． 解：(1)因为f (x )有意义，则满足1－x1＋x ≥0，所以－1＜x ≤1，所以f (x )的定义域不关于原点对称， 所以f (x )为非奇非偶函数． (2)法一：(定义法)当x ＞0时，f (x )＝－x 2＋2x ＋1，－x ＜0，f (－x )＝(－x )2＋2(－x )－1＝x 2－2x －1＝－f (x )； 当x ＜0时，f (x )＝x 2＋2x －1，－x ＞0，f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＋1＝－x 2－2x ＋1＝－f (x )．所以f (x )为奇函数． 法二：(图象法)作出函数f (x )的图象，由奇函数的图象关于原点对称的特征知函数f (x )为奇函数．(3)因为⎩⎨⎧4－x 2≥0，x 2≠0，所以－2≤x ≤2且x ≠0，所以定义域关于原点对称． 又f (－x )＝4－(－x )2(－x )2＝4－x 2x 2，所以f (－x )＝f (x )．故函数f (x )为偶函数． (4)函数的定义域为R ， 因为f (－x )＋f (x ) ＝log a [－x ＋(－x )2＋1]＋log a (x ＋x 2＋1)＝log a (x 2＋1－x )＋log a (x 2＋1＋x )＝log a [(x 2＋1－x )(x 2＋1＋x )]＝log a (x 2＋1－x 2)＝log a 1＝0， 即f (－x )＝－f (x )，所以f (x )为奇函数．通性通法：判定函数奇偶性的3种常用方法 (1)定义法(2)图象法(3)性质法①设f (x )，g (x )的定义域分别是 D 1，D 2，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．②复合函数的奇偶性可概括为“同奇则奇，一偶则偶”．[提醒] (1)“性质法”中的结论是在两个函数的公共定义域内才成立的．(2)判断分段函数的奇偶性应分段分别证明f (－x )与f (x )的关系，只有对各段上的x 都满足相同的关系时，才能判断其奇偶性．题型二 函数的周期性典型例题(1)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2(1－x )，0≤x ≤1，x －1，1＜x ≤2，若对任意的n ∈N *，定义f n (x )＝f {f [f …n 个f (x )]}，则f 2 019(2)的值为( )A．0B．1C．2 D．3(2)设定义在R上的函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，且当x∈[0,2)时，f(x)＝2x－x2，则f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 019)＝________.解析：(1)∵f1(2)＝f(2)＝1，f2(2)＝f(1)＝0，f3(2)＝f(0)＝2，∴f n(2)的值具有周期性，且周期为3，∴f2 019(2)＝f3×673(2)＝f3(2)＝2，故选C.(2)∵f(x＋2)＝f(x)，∴函数f(x)的周期T＝2，∵当x∈[0,2)时，f(x)＝2x－x2，∴f(0)＝0，f(1)＝1，∴f(0)＝f(2)＝f(4)＝…＝f(2 018)＝0，f(1)＝f(3)＝f(5)＝…＝f(2 019)＝1.故f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 019)＝1 010.答案：(1)C(2)1 010通性通法：1．判断函数周期性的2个方法(1)定义法．(2)图象法．2．周期性3个常用结论(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a.(2)若f(x＋a)＝1f(x)，则T＝2a.(3)若f(x＋a)＝－1f(x)，则T＝2a(a＞0)．题型三函数性质的综合应用函数的奇偶性、周期性以及单调性是函数的三大性质，在高考中常常将它们综合在一起命制试题，其中奇偶性多与单调性相结合，而周期性常与抽象函数相结合，并以结合奇偶性求函数值为主．多以选择题、填空题形式出现．角度一：奇偶性的应用1．函数y＝f(x)是R上的奇函数，当x＜0时，f(x)＝2x，则当x＞0时，f(x)＝()A．－2x B．2－xC．－2－x D．2x解析：选C x＞0时，－x＜0，∵x＜0时，f(x)＝2x，∴当x＞0时，f(－x)＝2－x.∵f(x)是R上的奇函数，∴当x＞0时，f(x)＝－f(－x)＝－2－x.故选C.角度二：单调性与奇偶性结合2．已知f(x)为奇函数，且当x＞0时，f(x)单调递增，f(1)＝0，若f(x－1)＞0，则x的取值范围为()A．{x|0＜x＜1或x＞2}B．{x|x＜0或x＞2}C．{x|x＜0或x＞3} D．{x|x＜－1或x＞1}解析：选A因为函数f(x)为奇函数，所以f(－1)＝－f(1)＝0，又函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以可作出函数f(x)的示意图，如图，则不等式f(x－1)＞0可转化为－1＜x－1＜0或x－1＞1，解得0＜x＜1或x＞2.角度三：周期性与奇偶性结合3.定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋3)＝f(x)．若f(2)＞1，f(7)＝a，则实数a的取值范围为()A．(－∞，－3) B．(3，＋∞)C．(－∞，－1) D．(1，＋∞)解析：选D∵f(x＋3)＝f(x)，∴f(x)是定义在R上的以3为周期的函数，∴f(7)＝f(7－9)＝f(－2)．又∵函数f(x)是偶函数，∴f(－2)＝f(2)，∴f(7)＝f(2)＞1，∴a＞1，即a∈(1，＋∞)．角度四：单调性、奇偶性与周期性结合4．定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，且在[0,2)上单调递减，则下列结论正确的是()A．0＜f(1)＜f(3) B．f(3)＜0＜f(1)C．f(1)＜0＜f(3) D．f(3)＜f(1)＜0解析：选C由函数f(x)是定义在R上的奇函数，得f(0)＝0.由f(x＋2)＝－f(x)，得f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，故函数f(x)是以4为周期的周期函数，所以f(3)＝f(－1)．又f(x)在[0,2)上单调递减，所以函数f(x)在(－2,2)上单调递减，所以f(－1)＞f(0)＞f(1)，即f(1)＜0＜f(3)．故选C.通性通法：函数性质综合应用问题的常见类型及解题策略(1)函数单调性与奇偶性结合．注意函数单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性．(2)周期性与奇偶性结合．此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．(3)周期性、奇偶性与单调性结合．解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解．。
《函数的基本性质》知识点总结
《函数的基本性质》知识点总结
〔2〕利用定义推断函数奇偶性的格式步骤： ①首先确定函数的定义域，并推断其定义域是否关于原点对称；
②确定 f(－x)与 f(x)的关系；
1.奇偶性
③作出相应结论：
〔1〕定义：假如对于函数 f(x)定义域内的任意 x 都有 f(－x)=－
留意： ①函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部 性质； ②必需是对于区间 D 内的任意两个自变量 x1，x2；当 x1x2 时，总 有 f(x1)f(x2)。 〔2〕假如函数 y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就 说函数 y=f(x)在这一区间具有〔严格的〕单调性，区间 D 叫做 y=f(x) 的`单调区间。 〔3〕设复合函数 y= f[g(x)]，其中 u=g(x) , A 是 y= f[g(x)]定 义域的某个区间，B 是映射 g : x→u=g(x) 的象集： ①若 u=g(x) 在 A 上是增
∈R，均有 f(x＋4)＝f(x)＋f⑵，求 f(2021)的值.
