积化和差与和差化积ppt课件
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三角函数的积化和差与和差化积-课件
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17、一个人即使已登上顶峰，也仍要 自强不 息。2021/2/272021/2/272021/2/272021/2/27
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
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11、越是没有本领的就越加自命不凡 。2021/2/27பைடு நூலகம்021/2/272021/2/27Feb-2127-Feb-21
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12、越是无能的人，越喜欢挑剔别人 的错儿 。2021/2/272021/2/272021/2/27Satur day, February 27, 2021
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13、知人者智，自知者明。胜人者有 力，自 胜者强 。2021/2/272021/2/272021/2/272021/2/272/27/2021
答：将非特殊角化为特殊角，不 能化成特殊角的经过化简后抵消 或约分.
题型二：求角
合作探究：（5分钟） 要求：1.通过小组合作，达成共识，总结 应该注意的问题，准备展示与点评。
2.合作完成两个小问题。
合作探究：
1.如何解决给值求角问题？
答：转化为先求角的某个三角函数值， 再求出角。 2.求角时应注意的问题是什么？
答：由三角函数值得出角时要注意角的 取值范围。
题型三：化简 化简时常用的化简方法有哪些？ 1.倍角、半角公式（降幂公式） 2. 切化弦。 4.积化和差与和差化积
当堂检测： 答案：1.C
2.B
3.T=π， ymax=1， ymin=-1
4. 1 8
课堂总结：
本节课我们主要复习了倍角，半角公 式和积化和差、和差化积。利用公式可 以解决求三角函数值的问题，求角的问 题，化简证明恒等式的问题。
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14、意志坚强的人能把世界放在手中 像泥块 一样任 意揉捏 。2021年2月27日星期 六2021/2/272021/2/272021/2/27
积化和差与和差化积公式课件高一下学期数学北师大版
三角函数的积与三角函数的和差是两种常见的形式，它们能够 相互转化吗？
三角函数的和/差
三角函数的积
解：
解：
按照以上做法，我们可以得出以下四条积化和差公式
解： 故
可以改写为
按照以上做法，我们可以得出以下四条和差化积公式
解：
解：
解：
解：
解：
解：
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
解：
解：
解：
教材练习第3题．
●第四章 三角恒等变换
●4.2.4 积化和差与 和差化积公式
1．能利用之前所学公式进行积化和差与和差化积公式的推导. 2．感受各个三角函数公式的使用场合以及化简过程中的运用.
利用积化和差与和差化积公式进行化简．
积化和差与和差化积公式的推导与记忆．
我们之前已经学习了两角和与差的正弦、余弦公式，一起回顾一下.
再见
4.2.4积化和差与和差化积公式-【新教材】北师大版高中数学必修第二册课件
��
+
·sin
��
− −
=−2sin ·sin=− s#43; 化为积的情势.
解：cosx+
=cosx+cos
=2cos
=2cos
+
cos
−
+ cos
−
.
综合练习
已知sinα+sin=，cosα+cos=，则tan(α+)
➢ 三角函数的和差化积
从积化和差的4个公式可以得出
sin(α+β)+ sin(α-β)=2sinαcosβ
sin(α+β)- sin(α-β)=2cosαsinβ
cos(α+β)+ cos(α-β)=2cosαcosβ
cos(α+β)- cos(α-β)=−2sinαsinβ
课文精讲
➢ 三角函数的和差化积
=.
综合练习
计算：
解：
°+°
=_____.
°
°+°
°
（°+°）+（°−°）
°
=
=
°°
°
= °= .
本课小结
三角函数的积化和差
积化和差与和差
化积公式
三角函数的和差化积
+
−
，β=
.
设α+β=x， α-β=y，则α=
这样，上一页得出的四个式子可以写成
+
和差化积与积化和差公式ppt课件ppt
积化和差公式介绍
深入探讨了如何通过积的 形式来表达和差，进一步 扩展了公式的应用范围。
公式实例解析
通过多个具体例子，详细 展示了如何在实际问题中 运用这些公式。
公式应用注意事项总结
适用条件
明确公式应用的前提条件 ，确保在正确的场景下使 用公式。
公式变形与拓展
在讨论公式的应用时，注 意公式的各种变形以及与 其他公式的关联。
在一些特定角度下，通过积化和差公式可以快速求解出三角函数的 值，避免复杂的计算过程。
在物理学中的应用
积化和差公式在物理学中经常用于处理振动、波动等问题，通过公 式的应用可以简化问题的求解过程。
04
公式对比与关联
和差化积与积化和差公式的异同点
异处
应用场景：和差化积在处理涉及三角函数和差的问题时 较为方便，而积化和差在处理涉及三角函数乘积的问题 时更为有效。
例题4
通过积化和差公式解决三角函数的求值问题 。例如，求解 $\sin 2x$ 的值，可以通过积 化和差公式将其转化为 $2\sin x \cos x$ 的
形式，从而更容易获取结果。
公式综合运用练习题
练习1
综合运用和差化积与积化和差公式，求解 $\sin(x+y)\cos x - \cos(x+y)\sin x$。此题需要灵活运 用两个公式，通过合适的变换和组合，得到最终的结果 。
培养数学思维
通过深入学习和实践，大家将逐渐 提高自己的数学思维能力，为未来 的学习和工作打下坚实基础。
02
和差化积公式
和差化积公式的基本形式
正弦和差化积公式
sinα+sinβ=2sin(α+β)/2·cos(α-β)/2， sinα-sinβ=2cos(α+β)/2·sin(α-β)/2
三角函数的积化和差与和差化积PPT精品课件
合理开发地下水
四、协调人地关系，从我做起
阅读教材P107“四、协调人地关系，从我做起”， 讨论回答：（1）按照可持续发展的思想和方法，协 调人地关系主要包括哪些方面？ （2）我们每个人 能为可持续发展做些什么？
协调社会经济发展与自然资源、生态环境之间的关系
协调人类社会的眼前利益与长远利益之间的关系
甘蔗蔗糖分一般为 12.5～14%，在我国主 要分布在南方。
甜菜：含蔗糖高，一般达 15～20％,主要分布在北 纬30°～63° 中国甜菜 主要种植在北纬40°以北。
两种发展模式
三、自然资源的可持续利用
可
再
补给、再
利用超
自然资
生
生和繁殖
过极限，
源需求
自
资
需要时间
恢复困
源
难
量越来 环 越大
然
境
倍角、半角公式 及三角函数的 积化和差与和差化积
复习目标： 1.掌握倍角、半角公式，并能用这些公式 进行简单三角函数式的化简、求值和证明 恒等式。 2.了解积化和差，和差化积公式的推导过 程。初步运用公式进行和积互化。进行简 单的三角函数求值、化简、证明。
题型一：求三角函数值
问题：求非特殊角的三角函数值的基 本思路是什么呢？
思考：森林资源的含义是什么？它有哪些生态效益？ 我国森林资源开发利用中存在的主要问题及解决措 施.
我国森林资源开发利用中存在的主要问题:
1 消耗量大于生长量。 2 计划外采伐量大，难以控制。 3 森林火灾及病虫害。 4 毁林开荒和滥砍滥伐现象。
实现可持续发展的目标，意味着一场深刻的变 革，是世界观、价值观、道德观的变革，是人 类行为方式的变革。公众既是消费者，又是生 产者，也是环境的管理者。因此，公众是否认 识、愿意接受并积极参与，是实施这些变革的 必要条件。我们只有建立起可持续发展的世界 观，进而用符合可持续发展的方法来改变我们 的生产、生活方式，才能使可持续发展从观念 走向实践。例如，工厂实行清洁生产，社会公 众积极参与，选购带环境标志的产品。
新教材北师大版第4章2.4积化和差与和差化积公式课件(29张)
() () () ()
[提示] (1)正确；(2)正确；(3)正确；(4)错误，cos(A＋B)－
cos(A－B)＝－2sin Asin B．
[答案] (1)√ (2)√ (3)√ (4)×
2．cos 72°－cos 36°的值为( )
A．3－2 3
B．12
C．－12
D．3＋2 3
C [原式＝－2sin72°＋2 36°sin72°－2 36° ＝－2sin 54°·sin 18°＝－2cos 36°cos 72° ＝－2·sin36°csoins3366°°cos72°＝－sin7s2in°3co6s°72° ＝－s2isnin14364°°＝－12.]