魏
第x)满足 f(x2)f(x2)，若 f(x)在[2,0]上 递增，则〔 〕
A.f(1)f(5.5)B．f(1)f(5.5)C．f(1)f(5.5)D．以上都不对 5.商量函数 f(x)x1 的单调性。 6.已知奇函数 f(x)是定义在(2,2)上的减函数,若 f(m1)f(2m1)0， 求实数 m 的取值范围。 7. 已 知 函 数 f(x) 的 定 义 域 为 N ， 且 对 任 意 正 整 数 x ， 都 有 f(x)f(x1)f(x1)。若 f(0)2021，求 f(2021)。 习题：
A．a3b0B.a3b0 22C．a3b0 2D．a3b1 2 4.函数 f(x)3ax2b2a,x[1,1],若 f(x)1 恒成立，则 b 的最小值为 。 5.已知偶函数 f(x)在(0，+∞)上为增函数，且 f(2)=0，解不等式 f［log2(x2+5x+4)］≥0。 题型六：周期问题 1.奇函数 f(x)以 3 为最小正周期，f(1)3，则 f(47)为( ) A.3B.6C.-3 D.-6 2.设 f(x)是定义在 R 上以 6 为周期的函数，f(x)在(0,3)内单调 递增，且 y=f(x)的图象关于直线 x =3 对称，则下面正确的结论是() A.f(1.5)f(3.5)f(6.5) B.f(3.5)f(1.5)f(6.5) C.f(6.5)f(3.5)f(1.5) D.f(3.5)f(6.5)f(1.5) x3.已知 fx 为偶函数,且 f2xf2x,当 2x0 时,fx2,则 f2021 〔〕 A．2021 B．4C．4 D． 1 4 4.设 f(x)是(,)上的奇函数，f(x2)f(x)，当 0x1 时，f(x)x，则
高一数学函数的基本性质试题答案及解析
高一数学函数的基本性质试题答案及解析1.下列幂函数中过点(0,0),(1,1)的偶函数是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】A中函数的定义域是，不关于原点对称，不具有奇偶性；B中函数经验证过这两个点，又定义域为，且；C中函数不过（0，0）；D中函数，∵，∴是奇函数，故选B．【考点】幂函数的性质与函数的奇偶性．2.已知函数的定义域为，为奇函数，当时，，则当时，的递减区间是．【答案】【解析】因为为奇函数，所以的图象关于对称，当时，，所以当时，函数的单调递减区间为，因为图象关于对称，所以当时，的递减区间是.【考点】本小题主要考查函数图象和性质的应用，考查学生数形结合思想的应用和推理能力.点评：解决本小题的关键是分析出函数的图象关于对称，在关于对称的两个区间上单调性相同.3.设函数，若,则实数=（）A．-4或-2B．-4或2C．-2或4D．-2或2【答案】B【解析】当时，；当时，.【考点】本小题主要考查分段函数的求值，考查学生的运算求解能力.点评：分段函数求值，分别代入求解即可.4.函数的单调增区间是_______.【答案】【解析】由,所以此函数的定义域为，根据复合函数的单调性，所以此函数的单调增区间为.5.（本小题满分12分）已知函数 (为常数)在上的最小值为，试将用表示出来，并求出的最大值．【答案】【解析】(1)因为抛物线y＝x2－2ax＋1的对称轴方程是,本题属于轴动区间定的问题，然后分轴在区间左侧，在区间内，在区间右侧三种情况分别得到其最小值，得到最小值h(a),然后再求出h(a)的最大值.∵y＝(x－a)2＋1－a2，∴抛物线y＝x2－2ax＋1的对称轴方程是．（1）当时，,当时，该函数取最小值；(2) 当时, , 当时，该函数取最小值；(3) 当a＞1时, , 当时，该函数取最小值综上,函数的最小值为6.证明：函数是偶函数，且在上是减少的。
（本小题满分12分）【答案】见解析。
【解析】本试题主要是考查了函数的奇偶性的定义以及单调性的性质。
《高等数学》函数考点精讲与例题解析
《高等数学》函数考点精讲与例题解析 第一部分 函数 极限 连续函数是微积分的研究对象，极限是微积分的理论基础，而连续性是可导性与可积性的重要条件。
它们是每年必考的内容之一。
第一节 函 数内容考点一、函数的定义给定两个非空数集D 和M ，若有对应法则f ，使得对于D 内的每一个x ，都有唯一确定的M y ∈与之对应，则称f 是定义在数集D 上的函数，记作)(x f y =，D x ∈，数集D 成为函数的定义域，)(D)(M f ⊂称为值域。
【考点一】会求函数的定义域及其表达式，特别是复合函数的定义域。
二、函数的奇偶性（1）首先必须要求函数的定义域关于原点对称。
例如，)(x f y =的定义域为),(a a -)0(>a 关于原点对称。
（2）验证对于任),(a a x -∈，都有)()(x f x f =-，称)(x f 为偶函数；偶函数)(x f 的图形关于y 轴对称。
（3）验证若对于任),(a a x -∈都有)()(x f x f -=-，称)(x f 为奇函数；奇函数)(x f 的图形关于坐标原点对称。
【考点二】会判定函数)(x f 的奇偶性，不管)(x f 的具体形式是什么，都需要计算)(x f -的值。
如果)()(x f x f =-，则由定义知)(x f 为偶函数；如果)()(x f x f -=-，则由定义知)(x f 为奇函数。
三、函数的周期性对函数)(x f y =，若存在常数0>T ，使得对于定义域的每一个x ，T x +仍在定义域内，且有)()(x f T x f =+，则称函数)(x f y =为周期函数，T 称为)(x f 的周期。
【考点三】判断函数是否为周期函数，主要方法是根据周期函数的定义，要先找到一个非零常数T ，计算是否有等式)()(x f T x f =+成立。
特别要求掌握三角函数的周期性四、函数的有界性设函数)(x f y =在数集X 上有定义，若存在正数M ，使得对于每一个X x ∈，都有M x f ≤)( 成立，称)(x f 在X 上有界，否则，即这样的M 不存在，称)(x f 在X 上无界。
函数的性质与图像分析例题和知识点总结
函数的性质与图像分析例题和知识点总结在数学的广袤世界中，函数是一个极为重要的概念。
函数的性质与图像紧密相连，通过对函数性质的研究，我们能够更好地理解和描绘函数的图像，从而解决各种与函数相关的问题。
接下来，让我们通过一些具体的例题来深入探讨函数的性质与图像，并对相关的知识点进行总结。
一、函数的定义域和值域函数的定义域是指自变量的取值范围，而值域则是函数值的取值范围。
例 1：已知函数$f(x) ＝＼sqrt{x 1}＄，求其定义域。
解：要使根式有意义，被开方数必须大于等于零，即$x 1 ＼geq 0$，解得$x ＼geq 1$，所以函数的定义域为$1, ＋＼infty)＄。
知识点总结：常见函数的定义域要求，如分式函数分母不为零，偶次根式被开方数非负，对数函数真数大于零等。
二、函数的单调性函数的单调性描述了函数值随自变量变化的趋势。
例2：判断函数$f(x) ＝x^2 2x$在区间$（＼infty, 1)＄上的单调性。
解：对$f(x)＄求导，＄f'（x) ＝ 2x 2$。
当$x ＜ 1$时，＄f'（x) ＜0$，所以函数在区间$（＼infty, 1)＄上单调递减。
知识点总结：判断函数单调性的方法，如定义法、导数法。
对于二次函数，可以通过其对称轴和开口方向来判断单调性。
三、函数的奇偶性奇偶性反映了函数图像的对称性。
例 3：判断函数$f(x) ＝＼sin x$的奇偶性。
解：因为$f(x) ＝＼sin(x) ＝＼sin x ＝ f(x)＄，所以函数$f(x) ＝＼sin x$是奇函数。
知识点总结：奇函数满足$f(x) ＝ f(x)＄，其图像关于原点对称；偶函数满足$f(x) ＝ f(x)＄，其图像关于 y 轴对称。
四、函数的周期性周期性表示函数值在一定区间内重复出现。
例 4：已知函数$f(x) ＝＼sin 2x$，求其最小正周期。
解：因为$＼sin 2(x ＋＼pi) ＝＼sin(2x ＋ 2\pi) ＝＼sin 2x$，所以函数的最小正周期为$T ＝＼frac{2\pi}｛2} ＝＼pi$。
函数的基本性质含答案
当 时，
， ，
则 当 时，
， ，
则 故 .
∴f〔－*〕=－f〔*〕.∴f〔*〕是奇函数.
〔2〕证明：任取*1、*2∈R，且*1＜*2，则f〔*1〕－f〔*2〕=f〔*1〕－f［*1+〔*2－*1〕］=f〔*1〕－［f〔*1〕+f〔*2－*1〕］=－f〔*2－*1〕.由*1＜*2，∴*2－*1＞0.∴f〔*2－*1〕＜0.
∴－f〔*2－*1〕＞0，即f〔*1〕＞f〔*2〕，从而f〔*〕在R上是减函数.
4．如果偶函数在 具有最大值，则该函数在 有〔 〕
A．最大值 B．最小值C ．没有最大值D． 没有最小值
5．函数 ， 是〔 〕
A．偶函数B．奇函数C．不具有奇偶函数D．与 有关
6．函数 在 和 都是增函数，假设 ，且 则〔 〕
A． B．
C． D．无法确定
7．函数 在区间 是增函数，则 的递增区间是〔 〕
〔3〕解：由于f〔*〕在R上是减函数，故f〔*〕在［－3，3］上的最大值是f〔－3〕，最小值是f〔3〕.由f〔1〕=－2，得f〔3〕=f〔1+2〕=f〔1〕+f〔2〕=f〔1〕+f〔1+1〕=f〔1〕+f〔1〕+f〔1〕=3f〔1〕=3×〔－2〕=－6，f〔－3〕=－f〔3〕=6.从而最大值是6，最小值是－6.
C． D．
2．如果奇函数 在区间[3，7]上是增函数且最小值为5，则 在区间 上是 ( )
Ａ．增函数且最小值为 Ｂ．增函数且最大值为
Ｃ．减函数且最小值为 Ｄ．减函数且最大ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ为
3．以下函数中，在区间(0，2)上为增函数的是 ( )
A． B． C． D．
4．对于定义域是R的任意奇函数 有 ( )
函数概念例题和知识点总结
函数概念例题和知识点总结在数学的广袤世界中，函数是一个极其重要的概念。
它就像是一座桥梁，连接着不同的数学领域，帮助我们理解和解决各种问题。
接下来，让我们通过一些例题来深入理解函数的概念，并对相关知识点进行总结。
一、函数的定义函数是一种特殊的对应关系。
在给定的集合中，对于每一个自变量的值，都有唯一确定的因变量的值与之对应。
例如，我们有一个函数 f(x) ＝ 2x ＋ 1。
当 x ＝ 1 时，f(1) ＝ 2×1 ＋1 ＝ 3；当 x ＝ 2 时，f(2) ＝ 2×2 ＋ 1 ＝ 5。
可以看到，对于每一个给定的 x 值，都能通过这个表达式得到唯一确定的 f(x) 值。
二、函数的表示方法函数可以用多种方式表示，常见的有解析法、列表法和图像法。
1、解析法就是用数学表达式来表示函数关系，如上面提到的 f(x) ＝ 2x ＋ 1 就是解析法。
2、列表法通过列出自变量和对应的因变量的值来表示函数，比如：｜ x ｜ 1 ｜ 2 ｜ 3 ｜｜｜｜｜｜｜ f(x) ｜ 3 ｜ 5 ｜ 7 ｜3、图像法用图像来直观地展示函数关系。
例如，对于函数 f(x) ＝ x²，它的图像是一个开口向上的抛物线。
三、函数的定义域和值域定义域是指自变量的取值范围，而值域则是因变量的取值范围。
例如，对于函数 f(x) ＝ 1 ／（x 1)，由于分母不能为 0，所以 x 1 ≠ 0，即x ≠ 1，定义域为x ≠ 1。
通过分析函数的表达式，可以得出值域。
四、例题分析例 1：已知函数 f(x) ＝√（x 2)，求其定义域。
要使根式有意义，被开方数必须大于等于 0，即x 2 ≥ 0，解得x ≥ 2，所以定义域为 2, ＋∞）。
例 2：若函数 f(x) ＝ 2x ＋ 3，当 x ＝－1 时，求 f(x)的值。
将 x ＝－1 代入函数中，f(－1) ＝ 2×（－1) ＋ 3 ＝ 1 。
例 3：已知函数 f(x)的图像经过点(1, 2)和(2, 4)，求函数的表达式。
最全函数概念及基本性质知识点总结及经典例题
函数及基本性质一、函数的概念（1）设A 、B 是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中任何一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么这样的对应（包括集合A ，B 以及A 到B 的对应法则f ）叫做集合A 到B 的一个函数，记作:f A B →．（2）函数的三要素:定义域、值域和对应法则．注意1：只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数 例1．判断下列各组中的两个函数是同一函数的为（ ）⑴3)5)(3(1+-+=x x x y ，52-=x y ；⑵111-+=x x y ，)1)(1(2-+=x x y ；⑶x x f =)(，2)(x x g =；⑷()f x =()F x =⑸21)52()(-=x x f ，52)(2-=x x f 。
A ．⑴、⑵ B ．⑵、⑶ C ．⑷ D ．⑶、⑸ 2：求函数的定义域时，一般遵循以下原则：①()f x 是整式时，定义域是全体实数．如：943)(2-+=x x x f ，R x ∈ ②()f x 是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数．如：()635-=x x f ，2≠x ③()f x 是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合．如()1432+-=x x x f ，131><x x 或 ④对数函数的真数大于零0,log )(>=x x x f a ，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1。