提示：都是任意角． 2．“sin α－sin β＝2cosβ＋2 αsinβ－2 α”正确吗？
提示：不正确．sin α－sin β＝2cos
α＋β 2 sin
α－β 2.
1．sin 15°cos 165°的值是( )
A．14
B．12
C．－14
D．－12
C [sin 15°cos 165°＝sin 15°cos(180°－15°)＝－sin 15°cos 15°＝
4α·cos α 4αcos α
＝2cos 2sin
4αcos 4αcos
3α＋cos 3α＋cos
αα＝csoins
44αα＝tan14α.
∴原式成立．
课堂 小结 提素 养
1．本节学习了积化和差公式、和差化积公式，一定要清楚这些 公式的形式特征，理解公式间的关系．
2．和差化积、积化和差公式不要求记忆，但要注意公式推导中 应用的数学思想方法，同时注意这些公式与两角和与差公式的联 系．
三角函数的积化和差与和差化积【PPT】省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件
sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ(1)
sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsingβ(2)
cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ(3)
cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ(4) 师：请同学们注意观察这四个公式，考虑一下能否利用 这些公式得出某些新关系来． 生1：把(1)式与(2)式相加可得 sin(α+β)+sin(α-β)=αsinαcosβ． 生2：把(1)式与(2)式相减可得 sin(α+β)-sin(α-β)=αcosαsinβ． 师：(3)、(4)两式作类似旳加、减还能够得到： cos(α+β)+cos(α-β)=2cosαcosβ， cos(α+β)- cos( α-β)=-2sinαsinβ． 师：若把这四个关系式整顿一下，即可得到
二、板书设计
第三课时 习题课
三角函数是中学数学旳一种很主要旳学习内容， 这二章(第三章与第四章)从简介三角函数旳定义、 性质、图象开始逐渐进一步，学习旳进程高潮迭 起，尤其是从和、差、倍、半角旳三角函数直到 三角函数旳和差化积与积化和差，既充分揭示了 三角函数旳内在关系，且每组公式又都有它本身 旳使用范围，另外三角函数这块内容又是学习其 他数学分支旳主要工具，在函数研究、立体几何、 代数及解析几何中都有广泛旳应用，学好三角函 数是学好其他数学分支旳主要基础．因为三角公 式相当多，所以记忆和应用就显得十分主要，安 排两节习题课旳目旳，就是希望经过练习及比较， 使学生能熟练掌握进行三角恒等变换旳一般措 施． (一)复习和差化积与积化和差公式 (二)作业评讲 1．求cos20°+cos100°+cos140°．
高中教育数学必修第二册《4.2.4 积化和差与和差化积公式》教学课件
α＋β ∴③÷④得 tanα＋2 β＝32，∴sin(α＋β)＝1＋2tatann2α2＋2 β＝1123.
方法归纳 在解决有关三角函数求值问题时，不同的思路与方法求出的值可 能不同，但最终结果应该是相同的，因此选择合适的公式是解决此类 题目的关键，应尽量避开函数值正负不能确定的情况．
跟踪训练 1 已知 sinθ＋π6sinθ－π6＝2110，求 tan θ.
2.4 积化和差与和差化积公式
[教材要点]
要点一 积化和差公式 cos αcos β＝12[cos(α＋β)＋cos(α－β)]； sin αsin β＝－12[cos(α＋β)－cos (α－β)]； sin αcos β＝12[sin(α＋β)＋sin(α－β)]； cos αsin β＝12[sin(α＋β)－sin(α－β)]．
解析：原式＝21sin α(cos 2α－cos 120°) ＝21sin αcos 2α＋14sin α ＝41(sin 3α－sin α)＋41sin α ＝41sin 3α.
题型三 利用积化和差与和差化积公式证明——师生共研 例 3 求证：cos αsin β＝12[sin(α＋β)－sin(α－β)]．
＝2cos α2cos β2.
答案：(1)21sin198°－41
αβ (2)2cos 2cos 2
题型一 利用积化和差与和差化积公式求值——师生共研 例 1 若 cos α－cos β＝12，sin α－sin β＝13，求 sin(α＋β)的值．
解析：已知 cos α－cos β＝12，①
sin α－sin β＝－13，② 将①②两式左边和差化积，得－2sinα＋2 βsinα－2 β＝12，③ 2cosα＋2 βsinα－2 β＝－31，④ 由④得 cosα＋2 β≠0，sinα－2 β≠0，
积化和差与和差化积公式-高一数学课件(北师大版2019必修第二册)
在前面几节的学习中，我们已经领略了三角变换的风采，那 么，对于前面学习的和角公式、差角公式，通过对各公式做加减运 算，又能得到什么样的变换呢？这就是我们这一节要学习的内容： 三角函数的积化和差与和差化积．
一.三角函数的积化和差 考察公式：
(1)
sin( ) sin cos cos sin
2．sin π4＋α cos π4＋β 化成和差的形式为(
)
A．1sin(α＋β)＋1cos(α－β)B．1cos(α＋β)＋1sin(α－β)
2
2
2
2
C．12sin(α＋β)＋12sin(α－β)D．12cos(α＋β)＋12cos(α－β)
B [sinπ4＋αcosπ4＋β ＝12sin4π＋α＋π4＋β＋sinπ4＋α－4π－β ＝12sin2π＋α＋β＋sinα－β ＝12cos(α＋β)＋12sin(α－β)．故选B．]
a2 b2
a2 b2 (cos sin x sin cos x)
a2 b2 sin(x ) .
其中 由 sin b ，cos a 确定.
a2 b2
a2 b2
说明：
利用辅助角公式可以将形如 y=a sin +b cos的函
数，转化为一个角的一种三角函数形式。便于后面求三 角函数的最小正周期、最大（小）值、单调区间等。
2
2
C．cos x＋cos y＝2cos x＋ycos x－y
2
2
D．cos x－cos y＝2sin x＋ysin x－y
2
2
C [由和差化积公式知C正确．]
2．cos 2α－cos 3α化为积的形式为________．
5α α 2sin 2 sin 2
一.三角函数的积化和差 考察公式：
(1)
sin( ) sin cos cos sin
2．sin π4＋α cos π4＋β 化成和差的形式为(
)
A．1sin(α＋β)＋1cos(α－β)B．1cos(α＋β)＋1sin(α－β)
2
2
2
2
C．12sin(α＋β)＋12sin(α－β)D．12cos(α＋β)＋12cos(α－β)
B [sinπ4＋αcosπ4＋β ＝12sin4π＋α＋π4＋β＋sinπ4＋α－4π－β ＝12sin2π＋α＋β＋sinα－β ＝12cos(α＋β)＋12sin(α－β)．故选B．]
a2 b2
a2 b2 (cos sin x sin cos x)
a2 b2 sin(x ) .
其中 由 sin b ，cos a 确定.
a2 b2
a2 b2
说明：
利用辅助角公式可以将形如 y=a sin +b cos的函
数，转化为一个角的一种三角函数形式。便于后面求三 角函数的最小正周期、最大（小）值、单调区间等。
2
2
C．cos x＋cos y＝2cos x＋ycos x－y
2
2
D．cos x－cos y＝2sin x＋ysin x－y
2
2
C [由和差化积公式知C正确．]
2．cos 2α－cos 3α化为积的形式为________．
5α α 2sin 2 sin 2
新教材北师大版第4章24积化和差与和差化积公式课件(41张)
4．cos512πsin1π2＝_12_－___4_3_.
[解析] cos51π2sin1π2＝ 12sin51π2＋1π2－sin51π2－1π2 ＝12sinπ2－sin3π ＝12－ 43.
数学（必修·第二册 BSD）
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第四章 三角恒等变换
数学（必修·第二册 BSD）
关键能力•攻重难
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第四章 三角恒等变换
数学（必修·第二册 BSD）
[归纳提升] 给角求值的关键是正确地选用公式，以便把非特殊角 的三角函数相约或相消，从而化为特殊角的三角函数，同时注意互余 角、互补角的三角函数间的关系．
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第四章 三角恒等变换
数学（必修·第二册 BSD）
【对点练习】❶ 求sin220°＋cos250°＋sin 20°·cos 50°的值．
第四章 三角恒等变换
数学（必修·第二册 BSD）
2．若 cos xcos y＋sin xsin y＝12，sin 2x＋sin 2y＝23，则 sin(x＋y)＝
(D )
A．12
B．13
C．
3 2
D．23
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第四章 三角恒等变换
数学（必修·第二册 BSD）
[解析] 由 cos xcos y＋sin xsin y＝12得 cos(x－y)＝12. 由 sin 2x＋sin 2y＝2sin(x＋y)cos(x－y)＝23得 2sin(x＋y)×12＝23，所以 sin(x＋y)＝23.