如：()212()log 25f x x x =-+⑤tan y x =中，()2x k k Z ππ≠+∈．⑥零（负）指数幂的底数不能为零．如：2)32()(-+=x x f⑦若()f x 是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集．如：)2(log 22x y --=⑧对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知()f x 的定义域为[,]a b ，其复合函数[()]f g x 的定义域应由不等式()a g x b ≤≤解出．如：()[]()x f x f 28,2，的定义域是的定义域为 822≤≤x⑨对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论．例：求函数()())1lg(lg x k x x f -+-=的定义域。
专题3.2 函数基本性质(解析版)
专题3.2函数的基本性质知识点一：函数的单调性1．增函数、减函数的概念一般地，设函数()f x 的定义域为A ，区间D A ⊆：如果对于D 内的任意两个自变量的值1x 、2x ，当12x x <时，都有()()12f x f x <，那么就说()f x 在区间D 上是增函数.如果对于D 内的任意两个自变量的值1x 、2x ，当12x x <时，都有()()12f x f x >，那么就说()f x 在区间D 上是减函数.知识点诠释：(1)属于定义域A 内某个区间上；(2)任意两个自变量12,x x 且12x x <；(3)都有1212()()(()())f x f x f x f x <>或；(4)图象特征：在单调区间上增函数的图象从左向右是上升的，减函数的图象从左向右是下降的.2．单调性与单调区间（1）单调区间的定义如果函数f (x )在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数()f x 在区间D 上具有单调性，D 称为函数f (x )的单调区间.函数的单调性是函数在某个区间上的性质.知识点诠释：①单调区间与定义域的关系：单调区间可以是整个定义域，也可以是定义域的真子集；②单调性是通过函数值变化与自变量的变化方向是否一致来描述函数性质的；③不能随意合并两个单调区间；④有的函数不具有单调性.(2)已知解析式，如何判断一个函数在所给区间上的单调性？3.证明函数单调性的步骤(1)取值.设12x x ，是()f x 定义域内一个区间上的任意两个量，且12x x <；(2)变形.作差变形（变形方法：因式分解、配方、有理化等）或作商变形；(3)定号.判断差的正负或商与1的大小关系；(4)得出结论.4.函数单调性的判断方法(1)定义法：根据增函数、减函数的定义，按照“取值—变形—判断符号—下结论”进行判断。
(2)图象法：就是画出函数的图象，根据图象的上升或下降趋势，判断函数的单调性。
2函数的基本性质(单调性、奇偶性、周期性)(含答案)
函数的基本性质一、知识点1．对函数单调性的理解（1）函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论,所以求函数的单调区间,必须先求函数的定义域； （2）一些单调性的判断规则：①若)(x f 与)(x g 在定义域内都是增函数（减函数），那么)()(x g x f +在其公共定义域内是增函数（减函数）即“同加异减”减时和第一个单调性相同。
②复合函数的单调性规则是“同增异减”。
2．函数的奇偶性的定义：（1）对于函数)(x f 的定义域内任意一个x ，都有)()(x f x f -=-，则称)(x f 为 . 奇函数的图象关于 对称。
（2）对于函数)(x f 的定义域内任意一个x ，都有)()(x f x f =-，则称)(x f 为 . 偶函数的图象关于 对称。
（3）通常采用图像或定义判断函数的奇偶性. 具有奇偶性的函数，其定义域原点关于对称（也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称）。
3．奇偶函数图象的对称性（1）若)(x a f y +=是偶函数，则⇔=-⇔-=+)()2()()(x f x a f x a f x a f )(x f 的图象关于直线a x =对称；（2）若)(x b f y +=是偶函数，则⇔-=-⇔+-=-)()2()()(x f x b f x b f x b f )(x f 的图象关于点)0,(b 中心对称；4．若函数满足()()x f a x f =+，则函数的周期为T=a 。
二、例题讲解1．下列函数中，既是偶函数，又是在区间(0，＋∞)上单调递减的函数是( ) A ．||2x y = B ．3y x = C ．12+-=x y D ．y ＝cosx 【答案】C 【解析】试题分析：偶函数需满足()()f x f x -=，由此验证可知A,C,D 都是偶函数，但要满足在区间(0，＋∞)上单调递减，验证可知只有C 符合. 考点：偶函数的判断，函数的单调性.2．2()24f x x x =-+的单调减区间是 .【答案】(,1)-∞ 【解析】试题分析：将函数进行配方得22()24(1)3f x x x x =-+=-+，又称轴为1x =，函数图象开口向上，所以函数的单调减区间为(,1)-∞． 考点：二次函数的单调性．3．函数22log (23)y x x =+-的单调递减区间为（ ）A ．（－∞，－3）B ．（－∞，－1）C ．(1，+∞)D ．(－3，－1) 【答案】A 【解析】试题分析：由2230x x +->，得3x <-或1x >，∴()f x 的定义域为(,3)(1,)-∞-+∞．22log (23)y x x =+-可看作由2log y u =和223u x x =+-复合而成的，223u x x =+-＝2(1)4x +-在(,3)-∞-上递减，在(1,)+∞上递增，又2log y u =在定义域内单调递增，∴22log (23)y x x =+-在(,3)-∞-上递减，在(1,)+∞上递增，所以22log (23)y x x =+-的单调递减区间是(,3)-∞-，故选A ．考点：复合函数的单调性．4．已知5)2(22+-+=x a x y 在区间(4,)+∞上是增函数，则a 的范围是（ ）A.2a ≤-B.2a ≥-C.6-≥aD.6-≤a 【答案】B 【解析】试题分析：函数5)2(22+-+=x a x y 的图像是开口向上以2x a =-为对称轴的抛物线，因为函数在区间(4,)+∞上是增函数，所以24a -≤，解得2a ≥-，故A 正确。