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第四章 三角恒等变换
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题型二
积化和差与和差化积公式在给值求值中的应用
例 2 已知 cos α－cos β＝12，sin α－sin β＝－13，求 tanα＋2 β的值． [解析] ∵cos α－cos β＝12，
[解析] cos51π2sin1π2＝ 12sin51π2＋1π2－sin51π2－1π2 ＝12sinπ2－sin3π ＝12－ 43.
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关键能力•攻重难
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[归纳提升] 给角求值的关键是正确地选用公式，以便把非特殊角 的三角函数相约或相消，从而化为特殊角的三角函数，同时注意互余 角、互补角的三角函数间的关系．
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【对点练习】❶ 求sin220°＋cos250°＋sin 20°·cos 50°的值．
第四章 三角恒等变换
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2．若 cos xcos y＋sin xsin y＝12，sin 2x＋sin 2y＝23，则 sin(x＋y)＝
(D )
A．12
B．13
C．
3 2
D．23
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[解析] 由 cos xcos y＋sin xsin y＝12得 cos(x－y)＝12. 由 sin 2x＋sin 2y＝2sin(x＋y)cos(x－y)＝23得 2sin(x＋y)×12＝23，所以 sin(x＋y)＝23.
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第四章 三角恒等变换
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题型二
积化和差与和差化积公式在给值求值中的应用
例 2 已知 cos α－cos β＝12，sin α－sin β＝－13，求 tanα＋2 β的值． [解析] ∵cos α－cos β＝12，
高中数学 3-3 三角函数的积化和差与和差化积课件 新人教B版必修4(共34张PPT)
• [点评] 对于给式求值问题，一般思路是 先对条件化简，之后看 能否直接求结果； 若不能，则再对所求化简，直到找到两者 的联系为止．“走一走，看一看”对解此 类问题是非常必要的．试图利用已知等式 及平方关系分别求取cosα，cosβ，sinα， sinβ的值，导致运算烦琐，难以求解．
化简下列各式： cosA＋cos120° ＋B＋cos120° －B (1) ； sinB＋sin120° ＋A－sin120° －A sinA＋2sin3A＋sin5A (2) . sin3A＋2sin5A＋sin7A
[解析]解法一：Βιβλιοθήκη 为 40° ＝30° ＋10° ，于是
原式＝sin210° ＋cos2(30° ＋10° )＋sin10° cos(30° ＋10° )＝ sin
2
10° ＋
3 1 2 cos10° － sin10° ＋sin10° 2 2
3 3 3 1 2 2 ＋cos 10° )＝4. －2sin10° ＝4(sin 10° 2 cos10°
＋tanC＝0 矛盾． 由 tanB＋tanC＋ 3tanB· tanC＝ 3， tanB＋tanC 得 ＝ 3. 1－tanB· tanC ∴tan(B＋C)＝ 3， ∵B、C 是△ABC 的内角，∴B＋C＝60° ，∴A＝120° . 故△ABC 为钝角三角形．
• [例4] 求sin210°＋cos240°＋ sin10°cos40°的值．
[解析]
cosA＋2cos120° cosB (1)原式＝ sinB＋2cos120° sinA
A＋B B－A cosA－cosB 2sin 2 sin 2 A＋B ＝ ＝ ＝tan 2 ； sinB－sinA A＋B B－A 2cos 2 sin 2 sinA＋sin5A＋2sin3A (2)原式＝ sin3A＋sin7A＋2sin5A 2sin3Acos2A＋2sin3A 2sin3Acos2A＋1 sin3A ＝ ＝ ＝sin5A. 2sin5Acos2A＋2sin5A 2sin5Acos2A＋1
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2．积化和差与和差化积公式的推导过程本身也运用了 许多重要的教学思想和方法，在课堂教学中应作为重要 一环给予足够的重视．
3
情感、态度与价值观目标
数学学习中，处处充满辩证法，和差化积与积 化和差看似是一对矛盾，但它们又处在对立统一 体中，这些公式中，从左到右为积化和差，而从 右到左则成为和差化积．在实际应用，他们又是 相辅相成的，通过这一内容的教学，使学生受到 一次辩证法实例的教育，不失为一个好时机．
4
学习重难点
教学重点：
理顺三角公式变换的相互关系，掌握积 化和差与和差化积公式的推导过程， 并能用 它们解决一些实际问题， 以及用好用活