函数的基本性质知识点归纳与题型总结
函数的基本性质知识点归纳与题型总结0＝x2＝f(x)，所以f(x)为偶函数．4)因为f(x)有意义，则x＞0，所以f(x)的定义域不关于原点对称。
所以f(x)为非奇非偶函数．二、知识归纳1．函数的单调性1)单调递增对于函数f(x)，如果对于定义域内的任意两个数x1和x2，当x1＜x2时，有f(x1)＜f(x2)，那么函数f(x)就叫做单调递增函数．2)单调递减对于函数f(x)，如果对于定义域内的任意两个数x1和x2，当x1＜x2时，有f(x1)＞f(x2)，那么函数f(x)就叫做单调递减函数．3)严格单调性如果对于定义域内的任意两个不相等的数x1和x2，有f(x1)＜f(x2)或f(x1)＞f(x2)，那么函数f(x)就叫做严格单调函数．4)单调性判定设函数f(x)在区间[a，b]上连续，在(a，b)内可导，则①当f'(x)＞0时，函数f(x)在(a，b)上单调递增；②当f'(x)＜0时，函数f(x)在(a，b)上单调递减；③当f'(x)＝0时，函数f(x)在x处取极值．2．函数的极值1)极值定义设函数f(x)在点x0的某个去心邻域内有定义，如果对于x0的任何一个邻域内的x值，都有f(x)≤f(x0)(或f(x)≥f(x0))，那么就称f(x0)是函数f(x)的一个极大值(或极小值)，而x0就称为函数f(x)的一个极值点．2)判别极值的方法①一阶导数法设函数f(x)在点x0处可导，且f'(x0)＝0，则1)当f''(x0)＞0时，f(x0)是函数f(x)的一个极小值；2)当f''(x0)＜0时，f(x0)是函数f(x)的一个极大值；3)当f''(x0)＝0时，判别困难，需用其他方法．②二阶导数法设函数f(x)在点x0处二阶可导，则1)当f''(x0)＞0时，f(x0)是函数f(x)的一个极小值；2)当f''(x0)＜0时，f(x0)是函数f(x)的一个极大值；3)当f''(x0)＝0时，判别困难，需用其他方法．3．函数的凹凸性1)凹函数对于函数f(x)，如果对于定义域内的任意两个数x1和x2，以及任意实数λ(0＜λ＜1)，都有f(λx1＋(1－λ)x2)≤λf(x1)＋(1－λ)f(x2)，那么函数f(x)就叫做凹函数．2)凸函数对于函数f(x)，如果对于定义域内的任意两个数x1和x2，以及任意实数λ(0＜λ＜1)，都有f(λx1＋(1－λ)x2)≥λf(x1)＋(1－λ)f(x2)，那么函数f(x)就叫做凸函数．3)严格凹凸性如果对于定义域内的任意两个不相等的数x1和x2，以及任意实数λ(0＜λ＜1)，都有f(λx1＋(1－λ)x2)λf(x1)+(1－λ)f(x2)，那么函数f(x)就叫做严格凹函数或严格凸函数．4)凹凸性判定设函数f(x)在区间[a，b]上具有二阶导数，则①当f''(x)＞0时，函数f(x)在(a，b)上是凹函数；②当f''(x)＜0时，函数f(x)在(a，b)上是凸函数；③当f''(x)＝0时，函数f(x)在x处可能是拐点．解题提醒：①判定函数的单调性时，要注意定义域的连续性和可导性．②判定函数的极值和拐点时，要注意函数的可导性和二阶导数的符号．题型二函数单调性、极值和凹凸性的判定典型例题：求函数f(x)＝x3－3x2＋3的单调性、极值和凹凸性．解：(1)单调性f'(x)＝3x2－6x，令f'(x)＝0，得x＝0或x＝2。
函数的性质(精讲)(解析版)
3.2 函数的性质【典例精讲】考法一 性质法求单调性（单调区间）【例1】（2020·全国高一课时练习）函数6y x=的减区间是（ ） A ．[0,)+∞B ．(,0]-∞C ．(,0)-∞，(0,)+∞D ．(,0)(0,)-∞+∞【答案】C 【解析】由图象知单调减区间为(,0)-∞，(0,)+∞【一隅三反】1.函数()2f x x 2x 3=--的单调递减区间为( )A ．(),1∞-B ．(),2∞-C ．()1,∞D ．()2,∞+【答案】A 【解析】函数()2f x x 2x 3=--的二次项的系数大于零，∴抛物线的开口向上，二次函数的对称轴是x 1=，∴函数的单调递减区间是(),1∞- 故选：A ． 2．下列函数在区间(－∞，0)上为增函数的是( ) A. y ＝1 B. y ＝－1x＋2 C. y ＝－x 2－2x －1 D. y ＝1＋x 2 【答案】B【解析】y=1 在区间（－∞,0）上不增不减; y=－1x+2在区间（－∞,0）上单调递增; y=－x 2－2x －1在区间（－∞,0）上有增有减; y=1+x 2在区间（－∞,0）上单调递减;所以选B. 3．函数y ＝x 2－6x ＋10在区间(2，4)上是( ) A. 递减函数 B. 递增函数 C. 先递减再递增 D. 先递增再递减 【答案】C【解析】由于二次函数的开口向上，并且对称轴方程为x=3,所以函数在(2,4)上是先减后增.考法二 定义法求单调性（单调区间）单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分开写，不能用并集符号“”【例2】（2020·全国高一课时练习）求证：函数f (x )＝x ＋1x在[1，＋∞)上是增函数. 【答案】证明见详解.【解析】证明：在区间[)1,+∞上任取12x x <， 则()()12121211f x f x x x x x -=-+-()121211x x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭()()1212121x x x x x x -=-⨯ 因为12x x <，故可得120x x -<；又因为121,1x x >>，故可得121211,0x x x x ->>. 故()()120f x f x -<，即()()12f x f x <.故()f x 在区间[)1,+∞上单调递增.【一隅三反】1．（2020·全国高一课时练习）证明()f x =.【答案】证明见解析； 【解析】证明：函数()f x =[)0,+∞设[)12,0,x x ∀∈+∞且12x x <，()()12f x f x -===因为120x x ≤<，所以120x x -<，所以()()120f x f x -<，即()()12f x f x < 所以()f x =[)0,+∞上是增函数.2．（2020·浙江高一课时练习）用定义法证明函数()f x x =在定义域内是减函数．【答案】见解析【解析】设在R 上任取两个数x 1，x 2，且x 1>x 2；则f （x 1）–f （x 2）–x 1–2）+（x 2–x 1）x x x x -++（x 2–x 1）=（x 1–x 2））∵x 1>x 2，∴x 1–x 2>0–1<0，则f （x 1）–f （x 2）<0，∴函数()f x x =在R 上是减函数．