教学难点：
(1)公式的推导． (2)公式的应用． (3)三角式的恒等变换的一般规律．
5
知识链接
sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ(1) sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsingβ(2) cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ(3) cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ(4)
=2cos(A+B)cos(A-B)+2cos2(A+B)-1
=2cos(A+B)[cos(A+B)+cos(A-B)]-1
=4cos(A+B)cosAcosC-1
=-1-4cosAcosBcosC．
19
课堂小结
1 本节课，我们学习了三角函数的积化和差公式， 虽然这些公式是新出现的，但它和过去学习的一些三角 公式有密切的关系，所以首先应理清他们的内在联系， 这组公式的功能可以把三角函数的积的形式转化为和差 的形式，通过例解及课堂练习，同学们也开始发现这组 公式的作用，希望同学们在今后的学习中记好、用好这 一组公式。
3．4 三角函数的积化 和差与和差化积
1
学习目标
知识与技能目标
1.会推导三角函数的和差化积与积化和差公式 2.会简单的三角函数的和差化积与积化和差的应用
2
过程与方法目标
1．三角函数的积化和差与和差化积，这两种互化，对 于求三角函数的值、化商三角函数式及三角函数式的恒 等变形，都有重要的作用，它们的作用和地位在三角函 数值的变形中是十分重要的．
6
课前预习
问题1：把(1)式与(2)式相加可得？ sin(α+β)+sin(α-β)=αsinαcosβ． 问题2：把(1)式与(2)式相减可得？ sin(α+β)-sin(α-β)=αcosαsinβ． 问题3：(3)、(4)两式作类似的加、减还可以得 到？ cos(α+β)+cos(α-β)=2cosαcosβ， cos(α+β)- cos( α-β)=-2sinαsinβ．
2 遇到三个或三个以上的三角函数的和差化积或积 化和差，可以先在其中的二个函数中进行(遇到这种情况 多半会组合出特殊角)，然后再与其他的三角函数继续进 行下去．
20
课后作业
P231中3； P236中1、2．
21
13
而sin20°·sin40°·sin80°
14
15
16
法2：
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例3 求sin42°-cos12°+sin54°的值． 解：原式=sin42°-sin78°+sin54° =-2cos60°sin18°+sin54° =cos54°-sin18° =2sin36°sin18°．
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达标练习
法3：由于75°与15°可以由45°与30°组合而成，所以 只要用到和差角的三角函数公式就可以解决了．
12
练习
1．求sin20°·cos70°+sin10°·sin50°的值 2．求cos37.5°·cos22.5°的值
1．sin20·cos70°+sin10°·sin50°
2． cos37.5°·cos22.5°
3．求cos20°+cos100°+cos140°．
=cos40°+cos140°
=0． 4．△ABC中，求证cos2A+cos2B+cos2C=-1-
4cosAcosBcosC． 证明：∵A、B、C为△ABC的三内角．
∴A+B+C=π，即C=π-(A+B)．
∴原式左边=2cos(A+B)cos(A-B)+2cos2C-1
为了突出这组公式是三角函数的和差化积公式并 能方便地记忆，可作如下的换元：
9
这样我们就得到如下的三角函数的
积化和差公式
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例1 求sin75°·cos15°的值．
法1：考虑到75°±15°都是特殊角，所以想到使用积 化和差公式解决之．
法2：由于75°与15°互为余角，所以可以采用以下的 解法．
11
7
以上这四个公式的特征是把三角函数的积 的形式转化为三角函数的和、差的形式，我们
把上述公式称为三角函数的积化和差公式．
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问题4 由三角函数的积化和差公式的逆用，我们可 得以下几个公式： sin(α+β)+sin(α-β)=2sinαcosβ； sin(α+β)-sin(α-β)=2cosαsinβ； cos(α+β)+cos(α-β)=2cosαcosβ； cos(α+β)-cos(α-β)=-2sinαsinβ．
3
情感、态度与价值观目标
数学学习中，处处充满辩证法，和差化积与积 化和差看似是一对矛盾，但它们又处在对立统一 体中，这些公式中，从左到右为积化和差，而从 右到左则成为和差化积．在实际应用，他们又是 相辅相成的，通过这一内容的教学，使学生受到 一次辩证法实例的教育，不失为一个好时机．
4
学习重难点
教学重点：
理顺三角公式变换的相互关系，掌握积 化和差与和差化积公式的推导过程， 并能用 它们解决一些实际问题， 以及用好用活
教学难点：
(1)公式的推导． (2)公式的应用． (3)三角式的恒等变换的一般规律．
5
知识链接
sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ(1) sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsingβ(2) cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ(3) cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ(4)
=2cos(A+B)cos(A-B)+2cos2(A+B)-1
=2cos(A+B)[cos(A+B)+cos(A-B)]-1
=4cos(A+B)cosAcosC-1
=-1-4cosAcosBcosC．
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课堂小结
1 本节课，我们学习了三角函数的积化和差公式， 虽然这些公式是新出现的，但它和过去学习的一些三角 公式有密切的关系，所以首先应理清他们的内在联系， 这组公式的功能可以把三角函数的积的形式转化为和差 的形式，通过例解及课堂练习，同学们也开始发现这组 公式的作用，希望同学们在今后的学习中记好、用好这 一组公式。
3．4 三角函数的积化 和差与和差化积
1
学习目标
知识与技能目标
1.会推导三角函数的和差化积与积化和差公式 2.会简单的三角函数的和差化积与积化和差的应用
2
过程与方法目标
1．三角函数的积化和差与和差化积，这两种互化，对 于求三角函数的值、化商三角函数式及三角函数式的恒 等变形，都有重要的作用，它们的作用和地位在三角函 数值的变形中是十分重要的．
6
课前预习
问题1：把(1)式与(2)式相加可得？ sin(α+β)+sin(α-β)=αsinαcosβ． 问题2：把(1)式与(2)式相减可得？ sin(α+β)-sin(α-β)=αcosαsinβ． 问题3：(3)、(4)两式作类似的加、减还可以得 到？ cos(α+β)+cos(α-β)=2cosαcosβ， cos(α+β)- cos( α-β)=-2sinαsinβ．
2 遇到三个或三个以上的三角函数的和差化积或积 化和差，可以先在其中的二个函数中进行(遇到这种情况 多半会组合出特殊角)，然后再与其他的三角函数继续进 行下去．
20
课后作业
P231中3； P236中1、2．
21
13
而sin20°·sin40°·sin80°
14
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法2：
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例3 求sin42°-cos12°+sin54°的值． 解：原式=sin42°-sin78°+sin54° =-2cos60°sin18°+sin54° =cos54°-sin18° =2sin36°sin18°．
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达标练习
法3：由于75°与15°可以由45°与30°组合而成，所以 只要用到和差角的三角函数公式就可以解决了．
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练习
1．求sin20°·cos70°+sin10°·sin50°的值 2．求cos37.5°·cos22.5°的值
1．sin20·cos70°+sin10°·sin50°
2． cos37.5°·cos22.5°
3．求cos20°+cos100°+cos140°．
=cos40°+cos140°
=0． 4．△ABC中，求证cos2A+cos2B+cos2C=-1-
4cosAcosBcosC． 证明：∵A、B、C为△ABC的三内角．
∴A+B+C=π，即C=π-(A+B)．
∴原式左边=2cos(A+B)cos(A-B)+2cos2C-1
为了突出这组公式是三角函数的和差化积公式并 能方便地记忆，可作如下的换元：
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这样我们就得到如下的三角函数的
积化和差公式
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例1 求sin75°·cos15°的值．
法1：考虑到75°±15°都是特殊角，所以想到使用积 化和差公式解决之．
法2：由于75°与15°互为余角，所以可以采用以下的 解法．
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以上这四个公式的特征是把三角函数的积 的形式转化为三角函数的和、差的形式，我们
把上述公式称为三角函数的积化和差公式．
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问题4 由三角函数的积化和差公式的逆用，我们可 得以下几个公式： sin(α+β)+sin(α-β)=2sinαcosβ； sin(α+β)-sin(α-β)=2cosαsinβ； cos(α+β)+cos(α-β)=2cosαcosβ； cos(α+β)-cos(α-β)=-2sinαsinβ．