考法三 图像法求单调性（单调区间）【例3】（2020·全国高一）求下列函数的单调区间． （1）f （x ）＝3|x |； （2）f （x ）＝|x 2＋2x －3|．【答案】（1）减区间为(－∞，0]，增区间为[0，＋∞)；（2）增区间是[－3，－1]，[1，＋∞)；减区间是(－∞，－3]，[－1，1]．【解析】（1）由题意，函数()3,033,0x x f x x x x ≥⎧==⎨-<⎩，图象如图所示，所以函数f （x ）的单调递减区间为(－∞，0]，单调递增区间为[0，＋∞)．（2）令()2223(1)4g x x x x =+-=+-，作出()g x 的图象，保留其在x 轴及x 轴上方部分，把它在x 轴下方的图象翻到x 轴上方， 即可得到函数()223f x x x =+-的图象，如图所示．由图象易得：函数的递增区间是[－3，－1]，[1，＋∞)； 函数的递减区间是(－∞，－3]，[－1，1]．【一隅三反】1．（2020·全国高一专题练习）求下列函数的单调区间，并指出该函数在其单调区间上是增函数还是减函数．（1）f （x ）＝－1x； （2）f （x ）＝21,15,1x x x x +≥⎧⎨-<⎩（3）f （x ）＝－x 2＋2|x |＋3.【答案】（1）单调区间为(－∞，0)，(0，＋∞)，其在(－∞，0)，(0，＋∞)上都是增函数；（2）单调区间为(－∞，1)，[1，＋∞)，并且函数f （x ）在(－∞，1)上是减函数，在[1，＋∞)上是增函数；（3）单调区间为(－∞，1)，[1，＋∞)，并且函数f （x ）在(－∞，1)上是减函数，在[1，＋∞)上是增函数． 【解析】（1）函数f （x ）＝－1x的单调区间为(－∞，0)，(0，＋∞)， 其在(－∞，0)，(0，＋∞)上都是增函数．（2）当x ≥1时，f （x ）是增函数，当x <1时，f （x ）是减函数， 所以f （x ）的单调区间为(－∞，1)，[1，＋∞)，并且函数f （x ）在(－∞，1)上是减函数，在[1，＋∞)上是增函数．（3）因为f （x ）＝－x 2＋2|x |＋3＝2223,023,0x x x x x x ⎧-++≥⎨--+<⎩根据解析式可作出函数的图象如图所示，由图象可知，函数f （x ）的单调区间为(－∞，－1]，(－1，0)，[0，1)，[1，＋∞)． f （x ）在(－∞，－1]，[0，1)上是增函数，在(－1，0)，[1，＋∞)上是减函数．考法四 利用单调性求参数【例4】（1）（2020·浙江高一课时练习）若函数()22f x x ax =-+与()1ag x x =+在区间[]1,2上都是减函数，则a 的取值范围 （ ） A ．()()1,00,1- B ．()(]1,00,1- C ．()0,1 D ．(]0,1（2）（2020·辽阳市第四高级中学高三月考）已知奇函数()f x 是定义域[]22-,上的减函数，若()()21430f a f a ++->，求实数a 的取值范围 .【答案】（1）D （2）11,43⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 【解析】对于，开口向下，对称轴为x=a 若函数在区间[]1,2上都是减函数，则区间[]1,2在对称轴的右侧，所以可得：a<=1；对于，其相当于将的图象向左平移1个单位，得到如下函数图像：此时我们可以判断，当a>0时，则函数在第一象限为单调递减，而在单调递减，故a 的取值范围是(0,1]（2）由()()21430f a f a ++->，得()()2143f a f a +>--，又()f x 为奇函数，得()()4334f a f a --=-，∴()()2134f a f a +>-，又()f x 是定义域[]22-,上的减函数，所以2343421212a a a a ≥-⎧⎪->+⎨⎪+≥-⎩， 所以141332a a a ⎧≥⎪⎪⎪<⎨⎪⎪≥-⎪⎩，所以实数a 的取值范围为11,43⎡⎫⎪⎢⎣⎭.【一隅三反】1．（2020·开鲁县第一中学高二期末（文））函数(21)y m x b =-+在R 上是减函数．则（ ） A ．12m >B ．12m < C ．12m >-D ．12m <-【答案】B【解析】根据题意，函数(21)y m x b =-+在R 上是减函数，则有210m -＜，解可得12m <，故选B ．2．（2020·浙江高一课时练习）已知22(2)5y x a x =+-+ 在区间(4,)+∞ 上是增函数，则a 的范围是（ ）A ．2a ≤-B ．2a ≥-C ．6a ≥-D ．6a ≤-【答案】B【解析】∵函数f （x ）＝x 2+2（a ﹣2）x +5的图象是开口方向朝上，以x ＝2﹣a 为对称轴的抛物线， 若函数f （x ）＝x 2+2（a ﹣2）x +5在区间[4，+∞）上是增函数，则2﹣a ≤4，解得a ≥﹣2．故选：B ． 3．（2020·全国高一课时练习）若函数()(31)4,1,1a x a x f x ax x -+<⎧=⎨-≥⎩，是定义在R 上的减函数，则a 的取值范围为（ ） A ．11,83⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,8⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．11,,83⎛⎤⎡⎫-∞+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭【答案】A【解析】因为函数()f x 是定义在R 上的减函数，所以3100314a a a a a-<⎧⎪-<⎨⎪-+≥-⎩，解得1183a ≤<.故选：A.考法五 奇偶性的判断【例5】（2020·全国高一课时练习）判断下列函数的奇偶性．（1）f (x )＝2x ＋1x； （2）f (x )＝2－|x |； （3）f (x ) （4）f (x )＝1x x -. 【答案】（1）奇函数；（2）偶函数；（3）既是奇函数又是偶函数；（4）非奇非偶函数. 【解析】（1）函数的定义域为{}0x x ≠，由()()1122⎛⎫-=-+=-+=- ⎪-⎝⎭f x x x f x x x ， 所以函数()f x 为奇函数（2）函数的定义域为R 由()()22-=--=-=f x x x f x 所以函数()f x 为偶函数（3）由2210110x x x ⎧-≥⇒=±⎨-≥⎩，所以函数的定义域为{}1,1-又()()110f f -==，所以函数()f x 既是奇函数又是偶函数 （4）由101x x -≠⇒≠，所以函数的定义域为{}1x x ≠ 因为定义域不关于原点对称，所以函数()f x 为非奇非偶函数.【一隅三反】1（2020·全国）判断下列函数的奇偶性:(1)32()1x x f x x -=-;(2)31()f x x x =-;(3)23()f x x x =-;(4)()|2||2|f x x x =++-.【答案】(1)既不是奇函数也不是偶函数.(2)奇函数.(3)既不是奇函数也不是偶函数.(4)偶函数.【解析】(1)函数32()1x x f x x -=-的定义域为{|R x x ∈且1x ≠},定义域不关于原点对称,∴该函数既不是奇函数也不是偶函数. (2) 31()f x x x=-的定义域是(,0)(0,)-∞+∞. 当(,0)(0,)x ∈-∞⋃+∞时,显然,(,0)(0,)x -∈-∞⋃+∞.333111()()()()f x x x x f x x x x ⎛⎫-=--=-+=--=- ⎪-⎝⎭,31()f x x x ∴=-是奇函数. (3)23()f x x x =-的定义域为R .23(1)(1)(1)112f -=---=+=,23(1)110f =-=,(1)(1)f f ∴-≠. ()f x ∴不是偶函数.又(1)(1)f f -≠-,()f x ∴不是奇函数.23()f x x x ∴=-既不是奇函数也不是偶函数.(4) ()|2||2|f x x x =++-的定义域为R .()|2||2||2||2|()f x x x x x f x -=-++--=-++=, ()|2||2|f x x x ∴=++-是偶函数.2．（2020·浙江高一课时练习）判断下列函数的奇偶性： （1）()f x =．（2）()f x ．（3）2()2||1,[1,1]f x x x x =-+∈-．（4）22(0)()(0).x x x f x x x x ⎧+<=⎨-+>⎩，【答案】（1）既不是奇函数也不是偶函数；（2）既是奇函数又是偶函数；（3）偶函数；（4）奇函数. 【解析】（1）由10,10x x -⎧⎨-⎩得1x =，∴函数()f x 的定义域为{1}，不关于原点对称．故()f x 既不是奇函数也不是偶函数．（2）由2210,10x x ⎧-⎨-⎩得21x =，即1x =±． ∴函数()f x 的定义域是{1,1}-，关于原点对称． 又()0f x =，∴()f x 既是奇函数又是偶函数． （3）函数的定义域为[1,1]-，关于原点对称．又∵22()()2||12||1()f x x x x x f x -=---+=-+=， ∴()f x 是偶函数．（4）当0x <时，0x ->，则()22()()()f x x x x x f x -=---=-+=-，当0x >时，0x -<，则22()()()f x x x x x f x -=--=-=-综上，对(,0)(0,)x ∈-∞⋃+∞，都有()()f x f x -=-． ∴()f x 为奇函数．考法六 利用奇偶性求解析式【例6】（1）（2020·陕西渭滨.高二期末（文））已知()f x 是R 上的奇函数，且当0x >时，2()321f x x x =+-，则当0x <时，()f x = 。
函数的基本性质(含答案)
x＋ ≥2 ＝ （当且仅当x= 即x= 时取“=”）.
∴当底边长为 m时造价最低，最低造价为（160 a＋ a）元.
答案：y=12a（x+ ）+ a（0，+∞） 160 a+ a
【课堂小练】
1．已知 是定义 上的奇函数，且 在 上是减函数．下列关系式中正确的是 ( )
A． B．
∴－ ≤x≤ .
∴不等式的解集为{x|－ ≤x≤ }.
（3）由－1≤x－c≤1，得－1+c≤x≤1+c，
∴P={x|－1+c≤x≤1+c}.
由－1≤x－c2≤1，得－1+c2≤x≤1+c2，
∴Q={x|－1+c2≤x≤1+c2}.
∵P∩Q= ，
∴1+c＜－1+c2或－1+c＞1+c2，
解得c＞2或c＜－1.
教师辅导讲义
年 级： 高一辅导科目： 数学 课时数：3
课 题
函数的基本性质
教学目的
通过综合的练习与巩固，是学生掌握对一些基本函数的性质进行研究的方法
教学容
【知识梳理】
函数的基本性质：奇偶性、单调性、周期性、函数的最值、函数的零点（周期性后面讲）
【典型例题分析】
例1、函数f（x）的定义域为R，且对任意x、y∈R，有f（x+y）=f（x）+f（y），且当x＞0时，f（x）＜0，f（1）=－2.
（1）证明f（x）是奇函数；
（2）证明f（x）在R上是减函数；
（3）求f（x）在区间［－3，3］上的最大值和最小值.
（1）证明：由f（x+y）=f（x）+f（y），得f［x+（－x）］=f（x）+f（－x），∴f（x）+f（－x）=f（0）.又f（0+0）=f（0）+f（0），∴f（0）=0.从而有f（x）+f（－x）=0.
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函数的基本性质
函数的三个基本性质：单调性，奇偶性，周期性
一、单调性
1、定义：对于函数)(x f y =，对于定义域内的自变量的任意两个值21,x x ，当21x x <时，都有))()()(()(2121x f x f x f x f ><或，那么就说函数)(x f y =在这个区间上是增（或减）函数。
2、图像特点：在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的。
（提示：判断函数单调性一般都使用图像法，尤其是分段函数的单调性。
）
3．二次函数的单调性：对函数c bx ax x f ++=2
)()0(≠a ， 当0>a 时函数)(x f 在对称轴a
b x 2-
=的左侧单调减小，右侧单调增加； 当0<a 时函数)(x f 在对称轴a b x 2-=的左侧单调增加，右侧单调减小； 例1：讨论函数322+-=ax x f(x)在(-2,2)内的单调性。
4．证明方法和步骤：
⑴设元：设21,x x 是给定区间上任意两个值，且21x x <；
⑵作差：)()(21x f x f -；
⑶变形：（如因式分解、配方等）；
⑷定号：即0)()(0)()(2121<->-x f x f x f x f 或；
⑸根据定义下结论。
例2、判断函数1
2)(-+=
x x x f 在)0,(-∞上的单调性并加以证明.
5．复合函数的单调性：复合函数))((x g f y =在区间),(b a 具有单调性的规律见下表：
以上规律还可总结为：“同向得增，异向得减”或“同增异减”。
例3：函数322-+=x x y 的单调减区间是 （ ）
A.]3,(--∞
B.),1[+∞-
C.]1,(--∞
D.),1[+∞
6．函数的单调性的应用：
判断函数)(x f y =的单调性；比较大小；解不等式；求最值（值域）。
例4：求函数1
2-=
x y 在区间]6,2[上的最大值和最小值.
二、奇偶性
1．定义：
如果对于f(x)定义域内的任意一个x,都有)()(x f x f =-，那么函数f(x)就叫偶函数；
（等价于：0)()()()(=--⇔=-x f x f x f x f ）
如果对于f(x)定义域内的任意一个x,都有)()(x f x f -=-，那么函数f(x)就叫奇函数。
（等价于：0)()()()(=+-⇔-=-x f x f x f x f ）
注意：当0)(≠x f 时，也可用1)
()(±=-x f x f 来判断。
2．奇、偶函数的必要条件：函数的定义域在数轴上所示的区间关于原点对称。
若函数)(x f 为奇函数，且在x=0处有定义，则0)0(=f ；
3．判断一个函数的奇偶性的步骤
⑴先求定义域，看是否关于原点对称; ⑵再判断)()(x f x f -=-或)()(x f x f =- 是否恒成立。
4．奇偶函数图象的性质
奇函数的图象关于原点对称。
反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数为奇函数。
偶函数的图象关于y 轴对称。
反过来,如果一个函数的图象关于y 轴对称，那么这个函数为偶函数。
5．常用结论：(1)奇偶性满足下列性质：奇±奇=奇，偶±偶=偶，奇×奇=偶，偶×偶=偶，奇×偶=奇。
(2)奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性，偶函数在对称的单调区间内具有相反的单调性。
例4：判断函数2
21)(2
-+-=x x x f 的奇偶性。
分析：解此题的步骤（1）求函数的定义域；（2）化简函数表达式；（3）判断函数的奇偶性
针对性练习：
1、判断下列各函数是否具有奇偶性
⑴、x x x f 2)(3+= ⑵、2
432)(x x x f += ⑶、1
)(2
3--=x x x x f ⑷、2)(x x f = []2,1-∈x ⑸、x x x f -+-=22)( ⑹、2211)(x x x f -+-=
2、判断函数⎩
⎨⎧<≥-=)0()0()(22x x x x x f 的奇偶性。
.
)(),()()()()()(,0,0)
()()(,0,0)
(0)0(:22222为奇函数故总有有时即当有时即当解x f x f x f x f x x x f x x x f x x x f x x x f f =-∴-=--=-=->-<-=-=--=-<->-==
3、已知8)(3
5-++=bx ax x x f 且10)2(=-f ，那么=)2(f （利用奇偶性求函数值）
4、已知偶函数)(x f 在()0,∞-上为减函数，比较)5(-f ，)1(f ，)3(f 的大小。
（利用奇偶性比较大小）
5、已知)(x f 为偶函数时当时当01,1)(,10<≤--=≤≤x x x f x ，求)(x f 的解析式？（利用奇偶性求解析式）
6、若3)3()2()(2+-+-=x k x k x f 是偶函数，讨论函数)(x f 的单调区间？（利用奇偶性讨论函数的单调性）
7、已知函数)0()(23≠++=a cx bx ax x f 是偶函数，判断cx bx ax x g ++=23)(的奇偶性。
（利用奇偶性判断函数的奇偶性）
8、定义在R 上的偶函数)(x f 在)0,(-∞是单调递减，若)123()12(22+-<++a a f a a f ，则a 的取值范围是如何？（利用奇偶性求参数的值）
9、（2004.上海理）设奇函数f(x)的定义域为[-5,5].若当x ∈[0,5]
时, f(x)的图象如右图,则不等式x ()0<x f 的解
是 . （利用图像解题）
10、已知函数1().21
x f x a =-
+，若()f x 为奇函数，则a =________。
（利用定义解题）
函数的周期性与对称性
◆函数的轴对称
定理1：函数()x f y =满足()()x b f x a f -=+，则函数()x f y =的图象关于直线2
b a x +=对称. 推论1：函数()x f y =满足()()x a f x a f -=+，则函数()x f y =的图象关于直线a x =对称. 推论2：函数()x f y =满足()()x f x f -=，则函数()x f y =的图象关于直线0=x （y 轴）对称.
◆函数的周期性
定理2：函数()x f 对于定义域中的任意x ,都有()()T x f x f +=，则()x f 是以T 为周期的周期函数； 推论1：函数()x f 对于定义域中的任意x ,都有()()b x f a x f +=+，则()x f 是以（a －b ）为周期的周期函数；
推论2：下列条件都是以2T 为周期的周期函数：
1、()()x f T x f -=+；
2、()()x f T x f 1=+ ；
3、()()f x T f x T +=-；
4、)
(1)(x f T x f -=+； 5、1)(1)()(-+=+x f x f T x f ；6、)
(1)(1)(x f x f T x f +-=+． ◆函数的点对称
定理3：函数()x f y =满足()()b x a f x a f 2=-++，则函数()x f y =的图象关于点()b a ,对称.
推论1：函数()x f y =满足()()0=-++x a f x a f ，则函数()x f y =的图象关于点()0,a 对称. 推论2：函数()x f y =满足()()0=-+x f x f ，则函数()x f y =的图象关于原点()0,0对称.
（总结：同号看周期，异号看对称）
针对性练习：
1、设函数)(x f y =的定义域为R ，且满足0)2()(=-+x f x f ，则)(x f y =图象关于________对称。
2、设函数)(x f y =的定义域为R ，且满足)1()1(x f x f -=-，则)(x f y =图象关于________对称。
3、设函数)(x f y =的定义域为R ，且满足)1()1(x f x f -=+，则)1(+=x f y 图象关于______对称,)(x f y =图象关于__________对称。
4、已知函数()f x 是(,)-∞+∞上的偶函数，若对于0x ≥，都有(2()f x f x +=）
，且当[0,2)x ∈时，x x f =)(，则(2008)(2009)f f -+的值为（ ）
A ．2-
B ．1-
C ．1
D ．2
5、已知定义在R 上的奇函数)(x f ，满足(4)()f x f x -=-,且在区间[0,2]上是增函数,则 ( )
A.(25)(11)(80)f f f -<<
B.(80)(11)(25)f f f <<-
C.(11)(80)(25)f f f <<-
D.(25)(80)(11)f f f -<<
6、设()f x 是定义在R 上以6为周期的函数，()f x 在(0,3)内单调递减，且()y f x =的图像关于直线3x =对称，则下面正确的结论是 （ ）
A.(1.5)(3.5)(6.5)f f f <<
B.(3.5)(1.5)(6.5)f f f <<
C.(6.5)(3.5)(1.5)f f f <<
D.(3.5)(6.5)(1.5)f f f <<。